Grade Td - Aprofundamento

MATEMÁTICA ASSUNTO: DATA ALEXMAY

Aluno(a): Nº:

O princípio da similitude de Galileu

Ou Qual é o tamanho certo?

O princípio da similitude de Galileu também conhecido como a lei do

quadrado e do cubo é um princípio matemático, com ampla aplicabilidade

científica, tecnológica e econômica. Tal princípio descreve a relação entre o

volume e a área à medida que aumentamos as dimensões de um

objeto. Foi descrita pela primeira vez em 1638 por Galileu Galilei em

suas duas novas ciências .

Este princípio estabelece que, quando um corpo aumenta de tamanho, o

seu volume aumenta mais depressa do que a sua área. Isso ajuda a

explicar fenômenos biológicos tais como o fato de que grandes mamíferos

têm mais dificuldade de refrigeração do que os pequenos ou por que que

existem limites para o tamanho que se pode construir um castelo de areia .

A lei do quadrado cubo pode ser declarado como segue:

Quando um objeto é submetido a um aumento proporcional de tamanho, o

seu volume novo é proporcional ao cubo do multiplicador e da sua área de

superfície nova é proporcional ao quadrado do multiplicador.

Por exemplo, um cubo com um comprimento lateral de 1 metro

tem uma área superficial de 6 m 2 e um volume de 1 m 3 . Se as

dimensões do cubo fossem duplicadas, a sua área de

superfície, seria aumentada para 24 m 2 e o seu volume seria

aumentado para 8 m 3 . Perceba que a superfície ficou 4 vezes

maior, enquanto que o volume ficou 8 vezes maior. Este

princípio aplica-se a todos os sólidos.

Exemplo de cubos de tamanho variável

LadoÁrea da

cara

Área

total

Volume de

cubo

Razão entre a Área de

superfície e o volume

1 m 1 m 2 6 m 2 1 m 3 6,0 m -1 (ou m 2 • m -3 )

2 m 4 m 2 24 m 2 8 m 3 3,0 m -1

4 m 16 m 2 96 m 2 64 m 3 1,5 m -1

6 m 36 m 2 216 m 2 216 m 3 1,0 m -1

8 m 64 m 2 384 m 2 512 m 3 0,75 m -1

12 m 144 m 2 864 m 2 1728 m 3 0.5 m -1

Exemplo de cubos de tamanho variável

LadoÁrea da

cara

Área

total

Volume de

cubo

Razão entre a Área de

superfície e o volume

20 m 400 m 2 2400 m 2 8000 m 3 0,3 m -1

Descoberta no século XVI, essa lei ajuda explicar, por

exemplo, por que grandes animais terrestres como o elefante

ou o rinoceronte possuem patas proporcionalmente bem mais

largas do que pequenos animais como alguns insetos. É fácil

de entender, acompanhe:

Se, por exemplo, dobrarmos o tamanho de um organismo,

iremos aumentar a área de sua superfície pelo quadrado de 2,

ou seja, 4 vezes, e seu volume pelo cubo de 2, ou seja, 8

vezes. A massa, mantida constante a densidade, é

diretamente proporcional ao volume, assim, ao dobrarmos as

dimensões de um organismo, estaremos multiplicando por 8 a

sua massa.

Suponha um cubo com 1 metro de altura x 1 metro de largura

por 1 m de profundidade. Agora, atribua a esse cubo 1kg de

massa. Você pode obter a área de superfície deste cubo fazendo em

uma de suas faces um corte transversal de 1m² ( e isso é muito

importante de se entender, porque a força de um organismo está

associada à area de corte transversal do músculo ou osso). Agora,

dobre o tamanho da aresta para 2 metros: você tem um cubo

2 vezes mais fundo, largo e alto. Porém, o corte transversal da

face do cubo não terá 2m², mas 4m² (2mx2m), ou seja, se

fosse uma criatura viva, o corte transversal de seu músculo ou

osso seria 4 vezes maior que antes. Isso porque ao dobrar as

medidas, o volume do cubo mudou de 1 cubo para 8 cubos

(2x2x2) e sua massa foi de 1kg para 8kg.

Ele seria 2x mais alto, 4x mais forte...mas 8x mais pesado.

São fatos importantes para a biomecânica: essa lei mostra

que se dobrarmos o tamanho de um animal, sua força irá

quadruplicar, mas seu peso octoplicará! Consequentemente,

animais maiores precisarão de patas proporcionalmente mais

largas para sustentar o peso extra.

Av. Godofredo Maciel, 2106 - Maraponga 3296-1266

www.colegioprovecto.com.br 1

http://en.wikipedia.org/wiki/Galileo_Galilei

http://en.wikipedia.org/wiki/Sand_castle

http://en.wikipedia.org/wiki/Two_New_Sciences

Esqueleto de um elefante

Esqueleto de um pequeno mamífero

(perceba que os ossos de um elefante são proporcionalmente mais

largos do que o do pequeno mamífero)

É claro que há uma diferença muito grande (não apenas uma)

entre formigas e pessoas: aqui, a principal é que nosso

esqueleto é interno, mas o delas é externo. Temos 2 braços e

pernas, elas tem 6 pernas e mandíbulas feitas para levantar,

enquanto que o corpo de um ser humano não é feito para levantar.

Vamos aplicar a mesma regra para uma formiga com 6mm, 3

mg de massa e capaz de erguer 150 mg (é um fato bem

difundido que as formigas são capazes de erguer 50 vezes seu

peso). Aumentando o comprimento da formiga para 1,8m (300

vezes maior), ela teria 81 kg de massa (300³=27000000 vezes

mais), mas pela regra do cubo e do quadrado, a superfície de

seu corpo e o consequente aumento de sua força será apenas

300²=90000 maior. Assim, cada pata estará sobrecarregada

com um peso extra 27000000/90000=300 vezes maior, daí a

formiga poderia erguer apenas

01) Suponha que a embalagem de NutraFlora, suprimento alimentar, tem forma de cilindro reto com volume interno adequado para acondicionar 100 cápsulas do produto. Duplicando as dimensões (raio da base e altura) dessa embalagem, o volume interno será adequado para que quantidade de cápsulas?

a) 200

b) 400

c) 800

d) 1600

e) 3200

item C

02) Um gênero de filmes muito popular no século XX, a chamada ficção científica produziu diversos títulos que se

imprimiram em nossa memória. Alguns mais realistas e outros bastante fantasiosos. Em 1955, o filme Tarântula assustou suas plateias com a sinopse de uma aranha de laboratório (com aproximadamente 3cm de altura) que por conta de um experimento mal sucedido se vê transformada em um monstro de 3 metros de altura. Certamente, os roteiristas daquela época não se preocupavam com as implicações físicas de tais gigantismos ( como o aumento de massa), pois se o fizessem, aplicando o princípio da similitude de Galileu, é mais provável que a aranha gigante tivesse, para manter-se em pé tão bem quanto uma aranha comum, em vez dos tradicionais 4 pares de patas:

a) 16 patasb) 32 patasc) 80 patasd) 240 patase) 800 patas

Item E

03) Boa parte da energia perdida por uma pessoa é

proveniente das trocas de calor para o meio-ambiente por

meio da superfície da pele. Considere duas pessoas, uma

criança de 60cm de altura e um adulto com 1,80m, estejam

se alimentando para repor exclusivamente as perdas de



energia devidas as trocas de calor com o ambiente.

Admitindo proporcionalidade entre os corpos das duas

pessoas, podemos afirmar que o adulto deverá ingerir :

a) 3 vezes mais comida

b) 6 vezes mais comida

c) 9 vezes mais comida

d) 18 vezes mais comida

e) 27 vezes mais comida

Item C

04) Um médico receita a seu paciente uma dose de 32 gotas de certo remédio. Ao chegar a casa, ele acidentalmente deixa o frasco de conta-gotas, que continha a medicação, cair ao chão. Verificando que o frasco havia trincado ele resolve passar a medicação para outro conta-gotas idêntico ao primeiro, exceto pelo fato de que, no novo recipiente, a abertura por onde saem as gotas é duas vezes maior do que no frasco original. Pode-se afirmar que:

a) o paciente deve alterar a dose para 64 gotas.

b) o paciente deve alterar a dose para 4 gotas.

c) se o paciente alterar a dose para 16 gotas, poderá ter uma overdose, pois estará duplicando a dosagem estabelecida pelo médico.

d) se o paciente alterar a dose para 8 gotas ele estará reduzindo à metade a dose estabelecida pelo médico.

e) 2 gotas do novo frasco são suficientes, pois, cada uma, equivale a 16 gotas do frasco original.

Item B

05) Um verdadeiro homem-gigante deveria ter as pernas grossas como as de um tiranossauro para sustentar seu corpo, mas esse seria penas o menor de seus problemas, pois provavelmente ele teria sua força muscular drasticamente reduzida. Imagine um guerreiro de 1,80m com 90 kg de massa e capaz de erguer sua própria massa acima de sua cabeça, se tiver sua altura dobrada para 3,60 m, passará a ter

720 kg de massa, e será capaz de erguer apenas 360 kg. Se por algum motivo o deixarmos 10 vezes maior, ele passaria a ter 18 metros de altura, 90.000 kg de massa e seria capaz de erguer :

a) Apenas 50% de sua própria massa

b) Apenas 25% de sua própria massa

c) Apenas 12,5% de sua própria massa

d) Apenas 10% de sua própria massa

e) Apenas 1% de sua própria massa

Item D

06) Uma pesquisa, relativamente à população mundial , apontou que:

- 43% tem sangue tipo O;- 85% tem Rh positivo;- 37% tem sangue tipo O com Rh positivo.

Nesse caso , a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso não ter sangue tipo O e não ter Rh positivo é de :a) 9%b)15%c)37%d)63%e)91%

gab.A

07) Leandro e Heloísa participam de um jogo em que se utilizam dois cubos. Algumas faces desses cubos são brancas e as demais, pretas. O jogo consiste em lançar, simultaneamente, os dois cubos e em observar as faces superiores de cada um deles quando param. - Se as faces superiores forem da mesma cor, Leandro vencerá;- Se as faces superiores forem de cores diferentes, Heloísa vencerá;Sabe-se que um dos cubos possui 5 faces brancas e uma preta e que a probabilidade de Leandro vencer o jogo é de 11/18. Então, é CORRETO afirmar que o número de faces brancas do outro cubo é:

a) 4 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5

gab, A

08) Um estudante caminha diariamente de casa para o colégio, onde não é permitido ingressar após as 7h30. No trajeto ele é obrigado a cruzar três ruas. Em cada rua, a travessia de pedestres é controlada por sinais de trânsito não sincronizados. A probabilidade de cada sinal estar aberto para o pedestre é igual a 2/3 e a probabilidade de estar



fechado é igual a 1/3. Cada sinal aberto não atrasa o estudante, porém cada sinal fechado o retém por 1 minuto. O estudante caminha sempre com a mesma velocidade. Quando os três sinais estão abertos, o estudante gasta exatamente 20 minutos para fazer o trajeto. Em certo dia, o estudante saiu de casa às 7h09min. A probabilidade de o estudante, nesse dia, chegar atrasado ao colégio, ou seja, chegar após às 7h30min é:

a) 4/27 b) 5/27 c) 6/27 d) 7/27 e) 8/27

item D

09) O Ministério do Desenvolvimento Social e Combate à Fome (MDS) realizou, em parceria com a ONU, uma pesquisa nacional sobre a população que vive na rua, tendo sido ouvidas 31.922 pessoas em 71 cidades brasileiras. Nesse levantamento, constatou-se que a maioria dessa população sabe ler e escrever (74%), que apenas 15,1% vivem de esmolas e que, entre os moradores de rua que ingressaram no ensino superior, 0,7% se diplomou. Outros dados da pesquisa são apresentados nos quadros.

No universo pesquisado, considere que P seja o conjunto das pessoas que vivem na rua por motivos de alcoolismo/drogas e Q seja o conjunto daquelas cujo motivo para viverem na rua é a decepção amorosa. Escolhendo-se ao acaso uma pessoa no grupo pesquisado e supondo-se que seja igual a 40% a probabilidade de que essa pessoa faça parte do conjunto P ou do conjunto Q, então a probabilidade de que ela faça parte do conjunto interseção de P e Q é igual a:

a) 12% b) 16% c) 20% d) 36% e) 52%

item A

10) O gerente de uma agência de turismo promove passeios de bote para descer cachoeiras. Ele percebeu que quando o preço pedido para esse passeio era R$ 25,00, o número médio de passageiros por semana era de 500. Quando o preço era reduzido para R$ 20,00, o número médio de fregueses por semana sofria um acréscimo de 100 passageiros. Considerando que essa demanda seja linear, se o preço for reduzido para R$ 18,00, o número médio de passageiros esperado por semana será: a) 360 b) 540 c) 640 d) 700 e) 1360

item C

11) Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa constante de 1,5 ml/min.

O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a medicação. Após 4h de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 1 cm¤ = 1 ml, e usando a aproximação π = 3, o volume, em ml, do medicamento restante no frasco após a interrupção da medicação é, aproximadamente: a) 120 b) 150 c) 160 d) 240 e) 360

item A

12) A figura abaixo mostra a trajetória de uma bola de bilhar.

Sabe-se que, quando ela bate na lateral da mesa (retangular), forma um ângulo de chegada que sempre é igual ao ângulo de saída. A bola foi lançada da caçapa A, formando um ângulo de 45° com o lado AD. Sabendo-se que o lado AB mede 2 unidades e BC mede 3 unidades, a bola cairá na caçapa: a) A b) B c) C d) D

item B

13) O preço da gasolina sofreu um reajuste de 25% em novembro e de mais 25% em dezembro. Qual a porcentagem em que deve ser reduzido o seu preço atual para que volte a custar o que



custava antes dos dois reajustes?

a)18% b)24%c)36%d)40%e)43%

item C

14) Um motorista escolhe um trajeto que sabe ser 20% maior que o trajeto que usualmente toma, pois nesse novo trajeto poderá desenvolver uma velocidade média 100% maior que a do trajeto usual. O tempo de viagem diminuirá:a) 40%b) 50%c) 100% d) 9%e) 20%

item A

15)

item A

16) Considere a gasolina comum, usada no abastecimento dos veículos automotores, contendo 25% de álcool e 75% de gasolina pura. Para encher um tanque vazio, com capacidade de 45 litros, quantos litros de álcool devem ser colocados, de modo a obter-se uma mistura

homogênea composta de 50% de gasolina pura e de 50% de álcool?

a)10lb)12lc)15ld)17le)20l

item C

17) Um supermercado vende produtos com pesos e preços diferentes conforme os quadros I e II abaixo.

Esse supermercado está com uma promoção na qual os produtos do quadro I estão sendo vendidos com desconto de 15% sobre o preço de tabela. Um consumidor deseja adquirir uma embalagem de cada produto e acredita que "está em vantagem" quando compra maior quantidade, em gramas, de determinado produto gastando menos. Considere as afirmativas:I. Esse consumidor terá vantagem se comprar o achocolatado da promoção.II. Esse consumidor terá vantagem se comprar o pacote com 500g de farinha.III. Esse consumidor terá vantagem se comprar o arroz da promoção.IV. Esse consumidor terá vantagem se comprar o pacote com 400 g de feijão.Estão corretas apenas: a) I e II b) I e III c) II e IV d) I, III e IV e) II, III e IVitem D



18) Misturando suco concentrado líquido e água na proporção de uma parte de suco para três de água, fizemos 24 litros de refresco. Se tivéssemos misturado a mesma quantidade de suco concentrado, na proporção de duas partes de suco para cinco de água, teríamos conseguido: a) 12L b) 18L c) 21L d) 20L e) 30L

item C

19) O preço de um carro modelo flex é R$ 24.464,00 e o preço do mesmo veículo convencional é R$ 22.000,00. Considere que o consumo usando apenas álcool, no modelo flex, seja 30% maior que o consumo de gasolina no veículo convencional ou flex, e que o preço do litro de álcool seja 50% menor que o preço do litro de gasolina. Quantos dias, no mínimo, serão necessários para que um taxista recupere o valor pago a mais no modelo flex, usando apenas álcool, se ele gasta 40 litros de gasolina todo dia com preço de R$ 2,00 o litro?a) 65 b) 77 c) 88 d) 90 e) 115

item C

20) - O GNV (gás natural veicular) é um combustível que provoca menor impacto ambiental, pois, devido à sua composição, produz uma queima mais limpa e uniforme. Além disso, é mais econômico do que os demais combustíveis (álcool, diesel ou gasolina), já que 1 m3de GNV rende quilometragem 20% superior a 1 litro de gasolina e que o preço de 1m3 de GNV corresponde a, aproximadamente, 50% do preço de 1 litro de gasolina.www.inmetro.gov.br (adaptado)Tomando-se como base as informações do texto acima, a redução nos custos referentes ao consumode combustível de um automóvel a gasolina que é convertido para GNV é, aproximadamente, de:a) 55,6% d) 72,5%b) 58,3% e) 83,3%c) 59,4%

item B



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