Guias de Onda e Cavidadesmines/OE/Teoricas/Guias/OE_guias.pdf · Faculdade de Engenharia Guias Características dos modos em propagação x y z f f c j 1 2 f f c modo em propagação:

Faculdade de Engenharia

Guias de Onda e Cavidades

OE - MIEEC 2014/2015


Guias

Propagação guiada

z

y

dieléctrico 2

dieléctrico 2

guia metálico

y

z

dieléctrico 1

guia dieléctrico

21 nn

ci

estudo dos guias de onda

equações de Maxwell

condições fronteira0

0

H

E

EjH

HjE

0

022

22

HH

EE

campos harmónicos meios LHI

reflexão interna total

0,0 vJ


Guias

Guias de onda cilíndricos

x

y

z

podem estar limitados por condutor ideal

propagação segundo +z

,

secção transversal não varia com z

guias preenchidos com meio sem perdas

comprimento infinito

zeyxHzyxH ,,, 0

zeyxEzyxE ,,, 0

onda não uniforme


Guias

Guias de onda cilíndricos – determinação dos campos

x

y

z

zeyxHzyxH ,,, 0

zeyxEzyxE ,,, 0

0

022

22

HH

EE

0

00202

0202

HhH

EhE

xy

xy

222 h

2

2

2

22

yxxy

2 eqs. vectoriais6 eqs. escalares

00

00

00

02020202

02020202

02020202

zzxyzzxy

yyxyyyxy

xxxyxxxy

HhHEhE

HhHEhE

HhHEhE

não independentes


Guias

Guias de onda cilíndricos – componentes transversais

x

y

z HjE EjH

000

000

000

zxy

yxz

xyz

Hjy

Ex

E

HjEx

E

HjEy

E

000

000

000

zxy

yxz

xyz

Ejy

Hx

H

EjHx

H

EjHy

H

zeyxHH ,0

zeyxEE ,0

xHj

yE

hE

yHj

xE

hE

xEj

yH

hH

yEj

xH

hH

zzy

zzx

zzy

zzx

00

20

00

20

00

20

00

20

1

1

1

1

componentes transversais à custadas componentes longitudinais

se 0h


Guias

Determinação dos campos no interior do guia

x

y

z

xHj

yE

hE

yHj

xE

hE

xEj

yH

hH

yEj

xH

hH

zzy

zzx

zzy

zzx

00

20

00

20

00

20

00

20

1

1

1

1

se 0h

2. determinar

0

00202

0202

zzxy

zzxy

HhH

EhE 222 h

1. resolver

3. obter

z

z

eyxHzyxH

eyxEzyxE

,,,

,,,0

0

aplicação de condições fronteira

Nota

ondas TE

ondas TEM

ondas TM

0e0 00 zz HE

0e0 00 zz EH

0e0 00 zz EH


Guias

Frequência de corte

x

y

z 222 h

frequência de corte

12

2

h

22 h

2hfc

12

ffc

zeyxHzyxH ,,, 0

zeyxEzyxE ,,, 0

cff

cff j

modo evanescente

modo em propagação


Guias

Características dos modos em propagação

x

y

z

cff j

12

ffc

modo em propagação:

constante de fase

m

cm f

f ,12

comprimento de onda m

m

c

m

ff

2,

12

2

se 0cf m

constante de fase num meioinfinito de parâmetros ,


Guias

Características dos modos em propagação

x

y

z

cff j

12

ffc

modo em propagação:

velocidade de fase

2

1

ffc

mvelocidade de grupo

fv

se 0cf mf vv

velocidade de fase num meioinfinito de parâmetros ,

1,

12

m

c

mf v

ff

vv

se guia preenchido com ar, cvm

cv f

2

1

ffvv c

mg

se 0cf mg vv

ddvg

1

2mgf vvv


Guias

Impedância de onda

x

y

z ondas TEM propagando-se segundo +z num meio ilimitado com

HzE

EzH

ˆ

ˆ1

ondas propagando-se segundo +z num guia

HzZE

EzZ

H

ˆ

ˆ1

:TEouTEMondas

TMouTEMondas :

yHxHZzEyExE

yExEZ

zHyHxH

xyzyx

xyzyx

ˆˆˆˆˆ

ˆˆ1ˆˆˆ

0zH

0zE

ondas TM ou TEM

ondas TE ou TEM

impedância de onda x

y

y

x

HE

HE

Z


Guias

Potência média propagada

x

y

z

potência média

x

y

y

x

HE

HE

Z

A

medmed AdSP

zdAAd ˆ

*21 HESmed Re

A

xyyxmed dAHEHE **21

ReP

Ayxmed dAEE

Z221

21P Re

Ayx dAHHZ

22

21

Re


Guias

Energia média armazenada e velocidade de transporte de energia

x

y

z

energia média armazenada por unidade de comprimento

A

medmmedemed dAwwW ,,'

222, 4

*4 zyxmede EEEEEw

222, 4

*4 zyxmedm HHHHHw

med

meden W

v'

Pvelocidade de transporte de energia


Guias

Ondas TEM

x

y

z ondas TEM 0 zz HE

xHj

yE

hE

yHj

xE

hE

xEj

yH

hH

yEj

xH

hH

zzy

zzx

zzy

zzx

00

20

00

20

00

20

00

20

1

1

1

1

02 h2

hfc

mgf

m

m

vvv

j

12

ffc

2

1

ffc

m

usar equações de Maxwell

m

0


Guias

Ondas TEM – impedância de onda

x

y

z

ondas TEM: 0 zz HE

equações de Maxwell:

000

00

00

yE

xE

HjE

HjE

xy

yx

xy

000

00

00

yH

xH

EjH

EjH

xy

yx

xy

HjE

EjH

jZTEM

x

y

y

x

HE

HEZ

j

j


Guias

Ondas TM – impedância de onda

x

y

z ondas TM 0e0 00 zz EH 00202 zzxy EhE

yE

hE

xE

hE

xE

hjH

yE

hjH

zy

zx

zy

zx

0

20

0

20

0

20

0

20

x

y

y

x

HE

HE

Z

jZTM 1

2

ffj c

12

ffc

Ayxmed dAEE

Z221

21P Re

modos evanescentes cff TMZ é imaginário 0P med

cff modos em propagação 21 ffZ cTM (real e inferior a )


Guias

Ondas TE – impedância de onda

x

y

z ondas TE 0e0 00 zz HE

x

y

y

x

HE

HE

Z

00202 zzxy HhH

xH

hjE

yH

hjE

yH

hH

xH

hH

zy

zx

zy

zx

0

20

0

20

0

20

0

20

jZTE

12

ff

j

c

modos evanescentes cff TEZ é imaginário 0P med

cff modos em propagação (real e superior a )

12

ffc

Ayxmed dAEE

Z221

21P Re

21 ffZ cTE


Guias

Impedância de onda vs frequência

x

y

z

1

Z

região evanescente

cff

2 1

21 ffZ cTE

21 ffZ cTM

TEMZ


Guias

Guias de placas paralelas

guia preenchido com material sem perdas

b

y

z

x

W

,

placas condutoras ideais

comprimento infinito propagação segundo +z

bW 0x

variação dos campos com x é desprezável


Guias

Guias metálicos – condições fronteira

guias metálicos limitados por condutores ideais

0condcond BE

contínuotanE contínuonormBe

condições fronteira

HB

0normtan HE junto aos condutores

b

y

z

x

W

0 zx EE

0yHbyy e0em


Guias

Guias de placas paralelas – determinação dos campos

b

y

z

x

W

xHj

yE

hE

yHj

xE

hE

xEj

yH

hH

yEj

xH

hH

zzy

zzx

zzy

zzx

00

20

00

20

00

20

00

20

1

1

1

1

(se )0h2. determinar

0

00202

0202

zzxy

zzxy

HhH

EhE

222 h

1. resolver

0x

0

0

022

02

022

02

zz

zz

Hhdy

Hd

Ehdy

Ed

dydE

hE

dydH

hjE

dydH

hH

dydE

hjH

zy

zx

zy

zx

0

20

0

20

0

20

0

20

ondas TE

ondas TEM

ondas TM

0e0 00 zz HE

0e0 00 zz EH

0e0 00 zz EH

z

z

eyxHzyxH

eyxEzyxE

,,,

,,,0

0

0x

NOTA: ondas TEM h=0


Guias

Ondas TEM

b

y

z

x

W

ondas TEM 0e0 00 zz EH

equações de Maxwell:

000

00

00

yE

xE

HjE

HjE

xy

yx

xy

000

00

00

yH

xH

EjH

EjH

xy

yx

xy

HjE EjH

e 0hmétodo anteriornão funciona

0 x

000

dy

dHdy

dE xx 0xE 0

xHe são constantes


Guias

Ondas TEM

b

y

z

x

W

0xE 0

xHe são constantes0)()0( 00 bEE xx

00yx HZE

00 yH

00xy HZE

0yE

TEMZ

constante

00 xE

yEE ˆ00


0 zx EE0yH

byy e0em

impedância de onda

x

y

y

x

HE

HEZ

xEH ˆ00

ZE

H yx

00


Guias

Ondas TM – componente longitudinal

b

y

z

x

W

solução geral:

0e0 00 zz EH 0022

02

zz Eh

dyEd

hyBhyAyE z cossin0

000 zE

0B

,3,2,1, nb

nh

0sin bhA

bynAE

nb

nh

nz

sin

,2,1,

0

ondas TM


0 zx EE0yH

byy e0em

00 bEz

hyAyEz sin0


Guias

Ondas TM – componentes transversais

b

y

z

x

W

bynAE

nb

nh

nz

sin

,3,2,1,

0

dydE

hE

dydH

hjE

dydH

hH

dydE

hjH

zy

zx

zy

zx

0

20

0

20

0

20

0

20

bynA

nbE

bynA

nbjH

ny

nx

cos

cos

0

0

0

0


Guias

Ondas TM – modo TMn

b

y

z

x

W

modo TMn

bynA

nbE

bynA

nbjH

bynAE

ny

nx

nz

cos

cos

sin

0

0

0

,3,2,1, nb

nh

Nota:modo TMn para n=0é modo TEM

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y/b

Ez0 /A

n

n=1

n=2

n=3


Guias

Ondas TE – componente longitudinal

b

y

z

x

W

ondas TE 0e0 00 zz HE 0022

02

zz Hh

dyHd

hyBhyAyH z cossin0

nota: não existe condição fronteira para 0zH

é necessário determinar as componentes transversaispara se poder aplicar as condições fronteira


0 zx EE0yH

byy e0em

solução geral:


Guias

Ondas TE – componentes transversais

b

y

z

x

W

hyBhyAyH z cossin0

dydE

hE

dydH

hjE

dydH

hH

dydE

hjH

zy

zx

zy

zx

0

20

0

20

0

20

0

20

0

0

hyBhyAh

jE

hyBhyAh

H

x

y

sincos

sincos

0

0

condições fronteira0 zx EE

0yHbyy e0em

000 00 yx HE

0sin hb,3,2,1, nb

nh

0A

hyBh

jE

hyBh

H

hyBH

x

y

z

sin

sin

cos

0

0

0

000 bHbE yx


Guias

Ondas TE – modo TEn

b

y

z

x

W

bynB

nbjE

bynB

nbH

bynBH

nx

ny

nz

sin

sin

cos

0

0

0

modo TEn

,3,2,1, nb

nh

Nota:Não existe modo TE0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y/b

Ez0 /A

n

n=1

n=2n=3

nz BH 0


Guias

Guias de placas paralelas – frequência de corte

b

y

z

x

W

2hf c

0TEM h

,3,2,1,TETM, nb

nh

0TEM cf

b

nfc 2TETM,

modo dominante modo com menor frequência de corte

guias de placas paralelas modo dominante é o modo TEM

para uma dada frequência f só se propagam os modos com ffc

como , modo TEM está sempre presente 0TEM cf

aumento de f mais modos se podem propagar


Guias

A componente longitudinal do campo eléctrico de uma onda TM de frequência 15 GHz que se propaga num guia preenchido com um material dieléctrico de parâmetros é dada por

Exercício

00 4,

Determinea) o parâmetro característico ;b) a frequência de corte;c) a constante de propagação;d) os fasores dos campos eléctrico e magnético;e) o vector médio de Poynting ;f) a impedância de onda.

h

V/m100sin50 zz eyE

formulário:


Guias

Exercício

Um guia de placas paralelas com b = 1 cm está preenchido com ar. Determine

a) que modos se propagam se a frequência de operação for f = 35 GHz;

b) a frequência de operação máxima para que o guia esteja em regime monomodo.

formulário


Guias

Exercício

Para o modo TEM num guia de placas paralelas, determine

formulário

a) as expressões para as densidades superficiais de carga e de corrente nas placas;

b) a corrente que circula na placa superior e a diferença de potencial entre as duas placas.


Guias

Resolução de exercício – densidade de carga nas placas

b

y

z

x

W

xE

H

yEE

ˆ

ˆ

00

00

j xeEH

yeEE

zj

zj

ˆ

ˆ

0

0

21ˆ DDans

1

2

na

02 D

yeED zj ˆ01

densidade de carga nas placas:

placa superior:

yan ˆˆ

interior do guia:

zjs eEby 0

02 D

yeED zj ˆ01

placa inferior:

yan ˆˆ

zjs eEy 00

1

2

na


Guias

Resolução de exercício – densidade de corrente nas placas

b

y

z

x

W

xeEH

yeEE

zj

zj

ˆ

ˆ

0

0

1

2

na

densidade de corrente nas placas:

placa superior:

yan ˆˆ

interior do guia:

placa inferior:

yan ˆˆ 1

2

na

21ˆ HHaJ ns

02 H

xeEH zj ˆ01

zeEbyJ zjs ˆ0

02 H

xeEH zj ˆ01

zeEyJ zjs ˆ0 0


Guias

Resolução de exercício – tensão e corrente nas placas

b

y

z

x

W

tensão entre as placas: zjebE 0

2

1

12

P

P

ldEVV

corrente na placa superior:

A

sdJI

zjeEW

0

xeEH

yeEE

zj

zj

ˆ

ˆ

0

0

interior do guia:

zeEbyJ zjs ˆ0

zjy eEE 0

b

ydyEzV0

corrente

tensão

W

s zdxJzI ˆ


Guias

Nota – equações das linha de transmissão

b

y

z

x

W

zjebEzV 0

zjeEWzI

0 zj

zj

eEWjdzdI

ebEjdzdV

0

0

VbWj

dzdI

IW

bjdzdV

H/mW

bL

F/mbWC

VCjdzdI

ILjdzdV

0

0

22

2

22

2

LCIdz

Id

LCVdz

Vd

eqs. para V e I numa linhade transmissão sem perdas


Guias

Guias rectangulares

guia preenchido com material sem perdas ,

placas condutoras ideais


b

y z

x a


Guias

Guias rectangulares – condições fronteira

0condcond BE



HB

0normtan HE junto aos condutores

b

y z

x a

axxHEE

byyHEE

xzy

yzx

e0em0

e0em0000

000


Guias

Guias rectangulares – determinação dos campos

xHj

yE

hE

yHj

xE

hE

xEj

yH

hH

yEj

xH

hH

zzy

zzx

zzy

zzx

00

20

00

20

00

20

00

20

1

1

1

1


0

00202

0202

zzxy

zzxy

HhH

EhE 222 h

1. resolver

z

z

eyxHzyxH

eyxEzyxE

,,,

,,,0

0

b

y z

x a


Guias

Ondas TEM

b

y z

x a

000 zz HE HE e estão no plano xy

SP

SdtEIldH int

0 H

Hlinhas de são percursos fechadosna secção transversal do guia

0cond H

linhas de são fechadasH

corrente nointerior do guia

superfície limitada por P0int I

fluxo de através de S é nuloE

não existem ondas TEM em guias rectangulares

0P

ldH 0H 0E

não existem ondas TEM em guias com apenas um condutor metálico


Guias

Ondas TM e TE – determinação das componentes longitudinais

b

y z

x a

0

00202

0202

zzxy

zzxy

HhH

EhE

resolver

022 hxy

yx,

2

2

2

22

yxxy

022

2

2

2

h

yx

yYxXyx ,método da separação das variáveis

022

2

2

2

XYhdy

YdXdx

XdY

011 22

2

2

2

hdy

YdYdx

XdX


Guias

Método da separação das variáveis

b

y z

x a

011 22

2

2

2

hdy

yYdyYdx

xXdxX

função de x função de y

equação anterior é satisfeita apenas quando

constante12

2

dx

xXdxX

constante12

2

dy

yYdyY

22

21xk

dxxXd

xX

22

21yk

dyyYd

yY

0222 hkk yx222yx kkh


Guias


b

y z

x a

22

21xk

dxxXd

xX

22

21yk

dyyYd

yY

222yx kkh

22

21xk

dxxXd

xX

22

21yk

dyyYd

yY

022

2

xXkdx

xXdx

022

2

yYkdy

yYdy

xkBxkAxX xx cossin

ykDykCyY yy cossin

solução geral de é:

yYxXyx ,

022

2

2

2

h

yx

ykDykCxkBxkAyx yyxx cossincossin,


Guias

Ondas TM – componente longitudinal

b

y z

x a

ondas TM 00 zH 00202 zzxy EhE

ykDykCxkBxkAE yyxxz cossincossin0

xX yY


byyaxxEz

e0e0em00

0,00 yEz

0,0 bxEz 0,0 yaEz

0B

xkAxX xsin

inteiro, ma

mkx

inteiro, nb

nk y

00,0 xEz

0D

ykCyY ysin

byn

axmEE mnz

sinsin,00


Guias

Ondas TM – componentes transversais

b

y z

x a

byn

axmEE mnz

sinsin,00

yE

hE

xE

hE

xE

hjH

yE

hjH

zy

zx

zy

zx

0

20

0

20

0

20

0

20

00,2

00,2

00,2

00,2

sin cos

cos sin

cos sin

sin cos

x mn

y mn

x mn

y mn

j n m x n yH Eh b a b

j m m x n yH Eh a a b

m m x n yE Eh a a b

n m x n yE Eh b a b

22

bn

am 222

yx kkh

estas componentes satisfazem as condiçõesfronteira para as componentes transversais

axxHE

byyHE

xy

yx

e0em0

e0em000

00

nota


Guias

Modo TMmn

b

y z

x a

byn

axmEE mnz

sinsin,00

00,2

00,2

00,2

00,2

sin cos

cos sin

cos sin

sin cos

x mn

y mn

x mn

y mn

j n m x n yH Eh b a b

j m m x n yH Eh a a b

m m x n yE Eh a a b

n m x n yE Eh b a b

222

bn

amh

notas

2.

0h 00 nm ou1.

00 nm ou 0 HE

11 nm e

0nm


Guias

Modo TEmn

b

y z

x a

222

bn

amh

notas

2.

0h 00 nm ou1.

00 nm ou

00, cos cosz mn

m x n yH Ha b

0

0,2

00,2

00,2

00,2

sin cos

cos sin

cos sin

sin cos

x mn

y mn

x mn

y mn

m m x n yH Hh a a b

n m x n yH Hh b a bj n m x n yE Hh b a bj m m x n yE Hh a a b

é possível ter

0 nm


Guias

Guias rectangulares – frequência de corte

2hf c

modo dominante nos guias rectangulares é o modo TE10

22

TETM,

bn

amh 22

21

bn

amf c

b

y z

x a

modos TMmn 11 nm e modo TMmn dominante é o modo TM11

modos TEmn se modo TEmn dominante é o modo TE1000 nm ou ba

1110 TMcTEc ff


Guias

Guias circulares

guia preenchido com material sem perdas ,

superfície condutora ideal


z

a


Guias

Guias circulares – condições fronteira

0condcond BE



HB

0normtan HE junto ao condutor

coordenadas cilíndricas zzr ezEErEE

ˆˆˆ 000

zzr ezHHrHH

ˆˆˆ 000

z

a

arHEE rz em0000


Guias

Guias circulares – determinação dos campos


222 h

1. resolver

z

z

erHzrH

erEzrE

,,,

,,,0

0

0

00202

0202

zzr

zzr

HhH

EhE

2

2

22 11

rr

rrrr

z

a

rHjE

rhE

Hr

jr

Eh

E

rEjH

rhH

Er

jr

Hh

H

zz

zzr

zz

zzr

00

20

00

20

00

20

00

20

1

1

1

1

Notanão se propagam ondas TEMem guias circulares


Guias


resolver

022 hr

,r

método da separaçãodas variáveis

0

00202

0202

zzr

zzr

HhH

EhE

2

2

22 11

rr

rrrr

z

a

011 22

2

2

h

rrr

rr

rRr,

2

222

2

22 1

ddrh

drrdR

rRr

drrRd

rRr

022

2

22

2

rRhd

dr

rRdr

rdRrdr

rRd


Guias


função de r função de

equação anterior é satisfeita apenas quando

constante12

2

dd

2

222

2

22 1

ddrh

drrdR

rRr

drrRd

rRr

constante22

2

22

rhdr

rdRrR

rdr

rRdrR

r

22

2

-1

kd

d

222

2

22

k rhdr

rdRrR

rdr

rRdrR

r

z

a


Guias


22

2

-1

kd

d

022

2

kd

d

kBkA cossin

z

a

2

kkkkkk

cos2cossin2sin

inteiro, nnk

nBnA cossin nB cos


Guias

Equação diferencial de Bessel

z

a

inteiro, nnk

222

2

22

krhdr

rdRrR

rdr

rRdrR

r

222

2

22

nrhdr

rdRrR

rdr

rRdrR

r

equação diferencial de Bessel 02222

22 rRnrh

drrdRr

drrRdr

hrNDhrJCrR nn soluçao geral:

funções de Besselde 1ª espécie



Guias

Funções de Bessel de 1ª espécie

z

a

para n inteiro

0

2

2

2)!(!)1()(

mmn

mnm

n nmmxxJ

0 2 4 6 8 10 12

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

J0 (x)

J1 (x)J2 (x)

J3 (x) 100

000

n

n

JnJn

notas

2. funções oscilatórias,de amplitude decrescentee com zeros não periódicos

1.


Guias

Zeros das funções de Bessel de 1ª espécie

z

a

0 2 4 6 8 10 12

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

J0 (x)J1 (x)

J2 (x)J3 (x)

xJ o xJ1 xJ 2 xJ 3zero

1 2.4048 3.8317 5.1336 6.3802

2 5.5201 7.0156 8.4172 9.7610

3 8.6537 10.1735 11.6198 13.0152

4 11.7915 13.3237 14.7960 16.2235

5 14.9309 16.4706 17.9598 19.4094

zeros das funções de Bessel de 1ª espécie


Guias

Derivadas das funções de Bessel de 1ª espécie

z

a

notafunções oscilatórias,de amplitude decrescentee com zeros não periódicos

xJxJxJ nnn 1121'

0 2 4 6 8 10 12-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

)('1 xJ

)('2 xJ

)('3 xJ

)('0 xJ


Guias

Zeros das derivadas das funções de Bessel de 1ª espécie

z

a

zeros das derivadas das funções de Bessel de 1ª espécie

0 2 4 6 8 10 12-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

xJ o' xJ 1' xJ 2' xJ 3'zero

1 3.8317 1.8412 3.0542 4.2012

2 7.0156 5.3314 6.7061 8.0152

3 10.1735 8.5363 9.9695 11.3459

4 13.3237 11.7060 13.1704 14.5858

5 16.4706 14.8636 16.3475 17.7887


Guias

Funções de Bessel de 2ª espécie

z

a

notas

1. funções oscilatórias,de amplitude decrescentee com zeros não periódicos

)sin()()cos()(

lim)(p

xJpxJxN pp

npn

0 2 4 6 8 10 12-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

)(0 xN

)(1 xN

)(2 xN

)(3 xN 2. tomam valores infinitos

quando x=0

hrNDhrJCrR nn

0D quando região de interesseincluir a origem


Guias

Guias circulares – solução da equação de onda

z

a

nota

ondas TM

hrJCrR n

022 hr

rRr,

nB cos

nhrJCrRr nn cos, ,0 rEz

ondas TE ,0 rH z


Guias

Modo TMnp – componente longitudinal

ondas TM 00 zH


z

a

arHEE rz em0000

0,0 arE z

e nhrJCE nnz cos0

0haJ n


1 2.4048 3.8317 5.1336 6.3802

2 5.5201 7.0156 8.4172 9.7610

3 8.6537 10.1735 11.6198 13.0152

4 11.7915 13.3237 14.7960 16.2235

5 14.9309 16.4706 17.9598 19.4094

;6537.8;5201.5;4048.20a

ha

ha

hn

;1735.10;0156.7;8317.31a

ha

ha

hn

aJp

hh nTM np

dezeroésimo


Guias

Modos TMnp – componentes transversais


z

a

arHEE rz em0000

nhrJCE nnz cos0

0

20

0

20

0

20

0

20

z

zr

z

zr

Erh

E

rE

hE

rE

hjH

Erh

jH

nhrJCrhnE

nhrJCh

E

nhrJCh

jH

nhrJCrhnjH

nn

nnr

nn

nnr

sin

cos'

cos'

sin

20

0

0

20

estas componentes satisfazem as condiçõesfronteira para as componentes transversais

nota

aJphh n

TM np

dezeroésimo


Guias

Modos TMnp – frequência de corte

z

a

aJph n

TM np

dezeroésimo

2np

np

TMTMc

hf

aJp n

2dezeroésimo


1 2.4048 3.8317 5.1336 6.3802

2 5.5201 7.0156 8.4172 9.7610

3 8.6537 10.1735 11.6198 13.0152

4 11.7915 13.3237 14.7960 16.2235

5 14.9309 16.4706 17.9598 19.4094

menor zero de 2.4048 (n=0, p=1)nJ

a

f TMc 24048.2

01

modo TM dominante modo TM01


Guias

Modo TEnp

ondas TE 00 zE


z

a

arHEE rz em0000

e nhrJCH nnz cos0

rH

hjE

Hrh

jE

Hrh

H

rH

hH

z

zr

z

zr

0

20

0

20

0

20

0

20

nhrJCh

jE

nhrJCrhnjE

nhrJCrhnH

nhrJCh

H

nn

nnr

nn

nnr

cos'

sin

sin

cos'

0

20

20

0

0' haJ n

aJphh n

TEnp

'dezeroésimo


Guias

Modos TEnp – frequência de corte

z

a

2np

np

TETEc

hf

aJp n

2dezeroésimo /

menor zero de 1.8412 (n=1, p=1)/nJ

modo TE dominante modo TE11

aJphh n

TEnp

'dezeroésimo

xJ o' xJ 1' xJ 2' xJ 3'zero

1 3.8317 1.8412 3.0542 4.2012

2 7.0156 5.3314 6.7061 8.0152

3 10.1735 8.5363 9.9695 11.3459

4 13.3237 11.7060 13.1704 14.5858

5 16.4706 14.8636 16.3475 17.7887

a

f TEc 28412.1

11

0111 TMcTEc ff modo dominante nos guiascirculares é o modo TE11


Guias

Cavidades rectangulares

b

y z

x a

guias rectangulares

z0

zjeyxEzyxE ,,, 0

zjeyxHzyxH ,,, 0

cavidades rectangulares

a

b d

x

zy

placas condutorasnas extremidades

z0 d

zjzj eyxEeyxEzyxE ,,,, ,0,0

zjzj eyxHeyxHzyxH ,,,, ,0,0


Guias

Cavidades rectangulares

a

b d

x

zy



nas expressões de (guias rectangulares) yxE ,0

yxH ,0

j

yxH

yxE

,

,,0

,0

j

yxH

yxE

,

,,0

,0

0normaltan HEcondições fronteira em z=0 e z=d

0 zyx HEE em z=0 e z=d


Guias

Ondas TM

a

b d

x

zy

0 zyx HEE em z=0 e z=d

byn

axmeEeEE zj

mnzj

mnz sinsin,0,0



byn

axm

ameEeE

hjE zj

mnzj

mnx sincos,0,02

byn

axm

bneEeE

hjE zj

mnzj

mny cossin,0,02

byn

axm

bneEeE

hjH zj

mnzj

mnx cossin,0,02

byn

axm

ameEeE

hjH zj

mnzj

mny sincos,0,02

20,0,0 EEE mnmn

inteiro, pdp

byn

axmEE mnz

sinsin,00

modo TM em guia rectangular:


Guias

Modo TMmnp

a

b d

x

zy

0p

dzp

byn

axmEE z

cossinsin0

dzp

byn

axm

dp

amE

hE x

sinsincos102

dzp

byn

axm

dp

bnE

hE y

sincossin102

dzp

byn

axm

bnE

hjH x

coscossin02

dzp

byn

axm

amE

hjH y

cossincos02

11 nm e

22

bn

amh


Guias

Modo TEmnp

a

b d

x

zy

1p

0ou0 nm

22

bn

amh

dzp

byn

axmHH z

sincoscos0

dzp

byn

axm

bnH

hjE x

sinsincos02

dzp

byn

axm

amH

hjE y

sincossin02

dzp

byn

axm

dp

amH

hH x

coscossin102

dzp

byn

axm

dp

bnH

hH y

cossincos102


Guias

Frequência de ressonância

2222222 hhh

222 bnamh

dp

2221

dp

bn

am

mnp

222

21

dp

bn

amf mnp

a

b d

x

zy

frequências permitidas no interior da cavidade

modo dominante modo com frequência de ressonância mais baixa


Guias

Modo dominante em cavidades rectangulares

a

b d

x

zy

0m 0n 0p

2211011

21

baf

101011 ff ba

2210111

21

daf

( para

modos frequência de ressonância mais baixa

TM não não sim

TE

sim não

não

)

não sim

modo dominante

db modo TM110 se

modo TE101 se bd

db 110101 ff modos TM110 e TE101 ficammodos degenerados

se

222

21

dp

bn

amf mnp


Guias

Cavidades circulares

guias circulares

z0

cavidades circularesplacas condutorasnas extremidades

z0 d

z

a

zjzj erEerEzrE ,,,, ,0,0

zjzj erHerHzrH ,,,, ,0,0

zjerEzrE ,,, 0

zjerHzrH ,,, 0

ad

z


Guias

Cavidades circulares

nas expressões de (guias circulares) ,0 rE ,0 rH

j

,

,,0

,0

rH

rE

j

0normaltan HEcondições fronteira em z=0 e z=d

em z=0 e z=d

,

,,0

,0

rH

rE



0 zr HEE

ad

z


Guias

Ondas TM

em z=0 e z=d



0 zr HEE

nhrJeEeEE nzj

npzj

npz cos,0,0

nhrJeEeEhjE n

zjnp

zjnpr cos',0,0

nhrJeEeE

rhnjE n

zjnp

zjnp sin,0,02

nhrJeEeErhnjH n

zjnp

zjnpr sin,0,02

nhrJeEeE

hjH n

zjnp

zjnp cos',0,0

20,0,0 EEE npnp

inteiro, qd

q

ad

z


Guias

Modo TMnpq

dzqnhrJEE nz

coscos0

dzqnhrJ

dqE

hE nr

sincos'10

dzqnhrJ

dqE

rhnE n

sinsin02

dzqnhrJE

rhnjH nr

cossin02

dzqnhrJE

hjH n

coscos'0

0n 1p

aJp

hh nnpTM

dezeroésimo

0q

e

ad

z


Guias

Modo TEnpq

0n 1p

1q

dzqnhrJHH nz

sincos0

dzqnhrJH

rhnjE nr

sinsin02

dzqnhrJH

hjE n

sincos'0

dzqnhrJH

dq

hH nr

coscos'1

0

dzqnhrJH

dq

rhnH n

cossin02

aJp

hh nnpTE

'dezeroésimo

ad

z

e


Guias

Cavidades circulares – frequência de ressonância

222 h j

22

h

2

21

dqh

inteiro, qd

q

0qa

Jp ndezeroésimo

aTM

4048.2010

1qa

Jp n'dezeroésimo 22

111

8412.11

daTE

modos q h menor zero frequência de ressonância mais baixa

TM 2.4048

TE 1.8412

ad

z


Guias

Exercício

Um guia rectangular com dimensões a = 5 cm e b =2 cm está preenchido com um dieléctrico com .

Determine

a) banda de frequências para operação em regime monomodo;

b) os modos que se podem propagar se f = 7GHz.

formulário

25.2r


Guias

Exercício

formulário


Guias

Exercício

Um guia de onda circular está preenchido com um material não magnético e opera a 10 GHz. Sabendo que a

frequência de corte mais baixa do guia é 25% inferior a f e que a velocidade de fase do modo correspondente

é igual a , determine o diâmetro do guia e a permitividade relativa do material que o preenche.

formulário

32c


Guias

Exercício

Um guia de onda circular de raio 2 cm está preenchido com um dieléctrico com .

a) Determine os modos TM que se podem propagar neste guia quando a frequência de operação é 10 GHz.

b) Sabendo que neste guia apenas se propaga um modo do tipo TM, e que o modo TM seguinte sofre uma

atenuação de 100 Np/m, determine a frequência de operação.

formulário

25.2r


Guias

Exercício

formulário

análise anterior

0p1m 1n

ba

modos TMmnp

modos TEmnp 1p0ou0 nm


Guias

Exercício

formulário

análise anterior

0p1m 1n

ba

modos TMmnp

modos TEmnp 1p0ou0 nm


Guias

Exercício

Uma cavidade cilíndrica circular tem raio a e comprimento d. Qual deverá ser a relação entre a e d para que

a) os modos TM e TE dominantes sejam degenerados;

b) o modo dominante seja um modo TE.

formulário

análise anterior

modo TM dominante modo TM010 modo TE dominante modo TE111

aTM4048.2

010

22

111

8412.11

daTE


Guias

Exercício

Uma cavidade cilíndrica circular tem um comprimento igual ao seu diâmetro e está preenchida com ar.

Sabendo que o modo dominante oscila à frequência de 4 GHz, determine as dimensões da cavidade.

formulário

análise anterior

modo TM dominante modo TM010 modo TE dominante modo TE111

aTM4048.2

010

22

111

8412.11

daTE


Guias

Guias dieléctricos planares

materiais sem perdas 0


W

z

y

x

b

2n

1n

2n

21 nn

bW 0x


Guias

Guias dieléctricos planares – condições fronteira

condições fronteira:

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

0s

0sJ

sn

sn

n

n

JHHa

DDa

BBa

EEa

21

21

21

21

ˆ

ˆ0ˆ0ˆ

dieléctricos:

contínuosecontínuose

xz

xz

HHEE

2em by

contínuacontínuacontínua

contínua

tan

tan

HDBE

normal

normal


Guias

Guias dieléctricos planares – determinação dos campos


222 h

1. resolver

z

z

eyxHzyxH

eyxEzyxE

,,,

,,,0

0

0

0

022

02

022

02

zz

zz

Hhdy

Hd

Ehdy

Ed

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

dydE

hE

dydH

hjE

dydH

hH

dydE

hjH

zy

zx

zy

zx

0

20

0

20

0

20

0

20

2meio,

1meio,2

22

2

12

2

nc

nch

21h

22h

0x


Guias


0

0

022

02

022

02

zz

zz

Hhdy

Hd

Ehdy

Ed

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

2meio,1meio,

22

212

hhh

resolver

022

2

hdyd

solução geral: 02 h

jh

realh hyBhyA cossin

02 h yy DeCe

meio 1

meio 2

real1h

jh 222

2 h

2

222

2

122

1

nc

nc

h

21

22

21

2

hnnc


Guias

Valores limites da constante de fase

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

modos em propagação j

212

22

211

221

cn

cnh

21

2

1 hnc

22

2

n

c

21 nc

nc

1n

c

2nc

21 nn


Guias

Determinação das componentes longitudinais

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

yhByhA 11 cossin

yy DeCe

meio 1

meio 2

ondas TM 0zE

ondas TE 0zH


2 emcontínuose byHE zz

2,

2,cossin

2,

11

byDe

byyhByhA

byCe

y

y

y

decaimento exponencial no meio 2

2 emcontínua by

2cos

2sin

2cos

2sin

112

112

bhBbhADe

bhBbhACe

b

b


Guias

Determinação das componentes longitudinais

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

2cos

2sin

2cos

2sin

112

112

bhBbhADe

bhBbhACe

b

b

211

211

2cos

2sin

2cos

2sin

b

b

ebhBbhAD

ebhBbhAC

2,

2cos

2sin

2,cossin

2,

2cos

2sin

211

11

211

byebhBbhA

byyhByhA

byebhBbhA

yby

by

2,

2,cossin

2,

11

byDe

byyhByhA

byCe

y

y

y


Guias

Modos pares e ímpares

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

2,

2cos

2sin

2,cossin

2,

2cos

2sin

211

11

211

byebhBbhA

byyhByhA

byebhBbhA

yby

by

ondas TM 0zE

ondas TE 0zH

modos pares

2,

2cos

2,cos

2,

2cos

21

1

21

par

byebhB

byyhB

byebhB

by

by

modos ímpares

2,

2sin

2,sin

2,

2sin

21

1

21

ímpar

byebhA

byyhA

byebhA

by

by

0A 0B

ondas TM ímpares ímpar0 zE

ondas TM pares par0 zE

ondas TE ímpares ímpar0 zH

ondas TE pares par0 zH


Guias

Modos TM pares

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

2,

2cos

2,cos

2,

2cos

21

1

21

par

byebhB

byyhB

byebhB

by

by

ondas TM pares par0 zEe00 zH

dydE

hE

dydH

hjE

dydH

hH

dydE

hjH

zy

zx

zy

zx

0

20

0

20

0

20

0

20

0

0

2,

2cos

2,sin

2,

2cos

212

11

1

212

0

byebhBj

byyhBh

j

byebhBj

H

by

by

x

2,

2cos

2,sin

2,

2cos

21

11

21

0

byebhBj

byyhBhj

byebhBj

E

by

by

y

condições fronteira 2 emcontínuo byH x

2sin

2cos 1

1

112 bhBh

jbhBj


Guias

Modos TM pares – relação característica

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

2sin

2cos 1

1

112 bhBh

jbhBj

2cot 1

1

21

bhh

rrn

1se r

r

2cot 1

2

1

21

bhnnh

21

22

21

2

hnnc

2

cot 11

21

22

21

22

2

1 bhhhnn

cnn

relação característica

permite obter o valor característico h1 emfunção do guia e da frequência


Guias

Modos TM pares – soluções da equação característica

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

2

cot 11

21

22

21

22

2

1 bhhhnncn

n

relação característica

BxxxA cot22

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

equação do tipo:

apenas 3 soluções!(no caso representado) notas

2. a cada solução correspondeum modo em propagação

1. soluções em número finito

3. número de modos em propagaçãoaumenta com a frequência


Guias

Modos TM pares – exemplo

W

z

y

x

b

2n

1n

2n cmb

GHzf

24

25

01

02

21

1

2

nn

3.3051,1 h

2.8713,1 h

2.6062,1 h

1121

2

01.0cot3

5004 hhh


Guias

-0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Modo TM1 par – exemplo

W

z

y

x

b

2n

1n

2n cmb

GHzf

24

25

01

02

21

1

2

nn 3.3051,1 h 8541

21

22

21

2

hnnc

BEz0

2,

2cos

2,cos

2,

2cos

21

1

21

0

byebhB

byyhB

byebhB

Eby

by

z

dieléctrico interior

decaimento exponencialno meio 2

y


Guias

Modos pares TM1, TM2 e TM3 – exemplo

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

cmb

GHzf

24

25

01

02

2.8713,1 h

2.6062,1 h exemplo

8541

BEz0

BEz0

BEz0

modo TM1

modo TM2

modo TM3

3.3051,1 h

2523

5.6742

taxa de decaimentodiminui com o aumento da ordemdo modo


Guias

Variação do modos TM1 par com a frequência– exemplo

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

cmb 24 01

02

3121,1 h

3.3051,1 hexemplo

5.1201

BEz0modo TM1

2641,1 h

2.36141

8541

frequência de corte

modo TM1

modo TM1

GHz8f

GHz25f

GHz100f

BEz0

BEz0

taxa de decaimentodiminui com a diminuição da frequência

0 onda não confinada ao guiase


Guias

Modos TM par – frequência de corte

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

condição de corte: 0

2

222

n

c 0

2

22

n

c

22

21

221 nn

ch

2

122

1

n

ch

22

211 nn

ch

2cot 1

2

1

21

bhnnh 0

2cot 1

bh0 ,2,1,21

21

nnbh

,2,1,21

22

21

nnnb

cnf parTMc


Guias

Modos TM par – modo dominante

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

,2,1,21

22

21

nnnb

cnf parTMc

frequência de corte aumenta à medidaque a largura do guia diminui

modo TM par dominante modo TM1 par

22

2121 nnb

cf parTMc

modo TM par seguinte modo TM2 par

22

212

32 nnb

cf parTMc

propagação de apenas um modo TM par se

ff parTMc 2

22

212

3

nnf

cb


Guias

Frequência de corte dos modos TM par – exemplo

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

,2,1,21

22

21

nnnb

cnf parTMc

cmb

GHzf

24

25

01

02

GHz3.41

parTMcf

GHz7.213

parTMcf

GHz132

parTMcf

GHz3.304

parTMcf

modos em propagação


Guias

Guias dieléctricos planares – resumo

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

2cot 1

1

2

1

2 bhhnn

22

21

21

nnb

cnfc

2cot 1

1bh

h

2tan 1

1

2

1

2 bhhnn

22

21

1

nnb

cnfc

2tan 1

1bh

h

MODOS RELAÇÃO CARACTERÍSTICA

FREQUÊNCIA DE CORTE

PARES

TM

TE

ÍMPARES

TM

TE

21

22

21

2

hnnc

,2,1n


Guias

Guias dieléctricos planares – modos dominantes

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

TM1 ímpar TM1 par TM2 ímpar 1º 2º 3º

…

22

21

21

nnb

cnfc

22

21

1

nnb

cnfc

,2,1n

modos pares

modos ímpares

TE1 ímpar TE1 par TE2 ímpar

modos dominantes 0cf

estão sempre presentes

22

212 nnb

cfc

regime “monomodo”: 22

212 nnb

cf


Guias

Guias dieléctricos planares – regime monomodo

W

z

y

x

b

2n

1n

2n regime “monomodo”: 2

2212 nnb

cf

exemplo

cm221

1

2

bnn

GHz33.4f


Guias

Guias dieléctricos planares – reflexão interna total

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

n1

n2

n2

i

z

ar

21 nn

cossin 1ni

1

21sinnnreflexão interna total

1

2sinnn

2

1

21cos

nn

22

21sin nni

notas

1. abertura numérica (NA)

2. ângulo de aceitação

22

21 nn

NAA1sin


Guias

Reflexão interna total – modos permitidos

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

A

B

C

1n

2nfrentes de onda

C mesmo após a reflexão

A e C estão na mesma frente de onda

2demúltiplo AC

BCAB lklkAC 11

propagação ao longo de distância l onda adquire fase

em cada reflexão onda adquire fase

BCAB llkA 12

lk1 lnc 1

nllnc BCAB 221


Guias

Reflexão interna total – modos permitidos

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

A

B

C

1n

2n

cosBClb cosblBC

2cosBCAB ll

2coscos

b

12coscos

bll BCAB cos2b

b

nllnc BCAB 221 nbn

c cos1


Guias

Reflexão interna total – fase do coeficiente de reflexão

A

B

C

1n

2n

b

incidência oblíqua:

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos2

2

1

nnjt

2

222

11

22

2211

sincos

sincos

nnjn

nnjn

2

222

1122

22

2211

22

||sincos

sincos

nnjnn

nnjnn

cossin

tan21

22

2211

nnn

cos

sintan2 2

2

22

22111

|| nnnn

nota

z

y

polarização xEE x ˆ 0zE onda TE

polarização || xHH x ˆ 0zH onda TM

TE

TM


Guias

Reflexão interna total – equação para os modos permitidos

A

B

C

1n

2n

b

cossin

tan21

22

2211

nnn

TE

cos

sintan2 2

2

22

22111

nnnn

TM

z

y nbn

c cos1 ,2,1n

TEmodos,

cossin

tan2cos1

22

2211

1

nn

nnbn

c

TMmodos,1cos

sintan2cos 2

2

22

22111

1

n

nnnn

bnc

só se propagam os modosque satisfazem estas equações


Guias

Reflexão interna total – equações características

A

B

C

1n

2n

b z

y

TEmodos,

cossin

tan2cos1

22

2211

1

nn

nnbn

c

TMmodos,1cos

sintan2cos 2

2

22

22111

1

n

nnnn

bnc

óptica geométrica:

análise modal:

2cot 1

1

2

1

221

22

21

2 bhhnnhnn

c

2cot 1

121

22

21

2 bhhhnnc

2tan 1

1

2

1

221

22

21

2 bhhnnhnn

c

2tan 1

121

22

21

2 bhhhnnc

,2,1n

modos TM pares

modos TE pares

modos TM ímpares

modos TE ímparesEstes resultados serão equivalentes?


Guias

z

y

Equivalência entre as duas abordagens – modos TE

2cot 1

1bhh

2tan 1

1bhh

TE pares

TE ímpares

nn

nnbn

c

cossin

tan2cos1

22

2211

1

óptica geométrica

análise modal( no núcleo )

modos TE ímpares:

zjx eyhA

hjE 1

1

0 cos

zyhjzyhjx eeA

hjE 11

1

0

2

2cos

jj ee

zync

zyh

sincos11

sin

cos

1

11

nc

nc

h

n

hcn

bh

1

22

21

1 tan2

modos TE pares:

zjx eyhB

hjE 1

1

0 sin

zyhjzyhj eeBh

j 11

1

0

2 válida para todos os modos TE


Guias

Reflexão interna total – equivalência entre as duas abordagens

2cot 1

1bhh

2tan 1

1bhh

pares

ímpares

n

nnn

bnc

cossin

tan2cos1

22

2211

1

óptica geométrica

análise modalmodos TE

n

h

nc

bh

1

2

22

11 tan2

nh

bh

1

11 tan2

2

222

n

c

22tan 1

1bhnh

12,cot2,tan

2tan

mnmn

n

ímpar,

2cot

par,2

tan

11

11

nbhh

nbhh

equação obtida usando óptica geométrica é equivalenteàs equações caracteristicas da análise modal


Guias

Distorção intermodal

n1

n2

n2

2

11ffv c

g análise modal diferentes modos propagam-se com velocidades diferentes

propagam-se no meio 1 comvelocidade 1ncv

óptica geométrica modos representados por vectores que indicama direcção de propagação de ondas planas

distância menora percorrer

distância maiora percorrer

tempos diferentes vlt

componentes do sinal propagadas nos diferentes modossão recebidas em instantes de tempo diferentes

distorção do sinal

distorção


Guias

Guias com índice de refracção gradual

n1

n2

n2

y

n n1 n2

“step-index”

n1

n2

n2

y

n n1 n2

“graded-index”

ncv velocidade é menor na região central

distância e velocidade menores distância e velocidade maiorestempos (aproximadamente) iguais

diminui a distorção


Guias

Guias dieléctricos circulares – fibras ópticas

z

n1 a

n2

materiais sem perdas


geometria circular coordenadas cilíndricas


Guias

Guias dieléctricos circulares – condições fronteira

z

n1 a

n2

contínuotanE contínuotanHe


arHH

arEE

z

z

emcontínuose

emcontínuose00

00

coordenadas cilíndricas

zzr ezEErEE

ˆˆˆ 000

zzr ezHHrHH

ˆˆˆ 000


Guias

Guias dieléctricos circulares – condições fronteira

z

n1 a

n2


222 h

1. resolver

0

00202

0202

zzr

zzr

HhH

EhE

2

2

22 11

rr

rrrr

rHjE

rhE

Hr

jr

Eh

E

rEjH

rhH

Er

jr

Hh

H

zz

zzr

zz

zzr

00

20

00

20

00

20

00

20

1

1

1

1

arnc

arnch

,

,2

22

2

12

2

21h

22h


Guias

Guias dieléctricos circulares – equação de onda

z

n1 a

n2

resolver

0

00202

0202

zzr

zzr

HhH

EhE

arharhh

,,

22

212022 hr

rRr,

jnAe

02222

22 rRnrh

drrdRr

drrRdr equação diferencial de Bessel

solução geral: hrJArR n (se região de interesse incluir a origem) 02 h realh

02 h jh rCKrIBrR nn


funções de Besselmodificadas de1ª espécie

funções de Besselmodificadas de2ª espécie


Guias

Funções de Bessel modificadas de 1ª espécie

z

n1 a

n2

para n inteiro

0

2

!!2

k

kn

nn

n knkxjxJjxI

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

2

4

6

8

10

12

x

0I

1I

2I

3I

xInxlim

não deve fazer parte da

solução quando a região de

interesse incluir o infinito

nI


Guias

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

2

4

6

8

10

12

x

Funções de Bessel modificadas de 2ª espécie

z

n1 a

n2

para n inteiro

0K

1K

2K

3K

xKnx 0

lim

não deve fazer parte da

solução quando a região de

interesse incluir a origem

nK

xIxIp

xK ppnpn

sin2lim

0lim

xKnx


Guias

Solução da equação de onda

z

n1 a

n2

hrJArR nrealh

jh rCKrIBrR nn

rRr,

jnAe

rlim 0limr

onda guiada real1h

jh 2

arerBKarerhAJ

r jnn

jnn

,,

, 1

21

22

21

2

hnnc

22

22

1

2

1

n

chn

c

21 nc

nc

21 nn

0lim r


Guias

Componentes longitudinais

z

n1 a

n2

rRr,

jnAe

bainha

arerBKarerhAJ

r jnn

jnn

,,

, 1

jnnz

jnnz

erhBJHerhAJE

10

10

núcleo

jn

nz

jnnz

erDKHerCKE

0

0

modos TM 00 zH

modos TE 00 zE

modos HE e EH 0e0 00 zz HE

nota:

modos híbridos


Guias

Componentes transversais – núcleo

z

n1 a

n2

jnnz

jnnz

erhBJHerhAJE

10

10

rHjE

rhE

Hr

jr

Eh

E

rEjH

rhH

Er

jr

Hh

H

zz

zzr

zz

zzr

00

20

00

20

00

20

00

20

1

1

1

1

1hh

jn

nnr erhAJr

nrhBJhjh

H

)()('1

11

1121

0

jnnn erhAJhjrhBJ

rn

hH

)(')(1

111121

0

jn

nnr erhBJr

nrhAJhjh

E

)()('1

10

1121

0

jnnn erhBJhjrhAJ

rn

hE

)(')(1

110121

0


Guias

Componentes transversais – bainha

z

n1 a

n2

rHjE

rhE

Hr

jr

Eh

E

rEjH

rhH

Er

jr

Hh

H

zz

zzr

zz

zzr

00

20

00

20

00

20

00

20

1

1

1

1

jh

jn

nz

jnnz

erDKHerCKE

0

0

jnnnr erCK

rnrDKjH

)()('1 2

20

jnnn erCKjrDK

rnH

)(')(1

220

jnnnr erDK

rnrCKjE

)()('1 0

20

jnnn erDKjrCK

rnE

)(')(1

020


Guias

Aplicação das condições fronteira

z

n1 a

n2

arHH

arEE

z

z

emcontínuose

emcontínuose00

00

0'' 021

1

012

1

aKjDaKanCahJ

hjBahJ

ahnA nnnn

bainha,núcleo,10

jnn

jnn

z erCKerhAJE aCKahAJ nn 1arEz emcontínuo0

01 aCKahAJ nn

de forma semelhante 01 aDKahBJ nn

0'' 221

1

112

1

aKjCaKanDahJ

hjAahJ

ahnB nnnn


Guias

Aplicação das condições fronteira

z

n1 a

n2 0'' 0

211

012

1

aKjDaKanCahJ

hjBahJ

ahnA nnnn

01 aCKahAJ nn

notação matricial

01 aDKahBJ nn

0'' 221

1

112

1

aKjCaKanDahJ

hjAahJ

ahnB nnnn

0

''

''

0000

021

1

012

1

22

121

11

1

1

1

DCBA

aKjaKanahJ

hjahJ

ahn

aKanaKjahJ

ahnahJ

hj

aKahJaKahJ

nnnn

nnnn

nn

nn


Guias

Relação característica

z

n1 a

n2 solução não trivial

0

''

''

0000

021

1

012

1

22

121

11

1

1

1

DCBA

aKjaKanahJ

hjahJ

ahn

aKanaKjahJ

ahnahJ

hj

aKahJaKahJ

nnnn

nnnn

nn

nn

0

''

''

0000

021

1

012

1

22

121

11

1

1

1

aKjaKanahJ

hjahJ

ahn

aKanaKjahJ

ahnahJ

hj

aKahJaKahJ

nnnn

nnnn

nn

nn

2

221

222

11

121

11

12 11

)()('

)()('

)()('

)()('

han

aKaK

nahJh

ahJn

aKaK

ahJhahJ

c n

n

n

n

n

n

n

n relação característica paramodos TM, TE, HE e EH


Guias

Relação característica – modos TM e TE

z

n1 a

n2

para n=0

0

'0'0

0'0'

0000

00

101

0

02

101

1

010

010

DCBA

aKjahJh

j

aKjahJh

jaKahJ

aKahJ

0'' 0

210

1

1

010

CA

aKahJh

aKahJ

0'1'1

0101

010

DB

aKahJh

aKahJ

solução não trivial B=D=0 possível

modos TM

solução não trivial A=C=0 possível

modos TE

0zH 0zE

0)(

)()(

)(

0

122

101

1121

aKaK

nahJh

ahJn

0

)()(

)()(

0

1

101

11

aKaK

ahJhahJ


Guias

Frequência de corte

z

n1 a

n2

condição de corte 0

0)( 10 ahJ

0)( 11 ahJ

0)( 1 ahJn

)(1

)(1 11

1122

21 ahJ

nahahJ

nn

nn

n modo corte

0 TE0p TM0p

1 HE1p EH1p

2

EHnp

HEnp

notas

1. frequência de corte do modo HE11 =0

2. modos seguintes: TE01 e TM01 (frequência de corte associada ao 1º zero de J0 2.4048)


Guias

Frequência normalizada

z

n1 a

n2

frequência normalizada(parâmetro V)

2221

2 ahV 22

21

2

nnca

2

122

1

n

ch

2

222

n

c

22

21

0

2 nnaV

corte 0 corte1corte ahV

comprimento de onda no vazio

011 cfHE

4048.2e 10101 ahTETM

regime monomodo 4048.2V

regime multimodo 4048.2V

nota

propagação dos modos:


Guias

Constante de fase normalizada versus frequência normalizada

Para uma fibra multimodo com um elevado número de modos, o número de modos M é aproximadamente:

nota

2

2VM


Guias

Exercício

Considere um guia dieléctrico planar constituído por um dieléctrico com permitividade relativa 4 e espessura2 cm que está colocado no ar. Determine a percentagem de potência média propagada no meio 2 para osmodos TM pares em propagação quando a frequência de operação é 25 GHz

formulário:


Guias

Exercício

propagação

22

21

21

nnb

cnfc

,2,1n

cff

modos pares

4.3n

GHz25fcm2

12

2

1

bnn

3,2,1n

propagam-se os modos TM1, TM2 e TM3


Guias

Exercício

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

A

medmed AdSP

*21 HESmed Re

Ayxmed dAEE

Z221

21P Re

00 xE

zjyy eEE 0 0

yy EE

21 ffZ cTM

2meio,

1meio,20

0

2,

2cos

2,sin

2,

2cos

21

11

21

0

byebhBj

byyhBhj

byebhBj

E

by

by

y


Guias

Exercício

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

potência no meio 2

2

2

12

2

211

220 sin1

2P

b

b

cmed dyyh

ff

hnBW 2

21

12

211

220

42sin

21

2

b

b

c

hyhy

ff

hnBW

1

12

211

220

2sin

21

2 hbhb

ff

hnBW c

potência no meio 1

2

222

22

122

22

220

2cos1

2P

b

by

bby

cmed dyedyebh

ff

nBW

2cos1

212

2

32

220 bh

ff

nBW c

potência propagada no meio 2 não é nula


Guias

Exercício

W

z

y

x

b

2n

1n

2n

exemplo

percentagem de potência no meio 2:

otalmed

med

t,

2meio,

PP

311

1

12

13

2

12

32

12

2sin

22

cos

2cos

hnbh

nhb

n

bhn

bh

cmb

GHzf

24

25

01

02

modo TM1 par

8541 3.3051,1 h

modo TM2 par2.6062,1 h

5.6742

modo TM3 par2.8713,1 h

2523

%72.0t,

2meio,

PP

otalmed

med %22.5t,

2meio,

PP

otalmed

med %2.56t,

2meio,

PP

otalmed

med

GHz3.41

parTMcf GHz7.213

parTMcf GHz132

parTMcf

ondas menos confinadas ao dieléctrico interiorà medida que o modo se aproxima do corte

Documents

Guias de Onda e Cavidadesmines/OE/Teoricas/Guias/OE_guias.pdf · Faculdade de Engenharia Guias Características dos modos em propagação x y z f f c j 1 2 f f c modo em propagação: