PROPRIEDADE ASSOCIATIVA GENERALIZADA

Sejam x1, x2, ... , xn elementos do grupo (G, *).

define-se o resultado de x1*x2*x3*... *xn, por

x1*x2*x3 = (x1*x2)*x3

x1*x2*x3*x4 = (x1*x2*x3)*x4 = ((x1*x2)*x3)*x4

...x1*x2*x3* ...*xn = (x1*x2*x3*...*xn-1)*xn = ((x1*x2)*x3)*...*xn-1)*xn

A propriedade associativa, também válida em um semi-grupo, independe da forma com que são associados os elementos.Isto é: (x1...xr)(xr+1... xn) = (x1...xs)(xs+1...xn),  (r, s), 1 < r < s < n.

EXEMPLO:

Seja * definida por a * b = a + b + ab. Calcular (2 * 3 * 5)

2 * 3 * 5 = (2 * 3) * 5 = (2 + 3 + 2.3) * 5 = 11 * 5 = 11 + 5 + 11.5 = 71

Ou: 2 * (3 * 5) = 2 * (3 + 5) = 2 * (3 + 5 + 3.5) = 2 * 23 = 2 + 23 + 2.23 = 71.

POTÊNCIAS EM UM GRUPO Definição 1: 

Seja (G, *) um grupo.

Define-se, para n  N, a potência de x, por xn = x*x*... *x (onde x figura n vezes).

No grupo multiplicativo: xn = x.x.x...

No grupo aditivo xn = x + x + x...

Exemplo: Considere o grupo (G, *) onde * é definido por a + b + ab. Calcular 25.

25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = (2 * 2) * 2 * (2 * 2) A operação é associativa.

2 * 2 = 2 + 2 + 2.2 = 8

(2 * 2) * 2 * (2 * 2) = 8 * 2 * 8 = (8 + 2 + 8.2) * 8 = 26 * 8 = 26 + 8 + 26.8 = 242

Em um grupo,  n, m  N, tem-se: 

(1) xaxb = xa+b  (2) (xa)b = xab  (3) Xa = xb (ab)

(4) x0 = n (n é o elemento neutro da operação).

(5) x-a = (x-1)a (x-1 é o inverso de x).

Definição 2:  seja a um elemento de um grupo. Se ax = a, então o elemento a é dito elemento idempotente.

Em um grupo infinito, o único elemento idempotente é o elemento neutro.

EXERCÍCIO: Considere o grupo (G, *) onde * é definido por a + b + ab.Calcule:

(a) O elemento neutro de *.

(b) 3-1 (c) 4-1 (d) x-1

(e) 5-3

EXERCÍCIOS

(1) Considere definidas no conjunto G = (a, b, c, d) as operações apresentadas nas tabelas:

Informe, justificando, se alguma (ou ambas) das operações estabeleceno conjunto G uma estrutura de grupo.(2) Sejam a, b, c e x elementos de um grupo G com a operações definidas na tabela. Resolva cada uma das equações em relação a x.

(a)x b = c. (b)  x2 a = b x c-1. (c)  x2 = a2 (d) x5 = n, onde n é o elemento neutro de G para a operação Å.(e)  (x a x)3 = b x (f) x2 a = (x a)-1. (g)  x2 b = x a-1 c.

CONJUGADO

Seja G um grupo

Conjugado de x por y, que se denota por [x]y,  é o elemento de G tal que[x]y = y-1xy.

COMUTADOR

Comutador de x e y, que se denota-se por [x, y], ao elemento de G, tal que[x, y] = xyx-1y-1.

Considere o grupo (G, *) onde * é definido por a + b + ab.Calcule:

EXERCÍCIOS:

(a) o conjugado de 3 por 5.

(b) O comutador de 3 e 5.