GEOMETRIA DESCRITIVA

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DESCRITIVADESCRITIVADESCRITIVADESCRITIVA

Professor: Luiz Gonzaga Martins, M.Eng.

Acadêmica: Suelen Cristina da Silva

SUMÁRIO

DICAS PARA OS ALUNOS...............................................................................................2

1. BREVE HISTÓRIA........................................................................................................5

2. PROJEÇÃO.....................................................................................................................6

3. MÉTODO BIPROJETIVO............................................................................................7

4. A ÉPURA.......................................................................................................................10

5. COMO REPRESENTAR UM PONTO NA ÉPURA.................................................12

6. PLANOS BISSETORES...............................................................................................14

7. SIMETRIA.....................................................................................................................16

8. RETAS............................................................................................................................20

9. TRAÇOS DE RETAS...................................................................................................25

10. PERTINÊNCIA DE PONTO À RETA.....................................................................29

11. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS..........................................................31

12. RETAS DE PERFIL...................................................................................................33

13. PLANOS.......................................................................................................................41

14. PERTINÊNCIA DE RETA AO PLANO..................................................................57

15. PERTINÊNCIA DE PONTO AO PLANO...............................................................60

16. PLANOS NÃO DEFINIDOS PELOS SEUS TRAÇOS...........................................65

17. RETAS DE MÁXIMO DECLIVE (RMD) E RETAS DE MÁXIMA

INCLINAÇÃO (RMI)..................................................................................................67

18. PARALELISMO.........................................................................................................78

19. INTERSEÇÃO DE PLANOS.....................................................................................83

20. TRAÇO DE RETA SOBRE PLANO........................................................................89

21. PERPENDICULARISMO..........................................................................................92

22. MUDANÇA DE PLANO DE PROJEÇÃO.............................................................102

23. ROTAÇÃO..................................................................................................................124

24. REBATIMENTO.......................................................................................................135

25. ALÇAMENTO...........................................................................................................145

26. PROBLEMAS MÉTRICOS.....................................................................................148

27. APLICAÇÃO DA GEOMETRIA DESCRITIVA EM TELHADOS...................170

28. EXERCÍCIOS............................................................................................................171

Luiz Gonzaga Martins Suelen Cristina da Silva

2

DICAS PARA OS ALUNOS

• Recomenda-se que o estudante dedique igual número de horas de estudo domiciliar

quantas forem as horas/aulas semanais. Entretanto o estudo deverá ser dividido em

vários períodos de tempo máximo de 15 minutos, onde o aluno deverá gastar bastante

tempo procurando visualizar os objetos no espaço.

• O aluno deve evitar fazer de exercícios com pouca compreensão do que está sendo

representado. Deve-se ter uma abordagem lógica, procurando brincar com os objetos no

diedro (veja abaixo), tentando visualizar suas projeções nos planos vertical e horizontal

para, num momento posterior, montar o objeto no espaço a partir do conhecimento de suas

projeções.

• Faça um diedro para poder visualizar os planos e as retas.

1- Corte dois retângulos iguais de papelão ou outro material

2- Faça um corte na lateral de cada retângulo conforme a figura abaixo

3- Encaixe as duas partes e se preferir cole papel quadriculado.


3

4- Agora temos o diedro pronto

• Use canetas para visualizar as retas e o esquadro para visualizar os planos.


4

O esquadro juntamente com o diedro são usados para facilitar a visualização de

planos e retas.

• Embora algumas figuras da apostila possam ter problemas de imprecisão como

ângulos, arcos e medidas, procure usar sempre os instrumentos de desenho e escala

adequados para garantir a maior precisão possível.


5

1. BREVE HISTÓRIA

A Geometria Descritiva surgiu no século XVIII, criada pelo matemático francês

Gaspard Monge (1746-1818). Convidado a trabalhar na Escola Militar de Mèzières, na

tentativa de resolver um complicado problema de construído de fortificações, Monge

inventou um novo método, muito mais simples que os até então conhecidos – que viria a

ser o alicerce da Geometria Descritiva. Monge conquistou, de imediato, um cargo docente,

encarregando-se de instruir os futuros engenheiros militares no novo método considerado,

por 15 anos, “segredo militar”, que ninguém estava autorizado a divulgar. A Geometria

Descritiva se propõe a resolver, no plano, problemas de geometria espacial mediante a

projeção dos objetos em dois planos.


6

2. PROJEÇÃO

A projeção usada será a ortogonal cilíndrica, onde os raios de luz estão no infinito e

chegam ao plano de projeção formando um ângulo reto.

● No plano vertical ● No plano horizontal

Fig.1 Fig.2


7

3. MÉTODO BIPROJETIVO

Os dois planos fundamentais têm entre si um ângulo reto formando quatro diedros

Fig. 3

● Denotamos o plano de projeção vertical (π`) e o plano de projeção horizontal (π).

→ Vendo de outro ângulo (diedro de perfil):

Fig.4

Os planos perpendiculares formam quatro semi-planos:

• Vertical Superior (π`S);

• Vertical inferior (π`I);

• Horizontal anterior (π A);

• Horizontal posterior (π P).

A interseção dos planos é chamada Linha de terra (L.T.) (fig.5)

II DIEDRO I DIEDRO III DIEDRO IV DIEDRO


8

Fig. 5

→ As coordenadas e projeções:

Fig. 6

• Seja um ponto (P) qualquer, a sua projeção horizontal será P e a sua projeção

vertical será P`.


9

• Chamamos de afastamento a distância da linha de terra até a projeção

horizontal do ponto.

• Chamamos de cota a distância da linha de terra até a projeção vertical do ponto.

• Podemos ver também no diedro de perfil.

Fig. 7


10

4. A ÉPURA

● Para chegar à épura a partir do diedro faz-se o seguinte:

Giramos o plano (π) em torno da linha de terra. (fig.8)

Fig. 8

- Vendo o diedro já rotacionado:

O plano (π`) e o plano (π) agora coincidem.

Fig. 9


11

- A linha de terra é representada com uma reta e dois traços sob ela, um em cada

extremidade, veja:

Fig. 10

- Na hora de representar a épura, os contornos que antes limitavam os planos agora não são

mais representados. (fig.11)

→Épura:

Fig.11


12

5. COMO REPRESENTAR UM PONTO NA ÉPURA

• Se o ponto estiver no I diedro:

Fig.12

Fig.13

• A linha de chamada une as duas projeções passando pela linha de terra e formando


13

90° com a mesma.

→ Verifique por você mesmo quais são os sinais da cota e afastamento quando o

ponto está em cada um dos outros três diedros, e mostre exemplos nas épuras

abaixo.

→ Faça as épuras:

•Se o ponto estiver no II diedro: •Se o ponto estiver no III diedro

•Se o ponto estiver no IV diedro:


14

6. PLANOS BISSETORES

Vendo o diedro de perfil

Fig.14

O βI é o bissetor ímpar, pois divide os diedros I e III em partes iguais.

O βP é o bissetor par, pois os diedros II e IV em partes iguais.

Fig.150


15

Ponto no βI : Épura de um ponto no βI:

Fig.16 Fig.17

→ Faça o mesmo para um ponto no βP: Épura de um ponto no βP:

Analisando as figuras acima, que propriedade você pode identificar nos pontos

pertencentes aos bissetores?


16

7. SIMETRIA

→ Simetria quer dizer mesma medida, portanto, veja:

● Simetria e relação ao plano horizontal

Como o ponto (P) é simétrico a (Q) em relação ao plano horizontal, então eles

distam a mesma distância d do plano.

Fig.18 Fig.19

- Para visualizar facilmente a simetria, olhe para o diedro de perfil:

Fig.20

● Simetria e relação ao plano vertical


17

A distância de (P) ao plano (π`) é a mesma distância de (Q) a (π`), portanto, (P) e

(Q) são simétricos em relação ao plano vertical.

Fig.21 Fig.22

● Simetria e relação à linha de terra (π π`)

A distância de (P) até a linha de terra é igual à distância de (Q) a até a linha de

terra, portanto, (P) e (Q) são simétricos em relação à (π π`).

Fig.23 Fig.24

Percebemos que (P) e (Q) têm cotas e afastamentos de módulos iguais e sinais


18

contrários, ou seja:

cota(P) = - cota(Q)

afast.(P) = - afast.(Q)

● Simetria em relação aos planos bissetores

Simétrico em relação ao βI

Vemos que (P) e (Q) são simétricos em relação ao βI

Fig.25 Fig.26

Simétrico em relação ao βP


19

Vemos que (P) e (R) são simétricos ao βP.

Fig.27 Fig.28


20

8. RETAS

Uma reta pode ser definida por dois pontos. Para todos os efeitos, as retas são

infinitas, embora a representemos por uma porção finita. Quando nos referimos à reta

(A)(B) estamos nos referindo à reta que passa pelos pontos (A) e (B) e não apenas ao

segmento (A)(B).

- Posições das retas

• Horizontal: paralela a (π) e oblíqua a (π`);

• Frontal: paralela a (π`) e oblíqua a (π);

• Fonto-horizontal: paralela a (π) e a (π`), logo é paralela a linha de terra;

• Vertical: perpendicular a (π) e paralela a (π`);

• De topo: perpendicular a (π`) e paralela a (π);

• De perfil: ortogonal a (π π`), oblíqua a (π) e a (π`), também podemos dizer que é

paralela a um plano de perfil;

• Qualquer: todas as outras oblíquas a (π) e a (π`).

O estudante deve cuidar para não se prender exclusivamente na representação em

épura, procurando sempre imaginar (visualizar mentalmente) a posição espacial dos

objetos.

- Representando as retas no diedro e em épura:


21

• horizontal

Fig. 29 Fig. 29.1

• frontal

Fig. 30 Fig. 30.1

• fronto-horizontal


22

Fig. 31 Fig. 31.1

• vertical

Fig. 32 Fig. 32.1

• de topo


23

Fig. 33 Fig. 33.1

• qualquer

Fig. 34 Fig. 34.1

• de perfil


24

Fig. 35 Fig. 35.1


25

9. TRAÇOS DE RETAS

É o nome que se dá para o ponto onde a reta fura os planos de projeção.

Existe o traço vertical (V) onde a reta fura o plano (π`) e o traço horizontal (H) onde a reta

fura o plano (π). Por apresentar particularidades, a reta de perfil será estudada mais à

frente.

- Para achar os traços:

1°. Traço vertical: deve-se prolongar a reta até achar o ponto onde o afastamento é nulo.

2°. Traço horizontal: deve-se prolongar a reta até achar o ponto onde a cota é nula.

→ Observe que a projeção V e a projeção H’ estão sobre a linha de terra, ou seja,

afastamento e cota nulos respectivamente. (figs. 36 e 36.1)

Fig. 36 Fig. 36.1

• Na épura, prolonga-se a projeção horizontal para achar o traço vertical e prolonga-se a

projeção vertical para achar o traço horizontal.


26

→ Veja os passos nas figuras seguintes:

Fig. 37 Fig. 37.1 Fig. 37.2

- Na fig. 37 temos a reta r qualquer;

- Na fig. 37.1, prolongando as projeções achamos H’(cota nula) e V(afastamento nulo);

- Na fig. 37.2 achamos H e V’ através da linha de chamada, já que sabemos que H está

sobre a projeção r e V’ está sobre a projeção r’.

- Usa-se a mesma técnica para achar os traços em todas as retas (exceto a de perfil que

veremos mais a frente).

Podemos observar nas figs. 38 e 39 que a reta horizontal não tem traço horizontal e a reta

frontal não tem traço vertical.

Fig. 38 Fig. 39

→ Podemos utilizar os traços para verificar os diedros por onde a reta passa:


27

Ex: Uma reta pode partir do terceiro diedro e chegar ao primeiro diedro de três formas.

1- Passando pelo segundo e chegando ao primeiro diedro

Fig.40 Fig.40.1 Fig. 40.2

2- Passando pelo quarto diedro e chegando ao primeiro diedro.

Fig. 41 Fig. 41.1 Fig.41.2


28

3- Passando pela linha de terra e chegando ao primeiro diedro.

- em épura

Fig.42 Fig.42.1 Fig.42.2

→ Devemos observar os traços e ver se eles têm cota e afastamento positivos ou negativos.

Assim, podemos concluir se a reta passa pelo I, II, III, ou IV diedro.


29

10. PERTINÊNCIA DE PONTO A RETA

Um ponto pertence a uma reta quando tem suas projeções sobre as projeções de

mesmo nome da reta.

- Vemos na fig. 43 que o ponto (A) pertence à reta r e o ponto (B) não pertence à reta r.

Fig. 43

- Devemos cuidar para não nos confundir na hora de dizer se um ponto pertence ou não a

uma reta na épura, pois como vemos, tanto as projeções de (A) quanto as projeções de (B)

estão sobre as projeções de (r), porém, se olharmos com mais atenção, veremos que B’ está

sobre r e B está sobre r’. Por isso, (B) não pertence a (r).


30

Fig. 44

Veja na fig.44.1 que o ponto (P) pertence à reta (h), pois tem suas projeções sobre as

projeções de mesmo nome da reta e os pontos (Q) e (R) não pertencem.

Fig.44.1


31

11. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS

Duas retas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas.

→ Paralelas:

Duas retas são paralelas quando suas projeções de mesmo nome são paralelas.

É possível passar um plano pelas retas (coplanares).

Fig. 45

→ Concorrentes:

As retas (r) e (s) são concorrentes, pois se cruzam na projeção vertical em I’ e na

projeção horizontal sobre I.

I’ e I estão sobre a mesma linha de chamada.

Fig. 46


32

→ Reversas:

Duas retas são reversas se não tiverem nenhum ponto em comum e se não for

possível passa um plano pelas duas. Portanto se duas retas não são paralelas nem

concorrentes elas serão reversas.

As retas (r) e (s) são reversas.

A reta (s) passa por cima e pela frente (mais afastada de (π`)) da reta (r).

Fig. 47

- Para saber se uma reta está passando por cima ou pela frente de outra, basta fazer o

seguinte:

Pegamos um ponto onde as projeções horizontais das retas coincidem (no caso

J≡K) e prolongamos a linha de chamada, vemos que J’ está mais abaixo de K’, ou seja,

tem cota menor. Assim, como J’ pertence r’, a reta (r) está mais abaixo que a reta (s).

Pegamos um ponto onde as projeções verticais das retas coincidem (no caso I’≡L’)

e prolongamos a linha de chamada, vemos que L tem afastamento menor que I. Assim,

como L pertence a r, a reta (r) está atrás de (s).


33

12. RETAS DE PERFIL

Existe certa dificuldade em enxergar a inclinação de uma reta de perfil, por isso, é

feita uma análise extra sobre essa reta.

→ Para visualizar a inclinação de uma reta de perfil é preciso no mínimo de dois pontos.

→ Toda reta de perfil pertence a um plano de perfil (o plano de perfil é perpendicular a (π)

e a (π`)).

Fig.48

● Rebatimento

Rebater a reta de perfil é girar o plano no qual ela está contida até ele coincidir com o

plano vertical.

• Como podemos ver na fig.49, (A)1(B)1 é a reta rebatida.

• Deve-se girar a projeção horizontal no sentido anti-horário sem mudar o afastamento,

após isso, fazemos o prolongamento da cota e unimos com a linha de chamada da projeção

horizontal rebatida.

Ligamos os pontos e obtemos a reta de perfil rebatida.


34

Fig.49

Quando olhamos a reta de perfil rebatida é como se olhássemos o diedro de perfil.

Fig.50

Nesse caso, na fig. 50, é como se a linha terra se tornasse o plano horizontal e as


35

projeções não rebatidas da reta se tornassem o plano vertical

Fig.51

A partir do momento que rebatemos a reta, podemos saber a inclinação e também

achar os seus traços.

● Traços de retas de perfil

Para achar os traços, deve-se prolongar a reta de perfil já rebatida, quando ela

encontrar a linha de chamada, será o traço vertical (V)1 que coincide com V’.

Quando ela encontrar a linha de terra. Será o traço horizontal (H)1. Lembre-se que as

projeções H’ e V sempre estão sobre a linha de terra.

Para achar a projeção horizontal H, deve-se fazer o alçamento, que é o inverso do

rebatimento.

• Rebatimento: sentido anti-horário

• Alçamento: sentido horário


36

Fig.52

→ Exemplo no III diedro

Fig.53

● Pertinência de um ponto a reta de perfil


37

Para um ponto pertencer a uma reta de perfil, não basta apenas ele ter suas

projeções sobre as projeções da reta, além disso, quando rebatemos esse ponto ele deve

estar sobre a reta rebatida.

Na fig.54, (C) pertence à reta (A)(B) pois suas projeções estão sobre as projeções de

mesmo nome da reta e quando rebatemos o ponto, ele está sobre a reta rebatida.

Fig.54

Na fig.55, (C) não pertence à reta (A)(B) pois apesar de ter suas projeções sobre as

projeções de mesmo nome da reta, ele não está sobre a reta rebatida.

Fig.55

● Posições relativas de retas de perfil

→ Concorrência com uma reta qualquer:


38

Devemos analisar o aparente ponto de concorrência, que no caso é (C). (fig.56)

Vemos que (C) pertence a (r), mas quando rebatemos o ponto e obtemos (C)1, vemos que

ele não está sobre (A)1(B)1, que é a reta de perfil rebatida, portanto, concluímos que as

retas (r) e (A)(B) não são concorrentes.

Fig.56

Na fig. 57, quando rebatemos o aparente ponto de concorrência (C) e obtemos (C)1, vemos

que ele pertence à reta de perfil rebatida (A)1(B)1.

Como ele também pertence a (r), concluímos então que as retas são concorrentes.

Fig.57

→ Concorrência de duas retas de perfil:

A posição relativa de duas retas de perfil só pode ser definida com o rebatimento

de ambas. Duas retas de perfil só podem ser concorrentes se estiverem num mesmo plano


39

de perfil.

Como vemos na fig.58, (A)(B) e (C)(D) estão num mesmo plano, vamos verificar

se são concorrentes ou paralelas.

Devemos rebater ambas as retas, feito isso, vemos que elas tem um ponto em comum (I)1,

portanto, as retas são concorrentes.

Apesar do ponto (I) estar sobre as retas rebatidas, ele deve estar também sobre suas

projeções na épura.

Fig.58

→ Paralelismo de retas de perfil:

Quando duas retas de perfil têm suas projeções paralelas ou coincidentes em épura,

e suas projeções rebatidas paralelas, então dizemos que essas retas são paralelas.

Como vemos na fig.59, as retas (A)(B) e (C)(D) satisfazem essas condições, portanto são

paralelas.


40

Fig.59

→ Retas de perfil reversas:

Se duas retas de perfil estão sobre uma mesma abscissa, então elas podem ser

paralelas ou concorrentes, mas nunca reversas, pois por duas retas reversas não podemos

passar um plano.

Vejamos:

Podemos ver na fig.60 que as retas (A)(B) e (C)(D) estão em planos diferentes,

portanto não podem ser concorrentes. Olhando as projeções, parecem paralelas.

Entretanto, quando rebatemos ambas as retas, percebemos que elas não são paralelas,

assim, concluímos que as retas só podem ser reversas.

Fig.60


41

13. PLANOS

Os planos são representados por letras gregas (α,β,λ,θ,...) e podem ser definidos por:

• Duas retas paralelas;

• Duas retas concorrentes;

• Três pontos não colineares;

• Uma reta e um ponto fora dela.

Representamos os planos tanto em épura quanto no diedro por porções finitas,

porém, como no caso das retas, todos os planos são infinitos assim como seus traços.

→ Posições:

• Horizontal: paralelo a (π)

Todos os pontos situados num plano horizontal têm mesma cota.

• Frontal: paralelo a (π`)

Todos os pontos situados num plano frontal têm mesmo afastamento.

• De topo: perpendicular a (π`) e oblíquo em relação à (π).

Todos os elementos de um plano de topo têm projeções verticais sobre seu traço

vertical.

• Vertical: perpendicular a (π) E oblíquo em relação à (π`).

Todos os elementos de um plano vertical têm projeções horizontais sobre seu

traço horizontal.

• De perfil: perpendicular a (π) e a (π`).

As projeções dos elementos que pertencem a um plano de perfil sempre estarão

sobre os traços de mesmo nome do plano.


42

• Paralelo a linha de terra: é paralelo a (ππ`) e oblíquo em relação à (π) e à (π`), porém não

passa pela linha de terra.

• Passa pela linha de terra: é oblíquo em relação à (π) e à (π`) e passa por (ππ`).

• Qualquer: não é paralelo ou perpendicular a (π) nem a (π`) nem a (ππ`).

O estudante deve cuidar para não se prender exclusivamente na representação em

épura, procurando sempre imaginar (visualizar mentalmente) a posição espacial dos

objetos.

→ Os planos são geralmente representados pelos seus traços, pois isso simplifica a sua

visualização no espaço.

● Traços de planos

Os traços são as interseções com os planos de projeção. Convenciona-se representar o

plano na épura mostrando-se o traço horizontal abaixo da linha de terra e o traço vertical

acima da linha de terra.

- O traço vertical pode ser uma frontal, fronto-horizontal ou vertical, dependendo

do plano, todas de afastamento nulo (fig 61.1).

- O traço horizontal pode ser uma horizontal, fronto-horizontal ou de topo,

dependendo do plano, todas de cota nula (fig 61.1).

- Sempre que o plano possuir dois traços não paralelos eles se cruzarão sobre a

linha de terra.

- Por uma questão de conveniência e clareza, não representamos a projeção dos

traços que está sobre (ππ`).


43

Fig.61 Fig.61.1

• Plano qualquer:

• απ é a interseção com (π) e απ` é a interseção com (π`).

Fig.62


44

O traço vertical é a reta do plano contida em (π`) e o traço horizontal é a reta do plano

contida em (π). (fig.63)

Fig.63

- Desenhe a épura do plano dado:

Fig.64


45

• Plano horizontal:

Vemos nas figs. 65 e 65.1 que o plano horizontal possui somente traço vertical, pois é

paralelo a (π).

Fig.65 Fig.65.1


Fig.66

• Plano frontal:


46

Vemos nas figs. 67 e 67.1que o plano frontal possui somente traço horizontal, pois é

paralelo a (π’).

Fig.67 Fig.67.1


Fig.68

• Plano de topo:

Vemos nas figs. 69 e 69.1 que o plano de topo apresenta os dois traços


47

Fig.69 Fig.69.1


Fig.70

• Plano vertical:

Vemos nas figs. 71 e 71.1 que o plano vertical apresenta os dois traços


48

Fig.71 Fig.71.1


Fig.72

• Plano de perfil:

Vemos nas figs. 73 e 73.1 que o plano de perfil também apresenta os dois traços, porém os

mesmos coincidem.


49

Fig.73 Fig.73.1


Fig.74

• Plano paralelo à linha de terra:

O plano paralelo à linha de terra apresenta os dois traços paralelos a (ππ`). (figs. 75 e 75.1)


50

Fig.75 Fig.75.1


Fig.76

• Plano que passa pela linha de terra:

Note nas figs. 77 e 77.1que os traços desse plano estão sobre a linha de terra,

portanto, para identificar a sua inclinação, é preciso também um ponto.


51

Fig.77 Fig.77.1


Fig.78

Obs.: Lembre-se de que quando o plano tiver dois traços, eles sempre se encontraram sobre

a linha de terra.

● Retas pertencentes aos planos


52

O conhecimento das retas que cabem em cada tipo de plano é importante para evitar

que, na seqüência dos estudos, o aluno se perca tentando colocar uma reta em um plano

que não a pode conter.

Coloque o esquadro na posição de um plano encaixado no diedro e veja as retas que

pertencem a ele através das linhas dentro do esquadro. Pratique com o diedro e o esquadro

para visualizar as retas pertencentes aos planos, após esse treinamento você conseguirá

visualizar sem a ajuda do diedro e sem o esquadro. Pelas cores das retas você poderá

observar que dependendo da posição do plano elas assumirão nomes diferentes.

• Frontal→ no plano frontal cabem as retas:

- frontal (f), fronto-horizontal (r), vertical (v).

Fig.79

• Horizontal→ no plano horizontal cabem as retas:

- horizontal (h), fronto-horizontal (r), de topo (t).


53

Fig.80

• De topo→ no plano de topo cabem as retas:

- de topo (t),qualquer (q), frontal (f).

Fig.81

• Vertical→ no plano vertical cabem as retas:

- vertical (v), horizontal (h), qualquer (q).


54

Fig.82

• De perfil→ no plano de perfil cabem as retas:

- de perfil (p), vertical (v), de topo (t).

Fig.83

• Paralelo a linha de terra→ no plano paralelo a (ππ`) cabem as retas:

- fronto-horizontal (r), de perfil (p), qualquer (q).


55

Fig.84

Obs.: O plano paralelo à linha de terra foi prolongado para que fosse possível visualizar o

traço horizontal.

• Passando pela linha de terra→ no plano que passa por (ππ`) cabem as retas:

- fronto-horizontal (r), de perfil (p), qualquer (q).

Fig.85

• Qualquer→ no plano qualquer cabem as retas:

- qualquer (q), frontal (f), horizontal (h), de perfil (p).


56

Fig.86

Obs: Note que o plano qualquer é o único que permite quatro tipos de retas. Observe que

diferentemente da reta qualquer, a reta de perfil une os pontos (V) e (H) de mesma

abscissa.


57

14. PERTINÊNCIA DE RETA AO PLANO

Na épura, sabemos que uma reta pertence a um plano quando ela tem seus traços

sobre os traços de mesmo nome do plano.

Exceções:

1. Quando a reta passa pelo ponto onde os traços do plano se cruzam sobre a linha de

terra, não necessariamente a reta pertence ao plano. (ver fig.89)

2. Quando uma reta passa pela linha de terra, não necessariamente ela está contida em

um plano que passa pela linha de terra. (ver fig. 90)

→ Nesses casos, é preciso verificar se um outro ponto da reta pertence ao plano (veremos

isso mais a frente, pois precisamos do conceito de pertinência de ponto ao plano).

Exemplos:

• Regra geral

A reta (r) pertence ao plano (α), pois seus traços estão sobre os traços de mesmo nome do

plano.

Fig.87


58

Desenhe na épura abaixo as seguintes retas pertencentes ao plano (αααα):

reta (s), no segundo diedro;

reta (t), no terceiro diedro;

reta (v) no quarto diedro.

Observe que na fig. 88 a reta (s) pertence ao plano (β).

Fig.88

• Exceção 1


59

Fig.89

• Exceção 2

Fig.90

Veremos mais a frente como verificar se a reta pertence ao plano.


60

15. PERTINÊNCIA DE PONTO AO PLANO

Um ponto pertence ao plano quando pertence a uma reta do plano (essa regra não

tem exceções).

● Planos projetantes

Dizemos que um plano é projetante quando for perpendicular a um dos planos de

projeção. Um plano projetante projeta todos os seus elementos (retas e pontos) sobre o

traço no plano que lhe é perpendicular, o que permite a regra de pertinência simplificada

abaixo.

- Os planos projetantes são:

• Vertical (projeta as projeções horizontais sobre o traço horizontal) (fig. 91);

• De topo (projeta as projeções verticais sobre o traço vertical) (fig. 92);

• De perfil (projeta as projeções horizontais sobre o traço horizontal e as projeções

verticais sobre o traço vertical) (fig. 93);

• Horizontal (projeta as projeções verticais sobre o traço vertical) (fig. 94);

• Frontal (projeta as projeções horizontais sobre o traço horizontal) (fig. 95);

→ Regra de pertinência simplificada:

• Se o plano (α) for projetante e perpendicular a (π`), então todos os seus elementos terão

sua projeção vertical sobre α π`.

• Se o plano (α) for projetante e perpendicular a (π), então todos os seus elementos terão

sua projeção horizontal sobre α π.


61

Exemplos: As retas abaixo pertencem ao plano dado

Plano vertical

Fig.91

Plano de topo

Fig.92

Plano de perfil


62

Fig.93

Plano horizontal

Fig.94

Plano frontal


63

Fig.95

● Voltando às exceções de pertinência de reta ao plano

No caso das duas exceções, além de atender a regra geral de pertinência, devemos

verificar se outro ponto da reta pertence ao plano.

1. Para saber se a reta pertence ao plano, devemos traçar uma reta auxiliar desse plano

e ver se ela é concorrente ou paralela com a reta em questão, se as retas forem concorrentes

ou paralelas, então a reta estudada pertence ao plano, caso contrário, não pertence.

Como podemos observar na fig.96, (h) pertence a (α) e não é paralela nem concorrente

com (r), portanto, a reta (r) não pertence ao plano.


64

Fig.96

2. Devemos fazer um procedimento parecido com a exceção 1. Traçamos uma fronto-

horizontal que pertence ao plano pelo ponto que o define e verificamos se a reta auxiliar é

concorrente ou paralela com a reta estudada. Se for, a reta em questão pertence ao plano,

se não for nem paralela nem concorrente, então a reta não pertença ao plano.

Como vemos na figura, (f) é uma fronto-horizontal que passa por (C) e pertence ao plano.

As retas (r) e (f) não são paralelas nem concorrentes, então, (r) não pertence ao plano (α).

Fig.97


65

16. PLANOS NÃO DEFINIDOS PELOS SEUS TRAÇOS

→ Suponha um plano dado pelos pontos: (A), (B) e (C) não colineares.

Podemos ligar esse pontos, obtendo um triângulo que define o plano pelas retas (A)(B),

(A)(C) e (B)(C).

Dentro desse triângulo, podemos achar todas as retas do plano e não usar os traços do

mesmo.

Fig.98

→ Veja:

Escolhemos um ponto arbitrário (B) e ligamos a um outro ponto que esteja sobre

uma das retas, por exemplo, o ponto (D) da reta (A)(C).

Quando ligamos esses pontos, vemos que (B)(D) é uma reta de perfil, pois os pontos

escolhidos possuem mesma abscissa.

Fig.99

Se quisermos achar uma horizontal fazemos o mesmo processo pegando dois


66

pontos com a mesma cota.

Traçamos então a reta (B)(D) que é a horizontal do plano.

Fig.100

Para achar uma frontal pegamos dois pontos de mesmo afastamento.

Então temos a reta (C)(D) que é uma frontal do plano.

Fig.101

OBS: Se tivermos um plano paralelo à (ππ’), as frontais e horizontais se tornam fronto-

horizontais.


67

17. RETAS DE MÁXIMO DECLIVE (RMD) E RETAS DE MÁXIMA

INCLINAÇÃO (RMI).

● RMD

Declive é o ângulo que um plano ou uma reta forma com (π).

A RMD é uma reta que pertence ao plano e tem o mesmo declive do plano

Plano (α) de topo com declive θ. (f) é a RMD.

Fig.102


68

Vista da RMD do plano (α) em épura.

Fig.103

Vemos que a RMD forma um ângulo de 90° com o traço horizontal do plano.

Plano (α) qualquer

Fig.104

(r) é a RMD de (α).


69

Fig.105

Obs: Cuidar que nem sempre o ângulo reto aparecerá na épura pois uma das retas poderá

estar projetada em um único ponto.

Determine na épura abaixo a RMD de um plano vertical

● Teorema projetivo do ângulo reto

Sejam duas retas perpendiculares ou ortogonais no espaço. O ângulo reto somente

se projeta com 90º num plano de projeção quando pelo menos uma das retas for

paralela a esse plano de projeção.


70

Ex: Se (r) for paralela a (π) e formar 90° com (s), então, a projeção horizontal dessas

duas retas será perpendicular.(fig.106)

Observe que as duas retas são paralelas a um dos planos de projeção, pois temos

uma reta frontal e uma de topo. No entanto, bastaria que apenas uma das retas fosse

paralela a um dos planos de projeção e outra qualquer que o teorema continuaria

valendo.

Fig.106


71

Fig.107

Como sabemos que o traço horizontal de um plano é sempre paralelo a (π) e que a

RMD sempre forma um ângulo reto com o traço horizontal, então sabemos, pelo teorema

projetivo do ângulo reto que na épura, a projeção horizontal da reta será perpendicular ao

traço do plano.

OBS1: Observe na fig108 que mantendo a reta (r) (de topo) paralela a (π), a reta (s) poderá

ter qualquer declive que a sua projeção não se altera, mantendo o ângulo de 90° na

projeção horizontal.

OBS2: Observe que o teorema é válido para retas (r) e (s) concorrentes e reversas.

Observe que as duas retas são paralelas a um dos planos de projeção, pois temos uma

reta frontal e uma de topo. No entanto, bastaria que apenas uma das retas fosse paralela a

um dos planos de projeção e outra qualquer que o teorema continuaria valendo.


72

Fig.108

Fig.109


73

• Se o plano tem certo declive, então não deveria ter o mesmo declive toda reta

pertencente a esse plano?

Mostre e explique com exemplos que embora o declive de um plano seja sempre

constante, as retas que pertencem a esse plano têm declives variados, mas sempre

menores ou iguais ao do plano.

● Como achar a RMD de um plano sem usar seus traços

É importante sabermos achar a RMD de um plano sem utilizar seus traços, pois

quando o usamos, corremos o risco de aumentarmos a imprecisão.

Como sabemos achar a horizontal do plano (α) definido por (A), (B) e (C) e também

conhecemos o fato de que ela segue paralela a (απ), devemos determinar (h) e a partir

disso, traçamos uma perpendicular a projeção horizontal de (h), essa será a RMD, pois se

ela forma um ângulo reto com a projeção horizontal de (h), ela também terá 90° com (απ).

→ (B)(E) é a RMD do plano definido por (A), (B) e (C).(fig.110)


74

Fig.110

OBS: Podemos achar infinitas RMD’s de um plano, lembrando sempre que todas serão

paralelas.

● RMI

Inclinação é o ângulo que um plano ou uma reta forma com (π’).

A RMI é uma reta que pertence ao plano e tem a mesma inclinação do plano.

Plano (α) de vertical com inclinação θ.

(h) é a RMI. (fig.111)


75

Fig.111

Vista da RMI de (α) em épura

Fig.112

Vemos que a RMI forma um ângulo de 90° com o traço vertical do plano


76

Plano (α) qualquer

Fig.113

(r) é a RMI de (α)

Fig.114

Pelo teorema projetivo do ângulo reto sabemos que na épura, a projeção vertical da

RMI será perpendicular ao traço vertical do plano.


77

→ Faça a RMI de um plano de topo.

● Como achar a RMI de um plano sem usar seus traços

Sabemos que uma frontal do plano segue paralela ao mesmo em seu traço vertical, por

isso, traçamos (A)(D) que é uma frontal. Como sabemos também, a RMI de um plano

forma 90° com o traço vertical do mesmo, portanto também é perpendicular a uma frontal

desse plano. Assim, basta traçarmos uma reta perpendicular a frontal (A)(D) que teremos a

RMI.

Fig.115

Podemos traçar infinitas RMI’s de um plano, sempre lembrando que serão todas paralelas.


78

18. PARALELISMO

● De reta com plano

Uma reta é paralela a um plano quando for paralela a uma reta do plano.

Ex:

→ Na fig.116 devemos passar por (C) uma reta paralela a (α).

→ Traçamos uma reta que pertença ao plano, nesse caso (H)(V), depois disso traçamos por

(C) uma reta paralela a (H)(V). Obtemos (r) que é a reta paralela ao plano (α).

Fig. 116

● De plano com reta

Um plano (α) é paralelo a uma reta (r) quando ele contiver uma reta (s) paralela à

reta dada (r).

Ex:


79

→ Na fig.117 devemos traçar por (C) um plano (α) paralelo à reta (r).

→ Traçamos por (C) uma reta paralela a (r), depois disso, achamos um plano (α) que

contenha essa reta. Esse será o plano paralelo à reta (r).

Fig.117

● De plano com plano


80

Um plano (α) será paralelo a outro plano (β) quando ele for paralelo a duas retas

concorrentes de (β).

Ex:

→ Na fig.118 devemos passar por (C) um pano paralelo a (α).

→ Traçamos uma horizontal (h) por C que tenha a direção de απ, achamos os traços de (h)

e por V’ passamos o traço vertical de (β) paralelo a απ’. Para o traço horizontal fazemos βπ

paralelo a απ e h a partir de (T).

Fig. 118

→ Podemos observar que os traços de dois planos paralelos também são paralelos.

απ // βπ

απ’ // βπ’


81

Fig.119

Fig.119.1

→ Existe exceção de paralelismo de plano com plano:

Quando temos planos paralelos à linha de terra ou que passam por (ππ‘), sabemos

que seus traços são paralelos. Porém, não necessariamente esses planos são paralelos


82

entre si.

Para verificar o paralelismo desses tipos de planos, devemos traçar a RMD ou RMI

de cada plano, que no caso serão paralelas se os planos forem paralelos. Como a RMD

e RMI são de perfil, devemos rebatê-las e verificar se são paralelas.

Exemplo:

Na fig.120 vemos que (α) e (β) são paralelos a linha de terra.

Queremos verificar se eles são realmente paralelos, logo, achamos a RMD de cada plano,

rebatemos e observamos que não são paralelas, logo, o plano (α) não é paralelo ao plano

(β).

Fig.120


83

19. INTERSEÇÃO DE PLANOS

- O resultado da interseção de dois planos sempre será uma reta.

- A reta será definida por dois pontos pertencentes aos planos dados.

Veja:

Vemos na figura 121 que o plano frontal (α) e o plano qualquer (β) são concorrentes.

Observamos que a interseção dos planos é a reta (r).

Fig.121


84

Observe a interseção na épura:

Fig.122

● Como achar a interseção na épura?

→ Quando os traços se cruzam:

Quando temos os traços do plano e os mesmos se cruzam, então temos dois pontos de

concorrência (H) e (V).

Assim, quando ligamos esses pontos, obtemos a reta (H)(V) que é a interseção dos planos

(α) e (β).


85

Fig.123

→ Quando os traços não se cruzam:

Quando queremos achar a interseção de dois planos cujos traços não se cruzam no

limite da épura, devemos fixar um parâmetro (cota ou afastamento) e traçar retas

auxiliares. Dessa forma, garantimos que as retas traçadas terão um ponto de concorrência.

Exemplo:


86

Na fig.124 temos um plano (α) qualquer e um plano (β) de topo.

Para achar a interseção devemos fixar um parâmetro, nesse caso o afastamento, e então

achamos (I) e (J) que são os pontos que definem a reta interseção.

Fig.124

→ Quando temos um plano definido pelos seu traços e o outro definido por três pontos:

Para achar a interseção fazemos o mesmo procedimento, definimos um parâmetro

(cota), traçamos a reta (h) e achamos o primeiro ponto da interseção (I). Depois fixamos o

afastamento, traçamos a frontal e achamos o segundo ponto da interseção (J).

Ao ligarmos os pontos vemos que a reta interseção é (I)(J).


87

Fig.125

• Ponto comum a três planos

Vamos supor que o ponto (I) é o ponto de interseção dos planos (α), (β) e (ψ).

- Podemos achar (I) de duas formas:

1- Achamos a reta (r), que é a interseção de (α) com (β);

Achamos a reta (s), que é a interseção de (α) com (ψ);

Achamos o ponto (I) procurado, através interseção de (r) com (s).

2- Achamos (r), que é a interseção de (α) com (β);


88

Achamos o ponto (I) onde (r) fura o plano (ψ) (veja no capítulo 20), que será o ponto

(I) procurado.

Ex: Vamos achar o ponto que é comum aos planos (α), (β) e (ψ).

Usaremos a primeira forma:

Fig.126

Observe que o ponto comum aos três planos é o ponto (M)


89

20. TRAÇO DE RETA SOBRE PLANO

O traço da reta sobre o plano é o ponto onde ela fura o plano.

Se quisermos achar o ponto onde uma reta (r) fura um plano (α) devemos proceder da

seguinte forma:

1- Devemos fazer com que (r) pertença a um plano (β);

Fig.127

2- Depois disso, vemos que o ponto (I), que é a interseção de (r) com (α), pertence à reta


90

(s) que é a interseção de (α) com (β). Ainda podemos ver que (I) é o ponto de concorrência

de (r) com (s).

Fig.128

Em épura, usamos planos projetantes para facilitar o processo.

Ex:

Na fig.129, queremos achar o ponto onde (r) fura (α).


91

- Traçamos um plano projetante de topo (β) fazendo com que (r) є (β).

- Achamos a interseção de (α) com (β) que é (M)(J).

- Depois achamos o ponto (I) onde (r) concorre com (M)(J), esse é o ponto onde (r) fura o

plano (α).

Fig.129


92

21. PERPENDICULARISMO

• Reta perpendicular a plano

Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela é ortogonal a todas as retas desse

plano.

Pelo teorema projetivo do ângulo reto, sabemos que sempre que duas retas forem

perpendiculares ou ortogonais, e uma delas for paralela a um dos planos de projeção, então

a projeção que for paralela a (π) ou (π’), também terá 90°.

Assim, como os traços de um plano são retas paralelas aos planos de projeção, podemos

concluir que se uma reta é perpendicular a um plano, então, suas projeções em épura

formaram 90° com os traços do plano.

Ex1:

Na fig.130, a reta (r) é perpendicular ao plano (α).

Fig.130

Ex2:


93

Na fig.131, temos que passar por (A) uma reta (s) que seja perpendicular ao plano (α).

Observe que o ponto (A) está no terceiro diedro. Então para traçar uma reta (s) que seja

perpendicular a (α), basta passarmos uma reta por (A) que seja perpendicular aos traços de

(α).

Devemos tomar cuidado, pois a projeção horizontal deve passar por A e ser perpendicular

a απ, já a projeção s’ deve passar por A’ e ser perpendicular a απ’

Fig.131

Ex3:

Na fig.132, devemos passar por (D) uma reta perpendicular ao plano definido pelos pontos


94

(A), (B) e (C).

Observe que agora não temos mais os traços.

Sabemos que uma horizontal do plano segue paralela ao traço horizontal e também que

uma frontal segue paralela ao traço vertical. Então, por conseqüência, se a reta for

perpendicular ao plano, ela vai ser perpendicular aos traços do plano e perpendicular as

frontais e horizontais em épura.

Fig.132

Vemos então, na fig.132, que (r) é a reta perpendicular ao plano definido pelos pontos (A),

(B) e (C).

Obs.: Se tivermos um plano paralelo ou que passa por (ππ’), a reta perpendicular a ambos

será de perfil, então, para verificar se uma reta de perfil (r) é perpendicular a um plano de

perfil (α) paralelo a linha de terra, devemos rebater a reta de perfil (r) e ver se ela é

perpendicular a uma reta de perfil (s) que pertence ao plano (α).

Ex: Vemos que a reta (A)(B) é perpendicular ao plano (α).


95

Fig.133

• Plano perpendicular à reta:

Esse caso é a recíproca do anterior. Então, para que um plano seja perpendicular a

uma reta, ele deve ter seus traços perpendiculares às projeções de mesmo nome da reta.

• Quando temos que passar um plano (α) por um ponto (C) e que seja perpendicular a

uma reta (r), temos que tomar o seguinte cuidado:

Não podemos simplesmente traçar o plano sobre as projeções de (C), pois se

fizermos isso, fugimos da regra de pertinência de ponto ao plano. Então, devemos passar

por (C), uma reta frontal ou horizontal que seja perpendicular a (r) e depois, por essa reta

traçar o plano (α) perpendicular à reta (r).

Ex: Na fig.134, devemos passar por (C) um plano (α) perpendicular a (r).

Traçando por (C) uma frontal perpendicular a (r), sabemos a direção do traço vertical


96

do plano. Achamos o traço (H) da frontal e sabemos que (f) pertence a (α), então απ passa

por H. como (α) tem que ser perpendicular a (r), sabemos que no traço horizontal ele

também formará 90° com (r). Assim, passando απ por H e perpendicular a r, achamos o

ponto (T), então, agora é só traçar απ’ paralelo a f’. Vemos então que o plano (α) é

perpendicular à reta (r).

Fig.134

• Plano perpendicular a plano:

Um plano é perpendicular a outro plano quando contiver ao menos uma reta

perpendicular ao outro plano.

Ex: Na fig.135, devemos passar por (A) um plano perpendicular a (α).

Traçamos por (A) uma reta (s) que seja perpendicular a (α). A partir disso, sabemos que

qualquer plano que contiver essa reta (s) será perpendicular a (α). Assim, temos infinitas


97

soluções, entre elas um plano paralelo à linha de terra (δ) um plano de topo (θ), um plano

vertical (γ) e infinitos planos quaisquer, sendo um deles (β).

Fig.135

• Retas perpendiculares:

Quando queremos duas retas perpendiculares sendo que uma delas é paralela a um

dos planos de projeção, podemos concluir, pelo teorema projetivo do ângulo reto, que em

épura, as retas terão 90° na projeção horizontal ou vertical.

Ex: Na fig.136, temos uma reta horizontal (r) e queremos achar uma outra reta (s) que

passe por (A) e que seja perpendicular a (r).

Nesse caso, como temos uma horizontal, sabemos que ela é paralela a (π), logo, (r) e (s)


98

terão 90° na projeção horizontal.

Assim, para resolver o problema, basta traçar por (A) a projeção s perpendicular a r,

achamos o ponto I de concorrência, prolongamos a linha de chamada e achamos I’ sobre r’,

depois basta ligar I’ com A’ e teremos s’. Então temos (s) perpendicular a (r).

Fig.136

Se tivermos uma reta (r) que não seja paralela a nenhum dos planos de projeção e

quisermos achar uma reta (s) perpendicular a (r) devemos fazer uma mudança de plano ou

usar o método tradicional.

O objetivo em fazer uma mudança de plano nesse caso, é deixar a reta (r) paralela a um dos

planos de projeção, podendo então aplicar o teorema projetivo do ângulo reto. Porém,

veremos esse método mais a frente.

Método tradicional para retas perpendiculares:

Para traçar por (A) uma reta perpendicular a (r), basta passar por (A) um plano (α)

que seja perpendicular a (r). Achamos o ponto (I), onde (r) fura o plano e ligamos (A) com

(I), temos então a reta (A)(I) perpendicular a (r), pois sabemos que se (r) é perpendicular a


99

(α), então é ortogonal a todas as retas pertencentes a (α) e perpendicular a todas as retas

que passam pelo ponto onde (r) fura o plano, nesse caso o ponto (I).

Fig.137

Podemos olhar o plano (α) de lado, na fig. 138 e observar o perpendicularismo que existe

entre (r) e (α) e entre (r) e (A)(I).

Fig.138

Ex: Na fig.139, queremos traçar por (A), uma reta perpendicular a (B)(C)

Passamos por (A) um plano (α) perpendicular a (B)(C). Achamos então o ponto (M) onde

(B)(C) fura o plano (α) (ver traço de reta sobre plano). Assim, a reta perpendicular a (B)(C)

e que passa por (A) é (A)(M).


100

Fig.139

Com retas de perfil:

Na fig.140, queremos traçar por (A), uma reta perpendicular a (B)(C), então

rebatemos a reta (B)(C) e o ponto (A). Por (A), passamos um plano (α) perpendicular a


101

(B)(C). Tomamos a RMD de (α) na abscissa de (B)(C) e achamos o ponto (I) onde (B)(C)

fura o plano, então, fazemos o alçamento do ponto(I) e achamos a reta perpendicular a

(B)(C) que passa por (A), que é (I)(A). Note que quando se tratam de retas de perfil, fica

mais fácil achar o ponto onde a reta fura o plano, evitando o método usado no exercício

anterior, onde precisamos usar um plano auxiliar.

Fig.140


102

MÉTODOS DESCRITIVOS

São métodos que permitem a resolução de problemas descritivos.

22. MUDANÇA DE PLANO DE PROJEÇÃO

Temos que saber:

• Muda-se um plano de projeção de cada vez;

• Mantêm-se o diedro ortogonal (temos que manter o ângulo de 90° entre o plano

vertical e horizontal);

• O objeto não muda de posição.

Obs: Representamos a nova linha de terra, que é a interseção do plano vertical com o

horizontal, com dois traços em cada extremidade, simbolizando que é a segunda linha de

terra.

Como sabemos que só podemos mudar um plano de projeção de cada vez e que o

objeto não muda de lugar, podemos concluir que em uma mudança de plano, uma das

projeções não muda, ou seja, fica no mesmo lugar. Essa projeção é aquela cujo plano de

projeção não foi mudado.

Depois de acharmos a nova linha de terra, traçamos a linha de chamada

(perpendicular à nova linha de terra) e achamos a projeção sobre o plano que foi mudado,

lembrando que essa projeção terá a mesma distância em relação a linha de terra nova que

tinha da anterior.

→ Temos que prestar atenção no sinal da cota ou afastamento, pois devemos transferir

para a nova linha de terra com o mesmo sinal.


103

● Mudança de plano Vertical:

Fig.141

Fig.142

Como estamos fazendo uma mudança de plano vertical, então a projeção horizontal


104

fica no mesmo lugar e é por ela que passamos a nova linha de chamada perpendicular à

nova linha de terra. Sabendo que o plano horizontal não foi mudado, podemos concluir que

a cota continua a mesma, ou seja, a distância da projeção vertical do ponto até a linha de

terra não mudou. Assim, transferimos a cota para a nova linha de terra. Chamamos de P1’ a

nova projeção vertical.

Com retas:

Note que fazendo a mudança de plano vertical, o que muda é a projeção vertical, pois não

mexemos nas projeções horizontais. Note também que apesar de termos mudado o plano

(π’), as cotas continuam com o mesmo tamanho e sinal, a diferença é que agora elas estão

projetadas sobre (π’)1. Veja que como a nova linha de terra foi traçada paralela à projeção

horizontal, a reta fica sendo frontal no segundo sistema.

Fig.143

Aplicação:


105

Transformar uma reta qualquer em frontal

Transformando a reta (A)(B) em frontal, teremos a V.G.(Verdadeira Grandeza) da reta.

Como sabemos de que forma as projeções de uma frontal estão dispostas em épura, então

sabemos onde queremos chegar (fig.144).

Fig.144

Fig.145

M.P.V.:


106

Referência: Proj. horizontal

A transportar: Proj. vertical

Traçamos então uma nova linha de terra que seja paralela à projeção horizontal, essa não

será mudada, ficará no mesmo lugar, pois queremos uma reta frontal. Assim, podemos

concluir que faremos uma mudança de plano vertical, já que não alteramos a projeção

horizontal (fig.145).

● Mudança de plano Horizontal:

É análogo à mudança de plano vertical, só que agora, quem fica no mesmo lugar é o

plano vertical e o parâmetro que permanece constante é o afastamento.

Fig.146


107

Fig.147

Com retas:

Note que quando fazemos uma mudança de plano horizontal, a projeção horizontal muda

de lugar e a projeção vertical fica no mesmo lugar. Veja que o afastamento dos pontos não

muda. A diferença é que agora eles estão projetados sobre (π)1.

Observe na fig.148 que fazendo a L.T. paralela ao traço vertical, achamos uma reta

horizontal no segundo sistema.

Fig.148

Aplicação:


108

Transformar uma reta qualquer em horizontal:

Devemos transformar uma reta qualquer em horizontal. Como sabemos a forma

com que as projeções de uma horizontal estão dispostas na épura, sabemos onde queremos

chegar (fig.149).

Fig.149

Fig.150

M.P.H.:

Referência: Proj. vertical.

A transportar: Proj. horizontal.

Passamos a nova linha de terra paralela à projeção vertical. Essa ficará no mesmo

lugar, pois queremos uma horizontal. Concluímos que devemos fazer uma mudança de


109

plano horizontal, já que não mudamos a projeção vertical. Agora, basta fazer os

procedimento de mudança de plano e achar A1 e B1, que será a V.G da reta (fig.150).

→ Agora que já sabemos fazer mudança de plano, podemos voltar a falar de retas

perpendiculares entre si.

Lembrando do que foi visto em retas perpendiculares:

Se tivermos uma das retas paralela a um dos planos de projeção, podemos concluir,

pelo teorema projetivo do ângulo reto, que em épura, as retas terão 90° na projeção

horizontal ou vertical. (fig.151)

Se tivermos uma reta que não seja paralela a um dos planos de projeção, então

devemos fazer uma mudança de plano para torná-la. Assim poderemos usar o teorema

projetivo do ângulo reto para achar retas perpendiculares.

Fig.151

Ex: Trace uma reta perpendicular a reta qualquer (r) e que passe pelo ponto (C).


110

Faremos uma mudança de plano horizontal para que a reta (r) se torne horizontal.

Transferimos as projeções horizontais dos pontos (A), (B) e (C) (os pontos (A) e (B)

pertencem a (r)) para a nova épura e obtemos A1, B1 e C1. Assim, temos que passar por C1

a projeção horizontal da reta perpendicular a A1B1. Feito isso, achamos o ponto I1 de

concorrência e na mesma linha de chamada, no segundo sistema, achamos I’. Levamos I1

para o primeiro sistema e obtemos I. Agora. Sabemos que a reta perpendicular a (r) e que

passa por (C) é a reta (I)(C). (fig.152)

Fig.152

● Outras aplicações de mudança de plano

1. Transformar um plano qualquer em vertical


111

Sabemos onde queremos chegar (fig.153):

Fig.153

A nossa referência em relação ao plano vertical é que sua projeção vertical é perpendicular

a linha de terra. Então, já sabemos que se a referência é o traço vertical, quem será

transportado será o traço horizontal. Portanto devemos fazer uma M.P.H..

M.P.H.:



Podemos partir do seguinte princípio:

Tomamos uma frontal do plano e transformamos em vertical.

Vamos tomar dois ponto (A) e (B) que pertençam à frontal. Quando os transferimos para a

nova linha de terra, vemos que as suas projeções horizontais coincidem porque a reta se

tornará vertical. Assim, como sabemos que o plano vertical é projetante (as projeções

horizontais de todos os seus elementos caem sobre o seu traço horizontal) e conhecemos o

ponto (T) onde o plano passa pela L.T., basta traçar o traço horizontal do plano por (T),

(A)1 e (B)1. (fig.154)


112

Fig.154

2. Achar a V.G. do triângulo (A)(B)(C) transformando-o em frontal

Obs: A V.G. de uma figura não pode ser menor do que qualquer uma de suas projeções.

Teremos que fazer duas mudanças de plano, primeiro vamos transformar uma

frontal (A)(D) do plano em vertical, assim teremos um plano vertical. Depois, vamos

transformar esse plano em frontal, obtendo a V.G. do triângulo (A)(B)(C).

A primeira mudança será M.P.H., pois queremos transformar o triângulo em vertical, e

a propriedade do plano vertical é ter o traço vertical perpendicular à linha de terra.

A segunda mudança será M.P.V., pois queremos que o triângulo vire frontal, e a

propriedade do triângulo frontal é ter a projeção horizontal paralela à linha de terra. Sendo

assim, para fazer a segunda mudança basta traçar a terceira linha de terra paralela a

projeção horizontal do triângulo. (fig.155)


113

Fig.155

3. Transformar um plano qualquer em paralelo a linha de terra

Pode ser feito com M.P.V. ou M.P.H..

A resolução do problema consiste em transferir um ponto do plano para o segundo sistema

de coordenada e então traçar por ele uma reta do plano. Achamos então os traços da reta e

traçamos o plano sobre os traços, já que a reta pertence ao plano.

Vamos usar M.P.H. traçando a segunda L.T. paralela ao traço vertical do plano. Assim,

sabemos que o traço horizontal será paralelo a nova linha de terra. Pegamos um ponto (H)

que pertença ao plano no primeiro sistema e transferimos para o segundo sistema, obtemos

H1. Agora, como conhecemos o traço vertical do plano no segundo sistema, pegamos um

ponto (V) que pertença a ele. Já que também sabemos que o ponto (H) continua

pertencendo ao plano, traçamos uma reta que tem proj. vertical H’V’ e proj. horizontal

VH1, achamos (H2) que é o traço horizontal da reta. O traço horizontal do plano deve

passar por (H2), já que esse é o traço horizontal da reta e a reta pertence ao plano.( fig.156)

Para facilitar a resolução podemos escolher H’ sobre o cruzamento das duas L.T.

Assim, não precisamos encontrar (H2), pois o traço da reta será o próprio (H)


114

Fig.156

→ Outra forma para resolver

Podemos pegar uma frontal do plano e transformar em uma fronto-horizontal

Traçamos uma frontal do plano e escolhemos um ponto (A) que pertença a ela.

Transferimos a reta e o ponto para o segundo sistema e achamos uma fronto-horizontal.

Como sabemos que essa fronto-horizontal pertence ao plano, basta traçar o plano. (fig.157)

→ Devemos tomar cuidado, pois o traço vertical já está definido, é o traço απ’.


115

Fig.157

4. Determinar os ângulos que um plano forma com (π) ou (π’)

Devemos transformar o plano qualquer em plano de topo ou vertical. Pois esses

planos mostram diretamente na épura o ângulo que formam com os planos de projeção.

M.P.V.:

Referência: Proj. horizontal

A transportar: Proj. vertical


116

Fig.158

M.P.H.:



Fig.159

• Queremos saber o ângulo que um plano (α) forma com o plano de projeção (π).

Como queremos o ângulo entre (α) e (π) faremos um M.P.V. transformando o plano

qualquer em plano de topo. Pegamos uma horizontal do plano e transformamos em reta de

topo. Traçamos o plano no segundo sistema e vemos o ângulo γ que ele forma com (π).

(fig.160)


117

Fig.160

→ Ache o ângulo que o mesmo plano (α) forma com o plano de projeção (π’).

Fig.161

• Ângulo formado entre dois planos


118

Se tivermos planos verticais ou de topo, podemos ver diretamente em épura o ângulo

formado entre eles.

θ é o ângulo formado entre (α) e (β).

Fig.162

γ é o ângulo formado entre (α) e (β).

Fig.163

Se tivermos planos quaisquer, devemos fazer uma mudança de plano, transformando os

dois planos em plano verticais ou de topo ao mesmo tempo. Para isso, pegamos a reta

interseção dos planos e transformamos em reta vertical ou de topo. Assim, os dois planos

automaticamente se transformam ou em verticais ou em de topo e, então, podemos ver o

ângulo formado entre eles.


119

5. Achar o ângulo formado entre (α) e (β).

Fig.164

Achamos a reta interseção (H)(V) e transformamos em reta de topo. Primeiro

transformamos a reta (H)(V) em reta horizontal através de uma M.P.H. e depois em reta de

topo através da M.P.V.. Observe que já na primeira mudança de plano transferimos os

planos (α) e (β), pois se conhecemos a reta horizontal pertencente a eles, então conhecemos

a direção do traço horizontal. Já na segunda mudança de plano, veja que os traços verticais

de (α) e (β) devem passar sobre H1’ e V1’ que coincidem. (fig.164)

6. Tornar paralelas as projeções verticais das retas (A)(B) e (C)(D) e depois

determinar o ângulo entre elas.


120

Observe na fig.165 que as retas são reversas. Devemos passar por (A)(B) um plano

paralelo a (C)(D), pois assim, poderemos transformar esse plano em plano de topo onde,

conforme se vê na fig. 165, as projeções verticais ficam paralelas como pedido.

Veja no diedro:

Fig.165

O problema também pede para mostrar o ângulo entre as retas. Então, observe na

fig.166 que podemos fazê-lo transformando o plano (α) em horizontal. Pois se o plano (α)

é horizontal, as projeções das retas irão mostrar direto em épura (na projeção horizontal) o

ângulo γ formado entre elas.


121

Veja:

Fig.166

Sejam as retas (A)(B) e (C)(D) como as da figura 167. Vemos que são reversas e não

possuem as projeções verticais paralelas. Usaremos o método acima (figs. 165 e 166) para

tornar paralelas as projeções verticais e também determinar o ângulo entre as retas.


122

Fig.167

Para traçar (α) paralelo a (C)(D) e que contenha (A)(B), temos que traçar uma reta

(s) paralela a (C)(D) e concorrente com (A)(B), assim, (α) é o plano formado por (A)(B) e

(s). Agora, transformamos esse plano em plano de topo, pois se um plano de topo é

paralelo a uma reta, as projeções verticais das retas que pertencem a ele serão paralelas à

projeção vertical da reta (C)(D), como visto na fig. 165. Para transformar o plano (α) em

plano de topo, basta pegar uma reta horizontal desse plano e transformar em reta de topo a

partir de uma M.P.V. temos então as projeções verticais de (A)(B) e (C)(D) paralelas no

segundo sistema.

Para achar o ângulo formado entre as retas, transformamos o plano (α) em um plano

horizontal através de uma M.P.H.. Achamos então, o ângulo γ formado entre as retas.

(fig.167)

Obs.: Observe que na fig.167 podemos encontrar a distância entre duas retas reversas

justamente quando fazemos as projeções verticais paralelas, também é possível passar uma

reta perpendicular a essas duas retas quando achamos o ângulo entre elas, a reta

perpendicular a elas seria uma vertical que passa sobre o ponto de interseção das projeções

horizontais no terceiro sistema de coordenadas.


123

7. Determinar a projeção vertical do triângulo (A)(B)(C) sabendo que o ângulo B é

reto. A{0; 3; 1} (B) {2,1,0} (C){3,-1,?}

Fig.168

Observe na fig. 168 que não foi dada a cota do ponto (C). Sabemos que o ângulo B

é reto, mas não podemos simplesmente traçar um ângulo de 90° em B e achar a projeção

C’, pois as retas (A)(B) e (B)(C) não são paralelas a qualquer dos planos de projeção,

como no Teorema projetivo do ângulo reto. Então, para poder colocar um ângulo reto em

B, temos que ter uma das retas paralela a um dos planos de projeção. Transformaremos

(A)(B) em frontal através de uma M.P.V.. Agora, podemos traçar B’1C’1 perpendicular a

A’1B’1, pois A’1B’1 é frontal. Fazendo isso, achamos a cota de (C), basta transferir para o

primeiro sistema de coordenadas e traçar a projeção vertical do triângulo. Observe que o

ângulo B não é reto no primeiro sistema.


124

23. ROTAÇÃO

É um método descritivo que consiste em girar, numa trajetória circular, uma das

projeções em torno de um eixo que pode ser vertical ou de topo. A projeção que não é

rotacionada segue uma trajetória linear e paralela a ππ’.

Devemos lembrar que nesse método, os planos de projeção ficam fixos.

→ Eixo vertical:

Fig.169

Na fig.169 temos um eixo vertical (e) e giramos o ponto (P) em torno dele. Observamos


125

que a projeção horizontal rotaciona e a projeção vertical segue uma trajetória linear e

paralela a ππ’. Obtemos então uma nova projeção horizontal P e uma nova projeção

vertical P’.

Veja nas figs.169 e 170 que essa rotação descreve um arco de circunferência de raio R

igual à distância entre o ponto e o eixo.

→ Eixo de topo:

Fig.170

Na fig.170 rotacionamos o ponto (P) em torno de um eixo de topo (e). Observe que


126

a projeção vertical rotacionou e obtemos P’, e a projeção horizontal percorreu uma

trajetória linear paralela à ππ’ e obtemos P.

Ex: Transformar a reta (A)(B) em uma reta frontal, rotacionando-a em torno de um eixo

convenientemente escolhido.

Sabemos que uma frontal tem afastamento constante, então temos que tornar a

projeção horizontal paralela à ππ’. Observe na fig.171 que faremos uma rotação da

projeção horizontal, logo o eixo será vertical.

Vamos passar o eixo sobre o ponto (A), pois assim, esse ponto continuará no

mesmo lugar após a rotação. Feito a rotação de B achamos B e na mesma linha de chamada

encontramos B’ com a mesmo cota de antes. Como o ponto (A) pertence ao eixo, A e A’

coincidem com A e A’ respectivamente. Obtemos então (A)(B) que é frontal.

Observe que nesse exemplo achamos a V.G. da reta.

Fig.171

E se o eixo for dado?


127

Ex: Em torno de um eixo dado, transformar a reta (A)(B) em frontal.

Agora devemos rotacionar a reta toda. Então o raio de rotação será a distância da

projeção horizontal do eixo até a projeção horizontal da reta. Prolongando a reta para achar

a distância achamos (O), rotacionamos esse ponto achando O, para achar A e B, basta

medir a distância entre A e O e entre B e O e transferir para a reta rotacionada, que terá sua

projeção horizontal paralela a ππ’. Podemos transferir a distância porque sabemos que a

rotação não deforma a projeção rotacionada. Depois de achar A e B, encontramos também

A’ e B’ na mesma linha de chamada. Obtemos então a V.G. da reta.

Veja que, como as projeções horizontais giram o mesmo ângulo, sem se deformar,

quando o raio R, perpendicular a AB for rotacionado até ficar perpendicular a ππ’, AB

ficará paralela a ππ’, ou seja, (A)(B) será frontal.

Observe que poderíamos ter encontrado duas soluções, pois o ponto (O) poderia ser

rotacionado até chegar ao ponto superior da circunferência.

Fig.172

Ex2: Rotacionar o ponto (A) em torno de um eixo de topo até que ele pertença ao

plano (α).


128

Sabemos pela pertinência de ponto ao plano, que para um aponto pertencer a um plano, ele

deve pertencer a uma reta do plano. Logo, nesse problema, devemos rotacionar o ponto até

que ele pertença a uma reta do plano.

Fig.173

Como foi dado um eixo de topo, sabemos que a projeção horizontal do ponto rotacionado

terá o mesmo afastamento. Então, temos que escolher uma reta que passe por A e tenha

afastamento constante, essa reta é uma frontal. Feito isso, basta rotacionar A’ até pertencer

a f’ que achamos A’, depois podemos encontrar A na mesma linha de chamada. Temos

então, o ponto (A) pertencendo ao plano (α) conforme pedido. (fig.173)

Rotação do plano:

Se tivermos que rotacionar um plano. Basta rotacionar os elementos que definem o

plano, por exemplo, uma reta e um ponto. Para facilitar, podemos escolher como reta o


129

traço ortogonal ao eixo e como ponto, aquele em que o eixo fura o plano.

Ex: Rotacionar em 90° o plano (α) no sentido horário, em torno de um eixo de topo.

Fig. 174

Na fig.174 achamos o ponto (O) onde o eixo fura o plano através de uma horizontal

(h) do plano concorrente com o eixo. Sabemos então que esse ponto fica fixo, já que ele

pertence ao eixo. Determinamos o raio de rotação, que será a distância da projeção vertical

do eixo até o traço vertical do plano. Rotacionamos 90° e achamos o novo traço vertical

απ’, que consequentemente nos fornece (J). Como conhecemos o traço vertical απ’ e

também o ponto (O) ≡ (O), podemos traçar uma horizontal (h1) por (O) que teremos a

direção do traço horizontal. Como também conhecemos o ponto (J), podemos determinar o

traço horizontal απ.

Ex2: Transformar (α) em plano de topo

Sabemos que para transformar (α) em plano de topo, temos que girar o traço


130

horizontal até que ele fique perpendicular a ππ’. Logo, podemos concluir que devemos usar

um eixo vertical. Escolhemos um eixo vertical qualquer e encontramos o ponto (O) onde

ele fura o plano. Já sabemos que como o ponto (O) pertence ao plano e ao eixo, ele não

gira na rotação, mas continua pertencendo ao plano (α).

Agora basta achar o raio de rotação, que é a distância entre a projeção horizontal do eixo

até o traço horizontal do plano e rotacionar. Encontramos então o novo traço horizontal απ

e o ponto (J). Como conhecemos o ponto (O) e o ponto (J) do plano e ainda sabemos que

devemos chegar a um plano de topo, então traçamos απ’ sobre O’ e J’ já que o plano de

topo é projetante.

Fig.175

→ Agora transforme o plano (α) de topo que foi encontrado no exemplo anterior em

um plano horizontal.

Se o plano (α) em questão fosse um plano qualquer, teríamos que fazer duas


131

rotações, uma para transformar (α) em plano de topo e em seguida outra para transformá-lo

em plano horizontal.

Fig.176

Como já sabemos, um plano horizontal tem apenas o traço vertical e esse é paralelo

a ππ’. Então, concluímos que vamos usar um eixo de topo, pois queremos rotacionar o

traço vertical. Não precisamos achar o ponto (O) nesse caso, pois basta rotacionar o traço

vertical e deixá-lo paralelo a ππ’, já que esse plano não tem traço horizontal. Achamos

então απ. (fig.176)

Ex3: Rotacionar (A)(B) até ficar contida em (α).

Na fig.177 temos que rotacionar (A)(B) até ela ficar contida em (α). Para isso,

vamos achar o ponto (I) onde a reta fura o plano e passar por esse ponto o eixo, pois assim

garantimos que pelo menos esse ponto (I) não irá girar e continuará pertencendo ao plano e

a reta. Usaremos um eixo de topo. Vamos rotacionar o ponto(B) para que ele fique contido

no plano, pois se (B) e (I) pertencem à reta e estão contidos no plano, então a reta inteira

pertence ao plano. Para que (B) fique pertencendo, ele deve pertencer a uma reta de (α),

que nesse caso é uma frontal. Devemos usar uma frontal que passe por B, pois como a

frontal tem afastamento constante, quando rotacionamos B’ para que ele pertença a f’,


132

consequentemente B fica pertencendo a f, já que B percorrerá uma trajetória linear devido

ao uso de um eixo de topo. Como sabemos que a rotação não deforma o objeto, então A’B’

continuará com o mesmo tamanho de A’B’, assim, para achar A’, basta usar esse artifício,

depois, na mesma linha de chamada achamos A e então (A)(B) pertence ao plano.

Fig.177

Ex4: Rotacionar o plano (α) até que ele contenha a reta (A)(B).

Na fig.178 temos que fazer (α) conter (A)(B). Vamos passar o eixo pelo ponto (I)

onde (A)(B) fura (α), pois assim, garantimos que (α) contém um ponto da reta e depois da

rotação esse ponto não muda de lugar, já que ele também pertence ao eixo. Escolhemos um


133

eixo vertical. Agora achamos o raio que é a distância do eixo até απ e traçamos uma

circunferência. Como sabemos que (α) deve conter (A)(B), então seus traços dever passar

sobre os traços da reta. Como temos um eixo vertical, estamos rotacionando a projeção

horizontal, então basta fazer απ tangente à circunferência e passando por H1 que é o traço

horizontal de (A)(B). Temos agora απ, como conhecemos (J) e sabemos que a reta já está

pertencendo ao plano, pois o plano já contém (I) e (H1) que são dois pontos da reta,

devemos passar απ’ pelo traço vertical V1’ da reta. Agora temos (α) que contém (A)(B).

Observe poderíamos ter outra resposta, pois o traço pode ser tangente a dois pontos da

circunferência quando passa por H1 a segunda resposta seria (α1).

Fig.178

Obs.: Podem existir casos que não conseguimos resolver os problemas com determinado

eixo, quando isso acontece, devemos mudar o eixo que certamente o problema será

resolvido.

Ex: O último exemplo não poderia ser resolvido por um eixo de topo, pois o traço vertical

da reta ficaria dentro da circunferência, ficando inviável fazer o traço do plano tangente a


134

circunferência e passando pelo traço da reta.


135

24. REBATIMENTO

É um método descritivo que nos possibilita enxergar uma figura em verdadeira

grandeza. Nesse método, rotacionamos o plano que contém a figura em torno da interseção

com o plano de rebatimento até esse coincidir com o plano de rebatimento. Como sabemos

que as figuras de planos paralelos aos planos de projeção são projetadas em V.G.. O plano

de rebatimento será sempre frontal ou horizontal.

Veja:

Vemos que quando um plano é paralelo a um dos planos de projeção, suas figuras são

projetadas em V.G..

Fig.179

→ Rebatimento visto no espaço


136

Fig.180

1. Rebatemos sempre o plano que contém a figura da qual queremos obter a V.G..

2. O rebatimento consiste numa rotação do plano a ser rebatido em torno de uma

charneira, que significa dobradiça.

3. A charneira é a interseção do plano da figura com o plano frontal ou horizontal

sobre o qual iremos rebater.

4. Sempre rebatemos sobre um plano frontal ou horizontal, pois assim conseguimos

ver a figura em V.G..

Rebatimento de um ponto (P) que pertence a um plano de topo


137

Fig.181

Fig.182


138

Observe nas fig.181 e 182 que temos um plano de topo (α), e vamos rebater o ponto

(P) que pertence a (α) sobre o plano horizontal (π). Logo, a charneira é a interseção de (α)

com (π), que é o próprio traço horizontal απ do plano (α). Veja que o raio de rotação é a

soma vetorial da distância h do ponto (P) até o plano de rebatimento com a distância

d da projeção horizontal do ponto até a projeção horizontal da charneira (triângulo

de rebatimento).

Ex.: Rebater a reta (A)(B) sobre um plano horizontal (β)

Como queremos rebater (A)(B), temos que rebater um plano que contenha essa reta.

Então fazemos um plano (α) que contenha (A)(B). Depois, temos que encontrar a charneira

que é a interseção do plano de rebatimento (β) com o plano da figura (α). (fig.183)

Fig.183

Agora, achamos a interseção de (β) com (α), que será a charneira (reta horizontal).


139

Basta fazer o procedimento de soma de vetores com d e h que achamos R e rebatemos. A

reta A1B1 é (A)(B) em V.G.. Observe que rebatemos A para um lado e B para o outro

lado, isso acontece, pois cada ponto está de um lado da charneira, então, na hora de rebater,

cada ponto cai de um lado da charneira. Veja também que o ponto rebatido sempre cai

numa perpendicular à charneira. (fig.183)

Esse exemplo pode ser resolvido de outra maneira menos trabalhosa, passando por (A)(B)

um plano (α) vertical no lugar do qualquer usado na fig.183. (fig.183.1)

Fig.183.1

Observe na fig.183.1, que o exercício fica simplificado, isso porque a distância d fica

resumida em apenas um ponto, então traçamos h paralela (nesse caso coincidente) à

charneira e ligando d com h temos R ( o triângulo de rebatimento fica resumido em uma


140

reta), que terá o mesmo tamanho de h. Rotacionando R, achamos o ponto rebatido. Esse

método é usado para os pontos (A) e(B).

Como já foi dito, podemos também rebater sobre um plano frontal, vejamos:

Fig.184

Usamos o mesmo procedimento do rebatimento sobre um plano horizontal, a soma

de vetores, só que agora, chamamos d a distância da projeção vertical da charneira até

a projeção vertical do ponto e de h a distância entre o ponto (P) e o plano de

rebatimento (triângulo de rebatimento).


141

Fig.185

Ex: Determinar a V.G. do triângulo (A)(B)(C) rebatendo-o sobre um plano frontal (β) de

afastamento 2.

Temos que achar a charneira que é a interseção do plano que contém o triângulo

com o plano (β) de rebatimento. Achamos a charneira e agora basta rebater os pontos.


142

Como temos três pontos, o rebatimento pode trazer muita imprecisão. Então, como

sabemos que o ponto (1) e (2) pertence ao plano que contém o triângulo e também à

charneira, esses pontos permaneceram no mesmo lugar, então basta rebater um ponto e

usar esse artifício para achar os outros.

Fig.186

Ex1: Rebater a reta (A)(B) sobre o plano horizontal (α) de cota 2.

Devemos rebater o plano que contém a reta (A)(B) sobre o plano (α), portanto,

temos que encontrar um plano (β) que contenha (A)(B).

Veja na fig.187 que o plano (β) contém (A)(B). Agora, devemos a charneira, que é


143

a interseção de (β) com (α). Feito isso, usamos o triângulo de rebatimento para achar (A)1

e (B)1, encontramos então a V.G da reta (A)(B).

Fig.187

Ex2: Rebater o triângulo (A)(B)(C) sobre o plano frontal (α).

O triângulo (A)(B)(C) define o plano que devemos rebater, logo, temos que

encontrar a interseção do triângulo com o plano (α), assim achamos a charneira.

Encontramos a charneira que é a reta (1)(2) e sabemos que, como os pontos (1) e


144

(2) pertencem tanto ao triângulo quanto a charneira, eles estarão no mesmo lugar após o

rebatimento. Sabendo disso, podemos rebater apenas um ponto e depois achar os outros,

pois já vimos que um ponto rebatido cai sempre sobre uma perpendicular a charneira.

Assim diminuímos a imprecisão. Achamos então o triângulo (A)1(B)1(C)1, que é a V.G do

triângulo (A)(B)(C).

Fig.188


145

25. ALÇAMENTO

O alçamento é o inverso do rebatimento, pois temos a V.G. de um objeto e

queremos encontrar as projeções.

Nos problemas de alçamento, primeiramente rebatemos o plano da figura obtendo

as “porções úteis” dos diedros (ver abaixo). Dentro da respectiva porção útil se desenha a

V.G. e usando as retas auxiliares desenhadas e suas respectivas épuras obtemos as

projeções da figura.

→ Porções úteis dos diedros:

Fig. 189

Para rebater o plano podemos usar um atalho, pois no lugar de achar a distância d e


146

h podemos escolher um ponto V’ sobre o traço vertical e fazer uma circunferência com o

raio igual à distância de V’ até (T). Achamos o lugar por onde (απ’)1 passa através de uma

perpendicular a charneira a partir de V, como fazemos no rebatimento com o triângulo.

Observe que podemos utilizar o método do triângulo de rebatimento ou o atalho que

chegamos à mesma resposta.

→ Retas auxiliares para o alçamento:

Fig. 190

Qualquer ponto (A) de projeções A e A’ será rebatido em (A)1.

(r) e (s) são retas horizontais auxiliares.

Se o rebatimento é feito sobre o plano vertical, então as auxiliares são frontais.


147

Ex: determinar as projeções de um triângulo eqüilátero (A)(B)(C) contido no plano (α)

tendo (C) a maior abscissa.

(T) pertence a (α), (T){0,0,0}

απ’= 60

απ= -30 (A) {2,?,1} (B) {4,?,0}

Fig.191

Primeiro rebatemos (A) com o auxilio de (r) e temos (B)≡(B)1, já que B’ está sobre

a L.T..

Temos um lado do triângulo e conseguimos então achar o triângulo inteiro, isso pelo fato

de ele ser eqüilátero. Agora, alçamos (C)1 e encontramos (C) com o auxílio de (s).

Temos o triângulo em épura. (fig.191)


148

26. PROBLEMAS MÉTRICOS

Em problemas métricos iremos determinar a V.G. de um segmento de reta ou um

ângulo. Usaremos os métodos descritivos vistos.

Iremos ver:

• Distância entre dois pontos;

• Distância entre reta e ponto;

• Distância entre um plano e um ponto;

• Distância entre duas retas;

• Distância entre dois planos paralelos;

• Ângulo entre duas retas;

• Ângulo entre uma reta e um plano;

• Ângulo entre dois planos;

1. Distância entre dois pontos

Quando quisermos a distância entre dois pontos, podemos traçar um segmento de

reta que passe pos eles e transformar esse segmento em frontal ou horizontal, pois assim

estaremos encontrando a V.G. do segmento, que é a distância d que nos interessa.

Ex.: Encontrar a distância ‘d’ entre (A) e (B).


149

Fig. 192

Usando o procedimento de M.P.H. (fig.192) encontramos a distância ‘d’ entre (A) e

(B), já que a reta horizontal tem a projeção vertical em V.G.

2. Distância entre reta e ponto

• Se a reta for paralela a um dos planos de projeção (horizontal, frontal, fronto-

horizontal, vertical ou de topo).

Devemos então traçar, a partir do ponto, uma perpendicular a reta e encontrar o ponto

(I) de interseção da reta com a perpendicular. Assim, basta transformar a perpendicular

em frontal ou horizontal e achar a sua V.G. que obtemos a distância ‘d’ desejada.

Ex.: Encontre a distância ‘d’ entre (A)(B) e (C).


150

Fig.193

Observe na fig.193 que a reta (A)(B) é frontal, logo, para achar a distância entre (C)

e (A)(B), traçamos uma perpendicular a (A)(B), que é (C)(I) e então, através de uma

rotação(ver fig.171) transformamos (C)(I) em horizontal encontrando a V.G. que é igual à

‘d’.

Ex.: Encontre a distância entre (r) e (A).

Fig. 194

Note que neste caso (fig.194), a reta (r) é vertical. Não precisamos fazer M.P. nem


151

rotação, pois achamos direto a distância ‘d’. Isso acontecerá com as retas de topo e

verticais.

• Se a reta for qualquer ou de perfil.

Basta transformar a reta em frontal ou horizontal e usar o mesmo procedimento

anterior.

Ex.: Encontre a distância ‘d’ entre a reta (A)(B) e o ponto (C).

fig.195

Observe na fig.195 que temos uma reta qualquer, então, através de uma M.P.H.

transformamos (A)(B) em horizontal(ver fig.150). Não podemos esquecer que o ponto (C)

também muda na M.P. Agora, traçamos uma perpendicular à (A)(B) que é (C)(I).

Transformamos a reta (C)(I) em horizontal através de uma rotação em torno de um eixo

que passa por (I). Encontramos então a distância ‘d’ que é I1C1.

Ex.: Encontre a distância entre (A)(B) e (M).


152

Fig.196

Observe na fig.196 que a reta (A)(B) é de perfil. Transformamos em horizontal

através de uma M.P.H., não podemos esquecer de passar (M) para o novo sistema também.

Traçamos uma perpendicular a (A)(B) por (M) e encontramos (I). Agora, através de uma

rotação em torno de (M), transformamos (M)(I) em frontal e encontramos a distância ‘d’

que é M’I’.

3. Distância entre um plano e um ponto.


153

• Se tivermos um plano projetante, não precisamos utilizar nenhum método

descritivo, achamos direto a distância ‘d’.

Ex.: Encontre a distância entre (α) e (A).

Fig. 197

Veja na fig.197 que temos um plano projetante de topo. Então traçamos uma

perpendicular por (A) e achamos (I), que pertence ao plano. Lembre-se que (A)(I) será a

distância se a reta for frontal, horizontal ou fronto-horizontal, dependendo do plano.

• Se o plano for qualquer, traçamos uma perpendicular ao plano a partir do ponto e

achamos a V.G. da perpendicular.


154

Ex.: Determine a distância entre (α) e (A).

Fig. 198

Observe na fig.198 que (α) é qualquer, então passamos por (A) uma perpendicular à

(α). Neste caso, para encontrar o ponto (I), devemos lembrar que ele deve pertencer ao

plano, pois queremos a distância entre (A) e o plano, logo, para fazer (I) pertencer a (α),

traçamos um plano projetante (β) sobre a perpendicular e achamos (H)(V) que é a

interseção de (α) e (β). Assim, encontramos (I) que é o ponto de concorrência de (H)(V) e a

perpendicular (ver traço de reta sobre plano). Após encontrar (I), transformamos (A)(I) em

horizontal através de uma rotação e encontramos ‘d’.

• Se o plano for paralelo à L.T. devemos rebater o plano na abscissa de (A) e

encontrar a distância ‘d’.

Ex.: Encontrar a distância entre (α) e (A).


155

Fig. 199

Veja na fig.199 que (α) é paralelo à L.T., então rebatemos (α) na abscissa de (A) e

rebatemos também o ponto (A). Agora basta traçar uma perpendicular ao plano que

encontramos ‘d’.

• Se o plano passa pela L.T. fazemos o mesmo procedimento anterior.

Ex.: Encontre a distância de (α), definido por (M) e a linha de terra, até o ponto (A).

Fig. 200

Veja na fig.200 que fazemos o mesmo procedimento do exemplo anterior, porém,

“levamos” (M) até a abscissa de (A) para rebater.

4. Distância entre duas retas.

• Se as retas forem paralelas.


156

Através de uma M.P., transformamos as retas em frontais ou horizontais e então

traçamos uma perpendicular as duas retas, assim, através de uma rotação, encontramos

a V.G. desse segmento que será ‘d’.

Ex.: Encontre a distância entre (r) e (s).

Fig. 201

Observe que tínhamos duas retas paralelas na fig.201, então através de uma M.P.V.

transformamos ambas as retas em frontal(ver fig.145). Assim, traçamos (I)(J) que é

perpendicular aos traços verticais e que representa a distância ‘d’. Após isso, rotacionamos

(I)(J) em torno de (I) e transformamos em frontal para achar a V.G.. I’J’ é a distância


157

procurada.

• Se as retas forem reversas.

- E as duas forem horizontais ou frontais:

Temos a distância direto em épura.

Ex.: Ache a distância entre (h1) e (h2).

Fig.202

Veja na fig.202 que as retas (h1) e (h2) são reversas e (h1) passa por cima de (h2). A

distância entre as retas é a perpendicular aos traços verticais (observe isso no espaço com a

ajuda de canetas e do diedro).

- E uma das retas é vertical ou de topo:

Vemos a distância direto em épura.

Ex.: Encontre a distância entre (t) e (r).


158

Fig. 203

Observe que temos uma reta de topo e outra qualquer na fig.203. A distância ‘d’ é

encontrada diretamente quando traçamos uma perpendicular à r’ a partir de t’.

- E as duas retas são de perfil:

Encontramos ‘d’ diretamente.

Ex.: Encontrar o segmento que representa a distância entre (p) e (q)


159

Fig. 204

Veja que rebatemos as retas e encontramos o ponto onde as retas têm as mesmas cotas e

afastamentos, então, alçamos esse ponto e encontramos a distância ‘d’.

- E as retas são quaisquer:

Se quisermos a distância entre (r) e (s) quaisquer, então temos que transformar uma

das retas em reta de topo ou vertical através de uma M.P., pois assim caímos no caso de ter

uma reta de topo ou vertical e outra qualquer, onde podemos encontrar a distância direto

em épura.

Ex.: Encontre a distância entre (r) e (s) quaisquer.


160

Fig. 205

Observe na fig.205 que (r) e (s) são quaisquer e reversas. Então, definimos os pontos (A) e

(B) sobre (r) e os pontos (C) e (D) sobre (s). Fazemos uma M.P.H. pra transformar (r) em

horizontal e depois uma M.P.V. para transformar (r) em reta de topo. Não podemos

esquecer de transferir (s) para o novo sistema em cada M.P.. Após as duas M.P. temos uma

reta de topo e outra qualquer, então a distância entre elas é a perpendicular a s’1 a partir de

r’1.

5. Distância entre dois planos paralelos.

• Se os planos forem de topo ou verticais.


161

Teremos a distância direto em épura.

Ex.: Determine a distância entre (α) e (β).

Fig.206

Veja na fig. 206 que (α) e (β) são de topo e a distância entre eles é a distância entre os

traços verticais.

• Se os planos forem quaisquer.

Se os planos forem quaisquer, basta transforma-los em planos de topo ou verticais e

proceder do mesmo modo do exemplo anterior.


162

Ex.: Encontre a distância entre (α) e (β).

Fig. 207

Veja na fig.207 que os planos (α) e (β) foram transformados em planos verticais através de

uma M.P.H.. Assim encontramos a distância d entre eles no segundo sistema de

coordenadas.

• Se os planos forem paralelos à L.T..

Se os planos forem paralelos à L.T devemos rebate-los para encontrar a distância.

Ex.: Encontre a distância entre (α) e (β).


163

Fig. 208

Veja na fig.208 que os planos são paralelos à L.T., então rebatemos os planos e

encontramos a distância d entre eles que é igual à distância entre os planos rebatidos.

6. Ângulo entre duas retas.

• Se as retas forem concorrentes.

Para achar o ângulo entre duas retas concorrentes basta rebater o plano que elas

formam, pois assim, teremos o ângulo representado em V.G..

Ex.: Encontre o ângulo θ entre (r) e (s).


164

Fig. 209

Veja na fig.209 que temos duas retas quaisquer (r) e (s) que concorrem no ponto (I).

Traçamos uma horizontal (h) que seja concorrente com (r) e (s) e então escolhemos essa

horizontal para ser a charneira. Rebatemos o ponto (I) e depois, como (1) e (2) pertencem à

charneira, eles ficarão no mesmo lugar, então ligamos (I)1 com 2 e temos (s)1 e ligamos

(I)1 com 1 e temos (r)1. O ângulo θ é o ângulo entre (s)1 e (r)1.

• Se as retas forem reversas.

Para encontrar o ângulo entre duas retas (r) e (s) reversas, devemos tomar uma reta (t)

paralela à (s) e que seja concorrente com (r), assim o ângulo entre (r) e (s) será igual ao

ângulo entre (r) e (t).

Ex.: Encontre o ângulo θ entre (r) e (s).


165

Fig. 210

Observe que (r) e (s) são reversas na fig.210. Assim, tomamos a reta (t) paralela à (s) e

concorrente com (r) em (I). Escolhemos (h) para ser a charneira e rebatemos as retas (t) e

(r). Encontramos o ângulo entre (r) e (t) que é igual ao ângulo θ entre (s) e (r).

7. Ângulo entre uma reta e um plano

Para achar o ângulo entre a reta (r) e o plano (α) devemos passar um plano por (r)

que seja perpendicular à (α). Para tanto, devemos traçar uma reta (s) concorrente com (r) e

perpendicular à (α) e então fazer uma plano (β) que contenha (s) e (r). Agora, o ângulo

entre (r) e (α) é igual ao ângulo entre a reta (r) e a reta interseção de (α) com (β).

Ex.: Encontre o ângulo entre (r) e (α).


166

Fig.211

Observe na fig.211 que temos a reta (r) e queremos encontrar o ângulo que ela forma com

(α). Traçamos uma reta (s) que seja perpendicular a (α) e concorrente com (r) em (I), então

achamos os traços (H) e (V) de (r) e (H1) e (V1) de (s). Traçamos um plano (β) que

contenha (s) e (r), logo ele será perpendicular à (α), pois (s) é perpendicular à (α) (ver

perpendicularismo). Devemos encontrar a interseção de (α) com (β), então, usando duas

horizontais (h) e (h1), encontramos o primeiro ponto de interseção (N), o ponto (M)

encontramos devido à interseção dos traços horizontais. Agora temos (M)(N) e (r), então

basta encontrar o ângulo entre essas duas retas através de um rebatimento sobre uma plano

horizontal, pois o ângulo entre (α) e (r) é igual ao ângulo entre (r) e (M)(N).


167

8. Ângulo entre dois planos

• Se os planos forem de topo ou verticais

Achamos o ângulo direto sem usar nenhum método descritivo.

Ex.: Encontre o ângulo entre (α) e (β).

Fig. 212

Observe na fig.212 que (α) e (β) são planos de topo, portanto o ângulo entre eles é igual ao

ângulo formado entre os traços verticais, já que esses planos são projetantes. Se os planos

fossem verticais, então o ângulo entre eles seria igual ao ângulo entre os traços horizontais.

• Se os planos forem quaisquer

Devemos transformar os dois planos em planos de topo ou verticais ao mesmo tempo.

Para isso, encontramos a reta interseção dos dois planos e transformamos em horizontal

ou vertical.

Ex.: Determine o ângulo entre (α) e (β).


168

Fig. 213

Observe na fig.213 que termos dois planos quaisquer. Achamos (H)(V) que é a reta

interseção de (α) com (β) e através de uma M.P.H. transformamos (H)(V) em horizontal,

note que no segundo sistema os planos ainda são quaisquer. Fazemos uma M.P.V. e

transformamos (H)(V) em reta de topo, logo, transferindo (α) e (β) para o terceiro sistema,

vemos que eles viraram planos de topo, assim encontramos o ângulo formado entre eles

igualmente feito na fig.212.

• Se os planos forem paralelos à L.T..

Basta rebater os planos para encontrar o ângulo θ entre eles.


169

Ex.: Determine o ângulo entre (α) e (β).

Fig. 214

Veja na fig.214 que apenas rebatemos (α) e (β) (paralelos à linha de terra) sobre a mesma

linha de chamada e encontramos θ.


170

27. APLICAÇÃO DA GEOMETRIA DESCRITIVA EM TELHADOS

Uma das dificuldades do engenheiro civil é a cobertura das edificações. A

Geometria Descritiva pode ser utilizada com vantagens para solucionar telhados, pois

tratam-se de planos que se interceptam.

Veja a fig.215, ela mostra a altura de qualquer ponto do telhado. Observe que as retas

(A)(B) e (E)(F) são fronto-horizontais e (C)(D) e (H)(G) são de topo, logo elas estão

projetadas em V.G., as demais retas são determinadas com um simples cálculo de triângulo

pitagórico. Assim, o engenheiro pode calcular a quantidade de madeira necessária para

caibros e pontaletes.

Fig. 215


171

28. EXERCÍCIOS

•••• Pontos

1. Dar a épura dos seguintes pontos:

(A) – mais perto de (π) do que de (π’); (B) – no (π’S);

(C) – no (π’I); (D) – no (πA); (E) – no (πP).

2. Dar a épura dos seguintes pontos:

(A) – no (βI); (B) – no (βP);

(C) – no II diedro; (D) – no III diedro;

(E) – no IV diedro.

• Simetria

3. Dado o ponto (A) [2;1;4].

Faça a épura de um ponto: (B) – simétrico à (A) em relação à (π);

(C) – simétrico à (A) em relação à (π’);

(D) – simétrico à (A) em relação ao (βP);

(E) – simétrico à (A) em relação ao (βI).

• Retas

4. Traçar uma reta frontal que diste três unidades de medida de (π’), que contenha o

ponto (A) (pertencente ao (βP)) e o ponto (B) (situado no (πA)).

5. Dada a reta (A)(B), faça sua épura, encontre seus traços e os diedros por onde ela

passa. (A) [2;1;3]; (B) [6;5;-2].

6. O ponto (A) está no (βI). Passe por ele uma reta (B)(C).

(A) [4;?;4]; (B) [-6;0;1]; (C) [10;?;?].


172

7. Traçar a épura das seguintes retas:

* Uma reta de perfil que contenha (A)[2;1;1) e esteja no (βI);

* Uma reta horizontal que contenha um ponto pertencente ao (π’S);

* Uma reta de topo que contenha um ponto pertencente ao (π’I);

* Uma reta frontal de afastamento nulo;

* Uma reta qualquer que contenha (B) (cota igual à duas vezes o afastamento) e

(C) (pertencente ao (πP).)

8. Desenhar a épura de uma reta que passe pelo II, III e IV diedros.

• Posições relativas

9. Por (A), traçar uma reta paralela à (B)(C).

(A) [4;?;?]; (B) [0;3;2]; (C) [10;-1;-3].

10. Traçar duas retas (A)(B) e (C)(D) concorrentes.

(A)[4;0;-4]; (B)[12;2;4]; (C)[12;3;2]; (D)[2;?;1].

11. Traçar por (A), duas retas concorrentes e que sejam respectivamente paralelas a

outras duas reta (B)(C) e (D)(E).

(A)[2;2;3]; (B)[6;-4;-1]; (C)[0;1;3]; (D)[8;2;0]; (E) [-2;4;2].

• Planos, RMD e RMI

12. O plano (α) é definido por (A)(B) e (C), encontre os traços desse plano.

(A)[0;4;6]; (B)[5;1;2]; (C)[9;0;4]

13. Encontre os traços do plano definido pelos pontos (A), (B) e (C).

(A)[-3;10;5]; (B)[2;2;3]; (C)[5;5;7]


173

14. Encontre os traços do plano definido pela sua RMD (A)(B). Não use os traços da

reta.

(A)[3;4;7]; (B)[10;0;2]

15. Sabendo que (α) é definido pela reta de perfil (A)(B) e pela RMI (B)(C), encontre

os traços de (α) e a projeção horizontal da RMI.

(A)[4;2;5]; (B)[4;7;1]; (C)[10;?;7]

16. Encontre a RMD de (α) definido por (A)(B)(C). Não use os traços do plano.

(A)[3;4;0]; (B)[10;2;5]; (C)[12;7;3]

17. Encontre a RMI de (α) definido pelas retas (A)(B) e (C)(D). Não use os traços do

plano.

(A)[4;6;2]; (B)[9;1;5]; (C)[6;8;4]; (D)[11;3;7]

• Paralelismo

18. Por (A), fazer uma reta (A)(B) que seja paralela a um plano que contém (C) e passa

pela L.T.

(A)[2;4;5]; (B)[5;?;?]; (C)[7;2;3]

19. Fazer uma plano paralelo a (B)(C) e que contenha (A).

(A)[0;2;3]; (B)[6;7;5]; (C)[10;0;1]

20. Fazer passar um plano pelo ponto (A) que seja paralelo à reta (B)(C).

(A)[2;3;2]; (B)[7;4;5]; (C)[7;1;0]

21. Fazer um plano paralelo à (A)(B) e (C)(D).

(A)[-1;3;5]; (B)[4;0;1]; (C)[10;6;3]; (D)[7;2;0]


174

22. Fazer uma reta paralela aos planos (α) e (β). (α) é definido por (A)(B)(C) e (β) é

definido por (D)(E)(F). Não determine os traços do plano.

(A)[-2;0;4]; (B)[4;5;5]; (C)[7;2;0];

(D)[3;3;3]; (E)[9;5;0]; (F)[15;0;4]

• Interseção de planos

23. Encontre a interseção de (α) com (β) quaisquer que tenham um ponto (T) [4;0;0]

em comum.

24. Sejam dois plano (α) e (β) que contêm (T) [0;0;0] e (J) [6;0;0] respectivamente,

achar a interseção dos planos.

απ’= 45° βπ’= 30°

απ = -30° βπ = -135°

25. Encontre a interseção de (α) com (β).

Cota: απ’= 2 βπ’= 5

Afast.: απ = 4 βπ = 1

26. Encontre a interseção de um plano (α) que contém o ponto (T) com outro plano

dado por sua RMD. (A)(B) é a RMD.

απ’= 60° απ = -30° (T) [2;0;0] (A) [0;2;4] (B) [6;3;1]

27. Sabendo que (A)(B) e (C)(D) são retas paralelas que definem um plano, determine

a interseção desse plano com um plano vertical (α) que contém (T).

(A) [0;2;3] (C) [6;3;1] (T) [8;0;0]

(B) [6;1;0] (D) [0;4;4] απ = -135°

28. Encontre a interseção de um plano definido pelos pontos (A)(B)(C) com outro

plano (α) que passa por (T) e é de perfil.

(T) [4;0;0] (A) [0;3;1] (B) [8;5;0] (C) [6;0;4]


175

29. Determine a interseção de (α) com (β) dados pelas retas concorrentes (A)(B) e

(B)(C) e (D)(E) e (E)(F) respectivamente. Não use os traços dos planos.

(A) [0;2;0] (C) [8;0;4] (E) [2;3;4]

(B) [6;-1;2] (D) [10;5;2] (F) [12;2;5]

• Traço de reta sobre plano

30. Encontre o traço de (A)(B) sobre (α) que contém (T).

(A) [10;2;4] απ’= 120° απ = -135°

(B) [0;-3;-2] Dica: Para conferir se sua resposta está certa, verifique se

(T) [6;0;0] M e M’, que é o ponto onde (A)(B) fura o plano,

estão sobre a mesma linha de chamada.

31. Encontre o ponto onde (A)(B) fura (α) que é paralelo à linha de terra.

(A) [4;3;4] cota: απ’= 1

(B)[10;0;2] afast.: απ = 4

32. Encontre o ponto que (A)(B) fura o plano definido pelas retas (C)(D) e (D)(E).

(A) [0;2;4]; (C) [4;5;-2]; (E) [2;1;7]; (B) [8;4;0]; (D) [10;1;0]

33. Encontre o ponto onde a reta de perfil (A)(B) fura o plano (α), sendo que (α) é

perpendicular ao (βP) e contém o ponto (T)[2;0;0].

(A) [6;4;3] (B) [?;1;0] απ’= 45°

• Ponto comum a três planos

34. Encontre o ponto comum aos planos (α) qualquer, (β) paralelo à linha de terra e (γ)

de perfil. Obs.: Faça esse exercício para diversos planos diferentes.


176

35. Encontre o ponto comum aos planos (α) qualquer, (β) paralelo à linha de terra e (γ)

definido pelos pontos (A), (B) e (C) quaisquer. Obs.: Faça esse exercício para

diversos planos diferentes.

• Perpendicularismo

36. Por (A) traçar um plano perpendicular à (B)(C).

(A) [4;2;1]; (B) [6;2;4]; (C) [0;5;2]

37. Passar por (M) uma perpendicular ao plano definido por (A)(B)(C) sem usar os

traços do plano.

(A) [4;3;0]; (B) [10;1;4]; (C) [0;2;3]; (M) [6;3;5]

38. Por (A), traçar uma reta perpendicular à (α) que é paralelo à linha de terra.

(A)[2;3;4] cota: απ’= 3 afast.: απ = 5

39. Fazer por (C) um plano perpendicular a reta de perfil (A)(B).

(A) [0;4;2]; (B) [0;2;5]; (C) [3;2;4]

40. Por (M) fazer uma reta perpendicular a (A)(B) de perfil.

(A) [3;5;4]; (B) [3;2;0]; (M) [6;1;6]

• Mudança de plano

41. Fazer com que (A) fique no segundo diedro através de M.P. Faça isso para o

terceiro e quarto diedros também. (A) [3;2;4]

42. Fazer o ponto (A) pertencer ao (βI) através de M.P. (A) [0;4;3]

43. Tornar a reta (A)(B) horizontal através de M.P.

(A) [4;4;0]; (B) [10;2;3]


177

44. Tornar a reta (A)(B) frontal através de M.P.

(A) [2;3;4]; (B) [2;1;0]

45. Através de uma M.P., faça com que (A)(B) fique perpendicular a (π’).

(A) [4;4;1]; (B) [8;-1;3]

46. Faça uma M.P. para que a reta (A)(B) pertença ao (βI).

(A) [0;-4;2]; (B) [8;3;0]

47. Sabendo que (M) pertence à (A)(B) de perfil, encontre a outra projeção de (M)

através de M.P. (A) [6;4;1]; (B) [?;0;5]; (M) [6;?;3]

48. Fazer com que o plano definido por (A)(B)(C) fique frontal através de M.P.

(A) [4;4;0]; (B) [10;2;3]; (C) [6;-2;4]

49. Fazer com que as projeções horizontais de (A)(B) e (C)(D) fiquem paralelas através

de M.P. (A) [0;5;0]; (B) [6;2;3]; (C) [4;3;3]; (D) [12;4;1]

50. Tornar o plano (α) paralelo a L.T. através de M.P. sendo (α) qualquer.

51. Fazer com que o plano (α) que pela L.T. se torne vertical através de uma M.P. O

ponto (A) pertence a (α). (A) [2;4;1]

52. Transformar o plano (α) em plano de perfil, (α) é qualquer.

53. Transformar o plano o plano definido por (A)(B)(C) em plano de topo sem achar

os traços do plano. Verifique resolvendo com os traços.

(A) [4;4;3]; (B) [0;1;0]; (C) [10;6;4]


178

54. Fazer a reta (A)(B) pertencer ao (βP) por M.P.V.

(A) [4;3;5]; (B) [12;0;1].

Veja o que acontece para os pontos (A) [4;4;5]; (B) [6;5;1].

55. Tornar a reta (A)(B) de perfil em uma horizontal de cota nula. (Jogue os

afastamentos para o lado direito da 2ª L.T.).

Verifique o que esse procedimento tem a ver com o rebatimento da reta de perfil.

• Rotação

56. Faça o ponto (A) pertencer ao (βI) através de uma rotação em torno do eixo (e) de

topo. (A) [4;3;0]; (e) [10;?;3]

57. Faça com que o ponto (A) fique com o afastamento igual ao dobro da cota através

de uma rotação em torno do eixo (e) vertical.

(A) [6;4;1]; (e) [8;3;?]

58. Faça o ponto (A) pertencer à reta (B)(C) através de uma rotação.

(A) [4;4;1]; (B) [8;0;2]; (C) [0;3;0]

59. Fazer o ponto (A) pertencer ao plano (α) através de uma rotação. (T) pertence a (α).

(A) [6;1;2]; (T) [0;0;0]; απ’= 60° απ = -30°

60. Encontre as novas projeções de (A)(B) quando a rotacionamos 90° no sentido inti-

horário em torno do eixo de topo (e).

(A) [6;2;1]; (B) [0;4;2]; (e) [8;?;3]

61. Transformar a reta (A)(B) em frontal através de uma rotação.

(A) [0;3;0]; (B) [8;4;5];


179

62. Fazer com que a reta (A)(B) fique de perfil através de uma rotação.

(A) [10;4;3]; (B) [4;2;5]

63. Fazer com que a reta (A)(B) contenha (C) através de uma rotação.

(A) [4;4;3]; (B) [8;4;0]; (C) [10;0;0]

64. Fazer com que a reta de perfil (A)(B) fique contida em (α) através de uma rotação.

(T) pertence a (α). απ’= 150° απ = -130°

(A) [6;0;0]; (B) [6;4;5]; (T) [10;0;0]

65. Fazer com que a reta (A)(B) pertença a (α) através de rotação. (T) pertence a (α).

απ’= 120° απ = -150°

(A) [0;4;0]; (B) [8;1;5]; (T) [6;0;0]

66. Fazer com que a reta (A)(B) fique contida em (α) (paralelo à L.T.) através de uma

rotação. (A) [0;4;3]; (B) [8;2;0]; cota: απ’= 4 afast.: απ = 4

67. Girar (α) em torno de um eixo vertical até torná-lo de topo. (T) pertence a (α).

απ’= 60° απ = -45°

(T) [0;0;0] (e) [6;2;?]

68. Fazer a reta de perfil (A)(B) pertencer a (π’). Verifique o que esse procedimento

tem a ver com o rebatimento da reta de perfil.

69. Fazer o plano qualquer (α) ficar paralelo à L.T. por meio de uma rotação.

70. Girar o plano (α) até que ele contenha (A). (T) pertence a (α).

απ’= 45° απ = -60° (T) [0;0;0] (A) [8;2;4]

71. Girar o plano (α) até que ele contenha a reta (A)(B) qualquer.


180

• Rebatimento

72. Rebater a reta (A)(B) sobre (π) para encontrar sua V.G.

(A) [4;2;5]; (B) [10;0;2]

73. Rebater a reta (A)(B) sobre uma plano paralelo a (π’) com afastamento 3.

(A) [0;4;0]; (B) [10;2;5]

74. Determine a V.G. de (A)(B)(C) através de rebatimento sobre um plano paralelo a

(π) de cota 4.

(A) [0;2;6]; (B) [12;5;0]; (C) [8;0;3]

75. Rebater o triângulo (A)(B)(C) sobre (π’).

(A) [4;3;4]; (B) [8;5;2]; (C) [14;1;3]

• Alçamento

76. Qual a V.G. e as projeções do quadrado (A)(B)(C)(D). (A)(B) pertence a um plano

qualquer que contém o ponto (T) [7;0;0].

(A) [0;4;2]; (B) [3;0;2]

77. Determine a V.G. e as projeções de um triângulo eqüilátero (A)(B)(C). (A)(B)

pertence a um plano qualquer e (B) está sobre o traço do plano.

(A) [0;3;4]; (B) [6;0;2]

78. Conhecendo as projeções (A)(B) de um quadrado (A)(B)(C)(D) situado em um

plano vertical, encontre a V.G. e as projeções desse quadrado.

(A) [0;4;5]; (B) [4;2;2]


181

• Problemas métricos

79. Encontre a distância entre (A) e (B).

(A) [2;3;4]; (B) [6;0;5]

80. Encontre a distância entre (A) e (B).

(A) [4;5;2]; (B) [2;0;1]

81. Encontre a distância entre a reta (A)(B) e o ponto (C).

(A) [0;4;0]; (B) [6;4;5]; (C) [4;0;2]

82. Encontre a distância entre a reta (A)(B) e o ponto (C).

(A) [0;3;0]; (B) [9;5;2]; (C) [3;0;5]

83. Encontre a distância entre (A)(B) e (C)(D) paralelas.

(A) [5;2;1]; (B) [0;0;4]; (C) [2;2;6]; (D) [7;4;3]

84. Achar a distância entre (A)(B) e (C)(D) reversas.

(A) [0;5;2]; (B) [3;0;7]; (C) [5;2;0]; (D) [7;0;5]

85. Encontre a distância entre (A)(B) e (C)(D).

(A) [2;5;2]; (B) [7;0;2]; (C) [0;2;5]; (D) [8;4;5]

86. Encontre a distância entre dois planos quaisquer e paralelos (α) e (β).

87. Encontre o ângulo entre as retas (A)(B) e (B)(C) concorrentes.

(A) [0;3;0]; (B) [5;7;2]; (C) [8;1;4]

88. Encontre o ângulo entre as retas (r) e (s) quaisquer e reversas.


182

89. Encontre o ângulo entre a reta (A)(B) e o plano (α).

απ’= 60° απ = -45°

(A) [3;4;0]; (B) [8;1;5]

90. Determinar sobre (α), qualquer, uma reta (A)(B) que tenha declive de 30°. Sendo a

abscissa de (A) menor do que a de (B) e a cota de (A) maior do que a de (B).

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GEOMETRIA DESCRITIVA