Geometria do Elipsoide

FGL

João F Galera Monico – PPGCC

Abril 2019

Elipsoide de Revolução

Rotação de uma elipse sobre um de seus eixos!Neste caso: eixo Z

Elipse no plano YZ com X = 0

Z

Elipse no plano XY com Z = 0

Z

Elipse no plano XZ com Y = 0

Z

Elipsoide de Revolução

Rotação de uma elipse sobre um de seus eixos!Neste caso: eixo Z

Equação, Curvatura Principal e Teorema de Euler

Elipsoide Triaxial

Equação, Curvatura Principal e Teorema de Euler

Elipsoide de Revolução: biaxial

Se a> b elipsoide achatado nos polos

Um elipsoide de revolução fica perfeitamente definido por meio de 2 parâmetros: a e b

Em Geodésia é comum definir pelo semi-eixo maior a e o achatamento f.

Toda seção produzida por um plano passando pelo eixo Z será uma elipse de semi-eixo maiora e semi-eixo menor b. Logo, qualquer relação válida para uma seção – vale para as demais.

Equação, Curvatura Principal e Teorema de Euler

A seção produzida pelo plano X = 0 da equação

será uma elipse dada pela equação

f = ae

Noções Sobre Curvatura

Curvatura ρ = w/s

Raio de curvatura da curva = 1/ρ=s/w

Seções Normais sobre o elipsoide• Considere a normal em um ponto no elipsoide.

• Um plano particular cortará a superfície do elipsoide formando uma curva que é conhecida como a seção normal. Um número infinito de planos existirá em cada plano, ou seja infinitas seções normais.

• Mas em cada ponto existirá duas seções mutualmente ortogonais que terão curvaturas máxima e mínima.

• Elas são chamadas seções normais principais.

Seções Normais

• Sobre o elipsoide de revolução as secções normais principais são:

• Seção Meridiana: (ρ ou M), gerada pelo plano normal de um ponto que passa pelos dois polos (X, O, Z) (raio curvatura mínimo);

• Seção Prim. Vertical ou Grande Normal (N), gerada pelo plano normal de um ponto, perpendicular ao plano do meridiano (0,Y,Z) (raio curvatura máximo);

Considerando o elipsoide, tem-se duas seções principais: a meridiana (X0Z), com curvatura máxima (R mín), e a produzida por um plano que contém a normal no ponto A e é perpendicular ao plano do meridiano (0YZ), cuja curvatura é mínima (R máx). Os raios de curvatura dessas seções principais são M e N. Tratam-se das curvaturas das seçõesprincipais. As demais seções passantes por esse ponto terão raio de curvatura entre M e N.

Grande NormalSeção Primeiro

Vertical

Pequena Normal

Seção MeridianaMínima

No EquadorN=?M= ?

No Polo N=?M= ?

Raio de Curvatura de uma seção normal

• Para determinar o raio de curvatura de qualquer seção normal numa direção arbitrária, pode-se utilizar a equação de Euler:

P’P’’’ = N = Grande Normal

P’P’’ = N’ = pequena Normal

Conhecidos os raios de curvatura principais em um ponto, define-se como curvaturamédia a expressão:

E o raio de curvatura médio por:

Quando se conhece o Azimute A de uma seção normal em um ponto do elipsoide, o raiode curvatura dessa seção é proporcionado pelo Teorema de Euler, que proporciona o raiode curvatura R em uma seção genérica com Azimute A:

Raio de um paralelo:

Latitude Geocentrica e Reduzida

As três latitudes se confundem no Equador e nos polos. Diferença máxima em Lat = 45

Seções Normais Recíprocas

As normais relativas a dois pontos na esfera, convergem para o centro da esfera. Logo, são coplanares. No elipsoide isto não ocorre!

As normais de cada ponto interceptam o eixo Z em dois pontos diferentes: n1 e n2.

Observe que as grandes normais são diferentes. Quanto maior a Latitude, maior a grande normal.

Seção normal Direta em relação a P1: seção normal resultante da intersecção do plano que contém a normal em P1 e o ponto P2. – Seta com origem em P1 – Ou Seção normal Recíproca em relação a P2.As duas seções diretas e recíprocas, são chamadas “seções normais recíprocas”.

Os planos que definem as seções normais recíprocas não coincidem se as latitudes e longitudes forem diferentes!

Mesma Latitude Mesma Longitude

Exceções

A Linha Geodésica

• O triângulo abaixo não é determinado univocamentedevido a duplicidade das seções normais:

Para definir o triângulo elipsoidico P1-P2-P3 de maneira unívoca, os vértices P1, P2 e P3 devem ser unidos pelo menor caminho. Não é nenhuma das seções normais recíprocas, mas uma curva, em geral reversa, situadas entre duas seções normais recíprocas, denominada Geodésica.

Curva Reversa: não está contida num plano.

O menor caminho entre dois pontos:No plano: um segmento de retaNa esfera: um arco de circunferência máximaNo elipsoide de revolução: a geodésica

Geodésica: á a linha jacente numa superfície, tal que em todos os seus pontos o plano osculador é normal à superfície ... Em todos os seus pontos a normal principal coincide com a normal à superfície.

Em navegação é dito ortodromia - linha de menor distância.

Loxodromia: mantém o rumo constante.

Linha Geodésica

• Qualquer meridiano é uma geodésica

• O equador é uma Geodésica (para dois pontos no equador – mas nem sempre – imagine dois pontos diametralmente opostos)

• Exceto no equador, nenhum outro paralelo é uma geodésica

Linha Geodésica

Elipsoides usados ao longo do tempo

• Triangulação –

• Trilateração -

• Poligonação -

• Nivelamento de precisão

• GNSS

Métodos de Levantamento em Geodésia

Reduções das medidas.

Problema Direto e Inverso na Geodésia

DIRETO

S12

INVERSO

ϒ= Convergência Meridiana

Convergência Meridiana

A convergência meridiana plana num ponto é definida pelo ângulo formado entre o norte verdadeiro e o norte de quadrícula. É função de suas coordenadas e seu valor é nulo no meridiano central do fuso.

Problema Direto e Inverso

• Direto: Dada as coordenadas de um ponto, a distância para um segundo ponto, bem como o azimute, Calcular as coordenadas do segundo ponto.

• Inverso: Dada as coordenadas de dois pontos, calcular a distância, o azimute e o contra azimute entre eles.

Representação da linha geodésica.

• Definir duas estações de interesse, da RBMC/SIRGAS por exemplo(ou com valores definidos por você mesmo) bem distantes uma da outra: +/- 1000 km (de preferência com azimutes aproximados de 450, 1350, 2150 ou 3050

• Calcular o azimute e a distância geodésica.

• Fazer o transporte de coordenadas (Problema direto) a partir de uma das estações (caso a), bem como dividindo em 6 segmentos aproximadamente iguais (caso b).

• Representar em aplicativo de sua escolha (Google Earth – Geomedia, etc) as linhas compostas pelos segmentos (caso b) e a que liga diretamente as estações (caso a). Conhecer a projeção da representação é importante.– software disponíveis para cálculos:

• Forward and inverse from NGS – ou outro qualquer!• http://www.ngs.noaa.gov/TOOLS/Inv_Fwd/Inv_Fwd.html

• Analisar as discrepâncias entre os casos (a) e (b) e discutir sobre os resultados!– Importante dar Zoom para identificar discrepâncias (se houver). – Especular sobre a projeção utilizada no aplicativo.