Guia TP7_Filtros IIR Soluções

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  • 8/16/2019 Guia TP7_Filtros IIR Soluções

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    Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 1/28 

    Sistemas de Processamento Digital

    Engenharia de Sistemas e Informática 

    Ficha 72005/2006  4.º Ano/ 2.º Semestre

    Projecto de Filtros DigitaisIIRProjecto de Filtros IIR

    O projecto de filtros IIR digitais passa pela utilização de protótipos de filtros analógicos já

    sobejamente estudados. Na obtenção do filtro digital IIR desejado, duas abordagens podem ser

    seguidas:Abordagem 1:

    • Projectar o filtro passa-baixo segundo um protótipo.• Aplicar uma transformação na frequência em s • Aplicar uma transformação de s para z.

    Abordagem 2:

    • Projectar o filtro passa-baixo segundo um protótipo.• Aplicar uma transformação de s para z.• Aplicar uma transformação na frequência em z para se obter outro filtro a partir da

    tranformação em z determinada anterirormente.

    ESCALA LINEAR RELATIVA

    Especificação de Ω p, , Ωs e A:

    Relação com R p e As na escala em dB:

    Relação com δ  1 e δ  2 da escala absoluta:

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    PROTOTIPOS

    BUTTER-WORTH – Passa – Baixo

    Este filtro é caracterizado por ter uma resposta plana quer na banda de passagem, quer na banda de

    corte. A sua resposta em frequência é:

    ( )2

    2

    1( )

    1c

    a   N  H j

    ΩΩ

    Ω =+

     

     N é a ordem do filtro e Ωc a frequência de corte.

    Para obter H a(s), determinam-se os pólos pk  de2

    ( )a H jΩ , considerando só os pólos que se

    encontram no semi-plano esquerdo de s:

    ( )( )

     N 

    ca

    PolosSPE 

     H j s p

    Ω = −∏   com2

    (2 1)

    , 0,1,..., 2 1 N  j k N 

    k c p e k N 

    π  + +

    = Ω = −  

    Para o caso do filtro Butterworth, especificam-se os parâmetros Ω p, R  p, Ωs e As e determina-se aordem N do filtro e a frequência Ωc de corte da seguinte forma:

    ( )   ( )( )

    10 10

    10

    10

    log 10 1 10 1

    2log

     p   s R   A

     p S 

     N 

    ⎡ ⎤− −⎣ ⎦=

    Ω Ω arredondado ao menor inteiro acima

    Como N arredondado será maior que o necessário, as especificações podem exceder Ω p ou Ωs peloque, para satisfazer exactamente as especificações de Ω p ou de Ωs, Ωc deverá ser:

     para Ω p:

    ( )102 10 1 p p

    c R

     N 

    ΩΩ =−

    , para Ωs:( )102 10 1s

    sc

     A N 

    ΩΩ =−

     

    EXERCÍCIO 1

    Dado2

    6

    1( )

    1 64a H jΩ =

    + Ω, determinar a função H a(s) do filtro.

    Solução:

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    Matlab

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    EXERCÍCIO 2

    Projectar no Matlab um filtro de 3ª ordem do tipo Butterworth com Ωc = 0.5.

    Solução:

    EXERCÍCIO 3

    Projectar um filtro passa-baixo que satisfaça as seguintes condições:

    Limite da banda de passagem: Ω p = 0.2π  Ripple: R  p = 1 dB;Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π  Ripple: As = 16 dB;

    Solução:

    MATLAB

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    EXERCICIO 4

    Projectar o filtro do exercício 3 usando o Matlab

    Solução:

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    CHEBYCHEV – Passa – Baixo

    Existem dois tipos de filtros Chebychev. Os filtros Chebychev – Tipo I têm uma resposta plana na

     banda de corte ao passo que os Chebychev – II têm resposta plana na banda de passagem.

    Chebychev – I:

    em que

    Chebychev – II:

    Este filtro está relacionado com o Tipo I através de uma simples transformação em que:

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    Uma aproximação ao projecto de um filtro Chebyshev – II passa por projectar primeiro o

    correspondente filtro Chebyshev – I e depois aplicar a transformação para Chebyshev – II.

    Filtro Chebyshev –I Filtro Chebyshev –II

    Para obter H a(s), determinam-se os pólos p

    k  de

    2( )

    a H jΩ . Pode ser demonstrado que se p

    k =σ

    k  + jΩ

    k ,

    K=0, …, N-1 representar os pólos de2

    ( )a

     H jΩ  localizados no semi-plano esquerdo de s, então:

    em que

    A função transferência obter H a(s), é dada pela equação:

    ( )( )

    a

    K  H s

    s p=

    −∏ 

    em que se determinando K  de modo a que

    Para a especificação do projecto de um filtro Chebychev-I, utilizam-se os parâmetros Ω p, R  p, Ωs e As  para determinar   , Ωc e N:

    , , ea ordem N  é dada por:

    EXERCICIO 5

    Projectar um filtro Chebyshev-I passa-baixo que satisfaça as seguintes condições:Limite da banda de passagem: Ω p = 0.2π  Ripple: R  p = 1 dB;

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    Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π  Ripple: As = 16 dB;

    Solução

    MATLAB

    EXERCÍCIO 6

    Projectar o filtro Chebyshev-I passa-baixo do exercício 5 usando o Matlab.

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    Solução:

    MATLAB

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    EXERCICIO 7

    Projectar um filtro Chebyshev-II passa-baixo que satisfaça as seguintes condições:

    Limite da banda de passagem: Ω p = 0.2π  Ripple: R  p = 1 dB;Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π  Ripple: As = 16 dB;

    Solução

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    FILTRO ELÍPTICOOs filtros Elípticos têm a particularidade de apresentar ripple quer na banda de passagem, quer na

     banda de corte. A sua resposta em frequência é:

    onde N é a ordem do filtro, ∈ é o ripple na banda de passagem e U  N (.) é a função jacobiana de ordem N .

    A ordem N  do filtro calcula-se da seguinte forma:

    onde e

    MATLAB

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    EXERCICIO 8

    Projectar um filtro Elíptico passa-baixo que satisfaça as seguintes condições:

    Limite da banda de passagem: Ω p = 0.2π  Ripple: R  p = 1 dB;Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π  Ripple: As = 16 dB;

    Solução

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    TRANSFORMAÇÃO ANALÓGICO-DIGITAL

    Transformação Impulso Invariante

    Dadas as especificações de um filtro digital ω p, ωs, R p, e As, pretende-se determinar H(z) projectando primeiro um filtro analógico equivalente e depois fazer o seu mapeamento para o filtro digital

     pretendido. Procedimento de Projecto para uma Transformação Impulso Invariante:

    1.  Escolher T e determinar as frequências analógicas: p

     pT 

    ω Ω =  e s

    sT 

    ω Ω =  

    2.  Desenhar um filtro analógico (Butterworth, Chebyshev ou Elíptico) obtendo H a(s) através da

    utilização das especificações Ω p, Ωs, R p, e As.

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    3.  Utilizando a expansão em fracções parciais, expandir H a(s):

    4.  Transformar os pólos pk  analógicos em pólos digitais k  p T 

    e  para se obter o filtro digital:

    EXERCÍCIO 9

    Transforme2

    1( )

    5 6a

    s H s

    s s

    +=

    + + num filtro digital H(z) utilizando a Transformação Impulso

    Invariante, considerando T = 0.1.

    Solução

    EXERCÍCIO 10

    Implemente em MatLab a função i mp_i nvr  que implemente a Transformação Impulso Invariante.

    Solução

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    EXERCICIO 11

    Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Butterworth de modo a que satisfaça

    as seguintes condições:

    Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π  Ripple: R  p = 1 dB;Limite da banda de corte: ωs = 0.3π  Ripple: As = 16 dB;

    Solução:

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    EXERCICIO 12

    Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-I de modo a que satisfaçaas seguintes condições:

    Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π  Ripple: R  p = 1 dB;Limite da banda de corte: ωs = 0.3π  Ripple: As = 15 dB;

    Solução:

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    EXERCICIO 13

    Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-II de modo a que satisfaçaas seguintes condições:

    Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π  Ripple: R  p = 1 dB;Limite da banda de corte: ωs = 0.3π  Ripple: As = 15 dB;

    Solução:

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    EXERCICIO 14

    Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Elíptico de modo a que satisfaça asseguintes condições:

    Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π  Ripple: R  p = 1 dB;Limite da banda de corte: ωs = 0.3π  Ripple: As = 15 dB;

    Solução:

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    Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 22/28 

    Transformação Bilinear

    Este é o melhor método para a transformação de s para z porque não existe aliasing. A

    Transformação Bilinear baseia-se na seguinte relação:

    Resolvendo esta relação em ordem à frequência digital ω  e à frequência analógica Ω, obtêm-se asseguintes relações:

    e

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    que denota a não linearidade destas duas relações. Para calcular Ω é necessário fazer um pré-warping de ω.

    Dadas as especificações de um filtro digital ω p, ωs, R p, e As, pretende-se determinar H(z) seguno osseguintes procedimentos de projecto para uma Transformação Bilinear:

    1.  Escolher o valor para T . Como pode ser arbitrário, pode-se definir T=1.2.  Pré-warping das frequências ω p e ωs, determinando Ω p e Ωs através das funções:

    3.  Desenhar um filtro analógico (Butterworth, Chebyshev ou Elíptico) obtendo H a(s) através da

    utilização das especificações Ω p, Ωs, R p, e As.4.  Obter H(z) fazendo a seguinte substituição:

    EXERCICIO 15

    Transforme2

    1( )

    5 6a

    s H s

    s s

    +=

    + + num filtro digital H(z) utilizando a Transformação Bilinear,

    considerando T = 1.

    Solução:

    MATLAB

    EXERCICIO 16

    Repita o exercício 15 utilizando o MatLab e a função bilinear.

    Solução:

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    Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 24/28 

    EXERCICIO 17

    Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipoButterworth de modo a que satisfaça as seguintes condições:

    Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π  Ripple: R  p = 1 dB;Limite da banda de corte: ωs = 0.3π  Ripple: As = 15 dB;

    Solução:

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    25/28

    Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 25/28 

    EXERCICIO 18

    Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo

    Chebychev-I de modo a que satisfaça as seguintes condições:

    Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π  Ripple: R  p = 1 dB;Limite da banda de corte: ωs = 0.3π  Ripple: As = 15 dB;

    Solução:

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    Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 26/28 

    EXERCICIO 19

    Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo

    Chebychev-II de modo a que satisfaça as seguintes condições:

    Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π  Ripple: R  p = 1 dB;Limite da banda de corte: ωs = 0.3π  Ripple: As = 15 dB;

    Solução:

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    Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 27/28 

    Exercício 20

    Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo

    Elíptico de modo a que satisfaça as seguintes condições:

    Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π  Ripple: R  p = 1 dB;Limite da banda de corte: ωs = 0.3π  Ripple: As = 15 dB;

    Solução:

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