Gabarito Prova Cálculo 2014 - Exame de Seleção PPGMNE/UFPR

8/13/2019 Gabarito Prova Clculo 2014 - Exame de Seleo PPGMNE/UFPR

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Universidade Federal do ParanSetor de tecnologiaPrograma de Ps-Graduao em Mtodos Numricos em Engenharia

Gabarito Exame de Seleo PPGMNE/2014Prof. Guilherme A. Pianezzer

QuestesQuesto 1. Calcule o seguinte limite:

() ( ) Sendo () Sendo () , ento

() ( ) E tambm

() ( ) Como

() ( ) () ( ) Ento no existe o limite da funo neste ponto.

Questo 2. Calcule, detalhadamente,

Neste caso,

Sendo , e analisando que quando , , ento

( ) Pois ( ) para inteiro.Por fim,

Questo 3. Usando a definio de derivada, mostre para que sendo ento .Para , temos

( ) ( ) ( )


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Utilizando expanso por binmio de Newton, pode-se escrever

Questo 4. . O consumo mdio de energia de uma geladeira comum, produzido pelas industrias York, aproximadamente

() Onde . ( ) em quilowatts-hora (kWh) por ano, onde medido em anos ( corresponde ao ano de ).Qual foi o consumo mdio de energia de uma geladeira no incio de 1972?

() (Ambos os casos foram considerados, mas a resoluo abaixo foi exemplificada para o primeiro caso.)

Mostre que o consumo mdio de energia de uma geladeira York decrescente ao longo do tempo.

Para mostrar que esta funo decrescente, deve-se mostrar que

() Para todo Para esta funo,

() ( )

Como a funo exponencial positiva para todos os pontos de seu domnio, conclu-se que a funo ( ) menor que zero paratodos os pontos do domnio e que, por consequncia, a funo ( ) decrescente para qualquer tempo.Todas as geladeiras produzidas a partir de 1 de Janeiro de 1990 devem ter um consumo mximo padro de energia de

, definido pela Lei Nacional de Manuteno de Aparelhos. Uma geladeira York satisfaz essa exigncia? Justifique.Mostrou-se que em ( ) o consumo de energia de uma geladeira York era de . Mostrou-se tambm que afuno que mede este consumo de energia decrescente. Logo conclu-se que no haver nenhum momento, a partir de ,em que esta funo assumir um valor maior que o mximo padro.

Outra maneira de responder esta questo procurando os pontos crticos. Ao fazer isso, nota-se que para esta funo nao hpontos crticos (A derivada da funo nunca zera, ela sempre negativa!). Sendo assim, sabe-se que os pontos de mximo e demnimo ocorrem nos extremos da funo (Nos pontos ou

) e basta mostrar que o mximo entre esses dois pontos

no supera o consumo mximo padro de energia.

Questo 5. A velocidade da propagao do som atravs do oceano com salinidade de 25 partes por milhar foi modelada pelaequao

Onde a velocidade do som (em metros por min) e a temperatura (em graus Celsius). Um mergulhador comea ummergulho tranquilo nas guas ocanicas e a temperatura da gua ao redor registrada no grfico a seguir. Estime a taxa devariao (em relao ao tempo) da velocidade do som atravs do oceano experimentada pelo mergulhador 20 minutos aps oincio do mergulho. Interprete os resultados.

Pela regra da cadeia,


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Como conhecido ( ), ento

Para Logo,

precisa ser estimada a partir do grfico. Como no temos condies de tirar a variao instantnea do grfico, podemos estim-la pela variao mdia:

Sendo assim, como as derivadas foram estimadas, o resultado final tambm uma estimao dada por:

( )

Isso significa que naquele momento, cada aumento de 1C na temperatura, causa um aumento de na velocidade depropagao do som neste meio.

Questo 6. Graas ao papel cada vez mais relevante do carvo como uma fonte de energia vivel, a produo de carvo temcrescido a uma taxa de

Bilhes de toneladas mtricas por ano anos aps (que corresponde a ). No fosse pela crise de energia, a taxa deproduo de carvo aps 1980 poderia ser de apenas

Bilhes de toneladas mtricas por ano. Determine quanto carvo excedente foi produzido entre 1980 e o final do sculo.

O carvo excedente ser dado por

( ) Portanto,

( ) [ ]

Questo 7. (15 pontos) Use a integral de Riemman e o Teorema do Valor Mdio para mostrar que, dado uma funo ( ) definida no intervalo , ento seu comprimento de arco dado por

() Pode-se aproximar o comprimento de um arco, dividindo este arco em vrias partes e aproximando cada parte por uma semi-retacujo comprimento dado por:

( ( ) ( )) ( ) Desta maneira, temos que


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