GEOMETRIA ANALTICA PROF. CESRIO JOS FERREIRA Jan/2006

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NDICE

CAPTULO 01 - LGEBRA VETORIAL1 VETORES 03 2 - VETORES EM R2 03 3 - VETORES EM R3 04 4 - VETORES EM Rn 04 EXERCCIOS 04 5 - ADIO E MULTIPLICAO POR ESCALAR 05 EXERCCIOS 05 6 - VETOR UNITRIO NUMA DIREO DADA 05 EXERCCIOS 06 7 - PRODUTO ESCALAR 06 8 - PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR 07 9 - PRODUTO VETORIAL 07 10. PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL 08 EXERCCIOS 08 10 - PRODUTO MISTO 09 12 - PRODUTO DUPLO 09 EXERCCIOS: 10

CAPTULO 2 - APLICAES DA LGEBRA VETORIAL1 - DISTNCIA ENTRE DOIS PONTOS 11 2 - REA DE UM TRINGULO 11 3 - PONTO MDIO DE UM SEGMENTO 11 EXERCCIO 12 4. PROJEO DE UM VETOR SOBRE UMA DIREO DADA 12 5. NGULO DE DOIS VETORES 12 EXERCCIOS 12 6. VOLUME DO PARALELEPPEDO 13 EXERCCIO 13

CAPTULO 3 - A RETA EM R2 E R31 - EQUAO DA RETA NO PLANO 14 EXERCCIOS: 15 2 PARALELISMO E PERPENDICULARISMO DE RETAS EM R2 16 EXERCCIOS: 17 3 A RETA NO ESPAO R3 17 4 POSIES RELATIVAS DE DUAS RETAS EM R3. 18 EXERCCIOS 18 5 - DISTNCIA DE PONTO A RETA EM R3 19 6 - DISTNCIA DE PONTO A RETA EM R2 20 EXERCCIOS:- 20 CAPTULO 4 MUDANAS DE COORDENADAS 1 INTRODUO 21 2 TRANSLAO DE EIXOS 21 3 ROTAO 22 EXERCCIOS:- 22 CAPTULO 05 ESTUDO DAS CNICAS NO PLANO 1 LUGAR GEOMTRICO 23 2 - AS EQUAES DE ALGUNS LUGARES GEOMTRICOS 23 EXERCCIOS 24 3 AS CNICAS - circunferncia 24 EXERCCIOS 25 5 A EQUAO GERAL DO SEGUNDO GRAU 26 EXERCCIOS 26 6 POSIO RELATIVA 26 EXERCCIOS 27 7 A PARBOLA 28 EXERCCIOS 30 8 A ELIPSE 30 9 A EQUAO DA ELIPSE 30 EXERCCIOS 32 10 A HIPRBOLE 32 11 - A EQUAO DA HIPRBOLE 33 EXERCCIOS 35 11. A EQUAO GERAL DO SEGUNDO GRAU COM DUAS VARIVEIS 35 12. IDENTIFICANDO A EQUAO 36 13 DEMONSTRANDO AS RELAES DO ITEM 2 36 EXERCCIOS 37 CAPTULO 6 O PLANO 1 EQUAO GERAL DO PLANO 37 EXERCCIOS: 38 2. EQUAES PARAMTRICAS 38 EXERCCIOS 38 3. DETERMINAO DE UM PLANO 39 EXERCCIOS: 39 4. CASOS PARTICULARES 40 5. NGULO DE RETA E PLANO 41

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CAPTULO 01 - LGEBRA VETORIAL 1 VETORES Analisando uma srie de grandezas veremos que algumas so caracterizadas apenas por uma medida ou mdulo. Tais grandezas so chamadas de escalares. Como exemplos podemos citar: o tempo, a massa, a temperatura. No decorrer de nosso curso consideraremos como escalar qualquer nmero real. Um outro grupo de grandezas necessitam de mdulo, direo e sentido para a sua perfeita identificao. Estas grandezas so chamadas de grandezas vetoriais. Como exemplo temos: fora, torque, campos eltricos e magnticos. Para representar graficamente uma grandeza vetorial usa-se um segmento de reta orientado (fig.1) a quem chamamos de vetor. Alertamos o leitor que essa representao nem sempre ser possvel pois veremos que existem elementos que no podem ser representados por um vetor apesar de apresentar propriedades operacionais idnticas s dos vetores.

Na figura 1, A a origem e B a extremidade do vetor. Para indicar que um elemento um vetor usamos: i. uma letra minscula encimada por uma seta, ii. indicao da origem e extremidade encimada por uma seta, iii. uma letra minscula em negrito a . Usaremos esta notao em nossos textos por facilidade de editorao. O mdulo do vetor representado pelo comprimento do segmento. A direo definida pela reta suporte do vetor enquanto que o sentido determinado pela seta. Indicamos o mdulo do vetor por a (no em negrito) ou | |. 2 - VETORES EM R2 Podemos considerar vetores que pertencem a uma nica reta, um plano e ao espao. Vetores que pertencem a uma nica reta so ditos unidimensional ou vetores do espao R. Vetores que pertencem ao plano so ditos bidimensional ou vetores do espao R2 e vetores no espao tridimensional so vetores de R3. Estas idias podem ser estendidas para um espao n-dimensional, so vetores de Rn. Iniciaremos nosso estudo com os vetores em R2. Os vetores de R2 podem ser representados no plano cartesiano, conforme indicado na fig.2.

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A figura 2 mostra o vetor v cuja origem o ponto A = (5, 4) e cuja extremidade o ponto B = (9, 9). Em geral, usa-se na lgebra vetorial substituir o vetor por um vetor equivalente (vetor de mesmo mdulo, mesma direo ou direo paralela e mesmo sentido) cuja origem coincide com a origem dos eixos cartesiano, ou seja, um vetor como v'. Assim, o vetor v' denominado, vetor equivalente a v, localizado na origem. Esse vetor ser indicado por v' = (4, 5) onde (4, 5) so as coordenadas de sua extremidade. IMPORTANTE (1) Pela figura fcil concluir que, se (x1, y1) e (x2, y2) so as coordenadas da origem e da extremidade de um vetor, o equivalente localizado na origem ser (x2 - x1, y2 - y1). (2) O mdulo do vetor v = (x, y), de acordo com o teorema de Pitgoras 3 - VETORES EM R3 No espao tridimensional, cada ponto indicado por trs coordenadas (x, y, z). Assim, todo vetor de R3, localizado na origem ser indicado por (x, y, z) onde (x, y, z) so as coordenadas de suas extremidades. Assim, o vetor u da fig.3, ser u = (x, y, z).

O mdulo do vetor u, de R3 determinado por

expresso essa obtida a partir do clculo da diagonal de um paraleleppedo retngulo. 4 - VETORES EM Rn Os conceitos, notaes, mdulos e operaes definidas para vetores em R2 e R3 podem ser estendidos aos vetores no espao Rn. Entretanto, para espaos de dimenso superior a trs no possvel (ainda) uma representao grfica. EXERCCIOS 1. Represente graficamente cada um dos vetores v1 = (2, -3), v2 = (-3, 4), v3 = (2, 2, 1) e v4 = (3, 4, -12). 2. Considere o vetor AB, onde A = (2, -3) e B = (5, 1). Determine o vetor equivalente a AB, localizado na origem dos eixos cartesianos. Represente no plano cartesiano os vetores AB e seu equivalente. 3. Considere o vetor AB, onde A = (3, -5, 1) e B = (5, -2, 5). Determine o vetor equivalente a AB, localizado na origem dos eixos cartesianos. Represente no plano cartesiano os vetores AB e seu equivalente. 4. O vetor AB tal que A = (2x + 1, 3y - 2) e B = (x, y). Se o vetor equivalente, localizado na origem v = (-4, 12), determine os valores de x e y. 5. Determine o mdulos dos seguintes vetores: v1 = (2, -3), v2 = (-3, 4), v3 = (2, 2, 1), v4 = (3, 4,

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-12) e v5 = (5, 1, 5). 6. Determine o valor de "m" se o mdulo do vetor v = (2m+2, m-1, 2m - 7) se |v| = 13.

5 - ADIO E MULTIPLICAO POR ESCALAR Definio 1- Adio de Vetores: Dados os vetores u = (u1, u2, u3, ..., un) e v = (v1, v2, v3, ..., vn), de Rn, define-se o vetor soma s = u + v, tal que s = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, ..., un + vn) A adio de vetores goza das seguintes propriedades: P1) u + v = v + u (comutatividade) Temos: u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, ..., un + vn) = (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3, ..., vn + un) (comutatividade da adio de nmeros reais) = v + u. P2) (u + v) + w = u + (v + w) (associatividade) P3) Vetor nulo, simbolizado por 0 = (0, 0, 0, ...0), tal que 0 + v = v + 0 = v. P4) Vetor simtrico. Para cada vetor v, existe o vetor -v, simtrico a v, tal que v + -v = -v + v = 0. Conseqncia: o simtrico de u = (u1, u2, u3, ..., un) -u = (-u1, -u2, -u3, ..., -un). Os vetores u e -u tm a mesma direo, o mesmo mdulo, porm, seus sentidos so opostos. P5) O mdulo da soma de dois vetores no igual soma dos mdulos dos dois vetores. Definio 2 - Multiplicao por escalar - Sejam: o vetor v = (v1, v2, v3, ..., vn) de Rn e o escalar r R. Define-se o produto do escalar r pelo vetor v, como sendo o vetor rv, tal que rv = (rv1, rv2, rv3, ..., rvn). A multiplicao de um escalar por um vetor goza das propriedades: P6) rv = vr. (comutatividade) P7) r.(u + v) = ru + rv. (distributividade em relao adio de vetores) P8) (r + s).v = rv + sv. (distributividade em relao adio de escalares). P9) 1.v = v P10) 0.v = 0. P11) -1.v = -v. P12) rv paralelo a v, sendo r um nmero real. P13) (r.s)v = r.(s.v) EXERCCIOS 1) Demonstre as propriedades P2 a P8. 2) Sejam u = (2, -4, 6), v = (-3, 12, -4) e w = (6, 3, -1). Determine o vetor x tal que: a) x = u + v b) x = 3u + 2w c) x = 2u - v d) x = 2 (u + v) + 3w e) x = 2 (3u + 2w) - 3 (5v) e) u + 2v = x - w f) 3 (u + 2x) = 4x + 2w 3) Se u = (2, 2, 1), v = (0, -2, 4) e w = (7, -3, -2), determine o mdulo do vetor 3u - 4v + 2w. 6 - VETOR UNITRIO NUMA DIREO DADA A partir da multiplicao de um escalar por um vetor, pode-se definir um vetor unitrio, vetor esse que tm o mesmo sentido que um vetor w, tal que w = | w |. , ou seja, = w / | w |. Tomando, por exemplo: w = (3, 4, -12), teramos, e = (3/13, 4/13, -12/13). Costuma-se usar vetores unitrios cujas direes com as direes positivas dos eixos

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cartesianos. Para o plano, esses unitrios so indicados por usa-se i e j (fig.1), tais que i = (1, 0) e j = (0, 1). Ao aplicar essa notao para um vetor v = (a, b), teremos v = a.(1, 0) + b.(0, 1) = ai + bj. Em R3, os unitrios so indicados por i, j e k (fig.2), onde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1). Um vetor como v = (a, b, c) indicado como v = ai + bj + ck.

EXERCCIOS 1. Escreva o vetor unitrio na direo de: a) (3, 4) b) (-8, 6) c) (1, 2, 3) d) (-3, 12, -4)

2. Determine o vetor w, tal que w = 3u + 2v, se u = 3i - 2j + 5k e v = -5i + 6j - 3k. 3. Calcule o mdulo dos vetor 3u + v, se u = 3i - 2j + 5k e v = -5i + 6j - 3k. 4. Calcule o vetor unitrio na direo do vetor 3u + v, determinado no exerccio 3.

7 - PRODUTO ESCALAR

Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) dois vetores, que formam um ngulo . Define-se o produto escalar de u por v, que simbolizado por u.v como sendo o escalar (nmero real) | u |.| v |. cos . Observe que esse produto indicado por um ponto. No pode ser usado o sinal X pois este ser utilizado para outro tipo de produto. O produto escalar usado em muitas definies de grandezas fsicas, como por exemplo o trabalho que definido pelo produto (vetor fora) . (vetor deslocamento). Fora e deslocamento so duas grandezas vetoriais, mas o trabalho uma grandeza escalar. Para obter o produto escalar em funo das coordenadas dos vetores, multipliquemos inicialmente os unitrios: i.j = i.k = j.k = 1.1.cos 90 = 1.1.0 = 0 e i.i = j.j = k.k = 1.1.cos 0 = 1.1.1 = 1. Escrevendo os vetores u e v em termos dos unitrios, o produto u.v fica: (x1i + y1j + z1k).(x2i + y2j + z2k) = x1x1i.i + x1y2i.j + x1z2i.k + y1x2j.i + y1y2j.j + y1z2j.k + z1x2k.i + z1y2k.j + z1z2k.k = x1x1.1 + x1y2.0 + x1z2.0 + y1x2.0 + y1y2.1 + y1z2.0 + z1x2.0 + z1y2.0 + z1z2.1 = x1x2 + y1y2 + z1z2. Esta expresso para o produto escalar pode ser estendida a vetores com qualquer nmero de coordenadas. Assim,

Pela definio | u |.| v |. cos fcil verificar que se u e v so dois vetores perpendiculares, o produto escalar nulo pois cos 90 = 0.

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Exemplos: (1) Se u = (2, 3, 4) e v = (-2, 4, 5) ento u.v = 2.(-2) + 3.4 + 4.5 = -4 + 12 + 20 = 28 (observe que o resultado um nmero). (2) Os vetores u = (2, -3, 4) e v = (5, 2, -1) so perpendiculares pois u.v = 2.5 + 3.(-2) + 4.(-1) = 10 - 6 - 4 = 0. 8. PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR P1. P2. P3. P4. u. P5. Para o produto escalar so vlidas as propriedades: u.v = v.u (comutatividade) u.v = 0 u v. (u.v).w um vetor, pois (u.v) um escalar e (u.v).w o produto de um escalar por um vetor. (u.v).w u.(v.w) pois (u.v).w um vetor na direo de w e u.(v.w) um vetor na direo de s.(u.v) = (s.u).v

EXERCCIOS 1. Efetue as operaes abaixo para u = (1, 4, 5), v = (3, 3, -2) e w = (-5, 7, 1). a) u.v b) w.u c) 3u.2w d) (3u - 4v).(5w) e) (u.v).w f) u.(v.w)

9 - PRODUTO VETORIAL O produto vetorial, como o prprio nome diz, uma multiplicao de dois vetores onde o resultado ser tambm um vetor. Para indicar o produto vetorial de u por v escrevemos u x v ou u v (nesta ltima notao l-se u vec v. Os sinais x ou so usados para o produto vetorial e no podem ser substitudo pelo ponto (.) que usado para o produto escalar.

u x v = u v significa um produto vetorial u.v usado para produto escalar. importante observar que quando se tratar de multiplicao de dois nmeros (escalares) ou de escalar por vetor, podem ser usados indistintamente o ponto e o x. Entretanto, no se usa o sinal quando estiver algum escalar envolvido na multiplicao. Algumas grandezas fsicas que apresentam caractersticas vetoriais so resultados de um produto de dois vetores pode resultar em um vetor. Por exemplo: (i) o torque ou momento de uma fora, que definido por M = r x F onde r o raio que define a posio do ponto de aplicao da fora F e (ii) uma corrente em um campo magntico. Sobre o condutor da corrente atuar uma fora F = (i x B).L, sendo i a corrente, B o campo magntico e L o comprimento do condutor inserido no campo magntico. Nestes produtos, M e F so vetores perpendiculares ao plano formado pelos outros dois vetores. O Produto vetorial u x v definido como sendo um vetor que apresenta as seguintes caractersticas: MDULO: | u |.| v |. sen , onde o ngulo formado pelos dois vetores. DIREO:- perpendicular ao plano formado por u e v. SENTIDO:- determinado pela regra da mo direita, conforme mostra a figura abaixo:

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Com a mo direita aberta, formando um plano, aponta-se o primeiro vetor com o polegar. Os demais dedos apontam o segundo vetor. A palma da mo indicar o sentido do produto.

O produto vetorial pode ser calculado a partir das coordenadas dos mesmos. Para isso, vejamos os produtos dos vetores unitrios i, j e k. Veja a fig. 2 (unitrios no espao tri-dimensional) da aula anterior. O ngulo formado por i com j, j com k e i com k 90 e o ngulo de i com i, j com j e k com k 0. Assim, temos: i x j = k; j x i = - k; i x k = - j; k x i = - j; j x k = i ; k x j = -i ; i x i = j x j = k x k = 0. Note que o mdulo de i x j 1.1.sen90 = 1, o sentido de i x j se obtm usando a regra da mo direita. Da mesma forma se obtm, j x i , j x k, k x j, i x k e k x i . Para i x i, j x j, k x k, teremos: 1.1.sen0 = 0. Multiplicando u = x1i + y1 j + z1k por v = x2i + y2 j + z2k, temos: x1x2v(i x i) + x1y2(i x j) + x1z2(i x k) + y1x2( j x i ) + y1y2( j x j) + y1z2( j x k) + z1x2(k x i) + z1y2(k x j) + z1z2(k x k). Aplicando os produtos dos unitrios e isolando os termos com i , j, k, resulta: (y1z2 - y2z1)i + (z1x2 - x1z2) j + (x1y2 - x2y1)k. No indicando os unitrios podemos concluir que:

Um algoritmo simples pode ser usado para se obter o produto anterior. (1) Escreve-se as coordenadas do segundo vetor debaixo das coordenadas do 1 vetor. (2) repete-se, frente, as duas primeiras colunas. (3) elimina-se a primeira coluna. (4) efetua-se os produtos conforme indicados pelas linhas. Observe as cores e as posies dos produtos na figura a seguir.

10. PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL Para o produto escalar so vlidas as propriedades: P1. u x v = -(v x u) (anti-comutativa) P2. r.(u x v) = (ru) x v P3. u x v = 0 u = rv u // v. P4. (u x v) x w u x (v x w) (anti-associativa) EXERCCIOS:

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1 - Prove que u . v = v . u e (u . v) . w = u . (v . w). 2 - Prove, mediante um exemplo que o produto vetorial no comutativo e nem associativo. 3 - Sejam u = (1, 2, 3), v = (-4, 8, -3) e w = (4, -2, -1) trs vetores. Calcule: (a)u.v (b)uxw ( c ) (u . v) . w ( d ) u x (v . w) ( e ) (u x v) . w ( f ) 2u x 3w ( g ) u . 2w + 3u . 4v ( h ) u x (w x v) ( i ) (u x w) x v ( j ) 2u . 3w ( k ) u . (v . w) ( m ) u x (v . w) 4 - Determine o co-seno do ngulo formado pelos vetores u e v dados no exerccio 3. 5 - Determine um vetor que seja perpendicular ao plano formado pelos vetores (3, -4, -6) e (8, 5, 0). 6 - Calcule o mdulo de (3, -4, -6) x (8, 5, 0). 7 - Sabe-se que o vetor (3, 6, -7) paralelo ao vetor (3x, y + 2, 21). Calcule os valores de x e y. 8 - A operao u . v + u x v possvel ou no. Justifique sua resposta. 9 - A operao u. [(v + u) x v] possvel ou no. Justifique sua resposta. O resultado um vetor ou um escalar? 10 - PRODUTO MISTO O produto misto de trs vetores consiste na combinao de produtos escalares e vetoriais. Podemos ter as seguintes formas: (1) u.(v x w) e (2) (u.v) x w. Na forma (1), ao efetuar o produto (v x w) o resultado ser um vetor que ao multiplicar escalarmente por u resultar em um escalar. Temos para essa forma: quando u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) e w = (x3, y3, z3), v x w = (y2z3 - z2y3, z2x3 - x2z3, x2y3 - y2x3) e u.(v x w) = x1.y2z3 - x1z2y3 + y1z2x3 - y1x2z3 + z1x2y3 - z1y2x3 que um escalar igual ao determinante da matriz

Para a forma (2), u.v = x1x2 + y1y2 + z1z2 que um escalar. Assim, (u.v) x w = (x1x2 + y1y2 + z1z2).(x3, y3, z3) que um vetor. No caso de (u.v) x w, o sinal x pode normalmente ser substitudo pelo ponto. 11. ALGUMAS OBSERVAES SOBRE O PRODUTO u.(v x w) I. u.(v x w) (u.v) x w o primeiro um escalar e o segundo um vetor. II. u.(v x w) = (u x v).w III. Permutaes circulares dos trs vetores no modifica o produto, isto : u.(v x w) = v.(w x u) = w.(u x v). IV. A troca da ordem de dois vetores modifica o sinal do produto, isto : v.(u x w) = u. (w x v) = w.(v x u) = -u.(v x w). 12. PRODUTO DUPLO Dois so os casos em que ocorrem um triplo produto: (1) (u.v).w = (u.v) x w que, conforme visto anteriormente, um vetor. (2) (u x v) x w - denominado duplo produto vetorial, que resulta em um vetor perpendicular ao plano formado por (u x v) e w. Para o duplo produto vetorial, (u x v) x w u x (v x w), pois o primeiro perpendicular ao plano formado por (u x v) e w e o segundo perpendicular ao plano formado por u e (v x w). Como (u x v) um vetor perpendicular ao plano formado por u e v, (1) se w paralelo ao plano de u e v ento: (u x v) . w = 0, pois ele perpendicular a u x v. (2) se w perpendicular ao plano formado por u e v, ento w = k.(u x v), k um nmero real, pois w paralelo a u x v.

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EXERCCIOS: 1. Considere os vetores u = (6, 6, 1), v = (2, 3, 5), w = (-3, -4, 1). Calcule: a) (u.v).w b) u.(v.w) c) w.(u.v) d) u x (v.w) e) u x (v x w) f) (u x v) x w g) w x (u x v). 2. Sabe-se que w = (2, 3, a) paralelo ao plano formado pelos vetores u = (6, 6, 1), v = (2, 3, 5). Calcule o valor de "a". 3. Se w = (x, 2x + 1, 3) perpendicular ao plano formado pelos vetores u = (6, 6, 1), v = (2, 3, 5), calcule o valor de x. EXERCCIOS: 1 - Prove que u . v = v . u e (u . v) . w = u . (v . w). 2 - Prove, mediante um exemplo que o produto vetorial no comutativo e nem associativo. 3 - Sejam u = (1, 2, 3), v = (-4, 8, -3) e w = (4, -2, -1) trs vetores. Calcule: (a)u.v (b)uxw ( c ) (u . v) . w ( d ) u x (v . w) ( e ) (u x v) . w ( f ) 2u x 3w ( g ) u . 2w + 3u . 4v ( h ) u x (w x v) ( i ) (u x w) x v ( j ) 2u . 3w ( k ) u . (v . w) ( m ) u x (v . w) 4 - Determine o co-seno do ngulo formado pelos vetores u e v dados no exerccio 3. 5 - Determine um vetor que seja perpendicular ao plano formado pelos vetores (3, -4, -6) e (8, 5, 0). 6 - Calcule o mdulo de (3, -4, -6) x (8, 5, 0). 7 - Sabe-se que o vetor (3, 6, -7) paralelo ao vetor (3x, y + 2, 21). Calcule os valores de x, e y. 8 - A operao u . v + u x v possvel ou no. Justifique sua resposta. Se possvel, o resultado um vetor ou um escalar? 9 - A operao u. [(v + u) x v] possvel ou no? Justifique sua resposta. Se possvel, o resultado um vetor ou um escalar? 10 - Calcule o vetor unitrio na direo de (u.v) x w, se u = (1, 2, 3), v = (-4, 8, -3) e w = (4, -2, -1).

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CAPTULO 2 - APLICAES DA LGEBRA VETORIAL 1 - DISTNCIA ENTRE DOIS PONTOS Sejam A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) dois pontos no espao R3. A distncia entre os pontos A e B igual ao mdulo do vetor AB, que, conforme visto no captulo 1, se determina por , onde x = x2 - x1, y = y2 - y1 e z = z2 - z1. No plano a distncia entre os pontos (x1, y1) e (x2, y2) 2 - REA DE UM TRINGULO A rea do tringulo determinada por: A = b.h/2, que para o tringulo PQR torna-se A = (1/2)PR.QS. No tringulo PQR, tem-se: h = PQ.sen . Assim, a rea A = (1/2)PR.PQ.sen . .

Ora, PR o mdulo do vetor u e QS o mdulo do vetor v. Portanto, A = (1/2).| u |.| v |.sen . O produto | u | . | v | . sen exatamente o mdulo do produto vetorial de u por v. Portanto, temos A = (1/2). | u x v |. Exemplo:- Calcular a rea do tringulo de vrtices A = (1, 2, 5), B = (5, -3, 7) e C = (0, -4, -2). Faamos u = B - A e v = C - A. Desta forma teremos: u = (5 -1, -3 - 2, 7 - 5) e v = (0 -1, -4 - 2, -2 - 5) ==> u = (4, -5, 2) e v = (-1, -6, -7). Calculando u x v obtm-se: u x v = (47, 26, -29) cujo mdulo . A rea do tringulo ento: . Obs.1 - Para encontrar a rea do tringulo A = (x1, y1), B = (x2, y2) e C = (x3, y3), onde os lados so pontos do plano, complete as coordenadas com z1 = z2 = z3 = 0 e aplique o mesmo raciocnio anterior. Obs. 2 - A rea do quadriltero ABCD equivale soma das reas dos tringulos ABC e ACD. 3 - PONTO MDIO DE UM SEGMENTO Dados os pontos A (x1, y1) e B (x2, y2), o ponto mdio aquele que divide o segmento em dois segmentos cujas medidas so iguais metade da medida do segmento AB. Na figura a seguir, M(xm, ym) o ponto mdio do segmento AB.

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Pela semelhana dos tringulos ABB' e AMM' podemos escrever: AM / AB = AM' / AB' ==> 1 / 2 = (xm - x1) / (x2 - x1) ==> 2xm - 2x1 = x2 - x1 ==> 2xm = x2 + x1 ==> xm = (x2 + x1)/2. Pela semelhana dos tringulos BAB' e BMM' tira-se BM / BA = BM' / BB' ==> 1 / 2 = (y2 - ym) / (y2 - y1) de onde se conclui ym = (y2 + y1)/2. Portanto, o ponto mdio do segmento AB, com A (x1, y1) e B (x2, y2), [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2]. O raciocnio pode ser estendido para o espao R3, sendo [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2] as coordenadas do ponto mdio do segmento AB, sendo A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2). EXERCCIO 1. Calcule a rea do tringulo formado pelos pontos mdios dos lados do tringulo ABC sendo A = (3, 2, 5), B = (5, -3, 7) e C = (0, -4, -2). 2. Calcule a rea e o permetro do tringulo ABC se A = (3, 2, 5), B = (5, -3, 7) e C = (0, -4, -2). 3. Note que o tringulo ABC dos exerccios 1 e 2 o mesmo. Compare as reas obtidas nos dois exerccios. Que concluso se pode tirar a respeito da rea de um tringulo e da rea do tringulo formado pelos pontos mdios desse tringulo? 4. Calcule as medidas das medianas do tringulo de vrtices A = (3, 2, 5), B = (5, -3, 7) e C = (0, -4, -2). 4. PROJEO DE UM VETOR SOBRE UMA DIREO DADA Consideremos o vetor v = (x1, y1, z1), que faz um ngulo com a reta r, conforme indicado na figura 1 abaixo. O mdulo da projeo de v sobre a reta |w| = |projr v| = |v|.cos . O vetor w ento w = | w|.u, onde u o vetor unitrio que define a direo da reta r. Temos ento: w = |v|.cos .|u|.u, pois |u| = 1. Como |v|.cos .|u| = |v.u|, pode-se concluir que: |projr v| = |v.u| e projr v = |v.u|.u.

Aplicao: Seja v = (6, -9, 8) um vetor e u = (3, 4, 12) um vetor que define a direo de uma reta. A projeo de v sobre a reta projr v = |v.uu|.uu, onde uu o unitrio na direo de u. O mdulo do vetor u |u| = (32 + 42 + 122)1/2 = 13. Portanto, uu = (3/13, 4/13, 12/13). Temos ento v.u = 6.3/13 -9.4/13 + 8.12/13 = 108/13. De onde se tira finalmente: projr v = (108/13).(3/13, 4/13, 12/13) = (324/13, 432/13, 1286/13). 5. NGULO DE DOIS VETORES Sejam u e v dois vetores que formam um ngulo , conforme indicado na figura 2 acima. Pela definio do produto escalar: u.v = |u|.|v|.cos . Desse produto tiramos cos = u.v/|u|.| v|. EXERCCIOS 1. Mostre que, se v = (x1, y1, z1) e u = (x2, y2, z2), a projeo de v na direo definida por u dada por (x1x22 + y1y2x2 + z1z2x2, x1x2y22 + y1y22 + z1z2y2,x1x2z2 + y1y2z2 + z1z22)/(x22 + y22 + z22).

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2. Calcule o mdulo da projeo do vetor (2, 3, 4) sobre a reta definida pela direo (1, 1, 1). 3. Determine a projeo do vetor (-9, 3, 7) sobre a reta definida pelo unitrio (3/13, 4/13, 12/13). 4. Calcule o menor ngulo formado pelo vetores (5, 4, -1) e (2, 3, 4). 5. Calcule o menor ngulo formado pelos vetores (2, 1, 2) e (6, 3, 6). 6. Calcule o menor ngulo formado pelos vetores (5, 7, 6) e (2, 2, -4). 7. Calcule os ngulo do tringulo de vrtices A = (1, 2, 3), B = (-5, 1, 2) e C = (7, -3, 6).

6. VOLUME DO PARALELEPPEDO

Consideremos os vetores u, v e w que definem as direes das arestas de um paraleleppedo e cujos mdulos so iguais s medidas destas arestas. O produto u x v um vetor perpendicular ao plano formado por u e v. Conforme j foi visto, o produto (1/2) |u x v| igual rea do tringulo formado pelas duas arestas AB e AC. Assim, |u x v| igual rea do paralelogramo que constitui a base do paraleleppedo. A altura do paraleleppedo igual ao mdulo da projeo da aresta AD sobre a direo definida pelo vetor u x v. O volume do paraleleppedo ento V = |u x v|.h = |u x v|.|w|.cos = |(u x v).w|

Portanto, V = |(u x v).w|.Obs.: Use o aplicativo para produto misto no clculo do volume. EXERCCIO 1. Trs arestas de um paraleleppedo so determinadas pelos vetores u = (2, 3, 4), v = (5, -2, 4) e w = (4, 10,-3). Calcule o seu volume. 2. Quatro vrtices consecutivos de um paraleleppedo so A = (1, 4, 12), B = (6, -8, 14), C = (-5, 12, 6) e D = (9, 18, 15). Calcule o volume desse paraleleppedo. 3. Mostre que os pontos (2, 3, -1), (0, 3, 4), (4, -1, 2) e (-2, 4, 7) so co-planares (pertencem ao mesmo plano). Sugesto: verifique que o volume do paraleleppedo onde os quatro pontos so vrtices consecutivos nulo. 4. Os vrtices de uma pirmide de base triangular so os pontos A = (1, 4, 12), B = (6, -8, 14), C = (-5, 12, 6) e D = (9, 18, 15). Se o volume da pirmide um tero do volume do prisma de igual base e igual altura, calcule o volume da pirmide. 5. Um prisma de base triangular tem base ABC, onde A = (6, 6, 1), B = (2, -10, 11) e C = (-4, 9, 7). O vrtice D da aresta AC D = (18, 7, 15). Calcule o volume desse prisma.

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CAPTULO 3 - A RETA EM R2 E R3 1 - EQUAO DA RETA NO PLANO A reta tem como equao uma funo de primeiro grau, podendo se apresentar sob diversas formas. Entre as formas iremos analisar: as paramtricas, a reduzida, a geral e a segmentria. Seja ento a reta apresentada na figura abaixo:

(1) Equaes paramtricas Uma reta fica perfeitamente definida se conhecermos um de seus pontos e uma direo paralela a ela. Sejam ento: A(xo, yo) um ponto da reta, u = (a, b) um vetor paralelo reta e P(x, y) um ponto genrico dessa reta. (fig. 1) Como a reta r paralela ao vetor u, podemos escrever: P - A = .u (x - xo, y - yo) = .(a, b) x - xo = a e y - yo = b

que so as equaes paramtricas da reta.

Exemplos:1 - Escrever a equao da reta que passa pelo ponto (2, -4) cuja direo definida pelo vetor (5, 3). Soluo:- A soluo imediata de acordo com o que foi visto acima. Resposta: x = 2 + 5 e y = -4 + 3 . 2 - Verifique se o ponto (3, - 8) pertence ou no reta x = -2 + e y = 4 + 2 . Soluo:- Para que (3, -8) pertena reta, estas coordenadas devem verificar as duas equaes. Na primeira equao: 3 = -2 + = 5. Levando esse valor para a segunda equao resulta: y = 4 + 2.5 = 14. Como y deve ser igual a -8, o ponto no pertence reta. 3 - Construa o grfico da reta x = -2 - 3 e y = 7 + 2 . Soluo:- Para construir o grfico basta determinar dois pontos da mesma. Para isso, atribui-se valores para e calcula-se os valores de x e y. Assim, para = 0, temos: x = -2 - 3.0 = -2 e y = 7 + 2.0 = 7. Para = -1, x = -2 - 3.(-1) = 1 e y = 7 + 2.(-1) = 5. Temos assim dois pontos (-2, 7) e (1, 5). Marcando esses pontos no sistema de eixos cartesianos, e ligando-os por uma reta teremos o grfico construdo.

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4 - D um vetor v da forma (9x, 12) que seja paralelo reta x = -2 + 3 e y = 7 - 2 . Soluo:- Um vetor paralelo reta u = (3, -2), tirado da prpria equao. Ora, se v paralelo reta ento v paralelo a u. Assim v = ku (9x, 12) = k(3, -2) -2k = 12 e 3k = 9x. De -2k = 12 tira-se k = -6 que levado em 3k = 9x -18 = 9x x = -2. O vetor ento (-18, 12).

.

(2) Equao segmentria Eliminando o valor de nas equaes paramtricas obtm-se:

que a equao segmentria da reta. Nesta forma, (a, b) um vetor paralelo reta e (x0, y0) um ponto conhecido. (3) Equao reduzida Da equao segmentria da reta, tiramos bx - bxo = ay - ayo ay = bx - bxo + ayo y = (b/a)x + (ayo - bxo). Fazendo b/a = m e ayo - bxo = h, resulta: y = mx + h . Esta forma de apresentao da equao da reta chamada de forma reduzida. Observe que m = b/a a tangente do ngulo que o vetor (a, b) forma com o eixo positivo dos x. O coeficiente m (= b/a) chamado de inclinao, ou coeficiente angular ou declividade da reta. Alm disso, se fizermos x = 0, resulta y = h, de onde se conclui que (0, h) o ponto onde a reta corta o eixo vertical. O parmetro h chamado de parmetro linear da reta. Com relao ao vetor que define a direo da reta, podemos escrever (1, b/a) = (1, m) paralelo a a.(1, b/a) = (a, b). Ou seja, o vetor (1, m) paralelo reta y = mx + h. (4) Equao geral Da expresso bx - bxo = ay - ayo podemos obter bx + (-a)y + ayo - bxo = 0. Substituindo b por A, (-a) por B e ayo - bxo por C, a igualdade anterior fica Ax + By + C = 0. Esta forma chamada equao geral da reta. Se considerarmos dois vetores (A, B) e (a, b), seu produto escalar Aa + Bb. Como foi feito A = b e B = -a, teremos Aa + Bb = ba + (-a)b = ba - ab = 0 (A, B) perpendicular a (a, b). Como (a, b) paralelo reta, podemos concluir que (A, B) um vetor perpendicular reta Ax + By + C = 0. EXERCCIOS: 1 - Seja x = 3 + 4 e y = -5 + 2 as equaes paramtricas da reta. Escreva as equaes simtricas, reduzida e geral para essa mesma reta. 2 - Seja y = 2x - 7 e 4x + 3y + 2 = 0 as equaes reduzida e geral de duas retas. Escreva as demais formas de equaes dessas retas. 3 - D um vetor paralelo cada uma das retas abaixo: (a) x = -5 + 6 e y = 8 - 3 (b) (x - 2)/5 = (y + 7)/3 (c) y = 2x + 5 (d) 3x + 4y + 5 = 0

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4 - Construa o grfico de cada uma das retas citadas no exerccio 3. 5 - D um vetor perpendicular a cada uma das retas citadas no exerccio 3. 6 - O vetor (k + 1, 7) perpendicular reta (i) 3x + 4y + 5 = 0, (ii) y = 2x - 5 (iii) (x - 2)/5 = (y + 7)/3 (iv) x = -5 + 6 e y = 8 - 3 . Determine, para cada caso, o valor de k. 7 - Escreve, na diferentes formas da reta, a equao da reta que satisfaa as condies: (a) passa pelo ponto (-8, 9) e paralela ao vetor (4, -2) (b) passa pelo ponto (5, -4) e perpendicular ao vetor (7, -1) 8 - Calcule a rea e o permetro do tringulo cujos lados so segmentos das retas y = 2x - 9, 3x + 4y - 1 = 0 e (x - 1)/2 = (x + 1)/3. 2 PARALELISMO E PERPENDICULARISMO DE RETAS EM R2 As condies de paralelismo e perpendicularismo de duas retas podem ser analisadas a partir dos vetores paralelos ou perpendiculares s retas. Lembrando: (i) Dadas as equaes x = xo + a e y = yo + b , (a, b) um vetor paralelo reta. (ii) Na forma Ax + By + C = 0, (A, B) um vetor perpendicular reta. (iii) Na forma y = mx + h, m = a/b, sendo (a, b) o vetor paralelo reta. (iv) Para duas retas paralelas, seus vetores (a, b) e (a, b) so da forma (a, b) = k(a, b) onde k um nmero real. (v) Para duas retas perpendiculares, os vetores (a, b) e (a, b) tambm sero perpendiculares. Neste caso, o produto escalar nulo, ou seja aa + bb = 0. Usando as condies acima, simples verificar se duas retas so paralelas ou perpendiculares, bem como encontrar uma reta que seja paralela ou perpendicular a outra reta dada. Exemplo 1 Determine a equao da reta que passa pelo ponto (2, 7) e que seja paralela reta cujas equaes paramtricas so: x = 4 2 e y = 5 + 3 . Soluo:- Como a reta paralela reta dada, o vetor que define a direo de ambas (-2, 3). Temos ento: x = 2 - 2 e y = 7 + 3 . Exemplo 2 Determine a equao da reta que passa pelo ponto (-2, 5) e paralela reta y = 4x + 3. Soluo:- Como m = 4, temos 4 = a/b. Como a reta passa pelo ponto (-2, 5), teremos: 5 = 4.(-2) + h h = 13. Portanto, a equao da reta ser y = 4x + 13. Exemplo 3 Determine a equao da reta paralela 3x 2y + 4 = 0, que passa pelo ponto (1, 7). Soluo:- (3, 2) um vetor perpendicular reta dada. Como se quer uma reta paralela primeira, este vetor tambm ser perpendicular reta cuja equao se quer determinar. Assim, 3.1 2.7 + C = 0 C = 11 3x 2y + 11 = 0. Exemplo 4 Escreva a equao da reta s que passa pelo ponto (2, -1), que seja perpendicular reta r: 3x + 2y + 5 = 0. Soluo:- O vetor (3, 2) perpendicular reta r, portanto, paralelo reta s. Assim, a equao da reta x = 2 + 3 e y = -1 + 2 .. Exemplo 5 Escreva a equao da reta s que passa pelo ponto (2, -1), perpendicular reta x = 2 + 4 e y = 5 - 3 . Soluo:- O vetor (4, -3) paralelo reta dada. Portanto, perpendicular reta pedida. O vetor paralelo reta pedida (a, b) deve ser tal que (a, b).(4, -3) = 0. Quaisquer valores de a e b que satisfaam o produto, pode ser usado como vetor paralelo reta. Pode-se ento fazer a = 3 e b = 4, pois 3.4 + 4(-3) = 0. Assim, a equao da reta pedida x = 2 + 3 e y = -1 + 4 .

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EXERCCIOS: 1. Considere a reta r, dada por suas equaes paramtricas: x = 3 - 2 e y = -5 + 4 . Escreva, nas formas reduzida e segmentria, a equao da reta que passa pelo pontos (-2, 3), sendo a mesma: a) paralela a r b) perpendicular a r. 2. Considere a reta r, dada sob a forma reduzida y = (2/3)x - (4/5). Escreva, na forma geral e paramtrica, a equao da reta que passa pelo ponto (-1, -5), sendo a mesma: a) paralela a r b) perpendicular a r. 3. Considere a reta r, dada sob a forma geral, 3x - 2y + 6 = 0. Escreva nas formas geral, reduzida e paramtrica, a equao da reta que passa pelo ponto (2, 5), sendo a mesma: a) paralela a r b) perpendicular a r. 4. Uma reta r passa pelo ponto (-4, 1) e tem sua direo definida pelo vetor (4, 5). Escreva a equao paramtrica da reta que passa pelo ponto (1, -2) se a mesma : a) paralela a r b) perpendicular a r. 3 A RETA NO ESPAO R3 Para o espao tridimensional so consideradas trs coordenadas (x, y, z). A determinao da equao de uma reta nesse espao tem as mesmas caractersticas que a equao da reta no espao R2, diferenciando apenas no nmero de coordenadas. Sejam ento, (1) um ponto (x0, y0, z0) conhecido, (2) o vetor v = (a, b, c) paralelo reta r e (3) (x, y, z) um ponto genrico da reta r, conforme indicados na figura abaixo.

O vetor u = (x - x0, y - y0, z - z0), por ser paralelo a v = (a, b, c), tal que u = v, o que permite escrever: (x x 0, y y0, z z 0) = .(a, b, c) = (a , b , c ). Aplicando a definio de igualdade de vetores, conclui-se: x - x0 = a x = x0 + a ; y - y0 = b y = y0 + b e z - z0 = c z = z0 + c . As equaes: x = x0 + a y = y0 + b z = z0 + c , so denominadas equaes paramtricas da reta. Explicitando nas equaes pode-se tambm escrever

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que constituem as equaes segmentrias da reta. importante no esquecer que (a, b, c) um vetor paralelo reta enquanto que (x0, y0, z0) um ponto da reta. 4 POSIES RELATIVAS DE DUAS RETAS EM R3. A figura a seguir mostra diversas retas no espao tridimensional, ou seja, em R3.

Na figura o vetor u define as direes de retas como u e t, enquanto que r define a direo da reta r. O vetor u perpendicular ao vetor v. Assim, o produto escalar u.v nulo. Entretanto, as retas r e u so perpendiculares enquanto que as retas r e t so ortogonais. Para que as retas sejam perpendiculares, alm do produto u.v ser nulo, o sistema formado pelas equaes das duas retas deve ter soluo nica. No caso de serem ortogonais, no concorrentes, a soluo do sistema formado pelas duas retas no deve ter soluo. Para retas paralelas, os vetores que definem suas direes tambm sero paralelos. Assim, se s e w so os vetores que definem as direes das retas, deve-se ter s = k.w. Quando, as retas no so paralelas e o produto escalar dos vetores que definem suas direes no for nulo, as retas sero concorrentes obliquas se o sistema apresentar soluo nica ou sero reversas oblquas se o sistema no tiver soluo.

EXERCCIOS 1 - Escreva a equao da reta cuja direo definida pelo vetor (2, 1, 2) e que passe pelo ponto (2, 3, 4). 2 Escreva, na forma segmentria, a equao da reta que passa pelo ponto (3, 4, 2), paralela reta: x = 3 + 2 y = -4 + 7 z = -5 - 3 . 3 Considere os pares de retas abaixo. Informe a posio de uma em relao outra. a) (x 3)/2 = (y + 2)/-3 = (z 5)/4 e [x = 4 8 ; y = 10 + 12 ; z = 15 16 ] b) [x = 1 + 2 ; y = 4 + 3 ; z = - 3 + 4 ] e [x = 9 + 3 ; y = -7 + 2 ; z = 2 - 3 ] c) [x = 1 + 2 ; y = 4 + 3 ; z = - 3 + 4 ] e [x = 2+ 3 ; y = 5 + 2 ; z = (-5/3) - 3 ] 4 Ache o valor de a para que as retas (x 3)/2 = (y + 2)/-3 = (z 5)/4 + 3 ; z = a + 4 ] sejam concorrentes. e [x = 1 + 2 ; y = 4

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5 - D um vetor na forma (20, n, m) que seja paralelo reta (x - 2)/4 = (y - 1)/3 = (z + 4)/(-2). 6 - D um vetor na forma (a, b, 15) que seja paralelo reta x = -3 + 4 , y = 2 - 3 , z = 5 + 2 . 7 - D um ponto que pertena reta do exerccio 05 e outro que pertena reta do exerccio 6. 8 - Determine um vetor na forma (5, 2a - 1, a) que seja perpendicular reta do exerccio 5. 9 - Determine um vetor na forma (2a + 2, 3a, 1), que seja perpendicular reta do exerccio 6. 10 - Determine a equao da reta, nas formas paramtricas e segmentria, que passa pelos pontos (2, 1, 2) e (5, -1, 7). 11 - Verifique se o ponto (6, -1, 0) pertence reta que passa pelos pontos (4, -2, 3) e (5, 1, 5). 12 - Sejam A = (7, -13, 6), B = (4, -4, 5) e C = (9, -19, 2). Entre eles, qual (ou quais) passa (ou passam) pela reta que contm os pontos (3, -1, 2) e (2, 2, 1). 13 - Determine a equao da reta suporte da mediana relativa ao lado AB do tringulo de vrtices A = (7, -13, 6), B = (4, -4, 5) e C = (9, -19, 2). 5 - DISTNCIA DE PONTO A RETA EM R3 Consideremos: (1) a reta r: x = x0 + a , y = y0 + b , z = z0 + c onde P = (x0, y0, z0) um ponto da reta e v = (a, b, c) o vetor que define a direo dessa reta, e (2) o ponto Q = (x1, y1, z1), conforme figura a seguir:

Seja ento, determinar a distncia do ponto Q = (x1, y1, z1) reta r. A distncia do ponto reta equivale ao mdulo do vetor QR, tal que QR r. Do tringulo retngulo PQR tiramos |QR| = d = |PQ|. sen . Sendo u o unitrio na direo de v, temos que d = |u|.|PQ|. sen , pois |u| = 1. Como u = v/|v|, resulta, para a igualdade acima: d = |v/|v||.|PQ|. sen = (1/|v|).|v|.|PQ|.sen . Da lgebra vetorial vimos que |v|.|PQ|.sen o mdulo do produto vetorial v x PQ. Desta forma podemos escrever:

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Exemplo: Calcular a distncia do ponto (2, -5, 7) reta x = 4 + 3 , y = -6 + , z = 2 - 4 . Temos, de acordo com o exposto acima: ponto da reta P = (4, -6, 2), vetor que define a direo da reta v = (3, 1, -4) e ponto fora da reta Q = (2, -5, 7). Calculando o vetor PQ = Q - P = (2 - 4, -5 + 6, 7 - 2) = (-2, 1, 5). O produto v x PQ (-9, 7, 5).

6 - DISTNCIA DE PONTO A RETA EM R2 A reta em R2 tem formas como y = mx + h e os pontos so dados na forma (x1, y1) ou seja, com apenas duas coordenadas. Podemos entretanto, considerar ambos como do espao tridimensional onde z = 0. Assim, a reta seria indicada pelas equaes y = mx + h e z = 0 enquanto o ponto seria indicado por (x1, y1, 0). Para obter o ponto da reta e o vetor que define sua direo podemos escrever a equao da reta na forma: x=0+ y = h + m z = 0. (0, h, 0) o ponto da reta enquanto que v = (1, m, 0) o vetor que define a direo da mesma. Considerando P = (x1, y1, 0), ponto fora da reta, Q = (0, h, 0) ponto da reta, tiramos: PQ = (-x1, h y1, 0) e em conseqncia: u x PQ = (0, 0, h - y1 - mx1) cujo mdulo |u x PQ | = |h - y1 - mx1| = | mx1 + y1 - h|.

EXERCCIOS:1 - Determinar a distncia do ponto (3, -5) a cada uma das retas abaixo: a ) x = 2 - 3 e y = 1 + b)x+y1=0 c) y = 2x + 1 d) (x 3)/2 = (y + 1)/1 2 Determinar a distancia do ponto (1, 1, -1) reta: a) x = 1 + , y = -1 + 2 , z = 2 - b) (x 3 )/1 = (y 4)2 = (z + 1)/2 3 Prove que a distancia da reta Ax + By + C = 0 ao ponto (xo, yo) pode ser determinada por

4 Determine a distncia do ponto P(1, 1, 2) reta que passa pelos pontos (-1, 0, 1) e (3, 1, 0). 5 - Determine a distncia do ponto P(1, 2) reta que passa pelos pontos (-1, 1) e (3, 1).

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CAPTULO 4 MUDANAS DE COORDENADAS 1 INTRODUO Consideremos a equao x2 + y2 4x + 2y - 25 = 0. Esta equao pode ser simplificada se substituirmos x por (x + 2) e y por (y 1), conforme segue: (x + 2)2 + (y 1)2 4(x + 2) + 2(y 1) - 25 = 0 x2 + 4x + 4 + y2 2y + 1 4x 8 + 2y 2 + 5 = 0 x2 + y2 25 = 0 Esta transformao corresponde a deslocar uma circunferncia cujo centro o ponto (2, -1) e raio igual a 5 unidades para a origem dos eixos (ou deslocar os eixos coordenados para o centro da circunferncia). Como veremos, equaes de superfcies e curvas, seja no espao ou seja no plano podem ser bastante complexas. Entretanto, se modificarmos o sistema de eixos (ou coordenadas) podemos, muitas vezes, obter uma equao mais simples cujo grfico ser mais facilmente construdo. Neste captulo pretendemos estudar algumas transformaes que permitiro simplificar o estudo de curvas e superfcies. 2 TRANSLAO DE EIXOS Consideremos os dois sistemas de coordenadas S(x, y) e S(x, y), de modo que a origem de S(x, y) seja o ponto (a, b) em relao ao sistema S. Seja P um ponto de uma curva, conforme indicado na figura.

Da figura podemos tirar: OA = OF + FA = OF + OB x = a + x OD = OE + ED = OE + OC y = b + y Estas relaes transformam as coordenadas (x, y) nas coordenadas (x, y). Isto corresponde a um deslocamento do sistema de eixos S (x, y), cuja origem o ponto (a, b) para o sistema de eixos S(x,y). Tal transformao chamada de translao. Aplicao: Considerando a equao 3x2 12x + 2y + 10 = 0, eliminar o termos em x. Reescrevamos a equao na forma 3x2 12x + 2y + 10 = 0 e apliquemos a transformao x = x a e y = y b, onde a e b ser a origem do novo eixo. Temos, ento: 3(x a)2 12(x a) + 2(y b) + 12 = 0 3x2 6ax + 3a2 12x + 12 + 2y 2b + 12 = 0 3x2 (6a + 12)x + 2y 2b + 3a2 + 8 + 12 = 0. Para eliminar o termo em x, devemos ter 6a + 12 = 0 a = - 2. Devemos observar que o valor de b no influenciar no desaparecimento de x. Portanto, devemos tomar a = -2 e b qualquer. Fazendo b = 0, resultar: 3x2 + 2y 2.0 + 3.(-2)2 + 8 + 12 = 0 3x2 + 2y + 8 = 0. Se fizssemos -2b + 3a2 + 8 + 12 = 0 -2b + 3(-2)2 + 8 + 12 = 0 b = 16, teramos uma equao mais simples: 3x2 + 2y = 0. EXERCCIOS

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1. A equao de uma curva y = 3x2 - 6x + 4 em relao ao sistema normal de eixos cartesianos XOY. Considere um sistema X'OY' cuja origem o ponto (1, 1) em relao a XOY. Determine a equao da curva em relao ao sistema X'OY. 2. Elimine o termo em x na equao y = x2 - 5x + 6 usando um sistema conveniente de eixos. 3. Se x2 + y2 - 8x - 6y + 9 = 0 a equao de uma curva em relao ao eixos convencionais, determine a equao dessa curva em relao a um sistema de eixos cuja origem o ponto (4, 3). 4. Qual ser a nova equao da curva x2 - 2xy + y2 - 4x + 6y - 7 = 0 se lhe for aplicada a transformao x' = x - 4, y' = y - 3? 3 ROTAO No item anterior vimos que aplicando uma translao podemos eliminar termos de primeiro grau (termos em x ou em y). Na rotao possvel eliminar termos onde estas duas variveis aparecem multiplicadas, ou seja, eliminar termos em xy. Na rotao, um sistema de eixos S(x, y) girado de um ngulo , transformando num sistema de eixos S(x, y). Vejamos isto em um grfico. As coordenadas em relao a S(x, y) so x = OB e y = OA. Do tringulo OBP, tiramos: OB' = x = OPcos e OA = PB' = y = OPsen . v Com o tringulo POB obtemos: (1) OB = x = OP.cos( - ) = OP(cos cos + sen ) = = (OPcos )cos + (OPsen )sen = x'cos + y'sen (2) PB = OA = y = OPsen( - ) = OP(sen cos sen ) = = (OPsen )cos - OP(cos )sen = y'cos - xsen Assim, a rotao , transforma as coordenadas (x, y) nas coordenadas (x, y) tais que: x = x'cos + y'sen y = y'cos - xsen que pode ser expresso pelo produto matricial abaixo

Exemplo:- Aplicando a translao x = x 3, y = y + 5 seguida de uma rotao de 90 nos eixos o ponto (x, y) = (5, 4), esse ponto passaria a ter as coordenadas (9, -2) conforme determinado abaixo Aplicando a translao em (5, 4), temos: x = 5 3 = 2 e y = 4 + 5 = 9 - o ponto (5, 4) passar a ter coordenadas (2, 9) Aplicando a rotao em (2, 9), resulta: x = 2.cos90 + 9.sen90 = 2.0 + 9.1 = 9 e y = - 2sen90 + 9cos90 = 2.1 + 9.0 = -2. Assim, o ponto (5, 4) transformado para (9, -2) EXERCCIOS:1 Elimine os termos em x e y na equao 2x2 + 4y2 + 4x - 8y 31 = 0. 2 Se for aplicada uma rotao de 45 em um sistema de eixos, quais sero as novas coordenadas do ponto (5, -3)? 3 - Elimine o termo em xy na equao x2 xy + y2 = 5 por meio de uma rotao. 4 Calcule as novas coordenadas do ponto (1, 3) ao aplicar uma translao x = x 1, y = y + 2 e a seguir uma rotao de 60 no sistema de eixos original (xy). 5 Um ponto tem coordenadas (-5, 8) em relao a um sistema de eixos. Qual ser a origem de um novo sistema de eixos, se as coordenadas desse ponto forem transformadas em (0, 2)?

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CAPTULO 05 ESTUDO DAS CNICAS NO PLANO 1 LUGAR GEOMTRICO Algumas regies do plano ou do espao apresentam propriedades que caracterizam todos os seus pontos. Por exemplo: (1) em uma circunferncia, por exemplo, todos os seus pontos so eqidistantes de um mesmo ponto que o centro da circunferncia; (2) as distncias de cada ponto da mediatriz de um segmento aos extremos do segmento so iguais; (3) o cilindro um conjunto de pontos eqidistantes do eixo do cilindro. Conjuntos de pontos como os citados nos exemplos constituem um "lugar geomtrico", ou seja, um conjunto de pontos que apresentam uma propriedade comum. No plano estes lugares geomtricos so curvas ou regies do plano definidos por funes com duas varireis, do tipo f(x, y) = 0, enquanto que no espao so superfcies ou regies do espao tridimensional, definidas por funes com trs variveis, expressas por f(x, y, z) = 0. A maioria dos lugares geomtricos so definidos em termos de distncia entre pontos ou de distncia de ponto reta. interessante que estes conceitos sejam revistos para melhor entendimento do contedo a seguir. 2 - AS EQUAES DE ALGUNS LUGARES GEOMTRICOS 2.1 - Lugar geomtrico dos pontos do plano eqidistantes de dois pontos conhecidos pertencentes ao mesmo plano (mediatriz) - (figura 1) Sejam A = (x1,y1) e B = (x2, y2) os dois pontos conhecidos e P = (x, y) os pontos que constituem o lugar geomtricos definido acima. Temos PA = PB PA2 = PB2 (quadrados das distncias) (x - x1)2 + (y - y1)2 = (x - x2)2 + (y - y2)2. x2 - 2xx1 + x12 + y2 - 2yy1 + y12 = x2 - 2xx2 + x22 + y2 - 2yy2 + y22 (2x2 - 2x1)x + (2y2 - 2y1)y + (y22 - y12 + x22 - x12 = 0. Como x1, x2, y1, y2 so constantes, a expresso tem a forma ax + by + c = 0, que a equao de uma reta.

2.2 - Lugar geomtrico dos pontos do plano eqidistantes de duas retas concorrentes pertencentes ao mesmo plano (bissetriz) (figura 2) Sejam A1x + B1y + C1 = 0 e A2x + B2y + C2 = 0 as equaes das retas r e s, respectivamente e (x, y) as coordenas do ponto P. Aplicando a frmula da distncia de ponto a reta tem-se:

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(NA1 + MA2)x + (B1N + B2M)y + (C1N + C2M) = 0 Desta (NA1 + MA2)x + (B1N + B2M)y + (C1N + C2M) = 0 so as equaes das duas bissetrizes dos ngulos formados pelas duas retas. 2.3 - Lugar geomtrico dos pontos eqidistantes de um ponto e uma reta dados Seja, calcular a equao do lugar geomtrico cujos pontos so eqidistantes da reta x = -4 e do ponto (4, 1). A figura a seguir mostra a curva representativa do lugar geomtrico nas condies descritas.

Sejam P = (x, y) os pontos do lugar geomtrico. Tomando o ponto Q da reta, suas coordenadas so (-4, y) teremos: QP = RP (x + 4)2 + (y y)2 = (x 4)2 + (y 1)2 x2 + 8x + 16 = x2 8x + 16 + y2 2y +1 y2 16x 2y + 1 = 0. (veremos mais tarde que esta equao se refere a uma parbola) EXERCCIOS 1. Determine a equao dos seguintes lugares geomtricos: a) conjunto de pontos eqidistantes dos pontos (2, 5) e (2, 9); b) conjunto de pontos eqidistantes dos pontos (-1, 3) e (7, 4); c) conjunto dos pontos cuja distncia ao ponto (-2, 4) igual a 3. d) conjunto dos pontos cuja distncia reta x + y - 4 = 0 igual distncia ao ponto (5, 1). e) conjunto dos pontos cuja distncia reta 3x - 2y + 1 = 0 igual 4 vezes a distncia ao ponto (0, 0). f) conjunto dos pontos cuja distncia reta y = 5 igual metade da distncia ao ponto (3, 1). 2. Para cada um dos itens do exerccio 1, esboce o grfico. 3. Escreva a equao do lugar geomtrico cujos pontos eqidistam duas unidades do eixo horizontal. 4. Escreva a equao do lugar geomtrico dos pontos cuja distncia reta y = 2x igual ao dobro da distncia ao ponto (1, 5).

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3 AS CNICAS Se tomarmos um cone duplo, atravs de cortes no mesmo por diferentes planos podemos obter as curvas: circunferncia, elipse, parbola e hiprbole. Tais curvas so por esta razo denominadas de cnicas. Todas elas so lugares geomtricos que apresentam propriedades caractersticas que sero definidas nos prximos itens. A parbola e a elipse so curvas que podem gerar, por rotao em torno de um eixo, superfcies que apresentam propriedades que as permitem usar na rea tecnolgica. Quanto a hiprbole, esta tem fundamental importncia na rea algbrica, principalmente facilitando clculos de integrais e definies da funo logaritmo. Estas trs curvas podem ser definidas como lugar geomtrico dos pontos cuja distncia a um ponto fixo, denominado, foco igual a uma constante positiva vezes a distncia a uma reta fixa chamada diretriz. Esta constante denominada excentricidade, que simbolizaremos por e. Para a parbola teremos e = 1, para a elipse 0 < e < 1 e para a hiprbole e > 1. Quanto circunferncia sua definio : lugar geomtrico dos pontos eqidistantes de um ponto fixo chamado centro. Vejamos inicialmente como so obtidas as cnicas a partir do cone duplo. (fig. 1)

A CIRCUNFERNCIA A circunferncia definida como o lugar geomtrico dos pontos (x, y) eqidistantes de um ponto fixo (a, b) chamado centro. A distncia dos pontos ao centro chamada de raio (R). A partir desta definio e aplicando a frmula da distncia entre dois pontos, pode-se obter a equao da circunferncia. Tem-se ento:

A forma (x - a)2 + (y - b)2 = R2 denominada equao reduzida da circunferncia onde (a, b) so as coordenadas do centro R a medida do raio. Ao desenvolver a equao reduzida da circunferncia obtm-se: x2 2ax + a2 + y2 2by + b2 = R2 x2 + y2 2ax 2by + a2 + b2 R2 = 0. A ltima equao pode ser escrita na forma Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0, onde C = 0, A + B e F = A.(a2 + b2 - R2). A forma Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 denominada equao geral do segundo grau e ser uma circunferncia nas condies descritas. Aplicao 1 - Escrever, na forma geral, a equao da circunferncia de raio 5 e centro (2, 3). 2 2 Na forma reduzida, a equao da circunferncia (x - 2) + (y - 3) = 52. Desenvolvendo a igualdade, tem-se: x2 - 4x + 4 + y2 - 6y + 9 = 25 x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0, que a equao pedida.

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Aplicao 2 - Determinar as coordenadas do centro e o raio da circunferncia cuja equao 2x2 + 2y2 - 12x + 4y - 10 = 0. Neste caso devemos inicialmente eliminar os coeficientes de x2 e y2. Isto possvel pois basta dividir todos os termos da equao por 2, o que ir resultar: x2 + y2 - 6x + 2y - 5 = 0. Procuremos completar os quadrados para x2 - 6x e y2 + 2y, lembrando que (x + a)2 = x2 + 2xa + a2. Desta forma [x2 - 6x + (6/2) 2] + [y2 + 2y + (2/2) 2] = 5 + 32 + 22 (x - 3) 2 + (y + 1) = 16 as coordenadas do centro so (3, -1) e cujo raio 16 = 4. EXERCCIOS 1. Esboce o grfico da circunferncia cuja equao : a) (x - 1)2 + (y - 3)2 = 4; b) x2 + y2 + 4x - 6y + 5 = 0. 2. Escreva, nas formas reduzida e geral, as equaes das circunferncias: a) de centro (-3, 1) e raio 7. b) se (2, -5) e (8, 1) so os extremos de um de seus dimetros. c) que passa pelos pontos (1, 2), (0, 0) e (4, 1). d) tangente ao eixo dos y sendo (4, 5) o seu centro. e) tangente ao eixo dos x se (-2, 7) o centro. f) que passa pelo ponto (2, 5) e tangente aos eixos cartesianos. g) com centro em (9, 3) e tangente reta x = 6. h) com centro em (9, 3) e tangente reta y = 6. 3. Determine o centro e o raio da circunferncia 3x2 + 3y2 - 9x - 18y - 21 = 0.

5 A EQUAO GERAL DO SEGUNDO GRAU A equao geral do segundo grau tem a forma Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0. Se compararmos com a equao x2 + y2 2ax 2by + a2 + b2 R2 = 0 veremos que a equao geral do segundo grau refere-se a uma circunferncia se e somente se: (1) A = B (2) C = 0 (3) Se dividirmos todos os termos por A, resulta: x2 + y2 + (D/A)x + (E/A)y + F/A = 0. Comparando com a equao (2), tiramos a = -D/2A, b = -E/2A e F/A = a2 + b2 R2. Se substituirmos os valores de a e b nesta ltima tiramos R2 = (D/2A)2 + (E/2A)2 (F/A)

A equao que fornece o raio exige que D2 + E2 4AF > 0. Esta a terceira condio para que uma equao de segundo grau seja uma equao de circunferncia. Como D2 + A2 e A so sempre positivos, evidente que, satisfeitas as condies (1) e (2), a equao ser de uma circunferncia se F for negativo. Entretanto, quando F for positivo, a equao poder ser ou no equao de uma circunferncia. Quando a equao de uma circunferncia for dada na forma Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0, pode-se determinar o seu centro (a, b) e o seu raio R, a partir das igualdades

ou usando o processo de completar os quadrados descrito no item anterior. EXERCCIOS 1. Entre as equaes abaixo, informe quais no so equaes de circunferncia. Justifique. Aquelas que forem equaes de circunferncia, determine as coordenadas do centro e o raio a) 3x2 + 3y2 12x + 18y + 19 = 0

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b) x2 + y2 12x + 18y 21 = 0 c) 5x2 - 5y2 12x + 18y 9 =0 d) 2x2 + 2y2 6xy 12x + 18y 9 = 0 e) x2 + y2 12x + 18y 9 = 0 6 POSIO RELATIVA 6.1 - Ponto e circunferncia Seja (x - a)2 + (y - b)2 = R2 (x - a)2 + (y - b)2 - R2 = 0, a equao da circunferncia e P um ponto de coordenadas (x0, y0). A expresso (x0 - a)2 + (y0 - b)2 determina o quadrado da distncia do ponto ao centro da circunferncia. Se (x0 - a)2 + (y0 - b)2 = R2 ou (x0 - a)2 + (y0 - b)2 - R2 = 0, o ponto P = (x0, y0) pertence circunferncia pois a distncia do ponto ao centro igual ao raio. Se (x0 - a)2 + (y0 - b)2 > R2 ou (x0 - a)2 + (y0 - b)2 - R2 > 0, a distncia ao centro maior que o raio. Neste caso o ponto exterior circunferncia. Se (x0 - a)2 + (y0 - b)2 < R2 ou (x0 - a)2 + (y0 - b)2 - R2 < 0, a distncia ao centro maior que o raio. Neste caso o ponto exterior circunferncia. Considerando a funo f(x, y) = (x - a)2 + (y - b)2 - R2 ,que tambm pode ser escrita na forma f(x, y) = Ax2 + By2 + Cxy + dx + Ey + F, com A = B e C = 0, pode-se concluir, a partir das relaes acima que: (1) f(x0, y0) = 0 o ponto pertence circunferncia, (2) f(x0, y0) > 0 o ponto exterior circunferncia, e (3) f(x0, y0) < 0 o ponto interior circunferncia. 6.2 - Reta e circunferncia Sejam (x - a)2 + (y - b)2 = R2 uma circunferncia e Ax + By + C = 0 uma reta. As posies da reta em relao circunferncia podem ser vistas na figura abaixo. Para determinar a posio da reta podemos utilizar dois caminhos: (1) resolver o sistema formado pelas duas equaes:(x - a)2 + (y b)2 = R2 e Ax + By + C = 0. (2) usar a frmula da distncia de ponto a reta

Neste segundo caso, tem-se: (i) se D > 0 o ponto exterior circunferncia, (ii) se D = 0 o ponto pertence circunferncia, (iii) e D < 0 o ponto interior circunferncia. 6.3 - Duas circunferncias Consideremos duas circunferncias: C1, de centro (a1, b1) e raio R1 e C2 de centro (a2, b2) e raio R2. Seja a distncia entre os centros das duas circunferncias. A posio de uma das circunferncias em relao outra depende de D e dos raios. Na figura esto indicadas as relaes entre os raios e a distncia entre os centros, a partir das quais so identificadas as posies de uma circunferncia em relao outra.

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EXERCCIOS 1 D a posio de cada um dos pontos abaixo em relao circunferncia x2 + y2 3x + 4y 9 = 0; (a) (1, -4) (b) (4, 5) (c) (1, 1) Justifique as respostas. 2 De a posio de cada uma das retas abaixo em relao circunferncia x2 + y2 6x + 2y 6 = 0 (a) 3x + y + 2 = 0 (b) 4x + 3x + 5 = 0 (c) 4x y 8 = 0 Justifique as respostas. 3 Sabe-se que a reta 3x + 2y + C = 0 tangente circunferncia x2 + y2 3x + 4y 9 = 0. Determine o valor de C. 4 Para que valores de m, a reta 4x 2y + m = 0 secante circunferncia x2 + y2 6x + 2y 6 = 0. 5 De a posio relativa dos pares de circunferncias. a) x2 + y2 3x + 4y 9 = 0 e x2 + y2 6x + 2y 6 = 0 b) x2 + y2 6x + 2y 6 = 0 e x2 + y2 6x + 2y 10 = 0 c) ( x 3)2 + (y 2) 2 = 9 e (x 7) 2 + (y 5) 2 = 4 d) x2 + y2 6x - 6y 7 = 0 e x2 + y2 10x - 6y + 12 = 0 e) x2 + y2 3x + 4y 9 = 0 e x2 + y2 8x + 6y + 21 = 0 6 Para cada um dos itens dos exerccios 1 a 5, construa um grfico e verifique se sua resposta est correta ou no. 7 A PARBOLA Definida como o lugar geomtrico dos pontos eqidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz). A distncia VF denominada distncia focal e ser representada pela letra c. F o foco, cujas coordenadas so (c, 0). A reta QV a diretriz. A distncia VV = VF pois a distncia de qualquer ponto da parbola ao foco igual a distncia do mesmo ponto diretriz. Assim, a equao da diretriz y = - c. Se (x, y) so as coordenadas do ponto P da parbola, as coordenadas do ponto Q sero ( -c, y).

Aplicando a definio da parbola devemos ter PF = PQ. Assim, Elevando as duas expresses ao quadrado e desenvolvendo os termos entre parnteses, resulta: x2 2xc + c2 + y2 = x2 + 2xc + c2 y2 = 4cx.

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Se considerarmos um sistema de eixos xy e a parbola com vrtice na origem desse sistema, sua equao ser ento y2 = 4cx. Sendo (h, k) as coordenadas da origem desse sistema em relao ao sistema xy, teremos: x = x h e y = y k. Em conseqncia, a mesma parbola em relao ao sistema xy ser ento (y k)2 = 4c(x h). Neste caso, as coordenadas do foco sero (h + c, k) e a diretriz ter equao x = h c. Quando a diretriz estiver direita do foco, a concavidade da parbola ficaria virada para a esquerda. Deduz-se para esse caso: (y k)2 = -4c(x h) onde o foco ser o ponto (h c, k) e a diretriz x = h + c. (FIG 1) Para a parbola com diretriz horizontal e concavidade para cima, de modo semelhante ao anterior demonstra-se que a equao (x h)2 = 4c(y k) com vrtice (h, k), foco (h, k + c) e diretriz y = h c. (FIG.2) Para o caso da parbola com concavidade para baixo, a equao torna-se (x h)2 = -4c (y k), sendo o vrtice (h, k), foco (h, k c) e diretriz y = h + c. (FIG.3)

Resumindo: Vrtice (h, k) Distncia focal = c. (1) Parbola com diretriz vertical e eixo horizontal, Equao: (y k)2 = 4c(x h) Diretriz x = h - c Eixo y = k Foco (h + c, k) (2) Parbola com diretriz vertical e eixo horizontal, Equao: (y k)2 = -4c(x h) Diretriz x = h + c Eixo y = k Foco (h - c, k) (3) Parbola com diretriz horizontal e eixo vertical, Equao: (x h)2 = 4c(y k) Diretriz y = k - c Eixo x = h Foco (h , k + c) (4) Parbola com diretriz horizontal e eixo vertical, Equao: (x h)2 = - 4c(y k) Diretriz y = k + c Eixo x = h Foco (h , k - c)

concavidade para a direita:

concavidade para a esquerda:

concavidade para cima:

concavidade para baixo:

EXERCCIOS RESOLVIDOS 1 Determinar as coordenadas do vrtice, a distncia focal, as coordenadas do foco e a equao da diretriz da parbola, cuja equao 2x2 4x + y 8 = 0 (ou y = -x2 + 2x + 8). Para obter os elementos pedidos, devemos escrever a equao em uma das formas (x h)2 = + 4c(y k) (y k)2 = + 4c(x h).

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Como a equao tem um termo em x2, a forma prpria ser a primeira. Temos ento: Separando os termos em x: 2x2 4x = -y + 8 Dividindo todos os termos por 2 x2 2x = -(1/2)y + 4 Completando o primeiro membro para obter um quadrado perfeito, x2 2x + 12 = -(1/2)y + 4 + 12 Formatando a equao: (x 1)2 = -(1/2)y + 5 (x 1)2 = -(1/2)(y 10) (x 1)2 = -4.(1/8)(y 10). Da equao tira-se h = 1, k = 10, c = 1/8. Portanto, vrtice (1, 10), distncia focal = 1/8, foco (h , k - c) = (1, 10 1/8) = (1, 79/8), diretriz y = k + c y = 10 + 1/8 y = 81/8. Note que foi usada a forma (x h)2 = - 4c(y k) o que implica uma concavidade dirigida para baixo. 2 Escreva a equao da parbola de vrtice (2, 5) e diretriz x = - 8. A diretriz uma reta vertical e est esquerda do vrtice pois a abscissa x desse vrtice 2. Isto implica numa concavidade voltada para a direita. A distncia focal igual a distncia entre o vrtice e a diretriz, portanto, c = | -8 2| = 10. Considerando os valores acima e a concavidade, teremos (y k)2 = 4c(x h) (y 5)2 = 4.10.(x 2) (y 5)2 = 40.(x 2) ou y2 10y 40x + 55 = 0. EXERCCIOS 01 Escreva a equao da parbola, conhecidos: a) O vrtice (5, -1) e o foco (5, 7) b) O foco (4, -1) e a diretriz x = - 7 c) O vrtice (3, 4) e a diretriz y = 8 02 Para cada caso acima informe a orientao da concavidade. 03 Determine o foco, o vrtice e a diretriz da parbola, cuja equao : a) x2 4y = 0 b) 8x2 16x + 24y 32 = 0 c) 4y2 12y + 3x 16 = 0 04 Determine as coordenadas dos pontos onde a reta 3x + 2y 5 = 0 intercepta a parbola x2 4y = 0. 05 Voc deve ter aprendido em Clculo que a primeira derivada a declividade da tangente curva f(x). Aplique isso para determinar a tangente parbola 8x2 16x + 24y 32 = 0 no ponto de abscissa x = 2. 06 Determine a distncia do ponto (1, 6) ao foco da parbola y = x2 5x + 6. 07 Calcule a distncia focal da parbola y = x2 5x + 6. 8 A ELIPSE Pode-se definir a elipse das seguintes formas: (1) lugar dos pontos cuja distncia a um ponto fixo (foco) igual uma constante (excentricidade) multiplicada pela distncia a uma reta fixa (diretriz), sendo a excentricidade positiva e menor que 1. (2) lugar geomtrico dos pontos cuja soma das distncias a dois pontos fixos constante. Usaremos esta segunda definio para deduzir a equao da elipse. Graficamente a elipse tem a forma indicada na figura a seguir:

Elementos da elipse C - centro, F e F - focos, A, A, B, B - vrtices. FC = FC - distncia focal (c). CA = CA semi-eixo maior (a) CB = CB semi-eixo menor (b) c/a = e - excentricidade (distncia focal/semi-eixo maior)

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De acordo com a segunda definio podemos relacionar os elementos a, b e c, observando: 1 PF + PF = AF + AF PF + PF = AF + AF = 2a a soma das distncias dos pontos da elipse aos focos constante e igual ao eixo maior. 2 BF + BF = 2a 2BF = 2a BF = a Por Pitgoras BF2 = DF2 + CF2 a2 = b2 + c2 9 A EQUAO DA ELIPSE Consideremos inicialmente a situao da figura acima, onde o semi-eixo maior horizontal e o centro da elipse a origem (0, 0) dos eixos cartesianos. Por definio: PF + PF = 2a. Sejam (x, y) as coordenadas de P, um ponto qualquer da elipse. As coordenadas do foco so: (c, 0) e (-c, 0). Aplicando a frmula da distncia entre dois pontos, tem-se:

a4 + 2a2cx + c2x2 = a2(x2 + 2cx + c2 + y2 a4 + 2a2cx + c2x2 = a2x2 + 2a2cx + a2c2 + a2y2 . Como a2 = b2 + c2, temos a2(b2 + c2) + 2a2cx + c2x2 = a2x2 + 2a2cx + a2c2 + a2y2 a2b2 + a2c2 + 2a2cx + c2x2 = a2x2 + 2a2cx + a2c2 + a2y2 a2b2 = a2x2 c2x2 + a2y2 a2b2 = (a2 c2)x2 + a2y2 b2x2 + a2y2 = a2b2. Dividindo todos os termos por a2b2, resulta

Para eixo maior na vertical e centro na origem a elipse ter a forma indicada na figura ao lado. Neste caso os focos sero ( 0, c) e ( 0, -c). Deve ser observado que agora, a relao entre os semi-eixos e a distncia focal b2 = a2 + c2, sendo e = c/b a excentricidade. Aplicando a mesma seqncia anterior, veremos que a equao permanece na forma acima, sendo que b > a.

Considerando a elipse com centro no ponto (h, k), tem-se:

As coordenadas do ponto P em relao ao sistema XOY so (x, y) sendo ento x2/a2 + y2/a2 = 1 a equao da elipse em relao a este sistema de eixos. Em relao ao sistema de eixos XOY, as coordenadas dos pontos

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da elipse so x = x + h e y = y + k x = x h e y = y k.

Substituindo estes valores na equao x2/a2 + y2/a2 = 1, resulta:

que a equao geral da elipse, com centro (h, k). Resumindo: Equao: Coordenadas do centro: (h, k), Coordenadas dos vrtices: (h + a, k) e (h, k + b). Se a > b, os focos estaro sobre o eixo horizontal e neste caso teremos relaes a2 = b2 + c2 e e = c/a focos (h + c, k) semi-eixo maior = a e semi-eixo menor = b Se b > a, os focos estaro sobre o eixo vertical e neste caso teremos relaes b2 = a2 + c2 e e = c/b focos (h, k + c) semi-eixo maior = b e semi-eixo menor = a. EXERCCIOS 1 Nas equaes abaixo, informe se o eixo maior vertical ou horizontal a) 4x2 + 9y2 = 36 b) 16x2 + 9y2 4x + 12y 80 = 0 2 Para cada equao acima determine: I) os dois semi-eixos; II) a distncia focal; III) as coordenadas do centro; IV) as coordenadas dos vrtices e V) as coordenadas do foco. 3 Escreva a equao da elipse sendo dados: a) focos (8, 3) e (2, 3) e semi-eixo menor = 4. b) Centro (5, 4) e distncia focal = 5 e semi-eixo maior = 13 (vertical). c) Centro ( 7, 12), semi-eixo maior vertical, semi-eixo menor = 4, excentricidade e = 3/5. 4 Escreva a equao da elipse de centro na origem cujo eixo maior vale 10 e distncia focal igual a 8. Sabe-se que os dois focos esto numa mesma vertical. 5 Abaixo esto indicadas trs equaes que tm como representao: uma circunferncia, uma parbola e uma elipse. Identifique a que tipo de curva pertence cada uma e justifique sua escolha. a) 12x2 + 15x2 16x + 12y 20 = 0 b) y2 + 4x 6y + 12 = 0 c) 3x2 + 3y2 16x + 4y 12 = 0 6 Usando as equaes acima, determine: a) para a circunferncia: o centro e o raio b) para a parbola, as coordenadas do vrtice e do foco, a equao da diretriz c) para a elipse, os semi-eixos, a distncia focal, coordenadas do centro e dos focos.

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10 A HIPRBOLE Como na elipse podemos definir a hiprbole de duas formas: (1) lugar dos pontos cuja distncia a um ponto fixo (foco) igual uma constante (excentricidade) multiplicada pela distncia a uma reta fixa (diretriz), sendo a excentricidade positiva e maior que 1. (2) lugar geomtrico dos pontos cuja diferena das distncias a dois pontos fixos constante e igual ao distncia entre os vrtices (eixo real). A figura abaixo mostra a hiprbole com eixo horizontal, centrada na origem:

Elementos da hiprbole: V, V' - vrtices O - centro F, F' - focos VV' - 2a - eixo real BB' - 2b - eixo imaginrio r, s - assntotas e - excentricidade = c/a (relao entre distncia focal e semi-eixo real). BV = OF - c - distncia focal Obs. Alguns autores definem a distncia focal como a distncia entre os dois focos, ou seja, f = 2c. Relao: c2 = a2 + b2

11 - A EQUAO DA HIPRBOLE Considerando a hiprbole da figura acima, cujo eixo real horizontal e centrada na origem, de acordo com a definio (2) e tomando um ponto do ramo direito da hiprbole, pode-se escrever PF' - PF = 2a. Aplicando a frmula da distncia entre dois pontos na ltima igualdade, resulta:

c2x2 2cxa2 + a4 = a2(x2 2xc + c2 + y2) c2x2 2cxa2 + a4 = a2x2 2xc a2 + c2 a2 + y2 a2

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(c2 a2)x2 + y2a2 = c2a2 a4. Fazendo c2 = a2 + b2, resulta b2x2 + y2a2 = (c2 a2)a2 b2x2 + y2a2 = b2a2 . Dividindo todos os termos por b2a2, tem-se:

Considerando a hiprbole com eixo real 2b na vertical, os focos seriam os pontos (0, c) e (0, -c).

Elementos da hiprbole: V, V' - vrtices O - centro F, F' - focos VV' - 2b - eixo real AA' - 2a - eixo imaginrio r, s - assntotas e - excentricidade = c/b (relao entre distncia focal e semi-eixo real). AV = OF - c - distncia focal Obs. Alguns autores definem a distncia focal como a distncia entre os dois focos, ou seja, f = 2c. Relao: c2 = a2 + b2 Neste caso, ter-se-ia: PF PF = 2b. Usando a frmula da distncia: . Aplicando as mesmas transformaes usadas para a hiprbole com eixo real horizontal, resultar:

Se o vrtice da hiprbole fosse deslocado para o ponto (h, k), usando o mesmo raciocnio aplicado parbola, obtm-se as equaes gerais:

Resumindo: Centro (h, k) Distncia focal c Assntotas y = (b/a)x e y = -(b/a)x Relao c2 = a2 + b2 (1) Eixo real horizontal Equao

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Semi-eixo real - a Semi-eixo imaginrio - b Excentricidade e = c/a Focos (h + c, k), (h - c, k) Vrtices: (h + a, k), (h - a, k) Equao

Semi-eixo real - b Semi-eixo imaginrio - a Excentricidade e = c/b Focos (h, k + c), (h, k - c) Vrtices: (h, k + b), (h, k - b) EXERCCIOS 1 Para as equaes abaixo, determine: I) semi-eixos real e imaginrio; II) distncia focal; III) excentricidade; IV) coordenadas dos focos; V) coordenadas dos vrtices; VI) equaes das assntotas. a) 4x2 9y2 = 36 b) 25y2 16y2 + 50y 48x 10 = 0 2 Escreva a equao da hiprbole, sendo dados: a) Coordenadas dos focos (-5, 3) e (9, 3), vrtices (-1, 3) e (5, 3) b) Semi-eixo real vertical = 12, centro (5, 9), excentricidade = 13/12 c) Semi-eixo real horizontal = 8, semi-eixo imaginrio = 6, centro (-2, 4) d) Coordenadas dos vrtices (-3, 12) e (15, 12). Excentricidade 5/3.

11. A EQUAO GERAL DO SEGUNDO GRAU COM DUAS VARIVEIS

A parbola, a elipse e a hiprbole so cnicas que podem ser definidas como o lugar geomtrico dos pontos onde a razo entre as distncias a um ponto fixo (foco) e a uma reta (diretriz) constante. Isto , se d1 a distncia reta e d2 a distncia ao ponto fixo, tem-se d2/d1 = e. A constante e denominada excentricidade. Se e = 1, a curva uma parbola; se e > 1 a curva uma hiprbole e se 0 < e < 1 a curva uma elipse. De acordo com a definio dada para as cnicas, considerando os elementos da figura e as frmulas das distncias de ponto a reta e de ponto a ponto, podemos escrever:

Elevando os dois termos ao quadrado e desenvolvendo a igualdade tem-se:

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e2.(A2x2 + B2y2 + C2 + 2ABxy + 2ACx + 2BCy) = (A2 + B2).(x2 2x0x + x02 + y2 2y0y + y02) (A2 + B2 - e2A2)x2 - 2Abxy + (A2 + B2 - e2B2)y2 - (2AC +2A2x0 + 2B2x0)x - (2BC + 2A2y0 + 2B2y0)y (C2 A2x02 B2x02 A2y02 B2y02). Fazendo: (A2 + B2 + e2A2) = a; - 2AB = b; (A2 + B2 - e2B2) = c; - (2AC +2A2x0 + 2B2x0) = d; - (2BC + 2A2y0 + 2B2y0) = e ; - (C2 A2x02 B2x02 A2y02 B2y02) = f, resulta na forma ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, que a equao geral do segundo grau com duas variveis. As cnicas so obtidas a partir de cortes em um cone duplo por um plano. Dependendo da forma em que o plano corta o cone pode-se tambm obter um ponto (fig.1), uma reta (fig. 2) ou duas retas (fig. 3). Estes casos particulares so denominados de cnicas degeneradas.

12. IDENTIFICANDO A EQUAO Conforme j estudado anteriormente, a equao: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 uma circunferncia se: (1) a = c, (2) b = 0 e (3) d2 + e2 4af > 0. Sendo e = 1 a curva uma parbola. Comparando os coeficientes a, b e c, tem-se: (1) a = A2 + B2 - 12.A2 = B2 e (2) c = A2 + B2 - 12.B2 = A2. Como b = - 2AB, resulta: b2 4ac = 4A2B2 4.(B2)(A2) = 4A2B2 4B2A2 = 0. Temos ento uma parbola quando b2 4ac = 0. Sendo e > 1 a curva uma hiprbole e, nesse caso: (1) e2A2 > A2 (A2 - e2A2) < 0 a = A2 + B2 - e2A2 < B2 (2) e2B2 > B2 (B2 - e2A2) < 0 c = A2 + B2 - e2A2 < A2. (3) b = - 2AB b2 = 4A2B2 (4) Se a < B2 e c < A2 ento 4ac < 4B2A2 . Portanto, b2 > 4ac b2 4ac > 0. Para a elipse, sendo 1 < e < 1 , (1) e2A2 < A2 (A2 - e2A2) > 0 a = A2 + B2 - e2A2 > B2 (2) e2B2 > B2 (B2 - e2A2) < 0 c = A2 + B2 - e2A2 > A2. (3) b = - 2AB b2 = 4A2B2 (4) Se a > B2 e c > A2 ento 4ac > 4B2A2 . Portanto, b2 < 4ac b2 4ac < 0. RESUMINDO Dada a equao ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, (1) - Se a = c, b = 0 e d2 + e2 4af > 0, a curva uma circunferncia; - Se a = c, b = 0 e d2 + e2 4af = 0, a representao da equao um ponto. - Se a = c, b = 0 e d2 + e2 4af < 0, a equao representa um conjunto vazio. (2) - Se b2 4ac > 0 e d2 4af > 0 e e2 4cf > 0 a equao representada por duas retas; - Se b2 4ac = 0 e d2 4af = 0 e e2 4cf = 0 a equao representada por uma reta; (3) - Se b2 4ac > 0 e (d2 4af < 0 ou e2 4cf < 0) a equao uma hiprbole; - Se b2 4ac < 0 e (d2 4af > 0 ou e2 4cf > 0) a equao uma elipse. 13 DEMONSTRANDO AS RELAES DO ITEM 2 se: AAx2 + (AB + BA)xy + BBy2 + (AC + CA)x + (BC + BC)y + CC = 0. Comparando com a equao ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, resulta: (1) AA = a; (2) AB + BA = b; (3) BB = c; (4) AC + AC = d; (5) BC + BC = e; (6) CC = f. Resolvendo o sistema obtm-se: Sejam as retas Ax + By + C = 0 e Ax + By + C = 0. Multiplicando as duas equaes tem-

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(7) (A/B)c + (B/A)a b = 0. Fazendo (A/B) = m, mc + (1/m)a b = 0 cm2 bm + a = 0. A e B existem se m existir, ou seja b2 4ac > 0. (8) (C/A).c + (A/C)f d = 0. Fazendo C/A = n, nc + (1/n)f d = 0 cn2 dn + f = 0. C e A existem se n existir, ou seja d2 4cf > 0. (9) (C/B)c + (B/C)f e = 0. Fazendo C/B = p, cp + (1/p)f e = 0 cp2 pe + f = 0. C e B existem se p existir, ou seja e2 4cf > 0. Assim, possvel obter as razes A/B, C/A e C/B e em conseqncia, decompor a equao geral do segundo grau com duas variveis no produto de duas equaes de primeiro grau obtendo as duas retas ou em um produto de duas equaes iguais obtendo a reta. Se pelo menos uma das razes no for possvel a equao geral no poder ser decomposta em um produto de equaes de primeiro grau e a equao ser uma circunferncia, uma elipse ou uma hiprbole. EXERCCIOS 1. Identifique cada uma das equaes abaixo: a) x2 - y2 + 2x - 6y + 10 = 0 b) x2 - 2y + 4x - 20 = 0 c) 3x2 - 2xy + 6y2 - 4x + 2y - 10 = 0. d) x2 + 12xy + 2y2 - 10x + 6y - 6 = 0. e) 4x2 - 24xy + 6y2 - 12x + 4y - 6 = 0. f) 3x2 + 3y2 - 6x + 12y + 15 = 0. g) x2 + 2xy + y2 + 4y + 4x + 4 = 0. h) 3x2 + 7xy + 2y2 - 7x + y - 6 = 0. CAPTULO 6 O PLANO 1 EQUAO GERAL DO PLANO Consideremos o plano indicado na figura. O plano fica perfeitamente determinado quando so conhecidos: um vetor v = (a, b, c) normal (perpendicular) ao mesmo e um de seus pontos P = (x0, y0, z0). Como v perpendicular ao plano ele ortogonal a qualquer vetor PQ do plano. Seja ento Q = (x, y, z), um ponto genrico do plano. Temos assim: QP = Q P = (x x0, y y0, z z0).

A condio de ortogonalidade permite escrever: v.QP = 0 a.(x x0) + b.(y y0) + c.(z z0) = 0. Desenvolvendo a igualdade tem-se: ax + by + cz + (-ax0 by0 cz0) = 0. Fazendo (-ax0 by0 cz0) = d, pode-se expressar a equao de um plano em R3 por: ax + by + cz + d = 0.

EXEMPLOS 1. Dada a equao 3x - 2y + 4z - 12 = 0,

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a) escrever um vetor perpendicular ao plano Conforme visto acima, os coeficientes das variveis so as componentes do vetor perpendicular ao plano. Portanto, v = (3, -2 , 4). b) escrever um vetor na forma (3k, 2k - 1, 8), paralelo ao plano. O vetor paralelo ao plano ortogonal ao vetor normal ao plano. Neste caso, o produto escalar nulo. Tem-se ento: (3, -2, 4).(3k, 2k - 1, 8) = 9k -4k + 2 + 32 = 0 5k = 34 9k k = 34/5. O vetor pedido : (3.34/5, 2.34/5 - 1, 8) = (102/5, 63/5, 8). c) um ponto do plano. Para se obter as coordenadas de um ponto, no sendo dada nenhuma condio, basta atribuir valores arbitrrios a duas variveis e calcular o valor da terceira. Para x = 0, y = 0, ter-se- 0 + 0 + 4k - 12 = 0 k = 3. O ponto ento (0, 0, 3). 2. Escrever a equao do plano que passa pelo ponto (1, 2, 3) sendo u = (-4, 5, -1) um vetor normal ao plano. 1 processo: usando a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 tem-se: -4.(x - 1) + 5.(y - 2) + (-1).(z - 3) =0 -4x + 5y - z + 4 - 10 + 3 = 0 4x - 5y + z + 3 = 0. 2 processo: substituindo os valores de a, b, c, x, y e z na equao do plano e calculando d. Neste caso, -4.1 + 5.2 - 1.3 + d = 0 d = -3. A equao ento, -4x + 5y - z - 3 = 0 ou 4x - 5y + z + 3 = 0. EXERCCIOS: 1. Escreva a equao do plano que passa pelo ponto (-4, 5, 0) e perpendicular ao vetor (2, 1, -3). 2. D um vetor, na forma (6, a, b), perpendicular ao plano 3x + 5y - 2z + 17 = 0. 3. Escreva a equao do plano paralelo ao plano 2x - y + 2z + 5 = 0, que passa pelo ponto (7, 2, -1). 4. Entre os pontos abaixo, qual ou quais pertence(m) ao plano 6x - 2y + z - 10 = 0. a) (1, 3, 2), b) (0, 0, 5) c) (0, 0, 10) d) (1, 4, 12). 5. O ponto (3, 2k + 1, k) pertence ao plano x + y + z - 12 = 0. Determine as coordenadas do ponto. 6. Os pontos (3, a, 2) e (b, 5, 1) pertencem ao plano 2x - y + 3z + 5 = 0. Calcule a) a distncia entre os pontos b) a equao da reta que passa pelos pontos. 7. D trs pontos do plano x + y + z - 2 = 0, no pertencentes mesma reta e determine a rea do tringulo cujos vrtices so estes pontos.

2. EQUAES PARAMTRICAS Se u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) so dois vetores do plano, qualquer vetor do plano uma combinao linear de u e v. Isto , para todo vetor w de , w = ru + sv. com r e s reais. Sejam ento os pontos P = (x0, y0, z0) conhecido e Q = (x, y, z) genrico que pertencem ao plano. Para PQ = w, pode-se escrever (x x0, y y0, z z0) = r.(a1, b1, c1) + s.(a2, b2, c2). Aplicando o princpio da igualdade de vetores: x x0 = ra1 + sa2 x = x0 + ra1 + sa2 y y0 = rb1 + sb2 y = y0 + rb1 + rb2 z z0 = rc1 + sc2 z = z0 + rc1 + rc2 As equaes x = x0 + ra1 + sa2 y = y0 + rb1 + rb2 z = z0 + rc1 + rc2 so chamadas de equaes paramtricas do plano, onde (x0, y0, z0) um ponto conhecido do plano, r e s so dois parmetros e (a1, b1, c1) e (a2, b2, c2) so dois vetores que pertencem (ou so paralelos) ao plano. EXERCCIOS

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1. D trs pontos do plano x = 2 - 4r + 2s; y = -4 + r + s; z = 2 - 3r + 3s. 2. D dois vetores que pertenam ao plano x = 2 - 4r + 2s; y = -4 + r + s; z = 2 - 3r + 3s. 3. Escreva as equaes paramtricas do plano que passa pelo ponto (1, -3, 5) sendo u = (2, 1, 2) e v = (3, -4, -1) dois vetores paralelo ao mesmo. 4. Escreva a equao do plano x = 2 - 4r + 2s; y = -4 + r + s; z = 2 - 3r + 3s na forma ax + by + cz + d = 0 (forma geral). 5. D um conjunto de equaes paramtricas para o plano 2x - 5y + 4z - 12 = 0.

3. DETERMINAO DE UM PLANO Nos itens anteriores vimos que um plano fica definido por: (1) um ponto e um vetor normal; (fig.1) (2) um ponto e dois vetores paralelos ao plano. (fig. 2) Entretanto, existem outras condies para que um plano fique perfeitamente determinado. So elas: (3) trs pontos no colineares; (fig. 3) (4) uma reta e um ponto fora dessa reta; (fig. 4) (5) duas retas paralelas; (fig. 5) e (6) duas retas concorrentes. (fig. 6) Vejamos como obter a equao da reta nos 4 ltimos casos. (3) Sejam A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) e C = (x3, y3, z3) trs pontos no colineares conhecidos. Destes trs pontos podemos obter os vetores AB e AC, tais que AB = (x2 x1, y2 y1, z2 z1) e AC = (x3 x1, y3 y1, z3 z1). O produto AB x AC um vetor perpendicular ao plano formado pelos dois vetores. Com o ponto A e o vetor AB x AC teremos o ponto e o vetor normal, de onde se pode obter a equao do plano conforme visto no item 1, deste captulo. Seja por exemplo, determinar o plano que contenha os pontos A = (2, 3, 4), B = (-1, 0, 2) e C = (4, 7, -3). Calculando os dois vetores: AB = (-1 2, 0 3, 2 4) = (-3, -3, -2); AC = (4 2, 7 3, -3 4) = (2, 4, -7) Ponto A = (2, 3, 4). AB x AC = (29, -25, -6). (deixamos a cargo do leitor calcular o produto) Equao do plano: 29.(x 2) - 25.(y 3) 6.(z 4) = 0 ou 29x - 25y 6z + 41 = 0. Poder-se-ia tambm resolver o sistema em funo de d (ou atribui-se um valor qualquer ao termo independente d), obtido pela substituio de x, y e z dos trs pontos na equao ax + by + cz + d = 0. Nesse caso teramos o sistema: 2a + 3b + 4c + d = 0 -a + 0b + 2c + d = 0 4a + 7b 3c + d = 0. Em funo de d, a soluo do sistema : c = -6d/41, b = -25d/41 e a = 29d/41. Escrevendo a equao do plano: (29d/41)x + (-25d/41)y + (-6d/41)z + d = 0 que, dividindo todos os termos por d multiplicando por 41, resulta: 29x 25y 6z + 41 = 0. (4) Da reta pode-se obter dois pontos. Com estes dois pontos e o ponto dado aplica-se o mesmo raciocnio do item anterior. Exemplo: Seja escrever a equao do plano que contm a reta x = 2 + 3 , y = 3 + 3 , z = 4 + 2 e o ponto (4, 7, -3). Da reta temos os pontos: para = 0, x = 2, y = 3, z = 4 e para = -1, x = -1, y = 0, z = 2. Portanto, o plano contm os pontos (2, 3, 4), (-1, 0, 2) e (4, 7, -3), que so os mesmos pontos do exemplo anterior. (5) De uma das retas obtm-se um ponto e da outra reta obtm-se dois pontos. O problema recai na situao descrita anteriormente.

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(6) Neste caso pode-se obter a interseo das duas retas (um ponto). Com este ponto comum e os vetores que definem a direo da reta teremos dois vetores e um ponto do plano. O problema recai no caso 3. Pode-se tambm obter um ponto de uma reta e dois pontos da outra. Aplica-se ento o raciocnio usado para o caso de trs pontos. EXERCCIOS: Determine, para cada uma das condies abaixo, a equao do plano: 1. Dados os pontos (1, -3, 2), (2, 2, 1), (5, -4, 1). 2. Dada a reta (x - 1)/2 = (y + 3)/4 = (z + 2)/-1 e o ponto (1, 10, -9). 3. Dadas as retas paralelas (x + 3)/2 = (y - 1)/5 = (z + 2)/3 e x = 1 + 2 , y = 4 + 5 , z = 4 + 3 . 4. Dado o ponto (-3, 4, -1) e os vetores u = (4, 1, 4) e v = (-3, 7, 2) paralelos ao plano.

4. CASOS PARTICULARES Vejamos alguns tipos de planos em condies especiais: (1) Planos cartesianos

(2) Planos paralelos aos planos cartesianos

(3) Paralelo aos eixos

(4) Contendo os eixos

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5. NGULO DE RETA E PLANO O ngulo formado por uma reta e um plano determinado pela reta e sua projeo sobre o plano, que uma reta do plano. Na figura, o ngulo est indicado por . Sendo u = (a, b, c) o vetor normal ao plano : ax + by + cz + d = 0 e v = (A, B, C) o vetor que define a direo da reta r : x = x0 + A , y = y0 + B , z = z0 + C , O ngulo formado por u e v o complemento de . Tem-se ento: sen = cos (90 - ) = |u.v|/|u|.|v| conforme definio do produto escalar. Convm notar que o ngulo entre uma reta e um plano tal que 0 < < 90.

6. NGULO DE DOIS PLANOS

O ngulo formado por dois planos avaliado pelo ngulo formado por duas retas, uma em cada plano, perpendiculares interseo dos planos, ngulo esse compreendido entre 0 e 90. Sejam os planos

1: a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e 2: a2x + b2y + c2z + d2 = 0.

Os vetores v1 = (a1, b1, c1) e v2 = (a2, b2, c2), so perpendiculares s retas r1 e r2 dos planos por serem perpendiculares aos planos. Assim, o ngulo formado pelas retas r1 e r2 (ngulo formado pelos planos) igual ao ngulo formado pelos vetores v1 e v2 por serem formados por lados

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perpendiculares. Usando o produto escalar temos cos = v1.v2/|v1|.|v2|. Como 0 < < 90, resulta cos = | v1.v2|/|v1|.|v2|

EXERCCIOS 1. Determine o ngulo formado: (pode ser informado o seno ou o co-seno do ngulo). a) pelos planos 3x - 2y + 4z - 10 = 0 e x - y + z + 7 = 0. b) pelo plano x + 2y - 3z + 12 = 0 e a reta x = 2 - 3 ; y = -3 + 2 ; z = 6 + . c) pelo plano 2x - 2y + 3z - 5 = 0 e a reta (x - 1)/2 = (y - 9)/-4 = z/3. 2. Determine o ngulo formado pelo plano definido pelos pontos (2, -1, 7), (6, 1, 6) e (4, 3, -3) e a reta que passa pelos pontos (0, 1, 1) e (2, 1, 3). 3. Determine os valores de m e n para que a reta x = 2 - 3 , y = 5 - , z = 4 - 4 esteja contida no plano mx + ny - 4z + 1 = 0.

7. POSIES RELATIVAS DE DOIS PLANOS Dois planos podem ser: a) paralelos (fig.1); b) coincidentes c) perpendiculares (fig.2); d) concorrentes no perpendiculares (fig.3).

Sejam: 1: a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e 2: a2x + b2y + c2z + d2 = 0 os dois planos. Os vetores normais a tais planos so u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2), respectivamente. Para os planos paralelos, figura 1, os vetores normais tambm sero paralelos. Deste modo: v = ku a2 = ka1, b2 = kb1, c2 = kc1 a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 = k. Se tambm d1/d2 = k, os planos sero coincidentes. Portanto, Se a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 d1/d2 os planos so paralelos e se a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 = d1/d2 os planos sero coincidentes. Para os planos perpendiculares, figura 2, os vetores normais tambm sero perpendiculares. Neste caso, u.v = 0 a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0 Assim, se a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0, os planos sero perpendiculares. Na figura 3, no sero verificadas as relaes a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 e a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0.

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8. POSIES RELATIVAS DE RETAS E PLANOS Uma reta, em relao a um plano, pode: (1) ser paralela ao plano, (r) (2) ser perpendicular ao plano, (s) (3) oblqua em relao ao plano, e (t) (4) estar contida no plano. (v)

Para a reta r e o plano, que so paralelos, o vetor r que define a direo da reta perpendicular ao vetor u, normal ao plano. Desta forma, r.u = 0. Entretanto, a reta v, que pertence ao plano tambm leva a v.u = 0. Para verificar se a reta paralela ao plano ou est contida no plano, devemos verificar se v.u = 0 e se um ponto qualquer da reta pertence tambm ao plano. Se o ponto da reta pertencer ao plano ento a reta est contida no plano, caso contrrio ela paralela ao plano. Pode-se tambm resolver o sistema formado pela equao da reta e equao do plano. Se o sistema apresentar infinitas solues (sistema indeterminado) a reta estar contida no plano e se o sistema no apresentar soluo (sistema impossvel) a reta paralela ao plano. Para a reta s, perpendicular ao plano, os vetores u e s so paralelos. Neste caso s = k.u. No caso da reta t, oblqua ao plano, t ku e t.u 0. EXERCCIOS Para os conjuntos abaixo, d a posio relativa da reta ou do plano em relao ao plano. 1. 3x - 2y + 6z - 10 = 0 e 6x - 4y + 12 z - 2 = 0. 2. x + y - z + 3 = 0 e 2x + 2y + 4z - 5 = 0. 3. 3x - 2y + 6z - 10 = 0 e 6x - 4y + 12 z - 20 = 0. 4. 2x - y + 3z - 5 = 0 e x + 3y - 2z - 10 = 0. 5. x + 2y + 3z - 12 = 0 e (x - 3)/2 = (y + 1)/4 = (z - 3)/6. 6. x + 2y - 3z + 1 = 0 e (x - 1)/5 = (x + 2)/2 = z/3. 7. x + 2y - 3z + 1 = 0 e [x = 1 + 3 , y = 1 + 3 , z = 2 + 3 .] 9. TRAOS DE RETAS E PLANOS Os pontos onde uma reta ou as retas onde um plano intercepta os planos cartesianos so chamados de traos da reta ou traos do plano. Na figura 1 apresentada acima, os traos da reta so os pontos A, B e C. Na figura 2, os traos do plano ABC so as retas AB, AC e BC.

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Sendo x = x0 + a , y = y0 + b , z = z0 + c as equaes paramtricas de uma reta, ao calcular as coordenadas dos pontos A, B e C ter-se-: (1) ponto A: z = 0 = -z0/c. Substituindo nas equaes de x e y, resulta: x = x0 - a.(z0/c) e y = y0 - b.(z0/c). Assim, as coordenadas de A so: (x0 - a.z0/c, y0 - b.z0/c, -z0/c). (2) ponto B: y = 0 = -y0/b. Substituindo nas equaes de x e z, resulta: x = x0 - a.(y0/b) e z = z0 - b.(y0/b). Assim, as coordenadas de B so: (x0 - a.y0/b, -y0/b, z0 - c.y0/b). (3) ponto C: x = 0 = -x0/a. Substituindo nas equaes de y e z, resulta: y = y0 - b.(x0/a) e z = z0 - c.(x0/a). Assim, as coordenadas de C so: (-x0/a, y0 - b.x0/a, z c.x0/a). Considerando o plano ax + by + cz + d = 0, figura 2, os traos so as retas r, s e t. Quando o plano intercepta os trs planos cartesianos (no paralelo a nenhum deles) as equaes dos traos obtidas fazendo x = 0 (reta r), y = 0 (reta t) e z = 0 (reta s). Assim, os traos tm equaes: (1) com o plano YOZ, reta r: x = 0; by + cz + d = 0; (2) com o plano X0Z, reta t: y = 0; ax + cz + d = 0; (3) com o plano YOX, reta s: z = 0; ax + by + d = 0. Para planos paralelos aos planos cartesianos temos as situaes da figura abaixo.

As equaes dos traos so: Na figura 3 Reta r: x = 0, z = d; reta s: y = 0, z = d. Na figura 4 Reta r: x = d, z = 0; reta s: x = d, z = 0. Na figura 5 Reta r: x = 0, y = d; reta s: z = 0, y = d. EXERCCIOS 1. Determine a) x = 3 - 2 b) (x + 3)/-1 2. Determine os traos das retas abaixo com os planos cartesianos: ; y = -4 + 2 ; z = 5 + 3 . = (x - 4)/5 = (x + 2)/1. os traos do plano 3x - 2y + 4z - 10 = 0 com os planos cartesianos.

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3. D a posio do plano y + x - 3 = 0 em relao aos planos cartesianos. 4. D a equao dos traos do plano x + y - 3 = 0 com os planos cartesianos.

CAP. 07 COORDENADAS POLARES

1. INTRODUO No sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas um ponto localizado a partir das coordenadas (x, y). Entretanto, outros sistemas de coordenadas podem ser utilizados no estudo dos pontos, retas, superfcies, etc. Entre estes sistemas pode-se dar destaque aos sistemas de: coordenadas polares, coordenadas esfricas e coordenadas cilndricas. Para um sistema de coordenadas polares, usado no espao R2 (plano), cada ponto P localizado a partir da distncia r do ponto origem O dos eixos cartesianos e do ngulo que o vetor OP forma com a direo positiva do eixo horizontal. Pode-se considerar tambm r < 0. Nesse caso, o ponto ser simtrico ao ponto (|r|, ).

Neste sistema, as coordenadas do ponto P sero indicadas por (r, ). Na notao indicada, r o mdulo ou distncia radial e , um ngulo polar ou argumento. A indicao um ngulo polar se justifica pois pode ser qualquer ngulo da forma + 2k . Observando a figura pode-se relacionar as coordenadas cartesianas (x, y) com as coordenadas polares (r, ).

Costuma-se representar um sistema de coordenadas polares com os eixos cartesianos e um conjunto de crculos centrados na origem. Nesse circulo so marcados alguns ngulos, conforme indicado na figura.

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Vejamos como so plotados alguns pontos no plano acima. P (6, 5 /6) este ponto estar na circunferncia de raio 6 e sobre o eixo referente ao ngulo 5 /6. Q (-4, 5 /3) como r negativo, Q ser simtrico ao ponto Q (4, 5 /3).

2. CONVERTENDO COORDENADAS Usando as relaes indicadas no item anterior pode-se transformar coordenadas ortogonais em coordenadas polares e vice-versa. Vejamos alguns exemplos: (1) Coordenadas polares em coordenadas ortogonais. Converter (3, 4 /3) em coordenadas retangulares Tem-se: x = r.cos 4 /3 = 3.(-1/2) = - 3/2 e y = r.sen 4 /3 = 3.(-3/2) = -33/2. Portanto (3, 4 /3) = (-3/2, - 33/2). (2) Coordenadas ortogonais em polares Converter (4, - 4) em coordenadas polares.

Cos = x/r = 4/4.2 = 2/2 e sen = y/r = -4/4.2 = - 2/2 = 315 = 5 /6. Portanto, (4, - 4) = (4.2, 5 /6).

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EXERCCIOS 1. Represente em um sistema de coordenadas polares os pontos: a) (2, ) b) (5, 3 /2) c) (-4, /3) d) (6, 2 + 7 /6) 2. Transforme em coordenadas polares: a) (5, 52) b) (4, 0) c) ( 0, 3) d) (53, - 5).

3. Converta em coordenadas retangulares: a) (2, 360) b) (5, 315) c) (-2, 600).

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