Professora Teresa Sacarrão

Curso Cientifico - Humanístico/Curso de Ciências e Tecnologias Turma C/11ºano

GEOMETRIA DESCRITIVA A

Ficha de Trabalho nº3 – Perpendicularidade e Ortogonalidade

Exercícios

Perpendicularidade e ortogonalidade entre rectas

Perpendicularidade ≠ Ortogonalidade

Perpendicularidade - Rectas perpendiculares são complanares e as suas direcções são ortogonais (são concorrentes, fazendo 90º entre si).

Ortogonalidade - Rectas ortogonais não pertencem ao mesmo plano (não são complanares) mas são paralelas a duas rectas perpendiculares (complanares).

Atenção – rectas perpendiculares no espaço não apresentam necessariamente qualquer situação de perpendicularidade nas suas projecções, por exemplo, quando pertencem a um plano oblíquo ou a um plano de rampa.

Teorema das três perpendicularidades – para que duas rectas sejam perpendiculares ou ortogonais entre si, uma delas é paralela a um dos planos de projecção; as projecções das duas rectas nesse plano são perpendiculares entre si.

Ortogonalidade entre rectas e planos

Uma recta é ortogonal a um plano se a sua direcção é ortogonal à orientação do plano.

Critério da ortogonalidade entre rectas e planos

- Uma recta é ortogonal a um plano se e só se (sse) for ortogonal a duas rectas concorrentes do plano.

- Um plano é ortogonal a uma recta se e só se (sse) contiver duas rectas concorrentes ortogonais à recta dada.

=> Uma recta ortogonal a um plano, tem as suas projecções perpendiculares aos traços homónimos do plano.

Teorema da ortogonalidade entre rectas e planos – uma recta ortogonal a um plano é ortogonal a todas as rectas desse plano.

Ortogonalidade entre planos

Dois planos são ortogonais se forem secantes e formarem, entre si, diedros rectilíneos de 90º - as suas orientações ortogonais.

Critério de ortogonalidade entre planos – dois planos são ortogonais se o segundo plano contiver uma recta ortogonal ao primeiro.

Planos ortogonais aos planos bissectores

- Para que um plano seja ortogonal ao 13, tem de ser ortogonal a uma recta do 13.

- Um plano ortogonal a uma recta de 13 tem os seus traços perpendiculares às projecções homónimas da recta.

- (igual para o 24)

=> Planos ortogonais ao β13 - planos ortogonais ao β13 têm os seus traços simétricos em relação ao

eixo x.

=>Planos ortogonais ao β24 - planos ortogonais ao β24 têm os seus traços coincidentes.

Professora Teresa Sacarrão

Exercícios

1. É dada uma recta horizontal e um ponto P (3; 4; 3), exterior à recta. A recta h faz um ângulo de 30º (a. e.)

com o PFP (XZ) e passa pelo ponto T (-2; 3; 1,5). Determine as projecções de uma outra recta horizontal, h’,

que passa por P e é ortogonal a h.

2. É dada uma recta horizontal, h, que passa pelo ponto Q (0; 3; 2) e faz um ângulo de 30º (a. d.) com o PFP

(XZ). É dado, também, um ponto P (-2; 3; 4), exterior à recta. Determine as projecções de uma recta oblíqua,

r, que passa por P, é ortogonal a h e cuja projecção frontal faz um ângulo de 45º (a. e.).

3. Sejam dados uma recta t, de topo, e um ponto P (2; 2; 3), exterior à recta. A recta de topo tem 2 cm de

cota e passa pelo ponto Q com 1 cm de afastamento e abcissa nula. Determine as projecções de uma recta

frontal, f, que é ortogonal a t e passa pelo ponto P.

4. São dados uma recta f, frontal, e um ponto P (0; 5; 3). A recta f contém o ponto M (-2; 3, 2) e faz um ângulo

de 50º (a. e.) com o PHP (XY). Por P conduza uma recta a oblíqua, ortogonal a f, sabendo que a sua

projecção horizontal faz um ângulo de 40º (a. e.).

5. São dados dois pontos, A ( 2; 2; 4) e B ( -1; 4; 2), e uma recta vertical, v, que contém o ponto A. Desenhe as

projecções de uma recta p, ortogonal a v, sabendo que p contém o ponto B e que a sua projecção horizontal

faz um ângulo de 45º (a. d.) com o eixo x.

6. São dados uma recta g, fronto - horizontal, com 4 cm de afastamento e 2 cm de cota, e um ponto P ( 2; 3).

Desenhe as projecções de uma recta p, qualquer, ortogonal a g e passando por P. Discuta o problema no

que respeita às hipóteses de resolução que existem.

7. É dada uma recta r, oblíqua e um ponto P (4; 4; 4). A recta r contém o ponto R (-1; 1; 4). A projecção frontal

da recta faz um ângulo de 50º (a. d.) com o eixo x. A projecção horizontal de r faz um ângulo de 30º (a. d.)

com o eixo x. Desenhe as projecções de uma recta horizontal, h, e de uma recta frontal, f, ortogonais à recta

r, sabendo que ambas passam pelo ponto P.

8. É dado um plano oblíquo α. O traço frontal de α faz um ângulo de 20º (a. e.) com o eixo x, sendo

concorrente com este num ponto com abcissa nula. O traço horizontal de α faz um ângulo de 45º (a. e.).

Determine as projecções de uma recta p, ortogonal a α e passando por P (3,5; 2; 4).

Professora Teresa Sacarrão

9. São dados um plano de topo θ, que faz um diedro de 40º (a. d.) com PHP ( XY). O traço horizontal de θ

tem 3 de abcissa. Determine as projecções de uma recta p, ortogonal a θ, passando por P ( -1; 3; 5). De que

recta se trata?

10. São dados um plano de rampa ρ, e um ponto A (3; 5). Os traços horizontal e frontal de ρ, têm

respectivamente, 4 cm de afastamento e 2 cm de cota. Determine as projecções de uma recta p, que passa

por A e é ortogonal a ρ.

11. É dada uma recta r, oblíqua, e um ponto P (2; 2; 3). A recta r contém o ponto M (4; 1,6; 2,1) e as suas

projecções fazem ângulos de 60º (a. d.) e 45º (a. d.) com o eixo x, respectivamente a projecção horizontal e

a projecção frontal. Determine os traços de um plano oblíquo α, ortogonal a r e passando por P.

12. Determine as projecções de uma recta s, sabendo que:

- a recta s é oblíqua, ortogonal à recta r e passa por P (-1; 2,5; 3,5);

- a projecção horizontal da recta s faz um ângulo de 30º (a. e.) com o eixo x.

- a recta r é oblíqua e passa pelo ponto A (-3; 3; 2);

- as projecções horizontal e frontal da recta r fazem, respectivamente, ângulos de 40º (a. e.) e 55º (a. e.)

com o eixo x;

13. É dado um plano α e um ponto P (-2; 4; 3). O plano α corta o eixo x num ponto com -4 de abcissa. Os seus

traços frontal e horizontal fazem, com o eixo x, ângulos de 60º (a. d.) e 45º (a. e.), respectivamente.

Determine os traços de um plano δ, ortogonal a α e passando por P. Sobre δ sabe-se que o seu traço frontal

faz um ângulo de 70º (a. d.) com o eixo x.

14. É dada uma recta frontal f, que faz um ângulo de 30º (a. e.) com o PHP (XY) e tem 3 cm de afastamento.

Determine os traços do plano α, ortogonal ao β24 e que contém f.

15. Repita o exercício anterior pretendendo-se que o plano α seja ortogonal ao β13.