GEOMETRIA DESCRITIVA APLICADA AOS SÓLIDOS … · 1 GEOMETRIA DESCRITIVA APLICADA AOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Paulo Sérgio Brunner Rabello Professor Adjunto da Universidade do Estado

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GEOMETRIA DESCRITIVA APLICADA AOS SÓLIDOS

GEOMÉTRICOS

Paulo Sérgio Brunner Rabello

Professor Adjunto da Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Ex-Professor Efetivo da Universidade Federal Fluminense

Ex-Professor da Universidade Santa Úrsula Livre-Docente em Construção Civil

Especializado em Geometria e Representação Gráfica

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APRESENTAÇÃO

Este livro pode ser considerado como uma aplicação da Geometria Descritiva Básica às figuras geométricas clássicas, especificamente, poliedros, superfícies curvas (cilindros, cones e esferas) e hélices cilíndricas.

Inicialmente, é dada uma idéia geral do que sejam curvas e superfícies, caracterizando e classificando suas diversas formas, descrevendo seus elementos geométricos mais importantes e comentando suas principais propriedades. A preocupação, no caso, foi dar ao leitor uma idéia geral sobre tais assuntos, facilitando o entendimento dos capítulos seguintes.

Foi introduzido, também, o conceito de superfície linear que é definida como superfície gerada (ou constituída) por linhas. A partir daí, são consideradas superfícies retilíneas àquelas geradas exclusivamente por retas.

Superfícies curvilíneas são aquelas geradas exclusivamente por curvas, entendendo-se como superfícies curvirretilíneas aquelas que podem ser geradas, tanto por retas, quanto por curvas.

A denominação superfície regrada como sinônimo de superfície retilínea deve ser evitada, pois se trata de um equívoco. Afinal, se uma superfície qualquer obedece a uma determinada regra, esta superfície geométrica pode ser considerada regrada.

No estudo dos poliedros foi adotada a classificação do eminente professor Alcyr Pinheiro Rangel por concordarmos com a idéia de que prismas e pirâmides, por exemplo, que têm leis de geração específicas e bem definidas, sejam jogados na vala comum dos poliedros irregulares.

São estudados detalhadamente alguns poliedros regulares (tetraedro, octaedro e cubo), o cuboctaedro, os prismas e as pirâmides, incluindo seções planas, planificação das superfícies e transformadas das seções.

O dodecaedro e o icosaedro, regulares, assim como os poliedros estrelados, foram simplesmente mencionados, pois a representação de tais figuras, além de exigir um longo texto explicativo e um tempo de execução muito maior que os demais, não traz contribuição significativa para o objetivo deste trabalho.

Os cones e os cilindros são caracterizados a partir das definições de superfícies cônicas e de superfícies cilíndricas, de diretrizes circulares, respectivamente, sem deixar de mencionar que tais superfícies podem ser tratadas como curvilíneas ou como superfícies de

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revolução. A esfera é definida como lugar geométrico e, também, como

superfície de revolução. Além do estudo detalhado das projeções destas figuras, foram

estudadas, também, as seções planas, a planificação de suas superfícies, as transformadas das respectivas seções e os casos de tangência de planos a estas superfícies. A hélice cilíndrica e os respectivos helicóides (desenvolvível, de plano diretor e de cone diretor) são do maior interesse para as áreas das engenharias civil e mecânica e para a arquitetura e, por isso, são estudados detalhadamente.

As hélices cônicas e esféricas são apenas mencionadas. Para complementar o trabalho, foi inserido um capítulo

destinado ao estudo das interseções de superfícies. Por ser um assunto extremamente importante e relativamente complexo, foi dado um tratamento especial de modo a torná-lo possível de ser absorvido sem maiores dificuldades. Para tanto, as figuras foram colocadas em posições privilegiadas em relação aos planos de projeção possibilitando utilizar procedimentos semelhantes em qualquer caso.

Como dissemos na apresentação do livro Geometria Descritiva Básica, longe da pretensão de ser um tratado sobre o assunto, esperamos que as pessoas que derem continuidade ao estudo da Geometria Descritiva encontrem nesse trabalho uma fonte confiável de consulta e aos mais experientes no assunto, que formulem suas críticas e sugestões para que possamos oferecer, no futuro, um trabalho melhor.

Finalizando, cabe, mais uma vez, um agradecimento especial aos ilustres professores Mendel Coifman, Léa Santos de Bustamante, Norbertino Bahiense Filho, Alcyr Pinheiro Rangel e José Luiz Marques Coelho da Silva.

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AGRADECIMENTOS

Aos meus pais, David e Lavínia, que me puseram no mundo e, com carinho, apoio e dedicação sem limites, fizeram de mim um homem tolerante, de caráter, um cidadão que se orgulha

de suas origens, de sua família e de seus amigos..

Aos meus mestres, especialmente Haroldo Lisboa da Cunha, Léa Santos de Bustamante, Mendell Coifman, Alcyr

Pinheiro Rangel e José Luiz Marques Coelho, que, com paciência e dedicação me despertaram o gosto pelas Ciências Exatas e,

mais particularmente, pelas Geometrias.

Cabo Frio, 5 de junho de 2006

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ÍNDICE CAPÍTULO I

Curvas e Superfícies

CAPÍTULO II

Poliedros CAPÍTULO III

Cones CAPÍTULO IV

Cilindros CAPÍTULO V

Esfera CAPÍTULO VI

Hélice Cilíndrica CAPÍTULO VII Interseção de Superfícies

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Capítulo I

CURVAS E SUPERFÍCIES 1.0 - CURVAS

1.1 - Definições

Genericamente, pode-se definir linha como sendo a figura

descrita pela trajetória de um ponto em movimento contínuo no espaço. Se a cada dois pontos infinitamente próximos, o ponto muda de

direção, a linha é uma curva. Se, durante todo o movimento, o ponto não muda de direção, a

linha é uma reta. Se, por outro lado, ao descrever uma linha, o ponto muda de

direção em espaços de tempo fixos ou intermitentes, a linha é chamada poligonal.

Como será visto mais tarde, uma linha pode ser obtida por interseção de duas superfícies ou por projeção de uma outra linha.

1.2 - Classificação

1.2.1 - Quanto à Geração

Curvas gráficas são aquelas em que o movimento do ponto é

arbitrário e, portanto, não obedecem a qualquer lei de geração. São também chamadas curvas não geométricas.

Curvas geométricas são aquelas que obedecem a uma lei de geração e podem ser representadas por uma equação algébrica ou transcendente. A curva, nesse caso, traduz o lugar geométrico dos pontos do espaço que satisfazem a essa equação. 1.2.2 - Quanto à Curvatura

Curvas planas são aquelas cujos pontos são todos coplanares. O círculo e as cônicas (elipse, parábola e hipérbole) são

exemplos típicos de curvas planas (figs.1, 2 e 3).

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fig. 1

fig. 2

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fig. 3

Quando os pontos da curva não pertencem a um mesmo plano, a curva é chamada reversa. A hélice cilíndrica é uma curva reversa (fig.4).

fig. 4

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1.3 - Elementos Geométricos Gerais Secante é qualquer reta que intercepta uma curva em pelo

menos dois de seus pontos. O segmento da secante compreendida entre dois pontos da

curva é chamada corda. Tangente a uma curva num ponto é a reta que tem somente este

ponto em comum com a curva. Duas, ou mais curvas, são tangentes num ponto quando a

tangente é comum a todas as curvas nesse ponto (fig.5).

fig. 5 Duas, ou mais curvas, podem ter inúmeros pontos de tangência. Normal num ponto da curva é a perpendicular à tangente à

curva nesse ponto. Assíntota é a tangente num ponto impróprio da curva. Linha diametral é o lugar geométrico dos centros de cada feixe

de cordas paralelas de uma curva (fig.6).

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fig. 6 Quando a linha diametral é reta, é chamada diâmetro. Quando o diâmetro é perpendicular ao feixe de cordas paralelas

é chamado eixo. Centro de uma curva é o ponto em relação ao qual cada ponto

da curva tem o seu simétrico. O centro pode ser um ponto que pertença ou não à curva. No

círculo e na elipse, por exemplo, o centro não pertence à curva, o que já não ocorre nas lemniscatas (fig.7).

Há curvas, como a parábola e as espirais (fig.8), que não possuem centro.

Vértices de uma curva são os pontos comuns à curva e aos seus eixos.

Focos são pontos que não pertencem à curva mas que guardam relações métricas constantes com todos os pontos da curva.

Na elipse, por exemplo, é constante a soma das distâncias de qualquer de seus pontos aos focos.

As cônicas são curvas que possuem focos. Distância focal é a medida da distância entre os focos de uma

curva. Raio vetor é o segmento que liga um foco a um ponto da curva. Ne elipse (fig.1), por exemplo, temos os seguintes elementos:

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fig. 1

S: secante O: centro RS: corda A, A’, B, B’: vértices t: tangente F1, F2: focos n: normal F1 F2: distância focal AA’: eixo maior F1M, F2M: raios vetores BB’: eixo menor Na parábola fig.2, destacam- se:

fig. 2

T: tangente V: vértice

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N: normal F: foco e: eixo FM: raio vetor

Já na hipérbole (fig.3), destacamos:

a, a’: assíntotas O: centro xy: eixo transverso x’y’: eixo não transverso V1, V2: vértices F1, F2: focos F1F2: distância focal 1.4 - Pontos Singulares

São pontos que gozam de propriedades geométricas específicas. Ponto múltiplo é aquele em que o ponto móvel que descreve a

curva, passa por ele mais de uma vez (fig. 9-a). Ponto de inflexão é aquele em que as tangentes conservam a

mesma direção em dois pontos de seu entorno, vizinhos e opostos (fig. 9-b).

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fig. 9-a fig. 9-b Ponto de reversão é aquele em que as tangentes não conservam

a mesma direção em dois pontos de seu entorno, vizinhos e opostos. Ponto anguloso é aquele em que a tangente muda abruptamente

de direção em dois pontos de seu entorno, vizinhos opostos.

fig. 9-c

fig. 9-d

2 - SUPERFÍCIES Em princípio, podemos aceitar que a noção de superfície é

intuitiva, ou seja, que seu conceito pode considerado primitivo. Gaspar Monge, entretanto, definiu superfície como sendo "o limite da extensão a três dimensões".

Podemos também imaginar uma superfície como o lugar geométrico dos pontos comuns a dois semi-espaços.

2.1 - Classificações

2.1.1 - Quanto à Lei de Geração

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Superfícies não geométricas são aquelas que não obedecem a qualquer lei de geração e, por isso, não podem ser traduzidas por uma equação.

A superfície terrestre é o exemplo mais típico de superfície não geométrica o que acarretou chamar, genericamente, de superfície topográfica qualquer superfície não geométrica.

Superfícies geométricas são aquelas que obedecem a uma determinada lei de geração e, quando lugares geométricos, podem ser traduzidas por uma equação, algébrica ou transcendente.

Uma superfície geométrica pode ser obtida pelo deslocamento contínuo e ordenado de uma linha (curva, reta ou poligonal) no espaço.

De um modo geral, tal deslocamento obedece a uma das seguintes regras abaixo:

1º) A linha se apóia em outra e passa sempre por um ponto fixo; 2º) A linha se apoia em outra e se mantém constantemente

paralela a uma direção; 3º) A linha se apóia em duas outras e se mantém paralela a

um plano; 4º) A linha gira em torno de um eixo. A linha que se desloca é chamada geratriz da superfície. A linha

de apoio - que também pode ser curva, reta ou poligonal - é chamada diretriz da superfície.

Se a geratriz passa sempre num ponto fixo, a esse ponto dá-se o nome de vértice da superfície.

As classificações, a seguir, só dizem respeito às superfícies geométricas.

2.1.2 - Quanto à Forma:

Superfícies curvas são aquelas que não possuem porções planas

ao longo de sua extensão. São exemplos típicos de superfícies curvas as chamadas

superfícies de revolução, que são aquelas geradas por uma linha (reta, curva ou poligonal) que gira em torno de um eixo fixo (fig.10).

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fig. 10 fig. 11 As figuras constituídas exclusivamente por porções de

superfícies curvas são chamadas figuras curvas. A esfera é uma figura eminentemente curva, das mais

importantes (fig. 11). Superfícies poliédricas são aquelas formadas por, pelo menos,

três planos (ou porções de planos) de tal forma que, no máximo, dois planos se interceptem segundo uma mesma reta.

As superfícies poliédricas não apresentam porções curvas ao longo de sua extensão.

As figuras constituídas exclusivamente por porções de superfícies poliédricas são chamadas figuras poliédricas ou, em determinados casos, poliedros.

São exemplos de figuras poliédricas - poliedros, no caso - o cubo (fig.12a) e as pirâmides (fig.12b).

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Fig. 12-a fig. 12-b A superfície lateral de um cilindro, assim como a de um cone, é,

tipicamente, uma superfície curva. As suas bases, por outro lado, são porções planas. Por estas razões, tanto o cilindro (fig.13a) quanto o cone (fig.13b) são consideradas figuras mistas embora sejam tratados como se fossem superfícies eminentemente curvas.

fig. 13-a fig. 13-b 2.1.3 - Quanto à Natureza da Geratriz

As superfícies podem ser geradas pelo movimento contínuo de

uma linha no espaço, segundo uma determinada lei. As superfícies assim obtidas são chamadas superfícies lineares e podem ser geradas exclusivamente por retas, por curvas ou, tanto por retas, quanto por curvas.

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Superfícies retilíneas são aquelas geradas exclusivamente por retas.

Quando uma reta se desloca no espaço apoiada numa poligonal gera uma superfície poliédrica.

- Se a reta passa sempre por um ponto fixo a superfície é chamada piramidal (fig.14).

fig. 14 - Se a reta se desloca paralela a uma direção a superfície é

chamada prismática (fig.15).

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fig. 15

As superfícies poliédricas são as únicas que se caracterizam

como superfícies retilíneas. Superfícies Curvilíneas são aquelas geradas exclusivamente por

curvas. Algumas superfícies de revolução classificam-se como curvilíneas.

Observemos os seguintes casos: - A esfera, como superfície de revolução, é gerada por um círculo que gira em torno de um de seus diâmetros (fig.11);

fig. 16

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- O elipsóide de revolução é gerado por uma elipse que gira em torno de um de seus eixos (fig. 16);

- O toro circular é gerado por um círculo que gira em torno de um eixo que não contenha um de seus diâmetros (fig.17);

fig. 17 - A serpentina é gerada por círculo que se desloca

perpendicularmente a uma hélice cilíndrica que passa pelo seu centro (fig.18).

fig. 18

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Em nenhum dos casos acima, a superfície pode ser gerada por uma reta.

Superfícies curvirretilíneas são superfícies curvas que podem ser geradas, tanto por retas, quanto por curvas.

Quando a reta se desloca no espaço apoiada numa curva, gera uma superfície curva.

Se a reta passa sempre por um ponto fixo, a superfície é chamada cônica (fig.19).

fig. 19 Se a reta se desloca paralela a uma direção, a superfície é

chamada cilíndrica (fig.20).

fig. 20

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Nas condições acima as superfícies foram geradas por retas. Estas mesmas superfícies podem, também, ser geradas por

curvas. Quando o círculo é perpendicular a uma reta que passa pelo seu

centro e o seu raio aumenta linearmente a medida que ela se desloca, a superfície gerada é, também, uma superfície cônica.

Se o círculo se desloca nas mesmas circunstâncias acima, porém mantendo constante o seu raio, a superfície gerada é, também, uma superfície cilíndrica.

2.2 - Superfícies Desenvolvíveis

Superfícies desenvolvíveis ou planificáveis são aquelas que

podem ser planificadas sem que haja ruturas ou dobras ao longo de toda sua extensão.

As superfícies poliédricas, assim como as superfícies cônicas e as cilíndricas, são sempre desenvolvíveis.

O plano, por sinal, é um caso especial de superfície cônica ou cilíndrica, quando a diretriz é uma reta.

As superfícies não planificáveis são chamadas reversas (ou revessas).

O parabolóide de revolução é uma superfície reversa (fig.21).

fig. 21

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2.3 - Superfícies Fechadas e Abertas Superfície fechada é aquela que envolve integralmente um

espaço tridimensional finito. A esfera, o elipsóide e os poliedros são exemplos de superfícies

fechadas. Quando uma superfície fechada se materializa no espaço é

chamada corpo e, se dotado de massa, é considerado um sólido. São exemplos de superfícies abertas, o plano, os parabolóides,

os hiperbolóides e as superfícies reversas.

2.4 - Plano Tangente Plano Tangente a uma superfície num ponto, é o lugar

geométrico das tangentes a todas as curvas da superfície que passam pelo ponto.

2.5 - Normal

Normal a uma superfície num ponto, é a reta que passa pelo

ponto e é perpendicular ao plano tangente à superfície nesse ponto.

2.6 - Plano de Simetria Plano de Simetria de uma superfície é o plano em relação ao

qual a superfície é simétrica. Um plano que contenha um diâmetro de uma esfera é um plano de simetria dessa esfera.

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Capítulo II POLIEDROS 1.0 – CONSIDERAÇÕES INICIAIS 1.1 – DEFINIÇÃO

Poliedros são superfícies poliédricas fechadas, formadas por

porções de planos que se interceptam, duas a duas, segundo uma mesma reta.

São exemplos de poliedros, os definidos como poliedros regulares (tetraedro e octaedro, entre outros), os prismas e as pirâmides. 1.2 – PRINCIPAIS ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

• Faces: são as porções de planos mencionadas em 1.1 que, na realidade, são polígonos planos, regulares ou não.

• Arestas: são os segmentos de reta comuns a duas faces adjacentes.

• Vértices: são os pontos comuns das arestas pertencentes a faces adjacentes.

• Diagonais: são segmentos que ligam vértices não pertencentes a uma mesma face.

• Âgulos Poliédricos: são ângulos formados por arestas que convergem para um mesmo vértice e cuja medida é igual à soma dos ângulos planos formados por cada par de arestas coplanares.

• Gênero ou Ordem: é a característica definida pelo número de faces de um poliedro.

2.0 – POLIEDROS CONVEXOS

São considerados poliedros convexos aqueles que se situam integralmente no mesmo semi-espaço definido por qualquer de suas faces. Por essa razão, qualquer reta intercepta um poliedro convexo, no máximo, em dois de seus pontos.

Os poliedros que não atendem a tais condições são caracterizados como não convexos (fig.22).

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fig. 22

Dentre os poliedros não convexos destacam-se os poliedros

estrelados que são aqueles em que os planos de todas as faces seccionam o poliedro (fig.23).

fig. 23

2.1 – CLASSIFICAÇÃO DOS POLIEDROS CONVEXOS

Os poliedros são classificados da seguinte maneira:

• regulares • semi-regulares • multiformes • irregulares

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3.0 – POLIEDROS REGULARES

São aqueles cujas faces são polígonos regulares iguais e cujos ângulos poliédricos são, também, todos iguais (fig.24).

Como será visto adiante, só existem cinco poliedros regulares, a saber:

• tetraedro • octaedro • hexaedro (ou cubo) • dodecaedro • icosaedro

3.1 – CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA

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Como um ângulo poliédrico é medido pela soma dos ângulos

planos formados pelos pares de arestas que convergem para um mesmo vértice, sua medida está limitada a 360°. Quando esta soma atinge este valor, o ângulo é plano.

Além disso, para que seja formado um ângulo poliédrico, é necessário que convirjam para seu vértice, no mínimo, três arestas pertencentes a três faces adjacentes. No caso dos poliedros regulares, tais faces são, necessariamente, polígonos regulares.

Assim sendo, teoricamente, os poliedros regulares poderiam ser construídos a partir da contiguidade de triângulos equiláteros, quadrados, hexágonos e demais polígonos regulares.

Se a medida de um ângulo poliédrico está limitada a 360º, é de se supor que o número de poliedros regulares deverá, também, ser limitado.

Agrupando faces de polígonos regulares a partir de um número mínimo de três e multiplicando a quantidade desses polígonos (faces) pela medida do seu ângulo interno, vamos constatar que, de fato, apenas cinco poliedros regulares poderão ser formados.

Agrupando 3 triângulos equiláteros:

3 x 60º = 300º (<360º): tetraedro regular


4 x 60º = 240º (<360º): octaedro regular


5 x 60º = 300º (<360º): icosaedro regular


6 x 60º = 360º (impossível)

Como se pode ver, existem somente três poliedros regulares cujas faces sejam triângulos equiláteros.

Agrupando agora 3 quadrados:

3 x 90º = 270º (<360º): hexaedro regular ou cubo

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Agrupando 4 quadrados:


Assim, somente um poliedro regular pode ser formado por

quadrados. Agrupando 3 pentágonos regulares:

3 x 108º = 324º (<360º): (dodecaedro regular)

Agrupando 4 pentágonos regulares:


Deste modo, somente um poliedro regular pode ser formado por pentágonos regulares.

Doravante os ângulos internos dos polígonos regulares ficam cada vez maiores e multiplicados por 3 faces superarão, sempre, os 360º limitantes.

Assim sendo, existem apenas os poliedros regulares acima mencionados. 4.0– POLIEDROS SEMI-REGULARES

São poliedros que, pelas características de seus elementos, especialmente faces e ângulos poliédricos, são agrupados como:

I) Poliedros Equiangulares II) Poliedros Equifaciais

São considerados poliedros equiangulares aqueles cujos ângulos

poliédricos são todos iguais e as faces, polígonos regulares de gêneros diferentes.

Se cortarmos um cubo por planos que passam pelos pontos médios das arestas que convirjam para um mesmo vértice, as seções produzidas serão triâgulos equiláteros iguais e as faces resultantes serão quadrados menores e iguais. O poliedro assim formado é equiangular e chama-se cuboctaedro (fig.25).

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fig. 25

São considerados poliedros equifaciais aqueles cujas faces são todas

iguais - não necessariamente polígonos regulares - e seus ângulos poliédricos, também, não necessariamente iguais.

Se unirmos duas pirâmides retas e regulares por suas bases, obteremos uma pirâmide dupla reta, que é um exemplo de poliedro equifacial (fig.26).

fig. 26

5.0 – POLIEDROS MULTIFORMES

São poliedros que possuem lei de geração própria mas não podem ser classificados como poliedros regulares ou semi-regulares.

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Destes, os mais importantes são os prismas e as pirâmides. 5.1 – PRISMAS 5.1.1 – DEFINIÇÕES

Superfície prismática é aquela determinada por uma geratriz reta que se desloca no espaço apoiada numa diretriz poligonal, sempre paralela a uma mesma direção.

Se a poligonal diretriz é fechada e convexa e seccionamos a geratriz, em seu deslocamento, por dois planos paralelos, a superfície fica fechada e o poliedro resultante é caracterizado como prisma (fig.27).

fig. 27

As figuras determinadas pelos planos secantes paralelos são polígonos convexos iguais e de mesmo número de lados da poligonal diretriz.

As porções planas limitadas pela geratriz durante seu deslocamento são paralelogramos e definem as faces laterais do prisma.

Os polígonos resultantes das seções constituem as suas bases. Pelo exposto podemos concluir que as arestas laterais de um

prisma são todas iguais. Define-se como altura de um prisma, a distância medida entre os

planos de suas bases.

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5.1.2 – CLASSIFICAÇÃO

De um modo geral, os prismas são classificados como retos ou oblíquos.

Um prisma é considerado reto quando suas faces laterais são retangulares. Nesse caso, a altura do prisma é igual ao comprimento das arestas laterais.

Quando as faces são paralelogramos, o prisma é considerado

oblíquo. Um prisma pode ser classificado, ainda, como regular ou

irregular. Quando o prisma é reto e o polígono da base é regular, o prisma é

considerado regular. Nos prismas retos e regulares, as faces laterais são retângulos

iguais. 5.2 – PIRÂMIDES 5.2.1 – DEFINIÇÕES

Uma superfície piramidal é determinada por uma geratriz reta que se desloca no espaço apoiada numa poligonal, passando sempre por um ponto fixo chamado vértice da superfície

Se a poligonal é fechada e convexa e seccionamos a geratriz, em seu deslocamento, por um plano, a superfície fica fechada e o poliedro resultante é uma pirâmide.

A figura determinada pelo plano secante é um polígono convexo de mesmo número de lados da poligonal diretriz (fig.28).

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fig. 28

As porções planas limitadas pela geratriz durante seu deslocamento são triângulos que definem suas faces laterais.

O polígono da seção constitui a base da pirâmide. O ponto comum de encontro das arestas laterais é definido como

vértice da pirâmide. Define-se como altura de uma pirâmide a distância medida do

vértice ao plano da base. 5.2.2 - CLASSIFICAÇÃO

De um modo geral, as pirâmides são classificadas como retas ou oblíquas.

São retas quando as faces laterais são triângulos isósceles . Uma pirâmide pode ser classificada, ainda, como regular ou

irregular. Quando a pirâmide é reta e o polígono da base é regular, a

pirâmide é dita regular. Nas pirâmides regulares as faces laterais são necessariamente

iguais porque a base é um polígono regular. Logo, a projeção ortogonal do vértice no plano da base coincide com o centro do círculo que circunscreve/inscreve o polígono da base. 6 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 6.1 – PROJEÇÕES DE POLIEDROS

A representação gráfica de um poliedro resume-se, em princípio, em determinar as projeções de seus vértices.

Definidos os vértices, ficam automaticamente definidas as projeções das arestas e das faces. 6.1.1 – DESENVOLVIMENTO DA SUPERFÍCIE

Planificar um poliedro é assentar todas as suas faces sobre um mesmo plano.

Cada face deverá se justapor a, pelo menos, uma outra que lhe seja adjacente, segundo uma aresta comum.

Para que um poliedro seja planificado é exigido o conhecimento

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da verdadeira grandeza (VG) de todas as suas faces. O procedimento inicial consiste em eleger uma face como a

inicial e uma das arestas dessa face como a de partida. Em seguida justapõe-se à face inicial, uma que lhe seja adjacente.

Doravante, cada face deve ser justaposta à anterior, até a última. A planificação obedece a uma lógica tal que seja possível

construir, através de cortes e dobras, a figura volumétrica projetada em épura. 6.1.2 – SEÇÃO PLANA

Define-se como seção plana à figura (plana) obtida quando um plano secciona um poliedro.

Esta figura será, obrigatoriamente, um polígono convexo e será construída ligando-se os pontos de interseção do plano secante com as arestas do poliedro.

No caso específico dos prismas, chama-se seção reta àquela produzida por um plano perpendicular à direção das arestas laterais.

Todas as seções retas feitas num mesmo prisma são iguais. 6.1.3 – VISIBILIDADE DA SEÇÃO

A visibilidade dos lados de uma determinada seção depende exclusivamente da visibilidade das faces as quais pertençam. Daí, conclui-se que:

I) Se um lado da seção une duas arestas visíveis, este lado é sempre visível.

II) Se um lado da seção pertence a uma face invisível, este lado é invisível.

6.1.4 – TRANSFORMADA DA SEÇÃO

Chama-se transformada da seção à linha poligonal traçada sobre a superfície planificada do poliedro de tal maneira que, ao se dar corpo à figura projetada, cada lado da poligonal, dita transformada, corresponderá e terá o mesmo comprimento de um lado do polígono da seção produzida por um plano secante ao poliedro, limitado pelas mesmas arestas.

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6.2 – EXEMPLOS PRÁTICOS DIVERSOS 6.2.1 – PROJEÇÕES DO TETRAEDRO REGULAR

Seja, por exemplo, um tetraedro regular (ABCD), apoiado no PHP pela face (ABC), o poliedro que se quer representar através de suas projeções (fig.29).

fig. 29

Admitamos, ainda, as seguintes condições:

1º) A aresta (AB) está inclinada 45º à direita do observador (45ºD) em relação ao PVP sendo que o vértice (A) tem afastamento nulo e abcissa 50 mm; 2º) A aresta do tetraedro mede 60 mm e o poliedro encontra-se no 1º diedro. 6.2.1.2 – Projeções Ortogonais

Como a face (ABC) pertence ao PHP, ela coincide com sua própria projeção horizontal, ABC, e teremos então (fig.30): (A) ≡ A (B) ≡ B (C) ≡ C

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fig. 30

Logo, as coordenadas descritivas do vértice (A) são (50; 0; 0) e

suas projeções são imediatamente determinadas. O ângulo que a aresta (AB) faz com o PVP é o mesmo que sua

projeção horizontal, AB, faz com a linha de terra. A partir de A - projeção horizontal de (A) - traçamos uma semi-

reta fazendo 45º com a linha de terra de tal modo que a abertura do ângulo fique voltada para a direita e abaixo da linha de terra. Ainda a partir de A, medimos 60 mm sobre essa semi-reta e determinamos o ponto B, projeção horizontal do vértice (B).

Como sabemos, as faces de um tetraedro regular são triângulos equiláteros iguais.

A obtenção do ponto C, projeção horizontal do vértice (C) passa a ser um problema de desenho geométrico que consiste em construir um triângulo equilátero em que AB é o lado conhecido e C é o vértice a determinar.

Esse problema apresenta duas soluções sendo que, numa delas, o ponto C ficaria acima da linha de terra o que a invalida porque a projeção horizontal de (C) estaria no 2º diedro.

Utilizamos então a solução que mostra C abaixo da linha de terra. Traçando linhas de chamada por B e por C até a linha de terra,

determinamos B' e C', projeções verticais de (B) e (C).

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Ligando, com traço fino e leve, A a B e a C, esboçamos a projeço horizontal da face (ABC).

Fazendo o mesmo com A',B' e C', esboçamos sua projeção vertical. Da Geometria Espacial, sabemos que a projeção ortogonal de um vértice de um tetraedro regular sobre a face que lhe é oposta, coincide com o ortocentro do triângulo representativo desta face.

Assim sendo, dos vértices A e C, por exemplo, traçamos perpendiculares aos lados BC e AB, respectivamente. A interseção obtida é o ortocentro do triângulo ABC que, em suma, caracteriza o ponto D, projeção horizontal do vértice (D).

Ligando, também com traços finos e leves, o ponto D a A, a B e a C, esboçamos a projeção horizontal do tetraedro.

O problema agora é determinar D', projeção vertical de (D). Inicialmente, traçamos por D uma linha de chamada onde D',

obrigatoriamente, estará localizado. Como o tetraedro está apoiado pela face (ABC) no PHP, a

distância de (D) a essa face é a altura do tetraedro que aparece em VG no PVP, e é representada pela distância de D' à linha de terra.

O problema, agora, consiste, então, em determinar graficamente a altura do tetraedro regular.

Cada vértice da base (ABC) forma com o vértice (D) e sua projeção, D, nesta face, um triângulo retângulo de tal forma que: (A)D(D) = (B)D(D) = (C)D(D), onde (AD)=(BD) = (CD): hipotenusas (arestas do tetraedro); D : ângulo reto; (A)D = (B)D = (C)D: catetos menores; D(D): cateto comum (altura do tetraedro).

Voltamos a nos deparar com um problema de desenho geométrico que consiste em construir um triângulo retângulo do qual são conhecidos um cateto e a hipotenusa.

Temos que:

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(A)D = AD, (B)D = BD e (C)D = CD

Assim sendo, este problema pode ser resolvido diretamente na épura, sem necessidade de construções auxiliares.

Tomamos, por exemplo, o segmento CD (poderia ser BD ou AD, já que são todos iguais) e construímos por D uma perpendicular a AD.

Com centro em C e abertura do compasso igual à aresta do tetraedro (AB, BC e AC são arestas), traçamos um arco que ao interceptar a perpendicular construída por D, determina o ponto D1.

O segmento DD1 é a altura procurada. Na linha de chamada de DD', a partir da linha de terra e com

abertura igual a DD1, determinamos o ponto D', projeção vertical do vértice (D).

Ligando, ainda com traços finos e leves, D' a A', a B' e a C', esboçamos a projeção vertical do tetraedro.

Para complementar a representação, falta verificar a visibilidade das arestas. 6.2.1.3 – Visibilidade

Sabemos que: 1º) Os contornos aparentes das projeções, vertical e horizontal, são sempre visíveis; 2º) Em projeção vertical os pontos de maior afastamento são sempre visíveis; 3º) Em projeção horizontal os pontos de maior cota são sempre visíveis.

As linhas visíveis devem ser mais fortes e contínuas e mais espessas que as linhas de construção e de esboço das projeções.

As linhas invisíveis devem ter o mesmo padrão das visíveis, só que tracejadas.

A projeção vertical será concluída, considerando que: a) O contorno aparente vertical são os segmentos que ligam D', B' e C'. b) O vértice (C) tem o maior afastamento, fazendo com que a face D'B'C' seja toda visível encobrindo as faces D'A'B' e D'A'C'. Por isso, a

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aresta D'A' é invisível. c) As arestas A'B' e A'C'também são invisíveis, mas ficam encobertas pela aresta B'C'.

A projeção horizontal será concluída, considerando que: a) O contorno aparente horizontal é o triângulo ABC. b) O vértice (D) tem a maior cota, fazendo com que as faces DAB, DAC e DBC sejam todas visíveis. Por essa razão, as arestas BA, DB e DC são, também, visíveis. 6.2.1.4 - Seção Plana

Seja (α) um plano de topo que corta o tetraedro passando pelo vértice (B) e fazendo 30ºE com o PHP.

O traço horizontal do plano, (α) passa por B, projeção horizontal de (B), e é perpendicular à linha de terra.

O ponto α0 (encontro de (α) com a linha de terra) coincide com B', projeção vertical de (B). Por este ponto traçamos απ ' - traço horizontal de (α) - uma semi-reta que faz 30º com a linha de terra e com abertura para a esquerda, cortando D'A' e D'C'.

Sabemos que um plano de topo concentra em seu traço vertical, as projeções verticais de todos os elementos que se encontram sobre sua superfície.

Sabemos também que a seção produzida por um plano num poliedro é um polígono cujos cujos lados e vértices pertencem, tanto ao plano, quanto ao poliedro.

Assim sendo, os pontos em απ' intercepta as arestas D'A', D'B' e D'C' são pontos da seção e vamos designá-los, M',N' e P', respectivamente.

Os pontos (M), (N) e (P), são pois os vértices do triângulo (MNP), representativo da seção plana produzida por (α), onde: (M) ∈ (DA) (N) ∈ (DB) (P) ∈ (DC)

Pelos dados atribuídos a (α) , temos (N) ≡ ( (B).

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Traçando linhas de chamada por M' e P', obteremos M, na aresta DA e P, na aresta DC.

O triângulo MNP é a projeção horizontal da seção. Os lados (MN) e (MP) são invisíveis em projeção vertical, mas

são encobertas por P'N', que é visível. Em projeção horizontal, as projeções M, N e P pertencem a

arestas visíveis. Os lados visíveis da seção devem ser, portanto, desenhados com

traços fortes e contínuos. 6.2.1.5 – Verdadeira Grandeza da Seção

Como o plano secante é de topo, a VG da seção tanto pode ser feita por mudança de plano horizontal ou por um rebatimento no PHP.

No caso de optarmos por uma mudança de plano, basta criar um nova linha de terra, paralela ao traço απ’ e reprojetar o triângulo (MNP) no novo sistema.

Se a opção for o rebatimento - aliás, mais simples nesses casos - basta tomar α0 como centro de rotação, girar M', N' e P'até a linha de terra e construir a figura rebatida. 6.2.1.6 – Desenvolvimento da Superfície

Para desenvolver - ou planificar - a superfície de um tetraedro regular, partimos da VG de uma face qualquer, de preferência que não seja a face de apoio no PHP (fig.31).

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fig. 31

Seja então a face (DAB) o nosso ponto de partida. Esta face é então desenhada à parte. Contígua a ela temos a face

(DBC) e a esta, a face (DCA). A face (ABC), pode ser acoplada a qualquer das anteriores que, por exemplo, pode ser a face (DBC). 6.2.1.7 – Transformada da Seção

A transformada da seção será construída sobre a superfície planificada do tetraedro. Para tanto, é necessário determinar as distâncias do vértice (D) a cada um dos pontos (M), (N) e (P) da seção.

Observando a épura do tetraedro, vemos que as arestas (DA), (DB) e (DC) são segmentos de reta qualquer, ou seja, (DM), (DN) e (DP) não estão em VG.

A melhor solução, neste caso, é efetuar a rotação dessas arestas em torno de um eixo vertical que passe pelo vértice (D) - ponto comum às três arestas - tornando-as segmentos de retas frontais. Isto faz com que, em projeção vertical, as distâncias de (D) a (M), a (N) e a (P) estejam em VG.

O procedimento, agora, é o seguinte: 1º) Por D, projeção horizontal de (D), traçamos uma semi-reta paralela à linha de terra, que abrigará as projeções horizontais das arestas (DA),

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(DB) e (DC) após as rotações; 2º) Com centro em D e abertura até A, projeção horizontal de (A), construímos um arco de círculo que, ao interceptar a semi-reta paralela à linha de terra, determina o ponto A1 que é a nova projeção horizontal de (A), após a rotação. 3º) Como, numa rotação de eixo vertical, as cotas dos pontos de uma figura não se alteram, antes e após o giro, traçamos por A1 uma linha de chamada até a linha de terra. 4º) Sendo nula a cota de (A), A1' está na linha de terra. 5º) Ligando D'a A', temos a projeção vertical de (DA) após a rotação. 6º) Faríamos o mesmo procedimento com (DB) e com (DC), mas, como DA = DB = DC, teremos A1≡ B1 ≡ C1 e, consequentemente, A1' ≡ B1' ≡ C1'. 5º) Lembrando mais uma vez que em rotação de eixo vertical as cotas dos pontos de uma figura permanecem as mesmas, podemos concluir então que: z (M) = z (M1) z (N) = z (N1) z (P) = z (P1)

Assim sendo, por M', N' e P' traçamos paralelas à linha de terra até encontrar D'A1' ≡ D'B1' ≡ D'C1' determinando, respectivamente, M1', N1' e P1'.

As distâncias D'M1', D'N1' e D'P1', estão em VG. Na superfície planificada do tetraedro, a partir do vértice D,

marcamos as distâncias D'M1' sobre DA, D'N1' sobre DB e D'P1' sobre DC, obtendo os pontos M, N e P.

A poligonal MNPM é a transformada da seção (fig.31). 6.2.2 - OCTAEDRO REGULAR

Seja, por exemplo, um octaedro regular (ABCDEF), o poliedro que se quer representar através de suas projeções (fig32).

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fig. 32

A diagonal (EF) é perpendicular ao PHP sendo nula a cota do

vértice (F). A diagonal (AC) faz 60ºD com o PVP, o vértice (A) tem afastamento nulo e a aresta do octaedro mede 50 mm. 6.2.2.1 - Projeções Ortogonais Se a diagonal (EF) é perpendicular ao PHP, o quadrado (ABCD), formado pelos vértices (A), (B), (C) e (D) é paralelo ao PHP e, portanto, projetado em VG nesse plano (fig.33).

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fig. 33

Iniciemos a representação gráfica pelas projeções do quadrado (ABCD), primeiramente pelo vértice (A) cujo afastamento é nulo. Como os elementos do octaedro não estão amarrados a coordenadas descritivas, podemos fixar a projeção horizontal de (A) onde for mais conveniente. Neste caso, sugerimos posicioná-lo um pouco à esquerda do meio da folha de desenho. Por A traçamos uma semi-reta que faça 60ºD com a linha de terra. Sobre esta semi-reta encontra-se a projeção horizontal do vértice (C), já que ela é o suporte da projeção horizontal da diagonal (AC). Ainda por A, traçamos outra semi-reta, desta vez fazendo 45ºD com o suporte de AC e, a partir de A, marcamos o ponto B distante 50mm de A de modo que (B) tenha afastamento positivo. Com centro em B e abertura do compasso igual ao segmento AB determinamos o ponto C sobre o suporte de AC. Com centro em C e abertura do compasso igual ao segmento AB traçamos um arco. Mantendo a mesma abertura do compasso e com centro em A traçamos outro arco.

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A interseção destes dois arcos é o ponto D, projeção horizontal do vértice (D), definindo as projeções horizontais dos vértices (A), (B), (C) e (D) do octaedro. Sabemos que as três diagonais de um octaedro regular são iguais e perpendiculares entre si. As semi-diagonais também o são. Como se pode depreender, o quadrado (ABCD) divide a diagonal (EF) ao meio. O encontro das projeções horizontais das diagonais (AC) e (BD) é a projeção horizontal dos vértices (E) e (F) e também do ponto (O), comum às três diagonais. Pelo ponto O, projeção horizontal de (O), traçamos uma linha de chamada que conterá E’ e F’, projeções verticais de (E) e de (F). O ponto F' está na linha de terra porque (F), por ser o vértice de apoio do tetraedro no PHP, tem cota nula. O ponto O', projeção vertical de (O), é ponto médio de E'F', projeção vertical da diagonal (EF). Sabemos que: (EF) = (AC) = (BD) ⇒ AC = BD = E’F’ Logo: (OA) = (OC) = (OB) = (OD) = (OE) = (OF) ⇒ O’E’ = O’F’ Assim, com abertura do compasso igual ao segmento OA, por exemplo, e centro em O’, marcamos sobre a linha de chamada de (EF) o ponto O'. Com centro em O' e mesma abertura, marcamos nessa mesma linha de chamada o ponto E', definindo a projeção vertical do véretice (E). Por O' traçamos uma perpendicular a E'F'que conterá as projeções verticais dos vértices (A), (B), (C) e (D). Por A, B, C e D traçamos as respectivas linhas de chamada que, ao interceptarem a perpendicular à E'F', determinarão os pontos A',B',C'e D' procurados. Ligando com linhas leves e finas E'e F'a A',B',C'e D' obtemos o esboço da projeção vertical do octaedro. O ponto O ≡E ≡ F ligado a A, B, C e a D define o esboço da projeção horizontal. 6.2.2.2 - Visibilidade

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Os contornos aparentes, vertical e horizontal, são sempre visíveis. Em projeção vertical é visível o contorno E'B'F'D'E'. Em projeção horizontal é visível o contorno ABCDA. Em projeção vertical é visível o vértice (C), que é o ponto de maior afastamento do octaedro, assim como são visíveis as arestas que para ele convergem. Assim, são visíveis as projeções verticais das arestas (CB), (CD), (CE) e (CF) cujos traçados devem ser fortes e contínuos. As projeções verticais das arestas (AB) e (AD) estão encobertas por CB e CD. As projeções horizontais das arestas (AE) e (AF) são invisíveis e, por isso, devem ser fortes e tracejadas. Em projeção horizontal é visível o vértice (E), por ser o de maior cota, e todas as arestas que para ele convergem. Assim, são visíveis as projeções horizontais das arestas (EA), (EB), (EC) e (ED) cujos traçados devem ser fortes e espessos. As arestas que partem de (F) estão, respectivamente, encobertas pelas arestas que partem de (E). 6.2.2.3 - Seção Plana Seja (α) um plano de topo que corta o octaedro passando por (O) e paralelo à aresta (EB). Para que uma dada reta seja paralela a um plano, ou vice-versa, é necessário que exista no plano uma reta paralela à reta dada. Para que um plano de topo seja paralelo a uma reta qualquer, basta que o seu traço vertical seja paralelo à projeção vertical da reta. Ora, a aresta (EB) é um segmento de reta qualquer. Assim sendo, se traçarmos por O' uma paralela à projeção E'B', estaremos determinando o traço vertical απ' do plano secante (α). A determinação do traço horizontal απ é imediata. Sendo (α) um plano projetante, os pontos de interseção de απ' com as projeções verticais das arestas do octaedro são pontos da projeção vertical da seção. Nesse momento é importante estabelecer um sentido para o deslocamento de um ponto móvel pela periferia da seção para que sua projeção horizontal seja um polígono convexo. Observando a épura, tomamos como ponto de partida a

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interseção de απ' com E'A' o qual denominaremos M'. Traçamos então uma linha de chamada até encontrar EA, determinando o ponto M, projeção horizontal do vértice (M) da seção. Deslocamos o ponto móvel sobre απ' até encontrar a aresta E'B' determinando o ponto N'. Traçando uma linha de chamada até EB, determinando o ponto N, projeção horizontal do vértice (N) da seção. O ponto N' está no contorno aparente vertical e, a partir daí, o ponto móvel retorna, passa novamente por M' e encontra a aresta B'C' determinando o ponto P'.Devido às condições do problema, teremos P' ≡ O'. Traçando a linha de chamada correspondente obteremos o ponto P, projeção horizontal de (P), na aresta BC. Prosseguindo no seu deslocamento, o ponto móvel encontra a aresta F'C' determinando o ponto Q'. Traçando a linha de chamada correspondente obteremos o ponto Q, projeção horizontal do vértice (Q), na aresta FC.A seguir o ponto móvel encontra a aresta F'D' determinando o ponto R. Traçando a linha de chamada correspondente determinamos o ponto R, projeção horizontal do vértice (R), na aresta FD. O ponto R' está no contorno aparente vertical. O ponto móvel então retorna e encontra a aresta A'D' no ponto S'. Traçando a linha de chamada correspondente, determinamos o ponto S, projeção horizontal de (S), na aresta AD. Devido aos dados do problema, teremos também S' ( O'. Os pontos (M), (N), (P), (Q), (R) e (S) são os vértices da seção. O segmento M'N'P'S'Q'R' é a projeção vertical da seção e deve ser traçada com linha forte e espessa porque os lados N'P',P'Q' e Q'R' são visíveis e os demais estão encobertos. O hexágono MNPQRS é a projeção horizontal da seção. As arestas acima do quadrado (ABCD), ou seja, (EA), (EB), (EC) e (ED) são todas visíveis em projeção horizontal porque convergem para o vértice (E) que tem a maior cota. Assim são visíveis os segmentos PN, NM e MS e invisíveis os demais. Os segmentos visíveis devem ser traçados com linhas fortes e contínuas e os invisíveis, com linhas tracejadas. 6.2.2.4 - Verdadeira Grandeza da Seção

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Como o plano secante é de topo, a VG da seção tanto pode ser feita por mudança de plano horizontal como por rebatimento no PHP, tal como foi dito para o tetraedro regular. 6.2.2.5 - Planificação da Superfície Para planificar a superfície de um tetraedro regular partimos de uma face qualquer, preferencialmente uma face situada acima do quadrado (ABCD) que seja cortada pelo plano secante (fig.34).

fig. 33

Seja então (ABE) a face de partida. Essa face é desenhada à parte e identificada pelos vértices A, B e E. Contíguas à face ABE estão as faces BEC, de um lado, e AED, do outro. Para complementar as faces acima do quadrado (ABCD) acoplamos ao lado DE da face AED a face EDC. Contígua à face BEC está a face BCF e a esta, a face CFD. Contígua à face CFD está a face FDA.

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Para concluir a planificação, acoplamos à face FDA a face FAB. 6.2.2.6 - Transformada da Seção A transformada da seção será construída sobre a superfície planificada do octaedro. Para tanto, é necessário determinar as distâncias dos vértices da seção a vértices do octaedro pertencentes a arestas comuns. Primeiramente determinamos as distâncias do vértice (E) do tetraedro aos vértces (M) e (N) da seção. As projeções das arestas (EA) e (EB) não estão em VG pois são segmentos de reta qualquer. Por uma rotação em torno de um eixo vertical que contém a diagonal (EF), determinamos a VG das arestas (EA) e (EB) e medimos as distâncias de (E) a (M) e a (N). Na superfície planificada do octaedro marcamos então os pontos M, na aresta EA, e N, na aresta EB. O ponto (P) da seção está situado na aresta BC que é um segmento de reta horizontal. Deste modo, a distância de B a P está em VG. Marcamos então na superfície planificada do octaedro o ponto P na aresta BC. Os pontos Q e R são marcados de forma exatamente igual à utilizada para os pontos M e N. O ponto (S) está localizado na aresta (AD) que é, como a aresta (BC), um segmento de reta horizontal. Assim sendo, a distância de D a S está também em VG. Marcamos o ponto S na aresta AD nas faces AED e FDA da superfície planificada do octaedro. A poligonal MNPQRSM é a transformada da seção (fig.34). 6.2.3 – HEXAEDRO REGULAR E CUBOCTAEDRO Seja um hexaedro regular ou, simplesmente, um cubo (ABCDEFGH) localizado no 1º diedro, cuja face (ABCD) se apóia sobre o PHP. Seja, este cubo, a figura que dará origem ao cuboctaedro. As arestas medem 50 mm, a aresta (AB) faz 30ºD com o PVP e o vértice (A) tem afastamento igual a 10 mm ((fig.35).

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fig.35

6.2.3.1 - Projeções Ortogonais do Cubo Se a face (ABCD) está apoiada no PHP, sua projeção horizontal ABCD estará em VG. A representação gráfica das projeções do cubo será iniciada por esta face. Os elementos do cubo não estão amarrados a coordenadas descritivas e podem ser localizados, na épura, onde melhor convier (fig. 36).

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fig. 36

Sugerimos fixar a linha de chamada do vértice (A) próximo ao centro da linha de terra. Nesta linha de chamada marcamos o ponto A, projeção horizontal do vértice (A). Sua projeção vertical, A', está, obviamnete, na linha de terra. A partir de A traçamos uma semi-reta fazendo 30ºD com a linha de terra e sobre ela marcamos o ponto B, projeção horizontal do vértice (B), distante 50 mm de A. A projeção vertical de (B), B', está também na linha de terra. Construímos, então, o quadrado ABCD, projeção horizontal da face (ABCD). Os pontos C'e D' estão na linha de terra. Aa arestas (AE), (BF), (CG) e (DH) são segmentos de retas verticais e são, portanto, perpendiculares ao PHP. Logo, as projeções horizontais dos vértices (E), (F), (G) e (H) se confundem, respectivamente, com as projeções horizontais dos vértices (A), (B), (C) e (D).

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As cotas de (E), (F), (G) e (H) são iguais e medem 50 mm uma vez que as arestas (AE), (BF), (CG) e (DH) se projetam em VG no PVP. Os pontos E', F', G' e H', são marcados nas respectivas linhas de chamada, distantes 50 mm da linha de terra. 6.2.3.2 - Visibilidade O contorno aparente vertical B'F'H'D' e o contorno aparente horizontal ABCD (ou EFGH) são visíveis. A aresta (CG) por ter maior afastamento é visível em projeção vertical. A aresta (AE) tem o menor afastamento, é encoberta pela face (CGHD) e não é visível em projeção horizontal. Em projeção horizontal, é visível a face (EFGH) que tem a maior cota. As projeções horizontais dos elementos das demais faces se confundem com as projeções horizontais dos elementos da face (EFGH). Se nos limitássemos às projeções do cubo, as arestas visíveis deveriam ser traçadas com linhas fortes e contínuas ao passo que as invisíveis deveriam ser fortes e tracejadas, oque não é o caso . 6.2.3.3 - Projeções Ortogonais do Cuboctaedro A partir dos esboços das projeções do cubo, mostraremos como obter as projeções de um cuboctaedro e a VG de suas faces típicas. 6.2.3.4 - Seções Planas Inicialmente, vamos determinar os pontos médios de cada aresta do cubo. Os pontos médios de cada uma das três arestas que convergem para um mesmo vértice determinam um plano. A seção que cada um desses planos determina no cubo é um triângulo equilátero. Cada face original do cubo se transforma em um quadrado menor, cujos lados são iguais aos segmentos que unem os pontos médios das arestas de um mesmo vértice. O novo poliedro assim formado tem oito faces triangulares

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equiláteras e seis faces quadradas. As arestas são todas iguais assim como são iguais os ângulos poliédricos para cujos vértices convergem dois triângulos equiláteros e dois quadrados. O poliedro assim constituído é chamado cuboctaedro. As visibilidades de seus elementos seguem os mesmos critérios já vistos anteriormente e o conhecimento das visibilidades dos elementos do cubo original facilitam extremamente a tarefa. 6.2.3.5 - Verdadeira Grandeza das Faces do Cuboctaedro A VG das faces quadradas fica evidenciada na projeção horizontal do poliedro, porque a posição do cubo que originou o cuboctaedro não foi modificada. Nenhuma das projeções das faces triangulares se apresenta em VG. Tal fato, todavia, não constitui problema porque sabemos que a seção é um triângulo equilátero cujo lado é igual ao da face quadrada da qual a VG é conhecida. Basta construir, então, um triângulo equilátero tomando como lado, um dos lados do quadrado em VG na projeção horizontal do cuboctaedro. 6.2.3.6 - Planificação da Superfície do Cuboctaedro A planificação da superfície de um cuboctaedro não deve partir da planificação do cubo que lhe deu origem. Se construirmos a planificação do cubo - tal como pode ser visto na fig.37 - constataremos que, ao marcarmos os pontos médios da cada aresta, os faces quadradas do octaedro ficarão ligadas, umas às outras, por apenas um ponto, o que, na prática, não é aconselhável.

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fig. 37

A solução mais simples é partir de uma face quadrada - preferencialmente à apoiada no PHP - e acoplar a ela as quatro faces triangulares que lhes são adjacentes. Em seguida, acoplamos as faces retangulares, verticais, a cada um destes triângulos. Ficará faltando a face paralela ao PHP. A construção das oito faces triangulares restantes devem ser feitas sobre as faces quadradas recém determinadas.

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A face quadrada, anteriormente faltante, pode agora, finalmente ser caracterizada (fig.38).

fig. 38

6.2.4 – PRISMA RETO Seja um prisma reto de base pentagonal regular (ABCDE) apoiada no PHP de tal forma que a aresta (AB) fique paralela ao PVP, com afastamento igual a 15 mm. As arestas da base medem 25 mme a altura, 60 mm. O prisma está localizado no 1º diedro. 6.2.4.1 - Representação Gráfica Como a face (ABCDE), base inferior do prisma, está apoiada no PHP, sua projeção horizontal está em VG (fig. 39).

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fig. 39

Temos, então, que: (A) ≡ A (B) ≡ B (C) ≡ C (D) ≡ D (E) ≡ E Localizado 15 mm abaixo da linha de terra e um pouco à esquerda do seu ponto médio, marcamos o ponto A, projeção horizontal do vértice (A). Por A traçamos, para o lado direito, uma paralela à linha de terra, que vem a ser o suporte da projeção horizontal da aresta (AB), da base. Sobre esta paralela, distante 25 mm de A, marcamos o ponto B, projeção horizontal do vértice (B). Utilizando qualquer processo conhecido de Desenho Geométrico, com traços finos e leves, construímos um pentágono regular de lado AB, de modo que todos os demais vértices fiquem abaixo da linha de terra (afastamentos positivos) pois o prisma está no

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1º diedro. Esse pentágono regular é a projeção horizontal da base de apoio do prisma. As projeções verticais de seus vértices, ou seja, A',B',C',D' e E', estarão, obviamente, sobre a linha de terra. Como o prisma é reto, as arestas laterais são perpendiculares ao plano da base e, conseqüentemente, perpendiculares ao PHP. Pelos pontos A', B', C', D' e E', traçamos segmentos perpendiculares à linha de terra que serão os suportes das projeções verticais das arestas laterais. A altura do prisma reto é igual ao comprimento das arestas laterais. Como essas arestas se projetam em VG no PVP, basta cortar seus suportes por uma paralela à linha de terra, 60 mm distante dela. Ligando por segmentos os pontos resultantes, obtemos a projeção vertical da base superior do prisma. A projeção horizontal dessa base se confunde com ABCDE. As projeções horizontais das arestas laterais são pontuais e se confundem, respectivamente, com os pontos A,B,C,D e E. Ficam assim esboçadas as projeções, horizontal e vertical, do prisma. A definição das visibilidades encerram a sua representação gráfica. 6.2.4.2 - Visibilidade Os contornos aparentes, vertical e horizontal, são sempre visíveis. Assim sendo, reforçando o traçado do pentágono ABCDE, fica definida a projeção horizontal do prisma. Em projeção vertical, além do contorno aparente, é visível a aresta lateral que contém o vértice (D) por ser este o ponto de maior afastamento do prisma. Por conseguinte, são visíveis também as arestas (DC) e (DE) e suas correspondentes na base superior. As arestas (AB), (BC) e (AD) estão encobertas pelas arestas (DC) e (DE), o mesmo acontecendo com suas correspondentes na base superior. A face lateral que contém as arestas laterais que partem de (A) e de (B) tem o menor afastamento e esta encoberta pelas demais faces laterais do prisma. Por essa razão as arestas laterais que partem de (A) e de (B) são invisíveis em projeção vertical. Traçando com linhas fortes e contínuas as arestas visíveis e com linhas tracejadas as arestas invisíveis, definimos a projeção vertical do

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prisma. 6.2.4.3 – Seção Plana Suponhamos que o prisma seja cortado por um plano (α) que passa pela linha de terra e tenha declividade igual a 30º. Para simplificar o trabalho, façamos uso de um plano de perfil como um novo plano horizontal de projeção, (π1), localizado à direita das projeções. Nesse novo sistema o plano (α) passa a ser um plano vertical porque: 1º) O traço απ' (απ’ ≡ ππ’ ) é perpendicular à nova linha de terra; 2º) O traço de (α) em (π1), ou seja, α1, faz 30ºE com a nova linha de terra. Projetamos o prisma nesse novo sistema mantendo fixa a projeção vertical original e transferindo os afastamentos dos vértices no sistema original para o novo sistema. Como (π1) corta todas as arestas laterais do prisma, a seção será, também, um pentágono. As interseções de απ1 com as novas projeções horizontais das arestas laterais do prisma nos fornecem os pontos M1, N1, P1,Q1 e R1, que são vértices da projeção horizontal da seção no novo sistema. A partir então desses pontos traçamos linhas de chamada perpendiculares à nova linha de terra do novo sistema até encontrar as correspondentes projeções verticais das arestas laterais, determinando os pontos M',N',P',Q' e R'. Esses pontos são, simultaneamente, projeções verticais dos vértices da seção tanto no novo sistema como no sistema original. Como os vértices da seção estão localizados nas arestas laterais, suas projeções horizontais se confundem com as projeções horizontais dos vértices das bases. Quanto às visibilidades dos lados da seção, temos que: 1º) Em projeção vertical, os lados que convergem para a aresta lateral que parte de (D) são visíveis. Os demais lados pertencem a faces invisíveis e são, portanto, invisíveis.

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2º) Em projeção horizontal, os lados da seção e os lados das bases se confundem e nada mais precisa ser feito. 6.2.4.4 - Verdadeira Grandeza da Seção A VG da seção pode ser obtida de duas maneiras: 1ª) Rebatendo os pontos (M1), (N1), (P1), (Q1) e (R1) sobre (π) ou (π') utilizando os procedimentos normais do método dos rebatimentos. Essa alternativa depende da disponibilidade de espaço e tem o inconveniente de superpor a figura rebatida com uma de suas projeções. 2º) Criando um terceiro sistema projetivo, fazendo mais uma mudança de plano. Desta vez vamos substituir o plano vertical (π') do sistema anterior - segunda mudança de plano - por um plano paralelo a (α), mantendo agora (π1) como plano horizontal desse terceiro sistema. Para tanto, basta traçar uma terceira linha de terra paralela a απ1, traçar novas linhas de chamada e transferir as cotas de (M), (N), (P), (Q) e (R) em relação à segunda linha de terra. 6.2.4.5 - Planificação As faces laterais de um prisma reto e regular são retângulos adjacentes e iguais. A planificação da superfície lateral será, pois, um retângulo em que um lado é igual à aresta lateral do prisma e o outro, ao perímetro do polígono das bases (fig. 40).

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Assim, tomamos a face lateral que contém (AB) como face de partida. Pela aresta que parte de (B) construímos a face que contém (BC) e assim sucessivamente, até construir a face que contém (DA). Para completar a planificação, basta acoplar a qualquer aresta correspondente a cada uma das bases, os polígonos das bases. 6.2.4.6 - Transformada da Seção A transformada da seção será construída sobre a superfície planificada do prisma. Neste caso, sobre a superfície lateral. Para tanto, temos que conhecer as distâncias de cada um dos vértices de uma das bases aos vértices da seção localizados nas arestas laterais correspondentes. Em termos práticos, precisamos determinar o comprimento dos segmentos (AM), (BN), (CP), (DQ) e (ER). Como o prisma é reto,as projeções verticais das arestas laterais estão em VG. Logo, temos:

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(AM) = A'M' (BN) = B'N' (CP) = C'P' (DQ) = D'Q' (ER) = E'R' Na superfície planificada do prisma marcamos, então, os pontos M, N, P, Q e R. Ligando-os por segmentos retilíneos determinamos a poligonal MNPQR, que é a transformada da seção (fig.40). 6.2.5 - PIRÂMIDE OBLÍQUA Seja uma pirâmide oblíqua, de base hexagonal regular (ABCDEF) apoiada no PHP, de tal forma que a aresta (AB) fique paralela ao PVP, com afastamento igual a 10 mm. As projeções, vertical e horizontal, do eixo da pirâmide fazem, respectivamente, 45ºD e 30ºD com a linha de terra. As arestas da base medem 25 mm e a altura da pirâmide é 55 mm (fig. 41). 6.2.5.1 - Representação Gráfica Como a base da pirâmide está apoiada no PHP, teremos (fig.41): (ABCDEF) ≡ ABCDEF

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fig. 41

Localizado 10 mm abaixo da linha de terra e próximo ao seu ponto médio, marcamos o ponto A, projeção horizontal do vértice (A) da base. Por A traçamos, para o lado direito, uma paralela à linha de terra

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e, sobre ela, distante 25 mm de A, marcamos o ponto B, projeção horizontal de (B). Construímos então um hexágono regular do qual conhecemos o lado AB, determinando as demais projeções horizontais dos vértices da base da pirâmide. Para obter as projeções verticais desses vértices, basta traçar as linhas de chamada correspondentes até a linha de terra e marcar os pontos A', B', C', D', E'e F'. Pelas projeções do ponto (O), centro da base, vamos determinar as projeções do suporte do eixo da pirâmide. Por O' traçamos uma semi-reta fazendo 45ºD com a linha de terra e por O, traçamos outra fazendo 30ºD, também com a linha de terra. A seguir traçamos uma paralela à linha de terra, distante e acima dela 55 mm. A interseção dessa paralela com a projeção vertical do suporte do eixo é o ponto V', projeção vertical do vértice da pirâmide. Por V' traçamos uma linha de chamada e determinamos o ponto V na projeção horizontal do suporte do eixo. Ligando as projeções de (V) às projeções dos vértices da base, obtemos os esboços das projeções, vertical e horizontal, da pirâmide. A definição das visibilidades encerra a sua representação gráfica (fig. 41). 6.2.5.2 - Visibilidade Os contornos aparentes, vertical e horizontal, são sempre visíveis. Em projeção vertical são também visíveis as arestas (VD) e (VE) que têm os maiores afastamentos. As arestas (VA) e (VB) ficam encobertas e não aparecem. As arestas da base,(CD), (DE) e (EF) são visíveis em projeção vertical, enquanto que (AB), (BC) e (AF) estão encobertas e também não aparecem. Em projeção horizontal, são visíveis as arestas (VA) e (VF), porque as faces (VAB), (VAF) e (VEF) são totalmente visíveis. As faces (VBC), (VCD) e (VDE) são invisíveis em projeção horizontal e, por isso, são invisíveis as arestas laterais (VC) e (VD), assim como as arestas da base (BC), (CD) e (DE). Traçando com linhas fortes e contínuas as arestas visíveis e com linhas tracejadas as arestas invisíveis, definimos as projeções da

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pirâmide (fig. 41). 6.2.5.3 - Seção Plana Suponhamos que a pirâmide seja cortada por um plano (α) paralelo à linha de terra que tenha declividade igual a 30º. Para simplificar o trabalho, façamos uso de um plano de perfil como um novo plano horizontal de projeção, (π1), localizado à esquerda das projeções. Nesse novo sistema o plano (α) passa a ser um plano vertical porque: 1º) O traço απ' (απ’ // ππ') é perpendicular à nova linha de terra; 2º) O traço de (α) em (π1), ou seja, απ1, faz 60º com a nova linha de terra. Projetamos a pirâmide nesse novo sistema mantendo fixa a projeção vertical original e transferindo os afastamentos dos vértices do sistema original para o novo sistema. Como απ1 corta todas as arestas laterais da pirâmide, a seção será, também, um hexágono. As interseções de απ1 com as novas projeções horizontais das arestas laterais da pirâmide nos fornecem os pontos M1, N1, P1, Q1, R1 e S1 que são vértives da projeção horizontal da seção no novo sistema. A partir então desses pontos traçamos linhas de chamada perpendiculares à nova linha de terra do novo sistema até encontrar as correspondentes projeções verticais das arestas laterais, determinando os pontos M',N',P',Q',R'e S'. Esses pontos são, simultaneamente, projeções verticais dos vértices da seção tanto no novo sistema como no sistema original. Traçando então as correspondentes linhas de chamada, obteremos nas projeções horizontais das arestas laterais, as projeções horizontais dos vértices da seção, ou seja, os pontos M, N, P, Q, R e S. Quanto às visibilidades dos lados da seção, temos que: 1º) Em projeção vertical, são visíveis os lados pertencentes às faces (VAB), (VBC) e (VAF), isto é, os lados (PQ), (QR) e (RS). Os demais lados pertencem a faces invisíveis e são, portanto, invisíveis.

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2º) Em projeção horizontal, são visíveis os lados pertencentes às faces (VAB), (VAF) e (VEF), isto é, os lados (NM), (MS) e (SR).Os demais lados pertencem a faces invisíveis e são, portanto, invisíveis. 6.2.5.4 - Verdadeira Grandeza da Seção A VG da seção pode ser obtida rebatendo os pontos (M1), (N1), (P1), (Q1), (R1) e (S1) sobre (π') utilizando os procedimentos normais do método dos rebatimentos. Essa alternativa depende apenas da disponibilidade de espaço. Caso não seja possível, faz-se uma nova mudança de plano de projeção. 6.2.5.5 - Planificação As faces laterais de uma pirâmide oblíqua são triângulos diversos. A planificação da superfície lateral será feita pela justaposição de faces laterais adjacentes. Observando a épura da fig.41 vemos que todas as arestas laterais da pirâmide são segmentos de reta qualquer, ou seja, não estão em VG. Como a planificação apresenta todos os elementos do poliedro na sua verdadeira grandeza, torna-se imprescindível determinar a VG de cada aresta lateral da pirâmide. A maneira mais simples de resolver este problema é efetuar uma rotação de todas as arestas laterais em torno de um eixo vertical que passa pelo vértice da pirâmide, tornando-as todas segmentos de reta frontal. Dessa forma, suas projeções verticais, após a rotação, estarão em VG. Assim sendo, teremos: (VA) = V'A1' (VB) = V'B1' (VC) = V'C1' (VD) = V'D1' (VE) = V'E1' (VF) = V'F1' Conhecidas as VG's de cada aresta lateral podemos então planificar a superfície lateral da pirâmide.

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Começemos pela face (VAB). Tracamos um segmento vertical de comprimento (VA), identificando na sua extremidade superior o vértice V, e, na inferior, o vértice A. Com a aberttura do compasso igual ao comprimento da aresta (VB), centramos em V e traçamos um arco de círculo. Com a abertura do compasso igual a (AB), aresta da base, centramos em A e traçamos outro arco de círculo. A interseção desses dois arcos é o vértice B. A face (VAB) está pronta. A face (VBC) é a próxima a ser construída, aproveitando a aresta VB da face VAB planificada. Com a abertura do compasso igual ao comprimento da aresta (VC), centramos em V e traçamos um arco de círculo, Com a abertura do compasso igual a (BC), aresta da base, centramos em B e traçamos outro arco de círculo. A interseção desses dois novos arcos é o vértice C. Repetimos essas opera ções para todas as demais faces, até a face (VFA), e teremos a planificação da superfície lateral. Para completar a planificação da pirâmide, basta acoplar a qualquer aresta correspondente à base, o polígono da base. 6.2.5.6 - Transformada da Seção A transformada da seção será construída sobre a superfície planificada da pirâmide. Neste caso, sobre a superfície lateral. Para tanto, temos que conhecer as distâncias do vértice da pirâmide a cada um dos vértices da seção localizados nas arestas laterais correspondentes. Quando fazemos rotações de um segmento em torno de eixo vertical, sabemos que as cotas dos seus pontos não se alteram, antes e depois do giro. Logo, se traçarmos por M', N', P', Q', R' e S', paralelas à linha de terra, as suas interseções com as VG's das arestas laterais determinarão, respectivamente, os pontos M1', N1', P1', Q1', R1' e S1', cujas distâncias à V' estão também em VG. Em termos práticos, determinamos o comprimento dos segmentos (VM), (VN), (VP), (VQ),(VR) e (VS). Na superfície planificada da pirâmide marcamos, então, os pontos M, N, P, Q, R e S. Ligando-os por segmentos retilíneos determinamos a poligonal MNPQRS, que é a transformada da seção (fig.42).

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fig. 42

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Capítulo III

CONES

1.0 – CONSIDERAÇÕES GERAIS Vimos, anteriormente, que superfície cônica é uma superfície curva, curvirretilínea, que pode ser gerada por uma reta que se desloca no espaço apoiada numa curva, passando sempre por um ponto fixo chamado vértice da superfície. À reta que se desloca chamamos geratriz da superfície e à curva na qual se apóia, diretriz da superfície. Se a diretriz for uma curva plana e fechada (círculo ou elipse) e cortarmos todas as geratrizes por um plano de tal maneira que a seção produzida seja um círculo, a figura formada chama-se cone circular ou, simplesmente, cone. A porção curva da figura constitui a sua superfície lateral. O círculo produzido pelo plano secante define a base do cone. 2.0 – PRINCIPAIS ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

• Geratriz: qualquer segmento retilíneo que liga o vértice ao círculo da base.

• Altura: distância medida entre o vértice e o plano da base. • Eixo: reta que passa pelo vértice e pelo centro da base. • Pé da Geratriz: ponto de interseção entre a geratriz e o círculo

da base. 3.0 – CLASSIFICAÇÃO Os cones são classificados como retos ou oblíquos. Num cone reto as geratrizes são todas iguais. Assim, a projeção ortogonal do vértice no plano da base coincide com o centro do círculo da base do cone (fig.43-a).

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figs. 43-a e 43-b

O cone reto pode, também, ser gerado por um triângulo retângulo que gira em torno de um de seus catetos. Nesse caso é considerado um cone de revolução. A altura de um cone reto pode ser medida pela distância do vértice ao centro do círculo da base. Num cone oblíquo todas as geratrizes têm comprimentos diferentes (fig.43-b). 4.0 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA De modo a facilitar o entendimento do que se segue, admitiremos que o cone está apoiado pela base no plano horizontal de projeção. Em princípio, sua representação gráfica se resume em determinar as projeções de seu vértice, do círculo da base e das geratrizes que definem seus contornos aparentes, vertical e horizontal. 5.0 – DESENVOLVIMENTO DA SUPERFÍCIE Desenvolver a superfície de um cone (ou planificá-la) consiste em assentar sua face lateral e a base sobre um mesmo plano. A planificação da superfície lateral gera uma figura plana limitada por dois segmentos de reta representativos de uma mesma geratriz tomada como geratriz de partida e fechamento e por uma curva cujo comprimento é igual ao do círculo da base do cone. Quando o cone é reto, a curva representativa da base é um arco de círculo cuja amplitude corresponde a um ângulo θ obtido pela relação

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R/g= θ/ 360º, ou seja, θ =360º (R/g) onde R é o raio da base do cone e g, o comprimento da geratriz (fig. 44).

fig. 44

Os procedimentos para planificar um cone oblíquo são absolutamente semelhantes aos utilizados para planificar uma pirâmide supostamente inscrita no cone. Quanto maior o número de partes em que for dividido o círculo da base, mais precisa será a curva de fechamento. As arestas da pirâmide se confundem com as respectivas geratrizes do cone. Para completar a planificação, basta fixar no pé de qualquer geratriz o círculo da base (fig. 45).

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fig. 45

6.0 – SEÇÕES PLANAS As seções planas feitas num cone constituem uma das partes mais importantes do estudo das curvas originadas quando um plano secciona uma figura espacial.

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Tais seções serão obtidas ligando-se os pontos de interseção do plano secante com as geratrizes do cone.Sobre o assunto destacam-se os seguintes teoremas: 1º) Teorema de Apollonius Quando um plano corta um cone circular, a seção produzida é uma curva cônica, que será uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole, conforme o semi-ângulo que o plano faça com o eixo do cone seja maior, igual ou menor que o semi-ângulo no vértice do cone (fig.46).

fig. 46

2º) Teorema de Rodemberg A projeção cilíndrica de uma cônica num plano é outra cônica de mesma espécie (fig.47).

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fig. 47

3º) Teorema de Catalan Quando um plano corta um cone circular reto, a projeção ortogonal do vértice do cone no plano da base coincide com um dos focos da cônica projetada (fig.48).

fig. 48

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4º) Teorema de Quetelet-Dandelin Quando uma esfera é inscrita num cone e tangencia um plano secante ao cone, o ponto de tangência entre a esfera e o plano é um vértice da cônica da seção (fig.49).

fig. 49

Embora pouco utilizado, este teorema prova, também, que a interseção do plano secante com o plano determinado pelo círculo de contato da esfera com o cone é a diretriz da cônica da seção. A seção produzida por um plano perpendicular à base, passando pelo vértice do cone, é sempre um triângulo, que será isósceles se o cone for reto. Qualquer plano paralelo à base do cone produzirá círculo como seção. 6.1 – Visibilidade da Seção A visibilidade das projeções da seção, depende exclusivamente da visibilidade das projeções das geratrizes cortadas pelo plano secante. Os trechos da seção que ligam geratrizes visíveis são sempre visíveis.

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Se um trecho da seção liga uma geratriz qualquer (visível ou invisível) a uma outra geratriz invisível, esse trecho é invisível. 7.0 – TRANSFORMADA DA SEÇÃO É a curva traçada sobre a superfície planificada do cone de tal maneira que, ao se dar corpo à figura projetada, cada trecho da curva, dita transformada, corresponderá e terá o mesmo comprimento de um trecho da seção produzida por um plano secante ao cone, limitado pelas mesmas geratrizes. Num cone reto a representação gráfica é mostrada na fig. 50-a .

fig. 50-a Se o cone é oblíquo, a representação gráfica se apresenta com mostra a fig. 50- b.

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fig. 50-b

8.0 – PROJEÇÕES DE PONTOS DA SUPERFÍCIE Quando um ponto pertence à superfície de um cone, este ponto pertence a sua superfície lateral. Por esta razão, qualquer ponto da superfície de um cone pertence, necessariamente, a uma de suas geratrizes. Se o cone é circular o ponto pertence, também, a um círculo paralelo à sua base, com centro no seu eixo. Tal círculo vem a ser o lugar geométrico dos pontos da superfície do cone equidistantes do plano da sua base. Tais condicões são suficientes para determinar as projeções de qualquer ponto da superfície de um cone circular.

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Seja, então, (M) um ponto da superfície da superfície de um cone circular apoiado pela base num plano horizontal (α) ou, até mesmo, no próprio plano horizontal de projeção (π). Vejamos o que ocorre nas seguintes situações: 1ª) É dada a projeção vertical de (M) (fig.51-a e b):

fig. 51-a fig. 51-b Nesse caso basta traçar a projeção vertical da geratriz do cone que passa por M', projeção vertical de (M), e determinar o ponto A', projeção vertical do pé dessa geratriz. Traca-se uma linha de chamada a partir de A' até encontrar a projeção horizontal da base do cone. Haverá, naturalmente, dois pontos de contato, A e A1. Ligando A e A1 a V (projeção horizontal do vértice do cone) obteremos as projeções horizontais das geratrizes que podem conter as projeções horizontais de (M). Podemos concluir então que, quando é dada a projeção vertical de um ponto localizado na superfície de um cone, é preciso informar se tal ponto é visível ou invisível em projeção vertical.

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Se esse dado for omitido, o problema terá duas soluções: M e M1. Para determinar a(s) projeção(ções) horizontal(ais) de (M) e/ou (M1), basta traçar uma linha de chamada a partir de M'obtendo M sobre VA e/ou M1 sobre VA1. 2ª) É dada a projeção horizontal de (M): Os procedimentos, nesse caso, são semelhantes aos do caso anterior. Dependendo da posição de M, projeção horizontal dada, o problema pode ter uma ou duas soluções. Se M estiver localizado no interior do círculo que limita a projeção horizontal da base do cone, o problema terá apenas uma solução, pois o ponto (M) pertence a somente uma geratriz (visível, por sinal, em projeção horizontal). Nesta condição, basta determinar o ponto A, projeção horizontal do pé da geratriz que contém (M), traçar a linha de chamada correspondente e obter A'. Em seguida, liga-se A' a V' (projeção vertical do vértice do cone). Traçando uma linha de chamada a partir de M, obtemos M’ sobre V'A' (fig.52-a e 52-b).

Fig. 52-a fig. 52-b Se M não estiver no interior do círculo que limita a projeção horizontal da base do cone, o problema terá duas soluções, pois M pode

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ser projeção horizontal de um ponto (M) pertencente a uma geratriz visível em projeção horizontal ou a uma geratriz de projeção horizontal invisível, encoberta pela anterior. A solução correspondente à geratriz visível é obtida como no caso anterior, determinando-se M'. Para obtermos a outra solução, determinamos o ponto A1, projeção horizontal do pé da geratriz (VA1), cuja projeção horizontal está encoberta por VA. Determinamos A1' e ligamos V' a A'. Traçando uma linha de chamada a partir de M até encontrar V'A' obtemos M'. 3ª) São dados o afastamento e a cota de (M) (figs..53-a e 53-b):

fig. 53-a fig. 54-b Neste caso, a resolução do problema requer os procedimentos descritos a seguir. Inicialmente cortamos o cone por um plano de nível (α), de cota igual à cota do ponto (M). A seção produzida será círculo paralela à base do cone com centro (O1) localizado no seu eixo (VO).Tal círculo é o lugar geométrico dos pontos da superfície do cone que têm cota igual à cota de (M). Isto quer dizer que M' está localizado na projeção vertical desse círculo.

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O plano horizontal (α) corta as geratrizes (VA) e (VB) que limitam o contorno aparente vertical, nos pontos (X) e (Y). Estes pontos são extremidades de um diâmetro do círculo seção e estão em VG, tanto em projeção horizontal quanto em projeção vertical. Determinamos então as projeções de (O1), (X) e (Y). Com centro em O1 e raio O1X = R (ou O1Y = R), traçamos o círculo O1, R que vem a ser a projeção horizontal do círculo seção que contém (M). Em seguida construímos as projeções de uma reta fronto-horizontal (l) de tal modo que se tenha y(l) = y(M) e z(l) = z(M). A projeção vertical l' coincide com απ' e também contém M'. A projeção horizontal l é o lugar geométrico dos pontos que têm afastamento igual ao afastamento de (M). Isto quer dizer que M esta localizado sobre l. Se l cortar o círculo O1,R em dois pontos, obeteremos os pontos M e M1, possíveis projeções horizontais de (M), isto é, o problema tem duas soluções. Se l tangenciar o círculo O1,R, obetremos apenas o ponto M, única solução do problema. Se l não cortar o círculo O1,R, o problema não tem solução, ou seja, não existe ponto na superfície do cone com afastamento e cota iguais aos de (M). 9 - PLANOS TANGENTES À SUPERFÍCIE Um plano que tangencia a superfície de um cone contém uma reta que coincide, obrigatoriamente, com uma e somente uma geratriz desse cone. Um plano tangente a um cone pode ser determinado a partir de um ponto da sua superfície ou por um ponto exterior a ela e, em quaisquer circunstâncias, conterá o seu vértice e tangenciará sua base. Supondo um cone circular apoiado pela base no plano horizontal de projeção (π) e um plano (α) que lhe tangencie, vejamos os dois casos separadamente. 1º) O plano (α) passa por um ponto (M) da superfície:

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A geratriz (VA) que passa pelo ponto (M) é a reta comum ao plano (α) e ao cone. O traço horizontal de (α), απ, tangenciará a projeção horizontal da base do cone em A, projeção horizontal do pé da geratriz (VA). Conhecendo απ, conhecemos a direção da projeção horizontal de todas as retas horizontais de (α). Como já dissemos, quando um plano tangencia um cone, contém seu vértice. Assim sendo, basta construir a reta horizontal de (α) que passa pelo vértice (V) do cone e determinar seu traço vertical V1'. Prolongando απ até a linha de terra determinamos α0. Ligando α0 a V1' determinamos απ', traço vertical de (α) (figs.54-a).

fig. 54-a

Não sendo possível determinar α0, podemos construir outras retas horizontais de (α) que passem por pontos da geratriz (VA), inclusive (M) (fig.54-b).

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fig 54-b

2º) O plano (α) passa por um ponto (M) exterior à superfície (fig.55): Nesse caso, o problema admitirá sempre duas soluções: (α) e (α1). A reta que passa por (M) e pelo vértice (V) do cone pertence, necessariamente, aos planos tangentes (α) e (α1). Os traços horizontais de (α) e (α1), απ e απ1, tangenciam a projeção horizontal da base do cone. Determinamos, então, o traço horizontal (H1) e o traço vertical (V1)b da reta (VM). Por H1 traçamos as duas tangentes à projeção horizontal da base do cone, determinando απ e α1π. Prolongando απ e α1π até a linha de terra, obtemos α0 e α10 que, ligados a V1', determinam απ' e α1π'.

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Não sendo possível determinar α0 e/ou α10, podemos construir retas horizontais de (α) e/ou α1 que passem pela(s) geratriz(es) que contém(êm) o(s) ponto(s) de tangência de απ e/ou α1π com a projeção horizontal da base do cone.

fig. 55

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Capítulo IV

CILINDROS

1.0 – CONSIDERAÇÕES GERAIS Superfície cilíndrica, como foi dito, é uma superfície curva, curvirretilínea, que pode ser gerada por uma reta que se desloca no espaço apoiada numa curva, sempre paralela a uma direção. A reta que se desloca é chamada geratriz da superfície e a reta na qual ela se apóia, diretriz da superfície. Se a diretriz for uma curva plana e fechada (círculo ou elipse) e cortarmos todas as geratrizes por dois planos paralelos de tal maneira que a seção produzida seja uma circuferência, a figura formada chama-se cilindro circular ou, simplesmente, cilindro. A porção curva da figura constitui a superfície lateral ao passo que os círculos limitados pelos círculos produzidos pelos planos secantes são chamados bases do cilindro. Em qualquer cilindro as bases são iguais. Pode-se também imaginar que uma superfície cilíndrica seja uma superfície cônica degenerada, em que o vértice é um ponto impróprio. Por essa razão, muitos conceitos e propriedades alusivas aos cones, podem ser aplicados aos cilindros. 2.0 – PRINCIPAIS ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

• geratriz: qualquer segmento retilíneo da superfície lateral que liga um ponto de uma base a um ponto da outra de tal modo que as tangentes às bases nesses pontos são paralelas. Por esta razão, todas as geratrizes de um cilindro são paralelas e de mesmo comprimento.

• altura: distância medida entre as bases.

• eixo: reta que passa pelo centro de cada base.

• pé da geratriz: pontos de interseção de uma geratriz com os

círculos das bases.

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3.0 – CLASSIFICAÇÃO Tal como os cones, os cilindros são classificados como retos ou oblíquos (figs.56-a e b).

fig. 56

Num cilindro reto, as geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. O cilindro reto pode, também, ser gerado por um retângulo que gira em torno de um de seus lados. Nesse caso, é considerado um cilindro de revolução. A altura de um cilindro reto pode ser medida pelo comprimento da geratriz. 4.0 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA De modo a facilitar o entendimento do que se segue, admitiremos que o cilindro está apoiado pela base no plano horizontal de projeção. Em princípio, sua representação gráfica se resume em determinar as projeções dos círculos de suas bases e das geratrizes que definem os seus contornos aparentes, vertical e horizontal.

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5.0 – DESENVOLVIMENTO DA SUPERFÍCIE Desenvolver a superfície de um cilindro (ou planificá-la) consiste em assentar sua superfície lateral e as bases sobre um mesmo plano. Os procedimentos para planificar um cilindro são absolutamente semelhantes aos utilizados para planificar um prisma supostamente inscrito no cilindro. A planificação da superfície lateral de um cilindro gera uma figura plana limitada por dois segmentos de reta representativos de uma mesma geratriz tomada como geratriz de partida e fechamento e por duas curvas paralelas cujo comprimento é igual ao dos círculos das bases. As arestas do prisma se confundem com as respectivas geratrizes do cilindro. Para completar a planificação, basta fixar nos pés de qualquer geratriz os círculos das bases. Quando o cilindro é reto, a superfície lateral planificada é um retângulo (fig. 57).

fig. 57

Se o cilindro é oblíquo, a superfície lateral planificada é limitada por dois segmentos de curvas senoidais paralelas, a uma distância, uma da

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outra, uma da outra, igual ao comprimento da geratriz do cilindro(fig.59).

fig. 58

6.0 – SEÇÕES PLANAS. Quando se corta um cilindro por um plano oblíquo aos planos das bases, a seção produzida é sempre uma elipse. - Se o cilindro é reto, a projeção horizontal da elipse se confunde com as projeções das bases (fig.59) - Se o cilindro é oblíquo, a projeção horizontal da elipse é outra elipse (fig.60).

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fig. 59 fig. 60 Quando o plano secante é paralelo ou passa pelo eixo do cilindro, a seção produzida é um paralelogramo, sendo um retângulo se o cilindro for reto. Um plano que seja paralelo aos planos das bases produzirá, em qualquer cilindro, um círculo igual às das bases. 6.1 – Visibilidade da Seção A visibilidade das projeções da seção depende exclusivamente da visibilidade das projeções das geratrizes cortadas pelo plano secante. Os trechos da seção que ligam geratrizes visíveis são sempre visíveis. Se um trecho da seção liga uma geratriz qualquer (visível ou invisível) a uma geratriz invisível, esse trecho é invisível. 7.0 – TRANSFORMADA DA SEÇÃO É a curva traçada sobre a superfície planificada do cilindro, de tal maneira que, ao se dar corpo à figura projetada, cada trecho da curva, dita transformada, corresponderá e terá o mesmo comprimento de um trecho da seção produzida por um plano secante ao cilindro (fig.61).

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fig. 61

8.0 – PROJEÇÕES DE PONTOS DA SUPERFÍCIE Tal como foi convencionado para os cones, um ponto da superfície de um cilindro pertence, necessariamente, a uma de suas geratrizes. Quando o cilindro é circular o ponto pertence, também, a um círculo paralelo às suas bases, com eixo localizado no seu centro. Tal círculo vem a ser o lugar geométrico dos pontos da superfície do cilindro equidistantes, respectivamente, dos planos das bases. Tais condições são suficientes para determinar as projeções de qualquer ponto da superfície de um cilindro. Seja, então, (M) um ponto da superfície de um cilindro circular apoiado por uma de suas bases num plano horizontal (α) ou, até mesmo, no próprio plano horizontal de projeção (π). Vejamos o que ocorre nas seguintes situações:

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1ª) É dada a projeção vertical de (M) (fig.62-a e b):

figs. 62-a e 62-b Tal como ocorreu com o cone, a projeção dada pode pertencer a duas geratrizes de projeções verticais coincidentes, sendo uma visível e outra invisível. Logo, é preciso informar se tal ponto é visível ou invisível em projeção vertical. Se este dado for omitido, o problema terá duas soluções: M e M1. Os passos para resolver o problema são os mesmos dados para o caso dos cones. Inicialmente traçamos a projeção vertical da geratriz do cilindro que passa por M' e determinamos A', projeção vertical do pé dessa geratriz na base de apoio. Traçamos uma linha de chamada a partir de A' até encontrar a projeção horizontal da base de apoio do cilindro, determinando, conforme o caso, A e /ou A1. Por A e/ou A1 construímos a(s) projeção(ões) horizontal(ais) da(s) geratriz(es) (AB) e/ou (A1B1) que pode(m) conter o ponto (M). Se o cone é reto, (AB) e/ou (A1B1) se reduz(em) a um(dois) ponto(s).

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Por M' traçamos uma linha de chamada até a(s) geratriz(es) (AB) e/ou (A1B1) determinando M e/ou M1. 2ª) É dada a projeção horizontal de (M): Se o cilindro é reto, o problema é indeterminado. Se o cilindro é oblíquo os procedimentos são semelhantes aos utilizados para os cones, com algumas observa ções adicionais. Dependendo da posição de M, projeção horizontal dada, o problema pode ter uma ou duas soluções. primeira hipótese: Se M estiver localizado no interior de um dos círculos que limitam as projeções horizontais das bases do cilindro, o problema terá apenas uma solução. Se M estiver no interior da projeção horizontal da base de apoio, a geratriz que contém (M) é visível em projeção horizontal. Se M estiver no interior da projeção horizontal da base superior, a geratriz que contém (M) é invisível em projeção horizontal. Se, por outro lado as projeções horizontais das bases apresentarem uma área de superposição e M estiver localizado no interior dessa área, o problema não tem solução pois não existe geratriz que possa conter um ponto nessa situação. Nas condições possíveis, determinamos o ponto A, projeção horizontal, na base de apoio, do pé da geratriz (AB) que passa por (M) e , por linha de chamada, determinamos A'. Por A' construímos A'B', projeção vertical da geratriz (AB). Traçando uma linha de chamada por M, determinamos M' sobre A'B' , tal como mostrado na figura 63.

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fig. 63

segunda hipótese: Se M for exterior aos círculos que limitam as projeções horizontais das bases, o problema poderá ter duas soluções, pois a projeção M, dada, pode pertencer a duas geratrizes de projeções horizontais coincidentes, sendo uma visível e outra invisível , encoberta pela primeira. Se a condição de (M) não for definida o problema terá, efetivamente, duas soluções, ambas obtidas da mesma maneira. Inicialmente determinamos os pontos A e/ou A1, conforme seja o caso, projeção(·es) horizontal(ais), na base de apoio, do(s) pé(s) da(s) geratriz(es) que podem conter (M) e, a partir deles, determinamos A' e/ou A1'.

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Em seguida, construímos a(s) projeção(·es) vertical(ais) da(s) geratriz(es) A'B' e/ou A1'B1'. Por M traçamos uma linha de chamada que, ao interceptar A'B' e/ou A1'B1', determinará M' e/ou M1', tal como mostrado na figura 64.

fig. 64

3ª) São dados o afastamento e a cota de (M): Se o cilindro é reto, o problema é imediato e pode apresentar duas soluções (fig.65-a). Se o cilindro é oblíquo, os procedimentos serão semelhantes aos adotados para os cones (fig.65-b). Inicialmente, cortamos o cilindro por um plano horizontal (α) paralelo, portanto, aos planos de suas bases.

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A seção produzida será círculo paralela às bases do cilindro com centro O2 localizado no seu eixo OO1. Tal círculo é o lugar geométrico dos pontos da superfície do cilindro que têm cota igual à cota de (M). Isto quer dizer que M' está localizado na projeção vertical dessa cicunferência, O plano horizontal (α) corta as geratrizes (AA1) e (BB1), que limitam o contorno aparente vertical, nos pontos (X) e (Y). Estes pontos são extremidades de um diâmetro do círculo seção e estão em VG, tanto em projeção horizontal, quanto em projeção vertical. Determinamos, então, as projeções de (O2), (X) e (Y). Com centro em O2 e raio O2X = R (ou O2Y = R), traçamos o círculo O2,R que vem a ser a projeção horizontal do círculo-seção que contém (M). Em seguida construímos as projeções de uma reta fronto-horizontal (l) de tal modo que se tenha y(l) = y(M) e z(l) = z(M). A projeção vertical l' coincide com απ' e também contém M'. A projeção horizontal l é o lugar geométrico dos pontos que têm afastamento igual ao afastamento de (M). Isto quer dizer que M está localizado sobre l. Se l cortar o círculo O2,R em dois pontos, obteremos M e M1, possíveis projeções horizontais de (M), ou seja, o problema terá duas soluções. Se l tangenciar o círculo O2,R, obteremos apenas o ponto (M), única solução. Se l não cortar o círculo O2,R, o problema não terá solução, ou seja, não existe ponto na superfície do cilindro com afastamento e cota iguais aos de (M).

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fig. 65-a fig. 65-b 9.0 – PLANOS TANGENTES À SUPERFÍCIE Um plano que tangencia a superfície de um cilindro contém uma reta que coincide, obrigatoriamente, com uma e somente uma geratriz desse cilindro. Um plano tangente a um cilindro pode ser determinado a partir de um ponto da sua superfície ou por um ponto exterior a ela e, em quaisquer circunstâncias tangenciará suas bases. Supondo um cilindro circular apoiado por uma das bases no plano horizontal de projeção (π) e um plano (α) que lhe tangencie, vejamos os dois casos separadamente. 1º) O plano (α) passa por um ponto (M) da superfície (fig.66-a e b): A geratriz (AB) que passa pelo ponto (M) é a reta comum ao plano (α) e ao cilindro. O traço horizontal de (α), απ, tangenciará a projeção horizontal da base de apoio em A, projeção horizontal do pé da geratriz (AB). Conhecendo απ, conhecemos a direção da projeção horizontal de todas as retas horizontais de (α). Construímos, então, a reta horizontal de (α) que passa pelo ponto (M) e determinamos seu traço vertical V'. Prolongando απ até a linha de terra determinamos α0. Ligando α0 a V' determinamos απ', traço vertical de (α).

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Não sendo possível determinar α0, podemos construir outras retas horizontais de (α) que passem por pontos da geratriz (AB) . Se o cilindro é reto, qualquer plano que lhe tangencie será, obrigatoriamente, perpendicular aos planos das bases. Dependendo da posição de (M) o plano poderá ser vertical, frontal ou de perfil.

fig. 66a fig. 66b

2º) O plano (α) passa por um ponto (M) exterior à superfície: Nesse caso, o problema admitirá sempre duas soluções: (α) e (α1). Os traços horizontais de (α) e (α1), απ e α1π, tangenciam a projeção horizontal da base do cilindro. Determinamos, então, o traço horizontal (H) e o traço vertical (V) de uma reta (r) que passe pelo ponto (M) e seja paralela à direção das geratrizes do cilindro. A reta (r), nessas condições, pertence ao plano (α). Por H traçamos as duas tangentes à projeção horizontal da base do cilindro, determinando απ e α1π. Prolongando απ e α1π até a linha de terra, obtemos α0 e α10 que, ligados a V', determinam απ' e α1π'.

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Não sendo possível determinar α0 e/ou α10, podemos construir retas horizontais de (α) e/ou (α1) que passem pela(s) geratriz(es) que contém(êm) o(s) ponto(s) de tangência de απ e/ou α1π com a projeção horizontal da base de apoio do cilindro ( fig. 67).

fig. 67

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Capítulo V

ESFERA

1.0 – CONSIDERAÇÕES GERAIS A esfera é classicamente definida como o lugar geométrico dos pontos do espaço eqüidistantes de um ponto fixo (fig.68).

fig. 68

Comumente, são confundidos os conceitos de esfera e de superfície esférica os quais, basicamente, significam a mesma coisa. A esfera, na realidade, é uma superfície fechada, ao passo que a superfície esférica pode ser tratada como uma porção de superfície de uma determinada esfera. Como vimos anteriormente, a esfera pode ser gerada por um círculo que gira em torno de um de seus diâmetros e, por essa razão, é considerada uma superfície de revolução padrão.

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2.0 – PRINCIPAIS ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

• Centro: ponto eqüidistante de qualquer ponto da superfície da esfera.

• Eixo: qualquer reta que passe pelo centro da esfera. • Diâmetro: segmento de eixo limitado pela superfície da esfera. • Paralelos: círculos perpendiculares a um eixo tomado como

eixo da esfera. • Equador: paralelo que passa pelo centro da esfera. Assim, o

diâmetro do equador é igual ao diâmetro da esfera. • Meridianos: círculos que contêm o eixo da esfera.

3.0 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA A posição de um esfera em relação aos planos de projeção é, de um modo geral, irrelevante porque, em quaisquer circunstâncias, suas projeções, vertical e horizontal, serão sempre dois círculos iguais, de diâmetros iguais ao diâmetro da esfera.Tais projeções representam, respectivamente, os contornos aparentes, vertical e horizontal, da esfera (fig.69).

fig. 69

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4.0 – DESENVOLVIMENTO DA SUPERFÍCIE A esfera é uma superfície curvilínea que, teoricamente, não pode ser planificada. Ocorre, porém, que em muitos casos práticos é fundamental que a forma de um determinado equipamento seja esférica. É o caso, por exemplo, dos tanques de estocagem de GLP ou, de um modo geral, das extremidades de vasos de pressão. A planificação da superfície esférica é aproximada e deve ser feita por partes. Assim, quanto maior o número de partes, menos imperfeita será a superfície planificada. Uma das maneiras de planificar uma esfera é dividir a sua superfície em fusos (gomos) iguais (oito, pelo menos) e planificá-los separadamente (fig.70). Quanto maior o número de fusos, menos imperfeita será a esfera.

fig. 70

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Em cada fuso planificado, a distância entre os polos é igual ao comprimento de uma semi-cicunferência máxima. Dividindo a superfície esférica por paralelos eqüidistantes do equador, a esfera fica dividida em zonas esféricas de mesma altura. Quanto maior o número de zonas esféricas, menos imperfeita será a superfície planificada da esfera. Assim sendo, os fusos ficarão divididos no mesmo número de zonas esféricas. Cada porção assim definida será limitada por dois arcos de círculo cujos comprimentos serão iguais aos dos paralelos correspondentes, divididos pelo número de fusos. O semi-círculo retificado e a retificação de cada um dos arcos de paralelos definem a planificação de um fuso (fig,71). Os fusos se unem, uns aos outros, segundo pontos do equador.

fig. 71

5.0 – SEÇÕES PLANAS A seção produzida por qualquer plano numa esfera é sempre círculo. Seja (α) um plano qualquer que corta uma esfera (fig.72).

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fig. 72

As distâncias de todos os pontos da seção plana ao centro da esfera serão iguais pois são iguais a medida do seu raio. Pelo centro, (O), da esfera traçamos uma perpendicular à seção que a cortará num ponto (P). Seja (M) um ponto genérico da curva da seção.O triângulo (OPM) é retângulo em (P). Seja (N) outro ponto da curva da seção. O triângulo (OPN) é também retângulo e igual ao triângulo (OPM). Assim sendo, teremos: (PM) = (PN) Para qualquer outro ponto da seção essa igualdade se repetirá. Logo, a curva da seção será sempre um círculo. 5.1 – Visibilidade da Seção A visibilidade das projeções de qualquer seção de uma esfera dependerão exclusivamente da visibilidade de seus pontos comuns com a superfície da esfera. A projeção de um trecho da seção contido na porção visível da esfera é, evidentemente, visível.

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6.0 – TRANSFORMADA DA SEÇÃO É o conjunto de arcos de curva situados em cada parte planificada da esfera de tal maneira que, ao se dar corpo à esfera, o conjunto de arcos da curva, dito transformada, corresponderá e terá o mesmo comprimento do círculo produzida por um plano secante à esfera (fig.73).

fig. 73

7.0 – PROJEÇÕES DE PONTOS DA SUPERFÍCIE Qualquer ponto da superfície de uma esfera pertence, obrigatoriamente, a um de seus paralelos. Para facilitar a marcação de pontos sobre a sua superfície tomamos como eixo da esfera àquele pertencente a uma reta vertical que passa pelo seu centro o que faz com que a projeção horizontal do paralelo se apresente em VG no plano horizontal de projeção. Assim sendo, se for dada a projeção horizontal ou a projeção vertical de um ponto da superfície de uma esfera para que se determine a outra projeção, bastará determinar a projeção do paralelo que contenha a projeção dada (fig.74-a e b).

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fig. 74-a fig. 74-b

Este tipo de problema apresentará, sempre, duas soluções. 8.0 – PLANOS TANGENTES À SUPERFÍCIE Qualquer plano tangente à superfície de uma esfera é sempre perpendicular ao raio que contém o ponto de tangência. Dois casos podem, então, ocorrer: 1º) O ponto pertence à superfície da esfera: Nesse caso, basta construir as projeções da reta que contém o ponto dado e passe pelo centro da esfera e determinar os traços do plano que lhe é perpendicular e passa pelo ponto dado (fig.75).

103

fig. 75

2º) O ponto é exterior à esfera (fig. 76):

fig. 76

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Nesse caso o problema fica indeterminado se não for dada outra condição. Na verdade, por um ponto exterior a uma esfera passa uma infinidade de retas tangentes à esfera que formam uma superfície cônica na qual a esfera fica inscrita. Os pontos de tangência das retas com a esfera pertencem a um círculo chamado círculo de contato. A outra projeção do ponto estará situada na outra projeção do paralelo.

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Capítulo VI

HÉLICES E HELICÓIDES

1.0 – DEFINIÇÕES

• Loxodrômica: curva descrita por um ponto que se desloca sobre uma superfície geométrica curva, fazendo ângulos iguais com as geratrizes dessa superfície. Tais ângulos são formados pela tangente à curva e a tangente à geratriz, em cada ponto da curva.

• Hélice: loxodrômica cujo ponto que a descreve é animado de

movimentos simultâneos de rotação e translação em torno de uma reta fixa definida como eixo da hélice.

• Núcleo: superfície sobre a qual a hélice se apóia podendo ser, na

prática, um cilindro, um cone ou uma esfera. Nestes casos, a hélice é chamada cilíndrica, cônica ou esférica, respectivamente (figs. 77-a, 77-b e 77-c).

fig. 77-a fig. 77-b fig. 77-c

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2.0 – HÉLICE CILÍNDRICA Como vimos, é a hélice cujo núcleo é um cilindro. Se o cilindro núcleo é reto e sua base é circular, a hélice cilíndrica é considerada normal, que é o caso a ser estudado devido a sua alta aplicabilidade nas áreas técnicas, especialmente nas Engenharia Civil e Mecânica, bem como na Arquitetura. Doravante, trataremos a hélice cilíndrica normal apenas por hélice cilíndrica ou, simplesmente, hélice. 2.1 – PROPRIEDADES PRINCIPAIS Em decorrência da sua própria definição, as hélices cilíndricas apresentam as seguintes propriedades: 1ª) Os ângulos entre as tangentes à curva e as respectivas geratrizes do cilindro núcleo são iguais; 2ª) O ponto que descreve a hélice efetua dois movimentos uniformes simultâneos: um, circular em torno do eixo e outro, retilíneo, paralelo a esse eixo; 3ª) A hélice cilíndrica é uma curva que se "enrola" na superfície de um cilindro de modo uniforme e, sendo assim, sua transformada é uma reta. Concluímos então que a menor distância entre dois pontos de um cilindro reto, não situados numa mesma geratriz e nem num mesmo plano paralelo à base, é um arco de hélice. 2.2 – ELEMENTOS GEOMÉTRICOS PRINCIPAIS Além do eixo e do núcleo, são também importantes os seguintes elementos (fig.78):

• Passo da Hélice: distância entre dois pontos consecutivos da hélice, medida numa mesma geratriz, normalmente indicado pela letra p.

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• Espira: trecho da hélice compreendido entre dois de seus pontos consecutivos localizados numa mesma geratriz.

fig. 78

Em conseqüência destas definições, podemos concluir que: 1º) O comprimento do segmento que liga as extremidades de uma espira é igual ao passo da hélice;

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2º) Quando o passo é igual à altura do cilindro núcleo, a hélice só tem uma espira; 3º) A transformada de uma espira é a diagonal do retângulo representativo da planificação do cilindro núcleo, de altura igual ao passo da hélice. 2.3 – OUTRAS PROPRIEDADES Entre várias outras propriedades, vale destacar as seguintes: 1ª) A projeção ortogonal de uma hélice cilíndrica num plano paralelo ao seu eixo é uma senóide; 2ª) A projeção ortogonal de uma hélice cilíndrica num plano perpendicular ao seu eixo, coincide com a projeção horizontal da base do cilindro núcleo nesse plano; 3ª) Os traços das tangentes à hélice no plano da base do cilindro núcleo, são pontos de uma curva que vem a ser a evolvente do círculo da base do cilindro núcleo. Tanto a senóide como a evolvente serão vistas com mais detalhes posteriormente, depois de construirmos as projeções da hélice. 2.4 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Como foi dito anteriormente, o ponto que descreve a curva é dotado de dois movimentos simultâneos: um, de rotação em torno do eixo do eixo da hélice e outro, de translação, paralelo a esse eixo. O movimento de rotação pode ser traduzido pelo movimento circular uniforme da projeção ortogonal do ponto no plano de apoio da base do cilindro núcleo em torno do centro dessa base. O movimento de translação, por outro lado, pode ser traduzido pelo movimento retilíneo uniforme da projeção ortogonal do ponto no eixo do cilindro núcleo. Durante o deslocamento do ponto sobre a superfície do núcleo, as sucessivas projeções do ponto no plano de apoio da base, coincidem com a projeção horizontal do círculo da base.

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Ao mesmo tempo, as sucessivas projeções ortogonais do ponto sobre o eixo coincidem com a projeção vertical do eixo do cilindro núcleo. Podemos concluir então que, para completar uma espira, a projeção horizontal do ponto descreve inteiramente círculo da base e a projeção vertical complementa um passo. Não podemos esquecer que os pontos da hélice são pontos da superfície do cilindro núcleo. Logo, tais pontos pertencem a geratrizes desse cilindro. Em vista do exposto, para determinarmos as projeções de uma hélice cilíndrica, construímos inicialmente as projeções do cilindro núcleo de base conhecida que, não havendo outra indicação, tem altura igual ao passo, também conhecido. Dividimos, então, o círculo da base do cilindro em um número de partes iguais (oito, pelo menos), onde cada um dos pontos dessa divisão é a projeção horizontal de uma geratriz. Determinamos as projecões verticais dessas geratrizes. Em seguida, cortamos o cilindro núcleo por planos paralelos à sua base, dividindo a projeção vertical do eixo no mesmo número de partes em que foi dividida círculo da base. Estes planos determinam, na superfície do cilindro núcleo, cicunferências paralelas à sua base. Estes procedimentos podem ser identificados na figura 79a. O ponto de partida da hélice pode ser o pé de qualquer geratriz anteriormente definida. O próximo passo é numerar ordenadamente cada um dos pontos representativos das projeções horizontais das geratrizes, ou seja, 1 (ponto de partida), 2, 3, etc. Fazemos o mesmo na projeção vertical do eixo, com cada número representando o círculo de nível, ou seja, 1 (nível da base), 2, 3, etc. tendo o mais elevado, que é a base superior,também, o número 1. O ponto (1) de partida - início da espira - é a interseção da geratriz 1 com círculo de nível 1. O ponto (2) é a interseção da geratriz 2 com o círculo de nível 2. O ponto (3) é a interseção da geratriz 3 com círculo de nível 3, e assim por diante, até o último - fim da espira - que é a interseção da geratriz 1 com o círculo da base superior. A projeção horizontal da hélice coincide com a projeção horizontal da base do cilindro núcleo.

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A projeção vertical é obtida ligando-se as projeções verticais de cada um dos pontos determinados, como pode ser observado na figura 79-b.

fig. 79-a fig. 79-b 3.0 – HELICÓIDES 3.1 - CONSIDERAÇÕES INICIAIS Chamam-se helicóides as superfícies geradas por uma reta que se desloca no espaço apoiada numa hélice cilíndrica, obedecendo a condições pré-estabelecidas. A hélice, no caso, é a diretriz da superfície e a reta, a geratriz. Os helicóides mais importantes são aqueles em que o deslocamento da reta geratriz se faz obedecendo a determinadas condições em relação ao eixo do núcleo da hélice. Quando a reta geratriz se desloca perpendicularmente ao eixo e faz com ele ângulo constante, na realidade a reta está tangenciando a hélice. A superfície assim gerada é um helicóide desenvolvível, assim chamado por ser o único helicóide com tal propriedade.

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Em resumo, podemos dizer que o helicóide desenvolvível é gerado pelas tangentes a uma hélice em cada um de seus pontos. Quando a reta geratriz, durante o seu deslocamento, se apoia no eixo do núcleo da hélice diz-se que o helicóide é axial e dois casos merecem destaque: 1º) A reta geratriz se mantém paralela a um plano; 2º) A reta geratriz se mantém paralela a uma superfície retilínea de revolução. No primeiro caso, a superfície gerada é um helicóide de plano diretor. Nas aplicações práticas, o plano diretor é geralmente paralelo ao plano da base do núcleo da hélice diretriz. No segundo caso, a superfície de revolução mais utilizada é o cone reto e a superfície gerada é um helicóide de cone diretor . 3.2 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 3.2.1 - HELICÓIDE DESENVOLV ÍVEL A construção do helicóide desenvolvível passa, inicialmente, pela determinação das tangentes à hélice que serve de diretriz da superfície. Como vimos anteriormente, as tangentes a uma hélice fazem ângulos constantes com as geratrizes do cilindro núcleo em cada ponto da curva. Vimos, também, que a transformada de uma hélice cilíndrica é a diagonal do retângulo correspondente à planificação do cilindro núcleo, como pode ser visto na figura 80.

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fig. 80

Concluímos também que, ao se planificar a superfície do cilindro núcleo, as tangentes coincidirão com a própria transformada da hélice. Assim sendo, as distâncias dos pés de cada uma das geratrizes ao pé da geratriz do ponto de partida da hélice correspondem às projeções horizontais dos segmentos de tangente que ligam cada um dos pontos da hélice aos seus respectivos traços horizontais. Para determinarmos, então, as projeções da tangente num ponto específico da hélice, seguiremos os seguintes passos: 1º) Conhecidas as projeções de uma determinada hélice, planificamos seu cilindro núcleo e construímos a respectiva transformada; 2º) Identificamos, na transformada, a geratriz que contém o ponto de tangência; 3º) Identificamos o segmento que liga o pé dessa geratriz ao pé da geratriz de partida da hélice; 4º) Passando à épura, traçamos uma tangente ao círculo da base do cilindro núcleo pelo ponto que corresponde à projeção horizontal da geratriz que contém o ponto de tangência. Esta será a projeção horizontal da tangente procurada. 5º) Sobre esta projeção, no sentido contrário ao do desenvolvimento da hélice, traçamos o segmento determinado no 3º passo, a partir do ponto de tangência. A outra extremidade desse segmento é a projeção horizontal do traço da tangente em tela no PHP; 6º) Em seguida, marcamos a projeção vertical desse traço na linha de terra e a ligamos à projeção vertical do ponto de tangência. Este será um segmento da projeção vertical da tangente procurada. Para construirmos as projeções do helicóide desenvolvível basta traçarmos as projeções das tangentes pontos específicos da hélice diretriz, localizados nas geratrizes do cilindro núcleo. As projeções da hélice são as projeções da interseção do helicóide com o cilindro núcleo.

113

Ligando as projeções de mesmo nome dos traços das tangentes no PHP obtemos as projeções da interseção do helicóide com o PHP. A curva representativa da projeção horizontal dessa interseção vem a ser a evolvente do círculo (fig. 81).

fig. 81

3.2.2 - HELICÓIDE DE PLANO DIRETOR Para a construção do helicóide de plano diretor temos que dispor das projeções de duas hélices cilíndricas de passos iguais, traçadas sobre dois núcleos, um externo e outro interno, de eixo comum e bases coplanares (fig.81). Consideremos como plano diretor o plano que contém as bases de apoio dos núcleos.

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Ligando as projeções verticais de pares de pontos de cotas iguais, um de cada hélice, previamente escolhidos, obtemos a projeção vertical do helicóide. A projeção horizontal será a coroa circular definida pelas projeções horizontais das bases dos núcleos. O helicóide de plano diretor é uma superfície reversa e, portanto, não planificável.

fig. 82

3.2.3 - HELICÓIDE DE CONE DIRETOR O helicóide de cone diretor é, também, uma superfície reversa e é obtido por um segmento de reta que se desloca apoiado numa hélice cilíndrica e no seu eixo, mantendo-se paralelo às geratrizes de um determinado cone tomado como cone diretor.

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Para construir as projeções desse helicóide, sugerimos seguir os seguintes passos (fig.82): 1º) Dividir a base do cone diretor exatamente da mesma maneira como foi dividida a base do núcleo, ou seja, mesmo número de partes e mesmo sentido de numeração; 2º) Traçar, até o eixo, por cada ponto da projeção vertical da hélice, pertencente a uma determinada geratriz, segmentos respectivamente paralelos às geratrizes correspondentes do cone diretor. O conjunto desses segmentos constitui a projeção vertical do helicóide. A projeção horizontal se confunde com a projeção horizontal da base do cilindro núcleo.

fig. 83

116

Capítulo VII

INTERSEÇÃO DE SUPERFÍCIES

1.0 – CONSIDERAÇÕES INICIAIS Duas superfícies se interceptam segundo uma ou mais linhas comuns. Dependendo da forma de cada uma dessas superfícies, as linhas de interseção podem ser retas, poligonais ou curvas. Quando poligonais ou curvas podem ser planas ou reversas. Alguns casos, envolvendo interseções de superfícies, já foram estudados anteriormente. Assim, devemos lembrar que:

a) A interseção de dois planos é uma reta;

b) A interseção de um plano com um poliedro convexo é um polígono convexo;

c) A interseção de um plano com uma superfície cônica ou com

uma superfície cilíndrica é uma cônica;

d) A interseção de um plano com uma esfera é um círculo. No presente capítulo serão estudados os demais casos com ênfase àqueles de real interesse para as áreas tecnológicas. São casos que envolvem poliedros convexos, especialmente prismas e pirâmides, e superfícies curvas, especialmente cilindros, cones e esferas. O estudo das interseções de superfícies será desenvolvido metodicamente, procurando estabelecer critérios para cada caso, de modo a tornar bem simples a resolução dos problemas apresentados. Os processos gerais existentes sobre o assunto são complicados, demorados e requerem atenção redrobada durante sua execução. Para minorar, ou mesmo eliminar, essa dificuldade, optamos por colocar as figuras em posições privilegiadas em relação aos planos de projeção, já que isto pode ser conseguido com qualquer par de figuras do espaço mediante aplicações sucessivas de métodos auxiliares adequados.

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Dois prismas oblíquos, (P) e (Q), cujas arestas sejam oblíquas aos planos de projeção, por exemplo, podem ter a mesma interseção que dois outros prismas (P1) e (Q1) de seções retas respectivamente iguais às de (P) e (Q), cujas arestas laterais, paralelas aos planos de projeção, fazem entre si o mesmo ângulo que fazem as arestas laterais de (P) e (Q), sendo as arestas laterais de (P1) perpendiculares ao PHP. Se submetermos (P) e (Q) a duas mudanças de plano e a uma rotação, suas posições em relação ao novo sistema projetivo são semelhantes à de (P1) e (Q1). A determinação da interseção de (P1) com (Q1) é extremamente mais simples do que a de (P) com (Q). Assim sendo, serão adotadas as seguintes premissas: 1º) Para interseções de prismas, de pirâmides e de prismas com pirâmides:

• As arestas laterais do(s) prisma(s) e/ou o(s) eixo(s) da(s) pirâmide(s) são paralelos ao PVP;

• As arestas laterais de um dos prismas ou o eixo de uma das

pirâmides são(é) perpendiculares (perpendicular) ao PHP; 2º) Para interseção de cilindros, cones e de cilindros com cones:

• As geratrizes do(s) cilindro(s) e/ou o(s) eixo(s) do(s) cone(s) são paralelos ao PVP;

• As geratrizes de um dos cilindros ou o eixo de um dos cones são

(é) perpendiculares (perpendicular) ao PHP: 3ª) Para interseções de prismas ou de pirâmides com cilindros ou cones, dar tratamento de prisma ao cilindro e de pirâmide ao cone ou vice-versa; 4º) Para interseções de prismas/cilindros ou de pirâmides/cones com uma esfera, as arestas laterais/geratrizes ou os respectivos eixos são perpendiculares ao PHP.

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2.0 – TIPOS DE INTERSEÇÃO A interseção de duas superfícies, especialmente de poliedros, de superfícies curvas (cones, cilindros e esfera) e de poliedros com superfícies curvas, pode ocorrer, genericamente, de duas maneiras: 2.1 – PENETRAÇÃO Ocorre quando todas as arestas laterais/geratrizes de uma das figuras cortam a outra. No caso de penetração total, uma figura transpassa a outra e são determinadas duas linhas de interseção independentes: uma quando a figura transpassante "entra" e outra, quando "sai". Exemplo desse tipo é a interseção de dois cilindros de bases diferentes e eixos concorrentes. Pode ocorrer o caso de uma penetração ser parcial, ou seja, a figura "entra" mas não "sai". Nesse caso haverá somente uma linha de interseção. 2.2 – ENGASTAMENTO (ou MORDEDURA) Ocorre quando apenas uma parte das arestas laterais/geratrizes de uma das figuras corta a outra. Nesse caso, a interseção se faz segundo uma só linha, geralmente reversa. É o caso, por exemplo, da interseção de dois prismas de bases iguais e de eixos reversos. 2.3 – CASOS PARTICULARES 2.3.1 – Ponto Duplo É um caso limite entre penetração e engastamento. Ocorre quando uma das arestas laterais/geratrizes de uma das figuras corta uma aresta lateral/geratriz da outra de tal modo que o plano determinado por elas tangencia as duas figuras. A linha de interseção das figuras é uma só e tem um ponto duplo no ponto comum das arestas laterais/geratrizes concorrentes. A interseção de um prisma com uma pirâmide, tal que uma aresta do prisma e uma da pirâmide sejam concorrentes é um exemplo desse caso.

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2.3.2 – Ajustamento Ocorre quando todas as arestas laterais/geratrizes de uma das figuras cortam, respectivamente, todas as arestas laterais/geratrizes da outra. É o caso, por exemplo, da interseção de dois cilindros de bases iguais e eixos perpendiculares. 3.0 – PROCEDIMENTO GERAL Considerando os objetivos do presente trabalho, serão abordados casos específicos que permitem estender os procedimentos adotados para qualquer outro caso em que seja necessário determinar a interseção de duas figuras espaciais. Serão vistos somente casos de interseção de prismas e pirâmides regulares, bem como de cones e cilindros retos, cujos eixos, arestas laterais e/ou geratrizes sejam paralelos ou perpendiculares aos planos de projeção. A primeira providência, evidentemente, é construir com traços finos e leves as projeções das duas figuras conforme os elementos fornecidos. As linhas de interseção são obtidas utilizando-se superfícies auxiliares que cortem ambas as figuras. As superfícies auxiliares utilizadas são geralmente planos paralelos a uma direção convenientemente escolhida. Preferencialmente, tais planos devem ser paralelos a um dos planos de projeção. Devido à posição privilegiada das figuras em relação aos planos de projeção, a simples análise de suas projeções horizontais permite identificar o tipo de interseção em estudo. Quando houver dúvida, basta construir as projeções do conjunto no 3º plano de projeção (plano de perfil) que, aliás, em muitos casos, será de grande valia na determinação de pontos das linhas de interseção. Os pontos simultaneamente comuns aos planos auxiliares e às figuras são pontos das linhas de interseção. Para complementar, verificamos a visibilidade de cada um dos trechos de cada uma das interseções, respeitando, naturalmente, a visibilidade das projeções de cada um dos prismas isoladamente e as partes em que um encobre o outro.

120

4.0 – PLANIFICAÇÃO DAS FIGURAS A planificação (ou desenvolvimento) das superfícies das figuras, após a determinação das linhas de interseções, são feitas utilizando procedimentos absolutamente iguais aos já vistos para poliedros e superfícies curvas, em geral e constitui parte importantíssima nessa área de estudo. 5.0 – CASOS ESPECÍFICOS 5.1 – INTERSECÃO DE PRISMAS 5.1.1 - Características do Conjunto Prisma (P1): Prisma regular de base hexagonal (ABCDE) apoiada no PHP onde:

a) Uma aresta da base faz 45ºD, mede 30 mm e seu vértice mais próximo do PVP tem afastamento igual a 15 mm;

b) A altura mede 90 mm.

Prisma (P2): Prisma regular de base quadrada (MNPQ), onde:

a) O segmento que liga os centros das suas bases, bem como duas arestas laterais opostas, são concorrentes com o segmento que liga o centro das bases do prisma (P1) e fazem, com ele, ângulo de 30º.

b) A altura mede 110 mm e um vértice de uma das bases tem cota

nula. 5.1.2 – Determinação da Interseção Através da projeção horizontal do conjunto podemos verificar que todas as arestas laterais de (P2) cortam (P1). Trata-se, pois, de um caso

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de penetração total, o que indica que serão duas as linhas de interseção (fig. 83).

fig. 83

Os planos auxiliares, no caso, serão frontais e cobrirão o espaço comum às bases de cada prisma. Em outras palavras, os planos serão os seguintes:

1) (α)1: contém a aresta lateral do prisma (P2) que passa por N;

2) (α)2: passa pelo vértice (B) do prisma (P1);

3) (α)3: contém as arestas laterais do prisma (P2) que passam por 4) (M) e por (P);

5) (α)4: passa pelo vértice (E) do prisma (P1);

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6) (α)5: contém a aresta lateral do prisma (P2) que passa por (Q). Cada um destes planos determina na superfície lateral do prisma (P1) duas retas verticais que concorrem com uma reta frontal da superfície lateral do prisma (P2). Cada um dos dois pontos de concorrência determinado pertence a uma das linhas de interseção dos dois prismas. Estes pontos devem ser numerados conforme os planos que os determinaram. Assim, o plano (α1) determina os pontos (1)/(11), o plano (α2) os pontos (2)/(21) e (8)/(81), o plano (α3) os pontos (3)/(31) e (7)/(71), o plano (α4) os pontos (4)/(41) e (6)/(61) e, finalmente, o plano (α5) os pontos (5)/(51). As projeções dos pontos (1), (2), (3), etc. são projeções de uma das linhas de interseção dos dois prismas. As projeções dos pontos (11), (21), (31), etc. são projeções da outra linha de interseção. A figura 84-a, a seguir, mostra a superfície planificada do prisma (P1).

fig. 84-a

A figura 84-b mostra a superfície planificada do prisma (P2).

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fig. 84-b

5.2 – INTERSEÇÃO DE PRISMA COM PIRÂMIDE 5.2.1 - Características do Conjunto Pirâmide (P1): Pirâmide regular de base pentagonal (ABCDE) apoiada no PHP, onde:

a) O raio da base mede 30 mm, seu centro está afastado 30 mm do PVP e uma de suas arestas é paralela à linha de terra;


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Prisma (P2): Prisma regular base triangular (MNP), onde:

a) O plano definido pelas arestas laterais que contêm (M) e (N) é de nível e corta o eixo da pirâmide no seu ponto médio;

b) As arestas da base medem 30 mm e são eqüidistantes do eixo da

pirâmide;

c) A aresta lateral que contém (P) tem a menor cota possível;

d) A arestas laterais medem 80 mm. 5.2.2 – Determinação da Interseção Com base nos dados fornecidos, construímos as projeções das duas figuras utilizando o 3º plano de projeção obtendo, assim, a vista lateral do conjunto (fig. 85).

fig. 85

125

A simples observação das projeções horizontais das figuras pode não permitir, nesse caso, que se determine, com clareza, qual o tipo de interseção. Na vista lateral do conjunto podemos verificar que a interseção é do tipo engastamento. Os planos auxiliares poderão ser frontais ou de nível. Utilizaremos, nesse caso, tanto um quanto o outro. Caminhando no prisma no sentido M1P1N1, os planos de nível serão os seguintes:

1) (α1): passa pelas arestas laterais do prisma que contêm (M) e (N);

2) (α2): passa pela interseção das arestas laterais (VC) e (VE) da

pirâmide com a face do prisma que contém (MP);

3) (α3): passa pela aresta lateral do prisma que contém (P);

4) (α4): passa pela interseção da aresta lateral (VD) da pirâmide com a face do prisma que contém (N) e (P).

5) (α5): contém o eixo da pirâmide (plano frontal); A seção produzida por cada dos planos de nível é um pentágono regular. As interseções das arestas laterais do prisma com cada um desses pentágonos são pontos de interseção dos dois poliedros, desde que não ultrapassem os limites impostos pelo plano (α5). Na vista lateral podemos constatar que à esquerda de α5π não há pontos da interseção. O plano (α5) permite, também, determinar os pontos onde a aresta lateral que contém (P) intercepta a pirâmide. A figura 86-a, a seguir, mostra a superfície planificada da pirâmide (P1)

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fig. 86-a


fig. 86-b

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5.3 – INTERSEÇÃO DE CILINDROS 5.3.1 - Características do Conjunto Cilindro (C1): Cilindro reto com uma base apoiada no PHP, onde:

a) O raio da base mede 30 mm e seu centro tem afastamento igual a 35 mm;


Cilindro (C2): Cilindro reto com eixo paralelo à linha de terra, onde:

a) Os eixos de (C1) e de (C2) são ortogonais.

b) O raio da base mede 20 mm e seu centro tem afastamento igual a 45 mm;

c) A altura mede 100 mm;

5.3.2 – Determinação da Interseção Construídas as projeções do conjunto, verificamos que as geratrizes de maior afastamento de (C1) e de (C2) são coplanares. É um caso típico de ponto duplo. Podemos usar somente planos de nível como planos auxiliares. Também nesse caso a determinação das projeções do conjunto, bem como dos pontos da linha de interseção fica facilitada com a terceira projeção (vista lateral) (fig. 87).

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fig. 87

Nessa vista dividimos o círculo da base de C2 em partes iguais (pelo menos 8) e definimos os 5 planos auxiliares:

1) (α1): passa por (3);

2) (α2): passa por (2) e (4);

3) (α3): passa por (1) e (5);

4) (α 4): passa por (8) e (6);

5) (α5): passa por (7); As interseções das geratrizes de (C1) e de (C2) determinadas pelos planos auxiliares são pontos da interseção. O ponto (5) é o ponto duplo.

129

A figura 88, a seguir, mostra a superfície planificada do cilindro (C1).

fig. 88

5.4 - INTERSEÇÃO DE PRISMA COM CONE 5.4.1 - Características do Conjunto Cone (C1):

a) Cone reto apoiado pela base no PHP, tal que:

b) O raio da base mede 30 mm e o afastamento do seu centro é 35 mm;

c) A altura mede 70 mm.

Prisma (P1): Prisma regular de base hexagonal com arestas laterais paralelas ao PVP.

a) O eixo do prisma mede 80 mm e passa pelo ponto médio do eixo do cone;

b) O raio da base mede 15 mm;

c) Duas faces laterais opostas são perpendiculares ao PHP.

130

5.4.2 - Determinação da Interseção A determinação das projeções do conjunto devem ser feitas com auxílio da 3ª projeção (vista lateral), o que nos permite verificar que a interseção é do tipo penetração (figs. 89).

fig. 89

Neste caso, é mais conveniente utilizar, também, planos auxiliares de nível. Os planos auxiliares devem conter, no mínimo, as arestas laterais do prisma. Quanto mais planos cortarem o prisma, mais precisa será a construção das linhas de interseção. Na vista lateral do conjunto traçamos as projeções das geratrizes do cone que contêm as projeções dos vértices do prisma. Transferindo as projeções laterais dos pés dessas geratrizes para a projeção horizontal do conjunto, obtemos as projeções horizontais de tais geratrizes que, ao cortarem as projeções horizontais das arestas laterais do prisma, determinam as projeções horizontais das linhas de interseção. As projeções verticais desses pontos são determinados nas respectivas projeções verticais daquelas geratrizes.

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Teremos então:

1) (α1) ≡ A'

2) (α2) ≡ B' ≡ F'

3) (α3) ≡ C' ≡ E'

4) (α4) ≡ D'

A figura 90-a, a seguir, mostra a superfície planificada do cone (C1).

fig. 90-a


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fig. 90-b

5.5 - INTERSEÇÃO DE CILINDRO COM ESFERA 5.5.1 - Características do Conjunto Cilindro (C1): Cilindro reto apoiado por uma das bases no PHP.

a) O raio da base mede 15 mm e o afastamento do seu centro é 50 mm;

b) A altura do cilindro é 90 mm.

Esfera (E1):

a) O raio da esfera mede 30 mm e seu centro tem cota 45 mm e afastamento 35 mm;

b) O centro da esfera coincide com o ponto médio do eixo do

cilindro.

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Como pode ser visto na projeção horizontal do conjunto, trata-se de uma interseção de ponto duplo (fig. 91).

fig. 91

Os planos auxiliares serão de nível e para obter seus traços verticais dividimos o eixo vertical da esfera em partes iguais (seis, pelo menos). As interseções dos planos auxiliares com a esfera são círculos de centro no eixo da esfera e que se projetam em VG no PHP. Os pontos

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em que estas projeções cortam a projeção horizontal da base de apoio do cilindro, são projeções horizontais de pontos da linha de interseção. As projeções verticais destes pontos estão localizadas, respectivamente, nos traços verticais dos planos auxiliares. Assim, teremos:

1) (α1) na cota 75; 2) (α5) na cota 55;

3) (α4) na cota 65;

4) (α6) na cota 45;

5) (α7) na cota 35;

6) (α11) na cota 15

7) (α8) na cota 25;

Além desses, temos ainda os seguintes planos:

8) ( α2) e (α10), que cortam o cilindro de tal modo que o raio do círculo da seção é igual ao raio do cilindro;

9) (α3) e (α9), que cortam o cilindro de tal modo que o círculo da

seção corta as geratrizes do contorno aparente vertical do cilindro.

Os círculos correspondentes às seções produzidas na esfera pelos planos (α2), (α3), (α9) e (α10), deverão ser representados a partir de suas projeções horizontais. Neste caso, em particular, apresentamos apenas a planificação do cilindro, supondo a esfera rígida e dotada de massa. A figura 92, a seguir, mostra a superfície planificada do cilindro (C1).

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fig. 92

136

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GEOMETRIA DESCRITIVA APLICADA AOS SÓLIDOS … · 1 GEOMETRIA DESCRITIVA APLICADA AOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Paulo Sérgio Brunner Rabello Professor Adjunto da Universidade do Estado