GEOMETRIA€¦ · curva poligonal fechada. 28 Aristarchus de Samos (c. 310 a.C.–230 a. C.) usa métodos geométricos para calcular as distâncias do sol e da lua à terra. Ele também

COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA

FUN

GEOMETRIA TEORIA DAS CURVAS

JOÃO CARLOS MOREIRA COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA






JOÃO CARLOS MOREIRA Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP

Universidade Federal de Uberlândia

EDITORA LIVRARIA ESCOLA DE MATEMÁTICA


Copyright © 2019 by João Carlos Moreira CAPA: João Carlos Moreira EDITOR: João Carlos Moreira DIAGRAMAÇÃO: João Carlos Moreira DISTRIBUIÇÃO: Editora Livraria Escola de Matemática COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1988.

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

https://www.escoladematematicapontal.com.br/livraria-online/

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Para todos os meus alunos, com carinho. João Carlos Moreira


Prefácio

Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Geometria, criado em 2017, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do aprendizado da Geometria e suas aplicações. A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos e no desenvolvimento de algoritmos. Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino de matemática no Brasil. Agradeço a Deus pela missão educacional confiada a mim.

Ituiutaba, março de 2019.

João Carlos Moreira


Símbolos lógicos

Símbolo Lê-se Exemplo Lê-se

∈ pertence 2 ∈ A O número dois pertence ao conjunto A.

∀ para todo (∀ a)(a ∈ ℕ) Para todo a, a pertencente a ℕ.

∃ existe (∃ x)(x ∈ A) Existe x, x pertencente ao conjunto A.

∃! existe um único (∃! x∗)(x∗ ∈ ℕ) Existe um único sucessor de x pertencente ao conjunto dos números naturais.

∧ e x ∧ y x e y ∨ ou (inclusivo) x ∨ y x ou y ∨ ou (exclusivo) x ∨ y x ou y ¬ não ¬(2 ∈ A) 2 não pertence ao

conjunto A → implica 𝑃 → 𝑄 P implica Q ↔ se, e somente se 𝑃 ↔ 𝑄 P se, e somente se, Q



ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM

Sumário

1 Abordagem Histórica 00

2 Abordagem Algébrica 00

2.1 Sistema matemático das curvas no ℝ𝑛 00

2.1.1 Representação das curvas 00

2.1.2 As operações 00

2.1.3 As relações 00

2.1.4 Os axiomas 00

2.2 Teoria do cálculo infinitesimal 00

2.3 Teoria do cálculo diferencial 00

2.4 Teoria do Cálculo integral 00

3 Abordagem Geométrica 00

3.1 Representação das curvas no ℝ2 e ℝ3 00

3.2 Cálculo de perímetro 00

3.3 Cálculo de área 00

4 Abordagem Computacional 00

4.1 Representação das curvas 00

4.2 Algoritmos 00


5 Abordagem Avançada 00

5.1 Teoremas 00

5.2 Conjecturas 00

5.3 Paradoxos 00

6 Resolução de Problemas 00

6.1 Abordagem histórica 00

6.2 Abordagem algébrica 00

6.2.1 Conceitos primitivos e derivados 00

6.2.2 Prática intuitiva 00

6.2.3 Prática formal 00

6.3 Abordagem geométrica 00




6.4 Abordagem Computacional 00




7 Referências Bibliográficas 00


1 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

1 A origem primitiva da matemática está muito ligada ao

desejo humano de observar as formas que compõem o universo e compreender as relações existentes entre elas.

2 É nesse contexto que a teoria das curvas ocupa um destaque muito especial. Arqueólogos encontraram recentemente (pág. 228, vol. 518 da revista Nature), o que pode ser a primeira curva desenhada pelo homem. Trata-se de uma poligonal feito há mais de 400.000 anos.

Fig. 1 Um Homo Erectus segura a concha da jazida de Trinil (Indonésia)

CAPÍTULO 1 ABORDAGEM HISTÓRICA

Euclides de Alexandria (c. 325-265 a.C) foi um matemático grego. É considerado o maior matemático da antiguidade. Dentre suas contribuições, destacamos o tratado Os Elementos. É na teoria da geometria euclidiana que encontramos o primeiro exemplo de sistema matemático.



3 O mais surpreendente é que esse objeto foi feito por um Homo Erectus, cerca de 300.000 anos antes que nossa espécie começasse a desenhar curvas semelhantes, provando que o ser humano desenvolveu o seu raciocínio geométrico muito antes do que se imaginava.

4 A Arte rupestre representa muito bem a evolução geométrica do pensamento humano no interior das cavernas (arte parietal) e ao ar livre, durante o período pré-histórico (o período da história que precede a escrita).

5 A pintura rupestre foi uma de suas primeiras manifestações intelectuais, as mais conhecidas são datadas do período Paleolítico Superior (40.000 a.C.). A mesma se tornou em uma ferramenta muito eficiente para registrar as atividades do cotidiano do homem primitivo.

Fig.2. Gruta de Lascaux Fig.3. Bisão na Caverna de Altamira

Fig. 4 Caverna de Chauvet Fig. 5 Parque Nacional da Serra da Capivara

6 Em geral, as pinturas rupestres são marcadas pela

presença de grandes animais selvagens como bisões, cavalos, entre outros e mais raramente o humano.



Acredita-se que essas pinturas estejam ligadas a atividades humanas como dança, luta, ritos religiosos, relações sexuais e caça.

7 Algumas curvas, como as circunferências e as espirais, também são encontradas nas pinturas rupestres. Essas curvas eram traçadas utilizando-se como materiais básicos os dedos, as mãos e pigmentos minerais moídos (óxidos de ferro e manganês, hematita, limonite, argila, gesso e outros). O vermelho era a cor mais frequente, juntamente com preto, ocre, amarelo e branco em diferentes tonalidades que resultavam da mistura desses pigmentos.

Fig.6. Sítio de Bisnau-GO Fig.7. Piracuruca-PI

8 Com o desenvolvimento das civilizações, surgiram técnicas muito eficientes, não só para contar, mas também para medir grandezas que surgiram em vários problemas, como por exemplo cálculo de distâncias astronômicas, comprimento de curvas e áreas limitadas por elas.

9 Thales de Mileto (c. 624 a.C.–547 a.C.), por volta de 575

a.C traz o conhecimento matemático babilônico e egípcio para a Grécia. Pode ter sido o primeiro a trazer a geometria para a Grécia, ele usou a mesma para calcular a altura das pirâmides e as distâncias dos navios ao porto.

10 Muitas referências creditam a Thales as seguintes proposições:



11 Um círculo é dividido por qualquer diâmetro.

12 Os ângulos de base de um triângulo isósceles são iguais.

13 Os ângulos entre duas linhas que se cruzam são iguais.

14 Dois triângulos são congruentes se tiverem dois ângulos

e um lado iguais.

15 Todo ângulo inscrito em um semicírculo é reto.

16 Pitágoras (c. 569 a.C.–475 a.C.) trouxe várias contribuições para a geometria, dentre elas destacamos a demonstração do teorema que recebe o seu nome, já conhecido pelos babilônios. A palavra matemática (Mathematike, em grego) foi introduzida por Pitágoras, que foi o primeiro a ver a matemática como um sistema de pensamento baseado em provas dedutivas.

17 Menaechmus (c. 380 a.C.–320 a.C.) foi o primeiro matemático grego a estudar as cônicas como uma seção de um cone.

18 A obra de Aristeu (c. 370 a.C.- 300 a. C.), o grande (c. 320 a.C.) “Elementos de seções cônicas” também merece destaque.

19 Cerca de 300 a.C, Euclides de Alexandria (c. 325 a.C – 265

a.C) apresentou os fundamentos da teoria da geometria euclidiana, encontrada em "Os Elementos", elevando a matemática ao patamar de ciência e não só a ciência da observação, mas a ciência da abstração ou matemática abstrata.

20 Dessa teoria, destacamos as seguintes definições:



21 Ponto é aquilo de que nada é parte.

22 Curva é comprimento sem largura.

23 Reta é uma curva que está posta por igual com os pontos

sobre si mesma.

24 Fronteira é aquilo que é extremidade de alguma coisa.

25 Figura é o que é contido por alguma ou algumas fronteiras.

26 As figuras retilíneas são as contidas por retas; se for contida por três retas é chamada de trilátera, quatro retas de quadrilátera, mais de quatro retas de multilátera.

27 O método conhecido como triangulação, era utilizado

pelos primeiros arquitetos e agrimensores das civilizações egípcia e mesopotâmica. É desse processo, que surge o conceito de polígono, figura tendo uma decomposição em um número finito de triângulos sem pontos interiores comum e cuja área era a soma da área desses triângulos. Essa área continha um pequeno erro, quando as superfícies dos terrenos não eram figuras poliédricas. A fronteira de um polígono é chamada de curva poligonal fechada.

28 Aristarchus de Samos (c. 310 a.C.–230 a. C.) usa métodos geométricos para calcular as distâncias do sol e da lua à terra. Ele também propõe que a terra gira em torno do sol.

29 Os nomes de elipse, hipérbole e parábola são devidos a Apolônio de Perga (c.262 a.C.-190 a.C.) e as suas proposições envolvendo as mesmas, muito contribuíram com a obra de Euclides.



30 A geometria diferencial se dedica ao estudo das formas geométricas, destacando-se o estudo das curvas e superfícies e teve como base de seu desenvolvimento a análise matemática. Aparece pela primeira vez, no século XVIII, nos estudos de L. Euler (1707-1783) e G. Monge (1746-1818) (Une application d'Aanalyse à la géométrie, 1795).

31 N. Lobachevskii (1792-1856), descobre em 1826 que existem espaços diferentes do espaço euclidiano, fato muito importante para o desenvolvimento de outras geometrias.

32 Em 1827, J. Gauss (1777- 1855) apresenta uma teoria geral para as superfícies, deixando de ser uma mera aplicação da análise e ganhando o status de uma área independente da matemática.

33 E. Galois (1811-1832) foi o primeiro a introduzir o conceito de grupo. Em 1854, A. Cayley (1821-1895) escreveu dois artigos que são notáveis pela percepção que têm de grupos abstratos. Mais tarde, a teoria de grupo impulsiona o desenvolvimento da geometria algébrica.

34 Na geometria algébrica uma curva é um conjunto de pontos que satisfaz uma determinada equação.

35 Em 1854, G. Riemann (1826-1866) estabelece as bases da geometria que recebe o seu nome.

36 F. Minding (1806-1855) e K.M. Peterson (1828-1881) criam

na Rússia uma Escola de Geometria Diferencial e dedicaram a maior parte de seus estudos a deformações isométricas de superfícies; isto é, deformações contínuas que preservam a geometria interior das mesmas.



37 Os trabalhos de M. Lie (1842-1899) sobre equações

diferenciais levou ao estudo de grupos topológicos e a topologia diferencial.

38 A visão de F. Klein (1849-1925) de que a geometria é o estudo de invariantes sob grupos de transformações fez com que E. Cartan (1869-1951) estabelecesse a teoria dos espaços com conexões projetivas e afins (estruturas geométricas-diferenciáveis em variedades).

39 Com esse desenvolvimento o conceito de curva passa a ser visto como uma variedade de dimensão 1.

40 Atualmente o termo geometria diferencial tem sido substituído por variedades diferenciáveis.

41 A teoria das curvas, na forma abordada no final do século XIX, tratava apenas de curvas ou parte dela razoavelmente regulares, devido ao uso da análise matemática.

42 No início do século XX, surgiu a chamada “Geometry in the large”, onde a exigência da diferenciabilidade foi substituída pela convexidade e singularidade local de geodésicas.

UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA

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FUN


Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em matemática pela Unesp - SP, especialista em matemática pelo IMPA-RJ, mestre em matemática aplicada pela UFRJ-RJ e doutor em matemática pela UFSCar-SP. Atualmente é professor associado na UFU-MG, campus de Ituiutaba. Sua área de pesquisa é Análise Aplicada. Fundou em 2013 a primeira Escola de Cálculo do país com sede na Universidade Federal de Uberlândia.

JOÃO CARLOS MOREIRA COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA

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GEOMETRIA€¦ · curva poligonal fechada. 28 Aristarchus de Samos (c. 310 a.C.–230 a. C.) usa métodos geométricos para calcular as distâncias do sol e da lua à terra. Ele também