Geometria Analitica e Algebra Linear - Uma Visao Geometrica - TII

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    UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

    Reitor: Clélio Campolina Diniz

    Vice-Reitora: Rocksane de Carvalho Norton

    Pró-Reitoria de Graduação

    Pró-Reitora: Antônia Vitória Soares Aranha

    Pró-Reitor Adjunto: André Luiz dos Santos Cabral

    Diretor do CAED: Fernando Fidalgo

    Coordenador da UAB-UFMG: Wagner José Corradi Barbosa

    Coordenador Adjunto UAG-UFMG: Hormindo Pereira de Souza Júnior 

    EDITORA UFMG

    Diretor: Wander Melo Miranda

    Vice-Diretor: Roberto Alexandre do Carmo Said

    Conselho Editorial

    Wander Melo Miranda (presidente)

    Flavio de Lemos Carsalade

    Heloisa Maria Murgel Starling

    Márcio Gomes Soares

    Maria das Graças Santa Bárbara

    Maria Helena Damasceno e Silva Megale

    Paulo Sérgio Lacerda Beirão

    Roberto Alexandre do Carmo Said

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    AULA 1

    DAN AVRITZER

    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR:UMA VISÃO GEOMÉTRICA

    TOMO II 

    BELO HORIZONTE 

    EDITORA UFMG

    2009

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    COORDENAÇÃO DE PRODUÇÃO DE TEXTOS DE MATEMÁTICA: Dan Avritzer

    ASSISTÊNCIA EDITORIAL: Euclídia Macedo

    EDITORAÇÃO DE TEXTOS: Maria do Carmo Leite Ribeiro

    REVISÃO DE PROVAS: Beatriz trindade, Cláudia Campos, Maria do Rosário Alves Pereira,

    Renata Passos e Renilde Silveira

    PROJETO GRÁFICO: Eduardo Ferreira

    FORMATAÇÃO E CAPA: Sérgio Luz

    PRODUÇÃO GRÁFICA: Warren Marilac

    EDITORA UFMGAv. Antônio Carlos, 6627 - Ala direita da Biblioteca Central - Térreo

    Campus Pampulha - 31270-901 - Belo Horizonte - MGTel.: + 55 31 3409-4650 - Fax: + 55 31 3409-4768

    www.editora.ufmg.br - [email protected]

    © 2009, Dan Avritzer© 2009, Editora UFMGEste livro ou parte dele não pode ser reproduzido por qualquer meio sem autorização escrita do Editor.

    Avritzer, DanGeometria analítica e álgebra linear: uma visão geométrica / Dan Avritzer.

    – Belo Horizonte : Editora UFMG, 2009.  t. 2 : il. – (Educação a distância)

    Inclui bibliografa.ISBN: 978-85-7041-754-1

    1. Geometria analítica. 2. Álgebra linear. I.Título. II. Série.

      CDD: 371.39  CDU: 37.018.43

    A963g

    Elaborada pela Central de Controle de Qualidade da Catalogação da Biblioteca Universitária da UFMG

    PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃOAv. Antônio Carlos, 6627 - Reitoria - 6º andarCampus Pampulha - 31270-901 - Belo Horizonte - MGTel.: + 55 31 3409-4054 - Fax: + 55 31 3409-4060www.ufmg.br - [email protected] - [email protected]

    Este livro recebeu o apoio fnanceiro da Secretaria de Educação a Distância do MEC.

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    Os Cursos de Graduação da UFMG, modalidade a distância, foramconcebidos tendo em vista dois princípios fundamentais. O primeirodeles se refere à democratização do acesso à educação superior; osegundo consiste na formação de profissionais de alto nível, compro-metidos com o desenvolvimento do país.

     A coletânea da qual este volume faz parte visa dar suporte aos estu-dantes desses cursos. Cada volume está relacionado com um tema,eleito como estruturante na matriz curricular. Ele apresenta osconhecimentos mínimos que são considerados essenciais no estudodo tema. Isto não significa que o estudante deva se limitar somente aoestudo do volume. Ao contrário, ele é o ponto de partida na busca deum conhecimento mais amplo e aprofundado sobre o assunto. Nessadireção, cada volume apresenta uma bibliografia, com indicação de

    obras impressas e obras virtuais que deverão ser consultadas à medidaque se fizer necessário.

    Cada volume da coletânea está dividido em aulas, que consistemem unidades de estudo do tema tratado. Os objetivos, apresentadosem cada início de aula, indicam as competências e habilidades que oestudante deve adquirir ao término de seu estudo. As aulas podem seconstituir em apresentação, reflexões e indagações teóricas, em expe-rimentos ou em orientações para atividades a serem realizadas pelosestudantes.

    Para cada aula ou conjunto de aulas, foi elaborada uma lista de exer-

    cícios com o objetivo de levar o estudante a avaliar o seu progressoe a desenvolver estratégias de metacognição ao se conscientizar dosdiversos aspectos envolvidos em seus processos cognitivos. Essa listaauxiliará o estudante a tornar-se mais autônomo, responsável, crítico,capaz de desenvolver sua independência intelectual. Caso ela mostreque as competências e habilidades indicadas nos objetivos não foramalcançadas, ele deverá estudar com mais afinco e atenção o tema pro-posto, reorientar seus estudos ou buscar ajuda dos tutores, profes-sores especialistas e colegas.

     Agradecemos a todas as instituições que colaboraram na produçãodesta coletânea. Em particular, agradecemos às pessoas (autores, coor-

    denador da produção gráfica, coordenadores de redação, desenhistas,diagramadores, revisores) que dedicaram seu tempo, e esforço napreparação desta obra que, temos certeza, em muito contribuirá paraa educação brasileira.

     Maria do Carmo VilaCoordenadora do Centro de Apoio à Educação a Distância

    UFMG

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    Sumário

    A p r e s e n t a ç ã o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    AULA 1 - Equação cartesiana do plano no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1 A equação do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.2 Produto vetorial de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.3 Vetores l inearmente dependentes e independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    1.4 Interseção de dois planos no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    AULA 2 - Equações paramétricas da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1 Equações paramétricas da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.2 Retas dadas por dois planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.3 Resolvendo a geometria pela álgebra: o caso de sistemas lineares . . . . . . . . . . . 25

    2.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    AULA 3 - Posições relativas de retas e planos no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1 Reta e reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    3.2 Plano e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    3.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    AULA - 4 Perpendicularismo e ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1 Retas e planos perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    4.2 Retas ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    4.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    AULA 5 - Transformações lineares do plano no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.1 Bases do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    5.2 Geometria das transformações lineares do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    5.3 Aplicações à computação gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    5.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    AULA 6 - Transformações lineares mais gerais, aplicações à identificação

    de cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.1 Transformações lineares do espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    6.2 Autovetores e autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    6.3 Diagonalização de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    6.4 Aplicações à identificação de cônicas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    6.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

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    AULA 7 - Estudo das superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.1 Como esboçar superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    7.2 Superfícies cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    7.3 As superfícies quádricas padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.4 As superfícies quádricas mais gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    7.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    Referências bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

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    Apresentação

    Este livro foi escrito para ser utilizado nos cursos de Educação adistância oferecidos pela UFMG para a licenciatura em Matemática.Ele está dividido em dois tomos. No primeiro, tratamos de vetoresno plano e no espaço, aplicações ao estudo das cônicas, matrizese determinantes e sistemas de equações lineares. No segundo,

    trataremos da equação cartesiana de um plano no espaço, deequações paramétricas da reta no espaço, de posições relativas deretas e planos no espaço e de transformações lineares.

    Estes livros estão assentados na experiência de mais de 30 anosdo autor em ministrar não só a disciplina de Geometria Analítica,mas outras disciplinas de Cálculo, História da Matemática, Álgebra Abstrata e Geometria Algébrica no Departamento de Matemáticada Universidade Federal de Minas Gerais, além da experiência deescrever um primero livro de Geometria Analítica e Álgebra Linearpara a licenciatura a distância em Química ([2]).

    Tal experiência talvez possa ser resumida em dois princípios bási-cos que orientaram a elaboração da obra. O primeiro é que se deve,no ensino da Matemática, respeitar a evolução histórica dos con-ceitos, explicitando para o aluno como eles evoluíram. A ideia aquié que as dificuldades que o aluno enfrenta em seu aprendizado são,muitas vezes, semelhantes àquelas que a ciência enfrentou em suaevolução.

    O segundo é que a Matemática se articula sempre em torno deexemplos, da mesma maneira que a Química e outras ciênciasexperimentais se baseiam na experiência. Essa observação é válida,tanto nos estudos mais elementares de Matemática como napesquisa mais sofisticada. Assim, procuramos desenvolver o textoenfatizando sempre o exemplo. Por outro lado, como este livro estávoltado para alunos de Matemática, procuramos dar um tratamentomais formal demonstrando alguns resultados, principalmente noestágio final do livro.

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    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    Tivemos sempre em mente que este trabalho se destina a cursos adistância. Dessa forma, o texto possui várias características especí-ficas para ser assim utilizado. Dentre elas chamamos atenção para asseguintes:

    1. Cada aula é aberta com objetivos gerais. Recomendamos que oaluno leia-os inicialmente e volte a eles no final certificando-se de queeles foram atingidos, e, se não o forem, que tente sanar a deficiência.

    2. No decorrer do texto, existem exercícios. Eles foram incluídos como objetivo de testar o entendimento do assunto tratado anterior-mente. É importante que o aluno faça esses exercícios, pois eles sãonecessários para o seu amadurecimento.

    3. Ao final de cada aula, incluímos numerosos exercícios, ordenadospor nível de dificuldade. É um pouco pessoal a escolha de quantosexercícios fazer, mas o aluno deve fazer um número suficiente para sesentir seguro do conteúdo a que eles se referem.

    Finalmente, ao concluir esta apresentação, gostaríamos de agradecerao Ministério de Educação e Cultura e a Universidade Aberta do Brasilpela oportunidade de escrever estas notas e à Profa. Maria do Carmo

     Vila, coordenadora do programa de ensino a distância da UFMG, pela

    sua eficiente coordenação do programa. Gostaria de agradecer tam-bém aos colegas Hamilton Prado Bueno, Seme Gebara Neto e MariaCristina Ferreira pelas discussões frutíferas que tivemos sobre otexto, bem como por algumas sugestões e correções, e a Joana David

     Avritzer, que revisou parte do texto.

    Esperamos que este livro possa ser útil a esse importante programade formação de professores tão necessário ao desenvolvimento denosso país.

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    AULA  1

    Equação cartesiana do plano no espaço

    OBJETIVOS

    Ao terminar esta aula, você deverá ser capaz de:

    Deduzir a equação cartesiana de um plano no espaço, ortogonal a um1. vetor dado e passando por um ponto.Resolver vários problemas sobre planos no espaço como, por exemplo,2.encontrar a equação de um plano passando por três pontos.Conhecer o produto vetorial de dois vetores e suas propriedades.3.Saber o que é um conjunto de dois ou três vetores linearmente dependen-4.tes ou linearmente independentes no plano ou no espaço.

    1.1 - A EQUAÇÃO DO PLANO

    P   = (x0, y0, z0)   N   =(a,b,c). αN P. X   = (x, y , z)

    X −−→

    P X N. α

    −−→

    P X  ·−→

    N   = 0,   (X − P )   ·   N  = 0

    ((x, y , z) − (x0, y0, z0)) · (a,b,c) = 0

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    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

     N = (a, b, c)

     X= (x, y, z)

     X 0= (x

    0 , y

    0 , z 

    0 )

    P   = (3,−1, 7)   N   = (4, 2,−5).

    −−→

    P X   =   X   −

    P   = (x−

    3, y  + 1, z  −

    7).N,   (x − 3, y + 1, z − 7) ·

    (4, 2,−5) = 0,   4x + 2y − 5z  = −25.  

    A  = (1, 2,−1), B   = (2, 3,−1)   C   = (3,−1, 2).ax +  by  +  cz   =   d

    N  = (a,b,c).

    (x, y , z)A , B, C  

    a + 2b − c   =   d

    2a + 3b − c   =   d

    3a − b + 2c   =   d

    a   =   32

    t, b   =   −32

    t, c   =   −52

    t, d   =   t.t = 2 3x− 3y − 5z  = 2.

    Figura 1.1: A equação cartesiana de um plano no espaço

    (x  −  x0, y   −  y0, z   −  z0).(a,b,c) = 0.ax + by + cz  =  ax0 + by0 + cz0. ax0 + by0 + cz0d

    (x0, y0, z0)   N  = (a,b,c) :

    ax + by + cz  =  d, d =  ax0 + by0 + cz0

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    AULA 1

    t

    −→i ,−→ j ,

    −→k

    x, y , z−→i   = (1, 0, 0),

    −→ j   = (0, 1, 0),

    −→k   = (0, 0, 1).

    −→v   = (v1, v2, v3)

      −→w   = (w1, w2, w3)−→v   −→w ,   −→v   × −→w ,

    −→v  × −→w   =

    −→i  −→

     j  −→

    k

    v1   v2   v3w1   w2   w3

    =

    = (v2w3 − w2v3)−→i   − (v1w3 −w1v3)

    −→ j   + (v1w2 −w1v2)

    −→k   =

    = (v2w3 −w2v3,−(v1w3 −w1v3), v1w2 −w1v2).

    −→v   × −→w  = −→w  × −→v .

    −→i  −→

     j ,−→i   = (1, 0, 0)

      −→ j   = (0, 1, 0).

    −→i   ×

    −→ j   =

    −→i  −→

     j  −→

    k

    1 0 00 1 0

    = (0−→i   + 0

    −→ j   + 1

    −→k ) =

    −→k   = (0, 0, 1).

    1.2 - PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES

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    −→ j  ×

    −→i .

    −→ j   ×

    −→i   =

    −→i   −→ j   −→k0 1 01 0 0

    = (0−→i   + 0

    −→ j   − 1

    −→k ) = −

    −→k   = (0, 0,−1).

    −→ j   ×

    −→k

    −→k  ×

    −→ j

    −→i   ×

    −→k

    −→k  ×

    −→i

    (1,−2, 3)× (2, 5, 7)

    (2, 5, 7)× (1,−2, 3)

    −→v   = (v1, v2, v3)  −→w   = (w1, w2, w3)

    c  = 0   −→w   =  c−→v .−→x   =   −→v   × −→w−→y   =  −→w  × −→v   −→x

    −→v   −→w   −→y   = −−→x .

    −→x   = −→v   × −→w   =

    −→i  −→

     j  −→

    k

    v1   v2   v3

    w1   w2   w3

    =

    = (v2w3 −w2v3)−→i   − (v1w3 −w1v3)

    −→ j   + (v1w2 −w1v2)

    −→k   =

    = (v2w3 − w2v3,−(v1w3 −w1v3), v1w3 −w1v3) =

    −→x .−→v   −→x .−→w .

    A B

    A.B  = 0.

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    AULA 1

    −→x .−→v   = (v2w3 −w2v3,−(v1w3 − w1v3), v1w2 − w1v2).(v1, v2, v3) =

    = v1v2w3 − v1w2v3 − v2v1w3 + v2w1v3 + v3v1w2 − v3w1v2 = 0.

    −→x .−→w   = (v2w3 −w2v3,−(v1w3 − w1v3), v1w2 − w1v2).(w1, w2, w3) =

    = w1v2w3 −w1w2v3 −w2v1w3 + w2w1v3 + w3v1w2 −w3w1v2 = 0.−→x   −→v   −→w .

    a

    −→y   = −→w  × −→v   =

    −→i  −→

     j  −→

    k

    w1   w2   w3v1   v2   v3

    =

    = (w2v3 − v2w3)−→i   − (w1v3 − v1w3)

    −→ j   + (w1v2 − v1w2)

    −→k   =

    = (w2v3 − v2w3,−(w1v3 − v1w3), w1v2 − v1w2) = −−→x

    x   = 0   y   = 0v =  cw c = 0.  

    A = (1, 2,−1), B  = (2, 3,−1) (3,−1, 2).−→v   = B −A =

    (1, 1, 0)   −→w   = C  − A = (2,−3, 3). N   =  −→v   × −→w

    N  = −→v  × −→w   =

    −→i  −→

     j  −→

    k

    1 1 02   −3 3

    = (3,−3,−3,−2) = (3,−3,−5).

    N B

    (3,−3,−5).(x− 2, y − 3, z + 1) = 0, ouseja, 3x − 3y − 5z  = 2.

    (1, 0, 0),  (0, 1, 0) (0, 0, 1).

    (1, 1, 0),  (0, 1,−2) (3, 0, 1).

    (1, 1, 1),  (−2, 1, 3) (0, 2, 7).

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    16

    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    v

    u = (u1, u2)   v = (v1, v2)  u, vk  = 0   u =  kv. u v

    u = (u1, u2)   v = (v1, v2)   u, vk  = 0   u =  kv .

    (1, 1) (−1,−1)y =  x.

    (1, 1) =  −1(−1,−1).   (1, 1)(−1, 1)  

    xy.

    v, w

    k  = 0   w =  kvw  = kv k  = 0.

    u = (1, 0)   v = (5, 0).

    u = (1, 0)   v = (0, 2).

    u = (1, 0)   v = (−1, 0).

    u = (1, 1)   v = (1,−1).

    u = (1, 2, 1)   v = (2, 1, 7).

    u = (0, 0, 1)   v = (0, 1, 0).

    u = (−1, 2, 3)   v = (1,−2,−3).

    1.3 - VETORES LINEARMENTE DEPENDENTES E INDEPENDENTES

    math2.indd 16 20/5/2009 08:24:02

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    17

    AULA 1

    xy

    {−→i ,−→ j ,

    −→k }

    ax + by + cz  = 0

    −→i , a = 0.

      −→ j ,

    b = 0,  −→

    k , c = 0.

    {−→i ,−→ j , (1, 1, 0)}z  = 0.

    n v1, . . . , vn,

    (n = 2   n  = 3) 

    aivi  = 0a1   =   a2   =   · · ·   =   an   = 0.

    {v1, v2, . . . , vn}

    a1, a2   a1v1+a2v2 = 0,v1, v2   a1, a2   v2   =  −

    a1

    a2v1

    a1, a2, a3   a1v1+a2v2+a3v3  = 0, v1, v2, v3   a1, a2, a3

    a3v3 =  −

    a1

    a3v1 −

      a2

    a3v2, v1, v2, v3

    v1 = (v11, v12, v13), v2 = (v21, v22, v23), v3 =

    (v31, v32, v33)   A =

    v11   v12   v13v21   v22   v23v31   v32   v33

    .

    Det(A) = 0   Det(A) = 0

    math2.indd 17 20/5/2009 08:24:03

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    18

    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    v1, v2, v3   v3 =  a1v1 + a2v2.

    Det(A) =

    v1v2v3

    =

    v1v2

    a1v1 + a2v2

    = 0,

    v1, v2, v3�

      x1   x2   x3

    v1v2v3

    =

    0   x1 =  x2 =  x3 = 0. Det(A) =0  

    α ax + by  +  cz  = dN   = (a,b,c).

    N α.

    α ax + by +cz   =   d N   = (a,b,c)β ax + by + cz  =  d N  = (a, b, c).N N  α β 

    N N 

    k  = 0   N  =   kN,   (a, b, c) =k(a,b,c). α β 

    α :=  ax + by + cz  =  d β  :=  kax + kby  + kcz  =  d

    α β    (x0, y0, z0)ax0 + by0 + cz0 =  d kax0 + kby0 + kcz0 =  d

    kd  =  d.k  = 0   α =  β. kax0 + kby0 + kcz0  = d

    ,

    (x0, y0, z0

    )  α. kd  

    =  d,

    kd − d = 0. α β 

    ax + by + cz   =   d

    kax + kby  + kcz   =   d

    a k

    ax + by + cz   =   d

    0 =   kd − d

    1.4 - INTERSEÇÃO DE DOIS PLANOS NO ESPAÇO

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    19

    AULA 1

    kd  −  d = 0α β   

    3x + 2y + 5z  = 8 6x + 4y + 10z  = 6

    2x + 3y + 10z  = 0 2x + 3y + 10z = 1

    x + y + z  = 9 9x + 9y + 9z  = 81

    α

    ax + by  + cz  =  d N   = (a,b,c)β ax +  by +  cz   =   d N  = (a, b, c).

    N N 

    = kN k.α β 

    ax + by + cz   =   d

    ax + by + cz   =   d

    a a,   a a

    aax + aby + acz   =   ad

    aax + bay + caz   =   ad

    aax + aby + acz   =   ad

    (ab − ba)y + (ac − ca)z   =   ad − ad

    N N 

    (ab  −  ba) (ac  −  c a)N  =   aN.

    ab−ba = 0.   (ac−ca) = 0z

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    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    1.5 - EXERCÍCIOS

    P −→n   :

    P   = (2,−1, 1)   n = (−1, 1, 2).

    P   = (−1, 3, 2)   n = (0, 4,−1).

    P   = (2,−1, 5)   n = (−1,−1,−1).

    P   = (π − 1, 3,−1)   n = (π,−3, 7).

    P , Q , R

    P   = (1,−2, 1)  Q = (1, 0, 2)   R = (−1, 2, 4).

    P   = (−2, 1, 3)  Q  = (1, 0,−2)   R = (1, 1, 4).

    u× v2 = u2v2 − (u.v)2.

    u× v = uvsen(θ),

    θ u v.

    R3

    (4,−1, 2),   (−4, 10, 2).

    (−3, 0, 4),   (5,−1, 2),   (1, 1, 3).

    (8,−1, 3),   (−4,   12

    ,−32

    ).

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    AULA  2

    Equações paramétricas da reta

    OBJETIVOS

    Ao terminar esta aula, você deverá ser capaz de:

    Saber o que são equações paramétricas.1. Representar uma reta no espaço por equações paramétricas.2.Resolver problemas sobre retas no espaço tais como encontrar as equações3.paramétricas da reta que passa por dois pontos ou determinar a interseçãode uma reta, dada por equações paramétricas, com um plano, dado poruma equação cartesiana.

    2.1 - EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA

    P 0   = (x0, y0, z0)−→vd   = (a,b,c).   (x, y, z)

    (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a,b,c)

    .   −→vd   = (a,b,c)

    r

    (1, 2,−3) (4, 5,−7).

    r := (x, y, z) = (1, 2,−3) + t(4, 5,−7)

    x = 1 + 4t y = 2 + 5t z = −3 − 7t

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    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    t

    t

    (x , y , z)t   (x , y , z)

    t   0 1 2   −1

    (x , y , z) (1, 2,−3) (5, 7, −10) (9, 12, −17) (−3, −3, 4)

    P 1  = (5, 7,−10). s P 1r

    s := (x , y , z) = (5, 7, −10) + t(4, 5,−7)

    r s P 1.

    t  =  −1 (1, 2,−3)   r.r =  s!

    u P 0  = (1, 2,−3)

    r r2(4, 5,−7) = (8, 10,−14)

    u := (x , y , z) = (1, 2,−3) + t(8, 10,−14)

     z 

     y

     x

    Figura 2.1: Equação paramétrica da reta

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    23

    AULA 2

    t  =   12

      Q u, Q = (5, 7,−10) ∈  r.r =  u.

    r P 0   vd.

    vd   v

    d =  kvd, k  = 0.

    r

    r := (x, y, z) = (1, 2,−3) + t(4, 5,−7)

    α   −x + 2y +  z  = 2.r x = 1 + 4t, y  = 2 + 5t, z  = −3 − 7t.

    −1 − 4t + 2(2 + 5t) + (−3 − 7t) = 2,

    t  =  −2. X 0r α, X  0 = (−7,−8, 11).  

    r

    r := (x, y, z) = (1, 2,−3) + t(4, 5,−6)

    α   −x + 2y +  z   = 2. rx = 1+4t, y = 2+5t, z  =  −3−6t.

    −1 − 4t + 2(2 + 5t) + (−3 − 6t) = 2,

    0t = 2. t

    r

    r := (x, y, z) = (−3, 1,−3) + t(4, 5,−6)

    α   −x + 2y +  z   = 2. rx  =  −3 + 4t, y  = 1 + 5t, z   =  −3 − 6t.

    3 − 4t + 2(1 + 5t) + (−3 − 6t) = 2,

    2 = 2. t

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    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    α   :=−x + 2y + z  = 0   β  := 2x + 3y − z  = 6

    −x + 2y + z   = 0

    2x + 3y − z   = 6

    a 2   a

    −x + 2y + z   = 0

    0 + 7y + z   = 6

    a

    −1

      1   −2   −1 00 7 1 6

    .

    a 7   a

    (2, 2)   1   −2   −1 00 1   1

    7

    6

    7

    .

    (1, 2)

      1 0   −5

    7

    12

    7

    0 1   17

    6

    7

    ,

    z z  =  t

    y  = 6

    7 −

     1

    7t x =

     12

    7  +

     5

    7t

    α β 

    (x, y, z) = (12

    7  ,

     6

    7, 0) + t(−

    1

    7, 5

    7, 1),

    (127

     ,   67

    , 0)(−1

    7,   57

    , 1).

    2.2 - RETAS DADAS POR DOIS PLANOS

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    AULA 2

      2x + 3y + 5z   = 02x + 3y + 5z   = 6

      2x + 3y + 5z   = 0

    4x + 6y − 7z   = 6

      2x + 3y + 5z   = 1

    4x + 6y + 10z   = 2

    2x +  y − 2z   = 10

    3x + 2y + 2z   = 1

    5x + 4y + 3z   = 4

    x = 1, y   = 2, z   = −3.

    2x +  y − 2z   = 10

    3x + 2y + 2z   = 1

    5x + 3y   = 11

    2 1   −2 103 2 2 1

    5 3 0 11

    .

    2.3 - RESOLVENDO A GEOMETRIA PELA ÁLGEBRA:O CASO DE SISTEMAS LINEARES

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    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    a−3

    2   −5

    2

    2 1   −2 10

    3 2 2 1

    5 3 0 11

    2 1   −2 10

    0 1 10   −28

    0 1 10   −28

    a

    2 1   −2 10

    0 1 10  −

    280 0 0 0

    x +  y − z   = 0

    x +  y − z   = 6

    x +  y − z   = 2

    2x + 3y + 5z   = 0

    4x + 6y − 7z   = 6

    6x + 9y − 2z   = 6

    10x + 15y − 9z   = 12

    2x + 3y + 5z   = 1

    4x + 6y + 10z   = 2

    20x + 30y + 50z   = 10

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    AULA 2

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    28

    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    A BA B.

    B −A.

    A = (2,−1, 1)   B  = (−1, 1, 2).

    A = (−1, 3, 2)   B  = (0, 4,−1).

    A = (2,−1, 5)   B  = (−1, 1, 1).

    A = (π, 3,−1)   B  = (2π,−3, 7).

    (1,−2, 1)(x, y , z) = (1, 0, 2) + t(−1, 2, 4).

    (1,−2, 3)   x + y + z  = 1.

    (1,−2, 3) (1, 2, 2).

    r := (x, y , z) = (1, 0, 1) + t(−1, 2, 1)   s := (x, y , z) = (1, 0, 1) + t(1, 2, 3).

    r := (x, y , z) = (1, 2, 1) + t(−

    2, 2, 1)   s := (x, y , z) = (1, 0, 1) + t(1,−

    1, 3).

    (−1,−1, 2).

    x + y + z  = 1   x− y − 2z = 0 (−1, 2, 3).

    x +  y  +  z   = 1(−1,−2, 3).

    x + y +  z  = 1(1, 1,−1) (2, 2,−3)

    (−1, 2, 3).

    2.4 - EXERCÍCIOS

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    AULA  3

    Posições relativas de retase planos no espaço

    OBJETIVOSAo terminar esta aula, você deverá ser capaz de:

    Determinar a posição relativa de duas retas a partir do estudo de seus ve-1.tores diretores.Saber quando dois ou mais planos são ou não paralelos a partir do estudo2.de seus vetores normais.Determinar a posição relativa de um plano e uma reta no espaço.3.

    3.1 - RETA E RETA

    r :=−→

    X  = P 1 + λ−→

    A1   s :=−→

    X   = P 2 + λ−→

    A2

    −→

    X   = (x, y , z)   r s

    P 1   P 2−→

    A1−→

    A2

    math2.indd 29 20/5/2009 08:24:11

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    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    −→

    A1−→

    A2.

    P 1   P 2   r s  −−−→

    P 1P 2.−−−→

    P 1P 2,−→

    A1,−→

    A2.

    r s

    r s

    r :=−→

    X   = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3)   s :=−→

    X   = (0, 1, 0) + λ(1, 1, 1)

     P 1

     A1

     P 2

     A2

    Figura 3.1: Retas em um mesmo plano

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    AULA 3

    A1   =(0, 1, 3)   A2   = (1, 1, 1). k  = 0   A2   =   kA1.A1, A2   P 1   = (1, 2, 3)   ∈   r P 2   =

    (0, 1, 0) ∈  s  −−−→

    P 1P 2 =  P 2−P 1 = (0, 1, 0)− (1, 2, 3) =

    (−1,−1,−3).   {−→A1,−→A2,−−−→P 1P 2}

    A   =

    −→A1−→A2−−−→P 1P 2

    . Det(A)  = 0

    0 1 31 1 1−1   −1   −3

    = −1(−3 + 1) + 3(−1 + 1) = 2 = 0

    r := −→X   = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3)   s :=

     −→X  = (1, 3, 6) + µ(0, 2, 6)

    A1   =(0, 1, 3)   A2  = (0, 2, 6). k  = 0   A2  =  kA1,

    k   = 2. A1, A2P 1 = (1, 2, 3) ∈  r.

    P 1 ∈  s   (1, 2, 3) = (1, 3, 6) + µ(0, 2, 6)1 = 1, 2 = 3 + 2µ   3 = 6 + 6µ.

    µ =  − 12

    . r =  s  

    r := −→X   = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3)   s :=

     −→X   = (1, 5, 0) + µ(0,−1, 1)

    A1   =(0, 1, 3)   A2   = (0,−1, 1). k   = 0   A2   =   kA1.

    A1, A2   P 1  = (1, 2, 3) ∈  r P 2  =

    (1, 5, 0) ∈  s  −−−→

    P 1P 2 =  P 2−P 1 = (1, 5, 0)− (1, 2, 3) =

    (0, 3,−3).   {−→A1,

    −→A2,

    −−−→P 1P 2}

    0 1 30   −1 10 3   −3

    = 0, .

    math2.indd 31 20/5/2009 08:24:13

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    32

    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) = (1, 5, 0) + µ(0,−1, 1)

    (0,−3, 3) + (0, λ, 3λ) − (0, −µ, µ) = 0

    0 = 0   − 3 + λ + µ = 0 3 + 3λ − µ = 0

    λ  = 0   µ = 3. λ r µ sP P   = (1, 2, 3).  

    λ µ

    2x + 2y − 2z   = 0

    x + y−

    z   = 65x + 5y − 5z   = 2

    x, y, z

    3.2 - PLANO E PLANO

    math2.indd 32 20/5/2009 08:24:14

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    33

       

    A B

    A = (2,−1, 1)   B  = (−1, 1, 2).

    A = (−1, 3, 2)   B  = (0, 4,−1).

    A = (2,−1, 5)   B  = (−1, 1, 1).

    x + 2y + 2z = 1   x + 2y + 2z  = 2   x + 2y + 2z  = 5.

    r := (x, y , z) = (1,−1, 2) + t(1, 2, 5)   α := 2x + 4y + 4z  = 5.

    r := (x, y , z) = (1,−1, 2) + t(−2,−2, 4)   α := 2x + 2y + z  = 5.

    r := (x, y , z) = (1, 1, 2) + t(1, 4, 5)   α := −2x− 4y + 4z  = 5.

    m

    r x−my + 1 = 0   z − y + 1 = 0s   (x, y , z) = (0, 0, 0) + t(1, m, 1)

    3.3 - EXERCÍCIOS

    AULA 3

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    AULA  4

    Perpendicularismo e ortogonalidade

    OBJETIVOS

    Ao terminar esta aula, você deverá ser capaz de:

    Saber quando uma reta é perpendicular a um plano.1. Saber quando duas retas são ortogonais.2.Determinar a equação de uma reta perpendicular simultaneamente a duas3.retas dadas.

    4.1 - RETAS E PLANOS PERPENDICULARES

    r α

    r α.

    α x−2y+3z  = 0P   = (−1, 2, 1)   r P 

    α. α N   = (1,−2, 3).

    r

    r :=

    x   =   −1 + λy   = 2 − 2λz   = 1 + 3λ

    math2.indd 35 20/5/2009 08:24:16

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    36

    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    2x − 3y +  z  = 14x − 6y + 2z  = 4.

    N 1   = (2,−3, 1)   N 2   =(4,−6, 2). r

    r :=

    x   =   −1 + 4λy   = 2− 6λz   = 1 + 2λ

    α :=  x +2z  = 14r   2x−y− z = 0 2x + y− z  = 0

    N 1 = (2

    ,−1

    ,−1)

      N 2 =(2, 1,−1). N 1 ×N 2   vd

    r

    vd  =−→

    N 1 ×−→

    N 2 =

    −→

    i  −→

     j  −→

    k

    2   −1   −12 1   −1

    = (2, 0, 4).

    α   (2, 0, 4). rα.

    r

    P   = (−1, 3, 1)   s

    x = 1 + 2λ, y = 1 + 3λ, z =  λ

    s Q  = (1 + 2λ, 1 + 3λ, λ)vd  = (2, 3, 1).

    P Q =  Q−P  = (1+ 2λ + 1, 1 + 3λ−3, λ−1) = (2λ + 2, 3λ− 2, λ−1)

    PQ.vd   = 0,4λ + 4 + 9λ − 6 +  λ − 1 = 0, λ  =   3

    14.

    4.2 - RETAS ORTOGONAIS

    r P Q  = (   414

    ,−14

    ,−14

    ).r

    x = −1 + 34t, y  = 3− 19t, z = 1− 11t

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    37

    AULA 4

    t

    r :=

    x   = 2 + λy   =   λz   =   −1 + λ

    s :=

    x   =   µy   = 2 − µz   = 0

    r :=−→

    X  = (2 + λ,λ,−1 + λ)

    s :=−→

    X   = (µ, 2 − µ, 0).

    P r Q s.−−→

    P Q

    P Q =  Q − P   = (µ − 2 − λ, 2 − µ − λ, 1 − λ).

    −−→

    P Q

    r s,

    −−→

    P Q.(1, 1, 1) = 0   µ − 2 − λ + 2 − µ − λ + 1 − λ = 0

    −−→

    P Q.(1,−1, 0) = 0   µ − 2 − λ − 2 + µ + λ = 0.

    λ =   13

      µ = 2.

    λ r,

    P r t,

    P   = (2, 0,−1) + 1

    3(1, 1, 1) = (

    7

    3, 1

    3,−

    2

    3).

    Q = (2, 0, 0). t

    t :=−→

    X   = (2, 0, 0) + ν (1

    3, 1

    3,−

    2

    3).

    math2.indd 37 20/5/2009 08:24:19

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    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    r s

    r :=

    x   = 1 + λy   = 2 + 2λz   = 3 + λ

    s :=

    x   = 2 − λy   = 4 + λz   = 4 − λ

    P   = (−1, 2, 1)x − 2y + 3z = 0.

    r α.

    r α.

    2x − 3y + z  = 1 4x − 6y + 2z  = 4.

    r s

    r :=

    x   = 1 + λy   =   λz   =   −1 + λ

    s x + y  = 2   z  = 0.

    4.3 - EXERCÍCIOS

    math2.indd 38 20/5/2009 08:24:20

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    AULA  5

    Transformações linearesdo plano no plano

    OBJETIVOS Ao terminar esta aula, você deverá ser capaz de:

    Compreender o que é uma base do plano.1.Compreender o que é uma transformação linear do plano no plano.2.Operar com transformações lineares do plano no plano e reconhecer vá-3.rios tipos de tais transformações.

    5.1 - BASES DO PLANO

    u = (u1, u2)   v = (v1, v2)  u, vk  = 0   u =  kv.

    u = (u1, u2)   v = (v1, v2)  u, vk  = 0   u =  kv.

    math2.indd 39 20/5/2009 08:24:21

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    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    u  = (1, 1)   v   = (−1, 1),w   = (0, 1)   w   =   au +  bv,

    a, b, a   =   12

      b   =   12

    ,1

    2(1, 1) +   1

    2(−1, 1) = (0, 1) = w.

    w = (w1, w2)

    (w1, w2) = a(1, 1) + b(−1, 1).

    w1  =  a − b w2  =  a + b

    a   =   w1+w22

      b   =   w2−w12

      .−→u   −→v

    −→w   −→v   (a−→v )−→u   (b−→u ).

    A B, f    : A −→ BA, B.

    A f B

    y   = 2x + 3f   :   R   −→   R   x   ∈   R

    f (x) = 2x + 3. x2 + y2 = 4x

    y.  

    R2.

    2 × 2.

    5.2 - GEOMETRIA DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES DO PLANO

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    41

    AULA 5

    T   : R2 −→ R2

    (x1, x2)→ (w1, w2)

    w1 =  a11x1 + a12x2   w2 =  a21x1 + a22x2

    a11, a12, a21, a22   w1, w2, x1, x2

    R2 w  = (w1, w2)   x = (x1, x2). T 

     y

    (-1, 1) (1, 1)

     x

    Figura 5.1: A transformação que associa a cada ponto sua imagem simétrica em

    relação ao eixo dos y's

    w =  Ax, A =

      a11   a12a21   a22

    T   :   R2 −→   R2

    x = (x1

    , x2

    )ys. T (x) = (−x1, x2). w1  =   −x1 + 0x2   w2  = 0x1 +  x2.

      w1w2

    =

      −1 0

    0 1

      x1x2

    .

    T    (1, 1) (−1, 1),(1, 0) (−1, 0) (0, 1) (0, 1).  

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    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    (x1, x2) (1, 1) (1, 0) (0, 1)

    (w1, w2) (−1, 1) (−1, 0) (0, 1)

    (x1, x2)(w1, w2).

    T   :  R2 −→  R2

    x   = (x1, x2)   T (x) = (x1, x2).w1 =  x1 + 0x2   w2 = 0x1 + x2.

      w1w2

    =

      1 00 1

      x1x2

    .

    2× 2   T I 2  

    T   :  R2 −→  R2

    x = (x1, x2)   y =  x.T w1   =  x2   w2   =   x1. w1   = 0x1 +  x2   w2   =1x1 + 0x2.

      w1w2

    =

      0 11 0

      x1x2

    .

    T    (1, 0) (0, 1),(1, 1) (x, x)

    T   :  R2 −→ R2 x = (x1, x2)xs. T w1  =  x1   w2 = −x2. w1 = x1   w2 =

    −x2.   w1w2

    =

      1 00   −1

      x1x2

    .

    (1, 0),   (1, 1) (0, 1).

    T   :  R2 −→  R2

    x = (x1, x2)  π

    2. T w1 = −x2   w2 =

    x1. w1 = 0x1 − x2   w2 = 1x1 + 0x2.

      w1w2

    =

      0   −11 0

      x1x2

    .

    math2.indd 42 20/5/2009 08:24:26

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    43

    AULA 5

    T    (1, 0) (0, 1),(1, 1) (−1, 1).  

    R2 φ

    T   :

    R2−→ R

    2

    x = (x1, x2)   φ. T 

      w1w2

    =

      cos(φ)   −sen(φ)sen(φ)   cos(φ)

      x1x2

    .

    T    (1, 0) (cos(φ), sen(φ)),(1, 1) (cos(φ)−sen(φ), cos(φ) + sen(φ)).

    (x, y)

    (x, y)

     y

     y = x(x

    2 , x

    1 )

    (x1 , x

    2 )

     x

    Figura 5.2: A transformação que associa a cada ponto sua imagem

    simétrica em relação a reta y=x

    5.3 - APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO GRÁFICA

    math2.indd 43 20/5/2009 08:24:27

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    44

    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    S    π2

    2.

      w1w2

    =

      0  −

    11 0

      x1x2

    .

    x = (x1, x2)

    S    π2

    .

    φ1   φ2,

    φ1 + φ2

      w1w2

    =

      cos(φ)   −sen(φ)sen(φ)   cos(φ)

      x1x2

    φ φ1 + φ2.

      w1w2

    =

      cos(φ1 + φ2)   −sen(φ1 + φ2)sen(φ1 + φ2)   cos(φ1 + φ2)

      x1x2

    .

     y

    TX 

     X=(x1 , x

    2 )

     x

    Figura 5.3: A transformação que associa a cada ponto sua imagemobtida a partir de uma rotação de Ø

    math2.indd 44 20/5/2009 08:24:29

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    45

    AULA 5

    cos(φ1 + φ2) = cosφ1cosφ2 − senφ1senφ2,

    sen(φ1 + φ2) = senφ1cosφ2 + senφ2cosφ1,φ1 + φ2

      cosφ1cosφ2 − senφ1senφ2   −senφ1cosφ2 + senφ2cosφ1senφ1cosφ2 + senφ2cosφ1   cosφ1cosφ2 − senφ1senφ2

    =

    =

      cos(φ1)   −sen(φ1)sen(φ1)   cos(φ1)

      cos(φ2)   −sen(φ2)sen(φ2)   cos(φ2)

    .

    (φ1+φ2)φ1

    φ2.

    S π

    2.

    o. S 

    o.

    φ1, φ2π

    4.

    A A2,

    φ1 +  φ2  =  π

    2. B   π

    2

    A =  B.

    φ1f 1   φ2

    f 2   φ1 + φ2   f 2of 1.

    A B

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    46

    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    T   : R2 −→ R2 x = (x1, x2)

    T (x) = (−x1,−x2).

      w1w2

    =

      −1 0

    0   −1

      x1x2

    (1, 1)

    (1, 0)

    (−1,−1)

    Q   (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).Q T. Q T  (Q).

    T   : R2 −→ R2

      w1w2

    =

      0   −1−1 0

      x1x2

    (1, 1)

    (1, 0)

    (−1,−1)

    (x, y)

    Q   (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).Q T. Q T  (Q).

    (x, y)

    o

    o

    o

    φ1π

    4.

    A A2, A3 A4. B

    π A4 =  B.

    5.4 - EXERCÍCIOS

    math2.indd 46 20/5/2009 08:24:32

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    AULA  6

    Transformações lineares mais gerais,aplicações à identificação de cônicas

    OBJETIVOS

    Ao terminar esta aula, você deverá ser capaz de:Compreender o que é uma transformação linear do espaço no espaço.1.Operar com transformações lineares do espaço no espaço e reconhecer2.vários tipos de tais transformações.Calcular autovetores e autovalores de transformações lineares e diagona-3.lizar tais operadores quando possível.Aplicar os conceitos acima à identificação de cônicas.4.

    6.1 - TRANSFORMAÇÕES LINEARES DO ESPAÇO

    2×2.

    3× 3.

    T   : R3 −→ R3

    (x1, x2, x3)→ (w1, w2, w3)

    w1 =  a11x1 +  a12x2 +  a13x3   w2 =  a21x1 +  a22x2 +  a32x3

    w3 =  a31x1 +  a32x2 +  a33x3

    math2.indd 47 20/5/2009 08:24:33

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    48

    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    T w =  Ax, A =

    a11   a12   a13a21   a22   a23

    a31   a32   a33

    T 1   :   R3−→   R

    3

    x   = (x1, x2, x3), T 1(x) = (−x2, x1, x3). w1   =0x1 − x2 + 0x3, w2 =  x1 + 0x2 + 0x3, w3 =  x3.

    w1w2w3

    =

    0   −1 01 0 00 0 1

    x1x2x3

    .

    T 1   (1, 0, 0) (0, 1, 0),(0, 1, 0) (−1, 0, 0) (0, 0, 1) = (0, 0, 1).  

    T 2   :   R3−→   R

    3

    x   = (x1, x2, x3), T 2(x) = (x1, x2,−x3). w1   =x1 + 0x2 + 0x3, w2   = 0x1 +  x2 + 0x3, w3   = 0x1 + 0x2   − x3.

    w1w2w3

    =

    1 0 00 1 00 0   −1

    x1x2x3

    .

    T 2(1, 0, 0) (1, 0, 0),   (0, 1, 0) (0, 1, 0)

    (0, 0, 1) = (0, 0,−1). T 

    xy.  

    (x1, x2, x3) (−1, 0, 0) (1,−1, 0) (0, 0, 1) (0, 0, 2) (0, 0, 3) (1, 0, 0)

    (w1, w2, w3)

    (w1, w2, w3)(x1, x2, x3)   T 1   T 2.

    T 1zs

    z   = 0   π2 .

    T 3   :   R3−→   R

    3

    x   = (x1, x2, x3), T 3(x) = (x2, x1, x3). w1   =0x1 + x2 + 0x3, w2 =  x1 + 0x2 + 0x3, w3 =  x3.

    w1w2w3

    =

    0 1 01 0 00 0 1

    x1x2x3

    .

    R3 w   = (w1, w2, w3)   x   = (x1, x2, x3).

    math2.indd 48 20/5/2009 08:24:35

  • 8/18/2019 Geometria Analitica e Algebra Linear - Uma Visao Geometrica - TII

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    49

    AULA 6

    T 3   (1, 0, 0) (0, 1, 0),(0, 1, 0) (1, 0, 0) (0, 0, 1) = (0, 0, 1).

    T 3   (x, y , z)y =  x.  

    A   2 × 2 3 × 3x

    A Ax x,

    Ax =  λx

    λ. λ A x

    A λ.

    Ax x

    u =

      12

    A =

      3 08   −1

      3 08   −1

      12

    =

      36

    = 3u

    Au u y = 2x.  

    6.2 - AUTOVETORES E AUTOVALORES

     z 

     y

     x

    (x, y, z)

     plano y = x

    (x, y, z)

    Figura 6.1: A transformação T 3

    math2.indd 49 20/5/2009 08:24:38

  • 8/18/2019 Geometria Analitica e Algebra Linear - Uma Visao Geometrica - TII

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    50

    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    A,   2 × 2,3  ×  3   Ax   =   λx

    Ax − λIx   = 0   I (A − λI )x = 0.

    x   = (x1, x2)   x   = (x1, x2, x3)A − λI.

    Det(A − λI ) = 0.λ,

    A,

    A =

      1 42 3

    .

    ADet(A−λI ) = 0.

    A − λI  =

      1 42 3

      λ   00   λ

    =

      1 − λ   4

    2 3 − λ

    .

    Det(A−λI ) = 0 (1−λ)(3−λ)−8 = 0λ2 − 4λ − 5 = (λ − 5)(λ + 1) = 0.

    λ = 5   λ = −1.

    λ = 5λ = 5 (A − λI )x = 0

      1 − 5 4

    2 3 − 5

      x1x2

    =

      00

    −4x1 + 4x2  = 0 2x1 − 2x2  = 0. x1  =  x2

    (1, 1).

    λ = −1λ = −1 (A − λI )x = 0

      1 + 1 4

    2 3 + 1

      x1x2

    =

      00

    2x1   + 4x2   = 0 2x1  + 4x2   = 0.x1   =   −2x2

    (−2, 1),   (2,−1).

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    51

    AULA 6

    (a, a), y   =   x5.

    x = (a, a)Ax = 5x u = −2v u, v

    x ∈ R   Ax = −1x.

    A

    A =

    0 1 00 0 14   −17 8

    .

    Det(A−λI ) = 0.

    A−λI  =

    0 1 00 0 14

      −17 8

    λ   0 00   λ   00 0   λ

    =

    −λ   1 0

    0   −λ   14

      −17 8

    −λ

    .

    Det(A − λI ) = 0

    λ3 − 8λ2 + 17λ − 4 = 0

    ±1,±2,±4.   4λ − 4   λ2 − 4λ + 1,   2 ±

    √ 3.

    A

    λ1 = 4, λ2 = 2 + √ 3, λ3 = 2−√ 3

    math2.indd 51 20/5/2009 08:24:41

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    52

    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    A

    λ1 = 4λ1 = 4 (A− λI )x = 0

    −4 1 00   −4 1

    4   −17 4

    x1x2

    x3

    =

      00

    .

    1.

    6.3 - DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES

    R2

    R3

    T A.

    A

    A,

    A A.

    A, n×n,

    P P −1AP P −1

    P P A.

    2× 2

    2 × 2

    A   2 × 2

    A

    A

    A,  2 × 2,

    A,  2 × 2.

    A, x1x2.

    6.3.1 - Matrizes 2 X 2

    math2.indd 52 20/5/2009 08:24:44

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    53

    AULA 6

    P,  2 ×2, x1, x2

    P −1AP 

    λ1, λ2   λi   xi.

    A =

      1 42 3

    .

    A   :   λ   = 5   λ   =   −1(1, 1) (2,−1). P 

    P   =

      1 21   −1

    .

    P.

    P −1 =

      1

    3

    2

    31

    3  −

    1

    3

    .

    P −1AP 

      1

    3

    2

    31

    3  −

    1

    3

      1 42 3

      1 21   −1

    =

      5 00   −1

    A,  2 × 2.

    A =

      1 10 1

    .

    A

    Det(A − λI ) = 0.

    A − λI  =

      1 − λ   1

    0 1 − λ

    .

    Det(A − λI ) = 0 (1 − λ)2 = 0λ   = 1,   (A − λI )x   = 0λ = 1

      1 − 1 10 1 − 1

      x1x2

    =

      00

    .

    x2   = 0.1 (x1, 0)   y   = 0

    A

    math2.indd 53 20/5/2009 08:24:46

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    54

    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    n×n

    A, n× n At = A.

    P, n × n AtA  = I n.

    P P −1 = P t.

    R3

    A,  3 × 3,   Rn

    A?

    A, 3×3, P 

    P −1AP   =   P tAP 

    A

    A   3× 3.

    A

    A   3

    A

    A,   3×3

    R3.

    A

    6.3.2 - Matrizes simétricas

    math2.indd 54 20/5/2009 08:24:48

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    55

    AULA 6

    A

    A

    u1, v1, w1   P A

    P   =�

      u1   v1   w1

    A = 4 2 22 4 2

    2 2 4

    .

    A.

    Det(A − λI ) = 0.

    A−λI  =

    4 2 22 4 22 2 4

    λ   0 00   λ   00 0   λ

    =

    4 − λ   2 22 4 − λ   22 2 4 − λ

    .

    Det(A−λI ) = 0 (λ− 2)2(λ−8) = 0.λ1 = 2   λ2 = 8.

    R3

    A.   0 λ2 = 8,

    (A − λ2I )x =

    −4 2 22   −4 22 2   −4

    x

    y

    z

    = 0.

    −4x + 2y + 2z   = 02x − 4y + 2z   = 02x + 2y − 4z   = 0

    y  =  z x  =  z ,R

    3

    (t,t,t), u = (1, 1, 1).u1 = (

      1√ 3

    ,   1√ 3

    ,   1√ 3

    ).

    0 λ1 = 2,

    (A − λ1I )X  =

    2 2 22 2 22 2 2

    x

    y

    z

    = 0.

    math2.indd 55 20/5/2009 08:24:50

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    56

    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    2x + 2y +2z  = 0,

    α

    λ1   = 2.

    v = (−1, 1, 0)   w = (−1, 0, 1). v w u,α

    u

    v w v1   w1α   1

    v

    w v. c1   =  1

    v.vv.w  =   1

    2

    P   =   c1v   = (−12

      ,   12

    , 0). w −  P    =(−1

    2  , −1

    2  , 1)   v

    v1   v,   1   w1   w

    1.

    v1 = (−1√ 

    2,

      1√ 

    2, 0)   w1 = (−

    1√ 

    6,−

    1√ 

    6,

      2√ 

    6)   u1 = (

      1√ 

    3,

      1√ 

    3,

      1√ 

    3)

    A

    P   =

    −1√ 2

    −1√ 6

    1√ 3

    1√ 2

    −1√ 6

    1√ 3

    0   2√ 6

    1√ 3

    ,

    A

    A

    x2 + y2, ax2 + bxy + y2, x3 + y3 x + y

    6.4 - APLICAÇÕES À IDENTIFICAÇÃO DE CÔNICAS PLANAS

    6.4.1 - Formas quadráticas

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    57

    AULA 6

    x y

    x2

    + x, x3

    + xy + y3

    x + y + y2

    ax2 + 2bxy + cy2

    a, b c

    �  x y

      a bb c

      x

    y

    .

    x1, x2, . . . , xn

    n

    n

    n

    �  x1   x2   . . . xn

    A

    x1

    x2

    xn

    A n× n.

    x =

    x1x2

    xn

    , n

    xtAx.

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    58

    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    xtAx n x1,

    x2, . . . , xn   A

    P A, x  =   P y, y   =

    y1y2

    yn

    xt

    Ax  =

    ytDy  =  λ1y21

     +  · · · + λny2n

      λ1, . . . , λn   A

    D =  P tAP   =

    λ1   0   . . .   00   λ2   . . .   0

    0 0   · · ·   λn

    .

    x21

     − x23

     − 4x1x2 + 4x2x3

    �  x1   x2   x3

    1   −2 0−2 0 20 2   −1

    x1x2x3

    .

    λ − 1 2 02   λ   −20   −2   λ + 1

    = λ3 − 9λ =  λ(λ + 3)(λ − 3).

    λ = 0, λ =  −3, λ = 3.

    λ = 0 :

    2

    31

    32

    3

    ; λ =  −3 :

    1

    3

    2

    32

    3

    ; λ = 3 :

    2

    32

    31

    3

    ;

    x =  P y

    x1x2x3

    = 2

    3  −

    1

    3  −

    2

    31

    3   −2

    3

    2

    32

    3

    2

    3

    1

    3

    y1y2y3

    ,

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    59

    AULA 6

    x1   =  2

    3

    y1 − 1

    3

    y2 − 2

    3

    y3

    x2   =  1

    3y1 −

     2

    3y2 +

     2

    3y3

    x3   =  2

    3y1 +

     2

    3y2 +

     1

    3y3

    �  y1   y2   y3

    0 0 00   −3 00 0 3

    y1y2y3

    ,

    −3y22

     + 3y23

    .

    xy.

    xy

    ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f  = 0

    x2

    a2 +

     y2

    b2  = 1

      x2

    a2−

    y2

    b2  = 1   y2 = 4cx

    x2 = 4cy

    b

    x2 − y2 = 0(x − y)(x + y) = 0.

    x − y  = 0   x + y  = 0.x =  y x = −y.

    6.4.2 - Retomando o estudo das cônicas

    math2.indd 59 20/5/2009 08:24:56

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    60

    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    x2

    x = 0,

    x2 + y2 = 0(0, 0).

    ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f  = 0,

    5x2− 4xy + 8y2 − 36 = 0.

    5x2 − 4xy +8y2,

    �  x y

      5   −2−2 8

      x

    y

    .

    A   =

      5   −2−2 8

    ,

    λ = 4   λ = 9.

    λ = 4 :   V  1 =   2√ 5

    1√ 5

    ;   λ = 9 :   V  2 =

     −   1√ 52√ 5

    .

    A  x

    y

    =

      2√ 

    5  −

      1√ 5

    1√ 5

    2√ 5

      x

    y

    .

    x   y   x2

    9  +   y

    2

    4  = 1,

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    61

    AULA 6

    5x2 − 4xy  + 8y2 +  20√ 

    5x −

    80√ 

    5y  + 4 = 0.

    5x2− 4xy + 8y2.

    X   =

      xy

    :

    X tAX  + KX  + 4 = 0,

    A   =

      5   −2−2 8

    , K   =

      20√ 

    5  − 80√ 

    5

    .

    −4xy

      x

    y

    =

      2√ 

    5  − 1√ 

    51√ 5

    2√ 5

      x

    y

    ,

    A.

    4x2 + 9y2 − 8x − 36y  + 4 = 0

     y

    v2

      v1

     x

     y’

     (  3,  0 

     (  0,  2 

     x’

    Figura 6.1: Encontrando uma cônica padrão por rotação de eixos

    math2.indd 61 20/5/2009 08:25:00

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    62

    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    4(x2−2x)+9(y2−4y)+4 = 4(x2−2x+1)+9(y2−4y+4)+4−4−36 = 0

    4(x−1)2+9(y−2)2 = 36   x = x−1   y = y −2

    x2

    9  +

     y 2

    4  = 1,

    ax2 + 2bxy + cy2 + dy2 + ey + f  = 0

    A

    λ1x2 + λ2y

    2 + dx + ey + f  = 0

    x2 + y2 + 1 = 0.

    math2.indd 62 20/5/2009 08:25:01

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    63/82

    63

    A

    P, P −1AP 

    A  =

      2 2

    1 3

    A  =

      4 2

    3 3

    A  =

      5   −1

    1 3

    A

    A  =

    1   −3 33   −5 3

    6   −6 4

    A  =

    −3 1   −1

    −7 5   −1

    −6 6 2

    2x2 + 2y2 − 2xy

    2xy

    −3x2 + 5y2 + 2xy

    2x2 + 5y2 = 20

    9x2 + 4y2 − 36x − 24y + 36 = 0

    x2 + y2 + 5 = 0

    2x2 − 4xy − y2 + 8 = 0

    x2 + 2xy

    2x

    2− 4

    xy−

    y

    2− 4

    x− 8

    y = −14

    x2 − 2xy  + y2 = 0

    6.5 - EXERCÍCIOS

    AULA 6

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    65/82

    AULA  7

    Estudos das superfícies

    OBJETIVOS Ao terminar esta aula, você deverá ser capaz de:

    Fazer o esboço de superfícies simples considerando as curvas de interseção1. delas com os planos coordenados.Conhecer as superfícies cilíndricas obtidas a partir de uma curva diretriz2.plana.Reconhecer as quádricas padrão.3.Identificar uma quádrica dada a sua equação.4.

    7.1 - COMO ESBOÇAR SUPERFÍCIES

    z   = x2

    + y2

    x = 0   z  = y2, zy.

    y  = 0   z   = x2, zx.

    z   = 0   x2 + y2 = 0

    x = y   = z  = 0.

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    66

    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    z =  c,

    x2 +  y2 = (

    √ c)2.

    z  =   x2 y = 0z

    s.

    z2 =   x2 +  y2

    x  = 0   z2 =   y2, z   = ±yzy.

    y = 0   z2 =  x2,zx.

    z = 0   x2 + y2 = 0x =   y =   z = 0.

    z =c,

    x2 +   y2 =   c2.

    z =  x y = 0, zs.

     z 

     y

     x

     x2

    +y2

    =1

     z=1

    circunferência

    Figura 7.1: O paraboloide dado por z = x2

    + y2

    Exemplo 7.2  Situação diversa acontece quando consideramos a

    equação

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    67

    AULA 7

    x2 + y2 = 1

    xy

    z. z   = 0

    z   = 1,

    z   = 1. z,

    C xy.

    7.2 - SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS

     z 

     y

     x

    Figura 7.2: O cone dado por  z2

    = x2

    + y2

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    68

    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    xyz.

    z   = x2

    l2  +

      y2

    m2

    z   =  x2

    9+  y

    2

    4

    z   = 0   xy  :

    x2

    9+ y2

    4= 0

    7.3 - AS SUPERFÍCIES QUÁDRICAS PADRÃO

    7.3.1 - O paraboloide elíptico

     z 

     y

     x

    Figura 7.3: O cilindro dado por  x2

    + y2

     = 1

    :

    math2.indd 68 20/5/2009 08:25:08

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    69

    AULA 7

    xy

    z   = 1,

    x2

    9+ y2

    4= 1

    3 2.

    y   = 0   xz

    z   =   x2

    9 .

    x   = 0   yz

    z   =  y2

    4 .

    xy

    z   =   x2

    16  +

      y2

    9

    x2

    l2  +

      y2

    m2  +

      z2

    n2  = 1

    7.3.2 - O elipsoide

     z 

     y

     x

    9 4

     z=1

    Elipse

    Figura 7.4: O paraboloide dado por  z =  x2   y2 

    9 4+

    math2.indd 69 20/5/2009 08:25:10

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    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    x2

    9+

      y2

    4+

      z2

    1= 1.

    z   = 0   xy  :

    x2

    9+

      y2

    4= 1,

    3 2.

    y   = 0   xz

    3 1.

    x  = 0   yz

    2 1

    xy

    zx zy y >   2

    x >  3

    x2

    16  +

      y2

    9  +

      z2

    4  = 1

     z 

     y

     x

    Elipses

    Figura 7.5: O elipsoide dado por x2   y2   z2

    9 4 1+   – =1

    :

    math2.indd 70 20/5/2009 08:25:12

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    71

    AULA 7

    z2 =  x2

    l2  +

      y2

    m2.

    z2 = 4x2 + 9y2

    x = 0   z2 = 9y2, z = ±3yzy.

    y  = 0   z2 = 4x2,zx.

    z  = 0 4x2 + 9y2 = 0x =  y  =  z  = 0.

    z  =

    c,   4x2

    + 9y2

    =c2,x2

    ( c2

    )2 +

      y2

    ( c3

    )2  = 1,

    |c|

    z2 = 16x2 + 25y2

    x2

    l2  +

      y2

    m2 −

      z2

    n2  = 1

    7.3.3 - O cone elíptico

    7.3.4 - O hiperboloide de uma folha

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    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    x2

    9+

      y2

    4−

      z2

    1= 1

    z   = 0   xy  :

    x2

    9+

      y2

    4= 1,

    3 2.

    y   = 0   xz

    x2

    9−

      z2

    1= 1,

    3 1.

    x  = 0   yz

    y2

    4−

      z2

    1= 1,

    2 1.

    xy, z   =   c,

    |c|.

     z 

     y

     x

    Figura 7.6: O cone elíptico dado por  z2

    =4 x2

    +9 y2

    :

    math2.indd 72 20/5/2009 08:25:15

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    73

    AULA 7

    x2

    16  +

      y2

    9  −

      z2

    4  = 1

    x2

    l2 −

      y2

    m2 −

      z2

    n2

      = 1

    x2

    9−

     y2

    4−

     z2

    1= 1

    z   = 0   xy

    x2

    9−

     y2

    4= 1,

    3 2.

    y   = 0   xz

    x2

    9−

     z2

    1= 1,

    3 1.

     z 

     y

     x

    Figura 7.7: O hiperboloide de uma folha dado por  x2

       y2

       z2

    9 4 1+   – =1

    7.3.5 - O hiperboloide de duas folhas

    :

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    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    x  = 0   yz

    −y2

    4− z2

    1= 1

    x  =  c,  |c| >  3,

    c2

    9− y2

    4− z2

    1= 1,

    y2

    4+ z2

    1= −1 +

     c2

    9

    |c| >  3,x   =   c

    |c|

    x2

    16 −   y

    2

    9  −   z

    2

    4  = 1

    z  = x2

    l2  −

      y2

    m2

     z 

     y

     x

    Figura 7.8: O hiperboloide de duas folha dado por  x2

       y2

       z2

    9 4 1+   – =1

    7.3.6 - O paraboloide hiperbólico

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    75

    AULA 7

    z   =   x2− y

    2

    z   = 0   xy   :

    x2

    =   y2

    ,

    x   = ±y.

    y   = 0   xz

    z   =  x2

    ,

    x   = 0   yz

    z   = −y2

    ,

    xy, z   =   c,

    ys c x

    s

    c

    z   =  xy

     z 

     y

     x

    Figura 7.9: O paraboloide hiperbólico dado por  z = y2

    – x2

    :

    :

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    76

    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    xyz

    ax2 + bxy + cxz + dy2 + eyz  + f z2 + gx + hy + iz + j  = 0

    z   =   xy, i   = 1, b   =  −1

    z2 − y2 − x2 − 2xy − 2z + 1 = 0

    z2−zx +zx−zy +zy −z−z−x2−xy−xy−x+ x−y2−y +y +1 = 0,

    (z + x + y − 1)(z − x − y − 1) = 0

    z + x + y−1 = 0

    z−

    x−

    y−

    1 = 0

    x2−y2 = 0(x − y)(x + y) = 0.

    x − y = 0   x + y  = 0.x =  y

    x = −y.

    7.4 - AS SUPERFÍCIES QUÁDRICAS MAIS GERAIS

    7.4.1 - Quádricas degeneradas

    math2.indd 76 20/5/2009 08:25:21

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    77

    AULA 7

    x2

    x   = 0,

    x2 + y2 + z2 = 0(0, 0, 0).

    x2 + y2 = 0

    x   = 0   y   = 0.x = 0   y = 0, zs.

    b,c,e

    ax2 + bxy + cxz + dy2 + eyz  + f z2 + gx  + hy + iz + j  = 0

    ax2 + bxy + cxz +dy2 + eyz  + f z2

     z 

     z–x–y=1

     z+x+y=1

    (0, -1, 0)

    (1, 0, 0)

    (-1, 0, 0)

    (0, 0, 1)

    (0, 1, 0)

     y

     x

    Figura 7.10: O par de planos dado por z2

    – 

     y2

    – x2

    – 2 xy –2 z + 1 = 0

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    78

    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    λ1 = 2   λ2 = 8.

    P A

    P   =

    −1√ 2

    −1√ 6

    1√ 3

    1√ 2

    −1√ 6

    1√ 3

    0   2√ 6

    1√ 3

    ,

    λ1 = 2λ2 = 8.

    X tAX − 8 = 0.

    X  = P X 

    (P X )tA(P X )− 8 =  X t(P tAP )X  − 8 = X tDX  − 8 = 0,

    D

    D =

    2 0 00 2 00 0 8

    .

    A =

    4 2 22 4 22 2 4

    .

    4x2 + 4xy +4xz+4y2+4yz +4z2−8 = 0.

    4x2 + 4xy + 4xz + 4y2 + 4yz + 4z2,

    �   x y z

    4 2 22 4 22 2 4

    x

    y

    z

    .

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    79

    AULA 7

    4x2 + y2 − 9z2 − 16x− 6y = 875

    4(x2 − 4x + 4) + (y2 − 6y + 9) − 9z2 = 16 + 9 + 875 = 900

    (x−

    2)2

    152  + (y − 3)

    2

    302  −

      z2

    102  = 1.

    x = x − 2   y = y − 3   z = z

    (x)2

    152  +

      y2

    302 −

      z2

    102  = 1,

    ax2 + bxy + cxz + dy2 + eyz  + f z2 + gx  + hy + iz + j  = 0

    A

    λ1x2 + λ2y

    2 + λ3z2 + dx + ey + f z + g  = 0

    x, y   z   x2

    22  +   y

    22  +

    z2

    12  = 1,

    -

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    GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

    7.5 - EXERCÍCIOS

    x

    2

    1   +  y2

    4   +   z2

    9   = 1.

    z2 =   x2

    1  +

      y2

    4 .

    x2

    4  −

      y2

    9  +

      z2

    1  = 1.

    z2

    9  −

      x2

    16 −

      y2

    4  = 1.

    xyz

    2x2 + 5y2 + 4z2 = 20

    9x2 + 4y2 − 36x − 24y  + z2 + 36 = 0

    x2 + y2 + z2 + 5 = 0

    2x2 + z2 − y2 + 8 = 0

    x2 + 2xy  = 0

    2x2 − y2 − 4x − 8y  +  z2 = 0

    x2 − 2xy  + y2 = 0

    xtAx + Kx +

     j   = 0, A   3 × 3   K    1 × 3 :

    x2

    + 2y2

    − 3z2

    + 4xy  + 6xz − 2yz  +  x − y  +  z   = 34x2 − 2y2 + 6z2 − 4xy − 6xz  + 4yz  + 2x − 3y  + 2z   = 6

    6x2 − y2 + 8z2 + 4xy  + 6xz − 8yz  +  x  + y − z   = 5

    x   =   P x

    2x2 + 3y2 + 23z2 + 72xz  + 150 = 0.

    2xy − 6x + 10y  + z − 31 = 0

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    Referências Bibliográficas

    [1] ANTON, Howard; RORRES, Chris. Elementary Linear Algebra.New York: John Wiley & Sons, Inc., 1994.

    [2] AVRITZER, Dan. Elementos de geometria analítica: uma visãogeométrica. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2006.

    [3] LANG, Serge. Linear Algebra. Reading: Addison-Wesley, 1971.

    [4] LIPSCHUTZ, Seymour.  Ál gebra Linear . Rio de Janeiro: McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1971.

    [5] SANTOS, Reginaldo J. Um curso de geometria analítica e álgebralinear . Belo Horizonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2003.

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