Geometria EuclidianaEspacial

Manoel Azevedo

1999

b

Apresentação

Este é um trabalho destinado a alunos que estão fazendo o curso de licenciatura oubacharelado em Matemática, ou, àqueles que se interessam por geometria. O assuntoaqui tratado, Geometria Euclidiana Espacial, é uma continuação natural da GeometriaEucilidiana Plana, a qual é, por conseguinte, pré-requisito para compreensão deste mate-rial.

Procuramos um meio termo entre uma abordagem intuitiva e formal. Em algunsmomentos somos formais, notadamente no Capítulo 1, em outros intuitivo. O trabalhoestá dividido em quatro capítulos. Ao final de cada um deles propomos exercícios quetentamos seqüenciá-los pela ordem crescente de dificuldade. Ao todo são 126. As respostasse encontram no final do livro. Outrossim, apresentamos ao longo do desenvolvimento doassunto, sempre que oportuno, algumas pequenas notas históricas relacionadas com otema. E para facilitar a busca de assuntos relacionados à matéria tivemos o cuidado deconfeccionar também um índice por ordem alfabética que se encontra nas últimas páginas.

Espero com esta obra, modestamente, dar uma contribuição ao ensino da Matemática.As críticas construtivas ou sugestões para melhoria dela serão bem aceitas. Por fim,quero agradecer às pessoas que me incentivaram a escrevê-la e a todos que direta ouindiretamente contribuiram para sua existência.

Fortaleza, 1999. O Autor

Índice

1 Paralelismo e Perpendicularismo 1

1.1 Noções de Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Conjunção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Disjunção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 Negação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.4 Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.5 Bicondicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Entes Primitivos e Axiomas da Geometria Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Paralelismo e Perpendicularismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Cilindro, Cone e Esfera 23

2.1 Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Volume e Área de Superfície 39

3.1 A Noção de Volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Volume do Paralelepípedo Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Volume do Cilindro, Cone e Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4 Área de Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Poliedros 55

4.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.1 Representação Plana de um Poliedro Convexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Relação de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3 Poliedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Respostas 67

Bibliografia 71

Índice Remissivo 73

Capítulo 1Paralelismo e Perpendicularismo

Diz a tradição que Tales de Mileto (624-548 a.C.) foi o precursor da geometria peladedução. À ele atribui-se a autoria da demonstração, entre outros teoremas, de que“um ângulo inscrito num semi-círculo é um ângulo reto”. Não existe documento quecomprovem estas autorias. Outro matemático antigo, também precursor da geometriadedutiva, ao qual se lhe atribui a autoria da demonstração do famoso teorema - numtriângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos- é Pitágoras de Samos (580-500 a.C.). Devido à perda de documentos daquela época epelo fato de que a escola fundada por ele era secreta, o teorema de Pitágoras assim comoo da divisão áurea de um segmento, podem ter sido demonstrados por seus discípulosou até mesmo pelos babilônios. Dois séculos depois, Euclides de Alexandria publicara otexto mais influente de todos os tempos: “Os Elementos” (300 a.C.).

Depois da Bíblia, é o livro com mais edições publicadas (provavelmente mais demil). Os elementos de Euclides estão divididos em treze livros, dos quais somente os seisprimeiros tratam de geometria plana elementar. Euclides organizou este assunto em 5postulados, 5 “noções comuns” e mais de 150 proposições. As noções comuns são tam-bém princípios. A diferença destas para os postulados reside no fato de que as noçõescomuns são mais evidentes. Um tratamento moderno não faz esta distinção. Algumascríticas podem ser feitas à abordagem do assunto por Euclides. Por exemplo, os conceitosprimitivos foram colocados como definições. Várias proposições foram demonstradas uti-lizando princípios não estabelecidos no texto tais como a unicidade da reta passando pordois pontos distintos dados. Contudo, por dois mil anos, Os Elementos constituiu o maisrigoroso tratado lógico dedutivo da matemática elementar.

Neste trabalho, adotamos um tratamento intermediário entre intuitivo e formal. Nãoachamos adequado uma abordagem somente intuitiva. Por exemplo, o uso de figuras emgeometria espacial, em certas situações, é impraticável para tirarmos conclusões. Emcasos dessa natureza, nada melhor do que usar um raciocínio lógico-dedutivo. Utilizamos,neste primeiro capítulo, uma abordagem axiomática (formal). O entendimento de umtratamento assim requer um mínimo de noções de lógica e o que significa esta abordagem.Por isso, iniciamo-lo com um parágrafo no qual damos estas noções.

1. Noções de Lógica

Def. 1 Chama-se proposição toda oração afirmativa que pode ser classificada em um esomente um dos seguintes valores lógicos: verdadeira (V) ou falsa (F).

Exemplo 1 Fortaleza é a capital do estado do Ceará.

Exemplo 2 O Brasil possui, exatamente, 20 mil habitantes.

Exemplo 3 3 + 2 = 5.

1.1 Noções de Lógica

Exemplo 4 Todo retângulo é um quadrado.

As proposições são usualmente indicadas pelas letras p, q , r, ...

1.1. Conjunção

Def. 2 Dadas duas proposições p e q, definimos a conjunção de p e q e escrevemos p∧ qa proposição: p e q; ela é obtida intercalando-se o conectivo “e” entre as proposições p eq.

Postulamos o valor lógico da conjunção p ∧ q conforme a tabela de valores lógicosabaixo.

p q p ∧ qV V VV F FF V FF F F

Observemos que a conjunção de duas proposições só é verdadeira quando ambas sãoverdadeiras.

1.2. Disjunção

Def. 3 A disjunção de duas proposições p e q denotada por p∨q é definida intercalando-se o disjuntivo “ou” entre p e q; ei-la: p ou q.

Postulamos seu valor lógico de acordo com a tabela abaixo.

p q p ∨ qV V VV F VF V VF F F

Notemos que a disjunção de duas proposições só é falsa quando ambas são falsas.

1.3. Negação

Def. 4 Definimos a negação de uma proposição p e a indicamos por ∼ p como se segue:“É falso que p” ou, quando possível, colocando-se a palavra “não” antes do verbo daproposição p.

Assim sendo, ∼ p diz precisamente o contrário de p. Postulamos seu valor lógicocomo sendo o oposto ao valor lógico de p. Confiramos a tabela abaixo.

p ∼ pV FF V

2

1.1 Noções de Lógica

1.4. Condicional

Def. 5 Outra proposição que se define a partir de duas proposições p e q dadas é aseguinte: (∼ p) ∨ q. Indicamo-la por p → q. Ela também pode ser lida de outros modos:se p então q; p é condição suficiente para q; q é condição necessária para p.

Não postulamos e sim calculamos sua tabela de valores lógicos. Vejamos abaixo.

p q ∼ p p→ qV V F VV F F FF V V VF F V V

Vale notarmos que p → q só é falsa quando p é verdadeira e q é falsa. Se p → q éverdadeira, dizemos então que p implica q e podemos indicá-la por p⇒ q.

Def. 6 Dada a proposição p→ q, a proposição q → p é chamada a recíproca de p→ q.

1.5. Bicondicional

Def. 7 Podemos ainda, a partir de duas proposições p e q, definir a proposição p se esomente se q, denotada por p ↔ q, como sendo (p → q) ∧ (q → p). Ela pode ser ditatambém da seguinte maneira: p é condição necessária e suficiente para q.

Veja a seguir sua tabela de valores lógicos.

p q p→ q q → p p↔ qV V V V VV F F V FF V V F FF F V V V

Observemos que p ↔ q é verdadeira quando as proposições p e q são ambas ver-dadeiras ou ambas falsas. Neste caso, dizemos que p é equivalente a q e podemos denotá-lapor p ⇔ q. Por conseguinte, duas proposições são equivalentes quando e apenas quandoelas possuem o mesmo valor lógico.

Podemos formar mais proposições a partir de outras por combinações dos conec-tivos, disjuntivos, negações, condicionais, etc. Abaixo mostramos exemplos de proposiçõesequivalentes.

Exemplo 5 ∼ (p ∨ q)⇔ (∼ p) ∧ (∼ q)

p q ∼ p ∼ q p ∨ q ∼ (p ∨ q) (∼ p) ∧ (∼ q)V V F F V F FV F F V V F FF V V F V F FF F V V F V V

3

1.1 Noções de Lógica

Exemplo 6 ∼ (p ∧ q)⇔ (∼ p) ∨ (∼ q)

p q ∼ p ∼ q p ∧ q ∼ (p ∧ q) (∼ p) ∨ (∼ q)V V F F V F FV F F V F V VF V V F F V VF F V V F V V

Exemplo 7 ∼ (p→ q)⇔ p ∧ (∼ q)

p q ∼ q p→ q ∼ (p→ q) p ∧ (∼ q)V V F V F FV F V F V VF V F V F FF F V V F F

Os exemplos 5, 6 e 7 nos fornecem substitutos para a negação, respectivamente, dadisjunção, conjunção e do condicional de duas proposições. Notemos, por exemplo, quepara ∼ (p → q) ser verdadeira, é necessário e suficiente que p e ∼ q , simultaneamente,sejam verdadeiras; assim como para que ∼ (p ∧ q) seja verdadeira, basta que pelo menosuma das proposições ∼ p ou ∼ q seja verdadeira, isto é, p ou q seja falsa. Vejamos maisexemplos.

Exemplo 8 (p→ q)⇔ ((∼ q)→ (∼ p))

p q ∼ q ∼ p p→ q (∼ q)→ (∼ p)V V F F V VV F V F F FF V F V V VF F V V V V

Exemplo 9 Sendo f falsa, temos: (p→ q)⇔ (((∼ q) ∧ p)→ f)

p q f ∼ q (∼ q) ∧ p p→ q ((∼ q) ∧ p)→ fV V F F F V VV F F V V F FF V F F F V VF F F V F V V

Exemplo 10 ∼ (∼ p)⇔ p

Exemplo 11 (p ∨ q)⇔ (q ∨ p)

Exemplo 12 (p↔ q)⇔ ((p→ q) ∧ ((∼ p)→ (∼ q)))

Exemplo 13 (p ∨ q)⇔ ((∼ p)→ q)

Exemplo 14 ((p→ q) ∧ (q → r))⇒ (p→ r)

A verificação destas últimas afirmações deixamos a cargo do leitor.

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1.1 Noções de Lógica

Na organização de um tratamento formal de uma teoria matemática, como é o casodeste capítulo, existem os chamados conceitos primitivos. Eles não são definíveis e apenassão perceptíveis. A partir deles é que definimos os demais conceitos. Eles são os pon-tos de partida da teoria. A razão de suas existências reside no seguinte argumento: parase definir um certo conceito, utilizamos outros já estabelecidos. Para definir estes, pre-cisamos de outros e assim por diante. Sendo finita a quantidade de conceitos, decorre queesbarraremos naqueles não expressos a partir de outros. São esses os conceitos primitivos.Por exemplo, na geometria, para se definir triângulo, utiliza-se entre outros o conceito desegmento de reta. Para definir este, necessita-se do conceito de reta que é primitivo.

Além dos conceitos primitivos, há os chamados princípios, também denominados depostulados ou axiomas. Os princípios são propriedades envolvendo os conceitos primitivosou outros já estabelecidos, ou, simplesmente, propriedades, não carentes de demonstra-ção. Eles geralmente são bem aceitáveis, embora isto não seja uma condição necessária.Exemplo de um axioma: por dois pontos distintos passa uma única reta. Esse postuladofornece uma propriedade relacionando dois entes primitivos da geometria: ponto e reta.

Os resultados aos quais chega uma teoria depende dos princípios que são estabelecidos.Por exemplo, na geometria euclidiana plana chega-se à conclusão de que a soma dosângulos internos de um triângulo é igual a 180◦. Já na geometria de Lobatchewski -Bolyai conclui-se que esta soma é menor do que 180◦. A razão dessa divergência deresultados reside na diferença dos axiomas em que se basearam as teorias.

Também fazem parte do desenvolvimento formal de uma teoria matemática as propo-sições (no sentido que definimos no início deste parágrafo), as quais são carentes de umaprova (demonstração) que se baseia nos princípios ou em outras proposições já provadas.Em geral, elas são do tipo p→ q. A proposição p é chamada de hipótese e a q de tese.

Como provar uma proposição do tipo p → q ? Vejamos. Se p é falsa, então p → qé sempre verdadeira indepentemente de q ser verdadeira ou falsa de acordo com a tabelade valores lógicos. Se p é verdadeira, para que p → q seja verdadeira é necessário esuficiente que q seja verdadeira. Por conseguinte, demonstrar uma proposição do tipop→ q, consiste em admitir p verdadeira e a partir daí concluir que q é verdadeira.

Às vezes, é mais conveniente, para provar a proposição p→ q, usar o seguinte argu-mento, baseado na equivalência do exemplo 9: negando a tese e admitindo a hipótese, aproposição fica demonstrada se isto acarretar em uma proposição falsa (contradição). Aidéia é que se chegamos a uma contradição, então a negação da tese não pode ser ver-dadeira e portanto a tese é verdadeira. Este argumento chama-se demonstração indiretaou demonstração por absurdo. Podemos também utilizar a equivalência do exemplo 8 parademonstrar uma proposição do tipo p→ q.

Chamamos ainda a atenção para o exemplo 13 que nos fornece um argumento parademonstrar proposições do tipo p ∨ q. Vejamos que para esta ser verdadeira basta anegação de p implicar em q.

Apresentaremos agora terminologias para certas proposições. Chama-se teorema todaproposição de grande relevância; lema é uma proposição que será utilizada na demons-tração de outra ou de um teorema; corolário é a denominação de toda proposição que éconseqüência imediata de outra ou de um teorema; escólio é qualquer proposição extraídada demonstração de outra.

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1.2 Entes Primitivos e Axiomas da Geometria Euclidiana

Um dos entes primitivos da matemática é o conceito de conjunto ou coleção. En-tendemos por conjunto toda coleção de objetos bem definidos. Exemplos: o conjuntodos seres humanos que moram no Brasil; o conjunto formado pelos alunos de uma dadauniversidade; o conjunto dos grãos de areia existentes no nosso planeta; conjunto consti-tuído de conjuntos; etc. Cada objeto da coleção, que também é um conceito primitivo,é chamado de elemento do conjunto. Se o elemento a é membro do conjunto A, dizemosque a pertence a A e escrevemos a ∈ A para indicar esse fato. Vale ressaltar que a relaçãode pertinência é também um conceito primitivo.

Chama-se sentença aberta toda proposição p(x) aplicável aos elementos x de umconjunto A dado explícito ou implicitamente. Exemplo: x é um homem alto. Nesseexemplo, o conjunto que contém o elemento x está implícito.

Podemos inserir às sentenças abertas os chamados quantificadores: universal indicadopor ∀ ou existencial denotado por ∃. O símbolo ∀ significa “para todo” ou “para qualquerque seja” ou ainda “para cada” enquanto que ∃ indica “existe um” ou “existe pelo menosum” ou ainda “para algum”. Se p(x) é uma sentença aberta, então “∀x, p(x)” ou “∃ x talque p(x)” são proposições quantificadas. Vale salientarmos que a negação de “∀x, p(x)” é“∃ x tal que ∼ p(x)” enquanto que a negação de “∃ x tal que p(x)” é “∀x,∼ p(x)”. Porexemplo, a negação de “todo homem é alto” é “existe um homem que não é alto”.

2. Entes Primitivos e Axiomas da Geometria Euclidiana

AXIOMA 1 Existem um conjunto, denominado espaço, e duas coleções de subconjuntosdo espaço satisfazendo às propriedades enunciadas nos axiomas subseqüentes.

Os elementos do espaço são chamados de pontos, os de uma das coleções referidas noaxioma 1 são denominados retas e os da outra, planos. Vale observar que os elementosdas retas e dos planos são pontos.

Ponto, reta e plano são os conceitos primitivos da geometria euclidiana plana. Ospontos são denotados usualmente por letras maiúsculas A,B,C, ...; as retas por letrasminúsculas r, s, t, ...; e os planos por letras gregas π,α,β, .... Intuitivamente, podemosimaginar que uma “porção” de um plano é a superfície de uma mesa ou uma folha depapel estirada; uma “porção” de uma reta é um risco feito nesta folha com o auxílio deuma régua, ou, um cordão esticado; e um ponto é um furinho feito com a ponta de umalfinete numa folha ou um pingo feito com uma caneta, etc. O espaço pode ser pensadocomo sendo nosso ambiente.

Diremos que dois ou mais pontos são coplanares ou colineares, respectivamente, sepertencem a um mesmo plano ou a uma mesma reta; diremos ainda que dois ou maisconjuntos não vazios de pontos são coplanares ou colineares se todos os seus pontos são,respectivamente, coplanares ou colineares. Se um ponto A pertence a uma reta r ou a umplano π é usual dizer que r ou π passa por A.

Estabelecida essa linguagem inicial, fixaremos a seguir alguns princípios.

AXIOMA 2 Por dois pontos distintos passa uma única reta.

Se A e B são pontos distintos pertencentes à reta r, denotamos r =←→AB ou r =

←→BA.

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1.2 Entes Primitivos e Axiomas da Geometria Euclidiana

AXIOMA 3 Por três pontos não colineares passa um único plano.

AXIOMA 4 Se o plano π passa por dois pontos distintos A e B, então←→AB ⊂ π.

AXIOMA 5 Se a interseção de dois planos é não vazia, então esta contém pelo menosdois pontos distintos.

AXIOMA 6 Cada reta contém pelo menos dois pontos distintos; todo plano contém nomínimo três pontos não colineares; o espaço contém pelo menos quatro pontos distintosentre si não coplanares e não colineares.

Estabeleceremos a seguir resultados decorrentes destes axiomas.

Como conseqüência do axioma 2, podemos concluir que a interseção de duas retasdistintas é um conjunto unitário ou o conjunto vazio. No primeiro caso, dizemos que elassão concorrentes e no segundo dizemos que são reversas se não são coplanares, e, paralelas(e distintas) se são. Usaremos a notação r//s para indicar que uma reta r é paralela auma reta s.

Passemos agora a analisar as possibilidades acerca da interseção de dois planos dis-tintos α e β. Ela poder ser ou não vazia. No caso de ser vazia, dizemos que os planossão paralelos (e distintos) e escrevemos α//β. Se não, o axioma 5 garante que esta inter-seção contém pelo menos dois pontos distintos A e B. Pelo axioma 4, podemos concluirque←→AB ⊂ α e

←→AB ⊂ β, donde,

←→AB ⊂ α ∩ β. Na realidade,

←→AB = α ∩ β. De fato, de

acordo com o axioma 3, nenhum ponto fora da reta←→AB (isto é, nenhum ponto não per-

tencente a←→AB) pode pertencer a α ∩ β, uma vez que α 6= β. Em resumo, a interseção

de dois planos distintos é vazia ou é uma reta. No caso de ser uma reta, diremos que osplanos são concorrentes.

O que pode ser a interseção de uma reta com um plano? Respondamos. Se ela contémdois pontos, então, pelo axioma 4, a reta está contida no plano, donde, a interseção é aprópria reta. Restam as seguintes possibilidades: vazia ou conjunto unitário. Na primeiradizemos que a reta e o plano são paralelos e na segunda dizemos que a reta fura o planoou ela é secante à ele. Adotaremos a notação r//π para indicar que uma reta r é paralelaa um plano π.

Existe um único plano contendo uma reta e um ponto fora desta, dados, assim comohá um único plano contendo duas retas concorrentes dadas. Justifiquemos a primeiraafirmação. Pelo axioma 6, existem dois pontos distintos A e B pertencentes à reta dada.Seja C o ponto fora desta. Assim sendo, A,B e C não são colineares. Pelo axioma 3,existe um único plano que contém A,B e C. Este também contém a reta, graças aoaxioma 4. A unicidade segue-se porque todo plano que contém

←→AB e C contém A,B e C.

Provemos agora a segunda assertiva. Sejam r e s as retas concorrentes e A ∈ r∩s. SejamB ∈ r − {A} e C ∈ s − {A}, usando o axioma 6. Temos aí três pontos não colineares:A,B e C. O plano π determinado por A,B e C contém r e s. Qualquer que seja o planocontendo r e s, contém A,B e C e, por conseguinte, é igual a π.

Também, dadas duas retas paralelas existe um único plano que as contém. Deixamosa prova deste fato como exercício.

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1.3 Paralelismo e Perpendicularismo

AXIOMA 7 (Postulado de Euclides) Por um ponto fora de uma reta passa uma únicareta paralela à reta dada.

Levou-se a crer que o postulado de Euclides, o quinto de seu trabalho, pudesseser demonstrado a partir dos quatro outros. De modo que matemáticos famosos, quepassaram-se em quase dois mil anos, o tentaram. Somente no século XIX é que doismatemáticos, trabalhando independentemente, provaram a independência do quinto pos-tulado. Foram eles, Nicolai Lobachevsky (1793 - 1856), russo, e o húngaro Johan Bolyai(1802 - 1860). Foi com o artigo “On the Principles of Geometry ” em 1829 publicadopor Lobachevsky, que ficou provado definitivamente que o quinto postulado não podia serobtido a partir dos demais. A prova consistiu em substituí-lo por outro que lhe é contra-ditório e a partir disto demonstrou-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo émenor do que 180◦, resultado este que entra em choque com o teorema da geometria eu-clidiana plana que afirma ser igual a 180◦ esta soma. A chamada geometria não-euclidiananascia oficialmente com aquele artigo.

3. Paralelismo e Perpendicularismo

Doravante, admitiremos todos os resultados concernentes à geometria euclidianaplana. Passemos aos teoremas básicos acerca de paralelismo e perpendicularismo deretas ou planos que são assuntos sob os cuidados da geometria euclidiana espacial.

TEOREMA 1 Sejam r uma reta paralela a um plano π e P ∈ π. Então, a reta paralelaa r passando por P está contida em π.

Prova. Seja α o plano determinado por P e r. Temos que π e α são concorrentes.Seja s = α ∩ π.

π Ps

r

Pelo fato de s ⊂ π e r ser paralela a π, segue-se que s ∩ r = ∅ e pelo fato de s e r seremcoplanares (estão contidas em α), vem que s e r são paralelas. Desde que P é comum aα e π, decorre que P ∈ s. Assim sendo, a reta paralela a r passando por P está contidaem π. ¥

TEOREMA 2 Se uma reta r é paralela a um plano π, então existe uma reta contidaem π paralela a r (e distinta).

Prova. Seja P um ponto qualquer de π. Pelo Teorema 1, a reta paralela a r passandopor P está contida em π. Logo, segue-se o resultado. ¥

TEOREMA 3 Se uma reta r é paralela a uma reta r0 contida num plano π e não estácontida nesse plano, então r é paralela a π.

Prova. Por absurdo, suponhamos que r fura π. Seja {P} = r ∩ π. Seja α o planodeterminado por r e r0. Temos: r0 = α∩ π. Sendo P ∈ r ∩ π e r ⊂ α, vem que P ∈ α∩ π.

8

1.3 Paralelismo e Perpendicularismo

Como r0 = α ∩ π, segue-se que P ∈ r0. Isto é uma contradição ao fato de P ∈ r e r serparalela (e distinta) a r0. ¥

TEOREMA 4 Sejam r e s, e, u e v pares de retas concorrentes. Se r//u e s//v, entãoos planos determinados por r e s, e, u e v são paralelos ou coincidentes.

Prova. Sejam α o plano determinado por r e s e β o plano determinado por u e v.Suponhamos que α 6= β. Devemos mostrar que α//β. Antes, mostraremos que r não estácontida em β. Por absurdo, suponha que r ⊂ β. Assim sendo, teremos necessariamentes ⊂ β, pois do contrário, como s é paralela a uma reta contida em β, pelo Teorema 3,decorreria que s//β, o que seria uma contradição ao fato de um ponto de s pertencer ar e r ⊂ β. Posto que r ⊂ β e s ⊂ β, então α = β. Contradição! Portanto, r 6⊂ β. Istoimplica, de acordo com o Teorema 3, que r//β, já que r é paralela a uma reta contida emβ. Dado que s tem um ponto em comum com r e r//β, segue-se que s 6⊂ β e daí, peloTeorema 3, s//β, uma vez que s é paralela a uma reta contida em β. Enfim, r e s sãoretas paralelas a β.

α

s

r

β

v

u

Para encerrar a demonstração, suponhamos, por absurdo, que α e β não são paralelos.Como são distintos, seja t = α ∩ β. Então, t, r e s são coplanares. Como r e s sãoconcorrentes, t não é simultaneamentre paralela a r e s. Assim, t é concorrente a umadelas, já que t é distinta de ambas. Digamos, r. Seja {P} = r∩ t. Isto é uma contradiçãoao fato de r//β. ¥

TEOREMA 5 Por um ponto não pertencente a um plano, passa um único plano para-lelo ao plano dado.

Prova. (Existência) Sejam P um ponto e π um plano tais que P /∈ π. Sejam u ev retas concorrentes contidas em π e r e s as retas passando por P, respectivamente,paralelas a u e v. É óbvio que r e s não estão contidas no plano π. Pelo teorema anterior,o plano α determinado por r e s é paralelo a π.

(Unicidade) Seja β um plano paralelo a π passando por P. Mostraremos que β = α.É claro que as retas concorrentes u e v contidas em π são paralelas ao plano β. PeloTeorema 1, as respectivas paralelas a u e v passando por P estão contidas em β, uma vezque P ∈ β. Essas paralelas são r e s. Posto que duas retas concorrentes determinam umúnico plano, segue-se que β = α. ¥

TEOREMA 6 Se uma reta fura um plano, fura também qualquer plano paralelo a esseplano.

Prova. Sejam α e β planos paralelos e r uma reta que fura o plano α num ponto P.Por absurdo, suponhamos que r não fura o plano β. Como P ∈ r e P /∈ β, então r 6⊂ β,logo, r//β. Seja s ⊂ β tal que s//r. Desse modo, temos: P ∈ α, s//α (pois s ⊂ β e β//α)e r a paralela a s passando por P. Pelo Teorema 1, segue-se que r ⊂ α. Contradição! ¥

9

1.3 Paralelismo e Perpendicularismo

TEOREMA 7 Se s 6= t, r//s e r//t, então s//t.

Prova. Inicialmente, vamos mostrar que s ∩ t = ∅. Do contrário, teríamos duasretas distintas, s e t, paralelas a r passando por um mesmo ponto fora de r. Isto iriacontradizer o axioma das paralelas (axioma 7). Logo, s ∩ t = ∅. Resta provarmos que se t são coplanares. Sejam A ∈ s e B ∈ t. Sejam u =

←→AB e α o plano determinado por u

e s. Distinguiremos dois casos:

Caso 1. r ⊂ α. O plano β contendo t e r tem um ponto em comum com α, o ponto B, ea reta r, em que B /∈ r. Desde que uma reta e um ponto fora desta determinam um únicoplano, segue-se que α = β e, portanto, s e t são coplanares.

Caso 2. r 6⊂ α.

u

r

s

t

A

B

α

Sendo r//s, pelo Teorema 3, decorre que r//α. Assim sendo, pelo Teorema 1, a retaparalela a r passando por B ∈ α está contida em α. Essa reta é t. Por conseguinte, t e sestão contidas em α. ¥

TEOREMA 8 Sejam r e s, e, u e v pares de retas concorrentes. Se r//u e s//v, então∠ (r, s) = ∠ (u, v) .

Prova. Sejam {P} = r ∩ s e {Q} = u ∩ v. Se os planos que contêm r e s, e, u ev são iguais, o resultado é fácil de demonstrar. Deixamos a prova detalhada do teoremapara este caso como exercício. Suponhamos que os planos são distintos. Seja α o planoque contém r e u, e, β o que contém s e v.

α

β

s

r u

vA

C

B

D

P Q

Temos←→PQ = α ∩ β. Sejam A ∈ r e B ∈ u pontos pertencentes a um mesmo semi-plano

determinado por←→PQ em α tais que AP ≡ BQ. Desse modo, ABQP é um paralelogramo,

donde,←→AB//

←→PQ. Sejam C ∈ s e D ∈ v pontos pertencentes a um mesmo semi-plano de-

terminado por←→PQ em β tais que CP ≡ DQ. Assim sendo, CDQP é um paralelogramo,

10

1.3 Paralelismo e Perpendicularismo

donde,←→CD//

←→PQ. Dessa maneira, temos, pela transitividade do paralelismo entre retas,

que←→AB//

←→CD. Dado que r//u e s//v, vem, conforme o Teorema 4, que os planos deter-

minados por r e s, e, u e v são paralelos, logo,←→AC ∩ ←→BD = ∅. Posto que

←→AC e

←→BD

são coplanares, segue-se que←→AC//

←→BD. Assim sendo, ABDC é um paralelogramo, donde,

AC ≡ BD. Logo, APC ≡ BQD (L.L.L.) e, por conseguinte, A bPC ≡ B bQD. Portanto,∠ (r, s) = ∠ (u, v) . ¥

Def. 8 Diremos que uma reta r que fura um plano π num ponto O é perpendicular a πem O ou, simplesmente, perpendicular a π se toda reta contida em π passando por O éperpendicular a r. Nesse caso, diremos ainda que O é o pé da perpendicular r em π.

TEOREMA 9 Seja π o plano determinado por duas retas concorrentes r e s no pontoO. Se uma reta t é perpendicular a r e a s em O, então t é perpendicular a π em O.

Prova. Seja u uma reta qualquer contida em π passando por O. Mostraremos quet ⊥ u. Podemos supor, sem perda de generalidade, que u 6= r e u 6= s. Tomemos em re s, respectivamente, pontos A e B tais que A e B se encontram em semi-planos abertosopostos em relação a u.

rs

u

t

A BCO

D

D’

O segmento AB intercepta u num ponto C entre A e B. Sejam D e D0 pontos distintosem t tais que O é ponto médio de DD0. Sendo t perpendicular a r, segue-se, pelo casoL.A.L. de congruência de triângulos, que AOD ≡ AOD0 e sendo t perpendicular a s,decorre, por L.A.L., que BOD ≡ BOD0. Desse modo, AD = AD0 e BD = BD0, donde,por L.L.L., ABD ≡ ABD0 e, portanto, B bAD ≡ B bAD0. Isto acarreta, por L.A.L., queCAD ≡ CAD0, por conseguinte, CD = CD0. Assim sendo, por L.L.L., COD ≡ COD0.Este fato implicará que C bOD é reto e, portanto, t ⊥ u. ¥

TEOREMA 10 Seja P um ponto pertencente a um plano π. Então, existe uma únicareta r passando por P perpendicular a π.

Prova. (Existência) Sejam A ∈ π, em que A 6= P , B /∈ π e α o plano determinadopor←→PA e B. Sejam u ⊂ α a reta perpendicular a

←→AP passando por P e v ⊂ π a reta

11

1.3 Paralelismo e Perpendicularismo

perpendicular a←→AP passando por P.

P

A

B

α

u

π

v

β

r

Temos que u e v são retas concorrentes em P. Seja β o plano determinado por u e v er ⊂ β a reta perpendicular a v passando por P. Nessa construção, observemos que

←→PA ⊥ u

e←→PA ⊥ v, logo,

←→PA é perpendicular a qualquer reta contida em β passando por P. Em

particular,←→PA ⊥ r. Agora, notemos que r é perpendicular a duas retas concorrentes

contidas em π, a saber:←→PA e v. Por conseguinte, r é perpendicular a π e passa por P.

(Unicidade) Seja s uma reta perpendicular a π passando por P. Mostraremos que r = s.Por absurdo, suponhamos que r 6= s. Assim, r e s concorrem ao ponto P em π. Seja γ oplano determinado por r e s. Temos que γ é concorrente a π. Seja t = π∩γ. Desse modo,r, s e t são coplanares (estão em γ), em que r e s são perpendiculares a t no ponto P.Contradição! ¥

TEOREMA 11 Sejam r e s retas distintas, em que r é perpendicular a π. Então,s//r ⇔ s ⊥ π.

Prova. (⇒) Seja α o plano determinado por r e s. Como r fura π, então α éconcorrente a π. Seja t = α ∩ π. Assim, r, s e t são coplanares (estão contidas em α),sendo que t ⊥ r. Como r//s, então t ⊥ s. Sejam {A} = r ∩ t e {B} = s ∩ t. Sejam u e vem π, respectivamente, perpendiculares a t em A e B.

π

α

r s

tu v

A B

Desse modo, u//v e como r//s, segue-se que ∠ (r, u) = ∠ (s, v), de acordo com o Teorema8. Desde que, por hipótese, r ⊥ u, então s ⊥ v. Enfim, s é perpendicular a duas retasconcorrentes contidas em π, a saber: t e v. Por conseguinte, s ⊥ π.

(⇐) Sejam A e B, respectivamente, os pés das perpendiculares r e s em π. Seja s0 areta paralela a r passando por B. Pela implicação (⇒) deste teorema, segue-se que s0 é

12

1.3 Paralelismo e Perpendicularismo

perpendicular a π. Sendo s e s0 pependiculares a π passando por B ∈ π decorre, pelaunicidade do Teorema 10, que s = s0. Logo, s é paralela a r. ¥

TEOREMA 12 Por um ponto fora de um plano, passa uma única reta perpendiculara esse plano.

Prova. (Existência) Sejam α um plano e P /∈ α um ponto. Seja β o plano paraleloa α passando por P. Seja r a reta perpendicular a β passando por P.

u

v

α

β

r

P

Q

Como α//β, então r fura também α, digamos, num ponto Q. Seja u ⊂ α uma retaqualquer passando por Q. Vamos mostrar que r ⊥ u. Seja v a reta paralela a u passandopor P. Sendo u//β, vem, pelo Teorema 1, que v ⊂ β. Desde que r ⊥ β, segue-se quer ⊥ v. Posto que r é transversal às paralelas u e v, decorre que r ⊥ u. Conclusão: r éperpendicular a α e passa por P.

(Unicidade) Seja r0 uma reta perpendicular a α passando por P. Devemos mostrar quer0 = r. Para isso, basta mostrarmos que Q ∈ r0. Seja Q0 o pé da perpendicular r0 em α.Mostraremos que Q0 = Q. Por absurdo, suponhamos que Q0 6= Q. Assim, a soma dosângulos internos do triângulo PQQ0 é maior do que 180◦. Contradição! Logo, Q0 = Q,donde, Q ∈ r0 e, portanto, r0 = r. ¥

ESCÓLIO. Se uma reta é perpendicular a um plano π, então é perpendicular a qualquerplano paralelo a π.

Def. 9 Sejam α um plano e P /∈ α um ponto. Definimos a distância de P a π, denotadapor d (P,π), como sendo a distância de P ao pé da perpendicular a α passando por P. SeP ∈ α a distância de P a π é definida como sendo zero.

Observe que a distância de P a π, nos dois casos, é a menor das distâncias de P aospontos de π.

Def. 10 Sejam α e β dois planos paralelos. Definimos a distância entre α e β, denotadapor d (α,β), como sendo a distância de um ponto qualquer de um dos dois planos ao outroplano.

A título de exercício, demonstre que essa definição, de fato, não depende do ponto enem do plano escolhidos.

TEOREMA 13 Sejam r e s retas reversas. Então, existem dois únicos planos paralelos(e distintos) α e β tais que r ⊂ α e s ⊂ β.

13

1.4 Ângulos

Prova. (Existência) Seja A ∈ r um ponto qualquer e s0//s passando por A. SejaB ∈ s um ponto qualquer e r0//r passando por B.

α

s’r

β

s

r’

A

B

Como r e s são reversas, então r e s0 e r0 e s são pares de retas concorrentes. Sejam α oplano determinado por r e s0 e β o determinado por r0 e s. A reta r não está contida emβ, pois r e s são reversas, conseqüentemente, α 6= β. Pelo Teorema 4, segue-se que α e βsão paralelos.

(Unicidade) Sejam α0 e β0 planos paralelos tais que r ⊂ α0 e s ⊂ β0. Devemos mostrar queα0 = α e β0 = β. Temos: r é paralela a β0, pois r ⊂ α0 e α0//β0. Pelo Teorema 1, segue-seque a reta paralela a r passando por B ∈ β0 está contida em β0. Esta reta é r0. Assim,β0 é o plano determinado pelas retas concorrentes r0 e s. Portanto, β0 = β. Posto que αe α0 são planos paralelos a β e passam pelo ponto A (pois contêm a reta r), decorre queα0 = α, de acordo com o Teorema 5. ¥

Def. 11 Definimos a distância entre duas retas reversas como sendo a distância entreos planos paralelos referidos no teorema anterior.

4. Ângulos

Sejam r e s retas. Já é conhecida a definição do ângulo entre r e s caso elas sejamcoplanares. Vamos rever. Se elas são coincidentes ou paralelas dizemos que o ânguloentre elas é zero. Se são concorrentes, elas formam dois pares de ângulos opostos pelovértice (que têm mesma medida) sendo que dois desses ângulos não opostos pelo vérticesão suplementares. Neste caso, o ângulo entre elas é, por definição, o menor dos quatroângulos.

A novidade ocorre quando as retas r e s são reversas. Vejamos como se define oângulo entre elas.

Def. 12 Sejam A ∈ r e B ∈ s pontos quaisquer, r0 a reta paralela a r passando por B es0 a reta paralela a s passando por A.

s’

rs

r’

A

B

Pelo Teorema 8, ∠ (r, s0) = ∠ (s, r0). Este será, por definição, o ângulo entre as retas r es (o qual independe da escolha dos pontos A e B).

Def. 13 Diremos que duas retas são ortogonais se o ângulo entre elas é de 90◦.

Vamos agora definir ângulo entre dois planos.

14

1.4 Ângulos

Def. 14 Se dois planos são coincidentes ou paralelos dizemos que o ângulo entre eles ézero. Suponhamos que dois planos α e β são concorrentes. Seja t = α∩β. Sejam A,B ∈ t,distintos, r e r0 as perpendiculares a t em α passando, respectivamente, por A e B, e, s es0 as perpendiculares a t em β passando, respectivamente, por A e B.

A

B

r

sr’

s’

α

β

t

Assim, temos r e s, e, r0 e s0 pares de retas concorrentes tais que r//r0 e s//s0. PeloTeorema 8, ∠ (r, s) = ∠ (r0, s0). Este será, por definição, o ângulo entre os planos α e β(o qual independe da escolha dos pontos A e B).

Def. 15 Diremos que dois planos são perpendiculares se o ângulo entre eles mede 90◦.

Def. 16 Chama-se diedro ou ângulo diedral a reunião de dois semi-planos com mesmaorigem. Os semi-planos são chamados de faces do diedro e a origem comum chama-searesta.

Iremos agora definir a medida de um ângulo diedral.

Def. 17 Se as faces de um ângulo diedral são semi-planos coincidentes ou opostos amedida do ângulo diedral é, por definição, respectivamente, zero ou 180◦. Suponhamosque os planos que contêm as faces são concorrentes.

A

B C

D

E

F

Sejam A e B dois pontos distintos pertencentes à aresta. A partir de A tracemos as semi-retas

−→AD e

−→AE perpendiculares à aresta, uma em cada face e a partir de B tracemos as

semi-retas−→BC e

−→BF também perpendiculares à aresta, sendo

−→BC contida na mesma face

em que se encontra−→AD e

−→BF contida na mesma face em que se encontra

−→AE, tais que

BC = AD e BF = AE. Desse modo, ABCD e ABFE são paralelogramos, o que implica

15

1.4 Ângulos

que CDEF é também um paralelogramo, donde, ADE ≡ BCF (L.L.L.). Assim sendo,D bAE ≡ C bBF . Definiremos a medida do ângulo diedral, nesse caso, como sendo a medidade D bAE que independe do ponto escolhido sobre a aresta.Def. 18 Todo plano α reparte o espaço em três subconjuntos: o próprio plano, o subcon-junto dos pontos que ficam a um mesmo lado do plano e o subconjunto dos pontos que ficamno outro lado. Cada um desses dois últimos subconjuntos chama-se semi-espaço abertodeterminado por α e a união do plano com um semi-espaço aberto chama-se semi-espaçofechado determinado por α ou, simplesmente, semi-espaço.

Assim, um plano determina dois semi-espaços que chamaremos de semi-espaços opos-tos em relação a α.

Dados dois pontos A e B distintos e não pertencentes a α, então A e B se situamnum mesmo semi-espaço determinado por α ⇔ AB ∩ α = ∅.

A

B

α

Def. 19 Um conjunto S, subconjunto do espaço, chama-se convexo se goza da seguintepropriedade: dados A,B ∈ S, distintos, então AB ⊂ S.

Todo semi-espaço é um conjunto convexo. Interseção de conjuntos convexos é umconjunto convexo.

Considere um ângulo diedral de aresta r e cujas faces α e β não são coplanares.Sejam E e F, respectivamente, o semi-espaço determinado por α contendo β e o semi-espaço determinado por β contendo α. E∩F é um conjunto convexo por ser interseção dedois conjuntos convexos, o qual será chamado de região convexa determinada pelo diedro.

r

α

β

Def. 20 (Bissetor de um diedro) Chama-se bissetor de um ângulo diedral de aresta r ecujas faces α e β não são coplanares o semi-plano de origem r, contido na região convexadeterminada pelo diedro, que o divide em dois ângulos diedrais com mesma medida.

Precisamos mostrar que todo diedro, cujas faces não são coplanares, tem um únicobissetor. É o que faremos agora. Sejam r a aresta e α e β as faces de um tal ângulo

16

1.4 Ângulos

diedral. Seja A ∈ r um ponto qualquer,−→AB ⊂ α e

−→AC ⊂ β, perpendiculares a r. Seja−→

AD a bissetriz do ângulo B bAC. Desde que r ⊥ ←→AB e r ⊥ ←→AC, então r é perpendicular aoplano determinado por A, B e C, logo, r ⊥ −→AD. Seja γ o plano determinado por r e

−→AD.

Assim, o semi-plano contido em γ determinado por r contendo−→AD é bissetor do diedro.

r

α

βA

B

C

Dγ

A unicidade segue-se da unicidade da bissetriz de um ângulo B bAC. Os detalhes dademonstração deixamos a cargo do leitor.

Def. 21 Chama-se triedro a reunião de três ângulos não rasos, com mesmo vértice,contidos em planos distintos, tais que a interseção de dois quaisquer é um lado comum. Ovértice comum aos três ângulos chama-se vértice do triedro; cada lado comum denomina-searesta e cada ângulo chama-se face.

Um triedro é denominado tri-retângulo se os planos que contêm as faces são mutuamenteperpendiculares.

TEOREMA 14 Sejam r uma reta que fura um plano π num ponto P, A ∈ r − {P} eA0 o pé da perpendicular a π passando em A. Então, r é perpendicular a π ⇔ A0 = P.

Prova. (⇒) Temos: r e←→AA0 são perpendiculares a π e passam no ponto A /∈ π.

Pela unicidade do Teorema 12, segue-se que r =←→AA0. Desde que P,A0 ∈ r ∩ π e r fura π,

decorre que A0 = P.

(⇐) Temos: r =←→AP =

←→AA0. Sendo

←→AA0 ⊥ π, segue-se que r ⊥ π. ¥

Def. 22 Dados um ponto A e um plano π, o pé da perpendicular a π passando por Achama-se projeção ortogonal de A em π ou, simplesmente, projeção de A em π.

Observe que a projeção de A em π só é igual a A se A ∈ π.

TEOREMA 15 Seja r uma reta não perpendicular a um plano π. Sejam A,B,C ∈ r,distintos, e A0, B0 e C 0 as projeções, respectivamente, de A, B e C em π. Então, A0, B0

17

1.5 Exercícios

e C 0 são distintos e colineares.

AB

C

A’ B’

r

πC’

A BC

A’ B’

r

π C’

Prova. Podemos supor que r 6⊂ π. Assim, dois dentre os pontos A, B e C nãopertencem a π. Digamos, A e B. Se A0 = B0, pela unicidade do Teorema 10, decorre que←→AA0 =

←→BB0. Assim sendo,

←→AA0 =

←→BB0 =

←→AB = r e, portanto, r é perpendicular a π,

o que é uma contradição. Logo, A0 6= B0. Note que←→AA0 6= ←−→BB0 e, por conseguinte, pelo

Teorema 11,←→AA0//

←→BB0. Seja α o plano determinado por

←→AA0 e

←→BB0. Temos que α e π são

concorrentes, pois A0, B0 ∈ π∩α e A ∈ α−π. Mais precisamente,←−→A0B0 = π∩α. Quanto a

C, há duas possibilidades: C ∈ π ou C /∈ π. Se C ∈ π, então C = C 0 e, pelo Teorema 14,C 0 6= A0 e C 0 6= B0, já que r não é perpendicular a π. Desde que C 0 ∈ π ∩ α (pois r ⊂ α),segue-se que C 0, A0 e B0 são colineares. Se C /∈ π, temos, em particular, que A e Cnão pertencem a π. Usando o mesmo raciocínio empregado no início dessa demonstração,chegaremos que C 0 6= A0,

←→AA0//

←→CC 0 e a interseção do plano β determinado por

←→AA0 e←→

CC 0 com o plano π é←−→A0C 0. Entretanto, os planos α e β têm em comum a reta r e o ponto

A0 /∈ r, logo, são iguais, donde,←−→A0B0 = π ∩ α = π ∩ β =

←−→A0C 0 e, por conseguinte, A0, B0

e C 0 são colineares. Para encerrar, temos também que C 0 6= B0, pois do contrário r seriaperpendicular a π. ¥

Seja r uma reta não perpendicular a um plano π. Sejam A,B ∈ r, distintos, e A0 eB0 as projeções de A e B em π. Pelo Teorema 15, A0 6= B0. Seja r0 =

←−→A0B0. Seja C ∈ r

um ponto qualquer. Pelo Teorema 15, podemos concluir que a projeção de C em π, C 0,pertence a r0. Em outras palavras, as projeções dos pontos de r em π são colineares. Areta r0 chama-se a projeção ortogonal de r em π ou, simplesmente, a projeção de r em π.

Se r é perpendicular a π, então todos os pontos de r, conforme o Teorema 14, seprojetam no pé da perpendicular de r em π. Neste caso, diremos que o pé da perpendicularde r em π é a projeção de r em π.

Def. 23 Definimos o ângulo entre uma reta r e um plano π como sendo 90◦ se r éperpendicular a π e se r não é perpendicular a π como sendo o ângulo que r faz com suaprojeção sobre π.

5. Exercícios

1. Prove as afirmações abaixo.

a) O espaço contém, pelo menos, seis retas e quatro planos.

18

1.5 Exercícios

b) Por um ponto passam, no mínimo, três retas.

c) Três pontos não colineares são distintos entre si.

d) Dada uma reta, há, pelo menos, dois planos que a contêm.

e) Um plano contém pelo menos três retas.

f) Dados um plano π e um ponto pertencente a π, existem, no mínimo, duas retascontidas em π passando por esse ponto.

2. Seja F uma figura tal que quatro quaisquer de seus pontos sejam coplanares. Mostreque F é plana, isto é, está contida num plano.

3. Explique por que uma mesa com três pernas sempre fica firme sobre um piso plano euma de quatro pernas pode ficar em falso.

4. Uma figura é formada por quatro pontosA, B, C eD e pelos segmentosAB, BC, CDe DA. Ela é uma figura plana?

5. Três planos distintos têm em comum dois pontos. Mostre que existe uma reta comumaos três planos.

6. Seja t uma reta contida em dois planos distintos. Mostre que t é a interseção dessesdois planos.

7. Dois triângulos ABC e DEF , situados em dois planos distintos, são tais que asretas

←→AB,

←→AC e

←→BC encontram as retas

←→DE,

←→DF e

←→EF nos pontos M, N e P ,

respectivamente. Mostre que M, N e P são colineares.

8. Sejam s uma reta e π um plano tais que skπ. Demonstre que existe um único planoparalelo a π (e distinto) contendo s.

9. Mostre que se uma reta é paralela a dois planos concorrentes, então ela é paralela àreta de interseção dos dois planos.

10. Suponha que três planos α, β e γ têm exatamente um ponto em comum. Mostre quenão existe nenhuma reta simultaneamente paralela a α, β e γ.

11. Seja r uma reta secante a um plano α e P um ponto exterior a α. Mostre que existeuma única reta que passa por P, encontra r e é paralela a α.

12. Mostre que se um plano α é concorrente a um plano β, é também concorrente aqualquer plano paralelo a β.

13. Use o exercício anterior para concluir que se dois planos paralelos são cortados pordois planos paralelos, concorrentes aos anteriores, então as interseções serão quatroretas paralelas.

14. Considere duas retas paralelas secantes a dois planos paralelos. Mostre que os seg-mentos destas retas determinados pelos dois planos são congruentes.

19

1.5 Exercícios

15. Pode existir uma reta paralela a duas retas reversas?

16. Mostre que se duas retas são reversas, então todo plano determinado por uma e umponto da outra é secante a esta.

17. Mostre que se uma reta fura um plano num ponto não pertencente a uma reta contidanesse plano, então estas retas são reversas.

18. Sejam r e s duas retas reversas. Sejam A e B pontos distintos de r e C e D pontosdistintos de s. Mostre que as retas

←→AC e

←→BD são reversas.

19. Sejam r e s duas retas reversas, A um ponto em r e B um ponto em s. Qual é ainterseção do plano α definido por r e B com o plano β definido por s e A?

20. Mostre que por um ponto dado se pode traçar uma única reta ortogonal a duas retasnão paralelas dadas.

21. SejamA, B e C pontos não colineares. Mostre que se as retas←→AB e

←→AC são ortogonais

à reta r, então←→BC também é ortogonal a r.

22. Considere um conjunto com pelo menos três retas distintas. Mostre que se duasquaisquer dessas retas são concorrentes, então elas estão todas num mesmo plano oupassam todas num mesmo ponto.

23. Mostre que dois ângulos diedrais opostos pela aresta têm a mesma medida.

24. Mostre que o ângulo formado entre um plano α e um plano β é igual ao ânguloformado por α e qualquer plano paralelo a β.

25. Uma reta r faz um ângulo de 30o com um plano α. Mostre que o ângulo que r fazcom qualquer plano paralelo a α mede 30o.

26. Seja r uma reta secante a um plano π num ponto P, não perpendicular a π. Mostreque o ângulo que r faz com π é o menor ângulo dentre todos os ângulos que as retascontidas em π passando por P fazem com r.

27. Mostre que dois planos são perpendiculares se, e somente se, duas retas respectiva-mente perpendiculares a cada um deles são ortogonais.

28. Mostre que se um plano α contém uma reta perpendicular a um plano β, então oplano β contém uma reta perpendicular ao plano α.

29. Seja O a projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano α. Considere uma cir-cunferência de centro O contida em α. Mostre que todas as retas tangentes a estacircunferência estão a uma mesma distância de P.

30. Dadas duas retas reversas, mostre que existe uma única reta perpendicular a ambas.

31. Sejam r e s retas reversas. Mostre que existem P ∈ r e Q ∈ s tais que PQ ≤ XY ,

20

1.5 Exercícios

para quaisquer que sejam X ∈ r e Y ∈ s.

32. Seja r uma reta perpendicular a um plano π. Mostre que todo plano que contém r éperpendicular a π.

33. Seja r uma reta perpendicular a um plano π num ponto O. Mostre que se s é umareta perpendicular a r passando em O, então s ⊂ π.

Def. 24 (Mediador de um segmento de reta) Chama-se mediador de um segmento dereta o plano passando em seu ponto médio e perpendicular à reta que o contém.

34. Mostre que o mediador de um segmento é o conjunto dos pontos do espaço equidis-tantes de seus extremos.

35. Mostre que os mediadores dos lados de um triângulo inteceptam-se segundo uma reta.

36. Seja r uma reta perpendicular a um plano α. Demonstre que se um plano β é paraleloa α, então r é também perpendicular a β.

37. Se uma reta é perpendicular a dois planos em pontos distintos, mostre que essesplanos são paralelos.

38. Se uma reta é perpendicular a dois planos num mesmo ponto, mostre que esses planossão coincidentes.

39. Seja P um ponto pertencente a uma reta r. Mostre que existe um único planoperpendicular a r passando por P.

40. Seja P um ponto não pertencente a uma reta r. Mostre que existe um único planoperpendicular a r passando por P.

41. Mostre que um plano é perpendicular a dois planos concorrentes se, e somente se, eleé perpendicular à reta de interseção dos dois planos.

42. Dados um plano π e uma reta r contida em π, mostre que existe um único planoperpendicular a π contendo r.

43. Dados um plano π e uma reta r paralela a π, mostre que existe um único planoperpendicular a π contendo r.

44. Sejam A, B, C e D pontos distintos entre si pertencentes a um plano π, e, O /∈ π.Mostre que se OA = OB = OC = OD, então A, B, C e D pertencem a uma mesmacircunferência contida em π cujo centro é a projeção ortogonal de O em π.

45. Mostre que o ângulo entre dois planos é igual ao ângulo que duas retas, respectiva-mente, perpendiculares a eles, fazem.

46. Mostre que o bissetor de um ângulo diedral cujas faces não são coplanares é o conjuntodos pontos equidistantes dos planos que contêm as respectivas faces do ângulo diedral

21

1.5 Exercícios

pertencentes à região convexa determinada por ele.

47. Considere os ângulos que formam um triedro. Mostre que:

a) a medida de cada um é menor do que a soma das medidas dos outros dois;

b) a soma das medidas deles é menor do que 360◦.

48. Uma figura é formada por quatro pontosA, B, C eD e pelos segmentosAB, BC, CDe DA. Se os ângulos bA, bB, bC e bD são retos, ela é uma figura plana?

49. Sejam α, β e γ três planos distintos. Mostre que as posições relativas possíveis dosplanos são:

a) Os três planos são paralelos.

b) Dois deles são paralelos e o terceiro é concorrente a ambos, cortando-os segundoretas paralelas.

c) Os três planos se cortam segundo uma reta.

d) Os três planos se cortam dois a dois segundo três retas paralelas.

e) Os três planos se cortam dois a dois segundo três retas concorrentes; o pontocomum às três retas é o único ponto comum aos três planos.

22

Capítulo 2Cilindro, Cone e Esfera

1. Cilindro

Entenderemos por figura plana qualquer um dos seguintes subconjuntos de um plano:polígono (convexo ou côncavo) mais a região delimitada por ele, disco fechado, elipse maisseu interior, etc., enfim, qualquer curva fechada, simples (isto é, sem auto-interseção), maisa região delimitada por ela.

Vale ressaltarmos que a idéia de figura plana que acabamos de dar é um conceitoprimitivo, ou seja, sem definição, uma vez que não demos a definição de curva fechadasimples e nem tampouco a definição da região delimitada por ela. Enfim, temos somenteuma idéia.

Def. 25 (Cilindro) Sejam: F uma figura contida num plano α; um plano β paralelo aα; uma reta r que fura α (conseqüentemente, fura também β) e h a distância entre α eβ. O subconjunto do espaço que é a união de todos os segmentos de reta com uma dasextremidades em F e a outra em β, paralelos a r, chama-se cilindro de base F, com retade inclinação r, entre α e β. Definimos a altura do cilindro como sendo h. Caso a reta rseja perpendicular a α (e a β), o cilindro chama-se cilindro reto de base F, entre α e β.

F α

βr

h

Conforme demonstraremos adiante, a interseção do cilindro com o plano β é umafigura congruente à base (veja a definição de figuras congruentes logo após o Teorema 16),a qual será também chamada de base.

Def. 26 Chama-se prisma todo cilindro cuja base é um polígono.

Num prisma, cada segmento paralelo à reta de inclinação partindo de um vértice dabase com a outra extremidade no plano β, e, os lados da base são chamados de aresta. Asextremidades das arestas são denominadas de vértices do prisma e todo segmento de reta,que une dois vértices do prisma não pertencentes a uma mesma aresta, de diagonal doprisma. A reunião dos segmentos paralelos à reta de inclinação com uma das extremidades

2.1 Cilindro

num lado da base e a outra em β chama-se face lateral do prisma.

Def. 27 Um cilindro chama-se circular se sua base é um disco.

Def. 28 Chama-se paralelepípedo todo prisma cuja base é um paralelogramo. Todo par-alelepípedo reto cuja base é um retângulo é chamado de paralelepípedo retangular ou par-alelepípedo retângulo.

Def. 29 Chama-se cubo todo paralelepípedo retangular cuja base é um quadrado e cujaaltura é igual ao lado da base.

LEMA. Seja r uma reta que fura um plano α. Então, toda reta paralela a r fura qualquerplano paralelo a α.

Prova. Seja s uma reta qualquer paralela a r. Seja γ o plano determinado por r e

24

2.1 Cilindro

s. Como r fura α, então α e γ são concorrentes. Seja t = α ∩ γ.

s

r

α

γ

t

Temos: r, s e t são coplanares (estão contidas em γ), r//s e t e r são concorrentes. Logo,t e s são concorrentes. O ponto de concorrência de t e s é comum a s e α. Desde ques 6⊂ α (pois s 6= t), segue-se que s fura α. Pelo Teorema 6, s fura qualquer plano paraleloa α. ¥

TEOREMA 16 Seja P um prisma entre os planos α e β. Se π é um plano paralelo aα e β, entre α e β, então π ∩ P é uma figura congruente à base de P.

Prova. Seja F ⊂ α a base de P. Pelo lema, as retas que contêm os segmentosparalelos à reta de inclinação do prisma com uma das extremidades em F furam π. Emais, o fazem em pontos pertencentes aos próprios segmentos. Sejam A, B e C vérticesconsecutivos quaisquer de F eA0, B0 eC 0 as respectivas interseções dos segmentos paralelosà reta de inclinação de P partindo de A, B e C com π.

α

β

π

AB

C

A’B’

C’

Basta mostrarmos que ABC ≡ A0B0C 0. Temos: AA0//BB0 e como AB e A0B0 estão con-tidos em planos paralelos (respectivamente, em α e π) e são coplanares, então AB//A0B0.Logo, ABB0A0 é um paralelogramo. Pela mesma razão, BCC 0B0 e ACC 0A0 são para-lelogramos. Logo, AB ≡ A0B0, BC ≡ B0C 0 e AC ≡ A0C 0 e daí, pelo caso L.L.L. decongruência de triângulos, segue-se que ABC ≡ A0B0C 0. ¥

O teorema acima continua válido se trocarmos a palavra prisma por cilindro. Porém,precisamos de uma definição de figuras congruentes. Antes, vamos recordar a definiçãode polígonos congruentes.

Dois polígonos são congruentes quando é possível estabelecer uma correspondênciabiunívoca entre os vértices de um e os vértices do outro de tal maneira que os lados de um

25

2.2 Cone

são todos congruentes aos lados correspondentes do outro e o mesmo acontecendo com osângulos.

Def. 30 (Congruência de figuras) Diremos que uma figura F é congruente a uma figuraG e escrevemos F ≡ G se existe uma função bijetiva f : F −→ G tal que AB ≡ f(A)f(B)para quaiquer que sejam os pontos distintos A,B ∈ F.

Em outras palavras, uma figura é congruente à outra se é possível estabelecer umacorrespondência biunívoca entre elas de tal maneira que segmentos correspondentes sãocongruentes. Note que, pelo caso L.L.L. de congruência de triângulos, figuras congruentestêm ângulos correspondentes congruentes.

É possível demonstrar que a definição que acabamos de dar, no caso de F ser umpolígono, é equivalente à definição de congruência de polígonos que recordamos há pouco.Omitiremos a prova.

TEOREMA 17 Seja C um cilindro entre os planos α e β. Se π é um plano paralelo aα e β, entre α e β, então π ∩ C é uma figura congruente à base de C.

Prova. Seja F ⊂ α a base de C. Pelo lema do Teorema 16, as retas que contêmos segmentos paralelos à reta de inclinação do cilindro com uma das extremidades em Ffuram π. E mais, o fazem em pontos pertencentes aos próprios segmentos. Seja F 0 = π∩C.Para mostrar que F ≡ F 0, basta estabelecermos uma correspondência biunívoca entre Fe F 0 de tal modo que segmentos correspondentes sejam congruentes. A correspondênciaé a seguinte: a cada A ∈ F associamos A0 ∈ F 0, em que A0 é o ponto de interseçãodo seguinte segmento com π: aquele paralelo à reta de inclinação do cilindro com umadas extremidades em A e a outra em β. Sejam A,B ∈ F , distintos. Mostraremos queAB ≡ A0B0. Com efeito, temos: AA0//BB0 e como AB e A0B0 estão contidos em planosparalelos (respectivamente, em α e π) e são coplanares, então AB//A0B0. Logo, ABB0A0

é um paralelogramo e, portanto, AB ≡ A0B0. ¥

2. Cone

Def. 31 (Cone) Sejam: F uma figura plana e V um ponto não pertencente ao plano quecontém F. O subconjunto do espaço que é a união de todos os segmentos de reta com umadas extremidades em F e a outra em V chama-se cone de base F e vértice V. Definimosa altura do cone como sendo a distância do vértice ao plano que contém a base.

F

V

Def. 32 Chama-se pirâmide todo cone cuja base é um polígono.

Numa pirâmide, cada segmento que une um vértice da base e o vértice da pirâmide,e, os lados da base são chamados de aresta. Os triângulos cujos vértices são o vértice da

26

2.2 Cone

pirâmide e dois vértices consecutivos da base são chamados de faces laterias da pirâmide.

Def. 33 Uma pirâmide chama-se regular se sua base é um n-ágono regular, n ≥ 4, e aprojeção de seu vértice sobre o plano da base coincide com o centro desta.

Def. 34 Chama-se tetraedro toda pirâmide cuja base é um triângulo. Um tetraedro édito regular se todas as suas faces são triângulos equiláteros.

Note que quatro pontos não coplanares são sempre vértices de um tetraedro e quequalquer face lateral de um tetraedro pode ser tomado como base.

Def. 35 Um cone chama-se circular se sua base é um disco. Um cone circular é ditoreto se a projeção ortogonal de seu vértice sobre o plano da base coincide com o centrodela. Todo segmento de reta que une o vértice de um cone circular reto a um ponto dafronteira da base chama-se geratriz do cone.

Note que as geratrizes de um cone circular reto têm a mesma medida.

LEMA. Sejam: V um ponto não pertencente a um plano α; A,B ∈ α, distintos; π umplano paralelo a α entre V e α; {A0} = V A∩π e {B0} = V B∩π. Então, V A0B0 ∼ V AB

27

2.2 Cone

com razão de semelhança igual ad (V,π)

d (V,α).

V

A B

A’ B’

α

π

Prova. Temos:←→AB ∩←−→A0B0 = ∅, pois estão contidas em planos paralelos e desde que

são coplanares segue-se que são paralelas. Logo, V A0B0 ∼ V AB. Sendo A e B quaisquerpontos distintos em α, fixemos A e façamos B igual à projeção de V em α. Desse modo, B0

é a projeção de V em π. Então, a razão de semelhança é igual aV A0

V A=V B0

V B=d (V,π)

d (V,α).

¥

TEOREMA 18 Seja P um pirâmide de vértice V e base F contida num plano α. Seπ é um plano paralelo a α, entre V e α, então π ∩ P é uma figura semelhante a F cuja

razão de semelhança éd (V,π)

d (V,α).

Prova. As retas que contêm os segmentos com uma das extremidades em F e o outraem V furam π. E mais, o fazem em pontos pertencentes aos próprios segmentos. SejamA, B e C vértices consecutivos quaisquer de F e A0, B0 e C 0 as respectivas interseções dossegmentos que unem V a A, B e C com π.

α

π

AB

A’B’

C’

V

C

Basta mostrarmos que ABC ∼ A0B0C 0 com razão de semelhança igual ad (V,π)

d (V,α). Pelo

lema, temos: V A0B0 ∼ V AB, V C 0B0 ∼ V CB e V A0C 0 ∼ V AC com razão de semelhança

igual ad (V,π)

d (V,α). Desse modo, segue-se que

A0B0

AB=C 0B0

CB=A0C 0

AC=d (V,π)

d (V,α). Pelo caso

L.L.L. de semelhança de triângulos, decorre o resultado. ¥

28

2.2 Cone

O teorema acima continua válido se trocarmos a palavra pirâmide por cone. Porém,precisamos de uma definição de figuras semelhantes. Antes, vamos recordar a definiçãode polígonos semelhantes.

Dois polígonos são semelhantes quando é possível estabelecer uma correspondênciabiunívoca entre os vértices de um e os vértices do outro de tal maneira que os lados deum são proporcionais aos lados correspondentes do outro e ângulos correspondentes sãocongruentes. A razão de semelhança é a razão de proporcionalidade entre os lados doprimeiro e os lados do segundo.

Def. 36 (Semelhança de figuras) Sejam F e G figuras e k um número real positivo.

Diremos que F é semelhante a G com razão de semelhança k e escrevemos F k∼ G ou,simplesmente, F ∼ G se existe uma função bijetiva f : F −→ G tal que

AB

f(A)f(B)= k

para quaisquer que sejam os pontos distintos A,B ∈ F.

Em outras palavras, uma figura é semelhante à outra se é possível estabelecer umacorrespondência biunívoca entre elas de tal maneira que segmentos correspondentes sãoproporcionais. Note que, pelo caso L.L.L. de semelhança de triângulos, figuras semelhantestêm ângulos correspondentes congruentes.

É possível demonstrar que a definição que acabamos de dar, no caso de F ser umpolígono, é equivalente à definição de semelhança de polígonos que recordamos há pouco.Omitiremos a prova. Outro fato que não iremos demonstrar e que utilizaremos no capítulosubseqüente acerca de figuras semelhantes é o seguinte: a razão entre as áreas de duasfiguras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança.

TEOREMA 19 Seja C um cone de vértice V e base F contida num plano α. Se π éum plano paralelo a α, entre V e α, então π ∩ C é uma figura semelhante a F cuja razãode semelhança é

d (V,π)

d (V,α).

Prova. As retas que contêm os segmentos com uma das extremidades em F e ooutra em V furam π. E mais, o fazem em pontos pertencentes aos próprios segmentos.Seja F 0 = π ∩ C. Para mostrar que F ∼ F 0, basta estabelecermos uma correspondênciabiunívoca entre F e F 0 de tal modo que segmentos correspondentes sejam proporcionais

com razão de proporcionalidaded (V,π)

d (V,α). A correspondência é a seguinte: a cada A ∈ F

associamos A0 ∈ F 0, em que A0 é o ponto de interseção do seguinte segmento com π:aquele com uma das extremidades em A e a outra em V. Sejam A,B ∈ F , distintos.

Mostraremos queA0B0

AB=d (V,π)

d (V,α). De fato, isto é decorrente do lema do Teorema 18. ¥

Def. 37 Sejam: C um cone de vértice V e base F contida num plano α e π um planoparalelo a α, entre V e α. O subconjunto de C dos pontos que se situam entre α e πchama-se tronco do cone C determinado por π. A distância dos planos α e π chamaremos

29

2.3 Esfera

de altura do tronco, e, F e π ∩ C de bases.

3. Esfera

Def. 38 (Esfera) Sejam O um ponto e r um número real positivo. O conjunto α dospontos do espaço cuja distância a O é menor do que ou igual a r chama-se esfera decentro O e raio r e será denotada por α(O; r).

rO

Duas esferas são ditas concêntricas se possuem o mesmo centro.

Def. 39 Dados uma esfera α e um ponto P, dizemos que P é um ponto interior ouexterior de α se, respectivamente, d(P,O) < r ou d(P,O) > r. O conjunto de todos ospontos interiores de α é chamado de interior de α e é denotado por intα e o dos pontosexteriores é chamado de exterior de α e é denotado por extα.

Def. 40 O subconjunto de uma esfera formado pelos pontos cuja distância ao centro éigual ao raio chamaremos de superfície da esfera.

TEOREMA 20 Se um plano tem, pelo menos, dois pontos em comum com uma esfera,então a interseção dos dois é um disco cujo centro é a projeção orto-gonal do centro daesfera no plano e cuja circunferência é a interseção deste com a superfície da esfera.

Prova. Sejam: α(O; r) a esfera; π o plano, e, A e B pontos distintos pertencentes aα e π. Seja O0 a projeção ortogonal de O em π. Como A e B são distintos, então O0 6= Aou O0 6= B. Digamos que O0 6= A. Seja C ∈ −−→O0A tal que O0C =

qr2 − d (O,O0)2. O0C

está bem definido e é positivo, pois d (O,O0) < d (O,A) ≤ r. E mais, d(O,C) = r, poiscaso O 6= O0 o triângulo OO0C é retângulo em O0. Mostraremos que o disco D contido emπ de centro O0 e raio r0 = O0C é α ∩ π. De fato, seja X ∈ D.

O

O'X A C

30

2.3 Esfera

Temos: d(X,O)2 = d(O0, O)2 + d (X,O0)2 ≤ d(O0, O)2 + (r0)2 = d(O0, O)2 + O0C2 = r2,por conseguinte, X ∈ α ∩ π. Tomemos agora X ∈ α ∩ π. Temos: d(O0, O)2 + d (X,O0)2 =d(X,O)2 ≤ r2, donde, d (X,O0)2 ≤ r2 − d(O0, O)2 = O0C2 = (r0)2, portanto, X ∈ D.Isso mostra que D = α ∩ π. Seja C a circunferência de D. C é a interseção de π com asuperfície de α. Para provar isso é só seguir os mesmos passos que foram utilizados nademonstração de que D = α ∩ π trocando-se ≤ por = . ¥

Def. 41 Diremos que uma esfera e um plano são secantes se eles têm em comum, pelomenos, dois pontos; se eles têm em comum apenas um ponto diremos que são tangentesnaquele ponto e se não tiverem ponto em comum diremos que são exteriores.

TEOREMA 21 Sejam α(O; r) uma esfera, π um plano e P ∈ α∩π. Então, π é tangentea α em P ⇔ P pertence à superfície de α e

←→OP ⊥ π.

Prova. (⇒) Seja O0 a projeção de O em π. Afirmamos que O0 = P. Por absurdo,suponhamos que O0 6= P. Então, O = O0 ou o triângulo OO0P é retângulo em O0. Emambos os casos, temos: OO0 < OP ≤ r, donde, O0 ∈ α, o que é uma contradição ao fatode α ∩ π = {P} . Portanto, O0 = P e, por conseguinte, P = O ou

←→OP ⊥ π. Não podemos

ter P = O, pois se assim o fosse, tomando-se em π um ponto Q tal que 0 < d(O,Q) ≤ r,teríamos outro ponto comum a α e π. Logo, P 6= O e

←→OP ⊥ π. Vamos agora mostrar que

PO = r. Por absurdo, suponhamos que PO < r.

O

PA

r

Seja A ∈ π tal que 0 < d(P,A) ≤√r2 −OP 2. Desde que o triângulo OPA é retângulo

em P, teremos: OA2 = OP 2 + PA2 ≤ r2, donde, A seria outro ponto comum a α e π.

(⇐) Seja Q um ponto qualquer de π, distinto de P. Dado que←→OP ⊥ π, segue-se que

OP < OQ e, como P pertence à superfície de α, então r < OQ. Conclusão: os pontos deπ, exceto P, não pertencem a α. Portanto, α ∩ π = {P} . ¥

Def. 42 Consideremos agora as superfícies de duas esferas distintas. Se a interseçãodelas possuir exatamente um ponto diremos que elas são tangentes e se possuir pelo menosdois pontos diremos que são secantes.

TEOREMA 22 Sejam α1(O1; r1) e α2(O2; r2) esferas não concêntricas e P um pontocomum às superfícies de α1 e α2. Então, elas são tangentes ⇔ O1, O2 e P são colineares.

Prova.(⇒) Por absurdo, suponhamos que O1, O2 e P não são colineares. Consideremos o planodeterminado por O1, O2 e P. Podemos tomar no semi-plano oposto ao que contém P, emrelação a

←−→O1O2, um ponto Q tal que QO1 = r1 e QO2 = r2, já que |r1 − r2| < O1O2 <

31

2.3 Esfera

r1 + r2.

O1 O2

P

Q

r1

r1 r2

r2

Assim sendo, as superfícies de α1 e α2 são secantes, o que contraria a hipótese.

(⇐) Por absurdo, seja Q um ponto comum às superfícies de α1 e α2 tal que Q 6= P. Desdeque O1 e O2 são equidistantes de P e Q, vem que

←−→O1O2 está contida no plano mediador

de PQ. Logo, P /∈ ←−→O1O2, contrariando a hipótese. ¥

TEOREMA 23 Dadas duas esferas α1(O1; r1) e α2(O2; r2) não concêntricas, temos:

i) as superfícies de α1 e α2 são tangentes ⇔ d (O1, O2) = r1 + r2 ou d (O1, O2) =|r1 − r2| ;

ii) as superfícies de α1 e α2 são secantes ⇔ |r1 − r2| < d (O1, O2) < r1 + r2;

iii) as superfícies de α1 e α2 têm interseção vazia ⇔ d (O1, O2) < |r1 − r2| ou d (O1, O2) >r1 + r2.

Prova.i) (⇒) Seja P o ponto comum às superfícies de α1 e α2. Pelo teorema anterior, P, O1 eO2 são colineares. Por conseguinte, P ∈ O1O2 ou P ∈ ←−→O1O2 −O1O2. É imediato que, noprimeiro caso, tem-se d (O1, O2) = r1 + r2 e, no segundo, d (O1, O2) = |r1 − r2| .(⇐) Se d (O1, O2) = r1 + r2, tomemos P ∈ O1O2 tal que O1P = r1. Desse modo, vemque O2P = r2. Portanto, P é um ponto comum às superfícies de α1 e α2. Como P,O1 e O2 são colineares, o teorema anterior garante o resultado. Suponhamos agora qued (O1, O2) = |r1 − r2| . Assim, d (O1, O2) = r1 − r2 ou d (O1, O2) = r2 − r1. No primeirocaso, tomemos P ∈ ←−→O1O2 tal que O2 se situa entre O1 e P e O2P = r2 e, no segundo,tomemos P tal que O1 se situa entre O2 e P e O1P = r1. No primeiro caso, vem queO1P = r1 e, no segundo, O2P = r2. Logo, em ambos os casos, temos que P é um pontocomum às superfícies de α1 e α2. Como P, O1 e O2 são colineares, segue-se que {P} é ainterseção das superfícies de α1 e α2.

ii) (⇒) Seja P um ponto comum às superfícies de α1 e α2. Pelo teorema anterior, P, O1e O2 não são colineares e, portanto, o resultado segue-se pela desigualdade triangular.

(⇐) Consideremos um plano qualquer que contenha O1 e O2. Podemos tomar em cadasemi-plano, em relação a

←−→O1O2, respectivamente, um ponto P e um ponto Q tais que

PO1 = r1, PO2 = r2, QO1 = r1 e QO2 = r2, já que |r1 − r2| < O1O2 < r1 + r2. Logo, assuperfícies de α1 e α2 são secantes.

iii) É óbvio. ¥

32

2.3 Esfera

Sejam β1 e β2 as respectivas superfícies de α1 e α2.

Obs. 1 No caso em que d (O1, O2) = r1 + r2, temos que os pontos de uma, exceto o detangência, P, são exteriores à outra.

Q

PO1 O2

Com efeito, seja Q 6= P tal que Q ∈ β1, isto é, d (Q,O1) = r1. Como Q /∈ O1O2,vem que d (O1, O2) < d (O1, Q) + d (Q,O2), donde, r1 + r2 < r1 + d (Q,O2) e, portanto,r2 < d (Q,O2), ou seja, Q ∈ extβ2. Nesse caso, dizemos que β1 e β2 são tangentesexternas.

Obs. 2 No caso em que d (O1, O2) = |r1 − r2|, então os pontos, exceto o de tangência,P, daquela que tiver o menor raio, são interiores à outra enquanto que os pontos, excetoo de tangência, daquela que tiver o maior raio, são exteriores à outra.

PO2 O1

De fato, digamos que r1 < r2. Seja Q 6= P tal que Q ∈ β1 ∪ β2. Desde que O1 /∈ QO2(verifique isto), segue-se que d (Q,O2) < d (O1, Q)+d (O1, O2) . É imediato que se Q ∈ β1,então d (Q,O2) < r2, e, se Q ∈ β2, então r1 < d (Q,O1) , como queríamos provar. Nessecaso, dizemos que aquela de menor raio é tangente interna à outra e que esta é tangenteexterna à primeira.

Obs. 3 Se d (O1, O2) > r1+ r2, então os pontos de uma são exteriores à outra. De fato,seja Q ∈ β1 ∪ β2. Temos que r1 + r2 < d (O1, O2) ≤ d (O1, Q) + d (Q,O2), donde, decorreque se Q ∈ β1, então d (Q,O2) > r2, e, se Q ∈ β2, então d (O1, Q) > r1. Dizemos, nessecaso, que elas são externas.

O1 O2

Obs. 4 Se d (O1, O2) < |r1 − r2| , então os pontos daquela de menor raio são interiores àoutra enquanto que os pontos desta são exteriores à primeira. Com efeito, para fixarmos

33

2.4 Exercícios

as idéias, digamos que r1 < r2.

O2 O1

Seja Q ∈ β1 ∪ β2. Posto que d (Q,O2) ≤ d (O1, Q) + d (O1, O2) < d (O1, Q) + |r1 − r2| ,decorre que se Q ∈ β1, então d (Q,O2) < r2, e, se Q ∈ β2, então d (O1, Q) > r1. Nessecaso, dizemos que a de menor raio é interna à outra e que esta é externa à primeira.

Se duas esferas coplanares e distintas são concêntricas, é imediato que os pontosdaquela de menor raio são interiores à outra ao passo que os pontos da superfície destasão exteriores à primeira. Neste caso, diremos que a superfície da primeira é interna à dasegunda e que a superfície desta é externa à da primeira.

TEOREMA 24 Sejam α1(O1; r1) e α2(O2; r2) duas esferas não concêntricas e cujassuperfícies são secantes. Então, estas se interceptam segundo uma circunferência cujocentro é a projeção ortogonal de O1 e de O2 no plano que a contém.

Prova. Seja P um ponto comum às superfícies de α1 e α2. Como elas são secantes,temos que P não pertence a

←−→O1O2. Sejam π o plano passando por P e perpendicular a←−→

O1O2 e O o pé da perpendicular←−→O1O2 em π. Temos: O 6= O1 ou O 6= O2. Digamos que

O 6= O1. Seja β a circunferência contida em π de centro O e raio r = OP . Afirmamos quea interseção das superfícies é β. Seja Q um ponto qualquer, distinto de P, na interseção.Q não pertence a

←−→O1O2. Mostraremos que Q ∈ β.

π

P QO

O1

O2

Com efeito, desde que O1O2P ≡ O1O2Q, segue-se que PcO1O2 ≡ QcO1O2, donde, PcO1O ≡QcO1O e, portanto, PO1O ≡ QO1O. Posto que P bOO1 é reto, decorre queQ bOO1 também oé e, portanto, Q ∈ π. Uma vez que r = PO = QO, vem queQ ∈ β. Tomemos agoraQ ∈ β.Devemos mostrar que Q pertence à interseção. De fato, como QO = r = PO, entãoPO1O ≡ QO1O, donde, QO1 = PO1 = r1 e PcO1O ≡ QcO1O, logo, PcO1O2 ≡ QcO1O2,por conseguinte, O1O2P ≡ O1O2Q e assim QO2 = PO2 = r2. Assim sendo, Q pertenceà interseção das superfícies de α1 e α2. Por conseguinte, a interseção das superfícies dasesferas é uma circunferência cujo centro é a projeção ortogonal de O1 e de O2 no planoque a contém. ¥

4. Exercícios

34

2.4 Exercícios

1. Qual o comprimento da maior diagonal de uma caixa na forma de um paralelepípedoretangular cujas dimensões são 3cm, 4cm e 6cm.

2. Seja ABCD um quadrado de lado a e PA um segmento, também de medida a,perpendicular ao plano do quadrado. Calcule a medida do diedro determinado pelostriângulos PCB e PCD.

3. Em um prisma, a soma dos ângulos internos de todas as faces é igual a 2880o. Quantasfaces laterais possui o prisma?

4. Determine o número de arestas, de vértices, de faces e a soma dos ângulos de todas asfaces de um prisma cuja base é um polígono regular em que a soma de seus ângulosinternos é igual a 3600◦.

5. Determine a área da figura que é a interseção de um plano com um cubo de aresta a,sabendo que o plano contém apenas três vértices do cubo.

6. Sejam ABC e A0B0C 0 as bases de um prisma reto cuja altura é h, em que←→AA0,

←→BB0

e←→CC 0 são perpendiculares aos planos das bases. Sabendo que ABC é equilátero de

lado a, determine a área do triângulo ABC 0.

7. A base de um prisma reto é um hexágono regular de lado a. Suas faces laterais sãoquadrados. Calcule o comprimento da maior diagonal desse prisma.

8. Mostre que as faces laterais de uma pirâmide regular são triângulos isósceles congru-entes entre si.

9. Considere uma pirâmide regular cuja base é quadrada. Suponha que a razão entre operímetro da base e a altura seja igual a 2π, que é a mesma relação guardada entreo perímetro de um círculo e seu raio. (Essas são as proporções da grande pirâmidedo Egito. Algumas pessoas acreditam que as pirâmides com essa forma têm o poderde concentrar energia cósmica e, portanto, acelerar os processos biológicos de cura dedoenças.). Expresse:

a) a tangente do ângulo que as faces laterais fazem com a base;

b) a aresta lateral em função da aresta da base;

c) o cosseno dos ângulos internos das faces laterais dessa pirâmide;

d) o cosseno do ângulo formado por por duas faces laterais contíguas.

10. Um tronco de pirâmide regular tem como bases triângulos equiláteros cujos ladosmedem, respectivamente, 2cm e 4cm. Se a aresta lateral do tronco mede 3cm, qual ovalor de sua altura?

11. Considere um cubo de bases ABCD e EFGH e arestas laterias AE, BF, CG e DH.Suponha que as arestas medem 3m e sejam M, N e P pontos tais que M ∈ AD,N ∈ AB, P ∈ BF, AM = AN = 2m e BP = 0, 5m. Calcule o perímetro da seçãoque o plano passando por M, N e P determina no cubo.

35

2.4 Exercícios

12. Mostre que não existe uma pirâmide regular cujas faces laterais são triângulos equi-láteros e cuja base tem mais de cinco lados.

13. Seja A o vértice de uma pirâmide cuja base é um polígono regular P. Se A é equidis-tante dos vértices de P, demonstre que a projeção ortogonal de A, no plano quecontém P, coincide com seu centro.

14. Quatro superfícies de esfera, com mesmo raio, são tangentes entre si. Mostre que seuscentros são vértices de um tetraedro regular.

15. Sejam A e B pontos distintos. Qual é o subconjunto do espaço formado pelos pontosX tais que A bXB é reto?

16. Demonstre que por quatro pontos não coplanares passa uma única superfície de esfera.

17. Mostre que existe um único ponto equidistante dos vértices de um tetraedro qualquer,chamado de circuncentro do tetraedro, o qual é o centro de uma esfera cuja superfíciecontém seus vértices, chamada de esfera circunscrita a ele.

18. Mostre que existe um único ponto equidistante das faces de um tetraedro qualquer,chamado de incentro do tetraedro, o qual é o centro de uma esfera que tangencia suafaces, chamada de esfera inscrita nele.

19. Os ítens a seguir, deste exercício, têm como objetivo garantir a existência dos tetrae-dros regulares e também estabelecer algumas de suas propriedades.

a) Mostre que existe um tetraedro regular. Determine sua altura h em função de suaaresta a.

b) Mostre que são ortogonais duas arestas opostas do tetraedro regular.

c) Mostre que a reta que passa nos pontos médios de duas arestas opostas do tetrae-dro regular é a perpendicular comum a ambas.

d) Mostre que existe um único ponto equidistante dos vértices e das faces do tetraedroregular, chamado de centro do tetraedro, o qual é o centro comum das esferas ins-crita e circunscrita a ele. Calcule, em função de a, os raios R e r, respectivamente,das esferas circunscrita e inscrita nele, bem como seus ângulos diedrais.

e) Mostre que os centros das faces do tetraedro regular são vértices de outro tetraedroregular.

20. Demonstre que existem paralelepípedos retangulares e cubos.

21. Mostre que existe um único ponto equidistante dos vértices e das faces de um cubo,chamado de centro do mesmo, o qual é o centro comum das esferas inscrita e circuns-crita a ele. Calcule, em função da aresta a do cubo, os raios R e r, respectivamente,das esferas circunscrita e inscrita nele.

22. Uma pirâmide de base triangular tem faces laterais isósceles. Sabe-se que a área dabase é igual ao quadrado da altura h da pirâmide. Se r é o raio da esfera inscrita

36

2.4 Exercícios

nessa pirâmide, determine a razão h/r.

23. Um cone circular reto tem altura 12cm e raio da base 5cm. Quanto mede o raio daesfera inscrita nele?

24. Um cone circular reto tem altura h e raio da base r. Quanto mede o raio da esferainscrita nele?

25. Sejam A, B, C e D os vértices da base de um cubo e A0, B0, C 0 e D0 os vérticescorrespondentes da outra base.

a) Mostre que os pontos médios das seguintes arestas são coplanares: AB, BC,CC 0, C 0D0, D0A0 e A0A.

b) Mostre que os pontos médios referidos no item anterior são vértices de um hexá-gono regular.

37

Capítulo 3Volume e Área de Superfície

Arquimedes, matemático grego, nasceu em 287 a.C. na cidade de Siracusa, na ilha deSicília. Estudou em Alexandria e voltou à cidade natal onde permaneceu até a morte queocorreu em 212 pela espada de um soldado romano. Ficou famoso pelas suas invençõesbélicas. É o autor do princípio da alavanca, sobre o qual ficou conhecida a seguinte frasede Arquimedes: “Dêem-me um ponto de apoio e moverei o mundo”. É também autordo princípio segundo o qual um corpo imerso num líquido sofre a ação de uma força, debaixo para cima, igual ao peso da quantidade de líquido que desloca. Este ficou conhecidocomo o princípio de Arquimedes que utilizou para descobrir se a coroa do rei Híeron IIfora confeccionada de ouro puro ou não.

Arquimedes1 deu uma grande contribuição à geometria espacial. Ele é responsávelpela descoberta das fórmulas do volume e área da superfície dos principais sólidos ge-ométricos tais como a esfera, cilindro, cone, etc. É este assunto que iremos abordar nestecapítulo.

Arquimedes com o compasso.

1. A Noção de Volume

Entenderemos por sólido qualquer um dos seguintes subconjuntos do espaço: cilindro,cone, esfera, poliedro (que iremos definir no próximo capítulo) ou qualquer superfíciefechada, simples (isto é, sem auto-interseção), mais a região delimitada por ela.

Vale salientarmos que a idéia de sólido que acabamos de dar é um conceito primitivo,ou seja, sem definição, uma vez que não demos a definição de superfície fechada simples enem tampouco a definição da região delimitada por ela. Enfim, temos somente uma idéia.

Outro conceito primitivo que iremos considerar é o de volume de um sólido. O volumede um sólido é a quantidade de vezes que o cubo de aresta unitária “cabe” nele. O cubode aresta unitária será chamado de unidade de medida de volume. Se a unidade de medida1 Quadro de José de Ribera. (Museu do Prado, Madri)

3.2 Volume do Paralelepípedo Retangular

de comprimento utilizada é o metro, chamaremos a unidade de medida de volume (queé o cubo de aresta unitária) de metro cúbico e o denotaremos por 1m3. Assim, medir ovolume de um sólido, com essa unidade de medida de volume, consiste em saber quantosmetros cúbicos há nele. A idéia é de comparação dos sólidos com o cubo de aresta unitáriano que tange ao lugar que eles ocupam no espaço.

Adotaremos a notação V (S) para denotar o volume de um sólido S.

Def. 43 (Congruência de sólidos) Diremos que um sólido S é congruente a um sólido S0

e escrevemos S ≡ S0 se existe uma função bijetiva f : S −→ S0 tal que

AB ≡ f(A)f(B)

para quaiquer que sejam os pontos distintos A,B ∈ S.

Em outras palavras, um sólido é congruente à outro se é possível estabelecer umacorrespondência biunívoca entre eles de tal maneira que segmentos correspondentes sãocongruentes. Note que, pelo caso L.L.L. de congruência de triângulos, sólidos congruentestêm ângulos correspondentes congruentes.

Diremos que um sólido S está decomposto como soma de dois sólidos S1 e S2 se S éa união de S1 e S2 e S1 ∩ S2 é subconjunto da superfície de ambos.

Admitiremos que sólidos congruentes têm mesmo volume e que se um sólido S estádecomposto como soma de S1 e S2, então V(S) = V(S1)+V(S2). Também iremos admitirque paralelepípedos retangulares com bases congruentes e mesma altura são congruentese, conseqüentemente, têm mesmo volume. Note que qualquer face de um paralelepípedoretangular pode ser tomado como base.

2. Volume do Paralelepípedo Retangular

Considere um paralelepípedo retangular cujas arestas adjacentes da base medem,respectivamente, 5 e 4 unidades de medida de comprimento e cuja altura mede 3. Quantoscubos de aresta unitária “cabem” nele? Ou seja, qual seu volume? Vejamos.

É uma questão de contagem. Vamos decompor o paralelepípedo em quatro subpara-

40

3.2 Volume do Paralelepípedo Retangular

lelepípedos.

Cada um desses subparalelepípedos contém 5×3 cubos de aresta unitária. Portanto,no total, o paralelepípedo original contém 5× 3× 4 unidades de medida de volume, istoé, seu volume é 60.

Enfim, um paralelepípedo retangular cujas arestas adjacentes da base medem, respec-tivamente, m e n unidades de medida de comprimento e cuja altura mede h, em que m,n e h são números inteiros, tem volume igual ao produto mnh.

Esse resultado continua válido para m, n e h números reais positivos quaisquer. É oque pretendemos mostrar em seguida.

LEMA. Seja (an) uma seqüência de números reais e a, b ∈ R tais que an ≤ a < an + 1n

e an ≤ b < an + 1npara todo n. Então, a = b.

Prova. Mostraremos que não temos a < b e nem b < a. Se a < b, escolhamos uminteiro positivo n > 1

b−a . Assim, a+ 1n< b. Sendo an ≤ a, vem que an+ 1

n≤ a+ 1

n, donde,

an +1n< b, o que é uma contradição! Se b < a, de modo análogo, também chegaremos a

uma contradição. Logo, a = b. ¥

TEOREMA 25 Sejam P e P 0 paralelepípedos retangulares de bases congruentes e al-turas a e a0, respectivamente. Então,

V (P )V (P 0) =

a

a0

Prova. Sejam XY ZW e X 0Y 0Z 0W 0 as bases de P , em que XX 0 = Y Y 0 = ZZ 0 =WW 0 = a, e, ABCD e A0B0C 0D0 as bases de P 0, em que AA0 = BB0 = CC 0 = DD0 = a0.Escolhamos a altura que for menor do que ou igual à outra. Digamos que a0 ≤ a. Para cadainteiro positivo n, dividamos AA0 em n partes congruentes, isto é, sejam A01, ..., A

0n−1 ∈

AA0 com A0i entre A0i−1 e A0i+1 para cada i ∈ {1, ..., n− 1} (tomamos A00 = A e A0n = A0)

41

3.2 Volume do Paralelepípedo Retangular

tais que A0i−1A0i =

a0

npara todo i ∈ {1, ..., n} .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

A1’

A2’

An -1 ’

A

A’ B’

B

xn

xn

xn

xn

xn

xn

D’ C’

C

.

.

.

Seja xn =a0

n. Por cada ponto de divisão A0i consideremos o plano paralelo à base. Estes

interceptam P 0 segundo retângulos congruentes à base. Assim sendo, o paralelepípedoP 0 fica decomposto em n paralelepípedos congruentes entre si. Desse modo, o volume de

cada um deles é igual aV (P 0)n

. Consideremos agora a semi-reta−−→XX 0 e o número real

positivo xn. Então, existem A1, A2, ... ∈−−→XX 0 com Ai entre Ai−1 e Ai+1 para todo i ∈ N∗

(tomamos A0 = X) tais que Ai−1Ai = xn.

. ..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

xn

A1

A2

Amn

X

X’ Y’

Y

Amn + 1

xn

xn

xn

xn

xn

Z’

Z

.

.

.

Além disso, posto que xn =a0

n≤ a = XX 0, vem que existe um inteiro positivo mn tal

que X 0 = Amn ou X 0 está situado entre Amn e Amn+1. Tem-se ainda que mn · xn ≤a < (mn + 1)xn, donde,

mn

n≤ a

a0<mn

n+1

n. Fazendo an =

mn

n, vem que an ≤

a

a0< an +

1

n. Por cada Ai, consideremos o plano paralelo à base. Estes determinam

paralelepípedos todos congruentes aos paralelepípedos da decomposição de P 0 (por terem

bases congruentes e mesma altura xn), portanto, todos com mesmo volumeV (P 0)n

. Desse

modo, o volume de P é maior do que ou igual à soma de mn desses volumes e é menor

do que a soma de mn + 1 dos mesmos. Em símbolos, temos: mn ·V (P 0)n

≤ V (P ) <

(mn + 1)V (P 0)n

, donde, an ≤V (P )V (P 0) < an +

1

n. Posto que an ≤

a

a0< an +

1

ne an ≤

42

3.3 Volume do Cilindro, Cone e Esfera

V (P )V (P 0) < an +

1

npara cada inteiro positivo n, segue-se, pelo lema, que

V (P )V (P 0) =

a

a0. ¥

COROLÁRIO 1 Sejam P um paralelepípedo retangular cujas arestas adjacentes da basemedem, respectivamente, a e b e cuja altura mede c, e, P 0 um paralelepípedo retangularcujas arestas adjacentes da base medem, respectivamente, a0 e b0 e cuja altura mede c0.Então,

V (P )V (P 0) =

abc

a0b0c0

Prova. Sejam P 00 um paralelepípedo retangular cujas arestas adjacentes da basemedem, respectivamente, b e c e cuja altura mede a0, e, P 000 um paralelepípedo retangularcujas arestas adjacentes da base medem, respectivamente, a0 e c e cuja altura mede b0.Comparando P com P 00, P 00 com P 000 e P 000 com P 0, teremos:

V (P )V (P 00) =

a

a0;V (P 00)V (P 000) =

b

b0;V (P 000)V (P 0) =

c

c0

Multiplicando-se estas igualdades membro a membro chega-se ao resultado. ¥

COROLÁRIO 2. Seja P um paralelepípedo retangular cujas arestas adjacentes da basemedem, respectivamente, a e b e cuja altura mede c. Então,

V (P ) = abc

Prova. Basta fazer no corolário anterior P 0 igual a um cubo de aresta unitária. ¥

Utilizando o Corolário 2, podemos concluir que o volume de um paralelepípedo re-tangular é igual ao produto da área da base pela altura.

3. Volume do Cilindro, Cone e Esfera

Chamaremos de plano horizontal todo aquele paralelo ou coincidente com um certoplano que fixamos (implicitamente ou explicitamente) como referencial numa discussão.

A seguir, enunciaremos um axioma conhecido por “Princípio de Cavalieri ”, com oqual iremos deduzir as fórmulas que darão os volumes do cilindro, do cone e da esfera.

PRINCÍPIO DE CAVALIERI.

“Sejam S e S0 sólidos. Se todo plano horizontal intercepta S e S0 segundo figuras

43

3.3 Volume do Cilindro, Cone e Esfera

com mesma área, então S e S0 têm mesmo volume.”

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S S’

Consideraremos o conjunto vazio ou um conjunto unitário como uma figura de áreanula para efeito do enunciado do princípio de Cavalieri.

TEOREMA 26 O volume de um cilindro é igual ao produto da área da base pela altura.

Prova. Seja C um cilindro entre os planos α e β de base F e altura h, em que F ⊂ α.Considere um paralelepípedo P, retangular, cuja base R está contida em α e tem a mesmaárea de F, cuja altura seja h e esteja no mesmo semi-espaço (determinado por α) em quese encontra C.

F α

π

R

π ∩ Pπ ∩ C

Considere um plano π paralelo a α e β, entre α e β. Pelo Teorema 17, π ∩ C ≡ F eπ ∩P ≡ R. Como F e R têm mesma área, segue-se as secções π ∩ C e π ∩ P têm mesmaárea. Pelo princípio de Cavalieri, o cilindro e o paralelepípedo têm mesmo volume. Desdeque o volume de P, de acordo com o Corolário 2 do Teorema 20, é o produto da área deR por h, decorre que o volume de C é o produto da área de R por h e, posto que R e Ftêm mesma área, segue-se que o volume de C é o produto da área de F por h. ¥

TEOREMA 27 Dois cones têm mesmo volume se têm mesma altura e suas bases têmmesma área.

Prova. Coloquemos as bases dos dois cones num mesmo plano, digamos, α, e seusvértices num mesmo semi-espaço determinado por α. Sejam: C e C 0 os cones, F e F 0 asrespectivas bases, V e V 0 os respectivos vértices e h a altura comum. Para demonstrarque C e C 0 têm o mesmo volume utilizaremos o princípio de Cavalieri. Seja π um planoparalelo a α, entre V (ou V 0) e α e h0 = d(V,π). Basta mostrarmos que π ∩ C e π ∩ C 0

44

3.3 Volume do Cilindro, Cone e Esfera

têm mesma área.

F

V

F’

V’

π ∩ C π ∩ C’π

α

Pelo Teorema 19, vem que F ∼ π∩C com razão de semelhança igual a hh0 e F 0 ∼ π∩C 0 com

razão de semelhança também igual a hh0 . Desde que a razão entre as áreas de duas figuras

semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança, segue-se queárea (F )

área (π ∩ C) =¡hh0¢2=

área (F 0)área (π ∩ C 0) . Posto que área(F ) = área(F 0), decorre

que área(π ∩ C ) = área(π ∩ C 0) . ¥

TEOREMA 28 O volume de um cone é igual a um terço da área da base pela altura.

Prova Inicialmente, demonstraremos o teorema para o caso do cone ser um tetraedro.Consideremos então um tetraedro T de base um triângulo ABC, de vértice D e altura h.

A BC

D

C’

B’

Sejam α o plano que contém ABC, β o plano paralelo a α passando por D e B0 e C 0 osrespectivos pontos de interseção das retas paralelas a

←→AD passando por B e C com α.

Considere o prisma P entre α e β cuja reta de inclinação é←→AD e cuja base em α é ABC. A

base de P em β é DB0C 0. Observe que P está decomposto como soma dos seguintes trêstetraedros: T , o tetraedro T 0 de vértices em B, C, D e B0 e o tetraedro T 00de vértices emB0, C 0, D e C. Vamos mostrar que esses três tetraedros têm mesmo volume. Com efeito,tomando ABD como base de T , B0DB como base de T 0 e C como vértice comum a Te T 0, então T e T 0 têm bases congruentes e mesma altura, logo, pelo Teorema 22, têmmesmo volume. Pela mesma razão, T 0 e T 00 têm mesmo volume se considerarmos BB0Ccomo base de T 0, C 0CB0 como base de T 00 e D como vértice comum a T 0 e T 00. Postoque T , T 0 e T 00 têm mesmo volume e P está decomposto como soma destes tetraedros,segue-se que V(T ) = 1

3V(P) = 1

3área(ABC) · h. Por conseguinte, o teorema vale para

tetraedros.

45

3.3 Volume do Cilindro, Cone e Esfera

Para demonstrarmos que o resultado é válido para um cone C qualquer é só conside-rarmos um tetraedro com mesma altura de C e cuja base tenha a mesma área da base deC. O resultado decorre do teorema anterior. ¥

COROLÁRIO 1 O volume de um cone circular é igual a 13πr2h, em que r é o raio da

base e h é a altura do cone.

COROLÁRIO 2 O volume de uma pirâmide, cuja base é um polígono regular, é iguala 1

3pah, em que p e a são, respectivamente, o semi-perímetro e o apótema da base e h é

a altura da pirâmide.

Prova. O resultado segue-se pelo fato da área de um polígono regular ser igual aoproduto de seu semi-perímetro pelo seu apótema. ¥

COROLÁRIO 3 O volume de um tronco de pirâmide, cujas bases são polígonos regu-lares, cuja altura é h, cujos semi-perímetros das bases maior e menor, respectivamente,são P e p, e, cujos apótemas das bases maior e menor, respectivamente, são A e a é iguala 1

3h (PA+ pA+ pa) .

Prova. Seja h0 a altura da pirâmide. Então, a razão de semelhança entre a basemenor e a maior é h0−h

h0 , portanto, aA= h0−h

h0 = pP, donde, seguem-se que h0 = A

A−ah,

h0 − h = aA−ah e (P−p)A

A−a = P.

h’

h A

a

A pirâmide original está decomposta como soma do tronco mais uma pirâmide cuja base éa base menor do tronco e cuja altura é h0−h. Por conseguinte, o volume do tronco é iguala 13PAh0− 1

3pa (h0 − h) = 1

3PA A

A−ah−13pa a

A−ah =13h³PA2−pa2A−a

´= 1

3h³PA2−pA2+pA2−pa2

A−a´

= 13h

µ(P−p)A2+p(A2−a2)

A−a

¶= 1

3h (PA+ pA+ pa) . ¥

COROLÁRIO 4 O volume de um tronco de cone circular cuja altura é h e cujos raiosdas bases são R e r é igual a 1

3πh (R2 +Rr + r2) .

Prova. Seja n > 2 um inteiro. Consideremos um polígono regular de n lados inscritona base maior, digamos, de raio R, e sejam Pn e An, respectivamente, seu semi-perímetroe seu apótema. Considere também o polígono regular de n lados inscrito na base de raior corespondente ao anterior e sejam pn e an, respectivamente, seu semi-perímetro e seu

46

3.4 Área de Superfície

apótema.

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���������������������������������������������������������������������������������������������������������������

h

r

R

Então, o volume do tronco da pirâmide cujas bases são esses polígonos vale 13h(PnAn +

pnAn+pnan). O volume do tronco do cone circular é o limite desse valor quando n→ +∞.Desde que An → R, Pn → πR, an → r e pn → πr quando n→ +∞, decorre que o volumedo tronco do cone circular é igual a 1

3h(πRR+ πrR+ πrr) = 1

3πh(R2 +Rr + r2). ¥

TEOREMA 29 O volume de uma esfera de raio r é igual a 43πr3.

Prova. Sejam O o centro da esfera, t uma reta passando em O, e, P e Q pontosdistintos em t tais que O é ponto médio de PQ e OP = r = OQ. Sejam α e β os planosperpendiculares a t passando, respectivamente, por P e Q. Assim, α e β são paralelos esão tangentes à esfera, respectivamente, em P e Q. Seja C um cilindro circular entre α e βtendo como reta de inclinação t (portanto, reto) cujos raios das bases são iguais a r. SejaV o ponto médio do segmento de reta que une os centros das bases de C. Considere oscones com o vértice comum V e cujas respectivas bases são as bases de C. Utilizaremoso princípio de Cavalieri para mostrar que o volume da esfera é igual ao volume do sólidoS formado pelos pontos de C não interiores à reunião dos dois cones. Seja γ um planoqualquer paralelo a α e β, entre α e β. Mostraremos que o disco de interseção de γ coma esfera tem a mesma área de γ ∩ S (que é uma coroa circular). Seja h a distância entreα e γ.

Or

h

r – h

y

hr

x

V

P

Q

Faremos a demonstração supondo h < r. O raciocínio que iremos empregar também seaplica ao caso de r ≤ h, o qual omitiremos. Seja y o raio do disco de interseção de γcom a esfera. Usando o Teorema de Pitágoras, podemos concluir que y2 = 2rh − h2,por conseguinte, a área do disco é igual a π (2rh− h2) . Vamos agora calcular a área deγ ∩S. Seja x o raio do círculo menor da coroa. Usando semelhança, chegaremos à relaçãoxr= r−h

r, donde, x = r − h. Sendo r o raio do círculo maior da coroa, então sua área é

igual a πr2−π (r − h)2 = π (2rh− h2). Logo, o disco de interseção de γ com a esfera tema mesma área de γ ∩ S. Assim, o volume da esfera é igual ao volume de S que, por suavez, é igual a V(C) menos o volume dos dois cones, ou seja, πr2 · 2r − 2 · 1

3πr2 · r = 4

3πr3.

¥

47

3.4 Área de Superfície

4. Área de Superfície

Neste parágrafo, iremos deduzir fórmulas que fornecerão a área da superfície de certossólidos. Comecemos pela soma das áreas das faces laterais de um prisma reto.

TEOREMA 30 A soma das áreas das faces laterais de um prisma reto é igual aoproduto do perímetro da base pela altura.

Prova. Cada face lateral é um retângulo cuja altura h é a altura do prisma e cujabase é um lado da base do prisma. Se l1, l2, ..., ln são os lados da base do prisma, entãosoma das áreas das faces laterais dele é igual a l1h+ l2h+ · · ·+ lnh = (l1 + l2 + · · ·+ ln)h,isto é, o produto do perímetro da base pela altura. ¥

TEOREMA 31 A área da superfície lateral de um cilindro reto é igual ao produto doperímetro da base pela altura.

Prova. A idéia é aproximarmos o contorno da base, que é uma curva fechada simples,por linhas poligonais fechadas cujos vértices pertençam a ele. Assim, as áreas das super-fícies laterais dos prismas retos determinados por essas linhas poligonais fechadas commesma altura do cilindro dado se aproximam da área da superfície lateral dele. Quantomais aumentarmos o número n de lados da linha poligonal melhor será a aproximação.

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Fazendo n→ +∞, o perímetro da linha poligonal tenderá ao perímetro da base do cilindroe a área da superfície lateral do prisma determinado pela linha tenderá à área da superfícielateral do cilindro. Em símbolos, se 2pn e 2p são, respectivamente, os perímetros da linhae da base do cilindro, e, An e A são, respectivamente, as áreas das superfícies laterias doprisma e do cilindro, então 2pn → 2p e An → A quando n→ +∞. Temos que An = 2pnh,em que h é a altura do cilindro e do prisma. Fazendo, nesta relação, n→ +∞, obtemosA = 2ph. ¥

COROLÁRIO. A área da superfície lateral de um cilindro circular reto cuja altura é he cujo raio da base é r é igual a

2πrh

TEOREMA 32 A soma das áreas das faces laterais de uma pirâmide regular é igual a

p√a2 + h2

em que p e a são, respectivamente, o semi-perímetro e o apótema da base e h é a alturada pirâmide.

48

3.4 Área de Superfície

Prova. Sejam: V o vértice da pirâmide, e, O e l, respectivamente, o centro e o ladoda base. Note que os triângulos formados por V, O e os vértices da base são congruentesentre si pelo caso L.A.L. de congruência de triângulos. Isso traz como conseqüência que asarestas laterais da pirâmide são congruentes entre si, logo, as faces laterais são triângulosisósceles congruentes entre si, todos com base medindo l.

V

h

l aO

Assim, a área da superfície lateral da pirâmide é igual a n vezes a área de cada um dessestriângulos, em que n é o número de lados da base. Já sabemos quanto mede a basede cada um deles: l. Resta calcularmos a altura. Esta é a hipotenusa de um triânguloretângulo cujos catetos são a altura h da pirâmide e o apótema da base da pirâmide, ouseja,

√a2 + h2. Portanto, a soma das áreas das faces laterais da pirâmide regular é igual

a n · 12l√a2 + h2, isto é, p

√a2 + h2. ¥

COROLÁRIO 1A área da superfície lateral de um cone circular reto é igual a πr√r2 + h2,

em que r é o raio da base e h é a altura do cone, ou seja,

πrg

sendo g a medida de uma geratriz qualquer do cone.

Prova. Seja n > 2 um inteiro. Consideremos um polígono regular de n lados inscritona base e sejam pn e an, respectivamente, seu semi-perímetro e seu apótema. Então, asoma das áreas das faces laterais da pirâmide regular, cuja base é o polígono e cujovértice é o vértice do cone dado, é igual a pn

pa2n + h

2. A área da superfície lateral docone circular reto é o limite desse valor quando n → +∞. Desde que an → r e pn → πrquando n → +∞, decorre que a área da superfície lateral do cone é igual a πr

√r2 + h2.

¥

COROLÁRIO 2 A área da superfície lateral de um tronco de pirâmide regular cujaaltura é h, cujos semi-perímetros das bases são P e p, e, cujos apótemas das bases são A

e a é igual a (P + p)q(A− a)2 + h2.

Prova. Digamos que P e A são, respectivamente, o semi-perímetro e o apótema dabase maior. Seja h0 a altura da pirâmide. Então, a razão de semelhança entre a basemenor e a maior é h0−h

h0 , portanto, aA= h0−h

h0 = pP, donde, h0 = A

A−ah, h0 − h = a

A−ah,

49

3.4 Área de Superfície

AA−a =

PP−p e a

A−a =p

P−p .

h’

h A

a

A pirâmide original está decomposta como soma do tronco mais uma pirâmide cuja base éa base menor do tronco e cuja altura é h0−h. Por conseguinte, a área da superfície lateral do

tronco é igual a PqA2 + (h0)2−p

qa2 + (h0 − h)2 = P

qA2 +

¡AA−ah

¢2−pqa2 + ¡ aA−ah

¢2= PA

A−a

q(A− a)2 + h2− pa

A−a

q(A− a)2 + h2 =

¡PAA−a −

paA−a

¢q(A− a)2 + h2 =

³P 2

P−p −p2

P−p´

q(A− a)2 + h2 = (P + p)

q(A− a)2 + h2. ¥

COROLÁRIO 3 A área da superfície lateral de um tronco de cone circular reto cuja

altura é h e cujos raios das bases são R e r é igual a π (R+ r)q(R− r)2 + h2, isto é,

π (R+ r) g

em que g é a medida de uma geratriz qualquer do tronco.

Prova. Seja n > 2 um inteiro. Consideremos um polígono regular de n lados inscritona base maior, digamos, de raio R, e sejam Pn e An, respectivamente, seu semi-perímetroe seu apótema. Considere também o polígono regular de n lados inscrito na base de raior correspondente ao anterior e sejam pn e an, respectivamente, seu semi-perímetro e seuapótema.

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h

r

R

Então, a área da superfície lateral do tronco da pirâmide cujas bases são esses polígonos

vale (Pn + pn)q(An − an)2 + h2. A área da superfície lateral do tronco do cone circular é

o limite desse valor quando n→ +∞. Desde que An → R, Pn → πR, an → r e pn → πrquando n → +∞, decorre que a área da superfície lateral do tronco do cone circular é

igual a π (R+ r)q(R− r)2 + h2. ¥

TEOREMA 33 A área da superfície de uma esfera de raio r é igual a

4πr2

Prova. Seja h > 0. Consideremos a esfera com o mesmo centro O da esfera dada ecujo raio é r + h, e, o sólido S que é o conjunto dos pontos da esfera de raio r + h não

50

3.5 Exercícios

interiores à esfera de raio r, isto é, o conjunto dos pontos X tais que r ≤ d(X,O) ≤ r+h.����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

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r hA(r + h)

hO

Iremos admitir que, para valores de h próximos de zero, V(S) é aproximado pelo volume docilindro cuja área da base é a área da superfície da esfera de raio r+h, que denotaremos porA(r+h), e cuja altura é h. Em símbolos, isto quer dizer: V(S) ∼= A(r+h)·h para pequenos

valores de h, donde, A(r + h) ∼= V(S)h

para valores de h próximos de zero. Assim sendo,

temos: limA (r + h) = lim V (S)h

= lim43π (r + h)3 − 4

3πr3

h= lim 4

3π (3r2 + 3rh+ h2) =

43π · 3r2 = 4πr2 quando h → 0. Desde que limA (r + h) quando h → 0 é a área da

superfície da esfera de raio r, decorre o resultado. ¥

5. Exercícios

1. Um metro cúbico contém quantos centímetros cúbicos?

2. Qual o número máximo de caixas cujas dimensões (exteriores) são 30cm, 20cm e 50cmque podem ser acomodadas em uma caixa cujas dimensões (interiores) são 2m, 3m e5m.

3. Determine o volume e a área da superfície de uma esfera de raio igual a 2.

4. Em quantos por cento devemos aumentar a aresta de um cubo para que tenhamosum novo cubo com o dobro do volume do outro?

5. Em quantos por cento devemos aumentar a aresta de um cubo para que tenhamosum novo cubo com o dobro da área total do outro?

6. Determine o volume e a área total da superfície de um tronco de cone circular retocujos raios das bases medem, respectivamente, 5cm e 1cm, e, cuja altura é de 3cm.

7. Calcule o volume do tronco de uma pirâmide regular e a área total da superfície dessetronco, cuja altura é 3, cujos semi-perímetros das bases maior e menor, respectiva-mente, são 45 e 9, e, cujos apótemas das bases maior e menor, respectivamente, são5 e 1.

8. Demonstre que dentre os paralelepípedos retangulares de base quadrada com áreatotal constante o de maior volume é o cubo.

9. Um prisma reto tem por base um triângulo retângulo cujos catetos medem 5cm e

51

3.5 Exercícios

12cm. A diagonal de sua maior face lateral forma um ângulo de 60ocom o plano dabase. Calcule sua área lateral.

10. Determine o volume e a área total de uma pirâmide regular de base quadrada sabendoque sua aresta lateral mede 5cm e suas faces laterais fazem um ângulo de 30◦ com abase.

11. Calcule, em função da aresta, o volume e a área da superfície de um tetraedro regular.

12. Demonstre que dentre os paralelepípedos retangulares com área total cons-tante o demaior volume é o cubo.

13. Uma caixa fechada, em forma de um paralelepípedo retangular, tem as seguintesdimensões externas: x, y e z. Sabendo que sua espessura mede a, determine seuvolume interno.

14. Uma lata fechada, em forma de cilindro circular reto, tem as seguintes dimensõesexternas: altura h e raio r. Sabendo que sua espessura mede a, determine seu volumeinterno.

15. A geratriz de um cone circular reto forma com seu eixo um ângulo de 45◦. Sabendo-se que o perímetro de sua seção meridiana mede 2cm, quanto vale a área total dasuperfície do cone? (Nota: o eixo de um cone circular reto é a reta que contémo vértice do cone e o centro de sua base, e, sua seção meridiana é a interseção dequalquer plano, que contém o eixo, com o cone.)

16. Um triedro tri-retângulo é cortado por um plano que intercepta as três arestas, for-mando um triângulo com lados medindo 8m, 10m e 12m. Determine o volume dosólido formado.

17. Um prisma reto de base hexagonal regular tem como altura o dobro da aresta dabase. Qual a razão entre o volume deste prisma e o volume do cone circular reto neleinscrito?

18. Considere um cone circular reto cuja geratriz mede√5cm e cujo diâmetro da base

mede 2cm. Traçam-se n planos paralelos à base do cone que o seccionam determi-nando n + 1 cones, incluindo o original, de modo que a razão entre o volume docone maior e do cone menor é 2. Os volumes desses cones formam uma progressãoaritmética crescente cuja soma é igual a 2π. Determine o volume do tronco de conedeterminado por dois planos consecutivos.

Def. 44 Chama-se calota esférica as partes da superfície de uma esfera determinadaspor um plano secante a ela.

Def. 45 A região de uma esfera situada entre dois planos paralelos e secantes à ela échamada de setor esférico e a superfície do setor esférico é denominada de zona esférica.

Def. 46 A interseção de uma esfera com a região convexa determinada por um diedrocuja aresta contém o centro da esfera chama-se cunha esférica e a superfície da cunhadenomina-se fuso esférico.

52

3.5 Exercícios

19. Expresse o volume de uma cunha esférica em função do raio r da esfera e da medidaθ do ângulo diedral (em graus) que a determina, bem como a área do fuso esféricocorrespondente.

20. Um plano secante a uma esfera de raio r dista r − a de seu centro. Expresse a áreada superfície da calota menor determinada pelo plano, em função de a e r, bem comoo volume do sólido delimitado por essa calota e o plano.

21. Suponha que o centro de uma esfera de raio r pertence a um setor esférico determinadopor dois planos que distam, respectivamente, a e b do centro. Expresse o volume dosetor e área da zona esférica correspondente a esse setor em função de a, b e r.

22. Dois prismas têm mesma altura e bases regulares inscritas em círculos de raiosunitários com, respectivamente, 4 e 5 arestas. Demonstre que o que tem maior volumeé aquele cuja base tem 5 arestas.

23. Dois prismas têm mesma altura e bases regulares inscritas em círculos de raiosunitários com, respectivamente, n e n + 1 arestas. Demonstre que o que tem maiorvolume é aquele cuja base tem n+ 1 arestas.

24. Um cone e um cilindro, ambos circulares retos, possuem o mesmo volume e bases commesmo raio. Supondo que ambos são inscritíveis em uma esfera de raio r, determinea razão entre a altura do cone e r.

25. Considere uma esfera inscrita e tangente à base de um cone circular reto. Um cilindroestá circunscrito à esfera de tal forma que uma de suas bases está apoiada na base docone. Seja V1 o volume do cone e V2 o volume do cilindro. Encontre o menor valorda constante k para o qual V1 = kV2. (Sugestão: considere o ângulo formado pelodiâmetro da base e a geratriz do cone em uma das extremidades deste diâmetro.)

26. Calcule o volume do tronco de uma pirâmide regular cuja altura é 3 e cujas respectivasáreas das bases são 3 e 12.

27. Sejam: A1 e A2 as respectivas áreas das bases de um tronco de cone e h sua altura.Mostre que seu volume V obedece à seguinte fórmula:

V = h

3

³A1 +

pA1A2 +A2

´

53

Capítulo 4Poliedros

Os sólidos que estudamos até agora foram o cilindro, o cone e a esfera. Falta estudarmosmais um tipo importante de sólido: poliedro. Conforme veremos, são poliedros os prismase as pirâmides. Assim, o estudo dos poliedros é uma extensão do estudo dos prismas edas pirâmides.

1. Definições

O conceito de poliedro está para o espaço assim como o conceito de polígono estápara o plano. É o que veremos a seguir.

Primeiramente, vamos recordar o conceito de polígono.

Def. 47 Chama-se polígono a região de um plano delimitada por um número finito desegmentos de reta, contidos nesse plano, que satisfazem às seguintes condições:

i) cada extremidade de qualquer segmento é extremidade de exatamente dois segmentos;

ii) dois segmentos consecutivos quaisquer nunca são colineares;

iii) dois segmentos não consecutivos quaisquer jamais se interceptam.

Os segmentos são chamados de lados e suas extremidades de vértices do polígono.A reunião dos lados chama-se linha poligonal fechada, bordo ou fronteira do polígono.Adotaremos a notação ∂P para denotar o bordo de um polígono P.

Um polígono é convexo se satisfaz à seguinte condição:

iv) fixado cada lado, os demais se encontram num mesmo semi-plano (em relação aofixado).

Nas figuras anteriores, o polígono da esquerda é convexo ao passo que o da direita écôncavo.

Def. 48 Dois polígonos P e Q serão chamados de consecutivos se φ 6= P ∩Q ⊂ ∂P ∩∂Q.

4.1 Definições

Def. 49 (Poliedro) Chama-se poliedro a região do espaço delimitada por um númerofinito de polígonos que satisfazem às seguintes condições:

i) cada lado de qualquer polígono é lado de exatamente dois polígonos;

ii) dois polígonos consecutivos quaisquer nunca são coplanares;

iii) dois polígonos não consecutivos quaisquer jamais se interceptam.

Os polígonos são chamados de faces, os lados das faces são chamados de arestas e osvértices das faces de vértices do poliedro. Chama-se diagonal do poliedro todo segmentode reta que une dois vértices não pertencentes a uma mesma aresta. A reunião das faceschama-se superfície, bordo ou fronteira do poliedro.

Um poliedro é convexo se satisfaz à seguinte condição:

iv) fixada cada face, as demais se encontram num mesmo semi-espaço (em relação àfixada).

Nas figuras anteriores, o poliedro da esquerda é convexo ao passo que o da direita écôncavo.

Seja P um poliedro com F faces que satisfaz à condição iv). Fixada a i-ésima face,as demais estão contidas num mesmo semi-espaço determinado por esta face fixada. De-notemos por Ei esse semi-espaço. Então, P = E1 ∩ E2 ∩ · · ·EF .

Chamaremos de poliedro convexo todo aquele que satisfaz à condição iv).

1.1. Representação Plana de um Poliedro Convexo.

Podemos representar um poliedro convexo num plano. Vejamos de que maneira.Consideremos o poliedro particular a seguir. O modo como procederemos nesse poliedro

56

4.1 Definições

pode ser realizado num poliedro convexo qualquer.

A

B C

D

E

F

G

A idéia é a seguinte: consideremos apenos o “esqueleto” do poliedro, isto é, somenteas arestas e os vértices e imaginemos que as arestas podem tomar qualquer direção, seresticadas ou encolhidas, como um elástico. Admitamos ainda que elas conservam suasformas de segmento de reta e que os vértices são “nós” que não se desatam das arestasdas quais são extremidades. Escolhamos qualquer uma das faces do poliedro, digamos, aface ABCD. Estiquemos suas arestas e, movimentando-as livremente, coloquemo-las numplano de tal modo que as demais arestas e vértices do poliedro fiquem em seu interior,decompondo esta face como soma das demais faces transformadas, conforme mostra aseguinte figura:

A’

B’ C’

D’

E’

F’

G’

Essa decomposição é possível dado que o poliedro é convexo. Enfim, temos aí umarepresentação plana do poliedro cujos vértices A, B, C, D, E, F e G correspondem,respectivamente, a A0, B0, C 0, D0, E0, F 0 e G0. Note que, nela, estão preservados onúmero de vértices, de arestas, de faces do poliedro, de arestas que partem de um mesmovértice assim como a quantidade de arestas de uma mesma face.

Chamaremos essa representação do poliedro de representação plana segundo a faceABCD.

Veja, a seguir, exemplos de poliedros e à sua direita uma representação plana: (Des-

57

4.2 Relação de Euler

cubra segundo qual face.)

2. Relação de Euler

Leonhard Euler, suíço, nasceu na cidade de Basiléia em 15 de abril de 1707 e morreuem 18 de setembro de 1783, em São Petersburgo. Muito precoce, aos vinte anos deidade, tornou-se membro associado da Academia de Ciências de São Petersburgo. Suacontribuição para a geometria analítica e para a trigonometria pode ser comparada à deEuclides para a geometria plana. É responsável por notações da Matemática utilizadasnos dias atuais tais como e para constante neperiana, Σ para somatório, A, B e C paraângulos de um triângulo, f(x) para função, etc.

Euler (1707-1783)

Um dos teoremas mais importantes da geometria euclidiana espacial é o que estabeleceuma relação existente entre o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo,conhecida por Relação de Euler. Ei-lo:

TEOREMA 34 Se V, A e F são, respectivamente, o número de vértices, arestas e facesde um poliedro convexo, então

V −A+ F = 2

58

4.2 Relação de Euler

Prova. Sejam P1, P2, ..., PF as faces do poliedro e n1, n2, ..., nF , respectivamente,o número de arestas de P1, P2, ..., PF . Consideremos a representação plana do poliedrosegundo a face P1. Sejam A1, A2, ..., An1 os vértices correspondentes aos vértices de P1nessa representação plana.

A1

A2 A3

A4

A5

A6

An1

Temos: n1 + n2 + · · · + nF = 2A, pois, de acordo com a definição de poliedro, cadaaresta é aresta de exatamente duas faces e, portanto, na contagem n1 + n2 + · · · + nFcomputamos duas vezes o número de arestas. Agora vamos calcular o somatório de to-dos os ângulos internos de todos os polígonos da decomposição da face transformadaA1A2...An1. Faremos isso de dois modos e depois igualaremos os resultados. A primeiromodo será calculando-se a soma dos ângulos internos de cada polígono da decomposiçãoe, em seguida, somar tudo. A face transformada está decomposta em F − 1 polígonos.Os números de lados desses polígonos são n2, n3, ..., nF . Por conseguinte, as respectivassomas de seus ângulos internos são 180◦ (n2 − 2) , 180◦ (n3 − 2) , ..., 180◦ (nF − 2) . Logo, asoma de tudo é 180◦ [n2 + n3 + · · ·+ nF − 2 (F − 1)] (I). A outra maneira de se calcularo somatório será feita calculando-se a soma dos ângulos internos de A1A2...An1 e a esteresultado somar os ângulos que ficam em torno dos vértices internos da decomposição deA1A2...An1. Note que a soma dos ângulos que ficam em torno de cada um desses vérticesé igual a 360◦. A quantidade desses vértices é V − n1, portanto, o somatório é igual a180◦ (n1 − 2)+360◦ (V − n1) (II). Igualando-se (I) a (II) e substituindo-se n2+n3+· · ·+nFpor 2A−n1 chega-se a 180◦ [2A− n1 − 2 (F − 1)] = 180◦ (n1 − 2)+360◦ (V − n1), donde,segue-se que V −A+ F = 2. ¥

Nesse teorema, a hipótese do poliedro ser convexo é essencial, ou seja, o teoremanão é válido para um poliedro qualquer. Vamos dar exemplo de um poliedro (certamentecôncavo) cujos números de vértices, arestas e faces não satisfazem à relação de Euler.Ei-lo:

59

4.3 Poliedros Regulares

Nesse poliedro, temos: V = 12, A = 24 e F = 12, donde, V −A+ F = 0.

3. Poliedros Regulares

Platão, grego, foi um dos pensadores mais influentes de todos os tempos. Nasceuem Atenas por volta do ano 428 a.C. e lá morreu em 348. Foi o fundador de uma escolade filosofia chamada Academia2 situada em Atenas. Conheceu Euclides em Mégara comquem compartilhava das mesmas idéias. Há uma importante classe de poliedros que recebeuma denominação em sua homenagem.

Academia de Platão

Um poliedro convexo chama-se poliedro de Platão se suas faces têm o mesmo númeron de arestas e se de cada vértice partem o mesmo número m de arestas. Veja a seguirdois exemplos.

Sejam V, A e F, respectivamente, os números de vértices, arestas e faces de umpoliedro de Platão. Pelo fato de suas faces terem o mesmo número n de arestas e cadaaresta é aresta de exatamente duas faces, segue-se que nF = 2A; posto que de cada vérticepartem o mesmo número m de arestas, decorre que mV = 2A e desde que o poliedro éconvexo, então V − A + F = 2. Em suma, as seguintes relações são válidas para umpoliedro de Platão: nF = 2A

mV = 2AV −A+ F = 2

Expressando F e V em função de A, m e n e substituindo essas expressões na relaçãode Euler, chegaremos à relação 1

m+ 1n− 12= 1

A. Não podemos ter, simultaneamente, m ≥ 4

2 Mosaico representando a Academia de Platão (Museu Arqueológico, Nápoles)

60

4.3 Poliedros Regulares

e n ≥ 4, pois se assim o fosse teríamos 1m≤ 1

4e 1n≤ 1

4, donde, 1

m+ 1n≤ 1

2e, por conseguinte,

1m+ 1

n− 1

2= 1

A≤ 0, o que é uma contradição. Portanto, m = 3 ou n = 3.

Se m = 3, então 13+ 1

n− 1

2= 1

A, donde, 1

n− 1

6= 1

A> 0 e, por conseguinte, n < 6.

Assim sendo, se m = 3, então n = 3, 4 ou 5.

Se n = 3, pelo mesmo argumento anterior, segue-se que m = 3, 4 ou 5. Em resumo,as possibilidades para m e n, respectivamente, são: 3 e 3, 3 e 4, 3 e 5, 4 e 3, e, 5 e 3.Para cada uma dessas possibilidades, podemos determinar os respectivos valores de A, Ve F utilizando as relações 1

m+ 1

n− 1

2= 1

A, mV = 2A e nF = 2A. A tabela a seguir reúne

esses resultados:

m n A V F Denominação3 3 6 4 4 tetraedro3 4 12 8 6 hexaedro3 5 30 20 12 dodecaedro4 3 12 6 8 octaedro5 3 30 12 20 icosaedro

Note que essas denominações são quanto ao número de faces. Observe ainda que asfaces são triângulos, quadriláteros ou pentágonos. A análise que acabamos de fazer nospermite enunciar o

TEOREMA 35 Quanto ao número de faces, há, no máximo, cinco poliedros de Platão.

Informações mais detalhadas sobre os poliedros de Platão se encontram na tabelaanterior.

Def. 50 Um poliedro de Platão chama-se regular se todas suas faces são polígonos regu-lares.

Veja a seguir os cinco poliedros regulares existentes, quanto ao número de faces.

Em seguida, apresentamos planificações dos poliedros regulares a fim de se construí-los com folha de cartolina ou outro material similar. As linhas cheias indicam recortes, as

61

4.3 Poliedros Regulares

pontilhadas dobraduras e as partes sombreadas colagem.

62

4.4 Exercícios

4. Exercícios

1. Expresse o número de arestas A de uma pirâmide, em função do número n de ladosde sua base.

2. Expresse o número de arestas A de um prisma, em função do número n de lados desua base.

3. Mostre que dado um inteiro n ≥ 4, existe um poliedro convexo cujo número de facesé n.

63

4.4 Exercícios

4. Calcule o número de arestas e de vértices de um poliedro convexo com oito faces, dasquais cinco são triangulares e três são pentagonais.

5. Calcule o número de arestas e de vértices de um poliedro convexo com onze faces, dasquais sete são triangulares, três são pentagonais e uma é hexagonal.

6. Calcule o número de arestas e de vértices de um poliedro convexo com doze faces,todas pentagonais.

7. Calcule o número de arestas e de vértices de um poliedro convexo com onze faces, dasquais nove são quadrangulares e duas são pentagonais.

8. Desenhe, para cada poliedro regular, uma planificação segundo uma de suas faces.

9. Determine os números de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo sabendo-seque cada vértice é vértice de exatamente dois hexágonos regulares e um quadrado.Tente desenhar uma planificação para se construir, em cartolina, este poliedro. (Al-gumas abelhas guardam o mel em reservatórios com esse formato. Assim como cubosde mesma aresta têm a propriedade de serem empilhados sem deixar espaços vazios,esses poliedros têm esta propriedade com uma vantagem a mais: dentre os poliedrosconvexos empilháveis com uma mesma área de superfície ele é o de volume máximo.)

10. Determine os números de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo sabendo-seque cada vértice é vértice de exatamente dois hexágonos e um pentágono, regulares.Você seria capaz de desenhar uma planificação para se construir, em cartolina, umtal poliedro? (A bola de futebol usada na Copa de 1970 tinha esse formato. Essepoliedro foi descoberto por Arquimedes.)

11. Determine os números de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo sabendo-seque cada vértice é vértice de exatamente dois pentágonos e um hexágono.

12. Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces triangulares e quadrangu-lares. Seccionado-o por um plano convenientemente escolhido, dele se destaca umnovo poliedro convexo, que possui apenas faces quadrangulares. Este novo poliedropossui um vértice a menos que o original e uma face a mais que o número de facesquadrangulares do original. Determine o número de faces e o número de vértices dopoliedro original.

13. Mostre que a soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é igual a360◦ (V − 2), em que V é o número de vértices do poliedro.

14. Mostre que se um poliedro convexo tem 10 arestas, então seu número de faces e seunúmero de vértices são iguais a 6.

15. Determine os poliedros convexos com 10 arestas quanto ao número de arestas partindode seus vértices. Desenhe-os.

16. Os ítens a seguir, deste exercício, têm como objetivo garantir a existência dos octae-dros regulares e também estabelecer algumas de suas propriedades.

64

4.4 Exercícios

a) Mostre que existe uma pirâmide regular cujas faces laterais são triângulos equi-láteros e cuja base é um quadrado. Determine sua altura h em função de suaaresta a.

b) Mostre que existe um octaedro regular.

c) Há um ponto no octaedro regular que é equidistante de seus vértices e de suasfaces, chamado de centro do mesmo, que é centro comum das esferas inscrita e cir-cunscrita a ele. Calcule, em função de sua aresta a, os raios R e r, respectivamente,das esferas circunscrita e inscrita nele, bem como seus ângulos diedrais.

d) Calcule a área A da superfície e o volume V do octaedro regular em função de a.

e) Mostre que os centros das faces do octaedro regular são vértices de um cubo.

17. Mostre que os centros das faces de um cubo são vértices de um octaedro regular.

18. Um cubo tem aresta a. Determine, em função de a, a razão entre o volume e a áreatotal da superfície do poliedro cujos vértices são os centros das faces do cubo.

19. Um octaedro regular é inscrito num cubo, que está inscrito numa esfera, a qual estáinscrita num tetraedro regular de aresta a. Em função de a, determine a aresta dooctaedro.

20. Mostre que o poliedro referido no exercício 8 pode ser construído a partir de umoctaedro regular seccionando-se as faces em torno de cada um de seus vértices comum plano que determina em cada uma delas um triângulo semelhante cuja razão desemelhança é igual a um terço. Este poliedro tem a denominação de octaedro regulartruncado.

21. Há um ponto no octaedro regular truncado que é equidistante de seus vértices,chamado de circuncentro do mesmo, que é o centro da esfera circunscrita a ele. Cal-cule, em função de sua aresta a, o raio R da esfera circunscrita bem como seus ângulosdiedrais. Calcule também a área A de sua superfície e seu volume V em função de a.

22. Os ítens a seguir, deste exercício, têm como objetivo garantir a existência dos icosae-dros e dodecaedros regulares, e, também estabelecer algumas de suas propriedades.

a) Mostre que existe uma pirâmide regular cujas faces laterais são triângulos equi-láteros e cuja base é um pentágono. Determine sua altura h em função de suaaresta a.

b) Mostre que existe um icosaedro regular.

c) Mostre que há um ponto no icosaedro regular que é equidistante de seus vérticese de suas faces, chamado de centro do mesmo, que é centro comum das esferasinscrita e circunscrita a ele. Calcule, em função de sua aresta a, os raios R e r,respectivamente, das esferas circunscrita e inscrita nele, bem como seus ângulosdiedrais.

d) Calcule a área A da superfície e o volume V do icosaedro regular em função de a.

e) Mostre que os centros das faces do icosaedro regular são vértices de um dodecaedro

65

4.4 Exercícios

regular (conseqüentemente, existe um dodecaedro regular).

f) Mostre que existe um ponto no dodecaedro regular que é equidistante de seusvértices e de suas faces, chamado de centro do mesmo, que é centro comum dasesferas inscrita e circunscrita a ele. Calcule, em função de sua aresta, os raios,respectivamente, das esferas circunscrita e inscrita nele, bem como seus ângulosdiedrais.

g) Calcule a área da superfície e o volume do dodecaedro regular em função de suaaresta.

h) Calcule a área da superfície e o volume do icosaedro e do dodecaedro, regulares,inscritos na esfera de raio unitário, e, compare os resultados.

23. Mostre que os centros das faces de um dodecaedro regular são vértices de um icosaedroregular.

24. Mostre que o poliedro referido no exercício 9 pode ser construído a partir de umicosaedro regular seccionando-se as faces em torno de cada um de seus vértices comum plano que determina em cada uma delas um triângulo semelhante cuja razão desemelhança é igual a um terço. Este poliedro tem a denominação de icosaedro regulartruncado.

25. Há um ponto no icosaedro regular truncado que é equidistante de seus vértices,chamado de circuncentro do mesmo, que é o centro da esfera circunscrita a ele. Cal-cule, em função de sua aresta a, o raio R da esfera circunscrita bem como seus ângulosdiedrais. Calcule também a área A de sua superfície e seu volume V em função de a.

66

Respostas

Capítulo 1

3) As extremidades de rês pernas determinam o plano do piso. Quanto à extremidade aquarta perna, esta pode ou não pertencer a esse plano. 4) Nem sempre. 15) Não. 19)←→AB.

Capítulo 2

1)√61. 2) 120◦. 3) 5. 4) A = 66, V = 44, F = 24 e a soma dos ângulos de todas as faces

é 15120◦. 5)√32a2. 6) a

4

√3a2 + 4h2. 7) a

√5. 9) a) 4

π, θ ∼= 51◦5101400; b)

q12+ 4

π2a ∼=

0, 95a, em que a é a aresta da base; c) o cosseno dos ângulos da base é π√2π2++16

∼=0, 5255, logo, esses ângulos medem, aproximadamente, 58◦1705200; o cosseno do ângulooposto à base é 8

π2+8∼= 0, 447 7, logo, esse ângulo mede, aproximadamente, 63◦2401600; d)

− π2

π2+16∼= −0, 381 5, portanto, o ângulo mede, aproximadamente, 112◦2503900. 10)

√693

.

11) 2√2 + 4

√5. 15) Esfera tendo AB como diâmetro, menos A e B. 19) a) h =

√63a;

d) R =√64a, r =

√612a, ângulo diedral: arccos1

3∼= 70◦3104400. 21) R =

√32a e r = a

2. 22)

1 +p3√3 + 3. 23) 10/3. 24) r

h

¡√r2 + h2 − r

¢.

Capítulo 3

1) 106cm3 = 1 milhão de cm3. 2) 1000. 3) A = 16π e V = 32π3

. 4)¡3√2− 1

¢100% ∼=

25, 99%. 5)¡√2− 1

¢100% ∼= 41, 42%. 6) V = 31πcm3 e A = 56πcm2. 7) V = 279

e A = 504. 9) 390√3cm2. 10) V = 500

49

√7 e A = 100

7

¡3 + 2

√3¢. 11) V =

√212a3 e

A =√3a2. 13) (x− 2a) (y − 2a) (z − 2a). 14) π (r − a)2 (h− 2a). 15) π

¡√2− 1

¢cm2.

16) 15√6. 17) 6

√3

π. 18) π

9. 19) V = πr3θ

270◦ e A = πr2θ90◦ . 20) A = 2πra e V = πa2

3(3r − a).

21) V = π3(a+ b)

¡3r2 − (a− b)2 − ab

¢e A = 2πr (a+ b). 24) 6/5. 25) 4/3. 26) 21.

Capítulo 4

1) A = 2n. 2) A = 3n. 4) V = 9 e A = 15. 5) V = 12 e A = 21. 6) V = 20 e

67

A = 30. 7) V = 14 e A = 23. 8)

tetraedro regular hexaedro regular octaedro regular

dodecaedro regular icosaedro regular

9) V = 24, A = 36 e F = 14.

68

10) V = 60, A = 90 e F = 32.

11) V = 30, A = 45 e F = 17. 12) O número de faces e o número de vértices do poliedrooriginal são iguais a 9. 15) São dois. Primeiro: de 5 vértices partem 3 arestas e de umvértice partem 5. Segundo: de 4 vértices partem 3 arestas e de 2 vértices partem 4 arestas.

16) a) h =√22a; c) R =

√22a, r =

√66a e os ângulos diedrais são iguais ao arccos

¡−13

¢ ∼=109◦2801600; d) A = 2

√3a2 e V =

√23a3. 18)

√318a. 19) a/6. 21) R =

√102a, A =

6¡1 + 2

√3¢a2, V = 8

√2a3, o ângulo entre duas faces hexagonais é igual ao arccos

¡−13

¢ ∼=109◦2801600 e o ângulo entre uma face quadrada e uma hexagonal é o arccos

³−√33

´∼=

125◦1505200. 22) c) R = 12

q5+√5

2a ∼= 0, 9511a, r = 1

2

q7+3

√5

6a ∼= 0, 7558a e os ân-

gulos diedrais medem arccos³−√53

´∼= 138◦1102300; d) A = 5

√3a2 ∼= 8, 6603a2 e V =

56

q7+3

√5

2a3 ∼= 2, 1817a3; f) Rd = 3

2

q3+√5

6ad ∼= 1, 4013ad, rd = 1

4

q50+22

√5

5ad ∼= 1, 1135ad

e os ângulos diedrais medem arccos³−√55

´∼= 116◦3305400; g) Ad = 3

p25 + 10

√5a2d∼=

20, 6457a2d e Vd = 14

p470 + 210

√5a3d∼= 7, 6631a3d; h) Ai ∼= 9, 5737, Ad ∼= 10, 514,

Vi ∼= 2, 5358 e Vd ∼= 2, 7849. 25) R = 12

q29+9

√5

2a ∼= 2, 478a, A = 15

µ2√3 +

q5+2

√5

5

¶a2

∼= 72, 6a2, V = (452

q7+3

√5

2−q

15+5√5

2)a3 ∼= 55, 2877a3, o ângulo entre duas faces hexa-

gonais mede, aproximadamente, 138◦1102300 e o ângulo entre uma face pentagonal e umahexagonal mede, aproximadamente, 142◦3702100.

69

Bibliografia

1. BARBOSA, João Lucas Marques - Geometria Euclidiana Plana. Sociedade Brasileirade Matemática, Rio de Janeiro, 1985.

2. BARSA, Nova Enciclopédia. Enciclopædia Britannica do Brasil Publicações LTDA.,Rio de Janeiro, 1998.

3. BLUMENTHAL, Leonard M. - Geometria Axiomatica. Aguilar, Madrid, 1965.

4. BOYER, Carl B. - História da Matemática. Editora Edgard Blücher LTDA., SãoPaulo, 1974.

5. CARVALHO, Paulo César Pinto - Intodução à Geometria Espacial. SBM, Rio deJaneiro, 1993.

6. COXETER, H. S. M. - Introduction to Geometry. John Wiley & Sons, Inc., NewYork, 1965.

7. COXETER, H. S. M. e GREITZER, S. L. - Geometry Revisited. Random House,New York, 1967.

8. IEZZI, Gelson - DOLCE, Osvaldo e Outros - Matemática vol. 2. Atual EditoraLTDA., São Paulo, 1976.

9. LIMA, Elon Lages - Áreas e Volumes. SBM, Rio de Janeiro, 1979.

FFF

71

Índice Remissivo

Área da superfíciede um cilindro, 48de um cone circular, 49de um tronco de cone circular, 50de um tronco de pirâmide regular, 49de uma esfera, 50de uma pirâmide regular, 48

Ângulodiedral, 15entre planos, 15entre reta e plano, 18entre retas, 14

Arquimedes, 39

Bissetor, 16

Cilindro, 23, 26circular, 24

Cone, 26, 29circular, 27

geratriz de um, 27circular reto

eixo de um, 52seção meridiana de um, 52

reto, 27tronco de, 29

Conjunto convexo, 16Cubo, 24

centro de um, 36

Diedro, 15Distância

de um ponto a um plano, 13entre planos paralelos, 13entre retas reversas, 14

Dodecaedro regularcentro de um, 66

Esférico(a)calota, 52cunha, 52fuso, 52setor, 52zona, 52

Esfera(s), 30concêntricas, 30externas, 33plano secante a uma, 31plano tangente a uma, 31secantes, 31

superfície de uma, 30tangentes, 31

externas, 33Euler, 58

relação de, 58

Figura(s)congruentes, 26plana, 23semelhança de, 29

Icosaedro regularcentro de um, 65truncado, 66

Mediador, 21

Octaedro regularcentro de um, 65truncado, 65

Paralelepípedo, 24Pirâmide, 26, 28

regular, 27Plano(s)

concorrentes, 7paralelos, 7, 9, 24perpendiculares, 15

Polígono(s), 55consecutivos, 55convexo, 55

Poliedro, 56convexo, 56

representação plana de um, 57de Platão, 60regular, 61

planificação de um, 61Postulado de Euclides, 8Pricípio de Cavalieri, 43Prisma, 23, 25Projeção, 17, 18

Reta(s)concorrentes, 7ortogonais, 14paralela a um plano, 7, 8paralelas, 7, 9, 10perpendicular a um plano, 11—13reversas, 7, 13secante a um plano, 7, 9

Sólido(s), 39

73

congruência de, 40soma de, 40

Semi-espaço, 16

Tetraedro, 27circuncentro de um, 36incentro de um, 36regular, 27

centro de um, 36Triedro, 17, 22

Volume, 39de um cilindro, 44de um cone, 45de um paralelepípedo, 43de uma esfera, 47

74

O Autor Manoel Ferreira de Azevedo Filho, cearense,

nasceu em 17 de janeiro de 1955 na cidade de Fortaleza. Fez o curso primário no Colégio 7 de Setembro, o ginasial e o científico no Colégio Cearense. Formou-se em Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade Estadual do Ceará (UECE) em 1977. Concluiu o Curso de Mestrado em Matemática pela Universidade Federal do Ceará (UFC) em 1981. É professor da UECE desde 1978 e da UFC desde 1982.