7/28/2019 Gabarito Prova de Clculo I - Engenharia Industrial Madeireira - UFPR

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Universidade Federal do Paran

Engenharia Industrial Madeireira

Clculo Diferencial e Integral I

Prof. Guilherme Augusto Pianezzer

Gabarito Primeira Prova

Questes

Questo 1.Mostre, usando o Teorema do Confronto, que

Para demonstrar esse resultado, pode-se partir da seguinte observao:

Um arco de circunferncia de raio unitrio. Dessa figura, verifica-se que

(1)

Onde e representam, respectivamente, a rea do tringulo formado pelosvrtices OAC e pelos vrtices OAG e representa a rea do setor circular OAC.

Assumindo que corresponde a medida do arco AC, sabendo que a rea de cada um dostringulos dada pelo produto da base pela altura dividido por dois e que rea de um setor

circular dado pelo produto da medida do arco pelo quadrado do raio dividido por 2, ento a

equao (1) se torna

Como , , , ento reescrevemos (1) como

Ao manipularmos esta expresso, podemos obter

Isso mostra que a funo

satisfaz uma das condies do teorema do confronto. Alm do

mais, como

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O teorema do confronto nos permite concluir que

Calcule o seguinte limite:

Este limite pode ser resolvido fazendo mudana de varivel. Uma das mudanas possves

considerar Para esta mudana, quando e

Assim,

Questo 2.A concentrao de um frmaco na corrente sangunea de um paciente horasaps a injeo

()

Em mg/cm.

Qual a concentrao do frmaco neste paciente aps 2 horas?

Essa concentrao dada por

()

Qual ser a concentrao do frmaco a longo prazo? Justifique sua resposta.

Para uma anlise da concentrao do frmaco a longo prazo, deve-se entender o que acontece

com () quando , ou seja

()

( )

( )

Como

Ento

()

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O que indica que a tendncia que o frmaco deixe de estar presente na corrente sangunea

do paciente.

Questo 3.A quantidade de oxignio de um lago dias aps despejarem detritos orgnicos de

() ( )( )

Por cento do nvel original.

Use o teorema do valor intermedirio para concluir que houve um instante em que a

quantidade de oxignio no lago foi de 80%. (Dica: Calcule() e())

Usando a dica, obtm-se que

() () Segundo o teorema do valor intermedirio, uma funo contnua que assume valores,

() (), em extremos de um intervalo, , tambm assume qualquer valor() entre() e() para algum entre Ou seja, se uma funo contnua teve, em algummomento, uma certa imagem, para que em um outro momento esta funo apresente uma

outra imagem ela ter que, obrigatoriamente, ter todos os valores intermedirios para algum

valor do domnio.

A funo desta questo contnua, pois funes polinomiais so contnuas e diviso de

funes polinomiais (Com denominador diferente de zero, o qual o caso) tambm o so.

Logo, essa funo satisfaz o teorema do valor intermedirio e se em um instante a quantidade

de oxignio no lago foi de 100% e em outro instante a quantidade de oxignio no lago foi de

75%, ento houve um instante que a quantidade de oxignio foi de 80%.

Em quais instantes a quantidade de oxignio foi de 80%?

Pergunta-se para qual ,()

Ao utilizar esta informao na expresso dada, chega-se a uma equao do segundo grau cuja

soluo

( )

Questo 4.Resolva os seguintes limites, justificando cada tcnica utilizada:

Para resolver este limite, fatora-se o numerador

()()

( )

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Como este limite um resultado apresentado na vizinhana de (E no em ), pode-se simplificar este resultado obtendo:

( )

E

Para este limite, usa-se a tcnica de multiplicao pelo conjugado:

( )

( )

( )

Essa multiplicao no altera o resultado do limite por tratar-se de uma multiplicao pelo

elemento neutro da multiplicao (O nmero 1) escrita de uma maneira conveniente.

Desenvolvendo:

( )

( )

Questo 5. Defina funo contnua e discuta sob quais condies uma funo no

contnua.

Uma funo contnua quando satisfaz as seguintes condies:

(1) A funo definida para (2) O limite da funo existe para (3) O limite da funo em igual o valor da funo em

Quando umas das situaes acima falsa, a funo no contnua.