G.A. Equação da Circunferência Nível Básiconsaulasparticulares.com.br/wp-content/...Circunferencias-2017-1.pdf · interceptam-se no centro de uma circunferência de raio igual

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G.A. – Equação da Circunferência

Nível Básico

1. (Eear 2017) As posições dos pontos A (1, 7) e B (7,1) em relação à circunferência de

equação 2 2(x 6) (y 2) 16 são, respectivamente,

a) interna e interna. b) interna e externa. c) externa e interna. d) externa e externa. 2. (Upf 2016) Considere, num referencial xy, a circunferência de equação

2 2(x 1) (y 3) 9. A equação que define uma reta tangente a essa circunferência é:

a) x 3 b) x 3 c) y 0

d) y 5

e) x 0 3. (Uece 2016) No plano cartesiano usual, a equação da circunferência que contém os pontos

( 4, 0), (4, 0) e (0, 8) é 2 2x y my n 0. O valor da soma 2m n é

a) 30. b) 10. c) 40. d) 20. 4. (Ulbra 2016) As retas 2x y 4 0 e 2x 3y 12 0 interceptam-se no centro de uma

circunferência de raio igual a 3. Então podemos dizer que a) a circunferência possui centro no ponto (2, 3).

b) a circunferência corta o eixo y em dois pontos.

c) a circunferência corta o eixo x em um ponto. d) a circunferência é tangente ao eixo x.

e) a circunferência é tangente ao eixo y.

5. (Uem-pas 2016) Considere as retas r : y 2x, s : 3y 6x 3 0 e a reta que passa por

(1, 2) e (1, 3). Assinale o que for correto.

01) As retas r e s são concorrentes. 02) As retas e r são perpendiculares. 04) A distância entre os pontos de coordenadas (1, 2) e (1, 3) é 1.

08) O triângulo, formado pela origem e pelos pontos em que s intercepta os eixos, tem área

1.

4


16) A circunferência de centro na interseção de com o eixo x e que passa pelo ponto onde

r também intercepta o eixo x é dada por 2 2x y 1.

6. (Uece 2016) No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, se a

circunferência 2 2x y 8x 6y 16 0 possui n interseções com os eixos coordenados,

então, o valor de n é a) 2. b) 1. c) 3. d) 4. 7. (Cefet MG 2015) Considere as circunferências

2 2

1 : (x 2) (y 1) 5λ e 2 22 : (x 4) (y 3) 9.λ

A área do triângulo cujos os vértices são os centros dessas circunferências e o ponto 5

P 0, ,2

em unidades de área, é igual a

a) 13

.2

b) 11

.2

c) 9

.4

d) 7

.4

e) 5

.4

8. (Unisc 2015) Observando o círculo abaixo, representado no sistema de coordenadas

cartesianas, identifique, entre as alternativas apresentadas, a equação que o representa.

a) 2 2x (y 2) 10.

b) 2 2(x 3) y 10.

c) 2 2(x 3) (y 2) 13.

d) 2 2(x 3) (y 2) 13.

e) 2 2(x 3) (y 2) 13.

9. (Imed 2015) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C com centro no ponto P(4, 2) é

tangente ao eixo das ordenadas. Nessa situação, a equação geral dessa circunferência corresponde a:

a) 2 2x y 8x 8y 4 0

b) 2 2x y 8x 4y 4 0

c) 2 2x y 8x 8y 4 0

d) 2 2x y 8x 4y 4 0

e) 2 2x y 8x 4y 4 0


10. (Ueg 2015) Observe a figura a seguir.

Sabendo-se que a circunferência de maior raio passa pelo centro da circunferência de menor raio, a equação da circunferência de maior raio é

a) 2 2x y 4x 4y 18 0

b) 2 2x y 4x 4y 14 0

c) 2 2x y 8x 8y 14 0

d) 2 2x y 8x 8y 18 0

11. (Upe 2015) No sistema cartesiano, sendo a circunferência C de equação

2 2x y 6x 2y 6. Qual a equação da circunferência C' simétrica de C em relação à

origem do sistema?

a) 2 2x y 6x 2y 4

b) 2 2x y 6x 2y 4

c) 2 2x y 6x 2y 4

d) 2 2x y 6x 2y 6

e) 2 2x y 6x 2y 6


Nível Médio 12. (Ufsc 2017) A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade em que uma unidade

linear do plano cartesiano corresponde a 1km.

Com base nos dados da figura, é correto afirmar que: 01) A equação da reta que passa pela praça e pela igreja também passa pelo banco. 02) A reta que passa pelo banco e é perpendicular à reta que passa pela igreja e pelo hotel tem

equação y 8.

04) A equação da circunferência com centro na praça e que passa pela escola é 2 2x y 10x 6y 24 0.

08) A distância da escola ao hotel é de 73 km.

16) A área do quadrilátero convexo formado pela escola, pelo banco, pelo hotel e pela igreja

tem 223,5 km .

32) O ponto da circunferência, com centro na praça e que passa pela escola, que fica mais

próximo da igreja é (3, 4).

13. (Ufjf-pism 3 2017) Considere os pontos P(2, 4), Q( 1, 0) e S( 5, 3).

a) Determine a equação da reta contendo o segmento PQ, da reta contendo o segmento PS e

da reta contendo o segmento QS.

b) Considere o triângulo de vértices P, Q e S. O triângulo dado é retângulo? Justifique sua

resposta.

c) Obtenha a equação da circunferência que contém os pontos P, Q e S.


14. (Acafe 2017) Na figura abaixo, a reta (r) dada pela equação x y 10 0 se intercepta

com a reta (t) no ponto P(x, y).

Então, a soma das coordenadas do ponto P é igual a: a) 11. b) 12. c) 9. d) 10. 15. (Acafe 2017) Os pontos A(1,1), B(1, 9) e C(7,1) são os vértices do triângulo inscrito numa

circunferência de equação 2 2x y mx ny p 0. O valor de m 2n 3p é igual a:

a) 29. b) 20. c) 65. d) 28.

16. (Unicamp 2017) Considere a circunferência de equação cartesiana 2 2x y x y. Qual

das equações a seguir representa uma reta que divide essa circunferência em duas partes iguais? a) x y 1.

b) x y 1.

c) x y 1.

d) x y 1.

17. (Ufpr 2017) Seja 1C o círculo de raio r 2 e centro no ponto P (3, 4).

a) Qual é a equação do círculo 1C ?

b) Considere o círculo 2C definido pela equação 2 2 2x y .ρ Para quais valores de ρ o

círculo 1C intersecta o círculo 2C ?


18. (G1 - cftrj 2017) O arco de circunferência NP foi criado a partir de uma circunferência de

raio MN, desenhada no plano cartesiano, conforme a figura a seguir, onde N (0,12) e

P (8, 0).

Quais são as coordenadas do ponto M? 19. (Upe-ssa 3 2016) Uma reta r de equação ax by c 0 tangencia a circunferência β de

equação 2 2x y 2x 6y 8 0 no ponto P ( 2, 0). Qual é o valor de a b c?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 20. (Uem 2016) Considere um sistema cartesiano ortogonal de origem O 0, 0 . Um ponto

nesse sistema é representado por um par ordenado P (x, y), onde a coordenada x é

chamada de abscissa e a coordenada y, de ordenada.

Assinale o que for correto. 01) Considere duas circunferências, a primeira de centro em 1P (1,1) e a segunda de centro

em 21

P 1, ,2

ambas de raio igual a 1

.4

A interseção entre elas é vazia.

02) A reta de equaēćo y 2x 5 intersecta a circunferźncia de equaēćo 2 2(x 2) y 6, nos pontos

1P (1, 7) e 2P (0, 5).

04) A equação 2 2x 6x y 2y 6 é a equação da circunferência de centro em P (3,1) e

raio 2.

08) O ponto P (1, 3) pertence à circunferência de equação 2 2) (y 2)(x .1 1

16) As retas r e s, respectivamente, de equações 3

y x 32

e 2

y x,3

são

perpendiculares.


21. (Acafe 2016) Considere a circunferência dada pela equação 2 21C : x y 12x 6y 36 0

e outra circunferência dada por 2 22C : x y 4x 6y 9 0, com os pontos A e B, tangentes

às circunferências 1C e 2C , respectivamente.

O comprimento do segmento AB (em unidades de comprimento) é:

a) 4 3.

b) 5 5.

c) 4 5.

d) 5 3. 22. (Unesp 2016) Uma empresa oferece frete gratuito para entregas do seu produto em um

raio de até 25 km do depósito. Para a distância que ultrapassar 25 km, medida em linha reta

desde o depósito, a empresa cobra R$ 20,00 por quilômetro que ultrapasse os 25 km iniciais

gratuitos. Essa cobrança também é feita de forma proporcional em caso de frações de quilômetros.

Um consumidor do produto reside 20 km a leste do depósito e x km ao sul. Apresente uma

figura representando a situação descrita e determine o valor máximo de x para que esse consumidor tenha direito ao frete gratuito na entrega do produto em sua residência. Em

seguida, determine o custo do frete C (em reais), em função de x, para o caso em que

C(x) 0.

23. (G1 - ifal 2016) O diâmetro de uma circunferência tem extremidades nos pontos A( 2, 6)

e B(4, 0) do plano cartesiano. A equação reduzida dessa circunferência é

a) 2 2(x 1) (y 3) 18.

b) 2 2(x 1) (y 3) 72.

c) 2 2(x 1) (y 3) 9.

d) 2 2(x 3) (y 3) 18.

e) 2 2(x 3) (y 3) 72.

24. (Uem 2016) Considerando P ( 2,1) e Q (4, 5) pontos das extremidades de um dos

diâmetros da circunferência C, onde P, Q C, assinale o que for correto.

01) o ponto ( 1, 6) pertence à circunferência C.

02) o centro da circunferência C é (1, 3).

04) o raio da circunferência C é 2 13. 08) a corda determinada pelos pontos ( 2, 5) e (3, 0) é um diâmetro de C.

16) a equação C da circunferência é dada por 2 2x y 2x 6y 3 0.


25. (Ueg 2016) A circunferência de centro (8, 4) que tangencia externamente a circunferência

2 2x y 4x 8y 16 possui raio igual a

a) 16 b) 10 c) 8 d) 6 e) 4 26. (Uel 2016) Alice comprou um terreno de forma triangular e solicitou a um engenheiro civil que fizesse a planta da casa a ser construída, incluindo um gazebo e uma piscina na área de lazer. A proposta do engenheiro foi construir a casa em formato de L, um gazebo de forma trapezoidal e uma piscina com formato circular. Considere a seguir, no plano cartesiano, a planta feita pelo engenheiro, na qual constam o esboço do terreno, da localização da casa, do gazebo e da piscina.

a) Determine a área representada pela região triangular ABC, em 2m , ocupada pelo terreno.

Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução deste item.

b) Considerando que o ponto L pertence à circunferência do círculo de centro K e que é o

ponto de interseção das retas t e s, em que t é a reta determinada pelos pontos P e O e

s é a reta determinada pelos pontos E e K, determine a equação reduzida da

circunferência de centro K, que representa a piscina no plano cartesiano.

Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução deste item.


27. (Fac. Pequeno Príncipe - Medici 2016) Uma arruela, que é um disco fino com furo circular interno, tem suas dimensões projetadas sobre um sistema de coordenadas cartesianas. A

equação da circunferência externa é obtida e tem a forma 2 2x y 8x 8y 7 0. A distância

da circunferência interna para a externa é de 2,5 cm. O furo interno, que está no meio da

arruela, tem área igual a:

a) 25cm .

9

π

b) 29cm .

4

π

c) 225cm .

4

π

d) 227cm .

4

π

e) 236cm .

25

π

28. (Pucsp 2016) Na figura tem-se a representação de ,λ circunferência de centro C e

tangente aos eixos coordenados nos pontos A e B.

Se a equação de λ é 2 2x y 8x 8y 16 0, então a área da região hachurada, em

unidades de superfície, é a) 8 ( 2)π

b) 8 ( 4)π

c) 4 ( 2)π

d) 4 ( 4)π


29. (Enem PPL 2015) Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no

sistema cartesiano, sendo a origem o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do sistema. A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais desse bairro.

Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura para todo estabelecimento que se encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação:

2 2x y 2x 4y 31 0.

A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou uma inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio enquanto os outros não. Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são apenas a) A e C. b) B e C. c) B e D. d) A, B e C. e) B, C e D. 30. (Unirio 2000) Considerando uma circunferência de centro (2, 1), que passa pelo ponto (2, -

2), assinale a opção correta.

a) A equação da circunferência é (x - 2)2 + (y - 1)

2 = 3.

b) O interior da circunferência é representado pela inequação x2 + 4x + y

2 + 2y < 4.

c) O interior da circunferência é representado pela inequação x2 - 4x + y

2 - 2y < 4.

d) O exterior da circunferência é representado pela inequação x2 - 4x + y

2 - 2y > -2.

e) O ponto (5, -1) pertence à circunferência.


Gabarito: Resposta da questão 1: [C]

Seja 2 2f (x 6)(x, (y) 1 .y 2) 6 Logo, temos

2 2(1 6) (7 2) 16 25 25 16 0,f(1, 7)

implicando em (1, 7) exterior à circunferência, e

2 2(7 6) (1 2) 16 1 1f(7,1) 16 0,

implicando em (7,1) interior à circunferência.

Resposta da questão 2:

[C]

Desde que a circunferência possui centro no ponto ( 1, 3) e raio 3, é fácil ver que a reta y 0

é tangente à circunferência. Resposta da questão 3:

[D]

Sabendo que (4, 0) pertence à circunferência, vem

24 n 0 n 16.

Tomando o ponto (0, 8), segue que

28 m 8 16 0 m 6.

Portanto, a resposta é 26 ( 16) 20.

Resposta da questão 4: [E] Calculando as coordenadas do centro da circunferência, tem-se:

y 4 3y 12 4y 8 y 2

Centro Circunferência 3,22x 2 4 0 2x 6 x 3

Sabendo-se as coordenadas do centro e o raio, é possível desenhar a circunferência no plano cartesiano. Esta tangencia o eixo y e corta o eixo x em dois pontos. Logo, a alternativa

correta é a letra [E].



04 + 08 = 12.

[01] Falsa. Reescrevendo a equação da reta s na forma explícita, temos y 2x 1. Logo,

sendo iguais os coeficientes angulares de r e de s, podemos concluir que essas retas são

paralelas.

[02] Falsa. Sendo iguais as abscissas dos pontos (1, 2) e (1, 3), é fácil ver que a equação da

reta é x 1. Daí, como a reta r não é paralela ao eixo das abscissas, podemos concluir que e r não são perpendiculares.

[04] Verdadeira. Os pontos (1, 2) e (1, 3) pertencem à reta x 1. Em consequência, a distância

entre eles é 3 2 1.

[08] Verdadeira. A reta s intersecta os eixos coordenados nos pontos (0,1) e 1

, 0 .2

Por

conseguinte, a área do triângulo mencionado é 1 1 1

1 .2 2 4

[16] Falsa. A reta intersecta o eixo das abscissas no ponto (1, 0). Por outro lado, a

circunferência 2 2x y 1 possui centro na origem e raio 1. Contradição.


[B]

Completando os quadrados, vem 2 2 2 2x y 8x 6y 16 0 (x 4) (y 3) 9. Logo, o

raio da circunferência mede 3 e seu centro é ( 4, 3).

A resposta é 1, pois a circunferência é tangente ao eixo das abscissas no ponto ( 4, 0).

Resposta da questão 7: [A]

Sejam A e B, respectivamente, os centros de 1λ e 2.λ Logo, como A ( 2, 1) e B (4, 3),

tem-se que a área do triângulo ABP é dada por

0 2 4 01 1

6 10 5 45 52 21 3

2 2

13.

2


[D] É fácil ver que o centro da circunferência é um ponto do segundo quadrante. Desse modo, tem-

se que a equação da circunferência só pode ser 2 2(x 3) (y 2) 13, pois seu centro é o

ponto ( 3, 2).



[B]

Se o centro da circunferência é o ponto P(4, 2) e esta é também tangente ao eixo y, pode-se

concluir que outro ponto desta mesma circunferência será o ponto tangente T(0, 2). Ainda,

pode-se deduzir que o raio da mesma circunferência é igual a 4. Logo, pela fórmula utilizada para calcular a distância entre dois pontos, pode-se deduzir a equação geral desta circunferência:

2 2 2 2 2(x 4) (y 2) (4) x y 8x 4y 4 0

Resposta da questão 10: [C]

Sejam 1C (4, 4) e 2C (1,1), respectivamente, os centros das circunferências maior e menor.

O raio da circunferência maior corresponde à distância entre os centros das circunferências, ou seja,

2 21 2d(C , C ) (4 1) (4 1) 18.

Portanto, a equação da circunferência maior é

2 2 2 2 2(x 4) (y 4) ( 18) x y 8x 8y 14 0.


[D]

A equação reduzida de C é

2 2 2 2

2 2 2

x y 6x 2y 6 (x 3) 9 (y 1) 1 6

(x 3) (y 1) 2 .

Por conseguinte, a equação de C' é

2 2 2 2 2(x 3) (y 1) 2 x y 6x 2y 6.

Resposta da questão 12: 04 + 08 + 16 = 28. [01] Falsa. Tem-se que

5 3 8 525 3 24 9 40 5 2.

3 5 1 3

Portanto, a reta não passa pelos três pontos.

[02] Falsa. A reta que passa pela igreja e pelo hotel tem por equação y 5. Por outro lado, a

reta que passa pelo banco e é perpendicular à reta y 5 é a reta de equação x 8.

[04] Verdadeira. O quadrado da distância entre a praça e a escola é igual a

2 2 2 2d (P, E) (5 2) (3 2) 10km .

Desse modo, a equação da circunferência com centro na praça e que passa pela escola é

2 2 2 2(x 5) (y 3) 10 x y 10x 6y 24 0.


[08] Verdadeira. De fato, temos

2 2d(E, H) (10 2) (5 2) 73km.

[16] Verdadeira. Com efeito, segue que

2

2 8 10 3 21(EBHI)

2 1 5 5 22

1| 2 40 50 6 16 10 15 10 |

2

23,5km .

[32] Falsa. O ponto que está mais próximo da igreja corresponde ao ponto de interseção da

reta que passa por P(5, 3) e I(3, 5) com a circunferência de equação

2 2(x 5) (y 3) 10, de tal sorte que a abscissa desse ponto seja um número real

menor do que 3.

Portanto, não pode ser (3, 4).

Resposta da questão 13: a) Calculando:

0 0

PQ PQ PQ

PS PS PS

QS QS QS

y y m x x

44 0 m 2 1 4 3m m3

4 4 4reta PQ y 0 x 1 y x3 3 3

14 3 m 2 5 1 7m m7

261 1reta PS y 4 x 2 y x7 7 7

33 0 m 5 1 3 4m m4

3 3 3reta QS y 0 x 1 y x4 4 4

b) Sim, pois as retas PQ e QS são perpendiculares.

PQQS

1m PQ QS

m

c) Se o triângulo PQS é retângulo no ponto Q, então o segmento PS é igual ao diâmetro e o

ponto Q pertence à circunferência. Assim, pode-se escrever:

2 2PS

2 2

5 22R d 2 5 4 3 50 5 2 R

2

PS 2 5 4 3 3 7C , ,

2 2 2 2 2

503 7equação x y2 2 4



[D]

Percebe-se que o ponto P pertence à reta t e também à reta r, logo deve obedecer a

equação x y 10 0. Essa mesma pode ser escrita como: x y 10.

Logo, a soma das

coordenadas será igual a 10.

Ou ainda pode-se resolver o exercício calculando, ou seja: chamando os pontos de intersecção

da reta r com a circunferência de A e B, pode-se escrever:

A 0,y x y 10 0 0 y 10 0 y 10 A 0,10

B x,0 x y 10 0 x 0 10 0 x 10 B 10, 0

Centro C 0, 0

Raio = distância entre C e A R 10

Ponto de intersecção entre a reta t e a circunferência T 6, b

Circunferência:

2 2 2 2 2 2 2 b 8 (não convém)x y R 6 b 10 36 b 100

b 8

Reta s t com pontos C 0, 0 e T 6, 8 :

s

t

4 4m y x (eq. reta s)

3 3

3s t m

4

Reta t :

3

y 8 x 6 3x 4y 50 04

Ponto P :

90x3x 4y 50 707x y 10

x y 10 20 7y7


[B] Representando os pontos no plano cartesiano tem-se um triângulo retângulo com ângulo reto

em A. Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa circunferência de diâmetro igual à

hipotenusa. Pelo teorema de Pitágoras tem-se que a hipotenusa é igual a 10 e, portanto, o raio

é igual a 5. O centro O da circunferência será o ponto médio do segmento BC. Assim, pode-

se escrever:

2 2

2 2

1 7 9 1O , O 4, 5

2 2

Eq. circunferência x 4 y 5 25

m 8

x y 8x 10y 16 0 n 10

p 16

m 2n 3p 8 20 48 20



[C] Calculando:

2 22 2 1 1 1x y x y x y2 2 2

21 1C ; e R2 2 2

A reta que divide a circunferência em duas partes iguais passa pelo centro C e pode ter

equação igual a x y 1.


a) Considerando que o centro seja o ponto C(3, 4) e o raio r 2, a equação da

circunferência 1C será dada por:

2 2 2 2 2(x 3) (y 4) 2 (x 3) (y 4) 4

b) O maior valor de ρ será dado pelo raio OA da menor circunferência centrada na origem e o

maior valor de P será dado pelo raio OB da circunferência menor centrada na origem.

2 2OA OP 2 3 4 2 3

OB OP 2 5 2 7,

portanto,

3 p 7


Devemos considerar que o ponto M é da forma (k, 0) e que:

2 2 2 2 2

MN MP

k 12 (8 k) k 144 64 16 k k 16k 80

k 5.

Portanto, o ponto M tem coordenadas ( 5, 0).



[C]

Sendo as coordenadas do centro da circunferência C( , ),α β pode-se escrever:

2 2

2 2

x y 2x 6y 8 0

Ax By Cxy Dx Ey F 0

D 21

2 2C( , ) C(1,3)

E 63

2 2

α α

α β

β β

Assim, pode-se desenhar os gráficos das funções:

Pode-se escrever: 2 2h m n 2 2 n n 2 Q(0, 2)

Logo, a reta r será do tipo: y x 2 x y 2 0

Portanto, a b c 4. Resposta da questão 20: 04 + 08 + 16 = 28. [01] Falso. Esboçando-se o gráfico percebe-se que a intersecção entre as duas não é vazia. [02] Falso. A reta e a circunferência dada não possuem pontos em comum. Calculando:

2 2

2 2 2 2

2

2

(x 2) y 6

y 2x 5

(x 2) (2x 5) 6 x 4x 4 4x 20x 25 6 0

5x 16x 23 0

16 4 5 23 204

[04] Verdadeiro. Calculando:

2 2 2 2(x 3) (x 1) 4 x 6x y 2y 6


2 2(1 1P (1, 3) ) (3 2) 1 1 1



1

21

2

3 3y x 3 m

1 2 1 2 22 2condição m

32 2 m 3 3 3y x m

23 3

Resposta da questão 21: [D] Sejam as circunferências:

2 2

1

2 2

12 6Centro , 6, 3

2 2C : x y 12x 6y 36 0

Raio ( 6) ( 3) 36 3

2 2

2

2 2

4 6Centro , 2,3

2 2C : x y 4x 6y 9 0

Raio (2) (3) 9 2

Onde:

2 2

1 2d C ,C 6 2 3 3 10

Observe a ilustração:

Por semelhança de triângulos temos:

10 x xx 4

3 2

Logo:

2 2 26 3 m m 3 3 e 2 2 24 2 n n 2 3

Portanto:

AB m n 3 3 2 3 5 3



Considere a figura, em que N denota Norte e L denota Leste.

A região para a qual o consumidor tem direito ao frete gratuito corresponde a um disco de raio

25km centrado na origem (depósito), isto é, 2 2 2 2 2X Y 25 X Y 625.

Em consequência, para X 20km, tem-se que

2 220 Y 625 Y 15km.

Assim, o valor máximo de x para que esse consumidor tenha direito ao frete gratuito na

entrega do produto em sua residência é igual a 15km.

Por outro lado, sabendo que o consumidor mora no ponto (20, x), e que a distância desse

ponto ao depósito é dada por 2400 x , segue que a resposta é

2C(x) 20 ( 400 x 25),

com x 15km. Resposta da questão 23: [A]

O ponto médio entre os pontos A e B será o centro da circunferência. Assim, pode-se escrever:

A B A Bm

x x y y 2 4 6 0P C , , C(1, 3)

2 2 2 2

O comprimento do raio será igual à metade da distância entre os pontos A e B. Tem-se: 2 2 2 2 2 2

B A B AR (x x ) (y y ) (1 2) ( 3 6) R 18

Assim a equação reduzida dessa circunferência será 2 2(x 1) (y 3) 18.



01 + 02 + 16 = 19. Determinando, inicialmente o centro da circunferência, calculando o ponto médio do segmento

de extremos P e Q.

2 4 1 5

, 1,32 2

Calculando agora a medida do raio r (fazendo a distância entre o ponto P e o centro da circunferência).

2 2r ( 2 1) (1 3) 13

Encontrando a equação da circunferência, temos:

22 2(x 1) (y 3) 13

[01] Verdadeira, pois 22 2( 1 1) (6 3) 13

[02] Verdadeira. O centro é o ponto (1, 3).

[04] Falsa. A medida do raio é 13.

[08] Falsa. Calculando a distância entre os pontos dados, obtemos:

2 23 ( 2) (5 0) 50 5 2 2 13

[16] Verdadeira. Desenvolvendo a equação, temos:

22 2 2 2 2 2(x 1) (y 3) 13 x 2x 1 y 6y 9 13 x y 2x 6y 3 0

Resposta da questão 25: [E] Desenvolvendo a equação:

2 2 2 2 2 2x y 4x 8y 16 0 x 4x 4 y 8y 16 16 16 4 (x 2) (x 4) 36,

temos então uma circunferência de centro C(2, 4) e raio R 6.

O raio r será a diferença entre a distância entre os centros P(8, 4) e C(2, 4) e o raio R 6.

Portanto,

(PC)

2 2

r d R

r (8 2) (4 ( 4)) 6

r 4



a) A área do triângulo ABC é igual a

2

0 1 32 01(ABC)

2 24 20 22

1| 20 64 2 768 |

2

1686

2

343 m .

b) A equação da reta t é dada por

14 12y 12 (x 14) y x 2.

16 14

A equação da reta s é

20 12y 12 (x 10) y x 22.

2 10

Assim, como L é o ponto de interseção de t e s, tem-se que L é a solução do sistema

formado pelas equações dessas retas. Resolvendo o sistema, encontramos L (12,10).

Portanto, a equação pedida é dada por

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

(x 10) (y 12) d (K, L) (x 10) (y 12) ( (12 10) (10 12) )

(x 10) (y 12) 8.

Resposta da questão 27: [C]

Determinando o raio de medida R da circunferência externa, temos: 2 2 2 2 2 2x y 8x 8y 7 0 x 8x 16 y 8y 16 7 16 16 (x 4) (y 4) 25

Portanto, o raio da circunferência externa é R 25 5.

Logo, o raio da circunferência interna é 5

5 2,5 2,5 .2

A área do furo interno será dada por:

225 25

A cm2 4

ππ



[C] Determinando o centro e o raio da circunferência.

2 2 2 2 2 2 2x y 8x 8y 16 0 x 8x 16 y 8y 16 16 (x 4) (y 4) 4

O centro é o ponto (4, 4) e o raio mede 4.

Calculando a área do setor de 90 do círculo determinado por esta circunferência, temos:

2

S4

A 44

ππ

Calculando, agora, a área do triângulo ABC.

ABC4 4

A 82

Δ

Portanto, a área do segmento circular pedida é:

S ABCA A A A 4 8 A 4 2Δ π π

Resposta da questão 29: [D] Analisando o gráfico, tem-se que as coordenadas dos estabelecimentos são:

A(5,4)

B( 3,1)

C(4,2)

D( 4, 3)

Assim, para avaliar se o estabelecimento está dentro da área de cobertura do sinal basta substituir suas coordenadas na equação:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

x y 2x 4y 31 0

A 5 4 2 5 4 4 31 0 16 0 OK!

B ( 3) 1 2 ( 3) 4 1 31 0 19 0 OK!

C 4 2 2 4 4 2 31 0 27 0 OK!

D ( 4) ( 3) 2 ( 4) 4 ( 3) 31 0 14 0 FALSO!


[C]

Documents

G.A. Equação da Circunferência Nível Básiconsaulasparticulares.com.br/wp-content/...Circunferencias-2017-1.pdf · interceptam-se no centro de uma circunferência de raio igual