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GEOGEBRA
NA SALA DE AULA
Instrutores: Rodrigo Mendes (DMAT/UFPE) e Hugo Leonardo (DM/UFRPE).
Coordenador do projeto: George Valença (DEINFO/UFRPE).
Agosto/2014
Introdução
Geogebra é um aplicativo de matemática que combina conceitos de geometria e álgebra em uma única interface.
Sua distribuição é livre (download e uso gratuitos).
Como projeto, foi iniciado em 2001 com o objetivo de ser utilizado em ambiente de sala de aula.
Ele permite realizar construções geométricas com pontos, retas, segmentos, polígonos, etc., assim como inserir funções e alterar esses objetos dinamicamente. Equações e coordenadas também podem ser diretamente inseridas.
Assim, o Geogebra reúne as ferramentas tradicionais de geometria com outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo.
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/GeoGebra
Elementos básicos
Tela inicial
1. Menus
2. Visualização
Aqui o usuário pode visualizar os objetos criados no Geogebra.
2. Visualização
Além da janela de visualização inicial, existem outros tipos que podem ser acessados (i) na barra lateral à extrema direita ou (ii) na barra de menus.
3. Barra de ferramentas
Grupos de objetos e ações disponíveis.
3. Barra de ferramentas
3. Barra de ferramentas
3. Barra de ferramentas
Daremos ênfase aos seguintes recursos:
3. Barra de ferramentas
Daremos ênfase aos seguintes recursos:
3. Barra de ferramentas
4. Campo de entrada
Aqui podemos definir objetos como funções e pontos, além de realizar comandos algébricos. Clicando no botão com a letra alfa, é possível inserir símbolos matemáticos.
5. Janela de Álgebra
Nessa janela, podem ser visualizadas fórmulas e objetos matemáticos inseridos no campo de visualização.
Exercícios
Os exercícios a seguir exploram os recursos do Geogebra e foram definidos com base na lista de assuntos de Matemática nos quais os alunos da Escola Jarbas Passarinho possuem mais dificuldades.
Motivação
Exercício 1 – definição
Demonstração do cálculo da área de um:a) Paralelogramob) Triânguloc) Losangod) Trapézio
Assunto: Geometria Plana (apoio para ensino da Geometria Espacial);
Exercício 1 – passo a passo
1. Criar os polígonos.Dica: construir o paralelogramo fracionado em 1 quadrado e 2 triângulos.
2. Partindo da área do retângulo, fazer as manipulações necessárias para concluir a demonstração.
Exercício 1 – resultados
a) b)
c) d)
Exercício 1 – resultados
a) b)
c) d)
Provar o Teorema de Pitágoras através do uso de áreas.
Assunto: Relações Métricas no Triângulo retângulo
Exercício 2 – definição
Prova I1. Construir um quadrado composto de outros dois
quadrados menores de lados b e c, e quatro triângulos; 2. Retirar os dois quadrados e alterar a posição dos
triângulos.Prova II
3. Construir um trapézio de altura b + c, de base menor b e base maior c;
4. Calcular a área do trapézio;5. Igualar a área do trapézio à área das figuras que o
compõem.
Exercício 2 – passo a passo
Exercício 2 – resultado
Provar:
a) Lei dos Senos
Assunto: Lei do seno e do cosseno
Exercício 3 – definição
Exercício 3 – passo a passo
Lei dos Senos
1. Definir triângulo inscrito, seno, ângulo inscrito e ângulos que determinam arcos;
2. Criar um triângulo inscrito. Por um determinado vértice, traçar o diâmetro e projetar outro triângulo como na figura a seguir. Nos outros vértices o processo é semelhante.
Exercício 3 – resultado
Outras formas de calcular a área de um triângulo:
a) Em termos de dois de seus lados e o seno do ângulo localizado entre eles;
b) Do semi-perímetro e do raio inscrito.
Assunto: Geometria Plana (apoio ao ensino da Geometria Espacial).
Exercício 4 – definição
Exercício 4 – passo a passo
1. Definir seno, lei dos senos, polígono inscrito e circunscrito, área, perímetro e semi-perímetro.
2. Criar os casos.a) Utilizar altura em termo do senob) Utilizar definição de área e de semi-perímetro.
Exercício 4 – resultado
Provar fórmula de ângulos internos de um polígono regular
Exercício 5 – definição
Assunto: Geometria Plana (apoio ao ensino da Geometria Espacial).
Exercício 5 – passo a passo
1. Definir ângulos internos e polígonos regulares.2. Criar polígonos regulares3. Dividir os polígonos regulares em triângulos isósceles com a
base correspondente aos lados dos polígonos regulares.
Exercício 5 – resultado
Provar ângulos notáveis.
Assunto: Relações Métricas no Triângulo retângulo
Exercício 6 – definição
Exercício 6 – passo a passo
1. Definição de Seno, Cosseno e Tangente.2. Definição das propriedades de um triângulo equilátero.3. Criação de triângulos especiais.
i. Triângulo a partir da altura de um triângulo equilátero.ii. Triângulo a partir da diagonal de um quadrado.
4. Calculo do Seno, Cosseno e Tangente.
Exercício 6 – resultado
Razões trigonométricas na circunferência.
Assunto: Trigonometria no ciclo
Exercícios 7 e 8 – tema
Exercícios 7 e 8 – resultado
Construção de: Cosseno, Seno e Tangente.
Exercício 7 – definição
Exercício 7 – passo a passo
Cosseno1. Criar o círculo trigonométrico2. Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro
no centro e o último na reta perpendicular ao eixo X que passa pelo vértice na circunferência, nomeando esse ponto de cosseno.
Exercício 7 – resultado
Exercício 7 – passo a passo
Seno1. Criar o círculo trigonométrico2. Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro
no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que passa pelo vértice na circunferência, nomeando esse ponto de seno.
Exercício 7 – resultado
Exercício 7 - passo a passo
Tangente1. Criar o círculo trigonométrico2. Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro
no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que passa pelo vértice na circunferência.
3. Criar a reta que passa tangente à circunferência no ponto P(1,0)
4. Prologar o segmento centro-vértice na circunferência até a reta tangente e nomear o segmento apropriado de tangente.
Exercício 7 – resultado
Construção de: Cossecante, Secante e Cotangente.
Exercício 8 – definição
Exercício 8 – passo a passo
Secante e Cossecante1. Criar o círculo trigonométrico;2. Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro
no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que passa pelo vértice na circunferência;
3. Criar a reta tangente à circunferência no vértice do triângulo retângulo;
4. O ponto de intersecção dessa reta tangente com a reta OY nomeamos cossecante e com a reta OX nomeamos secante.
Exercício 8 – passo a passo
Cotangente1. Criar o círculo trigonométrico;2. Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro
no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que passa pelo vértice na circunferência;
3. Criar a reta que passa tangente à circunferência no ponto P(0,1);
4. Prologar o segmento centro - vértice na circunferência até a reta tangente, nomeando o segmento apropriado de cotangente.
Exercício 8 – resultado
Exercício 8 – resultado
Explicar variações numa função afim, quando alterados o coeficiente angular a ou o coeficiente linear b, e numa função quadrática, quando se alteram os valores de a, b, c.
Exercício 9 – definição
Exercício 9 – passo a passo
1. Definir a função que será criada;
2. Criar, dependendo da função, dois ou três controles deslizantes;
3. Criar a função desejada;
4. Mostrar a mudança nas variáveis, quando alterado o controle deslizante.
Exercício 9 – resultado
Gráfico da função logarítmica a partir da função exponencial
Assunto: Função Logarítmica e Exponencial
Exercício 10 – definição
Exercício 10 – passo a passo
1. Criar a reta y = x2. Criar o controle deslizante “a” no intervalo desejado.3. Criar a função exponencial f(x) = a^x
Obs.: Com a variação do controle deslizante podemos mostrar o gráfico de vários exemplos da função logarítmica.
Caso a > 1
Exercício 10 – resultado
Caso 0 < a < 1
Exercício 10 – resultado
Simetria.
Assunto: Simetrias
Exercício 11
Definições:
1. Rotação2. Translação3. Reflexão4. Simetria axial
Exercício 11 – definição
Rotação1. Criar o polígono e o ponto que se deseja rotacionar;2. Rotacionar o polígono através da barra de ferramentas.
Translação3. Criar o polígono e o vetor tomado como base;4. Transladar através da barra de ferramentas.
Reflexão5. Criar o polígono, as retas e/ou o ponto que será tomado
como referência;6. Refletir através da barra de ferramentas.
Exercício 11 – passo a passo
Simetria axial1. Criar o objeto e a reta que será tomada como base;2. Refletir o objeto utilizando a barra de ferramentas.
Simetria radial (criação da estrela)3. Criar o quadrilátero BHID’’;4. Criar ângulos com amplitude fixa de 72º e retas
correspondentes;5. Refletir o objeto utilizado a barra de ferramentas.
Exercício 11 – passo a passo
Rotação.
Exercício 11 – resultado
Translação.
Exercício 11 – resultado
Reflexão.
Exercício 11 – resultado
Exercício 11 – resultadoSimetria axial.
Exercício 11 – resultadoSimetria radial.
GEOGEBRA
NA SALA DE AULA
Instrutores: Rodrigo Mendes (DMAT/UFPE) – [email protected] Hugo Leonardo (DM/UFRPE) – [email protected]
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Agosto/2014