Gráficos e Equações Gráficos e Equações PolinomiaisPolinomiais

Prof. MarquinhosProf. Marquinhos

UFRGS 2012 Raízes candidatas: 1, 2 e 4.

Nem é preciso utilizar...

Aplicar Briot-Ruffini DUAS VEZES!

2 -7 3 8 -4

2 2 -3 -3 2 0

2x3 – 3x2 – 3x + 2 = 0

2 -3 -3 2 2 2 1 -1 0

2x2 + x – 1 = 0

Resolvendo a equação quadrática, encontramos as raízes x3= – 1 e

x4 = ½, cuja soma é – ½ = – 0,5.

SOMA –b/a = – ½ = – 0,5.

UFRGS 2008

Raízes candidatas: 1, apenas.

Aplicando Briot-Ruffini com x = 1.

1 4 6 4 1

1 1 5 11 15 16

Não serve!!!

Resolvendo a equação quadrática, encontramos as raízes x3 = – 1 e x4 = – 1.

Aplicando Briot-Ruffini com x1 = – 1.

1 4 6 4 1

–1 1 3 3 1 0

x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0

1 3 3 1 –1 1 2 1 0

x2 + 2x + 1 = 0

Aplicando Briot-Ruffini com x2 = – 1. Assim, a equação possui 4 raízes iguais; – 1 é raiz quádrupla.

UFRGS 2011

Teorema: Numa equação algébrica com coeficientes reais, se a + bi é raiz dessa equação, então a – bi também é raiz dela.

1) raízes imaginárias sempre aparecem aos pares;

2) uma equação de grau ímpar tem, pelo menos, uma raiz real.

Coeficientes reais Teorema!

Se – 2 + i é raiz, então – 2 – i também é...

Se 1 – 2i é raiz, então 1 + 2i também é...

Temos um equação de 5º grau, onde 4 são imaginárias. Assim, a

outra é REAL.

UFRGS 2009

Forma Fatorada de um Polinômio

P(x) = a.(x – r1 ).(x – r2 ). ... .(x – rn )

A partir do enunciado, temos que: r1 = r2 = r3 = 1.

Da mesma forma, temos que a = 1.

Assim, temos que:

P(x) = 1.(x – 1 ).(x – 1 ). (x – 1 ) =

= (x – 1 )3 =

= x3 – 3x2 + 3x – 1

O gráfico abaixo representa um polinômio P(x) de grau 4. Determine a soma dos coeficientes desse polinômio.

Raízes:Raízes: 1, 2 e –1 (Observe que -1 é dupla.)

Termo Termo independente:independente: P(0) =

– 4Forma Fatorada de um

Polinômio

P(x) = a.(x – r1 ).(x – r2 ). ... .(x – rn )

P(x) = a.(x + 1)2.(x – 1).(x – 2) P(x) = a.(x4 – x3 – 3x2 + x + 2)

P(0) = a.2 = – 4 a = – 2 P(x) = – 2x4 + 2 x3 + 6x2 – 2 x – 4

A soma dos coeficientes também pode ser dada por

P(1) = – 2 + 2 + 6 – 2 – 4 = 0, pois 1 é uma raiz de P(x).

UFRGS 2005

O polinômio possui 4 raízes simples GRAU 4

Alternativas (A) e (B) eliminadas!

O gráfico de f(x) passa pela origem T. I. é NULO

Alternativas (C) e (D) eliminadas!

Resposta Alternativa (E)

UFRGS 2004

O polinômio possui 3 raízes 1 simples e 1 dupla (tangência)

Forma Fatorada P(x) = a . (x – 2)2. (x + 2)

P(0) = 2 P(0) = a . (0 – 2)2. (0 + 2) = 2

a . 4. 2 = 2a = ¼

P(x) = 1/4 . (x – 2)2. (x + 2)= ¼ . (x3 – 2x2 – 4x + 8) =

= ¼.x3 – ½.x2 – 2x + 4

Soma dos Coeficientes = = ¼ – ½ – 2 + 4 = ¾

Resposta Alternativa (B)

Soma dos Coeficientes P(1) P(1) = ¼ . (1 – 2)2. (1 + 2) = =

¾ = 0,75

UFRGS 2007

O polinômio possui 3 raízes 1 simples e 1 dupla (tangência)

Forma Fatorada p(x) = a . (x + 1)2. (x – 2)

p(0) = 2 p(0) = a . (0 + 1)2. (0 – 2) = 2

a . 1. (– 2) = 2a = –1

p(x) = – 1. (x + 1)2. (x – 2)

Valor de p(– 2) p(–2) = – 1 . (–2 + 1)2. (–2 – 2) =

= (– 1). 1 . (– 4) = 4

Resposta Alternativa (C)