Geometria Descritiva

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Geometria Descritiva.Ementa: Introduo a geometria descritiva, ponto, recta e plano. Interseco. Mtodos descritivos. Superfcies elementares. Representao de slidos e seco Objectivo Geral O aluno dever ser capaz de visualizar no espao e transpor para pura superfcies elementares interceptadas entre si e seccionadas por planos bem como seu desenvolvimento e sua planificao. Isto tudo trata-se de uma verdadeira ginstica mental espacial, que ser utilizada futuramente em outras disciplinas, como clculo, lgebra e desenho 2. Metodologia Consiste em aulas expositivas e prticas, nas quais, o formador dever expor o contedo terico do programa da disciplina e nas aulas praticas onde os alunos atravs de exerccios e/ou trabalhos, aplicaro os conhecimentos adquiridos nas aulas tericas. Avaliao O aproveitamento dos alunos ser avaliado em funo dos resultados dos testes, trabalhos ou exerccios realizados durante a formao. Bibliografia MACHADO, Ardevan. Geometria descritiva: McGraw-Hill, [s.d.]. PRINCIPE, Alfredo dos Reis. Geometria descritiva. Bertrand.

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Contedo Programtico e CronogramaUnidade

Programa Apresentao do programa da disciplina Finalidades da Geometria Descritiva Materiais utilizados. Convenes Grficas e notao Representao de slidos elementares e Planificao Definio Gerao e classificao visibilidade Slidos regulares - Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro Planificao de Slidos Regulares e Irregulares Ponto Localizao na pura Tipos de rectas Trao de rectas Pertinncia de ponto e recta Tipos de Planos Plano representado pelos traos Planos representados por pontos Planos representados por rectas Pertinncia de recta e plano, e ponto em plano Interseco de planos entre planos de rectas e planos de slidos e planos de slidos e slidos Paralelismo de rectas de rectas e planos de planos. Perpendicularidade de rectas De rectas planos De planos. Mtodos descritivos: Mudana de planos Rotao Rebatimento e Alamento Seco Representao e VG.

I

II III IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

2

MATERIAL UTILIZADO - Lpis ou lapiseira 2B, borracha macia, par de esquadros, e compasso. Finalidade da GD - Representar no plano em projeces as figuras do espao , de modo a podermos com auxlio da geometria plana estudar propriedades e resolver problemas. A ideia geral : utilizar um sistema e projeco plano onde se consegue representar figuras e elementos (pontos rectas e planos) no espao. Importncia - noes de espao utilizado posteriormente para o planeamento de aplicaes SISTEMAS DE PROJEO Central Cnica, ou Perspectiva - Observador (ponto prprio) finito. Cilndrica - observador (ponto imprprio) no infinito Ortogonal Oblqua SISTEMA MONGEANO (GASPARD MONGE) Emprega dois planos perpendiculares entre si 1 hor. e 2 vert. Interseco - Linha de terra Com o giro do plano 1 tendo como eixo a LT no sentido horrio chegamos a pura. Definies DIEDROS - subespao obtido pela diviso do espao atravs dos planos 1 e 2

Plano Vertical Tambm conhecido como2

Plano Horizontal Tambm conhecido como1

Segundo Diedro

Primeiro Diedro

Linha de Terra

Terceiro Diedro Bissetor impar

Quarto Diedro

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NOTAES e REPRESENTAO ponto recta Observao : planos Abreviatura s Latina maiscula A , sua projeco no plano A e A1 Plano Horizontal (PH). A2 Plano Vertical (PV). Lembrar que outros livros, utilizam outras notaes letra latina minscula r , projeces r1 e r2 O subescrito 1 e 2, indicam o plano (PV ou PH) na qual a projeco da recta ou ponto se encontram. Sendo o subescrito 1 para o PH, e o subscrito 2 para o plano vertical. alfa beta phi sigma omega psi ro pi V. G. verdadeira grandeza, L. T. Linha de terra.

CONVENES OBSERVADOR no infinito LINHA CHEIA, dados e resultados PONTO E TRACEJADO, linha auxiliares de construo PONTILHADO, linhas de chamada (usa-se linhas claras por convenincia). TRACEJADO, rectas invisveis. LINHA DE CHAMADA - a recta (tracejada ou fraca) na pura perpendicular a LT unindo as projeces verticais e horizontais.

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Unidade II O PontoTpicos - O Ponto coordenadas, representao na pura, e simetria depontos em relao aos planos de projeces. J sabemos no de hoje que o ponto no possui dimenso, tamanho, no entanto sabemos que pode ocupar qualquer posio no espao n-dimencional, nesta unidade verificaremos as suas posies no espao e como representamos estas situaes no papel, ou seja, na pura. DIEDRO sistema para a projeco dos elementos geomtricos (pontos rectas planos e slidos). O diedro formado pela diviso do espao atravs dos planos 1 e 2, horizontal e vertical respectivamente.

A projeo de A no plano vertical

Ponto A no espao A2

Primeiro Diedro A A1

Plano horizontal

Segundo Diedro Terceiro Diedro

A projeo Horizontal Do ponto A

Quarto Diedro

Com o movimento indicado pelas setas, e executado somente pelo plano horizontal, obtemos a seguinte representao do famoso ponto A na pura.

A2

A1

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Observe o mais importante, voc visualiza somente as projeces do ponto A horizontal e vertical, sabe que ele est no primeiro diedro mas no visualiza e nem escreve o ponto A na pura Exer. Verifique se aprendeu atravs do exerccio de localizao dos pontos na pura dizendo em qual diedro ou semi-planos o ponto se encontra na pura .

A1

C 1 1

E1 E2 G 2 F1 F2 1 G

A2

B 1 B2 @ 2

D 2

C2 D 1

COORDENADAS Apesar de podermos j verificar qual o diedro em que o ponto se encontra, no podemos dar preciso a sua posio, para isso servem as coordenadas. A abcissa, o afastamento e a cota de um ponto se constituem nas suas coordenadas. A abcissa - tomada considerando um ponto zero arbitrrio na Linha de Terra. Quando positiva a abcissa marcada para direita e quando negativa para esquerda. ABSCISSA- a distncia de um ponto de origem situado na linha de terra at a linha de chamada da projeco do ponto na pura. COTA- a distncia de um ponto ao plano horizontal de projeco. Quando positiva, caminhamos para cima, em relao ao plano horizontal de projeco e quando negativa para baixo. Note que isto valido para todos os diedros. AFASTAMENTO- a distncia de um ponto ao plano vertical de projeco. Quando positiva, caminhamos para direita, em relao ao plano vertical de projeco e quando negativa para esquerda. Note que isto valido para todos os diedros.

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Apesar destas regras com bastante rigidez, na pura, em funo do movimento do plano horizontal de projeco, existe uma dificuldade de se apresentar correctamente os pontos na pura em funo das suas coordenadas. Deve-se lembrar que a ordem de apresentao das coordenadas as vezes alterada em funo do autor. Coordenadas (abcissa, afast., cota)

Simetria de pontosDois pontos so simtricos em relao a um plano (alfa) quando este plano o mediador o mediador do seguemento formado pelos dois pontos. em relao P. Projeco H- o ponto A simtrico a B em relao aos plano de projeco horizontal quando possui a mesma abcissa; mesmo afastamento em grandeza e sentindo; e mesma cota em grandeza e sentido contrrio. P. Projeco V- o ponto A simtrico a B em relao aos plano de projeco vertical quando possui a mesma abcissa; mesmo cota em grandeza e sentindo; e mesmo afastamento em grandeza e sentido contrrio. em relao P. Bissectores Em relao ao Bissector impar (div. diedros 1 e 3) dois pontos so simtricos quando possuem a mesma abcissa a cota de um igual ao afastamento de outro e vice-versa. Em relao ao Bissector par (div. diedros 2 e 4) dois pontos so simtricos quando possuem a mesma abcissa a cota de um simtrica ao afastamento de outro e vice-versa. Igual ao caso anterior. em relao Linha de Terra Abcissa iguais e cota e afastamento simtricos.

Exerccios. Considere ( Abcissa, afastamento ,e cota). 1 ) dar a pura dos pontos e determinar qual didro ou semi plano se encontram. A [-1; -2; -1] B [0; 2; -1] C [-3; 2; 0] D [2; -1; 0]

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2) Traar a pura do ponto A situada no bissector impar sabendo-se que A [ -2; 1.5; ? ]

3)Do ponto B [ 3;-1; 2] , traar sua pura e seu ponto simtrico D em relao ao bissector. par

4)Do ponto B [2;-1;3 ] , traar sua pura e seu ponto simtrico D em relao ao plano vertical

5) Verifique se os pontos A e B so simtricos em relao a algum plano.

D2 A1 D1 A2

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UNIDADE III - Tipos de Rectas RECTAS POSIES QUE UMA REcTA PODE OCUPAR NO ESPAO - Ou melhor tipos de rectas Lembrando... Cota - Distncia ortogonal do PH ao ponto (altura) Afastamento - Distancia horizontal do PV ao ponto Para cada posio que uma recta pode ocupar no espao em relao aos planos de projeco, ela recebe um nome em funo de caractersticas de perpendicularidade ou paralelismo aos planos de projeco. Como ser visto a seguir, alem dessas caractersticas outras tambm so importantes como o tamanho real da recta chamado de Verdadeira Grandeza VG. Outra caracterstica importante desta unidade a definio de trao. O trao de uma recta no como se pensa seu desenho ou sua projeco, mas sim um ponto especfico da recta que indica que naquela posio (coordenada) a recta esta furando o plano horizontal ou vertical de projeco. TRAOS DE UMA RETA - definio - so os pontos de interseco da recta com os plano de projeco NOTAO - V (trao vertical) H (trao horizontal) + Subscritos 1 ou 2, de acordo com a interseco. Isto para interseco da recta com plano vertical utiliza-se V2, e para a interseco da recta com o plano H, utiliza-se H1. Recta horizontal ou nvel definio Paralela ao PH = PI 1, trao no PH imprprio . Todos pts tem mesma cota, assim sua proj. vert paralela a LT Proj horizontal encontra-se em VG Ang. da projeco em VG com a LT Seu trao vert o ponto V V2

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Recta frontal ou de frente definio Paralela ao PV = PI 2, trao vert. V Imprprio. mesmo Afastamento, proj. H. paralela a LT. Proj. V em VG Ang. beta em