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Geometria Analítica
Prof° Marcelo Maraschin de Souza
Disciplina
❏ Aulas:
Segunda-feira e terça-feira: 8:00 até 9:50
❏ Avaliações: listas de exercícios e três provas;
❏ Sala: 222;
❏ Livros.
Conteúdos
• Plano de Ensino
• Prováveis datas de provas:
Geometria Analítica, pra que?
Além de aperfeiçoar os saberes, irão utilizar nas
disciplinas:
• Cálculos (fases 1, 2, 3 e 4);
• Álgebra Linear (fase 2);
• Cálculo Numérico.
História
René Descartes (1596-1650) é considerado o pilar da Geometria Analítica.
Em 1619, ele descobriu a fórmula dos poliedros (geometria espacial) que
usualmente leva o nome de Euler:
𝑣 + 𝑓 = 𝑎 + 2
Em 1628, quando publicou o livro “Discurso” já tinha domínio sob a
Geometria Analítica, apesar de aparentemente não estar preocupado com
a ligação entre a geometria e a álgebra, seu objetivo era libertar a
geometria da utilização de tantos diagramas e dar significado a álgebra.
Em 1641, percebendo as poderosas ideias que havia desenvolvido
resolveu o problema das três e quatro retas de Pappus. Após publicou “A
Geometria”, que ensina detalhadamente resoluções de equações
quadráticas geometricamente, por meio de parábolas, entre outros.
Grandezas
Escalares: são aquelas que ficam completamente definidas
por um número real.
Exemplos: comprimento, massa, temperatura, etc.
Vetoriais: são grandezas que não ficam completamente
definidas pelo módulo, ou seja, pelo número com sua
unidade correspondente. Para caracterizá-la precisamos
conhecer módulo, direção e sentido.
Exemplos: força, velocidade, aceleração, etc.
Direção e Sentido
Direção: segue figura para exemplificação da direção,
Logo, as retas dão noção de direção.
Em que direção fica a cidade de Vacaria?
Direção e Sentido
Sentido: segue figura para exemplificação da direção,
O deslocamento de uma pessoa nessa mesma direção
pode ser feito de duas maneiras, de A para B e de B para A.
Então, para cada direção podemos associar dois sentidos.
Segmento Orientado
Definição: É um par ordenado (A,B) de pontos do espaço, A
é a origem e B é a extremidade do segmento orientado 𝐴𝐵.
Observe que se A≠B, então 𝐴𝐵 é diferente de 𝐵𝐴.
Exemplo
Considere um avião com velocidade constante 400km/h,
deslocando-se para nordeste, sob um ângulo de 70° (a
partir da direção norte, no sentido horário).
Essa velocidade seria representada por um segmento
orientado, com módulo dado pelo comprimento (4cm, para
cada 1cm sendo 100km/h), e direção e sentido definidos
pelo ângulo de 70°.
Suponha o ângulo (70°+180°).
Vetor
O exemplo anterior nos dá a noção de vetor.
Definição de vetor: quantidade que para sua especificação
completa, requer comprimento, direção e sentido.
Dois ou mais segmentos orientados de mesmo
comprimento, direção e mesmo sentido são representantes
do mesmo vetor.
Seja 𝐴𝐵 um segmento orientado, o vetor 𝑣 = 𝐴𝐵 é
determinado por 𝐴𝐵 . O módulo (comprimento ou norma)
do vetor é denotado por 𝒗 ou ||𝒗||.
Vetor
Casos Particulares de Vetores
Vetores paralelos: dois vetores 𝑣 e 𝑢 são paralelos, e
indica-se por 𝑣 // 𝑢, se tiverem a mesma direção. Na figura a
seguir tem-se 𝑣 // 𝑢 // 𝑤.
Vetores iguais: dois vetores 𝑣 e 𝑢 são iguais se tiverem
mesmo módulo, direção e sentido, indica-se por 𝑣 = 𝑢.
Casos Particulares de Vetores
Vetores nulo: é o vetor que tem como representante um
segmento orientado nulo. É indicado por 0 ou 𝐴𝐴. Pelo fato
de não possuir direção e sentido, considera-se que o vetor
nulo é paralelo a qualquer vetor.
Vetor oposto: para cada vetor não nulo 𝑣 existe um vetor
oposto - 𝑣, de mesmo comprimento e direção, porém sentido
contrário. Se 𝑣 = 𝐴𝐵, o vetor oposto é − 𝑣 = 𝐵𝐴.
Vetor unitário: um vetor 𝑣 é unitário se | 𝑣|=1.
Casos Particulares de Vetores
Versores: são vetores unitários (𝑢 e -𝑢) com a mesma
direção de um vetor qualquer 𝑣.
Casos Particulares de Vetores
Vetores ortogonais: dois vetores 𝑢 e 𝑣 são ortogonais se
algum representante de 𝑢 formar um ângulo reto com algum
representante de 𝑣, indica-se por 𝑢⊥ 𝑣.
Casos Particulares de Vetores
Vetores colineares: dois vetores 𝑢 e 𝑣 são colineares se
tiverem a mesma direção, ou seja, são colineares se
pertencerem a mesma reta ou retas paralelas.
Casos Particulares de Vetores
Vetores coplanares: dois ou mais vetores são coplanares
se pertencem ao mesmo
Para pensar:
1) Dois vetores são sempre coplanares?
2) Três vetores são sempre coplanares?
Para pensar:
1) Dois vetores são sempre coplanares?
Para pensar:
2) Três vetores são sempre coplanares?
Exercícios
Exercícios
Operações com vetores
Adição de Vetores: dados 𝑢 e 𝑣, sejam 𝐴𝐵 representante
de 𝑢 e 𝐵𝐶 representante de 𝑣, que tem origem B. O vetor
soma de 𝑢 e 𝑣 é dado por 𝑢 + 𝑣 = 𝐴𝐶.
Operações com vetores
Adição de Vetores:
Operações com vetores
Propriedades
Sejam 𝑢, 𝑣 e 𝑤, vetores quaisquer, a adição admite as
seguintes propriedades:
• Comutativa: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢;
• Associativa: (𝑢 + 𝑣)+𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 ;
• Elemento neutro: 𝑢 + 0 = 𝑢;
• Elemento oposto: 𝑢 + −𝑢 = 0.
Operações com vetores
Diferença: O vetor 𝑢 + (− 𝑣), escreve-se 𝑢 − 𝑣, é chamado
diferença entre 𝑢 e 𝑣.
Exemplos:
Exemplos:
Multiplicação de número real por vetor
Seja um vetor 𝑣 ≠ 0, e um número real α ≠ 0, chama-se
produto do número real α pelo vetor 𝑣, tais que
• Módulo: α 𝑣 = α 𝑣
• Direção: α 𝑣 é paralelo a 𝑣
• Sentido: α 𝑣 e 𝑣 tem mesmo sentido se α>0 e sentido
contrário se α<0.
Multiplicação de número real por vetor
Versor
O vetor unitário 𝑣
|𝑣|de mesmo sentido de 𝑣 é o versor de 𝑣.
Exemplos:
o Se | 𝑣|=5, o versor de 𝑣 é 𝑣
5
o Se | 𝑣|=1/3, o versor de 𝑣 é 3 𝑣
Multiplicação de número real por vetor
Propriedades: seja 𝑣 e 𝑢 vetores, α e β números reais, a
multiplicação de um escalar por um vetor admite as
propriedades:
• (αβ) 𝑣 = α(β 𝑣)
• (α+β) 𝑣=α 𝑣+β 𝑣
• α( 𝑣 + 𝑢)= α 𝑣+ α𝑢
• 1. 𝑣= 𝑣
Multiplicação de número real por vetor
Ângulo entre dois vetores
O ângulo entre dois vetores não-nulos 𝑣 e 𝑢 é o ângulo θ
formado por duas semirretas 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵 de mesma origem O,
onde 𝑢 = 𝑂𝐴 e 𝑣 = 𝑂𝐵 e 0º ≤ θ ≤ 180º.
Ângulo entre dois vetores
• Se 𝜃 = 0°, 𝑣 e 𝑢 tem mesma direção e sentido;
• Se 𝜃 = 180°, 𝑣 e 𝑢 tem mesma direção e sentido contrário;
• Se 𝜃 = 90°, 𝑣 e 𝑢 são ortogonais;
• O ângulo formado pelos vetores − 𝑣 e 𝑢 é o suplemento do
ângulo de 𝑣 e 𝑢.
Ângulo entre dois vetores
Tratamento Algébrico
Prof° Marcelo Maraschin de Souza
Combinação Linear
De modo geral dois vetores quaisquer 𝑣1 e 𝑣2 não
paralelos, para cada vetor 𝑣 no mesmo plano de 𝑣1 e 𝑣2,
existe uma só dupla de números reais 𝑎1 e 𝑎2, tal que
𝑣 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2
Combinação Linear
Neste caso, a1>0 e a2<0:
Combinação Linear
E neste caso?
Combinação Linear
Quando o vetor 𝑣 estiver representado por
dizemos que 𝑣 é combinação linear de 𝑣1 e 𝑣2.
𝑣 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2
Base
O par de vetores 𝑣1 e 𝑣2, não paralelos, é chamado de
base no plano, B={ 𝑣1, 𝑣2 }.
Base ortonormal: uma base { 𝑣1, 𝑣2 } é ortonormal se seus
vetores forem ortogonais e unitários, ou seja, 𝑣1 ⊥ 𝑣2 ,
|𝑣1|=1 e |𝑣2|=1.
Base
Base ortonormal que determina o sistema cartesiano xOy:
suponha que os vetores ortogonais e unitários, são
simbolizados por 𝑖 e 𝑗, ambos com origem em O e
extremidades nos pontos (1,0) e (0,1), respectivamente.
• Esta base { 𝑖 , 𝑗} chamamos
• canônica.
Base Canônica
Dado um vetor 𝑣 qualquer do plano, existe uma dupla de
números x e y tal que,
𝑣 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗
Os números x e y são as componentes de 𝑣 na base
canônica. Usualmente iremos representar por
𝑣 =(x,y)
Obs: sugere que um vetor no plano é um par ordenado. 𝑣 =𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗
Exemplo
𝑣 = 2 𝑖 + 3 𝑗
𝑢 = −2 𝑖 + 3 𝑗
𝑤 = 2 𝑖 − 𝑗
𝑎 = 4 𝑗
Igualdade de Vetores
Dois vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 e 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2 são iguais se, e
somente se, 𝑥1 = 𝑥2 e 𝑦1 = 𝑦2. Escrevendo-se 𝑢 = 𝑣.
Exemplo: encontre os valores de x e y se 𝑢 = 𝑥 + 1, 4 e
𝑣 = 5, 2𝑦 − 6 forem iguais.
Operação com Vetores
Sejam os vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 e 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2 e α ∈ ℝ ,
define-se:
• 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2 ;
• α 𝑢 = α𝑥1, α𝑦1 ;
Operação com Vetores
Sejam os vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑥2 e 𝑣 = 𝑦1, 𝑦2 e α ∈ ℝ ,
define-se:
• 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2 ;
• α 𝑢 = α𝑥1, α𝑥2 ;
Operação com Vetores
Sejam os vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑥2 e 𝑣 = 𝑦1, 𝑦2 e α ∈ ℝ ,
define-se:
• −𝑢 = −𝑥1, −𝑦1 ;
• 𝑢 − 𝑣 = 𝑥1 − 𝑥2, 𝑦1 − 𝑦2 ;
• Demonstre 𝒖 − 𝒗 .
Exercícios
