SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO

RETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

NÚCLEO REGIONAL DE EDUCAÇÃO DE

CASCAVELUNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁÁREA MATEMÁTICA

AMARILDO DE PAULA LEITE

GEOPLANO: UM ALIADO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Cascavel – PR

2012

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃOSUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

GEOPLANO: UM ALIADO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Artigo apresentado como requisito final do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, ofertado pela Secretaria de Estado da Educação do Paraná - SEED, em parceria com a Universidade Estadual do Oeste do Paraná - UNIOESTE.

Orientadora: Andréia Büttner Ciani.

Cascavel – PR

2012

GEOPLANO: UM ALIADO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Autor: Amarildo de Paula Leite1

Orientadora: Andréia Büttner Ciani2

Orientadora: Fabiana Magda Garcia Papani3

RESUMO

Este trabalho apresenta uma abordagem da resolução de problemas por meio do material

manipulativo denominado geoplano, para o ensino de alguns conteúdos de Matemática em

segundos e terceiros anos do Ensino Médio. Foram selecionados, majoritariamente,

problemas do banco de questões da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas

– OBMEP, para o seu desenvolvimento. A implementação ocorreu durante um semestre

letivo. Inicialmente, foi apresentado um relato histórico e desenvolvidas atividades de

reconhecimento do geoplano com os alunos. Seguiu-se uma formação de grupos de trabalho

nas salas com os alunos para a construção do geoplano. Num segundo momento, passou-se à

resolução dos problemas selecionados, por parte dos alunos, orientados e auxiliados pelo

professor/autor. Verificou-se aí um interesse um pouco maior de alguns alunos. À medida que

o trabalho foi se desenvolvendo, mais alunos foram demonstrando interesse pelo trabalho e se

envolvendo com o estudo. Os resultados forneceram indícios de que este tipo de atividade

pode ser uma estratégia para desenvolver o interesse dos alunos para o estudo da Matemática.

Palavras-chave: Geoplano; Resolução de Problemas; Ensino de Matemática.

1 Graduação em Matemática, Atua no Colégio Estadual Jardim Consolata. 2 Doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática – UEL, Graduação em Matemática - UNESP, Mestrado em Educação Matemática – UNESP. Atua na UNIOESTE, Departamento de Matemática. 3 Mestrado em Educação Matemática – UNESP, Graduação em Matemática - UNESP, Atua na UNIOESTE, Departamento de Matemática.

ABSTRACT

This paper presents an approach to solving problems through manipulative material named

geoplano for teaching some contents of mathematics in second and third years of high school.

Were selected mostly from the question bank issues the Brazilian Math Olympiad Public

Schools - OBMEP, for your development. The implementation took place during one

semester. Initially, he was introduced and developed a historical recognition of geoplano

activities with students. This was followed by a formation of groups working in classrooms

with students to build the geoplano. Secondly, we moved on to solving the problems selected

by students, guided and assisted by teacher / author. There was then a slightly higher interest

on the part of some students. As the work was being developed, more students were showing

interest in the work and getting more involved with the study. This pointed to evidence that

this type of activity may be a strategy to ransom students' interest for the study of

mathematics.

Keywords: Geoplano; Problem Solving; Teaching of Mathematics.

1 INTRODUÇÃO

Durante anos de atuação docente em sala de aula, foram diversas iniciativas para

despertar o interesse dos alunos para a aprendizagem da matemática. A ideia inicial deste

trabalho foi mais uma destas tentativas sistematizada, sustentada no aporte teórico da

resolução de problemas.

Por mais contraditório que possa parecer, vivemos em um país comprador de

tecnologia, mas que pretende sair de um estado de fornecedor de matéria prima. Assim,

deveria, inevitavelmente, investir e incentivar o desenvolvimento da Matemática. No entanto,

apesar de alguns investimentos, cada vez há menos pessoas interessadas em estudar esta

disciplina.

Os menores índices de rendimento dos alunos, em instrumentos de avaliação, como a

Prova Brasil e o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), são da área de Matemática.

Acredita-se que um dos fatores que desencadeia esse “fracasso” é o pouco interesse

demonstrado pelos alunos em aprender matemática, uma vez que a grande maioria não

percebe a aplicabilidade da disciplina em questão e encontra muita dificuldade de abstração.

Também a procura pelo curso de Matemática está cada vez menor, tanto Licenciatura quanto

Bacharelado.

Estes fatos justificam uma preocupação constante, dos professores em sala de aula, e

dos órgãos governamentais responsáveis pelas normas que regem o sistema educacional no

país, em desenvolver formas de tornar o ensino da matemática mais interessante aos olhos dos

estudantes, e que seja investido esforço para lidar com o fracasso no ensino e na

aprendizagem da Matemática nas escolas. Foi neste intuito que, enquanto professores de

Matemática, com longa experiência em sala de aula, nos interessamos e nos envolvemos com

o estudo e as possibilidades de utilização do material manipulativo denominado geoplano.

Acreditamos que a utilização do instrumento geoplano, como recurso didático, pode

ser uma opção de encaminhamento interessante para auxiliar os professores de matemática a

sanar as necessidades pedagógicas dos alunos.

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

O aporte teórico escolhido foi o da metodologia da Resolução de Problemas para o

ensino e aprendizagem de Matemática. Consideramos que a perspectiva da resolução de

problemas pode proporcionar ao estudante a oportunidade de lidar com a lógica da construção

da própria Matemática, em níveis simples, o estudante pode passar pela experiência da

“descoberta” em um processo de resolução de problemas. De acordo com Polya (1949),

Esta é a grande oportunidade da matemática: matemática é o único assunto na escola secundária em que o professor pode propor e os estudantes podem resolver problemas em um nível científico.

Polya (1949) justifica esta possibilidade para o ensino da matemática pelo aspecto da

simplicidade na qual a Matemática pode se fazer presente.

Neste trabalho, tomamos a expressão problema e resolução de problemas, de uma

maneira específica, conforme a definido por Polya (1949),

Resolver um problema é encontrar os meios desconhecidos para um fim nitidamente imaginado. Se o fim por si só não sugere de imediato os meios, se por isso temos de procurá-los refletindo conscientemente sobre como alcançar o fim, temos de resolver um problema. Resolver um problema é encontrar um caminho onde nenhum outro é conhecido de antemão, encontrar um caminho a partir de uma dificuldade, encontrar um caminho que contorne um obstáculo, para alcançar um fim desejado, mas não alcançável imediatamente, por meios adequados.

3 UMA PROPOSTA DE TRABALHO COM O GEOPLANO PARA ALGUNS

CONTEÚDOS ESPECÍFICOS EM SEGUNTOS E TERCEIROS ANOS DO ENSINO

MÉDIO

Muitas dificuldades são encontradas no processo ensino aprendizagem na disciplina

de matemática, por um lado o aluno não consegue entender o conteúdo explicado e não o

relaciona com a realidade. Por outro lado, o professor frustrado tenta buscar em cursos,

oficinas, congressos, alternativas que possam melhorar a sua prática pedagógica.

Este material de pesquisa tem por finalidade proporcionar ao professor e ao aluno

uma alternativa viável para o ensino e aprendizagem de Matemática, pautada na perspectiva

da resolução de problemas, sendo adaptável a diversos conteúdos matemáticos, como

exemplificaremos posteriormente neste artigo.

O Geoplano é um modelo matemático que permite traduzir ou sugerir idéias matemáticas [...] constitui um suporte concreto da representação mental, um recurso que leva à realidade idéias abstratas (SABBATIELLO, 1967).

Como qualquer material didático, destacamos a necessidade de muito planejamento,

de conhecimentos teóricos acerca do conteúdo, por parte do professor, e de conhecimento de

conceitos básicos, por parte dos alunos. Nenhum material didático supre a falta de

conhecimento teórico.

Outro aspecto a ser considerado é que não basta abrir uma caixa cheia de “pecinhas

coloridas” e deixar os alunos quebrarem a cabeça sozinhos

Alguns professores acreditam que o simples fato de usar o material concreto torna suas aulas ‘construtivistas’ e que isso garante a aprendizagem. Muitas vezes o estudante, além de não entender o conteúdo trabalhado, não compreende porque o material está sendo usado.

Maria Sueli Monteiro, consultora de Matemática, de São Paulo

É importantíssimo que o aluno faça o registro de tudo que é construído. Seja em

forma de desenho ou de forma cursiva.

Outro detalhe importante é ter clareza que o aluno deve abstrair os conceitos, o

material concreto deve ser um instrumento de auxílio, e não um fim em si. Além disso, o

material concreto

Apesar de ser formado por objetos, pode ser considerado como um conjunto de objetos ‘abstratos’ porque esses objetos existem apenas na escola, para a finalidade de ensino, e não têm qualquer conexão com o mundo da criança

(CARRAHER; SCHLIEMANN, 1988).

Também, na maioria das vezes, uma aula com a utilização de material é mais

trabalhosa do que uma aula expositiva, sendo cansativo e desgastante. Mas o resultado final

acaba sendo compensatório.

4 REALIZAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

Turma 3o ano

Neste primeiro encontro, conforme planejado apresentamos o geoplano. Falamos um

pouco sobre seu criador e sobre sua importância. Apresentamos os geoplanos que já estavam

construídos.

Em seguida, fizemos a construção de um geoplano no laboratório. Na sequência,

dividimos a sala em grupos de 4 alunos, pedimos para cada grupo que construíssem um

geoplano 5 por 5 em casa.

Na sequência, solicitamos que os alunos fizessem figuras geométricas, figuras livres.

Comentamos sobre as figuras que surgiram. Algumas eram até engraçadas, ver as Figuras 1,

2, 3 e 4.

Primeira construção livre

Figura 1

Segunda construção livre

Figura 2

Terceira construção livre

Figura 3

A partir das construções apresentadas nas figuras 2 e 3, aproveitamos para discorrer

sobre as propriedades dos triângulos e quadriláteros.

Quarta construção livre

Figura 4

Com a quarta construção livre, figura 4, comentamos sobre os polígonos côncavos e

convexos.

Turma 3o ano.

Aos 4 grupos foi solicitada a construção do geoplano, mas apenas dois grupos o

trouxeram pronto, sendo que somente um a contento, o outro geoplano ficou com as filas

desalinhadas, inviável para utilização.

Dessa forma, desenvolvemos as atividades com os geoplanos já construídos por nós

(o professor da turma), os quais estavam no laboratório. Com tantos anos de experiência em

sala de aula, já prevíamos a possibilidade de que os alunos não realizassem a tarefa.

As atividades desenvolvidas foram o trabalho com a resolução dos problemas 1

(figura 5), 2 (figura 6) e 3 (figura 7).

Exploramos o conceito de linhas poligonais com os problemas 1 e 2, e os conceitos

de perímetros e áreas com a atividade 3.

Problema 1

Quatro formigas atravessam o piso de uma sala coberto de lajotas retangulares (todas

de mesmo tamanho), segundo os trajetos indicados na figura. Qual é o comprimento do trajeto

percorrido por Biloca?

Trajetória

Trajeto de Pipoca (TP) = 25 dm

Trajeto de Tonica (TT) = 37 dm

Trajeto de Cotinha (TC) = 32 dm

Trajeto de Biloca (TB) =

Representação da trajetória no geoplano

Figura 5a

Figura 5

Os alunos chegaram à resposta correta, porém tivemos que orientá-los, fornecendo

“dicas” de como chegar aos resultados.

O desenho feito com a borrachinha amarela nos fornece o comprimento de uma

diagonal (5 cm). O desenho com borrachinha vermelha nos fornece a distância entre dois

pregos consecutivos na vertical (3 cm).

E o desenho com borrachinha verde nos fornece a distância entre dois pregos

consecutivos na horizontal (4 cm). Em consequência, concluímos que o comprimento da

trajetória determinada pela borracha branca é 3 segmentos em diagonal (15 cm), 4 segmentos

na vertical (12 cm) e dois segmentos na horizontal (8 cm). Totalizando 35 cm.

Problema 2

As formiguinhas Maricota e Nandinha passeiam numa varanda cujo chão é formado

por lajotas retangulares de 4 cm de largura por 6 cm de comprimento, conforme indicado na

figura 6. Maricota parte do ponto M, Nandinha parte do N e, ambas, andam apenas pelos

lados das lajotas, percorrendo o trajeto no sentido indicado na figura 6.

(a) As duas formiguinhas se encontram depois de andarem uma mesma distância.

Qual foi essa distância?

(b) Em que ponto elas se encontraram?

Caminho das formigas

6 cm 4 cm

M

N

Figura 6

Representação do caminho das formigas no geoplano

Figura 6a

Inicialmente, os alunos não conseguiram resolver o problema. Mas isso não se

mostrou, para nós, como algo indesejável, pelo contrário, instigou-os a questionar e investigar

uma maneira para a resolução.

Após um tempo, questionamentos e verificações, perceberam que não estavam

levando em consideração o fato de que as distâncias, entre dois pregos consecutivos na

horizontal, era diferente que a distância entre dois pregos consecutivos na vertical.

Um dos alunos utilizou a seguinte estratégia: somou o caminho total percorrido pelas

duas formiguinhas (128) e depois dividiu por 2 (64). Em seguida foi só desenhar as

trajetórias.

Problema 3

A figura mostra a planta de um jardim de uma cidade, feita num

papel quadriculado. O jardim tem a forma de um polígono de oito lados

com uma roseira quadrada no centro, cercada de grama. A área total do

jardim é de 700 m2. Para colocar uma cerca em volta do jardim e da

roseira, o prefeito dispõe de, no máximo, R$ 650,00. Qual é o maior preço

que o prefeito poderá pagar pelo metro dessa cerca?

Figura 7

Planta do jardim

Representação da planta do jardim no geoplano

Figura 7a

Poucos alunos conseguiram interpretar o problema, em seguida contaram de quantos

quadradinhos é composto o desenho, chegaram a conclusão que são 28. Em seguida dividiu-se

700 por 28 obtendo assim a área de um quadradinho (25 cm2). A seguir descobriu-se que o

valor do lado de cada quadradinho era 5 cm.

No decorrer da resolução houve confusão entre áreas e perímetros. Outra confusão

foi feita em relação aos lados do polígono, não se percebeu que os lados do polígono eram

diferentes. Depois de algum tempo, e algumas “dicas”, chegaram à conclusão de que se

tratava de uma diagonal ( ) do quadrado e que o Teorema de Pitágoras lhes seria útil. A

partir daí, não houve mais dificuldades, pois eles sabendo que seriam necessários 124 metros

de cerca, apenas efetuaram 650/124 obtendo, aproximadamente, R$ 5,25 como resultado.

Problema 4

A figura dada representa um gramado retangular em que foram marcados sete

quadrados numerados de 1 a 7. Se a área do menor desses quadrados é 1 m², qual a área total

do gramado?

Divisão do gramado

Divisão do gramado no geoplano

Figura 8a

Este problema foi de fácil solução e, novamente, houve uma confusão entre área e

perímetro. Mas logo perceberam o engano.

Problema 5

Com seis retângulos idênticos formamos um retângulo maior, com um dos lados

medindo 21 cm, como na figura. Qual é a área do retângulo maior, em cm²?

1

2

3

5

6 7

4

A C

D F G Figura 8

Retângulos

Retângulos no geoplano

Figura 9a

Na resolução deste problema, também os alunos não apresentaram dificuldades. No

entanto, no momento da construção no geoplano, alguns alunos construíram os retângulos que

estão na vertical com comprimento 3. Desta forma, não conseguiram chegar ao resultado

correto. Apontamos o erro, e então, eles logo compreenderam e a resposta correta foi

imediata.

21 cm

2.x

x

Figura 9

Problema 6

Teorema de Pitágoras

Outro conteúdo fundamental para o estudo da geometria espacial métrica é o teorema

de Pitágoras. Assim no decorrer dessa ação pretendemos:

Resgatar o conceito de triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras;

Execução

Iniciamos relembrando os conceitos de ângulo, ângulo reto, triângulo retângulo,

cateto e hipotenusa.

Na sequência enunciamos o Teorema de Pitágoras:

“Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos

quadrados dos catetos”. Exploramos a interpretação do Teorema e fizemos, buscando a

participação dos alunos, a justificativa do referido teorema, apresentada abaixo:

Os passos desta atividade no geoplano seguem como abaixo.

Inicialmente construímos um triangulo retângulo no geoplano tradicional.

Triângulo retângulo

Na sequência construímos três quadrados, apoiados nos catetos e na hipotenusa do

triângulo retângulo: um cujo lado tenha a mesma medida do cateto maior, outro cujo lado

tenha mesma medida do cateto menor e um terceiro cujo lado tenha mesma medida da

hipotenusa, como na figura abaixo.

Figura 10

Teorema de Pitágoras

Observemos primeiramente que as áreas dos quadrados construídos sobre os catetos

são, respectivamente, A1 = 9 u.m.4 e A2 = 16 u.m., logo a soma das duas áreas é A1 + A2 = 9 +

16 = 25 u.m..

Para calcular a área do quadrado construído sobre a hipotenusa, procedemos como

abaixo:

Constrímos dois retângulos como os azuis indicados na figura.

Podemos observar que a área destes retângulos é 12 u.m. e que a metade dessa área

(6 u.m.) está sobreposta ao quadrado.

4 Unidade de medida, neste caso é a área de um quadradinho de lado unitário.

Figura 10a

Área e Teorema de Pitágoras 1

Construímos então, outros dois retângulos como os verdes indicados na figura a

seguir. E assim como no caso anterior, suas áreas medem 12 u.m. e metade dessa área

também estão sobrepostas ao quadrado.

Área e Teorema de Pitágoras 2

Figura 10b

Figura 10c

Assim temos, que a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é: 6 + 6 + 6 + 6

+ 1, totalizando 25 u.m. Concluímos então que a soma das áreas dos quadrados construídos

sobre os catetos é igual à área do quadrado construído sobre a hipotenusa.

Lembrando que a área de um quadrado é (lado)x(lado) concluímos a justificativa.

Área e Teorema de Pitágoras no geoplano

Figura 10d

Inicialmente fizemos uma breve revisão sobre o Teorema de Pitágoras, em seguida

fizemos a “demonstração visual” (conforme passos descritos acima).

Pedimos para que os alunos repetissem a experiência. Demorou um pouco, pois eles

construíram sobre a hipotenusa e os catetos, quadrados que não eram bem quadrados,

principalmente sobre a hipotenusa. Neste momento intervimos e apontamos os erros.

Turma 2º Ano

Problema 7

Quantas retas são determinadas por dois quaisquer dos nove pontos marcados no

quadriculado dado?

Figura 11

Pontos

Primeiras retas

Figura 11a

Segundas retas

Figura 11b

Terceiras retas

Figura 11c

Nesta atividade os alunos tiveram dificuldade de interpretação, mesmo depois de

termos lido o problema e interpretado e mostrado alguns exemplos de representações de retas,

eles não conseguiram organizar as ideias. Então sugerimos que eles representassem todas as

paralelas como na figura 11 a), donde se contou 6 retas, logo após sugerimos que contassem

as diagonais como na figura 11 b), donde contou-se mais 6 retas e por fim as outras retas

como na figura 11 c). Totalizando 20 retas.

Em seguida fizemos as seguintes perguntas:

a) Será que existem mais retas?

Houve dúvidas quanto a esta pergunta, não souberam afirmar com certeza.

b) O que ocorre se eliminarmos o prego central?

Concluímos que eliminando o prego central a resposta não muda.

Em seguida resolvemos o problema usando combinação e eliminando as retas

contadas mais de uma vez. Chegamos a conclusão de que são apenas 20 retas mesmo.

Turma terceiro ano

Problema 8

Um ponto P está no centro de um quadrado de 10 cm de lado. Quantos pontos da

borda do quadrado estão a uma distância de 6 cm de P? Determine a menor distância de um

vértice do quadrado a um ponto de intersecção da circunferência com o quadrado.

No laboratório de informática, considerando o Geogebra como um geoplano virtual,

construímos um quadrado 10 cm por 10 cm com auxílio da ferramenta polígono (ver figura 12

abaixo), a seguir construímos um circulo de raio 6 cm com centro no centro do quadrado,

utilizando a ferramenta “círculo dados centro e raio” (ver figura 12 a abaixo).

Ferramenta polígono Círculo dados centro e raio

Quadrado e Círculo

Problema 9

A figura mostra um retângulo formado por 18 quadrados iguais com algumas partes

sombreadas. Qual é a fração da área do retângulo que está sombreada?

Figura 12 Figura 12a

Figura 12b

Fração da área do retângulo

Fração da área no geoplano

Figura 13a

Este problema os alunos não conseguiram resolver. Tivemos que intervir e indicar os

caminhos a serem seguidos. Depois de algum tempo percebemos que a dificuldade ocorria

porque eles estavam, novamente, fazendo confusão entre área e perímetro.

Para resolver este problema é necessário determinar quanto a área sombreada

representa da área total.

Para isso uma estratégia é completar os triângulos (1) e (2) acima, transformando-o

num retângulo. Como o retângulo (1) tem área 2 o triângulo (1) tem área 1, da mesma forma,

como o retângulo (2) tem área 8, basta contar, o triângulo (2) tem área 4. A partir daí o

resultado segue.

Figura 13

1 2

Figura 13

Turma 2º ano

Problema 10

Uma formiguinha vai caminhar de A até C, podendo passar apenas uma vez pelo

ponto B e usando somente os caminhos indicados na figura.

Escolha do caminho

Qual é o número de maneiras diferentes que ela pode escolher para caminhar de A

até C?

Representação dos caminhos no geoplano

Figura 14a

Figura 14

Problema 11

Qual dos seguintes desenhos não pode ser construído sem cortar ou sobrepor fios?

a) b) c)

d) e)

Construções

Figura 15

Começamos a atividade com borrachinhas, o que tornou a solução pouco produtiva.

Trocamos então para fios de lã, porém as fotos se perderam. Por tentativas os alunos

A B C

D E

conseguiram construir as letras a) e b) d) e e). Em seguida generalizamos a ideia, discutindo

quando que seria possível a resolução.

“Para que a figura possa ser inteiramente percorrida, sem passar duas vezes pela

mesma aresta, é necessário e suficiente que seus vértices tenham gênero par ou que, no

máximo, apenas dois vértices tenham gênero ímpar (os pontos inicial e final do percurso).”

Problemas 12

Na figura, O é o centro do semicírculo de diâmetro PQ, R é um ponto sobre o

semicírculo e RM é perpendicular a PQ. Se a medida do arco PR é o dobro da medida do arco

RQ, qual é a razão entre PM e MQ?

Razão

Semi círculo

Figura 16a

Para auxiliar na resolução deste problema, utilizamos do geoplano trigonométrico.

Inicialmente construímos com auxilio das borrachinhas a figura acima.

Figura 16

Esta atividade os alunos não conseguiram resolver, mesmo com todas as dicas dadas.

Acreditamos que devido a quantidade de conceitos envolvidos. De início recordamos que se

tratava de um triângulo inscrito a um semicírculo, o que decorre que o ângulo A mede 90o.

Portanto o triângulo é retângulo. Com os dados do problema desenvolvemos a resolução.

Problema 13

A partir dos dados da tabela abaixo e com o auxílio do geoplano trigonométrico,

preencha os espaços que faltam na tabela.

Círculo trigonométrico

0

30

ou

6

π

45

ou

4

π

60

ou

3

π

90

ou

2

π

120

ou

3

.2π

135

ou

4

.3π

150

ou

6

.5π

180

ou

π

210

ou

6

.7π

225

ou

4

.5π

240

ou

3

.4π

270

ou

2

.3π

300

ou

3

.5π

315

ou

4

.7π

330

ou

6

.11π

360

ou

π.2

Sen

0 2

1 2

2

2

3

1 0 -1 0

Cos

1 2

3

2

2

2

1 0 -1 0 1

30

45

60 90

120

135

150

180

210

225

240 270

300

315

330

360

0

Figura 17

Marcando o seno

Figura 17a

Figura aumentada

Figura 17b

Esta atividade foi a que os alunos mais gostaram. Inicialmente ensinamos aos alunos como

manusear este geoplano. Explicamos como determinar o seno e o cosseno de um ângulo do

segundo, terceiro e quarto quadrante a partir o primeiro.

Em seguida o preenchimento da tabela foi muito simples. Alguns erros de sinal, que logo

foram corrigidos.

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Durante todo desenvolvimento do trabalho, assumimos o desafio de buscar o

envolvimento dos alunos, porém isto sempre se mostra como uma tarefa difícil, mesmo

quando apresentamos atividades diferenciadas.

Apesar de não conseguirmos obter um interesse completo e contínuo de todos os

envolvidos, conseguimos aguçar a curiosidade de alguns alunos, os quais forneceram

contribuições muito importantes ao desenvolvimento do trabalho.

A estratégia didática da resolução de problemas favoreceu a pesquisa por parte dos

alunos, a revisão e conteúdos, e até o conhecimento de conteúdos desconhecidos, mas que,

supostamente deviam ser conhecidos por eles. Proporcionou a articulação simultânea de

muitos conhecimentos, paralelamente às necessárias revisões, de muitos conteúdos, inerentes

a outras séries. Este foi um ponto forte do trabalho, pois em uma situação tradicional de sala

de aula de matemática, esta revisão pode tornar-se enfadonha. No entanto, surgindo da

necessidade para o tratamento e resolução da situação problema, na qual os alunos estavam

envolvidos, fez-se de uma maneira mais natural.

Ficou evidente durante a implementação do projeto, as dificuldades apresentadas

pelos alunos em relacionar os diversos conteúdos. Revelando a necessidade dos alunos em

passarem por mais atividades similares a estas, para desenvolverem a habilidade de

articulação dos conteúdos matemáticos em situações de aplicação.

A conclusão deste trabalho é que quando nos propomos a apresentar uma ferramenta,

antiga, porém pouco utilizada com os estudantes, que auxilia no aprendizado da matemática,

resulta em muito trabalho ao professor. Porém, é gratificante observarmos alunos empenhados

em explorar algo novo para ele. É utópico acharmos que alcançaremos cem por cento do

público alvo, mas, os que se envolvem, nos deixam felizes e confiantes de que vale a pena

investir tempo, estudo, pesquisa e esforço para que a aprendizagem aconteça!

REFERÊNCIAS

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MARTINS, Raquel. Material Concreto: um bom aliado nas aulas de Matemática Disponível em: <http:// matconcretos1.blogspot.com/>. Acesso em: 17 abr 2011. MORAES, Ivanise Zem de, Os Materiais Manipuláveis no Ensino de Matemática com Ênfase na Formação de Docentes, 2008, Pág. 17. Disponível em < http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/977-4.pdf>. Acesso em 08 mai. 2011. UFSC. O que é "geoplano”? Disponível em: <http:// www.inf.ufsc.br/~edla/projeto/geoplano/ oquee.html>. Acesso em: 17 set. 2010. ALVES, Rubem. EDUCAR, EDUCANDO! Disponível em http://vamos-educar-educando.blogspot.com/2011/04/blocos-logicos-geometria-exige-uma.html>. Acesso em 01 ago. 2011. OBRAS CONSULTADAS FREITAS, Rony Cláudio de Oliveira. PAIVA, Maria Auxiliadora Vilela. Um novo ambiente para apoiar a aprendizagem da matemática nas séries iniciais do ensino fundamental, 1994. Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo (CEFETES). Disponível em: < http://ronyfreitas.tripod.com/producao/Dissertacao.pdf>. Acesso em: 14 abr 2011. NATIONAL LIBRARY. Geoplano Virtual, Disponível em: < http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_166_g_2_t_3.html?open=activities&from=topic_t_3.html >. Acesso em: 17 abr. 2011. SERRAZINA, Lurdes; MATOS, Jose Manuel. O geoplano na sala de aula, Lisboa, Portugal Associação de Professores de Matemática, 1988.