Geometria Plana e Espacial Completa2 - Cópia2

Iran Abreu Mendes

Jos Querginaldo Bezerra

Autores

aula

01

Geometria Plana e EspacialD I S C I P L I N A2 Edio

As medidas da Terra e outras medidas

Governo Federal

Presidente da RepblicaLuiz Incio Lula da Silva

Ministro da EducaoFernando Haddad

Secretrio de Educao a Distncia SEEDRonaldo Motta

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

ReitorJos Ivonildo do Rego

Vice-ReitorNilsen Carvalho Fernandes de Oliveira Filho

Secretria de Educao a DistnciaVera Lcia do Amaral

Secretaria de Educao a Distncia- SEDIS

Coordenadora da Produo dos MateriaisClia Maria de Arajo

Projeto GrficoIvana Lima

Revisores de Estrutura e LinguagemEugenio Tavares BorgesMarcos Aurlio FelipePedro Daniel Meirelles FerreiraTatyana Mabel Nobre Barbosa

Revisoras de Lngua PortuguesaJanaina Tomaz Capistrano

Sandra Cristinne Xavier da Cmara

IlustradoraCarolina Costa

Editorao de ImagensAdauto HarleyCarolina Costa

DiagramadoresBruno Cruz de Oliveira

Maurcio da Silva Oliveira JniorThaisa Maria Simplcio Lemos

Imagens UtilizadasBanco de Imagens Sedis (Secretaria de Educao a Distncia) - UFRN

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Mendes, Iran Abreu.Geometria espacial: interdisciplinar / Iran Abreu Mendes, Jos Querginaldo Bezerra. Natal, RN:

EDUFRN Editora da UFRN, 2005.324 p.

1. Geometria euclidiana. 2. Teoremas clssicos. 3. Tringulos. I. Bezerra, Jos Querginaldo. II. Ttulo.

ISBN 85-7273-288-8 CDD 516.2RN/UF/BCZM 2005/48 CDU 514.12

Diviso de Servios TcnicosCatalogao da publicao na Fonte. UFRN/Biblioteca Central Zila Mamede

Copyright 2007 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorizao expressa da

UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

2 Edio Aula 01 GeometriaPlanaeEspacial



1

Compreender o processo de organizao da geometria enquanto conhecimento construdo historicamente em diversos contextos socioculturais;

Identificar conexes entre as prticas de medio e a axiomatizao da geometria ao longo da histria, bem como interpretar esses aspectos no contexto atual da comunidade na qual est inserido.

Apresentaoesta aula, pretendemos situ-lo quanto aos aspectos histricos que cercam o desenvolvimento da geometria enquanto conhecimento matemtico abordado na escola bsica. Para isso, consideramos as origens das prticas de medio

(geometrias prticas dos egpcios e babilnios) e sua axiomatizao com os gregos e, mais especificamente, com Euclides (cerca de 300 a.C.) em sua obra principal intitulada Os Elementos. A referida obra uma sistematizao de grande parte do conhecimento matemtico da poca e uma das primeiras obras matemticas a serem escritas usando o mtodo axiomtico. Apesar dos vrios defeitos lgicos da poca, trata-se de um modelo exemplar de exposio matemtica atravs dos sculos.

Para que possamos alcanar nossos objetivos, faamos uma pequena incurso histrica ao mundo da geometria de modo a ver, nesse mundo, os aspectos ligados base estrutural desse saber e suas relaes com o conhecimento disseminado pela sociedade e pela cultura escolar hoje. Vejamos, portanto, um pouco de histria das medies da Terra e outras medidas.

N

Nesta aula, esperamos que voc possa:

Axiomatizao

A axiomatizao considerada um processo pelo qual passam os saberes praticados de maneira informal, quando levados a um nvel de sistematizao formal, considerando um conjunto de princpios previamente estabelecidos. Nesse sentido, um axioma uma proposio indemonstrvel porque evidente e admitida como ponto de partida de um raciocnio, em particular na Matemtica. Objetivos

1

2


2Sobre as origens da geometria

ara conhecermos um pouco da geometria desenvolvida e praticada pela humanidade ao longo dos tempos, necessrio

buscarmos na sua histria algumas relaes entre a geometria e outras reas da Matemtica, principalmente com a aritmtica e a lgebra elementar. Para isso, vale considerarmos algumas das suas origens que, conforme dados histricos, situam-se nas prticas desenvolvidas pelos povos do Egito Antigo e da Mesopotmia (regio entre os rios Tigre e Eufrates, habitadas pelos babilnios atualmente onde est situado o Iraque), passando pelo seu desenvolvimento e sistematizao atravs dos filsofos gregos do perodo helenstico (fase em que a civilizao grega alcanou seu apogeu intelectual antes do domnio romano). desse perodo que surge o trabalho de um dos matemticos mais destacados da histria da humanidade Euclides de Alexandria, um dos mais famosos discpulos da escola platnica.

Foi com o trabalho desenvolvido por Euclides que as prticas de medio e clculo geomtrico passaram a ser sistematizados e simbolizados atravs de um processo lgico-dedutivo, que visava formalizar as prticas geomtricas das tradies milenares atravs de um sistema hipottico-dedutivo. O trabalho de Euclides, portanto, foi de fundamental importncia para o desenvolvimento da geometria dedutiva, por se configurar em um tratado terico sobre as prticas geomtricas efetivadas social e historicamente.

A realizao de estudos posteriores sobre a geometria euclidiana apontou novos caminhos para a explorao e representao do espao geomtrico, possibilitando, assim, o desenvolvimento das chamadas geometrias no-euclidianas no sculo XIX, o que influenciou a criao das novas reas de estudos na Matemtica do sculo XX.

A geometria tem origem provvel na agrimensura, medio de terrenos, no Egito Antigo, segundo o historiador grego Herdoto (Sc. V a.C.). certo, porm, que muitas outras civilizaes antigas possuam conhecimentos de natureza geomtrica. Nesse sentido, podemos citar as prticas geomtricas da civilizao babilnica, egpcia, chinesa, hindu e rabe, entre outras, significando, assim, que, desde o extremo Oriente ao Oriente Mdio, essas prticas se faziam necessrias e constavam nas atitudes e hbitos culturais e religiosos da nossa antiguidade remota. O termo geometria deriva do grego geometrein, que significa medio da terra (geo = terra, metrein = medir).

PEscola platnica

Escola filosfica criada por Plato, baseada nas

idias sofistas de Scrates e no pitagorismo. Seu

principal objetivo consistia em treinar as mentes dos

homens a pensarem por si luz da razo.

Geometrias no-euclidianas

Geometrias construdas a partir do estabelecimento

de refutaes a alguns postulados da geometria

euclidiana. Como exemplo, temos a geometria criada

pelos matemticos Lobatchevski (1792

1856), Riemann (1826 1866), dentre

outros matemticos da era moderna e contempornea.

A civilizao babilnica

A civilizao babilnica engloba um conjunto de

povos que viveram na Mesopotmia em um

perodo que vai desde 5000 a.C. at, aproximadamente

o inicio da era crist. Um aps o outro, esses

povos sumrios, acdios, caldeus,

assrios, babilnicos e outros, contriburam

para estabelecer as caractersticas da

civilizao babilnica.

Figura 1 Euclides de Alexandria

Aula 01 GeometriaPlanaeEspacial 2 Edio 2 Edio Aula 01 GeometriaPlanaeEspacial

Em tempos passados, a geometria era uma cincia emprica, um conjunto de regras prticas para obter resultados aproximados. O estudo dos textos que tm relao com a geometria revela que a geometria babilnica est intimamente ligada s medies prticas. Tratam, sobretudo, da medio de figuras planas, com pequenas excees para problemas referentes aos slidos geomtricos. Tais informaes foram extradas das placas de argila (tablitas), encontradas por vrios arquelogos que, at hoje, fazem investigaes naquela regio.

Os babilnios determinavam o comprimento de uma circunferncia, geralmente multiplicando seu dimetro por 3. Essa operao aritmtica equivale a dizer que os babilnicos, entre 2000 e 1600 a.C., consideravam o valor de igual a 3, valor este que tambm se encontra mencionado em escritos chineses antigos e utilizado por arquitetos romanos, apesar de alguns povos como os judeus e os egpcios conhecerem aproximaes melhores, como 22/7 e (

16/9)2. Recentemente, arquelogos franceses encontraram uma tablita

na qual, mediante alguns clculos, se chega a um valor de igual a 31/8.

De acordo com os pesquisadores sobre a histria da Matemtica, os babilnicos eram bem mais avanados que os egpcios em aritmtica e lgebra e conheciam bem, principalmente na prtica, o famoso Teorema de Pitgoras, cuja primeira demonstrao atribuda aos pitagricos, muitos sculos mais tarde. Nesse sentido, Otto Neugebauer (1969, p. 35-40) menciona o estudo e a descoberta pelos babilnios, da diagonal de um quadrado, dada a medida do lado, como prova suficiente de que o teorema pitagrico era conhecido mais de mil anos antes de Pitgoras.

Pitagricos

Os pitagricos eram assim chamados por serem membros da escola pitagrica, fundada por Pitgoras, cujos princpios filosficos bsicos se apoiava no orfismo, adicionando a ela uma forte mstica dos nmeros. Essa escola deu origem a uma tradio cientfica e mais especificamente matemtica. Os pitagricos formavam uma ordem religiosa que acreditava na doutrina da metem-psicose ou transmigrao das almas e consideravam que os nmeros constituam o caminho para explicar o universo. O pitagorismo baseava-se no princpio de que os nmeros explicavam todos os fatos naturais, sociais, polticos e msticos da vida humana.

Atividade 1

Consulte em livros de Histria Geral, os captulos referentes antiguidade (Mesopotmia, ndia, Egito, etc...) e analise as prticas de construo e medio de cada fase histrica, apontando os conhecimentos geomtricos existentes na poca e os seus modos de utilizao. Caracterize cada uma das geometrias existentes nos perodos analisados.

1

Figura 2 - Tablitas da Mesopotmia


Quanto geometria desenvolvida pela civilizao egpcia, os historiadores tm mostrado que a maioria dos problemas de geometria encontrados nos papiros referem-se a frmulas de medio necessrias para avaliar a rea de figuras planas e dos volumes de alguns slidos. A rea de um tringulo issceles era obtida multiplicando-se a metade da base pela altura.

Alm disso, os egpcios efetivavam transformaes geomtricas que caracterizavam relaes de semelhana de retngulos com a ajuda de tringulos issceles e de trapzios issceles. Calculavam, tambm, o volume de cilindros e prismas tal como os babilnios. Todavia, desconheciam o Teorema de Pitgoras em sua formulao geral.

Algumas vezes, os gemetras egpcios determinavam a medida correta de algumas das suas experimentaes, como por exemplo, o clculo do volume do tronco de uma pirmide de base quadrada. Outras vezes, erravam grosseiramente, como na rea de um quadriltero convexo arbitrrio, calculada como se fora um retngulo (produto das semi-somas das medidas dos lados opostos), que corresponde relao: A = 1/4(a+c)(b+d). Vejamos as figuras abaixo.

a) Na Figura 3, determinamos a rea do retngulo a partir da relao dada acima, do seguinte modo:

A = 1/4(a+c)(b+d); como a = c e b = d, teremos ento:

A = 1/4(a+a)(b+b); ou seja A = 1/4(2a)(2b). Da tem-se que A =

1/4(4ab).

Logo: A = ab, a relao que determina a rea do retngulo.

b) Na figura 4, podemos perceber, claramente, que b < d (medidas diferentes). Voc poder verificar que a relao A = 1/4(a+c)(b+d), para essa figura, dar outro resultado. Logo,

aa

bb

cc

dd

Figura 3 Figura 4

Localize no Antigo Testamento, livro I dos Reis, captulo VII, versculo 23 e no livro 2 das crnicas, captulo IV, versculo 2, o que abordado sobre um circulo de 10 unidades de dimetro e 30 unidades de comprimento (permetro). Como as informaes do Antigo Testamento se relacionam com a determinao do nmero (pi)? Represente numericamente essas relaes.

2


conclumos que houve um erro na utilizao da mesma relao para os dois casos. Tente determinar esse erro calculando a rea da Figura 4.

Erros dessa natureza so comumente cometidos quando se trabalha experimentalmente ou empiricamente com processos geomtricos que envolvem medio ou determinao de rea de regies planas, como no caso das medies de terra pelos agricultores, da determinao de reas praticadas por operrios da construo civil, do processo de elaborao geomtrica das rendeiras e outros profissionais que praticam o exerccio da medio sem o estabelecimento de uma relao matemtica formalizada.

Em todos esses casos, h sempre um risco de ocorrerem erros, mesmo que em margens s vezes desprezveis para a grandeza que est sendo medida. Eis aqui um bom desafio para que voc se aventure nos caminhos da construo do pensamento geomtrico.

Atividade 2

Possivelmente, em sua comunidade, tambm existam mestres(as) gemetras como no antigo Egito e na Babilnia, cujos processos de medio e construo geomtrica, muitas vezes, apresentavam determinadas margens de erros, mas que continham, na sua essncia, fundamentos geomtricos muito evidentes, embora difceis de serem comprovados formalmente.

1Identifique, em sua cidade, objetos ou construes (torre de celular, torre de igreja, barragens, audes etc...) que podem ser medidos e explorados geometricamente ao longo dos nossos estudos. Comece por levantar informaes sobre as medidas desses objetos ou construes e organize os dados levantados em uma tabela ou quadro de medidas a serem usados posteriormente em outras atividades.

Investigue a existncia de possveis processos de medio de terra, determinao de volumes, entre outros saberes geomtricos, praticados por trabalhadores ou mestres artesos, pedreiros, bordadeiras, rendeiras ou outros profissionais existentes em sua cidade. Organize um relatrio sobre cada uma dessas prticas para que possamos investigar os processos praticados por esses profissionais.

Caracterize o modo de fazer geometria, desses profissionais e analise possveis semelhanas e/ou diferenas entre esses gemetras da sua comunidade e aqueles existentes na Antiguidade.

2


Com base nas informaes histricas existentes, possvel admitirmos que foi atravs dos gemetras gregos, comeando com Tales de Mileto (cerca de 624 - 547 a.C.), que a geometria se estabeleceu como uma teoria dedutiva. A teoria dedutiva a que nos referimos, compe-se de trs aspectos bsicos iniciais: a intuio, a descoberta emprica e a experimentao. A teoria se completa com a deduo, praticada atravs da utilizao de hipteses conhecidas e do raciocnio dedutivo, elemento essencial para se chegar verdade matemtica imaginada ou desejada.

A intuio refere-se ao aspecto imaginativo da Matemtica, a capacidade ou habilidade de pensar, imaginar e supor resultados a partir dessa imaginao. A descoberta emprica, por sua vez, refere-se s concluses obtidas a partir das prticas realizadas aleatoriamente, sem a preocupao prvia com o que aconteceria. A experimentao corresponde ao processo de obteno de resultados atravs das prticas continuadas, realizadas inmeras vezes, com resultados sempre se repetindo, embora, com certa margem de erro, mas que so sempre resultados previamente esperados.

Todos esses aspectos citados tm a sua importncia no desenvolvimento do conhecimento geomtrico (e matemtico em geral), mas o raciocnio dedutivo, a demonstrao ou deduo a partir de hipteses conhecidas ou admitidas, que estabelece a veracidade das proposies geomtricas. O trabalho de sistematizao em geometria iniciado por Tales foi continuado nos sculos posteriores, pelos pitagricos e, depois, por outros matemticos como Euclides, Descartes e outros.

Pitgoras, nascido em Samos (cerca de 572497 a.C.), aps longas viagens pelo Oriente, Babilnia e Egito, estabeleceu-se em Crotona, cidade grega no sul da Itlia, por volta de 530 a.C., onde fundou um culto religioso e filosfico que cultivava a purificao do esprito atravs da msica e da matemtica. So mais conhecidas as descobertas e atribuies da escola pitagrica relacionadas com os nmeros, nomeadamente, com a descoberta dos incomensurveis (a diagonal de um quadrado incomensurvel com o lado, o que quer dizer que a razo entre o comprimento da diagonal e o comprimento do lado no se exprime como uma frao de inteiros positivos).

Raciocnio dedutivo

Raciocnio baseado em princpios lgicos, segundo os quais toda

proposio (pensamento elaborado) est baseada

em trs etapas: hiptese, deduo e tese.

O exemplo acima evidencia que a incomensurabilidade nunca poderia ser descoberta a partir de observaes ou medies experimentais, as quais esto sempre sujeitas a um erro. Situaes como essa, que envolvem a diagonal de um quadrado, desencadearam uma nova forma de sustentar as verdades matemticas. Tratava-se do uso do raciocnio dedutivo e, no mais, da verificao experimental. Isso no quer dizer, obviamente, que as noes e teorias matemticas no sejam motivadas por situaes prticas ou tenham aplicaes nessas

d2=2

Noexisteminteirospositivos

m,ntaisqued=m/n

Figura 5

d

1

1


situaes, mas, apenas, que esses aspectos so, de certo modo, estranhos aos requisitos e critrios matemticos intrnsecos.

Essa concepo exemplarmente desenvolvida por Euclides (cerca de 323285 a.C.), no seu tratado Os Elementos, em treze volumes ou livros, publicado por volta de 300 a.C.. Euclides baseia-se nos seus predecessores gregos que desenvolveram estudos sobre geometria baseados nas prticas existentes e na imaginao matemtica, bem como na necessidade de explicao dos processos naturais, aos quais a vida social e astronmica estava ligada. Dentre esses gregos, podemos citar os pitagricos, nos livros I IV, VII e IX, Arquitas no livro VIII, Eudxio nos livros V, VI e XII e Taeteto nos livros X e XIII. Mas Euclides no se limitou a expor as teorias desses mestres. No que diz respeito geometria, Euclides organizou as matrias de um modo sistemtico a partir de primeiros princpios e definies, procedendo ao desenvolvimento por via dedutiva. Inaugurou, assim, de maneira brilhante, o que dominou o mundo matemtico durante mais de vinte sculos, o chamado mtodo axiomtico.

Atividade 3

1Qual o valor numrico da diagonal do quadrado, apresentado na Figura 5 desta aula?

Por que esse valor era considerado estranho para os padres numricos da poca?2

sua

resp

osta

1.

Preparando-separa a atividade...


A geometria de Euclides

Como a maioria dos treze livros que compem Os Elementos, o Livro I comea com uma lista de definies (23, ao todo) sem qualquer comentrio. Na realidade, as primeiras definies da lista so simplesmente explicaes ou descries para benefcio do leitor, as quais no chegam a ser utilizadas posteriormente. Euclides utiliza o termo linha no sentido englobante de linha curva (de comprimento finito), e linha reta para o que denominamos segmento. Algumas outras diferenas podem ser assinaladas como: o que Euclides considera tringulo, denominamos, atualmente, regio triangular; quando ele define crculo, refere-se circunferncia (linha que limita um crculo), sem ter dado a sua definio etc.

Chamamos a ateno, tambm, para o fato de a geometria proposta por Euclides nOs Elementos, ser uma geometria sinttica, ou seja, sem nmeros. Isso significa que toda a sua formulao terica est baseada em um processo de construo sistemtica do pensamento geomtrico atravs de um princpio lgico-dedutivo, j explicitado nas etapas anteriores desta aula. Vejamos, a seguir, algumas definies, apresentadas por Euclides em seus Elementos, extradas do livro O primeiro livro dos Elementos de Euclides, traduo brasileira de Irineu Bicudo e publicado em 2001 (ver referncias e sugestes de leituras complementares):

n um ponto aquilo de que nada parte;

n uma linha um comprimento sem largura;

n as extremidades de uma linha so pontos;

2.

sua

resp

osta


n uma linha reta a que jaz, por igual, com seus pontos sobre si mesma;

n um ngulo plano a inclinao de uma linha em relao a outra, de duas linhas no plano, tocando uma a outra e no jazentes sobre uma reta;

n e caso as linhas contendo o ngulo sejam retas, o ngulo chamado retilneo (reto);

n caso uma reta, tendo sido alteada sobre uma reta, faam os ngulos adjacentes iguais, um ao outro, cada um dos ngulos iguais reto, e a reta que foi alteada chamada perpendicular quela sobre quese alteou;

n um ngulo obtuso o maior do que um reto;

n um ngulo agudo o menor do que um reto;

n um crculo uma figura plana contida por uma linha (que chamada circunferncia) em relao a que todas as retas que caem sobre ela (a circunferncia do circulo) a partir de um ponto, dos jazentes no interior da figura, so iguais entre si;

n e o ponto chamado o centro do crculo;

n um dimetro do crculo qualquer reta traada atravs do centro e sendo limitada, em cada uma das direes, pela circunferncia do crculo, a qual (reta) tambm bissecciona o crculo;

n paralelas so retas quaisquer que, estando no mesmo plano, e, sendo prolongadas ilimitadamente em cada uma das direes, em nenhuma das duas se encontram.

possvel voc perceber que os enunciados apresentados nOs Elementos (mencionados anteriormente) constituem-se em saberes estabelecidos a partir da intuio, da descoberta emprica e das experincias geomtricas realizadas pelos povos da Antiguidade. Esses enunciados foram disseminados historicamente, como verdades matemticas indemonstrveis.

Algumas definies foram omitidas, pois tratam da definio de superfcie, de semicrculo e de diversas figuras retilneas, como tringulos e quadrilteros de diferentes formas, que sero abordadas posteriormente. Euclides reconheceu a necessidade de proposies primitivas (isto , no demonstradas ou as suas verdades matemticas iniciais), mas no de conceitos primitivos, ou seja, no definidos, por isso deu as definies que precedem. Todavia, como aparente, as primeiras sete, pelo menos, no seriam consideradas definies no sentido moderno e, curiosamente, no so utilizadas por Euclides em nenhuma ocasio.

No Livro I, aps as definies, aparecem os Postulados e as Noes Comuns ou Axiomas, por esta ordem. Os Postulados so proposies geomtricas especficas. Postular significa pedir para aceitar. Assim, Euclides pede ao leitor para aceitar estas cinco proposies. Vejamos, ento, como foram enunciadas cada uma delas.

P1. Fique postulado traar uma linha reta a partir de todo ponto at todo ponto.

P2. Tambm prolongar uma reta limitada continuamente sobre uma reta.


10

P3. Tambm descrever um crculo com todo centro e raio.

P4. Tambm serem todos os ngulos retos iguais entre si.

P5. Tambm, caso uma reta, encontrando duas retas, faa ngulos interiores e sobre os mesmos lados, menores do que dois retos, sendo prolongados ilimitadamente as duas retas, encontrarem-se sobre o lado em que esto os menores do que dois retos.

Os trs primeiros so, na realidade, construes com rgua e compasso. A rgua o instrumento que efetua a primeira construo, e o compasso o instrumento que efetua a construo referida no terceiro postulado. Visto de outra maneira, podemos dizer que os postulados 1 e 3 fornecem-nos os instrumentos bsicos de toda a geometria de Euclides a rgua (no graduada) e o compasso.

O fato de Euclides restringir apenas o uso dos dois instrumentos (rgua e compasso), para que essas construes geomtricas fossem realizadas, principalmente considerando uma rgua sem escala, deve-se, segundo Eves (1992), ao culto geometria e s construes geomtricas, que era dado pela escola platnica (cerca de 390 a.C.) da qual Euclides era membro. Todavia, a tentativa grega de efetivar todas as construes geomtricas com rgua e compasso no foi suficiente, pois eles sabiam, segundo Eves (1992), que muitos problemas, por mais simples que fossem, no seriam resolvidos apenas com esses dois instrumentos.

Atividade 4

Consulte alguns livros de matemtica de 5 a 8 sries do Ensino Fundamental e do Ensino Mdio e verifique como as definies dOs Elementos, de Euclides, so reelaboradas nos livros consultados. Faa o mesmo para os cinco postulados apresentados.


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Leituras ComplementaresPara possveis aprofundamentos sobre o tema apresentado nesta aula indicamos a

referncia a seguir.

O PRIMEIRO livro dos Elementos de Euclides. Traduo Irineu Bicudo. Editor geral John A. Fossa. Natal: SBHMat, 2001. (Srie textos de histria da matemtica, 1).

Neste livro, seu tradutor apresenta os aspectos tericos bsicos ligados construo da geometria euclidiana. Trata-se da primeira traduo brasileira do livro I dOs Elementos, de Euclides. O livro est dividido em quatro partes: as definies, os postulados, as noes comuns e os elementos.

Nas definies, so enunciadas 23 proposies, tomadas como verdades iniciais, nas quais est apoiada a geometria euclidiana. Nos postulados, so enunciadas 5 proposies formuladas a partir de algumas definies iniciais. Os postulados so considerados como verdades a serem aceitas por qualquer leitor dos elementos, pois so indemonstrveis. As noes comuns so enunciadas atravs de 9 proposies consideradas como verdades estabelecidas a partir das definies anteriores. A ltima parte contm 48 elementos, configurados como situaes problemticas que envolvem os aspectos iniciais apresentados no livro. So explicados de forma demonstrativa, para que seja possvel a sua utilizao na demonstrao de outras situaes problemticas ligadas geometria euclidiana.

CIRINO, Hlio. Matemtica e gregos. Campinas: tomo, 1986.

Matemtica e Gregos constitui-se em um livro de histria da Matemtica para iniciantes, ao apontar caminhos para estudos futuros, principalmente por abordar aspectos mais diretamente ligados aos matemticos e filsofos gregos. O livro est dividido em trs partes: consideraes histricas, Tales de Mileto e Pitgoras.

Na primeira parte, possvel fazermos uma pequena incurso histrica Grcia Clssica, de modo a compreender seus aspectos econmicos, sociais, polticos, educacionais e filosficos. Para tanto, menciona os intelectuais gregos que se dedicaram a pensar sobre tais aspectos e propuseram mudanas na sociedade da poca.

A segunda parte contm informaes histricas sobre a obra filosfica e matemtica de Tales de Mileto, suas contribuies para o desenvolvimento da geometria grega, bem como sobre outros ramos da Matemtica.

Na terceira parte, o autor aborda os princpios filosficos, nos quais estava apoiado o pitagorismo e as matemticas emergentes desses princpios. nesse clima que a geometria pitagrica se apresenta, principalmente com relao s noes relacionadas aos incomensurveis e aos irracionais.

Ao final de cada parte do livro, seu autor prope alguns exerccios de fixao da aprendizagem, o que pode constituir-se em um estmulo para a realizao de estudos futuros acerca da geometria na Grcia Clssica.


12

EVES, Howard. Histria da geometria. Traduo Hygino H. Domingues. So Paulo: Atual, 1992. (Srie tpicos de histria da matemtica para uso em sala de aula, 3).

Histria da Geometria consta de duas partes: uma viso geral, a fim de dar ao leitor um quadro amplo sobre o assunto; e, uma segunda, que leva em conta a importncia que os detalhes, muitas vezes, tm na histria da Matemtica. Essa segunda parte formada por cpsulas (pequenos resumos histricos) que podem ser lidas independentemente uma da outra e servem de complementao viso geral sobre o tema abordado. Muitas vezes, incluem referncias para leituras adicionais.

Para os estudos que desenvolvemos nesta aula, importante que voc consulte a viso geral sobre a histria da geometria, bem como a cpsula 1, que trata sobre as construes com rgua e compasso. Nessas duas partes do livro, voc ter a oportunidade de aprofundar seus estudos sobre o tema aqui discutido.

Resumo

Nesta aula, voc teve a oportunidade de interpretar alguns aspectos histricos que cercam o desenvolvimento da geometria enquanto conhecimento matemtico abordado na escola bsica. Compreendeu, tambm, as origens das prticas de medio representadas pelas geometrias dos egpcios e babilnios e iniciou o seu processo de insero na geometria axiomtica proposta por Euclides, atravs da sua obra principal intitulada Os Elementos. Percebeu, ainda, que a incurso histrica no mundo da geometria lhe fez ver os aspectos ligados base estrutural do conhecimento geomtrico e suas relaes com o conhecimento disseminado pela sociedade e pela cultura escolar hoje. Alm disso, teve a oportunidade de investigar o desenvolvimento do pensamento geomtrico em diferentes contextos profissionais existentes na sua comunidade, de modo a relacionar as prticas investigadas com a geometria aprendida por voc.


1

1

2

Auto-avaliao

Com base na leitura do texto e nas atividades desenvolvidas por voc, faa uma anlise dos principais aspectos mencionados nesta aula.

Quais os pontos que ficaram claros para voc?

Quais as dvidas evidenciadas?

Que relaes podem ser estabelecidas com a geometria que voc conhece e com as prticas de medio desenvolvidas em sua comunidade?

Referncias

BARBOSA, Joo Lucas Marques. Geometria euclidiana plana. 6.ed. Rio de Janeiro: SBM, 2004.

CIRINO, Hlio. Matemtica e gregos. Campinas: tomo, 1986.

DUROZOI, Gerard; ROUSSEL, Andr. Dicionrio de filosofia. Traduo Marina Appenzeller. 3.ed. Campinas: Papirus, 1993.

EVES, Howard. Histria da geometria. Traduo Hygino H. Domingues. So Paulo: Atual, 1992. (Srie tpicos de histria da matemtica para uso em sala de aula, 3).

LOFF, Dina Maria Santos. Algumas actividades didcticas para a introduo da geometria euclidiana. Coimbra: Universidade de Coimbra, 1993. (Publicaes de histria e metodologia da matemtica).

LOUREIRO, Cristina et al. Geometria. Lisboa: Ministrio da Educao, 1998.

NEUGEBAUER, Otto. The exact sciences in antiquity. 2.ed. New York: Dover Publications, 1969.


1

OLIVEIRA, A. J. Franco de. Geometria euclidiana. Lisboa: Universidade Aberta, 1995.


RESENDE, Eliane Quelho; QUEIROZ, Maria Lcia Boutorim de. Geometria euclidiana plana e construes geomtricas. Campinas: Editora da UNICAMP, 2000. (Coleo livro-texto).

RUSSELL, Bertrand. Histria do pensamento ocidental: a aventura das idias dos pr-socrticos a Wittgenstein. 3.ed. Traduo de Laura Alves e Aurlio Rebello. Rio de Janeiro: Ediouro, 2001.


1

Anotaes


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Anotaes

Aula 01 GeometriaPlanaeEspacial 2 Edio

Iran Abreu Mendes


Autores

aula

02

Geometria Plana e EspacialD I S C I P L I N A2 Edio

Formas geomtricas bsicas e a crena nos postulados

Governo Federal

































Governo Federal

































Compreender as noes primitivas de ponto, reta e plano como elementos bsicos para a construo do seu conhecimento sobre geometria;

Deduzir fatos geomtricos a partir das noes primitivas;

Avaliar o papel dos axiomas e a importncia do mtodo dedudivo.

Apresentao

esta aula, introduziremos as noes de ponto, reta e plano, consideradas como noes primitivas e os axiomas de incidncia e ordem, medio de segmentos e medio de ngulos. Na aula anterior (aula 1), j explicamos o porqu dos axiomas e

seu papel no desenvolvimento da geometria. Isso ficar claro na argumentao que usaremos em algumas atividades, em que fazemos uso do Mtodo Dedutivo (ou Axiomtico), que consiste em deduzir novas proposies a partir de premissas j estabelecidas.

ObjetivosAs atividades propostas nesta aula pretendem contribuir para que voc possa:

N

2

3

2 Aula 02 GeometriaPlanaeEspacial 2 Edio 2 Edio Aula 02 GeometriaPlanaeEspacial

Observe, em seu ambiente de estudo, na sua casa, nos prdios em geral, no trabalho, na natureza etc.:

n o encontro de duas paredes;

n o encontro de uma parede com o piso;

n o fio esticado do prumo do pedreiro;

n a superfcie de um lago quando a gua est em repouso;

n o tampo de uma mesa ou o piso de uma casa;

n uma plancie perfeita;

n as estrelas no cu;

n a marca da ponta de um lpis deixada no papel;

n o risco feito com o auxlio de uma rgua numa folha de papel sobre uma mesa lisa;

n o cruzamento de duas rodovias num mapa;

n a luz passando por um pequeno buraco num ambiente escuro.

Observaes do dia-a-dia

Se voc associou essas coisas a pontos, retas e planos, parabns! Caso contrrio, faa uma nova leitura e reflita mais um pouco.

Essas noes so ditas primitivas exatamente por essa razo, isto , as pessoas podem entend-las, podem aceit-las sem maiores explicaes, naturalmente.

possvel explicarmos por que, por exemplo, a marca feita pela ponta de um lpis no papel no um ponto. Se a marca for feita com um lpis de ponta grossa, ficar diferente de uma marca feita com um lpis de ponta fina. Concorda?

A marca feita pela ponta de um lpis, assim como o cruzamento de duas rodovias num mapa, no so pontos e, sim, representaes de pontos.

Veja uma tentativa de definir ponto: um ponto um crculo de raio nulo. Essa definio no boa porque ainda no explicamos o que um crculo, o que raio e, o que mais estranho, raio nulo! Qualquer outra tentativa teria esse tipo de problema.

Teramos as mesmas dificuldades para definir reta e plano. Dessa forma, como essas noes so bastante intuitivas, prefervel admiti-las sem preocupao em defini-las formalmente.

Pense um pouco sobre o que voc observou e/ou imaginou!


Atividade 1

Pegue uma folha de papel. Imagine que existam folhas to grandes quanto se possa imaginar. Imagine uma folha de comprimento e largura infinitos. Depois de algum momento de reflexo, o que voc pode concluir sobre a noo de plano?

Cada vinco representa ___________________________________

A interseo (encontro) dos vincos representa _________________

_____________________________________________________

Abra a folha e, com o auxlio de uma rgua e de um lpis, faa um risco em cima de cada marca (vinco ou dobra). qual idia voc associa esses riscos?

Pegue a folha de papel, dobre-a ao meio (ou em qualquer posio), deixando a marca (vinco) da diviso. Repita o procedimento fazendo outro vinco, de modo que ele se encontre (intercepte) com o primeiro.

Marque, na sua folha de papel, alguns pontos com lpis, se possvel, de diferentes cores. Voc sempre poder marcar mais pontos? H um limite mximo de pontos? Justifique suas respostas.

2

3

4

5su

a re

spos

ta4.


Atividade 2

2

Marque, em uma folha de papel, um ponto, indicando-o com a letra A.

Usando rgua e lpis ou caneta, tente traar todas as retas que passam pelo ponto A.

possvel traar todas as retas que passam pelo ponto A? Por qu?

Quantas retas passam pelo ponto A?

O que voc conclui disso?

Marque, no verso da folha, dois pontos em lugares diferentes e indique-os por A e B. Utilizando rgua e lpis ou caneta, tente traar todas as retas que passam por esses dois pontos. Quantas retas voc conseguiu traar?

Qual o menor nmero de pontos necessrios para traar uma reta?

O que voc pode concluir disso?

345

6

78

Uma vez que voc entendeu as idias de ponto, reta e plano, vamos praticar novas atividades, que nos levem a enunciar alguns fatos novos, envolvendo esses trs elementos bsicos da geometria. De antemo, acreditamos que j possvel, para voc, assumir que um plano formado por infinitos pontos e que as retas so subconjuntos especiais de pontos do plano.

5.


Nessa atividade, conclumos que por um ponto dado passam infinitas retas e

Axioma Por dois pontos distintos passa uma nica reta.

Como frisamos na aula 1, os axiomas constituem o alicerce de uma teoria. Daqui para frente, observe que tudo o que formos deduzir (ou introduzir) ser respaldado por fatos ou resultados j estabelecidos.

sua

resp

osta3.

4.

5.

6.

7.

8.


Imagine um rio em poca de cheias. As pessoas gostam de ver e viver aquele perodo. Ficam nas margens do rio, umas de um lado e outras do outro, no verdade? Pois bem, o mesmo acontece com uma reta. Existem pontos num mesmo lado e pontos em lados opostos.

Na figura a seguir, A e B esto de um mesmo lado da reta m, enquanto A e C esto em lados opostos, tudo no mesmo plano.

Como podemos observar, as relaes posicionais estabelecidas referem-se sempre a cada dois pontos e a uma reta. Assim sendo, qual a relao posicional entre B e C? Voc deve ter percebido que B e C tambm esto em lados opostos da reta m.

Observe os postes de iluminao pblica de sua cidade. comum se dizer que determinado poste est entre outros dois, no ? A mesma coisa acontece com os pontos de uma reta.

Na figura a seguir, o ponto B est localizado entre A e C, enquanto o ponto C est entre B e D. Podemos dizer que B est entre A e D?

Posio de pontos no pertencentes a uma reta

Figura 1

Figura 2

Posio de pontos pertencentes a uma reta


Voc deve ter respondido, em relao ltima pergunta, que B est entre A e D. Alm disso, voc tambm percebeu que:

Axioma 2 Dada uma reta, existem pontos que pertencem e pontos que no pertencem a essa reta.

Axioma 3 Dados trs pontos distintos numa reta, um, e apenas um deles, localiza-se entre os outros dois.

Axioma 4 Dados dois pontos distintos A e B, numa mesma reta, sempre existe um ponto C entre A e B e, um ponto D, tal que B est entre A e D.

Reflita bem a respeito dessas trs afirmaes. So novos axiomas e, como os que j foram inseridos e outros que iremos introduzir neste texto, dispensam prova por serem suficientemente claros e evidentes.

justifique, com base no axioma 4, as afirmaes seguintes.

a) Entre dois pontos de uma reta existem infinitos pontos.

b) Se A e B so pontos de uma reta, existem infinitos pontos X pertencentes reta, tais que B est entre A e X.

Desafio

sua

resp

osta

a)

b)


O conjunto formado pelos pontos distintos A e B sobre uma reta e todos os pontos que esto entre A e B chamado de segmento de reta AB (ou simplesmente segmento AB).

J dissemos que dada uma reta m, existem pontos de ambos os lados da reta. Como decidir se esto em um mesmo lado ou em lados opostos? Veja a figura a seguir e observe o que ocorre com os segmentos AB e CD em relao reta m.

Atividade 3

Com base nas consideraes apresentadas at agora e na Figura 5, complete as lacunas vazias das afirmaes seguintes.

a) Dizemos que dois pontos A e B esto de um mesmo lado de uma reta m se o segmento AB_________________________________

b) Dizemos que dois pontos C e D esto em lados opostos de uma reta m se o segmento CD ________________________________

c) Os pontos A e E esto ________________________ da reta m.

d) Os pontos B e D esto ________________________ da reta m.

e) Os pontos E e D esto _________________________da reta m.

segmento AB

O conjunto formado pelo segmento AB e por todos os pontos X, tais que B est entre A e X chamado de semi-reta SAB.

Figura 3

semi-reta SABA XB

Figura 4

Figura 5


Na figura a seguir temos, num mesmo plano, uma reta m e um ponto A que no pertence reta.

Existe uma infinidade de pontos no mesmo lado de A (em relao reta m) e uma infinidade de pontos que esto no lado oposto.

Pois bem! O conjunto de pontos de m e mais os pontos que esto no mesmo lado de A chamado de semi-plano determinado por m, contendo A. Esse conjunto representado por PmA.

Reflita sobre o axioma a seguir.

Axioma 5 Uma reta m num plano determina exatamente dois semi-planos distintos, cuja interseo a reta m.

Antes de passarmos para os axiomas de medio, faremos algumas atividades, com o objetivo de fixar melhor os conceitos introduzidos nesta etapa, de modo a contribuir para que voc alcance uma compreenso ampla dos significados desses conceitos.

Reflita sobre a concluso acima para verificar que com relao posio relativa de duas retas h trs possibilidades:

n as retas no se interceptam chamadas retas paralelas;

n as retas se interceptam em um nico ponto chamadas retas concorrentes;

n as retas se interceptam em pelo menos dois pontos chamadas retas coincidentes.

Atividade 4

Tente desenhar duas retas distintas que se interceptem em dois pontos. No possvel, voc concorda? _______.

Se elas tivessem dois pontos em comum, coincidiriam, j que por dois pontos

distintos passa uma nica reta. Qual axioma garante isso? _______________

_________________________________.

Figura 6

Concluso: duas retas distintas ou no se interceptam ou se interceptam em um nico ponto.


Atividade 5

Marque, numa folha de papel, dois pontos A e B. Trace (com canetas de cores diferentes, se possvel) as semi-retas SAB e SBA. Agora responda:

SAB SBA representa ____________________________________________

SAB SBA representa ____________________________________________

A trena um instrumento usado pelos marceneiros, pelos pedreiros ou mestres de obras, pelo topgrafo, etc., para medir comprimentos. Nas lojas de tecidos, os vendedores usam uma barra de madeira numerada, chamada metro. O instrumento mais usado para medir segmentos de reta a rgua numerada, muito usada nas escolas, nas aulas de desenho. Veja a ilustrao abaixo.

Note que, para medir o comprimento de um segmento de extremidades A e B, no necessrio que o zero da rgua coincida com o ponto A. Veja a ilustrao abaixo.

Figura 7

Figura 8


Um fato notvel que vamos admitir como axioma o seguinte.

Axioma 6 cada par de pontos do plano, corresponde um nmero real maior ou igual a zero, sendo esse nmero igual a zero se, e somente se, os pontos coincidirem.

Se A e B so dois pontos do plano, o nmero referido acima a distncia entre os dois pontos, que denotaremos por d(A, B), ou o comprimento do segmento determinado pelos dois pontos, que denotaremos por AB.

No caso especfico de pontos de uma reta, temos o seguinte axioma.

Axioma 7 Existe uma correspondncia biunvoca entre os pontos de uma reta e os nmeros reais, de modo que a distncia entre dois pontos o valor absoluto da diferena dos nmeros correspondentes.

Assim, se a o nmero que corresponde ao ponto A e b o nmero que corresponde ao ponto B, d(A,B) = |a-b|.

O ltimo axioma sobre medio de segmentos que vamos usar o seguinte.

Axioma 8 Se o ponto C encontra-se entre A e B, ento d(A,C) + d(C,B) = d(A,B).

Correspondncia biunvoca

o mesmo que correspondncia um a um, isto , a cada elemento de um conjunto corresponde um nico elemento do outro e, reciprocamente.

Desenhe uma semi-reta SAB e, sobre ela, marque um ponto C, tal que d(A,C) < d(A,B). Verifique (visualmente) que C est entre A e B. Agora, responda, justificando.

a) Nessas circunstncias, A poderia estar entre B e C? __________________

b) Se B estivesse entre A e C, o que aconteceria? Use os axiomas de medio de segmentos para tirar suas concluses. ____________________________

_______________________________________

c) Voc acabou de mostrar que ___________________________________

_____________________________________________________________

________________________________________

Atividade 6


As semi-retas so chamadas lados e a origem comum, de vrtice do ngulo. Se A e B so pontos nas semi-retas de origem O, denotamos tal ngulo por AB. Vide figura abaixo.

Obs.: note que, nessa atividade, voc tinha trs possibilidades: A entre B e C; B entre A e C; e C entre A e B. Voc verificou que as duas primeiras no podem ocorrer. Logo, a terceira tem que ocorrer.

A noo que vamos introduzir agora muito importante e til em nosso cotidiano. a noo de ngulo, que est relacionada com a idia de declividade e de inclinao, a qual voc certamente conhece. Reflita um pouco.

Para medir ngulos, vamos usar o grau, mas existem outras unidades, como o grado e o radiano. O grau foi inventado pelos Babilnios, que usavam um sistema de numerao sexagesimal, isto , de base 60, que foi sem dvida, uma das maiores contribuies cientficas dessa civilizao.

Assim como a rgua numerada usada para medir segmentos, o instrumento para medir ngulos o transferidor.

Para voc ter uma idia da importncia do ngulo, pergunte a um mestre de obras ou a um marceneiro o que um ngulo de 900, de 450 ou de 300. Veja tambm os telhados dos prdios e as numeraes contidas nos meridianos do globo terrestre.

ngulo uma figura formada por duas semi-retas com mesma origem. Veja a Figura 9.

Figura 9

Figura 10 Figura 11


As Figuras 12 e 13, a seguir, indicam outra forma de representar o ngulo AB.

Quando no h razo para dvidas escreve-se apenas em vez de AB.

Quando o ngulo formado por duas semi-retas opostas, chamado de ngulo raso. Veja na figura abaixo o ngulo raso AB.

A Figura 15 mostra dois tipos de transferidores e a medio de dois ngulos. Note que a posio dos vrtices dos ngulos deve coincidir com a origem (centro) do transferidor, mas os lados dos ngulos podem ficar em qualquer posio, desde que ambos coincidam com marcas do transferidor.

Figura 12 Figura 13

Figura 14

Figura 15

Figura 16

Os axiomas a seguir, similares aos axiomas de medio de segmentos, nos indicam como medir ngulos. Antes de enunci-los, observe a figura abaixo formada por uma reta m e uma semi-reta SOB, com O pertencente reta m. J sabemos que a reta m divide o plano em dois semi-planos, correto? Note, na figura, que a semi-reta est dividindo um dos semi-planos em duas partes.


Agora, vamos enunciar os axiomas sobre medio de ngulos.

Axioma A cada ngulo est associado um nmero maior ou igual a zero. Esse nmero a medida do ngulo igual a zero se, e somente se, as duas semi-retas que formam o ngulo forem coincidentes.

O axioma seguinte nos diz como usar o transferidor para medir ngulos.

Axioma 0 Existe uma correspondncia biunvoca entre os nmeros reais de 0 a 180 e as semi-retas com origem num ponto O de uma reta m, que esto num mesmo semi-plano determinado por essa reta. A diferena entre dois desses nmeros a medida do ngulo formado pelas respectivas semi-retas.

Seja m uma reta que contm os pontos A, B e O, com O entre A e B. Se C no pertence a m e SOC uma semi-reta, ento, ficam determinados trs ngulos: AB, AC e BC.

Sejam SOA, SOB e SOC semi-retas distintas de mesma origem O e A, B e C, pontos distintos. Se o segmento AB interceptar SOC, dizemos que SOC divide o ngulo AB. Vide ilustrao a seguir:

Figura 17

Figura 18

AB

0

Figura 19

Dizemos que uma semi-reta divide um semi-plano se ela estiver contida no semi-plano e sua origem for um ponto da reta que o determina.


Atividade 7

Faa um desenho que corresponda ao axioma 11. Pegue um transferidor e

mea os ngulos AC e CB. Some os valores encontrados. O resultado foi

______________________________.

A medida do ngulo formado por duas semi-retas coincidentes __________

__________________________________________.

Quando duas retas se interceptam num ponto O ficam determinados quatro ngulos, conforme mostra a Figura 20. O menor desses ngulos definido como o ngulo entre essas duas retas.

Os pares de ngulos AB e DC, AD e BC so ditos opostos pelo vrtice.

Note que AB + BC = 180, BC + CD = 180 e CD + AD = 180. Confira com um transferidor!

Axioma Se uma semi-reta SOC divide um ngulo AB, ento AB = AC + CB.

Figura 20

Atividade 8

Voc notou que ngulos opostos pelo vrtice tm a mesma medida? Use o transferidor para verificar esse fato. Agora faa o seguinte: manipule, algebricamente, a segunda e a terceira igualdades, anteriores, para deduzir que AD = BC.


2Efetue a soma AB + BC + CD + AD da Figura 20. Se as medidas dos quatro ngulos fossem iguais, qual seria essa medida? Se voc no encontrou 900, refaa os clculos.

Bravo! Voc acabou de provar que ngulos opostos pelo vrtice tm mesma medida.

Os ngulos que medem 90 so chamados de ngulos retos.

Verifique que, se um dos quatro ngulos da Figura 20 (anterior) for reto, os outros trs tambm sero. Por qu? Quando isso ocorre, dizemos que as duas retas so perpendiculares.

sua

resp

osta

.

2.


Atividade 9

Desenhe uma reta m e um ponto A sobre ela. Use um dos axiomas sobre medio de ngulos para concluir que existe uma reta r que passa por A e forma um ngulo de 90 com ela. Qual o axioma que

voc usou? ___________________________________________

Desenhe a reta r e uma outra reta t, supostamente diferente de r, que tambm passe por A, e admita que t tambm forma um ngulo de 90 com m. Use o fato de que os ngulos entre r e m e t e m medem 90 para concluir que o ngulo entre r e t 0. O que voc deduz dessa concluso? ________________________________

____________________________________________________

Veja se sua concluso equivale a:

Por um ponto de uma reta passa uma nica reta perpendicular a mesma.

2

ResumoNesta aula, apresentamos as noes primitivas de ponto, reta e plano. Introduzimos os 11 axiomas que relacionam pontos e retas, medio de segmentos e medio de ngulos. Apresentamos alguns conceitos importantes e orientamos voc na resoluo de atividades que resultaram em fatos relevantes da geometria, assim como na prtica de fazer demonstraes, que fundamental em Matemtica.


Auto-avaliao

Justifique por que um segmento de reta AB tem infinitos pontos.

Se A, B e C so pontos de uma reta, com B entre A e C, prove que AB


BARBOSA, Joo Lucas Marques. Geometria euclidiana plana. 6.ed. Rio de Janeiro: SBM, 2004.






Referncias

20 Aula 02 GeometriaPlanaeEspacial 2 Edio

Anotaes

Explorando ngulos e tringulos

Geometria Plana e EspacialD I S C I P L I N A

Autores

Iran Abreu Mendes


aula

03

Governo Federal










Projeto GrcoIvana Lima










MasterFile www.masterle.cpomMorgueFile www.morguele.com





Diviso de Servios Tcnicos

Catalogao da publicao na Fonte. UFRN/Biblioteca Central Zila Mamede

Mendes, Iran Abreu.Geometria espacial: interdisciplinar / Iran Abreu Mendes, Jos Querginaldo Bezerra. Natal, RN: EDUFRN

Editora da UFRN, 2005.324 p.1. Geometria euclidiana. 2. Teoremas clssicos. 3. Tringulos. I. Bezerra, Jos Querginaldo.

II. Ttulo.


Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorizao expressa da UFRN

- Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

Aula 03 Geometria Plana e Espacial 1

inferir quais so as relaes de congruncia envolvendo lados ou ngulos, capazes de assegurarem a igualdade geomtrica de dois tringulos;

Apresentao

sta aula visa ampliar seu conhecimento acerca dos contedos j abordados nas aulas anteriores, de modo a familiariz-lo com os conceitos e as construes geomtricas. Nesse sentido, proporemos experincias prticas envolvendo a noo de ngulo e

sua medio, bem como a compreenso da noo de congruncia entre segmentos de reta, ngulos e tringulos.

As atividades propostas aqui tomam como referncias algumas atividades desenvolvidas at a nossa ltima aula. Sempre que for necessrio, recorra ao material anterior.

E

ObjetivosEsperamos que ao nal desta aula voc possa:

ampliar o conceito de ngulo a partir das noes intuitivas de ponto e reta, j aprendidas anteriormente;

dominar os critrios de congruncia de ngulos e de tringulos.

1

2

3

Aula 03 Geometria Plana e Espacial2

Explorando ngulos e tringulosa partir de folhas de papel

Atividade 1

Pegue uma folha de papel ofcio e dobre-a duas vezes em qualquer lugar, desde que sejam diferentes um do outro. Desdobre o papel e, usando uma rgua e um lpis ou caneta, risque-o, marcando as duas dobras.

Quantas retas esto representadas no papel? _________________

O que aconteceu com essas retas? _________________________

Quantos pontos essas retas tm em comum?_________________

O que representa o encontro entre elas? _____________________

Quando duas ou mais retas tm um nico ponto em comum, elas so chamadas retas concorrentes.

Tome a folha de papel da questo anterior como a representao de um plano e represente por uma letra maiscula qualquer o ponto de encontro entre as duas retas que voc traou.

1

2

Observando o seu plano (agora com o desenho das duas retas que se cruzaram no ponto A), diga em quantas partes ele cou dividido aps a dobra e o traado das duas retas. ___________________ Pinte cada regio desse plano com cores diferentes.


Na aula anterior, denimos ngulo como uma gura formada por duas semi-retas que possuem a mesma origem. Na gura seguinte, podemos perceber que o par de semi-retas representado por AB e AC, ambas de mesma origem A, determina um ngulo entre 0 e 180.

Figura 1

Atividade 2

Utilizando os segmentos de reta com as medidas sugeridas a seguir, trace um tringulo. Para isso, use rgua e compasso.

Reduza a medida de cada um dos segmentos metade, construa um novo tringulo e compare com o primeiro. O que voc percebeu?

1

Nessa atividade, ser necessrio o uso de materiais como: rgua, compasso, transferidor, lpis ou caneta.

2

3

Com auxlio do transferidor, mea os ngulos do primeiro e do segundo tringulos desenhados por voc. O que voc percebeu nas medidas dos ngulos? Comente os resultados obtidos a partir dessa medio.

Trace agora um novo tringulo a partir da medida sugerida para um dos lados e dos dois ngulos que lhe so adjacentes, apresentados a seguir.

A A B B

Voc pode construir mais de um tringulo com esses dados? Por qu?


Quando falamos sobre igualdade geomtrica, estamos nos referindo ao conceito de congruncia. Duas guras so congruentes (ou geometricamente iguais) se, deslocando-se uma delas no espao, for possvel sobrep-la com a outra, ponto a ponto. Para que isso ocorra, admitimos que esse deslocamento no implicar qualquer modicao na gura.

Quando admitimos, portanto, que uma gura pode se deslocar, no espao, sem sofrer alteraes, estamos armando que ela se mantm congruente a gura geomtrica inicial. A possibilidade de operacionalizar esse tipo de movimento de uma gura geomtrica garantida, em geometria, por axiomas chamados axiomas de congruncia. O trs axiomas

4Trace outro tringulo que tenha um ngulo com a mesma medida do ngulo de vrtice A da questo anterior e os dois lados, que formam esse ngulo, geometricamente iguais aos dois segmentos de reta indicados a seguir:

O que voc fez at agora evidencia alguma relao de igualdade geomtrica entre tringulos? De que modo voc pode explicar suas concluses?

sua

resp

osta 2.

4.


Figura 2

Podemos, ento, representar a igualdade geomtrica, simbolicamente, assim: AB = AB.

Axioma 2 (Transitividade) Se dois segmentos de reta so geometricamente iguais a um terceiro, ento, so geometricamente iguais entre si.

A partir dos dois axiomas apresentados anteriormente, fcil provar que a relao de congruncia uma relao de equivalncia, isto , uma relao

reexiva: AB = AB

simtrica: AB = BA

transitiva: AB = CD e CD = EF, ento AB = EF

Essas propriedades permitem considerarmos, na prtica, que dois segmentos de reta so geometricamente iguais se, e somente se, puderem sobrepor-se ponto por ponto.

Podemos, ento, concluir que o comprimento de um dado segmento de reta a propriedade comum a todos os segmentos de reta que so geometricamente iguais a ele, ou seja, congruentes a ele.

Axioma 3 Se A, B e C forem trs pontos colineares (pontos que esto na mesma reta) e distintos, o mesmo acontecendo com A, B e C, e se AB e AB forem geometricamente iguais, assim como BC e BC, ento tambm AC e AC so geometricamente iguais.

referentes idia de congruncia relacionam-se com a igualdade geomtrica de segmento de reta. Vejamos cada um deles:

Axioma 1 Se A e B forem dois pontos sobre uma reta r e se A for um ponto sobre r ou sobre uma reta r, ento existe sempre um ponto B sobre uma das semi-retas determinadas por A sobre r tal que AB geometricamente igual a AB.

Figura 3


A relao de congruncia considerada para ngulos tambm uma relao de equivalncia. Todavia, as relaes de simetria e transitividade so obtidas como teoremas. Podemos, no entanto, considerar sem demonstrao que:

Axioma 5 Todo ngulo geometricamente igual a si prprio (reexividade).

A partir dos axiomas j enunciados, podemos considerar, tambm, que:

Axioma 6 Se um ngulo for geometricamente igual a outro, este tambm geometricamente igual ao primeiro (simetria).

Axioma 7 Dois ngulos geometricamente iguais a um terceiro so geometricamente iguais entre si (transitividade).

Tais como no caso dos segmentos de reta, as propriedades geomtricas referentes relao de congruncia para ngulos permitem-nos considerar, na prtica, que dois ngulos so geometricamente iguais se puderem ser levados a coincidir ponto a ponto. Podemos, ento, representar a igualdade geomtrica de ngulos, simbolicamente, assim: BC=PQ, com vrtices em A e O.

A partir dos trs axiomas enunciados anteriormente, podemos estabelecer relaes comparativas entre segmentos que compem os lados de quaisquer polgonos, podendo assim, classic-los quanto ao nmero de lados iguais ou desiguais. Nesse sentido, podemos classicar os tringulos em:

eqiltero, quando os trs lados so congruentes (geometricamente iguais);

issceles, quando possui apenas dois lados congruentes;

escaleno, quando no possui lados congruentes.

Com relao igualdade geomtrica de ngulos, precisamos enunciar os axiomas de congruncia de ngulos.

Axioma 4 Dada uma semi-reta e escolhido um semi-plano, possvel construir um, e um somente, ngulo geometricamente igual a um ngulo dado.

Figura 4

Dado: BC, constri-se

PQ = BC


Atividade 3

Considere o ngulo AB representado a seguir. Construa, com rgua e compasso, um ngulo congruente ao ngulo dado, com vrtice em C e que um dos lados coincida com a semi-reta CD.

1

2

3

Em cada uma das guras a seguir, est representado um ngulo e um segmento de reta. Construa em cada caso, com auxlio de rgua e compasso, um polgono que tenha os lados congruentes ao segmento de reta dado e os ngulos congruentes ao ngulo dado.

Quantos lados tm cada um dos polgonos construdos por voc?

Esses polgonos tm duas caractersticas muito particulares.Quais so?4


1.

2.

3.

4.

> 90

ngulo obtuso

ngulo agudo

< 90

Figura 5 Figura 6

sua

resp

osta

Dessa etapa, podemos denir que:

qualquer polgono que tenha os lados congruentes entre si denominado eqiltero;

qualquer polgono que tem ngulos internos congruentes entre si dominado eqingulo;

um polgono que seja eqiltero e eqingulo dito um polgono regular.

Na aula anterior, voc viu que um ngulo que mede 90 dito um ngulo reto e que as semi-retas que formam esse ngulo so perpendiculares. Viu, tambm, que um ngulo raso formado por duas semi-retas opostas e mede 180. H, entretanto, outras caractersticas que denotam algumas especicaes para os ngulos. Vejamos algumas delas:

se tomarmos o ngulo reto como referncia de medida, teremos, ento, dois grupos de ngulos: os de medidas menores (agudos) e os de medidas maiores que 90 (obtusos);


Figura 7 Figura 8

Atividade 4

Construa, com trs palitos iguais, um tringulo.

Qual a relao entre as medidas dos lados desse tringulo?

1

2

Qual a relao entre as medidas dos ngulos internos desse tringulo?3

Como chamado esse tringulo?4

+ = 90

e so ngulos complementares e adjacentes

+ = 180

e so ngulos suplementares e adjacentes

se a soma da medida de dois ngulos adjacentes totalizar 90, esses ngulos sero ditos complementares;

se a soma da medida de dois ngulos for 180 (ngulo raso ou de meia volta), esses ngulos sero denominados suplementares.


Qual a medida do complementar e/ou do suplementar de cada um dos ngulos da questo 5?6

Identique os pares de ngulos suplementares em cada um doscasos a seguir.7

D exemplos de ngulos agudos e obtusos observados na sua casa. Desenhe os objetos que evidenciam tais ngulos.8Usando rgua, compasso e transferidor, desenhe um tringulo que contenha trs ngulos internos agudos.9Usando rgua, compasso e transferidor, desenhe um tringulo que contenha dois ngulos internos agudos e um obtuso.10

Proceda da mesma maneira e desenhe um tringulo que possua um ngulo interno reto e dois ngulos internos agudos.11

Observe os ngulos a seguir e use o transferidor para determinar a medida de cada um deles.5

Quais deles so agudos e quais so obtusos?

a)

c)

b)

d)

1 23

4

56

7 8


6.

sua

resp

osta

7. a) __________; b) ___________; c) ____________; d) ____________

8.

Podemos denir que o tringulo que possui trs ngulos internos agudos chamado tringulo acutngulo. O tringulo que possui um ngulo reto denominado de tringuloretngulo e se tiver um ngulo obtuso denominado de tringulo obtusngulo.

Diante das concluses j chegadas, importante retomarmos os aspectos at agora mencionados sobre os tringulos. Primeiro, dissemos que os tringulos podiam ser eqilteros, issceles e escalenos. Agora, conclumos, tambm, que eles podem ser acutngulos, retngulos e obtusngulos.

Figura 9

Tringulo acutngulo Tringulo retngulo Tringulo obtusngulo


Atividade 5

1Diante do que j estudamos, quais as caractersticas de um tringulo que , ao mesmo tempo, acutngulo e eqiltero?

2 E se for retngulo e issceles?

E caso seja acutngulo e issceles?

Quando for escaleno e obtusngulo?

3

4Trace, com rgua, compasso e transferidor, tringulos que correspondam a cada um dos casos mencionados nas questes anteriores.5

Trace, com rgua, transferidor e compasso um tringulo com:

a) um ngulo reto e nenhum par de ngulos congruentes;

b) um ngulo obtuso e um par de ngulos congruentes;

c) dois ngulos retos;

d) trs ngulos agudos;

e) dois ngulos obtusos;

f) um ngulo reto e dois lados congruentes;

g) um ngulo obtuso e nenhum par de lados congruentes;

h) todos os ngulos agudos e congruentes entre si.

6


Durante a realizao da atividade 5, voc deve ter percebido que:

se um tringulo tiver um ngulo reto, os outros dois devem ser, obrigatoriamente, agudos;

se um tringulo tiver um ngulo obtuso, os outros dois, obrigatoriamente, so agudos;

se um tringulo obtusngulo for issceles, o ngulo obtuso formado pelos lados congruentes, e o terceiro lado no pode ser congruente aos outros dois;

se um tringulo retngulo for issceles, o ngulo reto formado pelos dois lados congruentes, e o terceiro lado no pode ser congruente aos outros dois;

os itens c e e no so possveis construir.

Para melhor compreendermos as propriedades dos tringulos, mencionadas acima, ou at mesmo demonstr-las, necessrio ampliarmos as noes de congruncia j estudadas at agora. Para isso, estenderemos os axiomas, j enunciados, ao universo dos tringulos.

Desse modo, podemos vericar que dois tringulos so congruentes (so geometricamente iguais), levando-os a coincidir ponto a ponto. A relao de congruncia entre tringulos pode ser vericada a partir de algumas denies elaboradas com base nas relaes de congruncia j conhecidas por voc. Vejamos:

um tringulo ABC congruente (geometricamente igual) a outro DEF, se ocorrerem todas as congruncias, envolvendo lados e ngulos, ou seja:

sua

resp

osta1.

2.

3.

4.


a) congruncia dos ladosAB = DE

BC = EF

AC = DF

b) congruncia dos ngulos =

=

=

F

E

A

B

C

D

Figura 10

Figura 11

Para que possamos compreender melhor as propriedades geomtricas referentes aos tringulos, precisamos enunciar outro axioma ligado congruncia de tringulos.

Axioma 8 Se para dois tringulos ABC e DEF so vlidas as congruncias:

AB = DE; AC = DF e = . Ento, verica-se, tambm, a congruncia ABC = DEF, conforme gura 12.

Figura 12

A

BC

E

F

D

O Caso de congruncia apresentado no axioma 8 conhecido como critrio lado, ngulo, lado (LAL). Com base nos axiomas dados at agora, possvel deduzir dois outros casos de congruncia entre dois tringulos, a saber:

Caso 1 Dois tringulos ABC e DEF so congruentes se, e somente se, forem vlidas as seguintes congruncias: = ; AB = DE e = , ou seja, a relao de congruncia entre ngulo, lado e ngulo (A L A).

Caso 2 Dois tringulos ABC e DEF so congruentes se, e somente se, forem vlidas as seguintes congruncias: AB = DE; BC = EF e AC = DE, ou seja, a relao de congruncia ocorre entre os lados do tringulos (L L L).


Tente demonstrar os casos de congruncia 1 e 2.

Desao

BARBOSA, Joo Lucas Marques. Geometria euclidiana plana. 6.ed. Rio de Janeiro:SBM, 2004.


Leituras Complementares

ResumoNesta aula, voc ampliou os conceitos geomtricos j aprendidos anteriormente, desenvolvendo suas habilidades de construo geomtrica. Realizou experincias prticas, envolvendo a noo de ngulo, medio angular e a noo de congruncia entre segmentos de reta, ngulos e, conseqentemente, entre tringulos. Para tanto, deniu ngulo e inferiu as relaes de congruncia envolvendo lados e/ou ngulos, implicando a igualdade geomtrica de dois tringulos. Por m, caracterizou as propriedades de congruncia de ngulos e de tringulos (critrios de congruncia).

Auto-avaliaoA partir de uma reexo sobre tudo o que vimos nesta aula, analise os principais aspectos

abordados nesta etapa do nosso estudo. As questes a seguir nortearo suas reexes.

1Aps o desenvolvimento das atividades propostas nesta aula, como voc conceitua ngulo, tomando como base as noes intuitivas de ponto e reta, j aprendidas anteriormente?


2

3

4

De que modo voc consegue denir ngulo a partir dos conceitos construdos?

Quais as relaes de congruncia entre lados ou ngulos que podem assegurar a igualdade geomtrica de dois tringulos?

Caracterize as propriedades de congruncia entre tringulos (critrios decongruncia).

Verique se um tringulo isceles se e somente se os ngulos da base so congruentes.5

BARBOSA, Joo Lucas Marques. Geometria euclidiana plana. 6.ed. Rio de Janeiro:SBM, 2004.






Referncias


Anotaes

Geometria Plana e EspacialD I S C I P L I N A

Autores

Iran Abreu Mendes


aula

04

Relaes entre ngulos

internos e externos

Governo Federal










Projeto GrcoIvana Lima










MasterFile www.masterle.cpomMorgueFile www.morguele.com





Diviso de Servios Tcnicos

Catalogao da publicao na Fonte. UFRN/Biblioteca Central Zila Mamede

Mendes, Iran Abreu.Geometria espacial: interdisciplinar / Iran Abreu Mendes, Jos Querginaldo Bezerra. Natal, RN: EDUFRN

Editora da UFRN, 2005.324 p.1. Geometria euclidiana. 2. Teoremas clssicos. 3. Tringulos. I. Bezerra, Jos Querginaldo.

II. Ttulo.


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- Universidade Federal do Rio Grande do Norte.


compreender e explorar a relao entre os ngulos internos e externos de um tringulo;

relacionar ngulos e lados de um tringulo;

interpretar a desigualdade triangular e saber utilizar esses resultados em situaes concretas.

Objetivos

A partir do material apresentado nesta aula, esperamos que voc possa:

Apresentao

esta aula, abordaremos o Teorema do ngulo Externo, mostrando a relao entre ngulos internos e externos de um tringulo, suas conseqncias e aplicaes. Introduziremos a noo de Desigualdade Triangular, que uma condio

fundamental para a construo de tringulos, como tambm outras relaes envolvendo ngulos e lados.

N

1

2

3


ngulos internos e externos

Na gura a seguir, so destacados os ngulos internos e um externo de um tringulo. Pegue um transferidor e mea-os.

ngulos adjacentes

so aqueles que possuem um vrtice e um lado

comuns.

Na gura anterior, o ngulo BCD ngulo externo e os demais so internos.

Verique, usando um transferidor, que CBA + BC + ACB = 180. Como voc j aprendeu na aula 2, ACB + BCD = 180. Conclui-se que BCD = CBA + BC.

Voc acabou de vericar, experimentalmente, dois resultados que provaremosposteriormente:

1. a soma das medidas dos ngulos internos de um tringulo 180;

2. a medida de um ngulo externo de um tringulo igual soma das medidas dos

ngulos internos no adjacentes.

Quando utilizamos um instrumento para obter um resultado, no estamos provando o fato observado, pois os instrumentos tm problemas de preciso e, alm disso, no zemos a experincia com todos os objetos.

No caso mencionado anteriormente, se voc medisse os ngulos internos do tringulo, usando vrios transferidores, possivelmente, com algum deles, o resultado no seria 180. Faa a experincia e veja que, em algum momento, voc no saber se a soma 180, 179 ou 181.

Usando o transferidor, voc constata que um ngulo externo sempre maior que qualquer dos ngulos internos no adjacentes. Verique!

Esse resultado, no entanto, pode ser demonstrado sem o auxlio do transferidor e conhecido por Teorema do ngulo Externo.

A

B

CD

Figura 1


O ponto E ponto mdio do segmento BC e o ponto F, pertencente semi-reta SAE,

tal que AE = EF.

Assim, podemos concluir que os tringulos AEB e FEC so congruentes.

Justique esse fato, citando que caso de congruncia foi usado.

Como conseqncia, B = BCF e, como SCF divide BCD, tem-se que BCD > BCF.

A demonstrao resulta das observaes feitas na gura abaixo.

Figura 2

Como BCF = B, conclumos que BCD > B. Portanto, o ngulo externo BCD maior que o ngulo interno B.

De maneira anloga, mostra-se que BCD > A.

A primeira conseqncia do Teorema do ngulo Externo a

Proposio 1 A soma das medidas de quaisquer dois ngulos internos de um tringulo menor que 180.

Verique esse fato, medindo dois ngulos internos quaisquer em cada um dos tringulos abaixo.

Figura 3


Reveja a atividade 5 da Aula 03 e verique que:

Corolrio 1 Todo tringulo possui pelo menos dois ngulos internos agudos.

Para acompanhar a prova da proposio 1, observe a gura a seguir.Corolrio

Corolrio um resultado mais simples que decorre

de uma proposio ou teorema.

ngulo agudo

aquele cuja medida inferior a 90.

Corolrio 2 Se duas retas distintas so perpendiculares a um terceira, ento elasno se interceptam.

Veja a gura abaixo, em que as retas m e n so perpendiculares reta t.

Quando duas retas (pertencentes a um mesmo plano) no se interceptam, dizemos que elas so paralelas.

A idia de paralelismo est presente em nossa volta. Veja os caibros de nossos telhados, os cantos das paredes de nossas construes, as ruas de uma cidade bem projetada, as colunas que sustentam os edifcios, as margens de uma estrada reta, os trilhos de uma estrada de ferro num trecho reto etc.

DC ngulo externo, enquanto B e C so ngulos internos no adjacentes.

Pelo Teorema do ngulo Externo, DC > B (assim como DC > C). Somando-se a ambos os membros da desigualdade acima, obtm-se: DC + > B + .

Como DC e so suplementares, ento, DC + = 180.

Assim, DC + > B + e, portanto, + B < 180.

Adapte a gura anterior para provar que B + C < 180.

Figura 5

Figura 4

A

C

BD


Atividade 2

Reita um pouco e responda s questes abaixo.

a) As pernas das escadas so paralelas?

b) Um caibro e uma ripa, num telhado, so paralelos ouperpendiculares?

c) As linhas laterais, num campo de futebol, so paralelas?

Atividade 1

Adapte a demonstrao da proposio 1 para provar que + < 180.

Use o corolrio 1 para justicar por que todo tringulo retngulopossui, exatamente, dois ngulos internos agudos.

1

2Tringulo Retngulo

aquele que possui um ngulo reto.

sua

resp

ostaa)

b)

c)


Na fabricao e colocao de uma caixa de porta, por exemplo, as noes de paralelismo e perpendicularismo so fundamentais. Sem a observncia desses fatos a porta pode no abrir, por exemplo.

Figura 6

Um problema importante para o dia-a-dia das pessoas o traado de uma reta perpendicular a uma reta t dada passando por um determinado ponto P.

Atividade 3

1

2

Pegue uma folha de papel, trace uma reta t e marque um ponto P no pertencente reta.

Com o compasso, trace um arco de circunferncia com centro em P e que intercepte a reta t em dois pontos. Chame a esses pontos de A e B.

Com a mesma abertura no compasso, trace dois arcos com centro em A e B, os quais se interceptem no semi-plano que no contm P. Chame esse ponto de Q.

3


Figura 7

Obs1: A reta que voc acabou de traar nica, pois se voc conseguisse traar duas, como sugere a Figura 7 a seguir, obteria um tringulo com dois ngulos retos. Justique por que tal tringulo no existe (vide corolrio 2 da proposio 1).

sua

resp

osta5.

6.

Trace a reta que passa pelos pontos P e Q e os segmentos PA, PB, QA e QB.

Diga por que os quatro tringulos que se formaram so congruentes.

Conclua, justicando por que as retas que voc traou soperpendiculares.

4

5

6


Proposio 2 Por um ponto no pertencente a uma reta passa uma nica reta perpendicular reta dada.

Num tringulo ABC, diz-se que o ngulo ope-se ao lado BC, o ngulo B ope-se ao lado AC e o ngulo C ope-se ao lado AB e vice-versa.

J vimos na aula 3 que se um tringulo possui dois lados congruentes, seus ngulos opostos tambm so congruentes e reciprocamente. o caso do tringulo issceles.

Pois bem! As duas proposies seguintes mostraro um pouco mais: se os lados no so congruentes, ento ao maior lado ope-se o maior ngulo e reciprocamente.

Antes de demonstrarmos esses resultados, verique-os no tringulo ABC, a seguir:

Proposio 3 Se dois lados de um tringulo no so congruentes, ento seus ngulos opostos no so congruentes e o maior ngulo ope-se ao maior lado.

Proposio 4 Se dois ngulos de um tringulo no so congruentes, ento seus lados opostos no so congruentes e o maior lado ope-se ao maior ngulo.

A prova da primeira parte das proposies 3 e 4 ca como exerccio (vide auto-avaliao da aula 3). A Figura 9 a seguir ilustra a prova da segunda parte da proposio 3.

Admitindo que BC > AC, podemos marcar D em BC de modo que CD = AC.

Falta provar que CB > ABC e isso voc far na atividade a seguir.

Figura 8

Figura 9

Use um transferidor para medir os ngulos e uma rgua para medir os lados. Lembre-se de que as medies feitas com esses instrumentos so aproximadas.

Obs2: o ponto Q obtido na atividade 3 dito o simtrico de P em relao reta t.

Em resumo, a atividade 3 corresponde ao seguinte resultado.


Como BC > AC, podemos marcar D em BC de modo que CD = AC.

Falta provar que CB > ABC e isso voc far na atividade a seguir.

Atividade 4

1 justique por que CAD = ADC;

2 justique por que ADC > ABC;

justique por que CAB > CAD;

conclua que CAB > ABC.

Considerando a Figura 9:

3

4

sua

resp

osta1.

2.

3.

4.


Ativi

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Geometria Plana e Espacial Completa2 - Cópia2