Guia Mang lGebra linear .Guia Mang lGebra linear

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  • Guia Mang

    lGebra linear

    Shin Takahashi, iroha inoue e

    Trend-Pro Co., ltd.

    apndices suplementares

    Copyright 2012 by Shin Takahashi e TREND-PRO Co., Ltd. ISBN-13: 978-1-59327-413-9 Copyright 2012 Novatec Editora

    novatec

  • ii Sumrio

    sumrio

    a livro de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    Conjuntos de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    b espaos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    C Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    Norma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17O ngulo entre dois vetores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Produtos internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    Espaos de produto interno real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Bases ortonormais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    D Produto cruzado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    O que produto cruzado? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Produto cruzado e paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Produto cruzado e produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    e Propriedades teis de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

  • ALivro de exerccios

  • 2 Apndice a

    ? Conjuntos de problemas

    Conjunto de problemas 1

    Vamos comear com a matriz 2x2 45

    12

    . Utilize-a nos seis problemas a seguir:

    1. Calcule o determinante.

    2. Utilize a frmula =a11a21

    a12a22

    a22a21

    a12a11

    11

    a11 a22a12 a21 para calcular o

    inverso.

    3. Encontre o inverso utilizando a eliminao de Gauss.

    4. Encontre todos os autovalores e autovetores.

    5. Expresse a matriz na forma x11x21

    x12x22

    x11x21

    x12x22

    10

    02

    1

    .

    6. Resolva o sistema linear de equaes 4x11x2 = 1

    5x12x2 = 1 utilizando a regra de

    Cramer.

    Conjunto de problemas 2

    A seguir, temos a matriz 3x3

    1

    2

    3

    4

    1

    2

    1

    2

    1. Utilize-a nos dois problemas a seguir:

    1. Prove que os vetores de coluna de matrizes

    1

    2

    3,

    4

    1

    2 e

    1

    2

    1 so linearmente

    independentes (ou seja, que o posto da matriz igual a trs).

    2. Calcule o determinante.

  • Livro de exerccios 3

    Conjunto de problemas 3

    Determine se os conjuntos a seguir so subespaos de R3:

    1. e so nmeros reais quaisquer

    57

    2.

    57

    e so nmerosreais quaisquer

    Note D uma olhada nos apndices C e D antes de tentar o conjunto de proble-

    mas 4.

    Conjunto de problemas 4

    Vamos lidar com os vetores

    1

    2

    3 e

    4

    1

    2 para o prximo conjunto de problemas.

    1. Calcule a distncia at a origem para ambos os vetores.

    2. Calcule o produto escalar dos dois vetores.

    3. Calcule o ngulo entre os dois vetores.

    4. Calcule o produto cruzado dos dois vetores.

  • 4 Apndice a

    ! Solues

    Conjunto de problemas 1

    1. 4

    5

    1

    2= 4 (2) (1) 5 = 8 + 5 = 3det

    2. 1

    4 (2) (1) 5

    1

    3

    1

    4

    2

    5

    1

    4

    2

    5=

    1

    3=

    2

    5

    1

    4

    3. Aqui est a soluo:

    4

    5

    1

    2

    1

    0

    0

    1

    3

    5

    0

    2

    2

    0

    1

    1

    15

    0

    0

    6

    10

    10

    5

    8

    Multiplique a linha 1 por 2 e subtraia a linha 2 da linha 1.

    Multiplique a linha 1 por 2 e a linha 2 por 3.Subtraia a linha 1 da linha 2.

    Divida a linha 1 por 15 e a linha 2 por -6.

    0

    1

    1

    0

    1

    3

    4

    3

    2

    3

    5

    3

    4. Os autovalores so razes da equao caracterstica

    4 5

    1

    2 det = 0

  • Livro de exerccios 5

    e so os seguintes:

    4 5

    1

    2 = (4 ) (2 ) (1) 5

    = ( 4)( + 2) + 5

    = 2 2 3

    = ( 3)( + 1) = 0

    det

    = 3, 1

    a. Autovetores correspondentes a = 3

    Inserindo nosso valor em x1x2

    x1x2

    = 4

    5

    1

    2,

    ou seja 0

    0

    x1x2

    =4

    5

    1

    2 ,

    temos 1

    5

    1

    5

    1

    5

    0

    0

    4 3

    5

    1

    2 3

    x1x2

    x1x2

    x15x1

    x25x2

    = = == [x1 x2] .

    Vemos que x1 = x2, o que nos leva ao autovetor

    x1x2

    c1c1

    1

    1= = c1

    onde c1 um nmero real no zero.

    b. Autovetores correspondentes a = 1

    Inserindo -1 na matriz, temos isto:

    5

    5

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    4 (1)

    5

    1

    2 (1)

    x1x2

    x1x2

    5x15x1

    x2x2

    = = == [5x1 x2]

    Vemos que 5x1 = x2, o que nos leva ao autovetor

    x1x2

    c25c2

    1

    5= = c2

    onde c2 um nmero real no zero.

  • 6 Apndice a

    5. A partir do problema 4:

    =4

    5

    1

    2

    3

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    5

    1

    1

    1

    5

    1

    6. O sistema linear de equaes 4x1 1x2 = 1

    5x1 2x2 = 1 pode ser reescrito desta forma:

    =1

    1

    x1x2

    4

    5

    1

    2

    Utilizando os mtodos do problema 1, somos facilmente capazes de inferir as razes utilizando a regra de Cramer.

    x1 = = = = 1 4

    5

    1

    2det

    1

    1

    1

    2det

    1 (2) (1) (1)

    3

    3

    3

    x2 = = = = 3 4

    5

    1

    2det

    4

    5

    1

    1det

    4 (1) 1 5

    3

    9

    3

  • Livro de exerccios 7

    Conjunto de problemas 2

    1. Parece que o posto da matriz

    1

    2

    3

    4

    1

    2

    1

    2

    1

    3, mediante inspeo. Mas vamos utilizar a tabela a seguir apenas para ter certeza.

    Some (-2 vezes a linha 1) linha 2 e (-3 vezes a linha 1) linha 3.

    Some (-2 vezes a linha 2) linha 3.

    1

    2

    3

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    2

    3

    4

    1

    2

    1

    2

    1

    1

    0

    0

    4

    7

    14

    1

    4

    2

    =

    Some ( vezes a linha 3) linha 1 e ( vezes a linha 3) linha 2.1

    6

    4

    6

    1

    0

    0

    0

    1

    2

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    4

    7

    0

    1

    4

    6

    1

    0

    0

    4

    7

    14

    1

    4

    2

    =

    Some ( vezes a linha 2) linha 1.

    1

    0

    0

    4

    7

    0

    1

    4

    6

    1

    0

    0

    4

    7

    0

    0

    0

    6

    =

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    6

    4

    6

    1

    1

    2

    3

    4

    1

    2

    1

    2

    1

    4

    7

    1

    0

    0

    4

    7

    0

    0

    0

    6

    1

    0

    0

    0

    7

    0

    0

    0

    6

    =

    471

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    0

  • 8 Apndice a

    As duas matrizes

    1

    2

    3

    4

    1

    2

    1

    2

    1

    e

    1

    0

    0

    0

    7

    0

    0

    0

    6

    tm o mesmo posto, como

    vimos nas pginas 196 a 201.

    Uma vez que vimos que o nmero de vetores linearmente independentes entre

    1

    0

    0

    , 0

    7

    0

    e 0

    0

    6

    obviamente 3, o posto matricial de tanto

    1

    2

    3

    4

    1

    2

    1

    2

    1

    e

    1

    0

    0

    0

    7

    0

    0

    0

    6

    tambm deve ser 3.

    Note que a soluo evidente no passo trs da tabela, j que matrizes triangu-lares nn com entradas de diagonal principal no zero tm posto matricial n. Isso tambm verdadeiro para matrizes no quadradas.

    2.

    = 1 1 (1) + 4 2 3 + (1) 2 (2) (1) 1 3 4 2 (1) 1 2 (2)

    = 1 + 24 + 4 + 3 + 8 + 4 = 42

    det

    1

    2

    3

    4

    1

    2

    1

    2

    1

  • Livro de exerccios 9

    Conjunto de problemas 3

    Vamos supor que c seja um nmero real qualquer.

    1. O conjunto um subespao j que ambas as condies so atendidas.

    5 7

    11

    51 71

    22

    52 72

    1 + 21 + 2

    5(1 + 2) 7(1 + 2)+ =

    e sonmeros reaisquaisquer

    5 7

    11

    51 71

    c

    c1c1

    5(c1) 7(c1)=

    e sonmeros reaisquaisquer

    2. O conjunto no um subespao j que nenhuma das condies atendida1.

    5 7

    11

    51 72

    2121

    5(21) 14

    2121

    5(21) 7=

    11

    51 7

    22

    52 7+

    57