GEOMETRIAS NO-EUCLIDIANAS: UMA BREVE INTRODUO

Elias Santiago de Assis*

Resumo

A concepo de Geometria apresentada na educao bsica tem sua origem na

Antiguidade e est arraigada de influncia euclidiana. Embora grande parte dos

livros didticos e at mesmo a maioria dos professores de Matemtica do ensino

fundamental priorizem os aspectos intuitivos da Geometria (em detrimento da

estrutura sistemtica formatada em axiomas e proposies), o desenvolvimento

terico desse ramo da Matemtica continua imerso na herana grafada por Euclides

em sua obra Os Elementos. verdade que da antiguidade at os dias de hoje, o

homem passou por diversas transformaes, alterando seu modo de enxergar a si

mesmo e ao universo. Entretanto, determinados conhecimentos ou saberes

matemticos atravessaram milnios, consagrando-se como verdades absolutas

intransponveis. Mas, ser mesmo? Ser, por exemplo, a Geometria de Euclides a

nica a descrever as demandas e possibilidades do universo? O mini-curso proposto

visa analisar os desdobramentos do quinto axioma de Euclides, questionar o

absolutismo dessa Geometria e estudar as principais caractersticas da Geometria

Hiperblica.

Palavras-chave: Axioma das Paralelas; Geometria Hiperblica; Os Elementos de Euclides.

Os Elementos de Euclides

Na Matemtica, os resultados incontestveis e que servem de base para o

desencadeamento de uma teoria so chamados de axiomas ou postulados. A partir

deles abre-se caminho para o surgimento de novos resultados e idias que precisam

ser demonstrados de forma lgica e consistente. No cabe apenas o resultado

emprico-experimental. Uma cincia como a Matemtica no pode correr o risco de

cair por terra devido a incompatibilidades do seu sistema axiomtico. Era exatamente

essa a compreenso do clebre matemtico Euclides de Alexandria.

Professor Assistente da Universidade Federal do Recncavo da Bahia, UFRB.

Por volta de 332 a. C., o conquistador Alexandre, o Grande, expande seus

domnios e funda a cidade de Alexandria, no Egito. Esta cidade, desde a sua

fundao, foi concebida para ser o grande centro intelectual e cosmopolita da poca.

Acontece que naquele perodo os homens do saber residiam quase que em sua

totalidade em Atenas, na Grcia. Era em Atenas que se localizava o Museu de Plato,

unidade intelectual equivalente s universidades de hoje. Ali estavam os mais

importantes matemticos, filsofos e fsicos ento existentes. Assim, para dar vida

aos propsitos de Alexandria e alimentar o Museu criado na cidade, o militar

Ptolomeu I, sucessor de Alexandre, convida o matemtico (provavelmente grego)

Euclides para assumir o departamento de Matemtica daquela Academia. Ao aceitar

o pedido, Euclides movimenta a produo matemtica de Alexandria ao reunir na

obra Os Elementos todo o conhecimento matemtico da poca. Euclides foi

praticamente um compilador, reunindo em seu trabalho resultados de lgebra

elementar, teoria dos nmeros e, principalmente, geometria. At hoje esta obra de

Euclides, composta por treze livros, continua sendo utilizada e difundida pelo

mundo. Partindo de conceitos primitivos (isto , ponto, reta e plano), de um grupo de

axiomas e de algumas definies, o matemtico grego apresenta a Geometria atravs

de um conjunto de afirmaes passveis de demonstraes s quais denominamos

proposies ou teoremas. O curioso que para criar essa estrutura axiomtica,

Euclides utiliza apenas cinco axiomas. Os quatro primeiros foram facilmente aceitos

pela comunidade matemtica, mas o mesmo no se pode dizer do ltimo. Sobre esta

obra de Euclides, afirma Eves (EVES, 1994, pg. 167) que nenhum trabalho, exceto

a Bblia, foi to largamente usado ou estudado e, provavelmente, nenhum exerceu

maior influncia no pensamento cientfico.

O Axioma das Paralelas

O quinto postulado de Euclides, conhecido atualmente como Axioma das

Paralelas (denominao devida ao matemtico escocs Jonh Playfair), foi, desde a

sua criao, alvo de crtica e contestao. Para muitos matemticos, aquilo que

Euclides considerava um axioma no passava de uma proposio, podendo ser

provado a partir dos axiomas anteriores.

Numa verso mais contempornea, esse axioma diz que por um ponto fora de

uma reta pode-se traar uma nica paralela reta dada. A questo evidenciada no

era a validade deste resultado, mas a sua classificao como axioma. Iniciou-se ento

uma batalha no sentido de provar o Axioma das Paralelas. Batalha essa que

perpassou sculos, provocando, aguando e inquietando matemticos do mundo

inteiro. Ao longo dessa histria, as controvrsias em torno do quinto postulado deram

margem ao surgimento de um universo curioso e duvidoso. Trata-se do nascimento

de outras geometrias diferentes daquela proposta por Euclides, obtidas a partir da

negao do quinto postulado.

Grande o nmero de matemticos envolvidos nessa trama provocada pelo

Axioma das Paralelas. Por questo de tempo e espao, nos limitaremos a citar apenas

alguns deles. Segundo Andrade (ANDRADE, 2008, pg. 7), a busca pela

contestao do modelo absoluto para o espao passou a ser uma obsesso e no

tardou a surgir candidatos ao Panteo.

As tentativas fracassadas

Os primeiros matemticos que se colocaram diante do desafio de provar o

referido axioma foram: Proclus Diadochus, o persa Nasir Edin e o ingls Jonh

Wallis. Os trs se equivocaram ao utilizar em suas respectivas provas um resultado

equivalente ao quinto postulado. Um tempo depois, entre os sculos XVII e XVIII, o

jesuta italiano Giovanni Girolano Saccheri se debruou em torno dessa questo.

Detentor de um grande conhecimento de lgica, o padre Saccheri criou um

quadriltero (conhecido como quadriltero de Saccheri) o qual possua dois ngulos

retos e dois lados opostos de mesmo comprimento. Sua idia era provar, a partir dos

quatro primeiros axiomas, que os outros dois ngulos do quadriltero tambm eram

retos. Isso era equivalente a provar o quinto postulado. Todavia, Saccheri s

conseguiu mostrar que os outros dois ngulos eram congruentes. Em sua busca,

obteve alguns resultados da Geometria No Euclidiana, os quais, por no

compreend-los, considerou abominveis. A verdade que Saccheri no conseguia

conceber a existncia de outro tipo de Geometria. Esse excelente logicista perdeu a

oportunidade de ser coroado como o pai da Geometria Hiperblica Plana, nome dado

Geometria No Euclidiana em questo.

Se Saccheri tivesse suspeitado que no tinha chegado a uma contradio,

simplesmente porque no havia contradio para ser encontrada, a

descoberta da Geometria no euclidiana teria ocorrido quase um sculo

antes. Seu trabalho admirvel e, retirados o final e alguns pequenos

defeitos, o resto uma prova inequvocada de que Saccheri possuiu

grande intuio geomtrica e profundo conhecimento de lgica.

(BARBOSA, 2008, p. 26).

Em meados do sculo XVIII, o parisiense Adrien-Marie Legendre entrou na

discusso. No conseguiu provar o Axioma das Paralelas, mas destacou-se por

demonstrar diversos resultados da Geometria Plana de forma rpida e clara. Com seu

estilo simples e direto, renovou as bases da Geometria. Demonstrou com bastante

elegncia o resultado j conhecido de que a soma das medidas de dois ngulos

internos quaisquer de um tringulo menor que 180. Tambm merecem louvores,

as tentativas do francs Jean DAlembert. Este matemtico trabalhou em torno de um

quadriltero com trs ngulos internos retos. Tentou mostrar que o mesmo ocorreria

com o quarto ngulo, mas no obteve xito.

Provavelmente estava faltando um matemtico mais ousado, com

pensamentos futuristas, capaz de compreender a complexidade de se tentar

demonstrar o quinto postulado de Euclides. Aps duas dcadas de tentativas, o

matemtico alemo Carl Friedrich Gauss convenceu-se de que o Axioma das

Paralelas no era uma proposio. Mais que isso, o prncipe dos matemticos (como

Gauss atualmente reconhecido), foi o primeiro a perceber claramente a

possibilidade de haver uma geometria igualmente lgica e precisa, contudo diferente

daquela proposta por Euclides. Entretanto, por medo da Igreja que adotava a

Geometria Euclidiana como a nica e absoluta, Gauss preferiu se calar. Afinal, a

inquisio era o presente recebido pelos desafetos da Igreja na poca.

O nascimento de uma nova Geometria

Longe dos ambientes intelectualmente viciados, um jovem hngaro, Janos

Bolyai, resolveu substituir o Axioma das Paralelas por uma de suas negaes. Ao

admitir que por um ponto fora de uma reta passam pelo menos duas retas paralelas

reta dada, Janos descobre a Geometria Hiperblica Plana. Encantado com sua

descoberta, ele comunica a novidade a seu pai, o matemtico Farkas Bolyai. Janos

diz ao pai que do nada havia descoberto um universo maravilhoso e igualmente

estranho. Farkas apresenta os resultados de seu filho a Gauss, o qual recebe a notcia

com certo descrdito afirmando que ele mesmo j havia vislumbrando os mesmos

resultados h bastante tempo. Curiosamente, outro matemtico, o russo Nikolai

Lobachewski, sem manter contato algum com Janos, descobre os mesmos resultados

que ele. A Geometria Hiperblica Plana nasce ento com dois pais: o hngaro Janos

Bolyai e o russo Nikolai Lobachewski. Este ltimo, ao contrrio do primeiro,

continuou suas pesquisas nessa rea, estudando inclusive as id