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2ª Edição Florianópolis, 2010 Geometria Analítica Licio Hernanes Bezerra Ivan Pontual Costa e Silva

Geometria Analítica - mtm.grad.ufsc.brmtm.grad.ufsc.br/files/2014/04/Geometria-Analítica.pdf · conceitos de Geometria Euclidiana; a vetorial, que utiliza o con-ceito de vetor,

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2ª Edição

Florianópolis, 2010

Geometria AnalíticaLicio Hernanes BezerraIvan Pontual Costa e Silva

Governo FederalPresidência da República

Ministério de Educação

Secretaria de Ensino a Distância

Universidade Aberta do Brasil

Universidade Federal de Santa CatarinaReitor: Alvaro Toubes Prata

Vice-Reitor: Carlos Alberto Justo da Silva

Secretário de Educação a Distância: Cícero Barbosa

Pró-Reitora de Ensino de Graduação: Yara Maria Rauh Müller

Pró-Reitora de Pesquisa e Extensão: Débora Peres Menezes

Pró-Reitor de Pós-Graduação: Maria Lúcia de Barros Camargo

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Pró-Reitor de Assuntos Estudantis: Cláudio José Amante

Centro de Ciências da Educação: Wilson Schmidt

Centro de Ciências Físicas e Matemáticas: Tarciso Antônio Grandi

Centro de Filosofia e Ciências Humanas: Roselane Neckel

Curso de Licenciatura em Matemática naModalidade à DistânciaCoordenação de Curso: Neri Terezinha Both Carvalho

Coordenação de Tutoria: Jane Crippa

Coordenação Pedagógica/CED: Roseli Zen Cerny

Coordenação de Ambientes Virtuais/CFM: Nereu Estanislau Burin

Comissão EditorialAntônio Carlos Gardel Leitão

Albertina Zatelli

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Igor Mozolevski

Luiz Augusto Saeger

Roberto Corrêa da Silva

Ruy Coimbra Charão

Laboratório de Novas Tecnologias - LANTEC/CEDCoordenação PedagógicaCoordenação Geral: Andrea Lapa, Roseli Zen Cerny

Núcleo de Formação: Nilza Godoy Gomes

Núcleo de Pesquisa e Avaliação: Claudia Regina Flores

Núcleo de Criação e Desenvolvimento de MateriaisDesign GráficoCoordenação: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira

Projeto Gráfico Original: Diogo Henrique Ropelato, Marta Cristina Goulart

Braga, Natal Anacleto Chicca Junior

Redesenho do Projeto Gráfico: Laura Martins Rodrigues,

Thiago Rocha Oliveira

Diagramação: Gregório Bacelar Lameira, Laura Martins Rodrigues

Ilustrações: Camila Piña Jafelice, Maximilian Vartuli, Jean Rissatti, Pricila

Cristina da Silva

Capa: Maiara Ornellas Ariño

Design InstrucionalCoordenação: Juliana Machado

Revisão do Design Instrucional: Carla Morschbacher

Revisão Gramatical: Vera Bazzo

Copyright © 2010, Universidade Federal de Santa Catarina/CFM/CED/UFSC

Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer

meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Coordenação

Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância.

Ficha Catalográfica B574g Bezerra, Licio Hernanes Geometria analítica / Licio Hernanes Bezerra, Ivan Pontual Costa e Silva. – 2. ed. – Florianópolis : UFSC/EAD/CED/CFM, 2010. 170p. ISBN 978-85-99379-87-5 1. Geometria analítica. I. Silva, Ivan Pontual Costa e. II. Título. CDU 514.2 Elaborada pela Bibliotecária Eleonora M. F. Vieira – CRB – 14/786

Sumário

Apresentação ............................................................................. 7

1. Plano Cartesiano .................................................................. 91.1 Introdução ................................................................................... 111.2 Distância entre dois pontos ...................................................... 131.3 Circunferência ............................................................................ 15Resumo .............................................................................................. 18Bibliografia comentada .................................................................... 18

2. Retas no Plano .................................................................... 192.1 Equações de Retas ...................................................................... 212.2 Ângulo entre duas retas ............................................................ 252.3 Distância de ponto a reta .......................................................... 28Resumo .............................................................................................. 34Bibliografia comentada .................................................................... 35

3. Cônicas ................................................................................. 373.1 Introdução ................................................................................... 393.2 Parábola ....................................................................................... 423.3 Elipse ............................................................................................ 493.4 Hipérbole ..................................................................................... 523.5 Rotação de eixos ......................................................................... 573.6 Observações finais ..................................................................... 63Resumo .............................................................................................. 66Bibliografia comentada .................................................................... 66

4. Vetores .................................................................................. 674.1 Espaço cartesiano ....................................................................... 694.2 Vetores na geometria analítica ................................................. 72

4.2.1 Vetores e a Física ................................................................ 724.2.2 Vetores e a Geometria Euclidiana ....................................744.2.3 Operações com vetores ..................................................... 784.2.4 Norma de um vetor ........................................................... 824.2.5 Produto interno .................................................................. 834.2.6 Dependência linear ........................................................... 844.2.7 Base ortonormal ................................................................. 864.2.8 Orientação do espaço ........................................................ 87

4.2.9 Sistema cartesiano de coordenadas no espaço ............... 874.2.10 O produto vetorial ............................................................ 884.2.11 Produto misto ................................................................... 94

Bibliografia comentada .................................................................... 98

5. Retas e Planos no espaço ................................................... 995.1 Equação cartesiana do plano ...................................................1015.2 Equações paramétricas do plano ........................................... 1055.3 Equação da reta ........................................................................ 1085.4 Posições relativas de planos .....................................................1125.5 Posições relativas de reta e plano ............................................1155.6 Posições relativas de duas retas ..............................................1175.7 Distâncias no espaço ................................................................ 125

5.7.1 Distância de ponto a plano .............................................. 1255.7.2 Distância de ponto a reta ................................................. 1285.7.3 Distância entre planos e de reta a plano ....................... 1335.7.4 Distância de reta a reta .................................................... 135

Bibliografia Comentada ................................................................. 138

6. Superfícies Quádricas ..................................................... 1396.1 Revisão de matrizes ..................................................................1416.2 Determinantes e sistemas lineares ........................................ 1506.3 Quádricas ...................................................................................157

6.3.1 Quádricas centrais ........................................................... 1596.3.2 Quádricas não–centrais ...................................................166

Bibliografia ......................................................................................169

Referência .............................................................................. 170

ApresentaçãoQuando formulamos o curso de Licenciatura em Matemática, a disciplina de Geometria Analítica foi pensada de tal modo que contemplasse duas abordagens: a clássica, que se refere apenas a conceitos de Geometria Euclidiana; a vetorial, que utiliza o con-ceito de vetor, definido a partir da teoria moderna de conjuntos. Essas duas abordagens são necessárias à formação do professor de ensino médio e fundamental, que deve compreender tanto a construção concreta dos conceitos em Matemática (Geome-tria Analítica clássica) como a formulação totalmente abstrata de conceitos, usual em Matemática avançada. Assim, dividimos a disciplina em duas partes: Geometria Analítica Plana, que é abordada, classicamente, nos capítulos 1-3; a Geometria Analítica Espacial, na qual usamos vetores para interpretar os conceitos básicos da Geometria Euclidiana Espacial, que é apresentada nos capítulos 4-6.

Esperamos que o leitor faça todos os exercícios da primeira parte e que adquira, ao final, um condicionamento físico e mental, pois os exercícios são braçais e exigem muita atenção: um leve erro de cálculo e todo o trabalho é perdido. Gostaríamos, também, que o leitor, ao final do livro, compreenda a economia de trabalho que o conceito de vetor oferece no estudo de Geometria Analítica.

Existe uma lacuna, propositalmente deixada para o leitor preen-cher: como fazer Geometria Analítica Plana usando as técnicas vetoriais estudadas na Geometria Analítica Espacial? Uma dica é a seguinte: pense que toda Geometria Analítica Plana pode ser feita a partir da Espacial no plano 0z = .

Finalmente, introduzimos matrizes e determinantes no capítulo 6, para a formulação das equações quadráticas em três variáveis. O conceito de matriz é definido a partir do conceito de função - uma forma diferente de se apresentar uma matriz. Na verdade, o conjunto das matrizes reais, de ordem m n× , que comumente é introduzido como m n×

em Álgebra Linear, é visto aqui como o conjunto das funções de { } { }1,..., 1,...,m n× em . Parece uma complicação desnecessária, mas essa é uma forma de se introdu-

zir produtos cartesianos de um conjunto. Por exemplo, 3 pode

ser visto como o conjunto das funções de { }1,2,3 em . Ou seja, é mais um pretexto para se trabalhar conceitos da teoria de con-juntos.

Licio Hernanes Bezerra

Ivan Pontual Costa e Silva

Capítulo 1Plano Cartesiano

Capítulo 1Plano Cartesiano

Este capítulo é introdutório, uma vez que é uma prepara-ção e um prenúncio do que virá em seguida. De forma sis-temática, entretanto, vamos listar alguns dos objetivos al-mejados pelos autores: apresentar o plano cartesiano - uma representação gráfica do produto cartesiano 2 = × ; introduzir a métrica usual, isto é, como usualmente me-dimos a distância entre dois pontos no plano cartesiano; introduzir a noção de lugar geométrico - um conjunto de pontos que satisfazem uma propriedade geométrica; uti-lizar a dedução da fórmula de equação de circunferência como um modo de traduzir algebricamente uma proprie-dade geométrica, de tal modo que o lugar geométrico defi-nido pela propriedade seja identificado com essa tradução algébrica. Esperamos que os leitores reflitam, ao final do capítulo, sobre o seu conteúdo e comparem-no com os ob-jetivos listados.

1.1 IntroduçãoO plano cartesiano é um conceito introduzido no século XVII, inde-pendentemente, pelos matemáticos franceses René Descartes e Pier-re de Fermat para representar graficamente pares ordenados ( , )x y de números reais.

Basicamente, identifica-se cada ponto de um plano com suas coorde-nadas em relação a um sistema que consiste de duas retas orientadas – uma horizontal, outra vertical. O ponto de interseção (em ângulo reto) desses dois eixos é dito a origem do sistema. O eixo horizontal é denominado eixo das abcissas e o eixo vertical, eixo das ordena-das. O plano cartesiano fica, assim, dividido em quatro regiões, que são denominadas quadrantes: o primeiro fica acima do eixo das ab-cissas e à direita do eixo das ordenadas; o segundo, acima do eixo das abcissas e à esquerda do eixo das ordenadas; o terceiro, abaixo

René Descartes (1596-1650). Também conhecido como

Cartesius, Descartes foi filósofo, físico e matemático

francês. Notabilizou-se sobretudo pelo seu trabalho revolucionário na Filosofia,

mas também foi famoso por inventar o sistema

cartesiano de coordenadas, que influenciou o

desenvolvimento do cálculo moderno.

12

do eixo das abcissas e à esquerda do eixo das ordenadas; e, o quarto, abaixo do eixo das abcissas e à direita do eixo das ordenadas. A cada ponto do plano corresponde, então, um par de coordenadas ( , )x y , em que | |x é a distância do ponto ao eixo das ordenadas e | |y , a distância do ponto ao eixo das abcissas. O sinal de x e o sinal de y dependem do quadrante em que o ponto está situado. A origem do plano cartesiano, denotada por O, tem, assim, ambas as coorde-nadas nulas.

y

x04º quadrante

(+,−)

1º quadrante

(+,+)2º quadrante

(−,+)

3º quadrante

(−,−)

Figura 1.1

Quadrante Abcissa Ordenada

1º quadrante + +

2º quadrante — +

3º quadrante — —

4º quadrante + —

Tabela 1.1

O plano cartesiano é um modelo da geometria euclidiana plana. Ou seja, uma vez definidos um sistema de eixos cartesianos (perpendi-culares entre si e com uma unidade de medida comum a ambos os eixos) e interpretados os conceitos primitivos da geometria euclidia-na nesse sistema, verifica-se que nele os axiomas da geometria são válidos e, por conseguinte, os teoremas também o serão.

A geometria euclidiana interpretada no plano cartesiano é dita geome-tria analítica plana. Chamamos também o plano cartesiano de plano numérico, pois associamos cada ponto do plano a um par ordenado de números reais ( , )x y : x, a abscissa e y, a ordenada do ponto, ditas coordenadas cartesianas do ponto. De agora em diante, escreveremos

( , )P x y= para denotar que ( , )x y é o par associado ao ponto P.

13

ExercícioRepresente em um plano cartesiano os seguintes conjuntos de 1) pontos:

{(0, 1), (0,3), ( 2,0), (1,0), (3,0)}− −a) ;

{(1,2), (2,3), (3,4)}b) ;

2{( , ) / , 2 3}x x x x∈ − ≤ ≤c) ;

{( , ) / , e }x y x y x y∈ ∈ = d) ;

{( , ) / = }x y x ye) ;

{( , ) / }x y x y>f) ;

{( , ) / 1 e 2}x y x y> <g) ;

{( , ) / 1 ou 2}x y x y> <h) ;

{( , ) / 1 2}x y x y> ⇒ <i) ;

{( , ) / 1 2}x y x y> ⇔ <j) .

1.2 Distância entre dois pontosDados dois pontos, 1 1( , )A x y= e 2 2( , )B x y= , a distância entre eles é dada por

2 22 1 2 1( , ) ( ) ( )d A B x x y y= − + −

que é o comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo com ca-tetos de comprimentos iguais a 2 1| |x x− e 2 1| |y y− , respectivamente.

B

AC

y2

y1

x2 x1

Figura 1.2

14

Ponto médio de um segmentoConsidere a figura abaixo, na qual M é o ponto médio do segmento AB. Observe que, por semelhança de triângulos, as coordenadas

de M são 1 2 1 2,2 2

x x y y+ +

.

B

A

My1

y2

x1 x2

y

x

C

Figura 1.3

Exercícios Ache o comprimento e o ponto médio dos segmentos, cujos 2) extremos são dados pelos pontos abaixo:

a) (1, 2) e (2,4);

b) (1,0) e (0,1);

c) (1,1) e (3,1);

d) ( 1,0) e ( 2,3)− − ;

e) ( 1, 1) e ( 2, 4)− − − − .

Divida os segmentos 3) AB abaixo, em n (indicado em cada item) partes iguais e calcule as coordenadas dos pontos resultantes.

a) (1,0), (5,0), 4A B n= = = ;

b) (0,0), (10,10), 8 A B n= = = ;

c) (0,0), (2,3), 3 A B n= = = ;

d) (1,1), (3, 4), 3A B n= = = ;

e) (1,1), (3, 4), 4A B n= = = ;

f) (1,1), (5,9), 8A B n= = = ;

Deduza esse resultado.

15

g) ( 5, 6), ( 1, 2), 8A B n= − − = − = ;

h) (2, 4), (6,12), 8A B n= = = ;

i) (1, 2), (2,1), 4A B n= = = ;

j) (3,5), (4, 4), 4A B n= = = .

Sejam 4) 1 1( , )A x y= e 2 2( , )B x y= . Mostre que um ponto ( , )P x y= pertence ao segmento AB se, e somente se, existe [0,1]t∈ tal que

1 2

1 2

(1 ) .

(1 ) x t x t xy t y t y= − +

= − +

1.3 CircunferênciaPodemos definir uma circunferência, de raio r e centro em C, como sendo o lugar geométrico dos pontos P tais que ( , )d P C r= .

Se 0 0( , )C x y= , então essa circunferência é o conjunto dos pontos ( , )P x y= tais que 2 2

0 0( ) ( )x x y y r− + − = , ou seja,

2 2 20 0( ) ( )x x y y r− + − = .

Essa equação é chamada de equação da circunferência de raio r e centro em 0 0( , )x y . Por exemplo, a equação 2 2( 3) ( 4) 36x y− + + = é uma equação da circunferência de raio 6 e centro em (3, 4)− . Eu disse uma equação e não a equação porque, depois de alguns cálcu-los, a equação acima se torna 2 2 6 8 11 0x y x y+ − + − = , e esta é outra equação que descreve a mesma circunferência.

A palavra equação quer dizer igualdade. As igualdades, 2 2( 3) ( 4) 36x y− + + = e 2 2 6 8 11 0x y x y+ − + − = são obviamente di-

ferentes, mas elas são equivalentes, no sentido que os pares de nú-meros, x e y, que tornam a primeira equação verdadeira fazem com que a segunda equação também seja verdadeira, e reciprocamente.

Por exemplo, 2 2(3 3) (2 4) 36− + + = , ou seja, a primeira equação é verdadeira quando 3x = e 2y = ; substituindo-se esses valores na segunda equação, ela fica 2 23 2 18 16 11 0+ − + − = , que também, é verdadeira. Agora, se eu tomar algum outro valor para x e algum

Você saberia escrever qual é essa recíproca? Escreva-a!

16

outro valor para y que tornem a segunda equação verdadeira, esses valores também, tornarão a primeira equação verdadeira (experi-mente fazer isso com alguns pares de números !).

Assim, tanto uma como a outra são equações da mesma circunfe-rência. Vamos ver se você sabe passar de uma para outra.

Exercícios

Escreva as equações abaixo na forma 5) 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = .

a) 2 2 2 6 15;x y x y+ − + =

b) 2 2 4 6 23;x y x y+ − − =

c) 2 2 6 0;x y y+ + =

d) 2 2 15,5 0;x y x y+ − + − =

e) 2 2 8,5 0;x y x y+ − − − =

f) 2 22 2 4 6 12.x y x y+ − + =

Esboce no plano cartesiano as circunferências do exercício 6) anterior.

Calcule a distância entre os dois pontos dados em cada item 7) abaixo.

(3, 0), ( 2, 0)P Q= = −a) ;

(0, 10), (0, 2)P Q= = −b) ;

(3, 0), (0, 4)P Q= =c) ;

(1,1), ( 1, 1)P Q= = − −d) ;

(0, 0), (5, 12)P Q= =e) ;

(1, 1), (9, 16)P Q= =f) ;

( 1, 1), (23,6)P Q= − − =g) ;

(0,1), (40,10)P Q= =h) ;

(1, 2), (13,33)P Q= − =i) ;

(10,11), (150, 40)P Q= = −j) .

17

Ache uma equação da circunferência em cada item abaixo.8)

com centro em a) (1, 2)− e raioraio = 3;

com centro em b) (0, 2) e que passa por ( 1,1)− ;

tal que c) (1, 2)− e (3, 4) sejam diametralmente opostos;

que passa por d) (0, 0), (2, 2) e ( 1, 3)− − ;

situada no primeiro quadrante, tangente aos eixos coorde-e) nados e de raioraio = 2;

tangente às retas f) 1x = − e 1x = , e que passa por (0, 0);

situada no 1º quadrante, tangente às retas g) 3y = e 0y = , e que passa por ( 1, 2)− ;

inscrita no triângulo h) ABC, em que (0,0)A = , (4,0)B = e (2 3,2)C = ;

circunscrita ao triângulo i) ABC, em que (0,0)A = , (4,0)B = e (2 3,2)C = .

Ache o centro e o comprimento do raio das seguintes circun-9) ferências.

2 2 2x y x+ = +a) ;

2 2 2 1x y x+ = −b) ;

2 2( 2) 2x y x+ − =c) ;

2 2 4x y x y+ = + +d) ;

yxyx 2222 +=+e) ;

yxyx 2222 22 +=+f) .

Ache a interseção das circunferências abaixo (ou seja, en-10) contre o conjunto de pontos correspondentes à interseção das figuras).

a) 122 =+ yx e 2 2( 1) 1x y+ − = ;

b) 122 =+ yx e 222 +=+ xyx ;

c) 122 =+ yx e yxyx +=+ 22 ;

d) 122 =+ yx e 422 ++=+ yxyx .

18

Sejam 11) (1,1)A = , ( 1, 1)B = − − . Em cada item abaixo, ache as co-ordenadas do(s) ponto(s) C de maneira que o(s) triângulo(s) ABC satisfaça(m) as condições dadas.

a) ABC é eqüilátero.

b) AB é a hipotenusa e AC é um cateto de comprimento 2.

c) ABC é isósceles e a altura em relação à base AB é 2.

Resumocoordenadas de um ponto;•

distância entre dois pontos;•

ponto médio de um segmento;•

equação da circunferência;•

interseção de circunferências.•

Bibliografia comentadaIEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar. 4. ed. São Paulo: Atual, 1993. v. 7.

A coleção do Iezzi é muito bem organizada, mas o seu conteúdo é dirigido para os alunos do Ensino Fundamental e Médio, e não especificamente para o aluno de licenciatura. É um livro que funciona bem, por exemplo, como um dicionário para um professor de Ensino Médio. Nele se acham informações claras sobre grande parte da geometria analítica.

Capítulo 2Retas no Plano

Capítulo 2Retas no Plano

A intenção deste capítulo é aprofundar os objetivos lista-dos no capítulo anterior. Gostaríamos que os leitores se fa-miliarizassem com o plano cartesiano e compreendessem ainda mais o que é um lugar geométrico. Neste capítulo, apresentamos uma forma bem costumeira de como a Ma-temática é construída: a classificação. As retas compreen-dem uma classe de lugares geométricos - aqueles que são traduzidos por uma equação (igualdade) de primeiro grau, envolvendo as coordenadas de seus pontos.

2.1 Equações de RetasVimos, anteriormente, que um ponto é interpretado no plano carte-siano como sendo um par ordenado de números. Vamos ver, agora, que a reta vai ser interpretada como um conjunto de pares orde-nados que satisfazem uma equação linear do tipo ax by c+ = , com

0≠a ou 0≠b . Observemos que o conjunto dos pares ( , )x y que sa-tisfazem ax by c+ = é igual ao conjunto dos pares que satisfazem kax kby kc+ = , 0≠k , pois essas equações são equivalentes entre si.

Uma vez interpretada a reta como um conjunto de pontos que satisfazem ax by c+ = , em que , , a b c são números reais fixos e

2 2 0a b+ ≠ (o que é equivalente a 0≠a ou 0≠b ), será que o axio-ma de geometria euclidiana “por dois pontos distintos passa uma única reta” é válido? No caso, deve-se verificar se a proposição “dados dois pares ordenados distintos, existe um único conjun-to de pares ordenados que satisfazem uma equação ax by c+ = ,

2 2 0a b+ ≠ , que contém os dois pares” é verdadeira no plano carte-siano, que é o que faremos a seguir.

Proposição 2.1. Se 1 1( , )P x y= e 2 2( , )Q x y= são distintos então exis-tem a, b e c, com 2 2 0a b+ ≠ , tais que 1 1ax by c+ = e 2 2ax by c+ = .

22

Além disso, se existem outros cba ′′′ ,, , com 2 2( ') ( ') 0a b+ ≠ , tais que cybxa ′=′+′ 11 e cybxa ′=′+′ 22 , então existe um número k tal que

' .a k a= , ' .b k b= , .c k c′ = .

Demonstração:

Observe que 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )y y x x x y y y x x x y− − − = − − − é uma equação do tipo procurado, pois é da forma ax by c+ = e a equação é satisfeita pelos pontos P e Q .

Vamos mostrar, agora, a segunda parte da proposição.

Vamos supor, então, que 1 1ax by c+ = e 2 2ax by c+ = , e que cybxa ′=′+′ 11 e cybxa ′=′+′ 22 .

Temos, então, que 2 1 2 1( ) ( ) 0a x x b y y− + − = e 2 1 2 1( ) ( ) 0a x x b y y′ ′− + − = . (*)

Se 21 xx = , então, 21 yy ≠ , pois P e Q são distintos. Obtemos, nesse caso, que 0=′= bb . Logo, tanto a como a′ são não nulos. Assim,

ac

acxx

′′

=== 21 .

Logo, kcc

aa

=′

=′

. E, como 0=′= bb , 'b k b= ⋅ .

Se 21 yy = , por raciocínio análogo, chegamos ao mesmo resultado.

Vamos supor, agora, que 21 xx ≠ e 21 yy ≠ . Por (*), temos que

aa

ba

xxyy

−=′′

−=−−

12

12 .

Logo, kbb

aa

=′

=′

. Por conseguinte,

1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ' ' '.k c k ax by k a x k b y a x b y c⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ = + =■

Definição 2.1. (Coeficiente angular de uma reta não vertical): o coeficiente angular m (ou a inclinação, ou a declividade) da reta que passa por dois pontos 1 1( , )P x y= e 2 2( , )Q x y= , tais que 21 xx ≠ , é

2 1

2 1

y ymx x−

=−

.

Mais adiante, veremos que essa equação não foi tirada da cartola.

Com base no que foi desenvolvido no caso anterior, tente verificar este resultado!

23

B

Ay1

y2

x1 x2

y2 − y1

x2 − x1

y

x

Figura 2.1

Observe que esse número é a razão entre a variação de ordenadas e a variação de abcissas dos dois pontos. Ele corresponde à tangente do ângulo que a reta, determinada por esses dois pontos, faz com o eixo horizontal.

No caso das retas verticais, cujos pontos têm uma mesma abcissa, dizemos informalmente que elas têm declividade infinita. A equa-ção delas tem a forma 0xx = , em que 0x é a abcissa comum a todos os pontos da reta.

Agora, sejam dados dois pontos, 1 1( , )P x y= e 2 2( , )Q x y= , em que

21 xx ≠ . Seja r a reta que passa por eles. Observe que o que chama-mos de reta é um conjunto de pontos que satisfaz uma equação line-ar em x e y, que é algo muito abstrato. Se esse conjunto realmente representa uma reta como a que estamos acostumados em geome-tria euclidiana plana, um ponto ( , )x y , desse conjunto, ( , )x y P≠ , é tal que a declividade da reta que passa por ( , )x y e P é a mesma que a da reta P e Q . Traduzindo para a linguagem matemática,

( , ) ,x y r∈ ( , ) Px y ≠ ⇔1

1

xxyy

−− 2 1

2 1

y yx x−

=−

,

ou seja,

2 11 1

2 1

( )y yy y x xx x−

− = −−

.

Essa equação é a que vamos chamar de equação reta-2 pontos, para chamar a nossa atenção sobre o que utilizamos para determinar uma equação de reta.

Observe que essa equação é da forma ax by c+ = .

Esta equação é aquela que apareceu na demonstração

da primeira proposição deste capítulo, como

tirada da cartola. Você lembra? Se não, retome a

discussão que realizamos no início deste capítulo.

24

Exemplo: Achar uma equação da reta que passa por (2,1) e (0,3).

Resolução: Usando a fórmula acima, temos que 3 11 ( 2)0 2

y x−− = −

−,

ou seja, 3+−= xy .

Note que, se 2 1

2 1

y ymx x−

=−

, então a equação reta-2 pontos pode ser

reescrita como 1 1( )y y m x x− = − que vamos chamar de equação reta-declividade mais um ponto.

Exemplo: Achar uma equação da reta que tem declividade 2 e pas-sa por (2,3).

Resolução: Pela fórmula acima, então, temos que uma equação é 3 2( 2)y x− = − , isto é, 12 −= xy .

Conclusão: se , e a b c ∈ , ax by c+ = é equação de reta se e só se 0 ou 0a b≠ ≠ . Ou seja, a única coisa que não pode ocorrer é ambos os coeficientes e a b serem nulos, pois assim a equação se torna 0 0x y c+ = , que ou não tem solução ( 0c ≠ ), ou todos os pa-res ordenados são soluções ( 0c = ), ou seja, o conjunto-solução é o plano todo.

Temos então um outro modo de achar equação de reta, dados dois pontos: eu substituo as coordenadas de cada ponto na equação da forma ax by c+ = , obtendo assim um sistema de duas equações, cujas incógnitas são , e a b c.

Exemplo: Achar equação da reta que passa por (0,1) e (2,3).

Resolução: Substituindo os dois pontos em ax by c+ = , obtenho

0 12 3

a b ca b c⋅ + ⋅ =

⋅ + ⋅ =

que é equivalente ao sistema 2 3b c

a b c=

⋅ + ⋅ =, ou seja,

−==

cacb

.

Atribuindo um valor qualquer a c, diferente de zero (pois a e b não podem ser ambos nulos), obtemos a reta cuja equação é 1x y− = − .

25

Exercício Achar equação para a reta1)

que passa por a) (1, 2) e (2,1);

que passa por b) (1,1) e (2, 2);

que passa por c) (0,1) e (0,5);

que passa por d) (2,0) e (0,0);

que tem declividade e) ( 2)− e passa por (0,0);

que tem declividade f) 3 e passa por (1,1).

2.2 Ângulo entre duas retasDuas retas distintas no plano podem ser ou concorrentes ou para-lelas. Retas paralelas são aquelas que têm mesma declividade. Por exemplo, as retas : 1r x = e : 3s x = − são paralelas; assim como as retas : 2 1q y x= + e : 2 3t y x= − . O caso de retas coincidentes é con-siderado em alguns livros como um caso particular de retas para-lelas. Notemos que duas equações de reta representam a mesma reta se e só se os coeficientes , e a b c de uma são múltiplos dos coe-ficientes respectivos da reta. Concluímos, então, que duas retas são concorrentes se e somente se suas declividades são distintas uma da outra.

ExercíciosSejam 2) ax by d+ = e cx dy f+ = , equações das retas e r s, res-pectivamente. Quais as condições que , , ,a b c d devem satisfa-zer para que as retas sejam concorrentes?

Verifique se cada par de equações seguinte corresponde a um 3) par de retas paralelas ou de retas coincidentes ou de retas con-correntes. Nestes casos, ache o ponto de interseção.

a)

=+=+

364132

yxyx

; b)

==+

36132

yyx

;

26

c)

=+=+

324132

yxyx ; d)

==

3612

yx

;

e)

=+=+

264132

yxyx

.

Um caso particular e interessante de retas concorrentes é quando elas são perpendiculares entre si. Note que o problema se resume às declividades das retas envolvidas. Excluindo o caso de pares de retas em que uma é vertical e a outra é horizontal, pares de retas do

tipo 1 1

2 2

y m x by m x b= +

= +, com 1 2 0m m⋅ ≠ , são perpendiculares se os ângu-

los 1 e 1 2 1 2 (0 < < < 180 )e , que as retas fazem respectivamente com o eixo horizontal, forem tais que 2 1 90 − = .

Os coeficientes angulares (a terminologia que se adapta melhor a esse caso) das retas são 1 1tan( )m = e 2 2tan( )m = .

Por relações trigonométricas, concluímos então que

2 2 11 1

1 1tan( ) tan( 90 )tan( )

mm

= = + = − = − .

Mostramos, deste modo, o seguinte resultado:

1 1 1 2 2 2 ( 0) e ( 0)y m x b m y m x b m= + ≠ = + ≠

21

1são perpendiculares mm

⇔ = − .

Raciocínio análogo poderia ser aplicado para calcular a tangente do ângulo entre duas retas concorrentes quaisquer, e r s, não per-pendiculares entre si. Vejamos os casos:

• 0 : ( ) e : , 0r x x vertical s y mx b m= = + ≠Há dois subcasos, que estão ilustrados pela figura 2.2. Verifi-que que, em ambos os subcasos:

1

1 1tan ( ) .tanm

= =

27

y rs

θ

θ = 90°− θ1

tg θ1 = m

θ1xx0

y r

s

θθ1

θ = θ1 − 90°tg θ1 = m

xx0

θ1

A

B

Figura 2.2

• 1 1 2 2 1 2: e : , ( 1)mr y x b s y m x b m m⋅= + = + ≠ −Verifique, de modo análogo ao caso anterior, que

1 2

1 2

tan ( ) .1m m

m m−

=+

Exercício

Calcule o ângulo entre as retas abaixo.4)

a)

==+

3122

yyx

; b) (2 3) 1

3y xy x

= − + +

= +;

c) 1

( 3 2)

y x

y x

= −

= +; d)

( 5 1) 2 1

( 5 1) 2 0

x y

x y

− + =

+ − =.

28

2.3 Distância de ponto a retaVamos considerar o problema de calcular a distância de um pon-to 0 0( , )P x y= a uma reta, que não é nem vertical nem horizontal,

:r y mx b= + . Vamos supor, obviamente, que P não pertence à reta. Quando falamos a distância do ponto à reta, queremos dizer com isso a menor distância, que corresponde ao comprimento do seg-mento que vai do ponto P à reta, perpendicularmente.

Uma solução seria encontrarmos a reta s, que passa por P e é per-pendicular a r; depois, acharmos o ponto Q de interseção das duas retas e, então, calcularmos a distância de P a Q.

Exemplo: Calcule a distância do ponto (1,0) à reta : 2 3r y x= + .

Resolução: A reta 1: 0 ( 1)2

s y x− = − − é a reta perpendicular a r

que passa por (1,0). Resolvendo o sistema

+−=

+=

21

21

32

xy

xy temos que

o ponto ( 1,1)Q = − é a interseção das duas retas. Logo, a distância pedida é dd( , ) 5P Q = .

Outra solução, que é uma versão resumida da primeira, seria achar o ponto Q da reta r tal que a declividade de P a Q é a de uma reta perpendicular a r. Ou seja, o ponto 1 1( , )Q x y= é a solução do sistema

0

0

1y mx by yx x m

= +

− = − −

.

A solução é 0 0

1 2 ,1

x m y m bxm

+ ⋅ + ⋅=

+ 1 1y mx b= + .

A distância de P a Q é, então, igual a 2 21 0 1 0( ) ( )x x y y− + − , ou

seja,

0 02

| |( , )1

b y m xd P Qm

− + ⋅=

+.

29

Exercícios Calcule a distância do ponto 5) P à reta r, em cada item abaixo.

(1, 5), : 2P r x= − = −a) ;

b) ( 1, 5), : 2 P r y= − − = ;

c) (1,1), : 2 P r y x= = − ;

d) (0,0), : 2 3P r y x= = − + ;

e) (0,1), : 2 3P r y x= = + ;

f) (3,1), :P r y x= = .

Calcule a área dos triângulos 6) ABC, dados abaixo, calculando a altura pela fórmula de distância de ponto a reta.

(1,0), = (0,0), (0, -2)A B C= =a) ;

(1,1), (1,3), (2,5)A B C= = =b) ;

(0,1), (0, 4), (1,1)A B C= = =c) ;

(1,1), =(3,0), (4,3)A B C= =d) ;

e) (0, 2), (2,0),C (1,4)A B= = = ;

(0,0), ( 1,1), (1,1)A B C= = − =f) .

Observação avançada (no sentido de avançarmos até a unidade seguinte a essa – Álgebra Vetorial):

A área de um triângulo pode ser calculada via álgebra vetorial, sub-mergindo três pontos do plano cartesiano nos três pontos correspon-dentes a eles no plano 0z = . Por exemplo, os pontos = (1,1), (2,3) e (3, 4)A B C= =, = (1,1), (2,3) e (3, 4)A B C= = e = (1,1), (2,3) e (3, 4)A B C= = corresponderiam a ' (1,1,0), ' (2,3,0) e ' (3, 4,0)A B C= = = .

Esses pontos dão origem aos vetores (2 1) (3 1)a i j= − + −

e (3 1) (4 1)b i j= − + −

, em que i

, j

e k

são vetores unitários na di-reção dos 3 eixos ortogonais do espaço cartesiano (observe que as coordenadas do vetor a são as diferenças das coordenadas respec-tivas de 'A e 'B ; as de b

, as diferenças das de 'A e 'C ). No espaço cartesiano, podemos definir uma função que leva dois trios ordena-

30

dos, 1 1 1( , , )x y z e 2 2 2( , , )x y z , em um terceiro trio ordenado, chama-do de produto vetorial, cujas coordenadas são

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1( . . , ( . . ), . . )y z y z x z x z x y x y− − − − .

O cálculo dessas coordenadas segue a seguinte regra prática:

=

222

111

zyxzyxkji

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1( . . ) ( . . ) ( . . )y z y z i x z x z j x y x y k− − − + −

.

No caso acima, aplicando-se a regra, vê-se que a b×

, o produto vetorial de a por b

(nessa ordem), é o vetor c k= −

. Mostra-se, por outro lado, que a norma desse vetor (ou do trio ordenado formado pelas coordenadas do vetor) é duas vezes a área do triângulo for-mado pela origem e os dois pontos cujas coordenadas são os trios ordenados dados pelas coordenadas de a e b

. Ou, no nosso caso, do triângulo ' ' 'A B C . Note que as coordenadas de a e b

corres-pondem a dois pontos, e P Q , e que o triângulo de vértices OPQ é congruente ao triângulo ' ' 'A B C , como se 'A fosse trazido para a origem, 'B a P (ponto cujas coordenadas são as diferenças das de 'e 'A B ), e 'C a Q (ponto cujas coordenadas são as diferenças das de 'e 'A C ).

Finalmente, a área do triângulo ABC, que é a área do triângulo ' ' 'A B C , é 1, que é a norma do trio (0,0, 1)− , que são as coordena-

das do vetor kji

−+ .0.0 .

O uso de álgebra vetorial em geometria analítica pode ser visto em [1], [8] e [9].

ExercíciosAchar uma equação de reta em cada item abaixo.7)

que passa por a) (0, 0) e (0, 2)− ;

que passa por b) (1, 0) e (0, 2);

mediatriz do segmento c) AB, em que ( 3, 0)A = − e (1, 0)B = ;

mediatriz do segmento d) AB, em que (1, 1)A = e (3, 1)B = ;

paralela à reta de equação e) 1x y+ = e que passa por (0, 2);

31

paralela à reta de equação f) 1x = e que passa por (3, 2);

paralela à reta de equação g) 2 1x y+ = e que passa por (1, 1);

paralela à reta de equação h) 2 1x y+ = , cuja distância a essa reta é 2;

cuja declividade é i) 3 e passa por ( 1, 1)− − ;

perpendicular à reta de equação j) 2 1x y+ = e que passa por (1, 2);

mediatriz do segmento k) AB, em que (1,1)A = e (3,5)B = ;

bissetriz do (menor) ângulo formado entre a reta de equa-l) ção 1x y+ = e a reta de equação 2 1x y+ = (lembrar que a bissetriz é o lugar geométrico dos pontos no interior do ân-gulo que eqüidistam das retas dadas).

Calcular a distância pedida em cada item abaixo.8)

entre o ponto a) (0, 2) e a reta de equação 1x y+ = ;

entre as retas b) : 1r x y+ = e : 2s x y+ = ;

entre o ponto c) (1, 2)− e a circunferência 2 2( 1) 1x y+ + = ;

entre as circunferências d) 2 2( 1) 1x y+ + = e 2 2( 1) ( 3) 1x y− + − = ;

entre a reta e) : 2r x = e a circunferência 2 2( 1) ( 3) 1x y− + − = ;

entre a reta f) : 1r x y+ = e a circunferência 2 2( 1) 1x y+ + = .

Sejam 9) (1,1)A = , ( 1, 1)B = − − . Em cada item abaixo, ache as co-ordenadas do(s) ponto(s) C de maneira que o(s) triângulo(s) ABC satisfaça(m) as condições dadas.

a) AC é hipotenusa de comprimento 4;

b) BC é hipotenusa de comprimento 3;

c) ABC é isósceles e a altura em relação a AB é 3;

d) AB é hipotenusa e a altura do triângulo em relação a ela é 3;

e) A= 30 e B= 60;

f) A= 90 e B= 60;

g) ˆ ˆA= B= 30.

32

Comentamos no início do livro que a Geometria Analítica Plana é um modelo da Geometria Euclidiana Plana. Isto significa que a in-terpretação dos conceitos primitivos da Geometria Euclidiana Plana no Plano Cartesiano resulta na veracidade dos axiomas da teoria no modelo. Há cinco conceitos primitivos na Geometria Euclidiana Plana que são as bases para se definirem todos os outros termos geométricos da teoria. São eles: ponto, reta, relação de incidência, relação de vizinhança e relação de congruência.

A relação de incidência tem a ver com as expressões seguintes: “a reta r passa pelo ponto P”, “o ponto P pertence à reta r”, “o ponto P é incidente com a reta r” “por dois pontos passa uma única reta”, etc. A relação de vizinhança é simplesmente a relação dada pela expres-são “o pontoC está entre os pontos A e B”. Finalmente, a relação de congruência é a que está contida nas expressões “os lados AB e AC têm o mesmo tamanho”, “os ângulos de um triângulo eqüilátero são iguais”. Ou seja, é a relação que nos permite dizer que ângulos têm o mesmo número de graus ou que segmentos têm o mesmo tamanho (congruência de triângulos é um conceito definido). Mais informações sobre a axiomatização da Geometria Euclidiana Plana pode ser vista no excelente livro do Greenberg (ver bibliografia co-mentada).

Na Geometria Analítica Plana, pontos são interpretados como pares ordenados; retas, como conjunto de pares ordenados que satisfazem uma equação linear em x e y; a relação de incidência é interpretada como a relação de pertinência entre um par ordenado e um con-junto de pares ordenados; a relação de vizinhança é interpretada assim: C está entre ( , ')A a a= e ( , ')B b b= se e só se existe ,t, 0 1,t< < , tal que ((1 ) ’, (1 ) ’).C t a ta t b tb= − + − + Finalmente, a relação de congruência: AB CD= se e só se ( , ) ( , )d A B d C D= ; = se e só se tan tan = , em que as tangentes são dadas pela fórmula do ângulo entre duas retas.

É um bom exercício mostrar que os axiomas da Geometria Euclidia-na Plana valem na Geometria Analítica Plana. Fazer demonstrações de teoremas geométricos via Geometria Analítica é bastante inte-ressante. Por exemplo, vamos demonstrar o seguinte teorema:

33

Seja 10) ABC um triângulo. Mostre que as mediatrizes dos la-dos encontram-se em um ponto, que é dito o circuncentro do triângulo.

Demonstração: Seja ABC um triângulo qualquer. Escolha eixos carte-sianos de tal modo que o eixo das ordenadas coincida com a mediatriz do lado AB e o eixo das abcissas contenha o lado AB. Assim, o pon-to A tem coordenadas ( ,0)−a , o ponto B tem coordenadas ( ,0)a ,

0a > , e o ponto C tem coordenadas ( , )b c . Basta mostrar, então, que a interseção das mediatrizes de AC e BC está sobre o eixo das orde-nadas (uma vez que a mediatriz de AB é o eixo das ordenadas).

A(−a , 0)

y

x

C

B(a , 0)

Figura 2.4

A mediatriz de AC , a reta r, contém o ponto médio de AC,

,2 2

a b c+

, e é perpendicular à AC. Logo, a equação de r é

2 2c a b a by x

c− + − = −

.

A mediatriz de BC , a reta s , contém o ponto médio de BC ,

,2 2

a b c− +

, e é perpendicular a BC . Logo, a equação de s é

2 2c a b b ay x

c+ − − = − −

.

A interseção dessas duas mediatrizes é o ponto cujas coordenadas são dadas pela solução do seguinte sistema:

2 2

2 2

c a b a by xc

c a b b ay xc

− + − = −

+ − − = − −

, ou seja,

34

2 2

2 2

a b b a a b a bx xc cc a b b ay x

c

+ − − + − − = −

+ − − = − −

, isto é,

+−=

=

ccbay

x

2

0222

.

Logo, o ponto está sobre o eixo das abcissas, como queríamos mostrar.

Seja 11) ABC um triângulo. Escolha um sistema de eixos carte-sianos tal que ( ,0)A a= , ( ,0)B b= e (0, )C c= . Mostre que as alturas dos lados encontram-se em um ponto, que é dito o or-tocentro do triângulo (sugestão: mostre que as alturas em rela-ção a AC e a BC encontram-se no eixo das ordenadas, que é o suporte da altura em relação a AB ).

Seja 12) ABC um triângulo. Escolha um sistema de eixos carte-sianos tal que ( ,0)A a= − , ( ,0)B a= e ( , )C b c= . Mostre que as medianas dos lados encontram-se em um ponto, que é dito o baricentro do triângulo (sugestão: mostre que as medianas de AC e BC encontram-se sobre a mediana de AB).

Resumodeclividade de uma reta não vertical;•

equação da reta, dados dois pontos;•

equação da reta não vertical, dados um ponto e a declividade;•

retas paralelas;•

retas perpendiculares;•

distância de ponto a reta;•

distância entre duas retas paralelas;•

ângulo entre retas concorrentes.•

35

Bibliografia comentadaBARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana. 6. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2004.

LIMA, E. L. de. Coordenadas no plano. 4. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2002.

LIMA, E. L. de. Coordenadas no espaço. 3. ed. Rio de Janeiro: SBM, 1998.

Esses dois livros são complementares. O primeiro é mais próximo ao que apresentamos até aqui. São livros essenciais, no sentido que há muitos exercícios, alguns elementares, para que o leitor aprofunde seu conheci-mento geométrico no plano cartesiano. Recomendado.

GREENBERG, M. J. Euclidean & non-Euclidean geometry: development and history. 3. ed. New York: W. H. Freeman, 1993.

Esse livro é a melhor fonte para um estudo axiomático da Geometria Eu-clidiana Plana que eu conheço. É um livro rigoroso e didático (a junção dessas qualidades é rara num livro). Além disso, é um excelente livro para se iniciar nas Geometrias não-Euclidianas.

Capítulo 3Cônicas

Capítulo 3Cônicas

Este capítulo apresenta outra classe de lugares geométricos – aqueles que são descritos por uma equação de segundo grau, envolvendo as coordenadas dos seus pontos. Ao longo do ca-pítulo, procuramos envolver o leitor em deduções algébricas – uma cadeia lógica de equações, cujos elos são operações algébricas, que são bem apresentadas através de produ-tos notáveis. Vemos aqui, também, dois movimentos rígi-dos que fazemos com os eixos: translação e rotação. Essas mudanças de variáveis chamam a nossa atenção para o fato de que a descrição dos objetos geométricos no plano cartesiano depende bastante dos eixos de referência. Por outro lado, tanto a translação como a rotação preservam as classes de lugares geométricos descritos por equações polinomiais. Por exemplo, uma equação de segundo grau permanece de segundo grau depois da mudança de variá-veis dada por esses movimentos. O objetivo final deste ca-pítulo é a identificação da cônica a partir dos coeficientes dos termos de segundo grau de sua equação.

3.1 IntroduçãoOs geômetras gregos anteriores a Apolônio de Pérgamo necessita-vam de três tipos de cone para obterem seções cônicas pela interse-ção de um plano (sempre) perpendicular a uma geratriz qualquer de um cone circular reto. Notemos que os gregos, naquela época, imaginavam um cone circular reto como sendo gerado pela revolu-ção de duas retas em torno de um eixo de simetria (conforme figura 3.1). Se o ângulo , que as duas retas geratrizes formam entre si, for agudo, teremos uma elipse; se for reto, uma parábola; se for obtuso, uma hipérbole. A palavra elipse, na sua etimologia, significava que se alcançaria a outra geratriz quando uma das duas fosse intercepta-da pelo plano; a parábola, que o plano era paralelo à outra geratriz; a hipérbole, que o plano se afastaria cada vez mais da outra geratriz.

σ

Figura 3.1

40

Foi Apolônio quem mostrou que bastaria um cone circular reto de duas folhas qualquer para se obter as três (seções) cônicas; o que deveria va-riar era o ângulo de interseção do plano com uma das duas geratrizes. Na verdade, basta fazer a revolução de apenas uma reta (a geratriz) para gerar um cone de 2 folhas, conforme a definição seguinte.

Definição 3.1: Consideremos um cone de duas folhas, uma figura que pode ser gerada pela revolução de uma reta g (geratriz) em torno de outra reta e (eixo) que a corta segundo um ângulo em um ponto V (veja a figura 3.2). Chamamos de geratriz qualquer reta do cone que passa por V . Consideremos agora o conjunto de todos os planos que não passam por V . A curva que resulta da in-terseção de um plano desse conjunto com o cone é dita uma seção cônica ou, simplesmente, uma cônica (veja a figura 3.4).

V

V

e

Figura 3.2

Note que a interseção de um plano, que passa por V , com o cone pode resultar ou no ponto V , ou em uma reta (interseção do cone com um plano tangente a ele) ou em duas retas (interseção do cone com um plano secante que contenha V ), que alguns autores cha-mam de cônicas degeneradas (veja a figura 3.3).

(um ponto)(r1 e r2: um par deretas concorrentes)

r1 r2

V V

α

α

V

α

(r: uma reta)

rA B C

Figura 3.3

Apolônio de Pérgamo foi um matemático grego da escola alexandrina (c. 261 a.C.), chamado de o grande geômetra. Viveu em Alexandria, Éfeso e Pérgamo. Sua principal obra é um tratado intitulado As cônicas, trabalho composto de oito livros, dos quais sobreviveram sete. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Apol%C3% B4nio_de_Perga.

41

Um conjunto de pontos que satisfaz uma propriedade geométrica é dito um lugar geométrico. O Teorema de Apolônio, enunciado abai-xo, afirma que uma cônica é um dos três lugares geométricos defi-nidos a seguir:

elipse• – seja dado um número positivo 2a, sejam dados dois pontos fixos 1F e 2F (ditos focos), cuja distância entre si, 2c, é me-nor que 2a. O conjunto dos pontos P, tais que a soma das dis-tâncias de P a 1F e de P a 2F é igual a 2a, é dito uma elipse.

parábola• – seja dada uma reta (diretriz) d, seja dado um ponto F (foco) fora da reta. O conjunto dos pontos, tais que a distân-cia de cada ponto à diretriz é igual à distância dele até o foco, é dito uma parábola.

hipérbole• - seja dado um número positivo 2a, sejam dados dois pontos fixos 1F e 2F (ditos focos), cuja distância entre si, 2 ,c é maior que 2a. O conjunto dos pontos P, tais que a diferen-ça das distâncias de P a 1F e de P a 2F é igual a 2a± , é dito uma hipérbole.

Figura 3.4 - Seções cônicas

Teorema de Apolônio: Seja C um cone de duas folhas, de vértice V . Seja p um plano que não contém V . Consideremos a cônica obtida pela intersecção de C com p . Então:

se • p não é paralelo a nenhuma geratriz, então a cônica é uma elipse. Observe que p corta o eixo e em um ângulo e que

2p

< ≤ (note que, quando 2p

= , a curva é uma circunfe-

rência, que é uma elipse, então);

Paralelo a nenhuma geratriz: o plano paralelo

a p passando por V não contém nenhuma

geratriz do cone.

42

se • p é paralelo a somente uma geratriz, a cônica é uma pará-bola (observe que, nesse caso, = );

se • p é paralelo a duas geratrizes, a cônica é uma hipérbole (note que, se p cortar o eixo e, 0 < < ).

θθθ

α

α > θ α = θ α < θ

α

α

Elipse Parábola Hipérbole

V V V

π

π π

Figura 3.5

Não apresentaremos aqui a prova desse teorema, também chamada de prova de Dandelin, que utiliza esferas inscritas em um cone — essas esferas, hoje, são conhecidas como esferas de Dandelin, em homenagem a esse matemático belga. A prova pode ser encontrada em alguns livros (por exemplo, em [7]). Há vários sítios na rede com essa prova, que depende muito de uma boa representação gráfica para ser bem compreendida. A seguir, um pouco de teoria sobre cada cônica.

3.2 ParábolaDefinição 3.2. Dados uma reta r e um ponto F no plano 2

, tais que F não pertence a r, uma parábola p de foco F e diretriz r é o conjunto dos pontos P eqüidistantes de F e de r , isto é,

Paralelo a somente uma geratriz: o plano paralelo a p passando por V contém somente uma geratriz do cone.

Paralelo a duas geratrizes: o plano paralelo a p passando por V contém duas geratrizes do cone.

43

2{P | (P,F) (P, )}p d d r= ∈ = .

F

r

Figura 3.6

Uma parábola no plano cartesiano é descrita por uma equação al-gébrica, isto é, podemos considerar uma parábola qualquer como um conjunto de pontos ( , )x y do plano tais que suas coordenadas x e y satisfazem uma certa equação.

Exemplo 1: Considere a reta 5:

4r y -

= e o ponto 32,

4F - =

. Seja

( , )x y um ponto P arbitrário da parábola p, definida a partir dessa diretriz e desse foco. Temos que

( , ) ( , )d P F d P r= ⇔ 2

2 3 5( 2)4 4

- + + = + ⇔

x y y

2 22 3 5( 2)

4 4x y y ⇔ - + + = +

;

que, por sua vez, é equivalente à equação

.342 +-= xxy

Dada agora a função quadrática :g → definida por 2( ) 4 3g x x x= - + , a parábola acima é o gráfico de g.

Parábola é a primeira cônica ao qual somos apresentados, ainda no nível fundamental, como sendo a curva que representa o gráfico de uma função quadrática no plano cartesiano.

Lembre-se que o gráfico da função g é o conjunto

{( , ( )) : }∈x g x x .

44

Definição 3.3. Uma função :f → é dita ser quadrática (ou do segundo grau) se, e somente se, existirem constantes reais , e a b c, com 0a ≠ , tais que 2, ( )x f x ax bx c∀ ∈ = + + .

As funções :f → dadas por 2( )f x x= , 2( ) ( 3)f x x= + , ou 2( ) 0,5 0,9f x x x= - + são, todas, exemplos de funções quadráticas.

Observe que nem toda parábola é o gráfico de uma função quadrá-tica, como mostra o exemplo seguinte.

Exemplo 2: Vamos obter uma equação para a parábola de foco ( 1,1)F = - e diretriz :r y x= . Se ( , )P x y= é um ponto arbitrário

dessa parábola, temos:

2 2( , ) ( , ) ( 1) ( 1)2

y xd P F d P r x y

-= ⇒ + + - = .

Calculando, obtemos (verifique!) que essa equação é equivalente à equação

2 22 4 4 4 0.x xy y x y+ + + - + =

Note que a equação encontrada no exemplo 1 corresponde a uma equação que define uma função quadrática. Porém, a equação do exemplo 2 não corresponde a uma equação de função quadrática, pois dado um valor arbitrário para x (com exceção de apenas um valor, descubra qual) existem dois valores possíveis para y . A figu-ra abaixo nos dá um esboço desta parábola, cujos eixos de simetria não são paralelos aos eixos cartesianos.

dy

F

x

Figura 3.7

45

Exemplo 3: Vamos obter uma equação para a parábola de foco (0, )F p= e diretriz : = -r y p, 0p > . Se ( , )P x y= é um ponto arbi-

trário dessa parábola, temos:

( , ) ( , )d P F d P r= ⇔ 2 2( 0) ( )- + - = + ⇔x y p y p

22 23( 0) ( )

4 ⇔ - + + = + ⇔

x y y p

2 4 0⇔ - =x yp .

Note que se 14

=pa

, então obtemos a parábola 2=y ax . Deste modo,

o foco e a diretriz da parábola 2=y ax são, respectivamente,

10,4

a

e 1:

4= -r y

a.

Exercício Obtenha uma equação para as parábolas, cujo foco e cuja dire-1) triz são dados abaixo, esboçando-as:

a) (0, 1), : 1F r y= - = ;

b) 1 1,0 , :4 4

F r x = = -

;

c) (0,0), : 1F r y x= = + .

O eixo de uma parábola é, por definição, a reta perpendicular à sua diretriz que passa por seu foco. Esse eixo é um eixo de simetria da figura (a definição de parábola resulta em uma figura simétrica em relação à reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz) . O eixo de uma parábola é uma reta vertical se, e somente se, a diretriz dessa parábola é uma reta horizontal. O eixo de simetria da parábola intercepta-a em um ponto chamado de vértice. Vamos mostrar que a equação de uma parábola é da forma 2y ax bx c= + + , com 0≠a , se, e somente se, o seu eixo de simetria é paralelo ao eixo das ordenadas.

Proposição 3.1. O gráfico de uma função quadrática é uma parábo-la, cujo eixo é paralelo ao eixo das ordenadas.

46

Demonstração: Considere a função quadrática 2y ax bx c= + + , em que 0≠a . Note que essa equação é equivalente à equação

2 22

24 4b b by a x x ca a a

= + + - +

.

Denotando 2 4-b ac por ∆, essa equação também é equivalente à equação

2

4 2by a x

a a∆ + = +

.

Fazendo '4∆

= +y ya

e

'2

= +bx xa

, podemos reescrever esta equa-

ção da seguinte forma 2' ( ')=y a x , que corresponde (ver exemplo 3)

a uma parábola cujos foco e diretriz, no eixo 0 '0 'x y , são 10,

4 a

e 1:

4= -r y

a, respectivamente (ver figura 3.8).

y y'

x'

x0

∆4a−

b2a−

Figura 3.8

Deste modo, no sistema 0 0x y , 2y ax bx c= + + é a equação da pa-

rábola cujo foco é o ponto 1,

2 4ba a

-∆ + -

e cuja diretriz é a reta

ay

41-∆-

= .

Por conseguinte, o seu eixo de simetria, que é perpendicular à diretriz, é uma reta vertical, isto é, paralelo ao eixo das ordenadas.

47

Exercício Obtenha o foco e a diretriz das parábolas dadas por 2)

a) ;2xy = ;

b) ;22 += xy ;

c) ;442 ++= xxy ;

d) ;2xy -= ;

e) 272 2 +-= xxy ;

f) .2 2 xxy +-=

Vamos mostrar agora a recíproca da proposição anterior.

Proposição 3.2. Uma parábola cujo eixo é uma reta vertical é o grá-fico de uma função quadrática.

Demonstração: Seja p uma parábola com eixo vertical. Logo, sua di-retriz é uma reta horizontal: y c= , em que c denota uma constante. Seja ( , )F r s= seu foco. Como F não pertence à diretriz, s c≠ . Assim, para todo ponto ( , )x y da parábola, temos que

2 2( ) ( )x r y s y c- + - = - .

Logo, 2 2 2 22( ) 2s c y x rx r s c- = - + + - .

Como s ≠ c, podemos definir

1:2( )

=-

as c

, :( )

= --rb

s c,

2 2 2

: .2( )

r s ccs c

+ -=

-

Assim, a equação acima fica na forma 2y ax bx c= + + , que define uma função quadrática.

Exercício Aplicando a técnica utilizada na demonstração da proposição 3) acima, obtenha funções quadráticas cujos gráficos são as pará-bolas com foco e diretriz, dadas a seguir:

48

a) 3 1 ,0 , :2 2

F r y = = -

;

b) 7 1,0 , :2 2

F r y = =

;

c) 3 50, , :4 4

F r y = - = -

.

Observação: No exercício 1 b), vimos que uma equação da parábola

com foco 1 ,04

e diretriz 1:

4= -r y

a é 2yx = , cujo traçado cor-

responde à união dos gráficos das funções xy = e xy -= , em que 0≥x . Da mesma forma, o gráfico da função 00 xxyy -=- ,

0xx ≥ , é um dos ramos da parábola 20 0( )y y x x- = - , cujo eixo de

simetria é a reta 0yy = e o vértice, o ponto 0 0( , )x y . Note que

20 0 0 0( )y y x x y y x x- = - ⇒ - = -

mas que a recíproca não é válida.

Exercício Esboce o gráfico das funções abaixo.4)

a) 12 +-= xy ;

b) 12 +--= xy ;

c) 12 ---= xy ;

d) 122 +-= xy .

Uma parábola, cujo eixo é paralelo é paralelo a um dos eixos coordenados, é descrita por uma das duas (famílias de) equa-ções seguintes (a equação normal de uma parábola):

20 0( )y y x x- = -• (o eixo de simetria é a reta 0=y y );

20 0( )x x y y- = -• (o eixo de simetria é a reta 0=x x ).

49

3.3 ElipseDefinição 3.4. Seja dado um número positivo 2a, sejam dados dois pontos fixos 1 2eF F (ditos focos), cuja distância entre si, 2c, é me-

nor que 2a. A elipse E de focos 1 2eF F , de excentricidade ca

, é o

conjunto dos pontos P, tais que a soma das distâncias de P a 1F e de P a 2F é igual a 2a, isto é,

21 2{ | ( , ) ( , ) 2 }E P d P F d P F a= ∈ + =

.

Uma elipse no plano cartesiano é descrita por uma equação algé-brica, isto é, podemos representar uma elipse qualquer como um conjunto de pontos ( , )x y , do plano cartesiano, tais que suas coorde-nadas x e y satisfazem uma certa equação.

Exemplo 1: Considere os focos 1 2( ,0), ( ,0)F c F c= - = e 1 2( ,0), ( ,0)F c F c= - = , 0c > , e a ex-

centricidade ca

. Seja ( , )x y um ponto P arbitrário da elipse, defini-

da a partir desses dados. Temos que

1 2( , ) ( , ) 2 d P F d P F a+ = ⇔

2 2 2 2( ) ( ) 2⇔ + + + - + = ⇔x c y x c y a

2 2 2 2( ) 2 ( )x c y a x c y⇔ + + = - - + ⇔

2 2( )x c y⇔ + + = 2 2 2 2 24 4 ( ) ( )- - + + - + ⇔a a x c y x c y

2 2 2( )a x c y a cx⇔ - + = - ⇔

2 2 2 2 2 4 2 2 2( 2 ) 2a x cx c a y a a cx c x⇔ - + + = - + ⇔

⇔-=+-⇔ 224222222 caayaxcxa

2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )a c x a y a a c⇔ - + = - ⇔

122

2

2

2

=-

+⇔ca

yax

.

A excentricidade de uma elipse é um número entre

0 e 1 0 1ca

< <

, que

determina a sua forma. Se este número for

próximo de zero, então a elipse se aproxima de uma circunferência e se

for próximo de 1 então a elipse se aproxima de um

segmento de reta.

50

Definindo o número positivo b tal que 222 cab -= , temos que esta equação é equivalente a

12

2

2

2

=+by

ax

que é uma equação da elipse dada.

b a

(−c, 0) (c, 0)

Figura 3.9

Observações:

se um ponto • ( , )x y satisfaz a equação acima, então ( , )x y- tam-bém a satisfaz (simetria em relação ao eixo das ordenadas);

se um ponto • ( , )x y satisfaz a equação acima, então ( , )x y- também a satisfaz (simetria em relação ao eixo das abcissas).

Esses eixos são os eixos de simetria da elipse. Note que, nesse caso, a figura também é simétrica em relação à origem (0,0) , pois, se ( , )x y satisfaz a equação, ( , )x y- - também a satisfaz.

Note que se 1 2(0, ), (0, )F c F c= - = e a excentricidade for a mes-ma, a elipse definida a partir desses dados será a mesma que a resultante de uma rotação de 90° da elipse acima (ver figura 3.10). Sua equação será, agora,

12

2

2

2

=+bx

ay

.

Agora, se girarmos a elipse de 45o, as coordenadas dos focos são diferentes:

1 2, , ,2 2 2 2

c c c cF F = - - =

.

a

b

(0,c)

(0,−c)

Figura 3.10

51

Vamos calcular a sua equação, como antes:

1 2( , ) ( , ) 2 d P F d P F a+ = ⇔

⇔=

-+

-+

++

+⇔ acycxcycx 2

2222

2222

-+

--=

++

+⇔

2222

222

22cycxacycx

-+

--

-+

-+=

++

+⇔

22222

22

224

224

22cycxacycxacycx

22222

22cycxacycxa

xyccyacxaycxcacyacxa 2

2222224

22

22

22

22

2222

xycycxcacayaxa 2

22224222222

22

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2(2 ) (2 ) 2 2( )a c x a c y c xy a a c⇔ - + - - = - ⇔

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2( ) 2a b x a b y a b xy a b⇔ + + + - - = .

b

a

Figura 3.11

52

Exercício Ache equação para a elipse5)

cujos focos são a) ( 3,0)- e (3,0), e cuja excentricidade é 35

;

cujos focos são b) (0, 4) e (0, 4)- , e cuja excentricidade é 45

;

cujos focos são c) 0( ,0)c x- + e 0( ,0)c x+ ,

e cuja excentricidade é ca

;

cujos focos são d) 0(0, )c y- + e 0(0, )c y+ ,

e cuja excentricidade é ca

;

cujos focos são e) 0 0( , )c x y- + e 0 0( , )c x y+ ,

e cuja excentricidade é ca

;

cujos focos são f) 0 0( , )x c y- + e 0 0( , )x c y+ ,

e cuja excentricidade é ca

;

cujos focos são g) ( 2 2, 2 2)- - e (2 2,2 2),

e cuja excentricidade é 45

;

cujos focos são h) ( 3,3) e (3,3)- , e passa pelo ponto (0,7);

cujos focos são i) ( 3, 1) e (5, 1)- - - , e passa pelo ponto (1, 2).

3.4 HipérboleDefinição 3.5. Seja dado um número positivo 2a, sejam dados dois pontos fixos 1 2eF F (ditos focos), cuja distância entre si, 2c, é maior

que 2a. A hipérbole H de focos 1 2eF F , de excentricidade ca

, é o

conjunto dos pontos P , tais que o valor absoluto da diferença das distâncias de P a 1F e de P a 2F é igual a 2a, isto é,

21 2{ ; | ( , ) ( , ) | 2 }.H P d P F d P F a= ∈ - =

A excentricidade de uma hipérbole é um número

maior do que 1 1 ca

<

que está relacionado com a abertura da hipérbole. Quanto maior ele for, maior é a abertura da hipérbole.

53

Como anteriormente, uma hipérbole no plano cartesiano é descrita por uma equação algébrica, isto é, é um conjunto de pontos ( , )x y , do plano cartesiano, tais que suas coordenadas x e y satisfazem uma certa equação.

Exemplo 1: Considere os focos 1 2( ,0), ( ,0)F c F c= - = e a excentrici-

dade ca

. Seja ( , )x y um ponto P arbitrário da hipérbole, definida a

partir desses dados. Temos que

1 2| ( , ) ( , ) | 2 d P F d P F a- = ⇔

2 2 2 2( ) ( ) 2⇔ + + - - + = ⇔x c y x c y a

2 2 2 2 2 2( ( ) ( ) ) 4x c y x c y a⇔ + + - - + = ⇔

2 2 2 2( ) ( )x c y x c y⇔ + + + - + =

2 2 2 2 24 2 ( ) ( )a x c y x c y= + + + - + ⇔

2 2 2 2 2 2 2 22 ( ) ( )x y c a x c y x c y⇔ + + - = + + - + ⇔

2 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 ) [( ) ][( ) ]x y c a x c y x c y⇔ + + - = + + - + ⇔

=--+-+++++⇔ 2222222222224444 4424224 acaycyaxcxyxacyx

2 2 2 2 2 2 4( ) [( ) ( ) ]x c y x c x c y= - + + + - + ⇔

⇔++-=-⇔ 222222224 44444 ayaxcxaca

⇔-=--⇔ 422222222 acayaaxcx

2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )c a x a y a c a⇔ - - = - ⇔

122

2

2

2

=-

-⇔ac

yax

.

Definindo o número positivo b, tal que, 222 acb -= , temos que esta equação é equivalente a

54

12

2

2

2

=-by

ax

,

que é uma equação da hipérbole dada.

(−c,0) (c,0)(a,0)(−a,0)

Figura 3.12

Observações:

se um ponto • ( , )x y satisfaz a equação acima, então ( , )x y- tam-bém a satisfaz (simetria em relação ao eixo das ordenadas);

se um ponto • ( , )x y satisfaz a equação acima, então ( , )x y- tam-bém a satisfaz (simetria em relação ao eixo das abcissas);

se um ponto • ( , )x y satisfaz a equação acima, então ( , )x y- - também a satisfaz (simetria em relação à origem (0,0) );

os pontos dessa hipérbole têm abcissas não nulas e •2 2 2 2

2 2 2 2

y b b bx a x a

= - ≤ . Logo, 2

2 22≤

by xa

, ou seja, os pontos dessa

hipérbole estão entre as retas xaby ±= ;

os pontos da hipérbole, quando • x tende a ∞± , tendem a se

aproximar das retas xaby ±= . Por isso, chamamos essas retas

de assíntotas da hipérbole. Note que se 1 2(0, ), (0, )F c F c= - = e a excentricidade for a mesma, a hipérbole definida a partir desses dados será a mesma que a resul-tante de uma rotação de 90 da hipérbole acima.

55

Sua equação será, agora, 12

2

2

2

=-bx

ay e suas assíntotas, x

bay ±= .

(0,−c)

(0,c)

(0,a)

(0,−a)

Figura 3.13

A hipérbole de excentricidade ca

e focos

1 2, , ,2 2 2 2

c c c cF F = - - =

pode ser calculada, a partir da definição de hipérbole, analogamente a como foi feito com a elipse:

1 2| ( , ) ( , ) | 2d P F d P F a- = ⇔

2 2 2 2

22 2 2 2

c c c cx y x y a ⇔ + + + - - + - = ⇔

=

-+

-+

++

+⇔

2222

2222cycxcycx

-+

-

++

++=

22222

222224 cycxcycxa

56

2 2 2 22⇔ + + - =x y c a

2 2 22 2 22 2 2 22 ( )

2 2 2

= - + - + - + - ⇔

c c cx y xy c x y

2 2 2 2 2( 2 )⇔ + + - =x y c a

2 2 22 2 22 2 2 22 ( )

2 2 2c c cx y xy c x y

= - + - + - + - ⇔

=--+-+++++⇔ 2222222222224444 4424224 acaycyaxcxyxacyx

4 4 44 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2

4 4 2c c cx c x y c y x y xyc c x c y c xy⇔ = + - + + - + + - + + - ⇔

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 42 2 2 2 2c x a x c y a y c xy c a a⇔ - + - + = - ⇔

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2 2( )c a x a x c a y a y c xy c a a⇔ - - + - - + = - ⇔

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2( ) 2b a x b a y b a xy b a⇔ - + - + + = .

Observe na equação acima que, se 2== ab , então 2=c . Logo, 1

=yx

, e o gráfico da hipérbole, nesse caso, é o seguinte:

( ),2 2

( ),2 2− −

Figura 3.14

Exercício Ache equação para a hipérbole6)

cujos focos são a) ( 5,0) e (5,0)- , e cuja excentricidade é 53

;

57

cujos focos são b) (0, 5) e (0,5)- , e cuja excentricidade é 54

;

cujos focos são c) 0 0( ,0) e ( ,0)c x c x- + + ,

e cuja excentricidade é ca

;

cujos focos são d) 0(0, )c y- + e 0(0, )c y+ ,

e cuja excentricidade é ca

;

cujos focos são e) 0 0( , )c x y- + e 0 0( , )c x y+ ,

e cuja excentricidade é ca

;

cujos focos são f) 0 0( , )x c y- + e 0 0( , )x c y+ ,

e cuja excentricidade é ca

;

cujos focos são g) 5 5,2 2

- -

e 5 5,2 2

,

e cuja excentricidade é 54

;

cujos focos são h) ( 5,3) e (5,3)- , e passa pelo ponto (3,3);

cujos focos são i) ( 3, 6) e (-3,4)- - , e passa pelo ponto ( 3,3)- .

3.5 Rotação de eixosVeremos que uma curva no plano cartesiano é uma cônica somente se as coordenadas cartesianas de seus pontos satisfazem uma equa-ção do tipo

2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + = .

Além disso, uma cônica c será identificada por uma regra simples:

• c é uma hipérbole somente se 2 4 0B AC- > ;

• c é uma elipse somente se 2 4 0B AC- < ;

• c é uma parábola somente se 2 4 0B AC- = .

58

Essa regra não é da forma “se e somente se” porque a equação ge-ral acima pode representar vários conjuntos diferentes de cônicas: o conjunto vazio (por exemplo, 2 2 0x + = ), duas retas paralelas (por exemplo, 2 1 0x - = ), uma reta (por exemplo, 2 0x = ).

Lembre que as formas normais das cônicas, isto é, as suas expressões quando seus eixos de simetria são paralelos aos eixos coordenados são:

• 20 0( )y y x x- = -

(parábola cujo eixo de simetria é a reta 0yy = );

• 20 0( )x x y y- = -

(parábola cujo eixo de simetria é a reta 0xx = );

•2 2

0 02 2

( ) ( ) 1x x y ya b- -

+ =

(elipse cujos eixos de simetria são 0xx = e 0yy = );

•2 2

0 02 2

( ) ( ) 1x x y ya b- -

- = ±

(hipérbole cujos eixos de simetria são 0xx = e 0yy = ).

Em todas essas equações não há termos (de segundo grau) em xy. Então a nossa estratégia para identificar uma curva, dada por uma expressão de segundo grau em e x y , será a seguinte: eliminar esse termo cruzado por uma mudança de variáveis conveniente. Se essa curva for uma cônica, então essa curva aparecerá na forma normal se os seus eixos de simetria forem paralelos aos novos eixos coor-denados.

Para isso, iremos então girar os eixos até que fiquem paralelos aos eixos de simetria da cônica. Como descobriremos a direção desses ei-xos? Simples, aplicaremos uma rotação de um ângulo simbólico, ob-tendo uma nova expressão da curva. Calcularemos, então, qual deve ser o ângulo real zerando o coeficiente de xy na nova expressão.

59

A rotação dos eixos, no sentido anti-horário, de um ângulo , 0 90< < , dá origem a novos eixos, em relação aos quais um ponto P, de coordenadas originais ( , )x y , terá, agora, coordenadas ( ', ')x y . Essas novas coordenadas estão relacionadas às antigas pelas seguin-tes equações:

P

V US

R

O

Y

y

x'y'

x

Y'

X

X'θ

θ

Figura 3.15

' cos sen' sen cos

x x yy x y

= + = - + .

Essas equações são a expressão algébrica das seguintes relações geométricas:

OS OR RSOU OV VU

= + = -

.

Mas a nossa expressão original é em e x y, ou seja, preciso saber como essas coordenadas são escritas em função das novas:

' cos ' sen' sen ' cos

x x yy x y

= - = +

.

Substituindo-as na expressão 2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + = , temos:

60

2( ' cos ' sen ) ( ' cos ' sen )( ' sen ' cos )A x y B x y x y - + - + + 2( ' sen ' cos )C x y + + +

( ' cos ' sen ) ( ' sen ' cos ) 0D x y E x y F + - + + + = .

Fazendo os cálculos,

2 2 2( cos sen cos sen ) 'A C B x + + + 2 2 2( sen cos cos sen ) 'A C B y + + - +

2 2[( ) 2cos sen (cos sen )] ' 'C A B x y + - + - +

( cos sen ) ' ( cos sen ) ' 0D E x E D y F + + + - + = .

Agora, sejam:

A' = 2 2( cos sen cos sen ) + +A C B , B' = 2 2[( ) 2cos sen (cos sen )] - + -C A B , C' = 2 2( sen cos cos sen ) + -A C B , D' = ( cos sen ) +D E ,E' = ( cos sen ) -E D e 'F F= ,

Então temos 2 2' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 0A x B x y C y D x E y F+ + + + + = .

Queremos que ' 0B = , isto é,

2 2[( ) 2cos sen (cos sen )] 0C A B - + - =

ou seja, que ( ) sen 2 cos 2 0C A B - + = .

Temos, assim, dois casos:

a) C A= e, logo, 45 = ;

b) C A≠ e, nesse caso, 2 BtgA C

=-

.

Agora, fica fácil identificar que curva é descrita pela equação de 2º grau: 2 2 0, 0 ou 0A x C y D x E y F A C′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + + = ≠ ≠

se for parábola, ou • ' 0 ou ' 0= =A C , o que é equivalente a '. ' 0=A C ;

se for elipse, • ' e 'A C têm o mesmo sinal, isto é, '. ' 0>A C ;

se for hipérbole, • ' e 'A C têm sinais contrários, ou seja, '. ' 0<A C .

61

Mas,

2 2 2 2'. ' ( cos sen cos sen )( sen cos cos sen ) = + + + - =A C A C B A C B

2 2 2 2 2 2 2( cos sen )( sen cos ) cos senA C A C B = + + - +

2 2 2 2cos sen ( sen cos cos sen )B A C A C + + - - =

2 2 2 2 4 4 2 2 2( ) cos sen (sen cos ) cos senA C AC B = + + + - +

cos sen ( cos 2 cos 2 )B C A + - =

2 2 2 2 4 2 2 4 2 2( ) cos sen (sen 2 cos sen cos ) 2 cos senA C AC AC = + + + + - +

2 2 2 2 4 2 2 4 2 2( ) cos sen (sen 2 cos sen cos ) 2 cos senA C AC AC = + + + + - + B(C - A)( ) 2 2 2sen 2 cos 2 cos sen2

B C A B + - - =

2 2 2 2 2 2 2( 2 ) cos sen (sen cos )A AC C AC = - + + + +

2 2 2sen 2( ) cos 2 cos sen2

B C A B + - - =

22 2 sen 2 sen 2[( ) ] ( ) cos 2

4 2A C B AC B C A

= - - + + - =

2 22 2 2sen 2 cos 2[( ) ]

4 2A C B B AC

= - - - + ,

pois o ângulo é tal que ( ) sen 2 cos 2A C B - = . Agora, como 2 2sen 2 cos 2 1 + = , essa expressão é igual a

2 2 2 22 2 2 2sen 2 sen 2 cos 2 cos 2( )

4 4 4 4A C B B B AC

- - - - + =

2 2 22 2sen 2 cos 2( )

4 4 4BA C B AC

= - - - + =

2 2 2 2 2( ) sen 2 cos 24 4

A C B BAC - -= + - =

2

4BAC= - ,

novamente, pela igualdade ( ) sen 2 cos 2A C B - = .

62

Assim, 2

' '4

= -BA C AC . Então,

22' ' 0 0 4 0

4= ⇔ - = ⇔ - =

BA C AC B AC• ;

22' ' 0 0 4 0

4> ⇔ - > ⇔ - <

BA C AC B AC• ;

22' ' 0 0 4 0

4< ⇔ - < ⇔ - >

BA C AC B AC• .

Terminamos de provar o seguinte teorema:

Teorema. Se uma curva no plano cartesiano é uma cônica então as coordenadas dos pontos da curva satisfazem uma equação do tipo 2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + = , em que

0≠A ou 0≠B ou 0≠C , e a curva, então, será

parábola• se, e somente se, 2 4 0B AC- = ;

elipse• se, e somente se, 2 4 0B AC- < ;

hipérbole• se, e somente se, 2 4 0B AC- > .

Exercícios Identifique as cônicas abaixo, transformando as equações na 7) sua forma normal.

a) 2 29 6 18 36 0x y x y+ + - + = ;

b) 2 29 6 18 36 0x y x y- + - - = ;

c) 2 6 12 0x x y+ - - = ;

d) 012 =-++ yxx ;

e) 2 12 0y x- + - = ;

f) 2 24 4 12 0x y x- + - = ;2 2( ) ( ) 20 8 6x y x y x y+ + - - + =g) .

63

Ache um ângulo apropriado para girar os eixos e eliminar o 8) termo xy nas equações a seguir; calcule a equação nesses novos eixos e esboce, então, o gráfico correspondente.

a) 2 1xy = ;

b) 2 23 2 3 4x xy y+ + = ;

c) 2 22 3x xy y+ + = ;

d) 2 221 10 3 31 144x xy y- + = ;

e) 2 22 3 2 10 0x xy y- - + = ;

f) 2 23 1x xy y x y- + + - = ;

g) 2 216 24 9 60 80 100 0x xy y x y+ + + - + = ;

h) 2 23 2 2 2x xy y x y- + + + = ;

i) 2 23 8 3 4 5 8 5 0x xy y x y+ - - + = ;

j) 2 23 2 3 2 2 3 0x xy y x y- + + + = .

Identifique as cônicas abaixo.9)

a) 2 22 9 6 18 100x xy y x y+ + + - = ;

b) 2 22 3 2 100x xy y x y+ + + - = ;

c) 2 22 3 2 100x xy y x y+ + + - = ;

d) 2 3 2 100x xy x y+ + - = ;

e) 2 2( ) ( ) 2 100x y x y y+ + - - = ;

f) 2 24 4 3 2 100x xy y x y+ + + - = .

3.6 Observações finaisVimos que o gráfico da função recíproca 1

=yx

é a hipérbole

cujos eixos de simetria são as retas y x= e y x= - , cujos focos são ( 2, 2)- - e ( 2, 2), e 2 2 2a = . Há outras funções que podem ser definidas a partir de elipses e hipérboles, que pertencem à classe das funções irracionais.

64

Algumas funções irracionaisFunções do tipo

20

0 2

( ) 1 x xy y ba-

- = ± - , 0b > ,

cujos gráficos são semi-elipses, ou funções do tipo

20

0 2

( ) 1 x xy y ba-

- = ± + , 0b > ,

cujos gráficos são um dos ramos de uma hipérbole, ou do tipo

20

0 2

( ) 1x xy y ba-

- = ± - , 0b > ,

cujos gráficos dão semi-hipérboles, são funções ditas irracio-nais (lembre-se que c, o raio focal da hipérbole satisfaz a relação

2 2 2c a b= + ). Observe os gráficos a seguir.

220 xa

abyy --=-i)

(a, y0)(−a, y0)

(0, −b+y0)

x

y

Figura 3.16

22 xaaby +=ii)

(0, b)

y = − xba y = xb

a

y

x

Figura 3.17

65

iii) 22 axaby -=

(−a, 0) (a, 0)

y

x

y = − xba y = xb

a

Figura 3.18

ExercícioEsboce o gráfico de cada função abaixo.10)

a) 1

( 1)y

x=

-;

b) 11- =yx

;

c) 11

( 1)- =

-y

x;

d) . 0x y = ;

e) . 2x y = ;

f) 2 2 1, 0x y y+ = ≥ ;

g) 2 2( 1) 4, 0x y y- + = ≥ ;

h) 2 1y x= - - ;

i) 21 4y x= - ;

j) 2 1y x= - - ;

k) 22 2 1y x- = - ;

l) 22 2 1y x- = - ;

m) 22 2 1 4y x- = - ;

n) 22 2 1 2y x x- = - + ;

o) 22 2 2y x x- = + ;

p) 222 23

y x x- = - .

66

Resumoseções cônicas;•

equação de parábola;•

equação de elipse;•

equação de hipérbole;•

rotação de eixos;•

identificação de cônicas a partir dos coeficientes dos seus ter-•mos de segundo grau.

Bibliografia comentadaLINDQUIST, M. M. et al. Aprendendo e ensinando geometria. São Paulo: Atual, 1994.

Esse livro é uma coletânea de artigos de professores de ensino médio dos Estados Unidos. A seção sobre cônicas é ótima, recomendo-a para ser lida por todos aqueles que querem aprender bastante sobre cônicas. Entretanto, não apresenta a identificação de cônicas via rotação de eixos.

SAFIER, F. Pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2003. (Schaum)

Um dos poucos livros modernos onde se pode ler sobre rotação de eixos e sua conseqüência no estudo de cônicas. Recomendo, fortemente, a todos que querem fixar este conteúdo.

Capítulo 4Vetores

Capítulo 4Vetores

Neste capítulo, introduziremos a noção de vetor, que será de enorme utilidade no estudo da geometria analítica.

4.1 Espaço cartesianoNa primeira parte deste livro, você estudou Geometria Plana, utilizando coordenadas cartesianas no plano. Ou seja, no pla-no euclidiano P, foi fixada uma unidade de medida e foram fixa-dos dois eixos ortogonais, OX

e OY

(os eixos coordenados), inter-ceptando-se em um ponto O, a origem. Escolhido um ponto P∈P, traçam-se retas perpendiculares a OX

e OY

, passando por P, que interceptam OX

e OY

nos pontos R e S. Os comprimentos dos segmentos OR e OS, Px e Py , respectivamente, são ditos as coor-denadas cartesianas de P. Associamos assim a todo ponto P∈P um par ordenado ( , )P Px y de números reais. Note que essa associação depende sempre da escolha da unidade de medida, dos eixos e da origem; outras escolhas podem associar coordenadas diferentes a um mesmo ponto.

Reciprocamente, tendo fixados uma unidade de medida, a origem e os eixos coordenados, dado um par ( , )x y de números reais, pode-se obter, de modo único, um ponto P do plano cuja abscissa é x e cuja ordenada é y. Em outras palavras, fixado um sistema de eixos ortogonais no plano, existe uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e pares ordenados de números reais. Esse é o fato fundamental que nos permite desenvolver a Geometria Analítica plana.

Passos inteiramente análogos podem ser utilizados para estudar a Geometria Espacial. No espaço euclidiano E, fixados três eixos mu-tuamente ortogonais OX

, OY

e OZ

intersectando-se na origem O, dado um ponto P∈E, podem se traçar uma reta perpendicular ao eixo OZ e uma outra reta perpendicular ao plano contendo as retas OX

e OY

, o plano XY , passando por P.

Em Matemática, vetor tem um sentido bem mais geral do que o

conceito apresentado aqui. No entanto, os

vetores em geometria são fundamentais para a

formação de uma intuição a respeito desses objetos em contextos mais avançados.

70

O comprimento do segmento que vai da origem ao ponto de inter-seção da primeira perpendicular com o eixo OZ , Pz é dito a cota de P. A segunda perpendicular intersecta o plano XY em um único ponto, digamos 'P . A seguir, por este ponto traçamos retas perpen-diculares a OX

e OY

, interceptando esses eixos em pontos cujas distâncias até a origem são Px e Py , respectivamente a abscissa e a ordenada de P. Os números reais Px , Py e Pz são as coordenadas car-tesianas de P no espaço (ver figura 4.1). Associamos, assim, a todo ponto P∈P um terno ordenado ( , , )P P Px y z de números reais. No-vamente, essa associação depende sempre da escolha dos eixos e da origem; outras escolhas associariam outras coordenadas ao mesmo ponto. Usaremos ainda a notação ( , , )P x y z para indicar que o ponto P do espaço tem coordenadas cartesianas x, y e z.

xp

x

zp

z

P(xp , yp , zp)

yyp

Figura 4.1

Exemplo: Uma sala tem 6m de largura por 8m de comprimento e 4m de altura. Estabelecer um sistema adequado de eixos e dar as coordenadas dos seguintes pontos:

dos oito cantos da sala;a)

do ponto de interseção das diagonais do piso;b)

de um ponto situado a 2m de altura e sobre a vertical que con-c) tém a interseção das diagonais do plano.

71

D

P3P2

P1

z

P6

8

P5 P4

P7

P6

4

x

y

P8

Figura 4.2

Resolução:

a) Embora possamos escolher um sistema de coordenadas de várias ma-neiras, a escolha de um dos cantos inferiores da sala é a mais simples. Pela simetria da sala, é natural também que alinhemos os eixos ao longo das três arestas da sala concorrentes com o canto que toma-mos como origem.

Um sistema assim está mostrado na fig. 4.2. Em relação a tal sistema, temos as seguintes coordenadas para os cantos da sala:

1(0,0,0)P , 2 (6,0,0)P , 3 (6,8,0)P , 4 (0,8,0)P , 5 (6,0, 4)P , 6 (6,8, 4)P , 7 (0,8, 4)P , 8 (0,0, 4)P .

b) Uma vez que o ponto procurado D está no plano XY , sua terceira coordenada é nula, isto é, 0Dz = . As coordenadas Dx e Dy de D são, respectivamente, 3 e 4, como mostra a fig. 4.3. Logo (3, 4,0)D .

D2

D1

3

4 D4

D3

6

y

x

P

8

Figura 4.3

72

c) As duas primeiras coordenadas do ponto buscado P coincidem com as de D, pois P e D estão em uma mesma vertical. A terceira co-ordenada de P é 2 porque P está situado duas unidades acima do plano XY . Logo, (3, 4, 2)P .

ExercíciosRepresentar graficamente os seguintes pontos:1)

(1,3, 2)A , (0, 1,0)B − , ( 2,0,1)C − .

Representar graficamente:2)

A reta definida pelos pontos a) (2,1,3)A e (4,5, 2)B − .

O plano definido pelos pontos b) (0,0,3)A , (2,3,1)B e (0,3, 4)C .

Descreva e represente graficamente os seguintes conjuntos de 3) pontos:

{( , , ) : 0}A x y z x y= = =a) ;

{( , , ) : 2 3}B x y z x e y= = =b) ;

{( , , ) : 1}C x y z z= =c) ;

2 2{( , , ) : 1}D x y z x y= + =d) .

4.2 Vetores na geometria analíticaPoderíamos estudar geometria analítica espacial do mesmo modo como estudamos a plana. Vamos, porém, escolher um caminho dife-rente. Vamos construir um sistema cartesiano de coordenadas para o espaço a partir da noção de vetor. Veremos que isso nos permitirá calcular distâncias entre ponto e reta, entre ponto e plano, etc, de uma forma mais concisa e eficiente.

4.2.1 Vetores e a FísicaEm cursos básicos de Física, é estabelecida uma distinção entre grandezas escalares e vetoriais. Grandezas escalares (por exemplo, a temperatura) são especificadas se damos um número (sua mag-

73

nitude) e uma unidade de medida. No caso de grandezas vetoriais, por outro lado, além de sua magnitude (em uma unidade de medi-da), requer-se que conheçamos sua direção e sentido espaciais, para uma descrição completa. Os exemplos mais comuns de tais grande-zas são velocidade e força.

Suponha que seu professor de Física apresentasse para você o seguin-te esquema (ver figura 4.4): 3 vistas superiores de um mesmo bloco de massa m sobre uma mesa sem atrito, sendo puxado por duas cordas com força de magnitude F nos sentidos indicados pelas setas.

45°

45°

m m m

A B C

Figura 4.4

Suponha que seu professor, então, lhe pedisse para descrever como seria o movimento, usando as leis de Newton. Independentemente de sua desenvoltura com a Física, você provavelmente se dará con-ta que, embora as forças sejam as mesmas em magnitude nos três casos, o movimento resultante é bastante distinto. O caráter vetorial da força manifesta-se justamente nessa dependência da direção e sentido, ao contrário da massa - se dissermos que 3m = kg, temos toda informação necessária a respeito da mesma. Note ainda que nos esquemas (b) e (c) da figura 4.4, a direção é a mesma, mas não o sentido das forças, e isso faz diferença para o movimento.

Outro aspecto fundamental a respeito das grandezas vetoriais, que é ilustrado na figura 4.4, é como estas se compõem, ou se combinam. Se juntarmos dois blocos de 2 kg, podemos considerar o composto como um único bloco de 4 kg. A composição ou adição de forças, por outro lado, para obter a chamada força resultante é bastante distinta, e mais complicada, pois devem se levar em consideração a direção e o sentido daquelas.

Esses conceitos (direção e sentido) às vezes são

tomados como sinônimos na linguagem corrente,

mas nosso exemplo ilustra como é importante diferenciá-los em ciência.

74

Para fornecer uma descrição quantitativa de grandezas escalares e vetoriais, fixado um sistema de unidades, precisamos, portanto, considerar objetos matemáticos bem distintos: no primeiro caso, nú-meros reais; no segundo caso, os vetores. Estes últimos devem ter associados a eles, num sentido a ser tornado preciso, um número real dando sua magnitude, além de sua direção e sentido. Por ou-tro lado, deverá estar definida uma operação entre vetores para ob-ter outro vetor, de forma que se possa reproduzir, abstratamente, o modo como compomos forças na Natureza.

4.2.2 Vetores e a Geometria EuclidianaA área da Matemática onde a noção de vetor pode ser mais natu-ralmente definida é a Geometria. Afinal, magnitude, direção e sen-tido são noções de forte apelo geométrico. Algumas observações de caráter metodológico podem ser feitas aqui. É comum representar um vetor por uma seta, ou segmento de reta orientado, e o faremos normalmente a seguir. No entanto, é fundamental que o estudante tenha em mente a distinção entre um vetor, que é um objeto mate-mático que pode ser definido de forma precisa, e sua representação gráfica, que é um risco em papel. É comum, nos cursos de Física, e mesmo nas partes práticas do curso de Geometria Analítica, que nos contentemos com uma noção intuitiva, cuja importância é inegável. Na Ciência, no entanto, e principalmente na Matemática, uma boa definição é fundamental. Antes de definirmos vetor, vamos lembrar os elementos que nossa definição deve contemplar:

um vetor deve ter magnitude, direção e sentido;•

devemos ser capazes de operar com vetores, obtendo outros •vetores.

A fim de comparar a magnitude e o sentido de vetores com a mesma direção, é conveniente termos ainda uma operação correspondente para aumentar ou diminuir a magnitude de um vetor, ou mudar seu sentido, o que será feito operando números com vetores, obtendo novos vetores. Consideraremos vetores na Geometria espacial. Po-demos começar com a seguinte

Definição Provisória. Um vetor é um par ordenado ( , )A B de pon-tos do espaço.

75

Você pode perguntar: “Por que par ordenado? Não era para ser um segmento de reta orientado?” Bem, há uma boa definição de segmento (não orientado) na geometria, a saber

{ , } { : está entre e }.AB A B C C A B= ∪

A relação “estar entre” é um conceito primitivo em Geometria Eu-clidiana, isto é, não é definido. Agora, o uso de par ordenado serve para dar conta da noção de orientação do vetor. De fato, podemos representar um par ordenado ( , )A B graficamente com uma seta dirigida do ponto A ao ponto B (ver figura 4.5). Podemos então entender o segmento orientado de A a B como sendo dado pelo par ( , )A B de pontos.

Dessa forma, além de curta e precisa, nossa definição ainda admite a visualização intuitiva usual.

Um pouco de reflexão, no entanto, mostra que essa definição não pode funcionar como está. Duas setas com mesmo comprimento, direção e sentido em posições distintas do espaço corresponderiam a pares ( , )A B e ( , )C D distintos, e portanto a vetores distintos. Isso significa que magnitude, direção e sentido não seriam suficientes para especificar o vetor nesta definição. Em suma, uma boa defi-nição de vetor deve ser tal que a especificação do vetor depende somente de seu módulo, direção e sentido. Em particular, na repre-sentação gráfica, setas com mesma magnitude, direção e sentido re-presentariam o mesmo vetor (ver figura 4.6).

1 unidade 1 unidade

1 unidade

Figura 4.6 - Setas com mesmo comprimento, direção e sentido devem representar o mesmo vetor.

Note que os segmentos ( , )A B e ( , )C D na figura 4.7 não são coline-ares, isto é, as retas AB

e CD

não são as mesmas. Todavia, os seg-

A

B

Figura 4.5 - Representação gráfica de um vetor

no plano.

76

mentos têm mesmo comprimento, mesma direção (lados opostos de um paralelogramo) e mesmo sentido.

B D

CA

Figura 4.7 - Um paralelogramo.

Lembremo-nos da seguinte caracterização de um paralelogramo:

Proposição 4.1. Um quadrilátero é um paralelogramo se, e somente se, suas diagonais cortam-se mutuamente em seus pontos médios.

Demonstração: Ver em [1].

A seguinte definição resume de modo preciso e rigoroso o que signi-fica para dois segmentos orientados ter mesmo comprimento, mes-ma direção e mesmo sentido. Nesse caso, diremos que os segmentos são equipolentes:

Definição 4.1. Seja ( , )A B um segmento orientado, em que A B≠ . Diremos que um segmento orientado ( , )C D é equipolente a ( , )A B , em símbolos

( , ) ( , ),C D A B

se os segmentos (não orientados) AD e CB têm o mesmo ponto mé-dio. Se A B= , diremos que ( , )C D é equipolente a ( , )A B se C D= .

A figura 4.7, juntamente com a Proposição 4.1, esclarece porque essa definição funciona no caso de segmentos não colineares. Você pode se convencer, fazendo alguns desenhos, nos quais a definição ga-rante que segmentos colineares que possuem mesmo comprimento, direção e sentido serão equipolentes.

ExercícioSejam 4) ( , )A B , ( , )C D e ( , )E F segmentos orientados arbitrários. Verifique graficamente as relações abaixo no conjunto dos seg-mentos orientados do espaço.

77

( , ) ( , )A B A Bi) ;

Se ii) ( , ) ( , )A B C D , então ( , ) ( , )C D A B ;

Se iii) ( , ) ( , )A B C D e ( , ) ( , )C D E F , então ( , ) ( , )A B E F .

(As propriedades (i), (ii) e (iii) significam que a relação de equipolência é uma relação de equivalência)

Definição 4.2. Seja ( , )A B um segmento orientado. A classe de equi-polência de ( , )A B é o conjunto

{( , ) segmento orientado: ( , ) ( , )}AB C D C D A B=

.

Exercício Use o exercício anterior para mostrar que se 5) ( , )A B e ( , )C D são segmentos orientados,

AB CD AB CD∩ ≠∅⇒ =

ou seja, classes de equipolência ou são disjuntos ou do contrá-rio são iguais. Conclua que

( , ) ( , ) .A B C D AB CD⇔ =

Definição 4.3. Um vetor é uma classe de equipolência de segmen-tos orientados.

Esta definição significa que cada vetor deve ser pensado como uma coleção de setas, ao invés de uma única seta. Cada seta, ou mais precisamente cada segmento orientado equipolente ao seg-mento orientado ( , )A B , é um representante do (mesmo) vetor AB

.

Um destaque especial deve ser dado à classe de equipolência dos pares da forma ( , )A A : esta é, por definição, o vetor nulo. Seus repre-sentantes podem ser representados graficamente por pontos. Re-presentaremos esse vetor por 0

. Quando não quisermos enfatizar representantes, denotaremos vetores por , , ,u v w.

Dado um vetor v , e qualquer representante ( , )A B , note que o com-primento | |AB do segmento AB é o mesmo de qualquer outro re-presentante, pois se ( , ) ( , )A B C D , então | | | |AB CD= .

78

Um fato que será fundamental para nós é o seguinte:

Teorema 4.1. Dado um segmento orientado ( , )A B e um ponto O, existe um único ponto X tal que ( , ) ( , )A B O X .

Demonstração: Se A B= , pomos X O= . Se A B≠ , temos dois ca-sos: O não é colinear com A e B, ou é. No primeiro caso, X é sim-plesmente o quarto vértice do paralelogramo do qual AB e AO são lados consecutivos. O segundo caso tem dois subcasos:

i) A está entre O e B , O A= ou O está entre A e B . Neste caso, tome a semi-reta de O a B e X o único ponto tal que o segmento OX seja congruente a ( , )A B (no caso O A= , temos claramente X B= ).

ii) O B= ou B está entre A e O . Neste caso, tome a semi-reta oposta à semi-reta que vai de O a A e o ponto X como o único ponto tal que o segmento OX seja congruente a AB.

Em particular, se v é um vetor e O um ponto, então existe um único ponto X tal que v OX=

. Reciprocamente, fixado o ponto O, para cada ponto X existe um único vetor que tem ( , )O X como repre-sentante, a saber a classe de equipolência OX

. Isso significa que, fixado um ponto O, existe uma correspondência biunívoca entre vetores e pontos. Esse fato será fundamental para compreender o que virá a seguir.

4.2.3 Operações com vetoresAlém de uma definição adequada de vetores, temos que operar com eles de modo conveniente. Historicamente, a motivação para essas definições é que as mesmas reproduzem adequadamente o compor-tamento de grandezas vetoriais na Física e na Engenharia.

A primeira dessas operações é a chamada soma ou adição de vetores. O porquê desse nome é que essa operação, como veremos, satisfaz propriedades algébricas muito parecidas com as da adição de nú-meros reais.

79

Sejam u e v vetores. Escolha um ponto O arbitrariamente. Pelo Teo-rema 4.1, existem únicos pontos X e Y tais que u OX=

e v OY=

. Tomando Y como referência, existe, pelo mesmo teorema, um único ponto Z tal que ( , ) ( , )Y Z O X . Por definição, a soma de u e v é o ve-tor OZ

. Esse vetor soma é denotado por u v+ . No caso em que O, X , Y são não colineares, Z é o quarto vértice do paralelogramo cujos lados adjacentes são OX e OY (fig. 4.8). Por isso, a regra para obter o vetor soma é chamada regra do paralelogramo.

u

v

xz

yO

u+v

Figura 4.8

A figura 4.8 também deixa claro que se tivéssemos escolhido X como referência e tomado o único ponto W tal que ( , ) ( , )X W O Y , então W Z= . Isto significa que a soma de vetores é comutativa, isto é, u v v u+ = + . É possível, embora um tanto trabalhoso, mostrar que, se escolhêssemos um outro ponto 'O , e pontos 'X e 'Y , obte-ríamos, repetindo o processo descrito acima, um ponto 'Z tal que ( ', ') ( , )O Z O Z , definindo portanto a mesma classe de equipolência, isto é, o mesmo vetor. Isso significa que o vetor soma u v+ não de-pende do ponto de referência O, somente de u e v.

Sendo 0

o vetor nulo, 0 0v v v+ = + =

, para qualquer vetor v. O ve-tor nulo, funciona então como o elemento neutro para a operação de adição de vetores. Será que essa operação tem elementos inversos? Ou seja, dado um vetor v, será que existe um vetor oposto v− tal que ( ) ( ) 0v v v v+ − = − + = ? A resposta é sim. Seja ( , )A B um repre-sentante qualquer de v. Defina v− como a classe de equipolência do segmento orientado ( , )B A . Representantes de v− são representados graficamente por setas com mesmo comprimento e direção de re-presentantes de v, mas com sentido oposto. Enfatizamos que a esta altura v− é somente uma notação para o oposto, ou inverso aditivo, de v. Ainda não falamos da multiplicação de vetores por números, de modo que a priori não faz sentido (ainda) dizer que ( 1)v v− = − ⋅ .

80

Exercício Verifique, escolhendo um ponto de referência 6) O , que ( ) 0v v+ − =

.

Outra propriedade da adição de vetores que é idêntica a operações com números, é a associatividade: ( ) ( )u v w u v w+ + = + + , para quais-quer vetores u, v, w. Não demonstraremos esta propriedade, mas a ilustramos na figura 4.9.

u

(u+v)+w = u+(v+w)

wu+v

vv+w

Figura 4.9

Em resumo, temos as seguintes propriedades da soma de vetores:

(A1) (Comutatividade) u v v u+ = + , para quaisquer vetores u, v.

(A2) (Associatividade) ( ) ( )u v w u v w+ + = + + , para quaisquer ve-tores u, v, w.

(A3) (Elemento neutro) Se 0

é o vetor nulo, v um vetor qualquer, 0 0v v v+ = + =

.

(A4) (Inverso aditivo) Dado qualquer vetor v, existe um vetor v− tal que ( ) ( ) 0v v v v+ − = − + =

.

ExercícioSeja 7) w um vetor tal que para todo vetor v, v w w v v+ = + = . Mostre, usando apenas as propriedades (A1) − (A4), que 0w =

. Ou seja, o elemento neutro da adição é único. Seja v um ve-tor qualquer, e sejam w, 'w vetores tais que 0v w w v+ = + =

e ' ' 0v w w v+ = + =

. Mostre, novamente usando apenas as pro-priedades (A1) − (A4), que 'w w= . O inverso aditivo de cada vetor v é portanto único, justificando nossa notação v− .

Tendo definido adição de vetores e obtido suas propriedades, é natu-ral definir a subtração de vetores u, v quaisquer pondo ( )u v u v− = + − .

81

A interpretação geométrica, no caso em que u e v são não nulos e com direções distintas, está ilustrada na figura 4.10.

As seguintes propriedades da subtração de vetores podem ser fa-cilmente mostradas, utilizando-se a definição e as propriedades (A1) − (A4) da adição:

(S1) 0v v− =

, para qualquer vetor v;

(S2) ( )u v v u− = − − , para quaisquer vetores u, v;

(S3) ( ) ( )− + − = −u v v w u w, para quaisquer vetores u, v, w.

Por exemplo, para checar a propriedade (S2) assumindo (S1) e (S3), basta notar que ( ) ( ) 0v u u v v v− + − = − =

e, portanto, ( )u v v u− = − − pela unicidade do elemento inverso aditivo.

Outra operação fundamental de vetores é multiplicação por esca-lar. Seja v um vetor, ∈. Se 0= , definimos 0v⋅ =

(vetor nulo). Tome ( , )A B um representante qualquer de v . Se 0> , tome 'B na semi-reta de A a B tal que . | | | ' | =AB AB . Se 0< , tome 'B na semi-reta oposta à semi-reta de A a B tal que | | . | | | ' | =AB AB (figura 4.11). Então definimos v⋅ como a classe de equipolência do segmento orientado ( , ')A B . Novamente é possível mostrar que essa definição não depende da escolha do representante de v, pois se adotássemos um outro segmento orientado ( , )C D equipolente a ( , )A B , e aplicássemos o processo acima, obteríamos um segmento ( , )C D equipolente a ( , ')A B . A demonstração desse fato, bem como das propriedades abaixo, usando apenas Geometria Euclidiana é bastante elaborada e a omitiremos.

vλ·v λ·v

vλ·v

v

A B Cλ<0 0<λ<1 λ>1

Figura 4.11

u u−v

v

Figura 4.10

82

Propriedades da multiplicação por escalar:

(M1) ( ) ( )v v ⋅ = ⋅ ⋅ , para quaisquer números reais , e vetor v.

(M2) ( ) v v v + ⋅ = ⋅ + ⋅ , para quaisquer números reais , e vetor v.

(M3) ( )u v u v ⋅ + = ⋅ + ⋅ , para quaisquer número real e u, v vetores.

(M4) 1 v⋅ , para qualquer vetor v.

Como você aprenderá com detalhes em Álgebra Linear, o conjunto dos vetores, munido da operação de soma satisfazendo (A1) − (A4) e multiplicação por escalar satisfazendo (M1) − (M4), é um exemplo de um tipo de estrutura matemática conhecida como espaço vetorial. De fato, esse nome se deve justamente ao reconhecimento de que as pro-priedades abstratas da soma e multiplicação por escalar de vetores, como definidos aqui via Geometria, estão presentes em muitas outras situações na Matemática. Veremos um outro exemplo mais adiante.

4.2.4 Norma de um vetorDado um vetor v , o comprimento de qualquer segmento orientado que o represente é o mesmo. Para falarmos na medida desse seg-mento, precisamos escolher uma unidade de medida. Assim, vamos escolher um vetor não nulo u para ser um vetor unitário. Assim, todo segmento congruente a qualquer representante seu será um segmento de medida igual a 1.

Considere, agora, um vetor qualquer v . Se v for o vetor nulo, defi-nimos sua norma como sendo o escalar 0 (zero). Se v for diferente do vetor nulo, existe um vetor unitário u colinear com v (por que?). Pela definição de produto por escalar, existe um escalar t tal que v = t u. Define-se norma do vetor v , denotando-se por , como sendo o módulo de t. Isto é,

| |t = .

O leitor pode verificar as seguintes propriedades:

83

1) ( ) || || 0v∀ ≥ ;

2) || || 0 0 = ⇔ =

;

3) ( ) || || | | || || ∀ ∈ =t t t ;

se 4) 0 ≠

, 1|| ||

= .

4.2.5 Produto internoUma terceira operação entre vetores extremamente útil geometrica-mente é o chamado produto interno. Antes de introduzi-la, precisa-mos da definição de ângulo entre vetores.

Definição 4.4. Sejam u e v vetores não nulos no plano. Seja A um ponto qualquer. Sejam B e C os únicos pontos tais que u AB=

e v AC=

. O ângulo entre u e v é a medida [0, ] ∈ do ângulo ˆBAC.

Note que escolhas diferentes do ponto A resultam em ângulos con-gruentes e, portanto, de mesma medida. Logo, a medida só depende dos vetores u e v, e não de seus representantes. Diremos que dois vetores u e v, não nulos, são paralelos se o ângulo entre eles é 0

ou . Diremos que são ortogonais se 2

= . É conveniente incluir

na discussão o vetor nulo: dizemos que, por definição, o vetor nulo é ortogonal a todo vetor.

Definição 4.5. Sejam u e v vetores no espaço. Seu produto interno, denotado por vu, , é definido por

, : cosu v u v =• , se u e v são ambos não nulos, em que é o ângulo entre u e v;

, : 0u v =• , se u, ou v, for nulo.

Note que, ao contrário das operações definidas anteriormente, o re-sultado do produto interno entre dois vetores é um número real e não um vetor e, portanto, não é um produto no sentido usual. Mas a expressão já está consagrada e a mantemos.

Como você terá a oportunidade de aprender

em uma disciplina de Álgebra Linear, a noção

de produto interno é muito mais geral do que

a que apresentamos aqui. Em particular podemos

introduzir várias operações entre vetores do espaço

que merecem, nessa acepção mais geral, ser

chamadas de produto interno. O produto

interno que definimos aqui é freqüentemente

chamado o produto interno usual do 3

.

84

O produto interno satisfaz as seguintes propriedades:

2( )∀ =v v,v v1) ;

uvvu ,, =2) (simetria);

( ) , , ,∀ = =t tu v u tv t u v3) (homogeneidade);

wuvuwvu ,,, +=+4) (distributividade).

A demonstração de algumas dessas propriedades podem ser encon-tradas em [2].

Note que a propriedade da desigualdade triangular,

|| || || || || ||+ ≤ +u v u v

pode ser demonstrada facilmente, utilizando-se as propriedades 1, 2 e 4 (deixo-a ao leitor).

4.2.6 Dependência linear Seja v um vetor. Sejam nvv ,...,1 n vetores. Dizemos que v é uma combinação linear dos vetores nvv ,...,1 se existem escalares ntt ,...,1 tais que nnvtvtv ++= ...11 . Por exemplo, se uv 3= , dizemos que v é uma combinação linear de u. Outro exemplo: o vetor zero é combi-nação linear de quaisquer n vetores nvv ,...,1 , pois 10 0. ... 0. nv v= + +

. Observe que o zero à esquerda da equação é o vetor zero; os zeros à direita são escalares.

Vamos falar agora sobre dependência linear entre vetores. Por de-finição, o conjunto formado apenas pelo vetor nulo é um conjunto linearmente dependente (abreviadamente, LD). Os conjuntos forma-dos por um único vetor não nulo são todos linearmente indepen-dentes (abreviadamente, LI).

Definição 4.6. Um conjunto de n vetores, n > 1, é linearmente de-pendente se pelo menos um deles for combinação linear dos outros. Neste caso, dizemos também que os vetores são linearmente depen-dentes. Caso contrário, dizemos que o conjunto é linearmente inde-pendente, ou que os vetores são linearmente independentes.

85

Proposição 4.2. Um conjunto de n vetores, nvv ,...,1 , é LI se, e somen-te se, a única forma do vetor zero se escrever co mo combinação linear de nvv ,...,1 é a trivial, isto é, 10 0. ... 0. nv v= + +

.

A demonstração desse teorema é simples: suponha que os vetores sejam LD. Então um deles, digamos 1v , é combinação linear dos ou-tros: nnvtvtv ++= ...221 . Ou seja, 1 2 20 1. ( ). ... ( ).n nv t v t v= + − + + −

. Logo, o vetor zero se escreve de modo não trivial como combinação line-ar de nvv ,...,1 . Reciprocamente, suponha que o vetor zero se escre-va de forma não trivial, digamos 1 1 2 20 . . ... .n nt v t v t v= + + +

, em que

01 ≠t (sem perda de generalidade). Logo, nn v

tt

vttv

12

1

21 ... −++−= ,

ou seja, 1v é combinação linear dos outros vetores, o que significa que nvv ,...,1 são LD.

Um corolário dessa proposição é o seguinte:

Corolário 4.1. Se v é combinação linear de n vetores, nvv ,...,1 , e

nvv ,...,1 são linearmente independentes, então essa combinação li-near é única, no sentido que, se nnvtvtv ++= ...11 nnvsvs ++= ...11 então 11 st = , ..., nn st = .

A prova segue do fato que 1 1 10 ( ). ... ( ).n n nt s v t s v= − + + −

e, como

nvv ,...,1 são LI, 011 =− st , ... , 0=− nn st .

Note que um conjunto que contenha o vetor nulo é sempre LD (por quê?). Vemos, também, que dois vetores não nulos são linearmen-te dependentes se, e somente se, são colineares. Podemos concluir, ainda, que três vetores não nulos são LD se, e somente se, são copla-nares. Logo, três vetores não nulos são LI se, e somente se, quaisquer representantes deles originados em um ponto qualquer do espaço formam um triedro, ou seja, cada par de representantes estão em planos distintos. Um fato importante: no espaço, quatro vetores são sempre LD e o número máximo de vetores LI é três. Por isso, dize-mos que a dimensão algébrica do espaço é três.

Proposição 4.3. Sejam 321 ,, vvv três vetores LI do espaço. Então qual-quer vetor é uma combinação linear desses vetores (isso implica que quatro vetores do espaço são LD).

O conceito de dimensão algébrica de um espaço vetorial será visto com

cuidado nas disciplinas de Álgebra Linear.

86

A prova dessa proposição é geométrica. Seja v um vetor qualquer. Tome um ponto A, e sejam AB

, AC

, AD

e AP

representantes para

321 ,, vvv e v, respectivamente. Por P, passe um plano paralelo ao plano que contém AB e AC. Esse plano vai cortar a reta que con-tém AD em um ponto D'. Analogamente, seja B' o ponto resultante da interseção do plano paralelo a AC e AD, que passa por P, com a reta que contém AB, e C' o ponto resultante da interseção do pla-no paralelo a AB e AD, que passa por P, com a reta que contém AC. Afirmo que ' ' 'AP AB AC AD= + +

(verifique, fazendo um de-senho). Como 1'AB t AB=

, 2'AC t AC=

e 3'AD t AD=

, temos que

332211 vtvtvtv ++= .

Observação: Por causa da Proposição 4.3, dizemos que 3 vetores LI do espaço geram o espaço euclidiano. Note, também, que a combi-nação é única, pela Proposição 4.2. Isso motiva as seguintes defini-ções:

Definição 4.7. Sejam 321 ,, vvv vetores LI do espaço. Então o conjunto desses vetores é dito uma base do espaço.

Definição 4.8. Seja 1 2 3{ , , } = v v v uma base do espaço. Então, dado um vetor v qualquer do espaço, existem únicos escalares 321 ,, ttt tais que 332211 vtvtvtv ++= . Dizemos que 321 ,, ttt são as coordenadas de v na base e escrevemos 1 2 3( ) ( , , ) =v t t t .

4.2.7 Base ortonormalUm conjunto de vetores unitários (isto é, que têm norma igual a 1), que são ortogonais dois a dois, é dito um conjunto ortonormal de vetores.

Proposição 4.4. Se 1 2 3{ , , }v v v é um conjunto ortonormal de vetores do espaço, então 1 2 3{ , , }v v v é uma base.

A demonstração segue do fato que, se 1 1 2 2 3 30 t v t v t v= + +

,

1 1 2 2 3 30, . , . , . ,k k k kv t v v t v v t v v= + +

, para todo k. Mas, como o conjunto é ortonormal, essa equação é equivalente à equação 0 . ,k k k kt v v t= =

. Ou seja, o vetor zero só se escreve da forma trivial como combinação linear de 1 2 3{ , , }v v v .

87

O teorema abaixo nos mostra como calcular produtos internos de vetores escritos como combinações de vetores de uma base ortonor-mal.

Teorema 4.2. Seja 1 2 3{ , , }v v v uma base ortonormal de vetores do es-paço. Então, se 332211 vtvtvtu ++= e 332211 vsvsvsv ++= , temos que

1 1 2 2 3 3, .u v t s t s t s= + +

Demonstração:

=++++= 332211332211 ,, vsvsvsvtvtvtvu

++++++= 323222221212313121211111 ,,,,,, vvstvvstvvstvvstvvstvvst

++++++= 323222221212313121211111 ,,,,,, vvstvvstvvstvvstvvstvvst 332211333323231313 ,,, stststvvstvvstvvst ++=+++

332211333323231313 ,,, stststvvstvvstvvst ++=+++

332211333323231313 ,,, stststvvstvvstvvst ++=+++ .

4.2.8 Orientação do espaçoSeja 1 2 3{ , , }v v v uma base do espaço. Dizemos que essa base é positi-va se ela satisfaz à chamada regra da mão direita. Esta regra é muito utilizada em Física. Vamos supor que temos três representantes para esses vetores: AB

, AC

e AD

. Vamos girar AB

(no sentido do menor ângulo entre AB

e AC

) até AB

coincidir com um vetor colinear com AC

, com a mão direita apoiada no plano determinado por AB e AC. Se o dedo polegar da mão direita apontar para o mesmo lado do plano que AD

, então dizemos que os três vetores satisfazem a regra da mão direita. Observe que, para orientação, a ordem dos vetores é importante. Assim, representaremos a base 1 2 3{ , , }v v v do espaço com orientação (positiva ou negativa) pelo triedro 1 2 3( , , )v v v .

4.2.9 Sistema cartesiano de coordenadas no espaço

Vamos escolher um ponto O do espaço, ao qual chamaremos de origem. Tomemos uma base ortonormal positiva, { , , }i j k

, e seus

88

representantes OX

, OY

e OZ

. A cada ponto P do espaço vamos associar as coordenadas do vetor OP xi y j zk= + +

em relação a essa base: ),,( zyxP . Para diferenciar ponto de vetor, escreveremos

( , , )OP x y z=

, para indicar que OP xi y j zk= + +

. Observe que, da-dos ( , , )P a b c e ( , , )Q x y z , o vetor PQ

é dado pela diferença entre o vetor OQ

e o vetor OP

: PQ OQ OP= −

. Logo,

( , , )PQ x a y b z c= − − −

.

Assim, é possível computar, por exemplo, o ângulo entre dois ve-tores, se conhecemos suas componentes. Em particular, é possível determinar quando dois vetores são ortogonais, pois isso ocorrerá se, e somente se, seu produto interno for zero.

Exemplo: Prove que o triângulo de vértices (2,3,1)A , (2,1, 1)B − e (2, 2, 2)C − é um triângulo retângulo.

Resolução: Devemos calcular produtos internos entre os vetores que determinam os lados do triângulo a fim de descobrir se algum deles é zero.

Podemos tomar os vetores:

(0, 2, 2)= − −

AB ;

(0, 1, 3)AC = − −

;

(0,1, 1)BC = −

;

ou os opostos destes. Temos, portanto:

, 0 0 ( 2) ( 1) ( 2) ( 3) 8 0AB AC = ⋅ + − ⋅ − + − ⋅ − = ≠

,

, 0 0 ( 2) 1 ( 2) ( 1) 0AB BC = ⋅ + − ⋅ + − ⋅ − =

.

Logo, o ângulo entre AB

e BC

é reto, com vértice B. Assim, o ∆ ABC é retângulo.

4.2.10 O produto vetorialEnquanto o produto interno fornece um número, nossa próxima operação com vetores resulta em um vetor, sendo por isso chamada de produto vetorial. Ao contrário do produto interno, esta é uma ope-

89

ração genuína entre vetores, que tem algumas propriedades pouco usuais: o produto vetorial não é comutativo, nem associativo!

Geometricamente, o produto vetorial aparece devido à seguinte questão: como obter um vetor ( , , )w x y z= que seja simultaneamente perpendicular a dois vetores 1 2 3( , , )u u u u= e 1 2 3( , , )v v v v= dados? Devemos ter que , 0u w = e , 0v w = e, portanto, o sistema

1 2 3 0,u x u y u z+ + =

1 2 3 0.v x v y v z+ + =

Este sistema admite uma infinidade de soluções. Uma delas é

2 3 3 2

3 1 1 3

1 2 2 1

x u v u vy u v u vz u v u v

= −= −= −

como você pode facilmente verificar. Claro que qualquer múltiplo do vetor w assim obtido será também solução. Essa forma da solu-ção, no entanto, é a mais conveniente, por razões que ficarão mais claras à medida que prosseguirmos.

Definição 4.9. Sejam 1 2 3( , , )u u u u= e 1 2 3( , , )v v v v= vetores quaisquer. O produto vetorial de u e v é o vetor

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( , , )u v u v u v u v u v u v u v× = − − − .

Usando a definição de produto vetorial, obtemos que , 0u u v× = e , 0v u v× = , ou seja, que a direção do vetor u v× é a da normal do plano que contém O, X e Y , pontos tais que OX

e OY

são re-presentantes de u e v , respectivamente. Veremos na próxima seção que o sentido de u v× é dado pela regra da mão direita, isto é, u v× é um vetor ortogonal a u e v de tal modo que o triedro ( , , )u v u v× é positivo (ver figura 4.12).

Uma forma mais mnemônica de apresentar a definição 4.9 é a seguinte.

Considere (1,0,0)i =

, (0,1,0)j =

, (0,0,1)k =

. Sabemos que

1i j k= = =

u × v

u

v

Figura 4.12 - O produto vetorial.

90

e que esses vetores são dois a dois ortogonais. Pela nossa notação, ( , , )x y z x i y j z k= ⋅ + ⋅ + ⋅

. Vamos considerar

1 2 3

1 2 3

i j ku u uv v v

(*)

como se fosse o determinante de uma matriz 3 3× sobre o conjunto dos números reais, desenvolvendo pela primeira linha:

2 3 1 3 1 21 2 3

2 3 1 3 1 21 2 3

i j ku u u u u u

u u u i j kv v v v v v

v v v= ⋅ − ⋅ + ⋅ =

2 3 1 3 1 21 2 3

2 3 1 3 1 21 2 3

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( ) ( ) ( ) .

i j ku u u u u u

u u u i j kv v v v v v

v v v

u v u v i u v u v j u v u v k

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= − ⋅ + − ⋅ + − ⋅

Note que a última expressão é u v× .

É importante perceber que esta é apenas uma regra para auxiliar a memorização, e não um procedimento matemático bem definido. De fato, até aqui você só estudou matrizes com entradas reais, e não uma matriz que mistura números reais e vetores do espaço!

Outro ponto muito importante é a ordem de u e v ao escrever o determinante (*). Você deve lembrar que, ao trocar duas linhas, o determinante de uma matriz muda de sinal. Se você deseja calcular u v× , escreva as componentes de u na segunda linha e as de v na terceira, e troque as linhas para calcular v u× .

Exemplo: Vamos computar o produto vetorial de (5, 4,3)u = e (1,0,1)v = .

4 3 5 3 5 45 4 3

0 1 1 1 1 01 0 1

i j ki j k= ⋅ − ⋅ + ⋅ =

2 3 44 3 5 3 5 45 4 3 ( 1) ( 1) ( 1) 4 ( 2) ( 4) (4, 2, 4)

0 1 1 1 1 01 0 1

= − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ = ⋅ + − ⋅ + + − ⋅ = − −

i j ki j k i j k

Se trocarmos a ordem dos vetores, no entanto, temos:

91

0 1 1 1 1 01 0 1

4 3 5 3 5 45 4 3

i j ki j k= ⋅ − ⋅ + ⋅ =

2 3 40 1 1 1 1 01 0 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 4) 2 4 ( 4,2,4)

4 3 5 3 5 45 4 3

= − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ = −

i j ki j k i j k .

O seguinte Teorema resume algumas propriedades do produto vetorial.

Teorema 4.3. Para vetores u, v e w quaisquer, e para todo número real :

(PV1) (Anti-simetria) ( )× = − ×u v v u ;

(PV2) (Bilinearidade)

( ) ( )u v w u v u w × + ⋅ = × + ⋅ × ;

( ) ( )u v w u w v w + ⋅ × = × + ⋅ × ;

(PV3) ( ) , ,u v w u w v u v w× × = ⋅ − ⋅ ;

( ) , ,u v w w u v w v u× × = ⋅ − ⋅ ;

(PV4) 2 2 2 2,u v u v u v× = − .

Demonstração: Deixada como exercício.

(Sugestão: Escreva 1 2 3( , , )u u u u= , 1 2 3( , , )v v v v= e 1 2 3( , , )w w w w= e, em cada item, desenvolva ambos os membros da equação separa-damente, comparando-os ao final).

Note, que além de não ser comutativo, o produto vetorial não é associativo.

De fato, aplicando (PV3) a u v i= =

e w j=

, obtemos que ( )i i j j× × = −

e ( ) 0i i j× × =

. Em particular, ( ) ( )i i j i i j× × ≠ × ×

. Do ponto de vista geométrico, além de ser uma maneira de obter um vetor ortogonal a outros dois dados, o produto vetorial é a fer-ramenta por excelência para avaliar se três pontos estão em uma mesma reta, isto é, se são colineares. Para ver isto, basta perceber que para qualquer vetor v, 0v v× =

. Este fato segue imediatamente

92

da definição de produto vetorial. Ora, três pontos A, B e C são co-lineares se, e somente se, o vetor AB

é paralelo ao vetor AC

, o que por sua vez é equivalente a afirmar que AB AC= ⋅

para algum ∈. Se esse é o caso, a bilinearidade (propriedade (PV 2)) nos dá

( ) ( ) 0AB AC AC AC AC AC × = ⋅ × = ⋅ × =

.

Portanto, se A , B e C são colineares, 0AB AC× =

. A recíproca des-sa afirmação advém da seguinte proposição, que nos dá o módulo do vetor vu × .

Proposição 4.5. Se u e v são vetores não-nulos,

senu v u v × = ,

onde é o ângulo entre u e v.

Demonstração: Usando a propriedade (PV 4) do Teorema 4.3, temos,

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 22 2

, cos

(1 cos ) sen ,

u v u v u v u v u v

u v u v

× = − = − =

= − =

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 22 2

, cos

(1 cos ) sen ,

u v u v u v u v u v

u v u v

× = − = − =

= − =

e, lembrando que sen deve ser não-negativo, o resultado segue.

Corolário 4.2. Sejam A, B e C pontos quaisquer do espaço. Se 0AB AC× =

, então A, B e C são colineares.

Demonstração: Se um dos pontos é igual a qualquer outro, a conclu-são vale de imediato. Se os três pontos são distintos, e 0AB AC× =

, concluímos pela Proposição 4.5 que sen 0sen = , sendo o ângulo en-tre AB

e AC

, que são, portanto, paralelos.■

A colinearidade não é a única utilidade do produto vetorial. Sejam u e v vetores não-nulos e não-paralelos com ângulo entre eles, e considere um paralelogramo formado por setas representantes des-ses vetores (fig. 4.13). θ

v

u

v

u

Figura 4.13

93

A área A desse paralelogramo é bem conhecida da Geometria:

A = b × h,

em que b é o comprimento da base e h o comprimento da altura.

Em nosso caso, b é u e h é senv , e portanto

sen .A u v u v= = ×

Em outras palavras, o módulo do produto vetorial de u e v é nume-ricamente igual à área do paralelogramo definido por u e v.

Exemplo: Calcular a área do triângulo de vértices (1, 2,1)A − , (2, 1, 4)B − e ( 1, 3,3)C − − .

Resolução: A figura 4.14 mostra que, a partir do triângulo ABC, podemos construir um paralelogramo ABCD, cuja área é o dobro da área do triângulo.

B

A C

D

Figura 4.14

Considerando que o paralelogramo é determinado pelos vetores AB

e AC

, obtemos que a área do triângulo é:

12

Área AB AC= ×∆

.

Mas (1,1,3)AB =

e ( 2, 1, 2)AC = − −

. Portanto

1 1 3 (5, 8,1)2 1 2

i j kAB AC× = = −

− −

.

Logo, podemos calcular que 3 10AB AC× =

e, assim,

3 102

Área =∆ .

94

ExercícioSe 8) 1 2 3( , , )u u u u= , 1 2 3( , , )v v v v= e 1 2 3( , , )w w w w= , mostre usando as definições que

1 2 3

1 2 3

1 2 3

,u u u

u v w v v vw w w

× = .

4.2.11 Produto mistoA operação ,u v w× , entre três vetores u, v e w do espaço, aparece tantas vezes em Geometria que lhe damos um nome especial: pro-duto misto de u, v e w , nessa ordem, e denotamo-la por [ , , ]u v w .

Na seção anterior ficou como exercício mostrar que, se 1 2 3( , , )u u u u= ,

1 2 3( , , )v v v v= e 1 2 3( , , )w w w w= ,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

[ , , ] ,u u u

u v w u v w v v vw w w

= × = .

O fato de o produto misto poder ser escrito como um determinante ajuda-nos a obter algumas de suas propriedades. O determinante de uma matriz muda de sinal se duas linhas quaisquer são permutadas e, portanto, se permutamos duas linhas um número par de vezes, o determinante não se altera (pode inclusive ser um par de linhas diferentes a cada vez). Temos, por exemplo, que

321

321

321

321

321

321

321

321

321

vvvuuuwww

uuuwwwvvv

wwwvvvuuu

==

ou seja, que[ , , ] [ , , ] [ , , ]u v w v w u w u v= = .

Note que, nessas últimas igualdades, as trocas de u, v e w ocorrem ciclicamente, no sentido anti-horário. Por isso, essas permutações são ditas cíclicas. Observe que o determinante preserva a orientação de um triedro, pois ( , , )u v w tem a mesma orientação que ( , , )v w u , que tem a mesma orientação que ( , , )w u v , que é a orientação contrária às dos triedros ( , , )v u w , ( , , )u w v e ( , , )w v u . Uma propriedade importan-te de determinante é a seguinte:

[ , , ] [ , , ],u v w Ru Rv Rw=

95

em que R é uma transformação linear do espaço que preserva os módulos dos vetores, ou seja, ( )u Ru u∀ = , e que preserva a orien-tação dos triedros. Por exemplo, as rotações no espaço são transfor-mações desse tipo.

Vamos usar essa propriedade de determinante para mostrar que um triedro ( , , )u v w , em que w é ortogonal a u e v, é positivo se, e somente se, [ , , ] 0u v w > . Para isso, seja o ângulo entre u e v , 0 < < . Considere a rotação R que leva o vetor u no vetor iu

. e o vetor w, no vetor kw

. . Observe que esse triedro será positivo se, e só se, o vetor v for levado no vetor cos senv i v j +

(convença-se disso, fazendo um desenho). Temos então que

0 0cos sen 0 ( sen ) 00 0

uv v u v w u v w

w = = × > .

Por conseguinte, como para u e v, não colineares, temos que [ , , ] , 0u v u v u v u v× = × × > , concluímos que o triedro ( , , )u v u v× é positivo, ou seja, que o sentido de vu × é dado pela regra da mão direita.

O produto misto também tem uma função geométrica muito im-portante. Enquanto o produto vetorial nos permite calcular áreas, o produto misto serve para calcular volumes. Na figura 4.15, vê-se o paralelepípedo definido por vetores u, v e w. A base desse parale-lepípedo é o paralelogramo definido pelos vetores u e v, cuja área é u v× .

α

α

v

w

u × v

área = || u × v ||u

h

Figura 4.15 - O paralelepípedo é formado pelos vetores u, v e w. A área da base é dada por u v× .

96

A altura h é dada por

,,cos

u v wu v wh w a w

u v w u v××

= = =× ×

.

Como o volume do paralelepípedo é por definição

V área da base altura= × ,segue-se que

,,

u v wV u v u v w

u v×

= × ⋅ = ××

.

Portanto, o módulo do produto misto dos vetores u, v e w é igual ao volume do paralelepípedo definido por esses vetores.

Exemplo: O produto misto de (3,5,7)u = , (2,0, 1)v = − e (0,1,3)w = é

3 5 7, 2 0 1 13

0 1 3u v w× = − = − ,

e, portanto, o volume do paralelepípedo definido pelos vetores u , v e w é , 13u v w× = .

Na figura 4.15 também notamos que, quando 2

= , o segmento

representante do vetor w estará no plano contendo os segmentos representantes de u e v. Ou seja, os vetores u, v e w são coplanares. Mas isso acontece precisamente quando w e u v× forem ortogonais, isto é, quando , 0u v w× = . Isso nos ajuda a descobrir se quatro pon-tos A, B, C e D dados são coplanares, isto é, se estão sobre o mesmo plano (claro que isso ocorre automaticamente se dois ou mais dos pontos em questão são iguais). Isso ocorrerá se, e somente se,

, 0AB AC AD× =

. Não faremos uma prova mais rigorosa desse fato, mas o ilustramos em um exemplo.

Exemplo: Mostrar que os pontos (1, 2, 4)A , ( 1,0, 2)B − − , (0, 2, 2)C e ( 2,1, 3)D − − são coplanares.

Resolução: O quatro pontos dados serão coplanares se forem copla-nares os vetores, AB

, AC

e AD

. Devemos, portanto, calcular seu produto misto. Temos

97

2 2 6, 1 0 2 0

3 1 7AB AC AD

− − −× = − − =

− − −

,

e, logo, os pontos são de fato coplanares. Você pode verificar por si só que a ordem em que nomeamos os pontos é irrelevante.

ExercíciosDados os vetores 9) (1,3, 2)u = , (0, 1,0)v = − , ( 2,0,1)w = − , calcule:

a) ,u v e ,v u ; b) u v× e v u× ;

c) ,u v w× e ,u v w× ; d) ( )u v w× × ;

e) ,u v v w× × ; f) o ângulo entre u e v.

Calcule a área do triângulo cujos vértices são:10)

(0,0,0)Aa) , (2,1,3)B e (4,5, 2)C − ;

(0,0,3)Ab) , (2,3,1)B e (0,3, 4)C .

Sejam 11) (1,1,0)u = , (2,0,1)v = , 1 3 2w u v= ⋅ − ⋅ , 2 3w u v= + ⋅ e

3 2w i j k= + − . Determine o volume do paralelepípedo defini-do por 1w , 2w e 3w .

Verificar se são coplanares os pontos:12)

(1,1,1)Aa) , ( 2, 1, 3)B − − − , (0, 2, 2)C − e ( 1,0, 2)D − − ;

(1,0, 2)Ab) , ( 1,0,3)B − , (2, 4,1)C e ( 1, 2, 2)D − − ;

(2,1,3)Ac) , (3, 2, 4)B , ( 1, 1, 1)C − − − e (0,1, 1)D − .

Para que valor de 13) m os pontos ( ,1, 2)A m , (2, 2, 3)B − − , (5, 1,1)C − e (3, 2, 2)D − − são coplanares?

De um vértice de um cubo, traçam-se uma diagonal do cubo 14) e uma diagonal da face.

Calcular o ângulo entre as duas diagonais.a)

Calcular a área do triângulo definido por estas diagonais e b) uma aresta do cubo.

98

Determine os ângulos agudos que a reta definida pelos 15) pontos (1, 3, 2)A − e (3, 9,6)B − faz com os eixos do sistema de coordenadas.

Os ângulos 16) , e que o vetor não nulo ( , , )u x y z= faz, respectivamente, com os vetores i, j, k são chamados ângulos diretores do vetor u. Mostre que

a) cos xu

= , cos yu

= , cos zu

= ;

b) 2 2 2cos cos cos 1 + + = .

Sejam 17) u e v dois vetores não-nulos e com direções distintas. O plano gerado por u e v é o conjunto

3{ : existem , tais que }P x y OP x u y v = ∈ ∈ = ⋅ + ⋅

.

Mostre que:

Se a) ' 'x u y v x u y v⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ , então 'x x= e 'y y= ;

Se b) u e v são unitários e ortogonais, então para todo ponto

P ∈ , , ,OP OP u u OP v v= ⋅ + ⋅

.

Bibliografia comentadaBARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana plana. 6. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2004.

Este livro contém, de forma rigorosa, os conteúdos de Geometria Euclidiana Plana. É um livro que toda biblioteca de Matemática deve ter.

SANTOS, Nathan Moreira dos. Vetores e matrizes. 3. ed. São Paulo: Thomson, 2007.

Este livro contém excelente texto sobre vetores, no sentido clássico, como é também apresentado aqui, e sobre quádricas. Os exercícios por ele pro-postos são ótimos.

Capítulo 5Retas e Planos no espaço

101

Capítulo 5Retas e Planos no espaço

Nosso objetivo é utilizar as ferramentas vetoriais desen-volvidas no capítulo anterior para estudar problemas geo-métricos. Neste capítulo, nosso foco recairá sobre o estudo de retas e planos no espaço de três dimensões.

5.1 Equação cartesiana do planoUm plano no espaço pode ser caracterizado de diversas maneiras. A primeira que estudaremos vem das seguintes considerações intuiti-vas. Dada uma direção, que você pode imaginar como sendo uma reta, existem uma infinidade de planos paralelos entre si, e perpen-diculares a essa direção. No entanto, se além de fixarmos uma di-reção, também fixarmos um ponto, um e somente um plano dessa família de planos conterá o ponto em questão. Em outras palavras, um plano ficará fixado se dermos uma direção e um ponto.

α

P

v

Figura 5.1 – Um vetor não-nulo v determina uma infinidade de planos ortogonais a essa direção e paralelos entre si. Se, além de v, fixarmos um ponto ( )P , selecionamos

um único plano ( ) ortogonal a v e contendo P.

Mais adiante veremos outras maneiras de descrever planos. No en-tanto, a fim de verificar que todas essas descrições são equivalentes, é necessário ter uma definição precisa do que é um plano em nosso contexto. A idéia intuitiva acima pode ser tornada rigorosa e utili-zada para esse fim.

102

Definição 5.1. Um subconjunto 3P é dito ser um plano se exis-

tir um vetor ( , , )v a b c não-nulo e um ponto 30 0 0 0( , , )P x y z tais

que3

0 0 0{( , , ) : ( ) ( ) ( ) 0}x y z a x x b y y c z z P .

Equivalentemente, para todo 3P ,

0 , 0P P P v

P .

Você deve tentar reconhecer que essa definição não faz nada mais que capturar de forma precisa a idéia intuitiva acima. O vetor não-nulo ( , , )v a b c é chamado vetor normal ao plano P, assim definido por razões óbvias. Um resultado dessa definição é a seguinte:

Proposição 5.1. Um conjunto 3P é um plano se, e somente se,

existirem números 3, , ,a b c d com ( , , ) (0,0,0)a b c tais que

3{( , , ) : }x y z ax by cz d P .

Demonstração:

(⇒) Supondo que P seja um plano, pela nossa definição existem um vetor ( , , )v a b c não-nulo e um ponto 0 0 0 0( , , )P x y z tais que

0 , 0P P P v

P .

Tome as componentes a, b, c de v, notando que ( , , ) (0,0,0)a b c e escolha 0 0 0:d ax by cz= + + . Nesse caso, sendo ( , , )P x y z um ponto arbitrário, temos

0 0 0

0 0 0

( ) ( ) ( ) 0P a x x b y y c z zax by cz ax by cz d

P

e, portanto, os ponto de P são precisamente os que satisfazem à equação

ax by cz d+ + = .

(⇐) Supondo agora existirem números 3, , ,a b c d com ( , , ) (0,0,0)a b c tais que

3{( , , ) : }x y z ax by cz d P ,

podemos por exemplo assumir que 0a ≠ (os casos 0b ≠ ou 0c ≠ são inteiramente análogos). Nesse caso, escolha o vetor ( , , )v a b c

103

e o ponto 0 ,0,0d

Pa

. Temos, sendo ( , , )P x y z um ponto arbitrário,

0

( 0) ( 0) 0

, 0

P ax by cz dd

a x b y c za

P P v

P

completando a demonstração.

Essa Proposição significa que os pontos de um plano são pre-cisamente as soluções ( , , )x y z de uma equação linear da forma ax by cz d+ + = , com a, b e c não todos nulos. Uma equação dessa forma será dita uma equação cartesiana para o plano em questão. No que segue, definiremos um plano por sua equação cartesiana.

Exemplo: Obter uma equação do plano que contém o ponto (3,0, 4)A e tem como vetor normal (5,6, 2)v .

Resolução: Para qualquer ponto ( , , )P x y z do plano, temos que ter que é a equação cartesiana procurada.

Exemplo: A equação 0z descreve o plano XY . De fato, note que podemos reescrever essa equação como

0 0 1 0x y z ,

donde inferimos que o vetor (0,0,1) é normal ao plano. Mas esse ve-tor é obviamente paralelo ao eixo OZ e, portanto, o plano em ques-tão é perpendicular a esse eixo. Além disso, uma simples inspeção mostra que o plano contém a origem, e o único plano com essas es-pecificações é o plano XY . Analogamente, as equações 0x e 0y descrevem os planos YZ e XZ , respectivamente.

Exemplo: Obtenha a interseção do plano P cuja equação é 2 4x y com os eixos coordenados.

Resolução: Para que um ponto 1( , , )P x y z esteja na interseção de P com o eixo OX , deve ser solução simultaneamente das equações do seguinte sistema:

104

2 4x y

0y

0z .

O único tal ponto é 1(4,0,0)P . De maneira similar, para que um ponto

2 ( , , )P x y z esteja na interseção de P com o eixo OY , deve ser solu-ção do sistema:

2 4x y

0x

0z ,

e a solução é o ponto 2 (0, 2,0)P . Entretanto, para que um ponto

3 ( , , )P x y z esteja na interseção de P com o eixo OZ , deveria ser solução do sistema:

2 4x y

0x

0y ,

que obviamente não possui solução. Isso que dizer que o plano P não intersecta o eixo OZ , sendo portanto paralelo a este (faça um desenho dessa situação!).

Outra maneira de caracterizar um plano é através de três de seus pontos.

Teorema 5.1. Dados três pontos distintos 3, ,A B C� e não-coline-ares, existe um único plano que os contém.

Demonstração (Existência): Sejam 1 1 1( , , )A x y z , 2 2 2( , , )B x y z ,

3 3 3( , , )C x y z os pontos do enunciado, e considere os vetores AB

e AC

. Ambos são não-nulos, por serem os pontos distintos, e não-paralelos, por serem os pontos não-colineares. O vetor AB AC

é portanto não-nulo (por quê?) e ortogonal a ambos. Seja P o plano que tem n como vetor normal e contém A, ou em outras palavras, o conjunto de todos os pontos ( , , )P x y z tais que

, 0AB AC AP

. (*)

Claramente esse é o plano procurado (fig. 5.2).

105

AB

C

P

B

ACn = AB × AC

A

Figura 5.2 – Um plano passando por três pontos não-colineares A, B, C. O plano é ortogonal ao vetor n AB AC= ×

e passa por A, o que significa que é paralelo a AB

e AC

É imediato verificar que , ,A B C P, bastando substituí-los alterna-damente no lugar de P em (*). A demonstração de que este é de fato o único plano contendo , ,A B C é mais complexa e será omitida.

Exemplo: Obter a equação do plano definido pelos pontos (3,1, 2)A , (5, 2,1)B e (2,0, 2)C .

Resolução: A demonstração do Teorema 5.1 nos fornece um méto-do para este problema. Primeiro, calcule que (7, 11, 1)AB AC

. Este vetor será normal ao plano buscado, que ademais deve passar por A. Portanto se ( , , )P x y z é um ponto do plano,

, 0 7( 3) 11( 1) 1( 2) 0AB AC AP x y z

.

Logo, a equação procurada é

7 11 12x y z .

5.2 Equações paramétricas do planoSejam u e v vetores não-nulos e não-paralelos, e um ponto 0P . In-tuitivamente, se consideramos retas ur e vr paralelas às direções de u e v, respectivamente, e concorrentes em 0P , teremos um único plano contendo as retas ur e vr e o ponto 0P . De fato, esse é precisa-mente o plano P que tem u v como vetor normal e contém 0P . Seja P um ponto qualquer do plano, e trace por P paralelas ′ur e ′vr a ur e vr respectivamente. A reta ′ur intersectará a reta vr no ponto 2P e ′vr intersectará a reta ur no ponto 1P , como mostra a Figura 5.3.

106

vu

P0

P0P2

PP1ru ru’ rv’

rv

rurv

Figura 5.3

Agora, 0 1P P

é paralelo a u , e, portanto, existe t tal que

0 2P P s v

. Analogamente, 0 2P P

é paralelo a v , logo existe s tal que 0 2P P s u

v. Mas pela regra do paralelogramo, 0 1 0 2 0P P P P P P

, e, portanto,

0P P t u s v

.

Se 0 0 0 0( , , )P x y z , 1 2 3( , , )u u u u e 1 2 3( , , )v v v v , então para um ponto qualquer ( , , )P x y z do plano podemos escrever

0 0 0 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) ( , , )x x y y z z t u u u s v v v ,

ou

0 1 1x x tu sv

0 2 2y y tu sv

0 3 3z z tu sv ,

que são as equações paramétricas do plano P, por causa dos parâme-tros s, t, cujos valores determinam os pontos do plano.

O argumento acima é bastante geométrico e intuitivo. Sua versão rigorosa (que omitiremos) é a demonstração do seguinte teorema.

Teorema 5.2. Um conjunto 3P é um plano se, e somente se,

existirem um ponto 0P P e vetores u, v não-nulos e não-paralelos tais que

30{ : , tais que }P t s P P t u s v

P .

107

Esse teorema garante que um plano fica univocamente caracteriza-do por suas equações paramétricas.

Exemplo: Obtenha equações paramétricas e cartesianas do plano que contém o ponto 0 (2,3, 1)P e é paralelo aos vetores (3, 4, 2)u e (2, 2,6)v .

Resolução: As equações paramétricas podem ser obtidas imediata-mente dos dados:

2 3 2x t s

3 4 2y t s

1 2 6z t s .

Para obter uma equação cartesiana, como u v é normal ao plano, a equação procurada deve ter a forma

28( 2) 14( 3) 14( 1) 0x y z ou

2 2x y z .

Exemplo: Se 6x y z é equação cartesiana de um plano, obte-nha equações paramétricas desse plano.

Resolução: Escreva a equação na forma 6z x y . Os pontos do plano terão que ser precisamente os da forma ( , ,6 )P x y x y , com x e y arbitrários. Separando a parte constante e as contribui-ções de x e y, temos

( , ,6 ) (0,0,6) (1,0, 1) (0,1, 1)P x y x y x y .

Note que os vetores (1,0, 1) e (0,1, 1) são não-nulos, não-parale-los e ortogonais a (1,1,1), que é normal ao plano. Portanto, ( , , )P x y z pertencerá ao plano se, e somente se,

0 1 0x t s

0 0 1y t s

6 1z t s ,

que são as equações paramétricas procuradas.

108

5.3 Equação da retaNossa intuição geométrica mais elementar nos diz que dois pontos determinam uma reta de maneira unívoca. No contexto da Geome-tria Analítica, dois pontos 3,A B distintos determinam um vetor AB

. Se P é um ponto qualquer na reta AB

, o vetor AP

é paralelo ao vetor AB

, e, portanto, existe um número (único) t tal que

AP t AB

.

Note que, ao determinar P, são realmente necessários um ponto (no caso, A ) e uma direção (nesse caso definida por AB

). Isso motiva a seguinte definição:

Definição 5.2. Um subconjunto 3 é uma reta se existirem um

ponto A e um vetor v não-nulo tais que

3{ : para algum }P AP t v t

.

As características geométricas dessa situação estão ilustradas na figura 5.4.

v

A

Figura 5.4 – Dado um vetor não-nulo v e um ponto A , há uma única reta

que passa por A e é paralela a v.

Algumas observações são pertinentes:

Dada uma reta 1) , o vetor v e o ponto A não precisam de modo algum ser únicos. Se tomamos outro ponto 'A e outro vetor 'v não-nulo que seja paralelo a v, o conjunto

3' { : ' ' para algum }P A P t v t

é exatamente igual a . De fato, sendo 'v paralelo a v, existe um número 0≠ tal que 'v v= ⋅ . Se P , AP t v

, para al-gum número t. Mas então

' ' ' 'tA P A A AP A A v = + = + ⋅

.

109

Por outro lado, ' 'sA A s v v = ⋅ = ⋅

, para algum s , pois

'A . Portanto, ' ' 'A P t v

, se definimos ( )' t st+

= . Logo

P . De forma inteiramente análoga, prova-se que

'P P ,

e então ' , como havíamos afirmado. Um vetor v e um ponto A nas condições da Definição 5.2 são chamados vetor diretor e ponto inicial da reta, respectivamente.

Dada uma reta 2) , e dados 0 0 0( , , )A x y z e 1 2 3( , , )v v v v como na Definição 5.2, e ( , , )P x y z um ponto qualquer de 3

, a condição

P AP t v

é equivalente a afirmar que as coordenadas x, y e z de P satisfazem as equações

0 1x x v t

0 2y y v t

0 3z z v t

para algum t . À medida que t “varre” , as ternas ( , , )x y z correspondentes (isto é, satisfazendo esse sistema de equações) descrevem toda a reta . Essas são ditas equações paramétri-cas da reta, pois são escritas em termos de um parâmetro t.

Uma analogia mecânica para visualização de uma reta é a se-3) guinte: podemos pensar em uma reta como descrevendo a tra-jetória de uma partícula pontual em movimento retilíneo uni-forme no espaço. Nesse caso, escolher um ponto de referência equivale a escolher uma posição inicial, e um vetor diretor cor-responde ao vetor velocidade. Nesse caso o parâmetro t pode ser pensado como um instante de tempo. As várias possibili-dades de escolha do vetor diretor e do ponto inicial correspon-derão ao fato de que partículas com velocidades diferentes e com posições iniciais diferente podem percorrer uma mesma trajetória no espaço. Mas não leve a analogia longe demais. Em mecânica, uma trajetória retilínea não precisa corresponder a um movimento uniforme. Por exemplo, se uma partícula se move no espaço de acordo com as equações horárias

110

3( )x t t3( )y t t3( )z t t

seu movimento é retilíneo. De fato, fazendo 3s t , obtemos as equações paramétricas

x s

y s

z s ,

que descrevem uma reta passando pela origem e com vetor diretor (1,1,1). Por exemplo, no instante 2t a partícula está no ponto da reta correspondente ao valor 8 (oito) do parâmetro s. Veja que, como a função 3( )F x x é bijetora, para qualquer valor de s, isto é, para qualquer ponto da reta, existe um único instante de tempo t tal que 3s t . O movimento em questão não é uniforme, no entanto, e com as ferramentas que você aprenderá nos cursos de Cálculo, será possível provar que o vetor velocidade é dado em termos do tempo por

2( ) 3 (1,1,1)v t t .

Note que esse vetor muda de norma, mas não de direção e nem de sentido, sendo sempre paralelo a (1,1,1).

Exemplo: Obtenha as equações paramétricas da reta que contém o ponto (1, 2,3)A e é paralela ao vetor (1, 2, 2)v .

Resolução: Usando a prescrição acima, as equações são

1x t 2 2y t 3 2z t .

Para se obter um ponto qualquer dessa reta, basta atribuir a t um valor particular. Para 0t recobramos A. Para 1t temos

2x0y

5z ,

e, portanto, (2,0,5) é um ponto da reta. Já (3, 2,1) não pertence à reta, pois não existe t tal que as equações

111

3 1 t 2 2 2t 1 3 2t

sejam simultaneamente satisfeitas.

A nossa intuição inicial é formalizada no seguinte resultado:

Teorema 5.3. Dados dois pontos 3,A B distintos, existe uma única reta com ,A B .

Demonstração: Sendo A e B distintos, o vetor AB

é não-nulo. Seja a reta definida por A e AB

. Um ponto 3P estará nessa reta se, e somente se,

AP t AB

para algum t . Pondo 0t e 1t , vemos que A e B estão ambos na reta.

Para provar a unicidade da reta, seja ' uma reta qualquer conten-do A e B e sejam C um ponto arbitrário nessa reta e v um vetor diretor. Existem ,A Bt t com A Bt t tais que

ACA t v

BCB t v

,

uma vez que A e B são pontos distintos de ' por hipótese. Sub-traindo uma equação da outra, temos

( )B AAB t t v

.

Portanto, v é paralelo a AB

e ' (veja a Observação 1 acima). O teorema está demonstrado.

Exemplo: Ache a reta que passa pelos pontos (1,1,1)A e (2, 3, 4)B .

Resolução: Podemos tomar (1, 4,3)AB

como vetor diretor e A como ponto inicial. As equações serão

1x t 1 4y t 1 3z t .

112

Poderíamos escolher B como ponto inicial, e, nesse caso, teríamos as equações

2x t 3 4y t

4 3z t .

Finalmente, qualquer múltiplo não-nulo do vetor diretor é ainda vetor diretor. Por exemplo, podemos tomar ( 2,8,6) ( 2) (1, 4,3)v como vetor diretor, e escolher um ponto inicial diferente de A e B. Você pode verificar que (3, 7,7)C é um ponto da reta. Com essa escolha, as equações paramétricas ficam

3 2x t 7 8y t

7 6z t .

Fica a seu encargo mostrar que todo ponto ( , , )x y z satisfaz um des-ses sistemas se, e somente se, satisfaz o outro (com valores do parâ-metro diferentes para cada sistema!).

5.4 Posições relativas de planosSejam e ' planos dados respectivamente por equações

' ' ' '.ax by cz d

a x b y c z d

Note que esse sistema de equações pode ser olhado de duas formas. Primeiro, de forma geométrica: o problema algébrico de dar uma solução do sistema de duas equações lineares com três incógnitas re-presenta geometricamente obter os pontos de interseção de dois pla-nos. De fato, isso pode ser generalizado para sistemas de ( 2)n n equações lineares com três incógnitas. Resolver um tal sistema cor-responde geometricamente a obter os pontos comuns a n planos. Na outra forma, invertemos a ênfase, e vemos que o problema geral de encontrar a interseção de n planos ( 2)n se reduz ao de resolver um sistema de n equações lineares com três incógnitas. É exatamen-te o tipo de interplay que torna a Geometria Analítica tão útil.

Sejam ( , , )n a b c e ' ( ', ', ')n a b c os respectivos vetores normais. In-tuitivamente, temos as seguintes três possibilidades:

113

π = π'π'

P

π'

π

A B C

Figura 5.5 – Posições Relativas de Planos: (a) coincidentes, (b) paralelos e (c) transversais.

para algum e e são , isto é, , para algum e e são ,, e são .

n n d d coincidentesn n d d paralelosn n transversos

A primeira possibilidade corresponde ao fato trivial de que, se temos uma equação do plano e a multiplicamos por um número real não-nulo, ainda obteremos uma equação descrevendo o mesmo plano. Na segunda possibilidade, os planos não podem ter pontos em co-mum. Isto ocorre porque o sistema é incompatível nesse caso, isto é, não admite soluções. Com efeito, se subtraímos membro a membro a segunda equação de vezes a primeira, obtemos que ' 0d d − = , em contradição com nossa hipótese de que 'd d≠ .

O terceiro caso é o mais interessante. Como os vetores n e 'n não são paralelos, seu produto vetorial 'n n tem ao menos uma componente não-nula, digamos a terceira: 3( ') ' ' 0n n ab a b . Nesse caso você pode verificar (exercício!) que

' ' ' '

' '

' ' ' '

' '

d b b cz

d b b cx

a ba b

a d c az

a d c ay

a ba b

' ' ' '

' '

' ' ' '

' '

d b b cz

d b b cx

a ba b

a d c az

a d c ay

a ba b

.

Ou seja, os pontos de interseção são da forma

114

' ' ' ' ' ' ' '( , , ) , ,

' ' ' '

d b b c a d c az z

d b b c a d c ax y z z

a b a ba b a b

.

Fazendo 0z , obtemos uma solução particular

0

' ' ' ', ,0

' ' ' '

d b a dd b a d

Pa b a ba b a b

.

Podemos introduzir um novo parâmetro t pondo ' '

a bz t

a b .

Deixamos como exercício então, provar que a solução geral tP se expressará em termos desse parâmetro como

0 .( ')tP P t n n

.

Esta é precisamente a forma paramétrica da equação da reta, e, por-tanto, provamos:

Proposição 5.2. Dois planos quaisquer ou são paralelos ou se inter-sectam em uma reta.

Note que 0P funciona como o ponto inicial, e o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal de cada plano, como seria de se esperar (figura 5.6).

π'

π

P0

v

vv

nn'

Figura 5.6 – A intersecção de dois planos.

115

Exemplo: Obter a interseção dos planos 1x y z e 3 1x y z .

Resolução: Os vetores normais não são paralelos, logo os planos são transversos, e sua interseção é uma reta. Para obter equações paramé-tricas para essa reta, tomamos dois pontos arbitrários da mesma, ou um ponto e um vetor paralelo à reta. Temos que resolver o sistema

1x y z 3 1x y z .

Resolvendo esse sistema em termos da variável z, temos:

1 2x z y z .

Os pontos de interseção são da forma

( , , ) (1 2 , , )x y z z z z .

Atribuindo valores a z, podemos encontrar pontos particulares. Pon-do 0z e 1z , obtemos os pontos 0 (1,0,0)P e 1( 1,1,1)P , e a reta que passa por esses pontos tem equações paramétricas

1 2x t y tz t .

Note que isso corresponde a escolher a própria coordenada z como parâmetro. Alternativamente, podemos tomar, por exemplo, 0P como ponto inicial, mas escolher (1,1,1) (1, 1,3) (4, 2, 2) como ve-tor diretor. As equações paramétricas nesse caso serão

1 4x t 2y t2z t .

5.5 Posições relativas de reta e planoSejam agora : ax by cz d P um plano, e

0

0

0

:x x ty y tz z t

= + = + = +

116

uma reta. Podemos ter P ou P . No primeiro caso, dizemos que e são paralelos. Para que haja interseção, é neces-sário e suficiente que

0 0 0( ) ( ) ( )a x t b y t c z t d + + + + + = , (**)

para algum t . Ou seja,

0 0 0 ( )ax by cz d t a b c + + − = − + + .

Mas note que, se 0 0 0ax by cz d e 0a b c + + ≡ , não é possí-vel achar t de modo a satisfazer a equação. Pondo , ,n a b c e ( , , )v , notamos então que para que e sejam paralelos é suficiente (e de fato necessário) que 0 0 0 0( , , )P x y z P e , 0n v . O vetor normal ao plano é ortogonal à direção da reta nesse caso, como seria de se esperar.

Se e não são paralelos, temos duas possibilidades:

i) 0 0 0ax by cz d ,

ou seja, 0 0 0 0( , , )P x y z P. Se , 0n v , então, nesse subcaso, qualquer t satisfaz (**). Isso significa que todo ponto da reta está no plano, isto é, P. Geometricamente, se o ponto inicial da reta está no plano e seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano, então a reta toda permanece dentro do plano. Por outro lado, se , 0n v , então só podemos satisfazer (**) pondo 0t . Ou seja, nesse subcaso a reta intersectará o plano somente no ponto 0P .

ii) 0 0 0ax by cz d ,

ou seja, 0 0 0 0( , , )P x y z P. Nesse subcaso, obrigatoriamente , 0n v , e só podemos satisfazer (**) pondo

0 0 0ax by cz dta b c

+ + −=

+ +.

Provamos assim que:

Proposição 5.3. Uma reta não contida em um plano ou é paralela ao plano, ou o intersecta em um único ponto.

117

Exemplo: Determine a interseção da reta

3 2

: 12 3

x ty tz t

com o plano : 4 2x y z P .

Resolução: É fácil ver, usando o produto interno, que o vetor normal ao plano não é ortogonal à direção de , e portanto intersecta P em um único ponto. De acordo com o esquema geral acima (Eq. (**)), temos que obter t , para o qual

(3 2 ) 4(1 ) (2 3 ) 2t t t ,

isto é, 1t . O ponto de interseção é portanto (1, 2,5)I .

5.6 Posições relativas de duas retasDadas as retas

0 1 0 1

0 2 0 2

0 3 0 3

' ' ': ' : ' ' '

' ' '

x x v t x x v ty y v t y y v tz z v t z z v t

.

Intuitivamente, temos as seguintes possibilidades:

' e ' são

' e ' são.

concorrentescoincidentesparalelasreversas

Veja a figura 5.7.

� = �’�

�’ �’

� �’A B C D

Figura 5.7 – Posição Relativa de Retas: (a) coincidentes, (b) concorrentes, (c) paralelas e (d) reversas. Nos casos (a) - (c), as retas

e ′

estão sobre um mesmo plano, mas em (d) não existe um plano contendo ambas as retas.

118

Se 1 2 3( , , )v v v v e 1 2 3' ( ' , ' , ' )v v v v , temos que estudar essas possibi-lidades de acordo com a direção relativa desses vetores diretores. Dividiremos nossa análise em dois casos.

Caso (i): v é paralelo a 'v .

Nesse caso, intuitivamente podemos ter retas paralelas ou coinci-dentes. Para ver que isso de fato é assim, escreva 'v v= ⋅ , com 0 ≠ .

Agora, ou o ponto 0 0 0 0( , , )P x y z′ ′ ′ ′= 0P0 0 0 0' ( ' , ' , ' )P x y z pertence à reta , ou não. No caso positivo, existirá 0t

'0t tal que

0 0 1 0

0 0 2 0

0 0 3 0.

x x v ty y v tz z v t

′ ′= +′ ′= +′ ′= +

Mas então, dado um ponto 0P0 0 0 0' ( ' , ' , ' )P x y z arbitrário de ' , existe um 's tal que

0 0 1 0 0 1

0 0 2 0 0 2

0 0 3 0 0 3

( )( )( )

x s v x t vy s v y t vz s v z t v

′ ′+ − = +′ ′+ − = +′ ′+ − = +

pelo paralelismo dos vetores. Concluímos, então, que '( ', ', ')P x y z , com valor do parâmetro 0 .t t s′ ′= + . Portanto, todo ponto de ' está em . Analogamente, podemos checar que ' , ou seja, as retas coincidem.

Se o ponto 0 0 0 0( , , )P x y z′ ′ ′ ′= não pertence à reta , então podemos veri-ficar que nenhum ponto de ' pertence a , pois se elas tivessem um ponto em comum, existiriam 0 0,t s , para os quais

0 0 1 0 0 1

0 0 2 0 0 2

0 0 3 0 0 3

x s v x t vy s v y t vz s v z t v

′ ′+ = +′ ′+ = +′ ′+ = +

e, portanto,

0 0 1 0 0 1

0 0 2 0 0 2

0 0 3 0 0 3

( )( )( ) .

x s v x t vy s v y t vz s v z t v

′ ′+ − = +′ ′+ − = +′ ′+ − = +

119

Logo, 0 0 0 0( , , )P x y z′ ′ ′ ′= ∈ para o valor 0 0t t s= − do parâmetro, e temos uma contradição. Portanto, nesse caso as retas seriam paralelas.

Exemplo: Determine a posição relativa das retas

1 2 4: 1 ' : 2 2

5 3 8 6 .

x t x sy t y sz t z s

Resolução: Os vetores diretores são (1, 3, 2)v e (4, 2, 6) 2(2,1, 3) , e portanto paralelos. O ponto inicial de nessa parametrização é (1, 1,5) . Veja que esse ponto não pertence a ' , pois teríamos que ter 1 4s e 1 2 2s das equações para a primeira e segunda coordenada dos pontos de ' , o que é impossível. Mas então as retas não têm pontos em comum, isto é, são paralelas.

Exemplo: Determine a posição relativa das retas

1 2 9 6: 1 ' : 3 3

5 3 7 9 .

x t x sy t y sz t z s

Resolução: Os vetores diretores são 2,1, 3 e 6,3, 9 3 2,1, 3 , e portanto paralelos. O ponto inicial de ' é 9,3, 7 . Você pode verificar que esse ponto está na reta , resolvendo o sistema

9 1 23 17 5 3

ttt

que admite a solução 4t , portanto as retas são coincidentes.

Caso (ii): v não é paralelo a 'v .

Nesse caso, considere o vetor 'n v v . Esse vetor é não-nulo, e podemos considerar a coleção de todos os planos que têm n como vetor normal. Note que há infinitos planos com essa propriedade, todos paralelos (fig. 5.8) entre si.

120

n

Figura 5.8 – A família de planos paralelos a um vetor n .

Para selecionar um dado membro dessa família, basta escolher um ponto (lembre que uma direção e um ponto fixam um plano de for-ma unívoca). Os vetores diretores de

e ' são paralelos a qualquer

plano dessa coleção, e portanto, como estudamos na seção 5.5, se tomamos um plano qualquer dessa coleção, ou ( ') será paralela a , ou estará inteiramente contida nesse plano. Sejam

e ′′ os

membros dessa coleção contendo os pontos iniciais 0 0 0 0( , , )P x y z e

0 0 0 0( , , )P x y z de e ' , respectivamente. Claro que

P

e '

''

P ′′

. Temos então duas possibilidades: ou

e ′′

são paralelos ou ′′=

. O primeiro caso corresponde precisamente a retas rever-sas, e em particular e ' não se intersectam. No segundo caso, as retas são coplanares. Mas então, uma vez que o plano ′′= =

admite equações paramétricas

0 1 1

0 2 2

0 3 3

x x tv svy y tv svz z tv sv

′= + +′= + +′= + +

e como por hipótese 0P ′∈ , existirão (únicos) 0 0,t s tais que

0 0 0 1 0 1

0 0 0 2 0 2

0 0 0 3 0 3.

x x t v s vy y t v s vz z t v s v

′ ′= + +′ ′= + +′ ′= + +

O sistema pode ser reescrito na forma

0 0 1 0 0 1

0 0 2 0 0 2

0 0 3 0 0 3

( )( )( ) .

x s v x t vy s v y t vz s v z t v

′ ′+ − = +′ ′+ − = +′ ′+ − = +

Logo, e ' se intersectam em um (único) ponto. Ou seja, as retas serão concorrentes nesse caso.

121

Note que este último subcaso estabelece um fato intuitivamente bas-tante natural:

Proposição 5.4. Duas retas distintas contidas em um mesmo plano ou são paralelas ou se intersectam em um único ponto.

Exemplo: Determine a posição relativa das retas

2 5 4: 1 3 ' : 6 5

1 2 4 3 .

x t x sy t y sz t z s

Resolução: Note que os vetores diretores 1, 3,2v e ' 4, 5,3v não são paralelos, logo as retas não podem ser parale-

las e muito menos coincidentes. Considere o vetor ' (1,5,7)n v v . O plano

com vetor normal n passando pelo ponto inicial

0 (2, 1,1)P de (ver fig 5.9) tem equação

5 7 4x y z .

A reta ' tem vetor paralelo a esse plano, e portanto ou é ela própria paralela a

, ou está inteiramente contida neste. Mas o ponto inicial

0P0' ( 5,6, 4)P não está em

, pois 5 5 6 7 4 53 4 , e por-tanto ' é paralela a

e as retas são reversas (Exercício: obtenha o plano ′′

contendo ' e verifique explicitamente que

e ′′

são paralelos).

Exemplo: Para as retas do exemplo anterior, obtenha a reta que

intersecta e ' perpendicularmente.

Resolução: A reta estará contida no plano ⊥ que contém a reta

e é perpendicular a

. Em particular, ⊥∩ =

. A figura 5.9 abaixo ilustra essa situação.

π π'

�⊥

�π⊥�'

Figura 5.9 – Reta

perpendicular à

e à ' . ' está contida no plano ortogonal a ⊥ que contém

.

122

Para obter uma equação para esse plano, temos que obter primeira-mente um vetor normal. Note que o vetor ( 31, 5,8)n v cumpre bem esse papel. A seguir, tomemos um ponto de referência. Como queremos que o plano contenha

, podemos tomar 0 (2, 1,1)P . O

plano ⊥ terá então uma equação

31 5 8 49x y z .

Você deve verificar explicitamente que P

⊥ . A seguir, nossa es-tratégia é obter o ponto IP′ de interseção de ⊥ com ' . Deixamos

como exercício mostrar que IP′449 116 306

' , ,75 15 25IP

. O próprio vetor n

pode ser usado como vetor diretor para , de modo que podemos

escrever as equações paramétricas

44975

116: 5

15306

725

x t

y t

z t

.

Verifique que intersecta e é a reta procurada.

Exemplo: Determine a posição relativa das retas

1 2 2: ' : 3

2 2 2

x t x sy t y sz t z s

.

Resolução: Os vetores diretores (2, 1, 1)v e ' (1,1, 2)v não são paralelos, logo as retas não podem ser paralelas nem coincidentes. Tomando o vetor ' (3,3,3)n v v . O plano com vetor normal n passando pelo ponto inicial 0 ( 1,0, 2)P de tem equação

1x y z .

Note que esse plano contém o ponto inicial 0P0' (2, 3, 2)P de ' e por-tanto

'

''

P ′′

. As retas precisam ser concorrentes. De fato, podemos considerar o sistema

1 2 23

2 2 2 .

t st st s

123

Deixamos a seu cargo verificar que a (única) solução é 2t , 1s , e que, portanto, as retas se intersectam no ponto (3, 2,0) .

ExercíciosObtenha uma equação do plano que passa pelos pontos 1) (1,1,1), (1,1,3) e (5, 3, 1) .

Determine uma equação do plano cujas interseções com os ei-2) xos coordenados são os pontos (3,0,0), (0, 2,0) e (0,0, 3) .

Determine o plano que passa pelos pontos 3) (0, 2,0)A , (0,0,3)B e é tal que, juntamente com os planos coordenados (isto é, 0x ,

0y e 0z ), determina um tetraedro de volume 5 unidades no primeiro octante (a região formada por todos os pontos do espaço com as três coordenadas não-negativas).

Determine equações paramétricas para a reta que passa pelo 4) ponto (1, 2,3) e é paralela à reta cujas equações paramétricas são 1x t , 2 4y t e 5z ( )t .

Encontre a reta que passa pelo ponto 5) (2,0, 1) e é simultanea-mente paralela aos planos 0x y z e 2 1 0x z .

Dados o ponto 6) (0,1,0)P e a reta : 1 , 2 2 , ( )x t y t z t t , encontre uma equação cartesiana do plano que contém P e .

Obtenha uma equação que contém o ponto 7) (2,1,3) e a reta de interseção dos planos 2 2x y z e 0z .

Calcule a interseção da reta que passa pela origem e tem dire-8) ção dada pelo vetor (1,1, 2) com o plano 2 5x y z .

Verifique se as retas 9)

3 1 8: 1 6 ( ) e ' : 3 ( )

2 3 1

x t x sy t t y s sz t z

se intersectam. Em caso positivo, obtenha o ponto de interse-ção.

124

Considere as retas10)

1 7: 1 ( ), ' : ( ).

2 1 2

x t x sy t t y s sz t z s

Mostre que a) e ' são reversas.

Ache os planos b) e ′′

que contêm e ' , respectivamente.

Determine equações paramétricas para a reta que intersecta c) e ' perpendicularmente.

Dados os pontos 11) (2, 1,0)A e (1,3, 2)B , determine equações para os seguintes planos:

o que contém a origem, a) A e B;

o que b) A e B e é perpendicular ao plano XY ;

o que contém a origem e é perpendicular à reta que passa c) por A e B;

o que é paralelo ao eixo dos d) x e contém A e B.

Obtenha a interseção dos planos 12) : 2 3 3P x y z e ' : 2 3 2 1P x y z .

Mostre que a reta 13) : 1, 1 , 2 3 ( )x y t z t t está con-tida no plano da questão anterior e obtenha a projeção de sobre o plano dessa mesma questão (Sugestão: Claramente, o que é necessário aqui é descobrir qual o plano ⊥ que con-tém e é perpendicular ao plano . A reta ' ' ⊥= ∩ é a projeção procurada).

Considere o plano 14) : 1P ax by cz , onde a, b e c não são todos nulos. Obtenha todos os valores de a, b e c para os quais:

a) é paralelo ao eixo dos z;

b) é paralelo ao plano 0x ;

c) as condições (a) e (b) verificam-se simultaneamente.

125

Em um tetraedro 15) ABCD, os triângulos ABC e BCD são isós-celes. Prove que AD

e BC

são ortogonais.

Obtenha a interseção dos planos16)

1

2

3

: 2 2 1: 2: 2 0

x y zx yx y z

e obtenha a projeção da reta 1 2 sobre o plano 3 .

Um paralelogramo 17) OABC de área 4 6 está contido em um plano com vetor normal (1, 2,1)n , e seus vértices (0,0,0)O ,

(1, 2,3)A e B contido no plano que passa pelos pontos (0,0,1), (1,0,1) e (1,1,1). Determine C.

5.7 Distâncias no espaçoNesta seção, queremos discutir como calcular distâncias:

de ponto a plano; a)

de ponto a reta;b)

de plano a plano;c)

de reta a plano;d)

de reta a reta.e)

Em cada caso, o que temos em mente é a menor distância possível entre os pontos dos respectivos conjuntos.

5.7.1 Distância de ponto a planoDados um plano : ax by cz d (com a, b e c não todos nu-los) e um ponto 0 0 0 0( , , )P x y z , é claro que a distância 0( , )d P de 0P a é obtida computando-se o comprimento do segmento 0 'P P , onde 'P é o pé da perpendicular baixada de 0P a (figura 5.10).

126

π

P0

P'

Figura 5.10: Distância de Ponto a Plano.

Para obter '( ', ', ')P x y z , tudo o que precisamos fazer é escrever equa-ções para a reta que passa por 0P e é perpendicular ao plano. Basta tomar o vetor normal ( , , )n a b c como vetor diretor da reta. Temos então as equações paramétricas

0

0

0

:.

x x aty y btz z ct

(1)

A interseção de com ocorre quando

0 0 0( ) ( ) ( )a x at b y bt c z ct d ,

isto é, quando

0 0 02 2 2

ax by cz dt

a b c

.

A substituição desse valor do parâmetro em (1) nos dá as coordena-das de 'P :

0 0 00 2 2 2

0 0 00 2 2 2

0 0 00 2 2 2

'

'

'

ax by cz dx x a

a b cax by cz d

y y ba b c

ax by cz dz z c

a b c

0 0 00 2 2 2

0 0 00 2 2 2

0 0 00 2 2 2

'

'

'

ax by cz dx x a

a b cax by cz d

y y ba b c

ax by cz dz z c

a b c

. (2)

0 0 00 2 2 2

0 0 00 2 2 2

0 0 00 2 2 2

'

'

'

ax by cz dx x a

a b cax by cz d

y y ba b c

ax by cz dz z c

a b c

Temos, portanto:

0( , )d P 2 2 20 0 0 0 0( , ) ( , ') ( ' ) ( ' ) ( ' )d P d P P x x y y z z ,

127

e daí um cálculo simples usando (2) nos dá a fórmula

0( , )d P 0 0 0

0 2 2 2( , )

ax by cz dd P P

a b c

.

Note que essa equação faz sentido inclusive quando 0P . Nesse caso, a distância é identicamente nula, como seria de se esperar.

A fórmula acima é tão simples e simétrica que vale a pena você memorizá la. Apesar disso, sugerimos fortemente que você compre-enda a construção geométrica que nos levou a tal fórmula, para que você possa desenvolvê-la sempre que necessário, ou mesmo para usar tal construção para calcular a distância diretamente.

Exemplo: Ache uma equação do plano paralelo ao plano

00 : 2 2 1x y z P cuja distância ao ponto 0 (3,7,10)P é de 100 uni-dades.

Resolução: Todo plano paralelo a 0 será da forma

d : 2 2d x y z d P ,

onde cada valor de d determina exatamente um de tais planos. A distância de qualquer d para 0P pode ser calculada através da fór-mula da distância de ponto a plano. O resultado é

0( , )dd P 0 2 2 2

1 3 ( 2) 7 2 10 9( , )

31 ( 2) 2d

d dd P

P .

Quando impomos que 0( , )dd P =100, obtemos duas possíveis solu-ções (conforme assumamos 9d ou 9d ):

309291,

dd

,

correspondendo aos planos paralelos

: 2 2 309: 2 2 291.x y zx y z

Os planos e são paralelos a 0 e simetricamente colocados com respeito a 0 , ambos distando 100 desse ponto.

128

5.7.2 Distância de ponto a retaSeja agora 0 0 0 0( , , )P x y z um ponto, e

1

1

1

: ( )x x aty y bt tz z ct

uma reta. Em particular ( , , ) (0,0,0)a b c . Para calcular a distância

0( , )d P , nossa estratégia é simples. Consideramos o plano normal a

, ,v a b c passando por 0P . Esse plano intersecta a reta

em um ponto 0 0 0 0( , , )P x y z′ ′ ′ ′ , digamos.

A distância 0 0( , )d P P′ é exatamente a distância procurada. Essa situ-ação está ilustrada na fig. 5.11 abaixo.

P0

vP0’

π

Figura 5.11 – Distância de Ponto a Reta.

O plano buscado terá equação

0 0 0( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z .

O ponto de interseção de com ocorrerá para 0t tal que

1 0 0 1 0 0 1 0 0( ) ( ) ( ) 0a x at x b y bt y c z ct z ,

que após algumas manipulações algébricas nos dá

0 11 0 1 0 1 00 2 2 2

,( ) ( ) ( ),

v P Pa x x b y y c z zt

a b c v v

,

sendo 1 1 1 1( , , )P x y z .

129

Note que introduzimos uma notação vetorial na última igualdade. Temos, portanto,

0 1 0

0 1 0

0 1 0.

x x aty y btz z ct

′ = + ′ = + ′ = +

Usando a fórmula de distância usual entre pontos, vem

2 2 20 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0( , ) ( , ) ( ) ( ) ( )d P d P P x x at y y bt z z ct

Mas, introduzindo a forma vetorial para 0t , você pode verificar que essa equação pode ser reescrita na forma

0 10 0 1

,( , )

,v P P

d P P P vv v

.

Esta fórmula requer explicação. Primeiro, note que o ponto 0P′ já não aparece na equação, só o ponto 0P e os parâmetros da reta . Isto é, v e 1 1 1 1( , , )P x y z . A fim de entender o significado geométrico dessa fórmula, introduzimos a seguinte definição:

Definição 5.4. Sejam u, v vetores, com 0v . A projeção (ortogonal) de u sobre v é o vetor

v,,v

v uPu v

v v .

Muito bem, mas qual o significado geométrico dessa definição? Na verdade, é bastante simples. Suponha que u, v são ambos não-nulos e o ângulo entre eles (se u é nulo, a projeção também é). Teremos então

v 2

coscosv

u v vPu v uvv

= = .

Ora, vv

é o vetor unitário na direção e sentido de v, e cosu mede

o “segmento projeção” da seta de u sobre v, conforme ilustrado na fig. 5.12.

130

θ

uv

u= u − Pvu

Pvuv

Figura 5.12 – Projeção ortogonal de u sobre v . O módulo de vu é dado por cosu na situação da figura.

A projeção vu , portanto, é um vetor com mesma direção de v e módulo cosu . Em particular, se u e v são ortogonais, vu é o vetor nulo. É interessante notar que vu não depende do módulo de v, e nem do seu sentido, só de sua direção! Pois se consideramos 'v t v , com

\{0}t , teremos

v u2

' 2

', ,'

', ' ,v vv u t v u

P u v v Puv v t v v

vu .

Exercício

Verifique, usando a definição, que se 18) v é um vetor não-nulo, então dados quaisquer vetores u, w e qualquer número t , temos

( )v v vu w u w ,

( )v vt u t u .

Outro aspecto interessante de nossa definição é que, se pomos

v vu u Pu vutemos

,, , , , , 0

,vv u

v u v u v v v u v uv v

,

isto é, vu é ortogonal a v (fig. 5.12). O vetor vu pode então ser pensa-do também como uma “projeção”, só que em uma direção ortogonal à de v. Além disso, podemos escrever

v vu u Pu vu .

Ou seja, o vetor u pode ser escrito como uma soma vetorial entre um vetor com mesma direção de v com outro ortogonal a v. Essa

131

decomposição de fato é única. Com efeito, suponha que escrevamos

1 2u u u , onde 1u é ortogonal e 2u paralelo a v. Nesse caso, pode-mos escrever 2u v= ⋅ , e temos

1 20 , , , , ,u v u u v u v v u v v v = = − = − ⋅ = − ,

e, portanto, ,,

u vv v

= , isto é

2,, v

v uu v Pu

v v vu .

Mas então 1 v vu u u u .

A unicidade da decomposição acima tem outra conseqüência inte-ressante. Suponha que u seja um vetor com mesma direção de v . Nesse caso, se escrevemos 0u u

, estamos de fato decompondo u em uma soma de um vetor na direção de v (a saber, o próprio u ), e outro ortogonal a v (o vetor nulo, que é ortogonal a qualquer vetor). Pela unicidade da decomposição, teremos que 0vu

e vPu u . Isso também pode ser verificado diretamente das definições de vu e vPu, assumido-se que u t v , para algum t . Moral da história: a pro-jeção em v de um vetor u paralelo a v é o próprio u.

Exercício

Mostre que 19) senvu u ⊥ = , e interprete geometricamente.

Voltemos à nossa fórmula de distância. Usando a notação de proje-ção, podemos reescrevê-la na forma (veja a figura 5.13.)

0 0 1 0 1 0 1( , ) ( ) ( )v vd P P P P P P P

P0

P1

(P0P1)v

�v

−P0P1

Pv(P0P1)

Figura 5.13 – Calculando a distância de um ponto a uma reta usando projeção ortogonal.

132

Exemplo: Obtenha as projeções do vetor ( , , )v x y z sobre os veto-res unitários (1,0,0)i , (0,1,0)j e (0,0,1)k .

Resolução: Usando a definição, temos iv,,i

v iPv i x i

i i .

Analogamente, obtemos que jvjP v y j e kvkP v z k .

Duas últimas observações: Primeiro, sugerimos que você não se pre-ocupe em decorar fórmulas. Tente, ao invés disso, entender bem a geometria da situação e levar em conta o significado do vetor 0 1 vP P

. Em segundo lugar, a distância calculada pelas fórmulas acima não depende da escolha do vetor diretor para , pois a projeção sobre v só depende de sua direção, como vimos, e qualquer outro vetor dire-tor terá a mesma direção de v . Mas essa fórmula dá a impressão de que a distância de 0P a depende de qual ponto inicial 1 1 1 1( , , )P x y z escolhemos para escrever as equações paramétricas de . Essa depen-dência, no entanto, é apenas aparente. Com efeito, seja dado outro ponto 2 2 2 2( , , )P x y z sobre a reta . Teremos

0 1 0 2 2 1P P P P P P

,e temos também

0 1 0 2 2 1 0 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )v v v vP P P P P P P P P P

.

Note que na última igualdade usamos o fato de que 1P e 2P estão em , e portanto o vetor 2 1P P

tem a mesma direção de v. Assim, obtemos

0 0 1 0 1 0 2 0 2( , ) ( ) ( )v vd P P P P P P P P P

,

o que mostra que o resultado é o mesmo, independentemente do pon-to inicial. A razão geométrica deste fato está ilustrada na figura 5.14.

P0

P1 P2v

(P0P1)v = (P0P2)v

⊥ ⊥

Figura 5.14 – Tomando pontos de referência distintos 1P e

2P sobre , temos 0 1 0 2P P P P≠

e

0 1 0 2( ) ( )v vP P P P≠

, mas 0 0 0 0 0 01 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )v v v vP P P P P P P P P P P P

.

133

Exemplo: Uma partícula movendo-se no espaço sai do ponto ( 2,3, 2)A no instante 0t e tem movimento retilíneo uniforme

com velocidade 3 2v i j k

(distâncias em metros, interva-los de tempo em segundos). Qual a menor distância que essa partí-cula tem da origem?

Resolução: A reta ao longo da qual a partícula se move terá equa-ções paramétricas

2 33 22 ,

x ty tz t

sendo o parâmetro t o tempo. Queremos calcular a distância ( , )d O dessa reta à origem (0,0,0)O . Podemos tomar a projeção do vetor

( 2,3, 2)OA

( AO

também funciona, como você poderá verificar) sobre a direção de v. Calculando:

v( 3, 2,1), ( 2,3, 2)

( ) ( 3,2,1) ( 3,2,1)( 3,2,1), ( 3, 2,1)vP OA v

.

Portanto,

( , ) ( ) (2, 3, 2) ( 3,2,1) ( 1, 1, 1) 3.vd O OA OA

Logo, a distância buscada é 3 metros.

5.7.3 Distância entre planos e de reta a planoOs dois casos desta seção podem ser calculados por um mesmo mé-todo. Comecemos com distância entre planos.

Sejam , ′ planos. Nosso interesse é calcular a distância d( ,′ ) entre eles, supondo que são paralelos (se não são paralelos, então se intersectam, e definimos sua distância nesse caso como sendo zero). Podemos então escrever, sem perda de generalidade

::ax by cz dax by cz d

em que ( , , ) (0,0,0)a b c e 'd d . Nossa estratégia é a seguinte: es-colha arbitrariamente 0 0 0 0( , , )P x y z P e tome a distância desse ponto a ′ . Essa é a distância procurada. Usando a fórmula da distância de ponto a plano, temos

134

d( ,′ ) 0 0 0

2 2 2 2 2 2

' '( , ')

ax by cz d d dd P P

a b c a b c

,

no qual usamos o fato de que 0 0 0ax by cz d , pois 0P P (por hipótese), para obter a última igualdade.

Exemplo: Dados os planos

: 2 3 1P x y z

′ ' : 6 1 2P ax y b z ,

obtenha, se possível, os valores de a e b para os quais os planos são paralelos e calcule a distância entre eles.

Resolução: Para que e ′ sejam paralelos, devemos ter que o vetor (2, 3,1)n normal a é paralelo ao vetor

( 1)' ( ,6,1 ) ( 2) , 3,

2 2a b

n a b

,

e portanto é preciso ter 22a e

( 1)1

2b

, isto é 4a e 3b .

O plano ′ tem equação 4 6 2 2x y z , ou alternativamente 2 3 1x y z . A distância será

d( ,′ )2 2 2

1 ( 1) 2( , ')

142 ( 3) 1d P P

.

Se contemplamos calcular a distância entre uma reta e um plano, novamente o único caso de interesse é quando a reta é paralela ao plano. Basta tomar novamente um ponto arbitrário da reta e calcular a distância desse ponto ao plano. Esse caso é tão simples e similar ao anterior que o deixamos como exercício para você:

Exercício

Verifique que a reta20) 1

: 3 ( )2

x ty t tz t

e é paralela ao plano

:: 2 3x y z P e calcule a distância entre eles.

135

5.7.4 Distância de reta a retaO único caso não-trivial é o caso de retas reversas. Se as retas são coincidentes ou concorrentes, tomaremos a distância entre elas igual a zero por definição. Se são paralelas, para calcular a distância entre elas basta tomar um ponto arbitrariamente em uma delas (qualquer ponto em qualquer uma das duas retas funcionará) e calcular a dis-tância desse ponto a outra reta: essa é a distância buscada. Faremos isso concretamente em um exemplo.

Exemplo: Calcule a distância entre as retas

: ( )x ty t tz t

e

1: 2 ( )

1

x ty t tz t

.

Resolução: Essas retas são claramente paralelas, pois seus vetores diretores são iguais e você pode checar que o ponto '(1, 2,1)A está em ' mas não em . Tomando o próprio ponto 'A , podemos usar a tecnologia da Seção 5.7.2 para computar a distância desse ponto à reta . Tomemos arbitrariamente um ponto em , digamos a origem

(0,0,0)O , e calculemos a projeção de (1, 2,1)OA

sobre (1,1,1)v (vetor diretor de e ' ):

v(1, 2,1), (1,1,1) 4 4 4

( ) (1,1,1) , ,(1,1,1), (1,1,1) 3 3 3vP OA

.

A distância buscada é o módulo do vetor

1 2 1( ) , ,

3 3 3vOA OA

,

ou seja,1 2 1 2

( , ') , ,3 3 3 3

d

.

Você pode tentar repetir o cálculo com outros pontos e checar o resultado.

Quando as retas, digamos e ' , são reversas, já vimos que é possí-vel obter planos

e ′ paralelos, contendo respectivamente e ' .

A distância entre as retas é a distância entre esses planos (convença-se disto, fazendo uma figura). Novamente, basta trabalhar com um exemplo.

136

Exemplo: Calcule a distância entre as retas reversas

1 2 3: 1 e ' : 1 2

3 1 .

x t x sy t y sz t z s

Resolução: Para obter os planos paralelos, temos que obter um vetor normal comum, o que é feito através do produto vetorial dos veto-res diretores das retas, (1,1, 1) (3,2,1) (3, 4, 1)n . O plano contendo é o plano de vetor normal n passando pelo ponto ( 1, 1,3)A de , que é

: 3 4 2x y z

P .

Nem precisamos obter a equação para ′

pois, sabendo que esse plano é paralelo a ′

só precisamos tomar um ponto nele, digamos '(2,1,1) 'A , e calcular sua distância a

. Portanto

2 2 2

3 2 4 1 1 2 3( , ') ( ', )

263 ( 4) ( 1)d d A

.

ExercíciosSejam21)

0 1 0 1

0 2 0 2

0 3 0 3

' ': e ' : ' '

' ' ,

x x v t x x v sy y v t y y v sz z v t z z v s

retas reversas. Seja n um vetor não-nulo ortogonal simultane-amente a 1 2 3( , , )v v v v e 1 2 3' ( ' , ' , ' )v v v v . Sejam A ponto de e 'A ponto de ' . Mostre que

( , ') ( ')nd AA

.

Use esse resultado para calcular novamente a distância entre as retas reversas do segundo exemplo da seção 5.7.4.

Considere o plano 22) : 3 6 4 12x y z P . Calcule a distância desse plano à origem e obtenha o ponto de que realiza essa distância.

137

Calcule a distância entre o ponto 23) (1, 2,1)P à reta

1 3: 2 4 ( )

3

x ty t tz

Idem para a distância entre P e o plano : 4 2x t s P , y t , z s ( , )t s .

Sejam 24) 1 a reta que passa pelos pontos 2,3,2A e 2, 1,0B , e 2 a reta interseção dos planos 11 : 3x y z P e 22 : 2 0x y P . Mostre que as retas 1 e 2 são reversas e calcule a distância entre elas.

Dados dois pontos distintos 25) A e B, obtenha uma equação para o lugar geométrico L dos pontos eqüidistantes de A e B. Examinando essa equação, verifique que L é o plano com vetor normal paralelo à reta que passa por A e B e contém o ponto médio do segmento AB.

Dados três pontos distintos e não-colineares 26) A, B e C, mos-tre que o lugar geométrico L dos pontos eqüidistantes a A, B e C é uma reta perpendicular ao plano contendo A, B e C. Determine a interseção de L e .

Dois aeroportos 27) A e B distam 18km. Por um erro no projeto, os prolongamentos das pistas de decolagem se intersectam em um ponto O de modo que o triângulo AOB é eqüilátero. Para tentar compensar a falha, os controladores de vôo determina-ram que os aviões saindo de A devem passar a uma altitude de 2km sobre O, e os que saem de B devem estar a 3km sobre O. Sabe-se que a distância mínima de segurança entre as aero-naves é de 992m. Você embarcaria em algum desses vôos?

138

Bibliografia ComentadaAlém dos livros comentados ao final do capítulo 4, podemos incluir os seguintes livros:

[1] LIMA, Elon L. de. Geometria analítica e álgebra linear. Rio de Janeiro: SBM, 2001.

Esse livro contém todo o conteúdo do capítulo 5. O tratamento é rigoroso, com vários exemplos. É um livro que deve constar em qualquer biblioteca de matemática.

[2] LIMA, Elon L. de. Coordenadas no plano. 4. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2002.

[3] LIMA, Elon L. de. Coordenadas no espaço. 3. ed. Rio de Janeiro: SBM, 1998.

Esses dois livros têm um tratamento similar, são uma introdução à Geome-tria Analítica Plana e Espacial, respectivamente. O livro sobre coordenadas no plano tem vários exercícios e passou por várias revisões. O professor Elon escreveu vários textos universitários de matemática, todos são fontes confiáveis de consulta.

Capítulo 6Superfícies Quádricas

Capítulo 6Superfícies Quádricas

Neste Capítulo, apresentamos uma classe de figuras geomé-tricas em três dimensões – isto é, subconjuntos do 3

– de grande interesse em aplicações fora e dentro da Matemática, as (superfícies) quádricas. Antes disso, a fim de introduzir adequadamente o tema, será necessária uma breve revisão de certos resultados sobre matrizes e determinantes.

6.1 Revisão de matrizesEm tratamentos informais, uma matriz é apresentada como uma tabela retangular de números reais como, por exemplo:

2 3 61 0 p

.

Em que pese seu apelo intuitivo, porém, essa definição deixa a de-sejar em um tratamento mais cuidadoso porque dá a impressão (er-rônea) de uma matriz como sendo um objeto matemático mal defi-nido. Isso pode ser facilmente corrigido por uma definição rigorosa, que, no entanto, permite manter intacta a visualização da matriz como uma tabela.

Denotamos por nI o conjunto dos n primeiros números naturais, isto é, {1,2, , }nI n

.

Definição 6.1. Sejam ,m n . Uma matriz m por n é uma função : m nA I I . Para cada ( , ) m ni j I I , o valor ( , )A i j é cha-

mado entrada da matriz A .

No exemplo dado acima, temos duas linhas e três colunas e, portan-to, gostaríamos de pensar nessa tabela como uma matriz 2 por 3 no sentido de nossa definição. Se consideramos então a função

2 3:A I I

142

dada por(1,1) 2A , (1, 2) 3A , (1,3) 6A ,

(2,1) 1A , (2, 2) 0A , (2,3)A p= ,

vemos que A pode ser inteiramente descrita pela tabela do exem-plo: pela tabela, o número localizado na ésimai linha (contada de cima para baixo) e na ésimaj coluna (contada da esquerda para a direita) representa o valor (entrada) ( , )A i j da matriz. Por exemplo, o número localizado na 2ª linha e 3ª coluna é o p, logo escrevemos

(2,3)A p= . Reciprocamente, se nos é dada a função A como acima, nada nos impede de organizar os valores em uma tabela, já que exis-te um número finito deles, estabelecendo por convenção que cada par ordenado ( , )i j no domínio 2 3I I de A dá as coordenadas do número ( , )A i j na tabela, sendo i o número da linha, e j o da co-luna, em que ( , )A i j aparece na tabela. Recuperaríamos, nesse caso, precisamente a tabela do exemplo.

Essa discussão, é claro, visa apenas a colocar a definição de matri-zes em bases mais sólidas. No que segue, adotaremos na prática a apresentação usual de uma matriz por uma tabela. No entanto, você deverá estar ciente de que essa tabela, que é um desenho no papel, é apenas uma representação gráfica conveniente da matriz, que é um objeto matemático abstrato (uma função), podendo ser obtido sem ambigüidade a partir da tabela. Além disso, se A é uma matriz m por n, escreveremos seu valor em ( , )i j pondo ijA ao invés de ( , )A i j , que seria uma notação precisa, mas não usada tradicionalmente. Em termos concretos, escreveremos A na forma

11 1

1

n

m mn

A A

A A

.

Também utilizaremos freqüentemente a notação 11

[ ]ij i mj n

A A

ou

sua versão mais curta [ ]ijA A , quando não houver possibilidade de confusão.

No espírito acima, damos uma definição precisa de linha e coluna de uma matriz.

143

Definição 6.2. Seja A uma matriz m por n . Para cada 1 i m (res-pectivamente, 1 j n ), a i-ésima linha (respectivamente, j-ésima coluna) da matriz A é a função :A

i nl I dada por ( ) ( , )Ail k A i k

para 1 k n (respectivamente, :Aj mc I dada por ( ) ( , )A

jc k A k j para cada 1 k m ). A tem, portanto, m linhas e n colunas.

Valem aqui observações semelhantes às feitas após a Definição 6.1.

Na prática, se apresentamos a matriz A como uma tabela, sua i-ésima linha é dada univocamente pelos n números 1, ,i inA A , dis-postos horizontalmente ao longo da i-ésima linha na tabela, e sua j-ésima coluna, pelos m números 1 , ,j mjA A dispostos verticalmente na coluna correspondente na tabela. Esse fato é precisamente o que justifica os termos linha e coluna dados às funções abstratas da de-finição 6.2.

No primeiro exemplo, a segunda linha seria formalmente a função

2 3:I I dada por

2 (1) 1l , 2 (2) 0l , 2 (3)l p= .

Exercício Na função 1) 2 2:I I I , dada por (1,1) (2,2) 1I I e

(1, 2) (2,1) 0I I , represente–a por uma tabela. Obtenha as funções correspondentes respectivamente à segunda linha e à primeira coluna dessa tabela. Faça o mesmo com a função

: n nI I I dada por 1, se

( , )0, se

i jI i j

i j

.

Finalmente, dada a tabela

2 3 51

2 02

3 4 6

,

obtenha a função correspondente (domínio, contradomínio e valores).

144

Entre as matrizes, há alguns tipos que merecem atenção especial, e portanto um nome em separado. Seja A uma matriz m por n. Dizemos que A é uma matriz–linha (ou vetor–linha) se 1m , isto é, se A tem uma única linha. De forma semelhante, A é dita ser uma matriz–coluna (ou vetor–coluna) se 1n , ou seja, se A possui uma única coluna. A matriz nula m por n tem todas as entradas iguais a zero, e será denotada por 0mn.

Se m n , dizemos que A é uma matriz quadrada, e o número n é a ordem da matriz A. Sendo

11 1

1

n

n nn

A AA

A A

uma matriz quadrada de ordem n, a seqüência 11 22, , , nnA A A é cha-mada diagonal principal. Uma matriz quadrada de ordem 1 pode ser identificada com um número real, sua única entrada.

Entre as matrizes quadradas de uma ordem fixada n, uma se destaca: a matriz identidade (de ordem n), que representamos por

nI , da forma

nI1 0

0 1n

I ,

ou seja, essa matriz tem todas as entradas da diagonal principal iguais a 1 e todas as demais entradas iguais a zero. Uma matriz qua-drada que tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero é chamada de diagonal. A matriz identidade é um exemplo desse tipo de matriz.

Dada uma matriz A, m por n, definimos sua transposta, denotada por tA , como a matriz n por m (note a troca!) obtida a partir de A tro-

cando suas linhas por suas colunas. Mais precisamente, cada entrada ( , )i j da transposta é a entrada ( , )j i de A. Em símbolos:

( ) ,1 ,1tij jiA A i m j n .

145

Como exemplo, a transposta da matriz do primeiro exemplo é

2 13 06 p

.

Uma matriz A é dita ser simétrica se é igual à sua transposta, isto é, se tA A , ou equivalentemente se

,1 ,1ij jiA A i m j n .

Para isso acontecer, a matriz tem que ser necessariamente quadrada (por quê?). A matriz identidade de qualquer ordem n é simétrica. De fato, toda matriz diagonal é simétrica. Mais adiante veremos ou-tros exemplos de matrizes quadradas especiais e, em particular, de matrizes simétricas.

Parte da utilidade das matrizes é que podemos definir operações en-tre elas, à semelhança do que fazemos com números ou vetores.

Definição 6.3. Sejam A e B ambas matrizes m por n . A soma de A e B é a matriz A B m por n com entradas dadas por

[ ]ij ijA B A B ,

isto é, para cada 1 i m , e cada 1 j n , a entrada da soma corres-pondente a ( , )i j é ij ija b .

Note que a soma de matrizes só está definida entre matrizes com mesmo número de linhas e colunas. A próxima Proposição, cuja de-monstração é deixada como exercício, lista as principais proprieda-des da soma de matrizes.

Proposição 6.1. A soma de matrizes goza das seguintes proprie-dades:

(S1) ( ) ( )A B C A B C , para matrizes m por n quaisquer A, B, C (Associatividade),

(S2) 0 0mn mnA A A , para uma matriz m por n qualquer A (Existência de Elemento Neutro),

146

(S3) Para uma matriz m por n qualquer A, existe uma matriz m por n, que denotamos por A , tal que

( ) ( ) 0mnA A A A (Existência de Inverso Aditivo),

(S4) A B B A , para matrizes m por n quaisquer A , B (Comutatividade).

Você pode verificar, também como exercício, que o elemento neutro da soma (a matriz nula) é único, assim como também é única, para cada matriz A, a sua matriz oposta (isto é, seu inverso aditivo). Note que essas propriedades são idênticas às das somas de números ou de vetores, o que justifica o nome “soma” dada à operação.

Assim como fizemos com vetores, podemos multiplicar matrizes por escalares.

Definição 6.4. Seja A uma matriz m por n e um número real. A multiplicação de por A é a matriz A m por n com entradas dadas por

[ ]ijA A ,

isto é, A é a matriz obtida a partir de A multiplicando cada entrada por .

A próxima proposição, cuja demonstração é também deixada como exercício, lista as principais propriedades da multiplicação de matri-zes por escalares.

Proposição 6.2. A multiplicação de matrizes por escalares goza das seguintes propriedades:

(SM1) 1 2 1 2( ) ( )A A = , para uma matriz m por n A e

1 2, ∈ quaisquer,

(SM2) 1 2 1 2( )A A A + = + , ( )A B A B + = + para matrizes m por n A , B e 1 2, , ∈ quaisquer,

(SM3) 1A A para uma matriz m por n A qualquer.

Novamente, note que essas são precisamente as propriedades da multiplicação de vetores por escalares. Isso não é mera coincidên-

147

cia, pois, com essas operações, tanto as matrizes m por n (com m e n arbitrários mas fixos) quanto os vetores são exemplos de uma estrutura algébrica chamada espaço vetorial, que você estudará em detalhes na Álgebra Linear. Mas as matrizes ainda possuem, além dessas operações, uma terceira, o produto de matrizes.

Definição 6.5. Sejam A matriz m por n e B matriz n por p . O pro-duto de A por B é a matriz AB m por p com entradas dadas por

1

( ) : ,1 ,n

ij ik kjk

AB A B i m i j p

.

Observe que o produto de matrizes só está definido se o número de colunas da matriz “à esquerda” for igual ao número de linhas da matriz “à direita”, sendo o resultado uma matriz com o número de linhas igual ao da primeira matriz e com o número de colunas igual ao da segunda matriz. Em particular, pode existir um produto AB e não existir o produto BA.

Uma situação muito importante é quando consideramos matrizes quadradas A e B de uma certa ordem fixada n. Nesse caso, o pro-duto AB e o BA das duas matrizes está definido e dá uma matriz de ordem n em ambos os casos. O interessante é que o produto, ao contrário do caso com números, não precisa ser comutativo, isto é, pode acontecer que

AB BA .

Você pode verificar isso explicitamente calculando o produto AB, sendo o BA sendo, por exemplo,

0 1 2 0 e

1 0 0 1A B

.

O resultado será

0 1 0 22 0 1 0

AB BA

.

Em alguns casos particulares, no entanto, é possível ter AB BA (você conseguiria pensar em alguns exemplos?). Outra proprie-dade curiosa do produto de matrizes é que, ao contrário do que

148

acontece com números, podemos ter que AB é a matriz nula com A e B ambas não nulas, por exemplo, se

0 1 2 0 e

1 0 0 1A B

.

Listamos agora as propriedades do produto de matrizes.

Proposição 6.3. O produto de matrizes goza das seguintes proprie-dades:

(P1) ( ) ( )AB C A BC , para matrizes A m por n, B n por p e C p por q quaisquer,

(P2) n mAI I A A , para uma matriz m por n qualquer A,

(P3) ( )A B C AB AC , para matrizes A m por n e ,B C n por p quaisquer,

(P4) ( )A B C AC BC , para matrizes ,A B m por n e C n por p quaisquer.

Demonstração: Exercício.

A propriedade (P2) acima mostra que, se A é uma matriz quadrada de ordem n, a matriz identidade de ordem n , nI , funciona como um elemento neutro, isto é, n nAI I A A . Mais precisamente, se cha-mamos de nM o conjunto de todas as matrizes quadradas de uma ordem fixada n , então o produto de matrizes define uma operação nesse conjunto com elemento neutro dado por nI . Ora, dado a um número real não-nulo, sempre existe um número real b tal que

1ab ba . Ocorre o mesmo com matrizes? Isto é, dada uma matriz

nA M não-nula, será que sempre existe alguma matriz nB M tal que nAB BA I nI ? A resposta, em geral, é não.

Exemplo. Seja 1 00 0

A

.

Dada qualquer matriz 2 por 2 B , podemos escrever

a bB

c d

.

149

Mas temos

0 0a b

AB

,

e00

aBA

c

,

e nenhuma dessas duas matrizes pode ser igual à matriz identidade de ordem 2 (por que?).

Definição 6.6. Uma matriz quadrada de ordem n é dita ser invertí-vel se existir uma matriz B tal que

nAB BA I= = .

Nesse caso, a matriz B é dita ser a inversa de A . (Observe que em caso positivo, essa condição implica que B também tem que ser qua-drada de ordem n).

Como vimos acima, a inversa de uma matriz quadrada pode não existir, isto é, nem toda matriz quadrada é invertível. Mas se existe, é única: sendo A uma matriz quadrada de ordem n e se , 'B B são inversas, temos

( ') ( ) ' ' '.n nB BI B AB AB B I B B= = = = =

A primeira igualdade segue de que nI é elemento neutro para o pro-duto em nM ; a segunda igualdade de 'B ser inversa de A; a terceira da associatividade do produto de matrizes; a quarta de B ser inver-sa de A; e a última igualdade ocorre novamente de nI ser elemento neutro do produto em nM . A unicidade da inversa justifica o uso do artigo definido que usamos na Definição 6.6. Também justifica que denotemos por 1A a matriz inversa de A.

Note ainda que o fato da inversa ser única sempre significa que, se 1A é a matriz inversa de A, então A é a matriz inversa de 1A , isto é, 1 1( )A A (por quê?).

Uma questão que surge então naturalmente é: dada uma matriz quadrada, como saber se ela é invertível? Será possível calcular sua inversa? A resposta vem do uso do determinante de uma matriz, que será discutido na próxima Seção.

150

6.2 Determinantes e sistemas linearesA partir de agora, matriz sempre significará, a menos de menção explícita em contrário, matriz quadrada de ordem n, com n fixado. Só nos interessarão de forma mais detalhada os casos 2,3n .

Historicamente, os determinantes de matrizes apareceram como formas de expressar de maneira concisa soluções para sistemas de n equações lineares com n incógnitas. Alguns cálculos envolvendo determinantes de matrizes já ocorriam em tratados chineses do séc. III a.C., embora no Ocidente só começassem a ser utilizados com esse fim a partir do séc. XVII d.C.. No século XIX de nossa era, passaram a ser estudados de forma sistemática, e várias de suas principais propriedades foram estabelecidas nessa época. Hoje, os determinan-tes são ferramenta fundamental em vários aspectos do estudo de matrizes, como a existência de soluções de certos sistemas de equa-ções lineares e na determinação da inversibilidade de uma matriz.

Um desenvolvimento sistemático da teoria dos determinantes e, em particular sua aplicação aos sistemas lineares, está fora do nosso es-copo e será apresentado com detalhes no curso de Álgebra Linear. Apresentaremos aqui os resultados principais de forma relativa-mente esquemática, enfatizando os casos 2,3n .

Comecemos considerando um sistema de n equações lineares com n incógnitas 1, , nx x :

11 1 1 1

1 1

n n

n nn n n

a x a x b

a x a x b

(1)

Usando a definição de produto de matrizes, você pode verificar que o sistema pode ser reescrito na forma

11 1 1 1

1

n

n nn n n

a a x b

a a x b

. (2)

151

Se então chamamos

11 1 1 1

1

, e n

n nn n n

a a x bA X b

a a x b

,

podemos reescrevê-la na forma simples

AX b .

Dessa maneira, o sistema com n equações numéricas se torna uma única equação entre matrizes, tendo como incógnita a matriz–colu-na X . A eq. (2) é chamada forma matricial do sistema (1), e A, a matriz dos coeficientes desse sistema. A ordem do sistema é a ordem de sua matriz de coeficientes. Uma solução do sistema (1) é então uma ma-triz coluna X satisfazendo (2).

Como você pode imaginar, o problema de obter diretamente solu-ções para (1) fica mais complicado à medida que n, o número de equações e incógnitas, cresce. Surpreendentemente, o matemático suíço Gabriel Cramer (1704–1752) desenvolveu um método, hoje co-nhecido como Regra de Cramer, que dá a solução geral do sistema (1) em termos de certos determinantes (mediante algumas hipóteses – veja abaixo).

Para ver como a Regra de Cramer funciona, é interessante conside-rar dos casos 2n e 3n , que serão os únicos importantes para nós, nesse momento.

Iniciando com o sistema de 2n

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

a x a x ba x a x b

podemos subtrair a segunda equação multiplicada por 12a da pri-meira equação multiplicada por 22a e obter

11 22 12 21 1 1 22 2 12( )a a a a x b a b a , (3)

e assumindo que 11 22 12 21 0a a a a , teremos

1 22 2 121

11 22 12 21

b a b ax

a a a a

.

152

Similarmente, você pode tentar obter, multiplicando a primeira equação do sistema por 21a , a segunda por 11a e, operando de forma conveniente, que

11 22 12 21 2 2 11 1 21( )a a a a x b a b a . (4)

Novamente, sendo 11 22 12 21 0a a a a , teremos

2 11 1 212

11 22 12 21

b a b ax

a a a a

.

Portanto, há uma única solução 1

2

xx , inteiramente determinada pelas

equações acima, desde que nossa hipótese 11 22 12 21 0a a a a se verifique. Note que em ambas as equações, à parte dos denominadores serem ambos iguais a 11 22 12 21a a a a , a solução não parece muito simples de memorizar.

Isso muda se introduzirmos a seguinte definição:

Definição 6.7. Dada uma matriz 2 por 2 qualquer

11 12

21 22

b bB

b b

o determinante de B, denotado por det B, é o número 11 22 12 21b b b b .

Com essa definição, concluímos que, para existir uma única solução de nosso sistema, é suficiente que o determinante da matriz dos coeficientes

11 12

21 22

a aA

a a

seja diferente de zero. Em caso afirmativo, teremos

1 12 11 1

2 22 21 21 2

det det e

det det

b a a bb a a b

x xA A

como você pode verificar diretamente, usando a Definição 6.7. O nu-merador de cada ix é o determinante da matriz obtida a partir da matriz dos coeficientes substituindo a i-ésima coluna ( 1,2i confor-

153

me o caso) dessa matriz pelo vetor–coluna 1

2

bb

, e o denominador,

comum a todos eles, é det A Regra de Cramer para sistemas 2 por 2 é precisamente essa.

Exemplo. Use a Regra de Cramer para obter a solução do sistema

1 2

1 2

2 53 6.

x xx x

Resolução. Primeiro, note que o determinante da matriz dos coefi-cientes é

2 1det 2 ( 3) 1 1 7 0

1 3

,

e, portanto, podemos aplicar a regra de Cramer, que nesse caso dá:

1 2

5 1 2 5det det

6 3 1 6( 21) 73 e 1

( 7) ( 7) ( 7) ( 7)x x

,

ou seja, 31

é a (única) solução.

E se det 0A ? Nesse caso, obtemos de (3) e (4) que:

1 22 2 12 1

2 11 1 21 2

00 ,

b a b a xb a b a x

.

Temos então duas possibilidades. Na primeira

1 22 2 12 2 11 1 21 0b a b a b a b a .

Nesse caso, o sistema admite infinitas soluções: qualquer vetor–

coluna 1

2

xx

é solução do sistema. A segunda possibilidade é se

1 22 2 12 0b a b a ou 2 11 1 21 0b a b a Nessa situação, o sistema não admite nenhuma solução.

Em situações concretas, os sistemas dois por dois são simples o su-ficiente para que os resolvamos sem utilizar a Regra de Cramer. No entanto, é possível generalizar essa discussão para sistemas de or-dem n qualquer, nos quais o método pode se tornar de grande valia. O principal resultado a esse respeito pode ser resumido no seguinte Teorema, que apresentaremos sem demonstração:

154

Teorema 6.1 (Regra de Cramer – Caso Geral). Um sistema com n equações e n incógnitas

11 1 1 1

1 1

n n

n nn n n

a x a x b

a x a x b

,

cuja matriz dos coeficientes tem determinante diferente de zero, em símbolos,

11 1

1

det 0n

n nn

a a

a a

,

tem uma única solução dada por

11 1 1

1

11 1

1

det

,

det

n

n n nni

n

n nn

a b a

a b ax

a a

a a

com 1, 2, ,i n , em que o numerador é a matriz obtida a partir da matriz dos coeficientes substituindo–se a i-ésima coluna pelo vetor

coluna 1

n

b

b

.

Apesar de dar a solução do sistema de forma explícita, a Regra de Cramer não é muito utilizada em cálculos numéricos concretos quando n é grande, pois o cálculo dos determinantes se torna bas-tante pesado, mesmo usando o computador. Mas com 3n , essa re-gra é utilíssima, e os cálculos envolvidos podem ser feitos manual-mente. Note ainda que não se pode utilizar a Regra de Cramer caso o determinante da matriz dos coeficientes seja nulo. Nesse caso, ou a solução do sistema não existe, ou existem infinitas soluções.

Para utilizar a Regra de Cramer, obviamente temos que calcular de-terminantes. Para o caso 3n , a definição é:

O caso intermediário, em que o número de soluções é finito e maior do que um, não pode ocorrer. Como já indicamos, a razão disto ficará clara quando você estudar álgebra linear.

155

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12

31 32 33

det .a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a

Podemos escrever a soma do segundo membro na forma

11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31( ) ( ) ( )a a a a a a a a a a a a a a a

ou, ainda, como

22 23 21 23 21 2211 12 13

32 33 31 33 31 32

det det deta a a a a a

a a aa a a a a a

.

Chame de A a matriz, 3 por 3, original e, para cada , 1, 2,3i j , chame de ( )ijA a matriz 2 por 2 obtida a partir de A removendo-se a

ésimai linha e a ésimaj coluna. Finalmente, definimos o cofator do elemento ija por

,( 1) det i ji jij A

( )ijA ,

e podemos, então, escrever

3

11 11 12 12 13 13 1 11

det j jj

A a a a a

.

É interessante notar que 11 12 13( )a a a é a primeira linha da matriz A . No entanto, você pode testar por você mesmo que, se tomásse-mos qualquer linha, o resultado seria o mesmo! Isto é, se considerás-semos a i-ésima linha ( 1, 2,3)i ainda teríamos

3

1 1 2 2 3 31

det i i i i i i ij ijj

A a a a a

.

Esta fórmula é o desenvolvimento do determinante de A pela i-ésima linha. Tem mais: uma fórmula análoga vale para colunas! Em outras palavras, se fixamos a j-ésima coluna ( 1, 2,3)j , temos

3

1 1 2 2 3 31

det j j j j j j ij iji

A a a a a

.

Essas fórmulas podem ser generalizadas para n qualquer, e são chamadas de desenvolvimento de Laplace do determinante.

156

Exemplo. Obtenha o determinante da matriz

1 2 32 1 12 1 2

A

.

Resolução. Vamos tomar, por exemplo, a segunda coluna para desen-volver o determinante. A fórmula geral, nesse caso, se torna:

12 22 32det ( 2) 1 ( 1)A .

Calculando os cofatores:

1 212

2 1( 1) det 2

2 2

;

2 222

1 3( 1) det 8

2 2

;

3 232

1 3( 1) det 7

2 1

.

Portanto,det ( 2) ( 2) 1 8 ( 1) 7 5A .

Você pode escolher outra linha ou coluna e desenvolver o determi-nante a partir dela, para verificar que o mesmo resultado é obtido.

Exemplo. Resolva o sistema 3 por 3

2 3 7 13 5

2 0.

x y zx zy z

Resolução. Considerando a matriz dos coeficientes, temos

2 3 7det 1 0 3 1 0

0 2 1

.

Portanto, podemos usar a Regra de Cramer. Nesse caso, temos

1 3 7det 5 0 3

0 2 149

1x

157

2 1 7det 1 5 3

0 0 19

1y

2 3 1det 1 0 5

0 2 018.

1z

Definição. Seja A uma matriz quadrada. Cof ( )A é a matriz tal que sua entrada ij é o cofator ij . Verifique que .(Cof ( )) (det ).t

nA A A I . (Cof ( ))tA é chamado de adjunta clássica de A.

6.3 QuádricasAs (superfícies) quádricas são subconjuntos de pontos 3( , , )x y z que satisfazem uma equação da forma

2 2 2 2 2 2 0ax by cz dxy exz fyz gx hy iz j ,

em que , ,a j são números reais quaisquer. Por exemplo, a esfera com centro na origem e raio 0r é uma quádrica, pois se fazemos

1a b c , 0d e f g h i e j r obtemos sua equação como um caso particular da equação geral. É conveniente escrever essa equação na forma matricial

( ) ( ) 0a d e x x

x y z d b f y g h i y je f c z z

(Verifique). Fazendo

a d eM d b f

e f c

, g

N hi

e x

X yz

,

podemos reescrever aquela equação na forma mais simples

0t tX MX N X j .

158

Assim como fizemos no estudo das cônicas (que, aliás, podem ser pensadas como versões, no plano, das quádricas), dada uma equa-ção na forma quadrática acima, podemos realizar rotações e trans-lações dos eixos coordenados de modo a reduzir a equação a uma forma mais simples, que nos permita identificar e esboçar as quádri-cas. No entanto, esse processo é bem mais difícil em três dimensões, pois no espaço há um número maior de possibilidades geométricas ao se realizarem rotações e translações. Apesar disso, o resultado final desse processo pode ser resumido no seguinte resultado, a ser provado na Álgebra Linear:

Teorema 6.2. Dada uma matriz simétrica M de ordem n, existe uma matriz ortogonal Q, isto é, tal que

' ' ,nQ Q QQ I= = ,

tal que tQMQ é uma matriz diagonal. Dizemos que Q diagonaliza M .

Dada uma matriz M simétrica qualquer, em geral não é tarefa fácil obter uma matriz ortogonal que a diagonaliza. Esse processo cor-responde, como mencionamos, a obter novos eixos coordenados, realizando rotações em três dimensões, com respeito aos quais a equação da quádrica se simplifica. Para nós, os detalhes desse pro-cesso não serão importantes. O que importa é que a matriz que rea-liza a diagonalização existe. Dada a matriz M , seja Q uma matriz 3 por 3 ortogonal que a diagonaliza.

Note que, se A e B são matrizes (quadradas de ordem n) quais-quer, temos

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n n

t t t t tij ji jk ki ki jk ik kj ij

k k k

AB AB A B B A B A B A ,

para quaisquer 1 i , j n e, portanto, t t tAB B A . Assim,

tD QMQ , S QN e Y QX ,

lembrando-se que ' ' ,nQ Q QQ I= = que é o elemento neutro para o produto de matrizes. Logo,

( ) ( ) .

t t t t t t t

t t t t t

X MX N X j X Q QMQ QX N Q QX jQX QMQ QX QN QX j Y DY S Y j

159

Agora, escrevendo

1

2

3

0 00 00 0

D

, 1

2

3

S

e '''

xY y

z,

a equação da quádrica ficará

2 2 21 2 3 1 2 3' ' ' ' ' ' 0x y z x y z j + + + + + + = .

No que segue, omitimos o sobrescrito '.

6.3.1 Quádricas centraisTemos uma variedade bastante grande de possíveis quádricas. Con-centrar-nos-emos inicialmente no caso em que 1 2 3 0 = = = :

2 2 21 2 3 0x y z j + + + = .

As quádricas correspondentes são ditas centrais, pois se um ponto ( , , )x y z pertence à quádrica, então ( , , )x y z também pertence, ou seja, quádricas desse tipo permanecem inalteradas se realizamos uma reflexão em torno da origem. Por exemplo, uma esfera de raio unitário com centro em (1,1,1) não é uma quádrica central, pois sua equação pode ser escrita na forma: (verifique!)

2 2 2 2 2 2 2 0x y z x y z ,

que não tem a forma geral. De fato, por uma reflexão em torno da origem, essa esfera seria levada em uma esfera de raio unitário, mas com centro em ( 1, 1, 1) . Geralmente, não é difícil se convencer de que somente uma esfera com centro na origem pode ser uma quádrica central.

Mesmo entre as quádricas centrais, existe uma variedade bastante grande, dependendo dos sinais relativos dos 'si e de j. Temos as seguintes possibilidades:

i) Os três 'si são nulos.

Esse caso é meramente uma curiosidade. Nesse caso, a equação re-duzida se torna

0j .

160

Se, de fato, 0j , todo ponto de 3 é solução; caso 0j ,

o conjunto de soluções é vazio. Portanto, 3 e o conjunto vazio são

tipos particulares de quádricas.

ii) Só dois dos 'si são nulos.

Para fixar idéias, tome 1 2 0 = = e 3 0 ≠ (os demais casos serão inteiramente análogos, diferindo por uma troca adequada de dire-ções). Nesse caso, a equação reduzida se torna

2

3

jz

= − .

Se 0j , essa é uma equação do plano XY , que é portanto uma

quádrica central! Se 3

0j

> , não podemos ter solução, pois nes-

se caso o segundo membro seria negativo, enquanto que 2 0z ,

e a quádrica correspondente é novamente o conjunto vazio. Se 3

0j

< ,

escrevemos 3

ja

= − , e a equação reduzida se torna

2 2z a z a ,

que descreve um par de planos paralelos ao plano XY ( z a e z a ).

iii) Somente um dos 'si é nulo.

Suponha que 3 0 = , 1 2 0 ≠ . Nesse caso, 1 e 2 podem ter o mes-mo sinal ou sinais opostos.

Caso 0j , teremos, em resumo, que:

2 21 2 0x y ± = .

Para o sinal ‘ ’, todo ponto da forma (0,0, )t com t é solução, e teremos então uma parametrização do eixo Z (verifique!). Do contrário, teremos

2 21 2 1 2 1 2( )( ) 0x y x y x y − = + − = ,

que descreve dois planos paralelos ao eixo Z (por quê?).

161

Se 0j , podemos dividir a equação reduzida por j e ficamos com

2 21 2 1x yj j

+ = .

Se 1 2, 0j j

< , a solução é o conjunto vazio. Do contrário, escrevemos

1

ja

= e 2

jb

= ,

para obter as possibilidades

a) 2 2

2 2 1x ya b

b) 2 2

2 2 1x ya b

c) 2 2

2 2 1x ya b

O caso (a) corresponde ao cilindro (reto) de base elíptica, representado na figura 6.1. Isso porque, para todo plano constantez , a equação em (a) descreve a mesma elipse, independentemente do valor de z .

z

x

y

Figura 6.1 - Cilindro reto de base elíptica

Um caso particular interessante ocorre quando a b , em que os cortes transversais do cilindro são circunferências de raio a. Nesse caso, podemos pensar no cilindro como tendo sido gerado pela ro-tação da reta paralela ao eixo z passando por ( ,0,0)a em torno do eixo Z. Esse é o chamado cilindro (reto) de revolução.

Exemplo. Identifique e esboce a quádrica dada pela equação 2 24 9 1z y .

162

Resolução. Note que a interseção da quádrica com os planos constantex não dependem do valor de x. Basta identificar o as-

pecto dessa interseção quando 0x . Nesse caso, a equação dada descreve uma elipse no plano ZY , e temos então um cilindro de base elíptica.

Os casos (b) e (c) descrevem, por razões semelhantes às do caso (a), um cilindro (reto) de base hiperbólica, pois suas seções transversais são hipérboles (fig. 6.2).

x

z

y

Figura 6.2 - Cilindro de base hiperbólica

iv) Nenhum dos 'si é nulo.

Essa é a situação mais rica. Novamente temos dois subcasos:

iv.a) 0j .

Nessa situação, a equação reduzida se torna

2 2 21 2 3 0x y z + + = .

Se todos os 'si tiverem o mesmo sinal, podemos escrever essa equa-ção na forma

2 2 21 2 3 0x y z + + =

que só admite uma solução, a saber 0x y z , e, portanto, a quá-drica será um único ponto (a origem). Do contrário, teremos dois dos 'si negativos (positivos) e o terceiro positivo (negativo). Você pode verificar, como exercício, que todas as possibilidades são dadas por equações da forma:

163

2 22

2 2

2 22

2 2

2 22

2 2

,

,

.

x yz

a bx z

ya cy z

xb c

2 22

2 2

2 22

2 2

2 22

2 2

,

,

.

x yz

a bx z

ya cy z

xb c

2 22

2 2

2 22

2 2

2 22

2 2

,

,

.

x yz

a bx z

ya cy z

xb c

Estas três possibilidades correspondem a um cone duplo de base elípti-ca. Vamos considerar a primeira dessas equações. Para ver o porquê dessa denominação, basta notar que a interseção com um plano pa-ralelo ao plano XY é dada, tomando-se constantez na equação. Se 0z , temos que ter 0x y , e, portanto, o plano XY intersecta essa quádrica em um único ponto. Quando 0z , a equação des-creve elipses, cujo tamanho, porém, depende do valor de 2z , e em particular a equação é invariante pela transformação z z , o que mostra que a figura se mantém inalterada por uma reflexão com respeito ao plano XY . A interseção dessa quádrica com o plano YZ

( 0x ) são as retas y

zb

, e com o plano XZ ( 0y ) são as retas x

zb

. A representação desse tipo de cone está na figura 6.3.

O eixo Z nesse caso coincide com o eixo do cone. No caso particular em que a b , temos um cone duplo de revolução, pois podemos pen-

sá–lo como tendo sido gerado pela rotação da reta x

za

em torno

do eixo Z. As duas equações restantes descrevem cones cujo eixo coincide com os eixos Y e X , respectivamente.

Exemplo. Identifique e esboce a quádrica dada pela equação

2 2 22 0x y z .

Resolução. Podemos escrever essa equação na forma 2 2 22z x y , que tem a forma da primeira equação, sendo portanto um cone du-plo de base elíptica. Para esboçá–lo, considere elipses representativas com 1z .

x

z

y

Figura 6.3 - Cone duplo de base elíptica

164

iii.b) 0j .

Nessa situação, além do conjunto vazio, as demais possibilidades se reduzem a um dos grupos abaixo:

Grupo (E)•

2 2 2

2 2 2 1,x y za b c

Grupo (H1)•

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1,

1,

1,

x y za b c

x y za b cx y za b c

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1,

1,

1,

x y za b c

x y za b cx y za b c

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1,

1,

1,

x y za b c

x y za b cx y za b c

Grupo (H2)•

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1,

1,

1,

x y za b c

x y za b cx y za b c

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1,

1,

1,

x y za b c

x y za b cx y za b c

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1,

1,

1,

x y za b c

x y za b cx y za b c

O Grupo (E) tem um único representante, o elipsóide (figura 6.4).

O

z

x

y O

x

y

z

A B

Figura 6.4 - (a) Elipsóide e (b) elipsóide de revolução

165

Suas interseções com os planos XY , XZ e YZ são respectivamente as elipses

2 2

2 2 1,x ya b

2 2

2 2 1,x za c

2 2

2 2 1.y zb c

2a, 2b e 2c são os comprimentos dos eixos do elipsóide, cada um deles contido em um eixo ordenado (figura 6.4a). Se dois desses três são iguais, temos um elipsóide de revolução. Por exemplo, se b c , o

elipsóide 2 2 2

2 2

( )1

x y za b

pode ser pensado como gerado pela ro-

tação da elipse 2 2

2 2 1,x ya b em torno do eixo X (figura 6.4b).

z

x y

Figura 6.5 - Hiperbolóide de uma folha

As quádricas do Grupo (H1) são hiperbolóides de uma folha (figura 6.5). Por exemplo, se tomamos a terceira das equações acima, temos que a interseção da quádrica correspondente com o plano XZ é a

hipérbole 2 2

2 2 1,x za c com o plano YZ é a hipérbole

2 2

2 2 1.y zb c Por

outro lado, a interseção com um plano z d paralelo ao plano XY é dada por

2 2 2

2 2 21x y da b c ,

que é a equação de uma elipse. No caso em que a b , essas elipses são circunferências, e temos um hiperbolóide de revolução de uma folha,

gerado pela rotação da hipérbole 2 2

2 2 1x za c situada no plano XZ

em torno do eixo Z.

166

As quádricas do Grupo (H2) são hiperbolóides de duas folhas (figura 6.6).

x y

z

Figura 6.6 - Hiperbolóide de duas folhas

Novamente, se tomamos a terceira das equações acima, e reescreve-mo-la na forma

2 2 2

2 2 21z x yc a b ,

fica claro que todo ponto dessa quádrica satisfaz a condição z c .

Ou seja, essa quádrica não possui pontos entre os planos z c e z c . A interseção da mesma com qualquer plano z d com d c é dada pela equação

2 2 2

2 2 21x y da b c ,

que descreve uma elipse. A quádrica intersecta o plano XZ, segun-

do a hipérbole 2 2

2 2 11x za c , e com o plano YZ, segundo a hipérbo-

le 2 2

2 2 1y zb c . Novamente, se a b , temos o hiperbolóide de revolu-

ção de duas folhas.

6.3.2 Quádricas não–centraisEssas quádricas correspondem à situação na qual algum dos 'sia da equação reduzida é não nulo. Os únicos casos que vamos considerar serão aqueles que possam ser reduzidos aos seguintes grupos:

167

Grupo (PE)•

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

,

,

,

y zx

b cx z

ya cx y

za b

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

,

,

,

y zx

b cx z

ya cx y

za b

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

,

,

,

y zx

b cx z

ya cx y

za b

Grupo (PH)•2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

,

,

,

,

,

.

y zx

b cx z

ya cx y

za b

y zx

b cx z

ya cx y

za b

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

,

,

,

,

,

.

y zx

b cx z

ya cx y

za b

y zx

b cx z

ya cx y

za b

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

,

,

,

,

,

.

y zx

b cx z

ya cx y

za b

y zx

b cx z

ya cx y

za b

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

,

,

,

,

,

.

y zx

b cx z

ya cx y

za b

y zx

b cx z

ya cx y

za b

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

,

,

,

,

,

.

y zx

b cx z

ya cx y

za b

y zx

b cx z

ya cx y

za b

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

,

,

,

,

,

.

y zx

b cx z

ya cx y

za b

y zx

b cx z

ya cx y

za b

As equações do Grupo (PE) descrevem o parabolóide elíptico (figura 6.7).

z

xy

Figura 6.7 - Parabolóide elíptico

Consideremos a terceira das equações do grupo PE. Primeiramente, note que a quádrica correspondente não possui ponto para os quais

168

0z . Sua interseção com o plano XZ é a parábola 2

2

xz

a , e com

o plano YZ é a parábola 2

2

yz

b . Sua interseção com o plano XY é

dada pela equação 2 2

2 2 0x ya b , que só possui solução 0x y z ,

e com os planos z d com 0d pelas equações

2 2

2 2

x yd

a b ,

que são elipses. Quando a b , temos um parabolóide de revolução.

Finalmente, as equações do Grupo (PH) descrevem parabolóides hi-perbólicos (figura 6.8)

z

x

y

Figura 6.8 - Parabolóide hiperbólico

Considere, por exemplo, a primeira dessas equações. A interseção da

quádrica com os planos z d são as parábolas 2 2

2 2

y dx

b c , e com o

eixo XZ é a parábola 2

2

zx

c . Essa figura é formada ao deslizar a

parábola 2

2

yx

b (contida no plano XY ) sobre seu vértice ao longo

da parábola invertida 2

2

zx

c .

ExercíciosIdentifique e esboce as seguintes quádricas:

2) 2 2 24 4 4x y z ;

3) 2 2 23 8 4 1x y z ;

4) 2 2 23 8 4 1x y z ;

169

5) 2 24z x y ;

6) 2 24z x y ;

7) 2 2 2y x z ;

8) 2 2 22z x y .

Bibliografia SANTOS, Nathan Moreira dos. Vetores e matrizes. 3.ed. São Paulo: Thomson, 2007.

LIMA, Elon L. de. Geometria analítica e álgebra linear. Rio de Janeiro: SBM, 2001.

170

Referências[1] BOULOS, P. ; CAMARGO, I. de. Geometria analítica. 2. ed.

São Paulo: Mc Graw Hill, 1987.

[2] GREENBERG, M. J. Euclidean & non-Euclidean geometry: development and history. 3. ed. New York: W. H. Freeman, 1993.

[3] IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar. 4. ed. São Paulo: Atual, 1993. v. 1.

[4] IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar. 4. ed. São Paulo: Atual, 1993. v. 7.

[5] LIMA, E. L. de. Coordenadas no plano. 4. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2002.

[6] LIMA, E. L. de. Coordenadas no espaço. 3. ed. Rio de Janeiro: SBM, 1998.

[7] LINDQUIST, M. M. et al. Aprendendo e ensinando geometria. São Paulo: Atual, 1994.

[8] SAFIER, F. Pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2003. (Schaum).

[9] SANTOS, N. M. dos. Vetores e matrizes. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.