28CARACTERSTICAS GEOMETRICAS DE SUPERFICIES PLANAS 1 CENTRIDES E
BARICENTROS 1.1 Introduo
Freqentementeconsideramosaforapesodoscorposcomocargasconcentradas
atuandonumnicoponto,quandonarealidadeoquesepassaqueopesoumafora
distribuda,isto,cadapequenaporodematriatemoseuprpriopeso.Esta
simplificaopodeserfeitaseaplicarmosaforaconcentradanumpontoespecial
denominadoBaricentro.Estepontodeveterumadistribuiodematriahomogneaem
torno de si. Ter importncia tambm a determinao de um ponto de uma
superfcie e no somente de um corpo tridimensional que ter uma
distribuio homognea de rea em torno de si. A este ponto especial
chamaremos de Centride (ou Centro de Gravidade CG).
Demonstra-sequeascoordenadasdestepontoseroobtidas,nocasogeral,
tomando-seumelementodereadAepartindodocentridedesteelemento(xel;yel)
fazemos a integrao em toda a rea A. x y xel yel x y 29 As
coordenadas deste ponto sero: =dAdA xxel__ =dAdA yyel__ A integral
dA x conhecida como Momento Esttico de 1a Ordem ou Momento Esttico
de rea em relao ao eixo y. Analogamente, a integral dA ydefine o
Momento Esttico de 1a Ordem ou Momento Esttico de rea em relao ao
eixo x. 1.2 Determinao do Centride a Por Integrao
Escolhadoelementodereapode-seescolherqualquerelementodereaparao
clculodoCG.Aresoluodamaiorpartedosproblemasserpossvelcomelementode
rea em forma de uma faixa retangular ou um setor circular. Ex.:
Retngulo x y xel b h dx 30=dAdA xxel__xel = xedA = y dx 2bxb12bx
h2xhdx hdx h x dx ydx y xx__ 2b0b02b0b0b0b0__= == = = =dAdA
yyel__yel = yedA = x dy 2hyh12hy b2ybdy bdy b y dy xdy x yy__
2h0h02h0h0h0h0__= == = = Portanto, para o retngulo temos: x y yel b
h dy 31 A partir destes resultados, toda vez que utilizarmos um
elemento de rea em forma de faixa retangular colocaremos: 2bxel =e
2bxel = b Por Composio de Figuras Muitas figuras so resultantes de
soma ou diferena de outras figuras conhecidase para estas h um
segundo mtodo para se determinar o CG. Ex.: x y b h h/2 h/2 b/2b/2
CG 100mm 60mm 120mm x y 32Notamos que a figura resultante pode ser
obtida pela soma de um retngulo com um
tringulooupeladiferenadeumoutroretnguloeumtringulo.Faremosaopopela
soma. Observamos que o CG de cada figura (retngulo e tringulo) j so
conhecidos, pois foram obtidos por integrao. Contudo, Estas
coordenadas devem ser tomadas em relao origem do sistema dado.
Comotrata-sedesomadefigurasconhecidas,asintegraisdA xel ,dA yel e
dA se tornamA x__ ,A y__ e A. Figura __x__yA A x__A y__
Retngulo60110120007200001320000 Tringulo40403600144000144000
156008640001464000 55,38mm15600864000AA xx____= = =
93,85mm156001464000AA yy____= = = 1.3 Aplicaes do Clculo do CG
TeoremasdePappus-Guldinus:paraaaplicaodosteoremastorna-senecessrio
definirmos: Superfcie de revoluo: uma superfcie que pode ser gerada
pela rotao de uma curva plana em torno de um eixo dado.
Corpoderevoluo:umcorpoquepodesergeradopelarotaodeumarea plana em
torno de um eixo fixo. Curva plana (reta)Superfcie de revoluo casca
do cone 33 Teorema I: a rea de uma superfcie de revoluo igual ao
comprimento da curva geratriz, multiplicada pela distncia
percorrida pelo centride da curva durante a gerao da superfcie.
Teorema II: o volume de um corpo de revoluo igual rea geratriz,
multiplicada pela distncia percorrida pelo centride da rea durante
a gerao do corpo. 1.4 Centride de um Corpo Tridimensional
Analogamenteaoquefoifeitoparareasplanas,adeterminaodoCentridede um
Corpo Tridimensional pode ser obtida pelas expresses: =dVdV
xx__
=dVdV yy__e =dVdV zz__
Paracorposhomogneos,isto,osquepossuempesoespecficoconstante,o
CentridecoincidecomoBaricentro.RelembremosqueCentrideumpontocom
distribuiodevolumehomogneaemtornodesi(dopontodevistageomtrico)e
Baricentroumpontocomdistribuiohomogneademassaemtornodesi(pontoonde
devesituaraforapeso,quesozinhasubstituiopesodistribudodecadaporode
matria). A integral dV x conhecida como Momento Esttico ou Momento
de Primeira Ordem de Volume em relao ao plano yz. Analogamente, dV
ycom em relao a xz e dV zem relao a xy. rea plana (tringulo)Corpo
(cone) 34Noclculodecentridedereaspudemosobservarquefigurascomeixode
simetriapossuamoCGsobreesteeixo.OmesmoseaplicaparaoCGdecorpos
tridimensionais.DestaformaimediatooCGdeesferas,elipsides,cubos,
paraleleppedos, etc. Semelhante ao que foi feito para as reas, h
dois mtodos para determinar o CG de volumes: por Integrao e
Composio de Corpos. 35 Lista de Exerccios 1. Determinar, por
integrao direta, o CG das reas abaixo: a) Tringulo b) Parbola do 2o
grau x y xel b h dx y yel x (x;y) y = f(x) = kx CG x y xel b h dx y
yel x (x;y) y = f(x) = kx2 CG 362. Determinar, por composio de
figuras, o CG das reas abaixo: a) b) c) 120mm 100mm 60mm x y 100mm
75mm 12,50mm 12,50mm x y 200mm 300mm r = 100mm x y 37 d) e) f) r1 =
50mm r2 = 75mm x y 200mm 150mm 75mm 25mm 25mm 25mm 37,5mm 37,5mm
37,5mm x y 50mm r2 = 100mmr1 = 75mm x y 38g) 3. Um cone e
umcilindro de mesmo raio ae altura h esto unidos como ilustrado
abaixo. Determine a posio do centride do corpo. r1 = 250mm r2 =
200mm 100mm x y h h a 392. Momento de Inrcia de Figuras Planas No
desenvolvimento da expresso da tenso Normal no estudo da flexo,
surgem as integraisdS y2edS z2chamadasdeMomentoEstticode2aordemou
MomentodeInrcia.Estudaremosodesenvolvimentoeexpressesfinaisdessasintegrais
para as figuras mais comuns.
MomentodeInrciaumagrandezaquemedearesistnciaqueumadeterminada
reaoferecequandosolicitadaaogiroemtornodeumdeterminadoeixo.Normalmente
representamos pelas letras I e J. Assim a resistncia que a Figura 1
oferece ao giro em torno doeixozrepresentadapordS y J2z =
eemtornodoeixoyrepresentadapordS z J2y = , onde dS um elemento de
rea da Figura 5.1, z a distncia do elemento de rea ao eixo y e y a
distncia do elemento de rea ao eixo z. Da mesma maneira que fizemos
para os Momentos Estticos de 1a ordem (clculos de Centro
deGravidade), desenvolveremos as integrais para as figurascomuns,
retngulo, tringulo, parbola e crculo. A escolha doelemento de rea
adequadofacilita a resoluo das integrais. Deve-se utilizar um
elemento de rea que eqidiste do eixo em torno do qual se calcula o
Momento de Inrcia. z y z y O dS S 40 Retngulo 3b hJ3zh dz h z dS z
J3yb03 b02 2y= = = = 3h bJ3yb dy b y dS y J3zh03 h02 2z= = = =
Tringulo z y z b h dz dS = hdz z y y b h dy dS = bdy ( )hy -
hzbzbhh y= =b h dy y y z dS = zdy ( )hy - hzbzbhh y= =b h y dz z dS
= ydz z 41( )12h bJ4hy b3y bdyhy h by dS y J3zh04 3h02 2z= ((
= = = 12b hJ4bz h3z hdz zbhh z dS z J3yb04 3b02 2y= ((
= ||
\| = = 2.1. Teorema dos Eixos Paralelos Freqentemente
necessitamos do momento de inrcia de uma rea em relao a um eixo
qualquer (este eixo ser qualquer para a figura em si, mas especial
para a seo da qual
areferidafigurafazparte).paraevitaroclculoconstantedeintegrais,desenvolveremos
umaexpressoparaoclculodomomentodeinrciaemrelaoaesteeixoqualquera
partir do valor do momento de inrcia em relao a outro eixo, j
conhecido. ( ) dS d ' y dS y J22AA + = = + + = dS d dS ' y d 2 dS '
y J2 2AA A integraldS ' y2j conhecida. Como o eixo BB o horizontal
que contm o CG, esta integral chamada Jz. A integraldS ' y igual a
zero pois refere-se ao CG. A integraldSresulta a rea S. Portanto: S
d J J2BB AA + =CG AA BB dS d y ' y 42Sendo d a distncia de eixo a
eixo. Para eixos horizontais teremos: S d J J2z zCG + = S d J J2y
yCG + = Retngulo 12 4 3h b
3 2 32h bJ h bhJ S d J JCG CG CGz z z z= + = + = 12 4 3 3 2 32b
hJ h bbJb hS d J JCG CG CGy z y y= + = + = Tritngulo h b/2b/2 b CG
z y h h/2 h/2 b CG z y h b h/3 2h/3 CG z y 4336
2 9 12h b
3 2 32h bJh b hJ S d J JCG CG CGz z z z= + = + = 36
2 9 12 3 2 32b hJh b bJb hS d J JCG CG CGy z y y= + = + = 3.
Momento Polar de Inrcia
Noestudodatoroempeascilndricastergrandeimportnciaaintegral dS
r2,quechamadadeMomentoPolardeInrcia.utilizadaquandohouver solicitao
em torno de um eixo (na seo estudada teremos um ponto = Plo). Temos
que: ( ) dS y z dS r J J2 2 2p 0 + = = = dS y dS z J J2 2p 0 + = =
h b b/32b/3 CG z y dS y y z z r 44y z p 0J J J J + = =
AterceirafiguraimportanteparaaqualprecisamosdosvaloresdosMomentosde
Inrcia o Crculo. A deduo mais simples a de J0. dS u J J2p 0 = = du
u 2 dS =du u 2 u Jr020 = du u 2 Jr030 = 2r J J4p 0= =Em funo da
simetria, podemos concluir que para o crculo os valores de Jz e Jy
so iguais. Como o ponto O o encontro dos eixos z e y, teremos: y z
0J J J + =Jz 2 J J2r y z4 = + =(pois Jz = Jy) Portanto, para o
crculo teremos: 4r J4z = 4r J4y = 2r J J4p 0= = Ou, escrevendo em
funo do dimetro: r u du z y 4564d J4z = 64d J4y = 32d J J4p 0=
=Figuras Circulares 2 2 2r y z = + senr y = cos r z =dy z 2 dS =d
cos r dy = dy z 2 y dS y J2 2z = = = d cos r cos r 2 sen rJ2 2z d
cos sen r 2 J2- -- -2 4z = d cos sen r 2 J2- -- -2 4z = ((
=32sen48r 2 J4z Para descrever o crculo deve variar de 2a 2+ .
((
||
\| =1616r 2 J4z 4r J4z =Para o semi-crculo deve variar de a 2+ .
Ento8r J4z =r z y dS (z ; y) 46Para o quarto de crculo deve variar
de 0 a 2+e o elemento de rea deve serdy z dS = . Ento16r J4z =
Resumindo teremos: 64d 4r J J4 4y z= = = 128d 8r J J4 4y z= = =
256d 16r J J4 4y z= = =3.1. Teorema dos Eixos Paralelos Crculo: os
valores obtidos j so em relao aos eixos que passam pelo Centro de
Gravidade. Semi-Crculo: S d J J2CGz z + =2r 3r 4J8r 22CGz4||
\|+ =z y z y z y 474 4CGzr 0,1097569 988r J =||
\| = Quarto de Crculo: S d J J2CGz z + =4r 3r 4J16r 22CGz4||
\|+ =4 4CGzr 0,0548784 9416r J =||
\| = 4. Produto de Inrcia definidocomaintegral dS y z
obtidamultiplicando-secadaelementode rea dS de uma rea S por suas
coordenadas z e y em relao aos eixos coordenados z e y e integrando
sobre a rea.
AocontrriodosMomentosdeInrciaJzeJy,oProdutodeInrciapodeser
positivo,negativoounuloenotemsignificadofsico.Sertilmaistardeparaa
determinao dos prprios Momentos de Inrcia. indicado pela abreviao
Jzy. Calculando = dS y z Jzy para as figuras mais comuns temos: z
dS y y z S 48Retngulo: 2bz =y y =dy b dS = = dS y z Jzy h02
2h0zy2y2bdy b y2bJ((
= = 4h bJ2 2zy= Tringulo: H quatro posies para os tringulos.
Desenvolveremos uma delas. z z =2yy =dS y z21dS y2yz dS y z
Jb0b02zy = = = dzbzb2zz2hdzbzb2z- 1 h z21Jb023 2 2222b0zy |||
\|+ =|||
\|+ =|||
\|+ =|||
\|+ =4b32b2b2h4bb3b2b2b2hJ2 2 2 224 3 2 2zy Z y y b h CG z
||
\| = + =bz1 h h zbhyb h y dz z dS = ydz z 49( )|||
\|+=12b 3 8 - 62hJ2 2zy 24h bJ2 2zy= 4.1. Teorema dos Eixos
Paralelos De forma semelhante ao que fizemos com os Momentos de
Inrcia teremos: 2d z' z + =1d ' y + = y = dS y z Jzy ( ) ( ) + + =
dS d y' d z' J1 2 zy + + + = dS y' z' dS y' d dS z' d dS d d J2 1 2
1 zy S d J J2 1CGzy zy + = d Oz y dS CG S z y d1 d2 y z z y 50
Aplicando para cada uma das figuras principais teremos: Retngulo: S
d J J2 1CGzy zy + = dh b2h2bJ4h bCGzy2 2 + = 0 =CGzyJ Tringulo: S d
J J2 1CGzy zy + = d 2h b3h3bJ24h bCGzy2 2 + = 722 2h bJCGzy = Z y
h/2 b h CG b/2 zCG yCG b h y z zCG CG yCG h/3 b/3 515 Momentos de
inrcia de uma rea em relao a eixos inclinados
MuitasvezesnecessriocalcularosmomentoseoprodutodeinrciaIx,IyeIxypara
uma rea em relao a um par de eixos u e v inclinados em relao aos
eixos x e y , sendo os valores de , Ix, Iy e Ixy conhecidos. Para
isso utilizaremos as equaes de transformao que relacionam as
coordenadas x, y e x e y. ) sen( ) cos( ') sen( ) cos( ' x y yy x x
=+ = Sabendo-se que : ===dA y x IdA x IdA y Iy xyx' '''' '2'2'
Substituindo x e y na expresso acima, tem-se: dA y x x y IdA y x
IdA x y Iy xyx)) sen( ) cos( ( )) sen( ) cos( ()) sen( ) cos( ())
sen( ) cos( (' '2'2' + =+ = = Expandindo cada expresso e lembrando
quedA A x' y' x y x x' y' y 52===xydA IdA x IdA y Ixyyx22 obtem-se
) sen (cos cos sen cos sencos sen 2 cos sencos sen 2 sen cos2 2' '2
2'2 2' + =+ + = + =xy y x y xxy y x yxy y x xI I I II I I II I I I
Simplificando estas equaes utilizando as identidades trigonomtricas
2 2sen cos 2 coscos sen 2 2 sen == resulta: 2 cos 2 sen22 sen 2
cos2 22 sen 2 cos2 2' '''xyy xy xxyy x y xyxyy x y xxII IIII I I
IIII I I II+=++=++= (1) Se a primeira e a segunda equaes forem
somadas, pode-se mostrar que o momento polar
deinrciaemrelaoaoeixozquepassapelopontoOindependentedaorientaodos
eixo x e y, ou seja: y x y xI I I I I + = + =' ' 0 Momentos
principais de inrcia
Asequaes(1)mostramqueIx,IyeIxydependemdongulodeinclinaodos
eixosxey.Deseja-sedeterminaragoraaorientaodesseseixosparaosquaisos
momentos de inrcia da rea, Ix e Iy so extremos, isto , mximo e
mnimo. Este par de
eixosemparticularchamadodeeixosprincipaisdeinrciaeoscorrespondentes
momentosdeinrciaemrelaoaelessooschamadosmomentosprincipaisdeinrcia.
EmgeralexisteumpardeeixosparacadaorigemOescolhida.Nosprojetosestruturaise
mecnicosdeumelemento,aorigemOgeralmentelocalizadanocentridedareade
seo reta.
53Ongulo=pquedefineaorientaodoseixosprincipaisdareapodeserobtidopor
derivao da primeira das equaes (1) em relao a , impondo-se
resultado nulo.0 2 cos 2 2 sen22'= = xyy xxII IddI Assim, em =p )
(2 2 tany xxypI II = (2) Essa equao possui duas razes p1 e p2
defasadas de 90 e estabelecem a inclinao dos
eixosprincipais.Deformaasubstitui-lasnasequaes(1)devemosinicialmenteobtero
seno e o cosseno de 2 p1 e 2 p2 o que pode ser feito pela relao (2)
em associao com a identidade trigonomtrica1 2 cos 2 sen2 2= +p p .
Obtem-se dessa forma: Para 1 p 221221222 cos22 senxyy xy xpxyy
xxypII II III II+|||
\| |||
\| =+|||
\| = Para 2 p 222222222 cos22 senxyy xy xpxyy xxypII II III
II+|||
\| |||
\| =+|||
\| = Substituindo esses dois pares de relaes trigonomtricas nas
equaes (1) e simplificando tem-se: 5402 2122221minmax=+|||
\| += =III I I II Ixyy x y x 55 Lista de Exerccios
1.CalcularosvaloresdeJzeJyemrelaoaosistemadeeixosquepassapeloCGda
seo. a) 553 3 18 (cm) y x 56 b) 2. Determine o produto de inrcia
(Jzy) para as figuras abaixo. a) 55 5 3 88 9 18 z y (cm) CG h b y h
- y zdz y z 57 b) c) 3. Determine o valor de CGzyJpara as figuras
abaixo. a) CG h b y h - y zdz y z CG h b y h - y zdz y z CG h b
2b/3 y z h/3 zCG yCG 58 b) c) CG h b 2b/3 y z 2h/3 zCG yCG CG h b
2h/3 zCG y z b/3 yCG
