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8/16/2019 Guia TP7_Filtros IIR Soluções
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Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 1/28
Sistemas de Processamento Digital
Engenharia de Sistemas e Informática
Ficha 72005/2006 4.º Ano/ 2.º Semestre
Projecto de Filtros DigitaisIIRProjecto de Filtros IIR
O projecto de filtros IIR digitais passa pela utilização de protótipos de filtros analógicos já
sobejamente estudados. Na obtenção do filtro digital IIR desejado, duas abordagens podem ser
seguidas:Abordagem 1:
• Projectar o filtro passa-baixo segundo um protótipo.• Aplicar uma transformação na frequência em s • Aplicar uma transformação de s para z.
Abordagem 2:
• Projectar o filtro passa-baixo segundo um protótipo.• Aplicar uma transformação de s para z.• Aplicar uma transformação na frequência em z para se obter outro filtro a partir da
tranformação em z determinada anterirormente.
ESCALA LINEAR RELATIVA
Especificação de Ω p, , Ωs e A:
Relação com R p e As na escala em dB:
Relação com δ 1 e δ 2 da escala absoluta:
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PROTOTIPOS
BUTTER-WORTH – Passa – Baixo
Este filtro é caracterizado por ter uma resposta plana quer na banda de passagem, quer na banda de
corte. A sua resposta em frequência é:
( )2
2
1( )
1c
a N H j
ΩΩ
Ω =+
N é a ordem do filtro e Ωc a frequência de corte.
Para obter H a(s), determinam-se os pólos pk de2
( )a H jΩ , considerando só os pólos que se
encontram no semi-plano esquerdo de s:
( )( )
N
ca
k
PolosSPE
H j s p
Ω
Ω = −∏ com2
(2 1)
, 0,1,..., 2 1 N j k N
k c p e k N
π + +
= Ω = −
Para o caso do filtro Butterworth, especificam-se os parâmetros Ω p, R p, Ωs e As e determina-se aordem N do filtro e a frequência Ωc de corte da seguinte forma:
( ) ( )( )
10 10
10
10
log 10 1 10 1
2log
p s R A
p S
N
⎡ ⎤− −⎣ ⎦=
Ω Ω arredondado ao menor inteiro acima
Como N arredondado será maior que o necessário, as especificações podem exceder Ω p ou Ωs peloque, para satisfazer exactamente as especificações de Ω p ou de Ωs, Ωc deverá ser:
para Ω p:
( )102 10 1 p p
c R
N
ΩΩ =−
, para Ωs:( )102 10 1s
sc
A N
ΩΩ =−
EXERCÍCIO 1
Dado2
6
1( )
1 64a H jΩ =
+ Ω, determinar a função H a(s) do filtro.
Solução:
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Matlab
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EXERCÍCIO 2
Projectar no Matlab um filtro de 3ª ordem do tipo Butterworth com Ωc = 0.5.
Solução:
EXERCÍCIO 3
Projectar um filtro passa-baixo que satisfaça as seguintes condições:
Limite da banda de passagem: Ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 dB;Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB;
Solução:
MATLAB
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EXERCICIO 4
Projectar o filtro do exercício 3 usando o Matlab
Solução:
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CHEBYCHEV – Passa – Baixo
Existem dois tipos de filtros Chebychev. Os filtros Chebychev – Tipo I têm uma resposta plana na
banda de corte ao passo que os Chebychev – II têm resposta plana na banda de passagem.
Chebychev – I:
em que
Chebychev – II:
Este filtro está relacionado com o Tipo I através de uma simples transformação em que:
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Uma aproximação ao projecto de um filtro Chebyshev – II passa por projectar primeiro o
correspondente filtro Chebyshev – I e depois aplicar a transformação para Chebyshev – II.
Filtro Chebyshev –I Filtro Chebyshev –II
Para obter H a(s), determinam-se os pólos p
k de
2( )
a H jΩ . Pode ser demonstrado que se p
k =σ
k + jΩ
k ,
K=0, …, N-1 representar os pólos de2
( )a
H jΩ localizados no semi-plano esquerdo de s, então:
em que
A função transferência obter H a(s), é dada pela equação:
( )( )
a
k
k
K H s
s p=
−∏
em que se determinando K de modo a que
Para a especificação do projecto de um filtro Chebychev-I, utilizam-se os parâmetros Ω p, R p, Ωs e As para determinar , Ωc e N:
, , ea ordem N é dada por:
EXERCICIO 5
Projectar um filtro Chebyshev-I passa-baixo que satisfaça as seguintes condições:Limite da banda de passagem: Ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 dB;
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Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB;
Solução
MATLAB
EXERCÍCIO 6
Projectar o filtro Chebyshev-I passa-baixo do exercício 5 usando o Matlab.
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Solução:
MATLAB
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EXERCICIO 7
Projectar um filtro Chebyshev-II passa-baixo que satisfaça as seguintes condições:
Limite da banda de passagem: Ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 dB;Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB;
Solução
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FILTRO ELÍPTICOOs filtros Elípticos têm a particularidade de apresentar ripple quer na banda de passagem, quer na
banda de corte. A sua resposta em frequência é:
onde N é a ordem do filtro, ∈ é o ripple na banda de passagem e U N (.) é a função jacobiana de ordem N .
A ordem N do filtro calcula-se da seguinte forma:
onde e
MATLAB
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EXERCICIO 8
Projectar um filtro Elíptico passa-baixo que satisfaça as seguintes condições:
Limite da banda de passagem: Ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 dB;Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB;
Solução
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TRANSFORMAÇÃO ANALÓGICO-DIGITAL
Transformação Impulso Invariante
Dadas as especificações de um filtro digital ω p, ωs, R p, e As, pretende-se determinar H(z) projectando primeiro um filtro analógico equivalente e depois fazer o seu mapeamento para o filtro digital
pretendido. Procedimento de Projecto para uma Transformação Impulso Invariante:
1. Escolher T e determinar as frequências analógicas: p
pT
ω Ω = e s
sT
ω Ω =
2. Desenhar um filtro analógico (Butterworth, Chebyshev ou Elíptico) obtendo H a(s) através da
utilização das especificações Ω p, Ωs, R p, e As.
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3. Utilizando a expansão em fracções parciais, expandir H a(s):
4. Transformar os pólos pk analógicos em pólos digitais k p T
e para se obter o filtro digital:
EXERCÍCIO 9
Transforme2
1( )
5 6a
s H s
s s
+=
+ + num filtro digital H(z) utilizando a Transformação Impulso
Invariante, considerando T = 0.1.
Solução
EXERCÍCIO 10
Implemente em MatLab a função i mp_i nvr que implemente a Transformação Impulso Invariante.
Solução
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EXERCICIO 11
Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Butterworth de modo a que satisfaça
as seguintes condições:
Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 dB;Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB;
Solução:
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EXERCICIO 12
Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-I de modo a que satisfaçaas seguintes condições:
Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 dB;Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB;
Solução:
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EXERCICIO 13
Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-II de modo a que satisfaçaas seguintes condições:
Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 dB;Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB;
Solução:
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EXERCICIO 14
Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Elíptico de modo a que satisfaça asseguintes condições:
Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 dB;Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB;
Solução:
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Transformação Bilinear
Este é o melhor método para a transformação de s para z porque não existe aliasing. A
Transformação Bilinear baseia-se na seguinte relação:
Resolvendo esta relação em ordem à frequência digital ω e à frequência analógica Ω, obtêm-se asseguintes relações:
e
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que denota a não linearidade destas duas relações. Para calcular Ω é necessário fazer um pré-warping de ω.
Dadas as especificações de um filtro digital ω p, ωs, R p, e As, pretende-se determinar H(z) seguno osseguintes procedimentos de projecto para uma Transformação Bilinear:
1. Escolher o valor para T . Como pode ser arbitrário, pode-se definir T=1.2. Pré-warping das frequências ω p e ωs, determinando Ω p e Ωs através das funções:
3. Desenhar um filtro analógico (Butterworth, Chebyshev ou Elíptico) obtendo H a(s) através da
utilização das especificações Ω p, Ωs, R p, e As.4. Obter H(z) fazendo a seguinte substituição:
EXERCICIO 15
Transforme2
1( )
5 6a
s H s
s s
+=
+ + num filtro digital H(z) utilizando a Transformação Bilinear,
considerando T = 1.
Solução:
MATLAB
EXERCICIO 16
Repita o exercício 15 utilizando o MatLab e a função bilinear.
Solução:
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EXERCICIO 17
Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipoButterworth de modo a que satisfaça as seguintes condições:
Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 dB;Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB;
Solução:
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EXERCICIO 18
Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo
Chebychev-I de modo a que satisfaça as seguintes condições:
Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 dB;Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB;
Solução:
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EXERCICIO 19
Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo
Chebychev-II de modo a que satisfaça as seguintes condições:
Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 dB;Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB;
Solução:
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Exercício 20
Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo
Elíptico de modo a que satisfaça as seguintes condições:
Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 dB;Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB;
Solução:
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