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Márcio Muniz de Farias, UnB (Brazil)
Dorival Pedroso, UQ (Australia)
MINI-CURSO DE GEOMECÂNICA DE RSU
CONTEÚDO
• Introdução (Um pouco de Filosofia)
• Definições Básicas (Recordar é Viver)
• O problema de Fluxo (Matematizando o Problema)
• Resolvendo o Problema? (Discretizando o Contínuo - MDF)
• O problema de Equilíbrio (Matematizando o Problema)
• Resolvendo o Problema? (Discretizando o Contínuo - MEF)
• Acoplando (e Complicando) os Problemas (Não saturação)
FLUXO (Fenômeno de Transporte)
� É o movimento de algo através de uma região de controle.
CONCEITOS BÁSICOS
Ex: Fluxo de carros numa via, fluxo de pessoas numa escada, fluxo de elétrons por um fio, fluxo de calor, fluxo de minério em um duto, fluxo de água através do solo.
VAZÃO
É a medida da “taxa de fluxo” ou quantidade por unidade de tempo. É um escalar.
CONCEITOS BÁSICOS
quantidadeq
tempo=
; ; unidades massa volume
q q qtempo tempo tempo
= = =
[ ] [ ]3 1 ; L T
volumeq
tempo
−=
Ex.: litros/s ; m³/s
GRANDEZA
Fluxo de água em meios porosos
VELOCIDADE DE FLUXO
Medida da vazão pela área da seção transversal à direção de fluxo. É um vetor, com magnitude igual a:
CONCEITOS BÁSICOS
vazãov
área=
[ ] [ ][ ]
[ ] [ ]3 1
1
2
L T = L T
Lv
−−
= Ex.: m/s
(densidade de fluxo)
(Flux, em inglês)
α q
dA
dx
dy
q é vazão (um escalar!)
.cos ; .dx dA dy dA senα α= =
v�
x
y
vv
v
=
�é um vetor! Seu módulo é:
dA é um área infinitesimal
normal ao fluxo:
Decomposição de :
α
n
qv
dA=
x yv v i v j= +� ��
. ; .cosx n y nv v sen v vα α= =
A vazão total pode ser obtida da
soma (escalar!) de duas parcelas:
. . . .cos . .cos
.
n n
n
v sen dA sen v dA
v dA
α α α α+
=� �
.x y
x y
v dy v dx
q q q= +
. .x y x yq q q v dy v dx= + = + =qx
qy
Isto é uma soma de parcelas escalares enão uma decomposição vetorial!
2 2 2
n x yv v v= +
VELOCIDADE DE FLUXO APARENTE E EFETIVA
A área da seção transversal pode ser plena ou aquela relativa apenas aos vazios, por onde realmente a água percola:
CONCEITOS BÁSICOS
ap
vazãov
área total=
ef
vazãov
área vazios= ap efv nv=
q qAtAv
CONCEITOS BÁSICOS
Carga hidráulica: fornece uma medida de
energia específica (por unidade de peso), tem
dimensão de comprimento (L) e é
representada por uma altura.
Energiah
Peso=
[ ][ ][ ]
[ ]F L
= LF
h = Ex.: m
Carga Geométrica ou Gravitacional
CONCEITOS BÁSICOS
g
Energia potencial gravitacional m.g.yh y [L]
Peso m.g= = =
Carga Piezométrica
p
a
Energia de deformaçao uh [L]
Peso= =
γ
Carga Cinemática
2
p
Energia cinetica m.vh [L]
Peso 2m.g= =
Nível de Referência (NR)
NR
Cota y
Peso
P=m.g
Pressão u
Vel. v
Carga hidráulica total é dada pela soma das cargas geométrica, piezométrica e cinética (desprezível em meios porosos)
CONCEITOS BÁSICOS
t g p c
2
t
a
h h h h cte
u vh y
2g
= + + =
= + +γ
NR
y
Pressão u
Vel. v
hp
htEq. de Bernoulli (conservação de energia)
O fluxo de água ocorre quando há diferença de carga hidráulica total entre dois pontos.
CONCEITOS BÁSICOS
NR zA
hpA
th h(x,y)=Campo escalar de carga hidráulica (energia específica) total:
NA1
NR1
NA2 A
B
∆hAB
x
y
∆x ∆y
∆L
Perda de carga quando a água flui por um meio poroso, parte da energia é dissipada por atrito viscoso entre o fluido e as paredes dos canais formados pelos vazios no solo. A diferença de energia, por unidade de peso, é a perda de carga.
CONCEITOS BÁSICOS
A Bh h - h [L]∆ =
Vetor de gradiente hidráulico é o gradiente da carga hidráulica total.
CONCEITOS BÁSICOS
AB
x
ABy
h h
i x xi - [ ] (Adimensional)
hhi
yy
∂ ∆ ∂ ∆
= = ≅ ∆∂ ∆∂
�
Gradiente médio
ABhi [ ] (Adimensional)
L
∆=
∆
i h= ∇� �
LEI DE DARCY
CONCEITOS BÁSICOS
� ∆t
∆V
Α
∆L
∆h
Vazão
Vq
t
∆=
∆
Velocidade aparente do
Fluxo
Gradiente
qv
A=
hi
L
∆=
∆
LEI DE DARCY
CONCEITOS BÁSICOS
LEI DE DARCY
0,00E+00
2,00E-07
4,00E-07
6,00E-07
8,00E-07
1,00E-06
1,20E-06
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Gradiente, i
Velocidad
e Aparente
1
k
v k.i
hv k.
l
=
∂= −
∂
Lei de Darcy generalizada (3D)
x xx xy xz x
y yx yy yz y
z zx zy zz z
v k k k i
v k k k i
v k k k i
=
Tensor de 2ª ordem de
coefientes de permeabilidade
Coeficientes de
permeabilidades normais
v k i= iɶ ɶ ɶɶ
Coeficientes de
permeabilidades cruzadas
Se (x,y,z) são direções principais de permeabilidade:
0 0
0 0
0 0
x x x
y y y
z z z
v k i
v k i
v k i
=
x x
y y
z z
v i
v k i
v i
=
COEFICIENTE DE PERMEABILIDADEO coeficiente de permeabilidade ou condutividade hidráulica (k) tem dimensão de velocidade [L/T]. Ex.: cm/s.
Mede a facilidade com que a água percola através de um meio poroso.
É determinado por meio de ensaios de laboratório, ensaios “in-situ” (preferível) ou estimado através de correlações empíricas.
CONCEITOS BÁSICOS
COEFICIENTE DE PERMEABILIDADEÉ a grandeza geotécnica com maior grau de variação.
CONCEITOS BÁSICOS
Grau de Permeabilidade Tipos de Solos
k a 20o C (cm/s)
Permeáveis
Alta Pedregulhos > 10-1
Média Areias 10-1 a 10-3
BaixaSiltes e Argilas
10-3 a 10-5
Poucopermeáveis
Muito baixa Argilas 10-5 a 10-7
Baixíssima Argilas < 10-7
Propriedades Geomecânicas dos Aterros Sanitários
Geotecnia Ambiental – Prof. Gregório Luís S. Araújo
Considere o elemento de solo de volume e um intervalo de tempo
EQUAÇÃO MATEMÁTICA DO FLUXO
A vazão total que sai é:
entra x y zq q q q= + +xq
x
y
z
x xq dq+zq
z zq dq+
yq y yq dq+
sai x x
y y
z z
q q dq
q dq
q dq
= + +
+ +
+
fica entra sai x y zdq q q dq dq dq= − = + +
A vazão total que entra é:
O balaço entre o que sai e o que sai é:
Variação total
yx zqq q
dq dx dy dzx y x
∂∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂
yx zvv v
dq dxdydz dxdydz dxdydzx y x
∂∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂
yx z
total
vv vdq
dV x y x
∂∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂
( )w fica yx z
total
dV vv v
dV dt x y x
∂∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂
yw x zvd v v
dt x y x
θ ∂∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂
w div vθ =
Eq. Geral de Continuidade ou Conservação da Massa de Água
w Snθ =
Hipótese 2: Vale a lei de Darcy e (x,y,z) são direçõesprincipais:
0wθ =ɺ 0yx zvv v
x y x
∂∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂
Hipótese 1: meio saturado (o que entra sai!)
( ) ( ) ( )0
y yx x z zk ik i k i
x y z
∂∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂Hipótese 3: O meio é homogêneo:
0x y z
h h hk k k
x x y y z z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Hipótese 4: O meio é isotópico:
2 2 2
2 2 20
h h h
x y z
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂
2∇ = ∇ ∇� �i
2 2 22
2 2 2x y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
2
Eq. de Continuidade (Restrita)
A equação de continuidade restrita é a Equação de Laplace e admite como soluções duas famílias de curvas normais entre si denominadas:
EQUAÇÃO MATEMÁTICA DO FLUXO
� Linhas de fluxo: (ψψψψ)representam as trajetórias das partículas de água durante o fluxo;
� Linhas equipotenciais: (φφφφ)representam o lugar geométrico de pontos com a mesma carga hidráulica total
iϕ
1iψ +
1i iq ψ ψ+∆ = −
iψ
1iϕ +
1i ih ϕ ϕ +∆ = −A
B
i�
v�
C
Métodos para Obtenção da Rede de Fluxo
EQUAÇÃO MATEMÁTICA DO FLUXO
�Resolução Analítica da Equação Matemática de Fluxo;
�Utilização de Modelos Físicos;
�Analogia Elétrica;
�Traçado Manual (para problemas mais simples).
�Métodos Numéricos (Diferenças Finitas, Elementos Finitos,
Elementos de Contorno, etc...)
Solução Analítica
EQUAÇÃO MATEMÁTICA DO FLUXO
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
Linhas de Fluxo:
1cosh senh
Linhas Equipotenciais:
1cos sen
z x
l l
z x
l l
ψ ψ
φ φ
+ =
+ =
Problema de Forchheimer – Percolação sob um muro
De estacas-pranchas num leito permeável infinito
(Ver livro do Milton Vargas, pag. 133)
Condições de contorno:
Em AB: h=h1Em DE: h=h2
Em BCD: vx=0 ⇒∂h/∂x=0Em z=-∞: vx=vx=0
2 2
2 20
h h
z x
∂ ∂+ =
∂ ∂
Analogia Elétrica
EQUAÇÃO MATEMÁTICA DO FLUXO
PERCOLAÇÃO DE ÁGUA
FLUXO ELÉTRICO
Carga hidráulica (h)
Voltagem (V)
Vazão (q) Corrente (i)
Velocidade (v) Densidade de corrente (j)
Permeabilidade (k)
Condutividade (c)
Lei de Darcy Lei de Ohm
Fronteira impermeável
Fronteira isolante
hv k
x
∂= −
∂ɶɶ
hj c
x
∂= −
∂ɶɶ
2 2
2 20
V V
z x
∂ ∂+ =
∂ ∂
2 2
2 20
h h
z x
∂ ∂+ =
∂ ∂
CÁLCULO DO VALOR DE ππππ
Problema de Archimedes (circa 250 B.C.). Qual o
perímetro de um círculo de raio r? Equivale a achar o
valor de π, pois L=2πr.Resposta de
Arquimedes
(válida por muitos
séculos),
inscrevendo e
circunscrevendo
um polígono de 96
lados:
10 103 371 70
π< <
Conceitos:• discretização;• elementos;• nós;• montagem.
180.
o
n senn
π
≃
Princípio “Universal”
(p.ex., continuidade)
Matematização, E.D.P.
(Há mais incógnitas que eqs.!
Hipóteses Simplificadoras:
• Domínio Temporal
• Modelos Constitutivos
• Problema simplificado (determ.)
Condições de Contorno
(problema específico, ex cortina)
Método de discretização
(E.D.P.⇒S.E.A.)
( ) 0entra sai ficaq q q− + =
0dM
dt=
{ } [ ]{ }v k h= ∇��
( )w div vθ =�ɺ
0wθ =ɺ
2 0h∇ =
2 2
2 2 2 21
cos sen
z x
l h l h+ =
Solução Analítica (integração dupla) ( ), ,h h x y z=
C.C. Simples?
[ ]{ } { }A h b=
Solução Discreta
{ } { }1 1 nh h h h= ⋯
Solução da Eq. de Laplace pelo MDF
4φ
a a
φ
φ2
3
φ0
φ1
a
a
A B
0
0 3 1 0; A Bx a x a
φ φ φ φ∂φ ∂φ∂ ∂
− − ≅ ≅
2
2
1 0 0 3 1 0 3
2
0
( ) / ( ) / 2a a
x a a
φ φ φ φ φ φ φ∂ φ∂
− − − − +≅ ≅
1 2 3 4 04 0φ φ φ φ φ+ + + − ≅
2 2
2 2 0h
x y
∂ φ ∂ φφ
∂ ∂= ∴ + =Eq. Laplace
2
2 0 4
2 2
0
2
y a
φ φ φ∂ φ∂
− +≅
1 2 3 40
4
φ φ φ φφ
+ + +≅
Divergente de φ=0!
2( ) 0 0div v h h= ⇒∇ ∇ =∇ =� ��i
2
2x x x
∂ φ ∂ ∂φ∂ ∂ ∂
=
Analogamente para direção y:
1ª derivada nos pontos A e B:
2ª derivada no ponto O:
Substituindo na
equação Laplace ou
+1
+1 +1-4
+1
Série de Taylor2 3 ( )1 1 1
( ) ( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( )2 3! !
n n
o o o o o o nf x h f x hf x h f x h f x h f x Rn
′ ′′ ′′′+ = + + + + + +⋯
x
f(x)
xo
f(xo)
xo+h
f(xo+h)
h
1
conhecido
a determinar
Erro devido à
variação de f´´´(x)
0f ′ Ohf ′
2
2O
hf ′′
3
3!o
hf ′′′
of
( )( ) ( )( ) o o
o
f x h f xf x o h
h
+ −′ = +
( )2( ) ( ) ( )o o of x h f x hf x o h′− = − +
( )2( ) ( ) ( )o o of x h f x hf x o h′+ = + +
( )( ) ( )( ) o o
o
f x f x hf x o h
h
− −′ = +
1ª derivada em atraso
1ª derivada em avanço
Série de Taylor (1ª derivada centrada)2 3 ( )1 1 1
( ) ( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( )2 3! !
n n
o o o o o o nf x h f x hf x h f x h f x h f x Rn
′ ′′ ′′′+ = + + + + + +⋯
2 3 ( )1 1 1( ) ( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( )
2 3! !
n n
o o o o o o nf x h f x hf x h f x h f x h f x Rn
′ ′′ ′′′− = − + − + ± +⋯
-
3( ) ( ) 2 ( ) ( )o o of x h f x h hf x o h′+ − − = +
2( ) ( )( ) ( )
2
o oo
f x h f x hf x o h
h
+ − −′ = +
1 1
2
i ii
f ff
h
+ −−′=
Série de Taylor2 3 ( )1 1 1
( ) ( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( )2 3! !
n n
o o o o o o nf x h f x hf x h f x h f x h f x Rn
′ ′′ ′′′+ = + + + + + +⋯
2 3 ( )1 1 1( ) ( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( )
2 3! !
n n
o o o o o o nf x h f x hf x h f x h f x h f x Rn
′ ′′ ′′′− = − + − + ± +⋯
+
2 4( ) ( ) 2 ( ) . ( ) ( )o o o of x h f x h f x h f x o h′′+ + − = + +
2
2
( ) 2 ( ) ( )( ) ( )o o o
o
f x h f x f x hf x o h
h
+ − + −′′ = +
2
( ) 2 ( ) ( )( ) o o o
o
f x h f x f x hf x
h
+ − + −′′ ≅
21. ( )
12oh f x′′′′
1 1
2
2 )i i ii
f f ff
h
− +− +′′=
Entregando o ouro
Tipo Ordem Den. i-4 i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+3 i+4
cen
tra
da
fi' 1/2h -1 +1
fi’’ 1/h2 +1 -2 +1
fi’’’ 1/2h3
-1 +2 -2 +1
fi’’’’ 1/h4
+1 -4 +6 -4 +1
av
an
çad
a fi' 1/h -1 +1
fi’’ 1/h2 +1 -2 +1
fi’’’ 1/h3
-1 +3 -3 +1
fi’’’’ 1/h4
+1 -4 +6 -4 +1
atr
asa
da
fi' 1/h -1 +1
fi’’ 1/h2 +1 -2 +1
fi’’’ 1/h3
-1 +3 -3 +1
fi’’’’ 1/h4
+1 -4 +6 -4 +1
Moléculas do MDFContorno
impermeável
+2
+1 +1-4
a a
a
Impermeável
7φ
6φ
5φ8φ
12φφ
13
φ14
φ12
φ9
φ11
a a
a
a
+1/2+1/2
+1
+1+4 +1
φ
φ
φ
φ
a
a
17
15
φ16
9
16
+2 -4
+2
1 5 9 13 17 21 25 29
2 6 10 14 18 22 26 30
3 7 11 15 19 23 27 31
4 8 12 16 20 24 28 32
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h1 H1
2 1 -4 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h2 0
3 0 1 -4 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h3 0
4 0 0 2 -4 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h4 0
5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h5 H1
6 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h6 0
7 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h7 0
8 0 0 0 1 0 0 2 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h8 0
9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h9 H1
10 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h10 0
11 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h11 0
12 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h12 0
13 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h13 0
14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h14 0
15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h15 0
16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h16 0
17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h17 0
18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h18 0
19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h19 0
20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 h20 0
21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h21 H2
22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 h22 0
23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 h23 0
24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 h24 0
25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 h25 H2
26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 h26 0
27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 h27 0
28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 -4 0 0 0 1 h28 0
29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 h29 H2
30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 -4 1 0 h30 0
31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -4 0 h31 0
32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 -4 h32 0
E o sistema?
Princípio da Tensões Efetivas Terzaghi
Analogia sistema pistão-mola-água:
extF∆
Sistema em
equilíbrio inicial
Fluxo através do
orifício.
extF∆
0>∆ sFA
FPw =∆
A
FPw <∆0=∆ sF
extF∆
0=∆ wP exts FF =∆
F
sF∆
APw.
extF∆
δ
δKFs =∆
´ wuσ σ= +
Geotecnia
Equação do problema
CONSERVAÇÃO DE MASSA
wM ww dMM +wdM
wV wdV ww dVV +CONSERVAÇÃO DE VOLUME
Água incompressível
qdt
dVw dqq +CONTINUIDADE
Intervalo de tempo
zv( )dt
Sndz zv dv+
EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Elemento unitário
( )wzd SndVdv
dz dt dt= =
Geotecnia
Equação do problema
Volume de sólidos é constante cteVs =
( ) 1
1 o
d Sn de
dt e dt=
+
Coeficiente de compressibilidade constante 'v
dea
dσ= −
Princípio das tensões efetivaswdud −=´σ
Lei de Darcy wz
w
udv ki k z
dz γ
= = +
2
2
wz
w
d udv k
dz dzγ=
Solo saturado 1.0S =
( )1
v w
o
d Sn a du
dt e dt=
+
2
2 1
w v w
w o
d u a duk
dz e dtγ=
+
Geotecnia
Equação do problema
Substituindo tudo
t
u
z
ucv ∂
∂=
∂∂
2
2
wv
vm
kc
γ=
i
vv
e
am
+=1
Coeficiente de adensamento
Coeficiente devariação volumétrica
Como resolver esta equação?
• Solução analítica (para condições simples)
• Métodos numéricos (para condições mais
complicadas)
• Quais os valores de cv para RSU?
Propriedades Geomecânicas dos Aterros Sanitários
Geotecnia Ambiental – Prof. Gregório Luís S. Araújo
3.4. COMPRESSIBILIDADE
� Recalques mais elevados do que maciços de solos
� Estimativa de recalques é importante para determinação da
vida útil para o reaproveitamento da área, sistemas de drenagem
superficial, monitoramento e sistema de cobertura final.
Geotecnia
Equação do problema
Quem é o HD?
Areia
Argila
σ∆
Rocha
Argila
σ∆
H
2
HHD = HHD =
Para as seguintes
condições:D
Condição inicial ( z ; t=0): ( , 0)
Condições de contorno (z=0, z=H ; t):
( 0, ) 0
0
Dz H
u z t
u z t
u
z
σ
=
∀ = = ∆ ∀
= = ∂ =
∂
Geotecnia
Equação do problema
( )( ) ( )
+−
++
∆= ∑4
12exp
2
12
12
4 22TN
H
zNsen
Nu
D
πππ
σ
2
D
v
H
tcT =
Fator Tempo
Solução analítica
2
2v
u uc
z t
∂ ∂∂ ∂
=
1, , 1, , 1 ,
2
2i j i j i j i j i j
v
u u u u uc
z t
+ − +− + −⋅ =
∆ ∆
, 1 1, , 1,(1 2 )i j i j i j i ju u u uα α α+ + −= ⋅ + − + ⋅
2( )
vc t
zα
⋅∆=
∆
Critério de convergência (Wu ,1966)
0 0.5α< ≤
Diferenças centras em zi e avançadas em tj:
Algoritmo de avanço explícito no tempo:
(1−2α)
α
α
Eq. do Adensamento
1D de Terzaghi
Molécula