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Gráficos e Funções
Alex Oliveira
Daone Silva
Noção de Função
O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Vejamos alguns exemplos:
o Número de litros de gasolina e preço a pagar.
Nesse caso, temos:
P = 2,30x, lei da função ou fórmula matemática da função.
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Números de litros Preço a pagar
1 2,30
2 4,60
3 6,90
x 2,30x
Noção de Função
o A distância percorrida em função do tempo.
Teremos:
D = 90t, lei da função ou equação da função.
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Tempo(h) 1 2 3 t
Distância(km) 90 180 270 90t
Noção de Função
o A máquina de dobrar
o Nesse caso, temos:O número de saída n é igual a duas vezes o número de entrada x. A lei da função é n = 2x.
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DobrarEntrada Saída123
3,55x
2467
102x
Noção de Função
Observe que em ambos os casos, o preço apagar e a distância percorrida sãodeterminados em função do número delitros e do tempo, respectivamente. Onde:
o P = 2,30x
P é a variável dependente.
x é a variável independente.
o D = 90t
D é a variável dependente.
t é a variável independente.
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Vamos praticar...
Um cabeleireiro cobra R$12,00 pelo corte para clientes comhora marcada e R$10,00 sem hora marcada. Ele sempre atendepor dia um número fixo de 6 clientes com hora marcada e umcerto número variável de clientes sem hora marcada. Qual a leique fornece a quantia Q arrecadada por dia em função de x.
RESPOSTA: Como o cabeleireiro trabalha com um número fixo de 6clientes com hora marcada por dia e cada cliente desse tipo paga R$12,00pelo serviço, há uma arrecadação fixa de R$72,00 (resultado damultiplicação de 6 por R$12,00). De maneira semelhante, para cada xclientes sem hora marcada atendidos, como cada um paga R$10,00, elearrecada 10x (resultado da multiplicação de x por R$10,00). Perceba queessa última quantia arrecadada é variável, pois depende do número declientes atendidos sem hora marcada. Portanto, se chamarmos de Q aquantia total arrecadada, a lei da função que representa a quantiaarrecadada em relação a um certo número x de clientes sem hora marcadaé obtida pela soma das quantias variável e fixa, ou seja:
Q = 10x + 72
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Vamos praticar...
• Qual a quantia arrecadada num dia em
que foram atendidos 16 clientes?
Q = 10.10 + 12.6 Q = 100 + 72 Q = 172
A quantia arrecadada neste dia foi R$172,00.
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Vamos praticar...
• Qual foi o número de clientes atendidos numdia em que foram arrecadados R$212,00?
O x representa a quantidade de clientes sem horamarcada, logo o número de clientes atendidos seráa quantidade fixa de clientes com hora marcadamais a quantidade de clientes sem hora marcada.
212 = 10x + 72 10x = 212 - 72 10x = 140
x = 140/10 x = 14 (quatorze sem hora marcada)
C = 14 + 6 C = 20
20 clientes no total foram atendidos nesse dia.
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Noção de função em conjuntos
Vejamos a noção de função junto à nomenclatura deconjuntos. Exemplo:
• Dados A e B, usando o diagrama de flechas devemos associarcada elemento de A a seu triplo em B.
Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa por y = 3x.
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-1.
0.
1.
2.
. -6
. -3
. 0
.3
.6
x A y B
-1 -3
0 0
1 3
2 6
A B
Noção de função em conjuntos
Observa-se que para que tenhamos uma
função de A em B:
• Todos os elementos de A têm correspondentes
em B;
• A cada elemento de A corresponde um único
elemento em B.
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Vamos praticar...
Dados os conjuntos A e B, determine quais representamuma função de A em B.
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0.
4.
.2
. 3
.5
A B
2.
5.
10.
20.
. 1
. 0
. 2
A B-2.
-1.
0.
1.
2.
. 0
. 1
. 4
.8
.16
A B
Vamos praticar...
Analisaremos o diagrama de flechas abaixo:
o Observamos que para os elemento de A, há umcorrespondente em B.
o A cada elemento de A corresponde um único elemento de B.Observamos que há elementos em B que tem 2correspondentes em A, mas isso não é problema. Logo,temos uma função de A em B.
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-2.
-1.
0.
1.
2.
. 0
. 1
. 4
.8
.16
A B
Vamos praticar...
Trataremos o diagrama de flechas abaixo:
o Observamos que para os elemento de A, há umcorrespondente em B.
o A cada elemento de A corresponde um único elemento de B.Observamos que há um elemento em B que tem 3correspondentes em A, mas isso não é problema. Logo,temos uma função de A em B.
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2.
5.
10.
20.
. 1
. 0
. 2
A B
Vamos praticar...
Analisaremos o diagrama de flechas abaixo:
o Observamos que para os elemento de A, há umcorrespondente em B.
o Entretanto, há um elemento de A que corresponde amais de um único elemento de B. Sendo assim,essa característica NÃO permite existir uma função deA em B.
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0.
4.
.2
. 3
.5
A B
Vamos praticar...
Podemos concluir então que:
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2.
5.
10.
20.
. 1
. 0
. 2
A B-2.
-1.
0.
1.
2.
. 0
. 1
. 4
.8
.16
A B
É uma função É uma função
0.
4.
.2
. 3
.5
A B
Não é uma função
Domínio
Dada uma função f de A em B, o conjunto Achama-se domínio da função, pois representaas entradas para a função f. Ou seja, osvalores que podem ser usados na função. Odomínio da função indicaremos por D(f).
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0.
1.
2.
3.
.0
.2
.4
.6
.1
.3
.5
A B
Contradomínio
Dada uma função f de A em B, o conjunto B chama-secontradomínio da função, pois representa as possíveissaídas para a função f. Ou seja, os possíveisresultados para quando aplicamos um valor do x dodomínio na função. O contradomínio da funçãoindicaremos por CD(f).
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0.
1.
2.
3.
.0
.2
.4
.6
.1
.3
.5
A B
Imagem
Dada uma função f de A em B, o conjunto de todosos valores de y obtidos através de x é chamado deconjunto imagem da função f. Ou seja, ele é oresultado de f(x), que representa os valores reaisobtidos quando aplicamos um x do domínio nafunção e é indicado por Im(f).
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0.
1.
2.
3.
.0
.2
.4
.6
A B
.1
.3
.5
Componentes de uma função
Para caracterizar uma função é necessário
conhecer seus três componentes: o domínio
A, o contradomínio B e a regra que associa
cada elemento de A apenas a um único
elemento y = f(x) de B.
Nos dados anteriores, o domínio é A = {0; 1;
2; 3}, o contradomínio é B = {0; 1; 2; 3; 4; 5;
6}, a regra é dada por y = 2x e o conjunto
imagem é dado por Im(f) = {0; 2; 4; 6}.
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Vamos praticar...
Considere g uma função de A em B, para aqual A = {1; 3; 4}, B = {3; 9; 12} e g(x) é o triplode x para todos x A.
• Construa o diagrama de flechas da função;
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1.
3.
4.
.3
.9
.12
A B
Vamos praticar...
• Determine D(g), CD(g) e Im(g);o De acordo com o diagrama de flechas dado, o conjunto A representa o
conjunto de todos os valores reais de x que podem ser aplicados nafunção, caracterizando-se assim o domínio. Logo, D(g) = {1; 3; 4}.
o De forma semelhante, o conjunto B representa o conjunto de todos ospossíveis valores que podem ser resultados da aplicação de x nafunção, caracterizando-se assim o contradomínio. Logo, CD(g) = {3; 9;12}.
o Obtemos o conjunto imagem através da aplicação dos valores de x dodomínio da função em g. Como g(x) = 3x, aplicando:o x = 1, g(1) = 3.1 g(1) = 3
o x = 3, g(3) = 3.3 g(3) = 9
o x = 4, g(4) = 3.4 g(4) = 12
Assim, Im(g) = {3; 9; 12}
Perceba que, neste caso, o conjunto imagem da função é igual aocontradomínio. Isto nem sempre é verdadeiro, apenas em casos especiaiscomo este!
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Vamos praticar...
• Determine g(3);
Como g(x) = 3x, então para g(3), usa-se x = 3,
pois o 3 representa o valor que substituirá x,
assim:
g(3) = 3.3 g(3) = 9
• Determine x para o qual g(x) = 12.
Como g(x) = 3x, e segundo o enunciado para
g(x) utilizaremos 12, então:
g(x) = 3x 12 = 3x x = 12/3 x = 4
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Funções definidas por fórmulas
• No início vimos uma correspondência
entre o número de litros e o preço a pagar
expressa por:
P = 2,30x
• Essa função pode ser expressa pela
fórmula matemática:
y = 2,30x ou f(x) = 2,30x
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Funções definidas por fórmulas
Numa indústria, o custo operacional de umamercadoria é composto de um custo fixo deR$300,00 mais um custo variável de R$0,50 porunidade fabricada. Vamos expressar, por meio deuma fórmula matemática, a função do custooperacional.o Seja f(x) o custo operacional de uma mercadoria e x o
número de unidades fabricadas. Como a indústriacobra um custo de R$0,50 por unidade fabricada, ocusto para x unidades fabricadas é 0,50x (o produto).Ela também cobra uma custo fixo de R$300,00 nafabricação. Assim, o custo operacional é dado somada parte variável com a fixa, f(x) = 0,50x + 300.
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Vamos praticar...
Uma firma que conserta televisores cobra umataxa fixa de R$40,00 de visita e mais R$20,00,por hora de mão de obra. Então o preço que sedeve pagar pelo conserto de um televisor édado em função do número de horas detrabalho. Determine essa função.
o Seja f(x) o preço a ser pago pelo conserto do televisor ex o número de horas trabalhadas. Como a firma cobraR$20,00 por hora trabalhada, o custo para x horastrabalhadas é de 20x (o produto). Há também uma taxafixa de R$40,00 de visita. Logo, o custo total é dado pelasoma da parte variável com a fixa, f(x) = 20x + 40
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Vamos praticar...
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Vamos praticar...
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Domínio de uma função real
Vimos que em uma função há três
componentes: domínio, contradomínio e
lei da função.
Às vezes, porém, é dada somente a lei da
função, sem que A e B sejam citados. Assim
para que possamos usar algum valor na
função é necessário saber se ele pertence
ao domínio da função.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 28
Domínio de uma função real
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Domínio de uma função real
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Domínio de uma função real
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Domínio de uma função real
• Devemos considerar o intervalo que satisfaz aambas ao mesmo tempo. Então faremos aintersecção de x 7 e x 2.
• Assim, teremos como domínio o intervalo (2, 7] ou 2 x 7.
• Logo, D(f) = {x R | 2 x 7}
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7
2
2 7
Vamos praticar...
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 33
Vamos praticar...
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 34
Vamos praticar...
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2
3
2 3
Para que serve mesmo o domínio de uma função?
Como vimos o domínio de uma função representa asentradas para a função, ou seja, os valores que podem serusados na função. Façamos um paralelo entre essadefinição e nossas experiências cotidianas. Por exemplo:
Se imaginarmos f como sendo um liquidificador, e usarmosx como sendo frutas, esse liquidificador poderá nos retornaum resultado f(x), então essas frutas (x) fazem parte dodomínio da função (liquidificador).
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Para que serve mesmo o domínio de uma função?
Entretanto, se usarmos uma pedra (x) a
função liquidificador não poderá processar
esse x (pedra), NÃO sendo possível obter
f(x). Sendo assim, o x (pedra) não faz parte
do domínio da função (liquidificador).
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Para que serve mesmo o domínio de uma função?
Concluímos então que, o domínio de uma
função serve para sabermos que
valores x podem ser usados na
função f para obtermos f(x).
Exercendo, assim, uma importância
fundamental no estudo de funções.
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Gráfico de uma função
• Em livros, revistas e jornais frequentemente
encontramos gráficos e tabelas que
procuram retratar uma determinada
situação.
• Esses gráficos e tabelas, em geral,
representam FUNÇÕES, e por meio deles
podemos obter informações sobre a
situação que retratam, bem como sobre as
funções que representam.
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Gráfico de uma função: Definições
1. O Gráfico facilita à análise de dados,
que, muitas vezes, estão dispostos em
planilhas ou tabelas complexas.
2. Gráficos, consiste em recursos visuais
que facilitam a compreensão dos dados
expostos.
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Gráfico de uma função
• O gráfico de uma função auxilia na análise
da variação de duas (ou mais) grandezas
quando uma depende da outra.
• Analisemos o gráfico a seguir um gráfico
que mostra pontos de consumo de água
em uma residência (em porcentagem).
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Analisando gráficos
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Analisando gráficos
Analisando o gráfico, vemos que:
• O lavatório e o tanque consomem a mesma quantidade de água;
• A bacia sanitária consome aproximadamente 5 vezes mais água do que o tanque;
• A bacia sanitária e o chuveiro são os que mais consomem água;
• Desta lista, a máquina de lavar louças é o aparelho que menos consome água.
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Vamos Praticar?
(Adaptado de Enem 2007) Explosões solares emitem
radiações eletromagnéticas muito intensas e ejetam,
para o espaço, partículas carregadas de alta energia,
o que provoca efeitos danosos na Terra. O gráfico
seguinte mostra o tempo transcorrido desde a
primeira detecção de uma explosão solar até a
chegada dos diferentes tipos de perturbação e seus
respectivos efeitos na Terra.
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Vamos Praticar?
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Vamos Praticar?
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Considerando-se o gráfico, é correto afirmar que a
perturbação por ondas de rádio geradas em uma
explosão solar:
a) dura mais que uma tempestade magnética.
b) chega à Terra dez dias antes do plasma solar.
c) chega à Terra depois da perturbação por raios X.
d) tem duração maior que a da perturbação por
raios X.
Resolução
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FALSA! Podemos perceber que a duração T das ondas
de rádio é tal que 1min<T<10h e a tempestade magnética
tem duração de, aproximadamente, dez dias.
Duração inferior à 10 h Duração de, aproximadamente10 dias
a)
Resolução
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Percebe-se, que este item ressalta a necessidade
de sabermos analisar gráficos que NÃO ESTÃO EM
ESCALA, deixando assim de confiarmos apenas na
nossa percepção visual de comprimento, e
passando analisar cuidadosamente todas as
informações de um gráfico!
ATENÇÃO!
Resolução
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Diferença na Chegada é um pouco maior que 1 dia!
FALSA! Pelo esquema acima, analisando cuidadosamente o
eixo horizontal do gráfico percebemos que as perturbações
por ondas de rádio chegam na Terra, aproximadamente, um
dia antes do plasma solar.
b)
Resolução
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Diferença na Chegada é menor que 1 minuto!
FALSA! Pode-se perceber pelo esquema acima
que as perturbações por ondas de rádio e de raios
X chegam, praticamente, simultaneamente à Terra.
c)
Resolução
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d) VERDADEIRA. Percebam que a perturbação por raio X tem
duração de pouco mais de dez minutos, enquanto as
perturbações por ondas de raio dura algumas horas.
d)
Duração de pouco mais de 10 min.
Duração superior à 1h.
Coordenadas cartesianas
• A notação (a,b) é usada para indicar o par
ordenado de números reais a e b, no qual o
número a é a primeira coordenada e o
número b é a segunda coordenada.
• Observe que os pares ordenados (3;4) e
(4;3) são diferentes, pois a primeira
coordenada de (3;4) é 3, enquanto a
primeira coordenada de (4;3) é 4.
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Sistema de Eixos Ortogonais
• Um sistema de eixos ortogonais é
constituído por dois eixos perpendiculares,
Ox e Oy, que têm a mesma origem O.
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Sistema de Eixos Ortogonais
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Sistema de Eixos Ortogonais
• Damos o nome de plano cartesiano a um
plano munido de um sistema de eixos
ortogonais.
• Os eixos ortogonais dividem o plano
cartesiano em quatro regiões chamadas
quadrantes. A figura a seguir ilustra melhor a
noção de quadrante.
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Sistema de Eixos Ortogonais
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 56
Sistema de Eixos Ortogonais
• Usamos esse sistema para localizar pontos
no plano. Dado um ponto P desse plano,
dizemos que os números a e b são as
coordenadas cartesianas do ponto P, em
que a é a abscissa e b é a ordenada.
• Por exemplo, vamos localizar em um plano
cartesiano os pontos A(4;1), B(1;4), C(-2;-3),
D(2;-2), E(-1;0).
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Sistema de Eixos Ortogonais
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 58
Construção de Gráficos de Funções
Para construirmos o gráfico de uma função
dada por y=f(x), com x ϵ D(f), no plano
cartesiano devemos:
1. Construir uma tabela com valores de x e y;
2. A cada par ordenado da tabela associar um
ponto do plano cartesiano;
3. Marcar o número suficiente de pontos, até
que seja possível esboçar o gráfico da
função.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 59
Exemplos
Vamos construir o gráfico da função dada por f(x)
= 2x+1, sendo o domínio D=(0,1,2,3,4).
Façamos uma tabelados valores de x e f(x), para
termos uma noção do comportamento da função.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 60
x y = f(x)
0 1
1 3
2 5
3 7
4 9
Exemplos
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 61
• Diante dos valoresda tabela podemosconstruir o gráficode f (gráfico aolado).
Exemplos
Vamos construir o gráfico da função dada porf(x) = 2x+1, sendo o domínio D = IR.
Façamos uma tabelados valores de x e f(x),para termos uma noção do comportamento dafunção.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 62
x y=f(x)
-2 -3
-1 -1
0 1
1 3
2 5
Exemplos
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 63
• Diante dos valoresda tabela podemosconstruir o gráficode f (gráfico aolado).
Construção de Gráficos de Funções
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 64
R= Os domínios são diferentes
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 65
Vamos Praticar?
(Enem 2007. Adaptado) O gráfico da página
seguinte, obtido a partir de dados do Ministério
do Meio Ambiente, mostra o crescimento do
número de espécies da fauna brasileira
ameaçadas de extinção.
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência
de crescimento mostrada neste gráfico, o
número de espécies ameaçadas de extinção em
2011 será igual a:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 66
Vamos Praticar?
a) 465.
b) 493.
c) 498.
d) 538.
e) 699.
Alternativas:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 67
Resposta
Se observarmos o comportamento do gráfico,
notaremos que este pode ser modelado por uma
função do 1º grau, da forma f(x) = ax+b.
Admitindo f(x) como o número de espécies
ameaçadas de extinção, e x como seus
respectivos anos. Podemos escrever a equação
da reta que passa por dois pontos: P1(1983;239)
e P2(2007;461).
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 68
Resposta
A partir destes dados podemos formar um
sistema de equações. Como f(x) = ax+b.
L1
L2
Vamos resolver este sistema 2X2:
L2 = L2 - L1 222=24a a=9,25
ba
ba
2007461
1983239
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 69
Resposta
Como já descobrimos o valor de a, podemos
encontrar, facilmente, o valor de b:
L1 239=1983*9,25+b b = - 18103,75
Desta forma a função que procurávamos é:
f(x)=9,25x-18103,75.
Basta descobrir o valor de f(2011):
f(2011) = 9,25*2011-18103,75 = 498
Logo a alternativa correta é a C
Função Crescente e Decrescente
De modo geral, analisando o gráfico de uma
função, podemos observar propriedades
importantes dela, tais como:
1. Onde ela é positiva (f(x)>0), onde ela é
negativa (f(x)<0) e onde ela se anula
(f(x)=0). Os valores de x nos quais ela se
anula (f(x)=0) são chamados de zero da
função f.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 70
Função Crescente e Decrescente
2. Onde ela é crescente (se x1<x2, então
f(x1)<f(x2)), onde ela é Decrescente (se
x1<x2, então f(x1)>f(x2)) e onde ela assume
um valor máximo ou um mínimo, se
existirem. Por exemplo, vamos considerar
o gráfico seguinte e analisá-lo no intervalo
(-6, 6).
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 71
Função Crescente e Decrescente
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 72
Analisando o Gráfico
f é positiva em (-5,-1) e em (5,6);
f é negativa em (-6,-5) e em (-1,5);
f é nula em x=-5, x=-1 e x=5. Esses são os zerosda função
f é crescente em (-6,-3] e em [2,6);
f é decrescente em [-3,2];
O ponto com x=-3 é um ponto de máximo e f(x)=2 éo valor máximo de f;
O ponto com x=2 é um ponto de mínimo e f(x) = -3é o valor mínimo de f.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 73
Vamos Praticar?
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 74
• Um rapaz desafia seu pai para uma
corrida de 100m. O pai permite que o filho
comece 30 m à sua frente. Um gráfico
bastante simplificado dessa corrida é dado
a seguir:
Vamos Praticar?
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 75
Vamos Praticar?
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 76
• Pelo gráfico, quem ganhou a corrida e
qual foi a diferença de tempo?
Esta linha verde representa a corrida garoto, pois no tempo inicial a distância vale 30m
O pai chegou, aproximadamente, 14s após a largada
O garoto chegou, aproximadamente, 17s após a largada
R= Portanto o Pai
Ganhou a corrida com
3s de diferença!
Vamos Praticar?
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 77
• A que distância do início o pai alcançou
seu filho?
70m
R= Como a ordenada do
ponto de intersecção
vale 70 m, logo o pai
ultrapassou o garoto
nesta distância.
Vamos Praticar?
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 78
• Em que momento depois do início da
corrida ocorreu a ultrapassagem?
10s
R= Como a abscissa do
ponto de intersecção
vale 10s, logo o pai
ultrapassou o garoto
neste momento.
Referências
• DANTE, L. R. Matemática: Ensino Médio. 1.ed. São Paulo:Ática, 2004.
• NIEDERAUER,J.Z. Funções. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/zips/funcoes1.zip>. Acessoem:19 maio 2012.
_______. Função. Disponível em: < http://www.matematicadidatica.com.br/Funcao.aspx >. Acesso em:19 maio 2012.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 79
OBRIGADO!
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 80