GEOMETRIA DESCRITIVA APLICADA AOS SÓLIDOS .1 GEOMETRIA DESCRITIVA APLICADA AOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

  • View
    215

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of GEOMETRIA DESCRITIVA APLICADA AOS SÓLIDOS .1 GEOMETRIA DESCRITIVA APLICADA AOS SÓLIDOS...

  • 1

    GEOMETRIA DESCRITIVA APLICADA AOS SLIDOS

    GEOMTRICOS

    Paulo Srgio Brunner Rabello

    Professor Adjunto da Universidade do Estado do Rio de Janeiro

    Ex-Professor Efetivo da Universidade Federal Fluminense

    Ex-Professor da Universidade Santa rsula Livre-Docente em Construo Civil

    Especializado em Geometria e Representao Grfica

  • 2

    APRESENTAO

    Este livro pode ser considerado como uma aplicao da Geometria Descritiva Bsica s figuras geomtricas clssicas, especificamente, poliedros, superfcies curvas (cilindros, cones e esferas) e hlices cilndricas.

    Inicialmente, dada uma idia geral do que sejam curvas e superfcies, caracterizando e classificando suas diversas formas, descrevendo seus elementos geomtricos mais importantes e comentando suas principais propriedades. A preocupao, no caso, foi dar ao leitor uma idia geral sobre tais assuntos, facilitando o entendimento dos captulos seguintes.

    Foi introduzido, tambm, o conceito de superfcie linear que definida como superfcie gerada (ou constituda) por linhas. A partir da, so consideradas superfcies retilneas quelas geradas exclusivamente por retas.

    Superfcies curvilneas so aquelas geradas exclusivamente por curvas, entendendo-se como superfcies curvirretilneas aquelas que podem ser geradas, tanto por retas, quanto por curvas.

    A denominao superfcie regrada como sinnimo de superfcie retilnea deve ser evitada, pois se trata de um equvoco. Afinal, se uma superfcie qualquer obedece a uma determinada regra, esta superfcie geomtrica pode ser considerada regrada.

    No estudo dos poliedros foi adotada a classificao do eminente professor Alcyr Pinheiro Rangel por concordarmos com a idia de que prismas e pirmides, por exemplo, que tm leis de gerao especficas e bem definidas, sejam jogados na vala comum dos poliedros irregulares.

    So estudados detalhadamente alguns poliedros regulares (tetraedro, octaedro e cubo), o cuboctaedro, os prismas e as pirmides, incluindo sees planas, planificao das superfcies e transformadas das sees.

    O dodecaedro e o icosaedro, regulares, assim como os poliedros estrelados, foram simplesmente mencionados, pois a representao de tais figuras, alm de exigir um longo texto explicativo e um tempo de execuo muito maior que os demais, no traz contribuio significativa para o objetivo deste trabalho.

    Os cones e os cilindros so caracterizados a partir das definies de superfcies cnicas e de superfcies cilndricas, de diretrizes circulares, respectivamente, sem deixar de mencionar que tais superfcies podem ser tratadas como curvilneas ou como superfcies de

  • 3

    revoluo. A esfera definida como lugar geomtrico e, tambm, como

    superfcie de revoluo. Alm do estudo detalhado das projees destas figuras, foram

    estudadas, tambm, as sees planas, a planificao de suas superfcies, as transformadas das respectivas sees e os casos de tangncia de planos a estas superfcies. A hlice cilndrica e os respectivos helicides (desenvolvvel, de plano diretor e de cone diretor) so do maior interesse para as reas das engenharias civil e mecnica e para a arquitetura e, por isso, so estudados detalhadamente.

    As hlices cnicas e esfricas so apenas mencionadas. Para complementar o trabalho, foi inserido um captulo

    destinado ao estudo das intersees de superfcies. Por ser um assunto extremamente importante e relativamente complexo, foi dado um tratamento especial de modo a torn-lo possvel de ser absorvido sem maiores dificuldades. Para tanto, as figuras foram colocadas em posies privilegiadas em relao aos planos de projeo possibilitando utilizar procedimentos semelhantes em qualquer caso.

    Como dissemos na apresentao do livro Geometria Descritiva Bsica, longe da pretenso de ser um tratado sobre o assunto, esperamos que as pessoas que derem continuidade ao estudo da Geometria Descritiva encontrem nesse trabalho uma fonte confivel de consulta e aos mais experientes no assunto, que formulem suas crticas e sugestes para que possamos oferecer, no futuro, um trabalho melhor.

    Finalizando, cabe, mais uma vez, um agradecimento especial aos ilustres professores Mendel Coifman, La Santos de Bustamante, Norbertino Bahiense Filho, Alcyr Pinheiro Rangel e Jos Luiz Marques Coelho da Silva.

  • 4

    AGRADECIMENTOS

    Aos meus pais, David e Lavnia, que me puseram no mundo e, com carinho, apoio e dedicao sem limites, fizeram de mim um homem tolerante, de carter, um cidado que se orgulha

    de suas origens, de sua famlia e de seus amigos..

    Aos meus mestres, especialmente Haroldo Lisboa da Cunha, La Santos de Bustamante, Mendell Coifman, Alcyr

    Pinheiro Rangel e Jos Luiz Marques Coelho, que, com pacincia e dedicao me despertaram o gosto pelas Cincias Exatas e,

    mais particularmente, pelas Geometrias.

    Cabo Frio, 5 de junho de 2006

  • 5

    NDICE CAPTULO I

    Curvas e Superfcies

    CAPTULO II

    Poliedros CAPTULO III

    Cones CAPTULO IV

    Cilindros CAPTULO V

    Esfera CAPTULO VI

    Hlice Cilndrica CAPTULO VII Interseo de Superfcies

  • 6

    Captulo I

    CURVAS E SUPERFCIES 1.0 - CURVAS

    1.1 - Definies

    Genericamente, pode-se definir linha como sendo a figura

    descrita pela trajetria de um ponto em movimento contnuo no espao. Se a cada dois pontos infinitamente prximos, o ponto muda de

    direo, a linha uma curva. Se, durante todo o movimento, o ponto no muda de direo, a

    linha uma reta. Se, por outro lado, ao descrever uma linha, o ponto muda de

    direo em espaos de tempo fixos ou intermitentes, a linha chamada poligonal.

    Como ser visto mais tarde, uma linha pode ser obtida por interseo de duas superfcies ou por projeo de uma outra linha.

    1.2 - Classificao

    1.2.1 - Quanto Gerao

    Curvas grficas so aquelas em que o movimento do ponto

    arbitrrio e, portanto, no obedecem a qualquer lei de gerao. So tambm chamadas curvas no geomtricas.

    Curvas geomtricas so aquelas que obedecem a uma lei de gerao e podem ser representadas por uma equao algbrica ou transcendente. A curva, nesse caso, traduz o lugar geomtrico dos pontos do espao que satisfazem a essa equao. 1.2.2 - Quanto Curvatura

    Curvas planas so aquelas cujos pontos so todos coplanares. O crculo e as cnicas (elipse, parbola e hiprbole) so

    exemplos tpicos de curvas planas (figs.1, 2 e 3).

  • 7

    fig. 1

    fig. 2

  • 8

    fig. 3

    Quando os pontos da curva no pertencem a um mesmo plano, a curva chamada reversa. A hlice cilndrica uma curva reversa (fig.4).

    fig. 4

  • 9

    1.3 - Elementos Geomtricos Gerais Secante qualquer reta que intercepta uma curva em pelo

    menos dois de seus pontos. O segmento da secante compreendida entre dois pontos da

    curva chamada corda. Tangente a uma curva num ponto a reta que tem somente este

    ponto em comum com a curva. Duas, ou mais curvas, so tangentes num ponto quando a

    tangente comum a todas as curvas nesse ponto (fig.5).

    fig. 5 Duas, ou mais curvas, podem ter inmeros pontos de tangncia. Normal num ponto da curva a perpendicular tangente

    curva nesse ponto. Assntota a tangente num ponto imprprio da curva. Linha diametral o lugar geomtrico dos centros de cada feixe

    de cordas paralelas de uma curva (fig.6).

  • 10

    fig. 6 Quando a linha diametral reta, chamada dimetro. Quando o dimetro perpendicular ao feixe de cordas paralelas

    chamado eixo. Centro de uma curva o ponto em relao ao qual cada ponto

    da curva tem o seu simtrico. O centro pode ser um ponto que pertena ou no curva. No

    crculo e na elipse, por exemplo, o centro no pertence curva, o que j no ocorre nas lemniscatas (fig.7).

    H curvas, como a parbola e as espirais (fig.8), que no possuem centro.

    Vrtices de uma curva so os pontos comuns curva e aos seus eixos.

    Focos so pontos que no pertencem curva mas que guardam relaes mtricas constantes com todos os pontos da curva.

    Na elipse, por exemplo, constante a soma das distncias de qualquer de seus pontos aos focos.

    As cnicas so curvas que possuem focos. Distncia focal a medida da distncia entre os focos de uma

    curva. Raio vetor o segmento que liga um foco a um ponto da curva. Ne elipse (fig.1), por exemplo, temos os seguintes elementos:

  • 11

    fig. 1

    S: secante O: centro RS: corda A, A, B, B: vrtices t: tangente F1, F2: focos n: normal F1 F2: distncia focal AA: eixo maior F1M, F2M: raios vetores BB: eixo menor Na parbola fig.2, destacam- se:

    fig. 2

    T: tangente V: vrtice

  • 12

    N: normal F: foco e: eixo FM: raio vetor

    J na hiprbole (fig.3), destacamos:

    a, a: assntotas O: centro xy: eixo transverso xy: eixo no transverso V1, V2: vrtices F1, F2: focos F1F2: distncia focal 1.4 - Pontos Singulares

    So pontos que gozam de propriedades geomtricas especficas. Ponto mltiplo aquele em que o ponto mvel que descreve a

    curva, passa por ele mais de uma vez (fig. 9-a). Ponto de inflexo aquele em que as tangentes conservam a

    mesma direo em dois pontos de seu entorno, vizinhos e opostos (fig. 9-b).

  • 13

    fig. 9-a fig. 9-b Ponto de reverso aquele em que as tangentes no conservam

    a mesma direo em dois pontos de seu entorno, vizinhos e opostos. Ponto anguloso aquele em que a tangente muda abruptamente

    de direo em dois pontos de seu entorno, vizinhos opostos.

    fig. 9-c