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XXVII Olimpıada de Matematica da UnicampInstituto de Matematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica

Universidade Estadual de Campinas

Gabarito da Prova da Terceira Fase – Nıvel Beta

1



Questao 1 20 pontosDizemos que dois numeros reais a e b estao numa proporcao aurea quando

a + b

a= θ e

a

b= θ ,

onde a constante positiva θ e denominada de numero de ouro ou numero aureo.

(a) Determine o valor da constante θ.

(b) Um pedaco de barbante de comprimento 4L centımetros e divido ao meio. Com uma daspartes forma–se um quadrado e, com a outra parte forma–se um retangulo aureo, isto e, umretangulo cujos lados estao na proporcao aurea. Determine a razao entre a area do retanguloaureo e a area do quadrado, isto e, denotando por Aq a area do quadrado e por Ar a area

do retangulo aureo, determine a relacaoAr

Aq.

(c) Na figura abaixo temos um triangulo retangulo cujo comprimento do cateto AC e a metadedo comprimento do cateto AB, e temos tambem um arco de circunferencia de centro doponto C e raio igual ao comprimento do cateto AC. Mostre que o numero aureo θ e arazao entre o comprimento do segmento AB e o comprimento do segmento BD, isto e,

AB

BD= θ .

HHHH

HHHHHHH

HHHHHHH

. .......................... ........................... ......................................................................................................................................

.........................

..........................

..........................

...........................

...........................

Br

Ar

CrDr

Resolucao

(a) Considerando as equacoes

a + b

a= θ e

a

b= θ ,

e com algumas manipulacoes na primeira equacao e utilizando a segunda equacao, obtemos umaequacao em θ dada da seguinte forma:

1 +b

a= θ ⇐⇒ 1 +

1

θ= θ ⇐⇒ θ + 1 = θ2 .

As raızes da equacao do segundo grau θ2 − θ − 1 = 0 sao dadas por:

θ =1 ±

√5

2,

2



como a constante θ e positiva, obtemos

θ =1 +

√5

2

que e denominada numero de ouro ou numero aureo.

(b) O quadrado construıdo com a metade de um barbante de comprimento 4L centımetros, tem

lado medindoL

2centımetros. Assim, a area desse quadrado e dada por:

Aq =L2

4cm2 .

Com a outra metade do barbante construımos um retangulo cujos lados estao na proporcao aurea,isto e, denotando por a e b o comprimento dos lados desse retangulo, temos que

2a + 2b = 2L e a = θ × b .

Das equacoes acima, obtemos a e b, em funcao de L e da constante θ, da seguinte forma:

b =L

1 + θe a =

θ × L1 + θ

.

Desse modo, a area do retangulo aureo e dada por:

Ar = a× b =θ × L2

( 1 + θ )2cm2

Desse modo, a razao entre a area do retangulo aureo e a area do quadrado e dada por:

Ar

Aq=

4× θ( 1 + θ )2

3



(c) No triangulo retangulo, ilustrado na figura acima, vamos utilizar as seguintes notacoes

a = AB e x = BD .

Assim, teremos tambem que

AC =a

2e CD =

a

2.

Aplicando o Teorema de Pitagoras, obtemos(x +

a

2

)2= a2 +

a2

4,

que com algumas manipulacoes algebricas obtemos a seguinte equacao do segundo grau

x2 + ax − a2 = 0 ,

cujas raızes sao dadas por:

x =−a ±

√a2 + 4a2

2= a× −1 ±

√5

2.

Como a variavel x representa o comprimento do segmento BD, temos que

x = a× −1 +√

5

2.

Portanto, a razao entre o comprimento do segmento AB e o comprimento do segmento BD edada por:

AB

BD=

a

x=

2a

a× (−1 +√

5 )=

2

−1 +√

5=

2

−1 +√

5× 1 +

√5

1 +√

5=

1 +√

5

2= θ .

4



Questao 2 20 pontos

(a) Determine a parte imaginaria do numero complexo w dado por:

w =2z + 1

2z − 1para z 6= 1

2.

(b) Faca a representacao grafica no plano complexo do seguinte subconjunto

S =

{z ∈ C / Im

(2z + 1

2z − 1

)≥ 1 para z 6= 1

2

},

onde Im denota a parte imaginaria de um numero complexo, e C denota o conjunto dos numeroscomplexos, isto e,

C = { z = a + bi / a, b ∈ IR } ,onde i =

√−1 e a unidade imaginaria e IR e o conjunto dos numeros reais.

Resolucao

(a) Considerando z = a + bi com a , b ∈ IR, podemos escrever w da seguinte forma:

w =2z + 1

2z − 1=

2z + 1

2z − 1× 2z − 1

2z − 1=

4zz − 2z + 2z − 1

4zz − 2z − 2z + 1=

4(a2 + b2) − 1 − 4bi

4(a2 + b2) + 1 − 4a,

que com algumas manipulacoes, obtemos

w =4(a2 + b2) − 1 − 4bi

(2a − 1)2 + 4b2para z 6= 1

2.

Portanto, a parte imaginaria do numero complexo w fica dada por:

Im(w) =−4b

(2a − 1)2 + 4b2para z 6= 1

2.

(b) Vamos determinar o lugar geometrico no plano complexo dado pela desigualdade Im(w) ≥ 1

−4b

(2a − 1)2 + 4b2≥ 1 para z 6= 1

2.

Note que (2a − 1)2 + 4b2 > 0, assim da desigualdade acima, obtemos

−4b ≥ (2a − 1)2 + 4b2 ⇐⇒ (2a − 1)2 + 4b2 + 4b ≤ 0 ,

Somando e subtraindo 1 da desigualdade acima, temos que

(2a − 1)2 + 4b2 + 4b + 1 ≤ 1 ⇐⇒ (2a − 1)2 + (2b + 1)2 ≤ 1

Finalmente, obtemos a seguinte desigualdade(a − 1

2

)2

+

(b +

1

2

)2

≤(

1

2

)2

.

Portanto, o lugar geometrico no plano complexo dado pela desigualdade Im(w) ≥ 1 e um circulo

de raio1

2e centro

(1

2, −1

2

).

5



Questao 3 20 pontosNa figura abaixo temos o triangulo isosceles ABC com a base AB medindo 6 cm e a altura hmedindo 5 cm, e um triangulo isosceles A′B′C ′ inscrito no triangulo isosceles ABC cujas basessao paralelas, isto e, AB ‖ A′B′, e o vertice C ′ e o ponto medio do lado AB.

A

sB

s

Cs

A′ s B′s

C ′s

(a) Determine a area do triangulo isosceles A′B′C ′ de altura h′ medindo 3 cm.

(b) Determine as medidas da base e da altura do triangulo isosceles A′B′C ′ de area maxima.

Resolucao

(a) Considerando a figura abaixo

A

sB

s

Cs

A′ s B′s

C ′s

Ds

Temos a seguinte relacao entre os triangulos semelhantes BCC ′ e B′CD

CC ′

BC ′ =CD

DB′ ⇐⇒ 5

3=

2

DB′ ⇐⇒ DB′ =6

5

Portanto a area do triangulo A′B′C ′, que vamos denotar por AT , e dada por:

AT =DC ′ ×A′B′

2=

12

5× 3

2=

18

5,

uma vez que A′B′ = 2×DB′.

6



(b) Temos a seguinte relacao entre os triangulos semelhantes BCC ′ e B′CD

CC ′

BC ′ =CD

DB′ ⇐⇒ 5

3=

5 − h′

b⇐⇒ b = 3 − 3

5× h′ ,

onde h′ e a altura do triangulo A′B′C ′ e b = DB′.

Assim, a area do triangulo A′B′C ′, que vamos denotar por AT , e dada por:

AT =h′ ×A′B′

2= h′ × ( 3 − 3

5× h′ ) = −3

5× (h′ )2 + 3× h′ ,

uma vez que A′B′ = 2× b.

Assim, devemos encontrar o valor h′v para o qual a funcao quadratica AT assume seu valormaximo. Logo,

h′v =5

2cm .

Portanto, a base do triangulo A′B′C ′ de area maxima e A′B′ = 3 cm e a altura e h′v.

7



Questao 4 20 pontosComplete a tabela abaixo com numeros naturais, de modo que a soma dos tres numeros de cadalinha e de cada coluna sejam iguais.

5

11

16 8

Resolucao

Inicialmente vamos completar a tabela da seguinte forma:

5 a b

c 11 d

16 e 8

Vamos denotar por S o valor dessa soma, assim obtemos as seguintes equacoes

5 + a + b = S (1)

c + 11 + d = S (2)

24 + e = S (3)

21 + c = S (4)

a + 11 + e = S (5)

b + d + 8 = S (6)

Note que da equacao (3), obtemos que S ≥ 24.

Das equacoes (3) e (4), obtemos

e = S − 24 e c = S − 21 . (7)

Substituindo c = S − 21 na equacao (2), obtemos

S − 21 + 11 + d = S ⇐⇒ d = 10 . (8)

Substituindo d = 10 na equacao (6), obtemos

b + 10 + 8 = S ⇐⇒ b = S − 18 . (9)

Substituindo b = S − 18 na equacao (1), obtemos

5 + a + S − 18 = S ⇐⇒ a = 13 . (10)

Note que substituindo a = 13 na equacao (5), obtemos e = S − 24 que e equacao (7), assimutilizamos todas as equacoes.

8



Finalmente, obtemos todas as solucoes do sistema linear (1)–(6), que possui um grau de liberdade,que sao dadas por:

a = 13 , b = S − 18 , c = S − 21 , d = 10 , e = S − 24 , (11)

para S = 24, 25, 26, 27, · · · .

Portanto, para S = 24, obtemos a seguinte tabela

5 13 6

3 11 10

16 0 8

para S = 25, obtemos a seguinte tabela

5 13 7

4 11 10

16 1 8

para S = 26, obtemos a seguinte tabela

5 13 8

5 11 10

16 2 8

e assim sucessivamente.

9



Questao 5 20 pontos

(a) Determine qual dos seguintes numeros reais e o maior a =√

3 ou b =3√

5

(b) Mostre onde esta o erro na demonstracao abaixo:

1

4>

1

8(1

2

)2

>

(1

2

)3

log10

((1

2

)2)

> log10

((1

2

)3)

2× log10

(1

2

)> 3× log10

(1

2

)

2 > 3

(c) Mostre que se p e um numero primo, entao√p e um numero irracional, isto e, nao pode

ser escrito na formaa

b,

onde a e b sao numeros inteiros positivos, com b 6= 0.

Resolucao

(a) Note que podemos escrever a =√

3 e b =3√

5 da seguinte forma:

a = 312 e b = 5

13 .

Agora tomando a6 e b6, obtemos

a6 = ( 312 )6 = 33 = 27 e b6 = ( 5

13 )6 = 52 = 25 .

Assim, temosa6 = 27 > b6 = 25 ⇐⇒ a > b ,

pois a =√

3 e b =3√

5 sao positivos.

(b) Note que na passagem da quarta desigualdade para a quinta desigualdade fizemos uma divisao

por log10

(1

2

)que e negativo. Logo, na quinta desigualdade devemos ter uma relacao de menor,

isto e, devemos inverter a desigualdade.

10



(c) Vamos supor que√p pode ser escrito como

√p =

a

b, b 6= 0 ,

na forma irredutıvel. Tomando o quadrado em ambos os membros da igualdade acima, obtemos

p =a2

b2⇐⇒ b2p = a2 ⇐⇒ b2p = a× a ,

para b 6= 0. Assim, como p e primo, temos que p divide a, isto e, a = k×p para algum k ∈ IN .

Tomando a2 = k2 × p2 e substituindo na igualdade b2p = a2, obtemos

b2p = k2p2 ⇐⇒ b2 = k2p ⇐⇒ k2p = b× b .

E, como p e primo, p tambem divide b.

Desse modo, temos que p divide a e p divide b, o que e uma contradicao pois consideramosque

√p =

a

b

na forma irredutıvel.

Portanto, mostramos que√p e um numero irracional, isto e, nao pode ser escrito na forma

a

b,

onde a e b sao numeros inteiros positivos, com b 6= 0.

11



Questao 6 20 pontos

(a) Sejam A uma matriz de ordem 3 × 3, X uma matriz de ordem 3× 1 e Y uma matrizde ordem 3× 1 dada por:

Y =

235

.

Sabendo que o sistema linear AX = Y possui uma solucao X dada por:

X =

010

,

determine a segunda coluna da matriz A.

(b) Determine os valores do parametro x de modo que a matriz A dada por:

A =

x x 11 x xx 1 x

tenha determinante diferente de zero.

Resolucao

(a) Vamos representar a matriz A da seguinte forma:

A =

a x bc y de z f

.

Desse modo, utilizando o conceito de produto de matrizes, obtemos

AX = Y ⇐⇒

a x bc y de z f

010

=

235

⇐⇒

xyz

=

235

,

uma vez que a matriz coluna X e uma solucao do sistema linear AX = Y .

(b) Calculando o determinante da matriz A obtemos

det(A) =

∣∣∣∣∣∣x x 11 x xx 1 x

∣∣∣∣∣∣ = 2x3 − 3x2 + 1 .

Assim, devemos determinar os valores de x para os quais o polinomio p(x) = 2x3 − 3x2 + 1 6= 0,que e equivalente a dizer que det(A) 6= 0 para esses valores de x.

12



Para isso, basta determinar inicialmente os zeros do polinomio p. Podemos verificar facilmenteque x1 = 1 e um zero do polinomio p. Assim, podemos decompor o polinomio p da seguinteforma:

p(x) = (x − 1)q(x) ,

onde q e um polinomio do segundo grau.

Dividindo o polinomio p pelo polinomio r(x) = x − 1 obtemos o polinomio

q(x) = 2x2 − x − 1 ,

que possui os seguintes zeros

x2 = 1 e x3 = −1

2.

Portanto, os valores de x para os quais o determinante da matriz A e diferente de zero erepresentado pelo seguinte conjunto

S =

{x ∈ IR / x 6= 1 e x 6= −1

2

},

uma vez que x = 1 e um zero duplo de p e x = −1

2e um zero simples do polinomio p.

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