Guia Mate Matic a Secunda Rio

8/17/2019 Guia Mate Matic a Secunda Rio

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Unidad 1: Lógica y relacionesApertura / Juego y recuerdo 20Tema 1 : Lógica proposicional 21Tema 2 : Relaciones 22Tema 3 : Funciones 24Relaciónalo con… Pruebas internacionales: Pisa, Timss Historia de la Matemática 25Evaluación 25Solucionario 26

Unidad 3: Expresiones algebraicas

Unidad 5: Proporcionalidad numérica

Apertura / Juego y recuerdo 38Tema 1 : Expresiones algebraicas. Operaciones 39Tema 2 : División de polinomios 40Tema 3 : Potenciación y radicación de polinomios 41Tema 4 : Productos notables 42Tema 5 : Cocientes notables 44Relaciónalo con… Pruebas internacionales: Pisa, Timss Historia de la Matemática 45Evaluación 45Solucionario 46

Apertura / Juego y recuerdo 56Tema 1 : Razones y proporciones 57

Unidad 2: Números realesApertura / Juego y recuerdo 28Tema 1 : Números racionales 29Tema 2 : Números irracionales 30Tema 3 : Números reales 32Tema 4 : Intervalos 33Relaciónalo con… Pruebas internacionales: Pisa, Timss Historia de la Matemática 35Evaluación 35Solucionario 36

Unidad 4: FactorizaciónApertura / Juego y recuerdo 48Tema 1 : Método del factor común 49Tema 2 : Factorización de binomios 50Tema 3 : Factorización de trinomios y polinomios 52Relaciónalo con… Pruebas internacionales: Pisa, Timss Historia de la Matemática 53Evaluación 53Razonamiento Matemático 54

Sugerencias metodológicas 19

Programación según DCN 2009 10

Presentación 4

Índice


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Tema 2 : Proporcionalidad 58Tema 3 : Porcentajes y aplicaciones 60Relaciónalo con… Pruebas internacionales: Pisa, Timss Historia de la Matemática 61Evaluación 61

Solucionario 62

Unidad 6: Nociones básicas de GeometríaApertura / Juego y recuerdo 64Tema 1 : Nociones básicas de Geometría 65Tema 2 : Segmentos de recta 66Tema 3 : Ángulos 68Relaciónalo con… Pruebas internacionales: Pisa, Timss Historia de la Matemática 69Evaluación 69Solucionario 70

Unidad 8: Estadística y probabilidadApertura / Juego y recuerdo 82Tema 1 : Conceptos básicos 83Tema 2 : Representación gráfica de datos 84Tema 3 : Medidas resumen 86Tema 4 : Introducción a la probabilidad 87Relaciónalo con… Pruebas internacionales: Pisa, Timss Historia de la Matemática 89Evaluación 89Solucionario 90

Unidad 7: Ecuaciones e inecuacionesApertura / Juego y recuerdo 72Tema 1 : Ecuaciones e inecuaciones 73Tema 2 : Sistemas de ecuaciones 74Tema 3 : Ecuaciones de segundo grado 76Tema 4 : Inecuaciones de segundo grado 77Relaciónalo con… Pruebas internacionales: Pisa, Timss Historia de la Matemática 79Evaluación 79Solucionario 80

Unidad 9: Triángulos y movimientos en el planoApertura / Juego y recuerdo 92Tema 1 : Traslación 93Tema 2 : Rotación 94Tema 3 : Simetría 95Tema 4 : Triángulos 96Tema 5 : Postulados y demostraciones 98Tema 6 : Líneas y puntos notables 99Relaciónalo con… Pruebas internacionales: Pisa, Timss Historia de la Matemática 101Evaluación 101Solucionario 102


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Presentación

El área Lógico-MatemáticaSirvan estas líneas para introducir a los docentes de matemática en el uso del libro de texto como una herramienta deapoyo que el Grupo Editorial Norma ha diseñado.

Actualmente, el saber matemático forma parte del quehacer diario, por ello es necesario desarrollar en los y las estu-diantes no solo conocimientos sino también, habilidades matemáticas que sean herramientas para seguir aprendiendoy afrontar exitosamente diversas situaciones en la vida. Esto significa generar espacios de aprendizaje que estimulen elpensamiento lógico-matemático y promuevan la participación activa en la construcción del conocimiento matemático,tomando como base actividades prácticas que puedan ser desarrolladas en el aula y que adquieran significatividadpara el estudiante.

Se aprende matemática haciendo y creando matemática, es decir generando conocimiento, descubriendo, innovandoy resolviendo creativamente situaciones problemáticas que permitan identificar, comprender, interpretar y representar elmundo con asombro y curiosidad, observando sistemáticamente, elaborando conjeturas, comunicando las intuiciones,buscando estrategias de solución individualmente y en equipo, ejecutando las mismas, verificando los resultados y re-gresando a la parte inicial del ciclo frente a una nueva situación, pero ahora a partir de lo ya aprendido. Así, comunicar,

razonar, presentar objeciones y plantear un nuevo camino, serán procesos muy familiares que no tendrán que ser ense-ñados pues serán vividos y experimentados por los docentes y estudiantes que, en actuación constante, ejercitan sushabilidades y hacen suyo un conocimiento que ya existe, o presentan uno nuevo al mundo.

Desde el tercer ciclo de educación primaria hasta la educación secundaria se busca la afirmación de las capacidadesbásicas y la formación de las estructuras de los conocimientos y conceptos fundamentales, que serán la base de losaprendizajes posteriores. De esta forma, desde los seis años, se permite a los y las estudiantes razonar y comunicarsematemáticamente, sentirse seguros de su capacidad para resolver problemas matemáticos, valorar la matemática (en-tender y apreciar el papel que cumple en los asuntos humanos) y desarrollar hábitos mentales matemáticos.

La institución educativa puede atender estas necesidades promoviendo el desarrollo de competencias y capacidadesmatemáticas, a través de los conocimientos matemáticos distribuidos en tres componentes: Número, relaciones y funcio-nes; Geometría y medición; y Estadística y probabilidad

Propuesta: Lógicamente

Nuestra propuesta tiene como objetivo principal el desarrollo integral de los estudiantes. En este marco, el área especí-ficamente busca la potenciación de las habilidades matemáticas con el fin de lograr que los y las estudiantes puedanrazonar lógicamente, haciendo uso de herramientas matemáticas y estando concientes de los procesos que realizan oque han logrado automatizar.

Para ello se ha considerado lo siguiente:

1. Lostemas transversales . Señalados en el Diseño Curricular Nacional 2009, constituyen una respuesta a los problemasactuales de trascendencia que afectan a la sociedad y que demandan a la Educación una atención prioritaria.

Tienen como finalidad promover el análisis y reflexión de los problemas sociales, ecológicos o ambientales y de rela-ción personal con la realidad local, regional, nacional y mundial, para que los estudiantes identifiquen las causas; así

como los obstáculos que impiden la solución justa de estos problemas. Los temas transversales se plasman funda-mentalmente en valores y actitudes.

Mediante el desarrollo de valores y actitudes, se espera que los estudiantes reflexionen y elaboren sus propios juiciosante dichos problemas y sean capaces de adoptar frente a ellos, comportamientos basados en valores, racional ylibremente asumidos. De esta manera, el trabajo con los temas transversales contribuirá a la formación de personas


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autónomas, capaces de enjuiciar críticamente la realidad y participar en su mejoramiento y transformación.

Los lineamientos asumidos en el desarrollo de estos son:

Educación para la convivencia, la paz y la ciudadanía.

Educación en y para los derechos humanos.

Educación en valores o formación ética.

Educación para la gestión de riesgos y la conciencia ambiental.

Educación para la equidad de género.

A continuación presentamos los contenidos transversales trabajados en el texto de secundaria:

Adolescencia y cambio generacional

Conciencia tributaria

Seguridad y participación ciudadana

Promoción humana y derechos humanos

Trabajo y producción

Ética y cultura de paz

Conciencia ambiental y calidad de vida

Tecnología y medios de comunicación

Identidad y equidad de género

2. Losvalores . Pues hoy es un imperativo ético formar, desde el hogar y la institución educativa, ciudadanos, personas

capaces de diferenciar lo justo de lo injusto, de ponerse en el lugar del otro para reconocer su dignidad como serhumano, y de elegir el mejor curso de acción a seguir en situaciones potenciales de conflicto. Por ello, el desarrollomoral de los estudiantes debe darse no solo en las aulas sino también fuera de ellas, lo que demanda referentes cla-ros, una preparación específica en el tema y un compromiso de todos los actores e instituciones del país.

Los valores cuyo desarrollo se promueve en la educación básica regular son:


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Justicia: Disposición de dar a cada quién lo que le corresponde. Implica los conceptos de igual-dad y equidad (según corresponda, dar a todos por igual, dar más al que se lo merece o darmás al que necesita más).

Libertad y autonomía: Capacidad que permite discernir, decidir y optar por algo sin presionesni coacciones, para desarrollarse como ser humano en todo su potencial, sin afectar la propiadignidad ni la de los demás.

Respeto y tolerancia: Reconocimiento de la dignidad de todo ser humano y de su derecho aser diferente. Esto permite que la persona interactúe con los demás en un clima de equidad einclusión, con interés por conocer al otro y lograr un enriquecimiento mutuo.

Solidaridad: Decisión libre y responsable de dar de uno mismo a otras personas, para su bien,

y sin esperar recompensa. Implica la noción de comunidad, y el saberse y sentirse miembro deella.

3. La enseñanza para lograr el entendimiento: Esto quiere decir que, para cada desempeño del estudiante, el docenteproporciona los medios necesarios para que el proceso de aprendizaje sea exitoso. Así, el docente, mediador delaprendizaje, considerando al texto como herramienta, diseña el encuentro educativo como el arquitecto planea elambiente ideal para cada uno de los grupos con los que trabaja (pedagogía diferencial). En este planteamientotenemos como fundamentos pedagógicos: la teoría del aprendizaje significativo de David Ausubel, el aprendizajepor descubrimiento de Bruner, la teoría sociocultural del aprendizaje de Vygotsky, el aprendizaje social de Rogers, laresolución de problemas, así como los aportes, de Van Hiele, Miguel De Guzmán, Schoenfeld y Freundenthal.

La planificación del proceso de enseñanza - aprendizaje presentado en el libro de texto comprende cinco aspec-

tos:a. Metas secuenciales para el desarrollo de las capacidades matemáticas. Estas comprenden el análisis detallado

de las competencias a lograr y el establecimiento de la secuencia de capacidades y contenidos en cada gradoy actividad dentro del grado, cubriendo lo sugerido por el diseño curricular nacional, a la vez que incorporandolos temas que se solicitan en las instituciones de educación superior en Perú, además de algunas innovacionespresentadas a nivel internacional.

b. Metodología activa para lograr el entendimiento. Busca promover la participación de los estudiantes en las situa-ciones planteadas al inicio de cada sesión de forma que se estimule el diálogo, las propuestas creativas y dife-rentes, y la evolución y consenso de lo desarrollado en clase. Se destacan en la planificación los ciclos de inicio,proceso y cierre, en cada una de las etapas del proceso de enseñanza - aprendizaje: motivación, adquisición,transferencia y evaluación, en función a los procesos generales matemáticos.

c. La selección de habilidades. Implica la planificación minuciosa de cada una de las actividades y su respectivarelación con las habilidades matemáticas cuyo ejercicio predomina en la resolución de la misma.

d. La evaluación continua. Enfatizamos la posibilidad inmediata de retroalimentación, pues nuestras actividades es-tán organizadas en función a las capacidades y hacen referencia a las habilidades que involucran, por lo tanto eldocente puede evidenciar dónde se producen dificultades y esto facilita la interpretación de lo que ocurre con el


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estudiante, así como la posible orientación que debe recibir.

e. Las conexiones con otras áreas. Es decir el vínculo permanente con el entorno, así se aplica lo aprendido a otrasáreas, pero también las otras áreas nos proveen de situaciones problemáticas en las que el conocimiento mate-

mático puede ser desarrollado y aprendido.

4. Procesos transversales en el área de matemática

(De la adaptación realizada por UMC, para EN 2004 y de los criterios de evaluación mostrados por el Ministerio deEducación en el año 2003).

Razonamiento y demostración : Identificada con color verde en el libro Lógica.mente, se refiere a la capacidad deelaborar procesos lógicos justificados que se basan en el análisis. Su desarrollo nos sirve para formular e investigarconjeturas matemáticas, desarrollar y evaluar argumentos, comprobar demostraciones matemáticas y, elegir y utilizarvarios tipos de razonamiento y métodos de demostración para que el estudiante pueda reconocer estos procesoscomo aspectos fundamentales de la matemática.

En ella consideramos el desarrollo de las siguientes habilidades:

1. Definir: Consiste en establecer las características necesarias y suficientes de un objeto.

2. Demostrar : Abarca desde la justificación o fundamentación de un resultado, o proposición, utilizando argumentoslógicos o matemáticos hasta establecer una sucesión finita de pasos para fundamentar la veracidad de una pro-posición o su refutación (la demostración matemática es una cadena de justificaciones).

3. Argumentar o justificar : Aducir, alegar, dejar en claro un dato o hecho a partir de su deducción como consecuen-cia natural de otras.

4. Ejemplificar : Mostrar un caso particular a partir de un enunciado o mostrar un caso particular que contradice unenunciado (contraejemplo).

5. Analizar : Diferenciar y separar las partes de un todo, para conocer sus elementos, las formas de relacionarse, yreconocer las razones para realizar una acción.

6. Evaluar/Verificar : Comprobar la veracidad de algo.

Comunicación matemática : Identificada en el texto con el color anaranjado, se refiere a la capacidad de expresarideas matemáticas de forma oral, escrita o mediante dibujos. Implica también la comprensión de conceptos, situa-ciones, la lectura y el uso de terminología y notación matemática. La comunicación matemática permite organizar ycomunicar el pensamiento matemático con coherencia y claridad, para expresar ideas matemáticas con precisión,reconocer conexiones entre conceptos matemáticos y la realidad, y aplicarlos a situaciones problemáticas reales.

En esta capacidad consideramos el desarrollo de las siguientes habilidades:

1. Interpretar : Es atribuir significado a las expresiones matemáticas, de modo que estas adquieran sentido en función alpropio objeto matemático o en función al fenómeno o problemática real que se trate. Implica tanto el codificar comoel decodificar una situación problemática.

2. Identificar : Es diferenciar los rasgos distintivos del objeto matemático en estudio. Determinar si un objeto pertenece auna clase que presenta ciertas características comunes (no necesariamente claramente definidas).

3. Recodificar : Es transferir la denominación de un mismo objeto, de un lenguaje matemático a otro. Expresar el mismotipo de objeto de diferente forma, lo que implica la utilización de signos diferentes para un mismo modelo.

4. Representar : Es seleccionar, crear y utilizar símbolos, gráficos, diagramas, marcas, etc., para organizar, registrar y expre-


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sar ideas matemáticas con claridad y precisión. Lo creado o utilizado en la comunicación puede ser convencional oarbitrario.

Formulación y resolución de problemas : Identificada con color azul en el texto, hace referencia a la capacidad de ge-

neralizar estrategias y crear conocimientos a través de la elaboración de propuestas para solucionar una situación. Deesta forma, su desarrollo sirve para construir nuevos conocimientos resolviendo problemas de contextos reales o mate-máticos, en los que el estudiante tenga la oportunidad de aplicar y adaptar diversas estrategias en diferentes contextos,y para que, al controlar el proceso de resolución, reflexione sobre este y sus resultados. La capacidad para plantear yresolver problemas, dado el carácter integrador de este proceso, posibilita la interacción con las demás áreas curricu-lares, coadyuvando al desarrollo de otras capacidades; asimismo, posibilita la conexión de las ideas matemáticas conintereses y experiencias particulares del estudiante.

En ella consideramos el desarrollo de las siguientes habilidades:

1. Modelar : Es asociar a un objeto no matemático un objeto matemático que representa determinados comportamien-tos, relaciones o características consideradas relevantes para la solución del problema.

2. Resolver : Es encontrar un método que conduzca a la solución de una situación problema (en matemática).

3. Optimizar : Es encontrar el objeto (valor numérico, función, conjunto, etc.) que maximiza o minimiza la clase de objetosa la que pertenece, o bien, el método óptimo de resolución de determinado problema, cuando existe más de unaforma posible, y de acuerdo con los conocimientos disponibles.

Manejo de algoritmos : Identificada con color rojo, hace referencia a la capacidad de recordar, seguir, mejorar y verificarprocesos. Si bien ella puede ser incorporada dentro de los tres procesos previamente trabajados, nuestra propuesta optapor mostrarla de manera diferenciada, con el propósito de evidenciar la automatización de procesos y la aplicaciónrutinaria –indispensables en el área- de forma separada. Así, un docente puede notar que un estudiante aplica un pro-ceso de forma memorística pero no razonada, estableciendo con claridad que hace falta trabajar sobre el significadode una determinada operación y las razones para efectuarlas de esa forma. En el manejo de algoritmos consideramosel desarrollo de las siguientes habilidades:

1. Calcular : Es aplicar un algoritmo, previamente establecido por consenso, de forma manual, mental, con tablas, cal-culadoras, etc.

2.Aplicar

: Es emplear, administrar o poner en práctica un conocimiento, medida o principio, a fin de obtener un deter-minado efecto o rendimiento en algo.

3. Algoritmizar : Es formular un algoritmo, es decir, una sucesión finita y estricta de operaciones matemáticas que des-criban un procedimiento conducente a la solución de un problema. Se incluye aquí la habilidad para modificar oabreviar pasos en un determinado algoritmo.

4. Comparar : Es establecer una relación entre lo cuantitativo o lo cualitativo que hay entre dos entes matemáticos deun mismo conjunto o clase.

5. Aproximar : Es aplicar una serie de reglas con el fin de obtener un valor cercano al real para una determinada opera-ción matemática.

6. Estimar : Es tanto, pronosticar el orden de magnitud de un valor o de un resultado numérico, como cuantificar, aproxi-madamente, alguna característica medible de un sujeto o suceso. En ella cumple un rol importante la intuición, puesse realiza esencialmente con nociones ya adquiridas.

7. Graficar : En este caso es un algoritmo que, si se sigue estrictamente, nos da la técnica necesaria para elaborar ungráfico determinado. En este caso se busca elaborar un gráfico o dibujo con precisión.


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Estructura de la guía Lógica.mente secundaria

Brinda información y actividades relacionadas con las páginas del texto. Tiene las siguientes secciones:

1. Presentación : Recoge el enfoque del área, los lineamientos considerados, la estructura, así como las recomendacio-nes para el uso de los mismos.

2. Programación anual : Según los contenidos de las unidades del texto y de acuerdo al DCN 2009.

3. Unidades :

Presentación de la unidad : Considera la motivación trabajada a partir de un texto que recrea la imagen mostradaen la presentación de la unidad. Por medio de un listado de comentarios o preguntas, observando la ilustración dela presentación, puede extender el proceso iniciado con el manejo del texto, así como propiciar apuntes sobre eltratamiento del tema transversal desarrollado en la unidad.

Juego y recuerdo : Presenta la finalidad didáctica de esta sección, además de las observaciones que le puedenayudar para el desarrollo del tema.

Lo vimos antes : Presenta la intención pedagógica del mismo, destacando el punto de partida indispensable parael desarrollo de la unidad.

Sesiones por tema:∆ Inicio : Brinda sugerencias para el tratamiento inicial o la motivación del tema a trabajar, haciendo hincapié en

los aspectos que debe resaltar.∆ Proceso : Destaca la información que se debe comunicar con precisión, o los acuerdos que son indispensables

en el desarrollo de un tema; asimismo, brinda orientaciones sobre la secuencia en el tratamiento de los ejerciciosplanteados en el texto.

∆ Salida : Presenta una o dos actividades para finalizar el desarrollo del tema.∆ Lo mínimo para empezar : Muestra un listado de conceptos y habilidades previas al desarrollo de un tema.∆ Dificultades o errores frecuentes y como superarlos : Presenta posibles dificultades que puedan tener los estu-

diantes, así como formas de interpretarlas y superarlas.∆ Curiosidades : Se encuentran en conexión con los temas trabajados.

∆ Evaluación : Brinda pautas para la adecuada realización de los procesos de metacognición, heteroevaluacióny coevaluación.∆ Materiales de consulta : Brinda información sobre libros y páginas Web que permiten la ampliación de lo trata-

do.

4. Secciones de extensión al final de la unidad : Ofrece datos adicionales para relacionar lo trabajado con otras áreas,exámenes internacionales, historia de la matemática, una evaluación de toda la unidad y el solucionario de algunosejercicios de la unidad.

Material en el CD

Cuenta con:

Fichas de trabajo : Su objetivo es reforzar los aprendizajes previos, los contenidos etapa por etapa, y brindar materialde extensión (tipo examen de admisión). El soporte está en formato PDF y Word.

Fichas de evaluación : Cuenta con pruebas por unidad.

Presentaciones : Para el desarrollo de los temas.


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15 © G r u p o

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2 0

Apertura

Juego y recuerdo

Lo vimos antes

Relacione el tema Lógica y relaciones con el tema trans-versal (Promoción Humana y Derechos Humanos) co-mentando cómo el desarrollo del hombre está ligado alconocimiento de la naturaleza y que este conocimientoimplica entender la lógica de su funcionamiento y las re-laciones que guardan las partes que lo conforman. Pidaa los estudiantes que lean el texto del círculo y propicieuna rueda de comentarios. Precise que todo sigue reglaso leyes (es decir, tiene una lógica de funcionamiento) yque, por ende, en el funcionamiento de las máquinas sepuede encontrar relaciones entre sus partes.

Para facilitar la participación de los estudiantes, propon-ga las siguientes preguntas: ¿El hombre es parte de lanaturaleza? ¿Podrá el hombre realizar algún proyecto dedesarrollo sin considerar la naturaleza? ¿Conocer la na-

turaleza implica conocer al hombre mismo? ¿Se puedeafirmar que el hombre conoce actualmente la lógica defuncionamiento de la naturaleza y la domina? ¿Crees queel hombre ha logrado conocerse de tal forma que sabecuáles son sus derechos? ¿Para tener derechos es nece-sario tener deberes?

Para tratar con los estudiantes el valor de la solidaridad(correspondiente a esta unidad), pregunte: ¿Qué es la so-lidaridad? ¿Es lógico pensar que se puede alcanzar unalto nivel de desarrollo humano sin ser solidario? Pida a losalumnos que mencionen actos de solidaridad que elloshan realizado o que han visto realizar. Luego pregunte: ¿Esfácil ser solidario? ¿Cómo sería el mundo si la mayoría dela población fuera solidaria?

Finalidad didáctica del juegoAnalizar condiciones expresadas como proposiciones, y lle-gar a conclusiones favorables.

Al momento de jugar, observe… la indicación Nº 1, se obtiene la siguiente información:

La torre debe pasar por todas las casillas del tablero y nodebe pasar dos veces o más por una misma casilla. Eneste caso, haga notar a los estudiantes que se tiene unaconjunción, una negación y una disyunción.

Luego pídales que iden-tifiquen las proposicio-nes simples que confor-man estas proposicionescompuestas

Así:

Una solución de la se gunda parte es:

La intención pedagógica es que los estudiantes…

1. Recuerden e identifiquen proposiciones.

2. Determinen el valor de verdad de proposiciones com-puestas (conjuntivas o disyuntivas) analizando el valor deverdad de las proposiciones simples que las conforman.

3. Representar conjuntos que tienen como elementos, paresordenados.

4. Resolver situaciones cuya solución se basa en la determi-nación de un conjunto de pares de ordenados.

Unidad

1 Lógica

p: La torre debe pasar por to-das las casillas.

q: La torre no debe pasar dos veces por una misma ca-silla.

r: La torre no debe pasar más de dos veces por una mis-ma casilla.

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Tema 1

SesiónInicio

Pida a los estudiantes que observen la imagen de la situacióny que a partir de esta formulen enunciados, que usted va ano-tando en la pizarra. (Procure que entre los enunciados algunossean proposiciones).

Por ejemplo:

El número de niñas es el doble del número de niños.

¿Qué hacen en la biblioteca los niños?

Las niñas visten uniforme.

Indique a los estudiantes que subrayen las proposiciones y de-terminen sus valores de verdad.

Proceso

Afiance la noción de proposición con los ejemplos 1 y 2.

Identifique las proposiciones simples que forman una propo-sición compuesta, haciendo que los estudiantes resuelvan elejemplo 3.

Identifique los conectivos lógicos en proposiciones compuestasy determine su valor de verdad considerando la respectiva ta-bla de verdad que se encuentra en el Anota de la página 13.Para ello, resuelva los ejemplos del 4 al 7.

Consolide lo avanzado resolviendo los ejercicios del 1 al 4 de laPráctica Nivel 1.

Construya tablas de verdad siguiendo el procedimiento indica-do en la página 14. Indique a los estudiantes que resuelvan elejemplo 8 y el ejercicio 5 de la Práctica Nivel 1.

Interprete proposiciones expresadas en lenguaje simbólico yque tengan cuantificadores. Para ello, resuelva el ejemplo 9.

Identifique funciones proposicionales y conviértalas en proposi-ciones asignándole a la variable un valor particular o utilizandoun cuantificador. Para ello, utilice los ejemplos 10 y 11.

Refuerce lo aprendido, resolviendo los ejercicios del 6 al 8 de laPráctica Nivel 1.

Determine, utilizando el ejemplo 12, el valor de verdad de propo-siciones que tengan cuantificadores. Utilice también diagramasde Venn para graficar proposiciones con cuantificadores a fin dedeterminar su valor de verdad, tal como se explica en el ejem-plo13.

Para consolidar lo tratado, resuelva con los estudiantes los ejer-

cicios del 9 al 11 de la Práctica Nivel 1.Salida

Proponga la Práctica Nivel 2 para ser desarrollada en casa. Losejercicios considerados difíciles por los estudiantes resuélvanlosen clase.

Lo mínimo para empezar

afirman o niegan algo. Por ejemplo:Un trapecio es un polígono de cuatro lados. (Oración ase-verativa).¿Cuánto tardará Luis en regresar? (Oración interrogativa).

-tan de la siguiente manera:

y -

o

Curiosidades

¿Verdadero o falso?

Analiza los siguientes enunciados. Luego determina cuálesson las proposiciones falsas.

Uno de los errores que se suele cometer es considerar que(p q) es equivalente a p q.

Para determinar si una proposición compuesta es equiva-lente a otra, basta elaborar sus tablas de verdad y observarsi los valores coinciden.

Observe que en este caso no son equivalentes, porque nocoinciden sus respectivos valores de verdad.

En general, los estudiantes suelen tener dificultades al de-terminar si una proposición es equivalente a otra. En estecaso también es recomendable construir tablas de verdad.

Observemos un ejemplo:¿Podemos afirmar que p q es equivalente a p q?

Construimos sus tablas de verdad y vemos que sus respec-tivos valores de verdad coinciden; luego, las proposicionesson equivalentes, es decir p q = p q.

Lógica proposicional

Algunas dicultades y/o errores frecuentes y comosuperarlos

p q (p q)V V F VV F V FF V V FF F V F

p q p qV V VV F FF V VF F V

p q p qV V F F FV F F F VF V V F FF F V V V

p q p qV V F V VV F F F FF V V V VF F V V F

a. Dos de estasproposiciones son falsas. c. Lima es la capital del Perú.

b. La suma de 3 y 4 es 12. d. El cuadrado de 3 es 9.


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2 2

SesiónInicio

Pida a los estudiantes que observen la imagen de la situación y

que a partir de ella identifiquen conjuntos, por ejemplo: conjun-to de carpetas, conjunto de estudiantes, conjunto de cuader-nos, conjunto de profesores, etc.

Establezca relaciones entre los elementos de dos de estos conjuntos, por ejemplo: a cada elemento del conjunto de estudian-tes le corresponde un elemento del conjunto carpetas; a loselementos del conjunto estudiantes les corresponden elemen-tos del conjunto cuadernos, etc. Luego dé el concepto de rela-ción.

Proceso

Defina relación binaria y desarrolle el ejemplo 1.

A partir del ejemplo 2, defina conjunto de partida y de llegada,y dominio y rango de una relación binaria.

A partir de los ejemplos 3 y 4, muestre cómo se representa gráfi-camente una relación binaria.

Afiance lo estudiado resolviendo los ejercicios del 1 al 4 de laPráctica Nivel 1.

Defina relación inversa y ejemplifique. Luego desarrolle los ejer-cicios 5 y 6 de la Práctica Nivel 1.

A partir del ejemplo 6, defina relaciones binarias en un conjun-to.

binaria es reflexiva, simétrica o transitiva.

A partir del ejemplo 8, muestre cómo determinar las propieda-des que satisfacen una relación binaria teniendo como infor-mación su gráfica.

Afiance el tema de propiedades de una relación binaria resol-viendo con los estudiantes los ejercicios del 8 al 10 de la Prác-tica Nivel 1.

Salida

Conforme grupos de estudiantes para que resuelvan los ejerci-cios propuestos en la Práctica Nivel 2.

Pida que formulen ejemplos de relaciones, como:En el conjunto conformado por los integrantes de una familia se

Si Ángel, Beto y Carlos son elementos del conjunto…

(Es simétrica).

-go, Ángel es hermano de Carlos. (Es transitiva).

Luego, pida que verifiquen las propiedades que satisfacen.

Relaciones Tema 2

Metacognición

Heteroevaluación y/o coevaluación

Plantee a los estudiantes las siguientes preguntas: -

ciones?

es falsa, ¿aquella es una proposición?

compuestas en tus conversaciones?

Puede evaluar el aprendizaje del alumno sobre la basedel siguiente listado de actividades:

Material de consulta

Bibliografía

Páginas Web

-

-

-

Procesos NecesitaayudaLo hace

soloAyuda a

otros

Identica en una propo-sición compuesta nega-ciones, conjunciones ydisyunciones.Representa simbólicamen-te proposiciones com-puestas.Elabora tablas de verdadde fórmulas proposicio-nales.Identica funciones propo-sicionales.

Reconoce los cuantica-dores existencial y uni-

versal en proposicionescuanticadas.

Evaluación


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Metacognición

Heteroevaluación y/o coevaluaciónPuede evaluar el aprendizaje del alumno sobre la basedel siguiente listado de actividades:


Bibliografía

Páginas Web -

-

Procesos NecesitaayudaLo hace

soloAyuda a

otros

Identica relaciones bi-narias.

Identica el conjunto departida y el conjunto dellegada en una relación.

Identica la regla de co-rrespondencia de unarelación.

Determina el dominio y elrango de una relación.

Representa relacionesen diagramas sagitales ydiagramas cartesianos.

Identica relaciones re-exivas, simétricas y tran-sitivas.

Evaluación

Se puede proponer un diagrama de flujo para que elestudiante reflexione sobre su aprendizaje del tema.


la primera y segunda componente diferentes, respectiva-mente.

diagrama cartesiano y diagrama sagital.

Una de las dificultades que suelen tener los estudiantes es ve-rificar las propiedades de una relación definida en un mismoconjunto. Veamos.

Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 4}.La relación R1 = {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (1; 4)} no es reflexiva,porque todo elemento del conjunto A debe estar relacio-nado consigo mismo, es decir, falta el par ordenado (4; 4)para que sea reflexiva.

La relación R2 = {(1; 2); (2; 1); (4; 4)} es simétrica, puescada par ordenado de la relación tiene su simétrico. Ob-serva que no necesita tener el par ordenado (3; 4) porqueen R2 no está el par ordenado (4; 3).

La relación R3 = {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4)} verifica las trespropiedades estudiadas: es reflexiva, simétrica y transitiva.


Curiosidades

Sea la siguiente relación definida de en :

Observa que cada término del rango es lasuma de los dos términos anteriores; a estosnúmeros que forman una sucesión infinitade números naturales se les conoce comola sucesión de Fibonacci (en honor al mate-mático italiano del siglo XIII).

Esta sucesión se puede encontrar en la naturaleza, por ejem-plo si en una piña cuentas las hileras espirales de escamas,podrás descubrir 8 espirales enrollándose hacia la izquierday 13 espirales que se enrollan hacia la derecha, o bien 13

hacia la izquierda y 21 hacia la derecha, u otras parejas denúmeros. Lo curioso es que estas parejas de números serán

han sido los esfuerzos dedicados por los biólogos al tratarde entender por qué las piñas, los girasoles y otras plantasmuestran este notable patrón.

12345678...

1123581321...

.

.

.

Elaboro unorganizador

Analizo mis apuntes,el texto y/o Internet.

Consulto al profesor.

Sí

No

No

Sé losucientesobre eltema.

tengosuciente

información.


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Bibliografía

Páginas Web

SesiónInicio

Pida a los estudiantes que identifiquen los elementos de la re-lación propuesta en la situación inicial, considerando comoconjunto de partida a los medios de comunicación y comoconjunto de llegada al tiempo.Defina función y determine si la relación anterior es una fun-ción.

Proceso

Utilice los ejemplos 1 y 2 para identificar funciones representa-das entre llaves o con diagramas de Venn.

Pida a los alumnos que resuelvan los ejercicios del 1 al 3 de laPráctica Nivel 1 para afianzar lo tratado.

Resuelva con los estudiantes los ejemplos del 3 al 5 para deter-minar el dominio y rango de funciones.

Indique que resuelvan los ejercicios 4 y 5 para afianzar la no-ción de dominio, rango y regla de correspondencia.

Defina inyectividad, sobreyectividad y biyectividad. Verifique silas funciones propuestas en los ejemplos 6; 7 y 8 satisfacen loque se plantea en estas definiciones. Luego resuelva los ejerci-cios 6 y 7de la Práctica Nivel 1.

Resuelva el ejemplo 9 para dar la definición de función inversa ydesarrolle con los estudiantes el ejercicio 8 de la Práctica Nivel 1.

Salida

Conforme grupos de estudiantes para que resuelvan losejercicios propuestos en la Práctica Nivel 2.


Curiosidades

El concepto de función tal y como se conoce hoy en día, sur-gió en el siglo XVIII. El primer matemático que intentó dar unadefinición formal del concepto de función fue Leonhard Euler,cuando afirmó: "Una función de cantidad variable es unaexpresión analítica formada de cualquier manera por esacantidad variable y por números o cantidades constantes''.

suizo Euler por precisar el concepto de función, así como por

realizar un estudio sistemático de todas las funciones ele-mentales; sin embargo, el concepto mismo de función naciócon las primeras relaciones observadas entre dos variables,

humanidad, con civilizaciones como la griega, la babilónica,la egipcia y la china.

En la definición de función consi-deramos que el dominio debe serigual al conjunto de partida. En estecaso, g no es función.

Pero existe otra postura en la que nose considera esta condición, y la re-lación g resulta ser una función.

Funciones Tema 3


Metacognición

Heteroevaluación y/o coevaluaciónPuede proponer que, organizados en equipos, realizen lasiguiente actividad:

Con los conjuntos A y B…

¿Cuántas funciones de A en B se pueden determinar? Re-presenten con un diagrama sagital cada una de ellas.

Evaluación

En la cotidianidad, decimos por ejemplo que el tiempoque demoramos en llegar a un lugar está en función dela velocidad a la que vamos, o que la cantidad de dineroque pagamos por el servicio de agua está en función dela cantidad de metros cúbicos consumidos.

¿En qué otras actividades que realizamos encontra-mos el concepto de función? ¿Crees que el conceptode función es utilizado sin necesidad de conocer sudefinición matemática?

¿Por qué es importante el estudio de las funciones?

A Bf

A

A

B

B

g


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© G r u p o

E d i t o r i a

l N o r m a

S . A . C .

P r o

h i b i d o

f o t o c o p

i a r .

D . L .

8 2 2

2 5

EvaluaciónRelaciónalo con…

Historia de la matemática

Comunicación matemática1. Si: p: a es múltiplo de b. q: c es divisor de b. r: a es múltiplo de c.

escribe en lenguaje común la traducción de cadauna de las siguientes proposiciones:a. p q b. p r c. (p q) r

2. Identifica las relaciones que son funciones.

Manejo de algoritmos1. Elabora la tabla de verdad de la proposición

(p q) ( p q).2. Dados los conjuntos A = {1; 2; 3} y B = {1; 2; 4; 6; 8; 9},

Determina por extensión las siguientes relaciones ymarca con un aquellas que son funciones.a. R = {(a; b) A × B / b = 2a}b. R = {(a; b) A × B / b = a2}c. R = {(a; b) A × B / b = 3a}d. R = {(a; b) A × A / b = a}

Razonamiento y demostración1. Sabiendo que la proposición (p q) q es verdade-

ra, determina el valor de verdad de la proposición p.2. Si el siguiente conjunto de pares ordenados correspon-

de a una función, halla el valor de m − n.{(n; 5); (4; 3); (2m; 5); (3; 2); (7; 1); (m; 1)}

Resolución de problemasSe ha creado dos nuevos conectivos lógicos, que se re-presentan con los símbolos ySabiendo que sus tablas de verdad son las siguientes:

subraya lo que se puede armar de la proposición

( p q) (p q).

DEMOGRAFIALas funciones son medios que se utilizan para el estudio demuchas disciplinas, tales como la Física, la Biología, la Econo-mía, la Sociología, etc.

Observa la gráfica del crecimiento poblacional en función deltiempo.

CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN MUNDIAL

El teorema de los 4 colores dice que se necesitan solo 4 colo-res diferentes para pintar un mapa de manera que dos regio-nes vecinas no queden coloreadas con un mismo color. Este

una carta al famoso matemático Sir William Hamilton pidién-dole que haga la demostración.Durante muchos años, matemáticos y aficionados trataron dehacer dicha demostración hasta que matemáticos del Insti-tuto de Georgia en Estados Unidos publicaron una que hastaahora no ha sido refutada.

Pruebas internacionales

El gráfico muestra el tiempo que demora un péndulo enbalancearse hacia atrás y hacia delante 20 veces, paradiferentes longitudesde cuerda.La longitud de lacuerda es 90 cm.¿Alrededor de cuán-to tiempo le tomaríaal péndulo balan-cearse hacia ade-lante y hacia atrás20 veces?

A. 35 s B. 38 s C. 42 s d. 45 s

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

40

30

20

10

Balance del Péndulo

Longitud de la cuerda (centímetros)

T i e m p o

( s e g u n

d o s )

1750 1800 1850 1900 1950 2000 2050

10

8

6

4

2

millones

Departamento de Urbanismo y Ordenación del Territorio (DU y OT). Rafael CórdobaHernández

Regiones en desarrolloRegiones industrializadas

A B

a b c d

p

q

r

D

C

p q p qV V FV F VF V FF F F

p q p qV V FV F FF V VF F F


25/26

2 6

...................................................

I. R2 es reexiva.Tenemos que R2 = {(2; 2) ;(4; 4) ;(6; 6) ;(8; 8) ;(6; 4)}.Esta armación es cierta, debido a que los elementosdel conjunto (2, 4, 6 y 8), se relacionan entre sí mis-mos, condición principal para que una relación seareexiva.

II. R3 es simétrica.Tenemos que R3 = {(1; 1) ;(5; 5) ;(1; 5) ;(5; 1) ;(3; 7);(7; 3)}.Esta armación es cierta, debido a que en R3, si unelemento se relaciona con otro, este se relaciona conel primero, condición principal para la simetría enuna relación, como por ejemplo (1; 5) y (5; 1).

III. R2 y R4 son transitivas.Esta armación es falsa, ya que podremos encontrarvarios contraejemplos en R4. Así, por ejemplo, si (5; 10)^ (10, 5) R4, entonces (5; 5) debe pertenecer tam-bién a R4, condición que no se verica.

IV. R1 y R4 son de equivalencia.Esta armación es falsa. Una condición para que unarelación sea de equivalencia, es que la relación tieneque ser transitiva, pero R4 no lo es, como demostra-mos en la armación anterior, por lo que hace quetoda la armación no tenga validez.

...................................................

Analizamos cada una de las proposiciones:p: 49 es un número primo.

Esta proposición es falsa, ya que 49 es múltiplo de 7,por lo que no puede ser primo.

q: 200 tiene raíz cuadrada exacta.Esta proposición es falsa, ya que la raíz cuadrada de200 es un número decimal.

r: 15 > 12. Denitivamente, esta proposición es verda-dera.

Entonces:p = F

q = F r = VAnalizaremos las expresiones:I. p r

II. (~p r) p

III. q r

IV. ~(q r) (~r p)

Finalmente, la respuesta es la alternativa E: VFFV. ...................................................

Se construye un cuadro de doble entrada y se ingresapaulatinamente toda la información que especica elproblema.

Colombia no obtuvo el primer puesto, entonces Co-lombia no ganó la medalla de oro.

A Perú le tocaron medallas de bronce; con este datose completa el cuadro, teniendo en cuenta que encada una de las filas y columnas debe colocarsesolamente un Sí, y los demás casilleros deberán sercompletados con un No

ganó la medalla de oro. La respuesta es la alternativaC.

..................................................

Con la información disponible se construye un cuadrode doble entrada.

El profesor de Dibujo no conoce a Hugo ni al quedicta Cerámica, por lo tanto Hugo no puede ser elprofesor de Dibujo ni el de Cerámica.

SOLUCIONARIO

p r p r

F V V

~p r p (~p r ) p

V V F V F F

q r q r

F V F

q ~r p ~(q r) (~r p)

F F F F V F

Perú Colombia México

Oro NoPlata

Bronce

Perú Colombia México

Oro No No Sí Plata No Sí No

Bronce Sí No No


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© G r u p o

E d i t o r i a

l N o r m a

S . A . C .

P r o

h i b i d o

f o t o c o p

i a r .

D . L .

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2 7

Luis y el profesor de Cerámica son amigos del profe-sor de Danza. Luego, Luis no puede ser profesor deCerámica ni de Danza.

El único amigo de David es Luis. Con ayuda de laarmación anterior podemos concluir que David noes profesor de Danza, debido a que el profesor deDanza tiene como amigos a Luis y al profesor de Ce-rámica, y David tiene sólo un amigo.

Al llenar la tabla con la máxima cantidad de datosposible y teniendo en cuenta que en cada la o co-lumna sólo debe aparecer un Sí, observamos, sin ne-cesitar de llenar completamente la tabla, que Hugose encarga de enseñar Danza.La respuesta es, pues, la alternativa B.

..................................................

Ingresamos la información dada en un cuadro de do-ble entrada. Centraremos nuestra atención en las ac-tividades que le gusta a cada chica, y los colores quecada una de ellas preere los iremos colocando paula-tinamente.

La que preere el rosado no practica baloncesto. Amelia no practica baloncesto, por lo que no des-cartamos que a Amelia le guste el color rosado, deacuerdo con la armación anterior.

Brenda no practica vóley y no preere el celeste.

Quien practica vóley preere el lila. Diana practica gimnasia y preere el verde. Con estainformación podemos llenar la tabla de la siguientemanera:

Eliana y Carla no practican baloncesto ni vóley, En-tonces, si completamos la tabla con esta última afir-mación, podemos observar que la única que puedepracticar vóley es Amelia, y que a Brenda le gusta elbaloncesto.

Los datos no son sucientes para poder determinar si aCarla o a Eliana le gusta el baloncesto o la gimnasia. Yaque en este problema no se nos pregunta por la aciónde estas chicas, no nos interesa averiguarlo.Entonces, después de completar el cuadro con la infor-mación dada, se observa que la ación de Amelia esel vóley.La respuesta es la alternativa B.

................................................................

Página 25.Dice: a R, (a; a) R. Debe decir: a A, (a; a) R.

David Hugo José Luis

PinturaDibujo NoDanza No

Cerámica No

David Hugo José Luis

Pintura NoDibujo NoDanza No Sí No No

Cerámica No No

Amelia Brenda Carla Diana Eliana

Baloncesto No

Natación

Vóley No

Gimnasia

Danza


Baloncesto No No

Natación No

Vóley(lila) No No

Gimnasia(verde) No No No Sí No

Danza No


Baloncesto No Sí No No No

Natación No No No

Vóley(lila) Sí No No No No

Gimnasia(verde) No No No Sí No

Danza No No No

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