Geometria Anal Acet 3

Apontamentos de Geometria Analítica

J.A.T.B. AGA.22

Aplicações Geométricas - ℝ3 Definição de uma recta • No espaço ℝ3 , a recta pode ser definida por:

i) Um ponto e um vector direcção;

ii) Dois pontos distintos;

iii) Intersecção de dois planos. Definição de um plano • No espaço ℝ3 , o plano pode ser definido por:

i) Um ponto e dois vectores geradores (linearmente independentes);

ii) Três pontos distintos e não colineares;

iii) Um ponto e um vector normal ao plano;

iv) Uma recta e um ponto que não pertence à recta;

v) Duas rectas concorrentes;

vi) Duas rectas estritamente paralelas.


J.A.T.B. AGA.23

Posição relativa de dois planos • Sejam os planos:

{ }= ∈ − ⋅ =�

ℝ3 : ( ) 0M X X P n

{ }= ∈ − ⋅ =�

ℝ3

1 1 : ( ) 0M X X Q n

Os planos podem ser classificados em:

a) Paralelos: � �� 1n n

i) Iguais ou coincidentes: = ⇔ ∧ ∈� ��1 1 M M n n Q M

ii) Estritamente paralelos: ⇔ ∧ ∉� �

� �1 1 M M n n Q M

b) Concorrentes: ∩ = ⇔� ��1 1 M M r n n

i) Oblíquos: ∧ ⊥� � � �� 1 1 n n n n

ii) Perpendiculares: ⊥� �

1n n • Resolvendo o problema relativo à intersecção ∩ 1M M , o sistema de

equações lineares resultante poderá ser:

a) Impossível: ∩ = ∅ ⇒ �1 1 M M M M

b) Possível e Simplesmente Indeterminado: ∩ =1M M r

c) Possível e Duplamente Indeterminado: ∩ = =1 1M M M M


J.A.T.B. AGA.24

Ângulo entre dois planos

• Sejam os planos:

{ }= ∈ − ⋅ =�

ℝ3 : ( ) 0M X X P n e { }= ∈ − ⋅ =

�ℝ

31 1 : ( ) 0M X X Q n

Designando:

θ θ π= ≤ ≤∡ 1( , ) , 0 / 2M M e α α π= ≤ ≤� �

∡ 1( , ) , 0n n :

a) α π θ α≤ ≤ ⇒ =0 / 2

θ α ⋅= =� �

� �1

1cos cos

n nn n

b) π α π θ π α< ≤ ⇒ = −/ 2

θ π α α ⋅= − = − = −� �

� �1

1cos cos( ) cos

n nn n


J.A.T.B. AGA.25

Concluindo:

θ α θ π⋅

= = ≤ ≤� �

� �1

1cos cos , 0 / 2

n n

n n

• Casos particulares:

i) α α π θ= ∨ = ⇒ = ⇒ = ∨ �1 10 0 M M M M

ii) α π θ π= ⇒ = ⇒ ⊥ 1/ 2 / 2 M M

Distância entre dois planos • Sejam os planos:

{ }= ∈ − ⋅ =�

ℝ3 : ( ) 0M X X P n

{ }= ∈ − ⋅ =�

ℝ3

1 1 : ( ) 0M X X Q n

Designando por 1,M Md a distância entre os planos:

a) Iguais ou coincidentes: = ⇒ =11 , 0M MM M d

b) Estritamente paralelos: ⇒ = =�1 11 , , , M M P M Q MM M d d d

c) Concorrentes: ∩ = ⇒ =11 , 0M MM M r d


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Posição relativa de uma recta em relação a um plano • Considere a recta

{ }= = ∈ = + ∈� �

ℝ ℝ3( ; ) : , r L P a X X P ta t

e o plano

{ }= ∈ − ⋅ =�

ℝ3 : ( ) 0M X X Q n

A recta r pode ser classificada, em relação ao plano M, em:

a) Paralela ao plano: ⊥� �a n

i) Contida no plano: ⊂ ⇔ ⊥ ∧ ∈� �

r M a n P M

ii) Estritamente paralela ao plano: ⇔ ⊥ ∧ ∉� �

� r M a n P M

b) Secante ao plano: ∩ = ⇔ ⊥� �

r M I a n

i) Oblíqua ao plano: ⊥ ∧� � � �

� a n a n

ii) Perpendicular ao plano: � ��a n

• Resolvendo o problema relativo à intersecção ∩r M , o sistema de


a) Impossível: ∩ = ∅ ⇒ � r M r M

b) Possível e Determinado: ∩ =r M I

c) Possível e Simplesmente Indeterminado: ∩ = ⇒ ⊂ r M r r M


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Ângulo entre uma recta e um plano

• Sejam a recta e o plano:

{ }= = ∈ = + ∈� �

ℝ ℝ3( ; ) : , r L P a X X P ta t e { }= ∈ − ⋅ =

�ℝ

3 : ( ) 0M X X Q n

Designando:

θ θ π= ≤ ≤∡( , ) , 0 / 2r M e α α π= ≤ ≤� �

∡( , ) , 0a n :

a) α π θ π α≤ ≤ ⇒ = −0 / 2 / 2

θ π α α ⋅= − = =� �

� �sen sen( / 2 ) cosa na n

b) π α π θ α π< ≤ ⇒ = −/ 2 / 2

θ α π α ⋅= − = − = −� �

� �sen sen( / 2) cosa na n


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Concluindo:

θ α θ π⋅

= = ≤ ≤� �

� �sen cos , 0 / 2a n

a n


i) α α π θ π= ∨ = ⇒ = ⇒ ⊥0 / 2 r M

ii) α π θ= ⇒ = ⇒ ∨ ⊂�/ 2 0 r M r M Distância entre uma recta e um plano • Considere a recta

{ }= = ∈ = + ∈� �

ℝ ℝ3( ; ) : , r L P a X X P ta t

e o plano

{ }= ∈ − ⋅ =�

ℝ3 : ( ) 0M X X Q n

Designando por ,r Md a distância entre a recta e o plano:

a) Recta contida no plano: ⊂ ⇒ =, 0r Mr M d

b) Recta estritamente paralela ao plano: ⇒ =� , , r M P Mr M d d

c) Recta secante ao plano: ∩ = ⇒ =, 0r Mr M I d


J.A.T.B. AGA.29

Exemplo 4 : Considere a recta = + ∈

�ℝ : ( ) , r X t P ta t , em que = (1,2,3)P

e =�

(1,1,1)a , e os pontos = (2,3,5)Q e = (4,1,1)R . Determine:

a) Uma equação vectorial para o plano, M, que passa no ponto Q e contém a recta r.

b) A equação cartesiana para o plano M.

c) A distância do ponto R ao plano M.

d) O ponto, 1R , do plano M mais próximo do ponto R.

Solução:

a) Equação vectorial do plano M:

= + + ∈ ⇔��

ℝ2( , ) , ( , ) X u v P ua vPQ u v

⇔ = + + ∈ℝ2 ( , , ) (1,2,3) (1,1,1) (1,1,2) , ( , )x y z u v u v

b) Seja o vector perpendicular ao plano M:

× = = −

� � �

��1 1 1 (1, 1,0)1 1 2

i j ka PQ

Um vector normal ao plano M será qualquer vector paralelo ao vector ×��

a PQ ; seja, por exemplo,

= × = −��

(1, 1,0)n a PQ

Equação cartesiana para o plano M:

− ⋅ = ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ − = −� � �

( ) 0 1X P n X n P n x y


J.A.T.B. AGA.30

c) Distância do ponto R ao plano M:

⋅= = =

��

�,4

2 22

R M

PR nd

n

d) A equação vectorial da recta, h, que passa no ponto R e é perpendicular ao plano M é

= + ∈ ⇔ = + − ∈�

ℝ ℝ( ) , ( , , ) (4,1,1) (1, 1,0) , X s R sn s x y z s s

Assim, o ponto 1R é obtido a partir da intersecção da recta h com o

plano M, isto é,

= + = −= − = ∩ = ⇔ == − = −

11

4

21

(2,3,1)1

1

x s

sy sR h M

Rz

x y

Exemplo 5 : Considere os planos − = − : 1M x y e + + =1 : 2 1M x y z . Sejam os pontos = (0,2,1)Q e = ∈(0,1,0)S M . Determine:

a) Uma equação vectorial para a recta = ∩ 1r M M .

b) Uma equação vectorial para a recta h que passa em Q e é paralela aos planos M e 1M .

c) Uma equação vectorial para a recta t que passa em S, está contida em M e é de máxima inclinação em relação a 1M .

Solução:

a) Equação vectorial da recta r:

= + ∈ ⇔ = + − ∈�

ℝ ℝ( ) , ( , , ) (0,1,0) (1,1, 3) , X t P ta t x y z t t


J.A.T.B. AGA.31

Convém notar que

∈ ∧ ∈ ∧ ×� � ��1 1 P M P M a n n

sendo = −�

(1, 1,0)n e =�1 (2,1,1)n os vectores normais aos planos M e 1M ,

respectivamente.

b) Equação vectorial da recta h:

= + ∈ ⇔ = + − ∈�

ℝ ℝ( ) , ( , , ) (0,2,1) (1,1, 3) , X u Q th u x y z u u

Convém notar que

∧ ⇒ ×� � �

� � �1 1 h M h M h n n

c) Equação vectorial da recta t:

= + ∈ ⇔ = + ∈�

ℝ ℝ( ) , ( , , ) (0,1,0) (3,3,2) , X v S vb v x y z v v

Convém notar que

⊂ ∧ ⊥ ⇒ ×� � �� t M t r b n a


J.A.T.B. AGA.32

Posição relativa entre duas rectas

• Sejam as rectas

{ }= = ∈ = + ∈� �

ℝ ℝ3( ; ) : , r L P a X X P sa s

{ }= = ∈ = + ∈� �

ℝ ℝ3

1 ( ; ) : , r L Q b X X Q tb t

As rectas podem ser classificadas em:

A) Complanares:

a) Paralelas: ��a b

i) Iguais ou coincidentes: = ⇔ ∧ ∈��1 r r a b Q r

ii) Estritamente paralelas: ⇔ ∧ ∉��

� �1 r r a b Q r

b) Concorrentes: ∩ = ⇔ ∧ ⋅ × =��

�1 0r r I a b PQ a b

i) Oblíquas: ∧ ⊥ ∧ ⋅ × =��

� 0a b a b PQ a b

ii) Perpendiculares: ⊥ ∧ ⋅ × =��

0a b PQ a b

B) Não Complanares ou enviesadas: ⋅ × ≠��

0PQ a b • Resolvendo o problema relativo à intersecção ∩ 1r r , o sistema de


a) Impossível: ∩ = ∅ ⇒ ∨�1 1 e são enviesadasr r r M r r

b) Possível e Determinado: ∩ =1r r I

c) Possível e Simplesmente Indeterminado: ∩ = =1 1r r r r


J.A.T.B. AGA.33

Ângulo entre duas rectas

• Sejam as rectas:

{ }= = ∈ = + ∈� �

ℝ ℝ3( ; ) : , r L P a X X P sa s

{ }= = ∈ = + ∈� �

ℝ ℝ3

1 ( ; ) : , r L Q b X X Q tb t

Designando:

θ θ π= ≤ ≤∡ 1( , ) , 0 / 2r r e α α π= ≤ ≤��

∡( , ) , 0a b :

a) α π θ α≤ ≤ ⇒ =0 / 2

θ α ⋅= =��

��cos cosa b

a b

b) π α π θ π α< ≤ ⇒ = −/ 2

θ π α α ⋅= − = − = −��

��cos cos( ) cosa b

a b


J.A.T.B. AGA.34

Concluindo:

θ α θ π⋅

= = ≤ ≤

��

��cos cos , 0 / 2a b

a b


i) α α π θ= ∨ = ⇒ = ⇒ ∨ =� 1 10 0 r r r r

ii) α π θ π= ⇒ = ⇒ ⊥ 1/ 2 / 2 r r

Distância entre duas rectas

• Sejam as rectas

{ }= = ∈ = + ∈� �

ℝ ℝ3( ; ) : , r L P a X X P sa s

{ }= = ∈ = + ∈� �

ℝ ℝ3

1 ( ; ) : , r L Q b X X Q tb t

Designando por 1,r rd a distância entre as duas rectas:

A) Complanares:

a) Paralelas:

i) Iguais ou coincidentes: = ⇒ =11 , 0r rr r d

ii) Estritamente paralelas: ⇒ = =�1 11 , , , r r P r Q rr r d d d

b) Concorrentes: ∩ = ⇒ =11 , 0r rr r I d


J.A.T.B. AGA.35

B) Não complanares ou enviesadas:

Processo I

=��

1, 1r rd I I

onde os pontos 1I e I definem a recta perpendicular comum (recta s) às rectas r e 1r , isto é,

{ }= × = ∈ = + × ∈� ��

ℝ ℝ3( ; ) : , s L I a b X X I ua b u

Os pontos 1I e I devem verificar as condições seguintes:

∈ ∧ ∈ ∧ ×�� 1 1 1 I r I r I I a b

ou

∈ ∧ ∈ ∧ × × =��

1 1 1 ( ) 0I r I r I I a b


J.A.T.B. AGA.36

Processo II

Seja o plano auxiliar M tal que

∧ ⊂� 1 r M r M

definido por

{ }= ∈ − ⋅ × =��

ℝ3 : ( ) 0M X X Q a b

Designando por 1P o ponto que corresponde à projecção ortogonal do

ponto P sobre o plano M, então

⋅ ×= = =

×

��

��1, 1 ,r r P M

QP a bd P P d

a b


J.A.T.B. AGA.37

Exemplo 6 : Considere as rectas

= + ∈�

ℝ : ( ) , r X u P ua u , em que = −(2,0, 1)P e =�

(1,1,1)a

= + ∈�

ℝ1 : ( ) , r X t Q tb t , em que = −(1,1, 4)Q e =�

(2,0,1)b

a) Mostre que as rectas r e 1r são enviesadas (não complanares).

b) Determine a distância entre as rectas r e 1r .

c) Uma equação vectorial para a recta, h, perpendicular comum às rectas r e 1r .

Solução:

a) As rectas r e 1r , não sendo paralelas (os vectores �a e

�b não são

paralelos), são rectas enviesadas já que

− −⋅ × = = ≠

�� 1 1 3

1 1 1 6 02 0 1

PQ a b

isto é, { }�� , ,PQ a b é um conjunto linearmente independente.

b) A distância entre as rectas r e 1r é:

⋅ ×= = =

×

��

��1,6

66

r r

PQ a bd

a b

em que

× = = −

� � �

��1 1 1 (1,1, 2)2 0 1

i j ka b


J.A.T.B. AGA.38

c) Equação vectorial da recta, h, perpendicular comum às rectas r e 1r :

α α α α α= + × ∈ ⇔ = − + − ∈��

ℝ ℝ( ) , ( , , ) (2,0, 1) (1,1, 2) , X I a b x y z

em que = = −(2,0, 1)I P é o ponto da recta r pertencente à recta h. Exemplo 7 : Considere o plano e + − = : 3M x y z , os pontos = (3,5,2)P e

= (1,5,2)Q e a recta

= + ∈�

ℝ1 : ( ) , r X t R ta t , em que =1 (1,2,3)R e =�

(2,1,0)a

Determine:

a) Uma equação vectorial para a recta 1r contida no plano M, que é

concorrente e perpendicular à recta r.

b) Uma equação vectorial para a recta 2r que passa no ponto P, é

concorrente com a recta r e faz um ângulo de °60 com o plano M.

c) O ponto R pertencente à recta r, tal que P, Q e R são vértices de um triângulo com 1 unidade de área.

Solução:

a) Equação vectorial da recta 1r :

= + ∈ ⇔ = + − ∈�

ℝ ℝ( ) , ( , , ) (3,3,3) ( 1,2,1) , X u I ub u x y z u u

Convém notar que

= ∩I r M e ⊥ ∧ ⊥ ⇔ ×� � ��

� b a b n b a n

sendo = −�

(1,1, 1)n o vector normal ao plano M.


J.A.T.B. AGA.39

b) Existem duas soluções possíveis para a recta 2r . A equação vectorial

de uma dessas rectas é:

= + ∈ ⇔�

ℝ( ) , X v P vc v

− + − −⇔ = + ∈

ℝ6 2 3 9 3 3 3

( , , ) (3,5,2) , , , 6 6 6

x y z v v

Convém notar que

= ° ⇒ = °� �

∡ ∡2( , ) 60 ( , ) 30r M c n

e

α⊥ = ×��

1c n a R P

sendo α = −�

( 1,2,4)n o vector normal ao plano α que passa no ponto P e contém a recta r (as rectas r e 2r são complanares).

c) Notando que

[ ]×

∈ ∧ = =

��

A 12PQR

PR PQR r

obtém-se = (7,5,3)R .

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