GEOMETRIA ANALÍTICA

ESTUDO DA RETA

PLANO CARTESIANO

PAR ORDENADO:

Grupo ordenado de dois elementos: ( x , y ) x – abscissay – ordenada

COORDENADAS SOBRE UMA RETA:

Existe uma relação biunívoca entre os pontos de uma reta e os números reais. A cada ponto corresponde um número real e vice versa. RAZÃO DE SECÇÃO OU RAZÃO DE SECCIONAMENTO

Dados três pontos A, B e C, com ( A≠B≠C ) , chama-se de razão de secção do segmento AB pelo ponto C o número real r tal que:

PONTO MÉDIO

PONTO MÉDIO: M = (xm , ym), {xm=

x a+xb

2

ym=ya+ yb

2

BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO:

Mediana: Segmento que vai de um vértice do triângulo até o ponto médio do lado oposto a este vértice.

Baricentro: É o ponto de encontro das três medianas de um triângulo

O baricentro divide cada mediana em dois segmentos tal que o maior é o dobro do outro.

G=( xg , y g)=( x A+xB+xC

3,

y A+ yB+ yC

3 )DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS: (uma dimensão)

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS: (duas dimensões)

Relembrando: Teorema de Pitágoras

CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO ENTRE TRÊS PONTOS:

Dados três pontos A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), A, B e C estão alinhados, se somente se:

Ou

D=|x A xB x x A

y A y B y y A

|=0

Caso contrário, tais pontos formam um triângulo

ÁREA DE UM TRIÂNGULO:

d=√( xB−x A )2+( y B− y A )2

D=|x1 y1 1

x2 y2 1

x3 y3 1

|=0

r= ABCB

=do extremo A até o ital corte Cdo ital corte C até o extremo B

d=√( xa− xb )2

A área S de um triângulo de vértices A = (xA, yA), B = (xB,yB) e C = (xC,yC), é obtida através da seguinte expressão:

Onde

Δ=|x A x B xC x A

y A yB yC y A

|

ÁREA DE UM POLÍGONO:

Para calcularmos a área de um polígono de n lados é suficiente calcularmos a soma das áreas dos n – 2 triângulos resultantes da decomposição do polígono.

S=S1+S2+S3+S4

EQUAÇÃO GERAL DA RETA:

Equação da Reta que passa por dois pontos A=(xa, ya) e B=(xb, yb):

|x y 1xa ya 1

xb yb 1|=0

ou

|xa xb x xa

y a yb y ya

|=0

a≠0 ou b≠0

EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA:

Da equação geral temos que ax + by + c = 0, daí

by = – ax – c by=−ax−c ⇒ y=−ax

b− c

b , chamando

−ab=m

e − c

b=n

, teremos a equação reduzida da reta:

m – coeficiente angularn – coeficiente linear

COEFICIENTE ANGULAR:

Chamando tg α=m , temos:

RETAS PARALELAS:

PERPENDICULARISMO:

b=π2

+a⇒ tgb=tg ( π2+a )=−cot ga⇒ tgb=− 1

tga∴ms=− 1

mr OBSERVAÇÃO:

- Retas paralelas aos eixos e retas que passam pela origem não possuem equação segmentária.

- A partir do gráfico de uma reta, conhecemos os pontos de interseção desta com os eixos, é imediata a obtenção da equação segmentária

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS: Dadas as retas (r) y = mr.x+b e (s) y = ms.x+c, temos:

PARALELAS - r//s mr = ms e bc

PERPENDICULARES - rs mr= -

1ms

COINCIDENTES - r = s mr = ms e b = c CONCORRENTES - r<s mr ms e bc

ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS:

tg α=m⇒m=yb− ya

xb−xa

= ΔyΔx

⇒m=−ab

mr=m s

ax +by + c = 0

S=12|Δ|

y=mx+n

Dadas as retas (r) y = mr.x+b e (s) y = ms.x+c, o ângulo entre elas é tal que:

tgθ=|mr−ms

1+mr . ms

|

Se a reta (s) for paralela ao eixo y, ou seja, sua equação é do tipo x = k, então o ângulo é dado apenas por

tgθ=| 1mr

|

DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UMA RETA:

A distância entre um ponto P=(xp, yp) e a reta (r) Ax+By +C=0 é:

d P , r=|Ax p+By p+C

√ A2+B2|

DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS PARALELASA distância entre duas retas paralelas (r) Ax+By+C e (s) Ax+By+C’=0 é:

dr , s=| C−C '

√ A2+B2|

ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA

EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

(I) Equação reduzida da circunferência de centro C=(xc, yc) e raio r:( x-xc )

2+( y-yc )2= r 2

(II) Equação geral da circunferência de centro C=(xc, yc) e raio r:

x2+ y2−2 xc x−2 y c y+xc

2+ yc2−r2=0

Sendo: C=−2 xc ; D=−2 yc e xc2+ y

c2−r2=F

Eq . Geral: x2+ y 2+Cx+Dy +F=0DETERMINAÇÃO DAS COORDENADAS DO CENTRO C=(XC, YC) E DO RAIO (R) DA CIRCUNFERÊNCIA DADA A EQUAÇÃO GERAL:

xc=C−2

; y c=D−2

e r=√ xc2+ y

c2−F

POSIÇÕES RELATIVAS

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UM PONTO P=(XP, YP) E A

CIRCUNFERÊNCIA DE EQUAÇÃO x2+ y2+Cx+Dy+F=0

.

Dados P=(xp, yp) e a circunferência (C) de equação

. Substituindo x e y da equação por xp e yp , temos que:

- O ponto P é interior à circunferência se:

xp2+ y

p2+Cx p+Dy p+F<0.

- O ponto P pertence à circunferência se:

xp2+ y

p2+Cx p+Dy p+F=0.

- O ponto P é exterior à circunferência se:

xp2+ y

p2+Cx p+Dy p+F>0.

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA

Para avaliar a posição relativa entre uma reta y=mx+b e

circunferência de equação x2+ y2+Cx+Dy+F=0 , basta

procurar o número de soluções do sistema:

{ y=mx+bx2+ y2+Cx+Dy+F=0

Desta forma basta avaliar o :

- Se >0, existem duas soluções, ou seja, a reta é secante à circunferência.

- Se =0, existe apenas uma solução, ou seja, a reta é tangente à circunferência.

- Se <0, não existe solução, ou seja, a reta é exterior à circunferência.

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS

- Tangentes exteriores: dC1 , C2

=r1 +r2

- Tangentes interiores: dC1 ,C2

=|r1−r2|

- Secantes: |r1−r2|<dC1 ,C2

<r1+r2

- Exteriores: dC1 , C2

>r1+r2

- Interiores: dC1 ,C2

<|r1−r2|

Exercício de AplicaçãoPLANO CARTESIANO

1. Localize nos plano cartesiano os pontos a seguir: A(1 , 1), B(3 , 5), C(4 , -1), D(2 , 1), E(-1 , 5), F(-5 , -5), G(-2 ,-3), H(-2 , 2) I(-5 ,-1), J(-1 ,-5), L(3 , -3), M(5/2 , 9/2), N(1 ,-1), O(-2/3 , 6/5), P(2 , 0), Q(0 ,2), R(-3 ,0), S(0 ,-1);

2. Obtenha as coordenadas dos pontos:

3. Com relação aos pontos da questão anterior, pergunta-se:a) Quais os pontos pertencentes ao primeiro quadrante?

022 FDyCxyx

b) Quais os pontos pertencentes ao segundo quadrante?c) Quais os pontos pertencentes ao terceiro quadrante?d) Quais os pontos pertencentes ao quarto quadrante?e) Quais os pontos pertencentes ao eixo das abscissas?f) Quais os pontos pertencentes ao eixo das ordenadas?g) Quais os pontos pertencentes a bissetriz dos quadrantes

ímpares? h) Quais os pontos pertencentes a bissetriz dos quadrantes

pares?

RAZÃO DE SECÇÃO / PONTO MÉDIO

4. Calcular o ponto médio entre os seguintes pontos:a) A(2,3) e B(5,6) b)A(-1,4) e B(3,-5) c) A(8,10) e B(-

4,6)5. Calcule o comprimento das medianas de um triângulo, cujos

vértices são os pontos A(0,0), B(4,-6) e C(-1,-3)6. Os pontos médio de um triângulos são D = (1; 2), E=(0; 3) e

F=(-2; -1). Calcule as coordenadas dos vértices.

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

7. Calcule em cada caso a distância entre os pontos A e B:a) A(-2,3) e B(3,2) b)A(0,1) e B(-10,8)c) A(0,0) e B(5,5) d) A(-2,-3) e B(0,3)

8. Calcular a distância entre os pontos (-2 ,5) e B(4 ,-3); R: 10

9. Calcular a distância entre os pontos (1 , 3) e B(-1 , 4); R: √510. Calcular a distância do ponto P(-6 , 8) a origem do sistema

cartesiano; R: 1011. Calcular a distância entre os pontos A(a – 3, b + 4) e B(a + 2, b

– 8); R: 13

12. Determinar um ponto P∈O x que dista √10 unidades de (-

2,1); R: (1,0) ou (-5,0)13. Seja A um ponto do eixo das ordenadas. Dado o ponto B(-3,-2),

calcule as coordenadas do ponto A de forma que o comprimento do segmento AB seja igual a 5;

14. Qual a natureza do triângulo ABC, sendo A=(1; 2), B=(2; -1) e C=(-4; -1)?

15. Calcular o perímetro do triângulo ABC, sendo dados A(2,1), B(-

1,3) e C(4,-2) R: 2√13+5√2 16. Provar que o triângulo cujos vértices são A(2,2), B(-4,-6) e C(4,-

12) é retângulo;17. Determinar x de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B.

São dados: A(4,5), B(1,1) e C(x,4); R: x = -318. Determine as coordenadas de um ponto A que pertence à

bissetriz dos quadrantes ímpares, sabendo que o ponto está a igual distância dos pontos B(7,2) e C(-2,1);

19. Para estudar o movimento de um projétil que se desloca em linha reta, um cientista associou um sistema cartesiano ao plano vertical que contém essa reta, adotando o quilômetro como unidade para dividir os eixos. O projétil passou pelo ponto A(3, 2) e 50 segundos depois atingiu o ponto B(18, 10), percorrendo esse trecho com velocidade constante.

a) Qual era a velocidade do projétil, em km/s, no trecho AB?b) Determine as coordenadas do ponto P no qual estava o projétil 25 segundos após a passagem pelo ponto A.

20. Deseja-se construir entre duas cidades A e B, representados respectivamente pelos pontos (3,4) e 10,8), um postos de abastecimento de forma que a distância entre o posto e as duas cidades sejam a mesma e a menor possível. No plano cartesiano qual seria este ponto e que distância há do posto a cidade B?

PONTOS EQUIDISTANTES

21. Dados A(x,5), B(-2,3) e C(4,1), obter x de modo que A seja eqüidistante de B e C; R: x = 9

22. Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é eqüidistante dos pontos A(1,3), e B(-3,5); R: (-3,0)

23. Determinar o ponto P, da bissetriz dos quadrantes pares, que eqüidista de A(8,-8) e B(12,-2); R: (-5,5)

24. Dados A(-2,4) e B(3,-1) vértices consecutivos de um quadrado, determinar os outros dois vértices. R: C(8,4) e D(3,9); C(-2,-6) e D(-7,-1)

25. Determinar na bissetriz do 2/ e 4° quadrante, o ponto equidistante de A(3,2) e de b(-4,-1); R: (-1/2,1/2)

26. Um ponto P pertence ao eixo das abcissas e é equisdistante dos pontos M(1,4) e N(-1,2). Determine as coordenadas do ponto P.

CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO

27. Verificar se os pontos abaixo são colineares:a) A(3,-5), B(-3,3) e C(-1,-2); R: nãob) A(1,-1), B(3,3) e C(4,5); R: simc) A(0,2), B(-3,1) e C(4,5)d) A(-1,3), B(2,4) e C(-4,10)

28. Mostrar que os pontos A(-1,1), B(1,3) e C(7,9) são colineares;29. Para que valores de x os pontos A(x,x), B(3,1) e C(7,-3) são

colineares? R: 230. Os pontos A(1,3), B(2,5) e C(49,100) são colineares? R: não31. Determinar y de modo que os pontos A(3,5), B(-3,8) e C(4,y)

sejam colineares; R: y = 9/2 32. Três cidades A, B e C estão representadas no plano cartesiano,

respectivamente pelos pontos A(0,2), B( -3, 1) e C(4,5). Estas cidades estão alinhadas, isto é, no plano cartesiano estariam na mesma reta? Justifique a sua resposta;

33. (UCMG) Determine t, sabendo que os pontos A(1/2, t), B(2/3,0) e C(-1,6) são colineares

34. Quanto mede a mediana AM no triângulo ABC ? Dados A(1,1),

B(2,5) e C(6,3) R: 3√235. Determinar o valor de a para que os pontos A(2,1), B(a + 1, 2),

e C(-3,-1) sejam os vértices de um triângulo; OBS: |Δ≠0|ÁREA DO TRIÂNGULO / POLÍGONO

36. Calcule a área do triângulo de vértices A(4,2), B(-3,-1), C(-5,0); R: 13/2

37. Determinar a área do quadrilátero ABCD, sabendo que seus vértices são os pontos A(2,0), B(3,1), C(1,4) e D(0,2);

38. Determine a área de um quadrilátero cujos vértices são os pontos A=(0; 0), B=(0; 3), C=(3; 5) e D=(4; 0).

39. Seja o quadrilátero cujos vértices são os pontos A(4,0), B(6,2), C(2,4) e D(0,2). Calcule a área desse quadrilátero;

40. Encontre o valor da área do quadrilátero representado na figura abaixo: R: 21,5

EQUAÇÃO DA RETA

41. Obter a equação da reta que passa pelos pontos Q(4,3) e R(0,7); R: x + y – 7 = 0

42. Determinar a interseção das retas x + 2y =3 e 2x + 3y = 5; R: (1,1)

43. Encontre o ponto de intersecção das retas y = x – 1 e y = - x + 3; R: (2,1)

44. Dados os pontos (2,5) e (3,10). Calcule a equação da reta; R: - 5x + y + 5 = 0

45. Seja r a reta determinada por A(-5,-1) e B(-1,1), obter:a) A equação de r; R: 4y – 2x – 6 =0b) O ponto de abcissa –8 pertencente a r; R: (-8, -5/2)c) O ponto de interseção de r com o eixo 0x; R: (- 3,0)d) O ponto de interseção de r com o b13; R: (3,3)e) Em r, o ponto cuja distância ao ponto C(-4,2) seja igual a 5

46. Os pontos A(2,0), B(0,4), C(4,2) são vértices de um triângulo ABC. Determine as equações das retas suporte dos lados desse triângulo;

47. São dados os pontos A(-1,-3), B(5,7), C(2,-4) e D(0,2). O ponto M1 é o ponto médio do segmento AB e o ponto M2 é o ponto médio do segmento CD. Determine a equação da reta que passa por M1 e M2.

48. Na figura baixo, encontre a equação da reta suporte do lado AB e a equação da mediana relativa ao vértice C. Dados A(2,4), B(6,10) e C(3,12); R: 6x – 4y + 4 = 0, 5x + y – 27 = 0

49. Determine o ponto P pertencentes às retas AB e CD, dados

A(1,3), B(-2,-6), C(1,1) e D(-2,d); R: P(1/2,3/2)50. Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A e B,

sabendo que A é o ponto de interseção da reta 2x – 4y + 12 = 0 com o eixo y e B é o ponto de interseção da reta 3x – 4y – 18 = 0 com o eixo x; R: - 6y – 3x + 18 = 0

51. (FGV-RJ) Os pontos A(-1,m) e B(n,2) pertencem a reta 2x –3y = 4. Calcule a distância entre A e B;

COEFICIENTE ANGULAR

52. Determine o coeficiente angular das retas que passam pelos pontos A e B, nos seguinte casos abaixo;a) A((-1,4) e B(3,2) b) A(3,4) e B(-2,3) c)A(2,4) e B( -

2,5)d) A(4,-1) e B( 4,4)

53. Consideremos a reta que passa pelos pontos A(1,4) e B(2,1). Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear dessa reta;

54. Determine k, sabendo que a inclinação da reta que passa pelos pontos A(k,3) e B(-1,-4) é de 45°;

55. Determine o ângulo agudo formado pelas retas r: 2x –y + 1 = 0 e 3x + y –2 = 0

56. Seja uma reta r que passa pelo ponto A(1,1) e faz um ângulo de 45° com a reta s, de equação x – 2y + x = 0. Determine a equação da reta r;

57. Manoel

CONDIÇÃO DE PARALELISMO / PERPENDICULARISMO

58. Para que valor de a as retas r: 3x + 2y – 1 = 0 e s: ax + 5y + 3 = 0 são paralelas?

59. A reta r = 3x – my + 6 = 0 é perpendicular à reta s que passa pelos pontos A(-1,3) e B(2,-1). Pede-se:a) o valor de m; R: 4b) o ponto de interseção das retas r e s; R: (2/25;39/25)

60. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (1,5) e é paralela à reta y = 3x + 1; R: y = 3x + 2

61. Determinar a equação da reta que passa pelo ponto A(3,-5) e é paralela à reta de equação 8x –2y +1 = 0

62. Determinar a equação da reta que passa pelo ponto A(-3,2) e é perpendicular à reta de equação 3x +4y = 4

63. Escreva a equação da reta, que passa pelo ponto P(1/2,-1) e é perpendicular a uma reta que forma com o sentido positivo do eixo dos X, um ângulo cuja tangente é 5/2; R:

y=−2 x3

− 45 OK

64. Sejam A e B, respectivamente os pontos de interseção das

retas y=3 x

2+3

e y=− 3

4x+3

com o eixo x. sabendo que C é o ponto de interseção das retas, calcule a área do triângulo ABC; R: 9 OK

65. Dada a reta de equação y + 5 = 0, determine a equação da reta perpendicular à reta dada e que passa pelo ponto (-2,-7);

66. (PUC-RS) Determine a equação da reta perpendicular à reta de equação 2x + 3y –6 = 0 no ponto em que esta intercepta o eixo das abcissas;

67. Qual é a equação da reta (t) que passa por A=(2; 2) e é:a)Paralela a (r) 4x-2y+5=0?b)Perpendicular a (s) 2x+6y+5=0?c)Concorrente a (r) e (s)?

68. Dados os pontos A(1,3) e B( -3,-5), determinar a equação da mediatriz desse segmento;

69. São dados os pontos A(-1,1) e B(9,3). A mediatriz do segmento AB encontra o eixo y no ponto P. Determine as coordenadas de P;

70. Seja o triângulo cujos vértices são os pontos A(5,2), B(1,3) e C(-3,4). Determine a equação da reta suporte da altura relativa ao lado BC;

71. (Fuvest-SP) São dados os pontos A(2,3) e B(8,5):a) Ache a equação da reta AB;b) Ache a equação da mediatriz do segmento AB

DISTÃNCIA DO PONTO A UMA RETA

72. (Cesgranrio) A distância do ponto (20√2+1;1 ) à reta y = x é:

a) 20 b) 10√2+6 c) 10√2+5

d) 10√5−3 e) 10√5−273. As retas cujas equações são r: x + 3y = 5 e s: x + 3y = 0 são

paralelas. A distância entre elas vale?

a)

9√28 b)

3√34 c)

32 d) √10 e)

√102

GERAL RETA

74. Uma reta r determina, no primeiro quadrante do plano cartesiano, um triângulo isósceles cujos vértices são a origem do sistema cartesiano e os pontos onde a reta intercepta os eixos Ox e Ou. Se a área desse triângulo é 18, então qual é a equação da reta?

75. ) Os vértices de um triângulo são os pontos A(0, 9), B(3, 8) e C(-1, 6).

a) Obtenha uma equação da reta r que contém a altura relativa ao vértice

b) Determine o ponto H do lado BC que pertence à reta r obtida no item a.

c) Calcule a medida da altura relativa ao vértice A.

76. Obter uma equação geral da reta s que passa pelo ponto P(2,-3) e é perpendicular à reta r: x + 2y + 5 = 0

77. Determinar uma equação da reta r que passa pelo ponto P(-1,6) e é paralela à reta 4x + 2y – 1 = 0

78. Seja A(3,-5), B(5,-3) e C(-1,3) vértices de um paralelogramo ABCD. Determinar o ponto de interseção das diagonais e o 4° vértice; R: (1,-1) e (-3,1)

79. Seja M(2,-1), N(-1,4) e P(-2,2) pontos médios, respectivamente dos lados AB, BC e AC de um triângulo. Determinar A, B e C e o baricentro G do triângulo ABC; R: A(1,-3), B(3,1), C(-5,7), G(-1/3, 5/3)

80. (UFMG) Seja P(a,1) um ponto da reta r de equação 4x – 2y –2 = 0. A equação da reta s que passa por P e é perpendicular a r é:a) x + 2y – 3 = 0 b) x – 2y = 0 c) 2x – y = 0 d) 2x + y – 3 = 0 e) 2x + y + 3 = 0

81. (Fuvest) São dados os pontos A(1,1) e B(9,3). A mediatriz do segmento AB encontra o eixo dos y no ponto de ordenada igual a:a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

82. (UFRS) A tangente do ângulo agudo formado pelas retas x – y + 2 = 0 e 3x + y + 1 = 0 é:a) 1/2 b) –2 c) 2 d) – 4 e) 4

83. Num triângulo retângulo ABC de hipotenusa BC tem-se: B(1,1) e C(3,-2). O cateto que passa por B é paralelo à reta 3x – 4y + 2 = 0. Determine as equações das retas suportes dos dois catetos.

84. (Ufpa–2005)Um arquiteto gostaria de construir um edifício de base quadrada em frente à praia, de tal forma que uma das diagonais de sua base fosse paralela à orla, conforme ilustração abaixo. Utilizando um sistema de coordenadas cartesiano, ele determinou que os vértices da base que determinam a diagonal paralela à orla deverão ser A(2,6) e C(8,2). Determine as coordenadas dos outros dois vértices, de modo que o quadrilátero ABCD seja, de fato, um quadrado.

85. O prefeito de uma cidade do interior do Estado estava com um sério problema. Quando a gruta da onça “G” foi descoberta, os dois pontos turísticos mais conhecidos da região P1: (4,9) e P2: (16,0) já estavam ligados por uma estrada reta totalmente pavimentada, como mostra a figura abaixo. O prefeito desejando interligar esses três pontos imagina construir um trecho de estrada reto e com o menor comprimento possível unindo a gruta com a estrada já existente. Calcule o comprimento desse trecho, sabendo-se que as medidas estão em quilômetros.

86. (Unicamp-SP) Os ciclistas A e B partem do ponto P(-1 ,1) no mesmo instante e com velocidades de módulos constantes. O ciclista A segue a trajetória descrita pela equação 4y – 3x – 7 = 0 e o ciclista B, a trajetória descrita pela equação x 2 + y 2 – 6x – 8y = 0. As trajetórias estão no mesmo plano e a unidade de medida de comprimento é o quilômetro. Pergunta-se:

a) quais as coordenadas do ponto Q distinto de P, onde haverá cruzamento das duas trajetórias?

b) se a velocidade do ciclista A for de 20km/h, qual deverá ser a velocidade do ciclista B para que cheguem no mesmo instante ao ponto Q?

87. Em um reino existem três estradas: a estrada do rei, a estrada da rainha e a dos príncipes. Em uma encruzilhada, onde a estrada do rei, cuja equação é y – 4 = 2(x – 9/2), corta a estrada da rainha, de equação 2x + 4y = 25 existe um cedro. Onde a estrada do rei corta a estrada dos príncipes, que é op eixo x, existe um jacarandá, onde a estrada da rainha corta a estrada dos príncipes existe o um pinheiro. Na estrada dos príncipes entre o jacarandá e o pinheiro, está enterrado um tesouro. Se imaginarmos uma reta unindo o cedro e o tesouro e o tesouro, ela é perpendicular à estrada dos príncipes. Faça um esboço gráfico, interpretando o problema e diga se o tesouro está mais próximo do jacarandá, do pinheiro ou do cedro?

88. A figura a seguir é a representação cartesiana de uma estrada litorânea em que se encontra uma estação de rádio “S”. Próximo ao litoral, visualizamos uma ilha em que está sendo construída uma estação experimental de biologia marinha, ilustrada por “M”. A comunicação entre essas estações será através de fibra óptica que deverá partir de “S”, passando por “Q” e “P” até a estação “M”. Se o custo de instalação do cabo em terra é de R$10,00 por metro e o custo de instalação do cabo submerso é de R$ 20,00 por metro. Determine o custo total de instalação de rádio até a estação experimental.

CIRCUNFERÊNCIA

89. Determinar a equação da circunferência de centro (0,0) e raio 2;90. Determinar a equação da circunferência de centro C(2,3) e que

passa pelo ponto P(-1,2);91. Determinar a equação da circunferência com centro no ponto

C(4,7) e raio 292. Qual o raio da circunferência dada pela equação x2 + y2 – 2x –

4y = – 3;

a) √2 b) √3 c) 2 d) 3 e) 493. (UEPA) Considere a circunferência de equação

x2+ y2−4 x−6 y+12=0 , e a reta de equação y = x.a) obter o centro e o raio da circunferência.b) Achar o comprimento da corda que a reta determina na

circunferência94. Determinar o centro da circunferência que passa pelo ponto

(1,2) e tangencia os eixos coordenados; R: (5,5) ou (1,1)95. Qual é o lugar geométrico de todos os pontos eqüidistantes de

(r) y=2x+10 e (s) y=2x+2?

96. Obter o centro C e o raio da circunferência de equação x2+y2-4x-2y-4=0.

97. Seja a circunferência (I) x2+y2-2y-8=0. Determine a posição dos pontos A=(3; 3), B=(3;1) e C=(2; 1).

98. 24) Qual é a posição das retas (r) y=2x+4, (s) y=-3x+2 e (t) y=3 em relação à circunferência (c) x2+y2-4x-2y-4=0?

99. Achar a equação da circunferência cujas extremidades de um diâmetro são os pontos A(0,-8) e B(6,0);

100. Achar a equação da circunferência que passa pelos pontos A(0,1) e B(1,4) e tem o centro sobre a reta de equação x = 2;

101. Determinar a equação da circunferência que tem centro na reta r de equação x – y – 4 = 0 e passa pelos pontos A(0,-2) e B(2,0);

102. Determinar a equação de circunferência que passa pelos pontos A(0,-2), B(-1,1) e C(1,-1)

103. Qual a equação da circunferência que tem raio 3 e tangencia os eixos coordenados?

104. Obtenha a equação da circunferência que passa pelo ponto (10,-1) tem raio 5 e tangencia o eixo das abcissas?

105. Os pontos A e B são extremidades do diâmetro de uma circunferência. Sendo A(-1,5) e B(0,-1). Qual é a equação da circunferência?

106. Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência de equação 2x2 + 2y2 + 4x + 1 = 0 e é perpendicular à reta de equação x + 2y - 1 = 0

107. A circunferência de centro (1,2) e raio √5 passa pelo ponto (2,p). Encontre os valores de p;

108. As retas de equações

x2+ y

3=1

e y = x + 2 interceptam-se no centro de uma circunferência de raio unitário. Obtenha a equação da circunferência;

109. Qual a equação da circunferência, de centro (3,-2), que passa pela origem?

110. (UEPA) Considere a circunferência de equação

x2+ y2−4 x−6 y+12=0 , e a reta de equação y = x.a)obter o centro e o raio da circunferência.b)Achar o comprimento da corda que a reta determina na circunferência

111. (UFRS) O valor de k que transforma a equação x2 + y2 – 8x + 10y + k = 0 na equação de uma circunferência de raio 7 é:

a) –4 b) –8 c) 5 d) 7 e) - 5112. (ITA-SP) O ponto da circunferência x2 + y2 + 4x + 10y + 28 = 0

que tem ordenada máxima é:

a) (√2

2−2,−9

2 ) b) (√2−√3 ,−1 ) c)

(− 310

,−1) d)

(√22

−2,−2) e) (−2 ,−4 )

113. (FEI-SP) A circunferência de equação x2 + y2 +ax + by + c = 0 tem por centro o ponto Q(3,2) e passa por P(4,4). O resultado de a + b + c é:

a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2114. (Fuvest-SP) A reta S passa pelo ponto (0,3) e é perpendicular

à reta AB, em que A(0,0) e B é o centro da circunferência x2 + y2

–2x – 4y = 20. Então a equação de s é:a) x – 2y = – 6 b) x + 2y = 6 c) x + y = 3 d) y – x = 3 e) 2x + y = 6

115. (OSEC-SP) Num sistema cartesiano ortogonal, a equação da circunferência de centro C(3,2), na qual está inscrito um quadrado de lado a é:

a) ( x−3 )2+( y−2 )2=4 a2

b) ( x−3 )2+( y−2 )2=2 a2

c) ( x−2 )2+ ( y−3 )2=a2

d) ( x−3 )2+( y−2 )2=a2

2

e) ( x−3 )2+( y−2 )2=a2

4116. (unifor-CE) Os pontos (2,1), (2,5), (6,1) e (6,5) são vértices de

um quadrado. A circunferência inscrita nesse quadrado tem equação:a) x2 + y2 – 2x – y + 14 = 0b) x2 + y2 – 2x – 5y + 21 = 0c) x2 + y2 – 8x – 6y + 21 = 0d) x2 + y2 – 6x – 4y + 11 = 0e) x2 + y2 – 6x + y + 11 = 0

117. (UFOP-MG) Na figura, C é o centro da circunferência, M é o ponto médio de CB e DE é perpendicular à AB. Se A(1,-1) e C(5,2), então o comprimento de DE é:

a) 5√3 b)

5√32 c) 5√5 d)

5√52 e)

√34118. A equação da circunferência de centro (2,-3) tangente à reta

3x +y = - 7 é:a) x2 + y2 – 4x + 6y + 3 = 0b) x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0c) x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0d) x2 + y2 + 4x + 6y – 3 = 0e) nda

119. (FEI-SP) O ponto C(2,1) é o centro de uma circunferência e P(3,4) é um ponto pertencente a essa circunferência. Traça-se, por P, a reta t tangente à circunferência citada. O coeficiente angular de t é:

a) −1

3 b) 2 c) –3 d) −1

2 e) – 1 120. (FEI-SP) O comprimento da corda que a reta de equação y = x

determina sobre a circunferência de equação (x – 2)2 + (y + 2 )2

= 16, na unidade de comprimento é:

a) √2 b) 2√2 c) 3√2 d) 4 √2 e)

5√2121. (FGV-SP) considere a reta r, de equação y = 2x + 3, e a

circunferência de equação x2 + y2 = 10. A reta s, perpendicular à reta r, tangencia a circunferência no ponto P. Esse ponto pode ser:

a) (√2 ,2√2 ) b) (2,2√2+3 ) c) (−2 ,√6 )

d) (1,3 ) e) (−√2 ,−√2+1 )122. (Unifor-CE) Uma circunferência λ é tangente aos eixos

coordenados e à reta de equação x = 3. Se o centro de

pertence ao quarto quadrante, a equação de é:a) 4x2 + 4y2 – 12x – 12y – 9 = 0b) 4x2 + 4y2 + 12x – 12y – 9 = 0c) 4x2 + 4y2 – 12x + 12y – 9 = 0d) 4x2 + 4y2 + 12x – 12y + 9 = 0e) 4x2 + 4y2 – 12x + 12y + 9 = 0

123. (UNE –BA) São dadas a reta x – 3y + 1 = 0 e a circunferência

, de equação x2 + y2 + 4x = 0. A equação da reta paralela a

reta r e que contém o centro de é:a) x – 3y + 2 = 0 b) x – 3y – 1 = 0 c) x – 3y – 2 = 0 d) x + 3y – 1 = 0 e) x + 3y + 2 = 0

124. (USTJ-SP)A equação da reta tangente à circunferência x2 + y2

–25 = 0, no ponto de coordenadas (4,3) é:a) 4x + 4y – 25 = 0b) 3x + 4y – 25 = 0c) 4x – 3y + 25 = 0d) 3x – 4y + 25 = 0e) 3x + 4y = 0

125. (Fuvest-SP) Uma circunferência de raio 2, localizado no primeiro quadrante, tangencia o eixo x e a reta de equação 4x – 3y = 0. Então a abcissa do centro dessa circunferência é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5126. (ITA-SP) A distância entre os pontos de interseção da reta

x10

+ y20

=1 com a circunferência x2 + y2 = 400 é:

a) 16√5 b) 4√5 c) 3√3 d) 4 √3 e)

5√7