GPEFESistemas de Partículas

Prof. Me. Diego A. C. Albuquerque

diego.albuquerque@msn.com

Aula 07:

Centro de Massa e Conservação do Momento Linear

Centro de Massa

É o ponto de equilíbrio de um corpo. Se umaforça for aplicada nesse ponto, consegue-semantê-lo em equilíbrio sem a necessidade deum segundo ponto de apoio. As figuras abaixoilustram esse conceito.

Torres de Kio (Madri)

As torres Kio, também chamada “Porta da Europa” possuem

uma inclinação de 15º.

Centro de Massa

21

2211

mm

xmxmX cm +

+=

Cálculo do Centro de Massa para

um sistema de partículas: A figura

mostra duas partículas de massas m1

e m2 localizadas nas posições x1 e x2.

O centro de massa deste sistema é um

ponto que está situado a uma distância

Xcm da origem. Esta distância pode ser

obtida fazendo-se a média ponderada

das coordenadas das partículas,

tomando como “peso” nesta média

ponderada, a massa de cada partícula.

O centro de massa de um corpo ou de um sistema

de corpos é o ponto que se move como se toda a

massa estivesse concentrada nele e como se todas

as forças externas fossem aplicadas neste ponto.

Centro de Massa

Para um sistema formado por n partículas distribuídas

no espaço as coordenadas que localizam o centro de

massa são:

=

=

=

=+⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅++=

=+⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅++=

=+⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅++=

n

i

ii

n

nncm

n

i

ii

n

nncm

n

i

ii

n

nncm

zmMmmm

zmzmzmZ

ymMmmm

ymymymY

xmMmmm

xmxmxmX

121

2211

121

2211

121

2211

1

1

1

=

=n

i

iicm rmM

r1

1Usando a notação vetorial, estas três

equações escalares podem ser agrupadas

em uma única equação vetorial, dada por:

Centro de Massa

Um corpo rígido possui tantas partículas (átomos)

que o melhor tratamento é considerá-lo como uma

distribuição continua de matéria e as coordenadas do

centro de massa passam a ser definidas como:

=== dmzM

ZedmyM

YdmxM

X cmcmcm

11;

1

Estas integrais para a maioria dos objetos como uma TV, um homem,

etc. são difíceis de se calcular. No entanto, para objetos uniformes,

ou seja, objetos que possuem a mesma densidade (ρ = M/V = cte.)

estas integrais geralmente podem ser feitas, basta lembrar que nestes

casos temos:

ρ=ρ=ρ===ρ dVzM

ZedVyM

Y;dVxM

Xdv

dm

V

Mcmcmcm

Exercício

Silbury Hill, um monte de terra em umaplanície perto de Stonehenge, foi construídohá 4.600 anos por motivos desconhecidos. Éum tronco de cone circular reto de raios r2= 16m e r1= 88 m e altura h = 40 m. Os lados domonte fazem um ângulo θ = 30⁰ com ahorizontal. Qual é a posição do centro demassa do monte?

Centro de Massa

Se um corpo homogêneo possui eixo (ou plano) de

simetria, o centro de massa pertence a esse eixo (ou

plano).

Centro de Massa

Devemos observar que o centro de

massa de um objeto sólido (corpo

rígido) não se localiza,

obrigatoriamente, dentro da parte

sólida do objeto. Como exemplo,

podemos citar uma barra em U.

O centro de massa dessa barra não se

localiza na parte sólida.

Momento Linear

vmp = sendo: m a massa da partícula e v o seu vetorvelocidade. A unidade no SI é: (Kg m/s)

amdt

vdmvm

dt

d

dt

pdF res ==== )(.

Que conduz a 2º lei de Newton. Nadedução a cima consideremos m = cte.

Isaac Newton

(1643 – 1727)

Aspectos da importância histórica do

momento linear:

Definição de Quantidade de Movimento Linear

ou Momento Linear: A quantidade demovimento linear é um vetor p definido como:

Conservação do Momento

Linear

Suponha que a força externa resultante que atuaem um corpo, ou num sistema de partículas sejanula. Substituindo esta afirmação na equaçãoanterior temos:

fires ppCtepdt

pdF ==== .00.

Esse resultado é conhecidocomo Lei de Conservação do

Movimento Linear.

Impulso

A variação do momento linear num dado intervalode tempo é denominado Impulso (J). Isto resultano Teorema do Impulso:

“O impulso resultante comunicado a um corpo,

num dado intervalo de tempo, é igual à variação

na quantidade de movimento desse corpo, no

mesmo intervalo de tempo.”

pppJif

∆=−=

Uma força aplicada num certo tempo produz um impulso dado por:

tFJ méd ∆= .

Colisão

O conceito de colisão é muito importante no cursode física, além dos choques mais simples queiremos tratar, existem colisões extremamentecomplexas como as estudadas por centros depesquisa como a NASA, colisões entre partículas.Neste estudo existe a preocupação de materiaiscapazes a resistir a colisões no espaço.

Colisão

Podemos considerar um choque como umsistema isolado de forças externas,apresentando conservação da quantidade demovimento do sistema composto pelos corposque colidem:

ctepChoque sistema =

0=∆ p

Colisão de Duas Partículas

+ Colisão frontal:

Considerando:v1, v2, p1 e p2 as velocidadesdos corpos 1 e 2 e omomento dos corpos 1 e 2,respectivamente, antes dacolisão e:v1’, v2’, p1’ e p2’ após acolisão.

Colisão de Duas Partículas

'' 22112211 vmvmvmvm +=+

A aplicação da conservação da quantidade de movimento nos fornece:

A classificação de uma colisão é feita tomando-se comoreferência a energia cinética do sistema constituídopelos corpos que se chocam.

'' 2121 pppp +=+

fi pp =

1. Colisões elásticas

Se a energia cinética do sistema antes da colisão for igual à energia cinética do sistema após a colisão;

2. Colisões inelásticas

Se não ocorrer a conservação de energia cinética do sistema.

Em sua maioria, os choques são inelásticos. Às vezes, os corpospermanecem unidos após o choque. Nesses casos, o choque édenominado totalmente inelástico e apresenta máxima dissipaçãode energia cinética. Em um choque totalmente inelástico, temos:

')( 212211 vmmvmvm +=+

Colisões Elásticas

Para o caso de colisões elásticas, onde a energiacinética e o momento linear se conservam, asseguintes equações serão validas:

ffiipppp 2121 +=+

'' 22112211 vmvmvmvm +=+

Conservação do momento linear:

2

'

2

'

22

2

22

2

11

2

22

2

11 vmvmvmvm+=+

Conservação da energia cinética:

Colisões Bidimensionais

Quando a colisão não é frontal a direção dosobjetos antes e após a colisão não será a mesma.

Têm-se então uma colisãobidimensional. Nestescasos as equações atéaqui estudadascontinuam sendo válidas,com a necessidade daalteração em termos decomponentes de vetores.

Colisões Bidimensionais

Na direção x:

22211111 cos'cos' θθ vmvmvm +=

Escrevendo a equação deconservação do momentolinear em termos decoordenadas de umsistema xy temos:

Na direção y:

222111 ''0 θθ senvmsenvm +−=

Coeficiente de Restituição

A fase que antecede uma colisão é chamadaaproximação, e a que a sucede chama-seafastamento.

A relação entre os módulos das velocidades relativas deafastamento e o módulo da velocidade relativa de aproximaçãochama-se coeficiente de restituição (e):

21

12

..

.. ''

vv

vv

v

ve

relaprox

relafast

−−==

Coeficiente de Restituição

Podemos dividir o pequeno intervalo de tempo emque acontece a colisão em dois períodos: o primeiroperíodo é aquele em que acontece a deformação doscorpos, enquanto o segundo é o período derestituição.Se os corpos ficam unidos após a colisão, isso significa que não há o período de restituição. Nesse caso, a velocidade relativa após o choque é nula, ou seja, não há restituição.

Colisão Elástica Colisão

Inelástica

Colisão totalmente

inelástica

Coeficiente de

Restituiçãoe = 1 0 < e < 1 e = 0

Energia Cinética Conserva-se Dissipaçãoparcial

Dissipação Máxima

Momento Linear Conserva-se Conserva-se Conserva-se

Caso em que a massa é variável

(Foguete)

Digite a equação aqui.

�. ���� � �. �Primeira Lei do Foguete