GEOMETRIA ANALÍTICA 2017

3) Circunferência 3.1 – Equação reduzida da circunferência:

(𝒙 − 𝒂)𝟐+(𝒚 − 𝒃)𝟐= 𝒓𝟐

No caso particular da circunferência estar com centro na origem, a equação

reduzida será: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐

3) Circunferência 3.1 – Equação reduzida da circunferência:

Exemplo resolvido:

A equação 𝑥 − 2 2 + 𝑦 + 3 2 = 16 é a equação reduzida da circunferência de centro

𝐶(2, −3) e raio 4.

Observações:

• Note que o ponto 𝑷(𝟐, 𝟏) pertence à circunferência, pois:

𝟐 − 𝟐 𝟐 + 𝟏 + 𝟑 𝟐 = 𝟏𝟔.

• Porém, verifique que a origem não pertence à circunferência, pois:

𝟎 − 𝟐 𝟐 + 𝟎 + 𝟑 𝟐 ≠ 𝟏𝟔

Exemplo: Encontre a equação reduzida da circunferência com centro em (-1,2) e raio 1:

𝐱 + 𝟏 𝟐 + 𝐲 − 𝟐 𝟐 = 𝟏

3) Circunferência

3.2 – Equação geral da circunferência:

Para encontrarmos a equação geral ou normal de uma circunferência, basta

desenvolvermos a equação reduzida (𝑥 − 𝑎)2+(𝑦 − 𝑏)2= 𝑟2, obtendo o seguinte:

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒂𝒙 − 𝟐𝒃𝒚 + 𝒂𝟐 +𝒃𝟐 −𝒓𝟐 = 𝟎

Exemplo resolvido:

A equação 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟗 = 𝟎 representa uma circunferência de

centro (𝟔, 𝟐) e raio 7, com equação reduzida igual 𝒙 − 𝟔 𝟐 + 𝒚 − 𝟐 𝟐 = 𝟒𝟗

3) Circunferência – Analisando os coeficientes

Equação geral da circunferência: analisando os coeficientes

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒂𝒙 − 𝟐𝒃𝒚 + 𝒂𝟐 +𝒃𝟐 −𝒓𝟐 = 𝟎

Comparando a equação geral anterior com:

Concluímos que somente existe circunferência se as três condições

necessárias forem satisfeitas:

Além disso, teremos:

3) Circunferência – Completando quadrados

3.3 – Completando quadrados:

Exemplo 1). Encontre a equação reduzida, o centro e o raio de:

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝟐𝟒 = 𝟎

3) Circunferência – Exercícios

(01). Determine a equação da circunferência com centro no ponto 𝑪(𝟐, 𝟑) e que passa

pelo ponto 𝑷(−𝟏, 𝟐):

(02). Ache a equação da circunferência cujas extremidades de um diâmetro são os

pontos 𝑨(𝟎, −𝟖) e 𝑩(𝟔, 𝟎).

(03). Determine a equação da circunferência que tem centro na reta 𝒍 de equação

𝒙 − 𝒚 − 𝟒 = 𝟎 e passa pelos pontos 𝑨(𝟎,−𝟐) e 𝑩(𝟐, 𝟎).

(04). Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos 𝑨(𝟒, 𝟐), 𝑩(−𝟏, 𝟏) e

𝑫(𝟏, 𝟏):

(05). Uma circunferência no segundo quadrante, tangente a ambos os eixos, toca o eixo

𝒚 no ponto (𝟎, 𝟑). Qual é a equação desta circunferência?

3) Circunferência

3.4 – Posições relativas entre ponto e circunferência:

3) Circunferência

3.5 – Posições relativas entre reta e circunferência:

3) Circunferência

3.5 – Posições relativas entre reta e circunferência:

Resumindo:

3) Circunferência

3.6 – Posições relativas entre circunferência e circunferência:

3) Circunferência – Problemas de tangência

3.7 – Tangência: Exemplo 1) Exemplo 2)