UNEB UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA NEAD NCLEO DE EDUCAO A DISTNCIA DEPARTAMENTO DE EDUCAO CAMPUS I CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMTICA A DISTNCIA DISCIPLINA: GEOMETRIA PLANA PROFESSORA FORMADORA: ROSELY OUAIS PESTANA BERVIAN Rosely Ouais Pestana BervianJos Bencio dos Anjos Frana Rosely Pestana e Bencio Frana Atividades com o GeoGebra Vamos abrir e conhecer a tela do GeoGebra. A verso com a qual trabalharemos a verso 2.7.1.0, em Windows, e ele pode ser encontrado no site http://www.geogebra.at. AteladoGeoGebrafuncionacomoumafolhagrandedecadernodedesenho,naqualpodemos desenharosobjetosgeomtricoseinteragircomasfiguras.Estesoftwarepossuiumsistemadeeixos cartesiano,assimcomooWinploteumajaneladelgebraquemostraasconstruesatuaisnaforma algbrica. A barra de menu do GeoGebra semelhante aquela encontrada nos diversos aplicativos que usam essa plataforma de trabalho (tal como o Microsoft Office). A barra de ferramentas do Windows aparece como segue: Iniciando o GeoGebra VamosenumerarasjanelasdabarradeferramentasdoGeoGebrade1a9,daesquerdaparaa direita, para facilitar na hora da construo. Aflechadaprimeirajanelachama-seMOVER(Ponteiro)eusadaparaescolheremanipular objetos j construdos. com o ponteiro que podemos interagir com os objetos geomtricos. Atividade de familiarizao com as operaes bsicas Como oGeoGebra umsoftware querene geometria, lgebra e clculo, ento desabilite a opo Eixo e Janela de lgebra do menu Exibir para utilizar o programa no modo geomtrico. Atividade 1: Construo de duas retas concorrentes. a)Construir uma reta r: Inicialmente, voc ter que abrir o menu daterceirajaneladabarraferramentaseativaraoporeta. Agora,ddoiscliquesempontosdistintosdareadedesenho, observequeoGeoGebraconstriospontosnomeando-osao mesmo tempo, em ordem alfabtica. Cliquesobrearetacomobotodireitodomousee selecione a opo propriedades da Reta a: Reta passando por A, B. Clique no cone ( ) para renomear a reta a com o rtulo r e cliqueemaplicar.Mudeacordaretaparavermelhoecom espessura 3. b)Execute o mesmo procedimento para construir uma retas que cruze coma reta r, com espessura3 e cor azul. c)MarcaropontodeinterseocomaopoInterseodedoisobjetos.OGeoGebraexibiresse ponto de interseo como sendo o ponto E. d)Arraste a retar com a opo Mover dajanela 1. Observe que o cursor se transforma em umamo enquanto voc arrasta a reta e o ponto de interseo E migra de uma posio para a outra na tela. Janela 1 Janela 3 Janela 9 Janela 5 Janela 7 Janela 6 Janela 2 Janela 4 Janela 8 Rosely Pestana e Bencio Frana e)Escreva o ttulo de seu trabalho, por exemplo, Atividades deiniciao ao GeoGebra, na rea de trabalho: Para isso clique na janela 8 e selecione aopoInserirTexto,escolha,logoemseguida,olocalondedeseja inserir o seu texto com um clique. f)SalveoseutrabalhocomaopoGravardomenuArquivo.Abrao menuArquivoeselecioneaopoGravar.Serabertaumatelacomo segue.EscolhanajanelaGravarcomoaopoMeusdocumentos.Na janeladonomedoarquivo,escreva,porexemplo,atividade1.Clicando em Salvar, o seu trabalho estar gravado em seus documentos. Observe que o tipo de arquivo (= Files of type) deve estar indicando GeoGebra Arquivos (.ggb) que a extenso dos arquivos do GeoGebra.Depois de salvar seu trabalho com o nome apropriado, abra o menu Arquivo e selecione a opo Novo com isso uma nova tela se abrir. A opo Nova Janela do mesmo menu permite que se abra uma nova tela sem finalizar o ltimo trabalho. Atividade 2: Construo do ponto mdio de um segmento. a)ConstruaosegmentoCDutilizandoaopoSegmentoDefinidopordoisPontosdaJanela3.D doiscliquesempontosdistintosdatelaparaqueosegmentosejaconstrudo.ComooGeoGebraj nomeouseuspontosdeAeB,entocliquecomobotodireitosobreumdospontoseselecionea ferramentaPropriedadespararenomearospontosdemodoqueospontosCeDformamosegmento pedido. b)Utilize a opo Ponto Mdio ou Centro da Janela 2 para marca o ponto mdio, M, do segmento CD. ComooprogramanomeouessepontodeA,entorenomeieestepontocomortuloM(voctambm pode utilizar a opo Propriedades que se encontra no menu Exibir para obter o mesmo efeito). c)Verifique se M realmente o ponto mdio do segmento CD, utilize a opo Distncia da Janela 6 e clique sobre os pontos C e M e em seguida sobre os pontos M e D. Para confirma isso, abra o menu Exibir e reabilite a opo Janela de lgebra, comestajanela possvel acompanhar toda a construo realizada. Aponte para um dos objetos dependentes e observe que oGeoGebra fornecer o nome de cada construo. d)Manipuleasuaconstruoe observequeascoordenadascartesianaseasmedidasdosegmentoCD (a), CM (b) e MD (c) se modificam e, mesmo assim, os segmentos CM e MD continuam congruentes. Abra uma Nova Janela no menu Arquivo. Atividade 3: Construo de um tringulo. a)Construa o tringuloABCcomaopoPolgonodaJanela 3. Com trs cliques do mouse em pontos distintos e no colineares datelaumTRINGULOserconstrudo.Paramudaracordo contornodapoligonal,cliquesobreelacomatecladireitado mouse, selecione a opo Propriedades e escolha a cor desejada na janela cor. Tambmpossvelretirarouaumentaropreenchimento, assim como, aumentar a espessura da reta suporte da poligonal na opo Propriedades. b)Gire os objetos construdos em torno de um ponto ao selecionar a opo Giro em torno de um ponto da Janela 1 e observe os efeitos causados por esta opo no seu tringulo. Rosely Pestana e Bencio Frana c)Calcular o permetro do tringulo ABC: Ative o modo Campo de Entrada que se encontra no menu Exibir, ao clicar na Entrada que se encontra no canto esquerdo da parte inferior da tela digite: a + b + c e d enter. ObservequeaparecerumamedidadnaJaneladelgebra,cujamedidacorrespondeao permetro do tringulo. d)Marque os ngulos do tringulo ABC: Com a ferramenta ngulo que seencontranaJanela6cliquesobreosvrticesB,AeC,nestaordem,e observequeumamarcadenguloaparecernovrticeA.Repitaopasso paramarcarosnguloscomosvrticesemBeC,respectivamente. Conformeosngulossomarcados,elestambmsonomeadoscomas letrasgregas.Paraexibirnoseudesenhoasmedidasdosngulosque aparecem na janela de lgebra, clique no menuEditar e selecione a opo Propriedades. e)Somar os ngulos internos do tringulo ABC: Digite no Campo de Entrada a frmula, o + | + , e d enter. Na janela de lgebra aparecer o resultado, o = 180. f)Com o Mover manipule os vrtices do tringulo e observe o que acontece na Janela de lgebra. Atividade 4: Clculo da rea de um quadriltero. a)Marque quatro pontos no colineares na sua tela de desenho. b)Unaessespontoscomaoposegmentoeobservequearegiointernadessapoligonalnoest pintada, isso acontece porque o GeoGebra no o reconhece como polgono. c)No Campo de Entrada, clique na janela Comando e selecione a opo rea, dentro do colchete digite os pontos da poligonal, A, B, C e D. O resultado se encontrar na Janela de lgebra.O GeoGebra usa o centmetro (cm) como unidade padro de medida de comprimento e o centmetro quadrado (cm2) como unidade padro de medida de rea. d)Enviesuaconstruopara oWord:AbraomenuArquivoecliquenaopoCopiarparaareade transferncia da janela Exportar. Depois, abra o Microsoft Word e cole a figura com a ferramenta Colar do programa. Para finalizar corte o excesso e salve o seu trabalho com uma figura do Word. AlmdeenviarumarquivoparaoWordpossvelsalvaroseu arquivocomofotoutilizandoaopoJaneladevisualizaocomo figura (png, eps) na mesma janela Exportar. e)Reviseasua construo com a opo Protocolo de Construo no menu Exibir. Este recurso permite revisar toda a construo feita, passo a passo, de todos os desenhos existentesnafolha de trabalho e saber se umusurio(alunoouprofessor)estconstruindocorretamenteouno. Este recurso no s repete os passos, mas tambm descreve a cada passo oquefoifeitonaconstruo,deformasemelhanteaumroteiroquese escreve nas construes de desenho geomtrico. Atividade 5: Construo de dois tringulos semelhantes. a)Construa o tringulo ABC, usando a ferramenta Polgono. b)MarqueumpontoDforadotringuloelogoaps,crieretasquepasseporumdosvrticesdo tringulo e por este ponto D. Rosely Pestana e Bencio Frana c)Na janela 7, clique na opo Homotetia de um ponto por um fator.Com esta opo ativada, clique nointeriordotringuloparaselecion-loelogoemseguidanopontoD.Observequeacaixade homotetia se abrir pedindo o fator de ampliao (fator maior do que 1) ou reduo (fator menor do que 1). Digite nesta caixa o nmero 1.5 e mande aplicar. Um novo tringulo surgir a partir do tringulo ABC e ser chamado de ABC. d)Verifique se a razo de semelhana entre os dois tringulos igual a 1,5. Para isso, efetue a diviso das medidas dos lados do tringulo ABC pelas medidas dos lados correspondentes do tringuloABC.Por exemplo, no campo de entrada, digite b/b,querepresentaoquocientedadivisodasmedidasdos lados AC e AC. Depois obtenha os quocientes a/a e c/c. e)Marqueosngulosdostringulos,ABCeABC,e observe que os nguloscorrespondentes so congruentes. Generalizando,temosquesedoistringulosso semelhantes,entoseusladoscorrespondentessoproporcionaiseseusnguloscorrespondentesso congruentes. Atividade 6: Construo da bissetriz de um ngulo. a) Inicialmente, construa um ngulo qualquero( )0 180 o < < , traando duas semi-retas de mesma origem O, uma passando pelo ponto A e outra passando pelo ponto B. b) Construa um crculo de centro em O passando por A. c) Obtenha o ponto de interseo do crculo com a outra semi-reta, nomeado pelo GeoGebra de C. d) Com centro em A, trace um crculo passando por C. e) Com centro em C, trace um crculo passando por A. f) Determine um ponto de interseo desses crculos e rotule-o de D. g) Trace a semi-reta que passa pelos pontos O e D. h) Marque os ngulos AD e CD. i) Mea os ngulos AD e BD e verifique que eles so iguais. A bissetriz de um nguloB OA a semi-reta OD, tal que o ngulo AOD ao ngulo BOD. Atividade7:Construodeumtringulocongruenteaoutrotringulo,utilizandoo caso LAL. a)Construa um tringulo ABC com a opo Polgono da janela 3 da barra de ferramentas. b)CliquecomobotodireitodomousenointeriordotringuloeselecioneaopoPropriedades. Agora, escolhapreenchimento zeropara o polgono P e clique em Aplicar. Rosely Pestana e Bencio Frana c)Marque o nguloA BCe observe que na janela de lgebra aparecer a medida do ngulor = o , onde o representa o nguloA BCera sua medida em graus. d)ajanela6dabarradeferramentas,eescolhaaopongulocom amplitudefixaecliqueemdoispontosdistintosdatela.Quandoa janeladengulodeamplitudefixaseabrir,digiteamedidadongulo o = A BCe em seguida clique em Aplicar. e)Logoapsisso,aparecernasuatelaonguloF ED quecongruenteA BC .Observenajanelade lgebra que o nguloF EDfoi chamado de|e que ele tem a mesma medida do nguloA BC . f)Construaumacircunfernciacomcentroem E e raio igual a c, onde c representa a medida do segmento AB. g)Demodoanlogo,construaumaoutra circunferncia com centro em E e raio igual aa, onde a representa a medida do segmento BC. h)Trace a semi-reta SED e a semi-reta SEF. i)Determineoponto,G,deinterseodaSED comacircunfernciadecentroEeraioa.De modoanlogo,determineoponto,H,de interseo da SEF e a circunferncia de centro em E e raio c. j)Construaagorao tringulodevrticeHEG,sempreenchimentoe observequeessetringulopossui BC EG ~ ,A B C H E G ~eBA EH ~ . Da, os tringulos ABC e HEG so congruentes pelo caso LAL. Rosely Pestana e Bencio Frana Atividade8:Construodeumtringulocongruenteaoutrotringulo,utilizandoo caso LLL. a)Construa um tringulo ABC, sem preenchimento de cor rosa. b)Construa, agora, uma circunferncia com centro D e raio igual a c, medida do segmento AB. c)Marque um ponto E nesta circunferncia. Observe queDE tema mesma medida do segmento AB. d)Construa uma outra circunferncia com centro no ponto E e raio igual a b, medida do segmento AC. e)Agora, construa uma circunferncia com centro em D e raio igual a a, medida do segmento BC. f)DetermineopontoF,interseodasduascircunfernciasconstrudasanteriormenteeconstruao tringulo DEF. g)Observe que os lados correspondentes dos tringulos ABC e EDF so congruentes. Atividade9:Construodeumtringulocongruenteaoutrotringulo,utilizandoo caso ALA. a)Construa um tringuloABC, sem preenchimento, de cor verde e determine as medidas dos ngulosA B C( ) oeB C A( ) | . b)Construa,agora,umsegmentoDEcomamesmamedidado segmento BC. c)Crie um ngulo congruente ao nguloo , com vrtice no ponto D. Observe que foi criado um ponto F. d)Demodoanlogo,construaumngulocongruenteaongulo| comvrticeemE.Najanelade ngulocomamplitudefixaexistemduasopes counterclockwise1eclockwise2.Ongulo B C A=| deveserconstrudocomaopo clockwise (sentido horrio) ativada. Observe que foi criado um ponto G. e)Trace agora as semi-retas SDF e SEG e determine o ponto H, interseo dessas semi-retas. 1Counter clockwise = sentido anti-horrio2Clockwise = sentido horrioRosely Pestana e Bencio Frana f)Construa o tringulo HDE, sem preenchimento e de cor verde. g)Esconda as construes auxiliares com a opo Exibir/ esconderobjetodajanela9dabarradeferramentas, deixando apenas o tringulo HDE visvel. h)Verifique que os ngulos e os lados correspondentes dos tringulos HDE e ABC so congruentes. Atividade 10: Construo do circuncentro de um tringulo. a)InicialmenteconstruaotringuloABC,cor vermelha e sem preenchimento. b)UtilizeaopoMediatrizdaJanela4e traceasmediatrizesdostrsladosdotringulo ABC. c)MarqueopontoD,interseoentreduas mediatrizesecomaopoRelaoentredois objetosdaJanela8,confirmequeDpertence tambm a terceira mediatriz. d)Construa o segmento DA e deixe-o pontilhado. e)Construa um crculo com centro em D e raio DA. Agora, verifique se os pontos B e Cpertencem ao crculo que foi construdo. Comesteresultado,conclumosqueopontodeinterseodasmediatrizesdosladosdeum tringulo, chamado circuncentro, o centro do crculo circunscrito ao tringulo.