Geometria Fractal

Escola Secundária 3EB Dr. Jorge Correia MatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemática

Fractais e Geometria Fractal

Trabalho realizado por: Alexandre Pires, nº1, Alexandre Matias, nº2, e

João Gonçalves, nº 18

Ano : 11º A1

Professor: José Mesquita

Maio de 2010

Escola Secundária de Tavira Dr. Jorge Correia MatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemática

1

Índice

1. Introdução…………………………………………………… 3

2. Fundador da teoria fractal ………………………………………... 4

3. Determinação do conceito de «fractal»……………………………. 5

4. História dos fractais…………………………………………… .. 6

5. Classificação dos fractais………………………………………… 7

6. Fractais na natureza…………………………………………….. 10

7. Atractor de Lorenz……………………………………………… 11

8. Conjunto de Julia………………………………………………... 12

9. Triângulo de Sierpinski………………………………………… 13

10. Conjunto de Mandelbrot……………………………………… 16

11. Arte Fractal…………………………………….……………… 18

12. Aplicação dos fractais…………………………………………... 20

13. Conclusão……………………………………………………. 22

Bibliografia………………………………………………………… 23


2

«Fractals are about looking closely and seeing more. «Fractals are about looking closely and seeing more. «Fractals are about looking closely and seeing more. «Fractals are about looking closely and seeing more.

Fractals have to doFractals have to doFractals have to doFractals have to do with bumbs that have bumbs, with bumbs that have bumbs, with bumbs that have bumbs, with bumbs that have bumbs,

cracks that have crookednesses within crookednesses, cracks that have crookednesses within crookednesses, cracks that have crookednesses within crookednesses, cracks that have crookednesses within crookednesses,

and atoms that turn out to be universesand atoms that turn out to be universesand atoms that turn out to be universesand atoms that turn out to be universes»»»»

Timothy Wegner and Mark Peterson


3

1. Introdução1. Introdução1. Introdução1. Introdução

Neste trabalho, elaborado no âmbito da disciplina de Matemática, 11º ano,

o nosso grupo vai abordar um tema, os fractais, que só começou a ser desenvolvido

a partir dos anos 60 por um franco-polaco que vive hoje nos EUA, Benoît

Mandelbrot, mas cujas aplicações se têm revelado de grande utilidade para a

contínua evolução técnica e científica.

Como este é um tema que não faz parte dos conhecimentos gerais do

público em geral, procuraremos dar resposta às seguintes interrogações:

O que são fractais?

Como evoluiu a teoria dos fractais?

Quais as áreas científicas e tecnológicas em que os fractais se aplicam?

Quais as perspectivas de evolução da teoria dos fractais?

Assim, após uma breve história da origem dos fractais e do matemático

fundador desta teoria, identificaremos e exemplificaremos os diferentes tipos de

fractais, a sua presença na natureza e sua aplicabilidade em outras áreas tão variadas

como a geometria, a física, a computação ou a arte.


4

2.2.2.2. FFFFundador da teoria fractalundador da teoria fractalundador da teoria fractalundador da teoria fractal

Benoît Mandelbrot que nasceu em

Varsóvia, e vem de uma família lituana, foi

viver para Paris para fugir da invasão Nazi.

Já casado, Mandelbrot mudou-se para os

EUA. Em 1958, juntou-se a uma equipa

de pesquisa da IBM, em Nova Iorque. Aí

trabalhou durante 32 anos e com 85 anos

ainda se encontra nos EUA.

Em 1961, verificou que as semelhanças entre as pequenas e as grandes

variações bolsistas eram fractais e, cinco anos mais tarde, demonstrou que as

irregularidades da costa britânica se podiam obter por intermédio de fractais.

Depois, a partir de 1975, na sequência dos seus estudos, aliados a estudos de outros

cientistas, a geometria fractal passou a ser aplicada por outras ciências

Este prodigioso e ilustre matemático contemporâneo é conhecido

mundialmente como sendo o único responsável pelo enorme interesse nos

chamados objectos fractais. Hoje em dia, a sua geometria é conhecida através de

bonitas gravuras coloridas que enriqueceram tanto a matemática moderna como a

arte.


5

3.3.3.3. Determinação do conceitoDeterminação do conceitoDeterminação do conceitoDeterminação do conceito de «de «de «de «fractalfractalfractalfractal»»»»

Fractal é não só um conceito novo, como o próprio termo não existia antes.

De facto, a palavra “fractal” foi formada pelo próprio Benoît:

“Eu cunhei a palavra fractal do adjectivo em latim fractus. O verbo em

latim correspondente frangere significa quebrar: criar fragmentos irregulares, é

contudo sabido que, para além de significar quebrado ou partido, fractus também

significa irregular.”

Mas, o que são estes fractais?

Os fractais (anteriormente conhecidos por curvas monstro) são bonitos e

fascinantes objectos matemáticos de infinita estrutura e complexidade que podem

ser divididos em partes, cada uma das quais semelhante ao objecto original. A

estrutura do fractal é muito detalhada e conforme a ampliação da imagem e da

maneira que olhamos para ela, esta acaba sempre por se repetir. Porém, nem todos

os fractais possuem repetitividade. Dependendo dos dados inseridos, este não terá

em escalas menores a mesma aparência, ocorrendo distorções da figura.


6

A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e

comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser

explicadas facilmente pela geometria clássica, e as suas leis foram aplicadas em

ciência, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes conceituais dos fractais

remontam a tentativas de medir o tamanho de objectos para os quais as definições

tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham.

Os fractais são criados utilizando-se funções matemáticas e transformando

os resultados dos cálculos em imagens, animações, música. Imagens fractais são os

gráficos resultantes dos cálculos, enquanto animações são sequências desses gráficos.

Por sua vez, música fractal transforma os resultados do cálculo em sons.

Geralmente, mas não exclusivamente, utilizam-se computadores para processar os

fractais, devido à complexidade da matemática envolvida.

4444. . . . História dos fHistória dos fHistória dos fHistória dos fractaisractaisractaisractais

Durante séculos, os objectos e os conceitos da filosofia e da geometria

euclidiana1 foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que

vivemos. A descoberta de geometrias não-euclidianas introduziu novos objectos que

representam certos fenómenos do Universo, tal se passou com os fractais.

A ideia dos fractais teve a sua origem no trabalho de alguns cientistas entre

1857 e 1913. Esse trabalho deu a conhecer alguns objectos, catalogados como

"demónios", que se supunha não terem grande valor científico.

1 Geometria que descreve as propriedades e a métrica de elementos e figuras perfeitamente regulares, como um círculo ou um quadrado.


7

Em 1872, Karl Weierstrass2 encontrou o exemplo de uma função com a

propriedade de ser contínua em todo seu domínio, mas em nenhuma parte

diferenciável. O gráfico desta função é chamado actualmente de fractal. Em 1904,

Helge von Koch3, não satisfeito com a definição muito abstracta e analítica de

Weierstrass, deu uma definição mais geométrica de uma função similar,

actualmente conhecida como o floco de neve de Kochfloco de neve de Kochfloco de neve de Kochfloco de neve de Koch, que é o resultado de

infinitas adições de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial. Cada vez que

novos triângulos são adicionados, o perímetro cresce e aproxima-se do infinito.

Dessa maneira, o fractal abrange uma Dessa maneira, o fractal abrange uma Dessa maneira, o fractal abrange uma Dessa maneira, o fractal abrange uma áreaáreaáreaárea finita dentro de um perímetro infinito.finita dentro de um perímetro infinito.finita dentro de um perímetro infinito.finita dentro de um perímetro infinito.

Também houve muitos outros trabalhos relacionados com estas figuras, mas

esta ciência só conseguiu desenvolver-se plenamente a partir da década de 1960,

com o auxílio da computação.

5555. . . . Classificação dos fClassificação dos fClassificação dos fClassificação dos fractaisractaisractaisractais

Existem quatro categorias relevantes de arte fractal, divisão baseada no tipo de

matemática envolvida no processo, onde o nome normalmente aparece associado ao

do matemático que a desenvolveu:

� A primeira é aquela onde cada ponto do gráfico pode ser determinado

pela aplicação interactiva de uma função simples. Exemplo disso são o

conjunto de Mandelbrot e o fractal de Lyapunov.

2 Matemático alemão (1815 - 1897).

3 Matemático sueco (1870 - 1924).


8

• A segunda classe é aquela onde existe uma regra de substituição geométrica

como por exemplo, o triângulo de Sierpinski, e o floco de neve de Koch.

• A terceira classe é constituída por fractais interactivos, como, por exemplo,

as chamas fractais.

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• E, por último, há a classe dos fractais gerados aleatoriamente

paisagens fractais.

Todos os quatro tipos t

digital. Começando com

artísticas variadas, como gerar texturas, simulação de vegetação e c

então evoluir para representações tridimensionais complexas. Na música, sons

baseados em fractais são surpreendentem

produzir sons parecidos com os naturais que outros processos artificiais.

Para criar um floco de neve de Koch, inicia

triângulo equilátero e divide

triângulo em três partes

pequenos. Continua

demasiado difícil devido ao tamanho reduzido dos

triângulos. Assim, conseguimos obter um perímetro infinito numa área finita.

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9

há a classe dos fractais gerados aleatoriamente,

quatro tipos têm sido utilizados como base de arte e animação

digital. Começando com detalhes bidimensionais, os fractais encontram aplicações

artísticas variadas, como gerar texturas, simulação de vegetação e c


baseados em fractais são surpreendentemente realistas e parecem mais capazes de


Para criar um floco de neve de Koch, inicia

triângulo equilátero e divide-se cada segmento do

triângulo em três partes, criando novos triângulos mais

pequenos. Continua-se a repetir o processo


conseguimos obter um perímetro infinito numa área finita.


, como as

m sido utilizados como base de arte e animação

detalhes bidimensionais, os fractais encontram aplicações

artísticas variadas, como gerar texturas, simulação de vegetação e criação. Podem


ente realistas e parecem mais capazes de


Para criar um floco de neve de Koch, inicia-se com um

se cada segmento do

vos triângulos mais

se a repetir o processo até se tornar


conseguimos obter um perímetro infinito numa área finita.


10

6666. . . . Fractais na nFractais na nFractais na nFractais na naturezaaturezaaturezaatureza

A geometria fractal é utilizada para descrever

diversos fenómenos na natureza, onde não se consegue

utilizar as geometrias tradicionais. Diz-se que os

fractais têm infinitos detalhes, são geralmente auto-

similares e independente de escala. Em muitos casos,

um fractal pode ser gerado por um padrão repetido,

tipicamente um processo recorrente ou iterativo. Estes

objectos dispõem de estruturas similares ao longo duma escala extensa mas finita.

Exemplos disso são os flocos de neve, nuvens, montanhas, trovões e muitos tipos de

vegetais, como os brócolos.

Algumas árvores e certos fetos

são fractais naturais que podem ser

modelados em computadores que usam

algoritmos recursivos. Esta propriedade

de recursividade ou repetitividade está

clara nestes exemplos: num ramo de

uma árvore ou na folhagem de um feto

pode ser observada uma réplica em miniatura do todo. Usando o exemplo dum

círculo com uma ampliação infinita, seria impossível diferenciar o círculo de uma

linha recta. Com os fractais ocorre o contrário: ao se aumentar a amplificação,

revelam-se mais e mais detalhes. Os meteorologistas utilizam o cálculo fractal para

verificar as turbulências da atmosfera, incluindo dados como nuvens, montanhas, a

própria turbulência, os litorais e árvores. As técnicas fractais também estão sendo


11

empregadas para a compactação de imagens através da compressão fractal, além das

mais diversas disciplinas científicas que utilizam o processo.

Os fractais na natureza não existem só em plantas, há-os também em muitos

outros fenómenos, como: os relâmpagos, a forma das cadeias montanhosas e a

ramificação dos brônquios e dos bronquíolos nos pulmões.

7777. . . . Atractor de LorenzAtractor de LorenzAtractor de LorenzAtractor de Lorenz

Introduzido por Edward Lorenz4 em 1963, o Atractor de Lorenz é um

sistema não linear tridimensional determinista

dinâmico derivado de equações simplificadas

tiradas das convencionais equações dinâmicas da

atmosfera. O sistema exibe um comportamento

caótico e mostra o que é hoje chamado de

atractor estranho. O atractor estranho, neste

caso, é um fractal.

Lorenz construiu um modelo matemático do

modo como o ar se move na atmosfera,

4 Matemático e meteorologista norte-americano (1917 - 2008)


12

f: C C

chegando à conclusão que pequenas variações nos valores iniciais das variáveis do

seu modelo levavam a resultados muito divergentes. Esta sensibilidade às

circunstâncias iniciais veio depois a ser conhecida como o efeito borboleta. Lorenz

publicou as suas conclusões num trabalho seminal intitulado Deterministic

Nonperiodic Flow, em que descreveu um sistema relativamente simples de equações

que resultam num padrão de complexidade infinita, o Atractor de Lorenz.

8. 8. 8. 8. Conjunto de JuliaConjunto de JuliaConjunto de JuliaConjunto de Julia

O conjunto de Juliaconjunto de Juliaconjunto de Juliaconjunto de Julia é uma forma fractal

definida sobre o plano complexo. Recebe o seu

nome do matemático Gaston Julia5.

Pode-se definir como o conjunto de pontos para

os quais os pontos próximos não apresentam um

comportamento similar. O conjunto de Julia é um

conjunto de pontos gerados pela iteração de uma

função complexa do tipo:

onde C representa o conjunto dos números complexos.

Na verdade, o correcto seria conjuntos de Fatou-Julia, pois foram os dois

matemáticos franceses Pierre Fatou6 e Gaston Julia que introduziram os métodos

iterativos no estudo de sistemas dinâmicos para a implementação da geometria

fractal.

5 Matemático francês (1893 - 1978)

6 Matemático francês (1878 - 1929)


complementar do conjunto de Julia

comportamento estável.

Esses conjuntos receberam esses nomes em

homenagem aos matemáticos franceses

Julia e Pierre Fatou, que iniciaram a teroria de

dinâmica complexa no começo do

9. 9. 9. 9. Triângulo de SierpinskiTriângulo de SierpinskiTriângulo de SierpinskiTriângulo de Sierpinski

O Triângulo de SierpinskiTriângulo de SierpinskiTriângulo de SierpinskiTriângulo de Sierpinski

obtida através de um processo recursivo. Ele é uma

das formas elementares da geometria

apresentar algumas propriedades, tais como: ter

tantos pontos como o do conjunto d

reais; ter área igual a zeroter área igual a zeroter área igual a zeroter área igual a zero; ser auto

parte é idêntica ao todo);

definição inicial à medida que é ampliado.


13

Em dinâmica complexa, o conjunto de Juliaconjunto de Juliaconjunto de Juliaconjunto de Julia

de uma função holomórfica

informalmente, dos pontos cujo

comportamento, num período longo, sob

iteração repetida de ,

drasticamente sob pequenas perturbações.

O conjunto de Fatouconjunto de Fatouconjunto de Fatouconjunto de Fatou

do conjunto de Julia, isto é, consiste do conjunto

Esses conjuntos receberam esses nomes em

homenagem aos matemáticos franceses Gaston

, que iniciaram a teroria de

nâmica complexa no começo do século XX.

Triângulo de SierpinskiTriângulo de SierpinskiTriângulo de SierpinskiTriângulo de Sierpinski

Triângulo de SierpinskiTriângulo de SierpinskiTriângulo de SierpinskiTriângulo de Sierpinski é uma figura geométrica

obtida através de um processo recursivo. Ele é uma

das formas elementares da geometria fractal por

apresentar algumas propriedades, tais como: ter

tantos pontos como o do conjunto dos números

; ser auto-semelhante (uma

e não perder a sua

definição inicial à medida que é ampliado.


conjunto de Juliaconjunto de Juliaconjunto de Juliaconjunto de Julia

função holomórfica consiste,

dos pontos cujo

, num período longo, sob

, não muda

drasticamente sob pequenas perturbações.

de é o

de pontos com


Foi primeiramente descrito por

polaco.

Qual a relação com o triângulo de Pascal?Qual a relação com o triângulo de Pascal?Qual a relação com o triângulo de Pascal?Qual a relação com o triângulo de Pascal?

O triângulo de Sierpinski é também muitas vezes confundido com o de Pascal

Montando o triângulo de Pascal com 2

branco e os ímpares de pre

Sierpinski.

7 Blaise Pascal, físico, matemático, filósofo e teólogo franc


14

Foi primeiramente descrito por Waclaw Sierpinski (1882 - 1969), matemático

Qual a relação com o triângulo de Pascal?Qual a relação com o triângulo de Pascal?Qual a relação com o triângulo de Pascal?Qual a relação com o triângulo de Pascal?

O triângulo de Sierpinski é também muitas vezes confundido com o de Pascal

Montando o triângulo de Pascal com 2n linhas, e pintando os números pares de

branco e os ímpares de preto, a figura obtida será uma próxima do triângulo de

Blaise Pascal, físico, matemático, filósofo e teólogo francês (1623-1662).


matemático

O triângulo de Sierpinski é também muitas vezes confundido com o de Pascal7.

linhas, e pintando os números pares de

xima do triângulo de


ConstruçãoConstruçãoConstruçãoConstrução

Uma das maneiras de se obter um triângulo de Sierpinski é

parecido ao do floco de neve de Koch. É feito a partir

1. Comece com qualquer triângulo n

Sierpinski normal utilizava um

base paralela ao eixo horizontal, mas qualquer triângulo

pode ser usado (ver primeira figura).

2. Encolha o triângulo pela metade (cada lado deve ter metade

do tamanho original), faça três c

triângulo de maneira que encoste nos outros

canto (ver segunda figura).

3. Repita o passo 2 para cada

figura obtida,

indefinidamente (ver a partir

da terceira figura).

Embora no processo acima a figura inicial seja um triângulo, não é necessário partir

de um para se chegar ao triângulo


15

Uma das maneiras de se obter um triângulo de Sierpinski é usando um método

parecido ao do floco de neve de Koch. É feito a partir do seguinte algoritmo:

omece com qualquer triângulo num plano. O triângulo de

utilizava um triângulo equilátero com a

se paralela ao eixo horizontal, mas qualquer triângulo

pode ser usado (ver primeira figura).

Encolha o triângulo pela metade (cada lado deve ter metade

do tamanho original), faça três cópias, e posicione cada

triângulo de maneira que encoste nos outros dois em um

canto (ver segunda figura).

Repita o passo 2 para cada

indefinidamente (ver a partir


o triângulo de Sierpinski. É possível utilizar qualque


usando um método

algoritmo:


de Sierpinski. É possível utilizar qualquer figura


16

geométrica, o triângulo só é utilizado por facilitar a visualização, como o demonstra

os seguintes exemplos:

O fractal propriamente dito só é obtido quando o processo do algoritmo é repetido

infinitas vezes. Mas, conforme o número de iterações aumenta, a imagem obtida

tende a tornar-se cada vez mais parecida com o triângulo.

10. 10. 10. 10. Conjunto de MandelbrotConjunto de MandelbrotConjunto de MandelbrotConjunto de Mandelbrot

O conjunto de Mandelbrot foi definido pela primeira vez em 1905 por Pierre

Fatou, um matemático francês que trabalhou no campo da dinâmica analítica

complexa. Fatou estudou processos recursivos como

Fatou nunca viu uma imagem, como estamos

acostumados a ver, do que hoje chamamos de

conjunto de Mandelbrot, pois a quantidade de

cálculos necessária para se gerarem tais imagens

está além da capacidade de um ser humano

executar à mão. O Professor Benoît Mandelbrot foi a primeira pessoa a utilizar um

computador para criar o conjunto.


17

Os fractais foram popularizados por Mandelbrot em 1975 no seu livro Les

Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension. Neste livro, Mandelbrot usou o

termo fractal para descrever um número de fenómenos matemáticos que pareciam

exibir comportamento caótico ou surpreendente. Todos estes fenómenos envolviam

a definição de alguma curva ou algum conjunto através do uso de algumas funções

ou algoritmos recursivos. O conjunto de Mandelbrot é um desses fenómenos e leva

o nome de seu descobridor.

O conjunto de Mandelbrot foi criado por

Benoît Mandelbrot a partir do conjunto de

Julia: cada ponto no plano complexo

corresponde a um conjunto de Julia diferente.

Os pontos que pertencem ao conjunto de

Mandelbrot correspondem precisamente aos

conjuntos de Julia conexos, e os pontos fora

do conjunto de Mandelbrot correspondem aos conjuntos de Julia disconectos.

O conjunto de Mandelbrot também "contém" estruturas muito semelhantes

aos conjuntos de Júlia. De facto, para qualquer valor c, a região do conjunto de

Mandelbrot ao redor de c lembra o centro do conjunto de Julia com parâmetro c.

“A fractal zoom on a Mandelbrot set”8 é u m dos muitos exemplos de

vídeos bem ilustrativos do conjunto de Mandelbrot.

8 http://www.youtube.com/watch?v=G_GBwuYuOOs


18

11111111. . . . Arte FractalArte FractalArte FractalArte Fractal

A arte fractal tem vindo a ganhar fama nestes últimos anos. Cada vez mais artistas

usam programas especiais para a criação de arte usando fractais. Noutros casos,

imagens já existentes são “processadas” por outros programas criando imagens

espectaculares. Artistas como Max Ernst produzem padrões “fractorizados”

utilizando uma técnica chamada “Decalcomania”. Alguns exemplos de arte fractal

são:

Conjunto de Julia

Fractal de Sterling

Fractal abstracto


19

Espiral

Conjunto de Mandelbrot Tempestade de Fogo

Vários Fractais

Remoinho Fractal Simétrico


20

11112222. . . . Aplicação dos FractaisAplicação dos FractaisAplicação dos FractaisAplicação dos Fractais

A tecnologia foi desenvolvida sem explorar a estrutura em várias escalas,

apesar das forças cegas da Física e de milhões de anos de evolução a testarem a

importância dos fractais. Recentemente algumas indústrias ou ramos do

conhecimento começaram a explorar as formas fractais.

MedicinaMedicinaMedicinaMedicina

Algumas estruturas ou fenómenos tidos como caóticos ou incompreensíveis,

antes rejeitados pela Medicina convencional, passaram a ter mais importância quer

no diagnóstico, quer no tratamento. Assim, os fractais são considerados, hoje, como

uma importante ferramenta para o avanço da Medicina. Um dos campos mais

desenvolvidos é o diagnóstico do cancro. Descobriu-se que as células cancerosas

têm dimensão fractal superior à dos tecidos normais.

Acredita-se que o conhecimento das estruturas fractais dos vários tecidos do

corpo humano, assim como da estrutura fractal do sistemas circulatório, nervoso e

linfático, permita encurtar a distância que separa as experiências in vitro de in vivo.

Antenas fractaisAntenas fractaisAntenas fractaisAntenas fractais

O desenho de antenas é um problema complicado. Os desenhos comuns são

sensíveis apenas a uma gama estreita de frequências e não são eficientes se o seu

tamanho for inferior a um quarto do comprimento de onda

As antenas convencionais são "talhadas" para a frequência em que vão

operar -pelo que só funcionam apenas para essa frequência. Em contrapartida, as

antenas fractais são capazes de funcionar de forma óptima simultaneamente em

várias frequências. Esta característica faz das antenas fractais uma excelente


21

alternativa para aplicações de banda larga. Exemplo disso foi a Motorola que

começou a usar antenas fractais em vários modelos dos seus telemóveis e anunciou

que estas são 25% mais eficientes que a tradicional antena.

Fibras ópticas fractaisFibras ópticas fractaisFibras ópticas fractaisFibras ópticas fractais

O empacotamento apropriado de fibras ópticas produz guias de ondas com

muito baixa distorção. Uma empresa, Galileo Electro-Optics Corp. mostrou que

através do uso de pavimentações recursivas, conseguiu-se que a fibra óptica

transmitisse os sinais com ainda mais qualidade. As pavimentações que obtêm

melhores resultados são aquelas que têm bordas fractais. Isso levou ao desenho de

feixes de fibras ópticas fractais, chamados multifibras, os quais exibem um melhor

contraste de imagem.

Os mercados financeirosOs mercados financeirosOs mercados financeirosOs mercados financeiros

Os mercados financeiros são um dos grandes campos de aplicação da

geometria fractal , para além de terem sido um dos primeiros locais onde os fractais

foram vistos à solta. Tudo começou com a descoberta, também por Mandelbrot, de

que a distribuição das flutuações do preço do algodão obedecia a uma lei de

potência o que desacreditava os dois dogmas da economia ortodoxa: as variações

dos preços são estatisticamente independentes e obedecem a uma distribuição

normal.


22

13. 13. 13. 13. ConclusãoConclusãoConclusãoConclusão

A geometria fractal é um ramo da matemática que ainda está na sua fase

inicial de exploração, mas as funções que a suportam já são de elevada

complexidade. Por esse motivo e por nos encontrarmos no 11º ano de escolaridade

não explicitámos a sua resolução matemática.

Ainda assim, concluímos que a geometria fractal se afasta radicalmente da

geometria euclidiana e permite a obtenção de resultados ordenados a partir de um

caos aparente. As figuras fractais têm uma estrutura arborescente em que cada

«ramo» é composto por uma série de formas que retratam, numa escola reduzida, a

figura principal., pelo que cada «ramos» é uma imagem perfeita do «ramo» onde

nasce.

O interesse e aplicação da teoria dos fractais não é exclusivo da área das

matemáticas. Há fractais presentes em muitas formas da natureza e outros gerados

artificialmente pelo homem. A diferença entre ambos é que os fractais da natureza

são aleatórios e estatísticos, não têm uma simetria escalar exacta e , por

impedimentos de ordem física, não é possível a criação infinita de fractais naturais.

Devido às investigações de Benoît Mandelbrot, os fractais passaram a ser

utilizados noutras áreas para além da matemática, como tivemos oportunidade de

explicar.. E, segundo se prevê, esta expansão da teoria dos fractais continuará a

verificar-se pois ela contribui para a descrição e compreensão de fenómenos e está

a ser aplicada na construção de novos equipamentos electrónicos e na cura de

doenças como o cancro.


23

BibliografiaBibliografiaBibliografiaBibliografia

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