GOVERNO DO PARANÁ SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

ADRIANA CHINOTTI AGUIAR

Produção Didático-Pedagógica

FUNÇÕES: Uma abordagem, contextualizada em relação ao tema meio ambiente, por meio da

Resolução de Problemas

IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA – UEL

ORIENTADORA: Prof.ª Dr.ª MÁRCIA CRISTINA DE COSTA

TRINDADE CYRINO

ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA

LONDRINA - 2011

ADRIANA CHINOTTI AGUIAR

Produção Didático-Pedagógica

FUNÇÕES: Uma abordagem, contextualizada em relação ao tema meio ambiente, por meio da Resolução de Problemas

Produção Didático-Pedagógica apresentada ao Programa de Desenvolvimento Educacional. Orientadora: Prof.ª Dr.ª MÁRCIA CRISTINA DE COSTA TRINDADE CYRINO

UEL - LONDRINA - 2011

1 INTRODUÇÃO

De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica de

Matemática do Estado do Paraná, os “conteúdos propostos devem ser

abordados por meio de tendências metodológicas da Educação Matemática

que fundamentam a prática docente” (PARANÁ, 2008, p. 63). Dentre elas,

pode-se destacar a Resolução de Problemas.

Diante disso, estudamos a Resolução de Problemas enquanto estratégia

metodológica para o ensino e a aprendizagem da Matemática e produzimos um

caderno pedagógico composto por unidades didáticas elaboradas

individualmente por nove professores PDE, correlacionadas com esse tema.

Essa produção didático-pedagógica, além de se constituir para os

professores PDE em uma estratégia para a implementação do Projeto de

Intervenção Pedagógica na Escola, apresenta possibilidades de abordagem de

diferentes conteúdos matemáticos por meio da Resolução de Problemas, e tem

também como objetivo oportunizar a outros professores que venham a ter

acesso a essa produção, o desenvolvimento de um trabalho com essa

estratégia metodológica mediante a implementação desse material.

Utilizar a Resolução de Problemas como uma estratégia metodológica

para o ensino e a aprendizagem de Matemática, trata-se, segundo Allevato e

Onuchic (2009, p.7), “de um trabalho onde um problema é ponto de partida e

orientação para a aprendizagem, e a construção do conhecimento far-se-á

através de sua resolução.”

Ainda de acordo com essas autoras, não há “formas rígidas para colocar

em prática essa metodologia” (ibidem). Apresentamos a seguir uma proposta,

sugerida pelas autoras, de organização das tarefas em etapas a serem

desenvolvidas pelo professor e pelos alunos.

1) Preparação do problema - Selecionar um problema visando à construção de um novo conceito, princípio ou procedimento. Esse problema será chamado problema gerador. É bom ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não tenha ainda sido trabalhado em sala de aula. 2) Leitura individual - Entregar uma cópia do problema para cada aluno e solicitar que seja feita sua leitura. 3) Leitura em conjunto - Formar grupos e solicitar nova leitura do problema, agora nos grupos.

Se houver dificuldade na leitura do texto, o próprio professor pode auxiliar os alunos, lendo-lhes o problema.

Se houver, no texto do problema, palavras desconhecidas para os alunos, surge um problema secundário. Busca-se uma forma de poder esclarecer as dúvidas e, se necessário, pode-se, com os alunos, consultar um dicionário.

4) Resolução do problema - De posse do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, num trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo. Considerando os alunos como co-construtores da “matemática nova” que se quer abordar, o problema gerador é aquele que, ao longo de sua resolução, conduzirá os alunos para a construção do conteúdo planejado pelo professor para aquela aula. 5) Observar e incentivar – Nessa etapa o professor não tem mais o papel de transmissor do conhecimento. Enquanto os alunos, em grupo, buscam resolver o problema, o professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o trabalho colaborativo. Ainda, o professor como mediador leva os alunos a pensar, dando-lhes tempo e incentivando a troca de idéias entre eles.

O professor incentiva os alunos a utilizarem seus conhecimentos prévios e técnicas operatórias já conhecidas necessárias à resolução do problema proposto. Estimula-os a escolher diferentes caminhos (métodos) a partir dos próprios recursos de que dispõem. Entretanto, é necessário que o professor atenda os alunos em suas dificuldades, colocando-se como interventor e questionador. Acompanha suas explorações e ajuda-os, quando necessário, a resolver problemas secundários que podem surgir no decurso da resolução: notação; passagem da linguagem vernácula para a linguagem matemática; conceitos relacionados e técnicas operatórias; a fim de possibilitar a continuação do trabalho.

6) Registro das resoluções na lousa – Representantes dos grupos são convidados a registrar, na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, erradas ou feitas por diferentes processos devem ser apresentadas para que todos os alunos as analisem e discutam. 7) Plenária – Para esta etapa são convidados todos os alunos para discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, para defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. O professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Este é um momento bastante rico para a aprendizagem. 8) Busca do consenso – Após serem sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto. 9) Formalização do conteúdo – Neste momento, denominado “formalização”, o professor registra na lousa uma apresentação

“formal” – organizada e estruturada em linguagem matemática – padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da resolução do problema, destacando as diferentes técnicas operatórias e as demonstrações das propriedades qualificadas sobre o assunto. (ALLEVATO; ONUCHIC, 2009, p. 7-8, grifo nosso).

A intenção é que a implementação desta produção didático-pedagógica,

seja realizada de acordo com as etapas apresentadas anteriormente, e, por

isso, sugerimos para cada problema presente nessa produção,

encaminhamentos que podem ser utilizados pelos professores em algumas

dessas etapas, bem como possíveis formalizações para os conteúdos

matemáticos abordados.

2 APRESENTAÇÃO

Nesta Unidade Didática o objetivo principal é proporcionar por meio da

Resolução de Problemas, o estudo de alguns conceitos pertinentes ao

Conteúdo Estruturante Funções, utilizando um problema contextualizado em

relação ao tema meio ambiente. Este material foi elaborado para efetivar a

proposta do projeto de intervenção pedagógica na escola, produzido na

primeira etapa do Programa de Desenvolvimento Educacional, PDE, com o

tema Métodos e Metodologias da Matemática. No projeto ficou estabelecido

que sua implementação fosse em uma turma da 1ª série do Ensino Médio

Integrado do Curso Técnico em Meio Ambiente, série em que se trabalha o

Conteúdo Estruturante Funções.

Optamos pela proposta de trabalhar com a Resolução de Problemas e

utilizar um problema com contexto relacionado à Área do Curso Técnico dos

estudantes, motivados por questionamentos, como: Por que alguns alunos não

aprendem Matemática? Por que os métodos utilizados por alguns professores

não têm conseguido atingir a maioria dos educandos? Se os alunos conhecem

técnicas e estratégias de diversos conteúdos de matemática estudados, por

que não conseguem aplicá-las para resolver problemas que envolvem

matemática, dentro ou fora da escola? Acreditamos que a proposta com a qual

trabalharemos pode favorecer para a superação dessas dificuldades.

Nossa ideia é iniciar o ensino da matemática por um problema, que

possibilite atrair os estudantes para o estudo do conteúdo de função polinomial

do 1º grau por trazer em si, situação do mundo do trabalho para o qual eles se

preparam ou por tratar de situação de uma realidade conhecida dos mesmos,

valorizando, dessa forma, os conhecimentos que eles já possuem.

Objetivamos desse modo, criar um ambiente que possibilite aos alunos

desenvolver a autoestima, de modo que possam perceber que são capazes de

aprender Matemática; também queremos propiciar um trabalho cooperativo

para que possam discutir ideias, estratégias de resolução e análise dos

resultados, respeitando a opinião dos colegas; e, ainda, construir alguns

conceitos matemáticos relacionados às Funções, no contexto do tema meio

ambiente.

3 PROCEDIMENTOS

Trabalhando a metodologia da Resolução de Problemas na perspectiva

das autoras Allevato e Onuchic (2009), apresentamos a seguir o problema a

ser trabalhado com os alunos da 1ª série do Ensino Médio Integrado do Curso

Técnico em Meio Ambiente, período matutino, durante 7 horas aula. Na

descrição do desenvolvimento do problema contemplamos: a resolução

esperada; os objetivos a ser atingidos; uma sugestão de encaminhamento, de

formalização do conteúdo abordado; e da proposta de avaliação para a tarefa.

PROBLEMA

O Quarto Relatório de Avaliação do Painel Intergovernamental de

Mudanças Climáticas (IPCC), da ONU, que veio a público no primeiro

semestre, é contundente ao afirmar, com 90% de confiança, que as atividades

humanas são a causa principal do aquecimento global observado nos últimos

50 anos e aponta o acúmulo de gases de efeito estufa, notadamente o dióxido

de carbono, o metano e o óxido nitroso, [...] como os principais responsáveis. É

certo que o rápido aumento da concentração destes gases na atmosfera se

deve à ação humana. [...]

Associada ao aquecimento já registrado, observa-se a intensificação de

alguns tipos de fenômenos meteorológicos extremos, como ondas de calor,

secas, chuvas intensas e ciclones tropicais em várias partes do globo. Em

resumo, praticamente estão descartadas causas naturais para o aquecimento

das últimas décadas, o qual se deve, em sua quase totalidade, à mudança da

composição da atmosfera por ações humanas.

O relatório projeta que o planeta continuará a aquecer numa taxa de

0,2 ºC por década nas próximas duas a três décadas, taxa esta que é, até certo

ponto, independente do cenário de emissões de gases de efeito estufa neste

mesmo período. Até o final do século XXI a temperatura média global pode

subir de 2 °C a mais de 4 °C; o nível médio do mar, entre 28 e 59 cm, com o

risco de se elevar mais de 1 m, se a tendência de degelo das grandes massas

de gelo da Groenlândia e da Antártica Ocidental se acelerar, como muitos

estudos recentes já apontam.[...]

Estima-se subjetivamente que poderemos evitar as conseqüências mais

perigosas das mudanças climáticas se o aumento das temperaturas globais

não ultrapassar 2 °C em relação às temperaturas da época pré-industrial.

Fonte: NOBRE, Carlos A. Mudanças climáticas globais e o Brasil: por que devemos

nos preocupar. Revista Plenarium, v.5, n.5, p.12 - 20, out., 2008.

O quadro a seguir foi elaborado, considerando que atualmente a

temperatura média do planeta Terra é de aproximadamente15°C e o aumento

de 0,2°C na temperatura média do planeta Terra seja mantido nas próximas

décadas, iniciando a contagem na década atual, que será considerada como a

década zero.

Quantidade de décadas

decorridas (d)

Temperatura média do planeta Terra em °C (T)

0 15

1 15,2

2 15,4

3 15,6

Quadro 1: Valores estimados para a temperatura média do planeta Terra

Para responder às questões a seguir, considere também que esse aumento

de 0,2°C na temperatura média do planeta Terra a cada década continue ao

longo das décadas seguintes, não apenas nas próximas duas ou três décadas.

a) No quadro apresentado, os valores referentes à quantidade de décadas

decorridas e à temperatura média do planeta Terra, mantiveram-se

constantes? O que aconteceria com a temperatura média do planeta

Terra caso a perspectiva de aumento mínimo ao invés de 0,2°C em cada

uma das próximas décadas fosse nula?Justifique as respostas.

b) Existe uma relação entre a temperatura média do planeta e a quantidade

de décadas decorridas. Descreva com palavras essa relação. A partir

disso, escreva uma expressão matemática para a temperatura média (T)

do planeta Terra, após uma quantidade de décadas decorridas (d)

qualquer.

c) Utilizando a relação que você apresentou no item b, determine: qual a

temperatura do planeta depois de decorridas 30 décadas? E numa

década, d, qualquer? É possível em alguma das próximas décadas a

temperatura ser menor que 15ºC? Justifique.

d) Na expressão matemática obtida no item b temos letras e números,

quais?Estima-se que a temperatura média do planeta Terra na época

pré-industrial era, aproximadamente, 0,8ºC menor que a temperatura

atual. De acordo com a expressão matemática obtida, após que

quantidade de décadas decorridas, seria ultrapassado o limite de 2°C

em relação à temperatura média do planeta Terra na época pré-

industrial? O que poderíamos supor em relação à projeção mencionada

no texto do enunciado para o valor da temperatura global até o final do

século XXI, a partir da expressão obtida?

e) Além de representar esses dados na forma de um quadro, de um

diagrama, ou utilizando a escrita por extenso, você poderia representá-

los de outra forma? Qual? Represente-os, justificando a disposição dada

aos valores das quantidades de décadas decorridas e da temperatura

média do planeta.

f) E se, ao contrário, de todas as projeções científicas, a temperatura

média do planeta Terra começasse cair 0,2°C em cada uma das

décadas seguintes à década atual, como ficaria a expressão matemática

que fornece a temperatura média do planeta Terra (T), após uma

quantidade de décadas decorridas (d) qualquer? E a representação feita

no item e? Apresente semelhanças e diferenças entre as expressões

obtidas e as representações feitas.

g) O que aconteceria com a água, na superfície do planeta, caso

continuasse a redução de temperatura apresentada no item f depois de

decorridas 75 décadas?

RESOLUÇÃO

a) Não, os valores das quantidades de décadas decorridas aumentaram

e os valores da temperatura média da Terra também apresentaram

acréscimo. A quantidade de décadas variou de 1 em 1 unidade,

enquanto a temperatura variou de 0,2 em 0,2 °C.

A temperatura seria constante, ou seja, sempre 15ºC se não

houvesse o acréscimo de 0,2ºC a cada década, se esse acréscimo

fosse zero.

b) A temperatura média do planeta Terra depende da quantidade de

décadas decorridas. A relação é: temperatura média do planeta Terra

é igual a 15 mais o número de décadas decorridas multiplicado por

0,2.

Expressão matemática: T = 15 + 0,2.d

c) Decorridas 30 décadas, a temperatura seria: 15 + 0,2.30, ou seja,

15+ 6= 21, 21ºC. Numa década d, qualquer, a temperatura seria de:

15 + 0,2.d. Não haveria como ser um resultado menor que 15 após

alguma das décadas seguintes à década atual, onde d=0, pois o

valor da temperatura atual sempre será somado com um número

positivo, visto que o número 15 será acrescido de 0,2.d onde 0,2 e d

correspondem a valores maiores que zero. Não faz sentido um valor

de década negativo, logo o produto entre eles (0,2 e d) será um valor

positivo.

d) Na expressão matemática T = 15 + 0,2d, temos as letras T e d, e os

números 15 e 0,2.

Para ultrapassar o limite de 2°C de aumento em relação à

temperatura média do planeta na época pré-industrial, devemos ter:

T > 16,2

T > 16,2

15 + 0,2.d > 16,2

0,2 d > 16,2 – 15

0,2 d > 1,2

d >

d > 6

Seria ultrapassado o limite a partir da 6ª década que é o período que

inicia em 1° de janeiro de 2070 e encerra em 31 de dezembro de

2079.

Poderíamos supor que a projeção de que até o final do século XXI

(31 de dezembro de 2100) a temperatura média global pode subir de

2 °C a mais de 4 °C, se confirma.

e) Sim, através de um gráfico cartesiano.

Figura 1: Gráfico de uma Função polinomial do 1º grau crescente

Fonte: Adriana Chinotti Aguiar

Os valores das quantidades de décadas decorridas foram colocados no

eixo horizontal, pois a quantidade de décadas é a variável independente

e os valores de temperatura média do planeta Terra foram colocados no

eixo vertical, pois representam os valores da variável dependente.

f) A expressão matemática ficaria T= 15 – 0,2.d

Figura 2: Gráfico de uma Função polinomial do 1º grau decrescente

Fonte: Adriana Chinotti Aguiar

Semelhanças e diferenças entre as expressões T= 15 + 0,2.d e

T= 15 – 0,2.d: mesmas letras, mesmos valores em módulo. A

diferença é o valor que é multiplicado pela quantidade de décadas

decorridas (d), que na primeira expressão é positivo e na segunda

expressão é negativo.

Semelhanças e diferenças entre as representações gráficas: mesma

disposição das grandezas nos eixos, vertical: temperatura média do

planeta Terra (ºC), horizontal: quantidade de décadas decorridas;

mesma escala nos respectivos eixos, a diferença está na inclinação

da semireta. No gráfico do item e os valores para a temperatura

estão aumentando quando se aumenta o valor das quantidades de

décadas decorridas e no gráfico atual os valores para a temperatura

estão diminuindo quando se aumenta o valor das quantidades de

décadas decorridas.

g) T= 15 – 0,2.d

T= 15 – 0,2. 75

T = 15 – 15

T = 0

A temperatura média no planeta Terra, decorridas 75 décadas seria

de 0°C, ocasionando o congelamento da água na superfície do

planeta.

OBJETIVOS

Definir grandeza e identificar a relação entre as grandezas, no item a

Explorar a noção intuitiva de função, no item b.

Definir função como uma relação entre dois conjuntos, definir domínio,

contradomínio e imagem de uma função no item c.

Definir variável, variável dependente e variável independente, definir

função polinomial, definir função polinomial do 1º grau, definir função

afim, definir inequação do 1º grau, no item d.

Definir gráfico cartesiano, identificar o gráfico da função afim, identificar

uma função afim crescente, no item e.

Definir coeficiente angular e coeficiente linear, identificar o gráfico de

uma função afim decrescente, no item f.

Definir zero ou raiz de uma função, no item g.

ENCAMINHAMENTO E FORMALIZAÇÃO Sugerimos que o problema seja resolvido seguindo os itens na ordem

em que são apresentados, pois estes estão dispostos em uma sequência de

raciocínio, desse modo, se os alunos resolverem na sequência, o

desenvolvimento poderá ser mais adequado. Sugerimos também, que a

entrega dos itens aos alunos seja feita aos poucos e que a discussão das

resoluções bem como a formalização, quando houver, sejam feitas após os

alunos resolverem cada item. Havendo dúvida quanto à palavra década, pode-

se também esclarecer que uma década corresponde a 10 anos. A década atual

mencionada, por exemplo, iniciou-se em 01 de janeiro do ano de 2010 e se

encerrará em 31 de dezembro do ano de 2019.

No item a: podemos esclarecer aos alunos que o texto do enunciado forneceu

os dados numéricos para que pudéssemos explorá-los. Estes dados são

resultados de medições realizadas, as quais favorecem o estudo do fenômeno.

No quadro apresentado temos quantitativamente representadas a quantidade

de décadas decorridas e a temperatura média do planeta. Podemos chamar a

atenção dos alunos para o quadro dizendo que nele podemos distinguir

qualitativamente duas grandezas: tempo e temperatura. Segundo o Inmetro1,

grandeza (mensurável) é atributo de um fenômeno, corpo ou substância

que pode ser qualitativamente distinguido e quantitativamente

1 Para mais informações: http//www.inmetrogo.gov.br/?pagina=18&id=33&link=vocab_int

determinado. Tomando cuidado para que não confundam a grandeza e sua

respectiva unidade de medida, esclareceremos aos alunos que no quadro a

grandeza tempo está medida em décadas e a grandeza temperatura está

medida em graus Celsius. Continuando a formalização pretende-se a partir das

discussões identificar que entre as grandezas envolvidas há uma

correspondência (ou relação) que associa a cada quantidade de décadas

decorridas um único valor de temperatura média do planeta Terra. E,

ainda, para cada unidade de década acrescida há um aumento constante de

0,2°C na temperatura para cada década. Caso os alunos não cheguem a essa

conclusão, pode-se pedir que eles calculem as variações ocorridas de um

número para outro na mesma coluna do quadro. Incentive-os a escrever por

extenso, o que pensam, principalmente quanto à questão de como o valor da

temperatura poderia ser constante, pois isso poderá ajudar na formalização do

conceito de função polinomial do 1º grau no item d.

No item b : se os alunos estiverem com dificuldades de escrever utilizando a

linguagem matemática para responder à questão desse item, sugerir que eles

façam cálculos continuando o quadro, e tentem escrever por extenso, como

desenvolveram o raciocínio durante a realização do cálculo. Pretende-se

formalizar a noção intuitiva de função. É viável nesse momento explorar a

relação matemática entre as duas grandezas, ideia que será importante para

compreender o conceito de função. No caso do problema, a temperatura média

do planeta Terra depende da quantidade de décadas decorridas

(independente). Podem-se apresentar durante a resolução desse item outros

exemplos de grandezas que se relacionam. Por exemplo: pedir que os alunos

pensem na fatura de água de suas casas, onde o valor cobrado está

relacionado com a quantidade de água consumida. Uma sugestão que pode

ajudar na formalização do item c, é pedir que os alunos representem os dados

do quadro em diagrama como o apresentado a seguir.

Figura 3: Diagrama que representa a relação entre dois conjuntos

Fonte: Adriana Chinotti Aguiar

Para incentivar os alunos a obterem a expressão matemática em questão

nesse item, pode-se questionar, por exemplo: Como eles poderiam representar

em linguagem matemática o raciocínio que escreveram por extenso? Uma ideia

que se pode sugerir é que usem apenas as letras d e T para representar a

quantidade de décadas decorridas e a temperatura média do planeta Terra,

como foi apresentado no quadro no início. Pode-se incentivá-los a recordarem,

como eram as expressões estudadas na sétima série do ensino fundamental,

instigando-os para que se lembrem das expressões algébricas ou literais. É

importante explorar também, a idéia de regularidade, pois a expressão

matemática T= 15 + 0,2d pode ser obtida a partir da observação do acréscimo

na temperatura do planeta Terra em cada década. Nesse momento pode-se

comentar sobre a idéia de generalização.

No item c: observando a resolução desse item e também os anteriores pode-

se perceber que para qualquer d≥0 existirá um único resultado de temperatura.

Considerando A o conjunto formado pelos valores que representam as

quantidades de décadas decorridas e B o conjunto de valores que podem

representar as temperaturas médias do planeta Terra, formaliza-se que

Função é uma relação entre os conjuntos A e B, tal que a cada valor do

conjunto A corresponde um único valor do conjunto B. O conjunto A

contém o conjunto de valores das grandezas independentes para os

quais a função está definida e é chamado de Domínio, ou campo de

existência da função. Quando os alunos estiverem resolvendo este item,

pode-se questionar o que eles lembram sobre os conjuntos numéricos, quais

números pertencem a cada conjunto. A retomada desses conteúdos pode

favorecer a formalização dos conceitos de domínio, contradomínio e imagem

de uma função, proposta nesse item. Observando que não faz sentido

atribuir um valor negativo para a quantidade de décadas decorridas

podemos dizer que no caso desse problema o domínio corresponde ao

conjunto dos números reais não-negativos (IR+). E o conjunto ao qual

pertencem todos os valores que a grandeza dependente pode assumir é

conhecido como Contradomínio da função. No caso desse problema o

contradomínio corresponde ao conjunto dos números reais (IR).

Para finalizar a formalização, chamar a atenção dos alunos, para os valores

que eles calcularam e dizer que o valor obtido para a temperatura do planeta

para cada quantidade de décadas decorridas é conhecido como Imagem da

função. De uma forma sistematizada, se considerarmos uma função f e

chamarmos o conjunto domínio de A e o conjunto contradomínio de B,

concluiremos que a Imagem da função, é o conjunto de valores que

pertencem ao contradomínio B, tal que, esses valores são

correspondentes a algum valor do domínio A. Tomando esses conjuntos,

podemos definir que: dados dois conjuntos A e B não-vazios, toda relação

que associa cada elemento de A a um, e somente um, elemento de B é

uma função de A em B. Em símbolos, podemos escrever f: A→B. Pode-se

utilizar o diagrama apresentado no item b para exemplificar a formalização

desse item.

No item d: A partir da expressão matemática obtida no item b, pode-se

incentivar os alunos a recordarem, conceitos sobre as expressões algébricas,

instigando-os para que se lembrem do nome polinômio e se possível

perceberem qual o grau deste. Se eles não conseguirem se lembrar, depois

que estiverem escrito a expressão desejada, pode-se apresentar exemplos de

polinômios para que identifiquem o grau, inclusive podendo substituir as letras

T e d, por y e x, respectivamente, se necessário. Nesse item espera-se definir

que na expressão literal obtida, se chamarmos a quantidade de décadas

decorridas de (d) e a temperatura média do planeta Terra de (T), cada uma

das letras representam um número que podem assumir diversos valores,

por esse motivo são chamadas de variáveis. A temperatura da Terra T é a

variável dependente, pois seus valores podem ser obtidos em função da

quantidade de décadas decorridas, enquanto d, a quantidade de décadas é

a variável independente, pois, os seus valores são apenas registrados ou

medidos, ou seja, seu valor não é calculado a partir de outra variável.

Quando escrevemos expressões matemáticas como a que se obtém como

resultado no item b estamos escrevendo expressões matemáticas conhecidas

como Funções polinomiais, são funções definidas por polinômios. Ainda

nessa formalização, ressaltar que dependendo do grau do polinômio que

representa a função, esta será chamada de função polinomial do 1º grau, do 2°

grau, e assim por diante. Nesse caso temos uma Função Polinomial do 1º

grau. Chamar a atenção para a resposta dada à questão, se a expressão

matemática obtida apresentar letras e números, pode-se a partir dela, definir

que uma Função Polinomial do 1º grau é uma expressão chamada relação de

dependência ou lei de formação da função, que tem como característica

apresentar duas variáveis, uma dependente e outra independente, no caso, as

letras T e d, respectivamente; e dois coeficientes numéricos, o 15 e o 0,2. A lei

de formação da função polinomial do 1º grau é definida por f(x) = a.x + b.

Pode-se comparar essa representação formal, com a lei que eles escreveram

e, esclarecer que as letras T e d podem ser mantidas. No caso, se a expressão

obtida pelos alunos ainda, não estiver escrita na forma mais próxima da

definição formal, escreve-se, então: T= 0,2d +15. Pode-se, nesse momento,

explicar que podemos nomear as funções, usando uma letra minúscula de

nosso alfabeto, por exemplo, seja f a função dada pela lei de formação

T= 0,2d + 15, teríamos f(d) =T, ou seja, f(d) =0,2d + 15. Como já apontamos

anteriormente, podemos substituir as letras T e d por y e x, respectivamente,

nesse caso escreveríamos f(x)=y. Dessa forma, também poderíamos expressar

por D(f) o conjunto que representa o domínio da função f, CD(f) o conjunto que

representa o contradomínio da função f e Im(f) o conjunto que representa a

imagem da função f. Continuando a formalização desse item pode-se

questionar sobre o que os alunos escreveram no item a quanto à possibilidade

da temperatura se manter em 15ºC, e incentivá-los a perceber que teríamos

um valor constante para a variável dependente, definindo então que na

função polinomial do 1º grau o coeficiente “a” deve ser diferente de zero,

a≠0. Ao responderem de que forma a temperatura poderia ser constante eles

puderam observar que se a=0 o resultado de T será sempre 15, dessa forma

pode-se definir que o polinômio que representa a função terá grau zero, e que

a função será constante, ou seja, se a=0, T será sempre igual a 15. Ainda

nessa formalização pode-se enunciar que uma função polinomial do 1º grau

também pode ser denominada função afim, quando seu domínio e

contradomínio pertencerem ao conjunto dos números reais (f: IR→IR) e

for representada pela lei de associação y = ax+b, com a e b constantes

pertencentes ao conjunto dos números reais. Também, na resolução desse

item, para os alunos solucionarem a questão, após quantas décadas a

temperatura ultrapassaria o limite de 2ºC, é possível que o professor tenha que

auxiliá-los, caso, a ideia de desigualdade não apareça. Pode-se, então, pedir

que eles escrevam por extenso o raciocínio que tiveram, e que substituam o

que escreveram por extenso pela linguagem matemática, com a finalidade de

auxiliá-los a obter uma inequação, para que ao resolvê-la concluam que será

numa quantidade de décadas decorridas maior que 6. Formalizar, a partir da

escrita dos alunos que as sentenças matemáticas abertas (aquelas que

apresentam elementos desconhecidos) as quais expressam desigualdades,

não são equações, mas inequações. Chama-se inequação do 1º grau toda

desigualdade que possui uma das seguintes formas: ax+b>0; ax+b<0;

ax+b≥0 ou ax+b≤0, com a≠0. A inequação, 15 + 0,2d > 16,2 obtida na

resolução desse item, também pode ser escrita por 15+ 0,2d -16,2> 0 ou ainda

0,2d -1,2 > 0, desse modo podemos relacioná-la com a forma ax+b>0, em que

a=0,2, x=d e b= -1,2.

No item e: incentivar os alunos a pensarem como a mídia expõe os dados,

principalmente esses sobre os problemas ambientais, ressaltando que a

utilização de diferentes formas de visualização pode ajudar o entendimento do

assunto pelo telespectador. Sugerir a eles que usem os dados que já estão no

quadro. Caso a ideia de gráfico cartesiano não apareça, convém incentivá-los a

formar os pares ordenados, olhar a resolução do item d, no qual foi discutido

que as letras T e d poderiam ser trocadas por x e y, para tentar incentivá-los a

obter o gráfico cartesiano. Pode-se levar papel milimetrado e dizer que eles

poderão usar se desejarem. É possível acontecer de apresentarem outro tipo

de gráfico, e não o cartesiano. Se isso acontecer, discute-se o gráfico

apresentado e, na sequência, apresenta-se a solução com o gráfico cartesiano.

Pode-se justificar que o gráfico cartesiano serve para visualizar o

comportamento das grandezas envolvidas de modo que seja possível também

perceber se a relação entre elas representa ou não função, (de acordo com a

formalização obtida no item c). Pretende-se formalizar que Gráfico Cartesiano

de uma função é uma representação geométrica desta, que utiliza o sistema de

coordenadas cartesianas. Esse sistema é constituído de dois eixos, que

possuem a mesma origem, perpendiculares entre si, sendo que o eixo

horizontal é chamado de eixo das abscissas ou simplesmente eixo x, e o

eixo vertical de eixo das ordenadas, ou simplesmente eixo y. Na

representação gráfica das funções dispomos os valores da variável

independente no eixo das abscissas e os valores da variável dependente no

eixo das ordenadas, pois o gráfico de uma função é o conjunto de todos os

pontos (x, y) pertencentes ao plano cartesiano em que a abscissa x

representa um valor que pertence ao domínio da função e a ordenada y é

um valor de imagem da função, para o respectivo valor do domínio. No

caso da função estudada, (d, T), em que d pertence ao domínio da função e T

são os valores da imagem da função para o respectivo valor do domínio. Esse

par de números dentro dos parênteses é conhecido como par ordenado e

representam as coordenadas de um ponto que será representado em uma

das quatro regiões, quadrantes, do plano onde está localizado o sistema

cartesiano, plano cartesiano. Ao marcar no plano cartesiano, pontos que

pertençam ao gráfico que representa uma função polinomial do 1º grau, cujo

domínio seja o conjunto dos números reais, pode-se perceber que quanto mais

pontos forem marcados, mais a figura obtida se aproxima de uma reta.

Chamando a atenção dos alunos quanto à representação gráfica de uma

função pode-se enunciar que um gráfico representará uma função se, e

somente se, qualquer reta paralela ao eixo vertical, passando por um

ponto qualquer do eixo horizontal pertencente ao domínio da função,

interceptar o gráfico desta em um único ponto. O gráfico a seguir

representa a função polinomial f: IR+ → IR dada pela lei de formação

T= 0,2d +15.

Figura 4: Gráfico da função f

Fonte: Adriana Chinotti Aguiar

Ao resolver o item c discutiu-se o domínio e o contradomínio da função

polinomial do 1º grau que representou a relação entre as grandezas no

contexto do problema. Nesse contexto definimos que o domínio da função

obtida pertence ao conjunto dos números Reais não negativos e o

contradomínio pertence ao conjunto dos números Reais, sendo o gráfico

esboçado representado por uma semireta. Nesse momento é importante

esclarecer que uma mesma lei de formação, utilizada na definição de uma

função, pode assumir domínios diferentes, dependendo do contexto do

problema. Se definirmos que a função f, dada pela expressão matemática

T= 0,2d +15, representa uma função afim, sem estar associada ao contexto

desse problema, temos que observar que a função afim, já definida

anteriormente, é uma função, f: IR→ IR, ou seja, seu domínio e seu

contradomínio pertencem ao conjunto dos números reais. Na representação

gráfica teríamos um prolongamento na semireta que foi desenhada para a

resolução desse item do problema, de modo a obter uma reta, para que o

domínio abrangesse também os números Reais negativos. É importante

ressaltar que uma função é definida por sua lei de formação, seu domínio e

o seu contradomínio. A figura a seguir representa o gráfico da função f dada

pela lei de formação T=0,2d + 15, tomada por função afim, para a qual temos

D(f) =IR, CD(f) =IR. É importante apresentar nesse momento este gráfico, para

que os alunos identifiquem a diferença no desenho, proveniente, da mudança

no domínio da função f.

Figura 5: Gráfico de uma função afim crescente

Fonte: Adriana Chinotti Aguiar

No item f: da mesma forma que os alunos foram incentivados na resolução do

item b, a escrever por extenso e depois expressar em linguagem matemática o

raciocínio utilizado, aqui poderá ser feito. Chamando a atenção para o fato de

que a temperatura agora sofreria redução. Ao obterem a função T= 15 – 0,2.d,

e construírem o gráfico cartesiano, pode-se incentivá-los a procurar as

semelhanças e diferenças e pedir que sejam anotadas. O gráfico a seguir

representa a função polinomial dada pela lei de formação T= -0,2d + 15 no

contexto do problema, em que D= IR+ e CD= IR a qual chamamos de função g.

Figura 6: Gráfico da função g

Fonte: Adriana Chinotti Aguiar

As semelhanças nas expressões matemáticas serão as variáveis e os valores,

em módulo, dos coeficientes. A diferença será o sinal do coeficiente “a”. Essa

diferença no sinal fará com que, o resultado da temperatura aumente no caso

de “a” positivo e diminua no caso de “a” negativo. Tendo, os alunos, constatado

isso, pode-se definir que a função polinomial do 1º grau é crescente quando

a>0, pois nesse caso quanto maior for o valor de “d”, maior será o valor

de “T”. E essa função será decrescente quando a<0, pois nesse caso

quanto maior for o valor de “d”, menor será o valor de “T”.

Na representação gráfica das funções f: T= 0,2d +15 e g:T= -0,2d +15 no

contexto do problema, em que o domínio é IR+ e o contradomínio IR, os alunos

poderão perceber que os dois gráficos são representados por semiretas que

possuem inclinações diferentes. Poderão perceber também que tanto num

gráfico, quanto no outro, existe o ponto de coordenadas (0,15), onde a semireta

intercepta o eixo vertical. Atendendo ao objetivo de definir função afim

decrescente, procedendo como no item anterior, apresentamos a figura a

seguir que representa o gráfico da função g dada pela lei de formação

T= -0,2d + 15, tomada por função afim, para a qual temos D(f) =IR, CD(f) =IR.

Figura 7: Gráfico de uma função afim decrescente

Fonte: Adriana Chinotti Aguiar

Chamando a atenção para as diferenças define-se que o coeficiente “a” é

chamado de coeficiente angular. A partir da resolução do item a, pode-se

dizer também que o coeficiente angular representa a taxa de variação da

função T= 15 +0,2.d. Ele representa a quantidade de unidades que são

adicionadas a T quando adicionamos 1 unidade a d, qualquer que seja d.

Ao notarem que nos dois gráficos a reta intercepta o eixo vertical no ponto de

coordenadas (0, 15) pode-se definir que o coeficiente 15 é chamado

coeficiente linear da função, sendo que, numa função polinomial do 1º grau o

coeficiente linear corresponde à ordenada do ponto em que a reta, que

representa geometricamente a função, intercepta o eixo vertical.

No item g: ao determinar que a temperatura do planeta será 0°C após 75

décadas, pode-se questionar os alunos se existiriam outras quantidades de

décadas decorridas que teriam esse mesmo resultado, zero, para a

temperatura, com a intenção de que percebam que a função apresentada tem

uma única raiz real. Questionar também, se é possível, determinar a

temperatura zero para as duas expressões matemáticas encontradas:

T = 15 + 0,2d e T= 15 – 0,2.d, objetivando que eles percebam que sim, e que,

na primeira expressão, se não fosse o contexto, T=0, quando d = -75.

Pretende-se sistematizar que o valor d que anula a função, isto é, torna T=0

é conhecido como Zero ou Raiz da função.

PROPOSTA DE AVALIAÇÃO

Durante as etapas da resolução do problema, sugere-se que o aluno

seja observado e que o professor faça registro dos seguintes aspectos:

Nome do aluno Envolvimento e

cooperação

durante os

trabalhos em

grupo

Participação na

elaboração das

estratégias para

resolução do

problema

Participação na

plenária

Figura 8: Ficha de registros

Fonte: Adriana Chinotti Aguiar

Para cada um dos aspectos pode-se atribuir, conforme o caso, as

abreviações:

E: excelente

S: satisfatório

I: Insatisfatório

Ainda, ao final da resolução do problema, depois da formalização dos

conteúdos, poderá ser solicitado que os alunos, individualmente, respondam às

questões propostas na autoavaliação a seguir.

NOME: _______________________________________ DATA___/___/____

Leia com atenção e responda às questões desta autoavaliação. Se necessário

use o verso desta folha.

1) Sobre minha participação durante a realização das tarefas posso dizer

que:

2) Dentre os conteúdos formalizados posso dizer que compreendi os

conceitos sobre:

3) Dentre os conteúdos formalizados posso dizer que não compreendi os

conceitos sobre:

4) Sobre as aulas ministradas utilizando essa metodologia posso dizer

que:

Figura 9: Ficha de autoavaliação

Fonte: Adriana Chinotti Aguiar

4 CONTEÚDOS DE ESTUDO

No problema apresentado serão abordados alguns conceitos pertinentes

ao Conteúdo Estruturante: Funções. Durante o desenvolvimento dos

procedimentos de trabalho para o problema, haverá um detalhamento dos

conteúdos específicos abordados.

5 ORIENTAÇÕES/RECOMENDAÇÕES DE USO

Orientamos que os professores desenvolvam as tarefas na perspectiva

de Resolução de Problemas apresentada na introdução do material. Ao

trabalhar o problema, nessa perspectiva, já elencamos possíveis

encaminhamentos e a formalização do conteúdo abordado.

6 PROPOSTA DE AVALIAÇÃO

Pretende-se avaliar esta Produção Didático-pedagógica durante o

desenvolvimento das tarefas em sala de aula. O professor terá um diário de

classe onde registrará:

se os objetivos estabelecidos para o problema aplicado foram

cumpridos;

se o encaminhamento estabelecido para o problema aplicado foi

realizado conforme o previsto;

se o problema aplicado atendeu ao objetivo de atrair os estudantes para

o estudo do conteúdo;

os fatos relevantes que dificultaram o êxito na utilização da presente

proposta;

os fatos relevantes que contribuíram para o êxito na utilização da

presente proposta;

os aprimoramentos necessários.

7 INDICAÇÕES BIBLIOGRÁFICAS

ALLEVATO, N. S. G; ONUCHIC, L. R. Ensinando Matemática na sala de aula através da Resolução de Problemas. Boletim GEPEM, n.55, 2009.

BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília. MEC/SEMTEC, 1999. ___________PCN+ Ensino Médio - Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília. MEC, SEMTEC,2002. NOBRE, Carlos A. Mudanças climáticas globais e o Brasil: por que devemos nos preocupar. Revista Plenarium, v. 5, n.5, p.12 – 20, out., 2008. ONUCHIC, L. R. Ensino-Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, M. A. V.(org.). Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo: Editora UNESP, 1999. cap.12, p. 199-220.

ONUCHIC, L R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. C. (orgs). Educação Matemática - pesquisa em movimento. 2.ed. São Paulo: Cortez, 2005. p. 213-231. PARANA. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba, 2008.