GUIA DE POWER HARVESTING HISTÓRIA …€¦ · GUIA DE POWER HARVESTING: HISTÓRIA, EVOLUÇÃO E FUNDAMENTOS. ... Isto significa que quanto mais rapidamente um objeto se move, maior

Grupo de Materiais e Sistemas Inteligentes - GMSINT Guia de Power Harvesting: História, Evolução e Fundamentos

I

Trabalho de Graduação

Aluno: Marcela Antunes Galhardi

Orientador: Prof. Dr. Vicente Lopes Junior

Ilha Solteira, julho de 2010

Avenida Brasil Centro, 56 - Caixa Postal 31 - CEP 15385-000 - Ilha Solteira - SP – BRASIL

Fone: 18 3743-1000 Fax: +55 18 3742-2735

GUIA DE POWER HARVESTING :

HISTÓRIA, EVOLUÇÃO E FUNDAMENTOS


II

DEDICATÓRIA

Dedico esse trabalho aos meus amados pais, Ivonete e Maurício e a meu querido João Fábio, que são meu alicerce e minha força.


III

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente ao Prof. Dr. Vicente Lopes Júnior, pela oportunidade

de fazer parte do Grupo GMSINT, por depositar tanta confiança em seus orientados,

pela paciência e maestria e pelo sempre bom humor.

A meus amigos, que compartilharam comigo tão bons momentos e que sempre

estiveram ao meu lado nos maus momentos.

À minha banca examinadora pela imensa paciência, disponibilidade e atenção, e

pelas contribuições enriquecedoras.

Agradeço a cada um de meus professores cujos ensinamentos técnicos e pessoais

guardarei sempre na memória. Graças a vocês hoje posso iniciar minha carreira com

confiança e determinação.


IV

Sumário

OBJETIVOS E MOTIVAÇÃO ......................................................................................................... 1

RESUMO ............................................................................................................................................ 2

1.1 Definição de energia ............................................................................... 3

1.1.1 Energia potencial ............................................................................... 4

1.1.2 Energia cinética ................................................................................. 4

1.2 A transformação de energia ................................................................... 4

1.3 A Conservação de energia ...................................................................... 6

1.4 Transdutores de energia ......................................................................... 6

1.4.1 Transdutores resistivos ...................................................................... 8

1.4.2 Transdutores capacitivos ................................................................... 8

1.4.3 Transdutores Indutivos ...................................................................... 8

1.5 A Transdução Piezelétrica ...................................................................... 9

1.5.1 Aplicações de materiais piezelétricos ................................................ 13

CAPÍTULO 2 – FUNDAMENTOS DE POWER HARVESTING................................................. 14

2.1 Definição e Motivação .......................................................................... 14

2.2 Comparação entre diferentes transdutores de energia para Power

Harvesting 15

2.3 Histórico dos estudos sobre Power Harvesting .................................... 17

2.3.1 Aplicação de Power Harversting em atividades do ser humano ..... 17

2.3.2 Geradores piezelétricos baseados em estruturas engastadas ......... 19

2.4 Entendendo o Processo Power Harvesting .......................................... 22

CAPITULO 3 – FERRAMENTAS PARA A MODELAGEM E ESTUDO

EXPERIMENTAL DE ESTRUTURAS INTELIGENTES E PARA POWER HARVESTING. .............. 25

3.1 O Método dos Elementos finitos ........................................................... 26

3.2 Dinâmica de sistemas mecânicos.......................................................... 27

3.2.1 Conceitos básicos de vibração ........................................................... 27


V

3.2.2 Dedução das equações de movimento via Segunda lei de Newton ... 31

3.2.3 Dedução das equações de movimento via Equações de Lagrange .... 34

3.2.4 Problema do autovalor ...................................................................... 37

3.2.5 Transformadas de Laplace ................................................................. 40

3.2.6 Resposta de um sistema amortecido a movimento harmônico de base

................................................................................................................................ 44

3.3 Dinâmica de sistemas elétricos ................................................................ 47

3.3.1 Relações constitutivas para elementos de um circuito....................... 47

3.3.2 Fontes de potencial e corrente ........................................................... 48

3.3.3 As Leis de Kirchhoff ......................................................................... 49

3.4 Dinâmica de sistemas eletromecânicos – piezelétricos ............................ 50

3.4.1 Transdutor eletromecânico geral ....................................................... 51

3.4.2 Modelo de viga de Euller-Bernoulli .................................................. 53

3.4.3 Elemento de Placa de Kirchoff .......................................................... 59

3.4.4 Método de Newmark ......................................................................... 71

3.4.5 Métodos Experimentais ..................................................................... 76

CAPÍTULO 4 – MODELAGEM DE ESTRUTURAS INTELIGENTES . .................................. 78

4.1 – Relações constitutivas ............................................................................ 78

4.1.1 Relações constitutivas da estrutura .................................................... 78

4.1.2 Relações constitutivas dos materiais piezelétricos ............................ 82

4.2 – Acoplamento eletromecânico ................................................................. 84

4.3 - Elementos de Placa de Kirchoff e Viga de Euler-Bernoulli

Eletromecanicamente Acoplados ............................................................................... 91

CAPÍTULO 5 – ESTUDO COMPARATIVO DE DIFERENTES MODEL OS

PROPOSTOS “NA LITERATURA” ............................................................................................................ 92

5.1 Alguns exemplos de modelagens atuais ................................................ 92

5.2 Modelagem de uma viga piezelétrica ................................................... 97


VI

5.3 Modelagem de uma viga eletromecânica engastada .......................... 101

CAPÍTULO 6 – SIMULAÇÕES NUMÉRICAS .......................................................................... 109

6.1 Modelagem de uma viga engastada com PZTs acoplados no programa

SmartSys ........................................................................................................... 109

6.2 – Aplicações numéricas e validações experimentais .............................. 114

CAPÍTULO 7 – CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................. 124

8- REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 125

ANEXO I – MANUAL DO PROGRAMA SMARTSYS ............................................................. 129

III.1 Motivação .......................................................................................... 130

III.2 Estudos teóricos para compreender o funcionamento do programa.

............................................................................................................ 130

III.3 Investigação ao Programa Smartsys ............................................... 134

O PROGRAMA SMARTSYS ....................................................................................................... 135

III.4 Mapeamento do programa Smartsys .............................................. 136

III.4.1 – Pré processamento ..................................................................... 136

A.4.2 – Solução ........................................................................................ 144

III.4.3 – Pós processamento ..................................................................... 156


1

OBJETIVOS E MOTIVAÇÃO

O assunto discutido nesse guia, o Power Harvesting, é um assunto novo e que

vem ganhando muita popularidade nos últimos anos. Por ser recente, muito se pode

trabalhar para obter avanços na área. Porém, cada um que inicia seus estudos sobre o

assunto deve iniciar de um ponto avançado da pesquisa para que a pesquisa caminhe

sempre mais e mais passos a frente. Para facilitar a inserção de um novo pesquisador no

mundo do Power Harvesting, um guia contendo os conceitos iniciais, um pouco de

história e fundamentos seria uma solução.

O objetivo deste trabalho é a criação de um guia sobre Power Harvesting. Este

guia servirá como uma ferramenta para os futuros pesquisadores na área iniciarem seus

estudos a respeito do assunto.


2

RESUMO

O guia elaborado contém um pouco da história do Power Harvesting, aplicações

na Engenharia, modelagens matemáticas envolvidas e como vem se desenvolvendo essa

pesquisa, que cresce cada vez mais na área da engenharia. Conceitos fundamentais

relacionados com os componentes dos quais um sistema de Power Harvesting é

composto serão descritos, como a dinâmica de sistemas mecânicos e elétricos, tipos de

análises e avaliação de parâmetros comportamentais do sistema. Serão ilustrados alguns

exemplos de simulações numéricas com estruturas inteligentes para o estudo do

potencial elétrico do PZT e das suas influências da dinâmica da estrutura.

ABSTRACT

The guide produced has some of the history of Power Harvesting, applications in

engineering, mathematical modeling involved and how this research is evolving,

growing increasingly in engineering. Fundamental concepts related to the components

of a harvester will be described, as the dynamics of mechanical and electrical systems,

types of analysis and evaluation of behavioral parameters of the system. Some examples

of simulations using smart structures are illustrated to study the electrical potential of

the PZT and its influences on the dynamics of the structure.


3

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO

Analisando-se todo o esqueleto do processo de Power Harvesting, a variável

mais importante por trás de todas as análises e estudos é a energia. É importante

preparar a mente para tantas outras variáveis que virão. Vamos, então começar com

Energia!!

1.1 Definição de energia

Energia, um conceito mágico e tão cotidiano na vida terrena, não tem definição.

Segundo a Wikipédia, “A etimologia da palavra tem origem no idioma grego, onde

εργος (ergos) significa trabalho”. A geração de trabalho é proveniente da transferência

de energia. Energia em movimento gera trabalho. Todos os conceitos criados até hoje

em torno de energia giram em torno dessas dessa relação cíclica entre energia e

trabalho.

Inerente à energia estão duas propriedades: A transformação e a conservação.

As sociedades humanas dependem cada vez mais de um elevado consumo

energético para sua subsistência. Para isso, foram desenvolvidos, ao longo da história,

diversos processos de transformação, transporte e armazenamento de energia.

A energia está presente em tudo que existe no mundo e que está vivo, a vida e

tudo que é modificado, gerado e destruído por ela requer energia. Tudo que morre perde

sua energia, ou tudo que perde sua energia, morre. Ela se encontra nas mais diversas

formas e agindo das mais distintas maneiras. De uma maneira mais didática e

abrangente, enxergamos a energia em nosso mundo cotidiano em diversas formas:

elétrica, magnética, mecânica, hidráulica, nuclear, eólica, solar, geotérmica. Na

realidade todas elas podem ser divididas em duas modalidades de energia: a potencial e

a cinética.


4

1.1.1 Energia potencial

Quando existe energia potencial, existe a capacidade de se modificar energia.

Quando existe uma diferença de potencial entre cargas, realiza-se trabalho. Assim,

quando existe diferença de potencial elétrico, por exemplo, existe a possibilidade de

ocorrer fluxo de cargas elétricas. “Se uma substância é rica em energia potencial e está

puder ser libertada com facilidade, dita substância recebe o nome de combustível”

(NETTO). Destacam-se entre as energias potenciais mais usuais: a elástica, a

gravitacional e a elétrica.

1.1.2 Energia cinética

Uma velha locomotiva a vapor transforma energia química em energia cinética.

A combustão de madeira ou carvão na caldeira é uma reação química que transfere a

energia potencial do combustível (calor = transferência de energia), proporcionando à

água potencial (mudança de fase de líquido para vapor) para fornecer energia à

locomotiva, que adquire movimento.

Isto significa que quanto mais rapidamente um objeto se move, maior o nível de

energia cinética. Além disso, quanto mais massa tiver um objeto, maior é a quantidade

de energia cinética necessária para movê-lo.

1.2 A transformação de energia

“Na natureza nada se perde e nada se cria, tudo se transforma”.

Lavoisier

Participando da extraordinária variedade do universo, a matéria e a energia

podem apresentar-se sob as mais diversas formas: um corpo em movimento está

animado de energia cinética, enquanto uma mola distendida tem energia potencial; uma

dinamite possui energia química; já um corpo eletricamente carregado armazena energia

elétrica.

Essas formas de energia podem se transformar umas nas outras: a mola

distendida, ao ser liberada, ganha movimento, o que significa que sua energia potencial


5

se converte em energia cinética. Analogamente, a energia química contida na gasolina

pode ser transformada, através da queima do combustível, em energia cinética,

aproveitada para movimentar um veículo. E a produção de energia elétrica nas usinas

hidrelétricas aproveita a energia das quedas de água.

Quando Albert Einstein formulou a Teoria da Relatividade, mostrou que a massa

(portanto a matéria) pode se transformar em energia e que a energia pode se transformar

em massa (matéria). A relação entre essas duas grandezas é dada pela equação:

E=m.c²

sendo:

c = velocidade da luz no vácuo (3,0x108m/s)

E = energia que corresponde à massa m.

A partir daí elaborou-se um conceito mais avançado de matéria:

Matéria é energia condensada. – surgindo assim as primeiras idéias que

alavancaram as teorias contemporâneas hoje existentes.

Quando os nossos antepassados migravam seguindo o sol em busca de

sobrevivência, para se alimentar melhor e se proteger, inconscientemente eles

descobriam sua dependência da energia e adquiriam a habilidade de transformar

energia. Não é por acaso que a mais importante descoberta da história foi o fogo. Uma

fonte mágica de energia térmica que consolidou a sobrevivência da espécie humana na

Terra. O homem sempre foi impulsionado a buscar energia e a adaptá-la às suas

necessidades. Dessa forma, são inventadas maneiras de transformar energia desde o

início da nossa vida na Terra até hoje. Essa impulsão ganhou força no inicio da

Revolução Industrial, com a invenção do motor a vapor. A partir daí, a industrialização,

o domínio tecnológico e a globalização mundial nos tornaram cada vez mais

dependentes de energia, principalmente elétrica, eletromagnética e mecânica. A

conseqüência é a enorme quantidade de mecanismos de transformação de energia nessas

três formas principais. Podem-se citar usinas hidrelétricas, nucleares, eólicas, solares

(produção de energia elétrica), o carvão e o petróleo e outros incontáveis tipos de

combustível, muitos dos quais surgidos após o inicio da crise energética no mundo por

escassez de petróleo e ameaça de esgotamento das jazidas (produção de energia

mecânica).


6

1.3 A Conservação de energia

Como a energia não pode ser criada ou destruída.

A Lei da Conservação da Energia diz: “Sempre que desaparece uma quantidade

de uma classe de energia, uma quantidade exatamente igual de outra(s) classe(s) de

energia é (são) produzida(s)”.

Trata-se de uma lei criada durante anos de pesquisas e descobertas de grandes

pesquisadores como: Antoine Lavoisier (1743-1794), que descobriu que, em reações

químicas em sistema fechado, a massa dos reagentes era igual à massa dos produtos de

reação; Christian Huyghens (1629-1695), que verificou que o produto da massa pelo

quadrado do valor da velocidade, se conservava em algumas colisões, ditas elásticas,

dando posteriormente origem àquilo que conhecemos como energia cinética, ( );

Julius Robert Mayer (1814-1878) cujo ensaio defendia que "Quando uma quantidade de

energia de qualquer natureza desaparece numa transformação, então produz-se uma

quantidade igual em grandeza de uma energia de outra natureza"; Max Planck (1858-

1947), primeiro físico que exprimiu a lei matematicamente, em termos rigorosos e mais

gerais.

1.4 Transdutores de energia

Transdutor é qualquer aparelho que transforma uma informação.

O transdutor é qualquer dispositivo capaz de transformar um tipo de sinal em

outro para permitir o controle de processos físicos, ou realizar uma medição (tabela 1.1).

Na análise experimental de estruturas, normalmente, são empregados aparelhos

mecânicos (relógios comparadores e extensômetros), elétricos (resistivos, indutivos),

acústicos (transdutores de corda vibrante) e ópticos (mira telescópica, interferometria a

laser) para medida dos movimentos.

Transdutores passivos são aqueles cuja energia de saída é proveniente

unicamente (ou quase unicamente) da energia de entrada (Resistência, Capacidade,

Indutância).


7

Transdutores ativos são aqueles que dispõem de uma alimentação de energia.

Neles, a maior parte da energia de saída é provida pela alimentação (Termoelétricos,

Piezelétricos).

Em Preumont (2006), o capítulo 3 traz exemplos de modelagens de transdutores

eletromecânicos.

Tabela 1.1: Exemplo de transdutores

ENTRADA SAÍDA TRANSDUTOR

Temperatura Deslocamento (de coluna de líquido) Termômetros

Temperatura Tensão Termopar

Temperatura Variação da resistência Termistor

Força Deslocamento Balanças de mola

Pressão Movimento (de coluna de líquido) Manômetro

Deslocamento Variação de resistência Potenciômetros

Luz Tensão Célula fotoelétrica

Som Variação da capacidade Microfone

Em princípio, os movimentos de choques e vibrações são medidos com

referência a um ponto fixo no espaço por dois tipos de transdutores:

I- Transdutores de referência fixa. Uma extremidade do transdutor é fixada

num sistema de referência no espaço e a outra extremidade (terminal) é fixada na parte

móvel, na qual o movimento deve ser medido. Esta fixação pode ser feita por meios

mecânicos, elétricos, ou no caso de sistema óptico deve-se tomar uma “marca” de

referência que não seja alterada ao longo da medição;

II- Transdutor massa-mola (também denominado de transdutor sísmico).

Neste caso, uma extremidade (terminal) do transdutor é a base do sistema massa mola,

que normalmente está fixada na peça que está em movimento, ou onde a vibração está

sendo investigada. A grandeza a ser medida é baseada no movimento relativo entre o

movimento inercial da massa e a carcaça (invólucro) do transdutor. Esses transdutores

podem medir movimentos de rotação, movimentos lineares, tais como acelerações,

velocidades e deslocamentos. A vantagem desses transdutores está baseada no fato de

não ser necessário um sistema de referência fixa para a determinação dos movimentos,


8

portanto, esses transdutores também podem ser embarcados em sistemas móveis, tais

como acelerômetros para medida de aceleração em veículos terrestres, aéreos, etc.

Para as aplicações desejadas no estudo de Power Harvesting, os transdutores

sísmicos de referência são mais interessantes. Esses transdutores são divididos em três

categorias:

1.4.1 Transdutores resistivos

Normalmente estes transdutores empregam os seguintes dispositivos elétricos:

potenciômetro e extensômetros elétricos. São aparelhos que utilizam extensômetros

elétricos de resistência (EER) para transformar a deformação em um sinal elétrico.

É possível relacionar diretamente um deslocamento medido na extremidade de

uma viga, por exemplo, com as deformações específicas em qualquer seção transversal,

com distância conhecida, possibilitando assim a indicação imediata, além do registro

dos deslocamentos proporcionais, ou seja, um transdutor de deslocamento.

1.4.2 Transdutores capacitivos

O movimento de rotação ou de translação pode ser usado de diversas formas

para alterar a capacidade de um equipamento. Esta variação de capacidade pode ser

convertida num sinal elétrico utilizável através de um circuito apropriado.

A vantagem destes transdutores reside na sua simplicidade mecânica, no seu

peso ligeiro e grande sensibilidade.

1.4.3 Transdutores Indutivos

De modo análogo aos transdutores resistivos e capacitivos, os transdutores

indutivos são transdutores ativos que requerem uma fonte de excitação externa para

proporcionar uma tensão de saída.


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1.5 A Transdução Piezelétrica

Diferente da maioria dos transdutores existentes, o transdutor piezelétrico não

converte energia mecânica em elétrica por meio do movimento de algum mecanismo em

seu interior ou exterior. O material piezelétrico contido no transdutor possui a

capacidade inerente de converter energia mecânica em elétrica e vice-versa. Devido a

essa propriedade, ele é caracterizado como um Material Inteligente,ou seja, capaz de se

modificar em reação as mudanças no ambiente.

Alguns outros exemplos de materiais inteligentes são os eletro-resistivos e

magneto-resistivos, fluidos e sólidos eletro-reológicos, ligas de memória de forma ou

fibras óticas.

A figura 1.1 (Preumont, 2006) esquematiza propriedades de materiais de acordo

com sua reação a diversos tipos de entrada, localizando os materiais inteligentes e

destacando os materiais piezelétricos.

Figura 1.1: Indicação de efeitos nos materiais devido a diversas entradas. Os

materiais inteligentes correspondem às células não-diagonais (Preumont, 2006).

A descoberta do efeito piezelétrico ocorreu em 1880 com os irmãos Pierre e

Jacques Curie. Ao analisarem determinados minerais cristalinos (como quartzo e

titanato de bário), descobriram uma característica incomum: quando sujeitos a uma

força mecânica, os cristais se tornaram polarizados eletricamente. A tensão e a

compressão geraram tensões de polaridade oposta e, proporcional à força aplicada.

Subseqüentemente, o inverso deste relacionamento foi confirmado: quando um destes


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cristais foi exposto a um campo elétrico se observou que o mesmo alongou ou encurtou

de acordo com a polaridade do campo e, proporcionalmente à força do campo. A esse

fenômeno foi dado o nome de Piezeletricidade, relacionado à ferroeletricidade.

Os materiais piezelétricos mais populares para transdução de energia são as

cerâmicas PZT (Lead Zirconate Titanate) e os filmes plásticos PVDF (PolyVinyliDene

Fluoride). Preumont (2006) comparou por meio dos gráficos mostrados na figura 1.2 as

características de diversos materiais inteligentes referentes à relação tensão x

deformação.

Figura 1.2: Comparação entre diversos materiais com relação à tensão x

deformação (Preumont,2006).

Descobertos por Jaffet et al.em1954 (CLARK, SAUNDERS E GIBBS, 1998),

os PZTs são constituídos principalmente de óxido de chumbo, zircônio e titânio. Uma

das vantagens do PZT reside no fato de apresentar grande rigidez, da ordem de 70 GPa,

sendo idealmente indicado na confecção de atuadores.

Já o PVDF, cujas propriedades piezelétricas foram descobertas por Kawai após

1960 (TSENG ET AL, 1989), é um polímero piezelétrico robusto e maleável, que pode

ser produzido em geometrias complexas e extremamente delgadas. Com todas essas

propriedades, o PVDF é altamente indicado para sensoriamento distribuído.

Estes materiais piezelétricos sintéticos (cerâmicas e polímeros, por exemplo)

podem ser produzidos através de polarização de um substrato apropriado mediante


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aplicação de um forte campo elétrico a temperaturas elevadas. A polarização destes

materiais tem por efeito alinhar parcialmente os dipolos elétricos dos domínios

microscópicos, o que resulta em uma polarização macroscópica que favorece o

acoplamento eletromecânico. Como resultado deste acoplamento, o material se

deformará em resposta a um campo elétrico externo, o que confere ao material

capacidade de atuação (efeito inverso). A capacidade de sensoriamento resulta do efeito

piezelétrico direto, segundo o qual a aplicação de solicitações mecânicas externas ao

material provoca rotações dos dipolos originalmente alinhados, provocando o

surgimento de uma distribuição de cargas elétricas.

Esta reciprocidade entre a energia mecânica e elétrica propicia aos materiais

piezelétricos grande aplicabilidade em várias áreas. A figura 1.3 apresenta uma

ilustração do efeito piezelétrico direto e inverso.

Figura 1.3: Ilustração do efeito direto e inverso

A relação campo elétrico - deformação é aproximadamente linear para baixas

intensidades do campo elétrico, o que é uma característica vantajosa quando se utiliza o

efeito piezelétrico em sistemas de controle. Entretanto, para maiores intensidades do

campo elétrico, ocorre um fenômeno de saturação da polarização, com a inversão dos

dipolos elétricos. Isto leva à significativa histerese e relações não lineares entre o campo

elétrico e a deformação, fato que pode causar dificuldades quando do uso de atuadores

piezelétricos em procedimentos de controle que requerem elevadas intensidades de

campo elétrico. Todavia, a maioria das aplicações práticas limita-se ao regime linear.

Um dos cuidados a serem tomados quando da utilização de materiais

piezelétricos é o de que a temperatura não deve ultrapassar um valor limite, denominado

temperatura de Curie, a partir do qual há uma despolarização espontânea do material e a

conseqüente perda das características piezelétricas. Todavia, para temperaturas

inferiores à temperatura de Curie, há relativa insensibilidade das características do

material em relação às variações de temperatura, fato que constitui uma das principais


12

vantagens do uso de elementos piezelétricos para o controle e a detecção de falhas

estruturais.

A primeira aplicação tecnológica de um elemento piezelétrico pode ser atribuída

a Paul Langevin (1872-1946), que desenvolveu um sonar utilizando o quartzo como

elemento piezelétrico. O descobrimento, por Roberts [2], que cerâmicas ferroelétricas

de titanato de bário (BaTiO3) polarizadas apresentam o efeito piezelétrico marcou o

início da geração das piezo cerâmicas.

Em aplicações estruturais (para o controle de vibrações e ruído, por exemplo) os

elementos piezelétricos são colados sobre a superfície ou inseridos no volume da

estrutura. Em ambos os casos, os esforços de controle (forças e/ou momentos fletores)

são gerados pela aplicação de voltagens aos atuadores piezelétricos. O objetivo da

modelagem é determinar a resposta do sistema a um dado sinal de voltagem aplicado,

enquanto o projeto de sistemas de controle consiste na determinação do sinal de

voltagem a ser aplicado para se obter a autoridade de controle adequada.

A integração de sensores, atuadores e controladores habilitam uma estrutura a

responder de modo controlado a excitações externas, procurando compensar os efeitos

que levariam sua resposta a se afastar de patamares aceitáveis. Estes sistemas, que

integram sensores, atuadores e controladores, são comumente chamados de Estruturas

Inteligentes. Nesta concepção, papel fundamental é desempenhado pelos materiais

inteligentes, capazes de sofrer alterações controláveis de suas características físicas

(mecânicas, elétricas, ópticas, etc.). Esta capacidade de adaptação tem possibilitado a

proposição de tipos inovadores de sensores e atuadores.

Dentre as características citadas, destaque especial é dado aos materiais com

alterações mecânicas e elétricas, ou seja, materiais piezelétricos.

A figura 1.4 mostra, de maneira esquemática, os principais elementos de uma

estrutura inteligente.


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Atuador Sensor

Estrutura

Controlador

Figura 1.4: Principais elementos de uma estrutura inteligente

O capítulo 4 de Preumont (2006) descreve todas as relações constitutivas dos

transdutores piezelétricos. Parte delas será explicada no guia.

1.5.1 Aplicações de materiais piezelétricos

O uso dos materiais inteligentes em sistemas de monitoramento das condições de

máquinas e estruturas já possui grande impacto nos setores aeroespacial e da construção

civil.

Atuando como parte de uma estrutura inteligente, os materiais piezelétricos têm

sido largamente empregados para o controle de vibrações e supressão de ruídos em

aeronaves, no espaço e em estruturas convencionais.

Materiais piezelétricos têm sido também empregados no desenvolvimento de

músculos artificiais que simulam movimentos humanos para aplicações em robótica,

University of Alberta (2001). Pesquisadores do Illinois Institute of Technology

implantaram um sensor piezelétrico no músculo de um paciente. O dispositivo transmite

informações sobre a atividade do nervo local via rádio para um sistema de

monitoramento externo. O dispositivo, pode, também receber sinais e estimular a ação

do músculo, (TROYK ET AL. 1991).

Além de toda essa variedade de aplicações, outras áreas de pesquisa têm grande

interesse pelos materiais piezelétricos. Uma delas, o motivo desse guia, é o Power

Harvesting, ou “colheita de energia”, que será discutido a partir de agora.


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CAPÍTULO 2 – FUNDAMENTOS DE POWER HARVESTING

2.1 Definição e Motivação

O avanço da tecnologia das últimas décadas e o conseqüente desenvolvimento

da tecnologia microeletromecânica (MEMS) (sensores de baixa potência, dispositivos

de comunicação sem fio e processadores de sinal digital) incentivou as pesquisas por

fontes alternativas de energia para manter esses equipamentos trabalhando,

principalmente em condições de ausência ou dificuldades de fornecimento de energia

para seu funcionamento. A engenharia busca com essa investigação, métodos para a

criação de dispositivos com auto-alimentação. Uma alternativa é captar a energia do

ambiente, oriunda na maioria das vezes de vibração mecânica, transformá-la em energia

elétrica, armazenar e depois utilizá-la para recarregar ou manter o dispositivo em

funcionamento. Este método é chamado Power Harvesting. Os equipamentos

destinados à realização de Power Harvesting são chamados de “harvesters” ou

“colhedores”. Esse tipo de equipamento é caracterizado por converter, armazenar e/ou

redirecionar a energia coletada para outras aplicações.

O fenômeno da vibração está presente em todos os lugares e, em muitos casos,

afeta grandemente a natureza dos dispositivos de engenharia (INMAN, DJ, 2001). Cada

estrutura tem sua própria freqüência natural. Quase sempre algum tipo de vibração

mecânica ocorre no ambiente. Essas vibrações nada mais são do que energia fornecida

ao sistema vibrando que não é aproveitada e é dissipada no ambiente. Essa energia pode

ser aproveitada por dispositivos eletrônicos. A utilização de vibrações mecânicas para

deformar um material piezelétrico ou deslocar uma bobina eletromagnética é, hoje em

dia, um dos métodos mais eficazes de implementação de um sistema de Power

Harvesting.

Dispositivos que realizam Power Harvesting atualmente não produzem energia

suficiente para realizar trabalho mecânico, mas sim fornecer uma quantidade muito

pequena de energia para alimentar eletrônicos de baixa potência. Tradicionalmente, a


15

energia elétrica tem sido gerada em grandes instalações centralizadas movidas a

combustíveis fósseis, fissão nuclear ou água corrente. Em larga escala a energia do

ambiente, como sol, vento e marés, é amplamente disponível, mas não existem

tecnologias para capturá-la com grande eficiência. Enquanto a obtenção de combustível

para geração em larga escala custa dinheiro (petróleo, carvão, etc), o "combustível" para

Power Harvesting está presente na natureza e por isso é considerado livre. Por exemplo,

existem gradientes de temperatura provenientes do funcionamento de um motor de

combustão e nas áreas urbanas, existe também uma grande quantidade de energia

eletromagnética no ambiente por causa de rádio e televisão. Com o avanço dos estudos

sobre essa técnica, vem aplicando-se a idéia em outros sistemas além dos MEMs e

utilizando-se harvesters para retirar a energia de um sistema vibrando e carregar

dispositivos independentes.

2.2 Comparação entre diferentes transdutores de energia para Power

Harvesting

No capítulo 1, foi enunciado o grande interesse dos pesquisadores de Power

Harvesting por materiais piezelétricos. O porquê da preferência por esse e não outros

tantos tipos de transdutores eletromecânicos encontrados por aí vem de alguns fatores.

Um deles é justamente sua maneira de converter energia, explicada anteriormente.

Como já dito, a conversão é uma propriedade do material e não uma ação ocasionada

pelo trabalho de algum mecanismo. Mas para saber que o material piezelétrico é o mais

conveniente a ser utilizado para Power Harvesting e qual material piezelétrico é mais

eficiente, muitos testes foram realizados e materiais estudados.

O tipo mais comum de piezelétrico utilizado em aplicações de Power Harvesting

é o PZT. No entanto, a natureza extremamente frágil da piezocerâmica provoca

limitações na tensão que pode absorver com segurança sem ser danificada. Lee et al

(2005) nota que piezocerâmicas são mais suscetíveis à fratura devido à fadiga quando

submetidas a um carregamento com alta freqüência cíclica. Para eliminar este

inconveniente, melhorando a sua eficiência, uma alternativa é a de desenvolver e testar

materiais piezelétricos mais flexíveis. Por exemplo, o PVDF, um polímero piezelétrico

que apresenta grande flexibilidade quando comparado ao PZT.


16

Sodano et al. (2002) investigaram e compararam dois tipos de materiais

piezelétricos, o monolítico piezelétrico (PZT) e Compósitos de Macro Fibra (MFC),

enfatizando a sua eficácia e a viabilidade de sua utilização em aplicações no mundo

real.

Os resultados do teste de eficiência mostraram que, devido à sua composição, o

MFC teve uma tensão muito maior do que o PZT, porém a corrente gerada, mais

importante no processo de armazenagem de energia, foi muito menor.

Assim, tanto em ressonância como com sinal chirp e aleatórios, o PZT produziu

mais energia.

Quando ambos os materiais foram comparados enquanto algumas baterias eram

recarregadas, o MFC não foi capaz de carregar uma bateria, a menos que o sinal

perturbador fosse muito grande, devido à sua dificuldade de produção de corrente alta.

A capacidade do PZT para carregar pilhas com vários tamanhos foi identificada assim

como o tempo necessário para carregar estas baterias em cerca de 90% de sua

capacidade.

Poulin G. et al. (2004) apresentaram o estudo comparativo dos dois mais

utilizados sistemas eletromecânicos. Um sistema eletromagnético, composto por um

ímã em movimento dentro de uma bobina, e um sistema piezelétrico, formado por uma

barra de cerâmica PZT, polarizada longitudinalmente, com uma extremidade engastada

e a outra restrita.

Depois de um estudo quantitativo utilizando valores indicativos reais de

parâmetros físicos e geométricos, os dois sistemas demonstraram completa dualidade

em: tensão, corrente, força e níveis de deslocamento, impedância de saída e frequência

de ressonância.

Com uma alta densidade de potência elétrica, o sistema piezelétrico se mostrou

eficiente para micro sistemas, em comparação com o sistema eletromagnético que foi

recomendado para aplicações de média escala.

Até hoje são efetuadas comparações entre diferentes tipos de transdutores

eletromecânicos para Power Harvesting, mas o PZT é mais amplamente utilizado.


17

2.3 Histórico dos estudos sobre Power Harvesting

Pouquíssimos anos atrás, era muito difícil encontrar notícias sobre pesquisas e

estudos relacionados a Power Harvesting. O repentino aumento de material disponível,

incluindo Journals, livros e muitíssimos artigos de toda parte do mundo refletem a

popularidade que o assunto ganhou.

A concepção Power Harvesting é simples de se cogitar e entender. Muitos

poderiam ter pensado nisso e iniciado as investigações sobre o tema há tempos

utilizando materiais inteligentes ou outros tipos de transdutores existentes desde muitas

décadas atrás. Porém, como a capacidade de conversão e armazenamento de energia dos

harvesters é pequena, tal energia capturada do ambiente não seria de maneira nenhuma

útil já que nenhum equipamento de algumas décadas atrás poderia trabalhar com tão

pouca energia. Surge então, na década de 70, a tecnologia Micro eletromecânica

(MEMs). Normalmente não maior que um grão de areia, os dispositivos MEMs são

complexas máquinas que habilitam chips a tornarem-se inteligentes. Estes dispositivos

atuam como a mais estreita ligação entre a eletrônica digital e o mundo físico,

permitindo a integração de sistemas eletrônicos e mecânicos em um único chipset. A

aplicação dos MEMs é conveniente para sistemas de todos os tipos por serem menores,

mais rápidos, mais eficientes em termos energéticos e menos dispendiosos. Em uma

configuração típica, circuitos integrados (CI) fornecem a parte "pensante" do sistema,

enquanto MEMs complementam esta informação com a percepção ativa e comando.

A partir dos MEMs a busca por fontes alternativas de energia se torna cada vez

mais necessária para assegurar o êxito do funcionamento desses dispositivos. Entra em

cena o Power Harvesting.

2.3.1 Aplicação de Power Harversting em atividades do ser humano

A idéia cativante de captar energia de tantos lugares diferentes chama cada vez

mais atenção dos pesquisadores pelo mundo. Um exemplo interessante é tirar proveito

da energia dissipada durante a rotina humana, que tem incentivado o rápido crescimento

do campo do Power Harvesting.

Häusler et al. desenvolveu possivelmente a primeira investigação sobre sistemas

de captura de energia incorporados em um sistema biológico, em 1984. Ele propôs a


18

utilização de um conversor de filme PVDF fixado nas costelas de um cachorro,

acreditando que a energia gasta na respiração poderia ser convertida em energia elétrica.

A respiração espontânea conduziu a um pico de tensão de 18V, o que corresponde a

uma potência de cerca de 17µW.

González et al (2002) classificou as atividades humanas em duas categorias:

atividades contínuas, como respiração e fluxo sangüíneo, e atividades descontínuas

como uma caminhada e movimentos dos membros superiores. Eles descobriram que o

movimento dos dedos digitando em um teclado pode gerar até 19 mW de potência,

movimentos do membro superior podem gerar 3 W de potência durante atividade

normal, e andar a pé pode gerar 67 W de potência com a união dos movimentos do

corpo a um ritmo de dois passos por segundo. Atividades contínuas, por outro lado,

geram muito menos potência.

Niu et al (2004) também investigou a energia disponível no corpo humano

devido a diferentes movimentos, como o movimento das juntas, por exemplo, tornozelo,

joelho, quadril, cotovelo e ombro (geração de 69.8 W, 49.5 W, 39.2 W, 2.1 W e 2.2 W,

respectivamente), o movimento da massa central do organismo, e o impacto do

calcanhar, o melhor candidato quando se avaliou a energia potencial (2 W a um ritmo de

dois passos por segundo), principalmente por causa da facilidade de integração dos

conversores piezelétricos em um sapato.

Muitos outros pesquisadores têm estudado a captura de energia perdida com o

impacto do calcanhar. Shenck e Paradiso (2001) utilizaram PZTs unimorfos (figura

2.1). Sua investigação priorizou o design e conforto do calçado.

Figura 2.1 Esquema da disposição do PZT bimorfo e do filme de PVDF.

(SHENCK AND PARADISO (2001)).


19

Um filme de PVDF foi implantado na parte da frente de um sapato atlético, onde

ocorre o maior deslocamento. O PZT bimorfo, inicialmente constituído por dois PZTs

em uma configuração clam Shell, era ativado pela energia do impacto do calcanhar. A

potência média fornecida pelo filme para 250 kΩ de carga a um passo de 0.9 Hz foi de

1.3 mW. O PZT produziu 8.4 mW de potência para 500 kΩ de carga. Quando instalado

no sapato, um tag de rádio freqüência auto carregável (RF) foi capaz de transmitir um

código de identificação sem fio (ID) de curto alcance de 12 bits durante a caminhada.

2.3.2 Geradores piezelétricos baseados em estruturas engastadas

Uma simples análise por elementos finitos em uma estrutura engastada pode

indicar claramente que é possível ter grandes resultados para a captura de energia a

partir de vibrações com materiais piezelétricos acoplados a sua superfície. Segundo S.P.

Beeby (2006), um engaste prevê uma freqüência baixa de ressonância, que se reduz

ainda mais pela adição de uma massa na extremidade livre da viga, em uma estrutura de

baixo volume e com altos níveis de tensão aplicada às camadas piezelétricas.

Lu et al (2004), projetaram e testaram um sistema captador de energia composto

por uma viga engastada em micro escala (com micro gerador piezelétrico de modo

transversal '31’ de polarização como mostram as figuras 2.2 e 2.3 ), com PZTs fixos em

cima e embaixo da viga e uma massa presa na sua extremidade. Eles verificaram sua

capacidade de fornecimento de energia para aplicação em MEMs.

Para aplicações típicas em MEMs, que trabalham continuamente, um sistema de

Power Harvesting deve fornecer cerca de 0.1 mW de potência. Um PZT com uma

espessura de 0.1 mm, largura de 1 mm, e de 5 mm de comprimento foi criado.

Verificou-se que uma amplitude de vibração 15 µm seria necessária para que o sistema

fornecesse energia suficiente para uma aplicação contínua. Quando testado

experimentalmente, o sistema gerou cerca de 1.6 mW de potência a uma excitação de 7

kHz, fornecendo capacidade suficiente para aplicações em MEMs.


20

Figura 2.2 Protótipo do gerador piezelétrico. (LU ET AL (2004)).

Figura 2.3 Modo ‘31’ de acoplamento para materiais piezelétricos. (LU ET AL

(2004)).

Fang HP et al (2006) investigaram micro geradores piezelétricos, incluindo a

concepção da estrutura, micro fabricação para aplicação em MEMs e ensaios de

performance (figura 2.4). A figura 2.5 descreve seu processo de fabricação.

O protótipo fabricado através de tecnologia MEMs alcançou um nível de tensão

de 898 mV e 2.16 mW de potência sob excitação de ressonância com força de 1 g

aceleração (figura 2.6). Para ampliar o potencial de sua aplicação em várias condições,

parâmetros como a freqüência natural da estrutura podem ser adaptados. Uma vantagem

é que o dispositivo era mais compacto e seu processo de fabricação dividido em várias

etapas sujeitas a implementações por parte da tecnologia MEMs, o que gera custo

benefício.

Figura 2.4 Esquema da secção transversal do gerador. (HUA-BIN FANG ET

AL, 2006).


21

Figura 2.5 Processo de fabricação do micro gerador piezelétrico. (1) Preparação

do filmes: SiO2/Ti/Pt/PZT/Ti/Pt, (2) estipulação do padrão nos filmes, (3) inserção no

substrato de silicone por RIE, (4) profunda inserção na parte inferior do silicone através

de uma solução de KOH, (5) rompimento da estrutura por RIE, e (6) micro fabricação e

acoplamento da massa de metal à estrutura. (HUA-BIN FANG ET AL, 2006).

Figura 2.6: Arranjo experimental dos testes realizados por HUA-BIN FANG ET

AL (2006).

O mesmo dispositivo foi testado por Liu JQ et al. em 2007.

Ensaios de desempenho no gerador de potência piezelétrico foram desenvolvidos

para uma frequência natural cuja tensão alternada de saída era entregue a um resistor

ajustável, retificada através de uma ponte de diodos, carregando posteriormente um

capacitor (figura 2.7). O protótipo gerou 3.98 mW de energia elétrica e tensão de saída

eficaz contínua de 3.93 V. Os resultados experimentais mostraram que um potencial

desenvolvido no gerador atende às necessidades das redes de sensores sem fio e

embutidos.


22

Figura 2.7: Teste de desempenho do gerador de energia piezelétrico: (1)

frequência natural e tensão de saída alternada, (2) sinal de saída alternada entregue ao

potenciômero, (3) voltagem depois da retificação através da ponte, (4) carregamento do

capacitor. (JING-QUAN LIU (2007)).

Ferrari M. et al. (2007) desenvolveram e testaram um arranjo de conversores

piezelétricos de multifrequências (MFCA), composto por múltiplos bimorfos

engastados cujas tensões de saída retificadas alimentavam um único capacitor

armazenador.

Ferrari et al. enfatizam a possibilidade de fabricar um sistema em miniatura

constituído por um conjunto de conversores engastados capazes de trabalhar em

diferentes faixas de freqüência.

O estudo mostrou que, para um único conversor seguido de um retificador

dobrador de tensões, sob regime senoidal, quando as perdas são desprezadas, o ângulo

de carregamento do capacitor armazenador só era dependente do período e

independente da freqüência e amplitude de excitação. Já com o MFCA com conversores

diferentes, observou-se qualitativamente que o conversor carregou o capacitor com um

nível mais alto de saída instantânea, dependendo da freqüência de excitação.

2.4 Entendendo o Processo Power Harvesting

Para entender o funcionamento de dispositivos que realizam Power Harvesting,

é necessário conhecer a dinâmica de suas partes. Preumont A. (2006) dividiu os estudos

sobre a conversão de energia mecânica em energia elétrica em duas vertentes: a

dinâmica de sistemas mecânicos e da dinâmica da rede elétrica.


23

A dinâmica de sistemas mecânicos consiste na investigação do seu

comportamento, do acoplamento piezelétrico e da voltagem de saída do material

piezelétrico.

Ao dissecar o processo de Power Harvesting são realizados experimentos com

os harvesters em funcionamento e/ou criados modelos. Segundo Rao (2009), uma

modelagem matemática representa todos os aspectos importantes do sistema, com o

propósito de obter as equações matemáticas (ou analíticas) que governam seu

comportamento.

Ambos, experimento e modelagem têm suas vantagens e desvantagens. Por

exemplo, a acurácia da modelagem nunca se comparará à de um experimento bem

realizado, já que durante o equacionamento de um sistema são feitas muitas

aproximações que minimizam a veracidade do seu comportamento. Porém, para a

realização de um experimento, existe dispêndio de tempo, custos com equipamentos e

demanda de habilidade por parte do operador, ao passo que para efetuar uma

modelagem a única ferramenta necessária é um bom computador, além de claro, um

modelo robusto.

A modelagem matemática é o primeiro de três passos em que pode ser dividida a

análise de uma estrutura eletromecânica. São elas o pré processamento, a solução, e o

pós processamento. Em softwares comerciais como o Ansys® essa divisão é bem clara.

No pré processamento, a primeira questão que se coloca é a sua classificação

quanto à geometria, modelo do material constituinte e ações e restrições aplicadas.

Nesse momento todos os dados iniciais a respeito da estrutura e influências sobre ela

afim de que seja montado posteriormente o equacionamento que governa seu

comportamento.

Segundo Azevedo (2003), as estruturas podem ser classificadas quanto à sua

geometria como reticuladas (dimensões transversais são muito menores do que o

comprimento do respectivo eixo), laminares (espessura é muito inferior às restantes

dimensões) ou sólidas. Estas últimas são as mais genéricas, sendo classificadas como

sólidas as que não apresentarem características que as permitam enquadrar no grupo das

laminares ou das reticuladas.

Na solução, o modelo matemático, ou seja, as equações regentes do sistema, são

construídas e resolvidas, e os resultados são levantados. Podem ser utilizadas várias

dinâmicas para a construção do equacionamento como a dinâmica Lagrangiana, o


24

princípio do trabalho virtual, o princípio de Hamilton e as regras de Kirchoff KCR e

KVR (regra atual e regra de tensão) que serão discutidas em capítulos posteriores. Essas

metodologias aplicadas promovem a descrição do comportamento da estrutura, o

mecanismo do acoplamento piezelétrico, a descoberta da quantidade de energia retirada

do sistema oriunda da conversão da energia de vibração mecânica em energia elétrica

pelo material piezelétrico e a energia armazenada no circuito do harvester.

As equações de movimento de um sistema vibratório estão normalmente na

forma de um conjunto de equações diferenciais ordinárias para um sistema discreto e

equações diferenciais parciais para um sistema contínuo. Podem ser lineares ou não.

Nessa etapa são utilizados muitos métodos matemáticos que serão investigados a seguir.

As equações de movimento devem ser resolvidas para determinar a resposta do

sistema vibratório. Dependendo da natureza do problema, pode-se usar uma das

seguintes técnicas para determinar a solução: métodos padronizados para resolver

equações diferenciais, métodos que utilizam transformadas de Laplace, métodos

matriciais e numéricos.

No pós processamento,todos os resultados são combinados e são realizadas as

análises da estrutura. É nesse momento que seu comportamento será evidenciado.

Podem ser realizados diferentes tipos de análises. A solução das equações governantes

fornece os deslocamentos, velocidades e acelerações das várias partes do sistema.

Os tipos de análise realizadas para a avaliação do comportamento da estrutura

podem ser: Análise modal, estática e dinâmica (no domínio do tempo e da frequência)

Na área da engenharia mecânica os sistemas mecânicos são mais analisados e

desenvolvem-se mais trabalhos sobre seu funcionamento. A incorporação dos sistemas

elétricos na modelagem dos harvesters tem sido feita mais frequentemente nos últimos

anos.

A base para o avanço do Power Harvesting é, certamente, o bom entendimento

de todas as partes do processo de conversão e armazenamento.


25

CAPITULO 3 – FERRAMENTAS PARA A MODELAGEM E ESTUDO EXPERIMENTAL DE ESTRUTURAS INTELIGENTES E PARA POWER HARVESTING.

Quando desejamos analisar qualquer sistema mecânico, o modo mais eficiente

para descrever, estudar e entender o seu funcionamento é o desenvolvimento do seu

modelo matemático.

Para obterem-se as equações que representem a dinâmica do sistema, a

modelagem matemática comumente o transforma de contínuo a discreto. Dessa forma o

comportamento de cada uma dessas partes e do conjunto é descrito por meio de

equacionamentos. Quanto menor o número de fragmentos em que o sistema é

discretizado, mais informações são perdidas e mais grosseiro ou elementar é o modelo.

Quando se trata de discretizar um sistema, quanto mais fina a malha de elementos, mais

próximo o modelo se encontra da sua realidade contínua.

Outro aspecto crucial, além do número de elementos da malha, é o tipo de

equacionamento que deve ser realizado. “O modelo matemático deve incluir detalhes

suficientes para conseguir descrever o sistema por meio de equações sem torná-lo muito

complexo” (Rao 2009).

O processo de obtenção de modelos para descrever estruturas inteligentes requer

a integração de elementos piezelétricos na modelagem. Para descrever harvesters, além

dos elementos piezelétricos devem-se integrar os elementos do circuito armazenador de

energia ou da carga recarregável na modelagem. A tecnologia associada a esses

elementos encontra-se em desenvolvimento. O método dos Elementos Finitos é um dos

métodos mais utilizados para a obtenção de modelos, permitindo obter soluções

aproximadas para equações diferenciais que descrevem a dinâmica do sistema, além da

modelagem de estruturas com geometria complexa.

As equações de equilíbrio dos sistemas eletromecanicamente acoplados são

encontradas por meio de soluções como a 2a Lei do Movimento de Newton e as

Equações de Lagrange. Na discretização, os elementos podem ser de vários tipos. Tipos

muito frequentemente utilizados são os elementos de Viga de Euler-Bernoulli e de Placa

de Kirchoff.


26

A seguir serão discutidos alguns métodos e ferramentas utilizadas na modelagem

de estruturas inteligentes e para Power Harvesting. Além disso, algumas informações

sobre os procedimentos experimentais serão relacionadas. As deduções feitas nesse

capítulo foram baseadas em Rao (2009) e Preumont (2006).

3.1 O Método dos Elementos finitos

Os Métodos Analíticos Clássicos permitiam calcular, a partir da solução das

equações diferenciais, a resposta exata dos deslocamentos, tensões e deformações na

estrutura em todos os seus pontos. Porém, essas soluções eram válidas apenas para

geometrias simples, com condições de carregamento e apoio muito bem comportados. O

Método dos Elementos Finitos (MEF) tem como objetivo a determinação do estado de

tensão e de deformação de um sólido de geometria arbitrária sujeito a ações exteriores.

Primeiramente são utilizadas as técnicas de “Discretização de Sistemas

Contínuos” (Alves, 2005). No sistema discreto construído pelo MEF, as equações são

elaboradas com base no comportamento dos chamados “nós”. Assim, somente os

deslocamentos de alguns pontos da estrutura, os nós, são calculados, ou seja, o modelo

dinâmico da estrutura é descrito em coordenadas nodais. Entre os nós do modelo

encontram-se os elementos finitos, que descrevem trecho a trecho o comportamento da

estrutura. A partir do conhecimento dos deslocamentos nodais, os deslocamentos e as

deformações dentro dos elementos são calculados por interpolação. Desse modo, os

deslocamentos da estrutura podem ser expressos em função dos deslocamentos dos

pontos nodais por meio das funções interpoladoras. Via de regra, tais funções podem

descrever qualquer curva que seja internamente contínua e que satisfaça as condições de

deslocamento geométrico impostas pelos deslocamentos nodais.

Efetuando-se tal procedimento, os deslocamentos “u” de um elemento finito

podem ser escritos em função dos deslocamentos nodais ui utilizando as funções de

interpolação apropriadas. Essa relação é dada na forma matricial por:

u = Nu ui ; iuuNu && = ; iuuNu &&&& = (3.1)

na qual Nu é a matriz que contém as funções de interpolação que relacionam os

deslocamentos que ocorrem ao longo do eixo longitudinal com os deslocamentos nodais

do elemento. Para casos dos harvesters, onde se pretende modelar o acoplamento

eletromecânico entre estrutura base e o elemento piezelétrico, além dos deslocamentos


27

ui, também devem ser considerados os potenciais elétricos φ i como variáveis nodais.

Portanto, pode-se escrever de forma análoga ao deslocamento, a seguinte relação

matricial.

iN φφ φ= (3.2)

na qual φN é a matriz que contém as funções de interpolação que relacionam os

potenciais elétricos que ocorrem ao longo do PZT com os potenciais nodais do

elemento.

Durante a modelagem com o MEF, alguns conceitos devem estar claros, como

noções de grau de liberdade, deslocamento generalizado, força generalizada, equilíbrio,

matriz de rigidez, vetor solicitação e introdução de condições de apoio. A maioria

desses conceitos é introduzida junto com outros conceitos em vibrações mecânicas.

3.2 Dinâmica de sistemas mecânicos

O comportamento das estruturas inteligentes e dos harvesters pode ser entendido

por meio de um estudo detalhado de toda sua estrutura, seus movimentos, influência de

agentes externos. Sem enxergar claramente esses parâmetros, não é possível construir

modelos condizentes com a realidade.

O movimento dessas estruturas é causado pelo fenômeno da Vibração. O sistema

é submetido a uma “entrada”, que pode ser impulsiva (impacto), harmônica ou

randômica (aleatória). Em resposta, o sistema vibra, se tornando o ambiente ideal para

iniciar o processo de conversão de energia mecânica da vibração em energia elétrica

pelo material piezelétrico acoplado.

Todo o processo de Power Harvesting tem origem no fenômeno das vibrações

mecânicas da estrutura. Por isso seu estudo é essencial para o desenvolvimento de

qualquer modelagem matemática de estruturas inteligentes.

3.2.1 Conceitos básicos de vibração

A teoria de vibração trata do estudo de movimentos oscilatórios de corpos e as

forças associadas a eles.


28

Partes elementares de sistemas vibratórios:

Meio para armazenar energia potencial (mola ou elasticidade);

Meio para armazenar energia cinética (massa ou inércia);

Meio de perda gradual de energia (amortecedor).

“A vibração de um sistema envolve a transferência alternada de sua energia

potencial para energia cinética e de energia cinética para potencial. Se o sistema for

amortecido, certa quantidade de energia é dissipada em cada ciclo de vibração.” (RAO,

2009).

Grau de liberdade

Trata-se do número mínimo de coordenadas independentes que são necessárias

para que o movimento de todas as partes de um sistema num instante qualquer possam

ser determinados.

Por exemplo, a figura 3.1 mostra alguns exemplos de sistemas com diferentes graus de

liberdade.

(a) (b) (c)

Figura 3.1: (a) Pêndulo Simples (um grau de liberdade); (b) Modelo físico para tratar

desbalanceamento de motores acoplados a uma estrutura (dois graus de liberdade); (c)

Sistema massa-mola-amortecedor (três graus de liberdade).

Freqüência natural

A freqüência com a qual um corpo oscila sem a influência de forças externas,

após um distúrbio inicial, é conhecida como sua freqüência natural ou fundamental. Um

sistema vibratório com n graus de liberdade terá, em geral, n freqüências naturais

distintas.

Para que sejam encontradas as freqüências naturais de um sistema vibrando,

primeiramente esse sistema deve ser considerado não amortecido, ou seja, após uma


29

entrada, haverá conservação de energia e o sistema vibrará de forma intermitente. Em

sua equação de movimento não estarão presentes forças não conservativas.

Dessa forma, para um sistema massa mola com um grau de liberdade, por

exemplo, tem-se a equação de movimento: + = 0 (3.3)

Admitindo-se que: () = (3.4)

Sendo C e s constantes a determinar, a eq. 3.2 fica: ( + ) = 0 (3.5)

Já que ≠ 0, + = 0 (3.6)

= ± − (3.7)

Sabendo-se que = ± ! são os chamados autovalores do problema e que !

fica:

! = (3.8)

É claro que dependendo do sistema, ! mudará com os valores relativos de

rigidez e massa. Porém pode-se admitir que a freqüência natural de um sistema é

encontrada em função da sua rigidez e da sua massa.

Vibração livre com amortecimento viscoso

Muitos parâmetros importantes na análise de sistemas dinâmicos mecânicos são

encontrados por meio do estudo da vibração livre de um sistema com amortecimento

viscoso.

Para um sistema com um grau de liberdade amortecido, acrescenta-se na eq. 3.3

o termo referente às perdas de energia devido ao amortecimento viscoso. Então a

equação governante do sistema fica: + #$ + = 0 (3.9)

Solucionando-se a equação pelo mesmo método anterior, a eq. 3.7 torna-se: + # + = 0 (3.10)

As raízes da equação característica são:


30

, = # ± √# − 42 = − #2 ± *+ #2, − (3.11)

Quando o amortecimento do sistema provoca a anulação do radical da eq. 3.11,

esse amortecimento é chamado crítico (cc). Seu valor é encontrado por:

+ #-2, − = 0 (3.12)

#- = 2 ! (3.13)

Para qualquer sistema amortecido, o fator de amortecimento é definido como:

. = ##- . ! = ##-#-2 = #2 (3.14)

Substituindo-se na eq. 3.9: , = −. ± /. − 1 ! (3.15)

A partir da análise das relações encontradas, para um sistema subamortecido, sua

freqüência angular é dada por: 0 = /1 − . ! (3.16)

Essa freqüência é denominada freqüência de vibração amortecida, e é sempre

menor do que a freqüência natural não amortecida !.

Decibel

O decibel (dB) é uma medida da razão entre duas quantidades, utilizado

em acústica, física e eletrônica. É muito usado na medida da intensidade de sons. É uma

unidade de medida adimensional, semelhante à percentagem. A definição do dB é

obtida com o uso do logaritmo. Trata-se de uma escala baseada no sentido auditivo

humano. Como o ouvido humano é sensível à uma faixa extensa de freqüências sonoras

(do menor som audível até um trilhão de vezes seu valor), a escala decibel é

logarítmica, para abranger todos esses valores de maneira mais conveniente. “Na escala

decibel, o menor som audível (quase que silêncio total) é de 0 dB. Um som 10 vezes

mais forte tem 10 dB, um som 100 vezes mais forte tem 20 dB e conseqüentemente, um

som mil vezes mais forte do que o próximo ao silêncio total tem 30 dB” [1]. Alguns

sons comuns e seus índices de decibéis [1]:

próximo ao silêncio total - 0 dB

um sussurro - 15 dB

conversa normal - 60 dB


31

uma máquina de cortar grama -90 dB

uma buzina de automóvel - 110 dB

um show de rock ou um motor a jato - 120 dB

um tiro ou um rojão - 140 dB

3.2.2 Dedução das equações de movimento via Segunda lei de Newton

Segundo Rao (2009), as equações de movimento de uma estrutura vibrando

podem ser obtidas pela 2a Lei do Movimento de Newton se seguidos os seguintes

passos:

1- Seleção do sistema de coordenadas lineares e angulares para descrever respectivamente os movimentos lineares e angulares de uma massa pontual ou do centróide de um corpo rígido; 2- Determinação da configuração de equilíbrio estático do sistema e do deslocamento da massa ou corpo rígido em relação à sua posição de equilíbrio; 3- Desenho do diagrama de corpo livre da massa ou corpo rígido sendo submetido a um deslocamento positivo e a uma velocidade. Indicação de todas as forças ativas e reativas agindo sobre o sistema; 4- Aplicação da segunda lei de Newton, enunciada como: 12() = 00 + 032()0 , (3.17)

Sendo m a massa e x(t) o descolamento da estrutura.

Para exemplificar, considera-se uma caixa d’água, como a de Ilha Solteira.

Figura 3.2: Caixa d’água da cidade de Ilha Solteira.

Guia

Pode-se representar a caixa d’água por meio de uma idealização, sem levar em

conta o amortecimento, como segue:

Figura 3.3:

Definida a coordenada de deslocamento da estrutura por

rigidez da estrutura é dada por:

Onde E = Módulo de elasticidade do material, I = Momento de inércia e l =

comprimento da coluna. Na modelagem dessa estrutura, é possível aproximá

sistema massa mola equivalente dado por:

Figura 3.4: Sistema massa

O diagrama de corpo livre do sistema é:

Figura 3.5: Diagrama de corpo livre do sistema massa

Grupo de Materiais e Sistemas Inteligentes Guia de Power Harvesting: História, Evolução e Fundamentos

se representar a caixa d’água por meio de uma idealização, sem levar em

mortecimento, como segue:

Figura 3.3: Esquema representativo da caixa dágua.

Definida a coordenada de deslocamento da estrutura por x(t) e s

rigidez da estrutura é dada por: = 45678


comprimento da coluna. Na modelagem dessa estrutura, é possível aproximá

a mola equivalente dado por:

Sistema massa-mola equivalente da caixa dágua.

O diagrama de corpo livre do sistema é:

Diagrama de corpo livre do sistema massa-mola.

Grupo de Materiais e Sistemas Inteligentes - GMSINT a, Evolução e Fundamentos

32

se representar a caixa d’água por meio de uma idealização, sem levar em

x(t) e sabendo-se que a

(3.18)


comprimento da coluna. Na modelagem dessa estrutura, é possível aproximá-la de um

mola equivalente da caixa dágua.

mola.


33

Aplicando-se a segunda lei de Newton, tem-se:

1() = − − 0932()09 = 0 (3.19)

2 + = 0 (3.20)

Eis a equação que define o movimento da estrutura com base na coordenada

fixada x(t).

Para sistemas com mais graus de liberdade, os procedimentos são os mesmos

descritos anteriormente. Assim, considerando sistemas com massas ou momentos de

inércia constantes, a 2a lei de Newton é escrita como:

:: = ∑ 1:< (=>?> > >> @)< (3.21)

Ou A:B: = ∑ C:<(=>?> #D?=D ?íE@FDF @Gé?#@> A@)< (3.22)

Onde ∑ 1:< < denota a soma de todas as forças agindo sobre a massa mi e∑ C:<<

indica a soma dos momentos de todas as forças que agem sobre um corpo rígido de

inércia de massa Ji.

Incluindo-se o amortecimento à modelagem, para o sistema abaixo, tem-se

(RAO 2009):

Figura 3.6: Sistema massa-mola-amortecedor com vários graus de liberdade.

:: = −:(: − :H) − :I(:I − :) − #:(J$ − $:H) + #:IK$:I − $:L + 1: (3.23)

Para i=1, x0 = xn+1 = 0, então:


34

= (#+#)$ − #$ + (+) − = 1 (3.24)

Representando as equações na forma matricial, tem-se:

MN2 + M#N$ + MN2 = 12 (3.25)

3.2.3 Dedução das equações de movimento via Equações de Lagrange

Uma maneira simples de deduzir as equações de movimento de um sistema

vibrando é através das Equações de Lagrange.

Na mecânica lagrangiana, a trajetória de um sistema de partículas é obtida

resolvendo as equações de Lagrange. O lema fundamental do cálculo de

variações mostra que resolver as equações de Lagrange é equivalente a encontrar o

caminho que minimiza o funcional ação, uma quantidade que é a integral da função de

Lagrange ℒ no tempo. Contrariamente aos métodos baseados nas leis de Newton, a

mecânica lagrangiana não exige a identificação das forças envolvidas, o que torna a

análise mais abstrata. Contudo, é assim possível simplificar o tratamento de sistemas de

maior complexidade, especialmente quando não é relevante a determinação das forças

associadas às restrições do movimento das suas partículas.

As equações de Lagrange são dadas por:

Fdq

dL

qd

dL

dt

d

ii

=−

& (3.26)

sendo qi é uma coordenada generalizada, F a somatória de forças não conservativas

correspondentes à coordenada qi e L o Lagrangiano, definido como:

WUTL +−= (3.27)

sendo T a energia cinética, U a energia potencial e W o trabalho realizado.

Analisa-se novamente a figura 3.6. Investigando-se dessa vez a energia do

sistema, tem-se:

P = 12 $ + 12 $ + 12 4$4 (3.28)

Q = 12 + 12 ( − ) + 12 4(4 − ) (3.29)


35

1() = −#$ − #($ − $) − #4($ − $4) + 1 (3.30)

Da eq. 3.27, tem-se:

R = $ + $ + 4$4 − + ( − 2 + ) + 4(4 +232−22 3.31

Encontrando-se a equação do movimento da massa 1: FRF$ = $ (3.32)

FRF = − + − (3.33)

FF FRF$ = (3.34)

Substituindo-se 3.32 a 3.34 em 3.26, + − + = −#$ − #($ − $) + 1 (3.35)

Rearranjando a eq. 3.35 ela se torna a equação 3.24, encontrada pelo método de

Newton.

Para ilustrar a simplicidade da mecânica lagrangiana em um sistema um pouco

mais complicado, propõe-se um sistema trailer-pêndulo, cuja modelagem é descrita em

Rao (2009), esquematizado na figura 3.7:

Figura 3.7: Sistema pêndulo composto e trailer.

Seu diagrama de corpo livre é dado por:


36

Figura 3.8: Diagrama de corpo livre do sistema.

As coordenadas x(t) e y(t) são utilizadas como coordenadas generalizadas para

descrever o movimento linear do trailer e θ(t) o deslocamento angular do pêndulo

composto. Assim, o deslocamento do ponto C pode ser expresso em função dos

componentes: - = + 7 sen B (3.36)

V- = + 7 cos B (3.37)

Encontrando-se $- e V$-: $- = $ + 7 θ$ cos B (3.38)

V$- = − 7 θ$ sen B (3.39)

Assim, a energia cinética do sistema é dada por:

P = 12 C$ + 12 Y$ + ZB$ 4 + $B$ Z#DB[ + 12 YZ12 [ B$

= (C + )$ + +\794 , B$ + (Z #DB)$B$ (3.40)

A energia potencial do sistema é proveniente do esforço de deformação das

molas e do potencial gravitacional. Dessa forma, para a referência situada na posição

mais baixa do ponto C, tem-se:

] = 12 + 12 + E Z2 (1 − #DB) (3.41)

As forças não conservativas referentes às coordenadas x(t) e θ(t), provenientes

da dissipação de energia pelos amortecedores e pelo torque aplicado ao pêndulo

respectivamente, são dadas por: ^() = 1() − #$() − #$() (3.42)


37

Θ() = C() (3.43)

O lagrangiano já pode ser calculado pela eq. 3.27: R = (C + )$ + +\794 , B$ + (Z #DB)$B$ + + + E 7 (1 − #DB)

(3;44)

Resolvendo-se 0_03,

0_0`, 0_03$, 0_0 $ , 00 +0_03$, e

00 +0_0 $ ,, e organizando os resultados nas

equações 3.26, 3.34 e 3.35 são obtidas as equações de movimento para o sistema:

Para x: (C + ) + (Z #DB)B − Z GBB$ + + + 1() − #$ − #$ (3.45)

Para θ: +4 Z, B + (Z #DB) − Z GBB$$ + Z GBB$$ + EZ G B = C()

(3.46)

3.2.4 Problema do autovalor

Anteriormente introduzido o conceito de freqüência natural de um sistema.

Partindo-se agora para a solução das equações governantes obtidas para um sistema

qualquer, com n graus de liberdade, considera-se inicialmente um sistema conservativo

cuja equação de movimento é expressa por: MN2 + MN2 = 0a2 (3.47)

Sendo [m] e [k] respectivamente as matrizes de massa e de rigidez da estrutura.

O deslocamento x não é função do tempo já que se trata de um sistema

conservativo e a equação 3.47 pode ser escrita assim: MN 2P () + MN 2P() = 0a2 (348)

O vetor 2() é conhecido como a forma modal do sistema ou o autovetor

(eigenvector) e descreve sua configuração constante. Pa2() é uma função do tempo.

Rearranjando-se a eq. 3.48, fica:

− P ()P() = MN 2MN 2 = #DG>G → (349)

Ou seja: P () + P() = 0 (3.50)

e


38

cMN − MNd 2 = 0 (3.51)

A equação representa um conjunto de n equações lineares homogêneas:

ef :<!

<g − f <:<!

<g h f <!

<g = 0 @ = 1,2, G (3.52)

Descarta-se a solução trivial do conjunto de equações (X1= X2=... Xn=0), não

conveniente. Para uma solução não trivial, o determinante da matriz que multiplica 2

deve ser 0, então:

if :<!

<g − f <:<!

<g i = 0 (3.52)

Sendo:

Equação 3.52 equação característica; < autovalor (eigenvalue); ∑ <!<g frequências naturais do sistema.

Assim, de uma maneira simplificada, tem-se: |MN − MN| = 0 (3.53)

Ou

|kMN − MN| = 0 k = 1 (3.54) Algumas manipulações podem ser executadas para tornar as operações

matriciais do conjunto de equações mais fáceis. Por exemplo, na equação 3.33,

dividindo-se os termos do determinante por [k], surge uma matriz identidade, o que

facilita muito os cálculos. Assim:

lkMmN − MNMN l = |kMmN − MnN| = 0 (3.55)

A matriz [D] é chamada matriz dinâmica.

EXEMPLO (RAO 2009):

Considera-se o sistema massa mola com três graus de liberdade mostrado na

figura 3.9.


39

Figura 3.9: Sistema massa-mola com três graus de liberdade.

Suas matrizes de massa e flexibilidade ([a] = [k]-1) são dadas por:

MN = o1 0 00 1 00 0 1p M>N = 1 o1 1 11 2 21 2 3p (3.56)

Logo:

MnN = o1 1 11 2 21 2 3p (3.57) Substituindo-se na eq. 3.55:

n = qok 0 00 k 00 0 kp − o1 1 11 2 21 2 3p q = 0 (3.58)

Dividindo-se tudo por k:

n = rrk − − − − k − 2 − 2− − 2 k − 3 rr 1k = q1 − s −s −s−s 1 − 2s −2s−s −2s 123sq = 0 (3.59)

Sendo s = \tu = \v9t Assim: Det = α4 − 5α + 6t = m: 0 (3.60)

As raízes da equação 3.60 são:

s = = 0,19806 , = 0,44504* (3.61)

s = = 1,5553, = 1,2471* (3.62)


40

s4 = 4 = 3,2490 , 4 = 1,8025* (3.63)

Uma vez descobertos os autovalores, voltando para a eq. 3.52, calcula-se o

autovetor para cada freqüência natural do sistema. Assim, os resultados obtidos são

autovetores que descrevem o comportamento do sistema para cada freqüência natural.

Para a primeira freqüência natural (freqüência fundamental): cMmN − MnNd 2() = 0a2 (3.54)

o1 0 00 1 00 0 1p − 0,44504* . o1 1 11 2 21 2 3p |^()^()^4() = ~000 (3.55)

Os autovetores encontrados foram:

2() = ^() ~ 11,82,3 ; 2() = ^() ~ 10,4−0,8 ; 2 (4) = ^(4) ~ 1−1,20,5 (3.56) A partir desses autovetores é possível traçar as formas modais do sistema, como

por exemplo, para o primeiro modo de vibrar, a estrutura da figura 3.9 se comporta

assim:

Figura 3.10: Forma modal do sistema da figura 3.9.

3.2.5 Transformadas de Laplace

O método da transformada de Laplace pode ser usado para determinar a resposta

de um sistema a qualquer tipo de excitação. Ele soluciona equações diferenciais

lineares. É um método operacional aplicável na solução de equações diferenciais

lineares.

Por meio desse método, muitas funções comuns, tais como senóides e

exponenciais e operações como derivação e integração, podem ser convertidas em


41

funções e operações algébricas em função de uma variável complexa jws += σ em um

plano complexo j um p.

Uma vantagem do método é que, ao resolver a equação diferencial, tanto a

componente transitória como a de regime permanente podem ser obtidas

simultaneamente.

Supondo uma função qualquer contínua f(t) para t > 0, sua transformada de

Laplace é definida pela equação:

ℒf(t) = F(s) = eHf(t)dt (3.57)

Baseados nessa relação, os Teoremas de Laplace descrevem a transformada de

acordo com a situação na qual é aplicada, como seguem:

Teorema da Derivação Real

A transformada de Laplace da derivada de uma função f(t) é dada por

ℒ FF () = 1() − (0) (3.58)

onde f(0) é o valor inicial de f(t) calculado em t = 0.

A transformada de Laplace da segunda derivada de uma função f(t) é dada por

ℒ FF () = 1() − (0) − $(0) (3.59)

onde $(0) é o valor de 00 () calculado em t = 0.

Teorema do Valor Final

O teorema do valor final estabelece que o comportamento em regime

estacionário de f(t) é o mesmo que o comportamento de sF(s) nas proximidades de s=0.

Assim é possível obter o valor de f(t) em t=infinito, diretamente a partir de F(s)

)(lim)(lim0

sFstfst →∞→

=

Teorema do Valor Inicial

O teorema do valor inicial estabelece que se f(t) e df(t)/dt são transformáveis

por Laplace se o lim sF(s) exite, então

)(lim)0( sFsfs ∞→

+ =


42

Teorema da Integração Real

Se f(t) é de ordem exponencial, a transformada de ()F existe e é dada por

[ ]s

f

s

sF )0()(dt f(t)

1−

+=∫L

Onde 1() = ℒM()N e H(0) = ()F é calculado em t = 0.

Segundo Rao (2009), os passos a serem seguidos para resolver um problema de

vibração com Transformada de Laplace são:

1. Escrever a equação de movimento do sistema; 2. Transformar cada termo da equação usando condições iniciais

conhecidas; 3. Resolver para a resposta transformada do sistema; 4. Obter a solução desejada (resposta) usando transformação

inversa de Laplace. Aplicando-se a transformada de Laplace para resolver a vibração de um sistema

cuja equação de movimento é dada pela eq. 3.60:

mx + cx$ + kx = () (3.60)

ℒx(t) = eHx(t)dt = X(s) (3.61)

x$ (t) = dxdt (t) (3.62)

ℒ dxdt (t) = eH dxdt (t)dt = eHdx(t)| + S eHx(t)dt

(3.63)

= sX(s) − x(0) (3.64)

sendo x(0) = x = deslocamento inicial da massa A transformada de Laplace da derivada de segunda ordem x (t) se resolve

analogamente ao de primeira ordem. Assim:

x (t) = dxdt (t) (3.65)

ℒ dxdt (t) = eH dxdt (t)dt (3.66)

= sX(s) − sx(0) − x$(0) (3.67)


43

sendo x$ (0) = x = velocidade inicial da massa.

A transformada de Laplace é dada então por:

F¡(s) = eHF(t)dt = eH(mx + cx$ + kx)dt

(3.68)

Substituindo-se as eqs. 3.61, 3.64 e 3.67 respectivamente nos termos

relacionados à rigidez, ao amortecimento e à massa, tem-se:

(ms + cs + k)X(s) = F(s) + mx$ (0) + (ms + c)x(0) (3.69)

Presumindo-se que tanto o deslocamento quanto a velocidade inicial é nula,

dessa forma: (ms + cs + k)X(s) = F(s) (3.70)

F(s)X(s) = Z(s) = ms + cs + k (3.71)

Z(s) é conhecida como a impedância generalizada do sistema, relacionando o

sinal de entrada com o de saída. Trata-se de uma relação extensamente abordada em

sistemas de controle de vibrações, na solução de equações de movimento de estruturas

inteligentes e de sistemas elétricos.

Denomina-se a função de transferência do sistema a função inversa da

impedância generalizada, denotada por:

£() = 1¤() = 1ms + cs + k = 1m(s + 2sω¦s + ω¦) (3.72)

X(s)F(s) = 1m(s + 2sω¦s + ω¦) (3.73)

X(s) = F(s)m(s + 2. ω¦s + ω¦) (374)

A solução do sistema é encontrada agora pela transformada inversa da eq. 3.74.

Da tabela de Laplace:


44

ℒHM1()1()N = (§)( − §) F§ (3.75)

Então, pode-se dividir a equação a ser transformada em duas funções, sendo:

1() = 1() 1() = 1m(s + 2 ω¦s + ω¦) (3.76)

Resolvendo-se para 3.76 em 3.75:

ℒHM1()1()N = 1 0 (§)H¨v©(Hª)G 0 ( − §)F§ = () (3.77)

Para sistemas mais complexos vale a pena consultar os Teoremas de Laplace,

evitando-se o trabalho braçal de integração.

3.2.6 Resposta de um sistema amortecido a movimento harmônico de base

Dentro do processo de Power Harvesting, o que mais se busca sempre é a

otimização da captura de energia pelo transdutor, no caso, piezelétrico do sistema

vibrando. No que diz respeito a sistemas eletromecanicamente acoplados constituídos

por vigas engastadas e material inteligente acoplado, muitos são os autores que optaram

por excitar sua estrutura através da base engastada, como ilustra a figura 3.11.

Figura 3.11: Viga engastada excitada por um movimento harmônico de base.

Por esse motivo, esse tópico do capítulo foi dedicado ao entendimento desse

fenômeno e como representá-lo nas equações de movimento do sistema. O sistema a ser

analisado está ilustrado na figura 3.12.


45

Figura 3.12: Sistema massa mola amortecedor com um grau de liberdade.

A equação do movimento do sistema é dada por:

+ #($ − V$ ) + ( − V) = 0

A função y(t)=Y sen ω ; + #$ + = V + #V$ = £ G + # £ cos = « G ( − s)

Sendo A=Y/k + (ce) e α tgH ®− ¯° ± Utilizando-se a representação do

movimento harmônico. Usando a solução indicada pela eq. 3.60:

²() = 1³M( − ) + # N/ G ( − µ) = m 1³ |¶(@ )|:(vH·) 1() = 1G ( − µ − s)

²() = Y/k + (cω)M( − ) + (# )N/ G

²() = ^ G ( − µ)

Assim:

£ = P0 + (# )( − ) + # / = 1 + (2.?)(1 − ?) + (2.?)/


46

e

µ = EH # 4( − ) + ( #) = EH 2.?41 + (4. − 1)?

Essa razão entre a amplitude de resposta do sistema ²() e de deslocamento da

base y(t) +¹º, = P0 se chama transmissibilidade de deslocamento do sistema. A figura

3.13 mostra dois gráficos com os quais Rao (2009) ilustra a transmissibilidade e o

ângulo de fase do sistema da figura 3.12 em função da razão das freqüências.

(a)

(b)

Figura 3.13: (a) transmissibilidade em função da razão de freqüências; (b) Ângulo de

fase em função da razão de freqüências.


47

Examinando a figura 3.13, podemos extrair dela algumas conclusões

importantes:

(1) Quanto maior o fator de amortecimento, menor é a transmissibilidade de

movimento da base para o sistema. Em conseqüência, a amplitude da vibração também

é menor, principalmente na freqüência natural do sistema.

(2) Quando a freqüência do sistema é mais que duas vezes maior do que a

freqüência natural do sistema, a magnitude do amortecimento tende a amplificar (ao

invés de reduzir) a amplitude da vibração.

(3) Quando !» = 1 ocorre o fenômeno da ressonância, no qual a freqüência

da excitação iguala a freqüência natural do sistema e grandes amplitudes se observam.

Normalmente, é uma situação indesejável, pois grandes amplitudes de vibração levam a

altos níveis de tensão que podem conduzir ao colapso do material.

3.3 Dinâmica de sistemas elétricos

Até agora foram tratados apenas os aspectos referentes aos sistemas mecânicos.

Para completar os estudos das partes de um harvester deve-se estudar os componentes

elétricos, cuja importância é significativa para um bom desempenho.

Sistemas elétricos são constituídos por elementos passivos como resistores,

capacitores e indutores e ativos, como fontes de corrente e de tensão.

3.3.1 Relações constitutivas para elementos de um circuito

A tabela 3.1 ilustra as relações constitutivas dos elementos de um circuito.

Tabela 3.2: Relações dos elementos de um circuito.


48

3.3.2 Fontes de potencial e corrente

A figura 3.14 foi baseada no esquema apresentado por Preumont (2006) e

esquematiza modelos de fontes de corrente e de tensão.

(a) (a) (b)

(c)

Figura 3.14: (a) Modelo ideal de uma fonte de tensão; (b) Modelo ideal de uma

fonte de corrente; (c) Fonte real e sua relação potencial-corrente.

Em fontes ideais de potencial e de corrente, potencial e corrente se comportam

independente da existência ou influência um do outro. Em uma fonte real essa relação

existe como mostra o gráfico do item c da figura 3.14. Em uma fonte real, quando os

terminais estão abertos, a diferença de potencial é máxima (Eo) e não há fluxo de carga.

Já quando estão em curto circuito, não há diferença de potencial e a corrente é máxima

(Io).

Essa função pode ser escrita como:

= ¼ − ¼m @

Para modelar fontes reais, são utilizados modelos que combinam fontes ideais de

corrente e de tensão e resistores. As equações que regem esses modelos são:

Para o modelo ideal de fonte de tensão: = ¼ − ½@


49

Para o modelo ideal de fonte de corrente: = ½m − ½@

Essas aproximações vêm se mostrando eficientes para representar fontes reais.

3.3.3 As Leis de Kirchhoff

As leis fundamentais que regem os sistemas elétricos são as Leis de Kirchoff.

1ª Lei de Kirchhoff (Lei das Correntes ou Leis dos Nós - KCR)

Em um nó, a soma das correntes elétricas que entram é igual à soma das

correntes que saem, ou seja, um nó não acumula carga.

f mt = 0 GFD > #D??G Zé?@#> m = ¿À¿Á

!g

ou mÂ + m4 − m − m = 0

Isto é devido ao Princípio da Conservação da Carga Elétrica, o qual estabelece

que num ponto qualquer a quantidade de carga elétrica que chega (δQ1) deve ser

exatamente igual à quantidade que sai (δQ2 + δQ3), δQ1 = δQ2 + δQ3. Dividindo por

δt:

2ª Lei de Kirchhoff (Lei das Tensões ou Lei das Malhas - KVR)

A soma algébrica da d.d.p (Diferença de Potencial Elétrico) em um percurso

fechado é nula. Ou seja, a soma de todas as tensões (forças eletromotrizes) no sentido

horário é igual a soma de todas as tensões no sentido anti-horário, ocorridas numa

malha, é igual a zero.


50

f ¼t = 0 Á!g

Ou ¼ − ¼ − ¼ − ¼4 = 0

As leis de Kirchhoff são baseadas no eletromagnetismo e só são válidas quando

o tamanho da oscilação eletromagnética é muito maior que as dimensões do circuito.

Segundo Preumont (2006), para encontrar as equações governantes de sistemas

elétricos por meio das leis de Kirchhoff, assim como para as leis de Newton em

sistemas mecânicos, por exemplo, devem ser seguidos alguns passos:

1- Expressar todas as correntes e cargas em termos da variável independente de carga qi;

2- Utilizar as equações constitutivas para expressar a voltagem ou corrente através de todos os elementos em termos de qi;

3- Admitir as considerações expressas em KCR e KVR para a obtenção do equacionamento completo.

Além das Leis de Kirchhoff, outros métodos como o das Equações de Lagrange

e de Hamilton são amplamente aplicados para equacionar sistemas elétricos. Os

procedimentos para tal são os mesmos tomados para os sistemas mecânicos. No

Capítulo 2 de Preumont (2006) e de Leo (2007), tais métodos são descritos

detalhadamente com exemplos.

3.4 Dinâmica de sistemas eletromecânicos – piezelétricos

Os sistemas compostos formados pela interconexão de sistemas mecânicos e

elétricos são chamados eletromecânicos. A principal finalidade dessa conexão é a

conversão de energia mecânica em elétrica e vice-versa, realizada pelo transdutor

eletromecânico.

Novamente métodos como as Equações de Lagrange e de Hamilton são

utilizados para a modelagem de sistemas eletromecânicos. A Tabela 3.1 de Preumont


51

(2006) relaciona as equações de Lagrange aplicadas a sistemas eletromecânicos (figura

3.15).

Figura 3.15: Equações de Lagrange para sistemas eletromecânicos.

3.4.1 Transdutor eletromecânico geral

Equações constitutivas

O comportamento constitutivo de uma ampla classe de transdutores

eletromecânicos pode ser modelado como na figura 3.16. A caixa-preta representa o

mecanismo de conversão entre energia elétrica e energia mecânica, e vice-versa.

Figura 3.16: Modelo de transdutor eletromecânico.

As equações constitutivas do sistema são:


52

= ¤Ã@ + PÃ\ = P\Ã@ + ¤\

onde

e = transformada de Laplace da tensão de entrada nos terminais elétricos;

i = corrente de entrada;

f = força aplicada aos terminais mecânicos;

v = velocidade da parte mecânica;

Ze = Impedância elétrica bloqueada, para v=0

Tem = coeficiente de transdução que representa a força eletromotriz (tensão) que aparece

no circuito elétrico por unidade de velocidade na parte mecânica (em m / volt.s);

Tme =coeficiente de transdução que representa a força que age sobre os terminais

mecânicos para equilibrar a força eletromagnética induzida por unidade de corrente de

entrada do lado elétrico (em N / Amp);

Zm = impedância mecânica quando a porção elétrica do transdutor se encontra aberta (i =

0).

Na ausência de forças externas (f = 0), v pode ser eliminada entre as duas equações

anteriores, levando a

= ¤Ã − PÃ\P\Ã¤\ @ ÄÅÆÄÆÅÇÆ é chamada de impedância dinâmica. O ponto de condução total

impedância elétrica é a soma da impedância bloqueada e da dinâmica.

A equação (3.111) mostra que a queda de tensão elétrica em todos os terminais

de qualquer transdutor eletromecânico é a soma de uma contribuição

proporcional à corrente aplicada e uma contribuição proporcional à velocidade dos

terminais mecânicos.

A modelagem de um sistema eletromecânico com materiais piezelétricos

acoplados será explicada detalhadamente no Capítulo 4. O capítulo 4 de Preumont

(2006) e os capítulos 4, 5, 6 de Leo (2007) descrevem inúmeros métodos para

equacionar o comportamento de estruturas inteligentes. Em Leo, além dos métodos para

encontrar o equacionamento do sistema, são discutidos inúmeros parâmetros e análises


53

envolvidas no seu estudo, como por exemplo, análises dinâmica e estática, efeitos de

condições de contorno elétricas e mecânicas, entre outros.

3.4.2 Modelo de viga de Euller-Bernoulli

Na modelagem de uma estrutura via Método dos Elementos Finitos, a escolha do

tipo e tamanho de elemento finito que descreva de forma adequada o comportamento

trecho a trecho da estrutura depende do conhecimento da natureza física do problema a

ser representado, bem como da formulação do elemento escolhido traduzida pela sua

função de interpolação (Alves F. A. 2005).

Os Elemento de Placa de Kirchoff e o Elemento de Viga de Euler-Bernoulli são

amplamente estudados pelo Grupo de Materiais e Sistemas Inteligentes – GMSINT,

como pode ser visto em alguns relatórios de pesquisa de iniciação científica e teses de

membros e ex-membros do grupo como em Marqui (2007) e em Gonsalez (2007).

Nessa e na próxima seção encontram-se as modelagens desses elementos já

levando em conta os graus de liberdade elétricos devido aos elementos piezelétricos

acoplados. Segue uma breve apresentação de ambos os tipos de elemento, suas matrizes

elementares e os respectivos modelos completos de acoplamento mecânico.

O elemento de viga de Euler-Bernoulli pode ser representado pela figura 3.17,

onde é explicito dois nós para cada elemento e dois graus de liberdade por nó, o

deslocamento (zu ) e o de rotação (xθ ). Para cada elemento piezelétrico acoplado a viga

serão considerados ainda dois potenciais elétricos (φ ) como variáveis nodais, conforme

mostra a Figura 3.3. (Rocha, 2004).

uz1

θ x1

uz2

θ x2

21

ξ

, 0ix ξ = , 1jx ξ =

Figura 3.17: Elemento de Viga

sendo xi um ponto localizado no nó i e ξ uma coordenada generalizada em função de x.

As equações da estrutura do tipo viga de Euler-Bernoulli são baseadas na

consideração de que um plano normal ao eixo neutro antes da deformação permanece

normal ao eixo neutro após a deformação, ou seja, os segmentos das normais ficam com

os mesmos comprimentos, não havendo, portanto, variação de espessura durante a


54

deformação, conforme mostra Figura 3.18. Esta consideração permite dizer que os

efeitos de inércia de rotação e cisalhamento são desprezíveis.

x

zzu

zx

∂−∂

zu

z

z

u

zx

u

xθ ∂=

∂

Figura 3.18: Deslocamentos de um ponto sobre a normal ao plano neutro

Expressando o deslocamento e o potencial elétrico em termos das variáveis

nodais e das funções de interpolação, tem-se, conforme as Eqs. 3.78 e 3.79:

u = Nu ui (3.80)

sendo

[ ] T2211 xzxzi uuu θθ= (3.81)

e

iN φφ φ= (3.82)

Sendo

Ti ][ 21 φφφ = (3.83)

ou

I- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 24231211 yuzuyuzu NuNNuNu θξξθξξξ +++= (3.84)

II- ( ) ( ) ( ) 2211 φξφξξφ φφ NN += (3.85)

I- Funções de interpolação dos deslocamentos mecânicos:

O elemento é analisado em apenas uma dimensão ( )ξ e que possui quatro graus

de liberdade. Assim, obtém-se a seguinte função interpoladora para o deslocamento na

direção z.


55

( ) 34

2321 ξαξαξααξ +++=zu (3.86)

ou

α Pu = (3.87)

na qual

[ ]321 ξ ξ ξ =P (3.88)

[ ]T4321 ααααα = (3.89)

Tem-se que:

( ) ( ) 2432 32 ξαξαα

ξξξθη −−−=

∂∂−= zu

(3.90)

Considerando os valores das coordenadas generalizadas para cada nó do

elemento, pode-se escrever a equação (3.91) e obter a matriz Pn. As colunas da matriz

inversa de Pn contêm os índices das funções de interpolação. Os valores da coordenada

generalizada para o nó 1: 0=ξ e para o nó 2: 1=ξ , então:

3210

1111

001-0

0001

4

3

2

1

2

2

1

1

−−−

=

αααα

θ

θ

η

η

z

z

u

u

(3.91)

ou

αδ Pn= (3.92)

tal que,

[ ] δα Pn -1= (3.93)

Sabe-se que:

yzz

y aax

u

x

u θθ→θξξ

θ ηη ==

∂∂

∂∂

−=∂∂

−= 1 (3.94)

na qual ax

uz 1=∂∂−=

∂∂ ξ ,θ

ξ η , então:

000

0100

000

0001

2

2

1

1

2

2

1

1

=

y

z

y

z

z

z

u

u

a

a

u

u

θ

θ

θ

θ

η

η (3.95)

ou

iu Z=δ (3.96)


56

Logo, substituindo a equação (3.96) na equação (3.93) e esta última na equação

(3.87), tem-se que:

[ ] i1 u ZPnPu −= (3.97)

Sabendo que u = Nuui, então:

[ ] ZPnPN 1u

−= (3.98)

Assim:

ξ−ξ

ξ−ξ

ξ+ξ−ξ

ξ+ξ−

=

23

32

32

32

23

22

231

aa

aaaNT

u (3.99)

Para encontrar a matriz Bu é considerada

2

2

2

∂∂−=ξa

zLu (3.100)

então,

2

2

2 ξ∂∂

−=T

uTu

N

a

zB (3.101)

logo:

T

aa

-a

a

zB

−−

+−

−=

ξξξξ

62

126

64

126

2u (3.102)

II- Funções de interpolação do potencial elétrico.

O elemento estudado possui uma única dimensão ( )ξ e dois graus de liberdade

elétricos, logo, obtém-se a seguinte base polinomial para a obtenção das funções de

interpolação.

[ ]ξ 1=P (3.103)


elemento, pode-se escrever a matriz Pn (equação (3.104)), sendo que as colunas da

matriz inversa de Pn contém os índices das funções de interpolação. Os valores da

coordenada generalizada para o nó 1: 0=ξ e para o nó 2: 1=ξ , então:


57

11

01

=Pn (3.104)

e

[ ] 11-

011

=−Pn (3.105)

As funções de interpolação são geradas pela multiplicação da equação (3.103)

pela equação (3.105), então:

[ ]T

PnPN

== −

ξξ−

φ11 (3.106)

Considerando que o campo elétrico pode ser escrito diretamente proporcional à

diferença de potencial elétrico e inversamente proporcional à distância desses

potenciais, então, tem-se:

δφδφ

d

dEE =→= (3.107)

na qual δ é a distância entre os potenciais. Para o caso estudado neste projeto,

tem-se que ( ) ( )xx δδφφ =→= , logo:

xE

∂∂= φ

(3.108)

Reescrevendo a equação (3.109) na forma matricial, tem-se:

)( )( xx

xE φ

∂∂= (3.110)

Comparando a equação (3.110) com a equação ( φφ LE = ), conclui-se que :

∂∂=x

Lφ (3.111)

Considerando a coordenada generalizada ξξ ∂=∂→= axa

x , pode-se reescrever

a equação (3.111) como segue:

∂∂=ξφ a

L1

(3.112)

então:

∂∂

=ξ

φφ

TT

N

aB

1 (3.113)


58

T

aB

−=

1

11φ (3.114)

Sendo a o comprimento do elemento e ξ a coordenada generalizada.

A partir daí, utilizando-se as funções de interpolação e as relações acima

descritas e manipulando-as juntamente com as matrizes elementares de rigidez e massa

dos elementos estruturais e piezelétricos obtêm-se as matrizes de massa e de rigidez do

elemento estrutural e do elemento piezelétrico e as matrizes do acoplamento

eletromecânico e de capacitância piezelétrica da viga de Euler-Bernoulli:

ξdNNtbaρM uTussss

es ∫=

1

0

−−−−−−

=

22

22

422313

221561354

313422

135422156

420

aaaa

aa

aaaa

aa

tbaM sssse

s

ρ (3.115)

∫=1

03

ξdBBa

IEK u

Tu

s

sses

−−−−

−−

=

222

2

22

3

4626

612612

2646

612612

aaaa

aa

aaaa

aa

a

IEK

s

sses (3.116)

∫=1

0

ξdNNAaρM uTuppp

ep

−−−−−−

=

22

22

422313

221561354

313422

135422156

420

pppp

pp

pppp

pp

pppep

aaa

aa

aaaa

aa

AaM

ρ (3.117)

ξdBBa

IcK u

Tu

p

pep ∫=

1

03

E11

−−−−

−−

=

222

2

22

3

E11

4626

612612

2646

612612

pppp

pp

pppp

pp

p

pep

aaaa

aa

aaaa

aa

a

IcK

(3.118)

( )∫+−=1

0

231 22

ξφφ dBBtttabe

K Tupps

ppeu ( )

−

−+−=

p

p

p

p

p

ppsppe

u

a

a

a

a

attt

abeK

0

0

0

22

231φ (3.119)

∫−

=1

02

33 ξφφ

σ

φφ dBBt

aAkK T

p

ppe

−−

−=1

1

1

12

33

p

ppe

t

aAkK

σ

φφ (3.120)


59

Onde sE é o módulo de Young da viga, sI é o momento de inércia da área de

sessão transversal da viga ssIEG = é a rigidez estrutural (viga), Ip é o momento de

inércia do par de elementos piezelétricos, definido através do teorema da translação de

eixos pela equação:

23

212 2p p s p

p p p

b t t tI b t

+ = +

(3.120)

A área total da seção transversal do par de PZTs deve ser escrita como ppp tbA 2= .

Nota-se que, para o elemento de viga de Euler-Bernoulli, somente a tensão

normal 11σ , a deformação 11S e o campo elétrico transversal E3 são considerados. Logo,

as equações piezelétricas ficam:

33311313 ESeD S∈+= (3.121)

331111111 EeScE −=σ (3.122)

3.4.3 Elemento de Placa de Kirchoff

Placas são elementos estruturais simétricos em relação a um plano médio, cujas

dimensões laterais são caracterizadas por serem bem maiores comparadas com a

dimenção normal a esse plano, a espessura. As placas têm a particularidade de serem

solicitadas por esforços externos normais ao plano médio (Waidemam, 2004). Algumas

considerações devem ser seguidas quando se trata de placas. São elas:

1. A espessura da placa é pequena em comparação com as dimensões laterais;

2. A deflexão da placa é pequena em comparação com a espessura da mesma e a

inclinação do plano médio defletido é pequena em comparação com a unidade;

3. A deformação da placa é tal que, linhas retas que são inicialmente normais à

superfície média, permanecem retas e normais à superfície média na estrutura com

carregamento. Esta é a Hipótese de Kirchoff;

4. Não há tensões na superfície média da placa, ou seja, o problema elástico é

tratado bidimensionalmente.


60

As placas podem ser classificadas com base na relação “t/a”, onde “t” é a

espessura e “a” é o menor dos vãos da placa. Nos estudos realizados pelo grupo até

então foi utilizada a teoria clássica aplicável no estudo da flexão de placas delgadas

usuais com relação “t/a” da ordem de 1/5 a 1/100 (Martinelli et al. (1986)).

No caso de placas moderadamente espessas, é preciso recorrer à formulação da

placa Reissner-Mindlin que permitem considerar efeitos rotacionais e deformações por

cisalhamento (Lima Jr., 1999).

As equações que descrevem o movimento da placa de Kirchhoff são obtidas a

partir da equação geral do movimento das cascas em coordenadas curvilíneas com a

escolha apropriada dos parâmetros de Lamé e dos raios de curvaturas (Timoshenko e

Goodier, 1970).

A Figura 3.19 ilustra o deslocamento de um ponto situado sobre uma normal ao

plano médio da placa e distante de “z” desse plano.

P

x

zuz

P'O'

ux

z

z

ϕ

O

Figura 3.19 Deslocamento de um ponto situado sobre uma normal ao plano

médio da placa

Pela teoria clássica de flexão de placas delgadas, tem-se que pontos situados na

superfície média (z = 0) movem-se apenas na direção “z” quando a placa se deforma.

Uma linha reta perpendicular à superfície média antes do carregamento permanece reta

e perpendicular à mesma após o carregamento (linhas OP e O’P’).

Um ponto “P” situado a uma distância “z” da superfície média possui

deslocamentos “ux” e “uy” nas direções “x” e “y”, respectivamente.

Admitindo-se essa consideração, é possível adaptar as equações previamente

demonstradas para a placa, com todas as deformações escritas em função do

deslocamento uz, como segue.

Para o estado de tensões em questão, como já visto anteriormente na Eq. 3.123:


61

SGss =σ (3.123)

Desse modo:

( )( )

−−

−

−+=

xy

y

x

xy

y

x

S

S

SE

2

2100

01

01

211 υυυ

υυ

υυτσσ

(3.124)

com

( )( )

−−

−

−+=

2

2100

01

01

211s

ss

ss

ss

ss

EG

υυυ

υυ

υυ (3.125)

Para o deslocamento:

zu u LS = (3.126)

ou

z

2

2

2

2

2

xy

y

x

u

yxz2

yz

xz

S

S

S

∂∂∂−

∂∂−

∂∂−

=

(3.127)

com

yxz2

yz

xz

L

2

2

2

2

2

u

∂∂∂−

∂∂−

∂∂−

= (3.128)

Adaptando-se agora o material piezelétrico como elemento de placa de Kirchoff,

tem-se:


62

[ ] 333

12

22

11

23313 Ε

2

0 S

S

S

S

eeD ∈+

= (3.129)

Equação do sensor: Efeito direto

323

31

12

22

11

E66

E22

E12

E12

E11

12

22

11

E

0200

0

0

−

=

e

e

S

S

S

c

cc

cc

σσσ

(3.130)

Equação do atuador: Efeito inverso

com

=023

31

e

e

e e

=E66

E22

E12

E12

E11

Ε

00

0

0

c

cc

cc

c (3.131)

A matriz de rigidez elástica piezelétrica (cE) pode ser escrita de forma análoga à

matriz Gs da Eq. 3.125 já que os coeficientes da matriz cE estão em função do módulo

de elasticidade (Ep) e do coeficiente de Poisson (pυ ) do PZT. Assim:

( )( )

−−

−

−+==

2

2100

01

01

211Ε

p

pp

pp

pp

pp

EGc

υυυ

υυ

υυ (3.132)

Para obterem-se as funções de interpolação em função de coordenadas

generalizadas para os graus de liberdade de deslocamento e potencial elétrico,

considera-se inicialmente o elemento estrutural acoplado eletromecanicamente

representado pela Figura 3.20 e o elemento finito retangular plano da Figura 3.21 que

representa o acoplamento eletromecânico na formulação em Elementos Finitos.

De posse dessas funções, pode-se, então determinar as matrizes locais do sistema

eletromecanicamente acoplado.

Guia

Figura 3.20

Figura 3.

O elemento é composto por quatro nós, com três graus de liberdade por nó,

sendo uma translação (“uzi

denotada por “xθ ” e em torno de “

base e da cerâmica piezelétrica, respectivamente. Além dos graus de liberdade

mecânicos (deslocamentos), ainda serão considerados em cada nó do elemento um

potencial elétrico “ iφ ” como variáveis nodais.

Os graus de liberdade estão representados em termos das coordenadas

adimensionais generalizadas “

Pode-se escrever o vetor campo de deslocamentos

na Eq. 3.134:

[ 1y1x1zi uu θθ=

Grupo de Materiais e Sistemas Inteligentes Guia de Power Harvesting: História, Evolução e Fundamentos

20: Elemento estrutural acoplado eletromecanicamente.

Figura 3.21: Elemento finito retangular de placa.


zi” na direção “z”), e duas rotações (em torno do eixo “

” e em torno de “y” , “ yθ ”). Sendo St e Pt as espessuras da estrutura



” como variáveis nodais.


adimensionais generalizadas “( )ηξ , ”, que podem ser definidas como sendo:

b

y ;

a

x == ηξ

se escrever o vetor campo de deslocamentos ui do i-ésimo elemento como

4y4x4zy33x3z2y2x2z u θ u u θθθθθ

Grupo de Materiais e Sistemas Inteligentes - GMSINT a, Evolução e Fundamentos

63

Elemento estrutural acoplado eletromecanicamente.

a.


”), e duas rotações (em torno do eixo “x”,

as espessuras da estrutura




”, que podem ser definidas como sendo:

(3.133)

ésimo elemento como

]T4 (3.134)


64

e o vetor de potencial elétrico:

[ ]T4321i φφφφφ = (3.135)

Escrevendo-se os vetores em função das coordenadas nodais utilizando as

funções de interpolação Nu (para o deslocamento) eφN (para o potencial elétrico):

( ) ( ) iu u,N,u ηξηξ = (3.136)

( ) ( ) i,N, φηξηξφ φ= (3.137)

ou

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 41241141039

38372625

24131211

, ,,,

,,,,

,,,,,

yuxuzuyu

xuzuyuxu

zuyuxuzu

NNuNN

NuNNN

uNNNuNu

θηξθηξηξθηξθηξηξθηξθηξ

ηξθηξθηξηξηξ

+++

++++

++++=

(3.138)

e

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 44332211 ,,,,, φηξφηξφηξφηξηξφ φφφφ NNNN +++=

(3.139)

Considerando-se os deslocamentos mecânicos do elemento de duas dimensões

( )ηξ , e doze graus de liberdade, obtém-se a seguinte função interpoladora para o

deslocamento na direção z.

( )3

123

113

102

92

8

37

265

24321,

ξηαηξαηαξηαηξαξαηαξηαξαηαξααηξ

++++

+++++++=zu (3.140)

ou

α Pu = (3.141)

com

[ ]33322322 1P ξηηξηξηηξξηξηξηξ= (3.142)

[ ]T121110987654321 ααααααααααααα = (3.143)


65

As relações em torno dos eixos ( )ηξ , são dadas por:

( ) ( ) 212

311

2109

28653 3322 ξηαξαηαξηαξαηαξαα

ηηξηξθξ +++++++=

∂∂

=,u

, z (3.144)

( ) ( ) 312

211

298

27542 3232

,, ηαηξαηαξηαξαηαξαα

ξηξηξθη −−−−−−−−=

∂∂−= zu

(3.145)

Rearranjando os deslocamento na forma matricial para cada nó, tem-se:

−−−−−−−−=

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

3222

2322

33322322

302302010

332020100

1

αααααααααααα

ηηξηξηξηξξηξηξηξηξξηηξηξηηξξηξηξηξ

θθ

η

ξ

zu

(3.146)

ou

αφ=δ (3.147)

Considerando os 4 nós e os 12 graus de liberdade de deslocamento, tem-se:

1º nó 0,0

1

1

1

==→

= ηξθθδ

η

ξ

zu

(3.148)

2º nó 1,0

2

2

2

==→

= ηξθθδ

η

ξ

zu

(3.149)

3º nó 1,1

3

3

3

==→

= ηξθθδ

η

ξ

zu

(3.150)


66

4º nó 0,1

4

4

4

==→

= ηξθθδ

η

ξ

zu

(3.151)

A matriz global do elemento (da Eq: 4.88) fica:

−−−

−−−−−−−−

−−−−

−

=

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

000003002010

010010010100

000001001011

130123012010

313210210100

111111111111

100100010010

003000200100

001000100101

000000000010

000000000100

000000000001

αααααααααααα

θθ

θθ

θθ

θθ

η

ξ

η

ξ

η

ξ

η

ξ

z

z

z

z

u

u

u

u

(3.152)

Logo:

αδ Pn= (3.153)

tal que,

[ ] δα Pn -1= (3.154)

Sabe-se também que:

xzzz

x bby

u

y

u

y

u θθθηη

ξξ

θ ξξ =→=∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂= 1

(3.155)

yzzz

y aax

u

x

u

x

u θθθηη

ξξ

θ ηη =→=

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−=∂∂

−= 1 (3.156)

na qual ηθξ

−=∂∂ zu

, ξθη

=∂∂ zu

, ax

1=∂∂ξ

, 0=∂∂

y

ξ, 0=

∂∂

x

η e

by

1=∂∂η

, então:


67

00000000000

00000000000

001000000000

00000000000

00000000000

000001000000

00000000000

00000000000

000000001000

00000000000

00000000000

000000000001

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

=

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

z

z

z

z

u

u

u

u

a

b

a

b

a

b

a

b

u

u

u

u

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

η

ξ

η

ξ

η

ξ

η

ξ

(3.157)

ou

iu Z=δ (3.158)

[ ] i1 u ZPnPu −= (3.159)

Sabendo que u = Nuui, então:

[ ] ZPnPN 1−=u (3.160)

então:

[ ]TuN =

−−

−

−−+−−

−

−−

−−−−

−−

−−−

−−+−−

−−−

−−

−−−−−−−

a

b

a

b

a

b

a

b

)1()1(

)1(

)21)(1()1()23(

)1(

)1(

)21)(1()23(

)1(

)1)(1(

)21)(1()23)(1(

)1()1(

)1()1(

)23)(1()1()23(1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

ηξξ

ηξη

ηηξηηξξ

ηξξ

ηηξ

ηηξηηξξ

ηξξ

ηηξ

ηξξξηηξ

ηξξ

ηηξ

ηηξηξξξη

(3.161)

Reescrevem-se as matrizes Bu e Lu :


68

ab

z2b

za

z

L

2

2

2

2

2

2

2

u

∂∂∂−

∂∂−

∂∂−

=

ηξ

η

ξ

(3.161)

e

∂∂∂

−∂

∂−

∂∂

−=ηξηξ

Tu

2

2

Tu

2

22

Tu

2

2Tu

N

ab

z2N

b

zN

a

zB (3.162)

Uma vez resolvido o problema para os deslocamentos mecânicos, serão

encontradas as funções de interpolação . A Figura 3.22 mostra o elemento finito

retangular apenas com quatro graus de liberdade de potencial elétrico em duas

dimensões ( )ηξ , .

Figura 3.22 – Graus de liberdade de potencial elétrico.

Obtém-se a seguinte base polinomial para a obtenção das funções de

interpolação.

[ ]ξηηξ 1=P (3.163)


elemento, pode-se escrever a matriz Pn, , sendo que as colunas da matriz inversa de Pn

contém os índices das funções de interpolação.


69

Os valores das coordenadas generalizadas para o nó 1 são: 0,0 == ηξ ; para o

nó 2 são: 1,0 == ηξ ; nó 3 são: 1,1 == ηξ e nó 4 são: 0,1 == ηξ , então:

=

0011

1111

0101

0001

Pn (3.164)

e

−−−−

=−

1111

0011

1001

0001

][ 1Pn (3.165)

Multiplicando-se a Eq. 3.163 pela Eq. 3.165, tem-se:

[ ]

T

1

1

PnPN

−

−+−−

== −

ξηξξη

ξηηξηηξ

φ (3.166)

Para encontrar a matriz φB é preciso resolver a Eq.φB = φφ NL . Considerando

que o campo elétrico pode ser escrito diretamente proporcional à diferença de potencial

elétrico e inversamente proporcional à distância desses potenciais, então, tem-se:

δφδφ

d

d=→= ΕΕ (3.167)

onde δ é a distância entre os potenciais. Para o caso estudado neste projeto,

tem-se que ( ) ( )yxyx ,, δδφφ =→= , logo:

φφφ ∇=∂∂+

∂∂=

yxΕ (3.168)

onde ∇ é o operador gradiente.

Reescrevendo a Eq. 3.168 na forma matricial, tem-se:


70

)y,x( yx

)y,x( φ

∂∂+

∂∂=Ε (3.169)

Comparando a Eq. 3.169 com a Eq. φφ L=Ε , conclui-se que :

∂∂+

∂∂=

yxLφ (3.170)

Considerando as coordenadas generalizadas:

; ηηξξ ∂=∂→=∂=∂→= byb

yax

a

x, pode-se reescrever a Eq. 3.170

como segue:

∂∂+

∂∂=

ηξφ b

1

a

1L (3.171)

então:

∂∂

+∂

∂=

ηξφφ

φ

TT

T N

b

1N

a

1B (3.172)

De posse das funções de interpolação dos deslocamentos mecânicos e potenciais

elétricos, pode-se agora encontrar as matrizes elementares do sistema

eletromecanicamente acoplado.

Sabe-se que o diferencial de volume do elemento da estrutura base (dVs) pode

ser escrito da seguinte forma:

dVs = dz dAs (3.173)

sendo dAs o diferencial de área do elemento, então:

dVs = dzdxdy (3.174)

logo

ηξ ddabdzdVs = (3.175)


71

Então:

∫ ∫ ∫−=1

0

1

0

2t

2t u

Tus

es

s

sddNN abρ dzM ηξ Matriz de massa da estrutura (3.176)

integrando na direção z, tem-se:

∫ ∫=1

0

1

0 uTuss

es ddNNabtρM ηξ (3.177)

De forma análoga,

∫ ∫=1

0

1

0 uTupp

ep ddNNabtρM ηξ Matriz de massa do PZT (3.178)

∫ ∫=1

0

1

0 usTu

3se

s ddBGB12

abtK ηξ Matriz de rigidez da estrutura (3.179)

∫ ∫=1

0

1

0 upTu

3pe

p ddBGB12

abtK ηξ Matriz de rigidez do PZT (3.180)

∫ ∫=1

0

1

0

Tu

2pe

u dd e BB2

abtK ηξφφ Matriz do acoplamento eletromecânico (3.181)

com[ ] eu

Teu KK φφ = .

∫ ∫=∈1

0

1

0

Tp

S33

e ddBBabtK ηξφφφφ Matriz de capacitância piezelétrica (3.182)

Desta forma, tem-se o modelo completo do acoplamento eletromecânico

modelado com o elemento de placa de Kirchoff via elementos finitos.

3.4.4 Método de Newmark

O sistema de equações diferenciais de segunda ordem em dinâmica estrutural

pode ser resolvido por qualquer método considerando a existência de alguma excitação

F externa sendo aplicado no sistema ou mesmo condição inicial de deslocamento e

velocidade em algum nó. Entre estes, o método de Newmark é um dos mais versátil e

popular para a solução de grandes sistemas de equações diferenciais de segunda ordem.


72

A premissa na qual o método de integração de Newmark se baseia é a de que a

aceleração do sistema varia linearmente entre dois instantes de tempo. Os vetores de

velocidade ( 1+iu&r

) e deslocamento ( 1+iur

) são representados pelas expressões (Rao e

Singiresu , 2009).

( )[ ] tuuuu iiii ∆+−+= ++ 11 1 &&r&&r&r&r ββ (3.183)

211 2

1. tuuutxu iiiii ∆

+

−+∆+= ++&&r&&r&rrr αα (3.184)

sendo α e β os parâmetros que obtêm as características de precisão e estabilidade da

integração. Por exemplo, quando 6

1=α e 2

1=β , o método de Newmark coincide com

o método da aproximação da aceleração linear.

O valor da aceleração 1+iu&&r

é calculado através da Eq. 3.185:

[ ] [ ] [ ] 1111 ++++ =++ iiii uKuDuM Fa

rr&r&& (3.185)

Isolando-se 1+iu&&r

na Eq. 4.2, obtém-se uma expressão em termos de 1+iur

.

iiiii uut

ut

ut

u &&r&rrr&&r

−−∆

−∆

−∆

= ++ 12

11112121 αααα

(3.186)

Substituindo-se o resultado na Eq. 4.1, encontra-se uma expressão de 1+iu&r

em

termos de 1+iu&&r

.

( )

∆

−−−∆

−∆

+∆−+= ++ i

a

a

ii

a

ii

a

ii utuut

ut

utuu &&r

43421

&rrr&&r

43421&r&r

7

31

6

12

11 11 β

ααβ

αβ

αββ

(3.187)


73

Finalmente, substituindo-se a Eq. 3.187 na Eq. 3.185, encontra-se uma equação

que determinar 1+iur

:

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ]

∆

−+

−+∆

+

−+∆

−∆

+

×

+∆

+∆

=

+−

+

i

a

i

a

ia

ii

a

ii

a

a

i

ut

uut

D

uut

ut

KF

KDt

Mt

u

&&r

43421

&r

43421

r

&&r&rrr

321

r

54

2

0

221

12

111

1

211

21

αβ

αβ

αβ

ααα

αβ

α

(3.188)

Ou, substituindo-se os coeficientes das equações pelas constastes de integração,

tem-se:

( ) iiiii uauauuau &&r&rrr&&r31101 −−−= ++

(3.189)

( )[ ]iiiiiii uaautauuauauu &&r&rrr&&r&r&r7311161 .. −∆−−++= ++

(3.190)

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]( ) [ ]( ) iiiaiiiiai uauauaDuauauaMFKDaMau &&r&rr&&r&rrrr5413201

1101 ++++−+×++= +

−+

(3.191)

O algoritmo completo utilizando o esquema de integração de Newmark pode ser

dividido nas seguintes etapas:

I- Cálculos Iniciais

i- Obtenção das matrizes de massa, rigidez e amortecimento do sistema;

ii- Início com os parâmetros conhecidos 0ur

e 0u&r

, através dos quais se encontra

0u&&r

(Eq. 3.185 para (i+1) = 0);

iii- Seleção do incremento de tempo ∆t e os parâmetros α e β

iv- Cálculo das constantes de integração ( )76543210 ,,,,,, aeaaaaaaa ;


74

v- Cálculo da matriz efetiva de rigidez do sistema;

[ ] [ ] [ ] [ ]aDaMaKK 10ˆ ++= (3.192)

II- Para cada passo de tempo (iteração)

vi- Cálculo das cargas efetivas no instante t+t;

[ ]( ) [ ]( )tttattttttt uauauaDuauauaMFF &&r&rr&&r&rrrr

541320ˆ ++++++= ∆+∆+ (3.193)

vii- Cálculo do vetor deslocamento 1+tur

:

K

Fut ˆ

ˆ1 =+

r (3.194)

viii- Determinação dos vetores de aceleração e velocidade no tempo ti+1 (Eqs.

3.189 e 3.190).

A seguir é ilustrado um exemplo de solução de um sistema utilizando-se o

método de Newmark em linguagem Matlab®.

function [u,v,a] = newmark(K,C,M,f,dt)

% Newmark time-integration scheme % ---------------------------------------------------- % % PROPÓSITO: Integração numérica da equação: % M*a(t) + C*v(t) + K*u(t) = f(t) % % ENTRADA: % K : matriz de rigidez do sistema % C : matriz de amortecimento do sistema % M : matriz de massa do sistema % f : vetor de força aplicada ao sistema % dt : increment de tempo % % SAIDA:


75

% a : aceleração nas variáveis nodais % v : velocidade nas variáveis nodais % u : deslocamento nas variáveis nodais % % ---------------------------------------------------- % 27.11.2002 Lars Andersen, AAU % Parâmetros de integração --------------------- gamma = 1/2 ; beta = 1/4 ; % Número de passos de tempo ------------------------------- n = size(f,2) ; % Vetores iniciais u, v e a ------------------ u = zeros(size(f)) ; v = zeros(size(f)) ; a = zeros(size(f)) ; % Cálculo da matriz inversa do sistema ---------------- M1 = inv(M + gamma*C*dt + beta*K*dt^2) ; % Perform loop over the time steps for j = 1 : n-1 % u e v ---------------------- vv = v(:,j) + a(:,j)*dt ; uu = u(:,j) + v(:,j)*dt + 0.5*a(:,j)*dt^2 ; % Valores corrigidos --------------------------------- a(:,j+1) = a(:,j) + M1*(f(:,j+1)-M*a(:,j)-C*vv-K*uu) ; v(:,j+1) = vv + gamma*(a(:,j+1)-a(:,j))*dt ; u(:,j+1) = uu + beta*(a(:,j+1)-a(:,j))*dt^2 ;

end

% End of file ----------------------------------------


76

3.4.5 Métodos Experimentais

Para que a modelagem de um sistema seja validada, é necessário que se efetue

um experimento. Quando se comparam experimento e modelagem, muitos têm a falsa

impressão de que o experimento é muito mais simples de se realizar e que seus

resultados são muito mais confiáveis. Esse pensamento é muito perigoso, já que se não

forem tomados todos os cuidados necessários, os resultados de um experimento podem

facilmente estar completamente incompatíveis com a realidade. Como muitos brincam

por aí, dizem que quando se realiza uma modelagem, ninguém acredita nos resultados,

só quem modelou. Já quando se realiza um experimento, todos acreditam nos

resultados, só quem desconfia é o experimentalista. Isso se dá porque somente o

experimentalista tem conhecimento de todas as variáveis envolvidas na operação

robusta de um experimento. Quando se realiza um experimento, tudo deve estar bem

monitorado.

É primordial que a estrutura esteja em ótimo estado para a realização do ensaio.

Isso inclui o acoplamento dos materiais piezelétricos, a soldagem e a integridade de

todos os fios e cabos ligados à estrutura e a própria integridade da estrutura.

As condições onde o sistema será ensaiado deverão estar as mais controladas

possíveis, por exemplo, a temperatura e pressão ambientes e qualquer tipo de

interferência externa que possa alterar os sinais de resposta, como ruídos e correntes de

ar vindos do exterior. Muitos experimentos têm seu melhores resultados coletados

quando realizados a noite devido à menor interferência externa. Uma boa manutenção

das condições de ensaio de uma estrutura não só asseguram resultados mais confiáveis,

mas também permitem que ocasionais anomalias sejam mais facilmente detectadas, já

que serão menores as causas de irregularidades e possibilitam uma boa repetibilidade do

mesmo experimento. Alem das condições ambientais, as condições de apoio ou fixação

do sistema devem estar em ordem. Os ensaios de vibração devem ser efetuados em uma

Mesa Inercial, cuja influência sobre a vibração do sistema é mínima se comparada a

qualquer outra mesa ou bancada.

Estando as condições de ensaio monitoradas e controladas, deve-se dar atenção à

instrumentação, afinal, os instrumentos serão os responsáveis pela aquisição dos sinais

emitidos no experimento e posteriormente estudados. Os instrumentos devem estar

calibrados segundo as curvas de calibração fornecidas pelo fabricante, suas baterias


77

devem estar carregadas e os fios que os conectam ao sistema em bom estado. Tais

parecem ser parâmetros óbvios demais e simples de se levar em conta para ser

destacados, porem, quanto mais óbvio parece, mais se esquece de checá-lo quando

ocorre algum problema, e muito tempo é perdido.

É claro que cada experimento demanda cuidados particulares além dos

procedimentos gerais. Para tomar conhecimento de tudo que se deve fazer, vale a pena

consultar pesquisadores e trabalhos relacionados com o experimento que se vai realizar.

No capítulo 6, serão apresentadas simulações numéricas realizadas no programa

SmartSys, criado por membros do grupo de pesquisa GMSINT. Nele, alguns

experimentos realizados para validar as simulações serão relacionados. Os

procedimentos descritos acima foram seguidos para esses experimentos.


78

CAPÍTULO 4 – MODELAGEM DE ESTRUTURAS INTELIGENTES

4.1 – Relações constitutivas

4.1.1 Relações constitutivas da estrutura

Considerando-se uma estrutura qualquer isotrópica, com comportamento elástico

linear. Para reconhecer as forças restauradoras na estrutura, isto é, as reações internas do

sistema estrutural à ação de um carregamento externo conforme Waidemam (2004), e

analisar os esforços atuantes no sistema estrutural pode-se extrair um elemento cúbico

genérico, com volume infinitesimal (figura 4.1).

Figura 4.1 esquema das tensões principais atuando no elemento retirado de uma

estrutura qualquer.

Efetuando-se um corte perpendicular ao seu eixo, devem aparecer forças que

traduzem a ação das partes separadas para que estas continuem em equilíbrio.

Assim, surgem as tensões normais, perpendiculares à secção transversal, e

cisalhantes, tangenciais à secção transversal, agindo sobre o elemento.


79

As relações constitutivas são, dessa forma, dadas pela lei de Hooke generalizada:

( )[ ]zyxs

x ES σσυσ +−= 1

(4.3)

( )[ ]zxys

y ES σσυσ +−= 1

(4.4)

( )[ ]yxzs

z ES σσυσ +−= 1

(4.5)

( )xy

sxy E

S τυ+= 12 (4.6)

( )

xzs

xz ES τυ+= 12

(4.7)

( )

yzs

yz ES τυ+= 12

(4.8)

Sendo S as deformações lineares e tangenciais do elemento, ES e υ

respectivamente o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson e o sobrescrito s

denota que se trata de propriedades da estrutura.

Organizando-se as equações 4.3 a 4.8, obtem-se a relação entre as tensões e

deformações da estrutura, representada pela equação constitutiva:

SGss =σ (4.9)

Sendo


80

=

yz

xz

xy

z

y

x

s

τττσσσ

σ Tensões aplicadas (4.10)

=

yz

xz

xy

z

y

x

S

S

S

S

S

S

S Deformações (4.11)

( )( )

−

−

−−

−−

−+=

2

2100000

02

210000

002

21000

0001

0001

0001

211

υ

υ

υυυυ

υυυυυυ

υυs

s

EG coeficientes elásticos do material (4.12)

Utilizando-se operadores diferenciais é possível relacionar as deformações da

estrutura com as deformações u somente em função de x, y e z, colocando seu tensor na

forma matricial:

uLS u = (4.13)

Ou


81

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

z

y

x

yz

xz

xy

z

y

x

u

u

u

yz

xz

xy

z

y

x

S

S

S

S

S

S

0

0

0

00

00

00

(4.14)

sendo

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

yz

xz

xy

z

y

x

Lu

0

0

0

00

00

00

Matriz dos operadores diferenciais para elasticidade (4.15)

Substituindo a Eq. 4.1 na Eq. 4.13, temos que:

iuu u N LS = (4.16)

ou

iuBS u= (4.17)

na qual

Bu = Lu Nu (4.18)


82

4.1.2 Relações constitutivas dos materiais piezelétricos

A deformação, S, e a Tensão, σ , são as variáveis mecânicas geralmente utilizadas

nos cálculos da piezeletricidade. Para variáveis elétricas usa-se a polarização, P, ou o

deslocamento elétrico, D, e o campo elétrico, E.

Elementos piezelétricos apresentam histerese não-linear para elevados níveis de

excitação, no entanto, para aplicações estruturais pode-se utilizar aproximações lineares.

Sendo assim podemos usar as seguintes relações constitutivas lineares para o efeito

direto e inverso de materiais piezelétricos.

Equação do sensor: EST S eD ∈+= (Efeito direto)

(4.19)

Equação do Atuador: EE eScp −=σ (Efeito inverso)

(4.20)

Assume-se em geral que materiais piezelétricos são transversalmente

isotrópicos, ou seja, a polarização ocorre ao longo do eixo 3, que é o eixo isotrópico

transversal, como mostra a figura 4.2.

Figura 4.2: Efeito induzido nos dipolos de materiais piezelétricos

As equações (4.19) e (4.20) podem ser escritas na forma matricial, assim:


83

∈∈

∈+

=

3

2

1

33

22

11

12

31

23

33

22

11

333231

24

15

3

2

1

00

00

00

2

2

2000

00000

00000

E

E

E

S

S

S

S

S

S

eee

e

e

D

D

D

S

S

S

(4.21)

Equação do sensor: Efeito direto

−

=

3

2

1

15

24

33

23

31

12

31

23

33

22

11

66

55

44

332313

232212

131211

12

31

23

33

22

11

000

00

00

00

00

00

2

2

2

00000

00000

00000

000

000

000

E

E

E

e

e

e

e

e

S

S

S

S

S

S

c

c

c

ccc

ccc

ccc

E

E

E

EEE

EEE

EEE

σσσσσσ

(4.22)

Equação do atuador: Efeito inverso

D = deslocamento elétrico ou indução [C/m2].

[ ]e = Matriz de constantes de tensão piezelétrica[C/m2].

[ ]∈ = Matriz de permissividade dielétrica [C2/Nm2].

E = campo elétrico induzido nas extremidades da cerâmica piezelétrica [V/m;

N/C].

[ ]c = Matriz de rigidez elástica [N/m2].

( )S = Significa que os valores são medidos para deformação constante.

( )E = Significa que os valores são medidos para um campo elétrico constante.

( )p = Denota que se trata de propriedades piezelétricas

1 = eixo x ; 2 = eixo y ; 4 = eixo z

Na matriz de tensão piezelétrica, [ ]e , ije corresponde à tensão desenvolvida

na j-ésima direção devido a um campo elétrico aplicado na i-ésima direção, sendo

que i corresponde as linhas e j corresponde as colunas da matriz.


84

Assim como para estruturas podemos relacionar suas deformações através de

operadores diferenciais (Eq. 4.13), pode-se escrever o campo elétrico da seguinte

forma:

φφ LE= (4.23)

onde φL é a matriz que contém os operadores diferenciais.

Substituindo a Eq. 4.3 na Eq. 4.20, vem:

iNLE φφφ = (4.24)

ou

iBE φφ= (4.25)

tal que

φB = φφ NL (4.26)

4.2 – Acoplamento eletromecânico

O elemento piezelétrico, quando interage com a estrutura base, ocasiona

mudanças internas e externas à estrutura. As mudanças internas levam em consideração

as alterações nas propriedades do material como massa, rigidez e amortecimento,

devido à presença do PZT e estão presentes mesmo quando não existe potencial elétrico

aplicado. A contribuição externa é devida a deformação induzida pelo PZT quando lhe é

aplicado um potencial elétrico gerando forças e momentos. Para a obtenção das

equações de equilíbrio em um sistema eletromecanicamente acoplado podem ser

utilizados o Princípio do Trabalho Virtual e o Princípio Variacional de Hamilton, além

das equações do movimento de Lagrange. A seguir o processo de obtenção dessas

equações é descrito através das equações do movimento de Lagrange.

Na formulação são considerados os graus de liberdade mecânicos (de

deslocamento) em cada elemento estrutural, definidos por ui e os graus de liberdade

elétricos em cada elemento, definidos pelo potencial elétrico φ i.

Na formulação das energias cinética e potencial, consideram-se as energias da

estrutura e do material piezelétrico. Desta forma, a energia cinética pode ser dada por:


85

p

V

Tps

V

Ts dVuu dVuu T

ps

&&&& ∫∫∫∫∫∫ += ρρ2

1

2

1 (4.30)

sendo ρ a massa específica, u e u& o vetor deslocamento e velocidade, respectivamente,

e V o volume. O sobrescrito (.)T significa transposto e, lembrando, os sobrescritos s e p

denotam propriedades da estrutura base e do material piezelétrico, respectivamente.

Substituindo a Eq. 4.1 na Eq. 4.30 obtém-se:

p

V

iuTu

Tips

V

iuTu

Tis dVuNNudVuNNuT

ps

∫∫∫∫∫∫ += &&&& ρρ2

1

2

1 (4.31)

A energia potencial pode ser escrita por:

∫∫∫∫∫∫ +=+=ps V

ppT

V

ssT

ps dVSdVSUUU σσ2

1

2

1 (4.32)

Substituindo a Eq. 4.17 na Eq. 4.9, tem-se o seguinte tensor tensão para a

estrutura base:

iusss uBGSG ==σ (4.33)

sendo Gs a matriz que contém os coeficientes elásticos do material da estrutura.

Substituindo as Eq. 4.17 e 4.25 na Eq. 4.20, da tensão mecânica no PZT, tem-se:

iiup BeuBc φσ φ E −= (4.34)

Sabendo-se que, pela Eq. 4.17:

iuBS u= (4.17)

Pode-se, então, substituindo-se as equações das tensões da estrutura (Eq. 4.33) e

do material piezelétrico (Eq. 4.34) e a Eq. 4.17 na Eq. 4.32, obter-se a equação da

energia potencial da piezoestrutura:


86

pi

V

Tu

Tipiu

V

Tu

Tisius

V

Tu

Ti dVBeBudVuBcBudVuBGBuU

pps

φφ 2

1

2

1

2

1 E∫∫∫∫∫∫∫∫∫ −+= (4.35)

Us Up

O trabalho realizado pelo campo elétrico aplicado na piezocerâmica é definido

por:

∫∫∫ Ε=PV

PT

e DdVW2

1 (4.36)

onde, como já visto anteriormente, E é o campo elétrico e D vetor deslocamento

elétrico. Assim, substituindo-se as Eqs. 4.17 e 4.25 na Eq. 4.19, do fluxo ou

deslocamento elétrico do PZT, tem-se:

iS

iT BuBeD φφ∈+= u (4.37)

Substituindo-se então as Eqs. 4.25 e 4.37 na Eq. 4.36, temos:

∫∫∫∫∫∫ ∈+=PP V

piSTT

i

V

PiTTT

ie dVBBdVuBeBW φφφ φφφ 2

1

2

1u (4.38)

Após descobertas as formulações de todas as energias envolvidas no

acoplamento, torna-se possível escrever, a partir das Eqs. 4.31, 4.35 e 4.38 substituídas

na Eq. 4.29 tem-se o Lagrangiano:

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∈

+++

−−+=

P

Ppp

sps

V

piSTT

i

V

PiTTT

ipiTu

Ti

V

piu

V

Tu

Ti

sius

V

Tu

Tip

V

iuTu

Tips

V

iuTu

Tis

dVBB

dVuBeBdVBeBudVuBcBu

dVuBGBudVuNNudVuNNuL

φφ

φφ

ρρ

φφ

φφ

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

uE

&&&&

(4.39)

Encontrado o Lagrangiano, as equações de movimento de Lagrange podem ser

calculadas.


87

Assim, a partir da Eq. 4.27:

e

ii

Fdu

dL

ud

dL

dt

d =−

& (4.27)

1 2

Resolvendo 1:

ip

V

uTupis

V

uTus

i

udVNNudVNNud

dL

ps

&&&

+

= ∫∫∫∫∫∫ ρρ (4.40)

ip

V

uTupis

V

uTus

i

udVNNudVNNud

dL

dt

d

ps

&&&&&

+

=

∫∫∫∫∫∫ ρρ (4.41)

ou

iepi

es

i

u Mu Mud

dL

dt

d&&&&

&+=

(4.42)

com

sdVNNρM u

V

Tus

es

s

∫∫∫= Matriz elementar de massa da estrutura (4.43)

pu

V

Tup

ep dVNNρM

p

∫∫∫= Matriz elementar de massa do PZT (4.44)

Resolvendo agora 2:

Ti

V

puTT

i

V

pTu

ipu

V

Tuisus

V

Tu

i

pp

ps

dVB e BdVB e B

u dVBcBu dVBGBdu

dL

φφ φφ

+

+

−

−=

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

2

1

2

1

E

(4.45)

ou


88

ieui

epi

es

i

KuKuKdu

dL φφ +−−= (4.46)

com

sus

V

Tu

es dVBGBK

s

∫∫∫= Matriz global de rigidez da estrutura (4.47)

pu

V

Tu

ep dVBcBK

p

E∫∫∫= Matriz global de rigidez do PZT (4.48)

∫∫∫=PV

pTu

eu dV e BBK φφ Matriz do acoplamento eletromecânico (4.49)

A partir dessa vez da Eq. 4.28:

e

ii

Qd

dL

d

dL

dt

d =−

φφ& (4.28)

0=

id

dL

dt

d

φ& (4.50)

i

V

pST

ipuTT

V

Tip

Tu

Vi

P

pp

dVB B

u dVB eBu dVB eBd

dL

φ

φ

φφ

φφ

∈

+

+

=

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫ 2

1

2

1

(4.51)

ou

ie

ieu

i

KuKd

dL φφ φφφ += (4.52)

com

∫∫∫=PV

puTTe

u dVB e BK φφ Matriz do acoplamento eletromecânico (4.53)

∫∫∫ ∈=PV

pSTe dVBBK φφφφ Matriz de capacitância piezelétrica (4.54)


89

Nota-se das Eqs. 4.49 e 4.53 que ( )Teu

eu KK φφ = .

Nesse ponto já é possível a obtenção das matrizes locais elásticas e

eletroelásticas a partir da integração das Eqs. 4.43, 4.44, 4.47, 4.48, 4.49, 4.53 e 4.54.

Substituindo-se as equações acima em 4.27 e 4.28 obtém-se o sistema de duas

equações matriciais de equilíbrio, em coordenadas generalizadas locais:

( ) ( ) ( )( )

=+−

=−+++e

ie

ieu

ei

eui

ep

esi

ep

es

QKuK

FKuKKuMM

φ

φ

φφφ

φ && (4.55)

Enfim, lançando mão da técnica padrão de elementos finitos, montam-se as

matrizes globais, encontrando-se, então o sistema global de equações do movimento

para o modelo de uma estrutura com o efeito do acoplamento eletromecânico

incorporado:

=

+

Q

Fu

KK

KKuM

u

uuuuu

φφ φφφ

φ

&&

&&

00

0 (4.56)

sendo as matrizes globais definidas por:

( ) ( )∑∑==

+=np

jj

ep

ne

ii

esuu MMM

11

(4.57)

( ) ( )∑∑==

+=np

jj

ep

ne

ii

esuu KKK

11

(4.58)

( )∑=

−=np

jj

euu KK

1φφ (4.59)

( )∑=

−=np

jj

eKK1

φφφφ (4.60)


90

As matrizes globais são encontradas através da somatória das matrizes locais de

todos os elementos em que a estrutura base é discretizada (ne) e, no caso do PZT, do

número de PZTs inseridos na estrutura (np).

Manipulando-se convenientemente as equações do sistema global de equações

do movimento obtém-se a equação do sensor:

QKuK su =+ φφφφ (4.61)

Como não existe potencial elétrico aplicado ao sensor, a carga elétrica Q é igual

a zero, então:

uK K u1

s φφφφ −−= (4.62)

Para encontrar a força gerada no atuador, deve-se considerar a carga Q diferente

de zero, então, pode-se reescrever a Eq. 4.61 da seguinte forma:

QKuK Au =+ φφφφ (4.63)

ou

( )uKQ K uA φφφφ −= −1 (4.64)

Substituindo o potencial elétrico, Eq, 4.64, na equação global da força, Eq. 4.56,

tem-se:

eluu FFuKuM +=+ *&& (4.65)

onde:

uuuu KKKKK φφφφ1* −−= (4.66)

QKKF uel1 −−= φφφ (4.67)

Sendo Fel a força elétrica gerada no atuador com a aplicação de uma carga

elétrica Q.


91

Se levados em consideração nos cálculos, o em geral presente grau de

amortecimento nas estruturas pode ser previsto. Esse grau é difícil de ser definido com

precisão mas pode ser considerado proporcional à massa e a rigidez. Assim:

KβMαDa += (4.68)

Uma vez definida a matriz de amortecimento, o sistema global de equações do

movimento é dado por:

QKKFuKuDuM ua1−−=++ φφφ&&& (4.69)

onde M, Da e K são as matrizes globais de massa, rigidez e amortecimento,

respectivamente.

4.3 - Elementos de Placa de Kirchoff e Viga de Euler-Bernoulli

Eletromecanicamente Acoplados

Na modelagem de uma estrutura via Método dos Elementos Finitos, a escolha do

tipo e tamanho de elemento finito que descreva de forma adequada o comportamento

trecho a trecho da estrutura depende do conhecimento da natureza física do problema a

ser representado, bem como da formulação do elemento escolhido traduzida pela sua

função de interpolação (Alves F. A. 2005).

Para a modelagem da estrutura eletromecanicamente acoplada proposta nesse

trabalho os tipos de elemento escolhidos foram o Elemento de Placa de Kirchoff e o

Elemento de Viga de Euler-Bernoulli, cuja modelagem para estruturas inteligentes foi

detalhada no capítulo 3.


92

CAPÍTULO 5 – ESTUDO COMPARATIVO DE DIFERENTES MODELOS PROPOSTOS “NA LITERATURA”

Desde o inicio das investigações a respeito de Power Harvesting era possível

encontrar modelagens que simulavam os sistemas coletores e armazenadores de energia

envolvidos. Alguns desses modelos foram citados anteriormente no guia.

Com o passar dos anos e aumento da popularidade do assunto, muitos erros e

considerações antes desprezados passaram a ser levados em conta e a tendência é que se

encontrem modelos cada vez mais robustos, com mais parâmetros do sistema real

envolvidos.

5.1 Alguns exemplos de modelagens atuais

Geralmente, os trabalhos que investigam a otimização da captura, conversão e

armazenamento de energia analisam parâmetros lineares como os elementos dos

circuitos armazenadores, as propriedades geométricas e elementares dos transdutores,

ou o tipo de excitação a qual a estrutura é submetida.

Em estudos recentes, pesquisadores vão além, tentando otimizar a geração de

energia em equipamentos armazenadores através de mudanças não lineares em suas

propriedades.

Challa et. al. (2008) projetaram e testaram um dispositivo coletor de energia

(harvester) cuja frequência de ressonância pode ser sintonizada (“tunable”) se

utilizando uma técnica com força magnética (Figura 5.1).


93

Figura 5.1: Esquema do dispositivo para armazenar energia excitado através de

uma freqüência de ressonância. (Challa et. al. 2008)

O dispositivo é capaz de mudar sua frequência de ressonância em até ±20% da

frequência natural original. Uma viga piezelétrica engastada-livre com uma frequência

natural de 26 Hz é utilizada como colhedor de energia. Suas propriedades, freqüência

natural e rigidez, foram alteradas e a estrutura teve sua excitação otimizada com sucesso

em uma faixa de freqüências de 22 – 32 Hz, possibilitando uma geração contínua de 240

– 280 µW na faixa de freqüências testada. Por se utilizar força magnética tanto atrativa

como repulsiva, a freqüência de ressonância pode ser amplificada ou reduzida,

tornando-bidirecionalmente ajustável. A distância entre os ímãs é limitada pela rigidez

geométrica da viga e pela densidade do fluxo magnético dos ímãs. Foi construído um

mecanismo de ajuste semi-ativo, que pode ser aproveitado no projeto de um harvester

autônomo com capacidade de auto-ajuste, onde uma retroalimentação capaz de

controlar a força e a rigidez aplicada pelos ímãs e , consequentemente, a frequência de

ressonância do dispositivo, alterando a distância entre os ímãs para otimizar a

quantidade de energia captada. Um modelo teórico com amortecimento variável foi

desenvolvido e validado.

Em se tratando de modelagens matemáticas, de acordo com Erturk e Inman

(2008a), muitos autores tem considerado como modelo de sistema eletromecanicamente

acoplado para Power Harvesting uma viga engastada com uma ou duas camadas de

piezo cerâmicas, conectadas a uma carga resistiva. Os autores apresentaram soluções

analíticas para respostas elétricas e mecânicas de harvesters piezelétricos unimorfos e

bimorfos (Figura 5.2).


94

(a)

(b)

Figura 5.2: Esquema dos dispositivos harvesters (a) unimorfo e (b) bimorfo,

submetidos a excitações de base.

Os dispositivos foram submetidos a vibrações transversais e longitudinais

provocadas por uma excitação harmônica de base, excitações próximas das freqüências

naturais e acelerações de base não harmônicas. O equacionamento do sistema foi

encontrado através das equações elementares que regem a dinâmica do sistema

acoplado para cada configuração reduzida, já que o comportamento acoplado dos

harvesters pode ser investigado por meio dessas relações reduzidas, uma vez que são

relativamente fáceis de implementar e tão precisas quanto as soluções completas para

excitações em torno das freqüências naturais. Para estimar o histórico de voltagens

transientes, uma formulação foi dada pela combinação das funções analíticas de

resposta em freqüência com as acelerações de base não harmônicas transitórias,

representadas através de série de Fourier. As expressões foram validadas por meio de

um estudo de caso teórico. Constatou-se que o modelo pode prever a resposta em

freqüência da tensão com muita precisão para diferentes cargas resistivas.

No mesmo ano, Erturk e Inman (2008b) calcularam analogamente a solução

analítica de um harvester piezelétrico engastado-livre excitado pela base utilizando o

modelo de viga de Euler–Bernoulli. O modelo será detalhado a seguir. As expressões

resultantes da resposta do acoplamento mecânico e das saídas elétricas foram reduzidas

para expressões aproximadas para o caso particular de comportamento harmônico no

tempo. Expressões simples para a resposta do acoplamento mecânico, voltagem,

corrente e potência de saída também foram apresentadas para excitações em torno das


95

freqüências modais. O modelo foi usado no estudo de um caso paramétrico para um

harvester unimorfo, e importantes características do sistema com parâmetros

distribuídos, como por exemplo o comportamento com circuito aberto e fechado, foram

investigados em detalhe.

De Marqui et al. (2009) desenvolveram um modelo piezo-aero-elástico obtido

através da combinação de um modelo de elemento finito eletromecanicamente acoplado

(EF) com um modelo aerodinâmico instável. As matrizes de massa e rigidez do

elemento, os vetores de acoplamento eletromecânico e das forças externas e o termo

escalar de capacitância foram obtidos através do Principio Generalizado de Hamilton

juntamente com ambas as relações elétricas e mecânicas da estrutura e dos PZTs.

Constatou-se que o modelo EF eletromecanicamente acoplado mostrou resultados

satisfatórios quando comparados com os resultados analíticos obtidos da solução

aproximada dada por Erturk and Inman (2008b) para o dispositivo unimorfo sujeito à

excitação de base.

Motivados pelo grande número de modelos diversos que tem sido publicados por

muitos pesquisadores, Erturk and Inman (2008c) disponibilizaram algumas correções

para considerações físicas comumente errôneas praticadas por grupos de pesquisa para

futuros membros da comunidade que necessitarem de modelos matemáticos para

sistemas eletromecânicos e Power Harvesting. Os problemas existentes foram

investigados em dois temas como problemas na modelagem de parâmetros distribuídos.

Foram propostos, segundo os autores, modelos mais adequados e exemplos para cada

situação. Os problemas associados com os modelos com parâmetros distribuídos

existentes incluem: ignorar os efeitos da expansão modal e o fenômeno da ressonância;

não modelar o acoplamento piezelétrico na equação mecânica ou tratá-lo como simples

amortecimento viscoso; representação equivocada do termo força devido à excitação de

base; uso de equações referentes ao sensor e equações referentes ao atuador e do padrão

de flexão estática em um problema dinâmico.

Ward e Behens (2008) desenvolveram uma nova abordagem para captação de

energia de vibração. As abordagens existentes para captação de energia de vibração

normalmente utilizam um circuito retificador, que está sintonizado com a freqüência de

ressonância do harvester e da freqüência dominante da vibração. Essa nova abordagem

se adapta também às vibrações não-periódicas, de modo a extrair o máximo de energia

de vibração disponível. O conceito proposto foi validado experimentalmente em um


96

aparato experimental utilizando uma bobina de alto-falante como transdutor.

Resultados demonstraram eficiência de conversão de energia elétrica de 27-34%.

Embora o sistema de teste e de excitação tenham sido escolhidos para simplificar a

análise teórica de desempenho, a metodologia proposta é igualmente aplicável em

sistemas com dinâmica mais complexa

Nakano et al. (2007) apresentaram um modelo de rede que pode descrever

completamente a dinâmica eletromecânica dissociada do transdutor, incluindo a

interação entre a estrutura e a carga elétrica de uma forma unificada. Construído o

modelo, os autores o aplicaram em transdutores piezelétricos e eletromagnéticos. A

potência colhida por ambos os transdutores acoplados a uma viga simplesmente apoiada

foi calculada e as condições ideais de arranjo e a potência máxima colhida foram

obtidas teoricamente. Foram consideradas como condições ideais para a captura de

energia garantir que as partes mecânica e elétrica do transdutor se encontram em

ressonância, e usar uma carga elétrica combinada, formando uma resistência. A potência

máxima que poderia ser capturada foi calculada para cada tipo de transdutor.

Comparando estes valores, pôde-se observar que o transdutor piezelétrico captura mais

energia do que o transdutor eletromagnético neste exemplo, fenômeno difícil de mostrar

teoricamente, dada a complexidade das equações das potências máximas para cada

transdutor. Os autores ressaltaram algumas desvantagens de se utilizar transdutores

piezelétricos apesar da maior geração de energia, como por exemplo, a indutância ideal

torna-se bastante grande, sendo 298,6 H para o exemplo discutido. Um indutor passivo

deste tamanho não é apropriado para um sistema de alimentação leve e de captura.

Outro problema ressaltado foi que, fora da freqüência natural, o transdutor não captura

praticamente nenhuma energia, não sendo adequado para a colheita de energia em

vibrações de banda larga.

Para comparar os tipos de modelagens que eram feitas no início das pesquisas

sobre Power Harvesting e hoje em dia, será feita uma comparação entre dois modelos

de Harvesters Piezelétricos implementados por pesquisadores que contribuem

fortemente para o avanço das pesquisas no assunto desde o início. Um desses modelos

construído em 2003 e o outro em 2008. Os trabalhos têm um autor em comum, Dr. D. J.

Inman, por isso é possível acompanhar por meio da comparação desses trabalhos a

evolução da investigação sobre Power Harvesting dos grandes pesquisadores da área.


97

Para comparar os tipos de modelagens que eram feitas no início das pesquisas

sobre Power Harvesting e hoje em dia, será feita uma comparação entre dois modelos

de Harvesters Piezelétricos implementados por pesquisadores que contribuem

fortemente para o avanço das pesquisas no assunto desde o início. Um desses modelos

construído em 2003 e o outro em 2008. Os trabalhos têm um autor em comum, Dr. D. J.

Inman, por isso é possível acompanhar por meio da comparação desses trabalhos a

evolução da investigação sobre Power Harvesting dos grandes pesquisadores da área.

5.2 Modelagem de uma viga piezelétrica

Primeiramente o trabalho de Sodano et Al desenvolveu um modelo de uma viga

engastada com elementos piezelétricos bimorfos acoplados que proporcionou uma

estimativa precisa da energia gerada através do efeito piezelétrico. Seu trabalho foi

citado no capítulo 1. Essa configuração foi escolhida baseada na verificação de que um

dispositivo piezelétrico acoplado a uma viga engastada é um mecanismo eficaz para

captar vibrações transversais e convertê-las em energia elétrica útil. O modelo

detalhado foi baseado em outros modelos mais generalizados. Foi adicionado um

complemento importante aos modelos anteriores utilizados que foi a consideração do

amortecimento na modelagem, dado que não havia sido levado em consideração até

então. Nota-se quão simples eram os modelos na época, já que hoje em dia existem

trabalhos inteiros dedicados apenas à análise de como considerar os diferentes

amortecimentos que influenciam um harvester.

Para a modelagem, os autores utilizaram o Princípio de Hamilton, que originou-

se da mecânica lagrangiana descrita no capítulo 3, O método hamiltoniano difere do

lagrangiano em que ao invés de expressar confinamentos diferenciais de segunda ordem

sobre um espaço coordenado n-dimensional, ela expressa confinamentos de primeira

ordem sobre um espaço de fases 2n-dimensional. Seguindo o principio, o indicador

variacional deve ser 0 a todo momento, assim:


98

Onde:

U = Energia Potencial;

T =Energia Cinética;

f δx=Trabalho externo aplicado no sistema.

S = Deformação;

T = Tensão;

E = campo elétrico;

D = deslocamento elétrico;

V = Volume;

u = Deslocamento;

x = coordenada generalizada escolhida para o equacionamento do sistema

(posição ao longo da viga);

q = carga;

ρ = densidade;

f = forca aplicada;

Subscritos p e s significam propriedades relacionadas respectivamente ao

material piezelétrico e à estrutura.

Foram utilizadas as equações constitutivas dos materiais piezelétricos, como nas

eqs. 4.19 e 4.20:

Incorporando-se as relações piezelétricas nas equações de energia


99

Dessa forma, o indicador variacional fica:

Essa equação foi considerada pelos autores útil para resolver as equações de

movimento de qualquer sistema contendo elementos piezelétricos. Algumas suposições

foram consideradas, como os procedimentos de Rayleigh-Ritz que afirma que o

deslocamento da viga pode ser escrito como a soma dos modos da viga e uma

coordenada temporal, como segue:

Onde µ:() é o modo de vibrar que satisfaça a combinação de condições de

contorno, r(t) é a coordenada temporal do deslocamento e N é o número de modos a

serem incluídos na análise. As outras duas suposições foram que o potencial elétrico

através do elemento piezelétrico é constante e a aplicação do modelo de viga de Euller-

Bernoulli. Simplificando-se então o indicador variacional, têm-se as matrizes de massa

e rigidez da estrutura e do material piezelétrico.


100

A matriz de acoplamento eletromecânico e de capacitância foram definidas por:

Reescrevendo-se o indicador variacional:

Representando respectivamente o movimento mecânico e as propriedades

elétricas do sistema, tem-se:

Para incorporar a dissipação de energia às equações governantes, utilizou-se a

Lei de Ohm e adicionou-se um elemento resistivo entre os eletrodos positivo e negativo

do piezelétrico para representar dissipações. Com a adição da carga resistiva, as

condições de contorno elétricas ficam:

Além disso, o amortecimento mecânico do sistema foi considerado. A

magnitude do amortecimento adicionado ao modelo foi determinada experimentalmente

pelo método de amortecimento proporcional. A razão de amortecimento é estimada por

meio da FRF medida. Encontrada a razão de amortecimento, o amortecimento

proporcional é encontrado de.


101

Onde β é definido por:

Sendo ζi a razão de amortecimento encontrada da FRF da estrutura. Assim, o

modelo final do sistema para Power Harvesting fica:

As condições de contorno padrão da extremidade engastada indicam que a

declividade e deslocamento são nulos. Para o caso de excitação de base, os autores

optaram por representar a inércia da viga por uma função de força periódica, dada por:

5.3 Modelagem de uma viga eletromecânica engastada

A segunda modelagem a ser apresentada é uma solução exata eletromecânica de

uma estrutura composta por uma viga piezelétrica engastada, sujeita a vibrações

transversais. Foi utilizado o modelo de viga de Euler-Bernoulli. A viga modelada se

movia devido a uma excitação de base.

Nessa modelagem, o amortecimento foi calculado com mais acurácia do que no

modelo anterior, cujo cálculo se deu de uma maneira mais generalizada. Os autores

consideraram mecanismos mais sofisticados de amortecimento. Segundo Erturk, a taxa

de deformação interna de amortecimento e o amortecimento devido ao ar externo foram

tratados de forma mais precisa, já que os coeficientes de amortecimento foram definidos

separadamente. O circuito elétrico é composto por uma carga resistiva ligada aos

eletrodos da camada de PZT. Por isso, juntamente com a capacitância interna do PZT, o

circuito elétrico é um circuito RC de primeira ordem. Suas influências no sistema


102

começam a ser investigadas, diferente de outros autores ate então. Isso significa que só

nesse momento se iniciaram realmente os estudos dirigidos a Power Harvesting,

processo que inclui além do cálculo do potencial de saída da estrutura, seu

armazenamento reutilização.

A estrutura modelada se encontra na figura 5.3:

Figura 5.3: Esquema do harvester modelado.

O movimento wb de base x, t sobre o feixe pode ser representado como:

Sendo g(t) e h(t )respectivamente a translação e a rotação da viga.

Os autores escrevem a equação de movimento do sistema como:

Onde C(, ) = DGD @G?GD #m =amortecimento equivalente da seção transversal viga devido a sua

viscoelasticidade estrutural; #È= coeficiente de amortecimento viscoso do ar;

m = é a massa por unidade de comprimento da viga.

Ambos os mecanismos de amortecimento considerados satisfazem o critério de

amortecimento estrutural. Desse modo, eles são matematicamente convenientes para o

procedimento de solução da análise modal.

A taxa de deformação de amortecimento de fato mostra-se como um momento

interno na equação do movimento resultante, dado por:


103

Incorporando-se as relações constitutivas piezelétricas, o momento interno pode

ser escrito como:

Sendo P = tensão aplicada à estrutura; P² = tensão aplicada ao PZT;

b = largura da viga;

ha= posição da base da camada estrutural com relação ao eixo neutro;

hb= posição da base da camada piezelétrica com relação ao eixo neutro;

hc= posição do topo da camada estrutural com relação ao eixo neutro.

Expressando a tensão de flexão em termos de raio de curvatura e empregando as

relações piezelétricas e o momento interno:

Simplificando a equação:

YI se trata da rigidez flexional da seção transversal do compósito dada por:

E o termo de acoplamento:


104

Se a camada de PZT e / ou os eletrodos não cobrirem a totalidade do comprimento da viga, mas a região ≤ ≤ , então incorpora-se a função de Heaviside na equação do momento interno, obtendo-se:

Substituindo-se na equação de movimento, tem-se agora a influência do

acoplamento piezelétrico considerado:

Onde ¿() é o Delta de Dirac.

Para obter o circuito elétrico equação com acoplamento mecânico, deve-se

considerar a seguinte relação constitutiva piezelétrica:

ou

A carga elétrica qt desenvolvida no PZT e coletada pelos eletrodos pode ser

obtida através da integração do deslocamento elétrico

em função da área do eletrodo, assim:

onde D é o vetor de deslocamentos elétricos A corrente gerada pelo PZT pode

ser dada por


105

Aqui, a corrente gerada é uma função de dois componentes: O primeiro

componente é devido ao movimento vibratório da viga e o segundo componente inclui a

tensão sobre o PZT. O segundo termo da equacao de corrente é referente à capacitância

estática do PZT.

Uma vez que a expressão atual inclui as informações de capacitância do PZT,

neste modelo, é conveniente ligar diretamente ao PZT a carga resistiva como uma fonte

de corrente sem capacitância externa. Então, a tensão sobre a carga resistiva é:

ou

Observa-se dos dois modelos que a principal diferença entre um modelo de 2003

e um de 2008 se da na consideração da influência e dos componentes do circuito

armazenador de energia na modelagem do harvester. Relevância é dada também aos

detalhes, como, por exemplo, o avanço observado na maneira de se expressar o

fenômeno de perda de energia devido a dissipação pelo amortecimento da estrutura,

pelo acoplamento piezelétrico, pelo acoplamento do circuito, entre outros, levados em

consideração na modelagem.

Uma característica da modelagem de harvesters que era um pouco negligenciada

e hoje em dia é essencial para que o próprio sistema seja considerado um harvester é a

influência do circuito armazenador de energia na modelagem do sistema

eletromecânico.

Gonsalez (2009) construiu o modelo de um sistema contido por um transdutor

conectado ao equivalente de Thevenin para a estrutura vibrando e para a carga elétrica.

Esse modelo foi proposto por Nakano et al (2007). O esquema modelado se encontra na

figura 5.4.


106

Figura 5.4: Esquema do sistema modelado.

Os parâmetros principais são os mesmos descritos no capitulo três na seção 6.3.

Para o transdutor a relação entre as variáveis mecânicas e elétricas é expressa

por:

= ¤\ P\ÃPÃ\ ¤Ã Ê@ sendo

@ = − PÃ\¤Ã + ¤Ã_ Ê

e = ¤\ − PÃ\P\Ã¤Ã + ¤Ã_ Ê

A força no transdutor é dada por: = Ë − ¤\Ê

Para fb sendo a força bloqueada da estrutura mecânica.

A velocidade da estrutura pode ser dada por:

Ê = Ë+¤\ − P\ÃPÃ\¤Ã + ¤Ã_,

Para Zm = Zmt +Zms

A potência dissipada pela carga elétrica é considerada a coletada para Power

Harvesting. Essa potência, para uma excitação harmônica, é:

ÌÍ = 12 ½M−@∗N


107

A autora modelou o transdutor piezelétrico baseada em estudos de Preumont

(2006) e Nakano et al (2007). O modelo foi utilizado para encontrar as impedâncias

elétricas e mecânicas e os coeficientes de transdução do transdutor.

Assumindo-se uma entrada harmônica, as equações constitutivas do PZT podem

ser transformadas em:

= ÏÐÐÑ 1\ −n44

−n44 1Ã ÒÓ

ÓÔ Õ\ÕÃ

F = força

V = voltagem; Õ\ = deflecção mecânica; ÕÃ = carga elétrica; n4 = constane do transdutor piezeletrico; \ = compliância mecânica com eletrodos abertos (ÕÃ = 0); Ã = capacitância elétrica do transdutor para uma geometria fixa (Õ\ = 0);

Definindo-se um coeficiente de acoplamento Ö:

Ö = |F44|√5×Ä Os outros parâmetros foram dados por: 1\ = ØÈ1 − Ö

ÙÅÚ = Ù (HÛ9 ) n44 = G F44 ØÈ (1 − Ö )

= ×Ä«GZ

ØÈ = «5 Z

C = capacitância do transdutor sem carregamento externo ( = 0); ØÈ = rigidez do transdutor para os eletrodos em curto circuito ( = 0);


108

A = área de secção transversal;

Finalmente, as impedâncias elétrica e mecânica e os coeficientes de transdução são

dados por:

¤\ = 1 \ (1 + Ü\)

¤Ã = 1 Ã (1 + ÜÃ)

P\Ã = PÃ\ = n44

sendo Ü\ and ÜÃ os fatores de perda das compliâncias mecânica e elétrica.


109

CAPÍTULO 6 – SIMULAÇÕES NUMÉRICAS

Nesse capítulo, algumas simulações numéricas para a modelagem apresentada

no capitulo 4 foram realizadas e seus resultados discutidos. As simulações serão feitas

no programa SmartSys. As simulações numéricas são importantes não só para conhecer

bem o funcionamento do sistema, mas também para observar a inter-relação entre as

estruturas e os materiais piezelétricos a ela acoplados, bem como adquirir experiência

com programação numérica e procedimentos experimentais. As simulações ficaram

restritas à viga devido aos empecilhos encontrados para as análises com placas.

Vale lembrar que não se trata de análises de sistemas para Power Harvesting, já

que apenas é avaliado o potencial que sai do PZT e nada relacionado com o circuito

armazenador. Trata-se de simulações de estruturas inteligentes. São importan

6.1 Modelagem de uma viga engastada com PZTs acoplados no programa

SmartSys

O software utilizado para a modelagem da Viga engastada-livre deste trabalho

foi o “SmartSys”, programa em desenvolvimento pelo grupo GMSINT para modelagem

de estruturas com sensores e atuadores incorporados através do método numérico de

elementos finitos (FEM). Este programa usa a plataforma do software MATLAB® for

windows da “The MathWorks Inc”. O módulo de solução do sistema de equações já foi

implementado para as estruturas do tipo viga de Euller Bernoulli e placa de Kirchoff. O

programa possui interfaces gráficas para o módulo de pré-processamento, para entrada

de dados (geometria, propriedades dos materiais, condições de contorno, carregamentos,

etc) e para o módulo de pós-processamento, ou seja, a apresentação dos resultados

(tabelas, gráficos, análise de sinais, etc).


110

O modelo estudado foi simulado inicialmente sem o acoplamento

eletromecânico, ou seja, somente o comportamento do elemento estrutural foi analisado.

Após a primeira análise, três elementos piezelétricos foram incorporados à viga como

mostra a figura 6.2 e uma nova simulação foi efetuada. Dessa forma foi possível a

realização de uma comparação entre ambas as simulações para observar as influências

que o acoplamento dos elementos poderia causar à estrutura. A viga foi dividida em 30

elementos de viga, com 31 nós e 62 graus de liberdade. Foram efetuadas análises no

domínio do tempo e da frequência para os dois casos. Suas propriedades estão

relacionadas na tabela 6.1.

Figura 6.1 Interface Gráfica de abertura do programa SmartSys.

Figura 6.2 Desenho ilustrando a viga engastada-livre com os PZTs acoplados.


111

Tabela 6.1 - Dimensões e propriedades da viga

Parâmetro Valor

Módulo de Young (GPa) 70 Coeficiente de Poisson 0.31

Densidade (kg.m-3) 2710 Comprimento (mm) 600

Largura (mm) 25

Espessura (mm) 2.5

Inicialmente foi realizada uma análise modal da viga engastada-livre sem o

acoplamento dos PZTs. Na figura 6.3 são mostrados alguns dos 15 primeiros modos de

vibrar da viga, fornecidos pelo programa após a análise modal.

(a)

(b)


112

(c)

Figura 6.3 Gráficos representando o primeiro (a), segundo (b) e o terceiro (c)

modos de vibrar da viga.

Após a análise modal da viga, foram realizadas as análises dinâmicas no

domínio da freqüência e do tempo sem o acoplamento. Os resultados obtidos foram

guardados para posterior comparação.

Realizou-se, então o acoplamento dos PZTs conforme mostrado na figura 6.4.

Figura 6.4 Malha da viga modelada no programa Smartsys com PZTs acoplados

respectivamente nos elementos 9-10, 10-11 e 15-16.

Novamente foram realizadas a análise modal, e as dinâmicas nos domínios da

freqüência e do tempo.

Para a análise realizada no domínio da frequência foi adotada freqüência

máxima de 500 Hz.


113

A tabela 6.2 mostra as freqüências naturais de vibração nos quinze primeiros

modos de vibrar da viga simulada.

Tabela 6.2 – Freqüências naturais da viga com e sem PZT

Modos fn (Hz) sem PZT fn (Hz) com PZT 1 6.86169 6.9324329 2 42.876157 42.891587 3 120.05482 120.36533 4 235.2617 236.3662 5 388.91278 389.48717 6 580.99243 587.24242 7 811.52635 816.53321 8 1080.5551 1085.3461

Ao comparar os gráficos FRF para as análises com e sem o acoplamento dos

PZTs, pôde-se constatar diferenças entre ambos (figura 6.5).

Figura 6.5 Gráficos FRF da viga com e sem os PZTs para uma excitação de entrada no

grau de liberdade 19 com respostas coletadas no grau de liberdade 59.

Os resultados comprovam a influência do acoplamento dos PZTs nas

propriedades dinâmicas do sistema analisado. Como visto acima, as frequências naturais

e o deslocamento da estrutura sofreu alterações significantes devido à incorporação dos

PZTs que podem ser divididas em influências na massa e rigidez e influências nas suas

propriedades adaptativas. Nos gráficos FRFs da figura 6.5, pôde-se observar pelos picos

o efeito de amortecimento da viga causado pelos PZTs, o chamado damping effect.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

Frequência [Hz]

Apl

itude

[db]

FRF entrada (GL 19) x saída (GL 59)

sem PZTcom PZT


114

Assim, pode-se afirmar que o acoplamento de materiais piezelétricos em

estruturas influencia seu comportamento.

6.2 – Aplicações numéricas e validações experimentais

Um sistema eletromecânico composto por uma viga engastada-livre de alumínio

com um PZT acoplado foi modelada com o programa Smartsys. Para que fosse

calculada a voltagem de saída do PZT, o sistema foi submetido a análises dinâmicas no

domínio do tempo. Diversos parâmetros foram analisados como condições de engaste

da estrutura, magnitude e posicionamento da aplicação da força no sistema e

posicionamento do PZT. Para a modelagem, a viga foi dividida em 21 elementos com

44 graus de liberdade. (22 nós). As propriedades físicas e dinâmicas da viga e do PZT

são listadas na Tabela 6.2.

Table 6.2: Propriedades físicas e geométricas do sistema eletromecanicamente

acoplado.

Propriedades PZT Viga

Módulo de Young [GPa] 62 70

Densidade [Kg/m3] 7500 2710

Poisson --- 0,3

Constante Dielétrica [F/m] 3,363e-8 ---

Coeficiente de tensão piezelétrica [C/m2] -16,37 ---

Capacitância [F] 6e-7 ---

Comprimento [m] 0.02 0.42

Largura [m] 0.02 0.0305

Espessura [m] 2.7e-4 0.002

Para se familiarizar com os aparatos e procedimentos para ensaios

experimentais, foram realizados diversos ensaios e testes. Em um destes testes, realizou-

se uma análise para observar a influência das condições de engaste na geração de

energia no sistema eletromecanicamente acoplado. Uma das extremidades da viga foi


115

engastada e um shaker, responsável pela aplicação da força harmônica à viga, foi

acoplado ao seu quarto elemento. O PZT utilizado foi o modelo PSI5H4E –

Piezosystems, propriedades listadas na Tabela 6.2. Ele foi acoplado ao quinto elemento

da viga. A voltagem de saída do PZT foi medida com a placa de aquisição de sinais

DSpace DS – 1103 Control Board. A placa é controlada por seu próprio software e pelo

Simulink® - Matlab. Assim, é possível fazer a leitura e salvar o sinal de saída.

O sistema foi excitado na condição engastado-livre e livre-livre (Figura 6.6).

(a)

(b)

(c)

Figura 6.6: Montagem experimental do sistema para (a) viga na condição livre-

livre e (b) na condição engastada-livre. (c) Detalhe mostrando o PZT utilizado.

Para cada condição, a estrutura foi excitada até que se atingisse sua freqüência

natural. Para a viga engastada-livre, as freqüências de excitação foram de 10,2 e 75 Hz

(primeira e segunda freqüência natural). Na condição livre-livre, a viga foi excitada à

56,5 Hz (primeira freqüência natural). Não foi possível para esse teste alcançar a

segunda freqüência natural da viga livre-livre. Os sinais das voltagens no PZT nas

diferentes situações foram medidos pela placa de aquisição e comparados. Destaca-se


116

que, devido ao acoplamento do shaker, a viga não se comporta exatamente nas

condições de contorno pretendidas.

As voltagens no PZT nas diferentes freqüências de excitação são ilustradas nas

figuras 6.7, 6.8 e 6.9.

Figura 6.7: Voltagem dissipada com a viga na primeira freqüência natural (10,2

Hz) na condição engastada-livre.

Figura 6.8: Voltagem dissipada com a viga na segunda freqüência natural (75

Hz) na condição engastada-livre.

0 0.5 1 1.5 2-10

-5

0

5

10

Tempo (s)

Vol

tage

m (

V)

0 0.5 1 1.5 2-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Tempo (s)

Vol

tage

m (

V)


117

Figura 6.9: Voltagem dissipada com a viga na primeira freqüência natural (56,5

Hz) na condição livre-livre.

Ao comparar o desempenho da conversão de energia pelo PZT primeiramente

para a viga engastada-livre vibrando na primeira e na segunda freqüência natural,

verifica-se que o PZT é capaz de gerar mais energia com a viga vibrando na primeira

freqüência natural. Nota-se durante o experimento que a viga flexiona mais no primeiro

modo. Dessa forma, o PZT se deforma mais, gerando mais energia.

Comparando a influência do engaste na geração de energia, na condição livre-

livre, a viga atingiu seu primeiro modo de vibrar a uma freqüência de vibração 5 vezes

maior do que quando engastada-livre. Na freqüência de 56.5 Hz o PZT alcançou os

mesmos picos de voltagem que quando excitado a 10,2 Hz na condição viga engastada-

livre.

Depois de se analisar a voltagem gerada pelo PZT acoplado à viga na condição

livre-livre e engastada-livre, verificou-se que um engaste favorece a deformação do

PZT, otimizando sua geração de energia a menores freqüências de excitação. Porém, ao

comparar as situações onde o PZT atingiu picos de energia de aproximadamente 10 V,

(Figuras 6.7 e 6.9), verifica-se que, na condição livre-livre, o PZT atinge esses picos

com uma maior freqüência, favorecendo e muito o armazenamento de energia por

circuitos para Power Harvesting. Deve-se ter cautela para as situações nas quais o PZT

possa estar posicionado em locais onde, durante a freqüência natural da viga, o

deslocamento é nulo (nós), prejudicando ou anulando a geração de energia.

0 0.5 1 1.5 2-10

-5

0

5

10

Tempo (s)

Vol

tage

m (

V)


118

Compreendendo bem o funcionamento dos equipamentos e os procedimentos

nos ensaios experimentais, partiu-se para as simulações numéricas.

A primeira das simulações numéricas visou validar o programa através de um

teste experimental. A viga foi modelada na condição engastada-livre, com excitação no

quarto elemento.

Primeiramente foi realizada uma análise modal no sistema para calcular suas

freqüências naturais. Conhecidos os modos de vibrar da estrutura (condizentes com as

encontradas experimentalmente), ela foi submetida a excitações harmônicas no seu

quarto elemento. O potencial gerado pelo PZT foi analisado para a estrutura vibrando na

sua primeira freqüência natural, quando sua amplitude de vibração aumenta,

favorecendo a deformação do PZT.

Para que a excitação harmônica aplicada ao sistema fosse a mesma na simulação

e no teste experimental, foi necessário realizar um teste para encontrar a

compatibilidade entre a amplitude da vibração fornecida pelo shaker, dada em volts, e a

amplitude da força aplicada na simulação, dada em Newtons. Para isso, durante o

experimento com a viga, um transdutor de força modelo 208C02 - Piezotronics, com

sensibilidade de 47,10 mV/lbf foi posicionado entre o shaker e a viga a fim de medir o

sinal de força aplicado para as duas primeiras freqüências naturais (10,2 e 75 Hz) e

posteriormente convertê-lo em Newtons.

A curva de calibração do transdutor fornecida pelo fabricante é ilustrada na

Figura 6.10. Os sinais de força em Newtons encontrados depois da análise para as duas

freqüências naturais da estrutura são ilustrados na Figura 6.11.


119

Figura 6.10: Curva de calibração do transdutor de força.

Figura 6.11: Forças harmônicas aplicadas à viga ensaiada pelo shaker e

capturadas pelo transdutor de força.

sendo as equações referentes aos sinais em Newtons dadas por:

Para a excitação na primeira freqüência natural da estrutura:

( ) ( )NtsenF )83,62.32,8= (I)

Para a excitação na segunda freqüência natural da estrutura:

0 20 40 60 80 1000

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

ENTRADA - LBFENTRADA - LBFENTRADA - LBFENTRADA - LBF

SA

ÍDA

- M

ILIV

OL

TS

(m

V)

SA

ÍDA

- M

ILIV

OL

TS

(m

V)

SA

ÍDA

- M

ILIV

OL

TS

(m

V)

SA

ÍDA

- M

ILIV

OL

TS

(m

V)

0 0.05 0.1 0.15 0.2-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

TEMPO (S)TEMPO (S)TEMPO (S)TEMPO (S)

EN

TR

AD

A (

N)

EN

TR

AD

A (

N)

EN

TR

AD

A (

N)

EN

TR

AD

A (

N)

10,2 Hz 75 Hz


120

( ) ( )NtsenF )95,464.33,48= (II)

Encontradas as forças harmônicas a serem aplicadas à estrutura, a voltagem de

saída do PZT pode ser medida experimentalmente e calculada numericamente. A Figura

6.12 mostra a comparação entre ambos os sinais obtidos numérica e experimentalmente

para a força F da Eq. I.

Figure 6.12: Comparação entre a voltagem de saída do PZT obtida

numérica e experimentalmente.

Como foi possível verificar através dos resultados numéricos e experimentais, os

resultados obtidos na solução numérica para a voltagem de saída do transdutor

piezelétrico se mostraram consistentes. Isso mostra que, para o caso viga engastada-

livre, mais comum entre os membros do Grupo, o programa Smartsys está correto para

as análises modal e transiente e os resultados obtidos condizem com a validação

experimental. O próximo passo na investigação do Smartsys no futuro é deixar o

programa robusto para que possam ser realizadas modelagens numéricas e análises

estáticas e dinâmicas confiáveis em vigas livres-livres, vigas duplamente engastadas e

placas sob diversas condições de engaste.

Testada a influência da freqüência de excitação à estrutura e das suas condições

de engaste na geração de energia pelo PZT, foi realizada uma análise com mais um PZT

acoplado à viga e com a aplicação da força localizada no seu último elemento. Assim é

0 0.5 1 1.5 2

-10

-5

0

5

10

TEMPO (s)TEMPO (s)TEMPO (s)TEMPO (s)

VO

LT

AG

EM

(V

)V

OL

TA

GE

M (

V)

VO

LT

AG

EM

(V

)V

OL

TA

GE

M (

V)

Numérico Experimental


121

possível avaliar o efeito do posicionamento do PZT na viga e da aplicação de força na

viga na geração de energia. O PZT 1 foi acoplado ao segundo elemento da viga e o PZT

2 ao quinto elemento. A Figura 6.13 mostra uma foto ilustrando os aparatos

experimentais e a posição dos sensores PZT.

Figura 6.13: Esquema experimental.

Na análise harmônica foi adotado um carregamento dinâmico dado por:

)40(5 tsenF π= .

Os gráficos com a comparação entre as voltagens de saída dos PZTs numérica e

experimentalmente são mostrados na Figura 6.14 e 6.15 para os PZTs 1 e 2,

respectivamente.

Figura 6.14: Voltagem de saída do PZT 1, que está acoplado ao Segundo

elemento da viga.

0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

TEMPO (s )TEMPO (s )TEMPO (s )TEMPO (s )

VO

LT

AG

EM

(V

)V

OL

TA

GE

M (

V)

VO

LT

AG

EM

(V

)V

OL

TA

GE

M (

V)

NUMERICO EXPERIMENTAL


122

Figura 6.15: Voltagem de saída do PZT 2 acoplado ao quinto elemento da viga.

Os resultados da simulação mostraram que a tensão de saída de PZT 1 foi maior

do que a do PZT 2, como se esperava, pois quanto mais próximo o PZT se encontra do

engaste da viga, maior será a sua deformação e, conseqüentemente, maior será a sua

tensão de saída.

Apesar disso, o que se constatou nos resultados experimentais foi o oposto, o

PZT 2, mais distante do engaste, gerou mais energia e o PZT 1, além de ter gerado

menos energia do que o PZT 2, gerou bem menos energia do que a calculada

numericamente. Ao observar o comportamento da viga ao ser submetida à excitação no

seu último elemento, notou-se uma deformação diferente da normalmente esperada para

uma viga engastada-livre (Figura 6.16).

Figura 6.16: Ilustração mostrando a diferença entre o comportamento esperado

para a viga e o comportamento observado no experimento.

0 0.5 1 1.5 2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

TEMPO (s)TEMPO (s)TEMPO (s)TEMPO (s)

VO

LT

AG

EM

(V

)V

OL

TA

GE

M (

V)

VO

LT

AG

EM

(V

)V

OL

TA

GE

M (

V)

NUMERICO EXPERIMENTAL


123

Os resultados numéricos e experimentais para o PZT 2 foram próximos, porém,

essa diferença de comportamento ocasionou uma grande disparidade na comparação

para o PZT 1, que praticamente não sofre os efeitos da vibração. Essa diferença também

explica o fenômeno da maior geração de energia pelo PZT 2.

Depois de uma atenta observação e pesquisa a resultados anteriormente obtidos

por outros pesquisadores, acredita-se que o conector do shaker à viga é o grande

responsável pela alteração na deformação da estrutura. Tal peça funciona na ocasião

como uma restrição à viga.

Deve-se, portanto, atentar durante os experimentos realizados com uma

excitação externa à maneira como esta excitação é aplicada para que interfira o mínimo

possível na resposta do sistema. Para ensaios futuros, sugere-se que a viga seja

engastada diretamente ao shaker, simulando assim uma excitação pela base.

Softwares como o Ansys® são utilizados para fazer simulações numéricas de

sistemas inteligentes. Um problema encontrado geralmente ao qual se deve ter atenção é

o aterramento dos PZTs na malha construída.


124

CAPÍTULO 7 – CONSIDERAÇÕES FINAIS

Para que as pesquisas em certo assunto dêem resultados e tenham um bom

andamento, é necessária uma coleta de dados de anos de pesquisa e investigação. Os

grupos de pesquisa são criados justamente pra que haja essa fluidez na pesquisa. Para

que, estudante após estudante que passe pelo grupo pesquisando determinado assunto,

possa contribuir para que a pesquisa do grupo caminhe mais alguns passos, cada

estudante deve assimilar rapidamente o que já foi realizado até então e a partir daí,

inovar e agregar à pesquisa.

Esse guia foi elaborado para que os próximos estudantes que se tornarem

membros do Grupo de Materiais e Sistemas inteligentes – (GMSINT) possam guiar seus

estudos iniciais, entendendo a história, os avanços, e os conceitos básicos envolvidos

em Power Harvesting. Dessa forma, seu tempo de estudos inicial será minimizado e o

estudante será capaz de começar a produzir mais rapidamente.

Um bom embasamento no que se diz respeito à dinâmica de sistemas

eletromecanicamente acoplados é fundamental para que testes paramétricos sejam

efetuados. É por essa razão que o enfoque deste trabalho foi a modelagem de estruturas

inteligentes e os fundamentos relacionados à modelagem.

Como se trata de um assunto complexo que envolve muitas variáveis e

fenômenos, são muitos e variados os conceitos utilizados em Power Harvesting.

Espero contribuir dessa maneira um pouco para o Grupo que me proporcionou

tanto aprendizado.


125

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Thesis, Department of Mechanical Engineering, University of Kentucky, 240 p

Visit site www.allaboutmems.com to discover more about MEMs devices.

Ward J K and Behrens S, 2008. Adaptive learning algorithms for vibration energy

harvesting. IOP Publishing Smart Materials And Structures.

WIKIPÉDIA. Energia. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Energia>. Acesso

em 03 jun. 2010.


129

ANEXO I – MANUAL DO PROGRAMA SMARTSYS


130

III.1 Motivação

Por ser um programa de uso comum no Grupo de pesquisa, e por ter sido

construído de forma modular a fim de permitir a implementação de algoritmos de

controle e a modelagem de novos tipos de elementos, o programa Smartsys sempre se

encontrou aberto e suscetível a alterações em suas linhas de comando originais. Devido

a essa abertura, conforme os membros o utilizavam em suas simulações numéricas,

faziam pequenas alterações no programa original como, por exemplo, separar uma

rotina do programa que o interessava e por em um arquivo separado dentro da pasta de

rotinas do programa. Dessa maneira, conforme o tempo e os membros do Grupo

passavam, o programa sofria alterações no seu número de arquivos e conteúdo. Por fim,

ao iniciar os estudos no programa Smartsys, o pesquisador hoje em dia se depara com

resultados não palpáveis e um programa não amigável. se tornou um programa de uso

não amigável. Como o programa foi criado há alguns anos, seus criadores não podem

ser contatados com a ajuda dos antigos membros que o idealizaram para decifrá-lo.

Assim, iniciou sua investigação pelas rotinas e interfaces gráficas do programa

Smartsys. Isso demandou um tempo muito grande e que não estava previsto no

cronograma.

III.2 Estudos teóricos para compreender o funcionamento do programa.

O programa Smartsys foi construído para efetuar a modelagem de estruturas com

sensores e atuadores piezelétricos acoplados. O programa é implementado em ambiente

Matlab®, uma das aplicações disponíveis para prover dados e resultados e exibi-los em

uma variedade de representações gráficas. A forma de representação gráfica é a mais

utilizada e efetiva na apresentação dos resultados e dados.

O Matlab® oferece ferramentas de interface gráfica com o usuário - Graphical

User Interface (GUI’s) - como botões, campo de texto e menu proporcionando ao

progrmador se comunicar com o computador sem programar comandos.

Os componentes de interface são objetos de gráficos que são ordenados em duas

classes: interface de usuário, os uicontrols – criados com o propósito de executar uma

ação ou montar as opções para uma ação futura – e cardápios de interface de usuário, os

uimenus – especificam a ação que é executada quando o usuário utiliza o botão do

mouse dentro do uicontrol e residem na barra de menu que se encontra no topo de uma


131

janela de figura. Esses componentes podem ser combinados com outros objetos de

gráficos para criar GUI’s informativo, intuitivo, com uma aparência agradável. As

propriedades dos componetes são ilustradas na Tabela III.1.

Tabela III .1: Propriedades e objetos das componente uicontrol e uimenu.

UICONTROL UIMENU

Check Box

Representa dois estados de

uma opção como “on” ou

“off” que indicam

“verdadeiro” ou “falso”

“sim” ou “não”, sendo que

fora do seu estado a caixa

de cheque consistirá de um

vazio.

-----------------

Frame

Não serve a nenhum

propósito em termos de

respostas ação-relacionadas

com o uso do mouse pelo

usuário. Normalmente é

usado para servir como

uma ajuda visual

importante. É um método

extremamente efetivo de

organizar o GUI’s de

maneira lógica e intuitiva

(fundo sólido).

-----------------

Push Button

Indica qual ação deveria

acontecer imediatamente.

Normalmente rotulado

como a ação que acontece

se o usuário utilizar o botão

-----------------


132

do mouse. Possui um visual

tridimensional que faz

parecer que ele está sendo

apertado quando o usuário

o utiliza no objeto.

Callback

Especifica a ação que é executada quando o usuário

utiliza o botão do mouse dentro do uicontrol ou uimenu

como definido por sua propriedade de posição. A

propriedade de callback armazena uma seqüência que é

avaliada no espaço de trabalho do Matlab.

Enable

Pode ser fixada como “on”, “off” ou “inativa”. Se for

fixada como “off” ou “inativa”, o usuário não poderá

ativar o uicontrol e o uimenu e, nenhuma ação de

callback acontecerá com o resultado do uso do botão do

mouse. Quando fixado como “on” a ação definida por seu

Callback será executada quando o usuário clicar no

objeto.

Interruptible

Controla se a execução de um callback pode ser

interrompida por outro evento, como o clique do botão do

mouse num objeto de uicontrol e de uimenu.

“no”: A execução de um callback deve ser completada

antes da execução de um novo evento.

“132re”: O callback pode ser interrompido para a

execução da ação associada com outro evento.

UserData

Armazenamento que acompanha o objeto até que este

seja apagado. Como este não é afetado pelo comando

clear, então, é um lugar seguro para armazenar dados de

uma matriz que se queira associar com um uimenu ou

uicontrol, ou que se queira ter acesso embora esteja fora

do espaço de trabalho do Matlab.


133

Visible

Normalmente, é fixada em “on” de forma que o objeto

pode ser visto pelo usuário. Porém, em certas

circunstâncias, pode-se desejar fazer o uicontrol e o

uimenu constar invisível (“off”). Isto é útil quando se

deseja limitar o número de objetos exibidos e quando

houver artigos de uma lista que não aplica à situação

particular no uimenu.

Accelerator -----------------

Define os “golpes” que o

usuário pode usar para

ativar o objeto de uimenu.

Proporciona para o usuário

uma alternativa para a

ativação do objeto.

Caminhos curtos podem ser

usados para reduzir o

tempo e esforço que leva

para realizar uma ação.

BackgroundColor -----------------

Define a cor do bloco da

região que contém o rótulo

descritivo do uimenu.

Separator -----------------

Especifica se um objeto de

uimenu terá ou não uma

linha horizontal puxada ao

longo de sua extremidade

de topo. A linha de

separação ajuda

visualmente, pois segrega

uma lista de escolhas de

forma que uma lista de

cardápio não subjugue o

usuário


134

III.3 Investigação ao Programa Smartsys

Os três principais módulos do programa SMARTSYS são:

Pré processamento: Etapa da entrada de dados, onde são fornecidas as

propriedades físicas e geométricas da estrutura;

Solução: Nessa etapa são efetuados os cálculos pertinentes para que sejam

obtidos os resultados desejados – definição das condições de contorno; cálculo das

matrizes dos elementos estruturais e dos elementos piezelétricos; definição do sistema

global de coordenadas; montagem das matrizes globais da estrutura – bem como

realizadas análises – estática (resposta a carregamentos estáticos), modal (cálculo dos

modos de vibrar e freqüências naturais do sistema), dinâmica (cálculo de respostas no

domínio da freqüência – FRF – e no domínio do tempo – resposta a aplicação de

diversos tipos de carregamento. E aplicações para sistemas de controle).

Pós processamento: Apresentação dos resultados das análises: Estática

visualização da estrutura deformada e dos valores numéricos dos deslocamentos da

estrutura; Modal apresentação das 134freqüências naturais e modos de vibrar da

estrutura; Dinâmica visualização da FRF ou da resposta no domínio do tempo. Rocha

(2004) elaborou um fluxograma com a organização dos passos da modelagem efetuada

no Smartsys (Figura III.1)


135

Figura III.1: Fluxograma do programa Smartsys

Compreendendo um pouco da linguagem utilizada na construção do programa,

partiu-se para a investigação do seu conteúdo, das suas rotinas e algoritmos que regiam

Placa

Viga

início

Leitura

Matrizes Estruturais Locaise

sM e e

sK

Efeito

Piezelétrico

Matrizes do PZT

epM e

pK euK φ eKφφ

Sistema Global

uuM , uuK e C

Análises

Estática

Malha Propriedades e

Dimensões

Resultados Fim

O Programa

Dinâmica Modal Controle


136

cada processo executado. Foi realizado o mapeamento do programa que será

superficialmente descrito a seguir.

III.4 Mapeamento do programa Smartsys

A primeira providencia a ser tomada pela bolsista foi eliminar da pasta do

programa Smartsys todos os arquivos que não estavam diretamente ligados ao

programa, ou seja, que foram criados posteriormente por usuários de maneira

independente. Depois de muitos testes e de muito estudo de todos os arquivos existentes

na vastíssima pasta do Smartsys, a “limpeza” da pasta foi realizada com sucesso.

Depois da limpeza, começava o mapeamento do programa, a busca pela

compreensão da ordem dos arquivos requisitados conforme o programa essa executado.

Só assim a descoberta das falhas do programa seria possível. Os arquivos foram

divididos nos módulos nos quais o programa é dividido (pré e pós processamento e

solução).

III.4.1 – Pré processamento

O primeiro arquivo do programa Smartsys é o arquivo main.m (Figura III.2).

Esse arquivo dita as primeiras diretrizes a serem seguidas pelo programa. Nele, o

usuário tem acesso às decisões de pré e pós processamento e de solução.

main.m =

Figura III.2: Interface inicial do programa Smartsys.


137

Iniciando-se pelo Pré processamento, a primeira escolha do usuário no

início da modelagem é o tipo de estrutura a ser modelada, placa ou viga (Figura III.3).

Figura III.3: Escolha do tipo de estrutura a ser modelada.

A cada escolha, o arquivo delega valores a algumas variáveis pertinentes e

direciona a lógica para outras rotinas para que se continue o processo de entrada de

informações de pré processamento.

No módulo de pré processamento a ordem dos arquivos executados é a mesma

para a viga e a placa. O que diferencia um do outro é que os arquivos referentes à viga

possuem um número “2” na frente do nome. A Tabela III.2 mostra posteriormente os

arquivos correspondentes a cada interface gráfica no módulo de pré processamento para

uma estrutura do tipo viga.

No Smartsys, os arquivos com prefixo “inter” como interprops.m , são

arquivos referentes às interfaces gráficas do programa, ao passo que os arquivos com

prefixo “find” , como findprops.m , são aqueles que capturam os dados fornecidos

pelo usuário nas interfaces correspondentes e os transformam em variáveis a serem

utilizadas posteriormente nos cálculos futuros. Dessa forma, por exemplo, na interface

intermesh.m os dados pedidos para o usuário são, clicado o botão “OK”, coletados

pelo arquivo findmesh.m.


138

Depois de escolher o tipo de estrutura a ser modelada, no caso a VIGA , o

arquivo entrada2.m fornece a opção de trabalho via interatividade do usuário – ele

mesmo chama as rotinas – e a opção de rodar via arquivo como se vem fazendo.

Em seguida à janela principal, o arquivo interprops2.m é chamado. As

propriedades estruturais e dos materiais piezelétricos utilizados na modelagem são

fornecidos e armazenados no arquivo findprops2.m . Mais uma vez, ao apertar

“OK”, o arquivo intermesh2.m é chamado.

Os dados a respeito da malha que será formada para prosseguir com a solução

discreta do sistema pelo Método dos Elementos Finitos são requisitados. Esses dados

serão armazenados em variáveis pelo arquivo findmesh2.m onde também são

calculadas variáveis dependentes das variáveis obtidas da interface como o número de

graus de liberdade e o número total de nós do sistema. Tem-se nesse momento uma

malha construída para a estrutura, ilustrada em malha2.m , que calcula a matriz ”e”,

ilustrada na Tabela A.3, que será largamente utilizada nos cálculos futuros. Outros dois

arquivos são chamados por malha2.m : localização.m , que constrói uma matriz

para guardar a posição dos elementos, nós e respectivos graus de liberdade (Tabela

A.3); internodep2.m, interface responsável pela entrada das informações

referentes ao posicionamento e quantidade de PZTs a serem acoplados na estrutura.

Essas informações são guardadas por findnodep2.m e levadas de volta a

malha2.m onde são incorporadas à matriz “e” . Para placa, o arquivo

localização.m não é utilizado não existe arquivo equivalente.

Adquiridos os dados iniciais necessários para realizar as análises desejadas, o

pré processamento chega ao fim e a interface main2.m aparece e será o acesso para a

próxima etapa, a solução.


139

Tabela III.2: Arquivos correspondentes às interfaces gráficas para estrutura do

tipo viga no módulo de pré processamento do programa Smartsys.

interprops2.m =

intermesh2.m =


140

malha2.m =

internodep2.m =


141

main2.m =

Tabela III.3: Matrizes geradas nos arquivos malha2.m e localização.m .

malha2.m =


142

localização.m =

O fluxograma da Figura III.4 mostra a ordem seguida na primeira etapa da

modelagem. Lembrando que a ordem dos arquivos para placa é análoga a da viga, que

não foi colocado no fluxograma.


143

Figura III.4: Fluxograma da ordem de execução dos arquivos para o módulo de

pré processamento.

main.m

VIGA

PLACA

entrada2.m

entrada.m

OTHER

Enable ”off ”

interprops2.m

findprops2.m

intermesh2.m

findmesh2.m

malha2.m

localização.m

internodep.m

findnodep.m

malha2.m

main2.m

interprops.m

findprops.m

intermesh.m


144

A.4.2 – Solução

Como dito anteriormente, é na solução que são encontradas as equações de

movimento do sistema e onde se realizam análises que podem ser estática, modal ou

dinâmica no domínio da freqüência e no domínio do tempo.

O primeiro passo na solução se trata de escolher a análise que se deseja fazer.

Isso se dá na interface main2.m (Figura III.5).

Figura III.5: Escolha do tipo de análise a ser realizada.

Ao escolher qualquer uma das análises, o arquivo intersolve2.m será

chamado para a estrutura do tipo viga (para placa o arquivo é o intersolve.m ) e,

primeiramente, serão calculadas as equações de movimento do sistema. A Figura III.6

mostra a interface do intersolve2.m e intersolve.m e a Tabela A.4 mostra os

arquivos que são executados e as variáveis que são definidas a cada comando que é

apertado.


145

(a)

(b)

Figura III.6: Interface correspondente aos arquivos (a) intersolve2.m e

(b)intersolve.m .

Tabela III.4: Comandos executados através do intersolve.m .

BOTÃO PLACA VIGA

Livre-Livre cc = 0 cc = 0

Engastada cc = 1, bound.m cc = 1, rr = [1

2] (matriz usada no

normode.m)

Outras interother.m ---

Estrutura find amor.m,

placa.m (feeldof.m,

feasmbl1.m,

feeldofmas.m, feasmbl1mas.m,

restritos.m)

findamor.m

viga.m

Efeito PZT piezo.m piezobeam.m

Controle imsc.m controlbeam.m


146

OK solu = 1 (Análise Estática) interstatic.m ;

solu = 2 (Análise Modal) intermodal.m ;

solu = 3 (Análise Dinâmica, domínio de freqüência) interharm.m ;

solu = 4( Análise Dinâmica, domínio do tempo) intertrans.m ,

Deste modo, se o usuário deseja modelar uma viga livre-livre, a variável “cc” é

nula, ou seja, não há condições de engaste na viga. A partir daí, esta é uma condição

para o programa escolher as considerações a serem feitas na modelagem. Já se a viga a

ser modelada for engastada-livre, “cc” é 1 e rr=[1 2] . O vetor “rr ” é utilizado para

indicar as restrições existentes na viga no cálculo das matrizes estruturais. Se a estrutura

for do tipo placa, o arquivo bound.m será o responsável pela construção da matriz de

restrições. Existe ainda a opção “Outras”, que possibilita ao usuário determinar

restrições específicas na placa através do arquivo interother.m (Figura III.7).

Figura III.7: Interface interother.m onde o usuário define onde se

encontras as restrições na placa analisada.

Quando se clica no botão “Estrutura”, executam-se os arquivos que calculam as

matrizes constitutivas. O arquivo findamor.m dá o valor “Damp” fornecido pelo

usuário no intersolve.m a uma constante “C”. O arquivo viga.m calcula as

matrizes elementares de massa e rigidez da viga dadas pela equações A.75 e A.76 do

relatório parcial e o arquivo placa.m, juntamente com FEELDOF.m,

FEASEMBL1.m, FEELDOFMAS.m, FEASEMBL1MAS.m e RESTRITOS.m

calcula as matrizes elementares de massa e rigidez da placa, dadas pelas equações A.1 a

A.4, relacionadas abaixo. Ambos os arquivos calculam ainda as matrizes globais de

massa e rigidez das estruturas, dadas pela somatória das matrizes elementares no caso

de estrutura sem PZTs acoplados, e calculam parte das matrizes globais das estruturas


147

com PZTs (Eqs. A.57 e A.58 do relatório parcial), em cuja construção ainda se

encontram outras matrizes relacionadas aos materiais piezelétricos que são incorporadas

mais tarde às matrizes globais. Embora estas matrizes tenham sido apresentadas no

relatório parcial, foram repetidas aqui para facilidade de compreensão de futuros

usuários. As variáveis estão definidas no relatório parcial.

ξdNNtbaρM uTussss

es ∫=

1

0

−−−−−−

=

22

22

422313

221561354

313422

135422156

420

aaaa

aa

aaaa

aa

tbaM sssse

s

ρ (III.75)

∫=1

03

ξdBBa

IEK u

Tu

s

sses

−−−−

−−

=

222

2

22

3

4626

612612

2646

612612

aaaa

aa

aaaa

aa

a

IEK

s

sses (III.76)

I,Jm176400

eS

ab tM

ρ

=

(III.1)

I,J

2

2

2 2

2 2

2 2

m

24178

3227 560

3227 441 560

8582 1918 1393 24178

1918 420 294 3227 560

1393 294 280 3227 441 560

2758 812 812 8582 1393 1918 24178

812 210 196 1393 280 294

simétrica

b b

- a - ab a

b - a

- b - b ab - b b

- a - ab a - a ab a

b - a - b - a

- b - b ab - b b ab

=

2

2

2 2 2 2

2 2

3227 560

812 196 210 1918 294 420 3227 441 560

8582 1393 1918 2758 812 812 8582 1918 1393 24178

1393 280 294 812 210 196 1918 420 294 3227 560

1918 294 420 812 196 210 1

- b b

a ab - a a - ab - aa a - ab aa

b - a - b - a - b a

b b - ab b - b - ab b - b ab b b

a ab - a a - ab - a 2 2393 294 280 3227 441 560a - ab a a ab a

(III.2)


148

=

IIII,III,

II,

2

3

kk

k

112

E

simétrica

) a b-ν (

tK e

S (III.3)

( )

( ) ( )

I,I

42 3

25 3 63

25 622

6 54 42 3 3 2 2 3

26 3 6 5 33 3

k

45

4 42

5 3 15

442

5 3 15

2 2 2 45 5 5 5

2 1 42 0 2

5 3 15 5 3

b b

a ab a simétrica

b a

b b b

ββ β

β β ββ

β βββ ν

β ββ ββ β β β β β

β β β β ββ β

=

+ +

+ +

− + − +

− − − + − + + +

+ − − + +

26

2 25 6 5 62 22 2

4

15

4 42 40 2

5 3 15 5 3 15

b

a a a ab a

β

β β β ββ ββ β ν

− + − − + +

,

( ) ( )

II,I

6 6 5 64 42 3 3 2 2 3 3 2

2 26 3 6 5 3 63 3

26 6 622 2

k

2 2 2 25 5 5 5 5 5

1 1 2 40 0

5 3 15 5 3 15

110 2

5 3 15 5

b a b a

b b b b

a a

β β β ββ ββ β β β β β β β

β β β β β ββ β

β β βββ β

=

− + + − − − − + − − − − − +

− + − − −

− + + − +

( ) ( )

262

5 6 6 64 42 3 3 2 2 3 3 2

2 25 3 6 6 3 63 3

26 622

120

3 15

2 2 2 25 5 5 5 5 5

2 4 1 10 0

5 3 15 5 3 15

122 0

5 3 15

a a

b a b a

b b b b

a a

ββ

β β β ββ ββ β β β β β β β

β β β β β ββ β

β βββ

−

− − − − + − + + − − − +

− − − + +

− + − −

26 622

110

5 3 15a a

β βββ

+ +

e


149

( )

( ) ( )

II,II

42 3

25 3 63

25 622

6 54 42 3 3 2 2 3

26 3 6 5 33 3

k

45

4 42

5 3 15

442

5 3 15

2 2 2 45 5 5 5

2 1 42 0 2

5 3 15 5

b b

a ab a simétrica

b a

b b b

ββ β

β β ββ

β βββ ν

β ββ ββ β β β β β

β β β β ββ β

=

+ +

− + +

+ − +

− − + − − + + +

− + − +

26

2 25 6 5 62 22 2

4

3 15

4 42 40 2

5 3 15 5 3 15

b

a a a ab a

β

β β β ββ ββ β ν

+

− − + − + +

(III.4)

sendo β1 = b/a, β2 = β12, βA = 1/β2, β4 = 14 – 4ν, β5 = 1 + 4ν e β6 = 1 - ν.

( ) ( )∑∑==

+=np

jj

ep

ne

ii

esuu MMM

11

(III.57)

( ) ( )∑∑==

+=np

jj

ep

ne

ii

esuu KKK

11

(III.58)

Após o cálculo das equações de massa e rigidez da estrutura, vem a opção Efeito

PZT, escolhida caso haja presença de PZTs acoplados à estrutura. Os arquivos que são

executados ao apertar esse botão são o piezo.m para placa e o piezobeam.m para a

viga. O arquivo piezobeam.m realiza a incorporação do efeito piezelétrico (e

acoplamento eletromecânico) na estrutura e a construção do seu sistema global. Já

piezo.m , incorpora elementos piezelétricos do tipo viga (UZ,ROTX) em uma

estrutura tipo placa com elementos retangulares (UZ,ROTX,ROTY). No caso da placa,

não é piezo.m que efetua o acoplamento eletromecânico mas sim CONEC.m, ligado a

ele.

Muitos problemas foram encontrados nesses arquivos, como por exemplo:

- Presença de apenas um PZT: Nas primeiras simulações com apenas um PZT, o

programa acusava incompatibilidade em algumas matrizes. Esse problema foi

solucionado;

- Presença de PZT no primeiro elemento da viga: A incompatibilidade nas

matrizes também acontecia;


150

- Posicionamento dos PZTs no acoplamento: Para que haja o acoplamento entre

os PZTs e a viga, dependendo do posicionamento desses PZTs (consecutivos ou não),

deve-se eliminar um número de linhas e colunas das matrizes de rigidez referentes aos

graus de liberdade elétricos aterrados dos PZTs, como ilustra o esquema na Tabela III.5.

Esse problema foi aparentemente solucionado.

Tabela III.5: Análise do procedimento para o acoplamento de PZTs

dependendo do número e posicionamento dos PZTs (Kff matriz dos graus de

liberdade elétricos dos elementos piezelétricos (capacitância piezelétrica)).

POSICIONAMENTO DOS PZTs E

GRAUS DE LIBERDADE ELÉTRICOS

REALIZAÇÃO DO ACOPLAMENTO

Kff (3x3) Elimina a última linha e

coluna resulta numa matriz (2x2)

Kff (4x4) Elimina a primeira e última

linha e coluna resulta numa matriz

(2x2)

Kff (4x4) Elimina a terceira linha e

coluna resulta numa matriz (3x3)

Kff (5x5) Elimina a terceira e ultima

linha e coluna resulta numa matriz

(3x3)

Kff (6x6) Elimina a segunda, quarta e

sexta linha e coluna resulta numa

matriz (3x3)

A parte referente ao controle não foi investigada pela bolsista devido ao foco do

trabalho na voltagem de saída do PZT. Quando estes objetivos forem cumpridos, todas

as funções do programa serão estudadas.


151

Os procedimentos acima descritos são, como antes dito, executados para todas as

soluções. Feita essa parte, ao clicar em “OK” na interface do intersolve.m ,

dependendo da análise que deseja ser feita é atribuído um valor para a constante “solu”.

Para se fazer uma análise modal, por exemplo, ao clicar em “OK”, solu=2. Os valores

de solu e os respectivos arquivos chamados para cada valor se encontram na Tabela

III.4. O fluxograma da Figura III.8 esquematiza a ordem de execução dos arquivos no

módulo de solução.

Figura III.8: Fluxograma da ordem de execução dos arquivos para o módulo de

solução.

main2.m

intersolve2.m

LIVRE - LIVRE

ENGASTADA

ESTRUTURA

EFEITO PZT

CONTROLE

CC = O

CC = 1 ; rr = [1 2]

findamor.m

VIGA viga.m

piezobeam.m

imsc.m / controlbeam.m

OK

PARA solu = 1

interstatic.m

PARA solu = 4

PARA solu = 3

PARA solu = 2

intermodal.m

interharm.m

intertrans.m

PLACA placa.m

FEELDOF.m

FEASMBL1.m

FEELDOFMAS.m

FEASMBL1MAS.m

RESTRITOS.m

piezo.m

CONEC.m


152

Todas as análises foram investigadas e muitos problemas encontrados. Por

exemplo, os resultados obtidos em algumas análises independiam das condições de

contorno impostas à estrutura. Como citado anteriormente, a constante “cc” indica para

as rotinas se a estrutura é livre-livre ou engastada-livre. As análises mais comumente

efetuadas são em vigas engastadas-livres. Por isso, acredita-se que a causa de os

resultados obtidos nas análises serem os mesmos para as duas condições de contorno

são alterações feitas pelos usuários nas rotinas do programa pertinentes apenas à viga

engastada e que afetam a lógica para vigas livres-livres, desabilitando os processos de

seleção de condição de engaste e fazendo com que considerações sejam feitas para

ambas as condições. Trata-se de um problema complexo, já que alterações desse tipo

podem ter sido feitas em qualquer arquivo. Muitas dessas alterações foram revisadas,

porém outras ainda corrompem os resultados do programa.

Apesar de todas as análises terem sido investigadas, não houve tempo de

aprofundar a revisão em todos os arquivos de cada análise em busca de erros. Assim

apenas a ordem das funções para cada análise será ilustrada e o foco será dado à solução

dinâmica no domínio do tempo, através da qual se obtém a voltagem de saída dos PZTs.

No breve estudo dos arquivos relacionados à análise dinâmica no domínio da

freqüência, problemas com as condições de engaste da estrutura foram novamente

detectados ao não se encontrar o arquivo que calcula a FRF da placa para outras

condições além da livre-livre-livre-livre.

A Tabela III.6 ilustra as interfaces relacionadas às análise estática, modal,

dinâmica do domínio da freqüência e dinâmica no domínio do tempo, e os respectivos

arquivos correspondentes. A Figura III.9 mostra o fluxograma com a ordem de

execução dos arquivos para cada solução. A Tabela III.7 mostra as funções executadas

pelos arquivos.


153

Tabela III.6: Interface das soluções e arquivos correspondentes.

interstatic =

intermodal.m =

interharm.m =

intertrans.m =


154

Figura III.9: Fluxograma da ordem de execução dos arquivos para cada análise

realizada.

Tabela III.7: Funções executadas pelos arquivos utilizados nas análises estática,

modal e dinâmicas.

findstatic.m

Recebe do interstatic.m os

valores da forca e do potencial elétrico

aplicados à estrutura e os locais de

aplicação; Calcula a resposta da estrutura à

força e/ou potencial elétrico aplicados a

ela, incluindo deslocamento, voltagem e

carga elétrica de saída.

findmodal.m

Recebe do intermodal.m o

valor com o número máximo de modos de

vibração da estrutura a serem calculados e

efetua o cálculo das freqüências naturais

OK

interstatic.m

findstatic.m

intertrans.m

interharm.m

intermodal.m

findmodal.m

fnffff.m (PLACA)

normode.m

beamff.m (VIGA)

findharm.m

newmark.m


155

do sistema, com o auxílio dos arquivos

beamff.m, fnffff.m e

normode.m.

fnffff.m Calcula as freqüências naturais de

uma placa livre-livre-livre-livre.

beamff.m Calcula as freqüências naturais de

uma viga livre-livre.

normode.m

Calcula as freqüências naturais

para a viga em qualquer condição de

contorno.

findharm.m

Recebe do interharm.m os

dados necessários para obter a resposta em

freqüência (FRF) da estrutura, como a

freqüência máxima desejada e os graus de

liberdade de excitação e de aquisição de

resposta na estrutura; Calcula a resposta

em freqüência para a estrutura.

newmark.m

Recebe do intertrans.m

informações a respeito do tipo, intensidade

e local de aplicação da força a qual a

estrutura será submetida. Calcula a

resposta dinâmica do sistema no domínio

do tempo incluindo deslocamento,

velocidade e aceleração da estrutura no

tempo e potencial elétrico gerado pelo

sensor piezelétrico.

Tratando-se do estudo do potencial elétrico gerado pelo PZT, o arquivo mais

importante a ser analisado é o newmark.m . É esse arquivo que soluciona as equações

diferenciais que regem o comportamento da estrutura eletromecanicamente acoplada.

Esse arquivo passou por muitas modificações no decorrer da investigação do programa


156

Smartsys. Muitas variáveis e funções independentes do programa foram retiradas e a

lógica da rotina melhor explicada.

III.4.3 – Pós processamento

De volta à interface main2.m (Figura III.10), os arquivos relacionados ao pós

processamento na modelagem são responsáveis pela apresentação dos resultados antes

calculados sob representação gráfica ou em forma de listas.

Figura III .10: Montagem para ilustrar as opções de pós processamento no

main2.m .

Algo curioso é que, ao observar o menu da interface main.m , o uimenu do pós

processamento é diferente para a análise estática, como mostra a Figura III.11.


157

Figura III .11: Diferença do menu do pós processamento do main.m quando

comparada com main2.m .

A opção “Deformed structure” equivale à opção “Graphics” do main2.m , já

que, ao escolher essa opção, aparece o gráfico correspondente ao staticplot.m . A

diferença é que o arquivo chamado para plotar os gráficos é o plotdisplac.m

diretamente, enquanto na opção “Graphics” vem a seqüência: staticplot.m

findgrafic.m plotdisplac.m . Porém, acontece um erro e o gráfico

aparece sobreposto à janela principal, como mostra a Figura III.12.


158

Figura III .12: Erro na aparição da interface que apresenta o gráfico de

deslocamento da estrutura na análise estática.

A Tabela III.8 ilustra as interfaces das representações gráficas e das listas que

apresentam os resultados das análises para estrutura do tipo viga. Nota-se que a maioria

das interfaces no pós processamento chamam o arquivo findgrafic.m . É ele o

principal arquivo responsável pela plotagem dos resultados das análises. Para cada

análise realizada, a interface que apresentará os resultados obtidos atribui um valor à

variável “opt”. O arquivo findgrafic.m plotará os resultados de acordo com esse

valor. Por exemplo, ao apertar o botão “Displacement” é atribuído valor 22 a essa

variável e no findgrafic.m será chamado o arquivo plotdisplac.m e plotado o

gráfico dos deslocamentos da estrutura devido à aplicação de uma carga estática.

Ao se trabalhar com a estrutura de placa, a falha nas análises para estruturas com

condições de contorno diferentes da livre-livre-livre-livre foi novamente notada. Ao

solicitar ao programa a visualização dos resultados das análises para placas com

restrições, o programa não respondeu. Algumas causas foram constatadas mas não

suficientes para resolver o problema.

A Figura III.13 mostra o fluxograma com a ordem de execução dos arquivos

para cada comando. A Tabela III.9 mostra as funções executadas pelos arquivos e os

valores atribuídos a opt de acordo com os resultados que se quer visualizar.

Tabela III .8: Interfaces das representações gráficas e das listas que apresentam

os resultados das análises.

staticplot.m =


159

finddisplac.m =

findmodo.m =

findfreq.m =


160

interfreq.m =

intertime.m =

Tabela III .9: Valores atribuídos a opt de acordo com os resultados desejados e

as funções executadas pelos arquivos utilizados no módulo de pós processamento do

programa.

staticplot.m findgrafic.m

Displacement Opt = 22 plotdisplac.m = Plota os deslocamentos

da análise estatica

Voltage Opt = 11 Plota a voltagem gerada pelos PZTs em função

do comprimento da estrutura na análise estática.

Charge electric Opt = 5

Calcula a carga elétrica em função do

deslocamento e da velocidade da estrutura e das

matrizes de acoplamento eletromecânico; Plota a

carga elétrica em função do tempo.

findmodo.m

Ele mesmo plota os gráficos


161

modosplotviga.m

Modes Opt = 15

Plota os modos de vibrar da estrutura em função

da amplitude dos deslocamentos e do seu

comprimento

interfreq.m

Receptance Opt = 6 Plota a FFT do deslocamento da estrutura em

resposta à excitação imposta.

Mobility Opt = 7 Plota a FFT da velocidade da estrutura em


Accelerance Opt = 8 Plota a FFT da aceleração da estrutura em


intertime.m

Displacement Opt = 1 Plota os deslocamentos da estrutura com o tempo

em decorrência da força aplicada.

Velocity Opt = 2 Plota a velocidade da estrutura com o tempo em

decorrência da força aplicada.

Acceleration Opt = 3 Plota a aceleração da estrutura com o tempo em

decorrência da força aplicada.

Voltage Opt = 4 Calcula e plota o potencial elétrico do sensor na

estrutura sobre um carregamento dinâmico.

Charge Electric Opt = 5 Plota o gráfico da carga elétrica do atuador.


162

Figura III.13: Fluxograma da ordem de execução dos arquivos para o módulo

de pós processamento do programa.

main2.m

STATICS

GRAFICS

DYNAMIC

MODAL

MODES

FRFs

staticplot.m

DISPLACEMENTS

finddisplac.m

FREQUENCY

findfreq.m

TIME

interfreq.m

intertime.m

findgrafic.m

findgrafic.m

DEFORMED STRUCTURE

plotdisplac.m

findgrafic.m

plotdisplac.m

PLACA LIVRE

VIGA

findmodo.m

find modo.m

modosviga.m

modosplotviga.m

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