A

Um plano inclinado possui retas de cota constante (como BC e AD na figura 20). Mas no pode conter retas bsicas. Se girarmos uma reta no plano, em torno do ponto E, fcil perceber que ela comea com uma inclinao de O (quando coincide com EB) e vai aumentando de inclinao at atingir um mximo em EF, quando fica perpendicular a BC, j qLie, passando desse pon-to, volta a se aproximar da reta de cota constante em EC, quando volta a ter inclinao de 00.

As retas como EF, perpendiculares s retas de cota constante do plano, so denominadas de RETAS DE MXIMA INCLINAO ou DE MXIMA DECLIVIDADE do plano. Deve ser observado que E1 F1 tambm perpen-dicular a B 1 C1 , pois quando um ngulo reto tem um de seus lados pa;alelos ao plano de projeo (como o caso de BC) sua projeo ortogonal tambm um ngulo reto.

1.9. Direo, Inclinao e Declividade de Planos

Em pura, caracteriza-se a OI REO de um plano pelas suas retas de cota constante. Em qualquer plano essas retas podem ser obtidas cortando-o por planos paralelos a rr1 Um feixe de planos paralelos corta um plano segun-do retas paralelas (fig. 21). Assim, todas as retas de cota constante de um pla-no tm direes iguais, que a OI REO DESSE PLANO.

Devemos ressaltar que um plano de cota constante tem direo inde-terminada, pois possui retas de cota constante em todas as direes.

Quanto inclinao, deven)OS lembrar o item anterior, OQde mostra-mos que um 'plano inclinado contm retas de inclinao variando de o ao ngulo de sua reta de mxima declividade, que perpendicular s retas de cota constante do plano.

Suponhamos em pura uma face triangular ABC de um slido (fig. 22), onde o lado BC tem cota constante de 2 cm. Baixando a altura de A teramos uma reta de mxima inclinao dessa face (AD).

19

Tomando uma vista em v.Q. dessa reta AD determinaramos seu ngulo de inclinao a em 11'2 .

A inclinao de sua reta da mxima declividade mede a 1 NCLINAO DO PLANO. Notem que a vista em v.g. dessa reta mostra uma VISTA BSI-CA da reta de cota constante do plano (BC) e tambm uma VISTA BSICA DO PR PR 10 PLANO ABC, que se reduz a uma n~ta em 11'2

A DECLIVIDADE do plano tambm adeclividadedasuaretadem-xima inclinao, ou seja, a tangente do seu ngulo de inclinao.

Destaquemos ainda que o plano de cota constante tem inclinao de o e o bsico t~m inclinao de 90.

1.10. Verdadeira Grandeza de Figuras Planas

Em um plano de cota constante todas as figuras se projetam em 111 em v.g. Todos os seus lados e ngulos podem ser medidos diretamente na proje-o principal.

Se o plano est perpendicular a n 1 (em vista bsica) j sabemos que to-dos os pontos e retas desse plano se projetam em uma n ica reta (fig. 23). Pa-ra obter uma cpia exata da figura teremos de obter uma projeo secundria em um plano n2 paralelo ao plano da figura. Basta que a linha de terra { 11'1 11'2 ) seja paralela projeo principal do plano. Dever:nos insistir na observao de que, SE:: n 1 n2 no for paralela a A 1 8 1 C1 D1 E1 , a projeo em tr2 deformar os lados e ngulos do polgono ABCDE.

No caso geral de um plano inclinado, o problema se complica. A figura ABCD, sendo um plano inclinado, no projetada com todos os seus lados e ngu los em verdadeira grandeza, em n 1 (fig. 24). P ior ainda: no h nenhuma direo de linha de terra que consiga um plano de projeo secundrio parale-lo ao plano da figura.

Para obter a verdadeira grandeza de uma figura plana assim teremos que fazer duas novas projees.

20

8

Primeiro, teremos que conseguir uma vista bsica do plano inclinado, is-to , uma projeo secundria em que toda a figura se projete em uma s reta. Para conseguir isso necessrio tomar 1T1 1T2 perpendicular s retas de cota constante da figura. No caso (fig. 25), AB e CD tm cota constante. Tomando ?T1 ?T2 perpendicular a A 1 8 1 e C1 D1 , garantiremos que AB e CD se projetam em vista bsica. Toda a figura se projetar na reta A2 8 2 C2 D2

Em seguida desprezamos 1!'1 e passamos a considerar ?T2 como projeo principal. As cotas dos pontos passaro a ser suas d'istncias a 1T2 (fig. 26). Bastar tomarmos 1T2 1T3 p_aral~la a A2 8 2 C2 D2 e projetarmos a figura em 1T3 , o qual, sendo paralelo ao p lano ia figura, mostrar esta em verdadeira grande-za, ou seja, ser urrt VISTA EM V.G. do plano.

Vejamos como proceder em pura. Partindo de A 1 8 1 C1 D 1 com suas respectivas cotas (fig. 27), para che-

garmos vista bsica do seu plano tomamos 1T1 1T2 perpendicular a A 1 8 1 e C 1 D 1 de cotas constantes. Passando as linhas de chamada e marcando as

21

cotas acima da linha de terra, obtemos A2 8 2 C2 0 2 Agora vamos inverter a situao, passando a considerar ?T2 como o pia

no principal e ?T1 como secundrio. Ento as cotas dos pontos passaro a ser m~didas pelas distncias respectivas de A 1 , 8 1 , C1 e 0 1 linha de terra. A figura 28 mostra essas medidas em centmetros colocadas ao lado de A2 , 82 , C2 e 0 2 Passamos ento 1T2 rr3 paralela a A2 8 2 C2 0 2 e tiramos desses pon-tos as novas linhas de chamada, marcando nelas A3 , 8 3 , C3 e 0 3 com as no-vas cotas medidas a partir de rr2 7T3 Temos ento a vista em v.g. da figura da-da.

Chamamos a ateno para a notao das linhas de terra. A.primeira foi chamada rr 1 1T2 porque o p lano ?T2 foi introduzido a partir de 11'1 A segunda foi denominada rr2 ?T3 porque rr3 formou diedro com 112 , e no com 'Tr1 .

Na prtica no precisamos escrever as novas cotas em 7T2 Aps passar-mos 7T2 rr3 , podemos transportar a compasso a distncia de A 1 a ?T1 7T2 direta-mente para A 3 a partir rr2 7T3 , fazendo o mesmo para os outros pontos da fi-gura.

22

1.11. Exerccios Resolvidos

1. 11. 1 - Representar o s I ido d ado no sistema monge ano (fig. 29) atra-vs de uma nica projeo cotada.

RESOLUO

A primeira preocupao identificar cada vrtice nas trs vistas dadas. o que mostra a figura 30, onde cada vrtice do slido recebe uma letra distin-ta.

O passo seguinte definir a linha de terra 7r1 7r2 , que poderia ser toma-da entre as duas vistas a qualquer distncia de cada uma delas. A figura 30 mostra a mais simples posio, encostada na vista em 7T2 Assim, como asco-tas dos vrtices vo ser medidns a partir dP. 1T1 1T2 , os pontos A, D, F e G j

tero cota nula. Como a outra vista secundria 7T3 tambm permite medir as cotas, se preferirmos trabalhar ne la teremos de tomar 7T 1 n 3 tambm passando por A 3 , 0 3 , F3 e G3, para no entrar em choque com 11'2 .

:). " .J--o,.--):o-........ -:P-=-1

~-

F,

Podemos logo escrever a cota O ao lado de A 1 , D 1 , de F 1 , e G 1 (fig. 31) Quanto s cotas de B, de Cede E basta-nos medir as distncias de 8 2 , C2 e E2 a 7T1 7T2 , em centmetros, e escrev-las ao lado de B 1 , C1 e E 1 , completan-do a representao cotada.

1.11.2 - Determinar as cotas dos vrtices do slido da figura 30 se a li-nha de te rra for tomada passando em C2 .

RESOLUO

Em tal situao de 7T 1 1T2 os pontos A, D, F e G ficam com cotas negat i vas (-1 cm), C com cota nula e E e B com cota positiva (fig. 32).

23

C1lll 81121 E112l C1101 8111) E111J 0,101 G1101 0,1-11 G11-ll

F1IOI F,(-11

A1101 A1HI

A ~-301 e,

Comparando essa figura com a 31, observamos que todos os pontos ti-veram suas cotas diminuidas 1 cm, distncia que subiu a linha de terra.

Observemos que o objeto em estudo no se modifica quando todos os seus pontos tm sua cota aumentada ou dim inuida em um mesmo nmero de centmetros, pois tal operao apenas significa seu afastamento ou aproxima-o de 7T 1 ..

1.11.3 - Na planta da figura 33 7T1 a superfcie livre do mar e as cotas esto medidas em metros. Determinar:

a) - Uma projeo secundria dos pontos A, 8, C e D. b) - As cotas desses pontos na preamar e na baixamar, se for de 5 m a

variao total da mar local.

RESOLUO

Pela conformao do mapa, A e B so os pontos mais altos de uma ilha e C o ponto mais profundo de um lago. O ponto D no teve sua cota indica-

24

da, mas esta deverd ser nula por estar esse ponto na linha do litoral, e portan-to ao nvel mdio do mar.

A escala indicada abaixo do mapa significa que todas as medidas reais esto no desenho reduzidas 10.000 vezes. Cada milmetro na planta represen-ta 10.000 mm na regio representada, ou seja, 10 m.

Para o item a, poderamos tomar qualquer linha de terra 1T 1 tr2 (fig. 34) e tirar de cada ponto da planta a 1 inha de chamada perpendicular a 1T 1 1T 2 As cotas devem ento ser marcadas a partir da linha de terra, lembrando que cada milmetro significa 10 metros. Portanto A2 ficar 6,5 mm acima de 1T 1 1T2 B2 a 2 mm, D2 na prpria linha e C2 3 mm abaixo, por ter cota negativa.

Para o item b devemos raciocinar que o nvel do mar subir 2,5 m na preamar (mar alta) e descer 2,5 m na baixamar (mar baixa), j que a varia-o total de 5 m. Ento, se 1T 1 sobe 2,5 m na preamar, todas as cotas f icaro diminudas nessa medida. O ponto A ficar com cota 62,5 m, B com 17 ,5 m, D com -2,5 m e C com -32,5 m. Na baixa mar o inverso: todas as cotas au-mentaro 2,5 m. As cotas passaro a ser 67 ,5 m, 22,5 m, 2,5 m, e -27 ,5 m, respectivamente.

1.11.4 - No slido da figura 31 (repetido na figura 35), identificar a posio de cada uma de suas arestas, determinando sua verdadeira grandeza e inclinao.

RESC' 1 .UO

a) Retas de cota constante: DG, GF, FA, AD e BE. Todas essas esto em v.g. no 1T 1 , e medidas diretamente no desenho conduzem aos seguintes comprimentos: DG = 2,5 cm, GF = 1,0 cm, FA = 1,8 cm AD= 2,2 cm e BE= 1,5 cm. A inclinao de todas o.

b) Retas bsicas: EG e CD. ' Para determinar. sua v.g. poderiamas obter qualquer projeo secundria, mas mais rpido obter essas medidas pela diferena de cota entre seus extremos. Assim, EG = 2 cm e CD= 1 cm. A inclinao de qyalquer reta bsica 90.

c) Retas inclinadas: BC, EF, BF, BA e CA. BC aparece em v.g. no 1T2 , tomanfo-se 1T 1 1T2 para1ela a B1 C1 . B2 C2 fornece a v.g. (BC= 1,4 cm) e a inclinao a = 45. (fig. 36).

Uma mesma linha de terra 1T 1 1T3 paralela a E 1 F 1 e a B1 A 1 . Ento em 1T3 teremos E3 ~ 3 e B3 A3 em v.g. Logo E F = 2,2 cm e BA = 2,8 cm, sen-do suas inclinaes (3 = 64 e 'Y = 45

BF e CA exigem linhas de terradistintas:1T 1 7r4 paralela a B1 F 1 e1T1 1Ts paralela a C1 A 1 (fig. 37), as quais determinam B4 F 4 e Cs A 5 em v.g.

Medindo no desenho teremos BF = 2.7 cm e CA = 2,5 cm, com inclina-es respectivas = 49 e E= 24.

1.11.5 - Em uma cidade temos os pontos assinalados (fig. 38). A plan-

25

01(0)

F1(0l

n1rr2 E1

--=----~--..:.----c~---o

e _J IA1

dEF =cota F - cota E = 60 - 1 O E1F1 E1F1

=50=0,26 195

OBSERVAO: Lembrar que E1 F 1 deve ser medido na prpria rua, e em metros, que a unidade de medida das cotas. Sendo a escala da planta de 1/5.000, cada mili'metro nela medido corresponde a 5.000 mm= 5 m. O de-nominador da frmula acima foi obtido medindo E1 F 1 na planta, em mil-tros, e multi pi icando por 5, para obter essa distncia real em metros.

A declividade obtida pode ser expressa em percentagem, multiplicando-se o valor obtido por 100. Teremos assim 26% para a declividade do trecho EF, o que no permitir o acesso do ve(culo.

Pela mesma frmula calcularemos as declividades de cada segmento dos outros percursos, obtendo:

dEo = 4% d 08 = 27% dBA = 11% doe= 20% dcB = 19%.

Como o trecho DB inacessvel ao veculo, restar o trajeto EDC8A, em que todos os segmentos esto com declividade at 200;6.

Para responder ao tem b teremos que obter a vista em v.g. de cada seg-mento dos trs percursos e med (-los em milmetros. Convertidos a metros pe-la multiplicao por 5, sero adicionados para obter o total de cada trajeto, em metros. Os resultados sero:

EFA = 345 m; EDBA = 342 m; EDCBA = 393 m. Portanto do 1

, 1.11.7 - Do ponto A no fundo de um depsito cilndrico a 6 m de al-

tura desce um cano de descarga de 6 m de comprimento para um outro dep-sito de altura 3 m.

Determinar o ponto em que tal cano atinge a i:ampa do depsito infe-rior e a i,,,clinao do mesmo.

RESOLUO

Na escala dada ( 1 /200) cada centmetro na figura representa 200 cm = 2 m na realidade.

Tomando uma vista em v. g_ do cano (fig. 42), do ponto A2 de cota 6 m basta traar um arco de circunferncia de 6 rode raio (3 cm no desenho) que definir na cota de 3 m (tampa do tanque menor) o ponto B2 A linha de cha-mada de 82 definir o ponto B na planta (B 1 ). A inclinao do cano a me-dida do ngulo a.

1.11.8 - No tringulo ABC (fig. 43). Determinar a direo das seguintes cevianas do vrtice A: a) A altura b) De declividade de 60% c) De comprimento 3,5 cm.

RESOLUO

a) A altura a perpendicular de A ao lado BC. Sendo este de cota cons-tante, paralelo a n 1 _Sua perpendicular forma ngulo reto tambm em proje-o. Ento AD a soluo (fig. 44).

b) A ceviana de declividade 600/o (ou 0,6), se chamarmos seu extremo de E, conduzir aplicao da frmula da declividade:

28

cota A - cota E 0,6

Como E est no lado BC sua cota tambm 1 cm. Ento:

2,5 - 1 0,6 donde A 1 E 1 =

1,5

0,6 = 2,5 cm

Graficamente, basta-nos centrar o compasso em A1 e com raio de 2,5 cm corta r o lado 8 1 C1 . Haveria uma segunda soluo no outro ponto em que o raio interceptasse 8 1 C 1 A direo da ceviana pedida A 1 E1

ESCALA 11200

C 1(1)

29

c) A verdadeira grandeza da ceviana no permite usar uma vista em v.g., uma vez que no sabemos sua direo.

Sabemos, entretanto, que na vista em v.g. teramos um tringulo retn-gulo do qual conhecemos um cateto (diferena de cota, 1,5 cm) e a hipotenu-sa (verdadeira grandeza 3,5 cm). Podemos construir um tringulo igual parte da projeo (fig. 45) e determinar o tamanho do outro cateto. Chamando de AF a ceviana pedida, tal cateto o comprimento de A 1 F1 Centrando o com-passo em A 1 , determinamos com raio A 1 F 1 o ponto F1 em B1 C1 A direo da ceviana pedida A1 F 1 .

1.11.9 - No slido da figura 31 (repetido na 46), identificar a posio de cada uma de suas faces planas, determinand sua direo e inclinao.

RESOLUO

a) Face de cota constante. S existe uma no slido: sua base no plano rr1 , cujos vrtices so aque-

les de cota O (DGFA). J sabemos que no tem direo definida e a inclina-o nula.

b) Faces em vista bsica. Temos trs: ADC, EFG e BEGDC. Como se reduzem a uma reta em 1T1 ,

suas direes respectivas so A 1 D1 , 'F 1 G 1 e G 1 o;. A inclinao de 90. c) Faces em plano inclinado. Temos tambm trs: ABC, ABF e BEF. As direes so as de suas retas

de cota constante. Ento a direo de ABF A 1 F1 (AF tem cota constante 0) e a direo de BEF B1 E1 (BE tem cota constante 2 cm). Mas ABC no tem nenhum de seus lados de cota constante: Entretanto, quem percorre a aresta AB encontra, a meio caminho entre A.(cota O) e B (cota 2 cm), o pon-to H de cota 1 cm (fig. 47). Unindo C a H obtemos uma reta de cota constan-

. te (1 cm) na face ABC. Ento C1 H1 a direo de ABC. Para determinar a inclinao temos de achar uma reta de mxima incl!-

nao de cada face. Sabemos que sempre perpendicular reta de cota cons-tante da face. Para BEF o prprio lado EF reta de mxima inclinao, j que perpendicu lar a BE (de cota constante). Tomando uma vista em v.g. de EF (fig. 47 - pgina seguinte) sua inclinao ser a medida do ngulo (3, que a prpria inclinao da face BEF.

Na face ABF, BI uma reta de mxima inclinao r- (fig. 48). A sua vis-ta em v.g. determina a inclinao da face. Em ABC tiramos a reta BJ de m-xima declividade e determinamos-a inclinao v dessa face na projeo em 1T4 , vista em v.g. de BJ.

1. 11.1 O - A figura 49 a planta do telhado de uma casa (cotas em metros). A declividade da face que desce para o bordo AB 600/o.

Determinar:

30

A 1(0)

Ez

A,

A,

a) A cota da cumeeira, EF, em metros. b) A declividade da face que desce para o bordo CD c) A rea real de cada uma das faces.

RESOLUO

a) A reta AE de mxima declividade da face do telhado, pois per-pendicular a AB, de cota constante.

Tomemos uma vista em v.g. de AE, passando n 1 n2 paralela a A 1 E1 (fig. 50) . Aps marcar A2 pela cota (cada mm representa 500 mm = 0,5 m) podemos construir um tringulo retngulo de cateto horizontal medindo 1 O mm e o vertical 6 mm (com isso a tangente de seu ngulo ser 0,6, valor dado para a declividade). A hipotenusa ser a direo de A2 E2 , e nela o ponto E2 estar determinado na linha de chamada de E 1 Medindo sua altura acima

31

Ez

A113)

I C,(2,5)

f 3 E1(91

" 11'2

A, e,

D,(2,5) 81(31 o,

F, e,

ESCALA 1/500 F1(9)

de 7r1 7T2 em mm e multiplicando essa medida por 0,5 teremos a cota de E (e de F) em metros (9 m).

b) Com a cota da cumeeira podemos aplicar a EC, reta de mxima decli-vidade da outra face do telhado, a frmula da declividade:

dEc = cota E - cota C E1 C1

9 - 2,5 15

= ~ = 0,43 = 43% 15

Tambm poderamos achar essa declividade atravs do ngulo de incli-nao medido em 7T2 (fig. 51). -

c) Para a rea das faces poderamos tomar uma vista em v.g. do plano. Na figura 51 j temos as faces em vista bsica. Isolando a primeira face (fig. 52), poderamos projetar em 7T2 os vrtices G e H, que logicamente estaro si-tuados na reta nica (A2 E2 ) a que se reduziu a face em rr2 . Passando a consi-derar rr2 como projeo principal, tomamos 7T2 7T3 paralela a A2 E2 e consegui-mos A3 tal que de A3 a rr2 7T3 haja a mesma distncia que de A 1 a 7T1 rr2 Da mesma fo~ma achamos os demais pontos em 7T3 , obtendo a verdadeira grande-za da face.

Resta lembrar que a rea obtida deve ser multiplicada por 250.000, pois os lados estando reduzidos 500 vezes na figura, a rea o estar 500 x 500.

Com o mesmo procedimento acharamos a rea da outra face.

1.12. EXERC ICIOS PROPOSTOS

1.12.1. Representar o slido dado no sistema mongeano (fig. 53) atra-vs de uma nica projeo cotada.

32

RECOMENDAO

o, l-300) o

1,

ESCALA 1/100.000

A,1500) o

F,

Praticar o mesmo tipo de exerccio com as diversas peas representadas nos vrios sistemas de representao do volume 1 da GEOMETRIA GRFI-CA TRID IMENSIONAL.

1.12.2. - Em um campo petrolfero representado na planta (fig. 54) as cotas esto em metros. Cinco poos foram abertos nos pontos A, B, C, D e E. As profundidades respectivas desses poos so 1.200 m, 600 m, 500 m, 200 m e 150 m. Determinar as cotas dos fundos desses poos {pontos F, G, H, 1 e J) e uma projeo secundria de todos os pontos da planta.

1.12.3. - No slido da figura 53, repetido na figura 55, identificar a po-sio de cada uma de suas arestas, determinando sua verdadeira grandeza e in-clinao.

33

RECOMENDAO

Praticar este mesmo exerccio em outros slidos.

1.12.4. - Numa mina temos a rede de g~lerias mostrada na planta (fig. 56), com as cotas em metros. Os pontos A e B so entradas da mina e C o fundo de um poo de 80 m de profundidade. Para extrair minrio no ponto D, determinar o comprimento total de cada percurso possvel, incluindo a ex-trao pelo poo vertical em C. Determinar ainda a declividade do segmento de galeria de maior ngulo de inclinao.

1.12.5. - Uma antena vertical em A,' na figura 57 (cota em metros) de-ve ser equilibrada por trs cabos, partindo para B, C e D (este ltimo a deter-minar).

Sabe-se que os trs cabos partem da antena no mesmo ponto e tm a mesma inclinao. O comprimento de AB 50m.

Determinar a cota de C e a projeo D 1 , sabendo-se que deve estar na margem da estrada m, de cota constante.

1.12.6. - Uma bateria anti-area em C (fig. 58) dispara contra um avio que se desloca de A para B. Sabendo-se que atira corn inclinao de 40, em que direes pode atingir o avfo e em que pontos da sua trajetria este pode ser acertado?

1.12. 7. - Na planta da figura 59 as cotas esto em metros: Um cano de descarga vertical CD precisa ser desviado usando um joelho de 45 e um cano de 2 m de comprimento para a tubulao de esgoto AB. Determinar a proje-o desse cano.

34

ESCALA 1/1000

)

)

ESCALA 1/50

13i1151 o

ESCALA 1/5000

ESCALA 1/20.000

1.12.8. - Na planta da figura 60 as cotas esto em metros. Uma rede eltrica deve ser estendida do ponto A ao ponto E. Os outros pontos so ele-vaes onde podem ser localizadas torres.

Desprezando as curvaturas dos fios, determinar os comprimentos das diferentes redes eltricas possveis.

1.12.9. - No slido da figura 53, repetido na figura 61, identificar a posio de cada uma de suas faces planas, determinando sua dir"eo, inclina-o e verdadeira grandeza.

RECOMENDAO

Praticar esse exerccio em outros slidos representados no volume 1.

35

0.16)

ESCALA 1 /200

1. 12.1 O. - O paralelogramo ABCD da figura 62 est em planta, repre-sentando uma rampa.

Determinar: a) A declividade dessa rampa. b) Qual o menor caminho em zigue-zague, de declividade constante, en-

tre aqueles que partem de B nas direes de E, F, H e 1, capaz de su-bir a rampa arrastando um objeto, se a fora propulsara no agent~ uma declividade superior a 2DI

,,,...,--_______ A,(0)

ESCALA 1/500 ESCALA 1/50

1. 12.1 1. - A figura 63 a planta do telhado de uma casa (cotas em me-tros). Determinar a declividade de cada face e o nmero de telhas que foram necessrias para complet-lo, sabendo-se que cada metro quadrado exige 26 telhas.

1.12.12. - A figura 64 a tanta de uma calha prismtica (cotas em metros).

36

Determinar quantos m2 de chapa metlica foram necessrios para sua confeco.

2. PERTIN~NCIA

2. 1. Ponto Pertencente a Reta

Para reconhecer se um ponto dado pertence a uma reta definida em pura podemos usar apenas 7T1 .

Nos casos de retas d e cota constante e de retas bsicas, como AB e CD (fig. 65) o reconhecimento imediato. Em A8 qualquer de seus pontos s po-der ter cota de 3 cm. Ento E e F pertencem a A8, mas G no pertence. Para CD o reconhecimento da pertinncia ainda mais fcil, pois somente pontos superpostos a C1 e D1 , na projeo, podem pertence a essa reta.

Para uma reta inclinada teremos de fazer uma verificao grfica para estabelecer-lhe a pertinncia de um ponto dado.

Suponhamos a reta A8 da figura 66. O ponto C pertence a AB? Se a cota de C estivesse fora do intervalo entre as cotas de A e B pode-

ramos imediatamente negar a pertinncia. De fato, quem percorre AB no sentido de B para A deve subir da cota O para a cota 3. Ento h possibilidade de passar em C com a cota 2, 5 cm.

Utilizando qualquer vista secundria (no precisa ser a vista em v.g. de AB) notaramos logo que C2 no pertence a A2 8 2 (fig. 67), o que nega a pertinncia de C a A8. Em nenhuma projeo um ponto de uma reta pode cair fora dela.

E se C2 pertencesse a A2 8 2 ? Poderamos garantir que C pertenceria a AB?

H uma posio de 7T 1 7T2 que no daria essa garantia. Vejam a figura

B,

68, onde tomamos 11'1 11'2 perpendicular a A1 Bi, mesma reta das figuras ante-riores. Nessa posio da linha de terra C2 pertence a A2 B2 , mas isso decorre de que A, B e C tm a mesma linha de chamada. J sabemos que C no per-tence a AB. Por conseguinte, nunca deveremos tomar rr1 rr2 perpendicular a Ai B 1 para teste de pertinncia.

2.2. Graduao de uma Reta - Intervalo

D iz(amos, na primeira frase do (tem 2.1 , que s precisamos de 11'1 para reconhecer se um ponto pertence a uma reta.

Vamos mostrar agora como isso pode ser conseguido para uma reta in-clinada. Voltando reta AB (fig. 69) tomemos sua vista em v.g. (A2 B2 ). Querendo determinar sobre ela os pontos de cota 2 cm e 1 cm, bastar-nos-ia passar paralelas a 1T1 1T2 com essas distncias e determinar 0 2 e E2 . Linhas de chamadas estabeleceriam O 1 e E 1 em 11' 1 .

O que vocs observam comparando Ai 0 1 com 0 1 E1 e E1 B1 ? No acham iguais esses segmentos?

Na figura 70 destacamos os tringulos retngulos A2 0 2 X, 0 2 E2 Y e E2 B2 Z. Notaram que so congruentes? Todos tm um ngulo agudo igual (a. )e o cateto oposto igual ( 1 cm). Ento os seus catetos paralelos a 1Ti rr2 tambm so iguais (X02 = YE2 = ZB2 ). Como X02 = A 1 0 1 YE2 =O 1 Ei e ZB 2 = E i B 1 , est demonstrada a igualdade dos segmentos na projeo prin-cipal.

Essa distncia c>nstarite, em 1T1 , entre os pontos de cotas inteiras con-secutivas denomin.ada 1 NTE RVALO da reta.

Em cada tringulo retngulo destacado na figura 70 temos que:

tg a. = dAB = 1 cm INTERVALOAB

38

Assim, desde que o intervalo seja medido na mesma unidade das cotas, a declividade de uma reta o inverso do seu intervalo. Quanto maior o ngulo de inclinao, menor o intervalo de uma reta. Uma reta bsica tem intervalo nulo e uma reta constante de intervalo infinito. possvel conseguir uma re-ta qualquer que seja o intervalo dado.

Marcar sobre a projeo principal os pontos de cota inteira consecutivos a operao chamada de GRADUAR UMA RETA.

Normalmente, nos livros do sistema de projeo cotada, as retas so da-das j graduadas, ou, como tambm se usa dizer, COM SUA ESCALA DF. DE-CLIVE DADA.

Conhecidos os pontos de cota inteira consecutivos da reta, fica fcil lo-calizar qualquer um de seus pontos s com o plano 1T 1 .

Vamos supor o ponto C da figura 66, repetido na figura 71. Como est no intervalo entre D e E, podemos interpolar a sua cota, sub-

dividir o tal segmento em 10 partes, para leitura dos dcimos de centmetro. Como C 1 fica a 6 dcimos de E 1 , sua cota deveria ser 1,6 cm, se pertencesse a AB.

Teramos descoberto a no pertinncia de C reta AB sem precisar de projeo secundria, pois a cota dada para esse ponto foi 2,5 cm.

Com a reta graduada, podemos extrapolar pontos fora do segmento AB, prolongando-o nos dois sentidos para obter qualquer ponto da sua reta supor-te.

2.3. Trao de uma Reta

O ponto em que uma reta atravessa um plano denominado "trao" dessa reta no plano.

Quando no citado o plano, fica convencionado que o TRAO DE UMA RETA diz respeito ao plano 1T1 . Como todos os pontos de 1T1 tm cota

39

~. '\

Se suas projees no so paralelas; como AB e CD na figura 73, fica lo-go afastada a hiptese do paralelismo entre elas.

Para verificar a concorrncia basta-nos graduar as duas retas. Como adi-ferena de cota mtre A e B 3 cm, h trs intervalos nesse segmento. D ivi-dindo-o em trs partes iguais podemos notar que o cruzamento das duas retas, em AB, tem cota aproximada de 3,6 cm. Para CD, h quatro intervalos entre C e D. Dividido em 4 partes iguais, permite a localizao do cruzamento com AB a uma cota aproximada de 1,8 cm. No possvel haver concorrncia en-tre AB e CD, uma vez que o nico ponto que poderia pertencer s duas retas tem cota 3,6 cm numa defase 1,8 cm na outra.

Assim, as retas da figura 73 so reversas. Se prefen'ssemos usar uma projeo secundria para essa mesma consta-

tao poderamos tomar qualquer linha de terra (desde que no perpendicular a Ai B i nem a Ci 0 1) e conseguir a nova vista das duas retas. Levantando a li-nha de chamada do ponto de cruzamento de Ai 8 1 com C1 0 1 , ver(amos que cada uma das duas retas estaria em altura diferente da linha de terra.

Por qualquer dos dois procedimentos, se ocorresse mesma cota para as duas retas no ponto de cruzamento das projees elas seriam fatalmente con-correntes.

E se as projees so paralelas? A figura 74 mostra A 1 8 1 paralela a C1 D1. Tais retas nunca podero ser

concorrentes, mas podem ser paralelas ou reversas. Se forem paralelas, em qualquer projeo ortogonal sero paralelas. Tomando uma vista em v.g. das duas retas (fig. 75) notamos que A2 B2

no paralela a C2 0 2 Ento as retas so reversas. No indispensvel usar projeo secundria. Retas paralelas devem ter a mesma inclinao, declividade e intervalo.

Na projeo principal teramos determinados os intervalos de AB e CD, com-provando sua desigualdade e conseqente falta de paralelismo entre as retas.

41

Atentem para um detalhe importante: no s o paralelismo em 7T1 e a igualdade dos intervalos que garante serem as retas paralelas. Se assim fosse, as retas EF e GH seriam paralelas (fig. 7E;)). Apesar de terem o mesmo interva-lo ELAS DESCEM EM SENTIDOS CONTRRIOS: a primeira desce de E pa-ra F e a segunda de H para G. Experimentem tomar a vista em v.g. dessas retas e notaro que as mesmas no so paralelas.

2.5. Retas Coplanares

As retas concorrentes e paralelas so reunidas em um s grupo, denomi-nado de RETAS COPLANARES, uma vez que sempre ser possvel passar um plano que as contenha. Retas REVERSAS no podem estar em um mes-mo plano, como j fizemos notar no tem anterior.

2.6. Ponto Pertencente a Plano

Reconhecer se um ponto em pura pertence a um plano dado imedia-to quando esse plano de cota constante ou est em vista bsica.

Na figura 77, o tringulo ABC tem cota constante e DEF est em vista bsica. O ponto G no est no plano ABC, pois todos os seus pontos tm co-ta 2 cm. J o ponto H pertence a esse plano, mesmo que,no esteja no interior do tringulo ABC, desde que, geometricamente, o plano se estende indefinida-mente em todas as direes. Parapertencer ao plano DEF qualquer ponto tem que se projetar na reta D 1 E 1 F 1 , como J. At o ponto H pertence a DE F, pois estnoprolongamentode D1 E1 F 1 .

No caso de um plano inclinado, sempre podemos tomar uma vista bsi-ca do mesmo. Qualquer ponto que se projete pertencendo a essa projeo (que se reduz a ma reta como sabemos) um ponto pertencente a esse plano.

Na figura 78, podemos conclu ir que o ponto D no pertence ao plano

42

ABC, aps termos tomado 7T1 7T2 perpend icular a B 1 C1 (lado de cota constan-te de ABC) e obtido A2 B2 C2 , reta essa que no contm D2 Na mesma "pura podemos determinar a cota de qualquer ponto para pertencer a ABC. Assim, para E pertencer ao plano ABC sua cota ser negativa, porque a linha de cha-mada de E1 encontra o prolongamento de A2 B2 em E2 , abaixo de 7T 1 7T2 A distncia de E2 linha de terra d a sua medida.

A pertinncia de ponto a plano pode ser mais demorada de se verificar se a d ;, e-;o do plano no for logo reconhecida. Se precisamos da vista bsica e a obldno desta conseguida atravs de uma reta de cota constante do pla-no, como fazer se no forem dados dois pontos de mesma cota (figura 79)?

J sabemos obter em uma reta pontos de qualquer cota. Se acharmos em BC o ponto de mesma cota de A, tert'amos a direo de ABC.

Entre B e C h 2,5 intervalos. Como dividir um segmento em 2,5 partes iguais? Basta divid(-lo em 5 partes iguais para ter cada uma com meio interva-lo.

o que mostramos na figura 80, obtendo os pontos D e E que graduam a reta BC. Ligando A e D, temos direo do plano ABC. A partir dessa reta, poderemos tomar a vista bsica do plano.

2.7. Graduao de um Plano - Intervalo

A graduao de uma reta co".siste em determinar sobre ela seus pontos de cota inteira consecutivos. GRADUAR UM PLANO significa determinar suas retas de cota constante e inteira, tambm consecutivas.

Voltando a ABC da figura 80, como j mostramos que so paralelas as retas de cota constante de um plano, se passarmos paralelas a A 1 0 1 pelos pontos E1 e C1 , teremos GRADUADO o plano ABC, com a obteno das re-tas de cota 2 cm e O cm (figura 81).

43

A distncia (constante) entre essas retas no plano n 1 chamada de IN -TERVALO DO PLANO. Observemos que o intervalo de um plano o mesmo intervalo de suas retas de mxima inclinao, pois estas so perpendiculares s retas de cota constante e o seu intervalo mede exatamente a distncia entre tais retas.

Portanto, tambm para o plano vlida a propriedade de que a medida do intervalo, na mesma unidade das cotas, o inverso da declividade. Ento, comparando dois planos inclinados, o de menor intervalo o que mais se aproxima do plano bsico, que tem intervalo nulo. Um plano de cota constan-te tem intervalo infinito.

A graduao do plano permite a opo de resolver a pertinncia de qual-quer ponto por interpolao em uma reta de mxima declividade.

A figura 82 exemplifica um plano j graduado pelas retas de cota cons tante m, n e p. Para saber' a cota de um ponto A desse plano basta passar por

44

A 1 uma reta perpendicular direo do plano. Para ser uma reta de mxima inclinao do plano seus pontos de cruzamento com m, n e p devem ter asco-tas dessas retas. O ponto A tem ento uma cota entre 2 cm e 3 cm. Dividindo o segmento em 10 partes, obteramos a cota de 2,4 cm para A.

A reta de mxima declividade, graduada, determina o plano em pura, pois permite obter a graduao desse plano simplesmente tirando perpendi-culares por seus pontos de cota inteira.

Os livros no SISTEMA COTADO usam a representao da reta de mxi-ma declividade por dois traos paralelos prximos, como na figura 83. Numa de suas extremidades colocada uma letra grega que d a notao ao plano. O plano a est dado em pura pela sua ESCALA DE DECLIVE, expresso utili-zada para essa forma de determinao do plano.

2.8. Trao de um Plano

A interseo de um plano a com um outro plano S denominada de TRAO de aem 3.

Quando falamos simplesmente em trao de um plano estamos nos refe-rindo ao seu trao em rr 1 apenas sua reta de cota nula. Para um plano a seu trao ser desig)ado a 11' 1

O trao de um plano bsico contm a projeo de qualquer ponto desse plano. Para um plano de cota constante o trao estar indefinidamente afasta-do; para todos os efeitos prticos no haver trao para tal plano.

2.9. Reta Pertencente a Plano

Se uma reta possuir dois pontos pertencentes a um plano, toda ela per-tencer a esse plano.

De fato, se uma reta estiver fora de um plano s poder atravess-lo em um nico ponto. Para ter dois pontos no plano ter de ter os demais perten-centes ao plano.

Ento a pertinncia de reta a plano se reduz a uma verificao dupla de pertinncia de ponto a plano.

Mas h uma forma mais rpida de testar se uma reta pertence a um pla-no. Como este definido geralmente por retas, e como todas as retas de um plano so concorrentes ou paralelas entre si, -nos suficiente verificar se are-ta dada concorre com duas das retas j determinadas no plano.

Se o plano j est graduado, por exemplo (figura 84), podemos verificar logo se a reta AB pertence ao plano mn. Para isso o seu cruzamento com m dever ter cota 2 cm e com n cota 1 cm. Como AB tem quatro intervalos, di-vidindo-o em quatro partes iguais teremos sua escala de declive, que mostra no haver pertinncia entre a reta e o plano dados.

No sendo dado j graduado, sempre possvel e rpido obter a gradua-o do plano e proceder da mesma maneira.

45

2.10. Exerccios Resolvidos

2 .1O.1. Na figura 85, determinar: a) A cota de C para pertencer reta AB; b) A projeo de um ponto D da reta AB com cota 2,5 cm.

RESOLUO

Poder( amos graduar AB para resolver o problema s com 11'1 Particular-mente nesse caso, as cotas fracionadas de A e B dificultam essa graduao. bem mais fcil usar uma projeo secundria (fig. 86).

Embora no seja imprescindl'vel ao problema, tomamos 11'1 1T2 paralela a A 1 B1 A projeo em 1T2 resa lver os dois tens:

a) A linha de chamada de C1 determina C2 em A2 B2 . A distncia de C2 a 11'1 11'2 , em cent(metros, ser a cota de C.

b) Passando uma paralela a 7T1 7r2 distante desta 2,5 cm, achamos D2 em A2 B2 . Baixando de D2 a linha de chamada, estar determinado D1 em A1 B1 .

2.10.2 - Duas galerias de mina so abertas em A e B (fig. 87). A primei-ra encontra um lenol d'gua subterrnea no ponto C, quando estava com 100m de comprimento. A segunda desce com declividade de 500/o Determinar:

a) Qual a cota do lenol d' gua. b) Em que ponto D a galeria B encontra gua. e) Se o lenol for re_baix.ado e as galerias continuarem, se ocorrer um

encontro entre elas.

RESOLUO

a) Uma vista em v.g. de AC (fig. 88) dever encaixar os 100m da galeria (50mm) entre A2 e a linha de chamada de C1 .

46

Centrando compasso em A2 e com raio de 50mm determinamos C2 nes-sa linha de chamada. A cota de C ser de 15mm negativos, que corresponde a 30m na realidade.

b) O intervalo da galeria BD o inverso da declividade, se medido em metros. Sendo esta de 50%, ou 50/100, o intervalo ser 100/50 = 2 m.

@ .

~,(1,2) ~ ~1

A 113,5)

-... -.....::::-..... ...........

---::::.- S,125) ESCALA I / 2000 -.. :::li

-........._ -..._......_ ------- --..Jii A cota de D a mesma de C (-30m). Entre B e D a diferena de cota se-

r 55m, o que significa que haver 55 intervalos entre 8 1 e D 1 Logo, B1 D1 = 55 X 2 = 110 m.

No desenho tal distncia equivale a 55mm, que permite localizar D (fig. 89).

c) Prolongando AC at cruzar com BD fcil perceber; mesmo. sem qualquer operao, que BD passa por cima de AC. Observando que no ponto C a galeria de A j atingiu uma cota a que a outra s chega em D, claro que descendo mais ainda no seu prolongamento alm de C, vai atravessar a proje-

47

o de BD em um ponto ainda mais baixo, quando essa reta nem sequer des-ceu cota de D.

2. 10.3. - Graduar os trs lados do tringulo ABC e determinar: (fig.90) a) !;:m AB, o ponto de cota 2,8 cm; b) Na reta AC, o ponto de cota 2,5 cm; c) Em BC, a cota do ponto que est a 2cm de B; d) O trao do plano ABC.

RESOLUO

Os pontos de cota inteira podem ser (ieterminados sempre atravs de uma vista secundria, o que particularmente indicado quando as cotas dos pontos dados so nmeros fracionrios. Mas vamos mostrar que a operao sempre poss(vel por diviso de segmento.

Entre A e C h 1,5 intervalos, j que essa a diferena de cota. Pode-mos dividir A 1 C1 em meios intervalos, efetuando sua diviso grt.ica-em 3 par-tes iguais (fig. 9 1). -

Entre A e B h 1,2 intervalos. Se o segmento A1 8 1 for dividido em 6 partes iguais teremos os pontos de AB de 2 em 2 dcimos de cent(metro, o que localiza, entre outros, o ponto de cota 3, consecutivo de A (que tem cota 2) na escala de declive de AB.

Para BC h 2,7 cm de diferena de cota entre B e.{;. Esse nmero ml-tiplo de 0,3, mas no ad iantar achar os pontos de uma reta de trs em trs dcimos de cota, pois no teramos os pontos de cota inteira consecutivos. Por outro lado, dividir B1 C1 em 27 partes iguais para acharmos os dcimos de intervalo levaria a uma impreciso acentuada, pelo reduzido comprimento de cada parte. A figura 91 mostra uma operao mais prtica: dividir B1 C1 em ,Partes proporcionais. Marcando numa reta auxiliar, tirada de C1 , um segmen-

48

to de 2,7 cm, ligamos seu extremo a B1 , tirando paralelas pelos pontos desta reta distantes 0,5 cm, 1,5 cm e 2,5 cm de C1 (essas so as diferenas de cota em relao a C dos pontos de cota 1, 2 e 3). Fica ento graduada a reta BC.

Notem que os artifcios matemticos para proceder a diviso sistemtica da projeo d~ um segmento, como operao para gradu-lo, termina acarre-tando um desgaste mental que poderia ser evitado com a opo de uso da pro-jeo secundria. Separando reta por reta numa pura que envolve vrias delas para graduar claro que h uma grande sobrecarga grfica do desenho ao se-rem usadas projees secundrias, mas devemos lembrar que poss(vel usar uma nica linha de terra para graduar todas elas.

o que mostra a figura 92, onde usamos 1T 1 1T2 (cuidado para no tomar essa linha perpendicular a um dos lados de A 1 B1 C1 ) para determinar apenas os pontos de cota inteira dos trs lados de ABC.

Vejamos ento cada tem proposto. (fig. 93). a) O ponto de cota 2,8 j foi determinado na graduao de AB (ponto

D); (fig. 91) b) Acrescentando meio intervalo no prolon,gamento de AC, achamos

o ponto E, de cota 2,5 cm; c) Como este tem cita um comprimento real, deve ser resolvido numa

vista em v.g. de BC. Tomando F2 a 2 cm de B2 , baixamos desse ponto a linha de chamada que determinou F1 e a cota que foi medida de F2 a 1T1 1T2

Se a graduao das retas tivesse sido feita atravs de projeo secundria (como mostra a figura 92), poderamos ter logo escolhido a mesma linha de terra para as duas operaes;

d) O trao do plano ABC a sua reta de cota O cm. Achando em duas das retas o ponto de cota nula teremos tal trao de-

terminado. O trao de AC ser conseguido se marcarmos meio intervalo no prolongamento alm de C1 O mesmo faremos para achar o trao de BC. Unindo os dois traos de reta obteremos a. 1T 1 (chamamos de a. o pi ano ABC)

49

ESCALA 1/20

2. 10.4. - Em cada cruzamento do conjunto de tubulaes da figura 94, estabelecer qual a que passa por cima da outra, completando os seus contor-nos.

As cotas esto em centmetros. Verificar ainda se h algum par de tubulaes paralelas.

RESOLUO

A graduao de cada segmento de tubulao levaria a uma saturao grfica da planta. Outra vantagem de usarmos projeo secundria exata-mente esta: podemos desviar de uma planta, normalmente j sobrecarregada de linhas convencionais no desenho tcnico, as operaes grficas exigidas para a soluo de um problema como este qu est proposto.

Tomando uma linha de terra que no seja perpendicular a nenhuma tu-bulao, em planta, podemos projetar em 1T2 apenas o eixo de cada, cano. De cada ponto de cruzamento, a linha de chamada determina na projeo secun-dria qual das tubulaes possui maior cota nesse ponto (figura 95) o que nos permite completar na planta o contorno dessa tubulao. Tambm em n2 re-conhecemos duas tubulaes que so paralelas, por terem seus eixos paralelos nas duas projees.

2.10.5. - As retas me n (fig. 96) so coplanares e-a inclinao de n me-de 45, com suas cotas decrescendo da esquerda para a direita. Determinar:

a) Se uma reta p~ssando pr A, paralela a m, concorrente com n; b) A direo e li inclinao do plano a determinado pelas retas me n.

RESOLUO

A reta m, j graduada, tem cota 2,6 cm na interseo com n (fig. 97).

50

@

(4) ~ (2) (1) m,

(4)

(2)

A1t2,5l

Vejamos cada um dos seus dois (tens: a) A reta p paralela a m tem projeo p 1 paralela a m 1 e o mesmo inter-

valo, decrescendo suas cotas no mesmo sentido. Como a cota de A fracionria, devemos marcar meio intervalo de A 1

para obter o ponto de cota 2 cm, e da em diante graduar p com intervalos in-teiros.

No cruzamento com nessa reta p tem cota 0,7 cm. Para saber a cota de n nesse ponto, o mais rpido tomar sua vista em

v.g., que mostra sua inclinao dada, descendo do ponto de cota 2;6 cm onde concorre com m. A linha de chamada do ponto de cruzamento com p estabe-lece a cota de n nesse ponto, que diferente de 0,7. Ento p e n'so retas re-versas.

b) A projeo de nem 1Tz permite achar qualquer de seus pontos de co-ta inteira, como o de cota 1, por exemplo (fig. 98). Se passarmos a reta q pe-

51

los pontos de cota 1 em m e n, essa reta pertencer ao plano a por ser con-corrente com duas retas desse olano. Mas ser uma reta de cota constnte, e assim q 1 dar a direo de a.

Quanto inclinao desse plano, qualquer reta de mxima declividade pode ser projetada em v.g. (plano 7T3 ) e fornecer a medida desse ngulo.

2.10.6. - O piloto de um avio no ponto A da planta (fig. 99) v o sol a 80 NE e sob inclinao de 55. No mesmo instante avista um navio super-posto ao reflexo do sol na superffcie do mar.

Determinar em planta a posio desse navio.

RESOLUO

Da tica fsica, sabemos que um raio luminoso incidente numa super-fcie se reflete formando o mesmo ngulo com o plano refletor. Para todos os efeitos prticos, os raios solares chegam paralelos superf(cie da terra. Sua d i-reo d 1 forma 80 com o norte, para o lado do leste (figura 100). Ento o raio refletido que atinge o avio vem segundo a direo m1 e com a mesma in-clinao de 55. Uma vist em v.g. de m permite tra9ar m2 partindo de A2 e formando_ 55 com 11'1 7T2 O trao de m (supondo 11'1 o plano do mar) ser B, onde deve estar se refletindo o so l pa ra o piloto do avio. em B 1 que deve estar o nav io , na planta.

N

N

~ A

11350)

ESCALA 1/10.000

2.10.7. - As retas me n so coplanares, o que tambm acontece com me p. (figura 101). Chamando mn de a e mp de S , determinar:

a) A posio do ponto A em relao a a. e $ ; b) Que cotas deveria ter o ponto B para pertencer a a.e a ,3 .

52

RESOLUO

a) O plano a j tem como direo n, desde que n uma reta de cota constante ( 1 cm). Tomando uma vista bsica de a (fig. 102) e projetando nela o pont A, constatamos que A2 no est em CJa. Vemos ento que A est mais afastado de 1T1 que o plano a.

Com relao a 8, temos primeiro que achar dois pontos de mesma cota em me p. Graduando p (fig. 103), determinamos seu ponto de cota 4 cm, que fornece a direo q 1 do plano 13 . A vista bsica de 13 permite concluir que o ponto A est .fora desse plano.

b) Na figura 102, a linha de chamada de 8 1 determina 8 2 sobre Qa, e conseqentemente a cota de 8 para pertencer a a. Na figura 103, o mesmo feito em relao a,3

2.10.8. Um volume no ponto A da planta (fig. 104) arrastado em uma rampa plana por dois trabalhadores qe o puxam por meio das cordas AB e AC, exercendo foras respectivas de 50kg e 70 kg. Determinar:

a) Em que direo o objeto se deslocar e qual o seu peso , se a fora de atrito de 150 Kg.

b) Se o trabalhador em 8 mantiver sua direo e fora, para que posio o outro deve se deslocar para obter um mximo rendimento do seu esforo?

c) Para os dois trabalhadores arrastarem o objeto rampa abaixo com igual esforo, em que direo precisaro exercer uma fora mnima e qual a medida desse fora.

RESOLUO

a) Supondo as cordas AB e AC no plano inclinado, deveremos inicial-mente escolher uma escala para traduzir os vetores das foras. Para cada 50 kg tomaremos 1 cm.

53

(1) ESCALA li 500

Esses vetores no esto projetados em verdadeira grandeza, j que seus suportes so retas inclinadas AB e AC. Tomando vistas em v.g. dessas retas (fig. 105), marcaremos em A2 8 2 um vetor f2 de mdulo 1 cm (50kg) e em A3 C3 um vetor f' 3 de 1,4 cm (70 kg). Linhas de chamada determinaro f 1 e f~-.

a fsica, sabemos encontrar a resultante de du~s foras concorrentes, construindo o paralelogramo cuja diagonal a composio dos dois esforos exercidos pelos trabalhadores (r; na figura 106).

Devemos lemtp-ar que tal paralelogramo est no plano inclinado, e assim a resultante no est em v.g. na projeo principal. Graduando AC, determina-mos seu ponto que tem cota 5, o qual, ligado a 8 1 , d a direo do plano ABC. Onde essa reta de cota constante atravessa a resultante obtemos seu ponto de cota 5 (ponto D).

Com A e D podemos obter a vista em v.g. da resultante r, no plano n4 .

54

Medindo esse vetor na escala das 10ras ( 1 cm= 50Kg) obtemos 95Kg. me nos que a fora de atrito especificada ( 150Kg), e os homens no tiraro ovo lume do lugar se no tiverem uma ajuda extra. Como o objeto vai descer a rampa, o seu prprio peso ajudar os trabalhadores.

A fig. 107 mostra em perspectiva que o peso p do objeto pode ser de-composto nas componentes c e c', nas direes de mximo declive de ABC e perpendicular a esse plano, respectivamente. Somente c ajuda a deslocar o volume no plano ABC. Achando a resultante r' da composio de c e r, deve-remos chegar aos 150Kg da fora de atrito, e ser na direo der' que o obje-to ser deslocado.

A fig. 108 volta pura. Tomando a reta AE de mximo declive, obte mos atravs de rr5 e rr7 a vista em v.g. do plano ABC, onde s traamos r7 e a reta A7 E7 . Construimos em rr7 o paralelogramo cuja diagonal r' 7 mede 3 cm ( 150Kg) sendo um dos lados r7 e tendo o outro lado a direo A7 E7 , onde determinamos c7 . Na vista bsica localizamos c5 , que fornece a med ida de p5 , pois o peso vertical e est em v.g. no plano rr5 . Achamos ento 110Kg para valor desse peso. O ponto N der', voltado a rr1 , determina a direo di, na planta, em que o objeto se desloca.

Cabe apenas uma observao final. Embora no tenha sido dito explici-tamente no enunciado, fica evidente a condio de velocidade constante no deslocamento do objeto pelos trabalhadores, pois se houvesse acelerao o peso poderia ter qualquer valor acima de 11 OKg.

b) Se a direo de r coincidir com a de c haver um mximo rendimen-to para a resultante. A fig. 109 mostra, no plano 7Ts (vista em v.g. de c), que As F 5 seria a diferena de c para a fora de atrito. Como c5 mede 55Kg, a nova resultante praticamente no mudou de valor, continuando com cerca de 95Kg. Mas sua nova direo ser Ai F i, superposta a Ai Ei.

Vejamos ento quais seriam as novas componentes e quais as suas d ire-;es.

55

Como o vetor fora em AB no variou de mdulo, uma vez que o traba-lhador em B no mudou seu esforo, podemos construir novo paralelogramo de foras com um lado e a diagonal (fig. 11 O), determinando assim a nova d i-reo que deve ter a corda AC. Para localizar o pont9 C e medir a fora exer-cida nessa corda, precisamos de mais uma vista secundria (em 7r6 ). Obtida. a projeo nesse plano p~lo ponto A e pelo ponto G dt? cota 5m, o novo vetr poder ser medido em v.g., e A6 C'6 (com o mesmo comprimento de A3 C3 na figura 105) permitir localizar em planta a nova posio de C (ponto C'1 ).

Ento se o 2~ trabalhador estiver em C' a fora que precisar exercer na corda AC ser a menor possfvel, medindo 55 Kg.

c) claro que, se o trabalhador em B tambm mudar de lugar, ser poss(vel reduzir mais ainda o esforo do 2'? trabalhador, bem como o dele prprio.

-+ Como AF o menor vetor para a resultante, os menores vetores iguais

em que pode ser decomposto tm metade do mdulo de AF e sero obtidos se forem col ineares com ele. Em outras palavras, se as duas cordas tiverem a direo da reta de mxima inclinao da rampa, os dois trabalhadores pode-ro puxar com a mesma fora de 47 Kg, que o menor esforo poss(vel com que podem fazer o volume descer o plano inclinado.

2.10.9 - Determinar, no plano a. e no plano mn, as direes de suas re-tas de 22 de inclinao. (fig. 111).

RESOLUO

Construindo, parte da projeo, um tringulo retngulo com um ngu-lo de 22 e o cateto oposto medindo 1 cm (fig. 112), o outro cateto dar a medida do intervalo de uma reta dessa inclinao.

Para o plano a. a graduao imediata, pois as retas de cota constante

56

"' (1)

(4)

(5,5

~ m,

INTERVALO

so perpendiculares reta de mximo declive. Tomando um ponto A qual-quer em uma dessas retas e com abertura do compasso igual ao intervalo, traamos um arco que intercepta a reta de cota 1 cm mais baixa nos pontos B e C, Tanto na direo A 1 B1 como na direo A 1 C1 qualquer reta do plano a ter a inclinao pedida.

Para o plano mn a operao de graduao exige um pouco mais de tra-balho. Teremos que graduar uma das retas paralelas dadas. Na fig. 112 gradua-mos m e achamos o ponto de cota 2,5 cm, que ligado ao de mesma cota em n fornece a direo ~I') plano. Da em diante o procedimento o mesmo adota-do para o plano a.

2. 10.1 O. - Um poo no ponto A deve abastecer uma rede de irrigao em que o canal alimentador BC uma reta (fig. 113) Se os limites de declivi-dade para o canal reto de ligao de A a BC so 120k e 15%, determinar em que faixa pode variar a direo do m~smo. Cotas em metros.

RESOLUO

No limite mnimo ( 120k) o intervalo do canal dever ser, em metros, de 100/12 = 8,3m. No limite mximo ( 15%) esse intervalo ser de 100/15 = 6,6 m. J que 8,3 m igual a 830 cm e 6,6 m = 660 cm, di\idindo essas medidas pelo denominador (500) da escala da planta, teremos os intervalos de 1,7 cm e 1,3 cm aproximadamente.

Qualquer reta que passe em A e seja concorrente com a reta BC deve pertencer ao plano definido pelos pontos ABC (plano O'). Vamos graduar esse plano a(fig. 114).

No segmento AC h 8 111tervalos. Dividindo-o em partes iguais temos a graduao da reta AC. Unindo seu ponto de cota 7m ao ponto B, fica defini-da a direo do p lano a.

57

Qualquer reta do plano, partindo de A, dever atravessar a reta de cota 7 com 3 intervalos. A soluo de menor declividade permitida no problema (12%) dever no desenho intercalar um segmento de 3 x 1,7 = 5,1cm entre Ai e m1 , enquanto a de 15% ter essa distncia com 3 x 1,3 = 3,9cm. Com a ajuda do cornoasso, centrando em A1 , determfnamos os ponto$ 0 1 e E1 .

O ngulo DAE delimita a faixa em que pode variar a direo do canal de A a BC para satisfazer as condies do enunciado.

At

2.11.2. - No slido da figura 116, identificar se concorrente, paralelo ou reverso cada par de arestas.

RECOMENDAO:

Praticar esse mesmo exerccio para os slidos representados nos diversos sistemas, no volume 1.

2.11.3. - A reta m concorrente com n e p. Sabendo-se que o ponto A est a 5 cm de B e tem cota menor que 2,5 cm, e que n tem inclinao de 32 aumentando suas cotas da esquerda para a direita, sendo p uma reta de cota constante, determinar na figura 117):

a) A cota do ponto C de m; b) O trao de n; c) Se n concorrente com p.

2.11.4. - Na planta da figura 118 os pontos A, B e Cesto em uma pla-nlcie de cota constante 50m. Na prospeco de um veio plano de minrio, es-te aflorou (apareceu na superfcie do solo) no ponto A e foi encontrado em sondagens verticais nos pontos B e C com profundidades respectivas de 70m e 90m.

Determinar o ngulo oue a direo desse plano forma com o norte e o mergulho (ngulo de inclinao) alm da linha de afloramento (trao do pla-no na superfcie do solo)

2.11.5. - A figura 119 a planta da fiao eltrica em uma mquina, supondo reto cada segmento de fio. Em cada cruzamento, completar na plan-ta o fio que passa por cima do outro, verificando ainda se h pares de fios pa-ralelos.

N

ESCALA 1/ 5000

59

(5) (3) ~

12>Q

F,(Ol

ESCALA 1/2

2.11.6. - O pol(gono ABCDEF (fig. 120) uma figura plana. Determinar as cotas dos pontos B, D e E. Aps achar essas cotas, afastar

7T1 da figura at que todas as cotas fiquem positivas.

ESCALA l / 200 ESCALA l / 10.000

2.11.7. - Na figura 121 as cotas esto em metros. AB, BC, CD e DA so quatro traves de uma estrutura. Verificar se formam uma figura plana.

2. 11.8. - Na p 1 anta de figura 122 as cotas esto em metros. O avio que est no ponto A segue em altura e direo constantes, sen-

do alvejado por um navio B. Sabemos que disparou na direo oeste e com in-clinao de 30.

De que ponto da sua trajetria ele acertou o avio A?

2.11.9. -A planta da figura 123 (cotas em metros) mostra uma trelia metlica em formato de prisma triangular.

60

01(2,5)

F,d //)~(]PI; ~~V f\~

A1(1) 8 1(0)

ESCALA l / 100 ESCALA l / 2000

Determinar a cota de seus vrtices E e F e estabelecer a visibilidade nos cruzamentos de suas peas.

2.11.10. - Na planta da figura 124 (cotas em metros) um avio em A voa a uma cota constante e com velocidade de 600 Km/h, sob um vento as-cendente na direo norte com inclinao de 30.

Determin~r em que direo o avio se desloca em relao ao ar e com que velocidade.

A velocidade do ar de 1 OOkm/h.

2.11.11. - Em um solo plan~, na plant a da fig. 125 - cota em met ros - corre um cano AB do qual deve partir uma rede debanais de decantao com declividade de 5% e espaamento de um metro, at desaguarem no ca-nal CD.

Traar essa rede na planta.

2. 11.12. - As paralelas da planta, na fig. 126 - cotas em metrus - so as retas de cota constante da superfcie do solo (evidentemente no um pla-no, pois o intervalo no constante).

Traar um caminho subindo do ponto A at reta de cota 5m, com de-cl ividade constante de 15%.

3. INTERSEO

3.1. - Interseo de Reta com Reta

J vimos no capr'tulo anterior que duas retas no paralelas s se inter-ceptam se pertencerem a um mesmo plano. Se forem reversas nunca podero ter ponto em comum.

Na pura, j sabemos que o ponto de interseo de uma reta com outra reta s poder estar no cruzamento das projees dessas retas.

61

~ (5) (4) (3) (2} (1) (0)

A,

ESCALA l / 200

\. ESCJ LA 1 500 _,)

3. 2. 1 nterseo de Reta com Plano

O trao de uma reta em um plano o ponto em que ela interceptada por esse plano. Isso tambm dissemos n cap(tulo 2.

Quando a reta paralela ao plano no podemos contar com seu trao nesse plano. Mesmo na geometria projetiva, que considera tal trao infinita-mente afastado, no tem o mesmo importncia' na prtica, j que inacessl-vel.

Excetuando o paralelismo, h sempre um nico ponto de interseo en-tre uma reta e um plano. No h reta reversa em relao a um plano.

Vejamos o procedimento em pura para determinar o trao de uma reta em um plano.

Se o plano for de cota constante, como ABC na figura 127, basta-nos ter a reta graduada e localizar nela o ponto que tem a mesma cota do plano. A reta m atravessa o plano ABC no ponto de cota 5, o mesmo acontecendo com a reta n, mesmo que tal ponto esteja fora do tringulo ABC. Estaremos sem-pre considerando o plano ilimitado em todas as direes, nos problemas teri-cos. Dessa mesma forma j t(nhamos mostrado a determinao do trao de uma reta no plano 7T1 , que o seu ponto de cota nula.

Quando o plano estiver em vista bsica, como na fig. 128, ser ainda mais fcil achar o trao de qualquer reta nesse plano. Notem que as retas me n atravessam a nos pontos A e B, respectivamente, peis so eles os seus pon-tos que se projetam em a 1

Se h tal imediatismo na determinao do trao de qualquer reta quan-do o plano est em .Vista bsica, o caminho mais rpido para achar a interseo de uma reta com um plano inclinado partir para uma vista bsiea secundria desse plano.

Suponhamos o plano a dado em pura por sua escala de decl ive {fig. 129). Desejamos achar o trao em a da reta m. Passando 7T1 7T2 perpendicular

62

direo de a., conseguimos a. 2 , vista bsica desse plano. A projeo de m em tr2 determina A2 . Como todos os pontos pertencentes ao plano a. se pro-jetam em a. 2 , tal ponto a projeo secundria do trao da reta m no plano a.. Uma linha de chamada baixada de A2 determina A1 em m1

No sendo o plano dado j graduado, teramos o trabalho adicional de determinar sua direo antes de poder obt-lo em vista bsica.

3.3. Interseo de Plano com Plano

Dois planos distintos e no paralelos tm como interseo uma reta. J fizemos referncia ao trao de um plano em tr1 , que a reta de interseo des-se plano com o plano principal, ou seja, sua reta de cota nu la.

Generalizando, a interseo de um plano a.com qualquer plano de cota constante sempre a reta de a.que tem cota constante e igual desse plano.

63

Tambm simples achar a interseo de um plano ex.com um outro em vista bsica, pois essa reta estar na prpria projeo do plano bsico, que se reduz a uma reta.

E no caso geral de dois planos inclinados? Como achar em pura sua in-terseo? .

Suponhamos que um deles j tenha sido dado graduado, como ex.na fig. 130. Queremos determinar seu trao no plano (3 dado pelo tringulo ABC. '

Tomando uma vista bsica de Cl, no plano 1Tz podemos obter A2 B2 C2 (fig. 131 ). Conforme vimos no (tem anterior, achamos o ponto D em que AB atravessa ex., e o ponto E de interseo de BC com esse mesmo plano. Se os pontos D e E pertencem simultaneamente a ex.e S, a interseo desses planos a nica reta que passa por D e E, uma vez que dois pontos distintos deter-minam uma reta.

3.4. Interseo de Planos sem a Utilizao de Projeo Secundria.

Para determinar a reta comum a dois planos inclinados, pelo processo do (tem anterior, indispensvel ter em pura a direo de um deles. Se ne-nhum dos dois for dado j graduado, preciso antes determinar as retas de cota constante de um desses planos.

Se for rpido graduar os dois planos dados, possvel determinar sua reta de interseo somente em 7T1

Supond os planos a.e 3 j graduados (fig. 132), as suas retas de mesma cota tm de ser concorrentes. Assim as retas de cota 2 em ex. e (3 , por serem coplanares (j que pertencem ambas ao plano de cota constante 2), tm o ponto A em comum. O mesmo acontece com as retas de cota 1 nos dois pla-nos, que se interceptam em B .. Como A e B esto ao mesmo tempo em ex. e 13 a reta AB a interseo ex. (3. Podemos usar qualquer cota para achar pares de retas concorrentes em ex. e S , embora s precisemos de dois pares para deter-minar a interseo dos planos.

64

Este o processo encontrado em qualquer livro sobre o sistema de pla-no cotados, que no permite o uso de planos secundrios.

3.5. Interseo de Reta com Plano usando soment~ b Projeo Principal

Tambm o ponto onde um plano intercepta uma reta pode ser achado sem o auxt'lio de projeo secundria.

Para tal, precisamos lembrar que todas as retas coplanares so concor-rentes entre si, se no forem paralelas.

Dados o plano a. e a reta m, ambos j graduados (fig. 133) podemos es-colher uma direo qualquer e passarmos paralelas pelos pontos de m. Isso significa passar por m um plano qualquer 13 , que intercepta a.segundo a reta AB, usando o procedimento do tem anterior. Como as retas AB em so co-planares (pertencem a 13 ), devem concorrer no ponto C, que a interseo de m com a. t c laro que poder(amos ter tomado a direo de S perpendicular a m, o que faria esta ser sua reta de mxima declividade. Se generalizarmos tal situao, poder ser inconveniente determinar, em muitos problemas, a inter-seo a;3.

Notem que, para explicar interseo de reta com plano, no sistema co-tado, preciso primeiro estudar como determinar a reta de interseo de dois planos.

3.6. Interseo de trs planos entre si.

Quando temos trs planos a. , 13 e y, mesmo sem considerarmos dois de-les paralelos' teremos 3 possibilidades de interseo (fig. 134);

a) As retas de interseo desses planos tomados dois a dois so distintas e concorrentes. Os planos a., 13 e yformam um i.edro e possuem um ponto em comum (a.$ -y);

b) As retas de interseo so distintas mas paralelas entre si. Os planos formam uma superfcie prismtica;

c) As retas de interseo se confundem em uma s, que constitui a aresta de um feixe de planos formado p0r a. 8 e 'Y

Naturalmente o primeiro o caso mais freqente. A determinao do ponto de interseo de 3 planos sempre conseguida resolvendo um duplo problema de interseo de 2 planos. Dados a , f3 e -y, podemos achar a i3 e 8 'Y. cuja interseo o ponto a f3 'Y p rocurado. Mas pode ser mais rp ido de-terminarmos Cl'Y e 8 'Y , ou ainda a B e cry.

Em pu ra, se um dos p lanos t iver sido dado graduado, como a. na fig. 135, o mais rpido para determinar seu ponto comum com os planos f3 = ABCe-y = DEFacharaf3 e a -y.Defato,umavistabsicadeadeter-mina as retas MN e P em que esse plano intercepta os outros dois. s MN = a. B e PQ1= a. y,ento o ponto X de interse.ode MN com PQ o ponto a.S y .

Se preferssemos operar apenas em n 1 , poderamos achar as direes de S e -y, determinando as intersees a. f3 e a 'Y pelas retas de cota constante dos 3 planos.

3.7. Seo Plana de um Slido

Em desenho tcnico, freqentemente estamos precisando seccionar um slido por um plano, ora para mostrar a constituio ihterna de objetos ocos, ora para indicar o material de que so formados.

Em pura, achar a seo de um slido por um plano qualquer fornecido implica em uma suesso de intersees desse plano com as arestas e faces de tal slid~.

Vamos dar um exemplo da forma-modelo, dada com suas arestas pela metade do tamanho real (fig. 136). Mostremos como obter a sua seo pelo plano a. j graduado.

66

E

Tomando uma vista bsica do plano a, em 7r3 (figura 137) podemos projetar todo o slido, obtendo sua vista auxiliar nesse plano. As arestas do slido que forem atravessadas por aa sero aquelas que so interceptadas pelo plano a,

Depois disso, a maior dificuldade prtica est em visualizar a ordem em que os pontos de interseo devem ser ligados entre si. t a que entra a ajuda de uma perspectiva.

A figura 138 mostra em cavaleira oblqua a forma-modelo oom a mar-cao, em cada aresta, do ponto em que foi cortada por a. Esses pontos so marcados facilmente pela cota obtida na vista auxiliar da figura 137.

Na perspectiva mais simples concluir quais so os pontos vizinhos nes-sa seo do slido, ligando-os para obter o formato da seo (fig. 139).

A figura 140 mostra como ficar o slido se forem retiradas suas partes que ficaram acima do plano o, t usual hachuriar toda a ~reada seo da pea pelo plano o,

8

67

Com o auxi'lio da perspectiva, podemos voltar s vistas ortogonais e de-terminar nelas, atravs das linhas de chamada, os pontos da seo - figura 141.

A figura 142 mostra o aspecto final da pura do slido cortado, elimi-nadas as partes acima de ae hachuriada a seo.

8 8 A.

~ --

z E2 Hz

lz

AI e, 1 w, Trz 1

E,

~ o, H, 3.8. Retas Concorrentes com Duas Outras Reversas

Uma aplicao importante para a interseo de reta com planos a de-terminao de retas que concorrem com um par de retas reversas.

Devemos observar que uma reta fica perfeitamente definida quando so dados 2 de seus pontos. J nos cap(tulos ante~iores vimos que um desses pon-tos pode ser substitudo pela direo e pela declividade, isto , se soubermos que uma reta deve passar em um ponto e ser paralela a uma reta dada, tere-mos uma s posio para essa reta. De fato, basta passar por esse ponto a reta paralela quela que foi dada.

Tambm a reta ser nica se tiver que passar em um ponto dado e ser concorrente com duas retas dadas. A figura 143 analisa em perspectiva como passar uma reta por A, concorrendo com as retas me n. Na hiptese de me n serem concprrentes entre si, o que admitimos na figura, a reta procurada passa pelo ponto de interseo dessas retas (ponto B).

O mesmo problema, aplicado ao caso de m e n serem retas reversas, imaginado na perspectiva da fig. 144. Todas as retas que passam por A e con-correm com m so coplanares, definindo um plano a Esse plano s atravessa a reta n em um nico ponto, que chamamos de B. A reta AB ser a soluo para o problema pois a nica que encontra me n ao mesmo tempo. Tam-bm poderamos usar um raciocnio simtrico: todas as retas que passam em A e concorrem com n determinam um plano 13 que interceptam em um nico ponto C; a reta AC a soluo (que deve coincidir com AB). Essa mesma reta ainda poderia ter surgido da interseo dos planos ae (3.

68

8

....____/ _____,7 /

Vejamos ~ssa questo em pura (fig. 145). Temos dados o ponto A e as retas me n, cada qual por dois de seus pontos.

Graduando m, seu ponto de cota 2, ligado a A, define uma reta de cota constante do plano a= Am. (fig. 146). A vista bsica de a permite determi-nar o ponto B em que esse plano intercepta a reta n. A reta AB fica assim de-terminada.

A figura 147 mostra a pura do segundo raciocnio apontado: graduan-do a reta n e definindo a direo do plano (3 = An, a vista bsica (em rr 3 ) de f3 definir o ponto C em que m atravessa 3 . A reta AC coincide com AB da pura anterior.

A figura 148 mostra a mesma soluo obtida sem o uso de projees se-cundrias. Definindo a = Am e 3 = An por suas direes, um par de retas de cota 1 cm em ae (3determina o ponto D comum aos dois plarws. A reta AD a interseo a 3. que deve ser a mesma reta ABC das figuras anteriores.

69

Pode parecer, comparando as figuras 146, 147 e 148, que sempre mais simples o ltimo procedimento. De fato isso acontece quando fcil graduar as duas retas dadas, e mais ainda quando me n j so dadas por suas escalas de declive. Mas imaginem se as retas forem dadas por pontos de cotas fracion-rias. Ser que compensa o trabalho adicional de gradu-las? verdade que as duas primeiras alternativas exigem tambm a graduao de uma das retas, mas sempre nos possvel escolher a mais simples de graduar.

Vejamos outro problema envolvendo retas reversas. Dado o par de retas reversas me n possvel passar uma reta na direo

d,que seja concorrente com m e n? (figura 149). Mostraremos qe tal reta existe e nica. Todas as retas concorrentes com m e paralelas a d, so coplanares, defi-

nindo um plano a (fig. 150). Este no pode conter n que reversa em relao a m. Ento intercepta n em um ponto que vamos chamar N, v_isualizado na

/ 70

perspectiva. Passando por N uma paralela a d, ten'amos a nica reta nessa d i-reo que pode concorrer com me n, pois estaria contida em a.

Neste caso tambm possvel o raciocnio simtrico de determinar o plano ;3 formado por n e paralelas a d que so concorrentes com n. Achando o pont M em que a reta m atravessa ,3 , teramos tambm a so luo da questo. Igualmente seria achada tal soluo pela interseo dos planos a. e S.

Vamos ver em pura essa questo. A figura 151 define em tr1 as retas m, n e d. Como vamos precisar da

graduao, qual das retas m e n mais fcil graduar? Apesar das cotas fracio-nrias em ambas, notemos que a diviso de n em 5 partes, entre os dois pon-tos dados, determina o seu meio intervalo. Ser mais simples que graduar m, que necessitaria de uma diviso em 13 partes iguais ou em partes proporcio-nais.

Escolhendo ento passar o plano .3 , que fica definido pela reta n e por uma reta d' paralela a d e concorrente com n no ponto de cota 2,5 (fig. 152), podemos graduar n e obter assim a reta de cota constante 1,5 no plano t3 . Uma vista bsica de S define o ponto M em que a reta m atravessa esse plano e conseqentemente a reta que passa em M paralela a d, que soluciona a ques-to.

3.9. 1 nterseo de Planos de mesma Declividade

Merece um destaque especial o que ocorre na interseo de planos que possuem a mesma inclinao.

Os planos a. e B (fig. 153), como apresentam o mesmo intervalo, tm a mesma declividade. Notemos que a reta de interseo a$ , obtida pelos pon-tos de encontro das retas de cota constante dos dois planos, a bissetriz do ngu lo formado pelasdireesde a e s .

71

V

V

A .~' B B

~~r, 81(0) C110l

Desde que os planos conservem suas direes, o aumento ou diminui-o de suas inclinaes, desde que ocorram na mesma proporo para os dois planos, no alteram a direo da reta de interseo.

Dessa observao decorre, por exemplo, que uma pirmide regular de base em 11'1 (fig. 154), como tem todas as faces laterais com a mesma decli vidade proletam suas arestas nas bissetrizes dos ngulo' de base, independen-1 temente de sua altura, desde que cada aresta da base a direo da face cor-respondente.

Na engenharia ocorre com freqncia a interseo de planos com ames-ma declividade, particu larmente no estudo de telhados. Como a declividade de uma face de telhado (denominada GUA DO TELHADO) dependente do tipo de telha utilizado, o mais comum termos, numa mesma cobertura, todas as guas com a mesma declividade.

Suponhamos na fig. 155 um telhado em planta, que cobre uma rea retangular A8CD. De cada lado deve subir uma face com a mesma declivida-de.

Sendo A1 8 1 , 81 C1, C1 D1 e D1 A1 as direes desses planos, no .importa qual seja a declividade, pois a interseo deles ter sempre a direo de cada bissetriz do retngulo (fig. 156). Quando duas bissetrizes se encon-tram, o que. acontece nos pontos E 1 e F 1, ocorre um ponto comum a trs fa-ces. Em E concorrem as faces que partem de A8, de AD e de DC; em F as fa-ces que sobem dos lados AB, BC e CD. A reta EF horizontal do telhado, in-terseo das faces que sobem de A8 e CD.

Como as bissetrizes so equidistantes dos lados do ngulo que dividem podemos perceber que E1F1 est a uma mesma distncia de A1 8 1 e C1 D1.

De um modo geral essas linhas de interseo, em planta, resolvem um problema topolgico especfico: dividir a rea de uma figura em suas partes que renem os pontos mais prximos de cada lado. Assim, no caso da figura 156, os pontos do tringulo A 1 E 1D1 esto mais prximos do 1 ado A 1D1 do

72

A;.:.1 _________ ..,e,

M

que de qualquer dos outros lados do retngulo. s pontos do trapzio A 1 B1 F 1 E1 so os que mais se aproximam do lado Ai B 1 Dentro de B 1 C1 F 1 os pontos esto mais prximos de B 1 C1 , e dentro de C1 D 1 E1 F1 esto mais prximos de C1 D1 .

Em um tringulo MNP (fig. 157) esse tipo de diviso conseguido pelas trs bissetrizes, sendo o incentro Q o nico ponto equidistante dos trs lados. Em um quadriltero qualquer ABCD poss(vel ocorrer um encontro das qua-tro bissetrizes em um s ponto, mas geralmente elas se interceptam duas a duas em pontos distintos. O segmento E F, nesse caso mais freqente, sem-pre a bissetriz do ngulo formado pelos lados que separa (na figura, EF bis-setriz do ngulo formado por AD e BC).

Vamos resolver essa questo para um poh'gono irregular de um nmero bem maior de lados (fig. 158).

73

B

Comecemos traando as bissetrizes de todos os vrtices e observando os pares que se encontram primeil'o (figura 159). Notem que as bissetrizes de A e J se interceptam em L, limitando a rea mais prxima ao lado AJ. As bissetri-zes de F e G delimitam a rea da figura que mais se aproxima de FG. S esses dois pares se encontram diretamente. Se tentssemos o encontro das bissetri-zes de B e C, por exemplo, esse ponto j estaria mais perto do lado JI que dos demais, e no poderia pertencer linha equidistante dos lados.

Observemos nas figuras 156 e 157 da pgina anterior, que em cada pon-to temos 3 regies vizinhas, pelo menos, o que significa haver sempre trs li-nhas partindo de cada um deles. Pode haver mais de trs, como acontecer nos polgonos regulares, nos quais o centro comum, a todas as regies (fig. 160) .

Voltando figura 159, qual a terceira linha que sai do ponto L? Nesse ponto esto vizinhas as reg ies dos lados AJ, AB e JI. A regio corresponden-te a AJ j est fechada. Falta limitar entre si as regies de AB e JI. A linha equidistante desses dois lados a bissetriz de ngulo formado por eles (fig. 161). Nessa mesma figura, vemos que a terceira linha que parte de S a bisse-triz do ngulo formado por EF e GH, cujas regies limita. Essas duas novas li-nhas s terminam quando encontram as prximas bissetrizes, em M e R, res-pectivamente.

Como fecharam as regies mais prximas de AB,e EF, nos pontos Me R restam abertas respectivamente as regies de BC e IJ (para M) e DE e GH (para R). Portanto, de M parte a linha MN, bissetriz do ngulo de BC com IJ (fig. 162) e de R Po/te a linha RQ, paralela a DE e GH. Essas linhas fecham em N e Q as regies 'correspondentes aos lados BC e GH.

A figura 163 mostra a linha NO, terceira que passa em N .bissetriz do ngulo de CD com IJ. Ela fecha em O a regio mais prxima do lado IJ. A linha PQ bissetriz do ngulo de DE com HI, e fecha em P a regio mais pr-xima de DE.

74

Agora s falta ligar O a P para limitar as regies prximas de CD e IH. A fig. 164 apresenta a diviso final da figura dada em suas partes mais prximas de cada lado. Esta seria a planta de um telhado se o polgono fosse o contor-no do seu beiral, com uma gua descendo para cada lado.

B

8

J

3.1 O. Exerccios Resolvidos

3.10.1 - Uma galeria de mina aberta em A e deve descer com decl iv i-dade de 200,{, at encontrar um veio plano de minrio (fig. 165 - cotas em me-tros}. Este veio foi encontrado em sondagens efetuadas em B, C e D com pro-fundidades de 28m, 25 m e 55m. Quando encontrar esse piano, a galeria de A deve se bifurcar em duas outras que sigam com seu eixo pertencendo ao plano. do veio, sendo uma para a di reita com declividade de 25% e a outra para a esquerda com decliv idade de 15%.

Oeterm inar em planta as direes dessas novas galerias.

75

o S.!60)

ESCALA l /2000

RESOLUO

A primeira tarefa determinar as cotas do veio nos pontos B, C e D. Subtraindo, das cotas dadas na superf(cie do solo, as respectivas profundida-des, achamos as cotas de 32m (em B) de 60m (em C) e 15m (em D). Comes-ses trs pontos podemos achar a direo do veio. Uma vista auxiliar 1T2 (fig. 166) pemiitP. achar na reta CD o ponto de cota 32, que ligado a B fornece tal direo.

Uma vista bsica do veio em 7T3 permitir localizar o ponto onde esse plano intercepta a galeria que desce de A. Para localizar a projeo dessa gale-ria em 7T3 (fig. 167) deveremos usar sua declividade. Marcando em 7T 1 o ponto E1 tal que A 1 E1 = 100m, sabemos que E3 dever estar 20m abaixo de A 3 (j que a declividade dada foi de 200Ai). A 3 E3 atravessa o plano BCD no ponto F3 , do qual a 1 inha de chamada determina F 1 .

76

Do ponto F deve partir uma reta do plano BCD com declividade 25% para a dire ita e outra com declividade 15% para a esquerda. Essas retas esto mostradas na figura 168 sem maiores comentrios, pois essa parte do proble-ma uma repetio de exerci'cio do cap(tulo anterior (reta pertencente a pla-no).

3.10.2 - Determinar a interseo da placa triangular ABC com a placa DEFG (fig. 169).

RESOLUO

Devido simplicidade das cotas, mais rpido graduar os dois planos (fig. 170) do que tomar vista secundria. Dois pares de cota constante (de 1 cm e de 2 cm, na figura) determinam os pontos H e 1 comuns aos dois pla-nos. A reta H 1 a interseo desses planos, mas s nos interessa o seu segmen-to LJ, que est no interior do tringulo e do paralelogramo.

81(2,5)

De fato, apresentamos as duas figuras com~ placas planas, e assim s6 pode haver interseo se a reta comum estiver no interior de cada rea. Se essas placas forem opacas fornecero o aspecto da figura 171.

3.10.3 - A figura 172 mostra a projeo da base de uma pirmide trian-gular cujas faces laterais so planas de declividade 125%.

Determinar o vrtice dessa pirmide.

RESOLUO

Trata-se de uma questo de interseo de 3 planos. Cada um deles passa em uma das retas AB, BC e CA e tem declividade 125%. Se1,1 intervalo ser 100/ 125 = 0,8 cm.

77

81(3 ,5)

Graduando essas retas (fig. 173), vemos que todas tm intervalo maior que 0,8 cm. Ento cada uma delas pode pertencer a um plano com esse inter-valo. Se uma delas tivesse apresentado intervalo menor que 0,8cm seria impos-si'vel passar por ela uma face da pirmide.

Para passar por AB um plano com o intervalo de 0,8 qual seria a direo desse plano?

Se tomarmos 2 pontos consecutivos da escala de declive de AB, como os de cotas 2cm e 3cm (fig. 174) e do mais baixo traarmos um arco de cir-cunferncia de raio 0,8 cm, a tangente tirada do outro ponto a esse arco ser a direo do plana procurado. De fato, traando do ponto de cota 2 cm uma paralela a essa tangente teramos a distncia entre tais paralelas medindo exa-tamente 0,8cm. Chamemos de a esse plano. Fazendo o mesmo para os lados AC e BC da base, teramos as faces .)e yda pirmide (fig. 175). A interseo a f3 pode ser obtida atravs de um par de retas de mesma cota nos dois planos

78

8 s C1(5,5l c,

e 8 C1(5,5l

l (0) O"" e, oAil 1) ! (0 (1,7)

ESCALA li 100

e 8 o,

j(IS) o

ESCALA 1/500

RESOLUO

O contorno da sombra projetada devido sombra do bordo BC do via-duto. Se p~ssarmos um raio luminoso de A a um ponto de BC, como H, por exemplo (fig. 181), tal reta interceptar o plano mn em F, no contorno da sombra. Outro ponto qualquer 1 de BC projetar sombra em G.

Este um problema inverso do que estudamos e_m interseo de reta com plano mn e queremos determinar os pontos H e 1 por suas cotas.

Uma vista bsica do plano mn permite localizar em n2 os pontos F2 e G2 , que determinam A2 F2 e A2 G2 e conseqentemente H2 e 12 na linha de chamada de H 1 e 11 . Medindo as cotas de H e 1, podemos tranqilamente apli-car a frmula d declividade para o segmento HI e portanto para o trecho do yiaduto em planta.

80

A,(0)

3.10.6 - Determinar a projeo da seo do slido da fig. 182, j estu-dado no 1

A visibilidade da figura mostra a eliminao da poro da pea acima do plano a,, hachuriando-se o interior da seo.

3.1O.7 - Uma caldeira cilndrica de eixo horizontal mostrada na plan-ta da fig. 185 (cotas em metros).

Determinar a projeo da linha de interseo dessa caldeira com a pare-de inclinada, definida na planta por suas horizontais de cotas O e 4.

RESOLUO

O cilindro tambm permite uma vista bsica. Tomando-se 7T1 7T2 perpen-dicular .ao seu eixo, ser obtido um crculo como projeo do cilindro (fig. 186).

Escolhendo diversas cotas, podemos determinar vrios pares de gera-tri~es do cilindro (ab, cd, ef, etc). Essas geratrizes podem ser projetadas em 1T1 e em 7T3 , que q uma vista bsica do plano da parede.

Podemos determinar ospontos em que cada geratriz atravessa o plano 1(po ntos A, B, C, D, E, F, etc),obteodo-osem1T3 edepoisem1T1.

ESCALA 1/200

Sabendo-se que a seo resulta em uma elpse,, fci l unir esses pontos para. obter essa curva de seo na projeo principal (fig. 187), notando-se que metade visvel por estar na parte superior da caldeira e a outra invisvel, por estar no semi-cjllhdro inferior.

3.10.8 - Um motor no ponto A deve transmitir rotao aos eixos BC e DE por meio de um nico eixo (fig. 188).

Desprezando o raio dos eixos, qual deve ser a direo do eixo transmis-sor?

R?

\

ESCALA 1/10

RESOLUO

O eixo de transmisso a reta que passa por A e concorrente com BC e DE. Essas retas so reversas, e assim estaremos diante da questo discutida no tem 3.8 deste captulo.

Como BC de difcil graduao, escolhemos determinar o plano a.defi-nido por A e DE. O segmento DE, dividido em 3 partes iguais, localiza o pon-to de cota 15, que determina a direo de a com o ponto A (figura 189).

Uma vista bsica de a.permite determinar em 1Tz o ponto F em que a in-tercepta a reta BC. A reta AF a soluo para a questo.

3.10.9 - Um artilheiro no bombardeiro A dispara para cima na direo N 60 E e com inclinao de 30. Se esse avio se desloca em uma horizontal, de que ponto o artilheiro disparou para atingir o caa B, que mergulha em um ngulo de 20? (figura 190, cotas em metros).

N

ESCALA 1/5000

83

RESOLUO

As trajetrias de A e B so retas reversas. O projtil disparado de A deve seguir uma reta concorrente com essas duas retas reversas, para atingir o avio B.

Essa questo recai naquele problema analisado no tem 3.8: passar uma reta em uma direo dada, concorrente com duas retas reversas dadas.

Aqui mais simples definir o plano a.determinado pela trajetria de A, que j tem cota constante, e por uma reta AC na direo do tiro. Essa reta forma 600 com o norte (fig. 191) e tem inclinao de 30. Para achar um ou-tro ponto dessa reta, como C, temos de tomar uma sua vista em v.g. no 7T2 Como a cota de A muito grande, vamos subtrair 1000 metros, ficando ele com cota nula. Marcando o ngulo de 30 em 7T2 , escolhemos C2 1 cm acima de A2 , ou seja, achamos o ponto C de cota 1050m na reta AC.

Tambm precisamos de um segundo ponto na trajetria do avio B. Tomando sua vista em v.g. no 7T3 , marcamos B3 por sua cota acima de 1000, e o ngulo de 20 fornecido no enunciado permite escolher D3 com 1 cm abaixo de B3 , e conseqentemente o ponto D de cota 1050m.

Agora, uma vista bsica de a., do qual j conh"ecemos a direo, obti-da em 7r4 (fig. 192). Projetando BD em 7T4 , a reta B4 D4 atravessa a.. em E4 , do qual a linha de chamada localiza E1 em B1 D1 . A reta EF paralela a AC eh -contra em F a traj_etria do bombardeiro. i; esse o ponto de disparo pedido no problema.

N

3.10.1 O - O polfgono da figura o contorno do beiral de um telhado em planta, no qual deve descer uma gua para cada lado assinalado por uma seta (fig. 193).

Para os lados AB e D E no descem guas por estarem sobre o muro divisrio do terreno.

84

8 8 e, A1 e

H ' e, o,

G,

E, F,

E, F,

Traar as linhas de interseo das guas desse telhado, sabendo-se que todas devem ter a mesma declividade.

RJ:SOLUO

Conforme. foi analisado no tem 3.9 desse captulo, a interseo de pla-nos de igual declividade no depende, em direo, do valor dessa declividade, pois est sempre na bissetriz do ngulo formado pelas direes dos planos.

Os lados da figura que esto assinalados por setas elevem ser horizon-tais, por serem bordos de escoamento d'gua. Como nada foi observado em contrrio, todos eles devem ter a mesma cota.

Com essas consideraes, o problema recai em dividir a rea do pol go-no em suas regies mais prximas dos lados da figura, excluindo Ai 8 1 e Dl Ei.

Comecemos traando de Ci, F 1 , G 1 , H i e 1 i as bissetrizes do polgono (fig. 194). De Ai, 8 1 , Di e Ei no saem bissetrizes por no haver gua do te-lhado descendo para Ai Bi nem para Di Ei. As retas que saem do meio de Ai Bi e do meio de D1 Ei dividem as reas mais prximas de Ai 1 i e Bi Ci e de Ci D1 e Ei Fi, respectivamente.

E fc il perceber onde cada linha encontra a mais prxima (fig. 195). No ponto J 1 fica limitada a rea mais prxima do 1ado G1 H1 . Em L1 , a rea dos pontos que se aproximam mais de A1 11 Em Mi, a rea correspondente a C1 Di.

Vejamos agora, de cada um desses pontos J 1 , L1 e Mi qual a terceira li-nha que sai.

De J i, falta sair a interseo das reas mais prximas de H i 1 i e G i F i, na direo da bissetriz do ngulo formado por esses lados (fig. 196). Em Li esto abertas as regies de H 1 11 e B 1 C1 ; a bissetriz do seu ngulo determina a interseo dessas reas. De M1 falta a bissetriz do ngulo de B'i C1 com E1 Fi.

85

Finalmente, a reta que vem de J 1 encontra em N1 a bissetriz de F 1 , li-mitando a regio mais prxima de F 1 G1 - figura 197, e a reta de L1 encontra a de M1 em 01 , limitando a regio mais prxima de B1 C1 A linha N1 0 1 completa a diviso das guas do telhado.

s A e

~--"' ......... H1

"' "' E,

Notem que, dessas linhas, aquelas que so paralelas ao beiral do telhado, como o caso de PL, MQ e NO, so retas de cota constante. Essas arestas ho-rizontais so as CUMEEIRAS do telhado. As arest as no horizontais mas que separam a gua para bordos d iferent es so chamadas ESPIGES do telhado. i; o caso de HJ, que divide a gua corrente para H da gua que corre para HG, de GJ, que divide a gua que desce para G H e G F, e assim por diante. As ares-tas que concentram gua que vem descendo em duas faces distintas so deno-minadas R 1 NCES do telhado. Temos o exemplo de 1 L, para onde vai gua que desce nas faces que jogam gua pelos bordos AI e HI. CM outro rinco desse te lhado. Podemos observar que todas as bissetrizes que saem dos vrti-ces cncavos do polgono so rinces, enquanto as que saem dos vrtices con-vexos so espiges. As cumeeiras jamais so bissetrizes.

3.10.11 - A figura 198 o contorno do beiral de um telhado em plan-ta, onde todas as guas tm a mesma declividade e descem para todos os lados do polgono externo e do retngulo interno, que representa um ptio desco-berto.

Determinar os espiges, rinces e cumeeiras desse telhado.

RESOLU0

Nessa situao h bissetrizes saindo de todos os vrtices, tanto do pol -gono externo quanto do retngulo interno (fig. 199). Tambm devem ser lem-bradas as cumeeiras que correm paralelas e equidistantes dos bordos externos e internos.

86

8 A1 s

" P, e, e,

G H, 1, J,

o, L1 M

F, E,

E,

o, e,

Com essas observaes e achando a interseo das linhas mais prximas, fcil chegar ao aspecto final da figura 200.

3.10.12 - Um telhado tem seu beiral indicado na planta da figura 201. As cotas esto em metros e suas guas tm declividade de 50%.

Determinar os espiges, os rinces e as cumeeiras desse telhado.

8 A, .r---------e, G .... 1 __ H,..._

o,

R ESO Ll,JO

Precisamos de ini'cio achar horizontais de mesma cota em tbdas as faces do telhado, pois os seus beirais tm nveis diferentes.

O intervalo igual para todas elas, medindo o inverso da declividade, ou seja, 100/50 = 2m. Na escala do desenho, teri'amos 1 cm para a medida desse intervalo na planta. Em cada mm na planta, a cota do telhado subir 10 cm.

87

s 8 81(3,2)

A,

L,(3) L, ...

(3) C1

de beiral todo na mesma cot J. Muitos tm preferncia por ele, apesar de ser mais trabalhoso, pois d uma maior segurana ao operador mais inexperiente.

3.10.13 - O telhado definido pelo contorno do seu beiral, na planta da fig. 207, tem uma gua descendo para cada lado. Todo o beiral tem a mesma cota, mas as declividades das guas so diferentes. Para A1 B