GEOMETRIA ESPACIALIntrodução

EEEFM “Alice Holzmeister”3º ano do Ensino Médio

Profª Lidiane Lahass

Sólidos Platônicos

É como são conhecidos os poliedros regulares.

Platão, filósofo grego (400 a. C.) associou os poliedros regulares ao Universo. Entendia o mundo como sendo constituído por quatro elementos básicos: a Terra, o Fogo, o Ar e a Água.

Sólidos Platônicos

Sólidos PlatônicosTetraedro

Este poliedro é formado por quatro triângulos equiláteros. Em cada um dos vértices encontra-se o mesmo número de arestas. O prefixo tetraderiva do grego e significa quatro (quatro faces).

HexaedroO cubo é o único poliedro regular com faces quadrangulares. Cada vértice une três quadrados. O cubo tem seis faces, pelo que também se pode chamar por hexaedro (hexa significa seis em grego).

Sólidos PlatônicosOctaedro

As faces deste poliedro são triângulos equiláteros, e em cada vértice reúnem-se quatro triângulos. Assim, o total das faces é oito, daqui o facto deste poliedro se chamar octaedro (octa significa oito em grego).

IcosaedroNeste poliedro são cinco os triângulos equiláteros que se encontram em cada vértice, perfazendo vinte faces. Por isso, o poliedro se chama icosaedro (icosa significa vinte em grego).

Sólidos Platônicos

DodecaedroO dodecaedro é o único poliedro regular cujas faces são pentágonos regulares. Em cada vértice encontram-se três pentágonos. Assim este poliedro é formado por doze faces e daí toma o nome de dodecaedro (dodeca significa doze em grego).

Resumindo

 Tetraedro é constituído por quatro triângulos equiláteros; possui 4 vértices, 6 arestas e 4 faces triangulares.

Cubo é constituído por seis quadrados; possui 8 vértices, 12 arestas e 6 faces quadrangulares.

Octaedro  é constituído por oito triângulos equiláteros; possui 6 vértices, 12 arestas e 8 faces triangulares.

Icosaedro é constituído por vinte triângulos equiláteros; possui 12 vértices, 30 arestas e 20 faces triangulares.

Dodecaedro  é constituído por doze pentágonos; possui 30 arestas, 20 vértices e 12 faces pentagonais

Séculos mais tarde, os poliedros regulares

inspiraram Kepler, astrônomo alemão do

séc. XVII no estudo do movimento dos seis

planetas até então conhecidos: Saturno,

Júpiter, Marte, Terra, Vênus e Mercúrio. Kepler

imaginou um modelo do Sistema Solar

composto por esferas concêntricas separadas

umas das outras por um cubo, um tetraedro,

um dodecaedro, um octaedro e um icosaedro.

Introdução a PoliedrosPoliedro é um sólido geométrico cuja superfície é composta por um número finito de faces, em que cada uma das faces é um polígono. Os seus elementos mais importantes são as faces, as arestas e os vértices, ou seja, toda figura geométrica de três dimensões, formada por polígonos é chamada de poliedro.

RelembrandoPolígonos são figuras fechadas formadas por segmentos de reta, sendo caracterizados pelos seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados. De acordo com o número de lados a figura é nomeada.

Ex.: Lados/Nomes

3: Triângulo4: Quadrilátero5: Pentágono

Cubo

Eis um exemplo, o cubo:

Cubo

O cubo possui comprimento, largura e altura (3 dimensões), e é formado por 6 quadrados (figuras planas). Tais quadrados estão unidos, dois a dois, pelas arestas. São 12 arestas e 8 vértices

Outro exemplo, a pirâmide de base quadrangular:

PirâmideEssa pirâmide tem por base um retângulo. Por isso, é chamada de pirâmide de base quadrangular, ou apenas de pirâmide quadrangular. Ela possui 5 vértices, 4 faces triangulares e 8 arestas.

Veja:

Polígono = figura planaPoliedro = sólido, em 3 dimensões, no espaço, formado por polígonosArestas = lados dos polígonos que formam o poliedroVértices = os pontos onde as arestas se interceptamFaces = cada um dos polígonos que formam o poliedro

Atenção

Mas atenção: não são poliedros os sólidos que possuem formas arredondadas, como o cilindro e o cone:

Convexos e CôncavosConvexos

Um poliedro diz-se convexo, como o cubo, quando um segmento de reta,

unindo quaisquer dois pontos do poliedro, está totalmente dentro do

poliedro.

Convexos e CôncavosCôncavos

Um poliedro diz-se côncavo, quando um segmento de reta, unindo dois pontos do

poliedro, sai fora do poliedro.

Regulares e Não regulares

Os poliedros podem ser regulares ou não. Diz-se que um poliedro é regular quando suas

faces são polígonos regulares e congruentes, e de todos os vértices parte um mesmo número

de arestas.

Uma relação válida para todos os poliedros é a Relação de Euler,

descoberta pelo matemático suíço Euler:

nº faces + nº vértices = nº arestas + 2