Geometria Descritiva Apostila_GD_Tradicional_2011_1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Faculdade de Arquitetura Departamento de Expresso Grfica

Professoras: Anelise Todeschini Hoffmann Jocelise Jacques de Jacques Coordenador: Fbio Gonalves Teixeira Porto Alegre, julho de 2008.

Departamento de Expresso Grfica Faculdade de Arquitetura

ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A

1. NOES DE UTILIZAO DOS INSTRUMENTOS DE DESENHO A utilizao correta dos esquadros em geometria descritiva de fundamental importncia para a obteno da preciso necessria na soluo dos problemas. Estes so utilizados para o traado de linhas horizontais e verticais e serve tambm como apoio, permitindo o traado de linhas em ngulos determinados (30, 45, 60 e outros).

90 30 45

60

Um recurso para o traado de linhas com ngulos diferentes a combinao dos esquadros, apoiados, como nos exemplos.

15 75

O traado de retas paralelas ou perpendiculares a determinada direo pode ser realizado movendo-se um esquadro apoiado sobre o outro que permanece fixo.

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2. INTRODUO AO ESTUDO DE GEOMETRIA DESCRITIVA

Fonte: www.revistagalileu.globo.com

No final do sculo XVIII, o Exrcito Francs era o nico que dispunha de mtodos de clculo para determinar as melhores posies para escapar do fogo da artilharia inimiga. Para fugir dos complicados clculos usualmente empregados nesse e em outros problemas da engenharia militar, o matemtico Gaspar Monge (17461818) desenvolveu uma tcnica onde era possvel representar as manobras militares, de tal forma que nada ficasse sob a mira do inimigo, porm ela era to simples que no recebeu ateno dos superiores. Assim comeou a Geometria Descritiva de Monge, que hoje estudada nos primeiros anos de todas as reas de engenharia e se aplica no somente a desenhos e projetos tcnicos, mas tambm nas artes e na fotografia devido a sua aplicao no estudo das perspectivas (Kawano, 2003). Portanto de enorme importncia do ponto de vista tecnolgico e, segundo Caldonazo (1999), sem ela a engenharia no teria progredido tanto no sc. XX. No mtodo de Monge, todo objeto ou figura no espao representado por duas projees em um plano s, colocando em uma folha de papel plana o que visualizado no espao de trs dimenses (Kawano, 2003). A Geometria Descritiva a cincia que permite representar sobre um plano os elementos do espao, tornando possvel a resoluo de problemas referentes sua forma, grandeza e posio, graficamente (Borges,Barreto & Martins, 1991). O esquema desenvolvido por Monge, facilita a visualizao de relaes espaciais e se constitui em mtodo para a resoluo grfica de problemas (Caldonazo, 1999).

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Para a representao de um objeto (3 dimenses) sobre um plano (2 dimenses) utilizam-se os Sistemas Projetivos, que so compostos pelos seguintes elementos: objeto, plano de projeo, projetantes, centro de projeo, e projeo do objeto. SISTEMA DE PROJEO CNICO As projetantes so convergentes ao centro de projeo.

SISTEMA DE PROJEO CILNDRICO OBLQUO As projetantes so paralelas entre si e oblquas ao plano de projeo.

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SISTEMA DE PROJEO CILNDRICO ORTOGONAL As projetantes so paralelas entre si e perpendiculares ao plano de projeo.

A Geometria Descritiva une a compreenso do espao tridimensional e os conceitos do Sistema de Projees Cilndrico Ortogonal atravs do mtodo idealizado por Gaspar Monge no sculo XVIII.

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3. SISTEMA MONGEANO Monge imaginou dois planos que se interceptam perpendicularmente dividindo o espao em quatro diedros, numerados de forma anti-horria (no sentido trigonomtrico). Nestes planos os objetos estudados so projetados ortogonalmente e ento, o sistema planificado.

z 2 Diedroo

1o Diedro

Linha de terra y x 3o DiedroPlano frontal de projeo Plano horizontal de projeo

4o Diedro

Que objeto est sendo projetado nos planos horizontal e frontal de projeo?

Insero de mais um Assim, atravs da anlise plano de projeo plano conjunta das trs projees possvel determinar a auxiliar ou 0. forma, a grandeza e a posio dos elementos do espao.

O emprego do plano auxiliar , muitas vezes, indispensvel soluo de problemas.

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4. PLANIFICAO DO SISTEMA MONGEANO Para que este mtodo alcanasse o objetivo de analisar os objetos tridimensionais obtendo as facilidades da geometria plana tornou-se necessria a transposio destes conceitos para um meio bidimensional, decorrendo a planificao do Sistema Mongeano. Para tanto, faz-se girar o plano horizontal em torno da linha de terra de modo que a parte posterior do mesmo coloque-se sobre a parte inferior do plano frontal. Z Z Z

Y X Y X Y X Y Assim, tem-se a pura, a qual o sistema de representao criado por Monge, obtida atravs do rebatimento do plano horizontal de projeo sobre o plano frontal de projeo. A pura apresenta diferentes projees de um mesmo objeto, portanto, a pura a planificao do sistema X,Y,Z. Z Z

Y

Y X X Y Y Y

importante ressaltar que no Brasil a pura a planificao do 1o Diedro, enquanto em outros pases trabalham com a planificao do 3o Diedro. Z

X

Y

Y

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Planificao simplificada do Sistema Mongeano

Z X

Y

Convenes (BORGES, BARRETO & MARTINS, 1991)

NOTAOPONTOS RETAS PLANOS PROJEES HORIZONTAIS PROJEES FRONTAIS Letras latinas maisculas Letras latinas minsculas Letras gregas minsculas ndices mpares ndices pares

A, B, C, D, ... a, b, c, r, s, ... , , , , ... A1, r1, 1, ... A2, r2, 2, ...EMPREGO

TRAADOLINHA grossa mdia fina TIPO Solues Linha de terra Linhas no visveis Linhas de chamada e auxiliares Eixos de simetria Importante: Deve-se arbitrar as espessuras de forma que fiquem nitidamente distintas entre si. Uma vez escolhida a espessura da linha grossa, a linha mdia fixada como a metade da primeira e a fina a metade da segunda, aproximadamente.

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5. ESTUDO DO PONTO Para determinarmos a posio de um ponto no espao, necessrio projet-lo sobre os dois planos de projeo ortogonais plano de projeo horizontal (X,Y) e plano de projeo frontal (X,Z). O ponto representado por suas coordenadas descritivas. z

P2 P0

P (x, y, z)

P

x

P1 y

Z P2 Cota P0

P1 (x, y) projeo de P no plano horizontal P2 (x, z) projeo de P no plano frontalY

X Abscissa P1

Afastamento

P0 (y, z) projeo de P no plano auxiliar

Y

LINHA DE TERRA interseo do plano horizontal e frontal de projeo PROJEES ORTOGONAIS DE P P1, P2, P0 PROJETANTE - a perpendicular traada do ponto do espao sua projeo ortogonal ( PP2, PP1, PP0)

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LINHA DE PROJEO OU LINHA DE CHAMADA - toda linha perpendicular a linha de terra, que une as projees de um mesmo ponto, ou seja, a projeo das projetantes. Coordenadas descritivas do ponto:

P (x, y, z)

Abscissa (X) a distncia do ponto (objeto) ao plano auxiliar de projeo. Ou seja, o quanto o ponto se afasta da origem do sistema.

Afastamento (Y) a distncia do ponto (objeto) ao plano frontal de projeo. Ou seja, o quanto o ponto se afasta do plano frontal.

Cota (Z) a distncia do ponto (objeto) ao plano horizontal de projeo. Ou seja, a altura do ponto em relao ao plano horizontal.

Estas coordenadas descritivas dos elementos na geometria descritiva correspondem a largura, profundidade e altura de um objeto. z1 Diedro

2 Diedro

z1 Diedro

2 Diedro

B -y 0 x C3 Diedro

H A P y x D -z4 Diedro 3 Diedro

-y 0 F T -z4 Diedro

y

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Departamento de Expresso Grfica Faculdade de Arquitetura z B1 B2 x D2 A1 C2 D1 y C1

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z P1 H2

A2 x

P2

T1

F2 H1

T2 F1 y

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6. ESTUDO DA RETA Uma reta determinada pelo deslocamento de um ponto em uma determinada direo. Pode-se represent-la por dois pontos e identificada por letras latinas minsculas.

A

B r

Uma reta no espao pode ocupar trs posies distintas em relao a um plano de projeo, sendo que cada uma delas resulta em um tipo de projeo particular: reta paralela ao plano de projeo ( // ) reta perpendicular ao plano de projeo () reta oblqua ao plano de projeo ( )

projeo em verdadeira grandeza (VG) a projeo igual a reta

projeo acumulada (PA) a projeo da reta um ponto

projeo reduzida (PR) projeo menor que a reta

De acordo com o mtodo mongeano, determina-se a posio de uma reta no espao atravs de suas projees sobre dois planos de projeo ortogonais: plano de projeo horizontal, plano de projeo frontal. A reta pode ocupar 7 posies distintas com relao aos planos horizontal e frontal de projeo. Reta fronto-horizontal Reta horizontal Reta frontal Reta vertical Reta de topo Reta de perfil Reta oblqua ou qualquer

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