Geometría Ángulos Slide 3 / 246content.sandbox-njctl.org/courses/common-core-math...2014/02/24 · Puntos, Rectas, Planos, y Ángulos 2013-08-15 Slide 2 / 246 Tabla de contenidos

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Iniciativa de Matemática Progresiva

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GeometríaPuntos, Rectas, Planos,

y Ángulos

www.njctl.org

2013-08-15

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Tabla de contenidos

Puntos, rectas y planosSegmentos

Distancia entre puntos

Locus y construcciones

Ángulos y postulado de la suma de ángulos

Bisectriz y construcciones

Teorema de Pitágoras

click sobre el tema para ir a la sección

Área de figuras en el plano cartesiano

Fórmula del punto medio

Relaciones entre pares de ángulos

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Tabla de contenidos para vídeos de demostración de construcciones

Segmentos congruentes

Mediopunto

Triángulo equilátero

Círculo

Bisectriz

Ángulos congruentes

click sobre el tema para ir a ese vídeo

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Puntos, rectas y planos

Volver a la tabla de

contenidos

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Definiciones

Un "término indefinido" es una palabra o término que no requiere mayor explicación.

En geometría existen tres términos indefinidos:

Puntos - Un punto no tiene dimensiones (largo, ancho y alto), generalmente se representa en una hoja con una letra mayúscula y un punto . Muestra sólo la posición

Rectas - compuesta de un ilimitado número de puntos a lo largo de una trayectoria recta. Una recta no tiene ancho ni alto y se extiende indefinidamente en las direcciones opuestas.

Planos - una superficie plana que se extiende indefinidamente en dos dimensiones. Un plano no tiene espesor.

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Puntos y rectasUna imagen de televisión está compuesta de muchos puntos ubicados muy cerca uno del otro. Pero si miras muy de cerca, verás los espacios.

....................................

A B

Siempre puedes encontrar un punto entre entre cualquiera otros dos. La recta de arriba sería llamada recta o recta

Sin embargo, en geometría, una línea se compone de un (infinito) número ilimitado de puntos. No hay espacios entre los puntos que conforman una línea.

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Las rectas , , ótodas se refieren a la misma recta

Recta a

Los puntos son nombrados con letras.

Las líneas son nombradas usando cualquier dos puntos o usando sólo una letra minúscula. Las puntas de flechas

muestran que la recta continua sin fin en direcciones opuestas.

Puntos y rectas

Puntos

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Postulado: cualesquiera dos puntos son siempre colineales

Los puntos D, E, y F son llamados puntos colineales, esto quiere decir que están en la misma línea.

Los puntos A, B, y C son puntos NO colineales ya que no están en la misma (única) línea.

Puntos colinealesLas rectas , , ótodas se refieren a la misma recta

Recta a

Puntos

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Ejemplo:

Da seis diferentes nombres para la recta que contiene los puntos U, V, y W.

Res

pues

ta

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Ejemplo:

Da seis diferentes nombres para la recta que contiene los puntos U, V, y W.

[This object is a pull tab]

Res

pues

ta

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Postulado: dos rectas se intersecan en exactamente un punto

Si dos rectas no paralelas se intersecan en un plano, lo hacen sólo en un punto. y intersectan a K.

Rectas intersecantes

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Ejemploa. Nombra tres puntos que sean colinealesb. Nombra tres conjuntos de puntos que sean no colinealesc. ¿Cuál es la intersección de estas dos rectas?

Res

pues

ta

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Ejemploa. Nombra tres puntos que sean colinealesb. Nombra tres conjuntos de puntos que sean no colinealesc. ¿Cuál es la intersección de estas dos rectas?


Res

pues

ta

a. A, D, Cb. A,B,D / A,C,B / C,D,B (otros)c. Punto D


o

Una semirrecta es una porción de una recta.

se lee "semirrecta AB"

Una semirrecta comienza en un punto inicial, aquí el extremo A, y continúa. se lee "semirrecta AB en una dirección.

Semirrectas

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o

Las semirrectas y no son iguales. Tienen diferentes puntos de inicio y se extienden en diferentes direcciones.

Nombrando semirrectas

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Supón que el punto C están entre los puntos A y B

Las semirrectas y son semirrectas opuestas .

Semirrectas opuestas son dos semirrectas con un extremo común que apunta en direcciones opuestas y forman una línea recta.

Semirrectas opuestas

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Recuerda: Ya que A, B, y C están sobre la misma línea, sabemos que son puntos colineales.

Similarmente, los segmentos y las semirrectas son llamados colineales, si están sobre la misma línea. Segmentos, semirrectas y rectas son también llamadas coplanares si están sobre el mismo plano .

Semirrectas colineales

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EjemploNombra un punto que sea colinear con los puntos dados.

a. R y P

b. M y Q

c. S y N

d. O y P

Slide 17 / 246

EjemploNombra dos semirrectas opuestas sobre la recta dada.

e.

f.

g.

h.

Slide 18 / 246

PistaLee la notación cuidadosamente. ¿Se te está pidiendo rectas, segmentos o semirrectas?

1 es igual que .

click

Res

pues

ta

Verdadero

Falso

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PistaLee la notación cuidadosamente. ¿Se te está pidiendo rectas, segmentos o semirrectas?

1 es igual que .

click

Verdadero

Falso


Res

pues

taFalso


2 es igual que .R

espu

esta

Verdadero

Falso

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2 es igual que .

Verdadero

Falso


Res

pues

ta

Verdadero


3 La recta p contiene justo tres puntos.

Recuerda que aunque sólo estén marcados 3 puntos, una recta está compuesta de un infinito número de puntos. Puedes encontrar siempre otro punto entre otros dos puntos.

Pista

Res

pues

ta

Verdadero

Falso

click para revelar

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3 La recta p contiene justo tres puntos.

Recuerda que aunque sólo estén marcados 3 puntos, una recta está compuesta de un infinito número de puntos. Puedes encontrar siempre otro punto entre otros dos puntos.

Pista

Verdadero

Falso

click para revelar


Res

pues

ta

Falso


4 Los puntos D, H, y E son colineales.

Res

pues

ta

Verdadero

Falso

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4 Los puntos D, H, y E son colineales.

Verdadero

Falso


Res

pues

ta

Falso


5 Los puntos G, D, y H son colineales.R

espu

esta

Verdadero

Falso

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5 Los puntos G, D, y H son colineales.Verdadero

Falso


Res

pues

ta

Verdadero


Explica tu respuesta.

6 La semirrecta LJ y la semirrecta JL son semirrectas opuestas

Res

pues

ta

Si

No

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Explica tu respuesta.

6 La semirrecta LJ y la semirrecta JL son semirrectas opuestas

Si

No


Res

pues

ta No, las semirrectas opuestas tienen el mismo extremo pero apuntan en direcciones opuestas.


7 ¿Cuáles de las siguientes son semirrectas opuestas?A y

B y

C y

D y

Res

pues

ta

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7 ¿Cuáles de las siguientes son semirrectas opuestas?A y

B y

C y

D y


Res

pues

ta

D


8 Nombra el punto de incio de

A JB K

C L

Res

pues

ta

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8 Nombra el punto de incio de

A JB K

C L


Res

pues

ta

A


9 Nombra el punto de inicio de

A J

B K

C L

Res

pues

ta

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9 Nombra el punto de inicio de

A J

B K

C L


Res

pues

ta

B


Ejemplo¿Son colineales estos tres puntos? Si lo son, nombra la recta que los contiene.

a. L, K, Jb. N, I, Mc. M, N, Kd. P, M, I

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Los puntos K, M, y L son coplanares.

Los puntos O, K, y L son no-coplanares en el diagrama de arriba.

Sin embargo, podrías dibujar un plano para contener cualesquiera tres puntos.

Planos

El plano KMN, el plano LKM, o el plano KNL o, por una única letra tal como Plano R.

(Estos son todos nombres para el mismo plano)Puntos coplanares son aquellos que están ubicados en el mismo plano:

Los planos pueden ser nombrados a partir de tres puntos no colineales:

Slide 29 / 246

Puntos colineales son aquellos que están sobre la misma línea.

J,G, y K son tres puntos colineales.

F,G, y H son tres puntos colineales. J,G, y H son tres puntos no colineales.

Puntos coplanares son aquellos que se ubican en el mismo plano.

Cualesquiera tres puntos no colineales pueden nombrar un plano.

F, G, H, e I son coplanares.

F, G, H, y J son también coplanares, pero el plano no está dibujado.F,G, y H son coplanares y también son colineales.

G, I, y K son no coplanares y nocolineales.

Slide 30 / 246

A B

Como en el otro ejemplo, imagina la intersección de cuatro paredes en una habitación con el techo o el piso. Se puede

imaginar una línea que contiene a todas las intersecciones a lo largo de esos planos.

Si dos planos se intersecan, lo hacen exactamente a lo largo de una línea.

La intersección de estos dos planos se muestra por la recta

Planos intersecantes

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Cualesquiera tres puntos no colineales determinan un plano.

Slide 32 / 246

Nombra los siguientes puntos:

Un punto que no esté en el plano HIE

Un punto que no esté en el plano GIE

Dos puntos en ambos planos

Dos puntos que no estén sobre

Ejemplo

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10 La recta BC no contiene al punto R. ¿Son colineales los puntos R, B, y C colineales?

Res

pues

ta

Si

No

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10 La recta BC no contiene al punto R. ¿Son colineales los puntos R, B, y C colineales?

Si

No


Res

pues

ta

No


11 El plano LMN no contiene al punto P. ¿Son coplanares los puntos P, M, y N?

Pista:

¿Qué sabemos sobre cualesquiera tres puntos? Res

pues

ta

Si

No

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11 El plano LMN no contiene al punto P. ¿Son coplanares los puntos P, M, y N?

Pista:

¿Qué sabemos sobre cualesquiera tres puntos?

Si

No


Res

pues

ta

Si, sobre el plano MNP


12 El plano QRS contiene a . ¿Son coplaneres los puntos Q, R, S y V? Dibuja un esquema.

Res

pues

ta

Si

No

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12 El plano QRS contiene a . ¿Son coplaneres los puntos Q, R, S y V? Dibuja un esquema.

Si

No


Res

pues

ta

Si


13 El plano JKL no contiene a . ¿Son coplanares los puntos J, K, L y N?

Res

pues

ta

Si

No

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13 El plano JKL no contiene a . ¿Son coplanares los puntos J, K, L y N?

Si

No


Res

pues

taNo


14 y intersecan a

A Punto A

B Punto B

C Punto C

D Punto D

Res

pues

ta

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14 y intersecan a

A Punto A

B Punto B

C Punto C

D Punto D

Res

pues

ta

B


15 ¿Qué grupo de puntos son no coplanares con los puntos A, B, y F que están sobre el cubo de abajo?

A E, F, B, A

B A, C, G, E

C D, H, G, C

D F, E, G, H

Res

pues

ta

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15 ¿Qué grupo de puntos son no coplanares con los puntos A, B, y F que están sobre el cubo de abajo?

A E, F, B, A

B A, C, G, E

C D, H, G, C

D F, E, G, H


Res

pues

ta

C


16 ¿Son coplanares las rectas y en el cubo de abajo?

Res

pues

ta

Si

No

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16 ¿Son coplanares las rectas y en el cubo de abajo?

Si

No


Si


17 El plano ABC y el plano DCG intersectan a _____?

A C

B la recta DC

C la recta CGD no se intersecan

Res

pues

ta

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17 El plano ABC y el plano DCG intersectan a _____?

A C

B la recta DC

C la recta CGD no se intersecan


Res

pues

ta

B


18 Los planos ABC, GCD, y EGC intersectan a _____?

A la recta

B el punto CC el punto A D la recta

Res

pues

ta

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18 Los planos ABC, GCD, y EGC intersectan a _____?

A la recta

B el punto CC el punto A D la recta


Res

pues

ta

B


19 Nombra otro punto que esté en el mismo plano que los puntos E, G, y H

A B

B C

C D

D F

Res

pues

ta

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19 Nombra otro punto que esté en el mismo plano que los puntos E, G, y H

A B

B C

C D

D F


Res

pues

ta

D


20 Nombra un punto que sea coplanar con los puntos E, F, y CA H

B B

C D

D A

Res

pues

ta

C

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20 Nombra un punto que sea coplanar con los puntos E, F, y CA H

B B

C D

D A

C

Res

pues

ta

C


21 Las rectas intersecantes son __________ coplanares.

A Siempre

B Algunas veces

C Nunca

Res

pues

ta

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21 Las rectas intersecantes son __________ coplanares.

A Siempre

B Algunas veces

C Nunca


Res

pues

ta

A


22 Dos planos ____________ se intersecan en exactamente un punto

A Siempre

B Algunas veces

C Nunca

Res

pues

ta

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22 Dos planos ____________ se intersecan en exactamente un punto

A Siempre

B Algunas veces

C Nunca


Res

pues

taC


23 Un plano __________ puede ser dibujado de manera que cualesquiera tres puntos sean coplanares

A Siempre

B Algunas veces

C Nunca

Res

pues

ta

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23 Un plano __________ puede ser dibujado de manera que cualesquiera tres puntos sean coplanares

A Siempre

B Algunas veces

C Nunca


Res

pues

ta

A


24 Un plano que contiene dos puntos de una recta __________ contiene a la recta entera.

A Siempre

B Algunas veces

C Nunca

Res

pues

ta

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24 Un plano que contiene dos puntos de una recta __________ contiene a la recta entera.

A Siempre

B Algunas veces

C Nunca


Res

pues

ta

A


25 Cuatro puntos son____________ no coplanares.

A Siempre

B Algunas veces

C Nunca

Res

pues

ta

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25 Cuatro puntos son____________ no coplanares.

A Siempre

B Algunas veces

C Nunca


Res

pues

taB


26 Dos rectas ________________ se encuentran en más de un punto.

A Siempre

B Algunas veces

C Nunca

MIra que sucede si se ubica la recta y directamente arriba de la recta x


Res

pues

ta

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26 Dos rectas ________________ se encuentran en más de un punto.

A Siempre

B Algunas veces

C Nunca

MIra que sucede si se ubica la recta y directamente arriba de la recta x


Res

pues

ta

B


Segmentos


contenidos

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Segmentos

Los segmentos son porciones de una recta.

or

extremo extremo

se lee " segmento AB"

Segmentos o son diferentes nombres para el mismo segmento, que consiste de dos extremos A y B y todos los puntos de la recta que están entre ellos.

o

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Sobre una recta numérica, cada punto puede estar apareado con un número y cada número puede estar apareado con un punto.

Las coordenadas indican la posición de los puntos sobre la recta numérica.

El símbolo AF establece la longitud de . Esta distancia desde A hasta F puede calcularse restando las dos coordenadas y tomando el valor absoluto.

coordenada

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

coordenada

AF = |-8 - 6| = 14Distancia

A F

A B C D E F

Postulado

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¿Por qué tomamos el valor absoluto al calcular la distancia?

Cuando tomas el valor absoluto entre dos números, el orden en el cual restas los dos números no importa.

En la diapositiva anterior, buscábamos la distancia entre dos puntos. La distancia es una cantidad física que pude ser medida. La distancia no puede ser negativa.

coordenada

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

coordenada

AF = |-8 - 6| = 14Distancia

A F

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Igual en tamaño y forma. Dos objetos son congruetnes si tienen las mismas dimensiones y forma.

A grandes rasgos, 'congruente' significa 'igual', pero esta palabra tiene un significado más preciso que deberías entender completamente cuando consideres formas complejas.

Definición: congruencia

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Los segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. Pueden estar en cualquier ángulo u orientación en el plano, no necesitan ser paralelos.

Se lee como:"El segmento DE es congruente al segmento HI."

Segmentos congruentes

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Construcción de segmentos congruentesDato:

1. Dibuja una recta de referencia con una regla. Ubica un punto de referencia para indicar donde comenzar el nuevo segmento en la recta.

2. Coloca el compás sobre el punto A.

3. Abre el compás de manera que la punta del lápiz esté en el punto B.

Dato: AB

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Construcción de segmentos congruentes

(continuación)

4. Cuidando de que no se abra más el compás, ubícalo apuntando sobre el punto de referencia y mueve el lápiz de manera que cruce la recta de referencia.

Slide 58 / 246

5. Marca un punto donde el lápiz cruzó la recta. Coloca el nombre a tu nuevo segmento.


(continuación)

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Intenta ésto! Construye un nuevo segmento sobre la recta horizontal

1)

Not

as d

el p

rofe

sor

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Intenta ésto! Construye un nuevo segmento sobre la recta horizontal

1)


Not

as d

el p

rofe

sor

Los estudiantes usan las hojas de construcción de puntos, rectas, planos y ángulos para hacer las construcciones nombradas como "Intenta ésto" que están dentro de la presentación.



Intenta ésto! Construye un segmento congruente sobre la recta inclinada.

2)

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Vídeo demostrativo de Construcción de Segmentos Congruentes usando el

software Geometría Dinámica.

Click aquí para ver el vídeo

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Definición: rectas paralelas

Las rectas son paralelas si están ubicadas en el mismo plano, y están a igual distancia punto a punto en su entera longitud.

Esto significa que no se cortan.

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cm

Calcula la medida de cada segmento en centímetros.

a.

b.

=

=

Ejemplo

8 - 2 = 6 cm

1.5 cm

click

click

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http://youtu.be/E3dabgYwzZI

27 Encuentra un segmento que sea de 4 cm de longitud.

A

B

C

D

cm

Res

pues

ta

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A

B

C

D

cm


Res

pues

ta

B


28 Encuentra un segmento que sea de 6.5 cm de longitud.

A

B

C

D

cm

Res

pues

ta

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A

B

C

D

cm

[This object is a pull tab]R

espu

esta

B



A

B

C

D

cm

Res

pues

ta

Slide 67 / 246


A

B

C

D

cm


Res

pues

ta

D



A

B

C

D

cm

Res

pues

ta

Slide 68 / 246


A

B

C

D

cm


Res

pues

ta

B



A

B

C

D

cm

Res

pues

ta

Slide 69 / 246


A

B

C

D

cm


Res

pues

ta

D


32 Si el punto F fuera ubicado a 3.5 cm sobre la regla, ¿cuán lejos del punto E estaría?

A 5 cmB 4 cmC 3.5 cmD 4.5 cm

cm

Res

pues

ta

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32 Si el punto F fuera ubicado a 3.5 cm sobre la regla, ¿cuán lejos del punto E estaría?

A 5 cmB 4 cmC 3.5 cmD 4.5 cm

cm


Res

pues

ta

D


Postulado de suma de segmentos

AC

AB BC

Para decirlo simplemente, si tomas una parte de un segmento (AB), y lo sumas a otra parte de un segmento (BC), obtienes el

segmento entero.

El entero es igual a la suma de sus partes.

Si B está entre A y C, entonces AB + BC = AC.

O, si AB + BC = AC, entonces B está entre A y C.

Slide 71 / 246

EjemploEl postulado de la suma de segmentos funciona par tres o más segmentos siempre y cuando todos estén contenidos en la misma línea ( por ej. que todos los puntos sean colineales.

En el diagrama, = 27, = , = 5 y = 6

Calcula y

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AE

AB BC CD DE

Comienza completando la información dada.

En el diagrama, = 27, = , = 5, y = 6

27

56|| ||

¿Puedes terminar la resta? 2x+11 = 272x = 16x = 8 = CD

= 19click

click

click

click

Slide 73 / 246

EjemploK, M, y P son colineales con P entre K y M.PM = 2x + 4, MK = 14x - 56, y PK = x + 17. Resuelve x

1) Dibuja un diagrama y coloca la información dada.

2) A partir del postulado de adición de segmentos, sabemos que KP + PM = MK (las partes igualan al entero)

3) Resuelve x (x + 17) + (2x + 4) = 14x - 56

Res

pues

ta

3) Resuelve para X (x + 17) + (2x + 4) = 14x - 56 3x + 21 = 14x - 56 + 56 + 56 3x + 77 = 14x -3x - 3x 77 = 11x 7 = x

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EjemploK, M, y P son colineales con P entre K y M.PM = 2x + 4, MK = 14x - 56, y PK = x + 17. Resuelve x

1) Dibuja un diagrama y coloca la información dada.

2) A partir del postulado de adición de segmentos, sabemos que KP + PM = MK (las partes igualan al entero)

3) Resuelve x (x + 17) + (2x + 4) = 14x - 56

Res

pues

ta

3) Resuelve para X (x + 17) + (2x + 4) = 14x - 56 3x + 21 = 14x - 56 + 56 + 56 3x + 77 = 14x -3x - 3x 77 = 11x 7 = x


EjemploP, B, L, y M son colineales y están en el siguiente orden:a) P está entre B y Mb) L está entre M y P Dibuja un diagrama y resuelve para x: ML = 3x +16, PL = 2x +11, BM = 3x +140, y PB = 3x + 13

1) Primero, ordena los puntos y dibuja un diagrama a) BPM b) BPLM

2) El postulado de la adición de segmentos da 3x+13 + 2x+11 + 3x+16 = 3x+140

3) Combina términos iguales y aisla/resuelve x.

Res

pues

ta

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EjemploP, B, L, y M son colineales y están en el siguiente orden:a) P está entre B y Mb) L está entre M y P Dibuja un diagrama y resuelve para x: ML = 3x +16, PL = 2x +11, BM = 3x +140, y PB = 3x + 13

1) Primero, ordena los puntos y dibuja un diagrama a) BPM b) BPLM

2) El postulado de la adición de segmentos da 3x+13 + 2x+11 + 3x+16 = 3x+140

3) Combina términos iguales y aisla/resuelve x.


Res

pues

ta

8x + 40 = 3x + 140

5x + 40 = 140

5x = 100

x = 20


Para las siguientes seis preguntas damos la siguiente información sobre los puntos colineales :

Pista: comienza siempre estos problemas ubicando la información que tienes dentro del diagrama .

Slide 76 / 246

33 Te estamos dando la siguiente información sobre los puntos colineales:

¿Cuánto miden , , y ?

Res

pues

ta

Slide 77 / 246


¿Cuánto miden , , y ?

Res

pues

ta

3



¿Cuánto mide ?

Res

pues

ta

Slide 78 / 246


¿Cuánto mide ?


Res

pues

ta

11



¿Cuánto mide ?

Res

pues

ta

Slide 79 / 246


¿Cuánto mide ?

Res

pues

ta 6



¿Cuánto mide ?

Res

pues

ta

Slide 80 / 246


¿Cuánto mide ?


Res

pues

ta

14



¿Cuánto mide ?

Res

pues

ta

Slide 81 / 246


¿Cuánto mide ?

Res

pues

ta

9



¿Cuánto mide ?


Res

pues

ta

17

Slide 82 / 246


¿Cuánto mide ?

Res

pues

ta

17


39 X, B, e Y son puntos colineales con Y entre B y X. Dibuja un diagrama y resueve para x: BX = 6x + 151 XY = 15x - 7BY = x - 12

Res

pues

ta

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39 X, B, e Y son puntos colineales con Y entre B y X. Dibuja un diagrama y resueve para x: BX = 6x + 151 XY = 15x - 7BY = x - 12


Res

pues

tax - 12 + 15x -7 = 6x + 151

16x - 19 = 6x + 151

10x = 170

x = 17

x - 12 15x - 7

6x + 151

YB X


40 Q, X, y R son puntos colineales, con X entre R y Q. Dibuja un diagrama y resuelve para x: XQ = 15x + 10 RQ = 2x + 131XR = 7x +1

Res

pues

ta

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40 Q, X, y R son puntos colineales, con X entre R y Q. Dibuja un diagrama y resuelve para x: XQ = 15x + 10 RQ = 2x + 131XR = 7x +1


Res

pues

ta

XR Q

15x + 10

2x + 131

7x + 1

7x + 1 + 15x + 10 = 2x + 131

22x + 11 = 2x + 131

20x = 120

x = 6


41 B, K, y V son puntos colineales, con K entre V y B. Dibuja un diagrama y resuelve para x: KB = 5x BV = 15x + 125KV = 4x +149

Res

pues

ta

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41 B, K, y V son puntos colineales, con K entre V y B. Dibuja un diagrama y resuelve para x: KB = 5x BV = 15x + 125KV = 4x +149


Res

pues

ta

KV B

5x

15x + 125

4x + 149

4x + 149 + 5x = 15x + 125

9x + 149 = 15x + 125

6x = 24

x = 4


El Teorema de Pitágoras


contenidos

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Pitágoras fue un filósofo, teólogo, científico y matemático nacido en la Isla de Samos en la Grecia antigua y vivió desde 570 a 495 AC.

El teorema dice que en un triángulo rectángulo, el área del cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los otros dos lados.

c2 = a2 + b2

a

bc

Teorema de Pitágoras

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Pitágoras- Prueba teórica visual 1

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Pitágoras- Prueba teórica visual 2

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Uso del Teorema de Pitágoras

c2= a2 + b25

3

a = ?-9-9

16 = = a

25 = a2 + 9

a2

a=4

En el teorema de Pitágoras, c siempre se establece para el lado más largo. En un triángulo rectángulo, el lado más largo es llamdo hipotenusa.La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto.

Usarás a menudo el Teorema de Pitágoras.

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EjemploR

espu

esta

Slide 91 / 246

Ejemplo


Res

pues

ta


42 ¿Cuál es la longitud del lado c?

El lado más largo de un triángulo se llama ___________

Res

pues

ta

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42 ¿Cuál es la longitud del lado c?

El lado más largo de un triángulo se llama ___________


Res

pues

ta

c2= a2 + b2


43 ¿Cuál es la longitud del lado a?

Pista:

Primero, determina qué lado es la hipotenusa

Res

pues

ta

click para revelar

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43 ¿Cuál es la longitud del lado a?

Pista:

Primero, determina qué lado es la hipotenusaclick para revelar


Res

pues

ta

c2 = a2 + b2

132 = a2 + 52

169 = a2 + 25

= a = 12


44 ¿Cuál es la longitud de c?B

Res

pues

ta

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44 ¿Cuál es la longitud de c?B


Res

pues

ta

c2 = a2 + b2

c2 = 82 + 152

c2= 64 + 225

= c = 17


45 ¿Cuál es la longitud del lado que falta?

Res

pues

ta

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45 ¿Cuál es la longitud del lado que falta?


Res

pues

ta

c2 = a2 + b2

152 = a2 + 122

225 = a2 + 144

= a = 9


46 ¿Cuál es la longitud del lado b?

Res

pues

ta

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46 ¿Cuál es la longitud del lado b?


Res

pues

tac2 = a2 + b2

( )2 = 72 + b2

58 = 49 + b2

= b = 3


47 ¿Cuál es la medida de x?

8

17

x

Res

pues

ta

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47 ¿Cuál es la medida de x?

8

17

x


Res

pues

ta

c2 = a2 + b2

172 = 82 + b2

289 = 64 + b2

= b = 15


Son tres enteros positivos para la longitud de los lados que sarisfacen a2 + b2 = c2

( 3 , 4 , 5 ) ( 5, 12, 13) (6, 8, 10) ( 7, 24, 25) ( 8, 15, 17) ( 9, 40, 41) (10, 24, 26) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85) etc.

Hay muchos más.

Recordando algunas de esas combinaciones puedes ahorrar algo de tiempo.

Terna pitagórica

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48 Un triángulo que tiene lados de 30, 40 , y 50, es un triángulo rectángulo?

Res

pues

ta

Si

No

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Si

No


Res

pues

ta

Si



Res

pues

ta

Si

No

Slide 100 / 246


Si

No


Res

pues

ta

Si


50 Un triángulo tiene lados de √3, 2 , y √5, es un triángulo rectángulo?

Res

pues

ta

Si

No

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50 Un triángulo tiene lados de √3, 2 , y √5, es un triángulo rectángulo?

Si

No


Res

pues

ta

No


Distancia entre puntos


contenidos

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Una aplicación del Teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos es el cálculo de la distancia entre dos puntos.

El cálculo de la distancia entre puntos en el plano es equivalente a calcular la longitud de la hipotenusa en un triángulo rectángulo.

Cálculo de distancia

El Teorema de Pitágoras es verdadero para todos los triángulos rectángulos. Si conocemos la longitud de dos lados de un triángulo rectángulo, entonces conocemos la longitud del tercer lado.

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(x1, y1)

c

c

b

a

c2= a2 + b2

(x2, y1)

(x2, y2)

La fórmula de distancia calcula la distancia usando los puntos de las coordenadas.

Relación entre el Teorema de Pitágoras y la fórmula de distancia

El Teorema de Pitágoras establece una relación entre los lados de un triángulo rectángulo.

Slide 104 / 246

La distancia entre dos puntos, ya sea sobre una recta o en un plano cartesiano se calcula usando la fórmula de distancia.

La fórmula de distancia

La distancia 'd' entre dos puntos cualesquiera con coordenadas y está dada por la fórmula:

(x1, y1) (x2, y2)

d =

Nota: recuerda que las coordenadas son (coordenada x-, coordenada y).

Slide 105 / 246

d =

Ejemplo

Calcula la distancia entre el punto K al punto I (x1, y1)

Coloca las coordenadas dentro de la fórmula de distancia.

Coloca nombre a los puntos. No importa al cuál le pones 1 o a cuál le pones 2.La respuesta será la misma.

(x2, y2)


Res

pues

ta KI =

KI =

KI =

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d =

Ejemplo

Calcula la distancia entre el punto K al punto I (x1, y1)

Coloca las coordenadas dentro de la fórmula de distancia.

Coloca nombre a los puntos. No importa al cuál le pones 1 o a cuál le pones 2.La respuesta será la misma.

(x2, y2)

KI =

Res

pues

ta KI =


51 Calcula la distancia desde el punto J al punto K

A

B

C

D

Res

pues

ta

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51 Calcula la distancia desde el punto J al punto K

A

B

C

D


Res

pues

ta d =

JK =

JK =

JK =

JK = 2


52 Calcula la distancia desde H a K

A

B

C

D

Res

pues

ta

D

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52 Calcula la distancia desde H a K

A

B

C

D

Res

pues

ta d =

HK =

HK =

HK =

HK =

D


53 Calcula la distancia desde el punto G al punto K

A

B

C

D

Res

pues

ta

Slide 109 / 246

53 Calcula la distancia desde el punto G al punto K

A

B

C

D

Res

pues

ta

D


54 Calcula la distancia desde el punto I al punto H

A

B

C

D

Res

pues

ta

Slide 110 / 246

54 Calcula la distancia desde el punto I al punto H

A

B

C

D


Res

pues

ta

D


55 Calcula la distancia desde el punto G al punto H

A

B

C

D

Res

pues

ta

Slide 111 / 246

55 Calcula la distancia desde el punto G al punto H

A

B

C

D


Res

pues

ta

B


Área de las figuras en el plano cartesiano


contenidos

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Fórmula de área:Área de un triángulo: A = bh

Área de un rectángulo: A = la

1 2

Cálculo del área de las figuras en el plano cartesiano

Pasos para el cálculo de área:1) Calcula las distancias deseadas utilizando la fórmula de distancia > Ej: base y altura en un triángulo > Ej: largo y ancho en un rectángulo2) Calcula el área de la figura

Slide 113 / 246

Ejemplo: Calcula el área del rectángulo.

Pasos para el cálculo del área:1) Calcula la distancia deseada usando fórmula de distancia

> = FG y w = EF

2) Calcula el área de la figura

unidades2

=

= w

Slide 114 / 246

Ejemplo: Calcula el área de un triángulo.

Pasos para el cálculo del área:1) Calcula la distancia deseada usando la fórmula > b = AC & h = BD

Res

pues

ta

Slide 115 / 246


Pasos para el cálculo del área:1) Calcula la distancia deseada usando la fórmula > b = AC & h = BD


Res

pues

ta

= b

= h



2) Calcula el área de la figura Res

pues

ta

Slide 116 / 246


2) Calcula el área de la figura


Res

pues

ta


56 Calcula el área de un rectángulo.

A

B

C 10

D 20

Res

pues

ta

Slide 117 / 246

56 Calcula el área de un rectángulo.

A

B

C 10

D 20


Res

pues

ta

D


57 Calcula el área de un triángulo.

A 75

B 144

C 84.5

D 169 Res

pues

ta

Slide 118 / 246

57 Calcula el área de un triángulo.

A 75

B 144

C 84.5

D 169


Res

pues

taC


58 Calcula el área del rectángulo.

A 10,000

B 100

C 50

D

Res

pues

ta

Slide 119 / 246

58 Calcula el área del rectángulo.

A 10,000

B 100

C 50

D


Res

pues

ta

B


59 Calcula el área del triángulo.

A

B

C 22.5

D 45

Res

pues

ta

Slide 120 / 246

59 Calcula el área del triángulo.

A

B

C 22.5

D 45


Res

pues

ta

D


Fórmula de punto medio


contenidos

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Punto medio de un segmento

Una recta numérica puede ayudar a calcular el punto medio de un segmento.

Toma las coordenadas de los extremos G y H, súmalos y divide por dos.

= = -1

Aquí está el cálculo usando las coordenadas de los extremos.

El punto medio de GH, marcado en el punto M, es -1.

Slide 122 / 246

Teorema del punto medio

El punto medio de un segmento que une los puntos con coordenadas y es el punto con coordenadas (x2, y2)(x1, y1)

Slide 123 / 246

Cálculo de punto medio en el plano cartesiano

El segmento PQ contiene los puntos (2, 4) y (10, 6).El punto medio M de esel punto a mitad de camino entre P y Q. Como antes, calculamos el promedio de las coordenadas.

( , )

Recuerda que los puntos son escritos con la coordenada x, primero. (x, y)

Las coordenadas de M, el punto medio de PQ, son (6, 5)

Slide 124 / 246

60 Calcula las coordenadas del punto medio (x, y) del segmento que conecta los puntos A(1,2) y B(5,6)

A (4, 3) B (3, 4) C (6, 8) D (2.5, 3)

Pista:

Siempre coloca primero los nombres a los puntos de las coordenadas

Res

pues

ta

Slide 125 / 246

60 Calcula las coordenadas del punto medio (x, y) del segmento que conecta los puntos A(1,2) y B(5,6)

A (4, 3) B (3, 4) C (6, 8) D (2.5, 3)

Pista:

Siempre coloca primero los nombres a los puntos de las coordenadas


Res

pues

ta ( , )

( , )(3, 4)

B


61 Calcula las coordenadas del punto medio (x,y) del segmento que conecta los puntos A(-2,5) y B(4, -3)

A (-1, -1) B (-3, -8) C (-8, -3) D (1, 1)

Res

pues

ta

Slide 126 / 246

61 Calcula las coordenadas del punto medio (x,y) del segmento que conecta los puntos A(-2,5) y B(4, -3)

A (-1, -1) B (-3, -8) C (-8, -3) D (1, 1)


Res

pues

taD


62 Calcula las coordenadas del punto medio (x, y) del segmento con extremos R(-4, 6) y Q(2, -8)

A (-1, 1) B (1, 1) C (-1, -1) D (1, -1)

Res

pues

ta

Slide 127 / 246

62 Calcula las coordenadas del punto medio (x, y) del segmento con extremos R(-4, 6) y Q(2, -8)

A (-1, 1) B (1, 1) C (-1, -1) D (1, -1)


Res

pues

ta

C


63 Calcula las coordenadas (x, y) del punto medio del segmentocon extremos B(-1, 3) y C(-7, 9)

A (-3, 3) B (6, -4) C (-4, 6) D (4, 6)

Res

pues

ta

Slide 128 / 246

63 Calcula las coordenadas (x, y) del punto medio del segmentocon extremos B(-1, 3) y C(-7, 9)

A (-3, 3) B (6, -4) C (-4, 6) D (4, 6)


Res

pues

ta

C


64 Calcula las coordenadas (x, y) del punto medio del segmento entre A(-1, 3) y B(2,2)

A (3/2, 5/2) B (1/2, 5/2)

C (1/2, 3) D (3, 1/2)

Res

pues

ta

Slide 129 / 246

64 Calcula las coordenadas (x, y) del punto medio del segmento entre A(-1, 3) y B(2,2)

A (3/2, 5/2) B (1/2, 5/2)

C (1/2, 3) D (3, 1/2)


Res

pues

ta

B


Ejemplo: Cálculo de las coordenadas del extremo de un segmento

Usa la fórmula de punto medio para escribir ecuaciones usando x e y.

Las coordenadas del extremo B son (-2, -2)

coordenada x de M coordenada y de M

El punto medio de AB es M(1,2). Un extremo es A (4,6). Calcula las coordenadas del otro extremo B (x, y)

Slide 130 / 246

65 Calcula el otro extremo de un segmento con el extremo (7,2) y el punto medio (3,0)

A (-1, -2) B (-2, -1)

C (4, 2) D (2, 4)

Res

pues

ta

Slide 131 / 246

65 Calcula el otro extremo de un segmento con el extremo (7,2) y el punto medio (3,0)

A (-1, -2) B (-2, -1)

C (4, 2) D (2, 4)


Res

pues

taM(x, y) = ( , )

M(3, 0) = ( , )

3 = , 0 = (-1, -2)

A


66 Calcula el otro extremo de un segmento con el extremo (1, 4) y el punto medio (5, -2)

A (11, -8) B (9, 0) C (9, -8)

D (3, 1)

Res

pues

ta

Slide 132 / 246

66 Calcula el otro extremo de un segmento con el extremo (1, 4) y el punto medio (5, -2)

A (11, -8) B (9, 0) C (9, -8)

D (3, 1)


Res

pues

ta M(x, y) = ( , )

M(5, -2) = ( , )

5 = , -2 = (9, -8)

C


Locusy

Construcciones


contenidos

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Introducción a lugar geométrico

Definición: el lugar geométrico o l ocus es un conjunto de puntos que satisfacen una cierta condición, en este curso, es el conjunto de puntos que están a igual distancia de otra cosa.

Todos los puntos equidistantes de una recta dada forman una recta paralela.

Teorema: lugar geométrico de una recta dada.

Teorema: lugar geométrico entre dos puntosTodos los puntos de la mediatriz de un segmento que conecta dos puntos son equidistantes de los dos puntos.

Teorema: lugar geométrico entre dos rectasEl lugar geométrico de dos rectas paralelas dadas es una recta paralela a medio camino entre ellas .

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locus: equidistante entre dos puntos

La distancia (d) del punto A al locus es igual a la distancia (d') desde el punto B al locus. El conjunto de todos esos puntos forma la recta roja y se llama locus.

X

Y

El punto M es el punto medio de . X es equidistante (d=d') de A y B. Y lo contiene el locus, es también equidistante desde A y B.

El locus o lugar geométrico de putos que equidistan de dos puntos A y B, es la mediatriz de un segmento determinados por esos dos puntos.

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page0svg

Podemos calcular el punto medio de un segmento a partir de la construcción del locus entre dos puntos.

Dado

Bisecar un segmento

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1. Ubica la punta del compás sobre A y ábrelo de manera que el lápiz esté a más de la mitad de camino, apuntando a B, no importa cuán lejos esté.

Bisecar un segmentoPodemos calcular el punto medio de un segmento a partir de la construcción del locus entre dos puntos.

Dado

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2. Manteniendo el compás fijo, ubica la punta del compás sobre B y dibuja un arco de manera que interseque el que ya has dibujado.

Bisect a Line SegmentPodemos calcular el punto medio de un segmento a partir de la construcción del locus entre dos puntos.

Dado

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3. Dibuja una recta a lo largo de la intersección de los arcos. M indica el punto medio de

M


Dado

Slide 139 / 246

M


Dado


2. Manteniendo el compás fijo, ubica la punta del compás sobre B y dibuja un arco de manera que interseque el que ya has dibujado.

1. Ubica la punta del compás sobre A y ábrelo de manera que el lápiz esté a más de la mitad de camino, apuntando a B, no importa cuán lejos esté.

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Bisecar un segmentoIntenta ésto!Construye el punto medio del segmento de abajo

3)

Slide 141 / 246

Bisecar un segmentoIntenta ésto!Construye el punto medio del segmento de abajo

4)

Slide 142 / 246

Podemos también construir el locus entre dos puntos con una cuerda, una barra (ej, un marcador, una lapicera, etc

Dado

1. Ubica la barra sobre A y extiende la cuerda. El lápiz debería estar a mpas que la mitad de camino cruzando el segmento, apuntando hacia B. No importa cuán lejos esté.

Bisecar un segmento con una cuerda y una barra

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Dado

Bisecar un segmento con cuerda y barra

2. Ubica la barra sobre B y extiende tu cuerda. El lápiz debería estar a más que la mitad de camino cruzando el segmento, apuntando a A, no importa cuán lejos esté.


Slide 144 / 246

Dado

M

Bisecar un segmento con cuerda y barraPodemos también construir el locus entre dos puntos con una cuerda, una barra (ej, un marcador, un lápiz, etc


Slide 145 / 246

M



Dado

2. Ubica la barra sobre B y extiende tu cuerda. El lápiz debería estar a más que la mitad de camino cruzando el segmento, apuntando a A, no importa cuán lejos esté.


1. Ubica la barra sobre A y extiende la cuerda. El lápiz debería estar a mpas que la mitad de camino cruzando el segmento, apuntando hacia B. No importa cuán lejos esté.

Slide 146 / 246


Intenta ésto!Construye el punto medio del segmento de abajo

5)

Slide 147 / 246

Bisecar un segmento con cuerda y barraIntenta ésto!Construye el punto medio del segmento de abajo

6)

Slide 148 / 246

Bisecta un segmento con papel plegado1. Traza un segmento sobre un papel. Coloca nombres a los extremos D y E.

2. Pliega el papel de manera de alinear el punto D con el punto E. Tienes un pliegue.

3. Despliega el papel. Traza una línea a lo largo del pliegue.

4. Dibuja y coloca nombre a tu punto medio M.

PLI

EG

UE

Oth

er p

aper

edg

e

Slide 149 / 246

Biseca un segmento con papel plegadoIntenta ésto!Construye el punto medio sobre el segmento de abajo

7)

Slide 150 / 246

Bisecar un segmento con papel plegadoIntenta ésto!Construye el punto medio sobre el segmento de abajo

8)

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ConstruccionesDividiendo un segmento en sus segmentos congruentes. Vamos a dividir AB en tres segmentos iguales.Podríamos elegir cualquier número de segmentos

3. Coloca el compás al ancho de CB.

2. Coloca el compás sobre A, y establece su ancho de un poco menos que 1/3 de la longitud de la nueva línea.

Pasa el compás a lo largo de la línea marcando 3 arcos. Coloca el nombre al último C.

1. Desde el punto A, dibuja un segmento en un ángulo con una línea determinada y de la misma longitud. La longitud exacta no es importante.

Slide 152 / 246

C

D

4. Usando el compás al ancho de CB, dibuja un arco debajo de A5. Con el ancho del compás ajustado en AC, dibuja un arco desde B intersecando el arco que dibujaste en el paso 4. Coloca el nombre D

6. Dibuja una recta conectando B con D

7. Ujusta el ancho del compás a AC y pasa a lo largo de DB marcando 3 nuevos arcos cruzando la recta

8. Dibuja rectas conectando el arco a lo largo de AC y BD. Estas rectas intersecan AB y lo dividen en 3 segmentos congruentes.

Slide 153 / 246

Divide el segmento en 3 segmentos congruentes.

Ejemplo: construcción

Slide 154 / 246

67 El punto C está sobre el locus entre el punto A y el punto BR

espu

esta

Verdadero

Falso

Slide 155 / 246

67 El punto C está sobre el locus entre el punto A y el punto B

Verdadero

Falso


Res

pues

ta

Verdadero



Res

pues

ta

Verdadero

Falso

Slide 156 / 246


Verdadero

Falso

Res

pues

ta

Falso


69 ¿Cuántos puntos son equidistantes de los extremos de ?

A 2

B 1

C 0

D infinitos

Res

pues

ta

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69 ¿Cuántos puntos son equidistantes de los extremos de ?

A 2

B 1

C 0

D infinitos


Res

pues

taD


70 Puedes calcular el punto medio de un segmento a partir de

A midiendo con una regla

B construyendo el punto medio

C calculando la intersección del locus y el segmento

D todos los de arriba

Res

pues

ta

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70 Puedes calcular el punto medio de un segmento a partir de

A midiendo con una regla

B construyendo el punto medio

C calculando la intersección del locus y el segmento

D todos los de arriba


Res

pues

ta

D


71 La definición de locus es

A una línea recta entre dos puntos

B el punto medio de un segmento

C el set de todos los puntos equidistantes de otros dos puntos

D un set de puntos

Res

pues

ta

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71 La definición de locus es

A una línea recta entre dos puntos

B el punto medio de un segmento

C el set de todos los puntos equidistantes de otros dos puntos

D un set de puntos


Res

pues

ta

C


Vídeos demostrativos de la construcción del punto medio usando el software Geometría

Dinámica

Click aquí para ver un vídeo usando compás y

herramientas de segmento

Click aquí para ver vídeo usando opciones de menú

Slide 160 / 246

http://youtu.be/5C6BOcgclnE

http://youtu.be/F9SXwe26RrQ

¿Qué es un círculo?

Construcción de un círculo

Res

pues

ta

Slide 161 / 246

¿Qué es un círculo?



Res

pues

ta Una figura 2D construida a partir de dibujar una curva que tiene siempre igual distancia a su centro.


Extensión: construcción de un círculo1. Primero encuentra el punto medio de un segmento utilizando cualquiera de los métodos que hemos visto.

M

Res

pues

ta

Slide 162 / 246

Extensión: construcción de un círculo1. Primero encuentra el punto medio de un segmento utilizando cualquiera de los métodos que hemos visto.

M


Res

pues

ta

Si se necesita,haga que los estudiantes vuelvan a las diapositivas 132-140 (diapositivas 5-13 en la sección de Locus y construcción) para construir el punto medio.


2. Toma tu compás (o varilla, cuerda y lápiz y ubica la punta (o varilla) en el punto medio. Extiende tu lápiz tanto como quieras. Gira tu compás (o cuerda y lápiz) 360 0 para armar tu círculo.

M

Extensión: construcción de un círculo

Slide 163 / 246


Intenta ésto!Forma un círculo usando el segmento de abajo

9)

Slide 164 / 246


Intenta ésto!Forma un círculo usando el segmento de abajo

10)

Slide 165 / 246


Vídeos demostrativos de la construcción de un círculo usando el software Geometría

Dinámica

Slide 166 / 246

¿Qué es un triángulo equilátero?

Construcción de un triángulo equilátero

Res

pues

ta

Slide 167 / 246

http://youtu.be/kUAdEA_C8_s

¿Qué es un triángulo equilátero?



Res

pues

ta Un triángulo con todos los lados congruentes (o iguales)


Extensión: construcción de un triángulo equilátero1. Construye un segmento de cualquier longitud.

2. Toma tu compás y ubica la punta sobre un extremo y marca un arco.

3. Toma tu compás y ubica la punta sobre el otro extremo y traza un arco que interseque tu primer arco. 4. Traza un punto donde los

dos arcos se intersecan. Conecta tus 3 puntos.C

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Intenta ésto!Forma un triángulo equilátero usando el segmento de abajo.

11)

Slide 169 / 246



12)

Slide 170 / 246

Extensión: Construcción de un triángulo equilátero con barra, cuerda y lápiz1. Construye un segmento de cualquier longitud.

2. Ubica tu barra en un extremo y el lápiz en el otro. Extiende tu lápiz y marca un arco.

3. Cambia el lugar de la barra y la punta del lápiz. Marca un arco que interseque tu primer arco.

4. Marca un punto donde tus dos arcos se intersequen. Concecta tus 3 puntos.

C

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13)

Construcción de un triángulo equilátero con barra, cuerda y lápiz

Slide 172 / 246


14)

Construcción de un triángulo equilátero con barra, cuerda y lápiz

Slide 173 / 246

Video Demostrativo de construcción de triángulo equilátero usando el software

Geometría Dinámica


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Ángulos y Postulado de suma de ángulos


contenidos

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http://youtu.be/2Y2p6xL9220

page0svg

AB

(Lado)

(Lado)

32°

C

(Vértice)

La medida del ángulo es 32 grados.

"La medida de es igual a la medida de ..."

El ángulo mostrado puede ser llamado , ó

Un ángulo está formado por dos semirrectas con un extremo común (vértice).

Cuando no hay posibilidad de confusión, el ángulo podría también ser identificado por su vértice B.

Los lados de son las semirrectas BC y BA

Identificación de ángulos

Slide 176 / 246

Dos ángulos que tienen las misma medida son congruentes.

Interior

ExteriorLa marca a través del arco muestra que las medidas del ángulo son iguales.

Leemos esto como es congruente a

El área entre las semirrectas que forman un ángulo es llamada interior. El exterior es el área fuera del ángulo.

Ángulos congruentes

Slide 177 / 246

Construcción de ángulos congruentes

1. Dibuja una recta de referencia. Ubica un punto de referencia para indicar donde comienza tu nuevo segmento en esa recta.

2. Ubica tu compás apuntando sobre el vértice (punto G).

Dado: <FGH

4. Gira un arco con el lápiz de manera que cruce ambos lados de <FGH.

3. Ajusta el compás a cualquier longitud siempre y cuando éste permanezca SOBRE el ángulo.

Slide 178 / 246

Construcción de ángulos congruentes5. Sin cambiar la medida del compás, ubica la punta del compás sobre tu punto de referencia y gira un arco que vaya a lo largo de la recta y se extiende sobre ella.

6. Vuelve a <FGH y mide el ancho del arco desde donde éste cruza un lado del ángulo hasta donde cruza el otro lado del ángulo.

El ancho del arco es 2.2 cm

Slide 179 / 246

7. Con el ancho , ubica el compás apuntando sobre la recta de referencia donde tu nuevo arco cruza la recta de referencia. Marca el ancho sobre tu nuevo arco.

8. Conecta este nuevo punto de intersección al punto de inicio sobre la recta de referencia.

El ancho del arco es 2.2 cm


Slide 180 / 246


Intenta ésto! Construye un ángulo congruente sobre la recta dada.

15)

Slide 181 / 246


Intenta ésto! Construye un ángulo congruente sobre la recta dada.

16)

Slide 182 / 246

Vídeo demostrativo de construcción de ángulos congruentes usando el software

Geometría Dinámica


Slide 183 / 246

Medidas de los ángulosLos ángulos son medidos en grados usando un transportador. Cada ángulo tiene una medida de 0 a 180 grados.Pueden ser dibujados de cualquier tamaño, la medida sería aún la misma.

A

B C

D

La medida dees 23° grados

es un ángulo de 23° grados

La medida dees 119° grados

es un ángulo de 119° grados

En y , observa que el vértice está escrito entre los lados

Slide 184 / 246

http://youtu.be/0K65Qop1MUo

J

K

L M

N

OP

32o

63o

90o

135o

180o

Ejemplo

click

click click

clickclick

Slide 185 / 246

J

K

L M

N

OP

Ejemplo

Preguntas desafiantes

148-117 31o

117- 90 27o

90-45 45o

45oclick click click click

Slide 186 / 246

Relaciones entre ángulosUna vez que sabemos la medida de los ángulos, podemos clasificarlos en varios grupos:

right = 90°recto = 90°llano = 180°

180°

0° < agudo < 90° 90° < obtuso < 180°

180° < ángulo cóncavo < 360°

Dos rectas o segmentos que se encuentran en un ángulo recto se dice que son perpendiculares.

Click aquí para una actividad del sitio

Matemática es divertida.

Slide 187 / 246

http://www.mathsisfun.com/geometry/images/angles-drag.swf

Ángulos adyacentes

Los ángulos adyacentes son ángulos que tienen una semirrecta común que saliendo del vértice va entre las otras dos semirrectas.

J

KO

P

En otras palabras, hay ángulos que están lado a lado o que son adyacentes.

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Postulado de la suma de ángulosSi un punto S está en el interior de PQR, entonces PQS + SQR = PQR.

+m PQS = 32° m SQR = 26° m PQR = 58°

58°

32°26°

Justo como en el postulado de la suma de segmentos,

"El entero es la suma de las partes"

Slide 189 / 246

Ejemplo

A está en el interior deSi

yResuelve para x

Usando el postulado de la suma de ángulos, sabemos que

Slide 190 / 246

72 Dado m∠ABC = 22° y m∠DBC = 46°.

Calcula m∠ABD

Pista:

Etiqueta siempre tu diagrama con la información dadaclick

Res

pues

ta

Slide 191 / 246

72 Dado m∠ABC = 22° y m∠DBC = 46°.

Calcula m∠ABD

Pista:

Etiqueta siempre tu diagrama con la información dadaclick


Res

pues

ta #ABD = #ABC + #DBC

#ABD = 22 + 46

#ABD = 68°


73 Dado m∠OLM = 64° y m∠OLN = 53°. Calcula m∠NLM

A 28

B 15

C 11

D 11764°

53°

Res

pues

ta

Slide 192 / 246

73 Dado m∠OLM = 64° y m∠OLN = 53°. Calcula m∠NLM

A 28

B 15

C 11

D 11764°

53°


Res

pues

ta#OLM = #OLN + #NLM

64 = 53 + #NLM

#NLM = 11°


74 Dado m∠ABD = 95° y m∠CBA = 48°.

Calcula m∠DBC

Res

pues

ta

Slide 193 / 246

74 Dado m∠ABD = 95° y m∠CBA = 48°.

Calcula m∠DBC


Res

pues

ta

47°


75 Dado m∠KLJ = 145° y m∠KLH = 61°.

Calcula m∠HLJ

Res

pues

ta

Slide 194 / 246

75 Dado m∠KLJ = 145° y m∠KLH = 61°.

Calcula m∠HLJ


Res

pues

ta

84°


76 Dado m∠TRQ = 61° y m∠SRQ = 153°.

Calcula m∠SRT

Res

pues

ta

Slide 195 / 246

76 Dado m∠TRQ = 61° y m∠SRQ = 153°.

Calcula m∠SRT


Res

pues

ta92°


77 C está en el interior de ∠TUV.

Si m∠TUV = (10x + 72)⁰,

m∠TUC = (14x + 18)⁰ y

m∠CUV = (9x + 2)⁰

Resuelve x

Res

pues

ta

Pista:

Haz un diagrama y colócale los nombres a partir de la información dada

click

Slide 196 / 246

77 C está en el interior de ∠TUV.

Si m∠TUV = (10x + 72)⁰,

m∠TUC = (14x + 18)⁰ y

m∠CUV = (9x + 2)⁰

Resuelve xPista:


click[This object is a pull tab]

Res

pues

ta

10x + 72 = 14x + 18 + 9x + 2

10x + 72 = 23x + 20

13x = 52

x = 4


78 D está en el interior de ∠ABC.

Si m∠CBA = (11x + 66)⁰,

m∠DBA = (5x + 3)⁰ y

m∠CBD= (13x + 7)⁰

Resuelve x.

Pista:


Res

pues

ta

Slide 197 / 246

78 D está en el interior de ∠ABC.

Si m∠CBA = (11x + 66)⁰,

m∠DBA = (5x + 3)⁰ y

m∠CBD= (13x + 7)⁰

Resuelve x.

Pista:



Res

pues

ta 11x + 66 = 5x + 3 + 13x +7

11x + 66 = 18x + 10

7x = 56

x = 8


79 F está en el interior de ∠DQP.

Si m∠DQP = (3x + 44)⁰,

m∠FQP = (8x + 3)⁰ y

m∠DQF= (5x + 1)⁰

Resuelve x

Res

pues

ta

Slide 198 / 246

79 F está en el interior de ∠DQP.

Si m∠DQP = (3x + 44)⁰,

m∠FQP = (8x + 3)⁰ y

m∠DQF= (5x + 1)⁰

Resuelve x


Res

pues

ta 3x + 44 = 8x + 3 + 5x + 1

3x + 44 = 13x + 4

10x = 40

x = 4


Relaciones de pares de ángulos


contenidos

Slide 199 / 246

Ángulos complementariosUn par de ángulos son llamados complementarios si la suma de sus medidas hacen 90 grados. Se dice que uno de los angulos es complementario al otro.

Estos dos ángulos son complementarios (58° + 32° = 90°)

Podemos reordenar los ángulos de manera que ellos sean adyacentes, ej. comparten un lado común y un vértice. Los ángulos complementarios no tienen que ser adyacentes.

Si dos ángulos complementarios son adyacentes, forman un ángulo recto.

Slide 200 / 246

page0svg

Ángulos suplementarios

Los ángulos suplementarios son ángulos cuyas medidas suman 180 grados.

Los ángulos suplementarios no tienen que ser adyacentes o estar en la misma línea, pueden estar separados en el espacio. Se dice que un ángulo es suplementario al otro.

J

K

OP

44 grados 136 grados

Slide 201 / 246

Ejemplo

Solución:Elige una variable para el ángulo - Eligiré "x"

Un ángulo tiene 68° más que su complementario.

¿Cuál es la medida del ángulo?

El complementario de este ángulo x es (90-x)

ya que juntos ellos deben sumar 90°

(definición de ángulos complementarios)De manera que,

Slide 202 / 246

Ejemplo

x = el ángulo

90 = 2x + x90 = 3x30 = x

Ya que los ángulos son complementarios sabemos que su suma es igual a 90 grados.

Dos ángulos son complementarios. El ángulo más grande es dos veces el tamaño del ángulo más pequeño. ¿Cuál es la medida de ambos ángulos?

Slide 203 / 246

80 Un ángulo tiene 34° más que su complementario.

¿Cuál es su medida?

Res

pues

ta

Pista:

Elige una variable para el ángulo ¿Qué es un complementario?click

Slide 204 / 246

80 Un ángulo tiene 34° más que su complementario.

¿Cuál es su medida?

Pista:

Elige una variable para el ángulo ¿Qué es un complementario?click [This object is a pull tab]

Res

pues

ta ángulo = (90 - x) + 34x = 90 - x +34

2x = 124x = 62

ángulo = complementario + 34


81 Un ángulo tiene 14° menos que su complementario.


Pista:

Elige una variable para el ángulo ¿Qué es un complementario?

Res

pues

ta

Slide 205 / 246

81 Un ángulo tiene 14° menos que su complementario.


Pista:

Elige una variable para el ángulo ¿Qué es un complementario?[This object is a pull tab]

Res

pues

ta

ángulo = (90 - x) - 14x = 90 - x - 14

2x = 90 - 142x = 76x = 38

ángulo = complementario - 14


82 Un ángulo tiene 98 más que su suplementario.


Pista:

Selecciona una variable para el ángulo¿Qué es un suplementario?

Res

pues

ta

Slide 206 / 246

82 Un ángulo tiene 98 más que su suplementario.


Pista:

Selecciona una variable para el ángulo¿Qué es un suplementario? [This object is a pull tab]

Res

pues

ta ángulo = (180 - x) + 98x = 180 - x + 98

2x = 278x = 139


83 Un ángulo tiene 74° menos que su suplementario.


Res

pues

ta

Slide 207 / 246

83 Un ángulo tiene 74° menos que su suplementario.



Res

pues

ta

ángulo = suplementario - 74x = (180 - x) - 74

2x = 180 - 742x = 106

x = 53


84 Un ángulo tiene 26° más que su suplementario.


Res

pues

ta

Slide 208 / 246

84 Un ángulo tiene 26° más que su suplementario.



Res

pues

ta

ángulo = suplementario + 26x = (180 - x) + 26

2x = 180 + 262x = 206x = 106


Si dos ángulos suplementarios son adyacentes, teniendo un vértice común y compartiendo un lado, sus lados no compartidos forman una recta.

Un par de ángulos lineales son dos ángulos adyacentes cuyos lados no comunes están en la misma recta. La recta podría también ser llamada ángulo llano de 180°.

Pares de ángulos lineales

Slide 209 / 246

Dado: m∠ABC = 55o

Calcula las medidas de los ángulos que quedan.

Ángulos verticales

A

B C

D

E55o

Ángulos verticales: dos ángulos cuyos lads forman dos pares de semirrectas opuestas. -En el diagrama de abajo, ∠ABC y ∠DBE son ángulos verticales, y ∠ABE y ∠CBD son ángulos verticales.

Res

pues

ta

Slide 210 / 246

Dado: m∠ABC = 55o

Calcula las medidas de los ángulos que quedan.

Ángulos verticales

A

B C

D

E55o

Ángulos verticales: dos ángulos cuyos lads forman dos pares de semirrectas opuestas. -En el diagrama de abajo, ∠ABC y ∠DBE son ángulos verticales, y ∠ABE y ∠CBD son ángulos verticales.


Res

pues

tam < DBC + 55 = 180m < DBC = 125o

m < EBD + 125 = 180m < EBD = 55o m < ABE + 55 = 180m < ABE = 125o


Dado: m∠ABC = 55o

¿Qué observas sobre los ángulos verticales?

Ángulos verticales

C

A

B

D

E55o

55o 125o

125o

Teorema de los ángulos verticales: Todos los ángulos verticales son congruentes.

Slide 211 / 246

EjemploCalcula m < 1, m < 2 & m < 3. Explica tu respuesta.

36o 123

m < 2 = 36o; Los ángulos verticales son congruentes (ángulo original & < 2)m < 3 = 144o; Los ángulos verticales son congruentes (< 1 & < 3)

36 + m < 1 = 180-36 -36 m < 1 = 144o

Los pares de ángulos lineales son suplementarios

Slide 212 / 246

85 ¿Cuál es m < 1?

A 77o

B 103o

C 113o

D ninguno de los de arriba

77o12 3

Res

pues

ta

Slide 213 / 246

85 ¿Cuál es m < 1?

A 77o

B 103o

C 113o


77o12 3


Res

pues

ta

B


86 ¿Cuál es m < 2?

A 77o

B 103o

C 113o


77o12 3

Res

pues

ta

Slide 214 / 246

86 ¿Cuál es m < 2?

A 77o

B 103o

C 113o


77o12 3


Res

pues

ta

A


87 ¿Cuál es m < 3?

A 77o

B 103o

C 113o


77o12 3

Res

pues

ta

Slide 215 / 246

87 ¿Cuál es m < 3?

A 77o

B 103o

C 113o


77o12 3


Res

pues

ta

B


88 ¿Cuál es m < 4?

A 112o

B 78o

C 102o


112o46 5

Res

pues

ta

Slide 216 / 246

88 ¿Cuál es m < 4?

A 112o

B 78o

C 102o


112o46 5


Res

pues

ta

D) m < 4 = 68o


89 ¿Cuál es m < 5?

A 112o

B 68o

C 102o


112o46 5

Res

pues

ta

Slide 217 / 246

89 ¿Cuál es m < 5?

A 112o

B 68o

C 102o


112o46 5


Res

pues

ta

B


90 ¿Cuál es m < 6?

A 102o

B 78o

C 112o


112o46 5

Res

pues

ta

Slide 218 / 246

90 ¿Cuál es m < 6?

A 102o

B 78o

C 112o


112o46 5


Res

pues

ta

C


EjemploCalcula el valor de x.

(13x + 16)o

(14x + 7)o

Los ángulos que se muestran son ángulos verticales, de manera que son congruentes

13x + 16 = 14x + 7-13x -13x 16 = x + 7 - 7 - 7 9 = x

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ExampleCalcula el valor de x.

(3x + 17)o(2x + 8)o

Los ángulos mostrados son un par de ángulos lineales, de manera que son suplementarios

2x + 8 + 3x + 17 = 180 5x + 25 = 180 - 25 - 25 5x = 155 5 5 x = 31

Slide 220 / 246

91 Calcula el valor de x.

A 95

B 50

C 45

D 40

(2x - 5)o85o

Res

pues

ta

Slide 221 / 246


A 95

B 50

C 45

D 40

(2x - 5)o85o


Res

pues

ta

B



A 75

B 17

C 13

D 12

(6x + 3)o

75oR

espu

esta

Slide 222 / 246


A 75

B 17

C 13

D 12

(6x + 3)o

75o


Res

pues

ta

D



A 13.1

B 14

C 15

D 122

(9x - 4)o

122o

Res

pues

ta

Slide 223 / 246


A 13.1

B 14

C 15

D 122

(9x - 4)o

122o


Res

pues

ta

B



A 12

B 13

C 42D 138

(7x + 54)o 42o

Res

pues

ta

D

Slide 224 / 246


A 12

B 13

C 42D 138

(7x + 54)o 42oD


Res

pues

taA


Bisectriz y Construcciones


contenidos

Slide 225 / 246

Bisectriz de un ángulo

La bisectriz de un ángulo es una semirrecta o recta que comienza en el vértice y divide al ángulo en dos partes iguales

biseca

Bisecar significa dividir en dos partes iguales. La bisectriz es algo que divide.

La bisectriz de un ángulo es equidistante desde los lados del ángulo cuando está medido a lo largo de un segmento perpendicular a los lados del ángulo.

Slide 226 / 246

page0svg

Construcción de la bisectriz1. Con el compás apuntando sobre el vértice, dibuja un arco cruzando cada lado.

2. Sin cambiar la apertura del comás, ubícalo apuntando sobre la intersección de los arcos con los lados.

X

m#UVX = m#WVX#UVX #WVX

4. Coloca el nombre a tu punto

3. Con una regla une el vértice a las intersecciones de los dos arcos.

Slide 227 / 246

Intenta ésto!

Biseca el ángulo

17)

Slide 228 / 246

18)

Intenta ésto!

Biseca el ángulo

Slide 229 / 246

Construcción de la bisectriz con barra, cuerda, lápiz y regla

1. Con la varilla sobre el vértice dibuja un arco cruzado a cada lado.

2. Ubica la varilla sobre las intersecciones de los lados y dibuja 2 arcos, uno desde cada lado de manera que quede un punto de intersección.

X

m#UVX = m#WVX#UVX #WVX

4. Etiqueta tu punto3. Con una regla une el vértice a las intersecciones de los dos arcos.

Slide 230 / 246

Intenta ésto!

Biseca el ángulo con cuerda, varilla, lápiz y regla.

19)

Slide 231 / 246

20)

Intenta ésto!

Biseca el ángulo con cuerda, varilla, lápiz y regla.

Slide 232 / 246

Construcción de bisectriz con papel plegado1. Sobre papel, dibuja un ángulo de tu elección. Que ocupe todo el papel a lo largo y algo. Coloca nombre a los puntos A, B y C

2.¨Pliega tu papel de manera que BA se alinee con BC. Forma un pliegue.

3. Despliega tu papel . Dibuja una semirrecta a lo largo del pliegue comenzando en el punto B.

4. Marca y coloca nombre a tu punto .

Slide 233 / 246

Intenta ésto!

Biseca el ángulo con papel plegado21)

Slide 234 / 246

Intenta ésto!

Biseca el ángulo con papel plegado

22)

Slide 235 / 246

Vídeo demostrativo de construcción de bisectriz de un ángulo utilizando el

software Geometría Dinámica

Click aquí para ver un vídeo usando un compás y otras

herramientas

Click aquí para ver un vídeo usando el menú

opciones

Slide 236 / 246

A

B C

D

Calcula la medida que falta.

Ejemplo: ABC es bisecado por BD. Calcula la medida de los ángulos que faltan.

Res

pues

ta

Slide 237 / 246

A

B C

D

Calcula la medida que falta.

Ejemplo: ABC es bisecado por BD. Calcula la medida de los ángulos que faltan.

52o

Res

pues

ta m ABD = 52o

m ABC = 2(52) = 104o


http://youtu.be/EA-NkCJtwN4

http://youtu.be/iiMgioj1zeU

H

F G

E

Ejemplo : EFG es bisecado por FH. m EFG = 56o. Calcula la medida de los ángulos que faltan.

56o

Res

pues

ta

Slide 238 / 246

H

F G

E

Ejemplo : EFG es bisecado por FH. m EFG = 56o. Calcula la medida de los ángulos que faltan.

56o


Res

pues

ta m EFH = 56/2 = 28o

m HFG = 28o


Ejemplo: MO biseca LMN. Calcula el valor de x.

L

M

N

(3x - 20)o

(x + 10)o

O

Res

pues

ta

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Ejemplo: MO biseca LMN. Calcula el valor de x.

L

M

N

(3x - 20)o

(x + 10)o

O


Res

pues

tam LMO =m OMNx + 10 = 3x - 20-x -x 10 = 2x - 20 +20 +20 30 = 2x 2 2 15 = x


95 JK biseca HJL. Dado que m HJL = 46o, ¿Cuánto es m HJK?

Pista:

¿Qué significa bisecar?Dibuja y coloca los nombres

Res

pues

ta

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95 JK biseca HJL. Dado que m HJL = 46o, ¿Cuánto es m HJK?

Pista:


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Res

pues

ta

m HJK = 46/2 = 23o


96 NP biseca MNO Dado que m MNP = 57o, ¿Cuanto es m MNO?

Res

pues

ta

Pista:


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96 NP biseca MNO Dado que m MNP = 57o, ¿Cuanto es m MNO?

Pista:


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Res

pues

ta

m MNO = 2(57) = 114o


97 RT biseca QRS Dado que m QRT = 78o, ¿Cuánto es m QRS?

Res

pues

ta

Slide 242 / 246

97 RT biseca QRS Dado que m QRT = 78o, ¿Cuánto es m QRS?


Res

pues

tam QRS = 2(78) = 156o


98 VY biseca UVW. Dado que m UVW = 165o, ¿Cuánto es m UVY?

Res

pues

ta

Slide 243 / 246

98 VY biseca UVW. Dado que m UVW = 165o, ¿Cuánto es m UVY?


Res

pues

ta

m UVY = 165/2 = 82.5o


D

B

A

(11x - 25)o

(7x + 3)o

C

99 BD biseca ABC. Calcula el valor de x.

Res

pues

ta

Slide 244 / 246

D

B

A

(11x - 25)o

(7x + 3)o

C

99 BD biseca ABC. Calcula el valor de x.


Res

pues

ta 7x + 3 = 11x - 25 3 = 4x - 25 28 = 4x 7 = x


H

F

E

(3x + 49)o

(9x - 17)o

G

100 FH biseca EFG. Calcula el valor de x.

Res

pues

ta

Slide 245 / 246

H

F

E

(3x + 49)o

(9x - 17)o

G

100 FH biseca EFG. Calcula el valor de x.


Res

pues

ta 9x - 17 = 3x + 496x - 17 = 496x = 66x = 11


I

J

L

(12x - 19)o

(7x + 1)o

K

101 JL biseca IJK. Calcula el valor de x.R

espu

esta

Slide 246 / 246

I

J

L

(12x - 19)o

(7x + 1)o

K

101 JL biseca IJK. Calcula el valor de x.


Res

pues

ta

7x + 1 = 12x - 19 1 = 5x - 19 20 = 5x 4 = x


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Geometría Ángulos Slide 3 / 246content.sandbox-njctl.org/courses/common-core-math...2014/02/24 · Puntos, Rectas, Planos, y Ángulos 2013-08-15 Slide 2 / 246 Tabla de contenidos