Geometria descritiva meu

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Geometria Descritiva 2013

ÍNDICE

1 Introdução------------------------------------------------------------------------------------4

1.1 O que é Geometria-------------------------------------------------------------------4

1.2 Partes da Geometria-----------------------------------------------------------------5

1.3 OBJETVO-------------------------------------------------------------------------------5

1.4 OBJETIVOS----------------------------------------------------------------------------5

2 Elementos da Geometria Descritiva---------------------------------------------------6

2.1 Ponto-------------------------------------------------------------------------------------6

2.2 Recta-------------------------------------------------------------------------------------6

2.2.1 Direcção de uma recta---------------------------------------------------------6

2.2.2 Definir uma recta-----------------------------------------------------------------6

2.3 Semi-recta------------------------------------------------------------------------------7

2.3.1 Segmento de recta--------------------------------------------------------------8

2.4 Divisão de segmento de recta em partes iguais------------------------------8

2.4.1 Divisão de um segmento de recta em quatro partes iguais-----------9

Procedimento de construção---------------------------------------------------------------9

2.4.2 Divisão de um segmento de recta em várias partes iguais. (Processo geral)----------------------------------------------------------------------------9

2.5 Ângulos---------------------------------------------------------------------------------10

3 Figuras Geométricas---------------------------------------------------------------------10

3.1 Polígonos------------------------------------------------------------------------------11

3.2 Divisão da circunferência em partes iguais.----------------------------------12

3.3 Divisão da circunferência em três partes iguais:----------------------------12

3.4 Divisão da circunferência em quatro partes iguais:-------------------------12

3.5 Divisão da circunferência em cinco partes iguais:--------------------------13

3.6 Divisão da circunferência em seis partes iguais:----------------------------14

3.7 Divisão da circunferência em sete partes:------------------------------------15

3.8 Divisão da circunferência em oito partes iguais:----------------------------15

3.9 Divisão da circunferência em nove (9) partes iguais (construção do Eneágono)-------------------------------------------------------------------------------------16

3.10 Divisão da circunferência em dez 10 partes iguais (dodecágono)------17

3.11 Divisão da circunferência em onze (11) partes iguais (undecágono)- -17

3.12 Divisão da circunferência em doze 12 partes iguais (dodecágono)----18

3.13 Alguns quadriláteros----------------------------------------------------------------18

4 Curvas---------------------------------------------------------------------------------------20

4.1 Conceito--------------------------------------------------------------------------------20

4.2 Elipse-----------------------------------------------------------------------------------21

ISCED Instituto Superior de Ciências da Educação 2013

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4.3 Procedimento de construção-----------------------------------------------------22

4.4 Parábola-------------------------------------------------------------------------------23

4.5 Hipérbole------------------------------------------------------------------------------24

5 CONCORDÂNCIA------------------------------------------------------------------------24

6 Sólidos Geométricos---------------------------------------------------------------------36

6.1 Conceito--------------------------------------------------------------------------------36

6.2 Pirâmides------------------------------------------------------------------------------37

6.3 CILINDRO-----------------------------------------------------------------------------37

6.4 CONE-----------------------------------------------------------------------------------38

6.5 PRISMA--------------------------------------------------------------------------------38

6.5.1 Prisma triangular---------------------------------------------------------------39

6.5.2 Prisma pentagonal-------------------------------------------------------------39

6.5.3 Prisma quadrangular----------------------------------------------------------39

6.5.4 Prisma hexagonal--------------------------------------------------------------40

6.6 Esfera-----------------------------------------------------------------------------------40

6.7 PIRÂMIDE-----------------------------------------------------------------------------40

7 Norma técnica-----------------------------------------------------------------------------41

7.1 Formato papel------------------------------------------------------------------------41

Formato de Papel----------------------------------------------------------------------------41

7.2 Esquadria------------------------------------------------------------------------------42

7.3 Legendas e Esquadria-------------------------------------------------------------42

7.4 Esquadria------------------------------------------------------------------------------44

7.5 Traço------------------------------------------------------------------------------------45

7.5.1 Espessuras dos traços-------------------------------------------------------45

7.5.2 Tipos de traços-----------------------------------------------------------------45

7.5.3 Quanto ao tipo são classificados em :------------------------------------45

7.5.4 Traços sua utilização ou aplicação----------------------------------------46

7.6 Vistas-----------------------------------------------------------------------------------46

7.6.1 As vistas podem ser:----------------------------------------------------------47

7.6.1.1 Vista de frente, è a projecção do objecto.--------------------------47

7.6.1.2 Vista a esquerda----------------------------------------------------------47

7.7 Cortes-----------------------------------------------------------------------------------47

7.7.1 Podem ser de dois tipos:-----------------------------------------------------48

7.7.1.1 Cortes simples:------------------------------------------------------------48

São aqueles que se obtêm em resultado da utilização de um só plano de corte.---------------------------------------------------------------------------------------48

7.7.1.2 Cortes complexos:-------------------------------------------------------48


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7.7.1.2.1 Cortes horizontal-----------------------------------------------------49

7.7.1.2.2 Cortes inclinado ou oblíqua--------------------------------------49

7.7.2 Secções--------------------------------------------------------------------------50

8 Noção de projecção----------------------------------------------------------------------50

8.1 Plano de projecção------------------------------------------------------------------51

9 Conclusão-----------------------------------------------------------------------------------52

10 Referencia Bibliográfica:--------------------------------------------------------------53

1 IntroduçãoA Geometria Descritiva é uma ciência desenvolvida no século XVIII por

Gaspar Monge (MONGE, 1811) com o objectivo de optimizar o projecto e a construção de fortificações.


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A partir daí, este conhecimento passou a ser tratado como ciência militar, sendo ensinado nas escolas militares até os dias actuais. Os cursos de Engenharia tiveram suas origens nas escolas militares no final do século XIX (MIRANDA, 2001) e a geometria descritiva é disciplina básica dos seus currículos desde então.

Apesar de ter sido criada como ferramenta de projecto, o ensino de geometria descritiva não faz relação alguma com o projecto. Esta disciplina tem sido tratada pelos professores, tradicionalmente, como ciência pura, como física e matemática, exigindo um grande esforço de abstracção para o seu aprendizado. Este trabalho propõe uma metodologia inovadora para o ensino de geometria descritiva, no sentido de vincular esta ciência ao seu objectivo original o projecto. Desta forma, as técnicas de representação, projecções e métodos descritivos têm como enfoque principal a solução de problemas de projecto. A metodologia proposta está apoiada em dois pilares fundamentais que são: um novo enfoque na apresentação dos conteúdos, baseado em situações concretas, e uma nova metodologia de ensino, onde os alunos utilizam os conceitos de Geometria Descritiva no desenvolvimento de projectos.

1.1 O que é Geometria

Palavras-chave: Geometria Descritiva, Aprendizagem baseada em projectos, Sólido.

Geometria é uma palavra que resulta dos termos gregos "geo" (terra) e "métron" (medir), cujo significado em geral é designar propriedades relacionadas com a posição e forma de objectos no espaço.


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A Geometria é a área da Matemática que se dedica a questões relacionadas com forma, tamanho, posição relativa entre figura, propriedades do espaço, dividindo-se em várias subáreas, dependendo dos métodos utilizados para estudar os seus problemas.

1.2 Partes da Geometria A geometria divide-se em vários ramos:

Geometria analítica Geometria com complexos Geometria descritiva Geometria esférica Geometria euclidiana Geometria fractal Geometria projectiva Trigonometria

Geometria Descritiva, é a ciência que tem por fim representar num plano, as figuras do espaço, de maneira tal que, nesse plano, se possam resolver todos os problemas relativos a essas figuras. Ela foi criada no fim do século XVIII, pelo matemático francês Gaspar Monge.

1.3 OBJETVO

Estuda as propriedades e as relações entre pontos, curvas, rectas superfície, superfícies no plano e no espaço.

1.4 OBJETIVOS

Ajudar e dar subsídios para o aluno:

Compreender a teoria sobre as projeções e perceber as conseqüências da aplicação dela na obtenção de soluções gráficas e de representações utilizadas habitualmente na comunicação de dados espaciais no ambiente técnico.

Experimentar a aplicação da teoria das projecções em exercícios de complexidade variada. Isso se fará através dos usos dos métodos mais comummente utilizados ou os mais adaptados ao tipo de raciocínio e/ou habilidade desejada ao profissional de arquitectura.

Desenvolver critérios de avaliação do método mais eficiente e vantajoso para conseguir produzir uma representação que comunique com a clareza adequada a solução de problemas geométrico - espaciais.


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Encontrar-se apto a desenvolver a sua capacidade de interpretação e de solução de problemas espaciais nas demais disciplinas do curso, usando métodos básicos e avançados.

2 Elementos da Geometria Descritiva

Os elementos geométricos são: Ponto, Recta e Ângulos.

2.1 Ponto

Ponto como elemento das Geometria Descritiva é a unidade base da Geometria não possuindo dimensão real, é uma abstracção, uma forma infinitamente pequena. O ponto cuja origem etimologia vem do Latim (punctus, que se refere a lugar, posição), no plano ou no espaço uma dada posição, um lugar específico.

Em função do exposto o ponto enquanto elemento geométrico, não tem apresentação possível. No entanto para assinalar um ponto em Geometria, recorre-se frequentemente a representação de duas linhas rectas que se interceptam, de forma a assinalar no papel o lugar que o ponto se situa – o ponto será assim o ponto de intersecção dessas duas linhas rectas.

2.2 Recta

Recta é um conjunto infinito de pontos, dispostos sucessivamente e infinitamente próximos uns dos outros ao longo de uma dada direcção. Uma recta é um elemento puramente unidimensional – não tem espessura (uma vez que é gerada por formas infinitamente pequenas), possuindo apenas comprimento. Alguns autores consideram que a recta é a sequências de posições que um dado ponto ocupa quando se movimenta ao longo de uma dada direcção. Esses autores a recta são entendidas como um percurso.

Tal como o ponto, a recta é uma abstracção, é uma linha infinita (sem princípio nem fim) e sem espessura. No entanto ao desenharmos, na folha de papel, uma linha recta, observamos que esta possui uma dada espessura (a espessura do riscador) e dos extremo (em função do condicionalismo imposto pelas dimensões da folha de papel, no campo visual)

2.2.1 Direcção de uma recta

Por direcção de uma recta entende-se a posição que a recta possui no campo visual ou no espaço, relativamente as referências visuais se é vertical, horizontal ou oblíqua.

2.2.2 Definir uma recta

No plano ou na recta é possível definir uma infinidade de rectas, os elementos que nos permitem são aqueles que definem uma única recta, a infinidade de rectas que existem no plano ou no espaço, sem deixar margem a dúvidas.


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Uma recta pode ser definida por dois pontos ou por um ponto e uma direcção.

2.3 Semi-rectaSemi-recta é uma recta que tem princípio e não tem fim.

Exemplo:


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2.3.1 Segmento de rectaÉ uma linha plana com princípio e fim. Exemplo:

2.4 Divisão de segmento de recta em partes iguais

2.4.1 Divisão de um segmento de recta em quatro partes iguais

Procedimento de construção

Divide-se o segmento de recto dado em duas partes iguais (processo anterior).


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Em seguida fazendo centro no ponto A e C, com uma abertura qualquer do compasso, mas superior a metade da distancia AC.

Descrevem-se dois arcos que, intersectando-se determinam os pontos por onde há-de passar a mediatriz do segmento AC.

Fazendo o mesmo para o segmento BC temos o segmento de recta AB dividido em quatro partes iguais.

2.4.2 Divisão de um segmento de recta em várias partes iguais. (Processo geral)


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2.5 Ângulos

Por ângulo entende-se uma região do plano (superfície plana) compreendida entre duas semi-rectas (lados do ângulo) com direcção diferente e a mesma extremidade (vértice do ângulo), um ângulo é uma entidade bidimensional.

Bissectriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados dos ângulos, a bissectriz de um ângulo divide o ângulo em dois ângulos geometricamente iguais.

Os pontos A e B estão equidistantes dos lados dos ângulos – r e s.

.

3 Figuras Geométricas

Figuras geométricas são conjuntas de pontos. Planas: quadrados, rectângulos, triângulos, losango, trapézios e etc. Figuras Planas As figuras planas só podem ser desenhadas no plano (papel, parede, etc.). Com essas figuras só conseguimos calcular a área e o perímetro. Para se calcular o perímetro basta somar as medidas de seus lados (contorno). Já a área cada figura tem uma formula: -quadrado: lado x lado rectângulo: base x altura -triângulo: (base x altura): 2 - trapézio: [(base maior + base menor):2] x altura -losango: (diagonal maior x diagonal menor): 2

Figuras Espaciais Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço, onde estudamos as figuras que possuem mais de duas dimensões, essas figuras recebem o nome de sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais, são conhecidas como: prisma (cubo, paralelepípedo), pirâmides, cone, cilindra, esfera. Essas figuras ocupam um lugar no espaço, então a geometria espacial é responsável pelo cálculo do volume (medida do espaço ocupada por um sólido) dessas figuras

3.1 Polígonos Polígono é toda figura formada por uma linha poligonal fechada mais a sua região interna.

Polígono regular: apresenta todos os lados iguais e todos os ângulos iguais.

O género (n) de um polígono é dado pelo número de lados desse polígono.


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O número de lados é igual ao número de vértices.

De acordo com o número de lados, cada polígono recebe um nome próprio que o identifica:

Podemos obter um polígono dividindo a circunferência em n partes iguais recebendo o nome segundo a tabela abaixo:

N = 3 - triângulo ou trilátero N = 12 – dodecágono

N = 4 – quadrilátero N = 13 – tridecágono

N = 5 – pentágono N = 14 – tetradecágono

N = 6 – hexágono N = 15 – pentadecágono

N = 7 – heptágono N = 16 – hexadecágono

N = 8 – octógono N = 17 – heptadecágono

N = 9 – eneágono N = 18 – octadecágono

N = 10 – decágono N = 19 – eneadecágono

3.2 Divisão da circunferência em partes iguais. Circunferência é uma linha curva, fechada e plana que tem todos os pontos a mesma distância de um ponto central chamado centro. Na circunferência encontramos o diâmetro que é a maior recta que se pode traçar numa circunferência e passa pelo seu centro, ainda encontra-mos o raio que é a metade do diâmetro e une o centro a um ponto qualquer da circunferência.


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3.3 Divisão da circunferência em três partes iguais:

Traçar a circunferência com diâmetro A D; Com o compasso e fazendo centro em D, traçar um arco de

circunferência que passe pelo ponto O e toque a circunferência nos pontos C e B;

Com o auxílio da régua unir os pontos A B, B C e C A, ou O A, O B e O C, obtemos a divisão da circunferência em três partes;

Da reunião dos pontos ABC surge um polígono inscrito na circunferência de nome "TRIÂNGULO EQUILÁTERO".

3.4 Divisão da circunferência em quatro partes iguais:

Traçar a circunferência com diâmetro A B. Com o auxílio do compasso e com centro em B, traçar um arco de

circunferência em cima e outro em baixo com uma abertura superior a metade do diâmetro.

Agora e fazendo centro em A e com a mesma abertura traçar dois arcos de circunferência um em cima e outro em baixo que cruzem os anteriores e encontrem os pontos D e C.

Com o auxílio da régua unir os pontos A C, C B, B D, e D A, obtêm-se a divisão da circunferência em quatro partes iguais.

Da reunião dos pontos ABCD surge um polígono inscrito na circunferência de nome "QUADRADO".


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3.5 Divisão da circunferência em cinco partes iguais:

Traçar a circunferência com diâmetro A B e assinalar o centro O. Traçar a perpendicular C D. Dividir em duas partes iguais o segmento de recta O B e encontrando o

ponto E. Com o auxílio do compasso e fazendo centro em E, traça um arco de

circunferência a partir do ponto C até encontrar o diâmetro e obtêm-se o ponto F.

Agora com centro em C traçar um arco a partir de F até cruzar a circunferência e encontrando o ponto G.

A distância entre os pontos C e G são a quinta parte da circunferência. Com a mesma abertura marcar em cima da circunferência os pontos H, I

e J, que unidos dão a divisão da circunferência em cinco partes. Da reunião dos pontos CJIH e G, surge um polígono inscrito na

circunferência de nome "PENTÁGONO".

3.6 Divisão da circunferência em seis partes iguais:

Traçar a circunferência com o diâmetro A B. Com o auxílio do compasso e fazendo centro em A, traçar um arco de

circunferência passando pelo ponto O (centro) e encontrando a circunferência nos pontos F e E.

Repetir o passo 2 mas desta vez encontrar os pontos D e C em cima da circunferência.

Unindo os pontos A E, E C, C B, B D, e D F, temos a divisão da circunferência em seis partes iguais.


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Da reunião dos pontos AFDBC e E, surge um polígono inscrito na circunferência de nome "HEZÁGONO".

3.7 Divisão da circunferência em sete partes:

Traçar uma circunferência com o diâmetro AL, assinalando o ponto O (centro).

Com centro em L e uma abertura do compasso igual ao raio da circunferência (passar pelo ponto O), traçar um arco que vai encontrar a circunferência nos pontos A e P.

Com o auxílio da régua traçar o segmento de recta AP que corta o diâmetro AL no ponto M.

Com o compasso e fazendo centro em A traçar um arco que tem início no ponto M e termina ao encontrar a circunferência no ponto B.

Com a mesma abertura e fazendo centro no ponto B marcar o ponto C em cima da circunferência.

Com a mesma abertura mas agora com centro em C, traçar o ponto D e assim sucessivamente até encontrar os pontos E, F e G, obtêm-se a divisão da circunferência em sete partes iguais.

Da reunião dos pontos ABCDEF e G, surge um polígono inscrito de nome "HEPTÁGONO".


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3.8 Divisão da circunferência em oito partes iguais:

Traçar uma circunferência com o Diâmetro AB. Dividir o segmento de recta AB em duas partes iguais e com o auxílio do

compasso em cima da circunferência marcar os pontos D e C. Com o compasso e fazendo centro em B traçar um arco de

circunferência. Com centro em D e a mesma abertura traçar outro arco que vai cruzar o

anterior e encontrar o ponto G. Com centro em B e depois centro em C traçar dois arcos que se cruzam

e dão origem ao ponto F. Com centro em C e depois centro em A traçar dois arcos que se cruzam

e dão origem ao ponto H. Com centro em A e depois em D traçar dois arcos que se cruzam e dão

origem ao ponto E. Unindo com o auxílio da régua os pontos A E, E D, D G, GB, B F, F C, C

H e H A obtêm-se a divisão da circunferência em oito partes. Da reunião dos pontos AEDGBFC e H, surge um polígono inscrito na

circunferência de nome "OCTÓGONO".


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3.9 Divisão da circunferência em nove (9) partes iguais (construção do Eneágono)

Para dividir a circunferência em 9 partes iguais começa-se por dividir o diâmetro AB, pelo método de divisão do segmento de recta em nove partes iguais.

Com uma abertura do compasso igual ao diâmetro e fazendo centro nas extremidades traçam-se dois arcos que definem o ponto P;

Traça-se depois uma recta que passa por esse ponto e pela segunda divisão do diâmetro ate cortar a circunferência ate no ponto F;

A distância do ponto F ate ao ponto A, corresponde a nona parte da circunferência;

Com esta abertura traça-se com o compasso arcos que dividem a circunferência em nove partes iguais.

3.10 Divisão da circunferência em dez 10 partes iguais (dodecágono)

Depois de traçar a circunferência, traça-se o diâmetro AB, Determina-se o raio CD que lhe seja perpendicular; Divide-se o segmento AO ao meio, Determinando-se no diâmetro o ponto D, e Determina-se o ponto E nas

circunferência AO com centro C e raio CE;


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Traça-se um arco que determina na circunferência o ponto F; a distância CF é a décima parte da circunferência.

3.11 Divisão da circunferência em onze (11) partes iguais (undecágono)

Para a divisão da circunferência em 11 partes iguais ou construção do undecágono utiliza-se o mesmo procedimento da divisão da circunferência em 9 partes iguais como segue-se na figura abaixo.

3.12 Divisão da circunferência em doze 12 partes iguais (dodecágono)

Para dividir a circunferência em 12 partes iguais


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Faz-se primeira divisão em 4 partes iguais, determinando os pontos A,B,C e D; Colocando o compasso nesses pontos, e com uma abertura igual ao raio;

Traça-se 4 quatro aos que passando pelo centro vão determinar na circunferência os pontos E,F,G,H,I,J;L e M;

A distanciam que vai de uma de uma letra a outra seguinte (AL), é da circunferência.

3.13 Alguns quadriláterosTrapézio é o quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com

comprimentos distintos, denominadas base menor e base maior.

Paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos

Rectângulo é o quadrilátero que possui quatro ângulos rectos.


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Quadrado é o quadrilátero que possui quatro lados congruentes e quatro ângulos rectos.

Losango é o quadrilátero que possui os quatro lados congruentes.

Primas e cilindros são figuras geométricas espaciais chamadas sólidos geométricas.

Os prismas são designados pelo número de lados das bases. Ex.:

4 Curvas

4.1 ConceitoGenericamente, pode-se definir linha como sendo a figura descrita pela

trajectória de um ponto em movimento contínuo no espaço. Se a cada dois pontos infinitamente próximos, o ponto muda de direcção, a linha é uma curva. Se, durante todo o movimento, o ponto não muda de direcção, a linha é uma recta. Se, por outro lado, ao descrever uma linha, o ponto muda de Direcção em espaços de tempo fixos ou intermitentes, a linha é chamada poligonal. Como será visto mais tarde, uma linha pode ser obtida por intersecção de duas superfícies ou por projecção de uma outra linha.

Curvas gráficas são aquelas em que o movimento do ponto é arbitrário e, portanto, não obedecem a qualquer lei de geração. São também chamadas curvas não geométricas.


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Curvas geométricas são aquelas que obedecem a uma lei de geração e podem ser representadas por uma equação algébrica ou transcendente. A curva, nesse caso, traduz o lugar geométrico dos pontos do espaço que satisfazem a essa equação.

Curvas planas são aquelas cujos pontos são todos complanares.O círculo e as cónicas (elipse, parábola e hipérbole) são exemplos típicos de curvas planas.


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4.2 ElipseÉ um lugar geométrico cujo soma da distância dos seus pontos os pontos

a dois pontos fixo chamado foco permanece constante.

4.3 Procedimento de construção Dada a semi-recta AB determinam-se os pontos médios de AB e, em

seguida o ponto médio N de MB, com centro em M e raio MN. Descreve-se uma circunferência que determina em AB o ponto P e na

perpendicular (mediatriz) a AB, os pontos F e G. Traçam-se as semi-rectas FP, FN, GP, GN. Com centro em P e em N e raio igual a PA=NB, traçam-se os arcos CC2

e C1C3. Com centro em F e raio FC traça-se o arco CC1. Com centro em G e raio CC2 traça-se o arco C2C3.


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4.4 ParábolaÉ um lugar geométrico em que a distância entre os pontos a um ponto fixo

chamado foco é igual a distancia entre o mesmo ponto a uma recta chamada directriz.

Dada a recta d (directriz) e o eixo X (perpendicular entre si), marca-se no eixo a partir do ponto P o parâmetro, determinando-se assim o foco F. o ponto médio do segmento PF (parâmetro) é o vértice da parábola.Para determinar os pontos situados na parábola, e que nos permitem o seu traçado a mão. Percebe-se da seguinte maneira:

Marcam-se sobre o eixo, a partir do ponto V (vértice), vários pontos, arbitrariamente (pontos 1,2,3 e 4) por estes pontos traçam-se perpendiculares ao eixo.

Com uma abertura do compasso igual a P1, e fazendo centro em F, descreve-se arco 1´1´´ que vai intersectar a perpendicular que passou pelo ponto 1.Procedendo-se de igual modo para os pontos 2,3 e 4, determinam-se os pontos 2´ e 2´´, 3´e 3´´, 4´e 4´´.Unidos esses pontos e passando pelos vértices V, obtemos a parábola.


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4.5 HipérboleÉ uma curva cujos seus pontos a diferença da distância entre um dos

seus pontos permanecem constante.

Procedimento de construçãoDada uma semi-recta traçado o eixo real ou transverso e marcado a

distância focal, necessitamos de determinar os pontos da hipérbole que nos vão permitir o seu traçado a mão.

Assim marcam-se sobre o eixo X, e para além do ponto F´, vários pontos, arbitrariamente (1,2,3 e 4). Com uma abertura do compasso a 1A e fazendo centro em F´, descreve-se o arco E1E´1. Com a mesma abertura do compasso, e fazendo centro em F, descreve-se o arco G1G´1.

Em seguida, com 1B e fazendo centro em F intersecta-se o arco E1E´1com a mesma abertura do compasso, e fazendo centro em F´ intersecta-se o arco G1G´1.

Procedendo de igual modo para os pontos (2,3 e 4) determinam-se os pontos H2eH´2, L2e L´2, J3e J´3, K3 e K´3, L4e L´4, M4e M´4. Unidos estes pontos e os respectivos vértices A e B, obtemos os dois ramos da hipérbole.


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5 CONCORDÂNCIADizemos que um arco e uma recta estão em concordância num ponto

quando a recta é tangente ao arco nesse ponto. Nesse caso, o centro do arco está perpendicular à recta tirada desse ponto.O conjunto de recta, arco deve formar uma só linha

Dizemos que dois arcos estão em concordância num ponto qualquer quando eles admitem neste ponto uma tangente comum. Nesse caso, os centros dos arcos e o ponto de concordância (de tangencia) estão em linha recta.

ConcordânciasConcordância entre dois arcos de Circunferência:

Dados os arcos das circunferências e a medida dos respectivos raios

Traça-se


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Traçado de uma circunferência tangente a outra dada (interiormente)

Dada a circunferência de centro A, traça-se o raio AC. A partir do ponto C, marca-se o raio da circunferência B.

Fazendo centro no ponto B e com abertura do compasso ate C, descreve-se a circunferência tangente interiormente.

5 e 6 concordânciasAproveitando a construção geométrica do exercício anterior, obtêm-se a seguintes concordâncias:


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Traçado de duas circunferências tangentes a outras duas dadas.

Dadas as circunferências de centro A e centro B, prolongam-se os seus raios, aos quais se somam os raios das circunferências pedidas. Com centro em A e B e raio igual a soma dos raios das circunferências dadas e pedidas, traça-se os arcos CD EF, interceptando-se em 1 e 2. Unindo-se estes pontos aos centros A e B, obtêm-se os pontos da tangencia. Fazendo centro em 1 e 2, traçam-se as circunferências tangentes pedidas:

Aproveitando a construção geométrica do exercício anterior, obtêm-se a seguinte concordância:


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Traçado de uma circunferência tangente, de raio dado a duas

circunferências secantes.

Dadas as circunferências secantes de centro A e centro B, traça-se um raio da circunferência de centro A onde se marca o raio CD da circunferência pedida. Traça-se um raio da circunferência de centro B e , no seu prolongamento, marca-se também o raio CD da circunferência pedida. Fazendo centro no ponto A e no ponto B, descrevem-se arcos com raios de AB e BD, respectivamente interceptando-se no ponto P. Unindo o centro A ao ponto P, obtemos o ponto de tangencia T1.

Unindo o centro B ao ponto P, obtemos o ponto de tangencia T2.

Fazendo centro no ponto P (centro da circunferência pedida) e com raio CD, traça-se a circunferência tangente pedida.



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Traçado de uma Circunferência tangente a duas circunferências secantes, sendo conhecido um dos pontos da tangencia.

Dadas as circunferências secantes de centro A e centro B, une-se o centro da circunferência A ao ponto de tangencia T, e no prolongamento deste raio, marca-se a partir do ponto T, o raio da circunferência de centro B, determinando o ponto C. Une-se o ponto C ao centro B e traça-se a mediatriz deste segmento que vai interceptar o segmento AT, determinando o ponto P. Unindo este ponto P ao centro B, obtemos o outro ponto de tangencia T1.

Fazendo centro no ponto P (centro da circunferência pedida) e com abertura do compasso até ao ponto T, traça-se a circunferência tangente pedida:



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Curvas espiraladas

Traçado de uma espiral de dois centros (bicêntrica)

Numa linha recta, marcam-se os centros C1 e C2 . Fazendo centro em C1

e com abertura do compasso até C2, descreve-se o primeiro arco. Fazendo centro em C2 e com abertura do compasso ate A, descreve-se

o arco AB. Continuando a fazer centro em C1 e C2, repetem-se as operações,

obtendo-se assim uma espiral de dois centros.


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Traçado de uma envolvente

Traça-se uma circunferência e divide-se, por exemplo em oito partes iguais.Por cada um dos pontos da divisão efectuada, traçam-se tangentes a circunferências. Determina-se o perímetro desta (2πr) e marca-se essa medida sobre a semi-recta com origem no ponto 1, a qual se divide em oito partes iguais.

Na semi-recta 2 marcam-se se 7/8. Na semi-recta 3 marcam-se 6/8. Na semi-recta 4 marcam-se 5/8, e assim sucessivamente até chegarmos a semi-recta 8 onde se marca apenas 1/8.Unem-se os pontos obtidos, traçando uma curva a mão ou com o auxílio de um escantilhão, obtém-se a envolvente:


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Traçado de um arco Romano ou semicircular.

Traça-se uma linha horizontal onde se marca o vão AB.Traça-se a mediatriz que vai determinar o ponto O, ou seja, o centro do arco.Fazendo centro no ponto O, traça-se o arco a partir dos pontos de Nascença A e B:

Demonstração construtiva do arco Romano

Traçando semi-rectas a partir do centro O, obtêm-se o arco dividido em várias partes, permitindo assim dar As pedras a forma de cunha


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Traçado de uma ogiva Perfeita

Sendo dado o vão ou a abertura AB e fazendo centro em A e em B, traçam-se dois arcos de circunferência do raio igual a AB, interceptando-se no ponto V (vértice), obtendo-se uma ogiva perfeita.Se unirmos os pontos A, V e B obtemos um triângulo equilátero. Daí, o facto deste arco ser também conhecido por ogiva equilátera.

Traçado de um arco Contra-curvado sendo dado o vão

Traça-se uma circunferência de diâmetro igual ao vão (ou abertura) AB e centro C1.Com o raio igual a metade da abertura AB, e fazendo centro em A e em B, traça-se dois arcos de circunferência que determinam os pontos E e F. Fazendo centro nestes pontos E e F, e com o mesmo raio anterior, traçam-se arcos de circunferência que se cruzam em V. Com centro neste ponto V, e sempre com o mesmo raio, traça-se dois arcos de circunferência que interceptam os anteriores nos pontos C2 e C3.


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Os pontos C1, C2 e C3 são os centros dos três arcos que formam o arco contra-curvado.


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traçado de uma oval

Traçado o eixo maior AB, divide-se este em três partes iguais, traçando, em seguida, duas circunferências com os seus centros nos pontos 1 e 2 e de raio igual a 1/3 do eixo maior. Traça-se as semi-rectas que, partindo dos pontos 3 e 4, passam pelos pontos 1 e 2 e vão determinar os pontos de concordância T1, T2, T3 e T4.A oval é, portanto formada pelos arcos de circunferência T1T2 cujo centro é o ponto 1; T3T4 Cujo centro é o ponto 2; T1T3 cujo centro é o ponto 4; T2T4 cujo centro é o ponto 3.


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Traçado de um Óvulo

Traçada uma circunferência construtiva com o diâmetro AB, determina-se a mediatriz deste diâmetro que, passando pelo centro C1, vai interceptar a circunferência no ponto C2.

Traçam-se as semi-rectas que, parindo do ponto A e do ponto B, se cruzam no ponto C2.

Os pontos A, B, C1 e C2 são os centros dos arcos da circunferência que constituem o ovulam.

Os Pontos de concordância serão os pontos A,B,T1 e T2.

6 Sólidos Geométricos

6.1 ConceitoSólido geométrico é regiões do espaço limitado por uma linha fechada.

As principais características do sólido geométrico são as três dimensões: Comprimento, Largura e Altura. Existem vários tipos de sólido geométrico, e entre os mais importantes tem-se:

A Pirâmide O Cilindro O Cone O Prisma A Esfera A Esfera.


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6.2 Pirâmides Uma pirâmide fica definida pela sua base e pelo seu vértice.

Para construir as projecções de uma pirâmide começamos por construir a projecção da base, projecção de um polígono, que já aprendemos. Depois construímos as projecções do vértice. Unindo as projecções dos vértices da base ás projecções do vértice obtemos as projecções das arestas laterais. Finalmente devemos marcar a traço grosso as arestas visíveis e a traço interrompido grosso as arestas invisíveis. Para marcar as arestas invisíveis devemos ter em atenção o seguinte: a) As arestas do contorno são sempre visíveis

6.3 CILINDRO É um sólido limitado por uma superfície cilíndrica e duas bases paralelas

entre si. O cilindro é de revolução quando a superfície é de revolução e as bases

são perpendiculares às geratrizes. Se considerarmos o volume limitado por superfícies, temos um sólido. No nosso estudo vamos lidar fundamentalmente com cilindros, cones, prismas e pirâmides


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Um cilindro fica definido se conhecermos a sua base e a altura, se este for de revolução, logo as suas projecções ficam definidas se conhecermos as projecções destes elementos.

6.4 CONE É um sólido limitado por uma folha de uma superfície cónica, pelo vértice

e por uma base. O cone é de revolução quando a superfície é de revolução e a base é um círculo. Neste caso a perpendicular do vértice para a base contém o centro da base.

6.5 PRISMA É um sólido limitado por uma superfície prismática e duas bases.


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Os prismas são designados pelo número de lados das bases. Ex.

6.5.1 Prisma triangular

6.5.2 Prisma pentagonal

6.5.3 Prisma quadrangular


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6.5.4 Prisma hexagonal

6.6 Esfera É um sólido limitado por uma superfície esférica

6.7 PIRÂMIDE É um sólido limitado por uma superfície piramidal, o vértice e uma base.

Uma pirâmide diz-se recta se a linha que une o vértice ao centro da base, é perpendicular ao plano da base.


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7 Norma técnica

Caderno de desenho com tamanho A4 Régua (mínimo 30 cm) Esquadro (mínimo 27 cm) Transferidor Compasso ajustável Lapiseiras (Porta minas de 03, 05 e 09) Caneta de tinta permanente preta (05 ou 07) Régua técnica

7.1 Formato papelA execução do desenho foram adaptadas do estilo entre distintos

tamanho através da abordagem e cortes sucessivos de papel com as medidas 1189mm x 841mm, a que chamamos formatos básicos A0, em formatos iguais como se observa na figura seguinte.

Formato de Papel

A norma Portuguesa NP-48 (1968) fixa os seguintes formatos de papel:

O tamanho de papel para qualquer desenho deve ser escolhido, de preferência, entre os formatos normalizados, tais como:

Designação Dimensões (mm x mm)

A0 841 X 1189

A1 594 X 841

A2 420 X 594

A3 297 X 420

A4 210 X 297


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A5 148 X 210

A6 105 X 148

7.2 EsquadriaÉ uma representação gráfica que tem como finalidade:

Identificação e designação dos objectos representados no desenho Identificação dos responsáveis pela execução do desenho

(responsável pelo desenho, autores do projecto do desenho) Identificação da pessoa ou identidade para quem foi executado o

desenho Informações gerais relativas as características do desenho (escalas,

tolerância, datas.)

7.3 Legendas e EsquadriaQuando se faz um desenho é necessário detalhar o mesmo, indicações que

envolvem a sua identificação, este detalhe coloca-se na legenda, que permite:

Identificar e designação do objecto representado no desenho. Identificar dos responsáveis pela execução do desenho (responsável

pelo desenho, autores do projecto e do desenho) Identificar da pessoa ou identidade para quem foi executado o desenho Informações gerais relativas as características do desenho (escalas,

tolerâncias, datas, etc.) Referenciação de alterações que venham a ser introduzidas no desenhoA legenda deve ser executada a margem, no canto inferior do desenho, e

não deve, juntamente com a margem, ter largura superior a 185 mm, de modo que quando o desenho ou uma cópia do desenho forem dobrados a legenda fica sempre situada na sua totalidade no frontispício, facilitando a rápida identificação do desenho.

A norma NP-204 (1968) fixa os tipos de legenda que se devem por no desenho técnico.

A legenda deve ser desenhada com três espessuras de traço respectivamente 1,2mm, 0,6mm e o 0,3mm.

Estas espessuras referem-se aos traços a tinta, se a legenda for desenhada a lápis, não haverá preocupação de respeitar exactamente estes valores.


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Exemplo de uma legenda


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7.4 Esquadria

É a abertura do ângulo formado por dois planos adjacentes, serve para indicar os limites da página num dado desenho.Segundo a norma Portuguesa NP-204 (1968) a esquadria deve ter 2cm na margem superior e 0,5cm nas demais margens. Exemplo de uma esquadria:


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7.5 TraçoTraço continuo utilizam-se para o traçado de arestas e cartono exterior

visíveis, tracejado de corte-se secções.

Traço interrompido: utilizam-se para o traçado de arestas e de contornos ocultos ou invisíveis.

Traço ponto utilizam-se pata o traçado de eixos, planos de simetria, posições externas de pecas móveis partes situadas à frente do plano de corte e rebatimento.

7.5.1 Espessuras dos traços Quanto a espessuras são chamado de:

Traço grosso têm a mesma utilização que os traço continuo.

traço fino têm a mesma utilização que os traço continuo

Traço médio também tem a mesma aplicação que o interrompido.

7.5.2 Tipos de traços

7.5.3 Quanto ao tipo são classificados em : Troço forte Traço médio Traço leve

Referem-se exclusivamente à intensidade do traço e não à sua espessura.


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7.5.4 Traços sua utilização ou aplicação

7.6 VistasSão representações das partes visíveis das superfícies dos objectos que

se encontram as vistas. As vistas dependem da posição do objecto


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7.6.1 As vistas podem ser: Vistas superior ou superior, é a projecção horizontal do objecto e a

representação da sua face superior.

7.6.1.1 Vista de frente, è a projecção do objecto.

7.6.1.2 Vista a esquerda

7.7 Cortes São representação dos objectos cortados mentalmente por um ou

diversos planos, que levam consigo parte dos objectos que encontramos diante deles.


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7.7.1 Podem ser de dois tipos:

7.7.1.1 Cortes simples:

São aqueles que se obtêm em resultado da utilização de um só plano de corte.

7.7.1.2 Cortes complexos:São aqueles que se obtêm em resultado de utilização de vários planos

de corte.


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7.7.1.2.1 Cortes horizontal

Cortes horizontal: são aqueles que se obtêm em resultado da utilização de um plano de corte horizontal.

7.7.1.2.2 Cortes inclinado ou oblíqua

São aqueles que se obtêm em resultado da utilização de um plano de corte que constitui um ângulo diferente de 0 e 90 grau em relação ao horizontal de projecção.


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Cortes verticais dizem-se também laterais.

7.7.2 Secções a representação de uma que se obtém através do corte do corte mental do objecto por um ou mais do que um plano. As secções representam somente os pormenores que se encontram no plano de corte.

8 Noção de projecçãoNo entanto ainda não se abordou a problemática da Geometria Descritivo: a presentação bidimensional das formas tridimensionais. Esta processe-se


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através da projecção dessas formas sobre uma superfície plana. De facto, e através de projecções que a Geometria Descritiva proporciona, ao técnico , processos para representar sobre um plano as diversas figuras do espaço, utilizando, apenas, as construções da geometria plana.

A Projecção de um objecto numa superfície plana acontece quando as rectas projectantes que passam pelos vários pontos do objectos intersectam a superfície plana na qual se pretende projectar o objecto.

8.1 Plano de projecçãoE toda a superfície plana na qual se projecta um qualquer objecto.

Podem ser planos horizontal vertical, oblíqua em este plano dividem-se em semi- plano superior, semi-plano inferior, semi-plano anterior e semi- plano posterior.


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9 Conclusão Portanto a Geometria Descritiva foi criada originalmente no século XVIII para optimizar o processo de projecto de fortificações. Perspectivas, intersecções são conceitos comuns aos dois mundos, os quais são implementados nos sistemas CAD através de geometria vectorial.Este trabalho propõe uma metodologia para optimizar o processo de aprendizagem da Geometria Descritiva fundamentada em uma nova abordagem conceitual e no uso da aprendizagem baseada em projectos (Design based learning). O objectivo é criar um novo paradigma para o ensino de Geometria Descritiva, em que esta seja vista efectivamente como uma ferramenta de projecto.


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10 Referencia Bibliográfica:

Manual de apoio da 7ª, 8ª e 9ª Classe de Educação Laboral e EVP;

Manual da 10ª 11º e 12º Classe de geometria descritiva;

GEOMETRIA DESCRITIVA BÁSICA de Paulo Sérgio Brunner RabelloSite Google;

Enciclopédia;


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