Geometria Analítica e Cálculo Vetorial Prof. Dr. Cláudio S ... · Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 12 Produto misto

Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

10

Operações com Vetores no Espaço R3:

Representação: kvjvivv zyxˆˆˆ

Determinação dos ângulos x, y, z:

v

v

v

v x

x

x

x arccoscos

v

v

v

v y

y

y

y arccoscos

v

v

v

v zx

zz arccoscos

Representação dos ângulos no espaço R3:

Representação: z

kvjvivv zyxˆˆˆ

ou

),,( zyx vvvv

ou

OAAOv

xv : Componente x do vetor v

na direção Ox .

yv : Componente y do vetor v

na direção Oy.

zv : Componente z do vetor v

na direção Oz.

v

A

z

y

x

0 vy y

x vx

Versores:

0,0,1i

0,1,0j

1,0,0k

Módulo do vetor:

222

zyx vvvv

Modo angular na calculadora:

Lembre-se que para encontrar o ângulo

em graus o modo que se deve trabalhar na

calculadora é deg (de “degree”) e se quiser operar

em radianos, rad.

A relação entre um ângulo medido em

grau 0 e um ângulo medido em radiano é dada

por: 0

0180

3.14159...

Importante:

v

é um vetor, por tanto possui módulo

direção e sentido.

v

é o módulo do vetor v

, sendo

portanto um número.

Produto Escalar entre dois vetores:

Representação: BA

Lê-se: Produto escalar entre os vetores A

e

B

Definição: O Produto escalar entre dois

vetores é um número que representa a projeção de

um vetor na direção de outro vetor:

A

cosA

B

zzyyxx BABABABA

Mostramos em aula que:

cosBABABABABA zzyyxx

Podemos encontrar o ângulo entre os

vetores por meio da equação:

cosx x y y z zA B A B A B

A B

arccosx x y y z zA B A B A B

A B


11

Aplicações:

Trabalho de uma força:

O trabalho de uma força, ao deslocar um corpo

de uma posição 1r

a outra 2r

no espaço ao longo de

uma trajetória C é dado por:

C

rdF

Quando a força é constante ao longo dessa

trajetória, sendo d o deslocamento sofrido pelo corpo:

dF

Potência de uma força:

vFP

Propriedades:

1ˆˆ ii 0ˆˆˆˆ ijji

1ˆˆ jj 0ˆˆˆˆ ikki

1ˆˆ kk 0ˆˆˆˆ jkkj

CABACBA

vv

vn

AB

ˆ ; onde ABABv

(Normalização de um vetor).

Mostre que:

kjin zyxAB

ˆcosˆcosˆcosˆ

Produto Vetorial entre dois vetores:

Representação: BA

Lê-se: Produto vetorial entre os vetores A

e

B

.

Definição: O Produto vetorial entre dois

vetores é um vetor que possui direção perpendicular ao

plano formado pelos vetores A

e B

, cujo ângulo vale

e cujo módulo é igual a área formada pelo

paralelogramo de lados A

e B

:

A

BA

θ senAh

B

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BA

ˆˆˆ

Mostramos em aula que:

kBABAjBABAiBABABA xyyxzxxzyzzyˆˆˆ

Podemos encontrar o módulo do vetor que

é originado pelo produto vetorial dos vetores

vetores A

e B

:

senBABA

Aplicações:

Torque ou Momento de uma força

aplicada num ponto A em relação a um ponto

O:

AAOFAOM

AF

A

y

z O x

11. Força magnética sobre uma

partícula de carga q que penetra numa região

de Campo Magnético Uniforme.

Força de Lorentz:

BvqEqF

q E

v

B

Propriedades:

0ˆˆ ii kijji ˆˆˆˆˆ

0ˆˆ jj jkiik ˆˆˆˆˆ

0ˆˆ kk ijkkj ˆˆˆˆˆ

CABACBA

ABBA

BAmBAm

CBACBA

CBABCACBA

0

AA


12

Produto misto de três vetores:

O Produto misto entre os vetores A

, B

e C

é um número cujo valor é o volume do paralelepípedo

formado pelo comprimento dos respectivos vetores .

Interpretação Geométrica:

Notação: CBA

cossenCBACBA

zyx

zyx

zyx

CCC

BBB

AAA

CBA

Funções com valores Vetoriais:

Se D é um conjunto de números reais,

então, ktzjtyitxr ˆ)(ˆ)(ˆ)(

é uma função

com valores vetoriais para um dado t real.

Se t é o tempo, denominamos o vetor

deslocamento:

ktzjtyitxr ˆ)(ˆ)(ˆ)(

A trajetória de uma partícula para esse

vetor deslocamento é a união de todos os extremos

desses vetores para todo instante de tempo t.

O vetor velocidade instantânea é um vetor

tangente à trajetória e é dado por:

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dt

rdtv ˆˆˆ)(

Observe que:

kvjvivtv zyxˆˆˆ)(

dt

dxvx

dt

dyvy

dt

dzvz

O vetor aceleração instantânea é dado

por:

kdt

zdj

dt

ydi

dt

xd

dt

rdta ˆˆˆ)(

2

2

2

2

2

2

2

2

Observe que:

kajaiata zyxˆˆˆ)(

dt

dva x

x

dt

dva

y

y

dt

dva z

z


13

Exercícios de Aplicação:

Desenvolvidos em aula

Em cada ilustração, encontre o que se pede:

1.

(a) AD AB (b) AC AD

(c) AD AB (d) AC AD

(e) Ângulo entre eAC AD .

(f) Ângulo entre eOA OB .

A(0, 20, 0);B(-4, 0, 5); C(12, 0, 3.6);D(-4, 0, -14.8)

4,0, 14.8 0,20,0 4, 20, 14.8AD D A

4,0,5 0,20,0 4, 20,5AB B A

12,0,3.6 0,20,0 12, 20,3.6AC C A

(a)

ˆˆ ˆ

4 20 14.8

4 20 5

i j k

AD AB

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

4 20 14.8 4 20

4 20 5 4 20

i j k i j

ˆ20 5 20 14.8AD AB i ’

ˆ14.8 4 5 4 j

ˆ4 20 4 20 k

ˆˆ ˆ396 79.2 0AD AB i j k

(b) ˆˆ ˆ368 163.2 320AC AD i j k

(c) 342AD AB

(d) 298.72AC AD

(e) Ângulo entre 0 e :59.8AC AD .

(f) Ângulo entre 0 e : 90OA OB

2. O ponto A está a 20m do chão.

O

(a) AC AB (b) AB AC

(c) AC AB (d) OC OD

(e) Ângulo entre eAC AB .


3.

(a) AC AB (b) AB AC

(c) AC AB (d) OC OD


14



4.

(a) AC AB (b) AB AC

(c) AC AB (d) OC OD


(f) Ângulo entre eOA OE .

(g) AE AC

5.

(a) AC AB (b) AB AC

(c) AC AB (d) OC OD



(g) AD AC

6.

(a) AC AB (b) AB AC

(c) AC AB (d) OC OD


(f) Ângulo entre eOA OD .

(g) AB AC

7.

(a) AC AB (b) AB AC

(c) AC AB (d) OC OD


15


(f) Ângulo entre eOE OF .

(g) AD AE

8.

(a) AC AB (b) AB AC

(c) AC AB (d) OC OD

9. O raio do disco é 5cm.

(a) AC AB (b) AB AC

(c) AC AB (d) OC OD

10.

(a) AC AB (b) AB AC

(c) AC AB (d) OC OD

11.

(a) AC AB (b) AB AC

(c) AC AB (d) OC OD


16

12.

(a) AC AB (b) AB AC

(c) AC AB (d) OC OA

13.

(a) AC AB (b) AB AD

(c) AC AB (d) OC OA

14.

(a) OA OB (b) OA OA

(c)OA OB (d) OA OA

15.

(a) AC AB (b) AB AC

(c) AC AB (d) OC OD


(f) Ângulo entre eOE OF .

(g) AD AE


17

16.

(a) AC AB (b) AB AC

(c) AC AB (d) OC OD


(f) Ângulo entre eOE OB .

(g) AD AE

17.

(a) AC AB (b) AB AC

(c) AC AB (d) OC OD

18.

(a) AC AB (b) AB AC

(c) AC AB (d) OC OD

19.

(a) AC AB (b) AB AC

(c) AC AB (d) OC OB

20.


18

(a) AC AB (b) AB AC

(c) AC AB (d) OC OB

21.

(a) AC AB (b) AB AC

(c) AC AB (d) OC OB

PROBLEMAS

Parte A – Exercícios de treinamento

Problema 1 – São dados os vetores:

jiu ˆˆ3

jiv ˆ5ˆ2

kjir ˆˆ3ˆ2

kjis ˆ8ˆ2ˆ4

Determine:

(a) vu

3

(b) vu

(c) )2( vuu

(d) urvu

32

(e) vr

(f) urvsv

(g) urvsv

(h) iurvsv ˆ

Problema 2 – São dados os vetores:

kjiA

3ˆ4ˆ

kjiB ˆˆ3ˆ2

e kjiC ˆ3ˆ2ˆ5

Verifique as propriedades:

i. CABACBA

ii. ABBA

iii. BAmBAm

iv. CBACBA

v. CBABCACBA

vi. 0

AA

Problema 3 – Encontre os ângulos entre

os vetores:

(a) A

e B

.

(b) A

e C

.

(c) B

e C

.

Problema 4 – Seja:

ktjtittr ˆ)33(ˆ)64(ˆ)49()(

:

(a) Encontre os vetores:

)0(r

; )1(r

e )2(r

.

(b) Esboce os vetores: )0(r

; )1(r

e )2(r

.

(c) Encontre os vetores


19

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

2

4

6

-1

-0.5

0

0.5

1

-10

-5

0

5

10

-10

0

-1-0.500.51

-10

-5

0

5

10

)0(v

; )1(v

e )2(v

.


kbtjasentitatr ˆˆˆcos)(

, com a e b

constantes.

(a) Faça o traçado de )(tr

completando a

tabela abaixo:

t )(tr

0

/4

/2

3 /4

5 /4

2

(b) Esquematizando a curva que representa a

trajetória, união de vários pontos extremos do vetor

)(tr

, dada para a = 1 e b = 1/3, teremos:

Indique os vetores da tabela na figura que

representa a trajetória C.

Problema 6 – Uma partícula de carga q

penetra numa região onde há um campo elétrico

CNkjiE ˆ6ˆ4ˆ3

, e um campo magnético

TjiB ˆ4.0ˆ2.0

.

Encontre a relação q

F

se a velocidade desta

partícula é de smjiv ˆ22ˆ12

.

Problema 7 – Seja jtittr ˆ)8(ˆ2)( 2.


completando a

tabela a seguir:

t )(tr

-2

-1

0

1

2

3

4

Indique os vetores da tabela na figura que

representa a trajetória C.

c) Calcule o vetor velocidade instantânea

jvivtv yxˆˆ)(

para os instantes da tabela e

seus módulos.

d) Determine o vetor aceleração

instantânea jaiata yxˆˆ)(

para os instantes

da tabela e seus módulos.


20

Parte B – Trabalho.

Problema 1 - Dados os vetores P = 3i - j + 2k,

Q = 4i + 5j - 3k e S = -2i + 3j - k, calcule os produtos

escalares P • Q, P • S e Q•S.

Problema 2 - Calcule o produto escalar

P1 • P2 e utilize o resultado obtido para provar

a identidade:

212121 coscos)cos( sensen

P1

P2

2

1

x

Problema 3 - Três cabos são utilizados para

sustentar um recipiente, como ilustrado. Determine o

ângulo formado pelos cabos AB e AD.

Problema 4 - Três cabos são utilizados para

sustentar um recipiente, como ilustrado. Determine o

ângulo formado pelos cabos AC e AD.

Problema 5 - O tubo AB pode deslizar ao

longo do eixo horizontal. Os extremos A e B do tubo

estão ligados ao ponto fixo C por meios de elásticos. Na

posição correspondente a x = 280 mm, determine o

ângulo formado pêlos dois elásticos

(a) usando o produto escalar entre vetores

apropriados.

(b) aplicando a lei dos co-senos ao triângulo

ABC.

Problema 6 - Resolva o Problema 3.30

quando x = 100 mm.

Problema 7 - Sabendo que a força de tração

no cabo AC é de 1 260 N, determine:

(a) o ângulo entre o cabo AC e o mastro AB e

(b) a projeção sobre AB da força aplicada

pelo cabo A

Problema 8 - Sabendo que a força de

tração no cabo AD é de 810 N, determine: (a)

o ângulo entre AD e o mastro AB e

(b) a projeção sobre AB da força exercida

pelo cabo AD no ponto A.

Problema 9 - Dados os vetores P = 3i - j +

2k, Q = 4i + 5j - 3k e S = -2i + 3j - k, calcule:

(a) (Q x S)

(b) (P x Q) • S

(c) (S x Q) • P.

Problema 10 - Dados os vetores P = 4i - 2j

+ 3k, Q = 2i + 4j - 5k e S = si - j + 2k, determinar

o valor de s para o qual os três vetores são

coplanares.


tração no cabo AB é de 570 N, determine o

momento, em relação a cada um dos eixos

coordenados, da força aplicada no ponto 6 da

placa.


tração no cabo AC é de 1 065 N, determine o

momento da força aplicada no ponto C da placa,

em relação a cada eixo coordenado.


21

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

00.5

1

0

2

4

-1

-0.5

00.5

1

Problema 13 - Um pequeno barco pende de

dois suportes, um dos quais é mostrado na figura. Sabe-

se que o momento, em relação ao eixo z, da força

resultante R aplicada no ponto A do suporte não deve

exceder o valor de 217 N • m, em valor absoluto.

Determine o maior valor possível da força de tração no

cabo ABAD quando x = 1,46m.

Problema 14 - Com referência ao Prob. 3.38,

determine o maior valor de x compatível com uma

força de tração de 214 N no cabo ABAD.

Problema 15 - Uma força única P atua no

ponto C em uma direção perpendicular ao cabo BC da

manivela da figura. Sabendo que Mx = 20 N • m, My =

8,75 N • m e Mz =30 N • m, determine o módulo de P e

os valores de e .

Problema 16 - Uma única força P atua no

ponto C em uma direção perpendicular ao cabo BC da

manivela da figura. Determine o momento M de P em

relação ao eixo x, quando = 700 , sabendo que My= -

20 N • m e Mz = -37,5 N • m.


kbtjaiasenttr ˆˆcosˆ)(

, com a e b

constantes.


completando a tabela

abaixo:

t )(tr

0

/4

/2

3 /4

5 /4

2

(b) Esquematizando a curva que

representa a trajetória, união de vários pontos

extremos do vetor )(tr

, dada para a = 1 e b = 1/3,

teremos:

Indique os vetores da tabela na figura.

Problema 18 – Determine a

velocidade vetorial )(tv

, se

kbtjaiasenttr ˆˆcosˆ)(

representa o

vetor posição de uma partícula em movimento.

Problema 19 – Uma partícula de

carga q penetra numa região onde há um campo

elétrico CNkjiE ˆ6ˆ4ˆ3

, e um campo

magnético TjiB ˆ4.0ˆ01.0

.

Encontre a relação q

F

se a

velocidade desta partícula é de

smkjiv ˆ5ˆ10ˆ20

.

Problema 20 – Seja o vetor posição de uma

partícula dado por:

kjsentittr ˆ1ˆˆcos)(

A trajetória dessa partícula está indicada na

figura.

(a) Calcule o vetor velocidade instantânea

jvivtv yxˆˆ)(

para os instantes t0 = 0s, t1 = 2s

e t3 = 4 s, e também seus módulos.


22

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.5

1

1.5

2

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

(b) Determine o vetor aceleração instantânea

jaiata yxˆˆ)(

para os instantes dados e seus

módulos.

Referências:

“Mecânica Vetorial para Engenheiros –

Estática”, Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr.,

Makron Books.

Swokowski, V II.

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