Gestão Econômica e Financeira

09/01/2015

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Gestão Econômica e Financeira

Revisão Matemática Financeira

Sérgio Luís Tamássia dos Santos

Pós graduado em Gestão de Projetos

Mestrando em Matemática


Conceitos Básicos I

• Valor Presente (P): capital investido

• Juros (J): remuneração do capital

• Valor Futuro (F = P + J): principal acrescido dos juros

• Taxa de juros (i): taxa de remuneração por período de capitalização

• Período de capitalização (n): tempo de remuneração

• Fluxo de Caixa: é uma sucessão de recebimentos e/ou desembolsos ao longo de um período de tempo

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Juros Simples

• É aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, não incidindo sobre os juros já acumulados.• Exemplos de aplicação: cobrança de multa por falta de pagamentos

• Desconto de títulos• Sistema de amortização constante (SAC)

• Tipos de contabilização de Juros• Juros exatos – considera‐se o tempo exato decorrido

• Juros comerciais – considera‐se um ano com 360 dias e um mês com 30 dias

• Juros comerciais exatos – considera um ano com 360 dias, mas os dias decorridos de acordo com o calendário


Juros Simples ‐ Fórmulas

• J = P . i . N

• F = P . (1+i.n)

• J = F.i.n / (1+i.n)

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Juros Compostos

• Exemplo: P = R$ 10.000,00 investidos em 3 meses à taxa de 2% ao mês• No 1º mês: F = 10000 . (1 + 0,02) = 10200

• No 2º mês: F = 10200 . (1 + 0,02) = 10404

• No 3º mês: F = 10404 . (1 + 0,02) = 10612,08


Juros Compostos

• É aquele em que a taxa incide, não somente sobre o capital inicial, mas também sobre os juros já calculados e acumulados até então.

• F = P . (1 + i)n

• No exemplo anterior:• F = 10000 . (1 + 0,02) 3 = 10612,08

• Para deslocar uma quantia para o futuro: multiplicar por 1 + i em cada período

• Para deslocar uma quantia para o passado: dividir por 1 + i em cada período

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Comparando Fluxos de Caixa

• Fluxo de Caixa: é uma sucessão de recebimentos e/ou desembolsos ao longo de um período de tempo

• Para comparar fluxos de caixa é essencial reduzi‐los a uma mesma data, movimentando, se necessário, as quantias ao longo do tempo.


Comparando Fluxos de Caixa

• Pierre tomou um empréstimo de 300 reais, a juros de 15% ao mês. Dois meses depois, pagou 150 reais e, um mês após esse pagamento Pedro liquidou seu débito. Qual é o valor deste último pagamento?

Escolher um época para igualar os pagamentos, 0 por exemplo:

O pagamento foi P = 283,76

.

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Exemplo

Pedro tem duas opções de pagamento na compra de um televisor:

i) três prestações mensais de R$ 160,00 cada;

ii) sete prestações mensais de R$ 70,00 cada.

Em ambos os casos, a primeira prestação ´e paga no ato da compra. Se o dinheiro vale 2% ao mês para Pedro, qual a melhor opção?


Solução

Os esquemas de pagamento:

Calculando os valores na época 2:

a = 160(1 + 0,02)2 + 160(1 + 0,02) + 160 = 489,66

b

Pedro deve preferir o pagamento em sete prestações

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• Uma loja oferece duas opções de pagamento:• À vista com 30% de desconto• Em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira prestação no ato da compra.

• Qual a taxa mensal de juros embutida nas vendas a prazo?

• Igualando os valores na época 0:70 = 50 + 50 / (1 + i)

i = 1,5 = 150%


A Fórmula das Taxas Equivalentes

• Se a taxa de juros relativamente a um determinado período de tempo ´e igual a i, a taxa de juros relativamente a n períodos de tempo é I tal que 1 + I = (1 + i)n.

• Exemplo: A taxa anual de juros equivalente a 12% ao mês é I tal que :

1 + I = (1 + 0,12)12= 3,896

Daí, I≈ 2,896 = 289,6% ao ano

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Taxas equivalentes e taxas proporcionais

• Uma taxa mensal de 2% ao mês não resulta em uma taxa anual de 24% ao ano, e sim de

1,0212− 1 ≈ 1,268 − 1 = 26,8%.

• Há, no entanto, o (mau) hábito de se referir a esta taxa como sendo de ”24% ao ano, capitalizados mensalmente”.

• A taxa de 24% ao ano é a taxa proporcional, enquanto a de 26,8% ao ano é a taxa efetiva.


Exemplo

• Um capital é aplicado a juros de 6% ao ano com capitalização mensal. Qual a taxa anual de juros à qual está investido o capital?

• A taxa de 6% ao ano é a taxa proporcional, que corresponde a uma taxa mensal de i = 6/12 = 0,5% ao mês.

• A taxa efetiva anual é I tal que 1 + I = 1,00512, o que fornece I = 0,0617.

• Logo, a taxa efetiva anual é de 6,17%.

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Séries de pagamentos

• Uma série uniforme de pagamentos é uma sequência de pagamentos iguais e igualmente espaçados ao longo do tempo.

• O valor de uma série uniforme de n pagamentos iguais a P, um tempo antes do primeiro pagamento, é, sendo i a taxa de juros, igual a:

A = P . [ 1 − (1 + i)−n] / i


Exemplo

• Um bem, cujo preço à vista é R$ 120,00, é vendido em 6 prestações mensais iguais, a primeira paga no ato da compra. Se os juros são de 10% ao mês, determine o valor das prestações.

• Igualando os valores na época ‐1:

• P = 25,05

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Exemplo

• Helena tem duas alternativas para obter uma copiadora:• Comprá‐la por 150. Nesse caso, já que a vida econômica da copiadora é de 5 anos, Helena venderá a copiadora após 5 anos. O valor residual da copiadora após 5 anos é de 20. As despesas de manutenção são de responsabilidade de Helena e são de 5 por ano, nos dois primeiros anos, e de 8 por ano, nos anos seguintes.

• Alugá‐la por 5 anos, com o locador se responsabilizando pelas despesas de manutenção.

• Se o dinheiro vale 7% ao ano, qual é o valor mínimo do aluguel?


Solução

• O fluxo de caixa da primeira alternativa:

• O da segunda alternativa:

• Igualando os valores na época 0:

• Daí, P = 39,78

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Perpetuidades

• O valor de uma perpetuidade de termos iguais a P, um tempo antes do primeiro pagamento, é, sendo i a taxa de P juros, igual a P/i

• O valor da série perpétua é:

A = limn→∞

P [ 1 − (1 + i)−n] / i = P / i


Exemplo

• Se a taxa de juros é de 1% ao mês, quanto deve ser economizado mensalmente durante 20 anos para assegurar uma perpetuidade de R$ 1000,00?

• O esquema de pagamentos e recebimentos é:

• O valor economizado na época 240, deve ser igual a 1000/0,01 = 100.000

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• Na data 0, o valor economizado é:

P . [(1 – 1,01‐240) / 0,01 ]

• Levando este valor para a época 240, obtém‐se:

P . [(1 – 1,01‐240) / 0,01 ] . 1,01240 = P (1,01240 – 1)/0,01 = 494,63 . P

• Logo, devemos ter 494,63 . P = 100.000 e o valor mensal a ser economizado deve ser igual a R$ 202,17


Sistemas de amortização• Ao se pagar em parcelas um débito, cada pagamento Pk tem dupla finalidade:

• Uma parte (Jk) quita os juros devidos

• O restante (Ak) amortiza parte da dívida

• Planilha de amortização

• Relações: Pk = Jk + Ak

Jk = i . Dk‐1

Dk = Dk‐1 ‐ Ak

k Pk Ak Jk Dk

0 ‐ ‐ ‐ D0

... ... ... ... ...

k – 1 Pk‐1 Ak‐1 Jk‐1 Dk‐1

k Pk Ak Jk Dk

... ... ... ... ...

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Sistema de Amortização Constante (SAC)

• No sistema de amortização constante (SAC), a parcela de amortização Ak em cada pagamento é constante.

• Em consequência:

Ak = D0/n,

Dk = [ (n – k) / n ] . D0

Jk = i . Dk‐1

Pk = Ak + Jk


Exemplo• Uma dívida de 100 é paga, com juros de 15% ao mês, em 5 meses, pelo SAC. Faça a planilha de amortização.

• Como as amortizações são iguais, cada amortização será de 1/5 da dívida inicial

k Pk Ak Jk Dk

0 ‐ ‐ ‐ 100

1 35 20 15 80

2 32 20 12 60

3 29 20 9 40

4 26 20 6 20

5 23 20 3 ‐

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Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)

• O sistema francês de amortização é caracterizado por pagamentos Pkiguais.

• Em consequência:

Pk = D0 . i / [ 1 – (1 + i )‐n]

Dk = D0 . [ 1 – (1 + i )‐(n+k)

] / [ 1 – (1 + i )‐n]

Jk = i . Dk‐1

Ak = Pk ‐ Jk


Exemplo• Uma dívida de 150 é paga, com juros de 8% ao mês, em 4 meses, pelo sistema francês. Calcule o valor da prestação e faça a planilha de amortização.

• O valor da prestação é:

P = D0 . i / [ 1 – (1 + i )‐n] = 150 . 0,08 / [ 1 – (1 + 0,08 )‐4] = 45,29

• A planilha de amortização é:

k Pk Ak Jk Dk

0 ‐ ‐ ‐ 100

1 45,29 33,29 12 116,71

2 45,29 35,95 9,34 80,76

3 45,29 38,83 6,46 41,93

4 45,29 41,93 3,35 0

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CORREÇÃO MONETÁRIA

• É o reajuste de valores de acordo com determinados índices que traduzem uma variação de preços, de modo a anular ou, pelo menos, minimizar os efeitos da perda do poder aquisitivo.


Taxa Real e Taxa Aparente

Sendo:

r = taxa de juros real

f = taxa de inflação ou correção monetária

ia= taxa de juros nominal aparente

A seguinte fórmula representará a relação entre as taxas:

ia= r + f + ( r.f )

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Inflação Acumulada

Para o cálculo da inflação acumulada de determinado período, utilizamos a seguinte fórmula:

fac=[(1+f1).(1+f2).(1+f3). ... .(1+fn)] – 1

Onde:

fac= inflação acumulada num determinado período

f1, f2, f3, ... , fn = taxas de inflação de cada mês do período em questão.


Exercício

Um investimento rendeu 3% num mês em que a inflação foi de 1%. Qual foi o ganho real da aplicação?

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ia=3%a.m.

f=1%a.m.

r=?

Substituímos diretamente na fórmula:

ia= r + f + ( r.f )

0,03 = r + 0,01 + (r x 0,01)

0,03 = r + 0,01 + r.0,01

Isolando o r, teremos então:

r + 0,01.r = 0,03 – 0,01

1,01.r = 0,02

r = 0,0198

Ou seja, a taxa real r foi de 1,98% a.m.


Exercício

Considerando as seguintes taxas de inflação:

Janeiro = 0,5%

Fevereiro = 0,8%

Março = 0,6%

Abril = 0,3%

Maio = 0,5%

Junho = 0,4%

Qual foi a inflação acumulada no semestre?

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Exercício

Para resolver, utilizaremos a fórmula seguinte

fac=[(1+f1).(1+f2).(1+f3). ... .(1+fn)] – 1

E substituímos os valores

fac=[(1+0,005).(1+0,008).(1+0,006).(1+0,003). .(1+0,005).(1+0,004)] ‐ 1

fac= 1,0314 – 1 = 0,0314

Ou seja, a inflação acumulada no semestre foi de 3,14%


ANÁLISE DE ALTERNATIVAS ECONÔMICAS

• Quando nos deparamos com várias alternativas econômicas, seja para aprovar a compra de um produto, definir a alternativa de projeto mais adequada, ou escolher a melhor opção de investimento, entre outras situações, temos a necessidade de poder compará‐las, com o objetivo de selecionar a mais adequada ao negócio, do ponto de vista financeiro.

• Para essa comparação analítica podemos lançar mão dos chamados métodos de análise de alternativas econômicas.

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ANÁLISE DE ALTERNATIVAS ECONÔMICAS

• Método do Valor Presente

• Método do Valor Futuro

• Método do Valor Anual

• Método do Custo/Benefício

• Método da Taxa de Retorno

• Método do Prazo de Retorno


Método do Valor Presente

• O Método do Valor Presente, também chamado de Método do Valor Atual é, sem dúvida, o mais intuitivo e, por isso, bastante recomendado.

• Consiste em trazer todos os valores envolvidos, sejam pagamentos ou recebimentos, de cada alternativa econômica, para a data atual para, então, comparar e escolher a melhor alternativa.

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Método do Valor Presente

• Na comparação de valores, devemos sempre selecionar a alternativaque apresente o valor mais conveniente e adequado à situação.

• Por exemplo, se estivermos definindo uma compra, deveremosescolher o menor valor presente, que representará, do ponto de vista financeiro, o menor custo.

• Se estivermos definindo um determinado investimento, deveremosselecionar a alternativa com o maior valor, pois representará o maiorganho.


Exercício

• Um cliente está analisando a oferta de um carro zero, cujo preço à vista anunciado é de R$35.000,00. Mas a concessionária está lhe oferecendo a opção de dar uma entrada de R$11.000,00 e pagar o restante parcelado em 36 vezes de R$800,00, sendo a primeira parcela do pagamento daqui a 3 meses. Sabendo que a taxa mínima de atratividade de que o cliente dispõe no mercado é de 1%, qual é a melhor alternativa financeira para o cliente?

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Exercício

Fluxos de Caixa

Alternativa A:

Alternativa B:


Exercício

Alternativa B:

Usando série de pagamentos:

P2 = A .[ 1 – (1+i)‐n] / i

P2 = 800,00 x[ 1 – (1+0,01)‐34] / 0,01

P2 = 22.962,14

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Exercício

Como o valor P2 não está no momento zero precisamos trazê‐lo:

P0=P2 / (1+i)n = 22.962,14/ (1+0,01)2 = 22.509,70

O valor R$22.509,70 representa o valor presente de todas as 34 parcelas de pagamento. Então, para chegarmos no valor presente total da alternativa B, que chamamos de PB , precisamos ainda somar o valor à vista de R$11.000,00 ao valor de R$22.509, 70.

PB= 11.000,00 + 22.509,70 = 33.509,70

Temos, agora, o valor presente de cada alternativa:

PA=35.000,00

PB=33.509,70

Sendo que PB < PA , concluímos que, financeiramente falando, a alternativa B é a melhor. Portanto, nesse caso, o cliente deveria escolher a alternativa com pagamento dos R$11.000,00 à vista, e o restante em 34 parcelas de R$800,00, à partir do terceiro mês.


Método do Valor Futuro

• O Método do Valor Futuro é aquele em que levamos todos os valores envolvidos para uma determinada data futura, comparando, então, o valor de cada alternativa econômica.

• Da mesma forma que no Método do Valor Presente, ao fazermos a comparação de valores, devemos sempre selecionar a alternativa que apresente o valor mais conveniente e adequado a cada situação.

• O método do valor futuro é um método muito similar ao anteriormente visto (do valor presente), a diferença é que levamos todos os valores a uma mesma data futura para comparação, ao invés de trazê‐los ao presente. E lembre‐se de que, ainda que os períodos de cada alternativa não sejam iguais, a comparação só poderá ser feita em datas futuras iguais, o que se pode conseguir com o conceito de equivalência de capitais.

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Exercício

Você tem a opção de comprar uma mesma quantidade de material, de dois fornecedores já homologados, cuja qualidade do produto é equivalente. Um deles oferece a opção de pagar três parcelas de R$2.000,00, em 30, 60 e 90 dias do pedido. O outro oferece a opção de pagar R$6.000,00 em 45 dias do pedido. Considerando que o prazo de entrega do produto é o mesmo para as duas alternativas, e que a taxa mínima de atratividade é de 3% ao mês, qual é a mais interessante em termos financeiros?


Método do Valor Anual

• O Método do Valor Anual, ou Valor Parcelado, é aquele em que transformamos todos os valores de gastos ou recebimentos, em parcelas com uma determinada periodicidade. Assim sendo, a fim de permitir a análise da melhor alternativa econômica, a periodicidade entre todas as alternativas deve ser a mesma.

• Para selecionar a melhor alternativa, buscamos aquela que apresente a parcela com o valor mais conveniente, por exemplo, quando estivermos contratando um serviço, escolheremos a alternativa de pagamento com o menor valor da anuidade (ou parcela), pois representará, do ponto de vista financeiro o menor custo. Quando estivermos definindo uma aplicação financeira, selecionaremos a alternativa com o maior valor da parcela, pois representará, do ponto de vista financeiro, o maior rendimento.

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Exercício

Vamos resolver o exercício proposto anteriormente, no exemplo do método da valor futuro, mas agora, utilizando o método do valor anual.

Você tem a opção de comprar uma mesma quantidade de material, de dois fornecedores já homologados, cuja qualidade do produto é equivalente. Um deles oferece a opção de pagar três parcelas de R$2.000,00, em 30, 60 e 90 dias do pedido. O outro oferece a opção de pagar R$6.000,00 em 45 dias do pedido. Considerando que o prazo de entrega do produto é o mesmo para as duas alternativas, e que a taxa mínima de atratividade é de 1% ao mês, qual é a mais interessante em termos financeiros?


Método do Custo/Benefício

• O Método da Relação Custo/Benefício é aquele em que, em cada alternativa, definimos a razão entre os valores dos custos envolvidos e os valores dos benefícios envolvidos. Em termos financeiros, quanto menor o valor dessa razão, melhor a alternativa, pois isso indicará benefícios maiores que custos.

• Nesse tipo de análise, todos os valores, sejam custos ou benefícios, devem estar em uma mesma data.

• Podemos ter algumas variações para esse método, chamando‐o de Benefício/Custo, e invertendo a fórmula e a análise, pois, nesse caso, dividiremos todos os valores de benefício por todos os valores de custo. Aí se esperará uma razão acima de 1, indicando benefícios maiores que custos.

• Portanto, há que se ter muito cuidado na análise e interpretação dos resultados, para evitar erros na tomada de decisão.

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Exercício

Um projeto de melhoria em uma linha de produção apresentou duas alternativas de investimento.

A primeira prevê a compra de um novo equipamento por R$14.000,00, e que, após um mês de sua entrega, já estará contabilizando ganhos de produtividade de R$2.000,00 por mês, todo mês.

A segunda alternativa prevê a compra de outro equipamento, cujo valor é de R$18.000,00, e que também, após um mês de sua entrega, já contabilizará ganhos de produtividade de R$2.300,00 por mês, todo mês.

Considere que o pagamento se dará contra entrega e que a taxa mínima de atratividade é igual a 2% a.m. Qual a melhor alternativa para esse projeto, analisando o período de 12 meses após a entrega?


Método da Taxa de Retorno

• O Método da Taxa de Retorno é aquele em que calculamos a taxa de juros envolvida em cada alternativa a ser analisada. Essa taxa representará a taxa de retorno do projeto, também chamada, nesse caso, de taxa interna de retorno (TIR), cujo conceito já vimos em capítulo anterior.

• Desse modo poderemos compará‐la com as taxas de outros projetos e, inclusive, com a taxa mínima de atratividade ou taxa de mercado, podendo assim definir a melhor alternativa.

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Exercício

Um empresário tem a possibilidade de aplicar R$15.000,00 numa campanha de vendas para a coleção primavera/verão de sua loja, cujo aumento de faturamento previsto é de R$4.000,00 nos próximos 4 meses. Ele quer saber se, financeiramente, é uma boa alternativa, sabendo que esse empresário tem a possibilidade de aplicar esse dinheiro no banco, a uma taxa de juros de 2% a.m.


Método do Prazo de Retorno

• Poderá haver situações em que desejemos conhecer o prazo do retorno do investimento, pois ele pode ser, por algum motivo, um fator limitante ou decisivo, na análise das alternativas.

• No caso do Método do Prazo de Retorno, todas as alternativas devem chegar ao valor do prazo de retorno do investimento, ou seja, ao momento em que todos os custos foram igualados a todos os benefícios. Em termos financeiros, é desejável o menor prazo de retorno do investimento.

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Exercício

Vamos resolver o exercício proposto anteriormente, no exemplo do método da valor futuro, mas agora, utilizando o método do prazo de retorno.Um projeto de melhoria em uma linha de produção apresentou duas alternativas de investimento. A primeira prevê a compra de um novo equipamento por R$14.000,00, e que, após um mês de sua entrega, já estará contabilizando ganhos de produtividade de R$2.000,00 por mês, todo mês. A segunda alternativa prevê a compra de outro equipamento, cujo valor é de R$18.000,00, e que também, após um mês de sua entrega, já contabilizará ganhos de produtividade de R$2.300,00 por mês, todo mês. Considere que o pagamento se dará contra entrega e que a taxa mínima de atratividade é igual a 2% a.m. Qual a melhor alternativa para esse projeto, analisando o período de 12 meses após a entrega?

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