Geometria Espacial

Projeção Ortogonal e Distância

  A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano é a intersecção do plano com a reta perpendicular a

ele, conduzida pelo ponto P:

Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano

A projeção ortogonal de uma figura geométrica F ( qualquer conjunto de pontos) sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre :

Projeção ortogonal de uma figura geométrica sobre um plano

Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano

Se a reta r é perpendicular ao plano , com r intersecção em sua projeção ortogonal sobre ele é o ponto A.

Se a reta r não é perpendicular ao plano , então a projeção ortogonal de r sobre é a reta s determinada pela projeção de dois pontos distintos de r sobre .

Exemplo:

• a projeção ortogonal do ponto C sobre o plano (ABE) é o ponto A;

• a projeção ortogonal do ponto C sobre o plano (ACE) é o próprio C;

• a projeção ortogonal do segmento CD sobre o plano (ABE) é o segmento AB;

• a projeção ortogonal do segmento AD sobre o plano (ABE) é o segmento AB;

• a projeção ortogonal do segmento AC sobre o plano (ABE) é o ponto A.

A projeção ortogonal de um ponto P sobre uma reta r é o ponto P’, que é a intersecção de r com a reta

perpendicular a r e que passa por P.

Caso P pertença à r, sua projeção ortogonal sobre r é o próprio P.

Projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta

Distâncias

Distância entre dois pontos

Sempre que consideramos dois pontos do espaço, A e B, é possível associar a eles um número real não-negativo. Esse número é denominado distância de A a B (ou B a A) e é indicado por AB (ou BA).

Exemplo: Na reta numérica, se o ponto A representa -2 e o B 1, então a distância AB é 3, que é o valor absoluto da diferença dos números -2 e 1.

Simbolicamente, temos: AB = |(-2) – (1)| = | -3 | = 3

Distância entre um ponto e uma reta

A distância entre um ponto P e uma reta r é a distância entre P e sua projeção ortogonal P’ sobre r. Indicamos a distância de P a r por: dP’r = PP’

Exemplo: A distância do ponto C, de um cubo de aresta 3 cm, à reta AB é 3cm. A distância HB, do ponto H à reta AB, é 3 √2 cm, pois o BHD é retângulo e ,portanto, pelo teorema de Pitágoras, temos(HB)² = (DH)² + (DB)² HB = 3 √2 cm

Distância entre uma reta e um plano paralelos

Dados um plano e uma reta r paralelos, a distância entre r e o plano é a distância entre qualquer ponto A de r ao plano .

Indicamos a distância de r a por: dr,= AA’, sendo A’ a projeção ortogonal de A sobre .

Distância entre um ponto e um plano

A distancia entre um ponto A e um plano a é a distância entre o ponto A e a sua projeção ortogonal A’ sobre a.

Indicamos a distância de A a a por: dA,a = AA’

Distância entre dois planos paralelos

Dados dois planos e , a distância entre eles é a distância entre qualquer ponto de e o plano , ou vice-versa.

Distância entre duas retas reversas

Dadas duas retas reversas r e s, a distância entre elas é a distância entre qualquer ponte de r e o plano que contém s e é paralelo a r, ou vice-versa.

No cubo temos que:

• a distância entre as retas paralelas EF e CD é igual à distância entre um ponto de uma delas e outra, por exemplo, entre C e EF, que é 2 cm

• a distância entre os planos (CDG) e (ABE) é 2 cm.

Exemplo

Ângulos e diedros

Ângulos entre duas retas concorrentes

Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois a dois opostos pelo vértice.

Ângulos entre retas paralelas

O ângulo ( ) formado entre retas paralelas é de 0º, já que têm mesma direção.

Ângulo entre duas retas reversas

O ângulo ( ) entre duas retas reversas r e s é o ângulo formado entre r e s’, sendo s’ uma reta paralela a s e concorrente com r.

Ângulo entre uma reta e um plano

Se uma reta r não é perpendicular a um plano , o ângulo ( ) entre r e é o ângulo formado entre r e r’, sendo r’ a projeção ortogonal de r sobre .

No caso em que r é perpendicular ao plano , o ângulo ( ) entre r e é de 90º.

Note:

Ângulos entre dois planos

•Se dois planos e são paralelos, então o ângulo formando entre eles é nulo (mede 0º).

•Se dois planos e são concorrentes, r é reta de intersecção entre eles, Y é um plano perpendicular à reta r, e as retas s e t são as intersecções de e com Y, respectivamente, então o ângulo entre os planos e é o ângulo formado entre as retas s e t.

Diedro

Sejam E1 e E2 dois semiplanos de mesma origem t não contidos num mesmo plano. Chama-se diedro ou ângulo diedro à figura formada pela reunião dos semiplanos E1 e E2

Dado um diedro e um plano perpendicular à aresta do diedro, chama-se ângulo diedro à intersecção do plano com o diedro

Exercícios

1 - Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F).

a) a projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta .

b) duas retas que tem projeções ortogonais paralelas são sempre retas paralelas.

c) a projeção ortogonal de um ângulo obtuso sobre um plano pode ser uma reta.

Resposta

1 - Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F).a) a projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta .

Falsa

Resposta certa : a projeção ortogonal de um ponto sobre um plano sempre é um ponto

b) duas retas que tem projeções ortogonais paralelas são sempre retas paralelas.

Falsa

Resposta certa : duas retas que tem projeções ortogonais paralelas não são sempre retas paralelas

c) a projeção ortogonal de um ângulo obtuso sobre um plano pode ser uma reta.

Verdadeira

2 - Nomeie todos os diedros da figura. Existem mais de três diedros.

Resposta

2 - Nomeie todos os diedros da figura. Existem mais de três diedros.

Resposta:

T1 U M2

M2 U R3

R3 U K4

T1 U K4

3 - Como pode ser a projeção ortogonal de uma reta sobre um plano?

Resposta:

Pode ser uma reta ou um plano. Exemplos:

4 - A projeção ortogonal de _________sobre um plano sempre é ________.

a)um ponto ; uma reta

c)uma reta ; uma reta

b)uma reta ; um ponto

d)um ponto ; um ponto

Resposta:

4 - A projeção ortogonal de _________sobre um plano sempre é ________.

a)um ponto ; uma reta

c)uma reta ; uma reta

b)uma reta ; um ponto

d)um ponto ; um ponto

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