Guilherme Neves - Manual de Lógica para Concursos - Ano 2010

G u il h e r m e N e v e s

MANUAL DE LOGICA PARA CONCURSOS

I a edição

RecifeNUCE2010

M ANUAL DE LÓGICA PARA CONCURSOS

P r e f á c io

Não poucas vezes na história do pensamento, acontece que, quando surge um poderoso método novo, o estudo daqueles problemas que podem ser tratados com este método avança rapidamente e atrai para si as atenções.

A Lógica é milenar, mas, graças à introdução da Lógica Aristotélica nos concursos públicos, ela tornou-se muito difundida e provocou uma atenção espetacular e o interesse de muitos professores e alunos.

Guilherme Neves lança seu primeiro livro. A facilidade que ele tem em desvendar os enigmas lógicos e apresentar novas soluções para os problemas provocará muita descoberta e virão muitos livros, depois.

Eu o conheço bem. Primeiro como aluno brilhante. Depois como professor extraordinário, que eu tive a felicidade de lançar.

Eu tive a oportunidade de ler a “construção” do livro, passo a passo. É um livro em que sobressai a síntese, a organização, a inteligência e a objetividade. Posso afirmar que este livro merece leitura obrigatória para quem vai prestar um concurso.

Novembro de 2009.

Tácio Maciel

Su m á r i o

Dedicatória ....................................................................................... 7

Agradecimentos ............................................................................... 9

1 1 P r o p o s i ç õ e s .................................................................... 13Exercidos resolvidos ............................................................................. 29Exercícios propostos ................................................ ............................ 48

2 | A r g u m e n t o ............................................................................. 55Exercícios resolvidos ............................................................................. 59Exercícios propostos ............................................................................. 76

3 | C o n d i ç ã o s u f i c i e n t e e c o n d i ç ã o n e c e s s á r i a ..... 95Exercícios resolvidos ............................................................................. 96Exercícios propostos ............................................................................. 98

4 | T a u t o l o g i a , C o n t r a d i ç ã o e C o n t i n g ê n c i a ....... 103Exercícios resolvidos .................................. ........................................ 104

5 | E q u i v a l ê n c i a s LÓGICAS .................................................. 111Exercícios resolvidos .......................................................................... 113Exercícios propostos .......................................................................... 120

6 | N e g a ç ã o ................................................................................ 125Exercícios resolvidos .......................................................................... 13 2Exercícios propostos .......................................................................... 139

7 | V e r d a d e s e M e n t i r a s : C u l p a d o s e In o c e n t e s .... 145Exercícios resolvidos .......................................................................... 147Exercícios propostos .................................. ....................................... 158

7

8 | D i a g r a m a s d e E u l e r -V e n n .......................................... 169Exercícios resolvidos .......................................................................... *7 2Exercícios propostos ................................................................................. - . *77

9 | P r o b l e m a s g e r a i s d e R a c i o c í n i o L ó g i c o ............. 183Exercícios propostos .......................................................................... 191

10 | R a c i o c í n i o l ó g i c o s e q ü e n c i a l ............................... 203v Exercícios resolvidos .......................................................................... 204

Exercícios propostos .......................................................................... 212

1 1 | E x e r c í c i o s g e r a i s .......................................................... 233Exercícios resolvidos .......................................................................... 233Exercícios propostos .................................................................... ...... 245

12 | Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s .......................... .................. 251

B i b l i o g r a f i a ............................................................................ 260

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D e d i c a t ó r i a

Dedico este livro:

À minha amada esposa, Manuella, pelo seu apoio, amor, e por ter estado ao meu lado em todos os momentos que despendi para escrevê-lo.

Ao meu filho Guilherme, por ser a minha inspiração.

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A g r a d e c i m e n t o s

Quem escreve um livro tem uma dívida de gratidão com um grande número de pessoas pela assistência na pesquisa, ideias, revisão, edição e publicação. Agradeço primeiramente a Deus. Ao ilustre amigo Tácio Maciel, a quem tenho inestimável admiração, por ter sidoo primeiro a ler esta obra e pelas inúmeras sugestões. Ao professor Carlos Murakami, por ter me apresentado à beleza da matemática e por nunca ter me dado as soluções dos problemas que me propunha. Aos meus pais, Abelardo e Flávia, por terem sempre me apoiado em tudo o que se referiu à minha educação. Ao meu irmão, Abelardo, por ter lido todos os meus rascunhos que deram origem a este livro. Ao Núcleo de Concursos Especial (NUCE), por todo o apoio que me foi dado para a elaboração deste livro. Aos amigos do NUCE Aquiles Albino, Manoela França, Antônio Cláudio. Agradeço ao amigo Gabriel Maciel Fontes pela revisão do livro. A todos os meus alunos e ex-alunos por tudo o que aprendo todos os dias. A todos os envolvidos na realização desta obra, os meus mais sinceros agradecimentos.

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i I P r o p o s i ç õ e s

“A lógica lhe dará clareza de pensam ento, a habilidade de ver seu caminho através de um quebra- cabeça.> o hábito de arranjar suas ideias num a fo rm a acessível e ordenada, e, m ais valioso que tudo, o p o d er de detectar falácias e despedaçar os argumentos ilógicos e inconsistentes que você encontrará tão facilm ente nos livros, jornais, na linguagem quotidiana e mesmo nos sermões e que tão facilm ente enganam aqueles que nunca tiveram o trabalho de instruir-se nesta fascinante a rte”

Le w is C a rro l l

Chama-se proposição, ou sentença, toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa, mas não as duas. Letras são usualmente utüizadas para denotar proposições. As letras convencionais para esse propósito são p, q, r, s... O valor lógico de uma proposição verdadeira é representado por V; e o de uma proposição falsa, por F.

São exemplos de proposições:

p ; Todo recifense é pernambucano. q ; O Brasil está situado na Europa, s : Existe vida fora da Terra.

A proposição p é verdadeira (V); a proposição q é falsa (F); e a proposição 5 não sabemos o seu valor lógico, mas ela, apesar de ainda não sabermos classificá-la, possui um valor lógico V ou F, sendo, portanto, uma proposição.

Considere as frases:

1. Qual seu nome?2. Leia isto atenciosamente.3 .X + 1 = 24. Eu sou mentiroso.

As frases acima não são consideradas proposições lógicas. As frases1 e 2 não são declarativas, são interrogativa e imperativa, respecti-

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Manual de Lógica para Concursos

vãmente. A frase 3 não é verdadeira nem falsa, pois não foi dado um valor para x (sentença aberta ou função proposicional). A frase4 não pode ser classificada em V ou F, pois teríamos um paradoxo. Suponha que tenhamos imposto que seu valor lógico seja V. Seria um absurdo, pois um mentiroso não declara verdade. Suponha agora que o seu valor lógico seja F. Se é falso dizer que ele é um mentiroso, concluímos que ele é veraz. Absurdo novamente, pois a proposição é falsa. A frase 4 não pode ser verdadeira nem falsa, portanto não é uma proposição lógica.

Le is d o p e n s a m e n t o

A Lógica tratada neste livro é a chamada Lógica Aristotélica (Lógica Formal, Lógica da Forma). Cabe à Lógica Formal ignorar o conteúdo das proposições para concentrar-se apenas em sua forma. Toda a sua estrutura é fundamentada nas seguintes Leis do Pensamento.

1. Princípio da identidadeSe uma proposição qualquer é verdadeira, então ela é verdadeira. “Cada coisa é aquilo que é.” (Gottfried Leibniz)

2. Princípio do terceiro excluídoToda proposição tem um dos dois valores lógicos: ou verdadeiro ou falso, excluindo-se qualquer outro.“Quem diz de uma coisa que é ou que não é ou dirá o verdadeiro ou dirá o falso. Mas se existisse um termo médio entre os dois contraditórios nem do ser nem do não ser poder-se-ia dizer que é o que não é.” (Aristóteles)

3. Princípio de não contradiçãoUma proposição não pode ser, simultaneamente, verdadeira e falsa. “Efetivamente, é impossível a quem quer que seja acreditar que uma mesma coisa seja e não seja.” (Aristóteles)

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Guilherme Neves

O princípio da identidade afirma que uma proposição não pode ser “mais” verdadeira do que outra. Não existem patamares de verdade. Na Lógica Aristotélica, todas as proposições verdadeiras, assim como todas as proposições falsas, estão em um mesmo nível.

O princípio do terceiro excluído estabelece que só existem dois valores lógicos. Assim, por exemplo, a proposição 5 (“Existe vida fora da Terra”) só pode assumir uma das duas possibilidades, V ou F, excluindo-se um hipotético valor lógico “talvez”, “não lembro” ou “pode ser”

O princípio de não contradição decreta que uma proposição não pode ser simultaneamente V e F. Assim, se uma proposição é verdadeira, já temos certeza de que ela não pode ser falsa, e reciprocamente.

O valor lógico de um a proposição p é indicado por V(p). Por exemplo, se a proposição^? for falsa, indicamos V(p) = F.

Observação: A Lógica Fuzzy é usada em inteligência artificial. Nela, o valor lógico de um a proposição é qualquer número real entre 0 e 1, inclusive. Uma proposição falsa tem o valor lógico 0, e uma proposição verdadeira tem valor lógico 1. Valores lógicos entre 0 e 1 indicam vários graus de verdade. Por exemplo, o valor lógico 0,8 para a proposição “Fred é feliz” significa que Fred é feliz a maior parte do tempo, e o valor lógico 0,4 para a proposição “João é feliz” significa que João é feliz um pouco menos que a m etade do tempo. O valor lógico 0,95 para a proposição “Amanhã vai chover” significa que provavelmente irá chover amanhã, e o valor lógico 0,25 para a mesma proposição significa que provavelmente não irá chover amanhã.

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M o d if ic a d o r

Dada uma proposição p qualquer, uma outra proposição chamada negação de p pode ser formada escrevendo-se £<É falso que...” antes de p ou, se possível, inserindo a palavra “não”. Simbolicamente, a negação de p é designada por ~p ou -»p . Para que ~p seja uma proposição, devemos ser capazes de classificá-la em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar) o seguinte critério de

' classificação: A proposição ~p tem sempre o valor lógico oposto de p, isto é> ~p é verdadeira quando p é falsa, e ~p é falsa quando p é verdadeira.

Tabela-verdade 1

Exemplo:p: Paris está na França.

~p\ É falso que Paris está na França.~p: Paris não está na França.~p: Não é verdade que Paris está na França.

A tabela-verdade dispõe as relações entre os valores lógicos das proposições. Tabelas-verdades são especialmente usadas para determinar os valores lógicos de proposições construídas a partir de proposições simples. As tabelas de valores têm longa história, mas receberam certo destaque desde os trabalhos (independentes) de Ludwig Wittgenstein (1889-1951) e de Emil L. Post (1897-1954). A tabela 1 mostra todas as possibilidades de valores de uma proposição e os correspondentes valores da sua negação.A negação de uma proposição pode ser considerada o resultado de

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Guilherme Neves

uma operação do “operador negação” de uma proposição. O operador negação constrói uma nova proposição a partir de uma proposição que já existe. Vamos estudar agora operadores lógicos que são usados para formar novas proposições a partir de duas ou mais proposições preexistentes. Esses operadores lógicos são chamados conectivos.

P r o p o s i ç õ e s s i m p l e s e c o m p o s t a s

Estudaremos métodos de produzir novas proposições a partir de proposições simples. Uma proposição é simples quando declara algo sem o uso de conectivos. Esses métodos foram discutidos pelo matemático inglês George Boole, em 1854, no seu livro As Leis do Pensamento. Diversas declarações matemáticas são obtidas combinando proposições.

Exemplos:p: O número 2 é primo. q: 15 : 3 = 6r: O retângulo é um polígono regular.

A partir de proposições simples dadas podemos construir novas proposições compostas mediante o emprego de operadores lógicos chamados conectivos, como “e” “ou” e os condicionais “se... então” "se e somente se”. Observe que o modificador “não” não é um conectivo. “Não” é um advérbio de negação. A expressão “não” não conecta duas proposições.

Exemplos:p: A Lua é um satélite da Terra e Recife é a capital de Pernambuco. q: Carlos é solteiro ou Pedro é estudante.

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r: Se um quadrilátero tem todos os lados congruentes, então é um losango.s: Um quadrilátero é um quadrado se e somente se for retângulo e losango.

Obs.: A proposição “Guilherme e Tácio são professores” é uma proposição simples. O sujeito dessa proposição, porém, é composto. A proposição “Guilherme é professor e Tácio é professor” é uma proposição composta.

C o n ju n ç ã o p a q

Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra “e” para formar uma proposição composta, que é chamada de conjunção das proposições originais. Simbolicamente representamos a conjunção de duas proposições p e q por p/\q.

Vamos postular um critério para estabelecer o valor lógico (V ou F) de uma conjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q :

—>A conjunção p/\q é verdadeira se p e q são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa então p/\q é falsa.

Wmê f i i i l ! pmV V VV F FF V FF F F

Tabela-verdade 2

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Guilherme Neves

Exemplo:p: João é gordo e Mário é alto.

Suponha que a proposição "João é gordo" seja verdadeira e que Mário não seja alto. Dessa forma,

João é gordo e Mário é alto.V F

A conjunção "João é gordo e Mário é alto” é falsa, pois a proposição “Mário é alto” é falsa. A composta só seria verdadeira se ambas as proposições “João é gordo” e “Mário é alto” fossem verdadeiras.

_____________ F____________^João é gordo e Mário é alto.. _ , p

D is j u n ç ã o I n c x u s iv a p \/q

Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra “ou” para formar uma proposição composta que é chamada de disjunção inclusiva das proposições originais. Simbolicamente, a disjunção das proposições p e q é designada por pvq. O símbolo v é a inicial da palavra grega vel.Vamos postular um critério para decidir o valor lógico (V ou F) de uma disjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q :

—>A disjunção inclusiva pvq é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira;pvq é falsa se e somente se ambas p e q são falsas.

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Tabela-verdade 3

Exemplo:v p : Vou à festa ou não me chamo Fulano.

Considere que Fulano afirmou: Vou à festa ou não me chamo Fulano. Fulano foi à festa. Portanto, a proposição “Vou à festa” é verdadeira.A proposição "não me chamo Fulano” é falsa, pois quem a disse foi Fulano.Temos o seguinte esquema:

Vou à festa ou não me chamo Fulano.. _ . ^

A disjunção “Vou à festa ou não me chamo Fulano” só seria falsa se ambas as proposições “Vou à festa” e “Não me chamo Fulano” fossem falsas. Como a proposição “Vou à festa” é verdadeira, temos que a composta é verdadeira. Assim,

______________ V___________ _Vou à festa ou não me chamo Fulano. —_ . . ^ .

O uso do conectivo “ou” na disjunção inclusiva corresponde a um dos dois modos como a palavra “ou” é usada na Língua Portuguesa. A disjunção inclusiva é verdadeira quando pelo menos uma das duas

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Guilherme Neves

proposições for verdadeira ou quando ambas forem verdadeiras. A disjunção inclusiva é usada, por exemplo, na seguinte proposição:

Hoje é sexta-feira ou hoje está chovendo.

Nesse caso, poderíamos ter as duas proposições “Hoje é sexta-feira” e “Hoje está chovendo” verdadeiras. Não estamos afirmando que as duas são verdadeiras, mas que ambas poderiam ser verdadeiras. Por outro lado, estamos usando a disjunção exclusiva quando dizemos:

Ou hoje é sexta-feira ou sábado, mas não ambos.

Nesse caso, as duas proposições “Hoje é sexta-feira” e “Hoje é sábado” não podem ser simultaneamente verdadeiras. Como já observamos, o uso do conectivo ou em uma disjunção corresponde a um dos dois significados usados na Língua Portuguesa, denominados inclusivo e exclusivo. A disjunção inclusiva pvq é verdadeira quando pelo menos uma delas for verdadeira. Quando o “ou” exclusivo é usado para conectar as proposições p e q, a proposição “ou p ou q, mas não ambas” é obtida. A proposição é verdadeira quando p é verdadeira e q é falsa, ou quando p é falsa e q é verdadeira, e é falsa quando ambas, peq , são falsas ou ambas são verdadeiras.

D is j u n ç ã o E x c lu s iv a pwq

Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra “ou” para formar uma proposição composta que é chamada de disjunção exclusiva das proposições originais. Simbolicamente, a disjunção das proposições p e q é designada por p v q .

Vamos postular um critério para decidir o valor lógico (V ou F) de uma disjunção exclusiva a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q :

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—>A disjunção exclusiva pVq é verdadeira se exatamente uma delas p ou q for verdadeira, e falsa nos outros casos.

w m

Tabela-verdade 4

pvq

C o n d i c i o n a l p —>q

Quando duas proposições são conectadas com a palavra “se” antes da primeira e a inserção da palavra “então” entre elas, a proposição resultante é composta e é também chamada de implicação. Simbolicamente, p —>q. Em uma proposição condicional, o componente que se encontra entre o "se” e o “então” é chamado de antecedente e o componente que se encontra após a palavra “então” é chamado conseqüente. Por exemplo, na proposição “Se vou à praia, então tomo banho de mar”, “vou à praia” é o antecedente e “tomo banho de mar” é o conseqüente. Uma proposição condicional não afirma que o seu antecedente seja verdadeiro nem que o seu conseqüente seja verdadeiro. A condicional afirma que se, e este é um grande se, seu antecedente for verdadeiro, então seu conseqüente também será. O seu significado de uma condicional está na relação de implicação existente entre o antecedente e o conseqüente. Qualquer proposição p —>q é verdadeira quando tendo ocorrido p também ocorre q e falsa quando tendo ocorrido p não ocorre q. No entanto, se não ocorre p a condicionalp-^q é verdadeira qualquer que seja o valor verdade de q.

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Guilherme Neves

Vamos postular um critério para o valor lógico da implicação:

O condicional p~>q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa; caso contrário, p—>q é verdadeiro.

Í S K f l l B I É S HV V VV F FF V VF F V

Tabela-verdade 5

Obs.: O condicional também pode ser lido:—> p implica q —> Quando p> q.—> Sempre que p, q.—> p é condição suficiente para q.—> g é condição necessária para p.

Parece estranho ao estudante primário em Lógica que uma proposição p —><2, em que p e q são ambas falsas, torne essa composta condicional verdadeira. Tomaremos como exemplo da vida prática a seguinte proposição:

Se bebo, então não dirijo.Analisemos cada um dos casos da tabela-verdade 5.

Vr ....... * ....................- *Bebo ---- ► não dirijo.“ V

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Esse caso corresponde à primeira linha da tabela-verdade 5:

P

Queremos mostrar neste exemplo que é permitido ao motorista beber e não dirigir. Portanto, a composta condicional é verdadeira.

Bebo^ ~ \T

não dirijo.

Este caso corresponde à segunda linha da tabela-verdade 5.

J i f l l f f f l l S í i I S i i l IV p F

Quando dizemos que “não dirijo” é falsa, concluímos que “dirijo” é verdade. Portanto, o motorista bebe e dirige, o que não é permitido. A composta condicional nesse caso é falsa.

BeboF

não dirijo.

Esse caso corresponde à terceira linha da tabela-verdade 5.

l I S B i l t ■ l l s f i l fF V V

Como o antecedente “bebo” é falso, concluímos que o motorista não está bebendo. Portanto, o motorista não bebeu e não está dirigindo,

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Guilherme Neves

que é permitido. Portanto, a composta condicional é verdadeira.

E finalmente o último caso,

_________V_________Bebo ---- ► não dirijo.

F F

que corresponde à última linha da tabela-verdade 5.

_p—

O antecedente “bebo” é falso e, portanto, o motorista não bebeu. O conseqüente "não dirijo” é falso e, portanto, o motorista dirige. Conclusão: o motorista não bebeu e dirigiu, que é permitido. Portanto, a composta condicional é verdadeira.

Coloquemos um segundo exemplo para resumi-lo.Se Guilherme é recifense, então Guilherme é pernambucano.

Guilherme é recifense Guilherme é pernambucano ;1° caso verdadeira verdadeira2o caso verdadeira falsa3o caso falsa verdadeira4o caso falsa falsa

Analisemos cada um deles.

Io caso —» antecedente e conseqüente verdadeiros. Aqui, se efetivamente Guilherme for recifense e também for pernambucano, não há dúvida, a proposição condicional é considerada verdadeira.

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2o caso —> antecedente verdadeiro e conseqüente falso. Nessa situação, temos Guilherme como uma pessoa que nasceu no Recife e não nasceu em Pernambuco. A condicional é considerada falsa.3o caso —> antecedente falso e conseqüente verdadeiro. Guilherme não nasceu no Recife, mas nasceu em Pernambuco. Isso é totalmente permitido, visto que Guilherme poderia ter nascido em Petrolina, por exemplo. A proposição condicional é verdadeira.4o caso —> antecedente e conseqüente falsos. Guilherme não nasceu no Recife nem em Pernambuco. Situação totalmente aceitável, visto que Guilherme poderia ter nascido em qualquer outro lugar do mundo.

BICONDICIONAL p<r>q

Conectando duas proposições p, q através do conectivo bicondicional» obtemos uma nova proposição /><-><?, que se lê “p se e somente se q”. O bicondicional equipara-se à conjunção de dois condicionais p— q e q—>p> A proposição composta p<r>q é chamada de bicondicional e pode ser lida das seguintes maneiras:

p se e somente se q. q se e somente se p.p é condição necessária e suficiente para q. q é condição necessária e suficiente para p.Se p, então q e reciprocamente.Por exemplo, a proposição composta “Hoje é Natal se e somente se hoje é 25 de dezembro” significa que “Se hoje é Natal, então hoje é 25 de dezembro e se hoje é 25 de dezembro, então hoje é Natal”.Postulemos para o bicondicional p<-*q o seguinte critério de classificação: O bicondicional p< >q é verdadeiro quando p e q são ambos verdadeiros ou ambos falsos, e falso, quando p e q têm valores lógicos diferentes.

Guilherme Neves

w&VB

Tabela-verdade 6

No nosso exemplo acima,

Hoje é Natal —► hoje é 25 de dezembro.V

V

V

Hoje é Natal hoje é 25 de dezembro.F

F

F

Hoje é Natal hoje é 25 de dezembro.V

F

F

Hoje é Natal —► hoje é 25 de dezembro.

N ú m e r o d e l in h a s d e u m a t a b e l a -v e r d a d e

O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta com n proposições simples é 2n.Para uma proposição simples p, o número de linhas da tabela-verdade é 2, pois, pelas leis do pensamento, a proposição p só pode assumir um dos dois valores lógicos: V ou F.

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F

Para duas proposições p e q> o número de linhas da tabela-verdade é 22 = 4.

■ •V VV FF VF F

Para três proposições p, q e r , o número de linhas da tabela-verdade é 23 = 8.

■ymm " • ;

V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as proposições) representa uma valoração.

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Guilherme Neves

Exercícios resolvidos

1. (ICMS-SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica.

I. Que belo dia!II. Um excelente livro de raciocínio lógico.III. O jogo terminou empatado?IV. Existe vida em outros planetas do universo.V Escreva uma poesia.

A frase que não possui essa característica comum é aa) I. c) III. e) V.b) II. d) IV.

Resolução

A frase I é exclamativa. A frase II não possui predicado, não sendo assim uma oração. A frase III é interrogativa e a frase V é imperativa. Portanto, a característica comum entre as frases I, II, III e V é que elas não são proposições. A única proposição é a frase IV, pois é uma oração declarativa, que podemos classificar em V ou F, apesar de não sabermos o seu valor lógico.

Letra D

2. (BBl /2007/Cespe) Na lógica sentenciai, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As proposições são representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto — A, B, C, etc. Uma proposição da forma “A ou B” é F se A e B forem F,

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caso contrário é V; e uma proposição da forma “Se A então B” é F se A for V e B for F, caso contrário é V.

Considerando as informações contidas no texto acima, julgue o item subsequente.

1. Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. “A frase dentro destas aspas é uma mentira.”A expressão X + Y é positiva.O valor de V4+3=7.Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.O que é isto?

Resolução

“A frase dentro destas aspas é uma mentira.”É uma oração declarativa, mas não pode ser classificada em verdadeiro ou falso. Se tentarmos classificá-la como verdadeira, teremos uma contradição. Se classificarmos como falsa, temos uma nova contradição, pois é falso dizer que a frase dentro daquelas aspas é mentira, e, portanto, ela seria verdadeira. Logo, a frase “A frase dentro destas aspas é uma mentira” não é uma proposição lógica.

A expressão X + Y é positiva.É uma sentença aberta e não pode ser valorada em V ou F, pois não conhecemos os valores de X e Y.

As frases p: O valor de V4+3—7 e q: Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira são ambas proposições pois são orações declarativas e que assumem apenas um dos dois valores lógicos V ou F.

O que é isto?Ê uma frase interrogativa e, portanto, não é uma propoâição.O item está incorreto porque há exatamente duas proposições.

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3. (BB2/2007/Cespe) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, por exemplo, P, Q, R, etc. Se a conexão de duas proposições é feita pela preposição V*, simbolizada usualmente por a , então se obtém a forma PaQ, lida como "P e Q” e avaliada como V s e P e Q forem V, caso contrário, é F. Se a conexão for feita pela preposição "ou” simbolizada usualmente por v, então se obtém a forma PvQ, lida como “P ou Q” e avaliada como F se P e Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição é simbolizada por -»P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V.

A partir desses conceitos, julgue o próximo item.

1, Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:(I) O BB foi criado em 1980.(II) Faça seu trabalho corretamente.(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.

Resolução

As frases (I) e (III) são proposições, pois são orações declarativas. A frase (II) é imperativa e, portanto, não é uma proposição. O item está correto.

4. (ICMS-SP/2006/FCC) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no concurso”. Nessa proposição, o conectivo lógico é:

a) disjunção inclusiva.b) conjunção.c) disjunção exclusiva.d) condicional.e) bicondicional.

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O sentido da proposição do enunciado é o mesmo que o da proposição "Paula estuda e não passa no concurso". Sendo assim, o conectivo lógico é uma conjunção.

Letra B

5. (TCU/2004/Cespe) Considere que as letras P, Q e R representam proposições, e os símbolos , a e são operadores lógicos que constróem novas proposições e significam “não”, “e” e “então”, respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores estão definidos, para cada valoração atribuída às letras proposicionais, na tabela abaixo:

Resolução

1 IIII1J11I P—>0V V F V VV F F F FF V V F VF F V F V

Suponha que P representa a proposição "Hoje choveu", Q represente a proposição "José foi à praia" e R represente a proposição ”Maria foi ao comércio". Com base nessas informações e no texto, julgue os itens a seguir:

1. A sentença “Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia” pode ser corretamente representada por-»P—K-iRa-iQ)2. A sentença “Hoje choveu e José não foi à praia” pode ser correta

Guilherme Neves

mente representada por Pa-»Q3. Se a proposição “Hoje não choveu” for valorada como F e a proposição "José foi à praia" for valorada como V, então a sentença representada por -»P —» Q é falsa.4. O número de valorações possíveis para (Qa- iR) —» P é inferior a 9.

Resolução

1. A proposição “Hoje não choveu” é a negação da proposição P e deve ser representada por -«P. A sentença “Maria não foi ao comércio” é a negação de R e, portanto, é representada por -»R. Analogamente, a proposição “José não foi à praia” é representada por -«Q. Concluímos que a composta “Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia” é representada por -»P —» (~>Ra- iQ) e o item está correto.

2. Usando o raciocínio do item 1, temos que o item 2 também é correto.

3. P: Hoje choveu.~*P: Hoje não choveu.Q: José foi a praia.

O antecedente (-vP) da condicional -»P Q foi valorado como F. Sabemos que quando o antecedente de uma condicional é falso, a composta condicional é verdadeira. Segue-se que o item está incorreto. Vale a pena lembrar que uma composta condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso, em qualquer outro caso, a condicional é verdadeira.

4. Vimos que o número de linhas de uma tabela-verdade (valorações) composta de n proposições simples é igual a 2n. Como n=3, temos que o número de valorações possíveis para a proposição com

33


posta (Qa~iR) —» P é igual a 23=8. O item está correto.

6. (Agente de Polícia Federal/2004/Cespe) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos a , v e —> sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.

1. Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (-1 P) v (-> Q) também é verdadeira.

2. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R —> (-i T) é falsa.

3. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição(PaR) —> (~i Q) é verdadeira.

Resolução

1. O enunciado afirma que a proposição P é verdadeira. Concluímos que a sua negação -iP é falsa. O mesmo raciocínio segue-se para a proposição Q. A disjunção de duas proposições falsas resulta numa proposição composta falsa. Temos então a seguinte tabela-verdade:

■ ;~>Q (->P)v(-iQ)

V V F F F

Segue-se que o item 1 está incorreto.

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Guilherme Neves

2. Sendo a proposição T decretada como verdadeira- A sua negação -»T é falsa. Temos então a seguinte tabela-verdade:

R T

A condicional R —>-iT é verdadeira, pois, como foi visto na teoria acima, toda proposição composta condicional em que o antecedente é falso será valorada como verdadeira. Lembrando: a condicional só será falsa, quando o antecedente for verdadeiro e o seu conseqüente falso. Segue-se que o item 2 está incorreto.

3. Analisemos a conjunção PaR. Como o enunciado garante a veracidade de P e a falsidade de R, temos que a composta PaR é falsa, pois uma conjunção só será verdadeira, quando ambas as proposições que a compõem forem verdadeiras. A proposição Q é verdadeira, segue-se que sua negação ~>Q é falsa. Temos então a seguinte tabela-verdade:

;■ ;.;p R v m ã PaR “'Q (P aR) Q)F V F F V V

Temos então que a condicional (PaR) —> (-> Q) é verdadeira, pois, como foi comentado no item 2, qualquer condicional que possui seu antecedente valorado como FALSO será valorada como VERDADEIRO. O item 3 está correto.

7. (Gestor Fazendário-MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P:P: “A ou B”Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:A: “Carlos é dentista”B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”.

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Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo;a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto.d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.

Resolução

A proposição P é a disjunção das proposições A, B. O texto nos informou que P é falsa, e sabemos que a disjunção "A ou B" só é falsa quando ambas, A e B, são falsas. A proposição A é falsa e daí concluímos que Carlos não é dentista. A condicional B é falsa. Uma proposição condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso; donde Enio é economista (antecedente verdadeiro) e Juca não é arquiteto (conseqüente falso).

Letra B

8. (ICMS-SP/2006/FCC-adaptada) Considere as afirmações abaixo.I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par.II. A proposição “(10<VTÕ)<~»(8-3=6)m é falsa.

Ê verdade o que se afirma APENAS ema) I. c) I e II.b) II. d) nenhuma das alternativas acima.

Resolução

A frase I é verdadeira, pois o número de linhas de uma tabela-verdade é 2n, onde n é o número de proposições simples que a compõem.

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Guilherme Neves

A proposição “(10 < VlÕ ) -B- (8 - 3 = 6)” é verdadeira» pois ambas (10 < VTÕ ) e (8 - 3 = 6) são falsas. O bicondicional p q é verdadeiro quando ambos p, q são verdadeiros ou falsos simultaneamente. Portanto, a frase II é falsa.

Letra A

9. (ICMS-SP/2006/FCC) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.

1 1V V FV F VF V FF F F

A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é:a) pAqb) p —> qc) ~(p —» q)d) p —» qe) ~(p v q)

Resolução

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Considere a tabela-verdade do condicional/? q. Temos que a coluna pedida é o contrário, o oposto, a negação do condicional. Portanto, a coluna pedida é a da proposição ~(p —» q).

Letra C

10. (TRF-la Região/2006/FCC) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo:

a) alguns atos não têm causa se não há atos livres.b) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres.c) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres.d) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres.e) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa.

Resolução

Vimos que o bicondicional (se e somente se) equipara-se à conjunção de dois condicionais/? —> q e —>p.

Letra B

11. (Petrobras/2007/Cespe) Julgue o item que se segue.

1. Considere as proposições abaixo: p: 4 é um número par;q: A Petrobras é a maior exportadora de café do Brasil

Nesse caso, é possível conduir que a proposição p v q é verdadeira.

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Guilherme Neves

Temos que a proposição p é verdadeira, enquanto que a proposição q é falsa. A disjunção pvq só é falsa se ambas p, q são falsas. Se ao menos uma delas for verdadeira, a composta também será verdadeira. Portanto, a proposição pvq é verdadeira e o item está correto.

Resolução

Siflillan ii l##§iíV F V

12. (TRT-10a região/20G4/Cespe) Considere que as letras P, Q, R e S representam proposições e que os símbolos a e v são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e ou respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes.1. -tPvQ é verdadeira.2. [(-i PvQ)v(-! RvS)] é verdadeira.3. [Pa (QvS) ]a (-« [(RaQ)v (PaS)] ) é verdadeira.4. (Pv(-i S))a (Qv (-i R)) é verdadeira.

Resolução

WÊQiãM&i. ;:/S::, . . ~1P. ~>PvQ . ,;:~vR-':;V V V V F V p

-i RvS .(^JVQ)yHJRv S). : -v [(^ :PyQ)v(n RvS)] •;:V V F

V;';Qvs;;-:: ^ :rPAS'.";V V V V


\ [(RaQ) v (Pa S) ] - ;(-> [(RaQ)v(PaS)] )••: •V F

[Pa (QvS) ]a(-> [(RaQ)v(PaS)] )

:VÍvfe1S);-; Qv(-iR) ; (P v(-S ))a (Qv (^R))V V V

Poderíamos também visualizar a questão da seguinte maneira.

V V-> [(-» PvQ )v(~i RvS )]

F V F Vv ..... . .

f_____________F_____________ > 4_______ V_______ i[Pa (QvS) ]a (~T[(RaQ)v (PaS)] ) (P v (^ S )K Q v (^ R )j

V F V V

Segue-se que os itens 1 e 4 são corretos e o itens 2 e 3 são incorretos.

13. (SADPE/2008/FGV) Considere as situações abaixo:

I.Em uma estrada com duas pistas, vê-se a placa:

V-»P v Q F V

Caminhões —» Pista da direita

Como você está dirigindo um automóvel, você conclui que deve trafegar pela pista da esquerda.

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Guilherme Neves

II. Você mora no Recife e telefona para sua mãe em Brasília. Entre outras coisas, você diz que "Se domingo próximo fizer sol, eu irei à praia”. No final do domingo, sua mãe viu pela televisão que choveu no Recife todo o dia. Então, ela concluiu que você não foi à praia.

III. Imagine o seguinte diálogo entre dois políticos que discutem calorosamente certo assunto:

- A: Aqui na Câmara tá cheio de ladrão.- B: Ocorre que eu não sou ladrão.- A: Você é safado, tá me chamando de ladrão.

Em cada situação há, no final, uma conclusão. Examinando a lógica na argumentação:

a) são verdadeiras as conclusões das situações I e II, apenas.b) são verdadeiras as conclusões das situações II e III, apenas.c) são verdadeiras as conclusões das situações I e III, apenas.d) as três conclusões são verdadeiras.e) as três conclusões são falsas.

Resolução

L Caminhões Pista da Direita. . .

Vimos anteriormente que “se não ocorre p a condicional é verdadeira qualquer que seja o valor verdade de q ” Ou seja, se o antecedente for falso, nada podemos concluir a respeito do conseqüente. A condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso (não pode acontecer VF). Portanto, se você está dirigindo um automóvel, poderás dirigir na pista da direita ou da esquerda. O item é FALSO. Da mesma forma, se houver um veículo na pista da direita (o conseqüente é verdadeiro), não podemos concluir que o veículo é um caminhão.


II. Domingo próximo fizer sol —> eu irei à praia.F

A situação é idêntica ao item anterior. Se o antecedente é falso, nada podemos concluir sobre o conseqüente. O item é FALSO. Destacamos novamente que se o conseqüente for verdadeiro, nada pode afirmar sobre o antecedente, ou seja, se o indivíduo foi à praia, não podemos concluir se no domingo fez sol ou não.

III.O terceiro item obviamente é FALSO, pois nem o político A chamou o político B de ladrão, nem o político B chamou o político A de ladrão. O político A apenas afirmou que “na Câmara tá cheio de ladrão” e o político B afirmou que ele próprio não era um dos ladrões.

Letra E

14. (Agente Fiscal de Rendas) Se Francisco desviou dinheiro da campanha assistencial, então ele cometeu um grave delito. Mas Francisco não desviou dinheiro da campanha assistencial. Logo:

a) Francisco desviou dinheiro da campanha assistencial.b) Francisco não cometeu um grave delito.c) Francisco cometeu um grave delito.d) Alguém desviou dinheiro da campanha assistencial.e) Alguém não desviou dinheiro da campanha assistencial.

Resolução

Francisco desviou dinheiro da campanha assistencial> ele cometeu um grave delito. F

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Guilherme Neves

Em uma proposição condicional, se o antecedente é falso, nada podemos concluir a respeito do conseqüente, pois neste caso a composta é verdadeira. A condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso (quando ocorre VF, nesta ordem). Francisco cometeu um grave delito? Não podemos responder essa pergunta. Portanto, as alternativas B e C são falsas. A alternativa A é falsa pois o texto nos informou que Francisco não desviou dinheiro da campanha assistencial. A alternativa D afirma que alguém desviou dinheiro da campanha assistencial; falsa, pois não podemos concluir isto a partir do texto. Resta-nos a alternativa E que é verdadeira, pois se Francisco não desviou dinheiro da campanha assistencial, concluímos que alguém não desviou dinheiro da campanha assistencial. Esse "alguém” é Francisco.

Letra E

15. (SADPE/2008/FGV) Leonardo disse a Fernanda: - Eu jogo futebol ou você não joga golfe.Fernanda retrucou: - isso não é verdade.

Sabendo que Fernanda falou a verdade, é correto concluir que:

a) Leonardo joga futebol e Fernanda joga golfe.b) Leonardo joga futebol e Fernanda não joga golfe.c) Leonardo não joga futebol e Fernanda joga golfe.d) Leonardo não joga futebol e Fernanda não joga golfe.e) Leonardo não joga futebol ou Fernanda joga golfe.

Resolução

Fernanda nos disse a verdade. Ela afirmou que a proposição enunciada por Leonardo, que é uma disjunção, é falsa. Vimos que uma disjunção pvq é falsa se e somente se ambas p e q são falsas.

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Temos então o seguinte esquema:

F :t------------------------------------------------»Eu jogo futebol ou yocê não joga golfe,, , , ^

Conclusão: Leonardo não joga futebol (pois a proposição “Eu jogo futebol” é falsa) e Fernanda joga golfe (pois a proposição “Você não

s joga golfe” é falsa).

Letra C\

16. (SADPE/2008/FGV) Sejam p, q e r proposições simples cujos valores lógicos (verdadeiro ou falso) são, a princípio, desconhecidos. No diagrama abaixo, cada célula numerada deve conter os resultados lógicos das proposições compostas formadas pelo conectivo condicional (—>), em que as proposições nas linhas são os antecedentes e nas colunas, os conseqüentes. Os resultados das células 3, 4 e 7 já foram fornecidos.

í pP ' 1 2 V

t mp 5 6

■ r - y V 8 9

Com relação à tabela, é correto afirmar que o valor lógico da célula:

a) 1 é falso.b) 2 é falso.c) 5 é falso.d) 6 é verdadeiro.e) 8 é verdadeiro.

Guilherme Neves

A célula 4 nos informa que a proposição composta q-±p é falsa. Uma proposição condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso (VF nesta ordem). Portanto, a proposição q é verdadeira e a proposição p é falsa. A célula 7 nos informa que a proposição composta r—>p é verdadeira. Para que a composta r—>p seja verdadeira “não pode acontecer VF, nesta ordem”. Ou seja, não pode ocorrer o fato de o antecedente ser verdadeiro e o conseqüente falso. Como o conseqüente p é falso, concluímos que o antecedente não pode ser verdadeiro, portanto deve ser falso. A proposição r é falsa. Completemos então a tabela lembrando que a proposição p é falsa, ou seja V(p)=F; a proposição q é verdadeira, ou seja, V(q)=V e V(r)=F. Lembre-se de que, quando o antecedente é falso, a composta condicional é sempre verdadeira. Portanto, se o antecedente for a proposição p ou a proposição r, a composta será verdadeira independentemente de qual seja o conseqüente. Logo, as células 1,2,3,7,8,9 são todas verdadeiras. Nas células 4, 5 e 6, onde o antecedente é a proposição q cujo valor lógico é V, a composta só será falsa quando o conseqüente for falso (VF), ou seja, quando o conseqüente for a proposição p ou a proposição r.

Resolução

•' v.:-Sm í í P

■fm V V VF V F

' l-ir; " V V V

Letra E

17. (BB2/2007/Cespe) A proposição simbólica (PaQ)vR possui, no máximo, 4 avaliações V.

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Basta construir a tabela-verdade. Vimos que a tabela-verdade de uma proposição composta de 3 proposições simples possui 2 3= 8 linhas. Para determinarmos o valor lógico de (PaQ) vR devemos antes determinar o valor lógico de PaQ. Lembre-se que a conjunção PaQ só é verdadeira se ambas as proposições P e Q forem verdadeiras (linhas 1 e 2). Conectando agora a proposição PaQ com a proposição

„ R através do conectivo ou (colunas 3 e 4), a composta (PaQ)vR será verdadeira se ao menos uma delas PaQ o u R for verdadeira e será falsa quando ambas PaQ e R forem falsas (linhas 4, 6 e 8). Temos então5 avaliações V para a composta (PaQ)vR e o item está incorreto.

Resolução

Q « £ ! P aQ "(PÁQ)vR;V y V V VV V p V VV F V F VV F F F FF V V p VF V F F FF F V F VF F F F F

18. (Téc. Controle Interno-RJ/ESAF) Se P ( p, q, r ) — pA(qvr) então p (W V , W E, VFV, VFF, FW , FVF, FFV, FFF) é igual, respectivamente, a:a) W VFFFFFb) VFVW VFVc) VFVFVFVFd) W F F W F Fe) FFFFWFF

Guilherme Neves

Basta construir a tabela-verdade da proposição composta pA(qvr). Para tal, devemos antes determinar a tabela de valores da proposição qvr.

Resolução

pA(q\/r) íV V V V VV V F V VV F V V VV F p F FF V V V FF V F V FF F V V FF F p F F

Letra A

(Cespe) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado.O orgulho e a vaidade são às portas de entrada da ruína do homem. Se o filho é honesto, então o pai é exemplo de integridade.Tendo como referência as quatro frases acima, julgue os itens seguintes.

19. A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção.

20. A segunda frase é uma proposição lógica simples.21. A terceira frase é uma proposição lógica composta.22. A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois

conectivos lógicos.

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19. Os verbos “ouve” e “atenta” indicam ordem (imperativo). Portanto, não são consideradas proposições lógicas. O item está errado.

20. Certo.21. A proposição é simples. O sujeito da oração é que é composto. O

item está errado.22. “Se..., então...” é um conectivo só. O item está errado.

Exercícios propostos

01. {TCE-PB/2006/FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e sentenças:1. Três mais nove é igual a doze.2. Pelé é brasileiro.3. O jogador de futebol.4. A idade de Maria.5. A metade de um número.6. O triplo de 15 é maior do que 10.

È correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de númerosa) 1,2 e 6.b) 2,3 e 4.c) 3,4 e 5.d) 1,2,5 e 6.e) 2,3,4 e 5.

02. (TRT/2004/FCC) Leia atentamente as proposições P e Q:P: o computador é uma máquina.Q: compete ao cargo de técnico judiciário a construção de computadores.

Resolução

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Guilherme Neves

Em relação às duas proposições, é correto afirmar quea) a proposição composta tcP ou Q” é verdadeira.b) a proposição composta “P e Q” é verdadeira.c) a negação de P é equivalente à negação de Q.d) P é equivalente a q.e) P implica Q.

03. (TRT/2004/FCC) Leia atentamente as proposições simples P e Q: P: João foi aprovado no concurso do Tribunal.Q: João foi aprovado em um concurso.Do ponto de vista lógico, uma proposição condicional correta em relação a P e Q é:a) Se não Q, então P.b) Se não P, então não Q.c) Se P, então Q.d) Se Q, então P.e) Se P, então não Q.

04. (Téc. Controle Interno-RJ/Esaf) Dadas as proposições compostas:I) 3 + 4 = 7 53 - 125II) 3 + 2 = 6 4 + 4 —9III) V3 > 1 v (ti não é um número real)IV) V2 > 1 — 2° = 2V) -2 > 0 7t2 < 0

A que tem valor lógico FALSO é aa) I b) II c) III d) V e) IV

05. (Téc. Controle Interno-RJ/ESAF) Dadas as proposições:I) ~(1 + 1 = 2<->3 + 4 = 5)II) ~(2 + 2 * 4a 3 + 5 — 8)III) 43^64<-»(3 + 3 = 7<-^l + I ~ 2 )IV) (23 8 v 42 43)V) 34 = 81 ~ ( 2 + 1 = 3a 5 x 0 = 0)

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A que tem valor lógico FALSO é a:a) IVb) Vc) IIId) IIe) I

06. (TRT-PE/2006/FCC) Uma turma de alunos de um curso de Direito reuniu-se em um restaurante para um jantar de confraternização e coube a Francisco receber de cada um a quantia a ser paga pela participação. Desconfiado que Augusto, Berenice e Carlota não tinham pago as suas respectivas partes, Francisco conversou com os três e obteve os seguintes depoimentos:Augusto: “Não é verdade que Berenice pagou ou Carlota não pagou.” Berenice: “Se Carlota pagou, então Augusto também pagou” Carlota: “Eu paguei, mas sei que pelo menos um dos dois outros não pagou.”

Considerando que os três falaram a verdade, é correto afirmar que:

a) apenas Berenice não pagou a sua parte.b) apenas Carlota não pagou a sua parte.c) Augusto e Carlota não pagaram suas partes. -d) Berenice e Carlota pagaram suas partes.e) os três pagaram suas partes.

07. (Papiloscopista/2004/Cespe) Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P —> Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por PvQ, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, de

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Guilherme Neves

notada por PaQ, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por -iP, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição.

A partir das informações do texto acima, julgue os itens subsequentes.

I. As tabelas de valorações das proposições PvQ e Q—>->P são iguais.II. As proposições ~i(P-^(~.Q)) e Q ~ > (~»P) possuem tabelas de valorações iguais.

08. (CGU/2003-2004/ESAF) Uma professora de matemática faz as três seguintes afirmações:

“X > Q e Z < Y ”;"X > Y e Q > Y, se e somente se Y > Z”;“R 5* Q, se e somente se Y = X”

Sabendo-se que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-se corretamente que:a ) X > Y > Q > Zb ) X > R > Y > Zc ) Z < Y < X < Rd ) X > Q > Z > Re ) Q < X < Z < Y

09. (TCE/FCC) As afirmações de três funcionários de uma empresa são registradas a seguir:Augusto: “Beatriz e Carlos não faltaram ao trabalho ontem”.Beatriz: “Se Carlos faltou ao serviço ontem, então Augusto também faltou”.Carlos: “Eu não faltei ao serviço ontem, mas Augusto ou Beatriz faltaram”.

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Se as três afirmações são verdadeiras, é correto afirmar que, ontem, APENAS:

a) Augusto faltou ao serviço.b) Beatriz faltou ao serviço.c) Carlos faltou ao serviço.d) Augusto e Beatriz faltaram ao serviço.e) Beatriz e Carlos faltaram ao serviço.

10. (TCE-MG/FCC) Considere como verdadeiras as seguintes premissas: Se Alfeu não arquivar os processos, então Benito fará a expedição de documentos. Se Alfeu arquivar os processos, então Car- minha não atenderá o público. Carminha atenderá o público. Logo, é correto concluir que:

a) Alfeu arquivará os processos.b) Alfeu arquivará os processos ou Carminha não atenderá o público.c) Benito fará a expedição de documentos.d) Alfeu arquivará os processos e Carminha atenderá o público.e) Alfeu não arquivará os processos e Benito não fará a expedição de documentos.

11. (Téc. Controle Interno-RJ/Esaf) Duas pessoas que sabiam lógica, um estudante e um garçom, tiveram o seguinte diálogo numa lanchonete:Garçom: “O que deseja?”.Estudante: “Se eu comer um sanduíche então não comerei salada, mas tomarei sorvete”.A situação que torna a declaração do estudante FALSA é:

a) O estudante não comeu salada, mas tomou sorveteb) O estudante comeu sanduíche, não comeu salada e tomou sorvetec) O estudante não comeu sanduíched) O estudante comeu sanduíche, mas não tomou sorvetee) O estudante não comeu sanduíche, mas comeu salada

Guilherme Neves

12. (Sefaz-SP/2009/Esaf) Assinale a opção verdadeira.

a)3 = 4 e 3 + 4 = 9b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9c) Se 3 — 4, então 3 + 4 = 9d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9

Gabarito dos exercícios propostos

01.a02.a03.c04.e05.b06. a07.Í.Incorreto

ILIncorretoOS.b09.a10.c11.d12.c

2 A r g u m e n t o‘Arquimedes será lembrado enquanto Ésquilo fo i esquecido, porque os idiom as morrem mas as iãeias m atem áticas permanecem. Im ortalidade pode ser um a ideia tola, mas provavelmente um m atem ático tem a melhor chance q u epoáe existir de obtê-la.“

G. H . H a r d y

“A expressão concreta do raciocínio lógico é o argumento. Um argumento se sustenta ou cai à medida que o raciocínio que incorpora é bom ou ruim. Cada argumento é composto de dois elementos básicos, dois diferentes tipos de proposições: uma proposição ‘premissa5 e uma proposição ‘conclusão’. Uma premissa é uma proposição que sustenta. Ê o ponto inicial de um argumento que contém a verdade conhecida, da qual parte o processo inferencial. Uma conclusão é uma proposição sustentada, a proposição aceita como verdade na base da premissa.” (D.Q. Mclnerny)

Argumento é toda afirmação de que uma seqüência finita de proposições, chamadas premissas, p í>p2,p3,...p"tem como conseqüência uma proposição final Q, chamada conclusão do argumento. Diz-se que um argumento é válido se e somente se a conclusão for verdadeira, todas as vezes que as premissas forem verdadeiras. Desse modo, a verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão.

A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as premissas e a conclusão. Um argumento não válido é chamado de sofisma ou falácia. Um argumento composto de duas premissas e uma conclusão é chamado de silogismo.

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Vejamos uma questão de um concurso para o Banco Central: (Bacen) Jair está machucado ou não quer jogar. Mas Jair quer jogar, logo:a) Jair não está machucado nem quer jogar.b) Jair não quer jogar nem quer jogar.c) Jair não está machucado e quer jogar.d) Jair está machucado e não quer jogar.e) Jair está machucado e quer jogar.

O enunciado nada fala sobre a verdade das proposições expostas. Perguntamo-nos: Quem é Jair? Quem está nos falando que Jair está machucado? Isto é verdade? Como podemos inferir uma conclusão se não tenho certeza sobre o valor lógico das premissas? Em suma, como testar a validade de um argumento? Existe um teste semântico, isto é, um teste que se baseia nos valores de verdade das suas premissas e conclusão. Um argumento é válido se, e só se, não for possível ter conclusão falsa e premissas verdadeiras. Portanto, para termos um argumento válido devemos supor que as premissas são verdadeiras. Se (e este é um grande se) as premissas forem verdadeiras, então a conclusão também será.

Jair está machucado ou não quer jogar.V

Jair quer jogar.' V ’

Ora, se admitimos a proposição “Jair quer jogar” como verdadeira, devemos assumir a proposição “Jair não quer jogar” como falsa. Temos então o seguinte esquema:

FJair está machucado ou não quer jogar. « _ ,

Guilherme Neves

Perguntamo-nos: Quando é que uma disjunção (proposição composta pelo conectivo “ou”) pvq é verdadeira? Se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira; pvq é falsa se e somente se ambas p e q são falsas. No nosso caso, temos uma disjunção que é verdadeira, e uma das proposições que a compõe é falsa. Concluímos que a outra proposição “Jair está machucado” é verdadeira.

V

JEfJair está machucado e não quer jogar.

Temos então o seguinte argumento VÁLIDO.

Jair está machucado ou não quer jogar.Mas Jair quer jogar, logo:Jair está machucado e quer jogar.

Não estamos afirmando que as premissas do enunciado são verdadeiras nem que a conclusão também o seja. Dizemos apenas que, SE as premissas forem verdadeiras, então a conclusão também será verdadeira.

Vejamos um argumento igualmente válido, mas que as premissas são falsas e a conclusão é verdadeira.Se um número é par, então ele é múltiplo de 3 9 é um número par.Portanto, 9 é múltiplo de 3.

Observe que o argumento é válido, pois, se as premissas fossem verdadeiras (mesmo que não sejam), a conclusão também seria. Verifique!

57


Proposições são verdadeiras ou falsas. Argumentos são válidos ou inválidos. A validade de um argumento depende da conexão das premissas com a conclusão, não do valor lógico das premissas que formam o argumento.

Podemos ter:

Argumentos válidos com

Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira.Premissas falsas e conclusão verdadeira.Premissas falsas e conclusão falsa.

Argumentos inválidos com

Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira.Premissas verdadeiras e conclusão falsa.Premissas falsas e conclusão verdadeira.Premissas falsas e conclusão falsa.

NÃO PODEMOS TER ARGUMENTOS VÁLIDOS COM PREMISSAS VERDADEIRAS E CONCLUSÃO FALSA.

Então, como determinar a validade de um argumento?Admita que as premissas sejam verdadeiras, mesmo que não sejam. Há a possibilidade de, considerando-se as premissas verdadeiras, a conclusão ser falsa? Se isso pode acontecer (premissas verdadeiras e conclusão falsa) então o argumento é inválido, um sofisma, uma falácia. Se não, então o argumento é válido.

Argumentos válidos com premissas verdadeiras e conclusão verdadeira são chamados cogentes.

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Guilherme Neves


1. (Aneel/2004/Esaf) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim:

a) estudo e fumo.b) não fumo e surfo.c) não velejo e não fumo.d) estudo e não fumo.e) fumo e surfo.

Resolução

O que esta questão está nos pedindo? Que escolhamos uma conclusão adequada para que o argumento seja válido. Devemos então, de acordo com a teoria exposta, assumir que as premissas são verdadeiras. Temos o seguinte esquema:

.Surfo ou estudo, Fumo ou não surfo.V V

Não velejo.,' ¥ '

A proposição "Não velejo” é verdadeira. Como a proposição "Velejo5é a sua negação, temos que seu valor lógico é falso.

(... *.."nVelejo ou não estudor

F

A proposição acima é uma disjunção e, para que seja verdadeira, ao menos uma das proposições que a compõe deve ser verdadeira. Como a proposição "Velejo” é falsa, concluímos que “Não estudo” é


verdadeira. "Estudo” que é a negação de “Não estudo” é, portanto, falsa.

F V FVeiei o' ou'não estudo! .Surfo ou estudo!

V V

Analogamente, a proposição “Surfo” é verdadeira e a sua negação “Não surfo” é falsa.

V F FSurfo ou estudo ‘ turno ou não surfo .. v .... ....1 '— ' y *

V V

Da mesma maneira, temos que a proposição “Fumo” é verdadeira,

V FFumo ou não surfo,

V

Conclusão: Surfo, não estudo, fumo, não velejo.

Letra E

Observação: Daqui em diante, por motivos tipográficos, também para evitar uma “poluição visual”, não colocaremos mais as chaves nas proposições compostas que assumiremos como verdadeiras. Estará implícito, levando em consideração a teoria exposta. Simplesmente aplicaremos as regras dos conectivos para que as compostas sejam verdadeiras. Por exemplo:

Guilherme Neves

Em resumo:

W-$-As duas proposições p, q devem ser verdadeiras

">7;; V- '":S.Ao menos uma das proposições p, q deve ser verdadeira. Não pode ocorrer 0 caso de as duas serem falsas.Não pode acontecer 0 caso de 0 antecedente ser verdadeiro e 0 conseqüente ser falso. Ou seja, não pode acontecer V(p)=V e V(q)=F. Em tuna linguagem informal, dizemos que não pode acontecer VF, nesta ordem.Os valores lógicos das duas proposições devem ser iguais. Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são falsas.

2. (Polícia Civil/2007/Ipad) Sabe-se que Louise não gosta de livros ou Milena não gosta de música, mas não ocorrem as duas possibilidades simultaneamente. Também é conhecido que, se Vinícius não é dinamarquês, então Louise gosta de livros. Como Milena gosta de música, podemos afirmar que:

a) Vinícius é dinamarquês.b) Se Vinícius é dinamarquês, então Louise gosta de livros.c) Louise gosta de livros.d) Se Milena gosta de música, então Louise gosta de livros.e) Milena não gosta de música.

Resolução

V F"Louise não gosta de livros ou ^Milena não gosta de música


F Ft...... ............. ■* ....... . > <■ — -" n...........-Vinícius não é dinamarquês —> Louise gosta de livros

Milena gosta de música' y

“Milena gosta de música” assumimos como verdadeira. “Milena não gosta de música” é a sua negação e, portanto, é falsa. Para que a composta “Louise não gosta de livros ou Milena não gosta de música” seja verdadeira, uma delas tem que ser verdadeira. Dessa forma, “Louise não gosta de livros” é verdadeira. A sua negação “Louise gosta, de livros” é falsa. Para que a condicional “Se Vinícius não é dinamarquês, então Louise gosta de livros” seja verdadeira, não pode ocorrer VF, ou seja, se o antecedente for verdadeiro, o conseqüente não pode ser falso e, se o conseqüente for falso, o antecedente não pode ser verdadeiro. Como o conseqüente é falso, o antecedente não pode ser verdadeiro. Consequentemente, “Vinícius não é dinamarquês” é uma proposição falsa. A sua negação “Vinícius é dinamarquês” é verdadeira.

Letra A

3. (CGU/2003-2004/Esaf) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo:

a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto.b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia.c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro.d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto.e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.

V F__________Ana é prima de Bia, ou Garlos é filho de Pedro.

V Vr —1— ....... ....■» t *-------------— Jorge é irmão de Maria —> Breno não é neto de Beto.

__________F__________ _________ F_________Carlos é filho de Pedro —» Breno é neto de Beto.

Jorge é irmão de Maria.« ^ -

Relembrando o que falamos a respeito de argumentação. Em um argumento válido, é impossível ao assumirmos que as premissas sejam verdadeiras que a conclusão seja falsa. Dessa forma, admitiremos que TODAS as proposições, simples e compostas, são verdadeiras. Para tal, deveremos aplicar as regras de cada um dos conectivos. Assim, supomos que a proposição “Jorge é irmão de Maria” é verdadeira. Ora, uma proposição condicional não pode ter o antecedente verdadeiro e o conseqüente falso. De fato, na proposição condicional "Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto” o antecedente é verdadeiro. Para não ocorrer VF, o conseqüente não pode ser falso, deve ser verdadeiro. Assim, "Breno não é neto de Beto” é verdade. A sua negação é falsa. Novamente, na condicional “Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto” o conseqüente é falso. Para não ocorrer VF, o antecedente não pode ser verdadeiro, deve ser falso. Consequentemente “Carlos é filho de Pedro” é falso. Para que uma disjunção seja verdadeira, ao menos uma das proposições que a compõe deve ser verdade. Na composta "Ana é prima de Bia ou Carlos é filho de Pedro”, tem-se que “Carlos é filho de Pedro” é falsa. Dessa forma, “Ana é prima de Bia” deve ser verdade. Temos então que Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.

Letra E

Guilherme Neves

Resolução

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4. (MPC)G/2002/Esaf) Se M=2x+3y, então M=4p+3r. Se M=4p+3r, então M=2w-3r. Por outro lado, M=2x+3y, ou M=0. Se M=0, então

Ora, M+H 1. Logo:a) 2w - 3r — 0b) 4p + 3r =* 2w - 3rc) M ^ 2x + 3yd) 2x + 3y 2w - 3re) M = 2w - 3r

Resolução

V V< '------- 1 i------- ■------- 1M = 2x + 3y —» M = 4p + 3r

V Vi------- *------- 1 i------- *------- 1M = 4p + 3r, então M = 2w - 3r

V • FjM = 2x + 3y,' ou jM = 0

F Fi.. * i ‘ .... 'M — 0, então M + H = 1

M -f H ^ l. ^ r

Sendo verdade que M +H ^l, temos que M +H=l é verdade. A composta condicional não admite VF e, portanto, a proposição M=0 é falsa. Sendo falsa a proposição M=0, a proposição M=2x+3y também é verdade, pois uma disjunção verdadeira requer ao menos uma de suas proposições como verdadeira. Assim sendo, na condicional

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Guilherme Neves

M -2x+3y —> M~4p+3r o antecedente é verdadeiro e, para não termos VF, o conseqüente M - 4p+3r também é verdade. Analogamente, M=2w-3r também é verdade.

5. (TJ-PE/2007/FCC) Se Guilherme disse a verdade, Gabriela e Lucas mentiram. Se Lucas mentiu, Bruna falou a verdade. Se Bruna falou a verdade, Maria está dormindo. Ora, Maria não está dormindo. Logo:

a) Guilherme e Gabriela disseram a verdade.b) Lucas e Bruna mentiram.c) Lucas mentiu ou Bruna disse a verdade.d) Lucas e Gabriela mentiram.e) Guilherme e Bruna mentiram.

Resolução

Guilherme disse a verdade —> Gabriela mentiu e Lucas mentiuf---------- „----------r i-------- --------- 1

Letra E

F Fr

? F

F F

Lucas mentiu —> Bruna falou a verdade.

F Ft —................ . ' i t ........................ .................................... \

Bruna falou a verdade —> Maria está dormindo

Maria não está dormindo.* ~ •V

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Admitimos como verdade que Maria não está dormindo. A sua negação “Maria não está dormindo” é falsa. Para que não haja VF na condicional “Se Bruna falou a verdade, então Maria está dormindo” o antecedente “Bruna falou a verdade” deve ser falso. Analogamente, “Lucas mentiu” é falso. A proposição simples (ver teoria sobre proposições simples e compostas) “Gabriela e Lucas mentiram” é equivalente à proposição composta “Gabriela mentiu e Lucas mentiu” Ora, uma conjunção só é verdade quando as proposições que a compõem são todas verdadeiras. Assim, a composta “Gabriela mentiu e Lucas mentiu” é falsa. E quanto à proposição “Gabriela mentiu”? Nada podemos afirmar. Assim, concluímos que “Guilherme disse a verdade” é falsa.

Letra E

As questões que seguem apresentam uma peculiaridade em relação às questões anteriormente resolvidas. Até agora, as questões apresentavam uma proposição simples, que servia de passo inicial para a nossa estratégia de argumentação. Em algumas dessas questões, teremos duas maneiras de resolvê-las. A solução geral é a seguinte: escolha uma proposição qualquer e dê o seu palpite: escolha V ou F. Se o seu palpite der certo, ótimo! Caso contrário, troque-o. Se você escolheu V, troque por F e vice-versa.

6. (CGU/2003-2004/Esaf) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo,

a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo.e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.

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Guilherme Neves

Resolução

V FÍHomero não é honesto, ou Júlio é justo

F F FHomero é honesto, ou Júlio é justo, ou 'Beto é bondoso'

F Ví * i t — -Beto é bondoso, ou Júlio não é justo

V F5 .....,..,,....-A......... .................................. ~ * .....................eto não é bondoso, ou Homero é honesto

Esta questão não apresenta a proposição simples que usualmente aparece em questões de argumentação. Adotaremos então a estratégia descrita acima. Escolheremos uma proposição qualquer e arbitrariamente daremos um valor lógico a ela. Por exemplo, escolheremos a primeira “Homero não é honesto” e diremos que ela é verdadeira. Não há razão específica para termos feito essa escolha. Como estamos assumindo que “Homero não é honesto” é uma proposição verdadeira, a sua negação “Homero é honesto” é falsa. Para que a disjunção “Beto não é bondoso,ou Homero é honesto” seja verdadeira, a proposição “Beto não é bondoso” deve ser verdadeira e, consequentemente, a sua negação “Beto é bondoso” é falsa. Analogamente, “Júlio não é justo” é verdade, e sua negação “Júlio é justo” é falsa. Dessa forma, “Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso” é uma proposição composta falsa, pois é uma disjunção em que todas as proposições que a compõem são falsas. Ora, mas, para testarmos a validade de um argumento, temos que ter TODAS as premissas verdadeiras. Temos então que trocar a nossa escolha inicial. Admitiremos então que a proposição “Homero não é honesto” seja falsa. Construiremos então o seguinte esquema:

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F Vt .........- ..................... \ i 1 ... _ *Homero não é honesto, ou Júho é justo

V V Vc * ■ t t ........................ * ........ 1 i ' ................... .■ ~ I

Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso

V F* - j imA .......... ^Beto é bondoso, ou Júlio não é justo

F Vi • ...— -...—i i"1 - ..... .... . *Beto não é bondoso, ou Homero é honesto

Letra C

7. (Técnico/MPU/Administrativa/2004/Esaf) Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico;2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico; 4) ou Rogério é professor, ou Renato é professor. Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são respectivamente:

a) professor, médico, músico.b) médico, professor, músico.c) professor, músico, médico.d) músico, médico, professor.e) médico, músico, professor.

ResoluçãoV F

'Ricardo é médico,’ ou Renatoé médico

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Guilherme Neves

F Vt--------- — f ---- -------, ,----------- ----------Ricardo e professor, ou Rogério é músico

F VRenato é músico, ou ‘Rogério é músico'

F V*...... . ..... i f™....... ...... *

Rogério é professor, ou Renato é professor

Utilizando a mesma estratégia da questão anterior, escolhemos uma proposição qualquer e arbitrariamente damos um valor lógico a ela. Escolhemos (ao acaso) a proposição “Ricardo é médico” e diremos que ela é verdadeira. Como cada um deles possui uma única profissão, a proposição “Ricardo é professor” é falsa. Assim, para que a disjunção seja verdadeira, “Rogério é músico” tem que ser uma proposição verdadeira (uma disjunção é verdadeira quando pelo menos uma das proposições que a compõe é verdadeira). Sendo “Rogério é músico” uma verdade, “Rogério é professor” é falsa. Portanto, “Renato é professor” é verdade. Não tivemos proposições compostas falsas, nenhuma contradição. O nosso palpite foi correto, por acaso.

8. (Fiscal do Trabalho/Esaf) Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente. Se Roberto é inocente, então Sônia é inocente. Ora, Pedro é culpado ou Sônia é culpada. Segue-se logicamente, portanto, que:

a) Lauro é culpado e Sônia é culpada.b) Sônia é culpada e Roberto é inocente.c) Pedro é culpado ou Roberto é culpado.d) Se Roberto é culpado, então Lauro é culpado.e) Roberto é inocente se e somente se Lauro é inocente.

Letra E

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Resolução

V V!Pedro é inocente '-» Lauro é inocente

F Fkoberto é inocente —> Sônia é inocente

F Vj..................- ... ~ -........*............-Pedro é culpado ou Sônia é culpada

Não havendo uma proposição simples para servir-nos de ponto de partida, escolhemos uma proposição qualquer e arbitrariamente damos um valor lógico. Para manter a casualidade dessa escolha, como nas questões anteriores, colocamos a primeira proposição como verdadeira. Assim, estamos supondo que “Pedro é inocente” é uma proposição verdadeira e consequentemente “Pedro é culpado” é falsa. Na condicional “Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente” devemos impor o valor lógico do conseqüente como verdadeiro para que não haja VF. A proposição “Sônia é culpada” deve ser verdadeira para que a disjunção “Pedro é culpado ou Sônia é culpada” seja verdadeira. Lembre-se: exigimos que todas as premissas, tanto as proposições simples quanto compostas, sejam verdadeiras para que o argumento seja válido. Para isso, basta aplicar as regras dos conectivos. Como “Sônia é culpada” é verdade, “Sônia é inocente” é falsa. Na segunda premissa, para que no condicional não ocorra VF, o antecedente “Roberto é inocente” deve ser falso. Concluímos então que Roberto é culpado. O nosso palpite foi correto. Letra C

F Vt " * " V f - i

c) Pedro é culpado ou Roberto é culpadoiV

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Guilherme Neves

9. (Fiscal do Trabalho) Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo:

a) Pedro é português e Frederico é francês.b) Pedro é português e Alberto é alemão.c) Pedro não é português e Alberto é alemão.d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês.e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês.

Resolução

________ F________ _________ F_________Frederico é francês —» Alberto não é alemão.

V FOu Alberto é alemão, ou 'Egídio é espanhol

F F#rm-rrrrr-mm ............ A . ... i i I „M,nrnr-

Pedro não é português Frederico é francês,

Egídio não é espanhol elsaura não é italiana.< ^ ^ ,

Uma conjunção p/\q só é verdadeira quando ambas p e q são verdadeiras. Assim, temos que as proposições “Egídio não é espanhol” e “Isaura não é italiana” são ambas verdadeiras. Temos então que “Egídio é espanhol” é uma proposição falsa. A segunda premissa do nosso argumento é uma disjunção e uma de suas proposições componentes deve ser verdadeira e, portanto, “Alberto é alemão” é verdade e sua negação “Alberto não é alemão” é falsa. Para que a condicional “Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão” seja verdadeira, o antecedente “Frederico é francês” deve ser falso, visto que o conse-

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quente também é falso (lembre-se: o condicional p —> q não admite VF). Analogamente, verificamos que “Pedro não é português” é falsa e a sua negação “Pedro é português” é verdade.

10. (Ipea/FCC) Quando não vejo Lúcia, não passeio ou fico deprimido. Quando chove, não passeio e fico deprimido. Quando não faz calor e passeio, não vejo Lúcia. Quando não chove e estou deprimido, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje:

a) vejo Lucia, e não estou deprimido e não chove, e faz calor.b) não vejo Lucia, e estou deprimido, e chove, e faz calor.c) não vejo Lucia, e estou deprimido, e não chove, e não faz calor.d) vejo Lucia, e não estou deprimido, e chove, e faz calor.e) vejo Lucia, e estou deprimido, e não chove, e faz calor.

Resolução

Letra B

F Ft ........... t 1"^.' 1 ...... _ *

ISfão vejo Lucia,—> não passeio ou fico deprimido,F p

F Ff..... . ......> r. * ............\Chove -^ n ã o passeio e fico deprimido

F F

F VjSíão faz calor e passeio não vejo Lúcia,

F F

V FNão chove e estou deprimido,—> não passeio,

F F

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Guilherme Neves

Passeio.

“Passeio” é verdade; “não passeio” é falso. Preenchemos as chaves do esquema acima onde aparecem essas proposições. Olhemos para a quarta premissa: o conseqüente é falso, e, assim, o antecedente também o é. Observe que o conseqüente da segunda premissa é uma conjunção e uma das proposições que compõe essa conjunção (não passeio) é falsa. Ora, sabemos que uma conjunção só é verdadeira quando ambas as proposições simples componentes são verdadeiras. Como esse fato não ocorre, a conjunção “não passeio e fico deprimido” é falsa. Consequentemente o antecedente “chove” é falso e a sua negação “não chove” é verdade. Coloquemos nossa atenção agora na quarta premissa. O conseqüente “não passeio” é falso e assim temos que o antecedente (que é a conjunção “Não chove e estou deprimido”) também é falso.Temos então uma conjunção falsa em que uma das proposições que a constitui (“não chove”) é verdadeira. Para que a conjunção seja falsa, a outra componente “estou deprimido” deve ser falsa. Vamos para a primeira premissa. O conseqüente da condicional “Quando não vejo Lúcia, não passeio ou fico deprimido” é uma disjunção que é falsa, pois ambas as proposições componentes (“não passeio”, “fico deprimido”) são falsas. Dessa forma, o antecedente “não vejo Lúcia” deve ser falsa (para que a proposição condicional seja verdadeira não deve ocorrer VF). Finalmente indo para a terceira premissa, o conseqüente “não vejo Lúcia” é falso, logo o antecedente “Não faz calor e passeio” também é falso. Temos então uma conjunção falsa e uma das proposições que a constitui (“passeio”) é verdadeira. A outra, “não faz calor” deve então ser falsa e, consequentemente, a sua negação “faz calor” é verdadeira.

Letra A

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11. (AFRE-MG/2005/Esaf) O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz ao rei: “O dragão desaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem”. O rei, tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte:1) Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?2) Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer

• v amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesaontem?3) $e a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ohtem, posso concluir corretamente que o dragão desaparecerá amanhã?

O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as três perguntas são respectivamente:

a) não, sim, não.b) não, não, sim.c) sim, sim, sim.d) não, sim, sim.e) sim, não, sim.

Resolução

O dragão desaparecerá amanhã <-> Aladim beijou a princesa ontem. Na primeira pergunta, o rei supõe que a afirmação do mago é falsa. Uma proposição bicondicional só é falsa quando os valores lógicos das proposições componentes são diferentes. Como ele também supõe que o dragão desaparecerá amanhã, conclui-se que Aladim não beijou a princesa ontem. Portanto, a resposta para a primeira pergunta é não.

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Guilherme Neves

y ______________( 4______________FO dragão desaparecerá amanhã Aladim beijou a princesa ontem.------" — ........... — "■ —— ........ —........... — "

F

Na segunda pergunta, o rei supõe que a afirmação do mago é verdadeira. Ora, uma proposição bicondicional só é verdadeira quando os valores lógicos das duas proposições são iguais. Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são falsas. O rei supõe também que o dragão desaparecerá amanhã. Portanto, Aladim beijou a princesa ontem e a reposta para a segunda pergunta é sim.

V VT - - ........ 1 * ..... .. ......... .. 4O dragão desaparecerá amanhã Aladim beijou a princesa ontem.^

Na terceira pergunta, a suposição do rei é que a afirmação do mago é falsa (os valores lógicos das proposições componentes da bicondicional devem ser diferentes) e que Aladim não beijou a princesa ontem. Portanto, o dragão desaparecerá amanhã e a resposta para a terceira pergunta é sim.

V Ft-------------------*--- ----------------- » r~------------------*-------------------- »O dragão desaparecerá amanhã <~>Aladim beijou a princesa ontem._

F

Letra D

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01. (Agente Fiscal de Rendas) O paciente não pode estar bem e ainda ter febre. O paciente está bem. Logo, o paciente:

a) Tem febre e não está bem.b) Tem febre ou não está bem.c) Tem febre.d) Não tem febre.e) Não está bem

02. (STN/2002/Esaf) Considere as seguintes premissas (onde A, B, C e D são conjuntos não vazios):Premissa 1: “A está contido em B e em C, ou A está contido em D” Premissa 2: “A não está contido em D”

Pode-se, então, concluir corretamente que:a) B está contido em C.b) A está contido em C.c) B está contido em C ou em D.d) A não está contido nem em D nem em B.e) A não está contido nem em B e nem em C.

03. (AFC/2002) Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então:

a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.b) Lógica é fácil e Geografia é difícil.c) Lógica é fácil e Geografia é fácil.d) Lógica é difícil e Geografia é difícil.e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.

04. (TCE/RN/2000) Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo:

Guilherme Neves

a) Maria é magra e Bernardo não é barrigudo.b) Bernardo é barrigudo ou César é careca.c) César é careca e Maria é magra.d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo.e) Lúcia é linda e César é careca.

05. (SERPRO/2001/Esaf) Considere o seguinte argumento: “Se Soni- nha sorri» Sílvia é miss simpatia. Ora, Soninha não sorri. Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Este não é um argumento logicamente válido uma vez que:

a) a conclusão não é decorrência necessária das premissas.b) a segunda premissa não é decorrência lógica da primeira.c) a primeira premissa pode ser falsa, embora a segunda possa ser

verdadeira.d) a segunda premissa pode ser falsa, embora a primeira possa ser

verdadeira.e) o argumento só é válido se Soninha na realidade não sorri.

06. (MPOG/2006/Esaf) Nas férias, Carmem não foi ao cinema. Sabe- se que sempre que Denis viaja, Denis fica feliz. Sabe-se, também, que nas férias, ou Dante vai à praia ou vai à piscina. Sempre que Dante vai à piscina, Carmem vai ao cinema, e sempre que Dante vai à praia, Denis viaja. Então, nas férias,

a) Denis não viajou e Denis ficou feliz.b) Denis não ficou feliz, e Dante não foi à piscina.c) Dante foi à praia e Denis ficou feliz.d) Denis viajou e Carmem foi ao cinema.e) Dante não foi à praia e Denis não ficou feliz.

07. (SERPRO/2001/Esaf) No último domingo, Dorneles não saiu para ir à missa. Ora, sabe-se que sempre que Denise dança, o grupo de Denise é aplaudido de pé. Sabe-se, também, que, aos domingos, ou Paula vai ao parque ou vai pescar na praia. Sempre que Paula vai

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pescar na praia, Dorneles sai para ir à missa, e sempre que Paula vai ao parque, Denise dança.Então no último domingo:

a) Paula não foi ao parque e o grupo de Denise foi aplaudido de pé.b) O grupo de Denise não foi aplaudido de pé e Paula não foi

pescar na praia.c) Denise não dançou e o grupo de Denise foi aplaudido de pé.d) Denise dançou e seu grupo foi aplaudido de pé.e) Paula não foi ao parque e o grupo de Denise não foi aplaudido

de pé.

08.s (MRE/2002) No íinal de semana, Chiquita não foi ao parque. Ora, sabe-se que sempre que Didi estuda, Didi é aprovado. Sabe-se, também, que, nos finais de semana, ou Dadá vai à missa ou vai visitar tia Célia. Sempre que Dadá vai visitar tia Célia, Chiquita vai ao parque, e sempre que Dadá vai à missa, Didi estuda. Então no final de semana,

a) Dadá foi à missa e Didi foi aprovado.b) Didi não foi aprovado e Dadá não foi visitar tia Célia.c) Didi não estudou e Didi foi aprovado.d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque.e) Dadá não foi à missa e Didi não foi aprovado.

09. (SERPRO) Se Ana não é advogada, então Sandra é secretária. Se Ana é advogada, então Paula não é professora. Ora, Paula é professora. Portanto:

a) Ana é advogada.b) Sandra é secretária.c) Ana é advogada ou Paula não é professora.d) Ana é advogada e Paula é professora.e) Ana não é advogada e Sandra não é secretária.

10. (Fiscal do Trabalho) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo:

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Guilherme Neves

a) O jardim é florido e o gato mia.b) O jardim é florido e o gato não mia.c) O jardim não é florido e o gato miad) O jardim não é florido e o gato não mia.e) Se o passarinho canta, então o gato não mia.

11. (AFC/2006/Esaf) Ana é artista ou Carlos é compositor. Se Mauro gosta de música, então Flávia não é fotógrafa. Se Flávia não é fotógrafa, então Carlos não é compositor. Ana não é artista e Daniela não fuma. Pode-se, então, concluir corretamente que:

a) Ana não é artista e Carlos não é compositor.b) Carlos é compositor e Flávia é fotógrafa.c) Mauro gosta de música e Daniela não fuma.d) Ana não é artista e Mauro gosta de música.e) Mauro não gosta de música e Flávia não é fotógrafa.

12. (MPOG/2003/Esaf) Ana é artista ou Carlos é carioca. Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito. Se Carlos é carioca, então Breno é bonito. Ora, Jorge é juiz. Logo:

a) Jorge é juiz e Breno é bonito.b) Carlos é carioca ou Breno é bonito.c) Breno é bonito e Ana é artista.d) Ana não é artista e Carlos é carioca.e) Ana é artista e Carlos não é carioca.

13. (Processo Seletivo SimpMcado/2003/Esaf) Se x—z^-y então x=z+r. Se x-z+r, então a-y-r. Por outro lado x=z+y, ou, ou a^t-r. Se a^t-r, então x=z. Ora, x^z.

a) t=y^rb) t—y —rc) y+r—0d) y~z~0e) t~z~0

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14. (MRE/2002) Se X>Y, então Z>P ou Q<R. Se Z>P, então S<T. Se S<T5 então Q<R. Ora» Q>R, logo:

a ) S > T e Z < Pb ) S > T e Z > Pc ) X> Y e Z < Pd ) X> Y e Z < Pe ) X < Y e S < T

'15. (MRE/2002) Se a professora de matemática foi à reunião, nem a professora de inglês nem a professora de francês deram aula. Se a professora de francês não deu aula, a professora de português foi à reunião. Se a professora de português foi à reunião, todos os problemas foram resolvidos. Ora, pelo menos um problema não foi resolvido. Logo,

a) a professora de matemática não foi à reunião e a professora de francês não deu aula.

b) a professora de matemática e a professora de português não foram à reunião.

c) a professora de francês não deu aula e a professora de português não foi à reunião.

d) a professora de francês não deu aula ou a professora de português foi à reunião.

e) a professora de inglês e a professora de francês não deram aula.

16. (AFC/2006/Esaf) Se X está contido em Y, então X está contido em Z. Se X está contido em P, então X está contido em T. Se X não está contido em Y, então X está contido em P. Ora, X não está contido em T. Logo:

a) Z está contido em T e Y está contido em X.b) X está contido em Y e X não está contido em Z.c) X está contido em Z e X não está contido em Yd) Y está contido em T e X está contido em Z.e) X não está contido em P e X está contido em Y.

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17. (Policia Civil/Ipad) Se Ludwig entende de Lógica, então há um rinoceronte na sala. Se há um rinoceronte na sala, então Bertrand não entende de Lógica. Se Bertrand não entende de Lógica, então George é culpado. Mas George não é culpado. Logo:

a) Há um rinoceronte na sala e Ludwig não entende de Lógica.b) Não há um rinoceronte na sala e Ludwig entende de Lógica.c) Bertrand entende de Lógica e não há um rinoceronte na sala.d) Há um rinoceronte na sala e Bertrand não entende de Lógica.e) Bertrand não entende de Lógica, mas Ludwig entende.

18. (AFTN/Esaf) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo:

a) Nestor e Júlia disseram a verdade.b) Nestor e Lauro mentiram.c) Raul e Lauro mentiram.d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade.e) Raul e Júlia mentiram.

19. (AFTN/Esaf) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se ainda que: Se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada. Ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois. O mordomo não é inocente. Logo:

a) a governanta e o mordomo são os culpados.b) o cozinheiro e o mordomo são os culpados.c) somente a governanta é a culpada.d) somente o cozinheiro é inocente.e) somente o mordomo é culpado.

20. (AFC) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo:

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a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.

21. (Aneel/2006/Esaf) Se o anão foge do tigre, então o tigre é feroz. Se o tigre é feroz, então o rei fica no castelo. Se o rei fica no castelo, então a rainha briga com o rei. Ora, a rainha não briga com o rei. Logo:

v a) o rei não fica no castelo e o anão não foge do tigre.b) o rei fica no castelo e o tigre é feroz.c) o rei não fica no castelo e o tigre é feroz.d) o tigre é feroz e o anão foge do tigre.e) o tigre não é feroz e o anão foge do tigre.

22. (AFC) Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à África, então Luís compra um livro. Se Luís compra um livro, então Rui vai a Roma. Ora, Rui não vai a Roma. Logo:

a) Celso compra um carro e Ana não vai à África.b) Celso não compra um carro e Luís não compra o livro.c) Ana não vai à África e Luis compra um livro.d) Ana vai à África ou Luis compra um livro.e) Ana vai à África e Rui não vai a Roma.

23. (TFC/2000) Ou Anais será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia será pianista. Se Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora, então Ana será atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então:

a) Anais será professora e Anelise não será cantora.b) Anais não será professora e Ana não será atleta.c) Anelise não será cantora e Ana será atleta.

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d) Anelise será cantora ou Ana será atleta.e) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista.

24. (Fiscal do Trabalho) Ou A=B, ou B=C, mas não ambos. Se B=D, então A—D. Ora, B—D. Logo:

a) B&Cb) B Âc) C~Ad) C~De) D*A

25. (SERPRO) Se Paulo vai a Paris, então Rui vai a Roma ou Sandra vai a Salvador. Se Rui vai a Roma, então Beto vai a Berlim. Se Beto vai a Berlim, então Sandra vai a Salvador. Ora, Sandra não vai a Salvador, logo:

a) Beto não vai a Berlim e Rui vai a Roma.b) Paulo vai a Paris e Rui vai a Roma.c) Paulo vai a Paris e Rui não vai a Roma.d) Paulo não vai a Paris e Beto vai a Berlim.e) Paulo não vai a Paris e Beto não vai a Berlim.

26. (BACEN-FCC) Aldo, Benê e Caio receberam uma proposta para executar um projeto. A seguir são registradas as declarações dadas pelos três,após a conclusão do projeto: Aldo: Não é verdade que Benê e Caio executaram o projeto. Benê: Se Aldo não executou o projeto, então Caio o executou. Caio: Eu não executei o projeto, mas Aldo ou Benê o executaram. Se somente a afirmação de Benê é falsa, então o projeto foi executado APENAS p o r :

a) Aldob) Benêc) Caiod) Aldo e Benêe) Aldo e Caio

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27. (Fiscal do Trabalho) De três irmãos — José, Adriano e Caio sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente:

a) Caio e Joséb) Caio e Adrianoc) Adriano e Caiod) Adriano e Josée) José e Adriano

28. (Polícia Civil/Ipad) João Paulo, Antônio e César são jogadores de basquete. Sabe-se que:

1) Antônio é o mais alto ou César é o mais alto;2) João Paulo é o mais alto ou Antônio é o mais baixo, mas não

ocorrem as duas opções simultaneamente. Podemos afirmar que:a) Antônio é o mais alto dos três.b) João Paulo é o mais baixo dos três.c) João Paulo é o mais alto e César é o mais baixo.d) Antônio é o mais baixo e João Paulo é o mais alto.e) César é o mais alto dos três.

29. (ANEEL/2006/Esaf) Amigas desde a infância, Beatriz, Dalva e Valna seguiram diferentes profissões e hoje uma delas é arquiteta, outra é psicóloga, e óutra é economista. Sabe-se que ou Beatriz é a arquiteta ou Dalva é a arquiteta. Sabe-se ainda que ou Dalva é a psicóloga ou Valna é a economista. Sabe-se, também, que ou Beatriz é a economista ou Valna é a economista. Finalmente, sabe-se que ou Beatriz é a psicóloga ou Valna é a psicóloga. As profissões de Beatriz, Dalva e Valna são, pois, respectivamente:

a) psicóloga, economista, arquiteta.b) arquiteta, economista, psicóloga.c) arquiteta, psicóloga, economista.d) psicóloga, arquiteta, economista.e) economista, arquiteta, psicóloga.

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30. (Fiscal do Trabalho) Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco; 2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul; 3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul; 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol,do Corsa e do Fiesta são, respectivamente:

a) branco, preto, azul.b) preto, azul, branco.c) azul, branco, preto.d) preto, branco, azul.e) branco, azul, preto.

31. (Policia Civil/Ipad) Luciano, Cláudio e Fernanda são três estudantes de Filosofia. Sabe-se que um deles estuda Frege, o outro Kant e o terceiro Wittgenstein. Sabe-se ainda que:1) Cláudio ou Fernanda estuda Frege, mas não ambos; 2) Luciano ou Fernanda estuda Kant,mas não ambos; 3) Luciano estuda Frege ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas não ocorrem as duas opções simultaneamente; 4) Fernanda ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas não ambos. Luciano, Cláudio e Fernanda estudara respectivamente:

a) Kant, Wittgenstein e Frege.b) Frege, Wittgenstein e Kant.c) Kant, Frege e Wittgenstein.d) Wittgenstein, Kant e Frege.e) Frege, Kant e Wittgenstein.

32. (Polícia Civil/Ipad) Cleyton têm três filhos: Felipe, João e Gerson. Um deles torce pelo Santa Cruz, o outro pelo Náutico e o terceiro pelo Sport. Sábe-se que: 1) João torce pelo Náutico ou Gerson torce pelo Náutico; 2) Felipe torce pelo Santa Cruz ou Gerson torce pelo Santa Cruz; 3) Felipe torce pelo Náutico ou João torce pelo Sport, mas não ocorrem as duas opções simultaneamente; 4) Gerson torce pelo Sport ou João torce pelo Sport. Os times de Felipe, João e Gerson são, respectivamente:

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a) Sport, Santa Cruz e Náutico.b) Santa Cruz, Náutico e Sport.c) Santa Cruz, Sport e Náutico.d) Náutico, Santa Cruz e Sport.e) Sport, Náutico e Santa Cruz.

33. (MPOG/2006/Esaf) Ana, Beatriz e Carla desempenham diferentes papéis em uma peça de teatro. Uma delas faz o papel de bruxa, a

outra o de fada, e a outra o de princesa. Sabe-se que: ou Ana é bruxa, ou Carla é bruxa; ou Ana é fada, ou Beatriz é princesa; ou Carla é princesa, ou Beatriz é princesa; ou Beatriz é fada, ou Carla é fada. Com essas informações conclui-se que os papéis desempenhados por Ana e Carla são respectivamente:

a) bruxa e fada.b) bruxa e princesa.c) fada e bruxa.d) princesa e fada.e) fada e princesa.

34. (MPC)G/2006/Esaf) Ana possui tem três irmãs: uma gremista, uma corintiana e outra fluminense. Uma das irmãs é loira, a outra morena, e a outra ruiva. Sabe-se que: 1) ou a gremista é loira,ou a fluminense é loira; 2) ou a gremista é morena, ou a corintiana é ruiva;3) ou a fluminense é ruiva, ou a corintiana é ruiva; 4) ou a corintiana é morena, ou a fluminense é morena. Portanto, a gremista» a corintiana e a fluminense, são, respectivamente,

a) loira, ruiva, morena.b) ruiva, morena, loira.c) ruiva, loira, morena.d) loira, morena, ruiva.e) morena, loira, ruiva.

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35. (Polícia Civil/Ipad) Saulo, Sávio e Sandro são três colegas de infância. Sabe-se que um deles é amigo de todos, o outro é inteligente e o terceiro torce pelo íbis Futebol Clube. Sabe-se ainda que:

1. Sávio ou Sandro é inteligente, mas não ambos;2. Saulo ou Sandro é amigo de todos, mas não ambos;3. Saulo é inteligente ou Sávio torce pelo íbis Futebol Clube, mas

não ocorrem as duas opções simultaneamente;4. Sandro ou Sávio torce pelo íbis Futebol Clube, mas não ambos.

Podemos afirmar que:a) Sávio é inteligente e Sandro é amigo de todos.b) Sandro é amigo de todos e Saulo torce pelo íbis Futebol Clube.c) Saulo é amigo de todos e Sávio é inteligente.d) Saulo é amigo de todos e Sandro é inteligente.e) Sandro torce pelo íbis Futebol Clube e Sávio é amigo de todos.

36. (MPU/2G04/Esaf) Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos, Beltrano e Sicrano, são culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado. Logo:

a) Fulano é inocente, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente.b) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é inocente.c) Fulano é culpado, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente.d) Fulano é inocente, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado.e) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado.

37. (AFRE/MG/2005/ESAF) Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e Leo são respectivamente:

a) culpado, culpado, culpado.b) inocente, culpado, culpado.c) inocente, culpado, inocente.

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d) inocente, inocente, culpado.e) culpado, culpado, inocente.

38. (Esaf/2003) André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então Caio é culpado. Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado. Dênis é culpado. Logo:

a) Caio e Beto são inocentes.b) André e Caio são inocentes.c) André e Beto são inocentes.d) Caio e Dênis são culpados.

, e) André e Dênis são culpados.

39. (Auditor Fiscal do Trabalho) Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive colheu evidências que o convenceram da verdade das seguintes afirmações. Se Homero é culpado, então João é culpado. Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados. Se Adolfo é inocente, então João é inocente. Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado. As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que:

a) Homero, João e Adolfo são inocentes.b) Homero, João e Adolfo são culpados.c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes.d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado.e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente.

40. (AFC/2006/Esaf) Márcia não é magra ou Renata é ruiva. Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva. Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina. Se Beatriz não é bailarina, então Márcia é magra. Assim:

a) Márcia não é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina.b) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina.c) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz não é bailarina.d) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz é bailarina.e) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz não é bailarina.

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41. (AFC/2005/Esaf) Se Pedro não bebe, ele visita Ana. Se Pedro bebe, ele lê poesias. Se Pedro não visita Ana, ele não lê poesias. Se Pedro lê poesias, ele não visita Ana. Segue-se, portanto, que Pedro:

a) bebe, visita Ana, não lê poesias.b) não bebe, visita Ana, não lê poesias.c) bebe, não visita Ana, lê poesias.d) não bebe, não visita Ana, não lê poesias.e) não bebe, não visita Ana, lê poesias.

42. (Aneel/2004/Esaf) Se não leio, não compreendo. Se jogo, não leio. Se não desisto, compreendo. Se é feriado, não desisto.Então:

a) se jogo, não é feriado.b) se não jogo, é feriado.c) se é feriado, não leio.d) se não é feriado, leio.e) se é feriado, jogo.

43. (Fiscal do Trabalho) Se Luis estuda História, então Pedro estuda Matemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda Medicina. Ora, Luis estuda História ou Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamente que:

a) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina.b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina.c) Se Luis não estuda História, então Jorge não estuda Medicina.d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática.e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia.

44. (Aneel/2006/Esaf) Perguntado sobre as notas de cinco alunas (Alice, Beatriz Cláudia, Denise e Elenise) um professor de Matemática respondeu com as seguintes afirmações:

1. “A nota de Alice é maior do que a de Beatriz e menor do que a de Cláudia”;

2. "A nota de Alice é maior do que a de Denise e a nota de Denise

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é maior do que a de Beatriz, se e somente se a nota de Beatriz é menor do que a de Cláudia”;

3. “Elenise e Denise não têm a mesma nota, se e somente se a nota de Beatriz é igual à de Alice”

Sabendo-se que todas as afirmações do professor são verdadeiras, conclui-se corretamente que a nota de:

a) Alice é maior do que a de Elenise, menor do que a de Cláudia e igual à de Beatriz.

b) Elenise é maior do que a de Beatriz, menor do que a de Cláudia e igual à de Denise.

c) Beatriz é maior do que a de Cláudia, menor do que a de Denise e menor do que a de Alice.

d) Beatriz é menor do que a de Denise, menor do que a de Elenise e igual à de Cláudia.

e) Denise é maior do que a de Cláudia, maior do que a de Alice e igual à de Elenise.

45. (AFC/2005/Esaf) A afirmação “Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro é calvo” é falsa. Segue-se, pois, que é verdade que:

a) se Bino é baixo, Alda é alta, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.

b) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.c) se Alda é alta. Bino é baixo, e se Bino não é baixo, Ciro não é

calvo.d) se Bino não é baixo, Alda é alta, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.e) se Alda não é alta, Bino não é baixo, e se Ciro é calvo, Bino não

é baixo.

46. (Auditor Fiscal do Trabalho) Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo:

a) não durmo, estou furioso e não bebo.b) durmo, estou furioso e não bebo.

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c) não durmo, estou furioso e bebo.d) durmo, não estou furioso e não bebo.e) não durmo, não estou furioso e bebo.

47. (AFC) Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. Carmem não é cunhada de Carol. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. Logo,

a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol.b) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem.c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol.d) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol.e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem.

48. (AFC) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então:

a) Carlos não é mais velho do que Júlia e João é mais moço do que Pedro.

b) Carlos é mais velho do que Pedro e Maria e Júlia têm a mesma idade.

c) Carlos e João são mais moços do que Pedro.d) Carlos é mais velho do que Pedro e João é mais moço do que

Pedro.e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm

a mesma idade.

49. (AFC) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo,

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a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.

50. (MPU/2004/Esaf) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando chove, não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje:

à). vejo Carlos, e não estou deprimida e chove, e faz calor.b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor.c) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor.d) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor.e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor.

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G abarito dos exercícios propostosOl.d 18.b 35.d02.b 19.b 36.e03.b 20 .a 37.b04.a 21.a 38.b05.a 22.a 39.b06.c 23.a 40.a07.d 24.a 41.c08.a 25.e 42.a09.b 26.b 43.alO.c 27.b 44.bll.b 28.e 45.C12.e 29.d 46.d13.b 30.e 47.b14.a 31.a 48.e15.b 32.c 49.a16.e 33.a 50.c17.c 34.a

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3 I C o n d iç ã o s u f i c i e n t e E CONDIÇÃO NECESSÁRIA

“ O matem ático não estuda m atem ática porque ela é útil; ele estuda porque se encanta e ele se encanta porque ela é bela."

Ju l b s H e n r i P o in c à r é

Diz-se que p é condição suficiente de (ou para) q sempre que p~>q. Em outras palavras, uma condição suficiente aparece como antecedente de uma proposição condicional. Usando a mesma expressão, q se diz condição necessária de (ou para) p. Em outras palavras, uma condição necessária aparece como conseqüente de uma condicional. Por exemplo, a proposição “Se João é pernambucano, então João é brasileiro” pode ser lida das seguintes maneiras:

João ser pernambucano é condição suficiente para João ser brasileiro. João ser brasileiro é condição necessária para João ser pernambucano.

Diz-se quep é condição necessária e suficiente de (ou para) q, ou que q é condição necessária e suficiente de (ou para) p sempre que p<r>q. Por exemplo, a proposição “Uma pessoa é recifense se, e somente se, nasceu no Recife” pode ser lida das seguintes maneiras:

Ser recifense é condição necessária e suficiente para ter nascido no Recife.Ter nascido no Recife é condição necessária e suficiente para ser recifense.

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Em resumo:

p-^qP é condição suficiente para q q é condição necessária parap

p<^q p é condição necessária e suficiente para q q é condição necessária e suficiente parap


1. (MEC/2008/FGV) Com relação à naturalidade dos cidadãos brasileiros, assinale a alternativa logicamente correta:

a) Ser brasileiro é condição necessária e suficiente para ser paulista.

b) Ser brasileiro é condição suficiente, mas não necessária para ser paranaense.

c) Ser carioca é condição necessária e suficiente para ser brasileiro.d) Ser baiano é condição suficiente, mas não necessária para ser

brasileiro.e) Ser maranhense é condição necessária, mas não suficiente para

ser brasileiro.

Resolução

a) Brasileiro <-> paulista. Falso, pois pode ocorrer o caso de uma pessoa ser brasileira e não ser paulista. Contradição, pois os valores lógicos das proposições componentes de uma bicondicional devem ser iguais. Uma proposição Ibicondicional equipara-se a dois condicionais: Se uma pessoa é brasileira, então ela é paulista e, se uma pessoa é paulista, então ela é brasileira.

b) Brasileiro —> paranaense. Falso, pois pode ocorrer o caso de uma pessoa ser brasileira e não ser paranaense. Como vimos, não pode ocorrer VF em uma condicional.

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c) Carioca <r~> brasileiro. Falso, pela mesma razão da alternativa A.

d) Baiano —» brasileiro. Verdadeiro» pois é impossível que uma pessoa seja baiana e não seja brasileira. Neste caso é impossível ocorrer VF. É impossível que o antecedente seja verdadeiro e o conseqüente falso.

e) Brasileiro maranhense. Falso, pela mesma razão da alternativa B.

Letra D

2. (Agente Fiscal de Rendas) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo:

a) Seu esforço é condição suficiente para vencer.b) Seu esforço é condição necessária para vencer.c) Se você não se esforçar, então não irá vencer.d) Você vencerá só se se esforçar.e) Mesmo que você se esforce você não vencerá.

Resolução

Uma condição suficiente aparece como antecedente de uma proposição condicional. Assim, seu esforço é condição suficiente para vencer.

Letra A

3. (MPU/Controle Interno/Esaf) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Da- niela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio:

a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo.

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b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.c) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.d) João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo.e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.

Resolução

Em uma linguagem coloquial, poderíamos expor a teoria da seguinte ^maneira. Se a condição for suficiente, mantenha a ordem das proposições e conecte através do conectivo “se..., então”. Se a condição for necessária, troque a ordem das proposições e conecte através do conectivo “se..., então”.Se a condição for necessária e suficiente, simplesmente conecte através do “se e somente se”. Dessa forma, temos o seguinte esquema:

F Fí ,A.... \ t .... " * r 'J..\Maria sorrir —> João estar feliz.

F F,--------- *----------, ,---------------*--------------- sJoão estar feliz —» Daniela abraçar Paulo.

Daniela abraçar Paulo «-> Sandra abraçar Sérgio.

.Sandra não abraça Sérgio,V

Letra D


01. (Bacen/2006/FCC) Sejam as proposições:p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central.q: fazer frente ao fluxo positivo.

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a) Fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central.

b) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo.

c) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para fazer frente ao fluxo positivo.

d) Fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central.

e) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo.

02. (TCE-PI/2005/FCC) O manual de garantia da qualidade de uma empresa diz que, se um cliente faz uma reclamação formal, então é aberto um processo interno e o departamento de qualidade é acionado. De acordo com essa afirmação, é correto concluir que:

a) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição necessária para que o departamento de qualidade seja acionado.

b) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição suficiente para que o departamento de qualidade seja acionado.

c) a abertura de um processo interno é uma condição necessária e suficiente para que o departamento de qualidade seja acionado.

d) se um processo interno foi aberto, então um cliente fez uma reclamação formal.

e) não existindo qualquer reclamação formal feita por um cliente, nenhum processo interno poderá ser aberto.

Se p im plica q, então:

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03. (Analista de Controle Extemo/TCU/2002) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barãô não sorriu. Logo:

a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa.c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim.e) p duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.

04. (Aneel/2006/Esaf) Sabe-se que Beto beber é condição necessária para Carmem cantar e condição suficiente para Denise dançar. Sabe- se, também, que Denise dançar é condição necessária e suficiente para Ana chorar. Assim, quando Carmem canta:

a) Beto não bebe ou Ana não chora.b) Denise dança e Beto não bebe.c) Denise não dança ou Ana não chora.d) Nem Beto bebe nem Denise dança.e) Beto bebe e Ana chora.

05. (MPOG/2005/Esaf) Carlos não ir ao Canadá é condição necessária para Alexandre ir à Alemanha. Helena não ir à Holanda é condição suficiente para Carlos ir ao Canadá. Alexandre não ir à Alemanha é condição necessária para Carlos não ir ao Canadá. Helena ir à Holanda é condição suficiente para Alexandre ir à Alemanha. Portanto:

a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

100

Guilherme Neves

c) Helena não vai à Holanda» Carlos vai ao Canadá» Alexandre não vai à Alemanha.

d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha.

e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

Gabarito dos exercícios propostos01. e02. b03. c 04* e05. c

101

4 | T a u t o l o g i a , C o n t r a d iç ã o e

C o n t in g ê n c ia

"Um especialista em resolver problem as deve ser dotado de duas qualidades incompatíveis - uma imaginação inquieta e um a paciente obstinação

H o w a r d W Ev e s

Construiremos a tabela-verdade da proposição composta (pAr) —» (~<jvr).

São três proposições simples componentes (p, q, r), portanto o número de linhas da tabela-verdade é 23=8. Dados os valores lógicos das proposições p, qer , para determinarmos o valor lógico de (pAr) —> (~qyr) devemos antes calcular os valores de pAr, ~qvr para finalmente determinar o valor da nossa composta.

p V . . W '■ ■4 pAr, m m (pAr) ^ (~<jyr)V V V p V V V

V V F F F F V

V F V V V V VV F p V F V VF V V F F V V

F V F F F F V

F F V V F V V

F F F V F V V

103


Observe que o valor lógico de (p A r ) —> (~qvr) é sempre verdadeiro, independentemente dos valores atribuídos às proposições p, q e r. Dizemos então que a proposição (p A r) —> é uma tautologia(ou proposição logicamente verdadeira). Como diz L. Hegenberg em seu Dicionário de Lógica: Tautologia, no cálculo proposicional, é uma proposição invariavelmente verdadeira — sejam quais forem os valores-verdade de suas proposições constituintes. Da mesma maneira, podemos definir contradição (ou proposição logicamente falsa) como uma proposição composta que é sempre falsa e contingência como uma proposição composta que pode verdadeira e pode ser falsa.

Exercidos resolvidos

01. Verifique se a proposição composta (p\/q)A~q é uma contradição.

Resolução

Basta construir a tabela-verdade que possui 22-4 linhas. Para determinar o valor lógico de (pvq)/\~q devemos antes determinar os valores de p\/q e de ~g.

::P: W M íM• ...

:'~/3' :• -• •••• -••• *2V V V F FV F V V VF V V F FF F F V F

A proposição (pvq)A~q admite valores V e F e, portanto, não se trata de uma contradição. Trata-se de uma contingência.

104

Guilherme Neves

0 2 . Determine se a proposição (p/\q)-+(p\'q) é uma tautologia, contradição ou uma contingência.

Resolução

íf ill SlSMl (pq)(pv<Í):V V V V VV F F V VF V F V VF F F F V

Por definição, (p/\q)->(p\/q) é uma tautologia.

03. Mostre que (p/\q)/\(~pv~q) é uma contradição.

Resolução

. .p . É ® rP ~<1 PM rpv~q- (pAq)A(~pyrq)V V F F V F FV F F V F V FF V V F F V FF F V V F V F

Como a proposição é sempre falsa independentemente dos valores das proposições componentes, a composta é uma contradição.

04. (TRT-9a Região/2004/FCC) Considere a seguinte proposição “Na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito ou não será eleito” Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza:

105


a) um silogismob) uma tautologiac) uma equivalênciad) uma contingênciae) uma contradição

Resolução

.Chamemos de p a proposição p: O candidato A será eleito. A sua negação ~p: O candidato A nãoserá v eleito. A proposição do enunciado pode então ser representada por pv~p .Vamos construir sua tabela-verdade que possui 2 1— 2

linhas.

fil BPS«8iB# ■r':py^p^:y

V F VF V V

Por definição, a proposição pv~p é uma tautologia, pois é sempre verdadeira.

Letra B

05. (Fiscal do Trabalho/Esaf) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo.b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo.c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo.d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Gui

lherme é gordo.e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.

106

Guilherme Neves

Chamemos de p: João é alto e q: Guilherme é gordo.As alternativas podem ser reescritas simbolicamente das seguintes maneiras.

a)P ~* (Pv3)b) p {pAq)c) (Pv3)d) (pVfj) —> (pAg)e) (p\/~p) —*

Resta-nos agora construir as tabelas-verdades das proposições compostas acima.

Resolução

stsisÉI8t -pyv ; PM .V V V VV F V FF V v FF F F F

V V V VV F F FV V V FV V V V

107


Dessa forma, a alternativa A é uma tautologia e as outras alternativas são contingências.

Letra A

06. (ICMS-SP/2006/FCC) No argumento “Se estudo, passo no concurso. Se não estudo, trabalho. Logo, se não passo no concurso, trabalho”, considere as proposições:

“estudo”, q: "passo no concurso” , e r. “trabalho”.

Ê verdade que:a) p, q, ~p e r são premissas e ~q-+r é a conclusão.b) a forma simbólica do argumento é (p—>q) —> (~p--»r) |-(-q — r).c) a validade do argumento é verificada por uma tabela-verdade

com 16 linhas.d) a validade do argumento depende dos valores lógicos e do con

teúdo das proposições usadas no argumento.e) o argumento é válido, porque a proposição [(p— »r)]

—> {~q—>r) é uma tautologia.

Resolução

Vamos analisar as alternativas.a) Falsa. As proposições p, q, ~p e r não são premissas. As premis

sas são (p— e (~p—»r).b) Falsa. A forma simbólica correta do argumento é (p~~>q),

{~p—>r)j-(~g—>r).c) Falsa. A tabela-verdade tem 2 3 = 8 linhas.d) Falsa. A validade do argumento não depende do conteúdo das

proposições.e) Verdadeira.

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Guilherme Neves

Eis a tabela-verdade do argumento:

f (pq)/<(~pr)] (~q~+r)V V VV V VF V VF F VV V VF V VV V VF F V

07. (Cespe/ME/Agente Administrativo) Uma proposição composta é uma tautologia quando todos os seus valores lógicos são V, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a compõem. Então, a proposição [Aa(A~~»B)] —>Bê uma tautologia.

109


Basta construir a tabela-verdade composta por 22=4 linhas.

Resolução

i m \a M

Temos então que a proposição composta [Aa(A—>B)] —> B é uma tautologia e o item está correto.


Construa a tabela-verdade das seguintes proposições compostas e demonstre que todas são tautológicas.

01. Modus Ponens: (a a (a (3)) p

0 2 . Modus Tollens: (—*(3 a (a -> P)) ">a

03. Silogismo disjuntivo: ((a v P) a -ia) P

04. Princípio da explosão: (a a ->a) -> p

05. Lei de Dun Scot: -ia (a P)

06. Lei distribuitiva: (a a (p v y)) ((a a p) v ( a a y))

07. Lei distributiva: (a v (p a y)) <-> ((a v p) a (a v y))

110

5 I E q u i v a l ê n c i a sLÓGICAS

"A imaginação é m ais im portante que o conhecimento

A jlbert E in s t e in

Duas proposições são logicamente equivalentes se e somente sep<->q é uma tautologia. Quando p é equivalente a q escrevemos p<z>q. Observe que o símbolo constrói uma nova proposição p+>q chamada bicondicional. O símbolo <=> apenas relaciona as proposições p e q dizendo que uma é equivalente à outra. Para que p<~>q seja uma tautologia, as proposições p e q devem ter o mesmo valor lógico: ou ambas são verdadeiras, ou ambas são falsas.Vamos mostrar, por exemplo, que a proposição p<~>q equivalente a (p—*q)/\(q~~>p). Ou seja, que (p<->q)<=>[(p-J>q)^(q—>p)]’ Construímos a tabela-verdade e verificamos se os valores lógicos das duas proposições são sempre iguais.

í S l i • • <2 : q p ■ : I S « Í i ÍV V V V V VV F F V F FF V V F F FF F V V V V

Assim, acabamos de mostrar que uma proposição bicondicional eqüivale à conjunção de dois condicionais.

111


Há algumas equivalências notáveis que são muito cobradas em concursos. Vamos enunciar as equivalências, demonstrá-las e aplicá-las.

Teorema: As proposições p—>q, ~q-~p e são logicamenteequivalentes.Demonstração:

mMm, .v ••••" - T~.i S S i t

V V F F V V VV F V p F F Fp ' V F V V V VF F V V V V V

Como os valores lógicos das três proposições são iguais, elas são ditas logicamente equivalentes.Em uma linguagem informal, poderíamos construir o seguinte algoritmo para construir essas proposições equivalentes notáveis» dada a proposição condicional p—>q.

Negue o antecedente e o conseqüente, troque a ordem e mantenha o conectivo *se..., então”Negue apenas o antecedente e troque o conectivo por “ou”.

Por exemplo, dada a proposição “Se bebo, então não dirijo” temos que as seguintes proposições são equivalentes a ela:

i) Se dirijo, então não bebo.ii) Não bebo ou não dirijo.

112

Guilherme Neves


01. (Polícia Civil/Ipad) A sentença “Penso, logo existo” é logicamente equivalente a:a) Penso e existo.b) Nem penso, nem existo.c) Não penso ou existo.d) Penso ou não existo.e) Existo, logo penso

ResoluçãoDada a proposição “penso —> existo”, temos, trivialmente, duas proposições equivalentes a ela:

i) Se não existo, então não penso. (Nega o antecedente e o conseqüente, troca a ordem e mantém o conectivo.)

ii) Não penso ou existo. (Nega o antecedente e troca o conectivo por ”ou”)

Letra C

02. (Serpro) Uma sentença logicamente equivalente a “Se Pedro é economista, então Luísa é solteira” é:a) Pedro é economista ou Luísa é solteira.b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira.c) Se Luísa é solteira, Pedro é economista.d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira.e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.

ResoluçãoMostramos acima que dada uma proposição condicional, podemos construir duas proposições equivalentes básicas:

113


i) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.ii) Pedro não é economista, ou Luísa é solteira.

Letra E

03. (MPOG/2006/Esaf) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro.d) Sè Bernardo é engenheiro, então André é artista.e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.

ResoluçãoDada uma proposição p —>q podemos construir uma proposição logicamente equivalente negando o antecedente e trocando o conectivo por “ou” obtendo a proposição -ps/q. Podemos seguir o caminho contrário; dada uma proposição com o conectivo “ou”, construímos uma equivalente negando a primeira proposição e trocando o conectivo por “se..., então”. Assim, a proposição “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é equivalente a “Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro”, que, por sua vez, é equivalente a “Se Bernardo é engenheiro, então André é artista”.

Letra D

04. (TCE/MG/2007/FCC) São dadas as seguintes proposições:

(1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente.(2 ) Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é

eficiente.(3) Não é verdade que, Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não

é eficiente.(4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas.

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Guilherme Neves

É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de númerosa) 2 e4b) 2 e 3c) 2, 3 e 4d) 1 ,2 e 3e) 1, 3 e 4

ResoluçãoChamando de p: “Jaime trabalha no Tribunal de Contas” e de q: “Jaime é eficiente” as proposições (1 ), (2), (3) e (4) podem, simbolicamente, ser reescritas das seguintes maneiras:

(1 (2) ~p—>~q (3)~(pA~q) (4) q v ~ p

Vamos então construir a tabela-verdade e verificar quais são equivalentes.

p'; A p^~q (X): p~^q (2 ); (3): ~(pA~g) (4): qv~pV V F F F V V V VV F F V V F V F FF V V F F V F V VF F V V F V V V V

Observe que as proposições ( 1 ), (3) e (4) possuem as mesmas valora- ções e, portanto, são equivalentes.

Letra E

05. (Papiloscopista/2004/Cespe) Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F), A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P—>Q, que

115


será F quando P for V e Q for F, ou V> nos outros casos; a disjunção de P eQ , denotada por PvQ, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por PaQ> que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ->P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição.

A partir das informações do texto acima, julgue os itens subsequentes.

1. As tabelas de valorações das proposições PvQ e Q—»“iP são iguais.2 . As proposições -»(P—>(-»Q)) e Q-*(-jP) possuem tabelas de valorações iguais.

ResoluçãoBasta construir as tabelas-verdades e verificar.

W M m B i t f l WêM M i i i i iV V F F V FV F F V V VF V V F V VF F V V F V

As valorações de PvQ e Q~~»~iP não são iguais e, portanto, o item 1 é incorreto.

PV V F F p V FV F F V V F VF V V F V F. VF F V V V F V

Guilherme Neves

As valorações de —«(P—>(“>Q)) e Q-»(-iP) não são iguais e, portanto, o item é incorreto.

06. (Aneel/2006/Esaf) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo:a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.

ResoluçãoTemos que:i) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa não estudar.ii) Elisa não estudar é condição necessária para Elaine não ensaiar.

Como não há alternativas com essas proposições, procederemos da seguinte maneira. Construiremos uma proposição equivalente à proposição dada e em seguida escreveremos na linguagem de condição suficiente e condição necessária.

A proposição “Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda” é equivalente a “Se Elisa estuda, então Elaine ensaia” Temos que:

i) Elisa estudar é condição suficiente para Elaine ensaiar.ii) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.

Letra E

07. (Cespe) Julgue o item a seguir:

1 . As proposições (PvQ)-^S e (P~-»S)v(Q—>S) possuem tabelas de valorações iguais.

117


ResoluçãoBasta construir a tabela-verdade e verificar. Lembrando que o número de linhas de uma tabela-verdade de uma proposição composta constituída de três proposições simples possui 2 5 = 8 linhas.

í iÊ I ! ü Pv<? q~>sV V V V V V V VV V F V F F F FV F V V V V V VV p p V F V F VF V V V V V V VF V p V V F F VF F V F V V V VF F F F V V V V

O item está incorreto.

08. (ICMS-SP/2006/FCC) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p ,q e r . Sua tabela-verdade é:

P Ê Ê â wSMMV V V VV V F VV F V FV F F VF V V VF V F VF F V FF F F V

Guilherme Neves

Usando a conjunção (a ), a disjunção ( v ) e a negação (~), pode-se construir sentenças equivalentes a s. Uma dessas sentenças éa) (~pv^v~r)A(pv<3v~r)b) (pv<2vr)A(~pv~<jvr)c) (pA<jA~r)v(pA~<jA~r)d) (pA<2Ar)v(~pA~íjAr)e) (pA~Âr)v(~pA~Âr)

ResoluçãoEsta questão é muito trabalhosa para ser respondida no curto tempo disponível em um concurso, pois o candidato é obrigado a analisar cada uma das alternativas (todas enormes e trabalhosas). No entanto, o candidato persistente e brasileiro (aquele que não desiste) que começou a testar pela alternativa A obteve sucesso, pois é a alternativa correta.

Letra A

p r ~P ~j5vgv~r pvq. pyqy~ r (~p'vq\r~r)J\(p'vqv~r)V V V F p V V V V VV V F F V V V V V VV F V F F F F V V FV F F F V F V V V VF V V V F V V V V VF V F V V V V V V VF F V V F V V F p FF F F V V V V F V V

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01. (ISS/SP/2007/FCC) Considere a seguinte proposição: “Se um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento, então ele não progride na carreira” Essa proposição é tauto- logicamente equivalente à proposição:

a) Não é verdade que ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento.

b) Se um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento, então ele progride na carreira.

c) Não é verdade que um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento e não progride na carreira.

d) Um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento.

e) Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento e progride na carreira.

02. (Agente Fiscal de Rendas) Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo:a) Se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu,b) Rodrigo é culpado.c) Se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado.d) Rodrigo mentiu.e) Se Rodrigo é culpado, então ele mentiu.

03. (Bacen/FCC) Se Pedro gosta de pimenta, então ele é falante. Portanto:

a) Se Pedro não é falante, então ele não gosta de pimenta.b) Se Pedro é falante, então ele gosta de pimenta.c) Se Pedro é falante, então ele não gosta de pimenta.d) Se Pedro não gosta de pimenta, então ele não é falante.e) Se Pedro gosta de pimenta, então ele não é falante.

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Guilherme Neves

04. (Delegado-PC-MA/2006/FCC) As sentenças abaixo são verdadeiras.> Se vou à Brasília de avião, o voo atrasa.> Se o voo para Brasília atrasa, fico mal-humorado.Então também é verdade que:a) se o voo para Brasília não atrasa, não estou indo à Brasília.b) se não vou à Brasília de avião, fico mal-humorado.c) se o voo para Brasília não atrasa, não fico mal-humorado.d) o voo para Brasília não atrasa e não fico mal-humorado.e) vou à Brasília de avião e não fico mal-humorado.

05. (AFC/2005/Esaf) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo:a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear.b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear.c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear.d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear.e) Marcos estudar é condição necessária para João passear.

06. (MPOG/2006/Esaf) Dizer que "Ana não é alegre ou Beatriz é feliz” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer:a) se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz.b) se Beatriz é feliz, então Ana é alegre.c) se Ana é alegre, então Beatriz é feliz.d) se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz.e) se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz.

07. (Aneel/2006/Esaf) Uma sentença logicamente equivalente a “Se Ana é bela, então Carina é feia” é:a) Se Ana não é bela, então Carina não é feia.b) Ana é bela ou Carina não é feia.c) Se Carina é feia, Ana é bela.d) Ana é bela ou Carina é feia.e) Se Carina não é feia, então Ana não é bela.

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08. (Gestor Fazendário/MG/2005/Esaf) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação:a) “É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’”b) “Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em

Paris’”.c) “Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está

em Paris”’d) “Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo está em

Paris’”.e) “Ê verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris”’.

09. (Fiscal do Trabalho/1998/Esaf) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro.c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista.d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista.e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.

10. (ICMS-SP/2006/FCC) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a p—>q é:a) ~q-+~pb) ~q-+pc) ~p—>~qd) q—e) ~(q—>p)

(Cespe/ME/Agente Administrativo) Uma proposição é uma declaração que pode ser afirmativa ou negativa. Uma proposição pode ser julgada verdadeira ou falsa. Quando ela é verdadeira, atribui-se o valor lógico V e, quando é falsa, atribui-se o valor lógico F. Uma proposição simples é uma proposição única, como, por exemplo, “Paulo

122

Guilherme Neves

é engenheiro”. As proposições simples são representadas por letras maiúsculas A, B, C, etc. Ligando duas ou mais proposições simples entre si por conectivos operacionais, podem-se formar proposições compostas. Entre os conectivos operacionais, podem-se citar: “e”, representado por a ; “ou” representado por v; “se... então”, representado por —>; e “não”, representado por -i. A partir dos valores lógicos de duas (ou mais) proposições simples A e B, pode-se construir a tabela-verdade de proposições compostas. Duas proposições são equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade. Com base nessas informações julgue os itens de 1 1 a 1 2 .

1 1 . Considere as seguintes proposições.A: Maria não é mineira.B: Paulo é engenheiro.Nesse caso, a proposição “Maria não é mineira ou Paulo é engenheiro” que é representada por A\zB, é equivalente à proposição “Se Maria é mineira, então Paulo é engenheiro”, simbolicamente representada por (~iA)~~>B.

1 2 . (Cespe) O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta (AaB)v C é igual a 6 .

13. (TRF~3a Região/FCC) Se Lúcia é pintora, então ela é feliz. Portanto:a) Se Lúcia não é feliz, então ela não é pintora.b) Se Lúcia é feliz, então ela é pintora.c) Se Lúcia é feliz, então ela não é pintora.d) Se Lúcia não é pintora, então ela é feliz.e) Se Lúcia é pintora, então ela não é feliz.

123


14. (MF/2009/Esaf) X e Y são números tais que: Se X < 4, então Y>7. Sendo assim:

a) Se Y<7, então X>4.b) Se Y>7, então X>4.c) Se X>4, então Y<7.d) Se Y<7, então X>4.e) Se X<4, então Y>7.


01. d0 2 . a03. a04. a05. e06. c07. e08. d09. a1 0 . a1 1 . Correto1 2 . Incorreto13. a

6 I N e g a ç ã o

"Todo conhecimento logicamente perfeito tem sempre alguma utilidade possível. Mesmo que ela nos escape no momento, pode ser que a posteridade a descubra ”

K a n t

Dedicaremos um capítulo especial às negações. Vimos no primeiro capítulo o seguinte texto:Dada uma proposição p qualquer, uma outra proposição, chamada negação de p> pode ser formada escrevendo-se “É falso que...” antes dep ou, se possível, inserindo a palavra “não”. Simbolicamente, a negação de p é designada por ~p ou ->p. Para que ~p seja uma proposição, devemos ser capazes de classificá-la em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar) o seguinte critério de classificação: A proposição ~p tem sempre o valor lógico oposto de p, isto é, ~p é verdadeira quando p é falsa e ~p é falsa quando p é verdadeira.

ISIStSlSfeíIV FF V

Tabela-verdade l

Exemplo: p : Paris está na França.

~ p : É falso que Paris está na França. ~ p : Paris não está na França.

125


~ p : Não é verdade que Paris está na França,

Devemos ter certo cuidado ao negar as proposições. Em termos de lógica, a negação de uma proposição p será a proposição ~p. A negação de “A parede é branca” é “A parece não é branca”. A negação efetua a simples troca do valor verdade de p. Assim, quando p é verdadeira, ~p é falsa; quando p é falsa, ~p é verdadeira. Essa simplicidade lógica se opõe às várias complicações que a negação coloca nos discursos. Considere então a proposição:

“Guilherme jogou um livro na perna áe Abelardo”

A negativa, de acordo com a Lógica, limita-se a trocar o valor-verdade da afirmação feita. Limita-se a dizer que a afirmativa é falsa. Entretanto, essa falsidade pode recair em vários itens da afirmação.

i) Não foi Guilherme quem jogou o livro, foi João.ii) Não jogou, apenas encostou.iii) Não foi um livro, e sim um caderno.iv) Não foi na perna, foi na barriga.v) Não foi em Abelardo, foi em Paulo.

Como nos revela este exemplo, há uma negação “externa” aplicável a uma proposição inteira, e uma negação interna, aplicável a algum componente da proposição. Queremos com isso mostrar que, por exemplo, não são equivalentes as proposições ~(p/\q) e ~pA~q. Para evitar dúvidas, enunciaremos as “fórmulas” de negação das proposições compostas, demonstraremos e, em seguida, aplicaremos nas diversas questões de concurso.

126

Guilherme Neves

Negação das proposições usuais

•Wv;: ÀfirstiÉiação:.. ■Negaçãp ^

P ~PPMpvqp-^q pA~qp<->q (pA~g)v(Â~p)

Poderíamos montar esta tabela em uma linguagem informal para um melhor entendimento do leitor iniciante.

Áfirm Negação

p ^ q Negue as duas proposições e troque o conectivo “enpelo conectivo “ou”.

pvqNegue as duas proposições e troque o conectivo “ou” pelo conectivo “e”.

p — qAfirme o antecedente, troque o conectivo condicional pelo conectivo V ’ e negue o conseqüente.

p<~>qAfirme a primeira “e” negue a segunda, coloque o conectivo “ou” e em seguida afirme a segunda “e” negue a primeira.

w W;-_ _ _

P M H S m l ~pv~q Pwci ~(pvq) ~p/\~qV V P F V F F V F FV F F V p V V V F FF V V F F V V V F FF F V V F V V F V V

127


Mostramos que ~{p/\q) é equivalente a ~p\/~q e que ~(pvq) é equivalente a ~pA~q.

~{p/\q) <> ~pv~q ~(pvq) <=> ~p^~q

Estas duas equivalências são chamadas Leis de De Morgan em homenagem ao matemático inglês Augustus De Morgan (1806-1871).

Demonstremos agora as fórmulas de negação do condicional e do bicondicional.

4 # ~(p->q) pA~q q/\~p p<->q ~(p+*q) (pX~q)\/(qsK~p)V V F F V F F F V F FV F F V F V V F F V VF V V F V F F V F V VF F V V V F F F \/ F F

Mostramos que ~(p-*q) eqüivale a p/\~q e que ~(p**q) eqüivale a ( p A ~ g ) v ( 4 A ~ p ) .

~(p<r±q) <=> (p/\~q)v(qA,~p)

Negar uma proposição é o mesmo que responder à pergunta “quando é que ela é falsa?” Dessa forma:

i) Quando é que uma conjunção p/\q é falsa?Resposta: Quando p é falsa» ou q é falsa, ou ambas p e q são falsas.

128

Guilherme Neves

Assim sendo, a negação de (p e q) é (não- p ou não- q).

ii) Quando é que uma disjunção pwq é falsa?Resposta: Quando ambas p e q são falsas. Assim sendo, a negação de (p ou q) é (não- p e não- q).

iii) Quando é que uma condicional p~rq é falsa?Resposta: Quando p é verdadeira e q é falsa, ou seja, quando acontece VR Assim sendo, a negação de (Se p, então q) é (p e não- q).

iv) Quando é que uma bicondicional p*~>q é falsa?Resposta: Quando os valores lógicos à e p e q são diferentes. Ou seja, quando p é verdadeiro e q é falso, ou quando q é verdadeiro e p é falso. Assim sendo, a negação de (p se e somente se q) é ((p e não- q) ou (q e não- p))

Vejamos alguns exemplos.Exemplo 1 : Conjunção ~{p/\q) <=> ~p\/~q Afirmação: Vou ao cinema e vou ao teatro.Negação: Não vou ao cinema ou não vou ao teatro.

Exemplo 2: Disjunção ~(pv^) <=> ~p/\~qAfirmação: Eu te ensino Lógica ou meu nome não é Guilherme. Negação: Não te ensino Lógica e meu nome é Guilherme.

Exemplo 3: Condicional ~(p—>q) <z>p/\~q Afirmação: Se bebo, então não dirijo.Negação: Bebo e dirijo.

Exemplo 4: Bicondicional ~(p<r>q) <=> (pA~g)v(gA~p)Afirmação: Sou recifense se e somente se nasci no Recife.Negação: Sou recifense e não nasci no Recife ou nasci no Recife e não sou recifense.

129


Se n t e n ç a s a b e r t a s , q u a n t if ic a d o r e s

Observe as seguintes expressões:a) 2x+6—0b) x-3>0

Elas contêm variáveis e seus valores lógicos (verdadeiro ou falso) dependem do valor atribuído à variável.

à) 2x+6~0 é verdadeira se trocarmos x por -3 e é falsa para qualquer outro valor atribuído a x

b) x-3>0 é verdadeira, por exemplo, para x=8 e falsa, por exemplo, p a r a t i .

Expressões que contêm variáveis são chamadas de sentenças abertas ou funções proposicionais. Como já comentamos no primeiro capítulo, tais expressões não são proposições, pois seus valores lógicos dependem dos valores atribuídos às variáveis. Entretanto, temos duas maneiras de transformar funções proposicionais em proposições: atribuir valor às variáveis ou utilizar quantificadores. Quantificadores são palavras ou expressões que indicam que houve quantificação. São exemplos de quantificadores as expressões: existe, algum, todo, cada, pelo menos um, nenhum. Note que os dicionários, de modo geral, não registram "quantificador”. Esse termo, no entanto, é de uso comum na Lógica.Uma proposição é dita categórica quando é caracterizada por um quantificador seguido por uma classe ou de atributos,um elo e outra classe de atributos. Vejamos exemplos de proposições quantificadas.

Proposição universal afirmativa Todo recifense é pernambucano.

Proposição universal negativa Nenhum recifense é pernambucano.

Proposição particular afirmativa Algum recifense é pernambucano.

Proposição particular negativa Algum recifense não é pernambucano.

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Guilherme Neves

Observe que a proposição universal negativa “Nenhum recifense é pernambucano” eqüivale a dizer que “Todo recifense não é pernambucano” Dessa forma, a expressão “nenhum” pode ser substituída pela expressão “todo... não ...”O quantificador universal é indicado pelo símbolo V, que se lê: “todo”, “qualquer que seja” “para todo”.O quantificador existencial é indicado pelo símbolo 3, que se lê: “algum” “existe”, “existe pelo menos um”, ”pelo menos um”, “existe um”. Note que uma função proposicional (ou sentença aberta) quantificada é uma proposição. Então, como proposições, podem ser negadas.

N e g a ç ã o ü e p r o p o s iç õ e s q u a n t if ic a d a s

Em resumo, temos o seguinte quadro para negação de proposições quantificadas.

•: :;;ví >2" -V- NegaÇãÒ' ; '

Particular afirmativa (“algum...”) Universal negativa (“nenhum...” ou “todo... n ão ...”)

Universal negativa (“nenhum..” ou “todo... não...”)

Particular afirmativa (“algum...”)

Universal afirmativa (“todo...”) Particular negativa (“algum... não”)Particular negativa (“algum... não”) Universal afirmativa (“todo...”)

Vejamos alguns exemplos:

p : Algum político é honesto. p : Existe político honesto.

~ p : Nenhum político é honesto. ~ p : Todo político não é honesto.

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q : Nenhum brasileiro é europeu, q : Todo brasileiro não é europeu.

~ q : Algum brasileiro é europeu.~ q : Existe brasileiro que é europeu.

r : Todo concurseiro é persistente.~ r : Algum concurseiro não é persistente.~ r : Existe concurseiro que não é persistente.* N

t : Algum recifense não é pernambucano. t : Existe recifense que não é pernambucano.

~ t : Todo recifense é pernambucano.

Observação: Como saberemos se uma questão qualquer se refere à negação?De três maneiras:

i) A questão explicitamente pede a negação de uma proposição dada.ii) A questão fornece uma proposição verdadeira e pede uma falsa.iii) A questão fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira.


01. (AFC/2002/Esaf) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:

a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.

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Guilherme Neves

ResoluçãoComentamos que quando uma questão nos fornece uma proposição falsa e nos pede uma verdadeira, deveremos assinalar a negação da proposição dada. Assim, quando a questão fala que “não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto”, temos que a proposição “Pedro é pobre e Alberto é alto” é falsa. Para assinalarmos uma proposição verdadeira, deveremos negar a proposição dada. Lembremos: para negar uma proposição composta pelo conectivo “e” negamos as duas proposições constituintes e trocamos o conectivo “e” pelo conectivo “ou” (Lei de De Morgan). Dessa forma, a negação de “Pedro é pobre e Alberto é alto” é “Pedro não é pobre ou Alberto não é alto”.

Letra A

Afirmação Pedro é pobre e Alberto é altoNegação Pedro não é pobre ou Alberto não é alto

02. (Fiscal Trabalho/1998/Esaf) A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é:

a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva.c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva.e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.

ResoluçãoPara negar uma proposição condicional: afirme o antecedente, troque o conectivo condicional pelo conectivo “e” e negue o conseqüente. Assim, a negação de “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é “está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.

Letra E

133


Afirmação Se estiver chovendo então eu levo o guarda-chuvaNegação Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva

03. (TRT/9a Região/2004/FCC) A correta negação da proposição “todos os cargos deste concurso são de analista judiciário" é:

a) alguns cargos deste concurso são de analista judiciário.b) existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário.c) existem cargos deste concurso que são de analista judiciário.d) nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário.e) os cargos deste concurso são ou de analista, ou no judiciário.

ResoluçãoA negação de uma proposição universal afirmativa (“todo...”) é a particular negativa (“algum... não”). Lembrando que o quantificador existencial “algum” eqüivale à expressão “existe”. Dessa forma, a correta negação da proposição dada é “existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário”. Para negar uma proposição com a expressão “todo...” troca-se o quantificador por “algum/existe” e modifica-se o verbo, nega-se o verbo.

Letra B

Afirmação Todos Os cargos deste concurso são de analista judiciário.Negação Existem Cargos deste concurso que não são de analista judiciário.

0 4 (xj/PE/2007/FCC) Considere a afirmação abaixo. Existem funcionários públicos que não são eficientes. Se essa afirmação é FALSA, então é verdade que:

a) nenhum funcionário público é eficiente.b) nenhuma pessoa eficiente é funcionário público.

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Guilherme Neves

c) todo funcionário público é eficiente.d) nem todos os funcionários públicos são eficientes.e) todas as pessoas eficientes são funcionários públicos.

ResoluçãoComo vimos, quando o enunciado nos fornece uma proposição falsa e nos pede uma proposição verdadeira, devemos obter a sua negação. Assim, a negação de uma proposição particular negativa (“algum... não”) é a proposição universal afirmativa (todo...). Temos então que a negação de “Existem funcionários públicos que não são eficientes” é “todo funcionário público é eficiente” Em outras palavras, para negar uma proposição com a expressão “existe/algum”, trocamos o quantificador por “todo” e modificamos o verbo, negamos o verbo. Como a negação de “não ser eficiente” é “ser eficiente”, temos o resultado acima.

Letra C

Afirmação Existem funcionários públicos que não são eficientes.Negação Todo funcionário público é eficiente.

05. (Bacen) Assinale a frase que contradiz a seguinte sentença: “Nenhum pescador é mentiroso”

a) Algum pescador é mentiroso.b) Nenhum pescador é mentiroso.c) Todo pescador não é mentiroso.d) Algum mentiroso não é pescador.e) Algum pescador não é mentiroso.

ResoluçãoA negação de uma proposição universal negativa é a proposição particular afirmativa. Em outras palavras, para negar uma proposição

135


com a expressão “nenhum” troque o quantificador por “algum” e mantenha o verbo. Assim, a negação de “nenhum pescador é mentiroso” é “algum pescador é mentiroso”. Observe que a proposição “nenhum pescador é mentiroso” eqüivale a “todo pescador não é mentiroso”; vimos na questão 3 que, para negar uma proposição com a expressão “todo” trocamos o quantificador por “algum/existe” e modificamos o verbo.

Letra A

Afirmação Nenhum Pescador é mentiroso.\

Negação Algum Pescador é mentiroso.

Afirmação j Todo Pescador não é mentiroso.Negação | Algum Pescador é mentiroso.

06. (ICMS/SP/2006/FCC) Dentre as alternativas abaixo, assinale acorreta.

a) As proposições ~(p/\q) e (~pv~g) não são logicamente equivalentes.

b) A negação da proposição “Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está bom”, é a proposição “Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo não está bom”

c) A proposição ~[pv~(pA.q)] é logicamente falsa.d) A proposição “Se está quente, ele usa camiseta”, é logicamente

equivalente à proposição “Não está quente e ele usa camiseta”.e) A proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular” é

falsa.

ResoluçãoAnalisemos cada uma das alternativas:

Guilherme Neves

a) No decorrer do corrente capítulo, demonstramos as Leis de De Morgan.

~ (p A q ) <=> ~ p v ~ q

~ (p v q ) <£> ~ p A ~ q

Assim sendo, a proposição ~(pAg) é equivalente a (~pv~g). Portanto, a alternativa A é falsa.

b) Para negar uma proposição bicondicional p< >q afirme a primeira “e” negue a segunda, coloque o conectivo “ou” e em seguida afirme a segunda “e” negue a primeira. Desta forma, a negação da proposição "Ele faz caminhada se e somente se o tempo está bom” é “Ele faz caminhada e o tempo não está bom ou o tempo está bom e ele não faz caminhada” A alternativa B é, portanto, falsa.

Afirmação Ele faz caminhada se e somente se o tempo está bom.

Negação Ele faz caminhada e o tempo não está bom ou o tempo está bom e ele não

faz caminhada.

c) Dizer que uma proposição é logicamente falsa é o mesmo que dizer que se trata de tuna contradição. A proposição ~[pv~(pAg)] é logicamente falsa. Para avaliar esta afirmativa, vamos construir a sua tabela-verdade. Devemos primeiramente determinar o valor lógico d ep A q e em seguida a sua negação ~(pAq). Feito isso, calculamos o valor lógico da disjunção p\/~(pAq) e finalmente a proposição dada ~[pv~{pAq)}. Como são duas as proposições simples envolvidas, a tabela-verdade terá 22 - 4 linhas.


p Ü i i wWéSM. ~(PAS) | ^:

< f:

V V V F V FV V F V V FF F F V V FF F p V V F

A proposição ~[pv~(pA<j)] é sempre falsa e trata-se, portanto, de uma contradição. A alternativa C é verdadeira.

d) A' proposição “Se está quente, ele usa camiseta”, é logicamente equivalente à proposição “Não está quente e ele usa camiseta” Chamando de p: “Está quente” e de q: “ele usa camiseta” devemos avaliar se as proposições p—>q e ~p/\q são equivalentes.

S l Ü f t S S § S t f3 f ;S I ~pA qV V F V FV F F F FF V V V VF F V V p

As valorações das duas proposições não são iguais e, portanto, não são equivalentes. A alternativa D é falsa.

e) A proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular” é falsa. Uma proposição condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso (VF). Sabemos que a Terra não é quadrada e que a Lua não é triangular. Assim sendo, a condicional acima é verdadeira, pois o antecedente e o conseqüente são falsos. A alternativa E é falsa.

Letra C

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Guilherme Neves

07. (ICMS-SP/2006/FCC) Considere as seguintes frases:

I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.II. x+v é um número inteiro.

5III. João da Silva foi o secretário da Fazenda do Estado de São Paulo ~ em 2 0 0 0 .

É verdade que APENAS:a) I e II são sentenças abertas.b) I e III são sentenças abertas.c) II e III são sentenças abertas.d) I é uma sentença aberta.e) II é uma sentença aberta.

ResoluçãoA frase I é uma sentença aberta, pois “Ele” pode, nesta questão, estar se referindo a um homem qualquer. Não podemos classificá-la em V ou F, pois não sabemos sobre quem estamos falando. A frase I seria uma proposição se, por exemplo, o locutor apontasse para uma pessoa e falasse “Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005”. A fraseII é, sem dúvida, uma sentença aberta, pois há duas variáveis e infinitos valores que podem tornar a frase verdadeira ou falsa. Já a fraseIII não é uma sentença aberta, pois facilmente podemos verificar o sujeito e classificá-la em V ou F.

Letra A


01. (Ministério de Desenvolvimento Agrário/2009/UFF) Dentre as proposições abaixo, a que é uma NEGAÇÃO de “Existe algum professor que é flamenguista” é:

139


a) Existe algum professor que não é flamenguista.b) Todo professor não é flamenguista.c) Todo professor é flamenguista.d) Existe alguém, que não é professor, flamenguista.e) Existe pelo menos um professor flamenguista.

02. (Aneel/2006/Esaf) A negação da afirmação condicional “se Ana viajar, Paulo vai viajar” é:

a) Ana não está viajando e Paulo vai viajar.b) se Ana não viajar, Paulo vai viajanc) Ana está viajando e Paulo não vai viajar.d) Ana não está viajando e Paulo não vai viajar.e) se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar.

03. (SAD/PE/2008/FGV) A negação da frase “Todos os homens dirigem bem” é:

a) todos os homens dirigem mal.b) todas as mulheres dirigem bem.c) todas as mulheres dirigem mal.d) nenhum homem dirige bem.e) existem homens que dirigem mal.

04. (Serpro) Se não é verdade que ‘Alguma professora universitária não dá aulas interessantes”, então é verdade que:

a) todas as professoras universitárias dão aulas interessantes.b) nenhuma professora universitária dá aulas interessantes.c) nenhuma aula interessante é dada por alguma professora univer

sitária.d) nem todas as professoras universitárias dão aulas interessantes.e) todas as aulas interessantes são dadas por professoras universitá

rias.

140

Guilherme Neves

05. (Anpad) Para que a afirmativa “Todo matemático é louco” seja falsa, basta que:

a) todo matemático seja louco.b) todo louco seja matemático.c) algum louco não seja matemático.d) algum matemático seja louco.e) algum matemático não seja louco.

06. (CVM/2000/Esaf) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, eqüivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:

a) pelo menos um economista não é médicob) nenhum economista é médicoc) nenhum médico é economistad) pelo menos um médico não é economistae) todos os não médicos são não economistas

07. (Fiscal Recife/2003/Esaf) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta” A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição:

a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.

08. (ICMS/SP/2006/FCC) S e p e q são proposições, então a proposição p/\(~q) é equivalente a:


a) ~(p~~>~q)b) ~(p—c) ~q~>~pd)e) ~(pvg)

(Cespe/ME/Agente Administrativo) Uma proposição é uma declaração que pode ser afirmativa ou negativa. Uma proposição pode ser julgada verdadeira ou falsa. Quando ela é verdadeira» atribui-se o valor lógico V e, quando é falsa, atribui-se o valor lógico E Uma proposição simples é uma proposição única, como, por exemplo, “Paulo é engenheiro” As proposições simples são representadas por letras maiúsculas A, B, C, etc. Ligando duas ou mais proposições simples entre si por conectivos operacionais, podem-se formar proposições compostas. Entre os conectivos operacionais, podem-se citar: “e”, representado por a ; “ou”, representado por v ; “se... então”, representado por — e “não”, representado por —i . A partir dos valores lógicos de duas (ou mais) proposições simples A e B, pode-se construir a tabela-verdade de proposições compostas. Duas proposições são equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade. Gom base nessas informações julgue o item a seguir.

09. Considere as seguintes proposições.

A: Está frio.B: Eu levo o agasalho.

Nesse caso, a negação da proposição composta “Se está frio, então eu levo o agasalho” —A B— pode ser corretamente dada pela proposição “Está frio e eu não levo o agasalho” — A a (—iB) .

10. (Sefaz/SP/2009/Esaf) A negação de “Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra” é:

a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.

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Guilherme Neves

b) Paris não é a capital da Inglaterra.c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra.d) Milão não é a capital da Itália.e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.

11. (MF/2009/Esaf) A negação de “Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em casa” é:

a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em casa.b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa.c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica era casa.d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa.e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa.

12. (AFRFB/2009/Esaf) Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar que:a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.

Gabarito0 1 . b0 2 . c03. e04. a05. e06. a

07. c08. b09. Correto1 0 . a1 1 . b 1 2 . e

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7 I Ver d a d es e M e n t ir a s : C u lpa d o s e In o c e n t e s

“A repetição não transforma em verdade uma mentira

Fr a n k l in Ro o sevelt

Ê muito comum em provas de concursos ocasiões envolvendo pessoas verazes e mentirosas, ou situações em que ocorreu, por exemplo, um crime em que há culpados e inocentes. Faremos uma breve exposição de algumas dicas que poderão ajudar o estudante a descobrir quem é quem em cada uma das questões.Imagine que em certo lugar há pessoas verazes (que sempre dizem a verdade) e pessoas mentirosas (que sempre mentem). Vamos tentar responder algumas perguntas feitas a cada uma dessas pessoas:

a) Você é veraz?Se a pessoa indagada for uma pessoa realmente veraz, ela responderá que “sim” pois estará dizendo a verdade. Se a pessoa indagada for uma pessoa mentirosa, ela também responderá que “sim”, pois estará mentindo. Em suma, se perguntarmos a uma pessoa, seja ela veraz ou mentirosa, se ela diz a verdade, a sua resposta será “sim”.

b) Você é mentiroso?De maneira análoga, se a pessoa que for responder for uma pessoa veraz, ela dirá que “não”. Se a pessoa questionada for um mentiroso, ele deverá mentir e, portanto, responderá que “não”. Então, se perguntarmos a uma pessoa, seja ela veraz ou mentirosa, se ela é mentirosa, a sua resposta será “não”.

145


c) Se eu lhe perguntasse se você é veraz, o que me responderia?Neste caso, estamos forçando a pessoa questionada a responder algo sobre algo que ela disse anteriormente. Se a pessoa questionada for uma pessoa veraz, ela deverá responder qual seria a resposta a pergunta “Você é veraz?”. Ela dirá a verdade e responderá: “A minha resposta seria ‘sim”’ Se a pessoa questionada for mentirosa, ela será forçada a mentir (pois é mentirosa) sobre algo declarado por ela anteriormente (que foi outra mentira). A resposta do mentiroso à pergunta “Você é veraz?” é “sim”. Então ele dirá: "A minha resposta seria ‘não”’. Forçamos o mentiroso a mentir duas vezes, ou seja, fizemos com que ele dissesse a verdade.

d) Se eu lhe perguntasse se você é mentiroso, o que me responderia?A resposta de ambos (veraz e mentiroso) à pergunta "Você é mentiroso?” é <£não” O veraz então responderá: "A minha resposta seria ‘não’”, pois estará dizendo a verdade. O mentiroso responderá que “sim”, pois mentirá sobre a resposta dele próprio) e porque foi forçado a dizer a verdade (mentir sobre uma mentira).

Em resumo, temos dois tipos de pessoas (verazes e mentirosas) e as seguintes perguntas e respectivas respostas:

• . . , T " ■_ . . . • . . . . . . ;.• • : " • •• ’ - •• Mentiroso

Você é veraz? SIM SIMVocê é mentiroso? NÃO NÃOSe eu lhe perguntasse se você é veraz, o que me responderia? SIM NÃO

Se eu lhe perguntasse se você mentiroso, o que me responderia? NÃO SIM

Outra situação muito comum é a seguinte: Guilherme diz: “Thiago é culpado”.

146

Guilherme Neves

Ora, se Guilherme estiver dizendo a verdade, Abelardo estará mentindo ao chamar Guilherme de mentiroso. Se Guilherme estiver mentindo, Abelardo estará dizendo a verdade ao chamar Guilherme de mentiroso.Conclusão: Se em alguma questão uma pessoa A chamar a pessoa B de mentirosa, ou dizer que ela não tem razão, ou que está enganada, teremos uma pessoa veraz e uma pessoa mentirosa. É impossível termos dois verazes ou dois mentirosos.

Estamos prontos para resolver algumas questões.


01. (MEC/2008/FGV) Perguntou-se a três pessoas qual delas se chamava Antônio. A primeira pessoa respondeu: “Eu sou Antônio” A seguir, a segunda pessoa respondeu: “Eu não sou Antônio”. Finalmente, a terceira respondeu: “A primeira pessoa a responder não disse a verdade”. Sabendo-se que apenas uma delas se chama Antônio e que duas delas mentiram, é correto concluir que Antônio:

a) foi o primeiro a responder e que somente ele disse a verdade.b) foi o primeiro a responder e que a segunda pessoa foi a única a

dizer a verdade.c) foi o primeiro a responder e que a terceira pessoa foi a única a

dizer a verdade.d) foi o segundo a responder e que somente ele disse a verdade.e) foi o segundo a responder e que a terceira pessoa foi a única a dizer

a verdade.

ResoluçãoTemos o seguinte texto:

Abelardo diz: “Guilherme está mentindo

147


Primeiro: “Eu sou Antônio”Segundo: “Eu não sou Antônio”.Terceiro: “A primeira pessoa a responder não disse a verdade”

A terceira pessoa chamou a primeira de mentirosa. Ora, vimos que quando esse fato ocorre é impossível que ambos sejam mentirosos ou ambos sejam verazes. Dessa forma, ou o primeiro é mentiroso, ou 0 terceiro é mentiroso, mas não ambos.

'/•V. .-."V-:. Pnmeírá pessQà ; ■'Ifefçèira.^és^ôa •

Ia possibilidade Veraz Mentirosa2a possibilidade Mentirosa Veraz

O texto nos informou que das três pessoas apenas duas mentiram. Sabemos que entre o primeiro e o terceiro há apenas um mentiroso. Concluímos então que o outro mentiroso, com certeza, é o segundo. Segundo: “Eu não sou Antônio”.

Sabemos que o segundo é mentiroso, portanto ele se chama Antônio. Consequentemente, o primeiro também é mentiroso, pois ele não se chama Antônio (Antônio é o segundo) e o terceiro diz a verdade.

Primeira pessoa Segunda pessoa (Antônio) . .Terceira pessoa".Mentirosa Mentiroso Veraz

Letra E

02. (MAJRE) Numa ilha há dois tipos de pessoas: as que sempre falam a verdade e as que sempre mentem. Um explorador contrata um ilhéu chamado X para servir-lhe de intérprete. Ambos encontram

148

Guilherme Neves

outro ilhéu chamado Y ,eo explorador lhe pergunta se ele fala a verdade. Ele responde na sua língua e o intérprete diz: "Ele disse que sim, mas ele pertence ao grupo dos mentirosos” Dessa situação é correto concluir que:

a) Ambos mentem*b) X fala a verdade.c) Y fala a verdade.d) A resposta de Y foi NÃO.e) Ambos falam a verdade.

Resolução

Explorador: “Y, você diz a verdade?”

Y responde à sua língua desconhecida pelo explorador. Ora, se Y for veraz, ele responderá que sim. Se Y for mentiroso, ele mentirá e responderá que sim (ver quadro resumo no início do capítulo). Não importa qual idioma Y está falando, o significado da sua resposta é “sim”

X é o intérprete. Ele diz: “Y disse que sim”

O explorador sabe que o significado da expressão dita por Y é sim e, portanto, X disse a verdade.

Conclusão: X fala a verdade.

E quanto a Y? X (que é uma pessoa veraz) nos informa que Y é mentiroso e, portanto, realmente é mentiroso.

X fala a verdade.

Y é mentiroso.

Letra B03. (CVM/2000/Esaf) Beatriz encontrava-se em viagem por um país

149


distante, habitado pelos vingos e pelos mingos. Os vingos sempre dizem a verdade; já os mingos sempre mentem. Certo dia, vendo-se perdida em uma estrada, Beatriz dirigiu-se a um jovem que por ali passava e perguntou-lhe: “Esta estrada leva à Aldeia Azul?” O jovem respondeu-lhe: “Sim, esta estrada leva à Aldeia Azul”. Como não soubesse se o jovem era vingo ou mingo, Beatriz fez-lhe outra pergunta: "E se eu te perguntasse se és mingo, o que me responderias?” E o jovem respondeu: “Responderia que sim” Dadas as respostas do jovem, Beatriz pôde concluir corretamente que:

a) o jovem era mingo e a estrada não levava à Aldeia Azul.b) o jovem era mingo e a estrada levava à Aldeia Azul.c) o jovem era vingo e a estrada não levava à Aldeia Azul.d) o jovem era vingo e a estrada levava à Aldeia Azul.e) o jovem poderia ser vingo ou mingo e a estrada levava à Aldeia

Azul.

ResoluçãoAnalisamos acima as possíveis respostas para a pergunta “Se eu lhe perguntasse se você é mentiroso, o que me responderia?” Se a pessoa indagada for veraz, ela dirá “não”. Se a pessoa indagada for mentirosa, dirá “sim”. Como o jovem respondeu que sim, concluímos que ele é mentiroso. Agora fica fácil responder que a estrada não leva à Aldeia Azul, pois o jovem é mentiroso.

Letra A

04. (TCU/Esaf) Três suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados à presença de um velho e sábio professor de Lógica. Um dos suspeitos estava de camisa azul, outro de camisa branca e o outro de camisa preta. Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são

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inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. O velho e sábio professor perguntou, a cada um dos suspeitos, qual entre eles era o culpado. Disse o de camisa azul: “Eu sou o culpado” Disse o de camisa branca, apontando para o de camisa azul: “Sim, ele é o culpado” Disse, por fim, o de camisa preta: “Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu”. O velho e sábio professor de Lógica, então, sorriu e concluiu corretamente que:

a) O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente.b) O culpado é o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente.c) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente.d) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a

verdade.e) O culpado é o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a

verdade.

ResoluçãoTemos nesta questão:

1 culpado Pala verdades ou mentiras1 inocente Veraz1 inocente Mentiroso

Uma pessoa que é inocente e que diz a verdade não pode afirmar “Eu sou o culpado”. Portanto, o inocente veraz é o de camisa branca. Como ele é veraz, podemos acreditar no que ele está dizendo e, então, concluímos que o culpado é o de azul. Por exclusão, o inocente mentiroso é o de camisa preta.

Letra A

05. (AFC/Esaf) Três irmãs — Ana, Maria e Cláudia — foram a uma

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festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, a outra branco e a terceira preto. Chegando à festa, o anfitrião perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”. A de branco falou: "Eu sou Maria”. E a de preto disse: “Cláudia é quem está de branco”. Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade, que Maria às vezes fala a verdade, e que Cláudia nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram respectivamente:

a) preto, branco, azul.b) preto, azul, branco.c) azul, preto, branco.d) azul, branco, preto.e) branco, azul, preto.

ResoluçãoSabemos que Ana sempre diz a verdade. Tentaremos descobrir a cor do seu vestido. Suponha que Ana está de vestido azul. Ora, se Ana estivesse de vestido azul (lembre-se que ela diz a verdade), ela poderia dizer “Ana está de branco”? Não poderia, pois teríamos uma contradição. Suponha agora que Ana estivesse de vestido branco. Ana não pode afirmar “Eu sou Maria”, pois estaria mentindo. Por exclusão, concluímos que a cor do vestido de Ana é preto. Como Ana diz a verdade e ela está de vestido preto, temos que Cláudia é quem está de vestido branco. Finalmente, Maria está de vestido azul.

Ana —>Preto Maria —> Azul Cláudia —> Branco

Letra B06. (AFC/Esaf) Cinco aldeões foram trazidos à presença de um ve

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lho rei, acusados de haver roubado laranjas do pomar real. Abelim, o primeiro a falar, falou tão baixo que o rei — que era um pouco surdo— não ouviu o que ele disse. Os outros quatro acusados disseram:

Bebelim: “Cebelim é inocente”.Cebelim: “Dedelim é inocente”Dedelim: "Ebelim é culpado”Ebelim: “Abelim é culpado”

O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos cinco acusados, disse então ao rei: “Majestade, apenas um dos cinco acusados é culpado, e ele disse a verdade; os outros quatro são inocentes e todos os quatro mentiram”. O velho rei, que embora um pouco surdo era muito sábio, logo concluiu corretamente que o culpado era:

a) Abelimb) Bebelimc) Cebelimd) Dedelime) Ebelim

Resolução 1Sabemos que há apenas um culpado e que ele diz a verdade. Vamos tentar descobrir quem é o culpado. Suponha que o culpado seja Bebelim. Então Cebelim, Dedelim e Ebelim são inocentes mentirosos. Cebelim afirma que Dedelim é inocente, porém Cebelim é mentiroso e, portanto, Dedelim seria o culpado. Contradição. Temos então que Bebelim não é o culpado, logo é inocente. Se Bebelim é inocente, tem-se que ele é mentiroso. Bebelim diz: “Cebelim é inocente”. Lembre-se que Bebelim é mentiroso e, portanto, Cebelim é o culpado.

Letra C Resolução II

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Sabemos que há apenas um culpado e que ele diz a verdade. Um indivíduo culpado que diz a verdade não pode acusar outras pessoas de serem culpadas, pois estariam mentindo. Assim, concluímos que o culpado não pode ser nem Dedelim nem Ebelim. Temos então que Dedelim e Ebelim são inocentes.Atente agora para a frase dita por Cebelim: “Dedelim é inocente”. Isto é verdade, e quem diz a verdade é o culpado. O culpado é Cebelim.

■Letra C

07. (MPU/2004/Esaf) Sócrates encontra-se em viagem por um distante e estranho país, formado por apenas duas aldeias, uma grande e outra pequena. Os habitantes entendem perfeitamente o português, mas falam apenas no idioma local, desconhecido por Sócrates. Ele sabe, contudo, que os habitantes da aldeia menor sempre dizem a verdade, e os da aldeia maior sempre mentem. Sabe, também, que “Milango” e “Nabimgo” são as palavras no idioma local que significam “sim” e “não”, mas não sabe qual delas significa “sim” e nem, consequentemente, qual significa “não”. Um dia, Sócrates encontra um casal acompanhado de um jovem. Dirigindo-se a ele, e apontando para o casal, Sócrates pergunta:

- Meu bom jovem, é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher?- Milango - , responde o jovem.- E a tua aldeia é maior do que a desse homem? -, voltou Sócrates a perguntar.- Milango tornou o jovem a responder.- E, dize-me ainda, és tu da aldeia maior? perguntou Sócrates.- Nabungo disse o jovem.

Sócrates, sorrindo, concluiu corretamente que:a) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia grande e a mulher

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da grande.b) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da pe

quena.c) o jovem mente, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da

pequena.d) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia pequena e a mulher

da pequena.e) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da gran

de.

ResoluçãoAldeia menor —> verazes Aldeia maior —> mentirosos

Sócrates pergunta ao jovem: És tu da aldeia maior?

Isso eqüivale a perguntar se o jovem é mentiroso. Analisamos acima que não importa a quem seja feita a pergunta “Você é mentiroso?” se a um veraz ou a um mentiroso. A resposta de ambos será “não”. Concluímos que “nabungo” significa “não” e, consequentemente, “milango” significa “sim”. Resta-nos questionar: O jovem é veraz ou mentiroso? Suponha que o jovem seja veraz. Das duas primeiras perguntas, temos que a aldeia do jovem é maior que a aldeia do homem, e a aldeia do homem é maior que a da mulher. Contradição, pois no problema há apenas duas aldeias. Portanto, se o jovem não é veraz, concluímos que ele é mentiroso e pertence à Aldeia Maior. Ainda em relação às duas primeiras perguntas, sabendo que o jovem é mentiroso e que “milango” significa “sim” concluímos que a Aldeia do jovem não é maior que a do hom em , e que a aldeia do homem não é maior que a da mulher. Então, os três, o jovem, o homem e a mulher pertencem à Aldeia maior.

Letra E

08. (MARE) Alberto, Bernardo, Carlos ou Davi, um dentre eles co

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meteu um crime. Quando interrogados deram as seguintes declarações:Alberto: “O criminoso é Bernardo”Bernardo: “O criminoso é Davi”.Carlos: “Eu não sou o criminoso”.Davi: “Bernardo mente ao me acusar15.

Sabendo-se que só uma das declarações é verdadeira, conclui-se que a criminoso é:a) Alberto.b) Bernardo.c) Carlos.d) Davi.e) Impossível determinar.

ResoluçãoDavi chamou Bernardo de mentiroso. Lembre-se de que, quando esse fato ocorre, é impossível que ambos sejam verazes ou que ambos sejam mentirosos. Temos assim que ou Davi é veraz e Bernardo é mentiroso, ou que Davi é mentiroso e Bernardo é veraz. Como o texto nos informa que só uma das declarações é verdadeira (sabemos que ou a declaração é de Davi ou é de Bernardo), concluímos que, com certeza, Alberto e Carlos são mentirosos. Observe a declaração de Carlos (ele é mentiroso): “Eu não sou criminoso”. Tem-se, então, que o criminoso é Carlos.

Letra C

09. (OMRJ) Raul e Cida formam um estranho casaL Raul mente às quartas, quintas e sextas-feiras, dizendo a verdade no resto da semana. Cida mente aos domingos, segundas e terças-feiras, dizendo a verdade nos outros dias. Certo dia ambos declaram: “Amanhã é dia de mentir”. O dia em que foi feita essa declaração é:a) terça-feira.

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b) quarta-feira.c) sexta-feira.d) sábado.e) domingo.

Resolução

| |D m | MSéP ''■:Ter.;'> Qüa; ^ Qüi. •>;Sex:>;: Sáb. Dom.Raul y y V F F F V yCida F F F V y V V F

Suponha que hoje é o dia de dizer a verdade. Se a pessoa declara que amanhã é dia de mentir, então, realmente, amanhã será dia de mentir. Teríamos Hoje —>V e Amanhã —> F. Se hoje é dia de mentir, então é falso que "amanhã é dia de mentir”. É verdade, então, que amanhã é dia de dizer a verdade. Teríamos Hoje -» F e Amanhã —» V. O único dia que acontece esse fato para ambos é na terça-feira.

Letra A

10. (MPU/2004/Esaf) Fernanda atrasou-se e chega ao estádio da Ulbra quando o jogo de vôlei já está em andamento. Ela pergunta às suas amigas, que estão assistindo à partida desde o início, qual o resultado até o momento. Suas amigas dizem-lhe:

Amanda: “Neste set} o escore está 13 a 12”.Berenice: “O escore não está 13 a l2 ,ea Ulbra já ganhou o primeiro set”. Camila: “Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra”.Denise: “O escore não está 13 a 12> a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante".Eunice: “Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set”.Conhecendo suas amigas, Fernanda sabe que duas delas estão men

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tindo e que as demais estão dizendo a verdade. Conclui, então, corretamente, que:

a) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante.

b) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante.

c) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem s vai sacar é a equipe visitante.

d) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra não está vencendo este set, e a Ulbra venceu o primeiro set.

e) o escore está 13 a 12, e a Ulbra vai sacar, e a Ulbra venceu o primeiro set.

ResoluçãoFernanda sabe que duas amigas mentem e três amigas dizem a verdade. Supondo que Amanda esteja mentindo, temos que o set não está 13 a 12. Se o set não está 13 a 12, duas amigas já mentiram: Amanda e Camila. Denise disse que a Ulbra está perdendo este set e Eunice disse que Ulbra está ganhando este set. Portanto, uma das duas estaria mentindo. O que é um fato que contradiz o enunciado, no qual apenas duas amigas eram mentirosas. Logo a citação de Amanda é verdadeira: “Neste set, o escore está 13 a 12”. Assim, Berenice e Denise estão mentindo, e, consequentemente, Camila e Eunice estão dizendo a verdade. Portanto, o set está 13 a 12 para a Ulbra e quem vai sacar é a equipe visitante.

Letra B

Exercícios propostos01. (Senado Federal/2008/FGV) Um crime é cometido por uma pessoa e há quatro suspeitos: André, Eduardo, Rafael e João. Interrogados, eles fazem as seguintes declarações:

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André: “Eduardo é o culpado”Eduardo: “João é o culpado”.Rafael: "Eu não sou culpado”.João: "Eduardo mente quando diz que eu sou culpado”.Sabendo que apenas um dos quatros disse a verdade, o culpado:

a) é certamente André.b) é certamente Eduardo.c) é certamente Rafael.d) é certamente João.e) não pode ser determinado com essas informações.

02. (FNDE/2007/FGV) Quatro irmãos, André, Bernardo, Carlos e Daniel, reparam que seu pai, quando chegou em casa, colocou em cima da mesa da sala quatro bombons. Logo ao retornar à sala, o pai viu que um dos bombons tinha desaparecido e perguntou às crianças quem tinha sido o autor do delito.

André disse: "Não fui eu”.Bernardo disse: “Foi Carlos quem pegou o bombom”Carlos: “Daniel é o ladrão do bombom”.Daniel: "Bernardo não tem razão”.Sabe-se que apenas um deles mentiu. Então:

a) André pegou o bombom.b) Bernardo pegou o bombom.c) Carlos pegou o bombom.d) Daniel pegou o bombom.e) não é possível saber quem pegou o bombom.

03. (MPOG/2006/Esaf) Três amigos Lucas, Mário e Nélson moram em Teresina, Rio de Janeiro e São Paulo — não necessariamente nesta ordem. Todos eles vão ao aniversário de Maria que há tempos não os encontrava. Tomada de surpresa e felicidade, Maria os questiona onde cada um deles mora, obtendo as seguintes declarações:

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Nélson: “Mário mora em Teresina”Lucas: “Nélson está mentindo, pois Mário mora em São Paulo” Mário: “Nélson e Lucas mentiram, pois eu moro em São Paulo” Sabendo que o que mora em São Paulo mentiu e que o que mora em Teresina disse a verdade, segue-se que Maria concluiu que Lucas e Nélson moram, respectivamente, em

a) Rio de Janeiro e Teresina.b) Teresina e Rio de Janeiro.c) São Paulo e Teresina.d) Teresina e São Paulo.e) Sãò Paulo e Rio de Janeiro.

04. (Fiscal do Trabalho/Esaf) Três amigos — Luís, Marcos e Nestor— são casados com Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações:

Nestor: “Marcos é casado com Teresa”Luís: “Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina” Marcos: “Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra” Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são respectivamente:

a) Sandra, Teresa, Regina.b) Sandra, Regina, Teresa.c) Regina, Sandra, Teresa.d) Teresa, Regina, Sandra.e) Teresa, Sandra, Regina.

05. (CGU/2003-2004/Esaf) Três homens são levados à presença de um jovem lógico. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro que sempre diz a verdade. Sabe-se, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que tem o estranho

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costume de sempre mentir, de jamais dizer a verdade. Sabe-se, ainda, que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O problema é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente do jovem lógico, esses três homens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações:

O primeiro diz: “Eu sou o ladrão”.O segundo diz: “É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão”.O terceiro diz: “Eu sou o ladrão”.

Com base nestas informações, o jovem lógico pode, então, concluir corretamente que:

a) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro.b) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo.c) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo.d) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro.e) O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo.

06. (Fiscal do Trabalho/Esaf) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntamos sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:

Armando: “Sou inocente”.Celso: “Edu é o culpado”.Edu: “Tarso é o culpado”.Juarez: ‘Armando disse a verdade”.Tarso: “Celso mentiu”.

Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é:

a) Armandob) Celsoc) Edud) Juarez

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e) Tarso

07. (Anpad) Três suspeitos de roubar uma loja são interrogados na delegacia. Armando diz: “Fui eu!” Bernardo diz: “Não foi o Armando”. Carlos diz: “Não fui eu!” Sabendo-se que apenas um dos suspeitos está falando a verdade e que a loja foi assaltada por apenas um dos suspeitos, podemos afirmar que o autor do assalto foi:a) Armando.b) Bernardo.c) Carlos.d) Nenhum deles.e) Não é possível responder à pergunta.

08. (FNDE/2007/FGV) Paulo e Márcia formam um estranho casal. Paulo mente às quartas, sextas e sábados, dizendo a verdade nos outros dias. Márcia mente às segundas, quintas e sábados, dizendo a verdade nos outros dias. Certo dia ambos declaram: “Amanhã é dia de mentir”. O dia em que foi feita essa declaração foi:a) segunda-feirab) sábadoc) quinta-feirad) sexta-feirae) quarta-feira

09. (TJ/PE/2007/FCC) Suponha que exista uma pessoa que só fala mentiras às terças, quartas e quintas-feiras, enquanto que, nos demais dias da semana, só fala a verdade. Nessas condições, somente em quais dias da semana seria possível ela fazer a afirmação “Eu menti ontem e também mentirei amanhã”?a) Terça e quinta-feira.b) Terça e sexta-feira.c) Quarta e quinta-feira.d) Quarta-feira e sábado.

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e) Quinta-feira e domingo.

10. (AFTN/Esaf) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tinia sempre fala a verdade. Janete às vezes fala a verdade e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: "Tânia é quem está sentada no meio” A que está sentada no meio diz: “Eu sou Janete” Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está à direita são respectivamente:a) Janete, Tania, Angélica.b) Janete, Angélica, Tania.c) Angélica, Janete, Tania.d) Angélica, Tania, Janete.e) Tânia, Angélica, Janete.

11. (Esaf) Um professor de lógica encontra-se em viagem em um país distante, habitado pelos verdamanos e pelos mentimanos. O que os distingue é que os verdamanos sempre dizem a verdade, enquanto os mentimanos sempre mentem. Certo dia, o professor depara-se com um grupo de cinco habitantes locais. Chamemo-los de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon. O professor sabe que um e apenas um no grupo é verdamano, mas não sabe qual deles o é. Pergunta, então, a cada um do grupo quem entre eles é verdamano e obtém as seguintes respostas:Alfa: “Beta é mentimano”Beta: “Gama é mentimano”Gama: “Delta é verdamano”Delta: “Épsilon é verdamano”

Épsilon, afônico, fala tão baixo que o professor não consegue ouvir sua resposta. Mesmo assim, o professor de lógica conclui corretamente que o verdamano é:a) Delta

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b) Alfac) Gamad) Betae) Êpsilon

12. (Esaf) Uma empresa produz androides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco androides — rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon —, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde, mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os androides restantes fazem, então, as seguintes declarações:

Beta: “Alfa respondeu que sim”.Gama: “Beta está mentindo”.Delta: “Gama está mentindo”Épsilon: “Alfa é do tipo M”.

Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de androides do tipo V, naquele grupo, era igual a:a) l .b) 2.c) 3.d) 4.e) 5.

13. (Esaf) Pedro encontra-se à frente de três caixas, numeradas de 1 a 3. Cada uma das três caixas contém um e somente um objeto. Uma delas contém um livro; outra, uma caneta; outra, um diamante. Em cada uma das caixas existe uma inscrição, a saber:

Caixa 1: “O livro está na caixa 3”.

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Caixa 2: “A caneta está na caixa 1”.Caixa 3: "O livro está aqui”.

Pedro sabe que a inscrição da caixa que contém o livro pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrição da caixa que contém a caneta é falsa, e que a inscrição da caixa que contém o diamante é verdadeira. Com tais informações, Pedro conclui corretamente que nas caixas 1, 2 e 3 estão, respectivamente:

a) a caneta, o diamante, o livro.b) o livro, o diamante, a caneta.c) o diamante, a caneta, o livro.d) o diamante, o livro, a caneta.e) o livro, a caneta, o diamante.

14. (Esaf) Três rapazes — Alaor, Marcelo e Celso — chegam a um estacionamento dirigindo carros de cores diferentes. Um dirigindo um carro amarelo, o outro um carro bege e o terceiro um carro verde. Chegando ao estacionamento, o manobrista perguntou quem era cada um deles. O que dirigia o carro amarelo respondeu: “Alaor é o que estava dirigindo o carro bege”. O que estava dirigindo o carro bege falou: “Eu sou Marcelo” E o que estava dirigindo o carro verde disse: “Celso é quem estava dirigindo o carro bege” Como o manobrista sabia que Alaor sempre diz a verdade, que Marcelo às vezes diz a verdade e que Celso nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar quem era cada pessoa. As cores dos carros que Alaor e Celso dirigiam eram, respectivamente, iguais a:

a) amarelo e begeb) verde e amareloc) verde e beged) bege e amareloe) amarelo e verde

15. (Cespe) Considere que, em um pequeno grupo de pessoas — G

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— envolvidas em um acidente, haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Se, do conjunto G, o indivíduo P afirmar que o indivíduo Q fala a verdade, e Q afirmar que P e ele são tipos opostos de indivíduos, então, nesse caso, é correto concluir que P e Q mentem.

(Cespe) Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o interrogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes declarações.

* A afirmou que C matou o líder.* B afirmou que D não matou o líder.* C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi

morto e, por isso, não tiveram participação no crime.* D disse que C não matou o líder.

Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos comparsas mentiram em suas declarações, enquanto um deles falou a verdade, julgue os itens seguintes.

16. A declaração de C não pode ser verdadeira.

17. D matou o líder.

(Cespe) No livro Alice no País dos Enigmas, o professor de matemática e lógica Raymond Smullyan apresenta vários desafios ao raciocínio lógico que têm como objetivo distinguir-se entre verdadeiro e falso. Considere o seguinte desafio inspirado nos enigmas de Smullyan.

Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somente

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verdades.

Com base no texto acima, julgue o item a seguir.

18. Se a primeira pessoa diz “Nossas fichas não são da mesma cor” e a segunda pessoa diz “Nossas fichas são da mesma cor” então pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade.

Gabarito dos exercícios propostos01. c02. d03. b04. d05. b06. e07. c08. b,c,e (questão anulada)09. a10. b 11. d 12. b13. c14. c15. Certo '16. Certo17. Certo18. Certo

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8 I D ia g r a m a s d e E u l e r -V e n n

*Provamos através da lógica, mas descobrimos a partir da intuição.’

Ju l es H e n h i P o in c a r é

“Leibniz (1646-1716) estudou os silogismos valendo-se de alguns diagramas. O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) foi, porém, o primeiro estudioso a fazer uso sistemático de diagramas em Lógica. Deve-se a ele uma explicação pormenorizada de como usar diagramas para determinar a legitimidade de silogismos. Tais recursos deixaram de ser utilizados desde que o inglês John Venn (1834- 1923) aperfeiçoou consideravelmente a técnica de seus antecessores.” (Leonidas Hegenberg)

O estudo das proposições categóricas pode ser feito utilizando os diagramas de Euler-Venn. É habitual representar um conjunto por uma linha fechada e não entrelaçada.

Relembremos o significado, na linguagem de conjuntos, de cada uma das proposições categóricas.Todo A é B Todo elemento de A também é elemento de B. Nenhum A é B o A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, não possuem elementos comuns.

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Algum A é B -o- Os conjuntos A e B possuem pelo menos 1 elemento em comum.Algum A não é B O conjunto A tem pelo menos 1 elemento que não é elemento de B.Vejamos como representar cada uma das proposições categóricas utilizando os diagramas de Euler-Venn.

A proposição categórica “Todo A é B” é equivalente a:A é subconjunto de B.A é parte de B.A está contido em B.B contém A.B é universo de A.B é superconjunto de A.

Se sabemos que a proposição “Todo A é B” é verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas?“Algum A é B” é necessariamente verdadeira.“Nenhum A é B” é necessariamente falsa.“Algum A não é B” é necessariamente falsa.

A proposição categórica “Algum A é B” eqüivale a “Algum B é A”.Se “algum A é B” é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas?

Algum A é B

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"Nenhum A é B” é necessariamente falsa.“Todo A é B ” e “Algum A não é B” são indeterminadas.

Observe que quando afirmamos que “Algum A é B” estamos dizendo que existe pelo menos um elemento de A que também é elemento de B.

Nenhum A é B

A proposição categórica “Nenhum Aé B ” eqüivale a:Nenhum B é A.Todo A não é B.Todo B não é A.A e B são conjuntos disjuntos.Se “nenhum A é B” é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas?“Todo A é B” é necessariamente falsa.“Algum A não é B” é necessariamente verdadeira.“Algum A é B” é necessariamente falsa.

Algum A não não é B

Observe que “Algum A não é B” não eqüivale a “Algum B não é A”. Por exemplo, dizer que “Algum brasileiro não é pernambucano” não eqüivale a dizer que “Algum pernambucano não é brasileiro”Se “algum A não é B” é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas?

“Nenhum A é B” é indeterminada, pois poderia haver elementos na interseção dos conjuntos A e B.

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“Algum A é B” é indeterminada, pois pode haver ou não elementos na interseção dos conjuntos AeB.“Todo A é B” é necessariamente falsa.

Se for dito que as proposições categóricas acima estudadas forem falsas, basta negá-las e aplicar o estudo aqui feito. Lembremos as fórmulas de negação das proposições categóricas:

\ ; ':■ Afirmação '; ': , - •: ;^Negaçãò

Particular afirmativa (“algum...”)Universal negativa (“nenhum...” ou

“todo... não...”)Universal negativa (“nenhum...” ou

“todo... não...”)Particular afirmativa (“algum...”)

Universal afirmativa (“todo...”) Particular negativa (“algum... não”)Particular negativa (“algum... não”) Universal afirmativa (“todo...”)


01. (FCC/TRF/2004) Considerando “todo livro é instrutivo” comouma proposição verdadeira, é correto inferir que:

a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

c) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.

d) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente

verdadeira.

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Guilherme Neves

Resolução

Instrutivo

Diante do diagrama e da teoria exposta, concluímos facilmente que a resposta correta é a letra B.

02. (Agente Fiscal de Rendas) Todo A é B, e todo C não é B, portanto:a) algum A é C.b) nenhum A é C.c) nenhum A é B.d) algum B é C.e) nenhum B é A.

ResoluçãoLembremos que a proposição “Todo C não é B” eqüivale a “Nenhum C é B” Temos então o seguinte diagrama:

a) Falsa. Pelo diagrama, observamos que nenhum A é C.b) Verdadeira.c) Falsa. Pois todo A é B.d) Falsa. Pois nenhum B é C.e) Falsa. Pois todo A é B.

Letra B

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03. (Agente Fiscal de Rendas) Todos os marinheiros são republicanos. Assim sendo:a) o conjunto dos marinheiros contém o conjunto dos republicanos.b) o conjunto dos republicanos contém o conjunto dos marinheiros.c) todos os republicanos são marinheiros.d) algum marinheiro não é republicano.e) nenhum marinheiro é republicano.

Resolução

Visualizando o diagrama, percebemos facilmente que o conjunto dos republicanos contém o conjunto dos marinheiros.

Letra B

04. (TRT/2006/FCC) As afirmações seguintes são resultados de uma pesquisa feita entre os funcionários de certa empresa. "Todo indivíduo que fuma tem bronquite”. “Todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar ao trabalho”. Relativamente a esses resultados, é correto concluir que:

a) existem funcionários fumantes que não faltam ao trabalho.b) todo funcionário que tem bronquite é fumante.c) todo funcionário fumante costuma faltar ao trabalho.d) é possível que exista algum funcionário que tenha bronquite e não

falte habitualmente ao trabalho.e) é possível que exista algum funcionário que seja fumante e não

tenha bronquite.

174

Guilherme Neves

ResoluçãoCostuma faltar ao trabalho

Pelo diagrama exposto, percebemos que todo funcionário fumante costuma faltar ao trabalho.

05. (Serpro) Das premissas: A: “Nenhum herói é covarde” e B: “Alguns soldados são covardes” pode-se corretamente concluir que:

a) alguns heróis são soldados.b) alguns soldados são heróis.c) nenhum herói é soldado.d) alguns soldados não são heróis.e) nenhum soldado é herói.

Resolução

Da premissa A temos o seguinte diagrama.

A premissa B nos informa que pelo menos um soldado é covarde. Não temos informações acerca da relação do conjunto dos soldados com o conjunto dos heróis. Podemos então construir o seguinte diagrama:

Letra C

175

Adotaremos a seguinte técnica. Quando não tivermos certeza sobre a relação entre dois conjuntos, pontilharemos a parte duvidosa. O diagrama acima nos dá a certeza de que alguns soldados não são heróis (parte sombreada).

Letra D

s06. (Fiscal do Trabalho/Esaf) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se também que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que:a) Todo C é B.b) Todo C é A.c) Algum A é C.d) Nada que não seja C é A.e) Algum A não é C.

Resolução

Da premissa “Todo B é C” temos o seguinte diagrama:


Sabemos que existe pelo menos um A que é B. Não sabemos a relação que há entre os conjuntos A e C. Temos então o seguinte diagrama:

B A \ C

176

Guilherme Neves

Assim sendo, concluímos que algum A é C, pois os conjuntos A e C possuem elementos comuns (parte sombreada).

Letra C


01. (FNDE/2007/FGV) Considere a afirmação “Todo corintiano é feliz”. A partir dessa afirmação, pode-se concluir que:

a) todo homem feliz é corintiano.b) todo palmeirense é infeliz.c) toda pessoa que não é corintiana não é feliz.d) um infeliz certamente não é corintiano.e) existem infelizes que são corintianos.

02. (SAD/PE/2008/FGV) Considere a afirmação: “Toda cobra venenosa é listrada” Podemos concluir que:

a) Toda cobra listrada é venenosa.b) Toda cobra que não é listrada não é venenosa.c) Toda cobra que não é venenosa não é listrada.d) Algumas cobras venenosas não são listradas.e) Algumas cobras que não são listradas podem ser venenosas.

03. (Ipea/2004/FCC) Considerando "toda prova de Lógica é difícil” uma proposição verdadeira, é correto inferir que:

a) "nenhuma prova de Lógica é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira.

b) “alguma prova de Lógica é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira.


c) “alguma prova de Lógica é difícil” é uma proposição verdadeira ou falsa.

d) “alguma prova de Lógica não é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira.

e) “alguma prova de Lógica não é difícil” é uma proposição verdadeira ou falsa.

04. (TTN/1998/Esaf) Se é verdade que “alguns A são R” e que nenhum G é R, então é necessariamente verdadeiro que:

a) Algum A não é G.b) Algum A é G.c) Nenhum A é G.d) Algum G é A.e) Nenhum G é A.

05. (Agente Fiscal de Rendas) Assinale a alternativa que apresenta uma contradição.

a) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano não é espião.b) Todo espião não é vegetariano e algum vegetariano é espião.c) Nenhum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano.d) Algum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano.e) Todo vegetariano é espião e algum espião não é vegetariano

06. (Agente Fiscal de Rendas) Todas as plantas verdes têm clorofila. Algumas plantas que têm clorofila são comestíveis. Logo:

a) Algumas plantas verdes são comestíveis.b) Algumas plantas verdes não são comestíveis.c) Algumas plantas comestíveis têm clorofila.d) Todas as plantas que têm clorofila são comestíveis.e) Todas as plantas verdes são comestíveis.

Guilherme Neves

07. (TJ/PE/2007/FCC) Todas as estrelas são dotadas de luz própria. Nenhum planeta brilha com luz própria. Logo:a) todos os planetas são estrelas.b) nenhum planeta é estrela.c) todas as estrelas são planetas.d) todos os planetas são planetas.e) todas as estrelas são estrelas.

08. (Bacen) Quem não fuma economiza dinheiro. Nenhum vegetariano fuma. Logo:

a) quem fuma não economiza dinheiro.b) quem economiza dinheiro é vegetariano.c) todo vegetariano economiza dinheiro.d) nenhum vegetariano economiza dinheiro.e) algum vegetariano não economiza dinheiro.

09. (Anpad) Considere as seguintes afirmativas:—» Todos que gostam de administração são inteligentes.—> Existem pessoas inteligentes que são simpáticas.Das afirmações acima, conclui-se que:

a) nenhuma pessoa que gosta de administração é simpática.b) toda pessoa que gosta de administração é simpática.c) existem pessoas que gostam de administração e são simpáticas.d) toda pessoa simpática gosta de administração.e) podem existir pessoas que gostam de administração e são simpá

ticas.

10. (TRT/PR/2004/FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos. Admitindo-se verdadeira a frase "Todos os corruptos são desonestos” é correto concluir que:

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a) quem não é corrupto é honesto.b) existem corruptos honestos.c) alguns honestos podem ser corruptos.d) existem mais corruptos do que desonestos.e) existem desonestos que são corruptos.

11. (TCE/PB/2006/FCC) Sobre as consultas feitas a três livros X, Y e Z, um bibliotecário constatou que:

•st-> Todas as pessoas que haviam consultado Y também consultaram X. -> Algumas pessoas que consultaram Z também consultaram X»De acordo com suas constatações, é correto afirmar que, com certeza:

a) pelo menos uma pessoa que consultou Z também consultou Y.b) se alguma pessoa consultou ZeY, então ela também consultou X.c) toda pessoa que consultou X também consultou Y.d) existem pessoas que consultaram YeZ.e) existem pessoas que consultaram Y e não consultaram X.

12. (Serpro/2001/Esaf) Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de português é aluno de história, então:

a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.c) nenhum aluno de português é aluno de matemática.d) todos os alunos de informática são alunos de matemática.e) todos os alunos de informática são alunos de português.

13. (TRF/3a Região/FCC) Se todos os jaguadartes são momorrengos e todos os momorrengos são cronópios, então pode-se concluir que:

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Guilherme Neves

a) É possível existir um jaguadarte que não seja momorrengo.b) Ê possível existir um momorrengo que não seja jaguadarte.c) Todos os momorrengos são jaguadartes.d) É possível existir um jaguadarte que não seja cronópio.e) Todos os cronópios são jaguadartes.

14. ( TRF/3a Região/FCC) Se “Alguns poetas são nefelibatas” e “Todos os nefelibatas são melancólicos” então, necessariamente:

a) Todo melancólico é nefelibata.b) Todo nefelibata é poeta.c) Algum poeta é melancólico.d) Nenhum melancólico é poeta.e) Nenhum poeta não é melancólico.

15. (TRF/3a Região/FCC) Algum AéB. Todo A é C. Logo:

a) algum D é A.b) todo B é C.c) todo C é A.d) todo B é A.e) algum B é C.


01. d 07. b 13. b02. b 08. c 14. c03. b 09. e 15. e04. a 10. e05. b 11. b06. c 12. c

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9 | P r o b l e m a s g e r a is d e R a c io c ín io L ó g ic o

"Ê impossível um homem aprender aquilo que ele acha que sabe

Ep it e c t u s

Os exercícios aqui apresentados visam tornar o estudante experiente e confiante para enfrentar questões novas e que necessitam de um raciocínio inovador na hora da prova. Alguns fatores podem ajudar (e muito) o desempenho na resolução das questões: organização, concentração e cautela. Vamos em frente!

01. (Senado Federal/2008/FGV) Uma lesma está no fundo de um poço com 12 m de profundidade. Durante o dia ela sobe 5 m e , à noite, escorrega 3 m. O número de dias necessários para ela sair do poço:a) 5b) 6c) 7d) 8e) 10

ResoluçãoO leitor apressado poderia ter o seguinte raciocínio: A lesma durante o dia sobe 5 m e , à noite, escorrega 3 m. "Logo” ela sobe 2 m por dia. Em 6 dias ela consegue sair do poço. Cuidado! Perceba que no último dia, ao subir os 5 m, ela consegue sair do poço e não precisa mais escorregar. Vejamos passo a passo:

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Io dia: Sobe 5 m e depois desce 3 m. Posição final: 2 m.2o dia: Sobe 5 m e depois desce 3 m. Posição final: 4 m.3o dia: Sobe 5 m e depois desce 3 m. Posição final: 6 m.4o dia: Sobe 5 m e depois desce 3 m. Posição final: 8 m.Chegando a 8 m do fundo do poço, durante o 5o dia ela sobe mais 5 m e, portanto, consegue sair do poço.Resposta: 5 dias.

Letíra A

Desconfie ..de questões que, a priori, parecem ser fáceis demais. Leia novamente! Preste um pouquinho mais de atenção.

02. (Senado Federal/2008/FGV) Em um saco há 100 moedas idênticas em tamanho e forma. Uma delas, porém, é falsa, sendo mais leve que uma moeda verdadeira. As moedas verdadeiras têm todaso mesmo peso. Com uma balança de pratos, o número mínimo de pesagens que permite descobrir com certeza a moeda falsa é:a) 5b) 6c) 8d) 10e) 12

Resolução

O raciocínio imediato é dividir as 100 moedas em dois grupos de 50 moedas. A moeda falsa estará no prato que subir, pois a moeda falsa é mais leve. RACIOCÍNIO PRECIPITADO! Raciocinando assim, na primeira pesagem eliminamos

apenas 50 moedas. E qual o melhor raciocínio? Dividir as moedas em 3 grupos. Colocamos dois grupos de igual quantidade nos pratos e deixamos moedas fora da balança.

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Guilherme Neves

Dessa forma, dividindo as 100 moedas em 3 grupos temos dois grupos com 33 moedas e um grupo com 34 moedas. Colocamos então 33 moedas no primeiro prato, 33 moedas no segundo prato e deixamos 34 moedas do lado de fora. Se a balança desequilibrar, a moeda falsa estará no prato que subir.Eliminaremos então 33 + 34 = 67 moedas. Se a balança equilibrar, concluímos que a moeda falsa está fora da balança. Eliminaremos então 33 + 33 — 66 moedas. Na pior das hipóteses, eliminaremos 66 moedas. Um rendimento bem melhor do que no primeiro raciocínio, que eliminamos apenas 50 moedas.Então, na pior das hipóteses, temos 34 moedas. Raciocinando da mesma forma, dividimos 34 em três grupos. Dois grupos com 11 moedas e um grupo com 12 moedas. Se a balança equilibrar, a moeda falsa estará fora da balança; se a balança desequilibrar, a moeda estará no prato que subir. Na pior das hipóteses, os pratos se equilibram e então eliminamos 11 + 11 = 22 moedas. Ficamos então com 12 moedas, que dividimos em três grupos de 4 moedas.Não temos pior das hipóteses agora: tanto faz os pratos se equilibrarem ou não. Eliminaremos 8 moedas. Ficamos então com 4 moedas. Colocamos 1 moeda em cada prato e deixamos 2 fora da balança. Se tivermos sorte, a balança desequilibra e achamos a moeda falsa. Caso contrário, faremos mais uma pesagem com as duas moedas que sobraram. Total: 5 pesagens.

Letra A

03. (FNDE/2007/FGV) Uma aldeia tem 1 000 índios, todos vestidos da mesma forma, mas numerados de 1 a 1 000. Todos só falam a verdade, mas, para qualquer pergunta, só podem responder sim ou não. Uma pessoa chega à aldeia e, para saber quem é o chefe, deve fazer perguntas a qualquer índio, já sabendo quais são as duas únicas respostas possíveis. O número mínimo de perguntas que devem ser feitas para que se tenha a certeza de conhecer o chefe da aldeia é:

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a) 10b) 20c) 500d) 100e) 50

ResoluçãoNão podemos usar o raciocínio da questão anterior, pois os índios sõ respondem sim ou não. Não temos outra saída: dividiremos os1 000 índios em dois grupos de 500 índios. Perguntamos então a um índio qualquer: O chefe pertence ao seu grupo? Se ele responder que sim, eliminamos o outro grupo. Gaso contrário, se ele disser que não, eliminamos o grupo desse índio. Restam-nos 500 índios. Procedemos da mesma maneira. Dividimos em dois grupos de 250 índios. Indagamos a um índio qualquer se o chefe pertence ao seu grupo e, então, eliminamos 250 índios. Os 250 índios restantes, dividimos em dois grupos de 125 índios e eliminamos, analogamente, 125 índios. Dividimos os 125 índios restantes em dois grupos: um com 63 índios e outro com 62 índios. Na pior das hipóteses, o chefe está no grupo com 63 índios. Dividimos os 63 índios em dois grupos: um com 32 índios e outro com 31 índios. Na pior das hipóteses, o chefe estará no grupo com 32 índios. Novamente, dividimos os 32 índios em dois grupos de 16; os 16 que restarem dividimos em dois grupos de 8; os 8 índios restantes dividimos em dois grupos de 4 índios; os 4 índios dividimos em dois grupos de 2 índios, e finalmente ficamos com dois índios. Escolhemos um deles e perguntamos: Você é o chefe? Conseguimos descobrir o chefe fazendo 10 perguntas.

Letra A

As questões que seguem versam sobre um assunto de análise com- binatória muito cobrado em concursos públicos: Princípio da Gasa dos Pombos, também chamado de Princípio das Gavetas, Princípio

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Guilherme Neves

da Garantia Mínima, ou Princípio de Dirichlet, em homenagem ao matemático alemão Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 -1859).Princípio das Gavetas de Dirichlet: Se n objetos forem colocados em no máximo n-1 gavetas, então pelo menos uma delas conterá pelo menos dois objetos.

04. (FNDE/2007/FGV) Um saco contém 30 bolinhas brancas, 22 bolinhas vermelhas e 16 bolinhas pretas, todas iguais em tamanho e peso. No escuro, você deve retirar do saco certo número de bolinhas de forma que tenha a certeza de ter, pelo menos, uma bolinha branca. O número mínimo de bolinhas que você deve retirar do saco para ter essa certeza é:a) 42b) 17c) 23d) 39e) 3

ResoluçãoPara termos a certeza de retirar pelo menos uma bolinha branca, devemos raciocinar em casos extremos. Poderia acontecer de retirarmos a bolinha branca na primeira tentativa, mas isso seria muita sorte! Não é certeza. Poderia acontecer o caso de retirarmos as 22 bolinhas vermelhas e em seguida as 16 bolinhas pretas. Retiramos então 38 bolinhas das quais nenhuma é branca. Restam agora no saco apenas as 30 bolinhas brancas. Com certeza a próxima bolinha a ser retirada é branca. Precisamos então de 38+1=39 bolinhas.

Letra D

05. (Anpad) Num saquinho de veludo estão 12 dados vermelhos, 16 brancos e 20 pretos. Sem olhar para dentro do saco, quantos dados

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se devem tirar para haver certeza de se ter em mãos um par de dados da mesma cor?a) 15 dadosb) 4 dadosc) 3 dadosd) 12 dadose) um número ímpar de dados.

ResoluçãoPensando no caso extremo, poderíamos tirar 1 dado vermelho, 1 dado branco e 1 dado preto. Dessa forma, com 3 dados não temos certeza de tirar um par de dados da mesma cor. O próximo dado será de uma dessas três cores. Precisamos então d e l + 1 + 1 + 1 - 4 dados.

Letra B

06. (FNDE/2007/FGV) Em um baú há 15 lenços brancos, 25 vermelhos e 12 pretos. O número mínimo de lenços que devem ser retirados do baú para que se possa garantir que, entre os lenços retirados, haja pelo menos quatro da mesma cor é:a) 44b) 10c) 12d) 4e) 45

ResoluçãoNão devemos pensar baseados na sorte. Queremos certeza. Dessa forma, poderia acontecer o caso extremos de tirarmos 3 lenços brancos, 3 lenços vermelhos e 3 lenços pretos. Dessa forma, já temos 9 lenços e não conseguimos retirar 4 da mesma cor. O próximo lenço retirado com certeza será branco ou vermelho ou preto. Precisamos

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Guilherme Neves

então de 3 + 3 + 3-f-l = 10 lenços.

Letra B

07. (MARE/Esaf) Numa sala estão 100 pessoas, todas elas com menos de 80 anos de idade. Ê FALSO afirmar que pelo menos 2 dessaspessoas:a) Nasceram numa mesma hora do dia.b) Tlêm 50 anos de idade.c) Nasceram no mesmo ano.d) Nasceram num mesmo mês.e) Nasceram num mesmo dia da semana.

ResoluçãoAnalisemos cada uma das alternativas e busquemos aquela que é falsa.a) O dia possui 24 horas e, como temos 100 pessoas, com certeza

pelo menos duas pessoas nasceram numa mesma hora do dia. (O sentido de mesma hora do dia, neste caso, não significa mesmo instante).

b) Em um grupo de 100 pessoas, todas com menos de 80 anos, não podemos afirmar que pelo menos duas têm 50 anos. Imagine, por exemplo, uma festa composta de 100 adolescentes (todos têm menos de 80 anos). Esta é a alternativa FALSA.

c) Como todas as pessoas têm menos de 80 anos, as possíveis idades são 1, 2, 3,..., 79. Como temos 100 pessoas, com certeza pelo menos duas delas têm a mesma idade e, consequentemente, nasceram no mesmo ano.

d) Temos 12 possíveis meses e 100 pessoas para distribuir dentre esses meses. Certamente pelos menos 2 terão nascido no mesmo mês.

e) Temos 7 dias na semana e 100 pessoas para distribuir o dia de nascimento. Certamente, pelo menos 2 terão nascido no mesmo dia da semana.

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08. (Cespe/ME/Agente Administrativo) A etapa final de um torneio de futebol será disputada entre os times A e B, e o campeão será o time que vencer duas partidas seguidas ou um total de três partidas. Considerando que os jogos que terminarem empatados serão decididos nos pênaltis, de forma que sempre haja um vencedor, julgue o item que se segue.Realizados 4 jogos entre as equipes A e B , o campeão será necessariamente conhecido.

ResoluçãoSe a equipe A (ou a equipe B) ganhar dois jogos seguidos o campeão será conhecido. Poderia acontecer o caso de, em 2 jogos, o campeonato terminar. Isso não é certeza. Pensemos no caso extremo: suponha que a equipe A vença o primeiro jogo. Para que o campeonato não termine, precisamos que a equipe B vença o segundo jogo. Se a equipe B vencer o terceiro jogo, o campeonato termina. Estamos pensando no caso extremo, então colocaremos como vencedor do terceiro jogo a equipe A. Já temos a seguinte seqüência de vitórias: ABA. O campeonato termina se uma equipe vencer dois jogos seguidos ou um total de 3 jogos. A equipe A não pode mais vencer jogos, caso contrário o campeonato termina. Colocaremos como vencedor do quarto jogo a equipe B. Temos então uma situação de 4 jogos em que não há vencedor, pois ninguém venceu duas partidas seguidas e nem venceu um total de 3 jogos. Na quinta partida, se a equipe A ou B vencer, teremos o campeão, pois venceu 3 jogos. O item está incorreto.

09. (FNDE/2007/FGV) Em um bosque há 180 árvores. Sabe-se que cada árvore tem pelo menos 30 folhas e que nenhuma árvore tem mais de 200 folhas. Pode-se concluir que:a) existe pelo menos uma árvore com 200 folhas.b) o número médio de folhas por árvore é 115.c) existe alguma árvore com 115 folhas.

Guilherme Neves

d) o número total de folhas é certamente maior que 6000.e) existem pelo menos duas árvores com mesmo número de folhas.

ResoluçãoAnalisemos cada uma das alternativas.a) O enunciado explicitou que cada árvore tem no mínimo 30 folhas

e no máximo 200 folhas. Não podemos garantir que exista uma árvore com 200 folhas. Falso.

b) Não sabemos a quantidade de folhas em cada árvore e, portanto, não sabemos o número médio de folhas por árvore. Falso.

c) Falso pelo mesmo motivo da alternativa A.d) O número mínimo de folhas por árvore é 30. Se todas as árvores

tivessem 30 folhas, o total de folhas seria 180 x 30 = 5400 folhas. Portanto, o número total de folhas é no mínimo 5400. Não podemos garantir que o total de folhas seja maior que 6000. Falso.

e) Imagine que vamos abrir um arquivo para classificar as árvores quanto à quantidade de folhas. Colocaremos uma gaveta para colocar as árvores de 30 folhas, uma gaveta para colocar as árvores de31 folhas, e assim sucessivamente, até criarmos uma gaveta para colocar as árvores com 200 folhas. Temos um total de 200 - 30+1 = 171 gavetas. Temos 180 árvores para distribuir em 171 gavetas. Certamente, teremos uma gaveta com pelo menos 2 árvores (pois temos mais árvores do que gavetas). Assim sendo, existem pelo menos duas árvores com mesmo número de folhas.

Letra E


01. (FNDE/2007/FGV) Ao longo de um dia de trabalho, João recebe5 processos para examinar. Sua secretária numera-os por ordem de chegada (1 é o primeiro processo a chegar) e os empilha em uma

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caixa de entrada (cada novo processo que chega é posto em cima dos que já se encontravam na caixa). Cinco vezes durante o dia, João apanha o processo que está no alto da pilha, despacha-o e coloca-o na caixa de saída (cada novo processo despachado é posto em cima dos que já se encontravam na caixa de saída). No fim do dia, os processos na caixa de saída não podem estar, de baixo para cima, na ordem:a) 12345b) 23145 'c) 45312d ) 32154e) 54321

02. (MEC/2008/FGV) No conjunto dos irmãos de Maria, há exatamente o mesmo número de homens e de mulheres. Míriam é irmã de Maria. Elas têm um irmão chamado Marcos. Esse, por sua vez, tem um único irmão homem: Marcelo. Sabendo-se que Maria e seus irmãos são todos filhos de um mesmo casal, o número total de filhos do casal é:a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

03. (MEC/2008/FGV) Um dado é dito “comum” quando faces opostas somam sete. Deste modo, num dado comum, o 1 opõe-se ao 6, o2 opõe-se ao 5 e o 3 opõe-se ao 4. Um dado comum é colocado sobre uma mesa. Um segundo dado, idêntico, é colocado sobre o anterior. Desta forma, no dãdo que está embaixo, ficam visíveis apenas as 4 faces laterais. No dado que está em cima, todas as faces ficam visíveis, exceto aquela que está em contato com o dado de baixo. Sabendo-se que a soma de todas as 9 faces visíveis é 32, o número da face superior do dado que está em cima é:

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Guilherme Neves

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

04. (MEC/2008/FGV) Considere o conjunto A - {23,5,7}. A quantidade de diferentes resultados que podem ser obtidos pela soma de 2 ou mais dos elementos do conjunto A é:a) 9b) 10c) 11d) 15e) 17

05. (MEC/2008/FGV) Em uma uma, há 3 bolas brancas» 4 bolas azuis e 5 bolas vermelhas. As bolas serão extraídas uma a uma, sucessivamente e de maneira aleatória. O número mínimo de bolas que devem ser retiradas para que se possa garantir que, entre as bolas extraídas da urna, haja pelo menos uma de cada cor é:a) 7b) 8c) 9d) 10e) 11

06. (FCC) Em certa escola, há 20 professores, 10 dos quais torcem pelo Flamengo, 6 pelo Vasco, 3 pelo Botafogo e 1 pelo Fluminense. Qual é o número mínimo de professores dessa escola que deve haver em um grupo para que possamos estar certos de que, nesse grupo, haja pelo menos três professores que torçam por um mesmo clube?a) 4b)7c) 8

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d) 9e) 12

07. (TRT/PJR/2004/FCC) Em uma uma temos 3 bola azuis, cada uma com 5 cm3 de volume, 3 cubos pretos, cada um com 2 cm3 e 1 cubo azul de 3 cm3 de volume. Retirando-se quatro objetos da urna, sem reposição, necessariamente um delesa) terá volume menor do que 3 cm3.b) terá volume maior do que 3 cm3.c) será uma bola.d) será azul.e) será preto.

08. (Covest) Em uma festa compareceram 500 pessoas. Podemos ter certeza que entre os presentes:a) existe alguém que aniversaria em maio;b) existem dois que não aniversariam no mesmo dia;c) existem pelo menos dois que aniversariam no mesmo dia;d) existem mais de dois que aniversariam no mesmo dia;e) nenhum aniversaria no mesmo dia que outro.

09. (SAD/PE/2008/FGV) Observe a figura:

O número de triângulos equiláteros que existem na figura acima é:

a) 16.b) 22.c) 23.d) 26.e) 27.

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Guilherme Neves

10. (SAD/PE/2008/FGV) Em um ano não bissexto, o feriado da Independência (07 de setembro) cai no mesmo dia da semana que o feriado:a) de Tiradentes (21 de abril).b) do Dia do Trabalho (01 de maio).c) de Finados (02 de novembro).d) da Proclamação da República (15 de novembro).e) do Natal (25 de dezembro).

11. (FNDE/2007/FGV) Em certo ano, o dia primeiro de março caiu em uma terça-feira. Nesse ano, o último dia de abril foi:a) quarta-feira.b) sábado.c) sexta-feira.d) quinta-feira.e) domingo.

12. (MEC/2008/FGV) Os anos bissextos têm 366 dias, um a mais do que aqueles que não são bissextos. Esse dia a mais é colocado sempre no final do mês de fevereiro, que, nesses casos, passa a terminar no dia 29. Um certo ano bissexto terminou em uma sexta-feira. O primeiro dia do ano que o antecedeu caiu em uma:a) segunda-feira.b) terça-feira.c) quarta-feira.d) quinta-feira.e) sexta-feira.

13. (TCE/MG/2007/FCC) Uma pessoa tem em seu bolso apenas moedas de 10 e de 25 centavos que totalizam a quantia de R$ 2,50. Nessas condições, qual dos seguintes números NÃO poderia corresponder ao total de moedas que ela tem em seu bolso?

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a) 13b) 16c) 19d) 20e) 22

14. (BACEN/FCC) Uma cafeteira automática aceita apenas moedas de 5,10, ou 25 centavos e não devolve troco. Se, feito nessa máquina, cada cafezinho custa 50 centavos, de quantos modos podem ser usadas essas moedas para pagá-lo?a) 13b) 12 'c) 11d) 10e) 9

15. (Polícia Civil/FCC) Uma pessoa fez uma compra no valor de R$19,55. Tinha com ela as seguintes moedas: 15 de R$1,00; 10 de R$0,50; 8 de R$0,25; 8 de R$0,10 ; 4 de R$0,05. Se fez o pagamento utilizando a maior quantidade possível dessas moedas, então:a) sobraram 7 moedas.b) sobraram 8 moedas.c) dentre as moedas que sobraram,2 eram de R$0,10.d) dentre as moedas que sobraram,2 eram de R$0,25.e) dentre as moedas que sobraram,3 eram de R$0,05.

16. (TRT/24* região/FCC) Se um livro tem 400 páginas numeradas de 1 a 400, quantas vezes o algarismo 2 aparece na numeração das páginas desse livro?a) 160b) 168c) 170d) 176e) 180

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Guilherme Neves

17. (BACEN/FCC) Se, para numerar as páginas de um livro, um tipógrafo usou 747 algarismos, então o número de páginas desse livro é:a) 350b) 315c) 306d) 298e) 285

18. (TRT/2006/FCC) Sè na numeração das páginas de um livro foram usados 405 algarismos, quantas páginas tem esse livro?a) 164b) 171c) 176d) 184e) 181

19. (TCE/PB/FCC) Quantos algarismos são usados para numerar de1 a 150 todas as páginas de um livro?a) 327b) 339c) 342d) 345e) 350

20. (CVM/Esaf) Anelise, Anais e Anália estão sentadas lado a lado, nesta ordem. Sabe-se que Anália é mais velha do que Anais, que é mais velha do que Anelise. São dadas a Beto, Dario e Caio as seguintes informações:

- as idades das meninas são números inteiros positivos- a soma das idades é igual a 13Beto ao saber a idade de Anelise diz: “Não tenho informações suficientes para determinar as idades das outras duas meninas^.Em se

197


guida Caio, ao saber a idade de Anália diz: “Não tenho informações suficientes para determinar as idades das outras duas meninas. Por fim* Dario> ao saber a idade de Anais diz: ”Não tenho informações suficientes para determinar as idades das outras duas meninas.” Sabendo que cada um deles sabe que os outros dois são inteligentes e escuta os comentários dos outros, qual a idade de Anais?a) 2b) 3c) 4d) 5e) Não há informações suficientes para determinar a idade de Anais.

21. (Anpad) Num belo dia você anda 10 km para o sul, 10 km para o leste e volta ao ponto de partida andando mais 10 km para o norte. Podemos afirmar que:a) A praia estava uma delícia.b) Foi bom você ter se agasalhado.c) As árvores davam bastante sombra.d) Na próxima vez você deve ter mais cuidado com os jacarés.e) O canto dos passarinhos estava ensurdecedor.

22. (Senado Federal 2008 FGV) Um serralheiro tem 10 pedaços de corrente com três elos de ferro cada um, como mostra a figura abaixo.

Ele quer fazer uma única corrente de 30 elos. Para abrir e depois soldar um elo, o serralheiro gasta 5 minutos. O tempo mínimo que ele levará para fazer a corrente é:a) 30 minb) 35 min

198

Guilherme Neves

c) 40 mind) 45 mine) 50 min

23. (TRT/2006/FCC) O esquema abaixo representa a subtração de dois números inteiros, na qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X, Y, Z e T.

4 9 X 6- Y 0 9 Z

3 T 8 4

Obtido o resultado correto, a soma X+Y-f-Z+T é igual a:a) 12b) 14c) 15d) 18e) 21

24. (TCE/PB/FCC/2006) No esquema abaixo tem-se representada a multiplicação de dois números inteiros, no qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras A,B, C e D.

A B 2 C x4

15 7 D 2

Completando o diagrama corretamente, é verdade que:a) C= D+lb) B=A2c) A+B=C+Dd) A -0 5e) A=D°

25. (TCE/MG/2007/FCC) Considere o número inteiro e positivo X4Y, em que X e Y representam os algarismos das centenas e das

199


unidades, respectivamente. Sabendo que 15 480 : (X4Y) = 24, então X4Y é um número compreendido entrea) 800 e 1000b) 600 e 800c) 400 e 600d) 200 e 400e) 100 e 200

26. (Senado Federal/2008/FGV) Na operação de multiplicação abaixo, cada letra representa um algarismo.

1 A B C '____ x3A B C 4

O valor de A+B+C é:a) 10b) 11c) 12d) 13e) 14

27. (TCE/PB/2006/FCC) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos substituídos por letras.”

M A R R A + M A R R A

T O R T A

Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros do acervo dessa biblioteca é um número

200

Guilherme Neves

a) menor que 70000.b) compreendido entre 70000 e 75000.c) compreendido entre 75000 e 80000.d) compreendido entre 80000 e 85000.e) maior que 85000.

28. (TCE/SP/FCC) Um fato curioso ocorreu com meu pai em 22 de outubro de 1932. Nessa data, dia de seu aniversário, ele comentou com seu avô que sua idade era igual ao número formado pelos dois últimos algarismos do ano de seu nascimento. Ficou, então, muito surpreso quando seu avô, que igualmente fazia aniversário na mesma data, observou que o mesmo ocorria com a sua idade. Nessas condições, é correto afirmar que a diferença positiva entre as idades de meu pai e desse meu bisavô, em anos, éa) 40b) 42c) 45d) 47e) 50

29. (TCE/PB/2006/FCC) Um fato curioso ocorreu em uma família no ano de 1936. Nesse ano, Ribamar tinha tantos anos quantos expressavam os dois últimos algarismos do ano em que nascera, e coincidentemente, o mesmo ocorria com a idade de seu pai. Nessas condições, em 1936, a soma das idades de Ribamar e de seu pai, era igual a:a) 76b) 78c) 82d) 84e) 86

201


30. (TCE/PB/2006/FCC) No vestiário de um hospital há exatamente 30 armários que são usados por exatamente 30 enfermeiros. Curiosamente, certo dia em que todos os armários estavam fechados, tais enfermeiros entraram no vestiário um após o outro, adotando o seguinte procedimento:

- o primeiro a entrar abriu todos os armários;- o segundo fechou todos os armários de números pares (2,4,6,...,30)

e manteve a situação dos demais;- o terceiro inverteu a situação a cada três armários (3o,6o}9°,...,30o)>

ou seja, abriu os que estavam fechados e fechou os que estavam abertos, mantendo a situação dos demais;

~ o quarto inverteu a situação a cada quatro armários (4o,8o, 12°,...,28o), mantendo a situação dos demais;

- e, da mesma forma, ocorreu sucessivamente o procedimento dos demais enfermeiros.

Com certeza, após a passagem de todos os enfermeiros pelo vestiário, os armários de números 9,16 e 28 ficaram, respectivamente,

a) aberto, aberto e fechado.b) aberto, fechado e aberto.c) fechado, aberto e aberto.d) aberto, aberto e aberto.e) fechado, fechado e fechado.

Gabarito dos exercícios propostos01. c 06. c 11.b02. d 07. d 12. c03. d 08. c 13. d04. a 09. e 14. d05. d 10. c 15. c

16. e 21. b 26. e17. e 22. b 27. d18. b 23. d 28. e19. c 24. b 29. e20. c 25. b 30. a

202

i o | R a c i o c í n i o

LÓGICO SEQÜENCIAL

“Ninguém é tão ignorante que não tenha algo a ensinar.

Ninguém é tão sábio que não tenha algo a aprender

B laise Pascal

Resolveremos no presente capítulo questões envolvendo seqüências de letras, números e palavras.Vale a pena relembrar as fórmulas do termo geral e da soma dos termos de uma progressão aritmética (P.A.).Uma progressão aritmética é uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r.

Exemplo:(2,5,8,11,14,...) —> Progressão aritmética de razão r = 3.

Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética

an — a1 + (n-1) • r

Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética

( a ^ a j - n

Onde a}é o primeiro termo, ané o enésimo termo.

203


Exemplo:O vigésimo termo da P.A. (2,5,8,11,14,...) é

a2Q = at + (20-1) ‘r — 2 + 1 9 '3 ~ 59.

A soma dos 20 primeiros termos da P.A. (2,5,8,11,14,...) é

Exercítios resolvidos

01. (IDR) Analise a seqüência de Fibonacci — que viveu no séculoXII —, útil na descrição de alguns fenômenos de botânica e de genética. 1, 1,2, 3, 5, 8 ,__, 21, 34,.... O sétimo termo da seqüência, quecompleta a lacuna é:a) 10b) 11c) 12d) 13e) 20

ResoluçãoA seqüência de Fibonacci é definida da seguinte maneira: cada termo, a partir do terceiro, é a soma dos dois antecedentes. Assim, 2= 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2. Temos então que a lacuna a ser preenchida é 5 + 8= 13.

Letra D

02. (Senado Federal/2008/FGV) Você vê a seguir os números triangulares: 1, 3 ,6 ,....

204

Guilherme Neves

O 60° número triangular é:a) 1830b ) 1885c) 1891d) 1953e) 2016

Resolução

«J = la2~ 1 + 2 = 3 íz5= 1 + 2 + 3 = 6aí()= l + 2 + 3 + ... + 58 + 59 + 60 = 1 ) ‘—-- =1830

Letra A

03. (FNDE/2007/FGV) Na seqüência numérica 3, 10, 19, 30,43, 58, ..., o termo seguinte ao 58 é:a) 75b) 77c) 76d) 78e) 79

Resolução

+ 7 +9 +11 +13 +15

205

Manual áe Lógica para Concursos

Para manter o padrão, devemos somar 17 ao número 58. Assim, o próximo número é 58 + 17 = 75.

Letra A

04. (TJ/PE/2007/FCC) Considere a seqüência das figuras abaixo.

2 E 8 ?sB 5 TT

il?

A figura que substitui corretamente as interrogações é:

a) b)L

9c)

K

11d)

6

22e)

9

L

ResoluçãoObserve que B é a 2a letra do alfabeto, E é a 5a letra do alfabeto e que H é a 8a letra do alfabeto. Os números 2,5,8 formam uma progressão aritmética de razão 3. O próximo termo é 8 -f 3 = 11. A 11a letra do alfabeto é K.

Letra C

05. (TCE/MG/2007/FCC) Os termos da sucessão seguinte foram obtidos considerando uma lei de formação (0,1, 3,4,12,13,...)* Segundo essa lei, o décimo terceiro termo dessa seqüência é um número:a) menor que 200.b) compreendido entre 200 e 400.c) compreendido entre 500 e 700.d) compreendido entre 700 e 1000.e) maior que 1000.

206

Guilherme Neves

ResoluçãoObserve o seguinte esquema:

() 1 3 A 4 12a 13. 39 40. 120 121. 363a 364AV V3, V7 V7 V* V* V* V* V* V7+1 x3 -fl x3 +1 x3 +1 x3 +1 x3 +1 x3

Letra E

06. (TCE/FCC) Os números no interior dos setores do círculo abaixo foram marcados sucessivamente, no sentido horário, obedecendo a

Segundo essa lei, o número que deve substituir o ponto de interrogação é:a) 210b) 206c) 200d) 196e) 188

ResoluçãoResolveremos a questão acima de quatro maneiras distintas.

Resolução 1


Observe que a última linha é uma progressão aritmética de razão 6. Assim, o termo que sucede o 24 é 24 + 6 = 30.

Resolução 2Perceba que todos os números são múltiplos de 6. Dessa forma:

0 = 6 0 6 = 6-1 24 = 6 • 4

- 60 = 6-10 120 = 6 • 20

Temos então a seqüência

® V 5”4 V 10 V*7 ^+1 v ^ ^ V ^ V ^ 10 V 9'+15

+2 +3 +4 +5

Assim, o próximo número da seqüência é 6 • 35 = 210

Resolução 3Observe as seguintes relações:

0 = 0-1 -2 6 = 1 • 2 • 3 24 = 2•3 * 4 60 = 3 • 4 - 5 120 = 4 * 5 • 6

O próximo termo da seqüência é 5-6*7 = 210

Resolução 4Observe as seguintes relações:0 = 1 3-16 = 23 - 2

208

Guilherme Neves

24 — 33 - 3 60 = 43 - 4 120 = 53 - 5

O próximo termo da seqüência é 63 - 6 = 210

Letra A

07. (FNDE/2007/FGV) Na seqüência de algarismos 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,4 3 ,2 ,1 , 23>4>5,43>2,1}23> — , o 2007° algarismo é:a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 3

ResoluçãoObserve a periodicidade da seqüência acima. Há uma repetição dos algarismos 1,2,3,4,5,43,2, retornando novamente para o algarismo X. Temos então uma repetição a cada 8 algarismos.Temos que (obtém-se este resultado dividindo 2007 por 8). Isso quer dizer que o grupo 1,23,4,5,4,3,2 se repete 250 vezes e ainda restam7 algarismos. Os próximos 7 algarismos são 1,2,3,4,5,4,3. Portanto o 2007° algarismo é 3.

Letra E

08. (MPU/2007/FCC) Considere todos os números inteiros e positivos dispostos, sucessivamente, em linhas e colunas, da forma como é mostrado abaixo.

Sfiiilü f t i i lColuna

Ü iColuna Coluna Coluna

...OS3 .'.. .. Coluna

K lSColuna Coluna

1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 14

ííSIilif ...

209


Se fosse possível completar essa tabela, então, na terceira coluna e na tricentésima quadragésima sexta linha apareceria o número:a) 2326b) 2418c) 2422d) 3452e) 3626

ResoluçãoObserve que os números da terceira coluna formam uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 3 e razão igual a 7. Dessa forma teremos que calcular o aM6.

an ~ ai + ' r aM = aI + (346-1)-r

= 3 + 345 ■ 7 = 2418346

Letra B

09. (TCE/PB/2006/FCC) Usando palitos de fósforos inteiros é possível construir a seguinte sucessão de figuras compostas por triângulos:

Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter uma figura composta de 25 triângulos, o total de palitos de fósforo que deverão ser usados é:a) 45b) 49c) 51d) 57 .e) 61

210

Guilherme Neves

ResoluçãoObserve a quantidade de palitos em cada figura 3,5,7,9, ... . Temos uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 3 e razão igual a 2. Temos que calcular o vigésimo quinto termo.

a25~ aj + 24 • r = 3 + 24 • 2 = 51 palitos.

Letra C

10. (Ipea/2004/FCC) A sucessão de palavras obedece a uma ordem lógica. Escolha a alternativa que substitui “X” corretamente. RÃ, LUÍS, MEIO, PARABELO, "X”a) Calçadob) Pentec) Lógicad) Sibipirunae) Soteropolitano

ResoluçãoRã —» 1 vogal Luis —> 2 vogais Meio -» 3 vogais Parabelo —» 4 vogaisA próxima palavra deve possuir 5 vogais.

Letra D

11. (TRT-24a Região/FCC) Das seis palavras seguintes, cinco deverão ser agrupadas seguindo uma característica comum.CARRETA - CANHADA - CAMADA - CREMADA - CANHOTO- CARRINHO

A palavra a ser descartada é:a) Canhotob) Cremada

211


c) Camadad) Canhadae) Carreta

ResoluçãoObserve que todas as palavras começam com o grupo de letras CA, exceto CREMADA.

Letra B

Exercícios propostos01. (Senado Federal/2008/FGV) Os números naturais são colocados em um quadro, organizados como se mostra abaixo:

O número 2008 está na coluna:a) Fb) Bc) Cd )Ie) A

02. (TCE/SP/2005/FCC) O triângulo a seguir é composto de letras do alfabeto dispostas segundo determinado critério.

212 l■x

Guilherme Neves

NM L )

E D C - A

Considerando que no, alfabeto usado não entram as letras K, W, Y, então, segundo o critério utilizado na disposição das letras do triângulo a letra que deverá ser colocada no lugar do ponto de interrogação é:a) Cb) Ic) Od)Pe) R

03. (BACEN/FCC) Na figura abaixo, as letras foram dispostas em forma de um triângulo segundo determinado critério.

PP Q

P R S Q R S T

Q R - - ?

Considerando que as letras K, W e Y não fazem parte do alfabeto oficial, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deve substituir o ponto de interrogação é:a) Pb) Qc) Rd) Se)T

I

213


04. (TRT/2006/FCC) A figura abaixo mostra um triângulo composto por letras e por alguns espaços vazios, nos quais algumas letras deixaram de ser colocadas.

AL

B C Dl p

E F G H J

Considerando que a ordem alfabética é a oficial e exclui as letras K, W e Y> então, se as letras foram dispostas obedecendo a determinado critério, a letra que deveria ocupar o lugar do ponto de interrogação é:a)Jb) Lc)Md) Ne) O

05. (TCE/PB/2006/FCC) Na figura abaixo, as letras foram dispostas em forma de um triângulo segundo determinado critério.

BD F

H J MO - ? -

Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letras K,W,e Y, então, segundo tal critério, a letra que deverá substituir o ponto de interrogação éa ) Tb) Qc) Sd) Pe) R

214

Guilherme Neves

06. (TCE/PB/2006/FCC) Considere que: uma mesa quadrada acomoda 4 pessoas; juntando duas mesas desse mesmo tipo, acomodam-se 6 pessoas; juntando três dessas mesas, acomodam-se apenas 8 pessoas e, assim, sucessivamente, como é mostrado na figura abaixo.

• • • • • •

• « • • ® ©Nas mesmas condições, juntando 16 dessas mesas, o número de pessoas que poderão ser acomodadas éa) 32b) 34c) 36d) 38e) 40

07. (TCE/PB/2006/FCC) Considere que a seguinte seqüência de figuras foi construída segundo determinado padrão.

e • • • • • • • • • • • • •

Mantido tal padrão, o total de pontos da figura de número 25 deverá ser igual aa) 97b) 99c) 101d) 103e) 105

215


08. (FNDE/2007/FGV) Observe a seqüência de figuras abaixo.

Fig 4Fig 3

Kg 2 • • • • • •F ig l • • • • • • •

• • • • • • • • # • • • • • • • • • • • • •

Quando terminarmos a figura 20, o número total de bolinhas utilizadas terá sido de:a) 720b) 840xc) 780d) 680e) 880

09. (TCE/PB/2006/FCC) Dos grupos de letras apresentados nas alternativas abaixo, apenas quatro apresentam uma característica comum. Considerando que a ordem alfabética usada, exclui as letras K,W e Y, então o único grupo que NÃO tem a característica dos outros é oa) Z T U Vb) T P Q Rc) Q M N Od) L G H Ie) F C D E

10. (TCE/PB/2006/FCC) Estabelecido um certo padrão de formação, foram obtidos os termos da seguinte seqüência numérica:

43,2 - 44,4 - 45,6 - 46,8 - 47,0 - 48,2 - 49,4 - 50,6 -...

A soma do nono e décimo termos da seqüência assim obtida é

216

Guilherme Neves

a) 103,8b) 103,6c) 103,4d) 102,6e) 102,4

11. (TCE/SP/2005/FCC) Abaixo tem-se uma sucessão de quadrados, interior dos quais as letras foram colocadas obedecendo a um determinado padrão.

A B

C D

C D

A B

D C

B A?

Segundo esse padrão, o quadrado que completa a sucessão é:

B C

D A

B A

D CD B

C A

A CD B

A D

B C

12. (BACEN/FCC) No quadriculado seguinte os números foram colocados nas células obedecendo a um determinado padrão.

16 34 57 w!V13 19 28 4229 15 55 66

Seguindo esse padrão, o número X deve ser tal que:

a) X > 100b) 90 < X < 100c) 80 < X < 90d) 70 < X < 80e) X < 70

2X7


13. (TCE/PB/2006/FCC) No quadro abaixo, a letra X substitui o número que faz com que a terceira linha tenha o mesmo padrão das anteriores.

3 21 148 56 496 42 X

Segundo o referido padrão, o número que a letra X substituia) está compreendido entre 30 e 40.b) èst;á compreendido entre 40 e 50.c) é menor do que 30.d) é maior do que 50.e) é par.

14. (TCE/FCC) Observe a seqüência de figuras seguinte está incompleta. A figura que está faltando à direita deve ter com aquela que a antecede, a mesma relação que a segunda tem com a primeira. Assim,

assim como está para

a)

Od) ©

e)m

218

Guilherme Neves

15. (TRT/PE/2006/FCC) Observe que no esquema seguinte a disposição das figuras segue um determinado padrão.

De acordo com tal padrão, a figura que completa a série é:

a) O c> © d> ©

16. (TJ7PE/2007/FCC) Considere a seqüência de figuras abaixo.

má i

gpgggmm

■ ■

A figura que substitui corretamente a interrogação é:

a ) H b ) B I c)| S d> e)

17. (BACEN/2005/FCC) Em cada linha do quadro a seguir, as figuras foram desenhadas obedecendo a um mesmo padrão de construção.

219


XI ÍI

Segundo esse padrão, a figura que deverá substituir corretamente o ponto de interrogação é:

a) b) c) d)

18. (TJ/PE/2007/FCC) Considere a seqüência de figuras abaixo.

® AL

© A A

°A°

A figura que substitui corretamente a interrogação é:

d) e) (°2a) ( L b)

19. (TCE/FCC) Observe que, no esquema abaixo, há uma relação entre as duas primeiras palavras:

AUSÊNCIA - PRESENÇA :: GENEROSIDADE - ?

A mesma relação deve existir entre a terceira palavra e a quarta, que está faltando. Essa quarta palavra é:

220

Guilherme Neves

a) bondadeb) infinitoc) larguezad) qualidadee) mesquinhez

20. (TRT/2006/FCC) Observe que há uma relação entre os dois primeiros grupos de letras apresentados abaixo. A mesma relação deve existir entre o terceiro e quarto grupo, que está faltando.

DFGJ: HJLO : : MOPS : ?

Considerando que as letras K , Y e W não pertencem ao alfabeto oficial usado, o grupo de letras que substituiria corretamente o ponto de interrogação é:a) OQRUb) QSTVc) QSTXd) RTUXe) RTUZ

(TCE/MG/2007/FCC) Instruções: Nas questões de números 21 e 22, observe que há uma relação entre o primeiro e o segundo grupos de letras. A mesma relação deverá existir entre o terceiro grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas alternativas, ou seja, aquele que substitui corretamente o ponto de interrogação. Considere que a ordem alfabética adotada é a oficial e exclui as letras K, W e Y.

21. ABCA: DEFD :: HIJH : ?a) IJLIb) JLMJc) LMNLd) FGHFe) EFGE

221


22. CASA : LATA :: LOBO : ?a) SOCOb) TOCOc) TOMOd) VOLOe) VOTO

23. (TRT/2006/FCC) Observe que há uma relação entre as duas pri- \,meiras figuras representadas abaixo. A mesma relação deve existir entre a terceira e a quarta, que está faltando.

•> está para

A quarta figura é:

assim como

a) b) c) à)

está para

24. (BACEN/2005/FCC) Assinale a alternativa que completa completamente a frase seguinte.

O anuário está para o aíio, assim como as efemérides estão para...a) o diab) a quinzenac) a eternidaded) o mêse) a semana

25. (TRT/2006/FCC) Qual o melhor complemento para a sentença “O mel está para a abelha assim como a pérola está para...” ?

a) o colarb) a ostra

222

Guilherme Neves

c) o mard) a vaidadee) o peixe

26. (TRT/2006/FCC) Observe as seguintes seqüências de números: (1,0,0,1) - (4,3,3,4) - (5,4,4,5) - (6,7,7,6) - (9,8,8,9)A seqüência que NÃO apresenta a mesma característica das demais éa) (1,0,0,1)b) (4,3,3,4)c) (5,4,4,5)d) (6,7,7,6)e) (9,8,8,9)

27. (TRT/FCC) Na sucessão de figuras seguintes, as letras do alfabeto oficial foram dispostas segundo um determinado padrão.

AZ

£v

??

iP

L_N

NL

Considerando que o alfabeto oficial exclui as letras K,YeW, então, para que o padrão seja mantido, a figura que deve substituir aquela que tem os pontos de interrogação é:

a)IR

b)HT

c)R

d)GT

e)G

R

28. (TCE/PB/2006/FCC) Observe que há uma relação entre as duas primeiras figuras representadas abaixo. A mesma relação deve existir entre a terceira figura e a quarta, que está faltando.

está para assim como está para

223


A quarta figura é

a) b) ( A > c) ^ d) ^ e) ^

29. (TJ/PE/2007/FCC) A inserção dos números nos espaços abaixo observa determinada lógica.

9C A6

45F

~7J H9

6M

5S Q2

21V

8G E8

?

O número que substitui corretamente a interrogação é:a) 641b) 48Jc) 42Ld) 15Xe) 90R

30. (TRT/2006/FCC) Os termos da seqüência (2,5,8,4,8,12,6,11,16,...) são obtidos através de uma lei de formação. A soma do décimo e do décimo segundo termos dessa seqüência, obtidos segundo essa lei é:a) 28b) 27c) 26d) 25e) 24

31. (Agente Fiscal de Rendas) Continuando a seqüência 4, 10, 28, 82,..., temos:a) 256b) 254c) 246d) 244e) 236

224

Guilherme Neves

32. (Agente Fiscal de Rendas) Continuando a seqüência 4 7 4.0

33,29, 26,..., temos:a) 2 1

b) 2 2

c) 23d) 24e) 25

33. (TJ/PE/2007/FCC) Assinale a alternativa que substitui corretamente a interrogação na seguinte seqüência numérica: 6 1 1 ? 27a) 15b) 13c) 18d) 57e) 17

34. (TRT/24* região/FCC) Considere a seqüência: (16,18, 9,12,4,8 ,2, X). Se os termos dessa seqüência obedecem a uma lei de formação, o termo X deve ser igual a:a) 1 2

b) 1 0

c) 9d) 7e) 5

35. (TRT/2006/FCC) Os números no interior do círculo representado na figura abaixo foram colocados a partir do número 2 e no sentido horário, obedecendo a um determinado critério.

225


Segundo o critério estabelecido, o número que deverá substituir o ponto de interrogação é:a) 42b) 44c) 46d) 50e) 52

36. (BACEN/2005/FCC) Na seqüência seguinte o número que aparece entre parênteses é obtido segundo uma lei de formação.

63(21)9,; 186(18)31; 85(?)17

O número que deverá substituir o ponto de interrogação é:a) 15b) 17c) 19d) 23e) 25

37. (TRT/2006/FCC) A seqüência de figuras abaixo foi construída obedecendo a determinado padrão.

Segundo esse padrão, a figura que completa a seqüência é:

a)

38. (TJ/PE/2007/FCC) A sucessão de figuras a seguir foi construída da esquerda para a direita segundo determinado padrão.

226

Guilherme Neves

De acordo com esse padrão, a figura que completa a seqüência dada é

e)

39. (BACEN/2005/FCC) As pedras de dominó mostradas abaixo foram dispostas, sucessivamente e no sentido horário, de modo que os pontos marcados obedeçam a um determinado critério.

a) azH b) c) d)

m

Com base nesse critério, a pedra de dominó que completa corretamente a sucessão é:

a) * b} c) * d) * e)

40. (TCE/SP/2005/FCC) As pedras de dominó abaixo foram, sucessivamente, colocadas da esquerda para a direita e modo que, tanto a sua parte superior como a inferior, seguem determinados padrões.

A pedra de dominó que substitui a que tem os pontos de interrogação é

227


41. (TCE/PB/2006/FCC) Para formar a seguinte seqüência de pedras de dominó, considere que elas foram dispostas sucessivamente e da esquerda para a direita, seguindo um determinado critério.

Segundo esse critério, a pedra que deve corresponder àquela que tem os pontos de interrogação é:

a) b) c) d)

42. (TRT/PE/2006/FCC) Note que o mesmo padrão foi usado na disposição das pedras de dominó na primeira e na segunda linha do esquema abaixo.

Se a terceira linha deve seguir o mesmo padrão das anteriores, a pedra que tem os pontos de interrogação é:

a) b) d) e)

228

Guilherme Neves

43. (BACEN/2005/FCC) Observe com atenção a figura abaixo.

Dos desenhos seguintes, aquele que pode ser encontrado na figura dada é:

a)

d)

» o c)

e)

44. (SAD/PE/2008/FGV) Observe as figuras abaixo:

1 11 2

5 10

2 10

3 15

5 6

5 X

6 - y

Os números que existem dentro de cada uma possuem uma regra lógica que os une. Então, a diferença x ~y é igual a:

a) 20b) 18c) 16d) 12e) 10

229


45. (Agente Fiscal de Rendas) Em uma avenida reta, a padaria fica entre o posto de gasolina e a banca de jornal, e o posto de gasolina fica entre a banca de jornal e a sapataria. Logo:

a) A sapataria fica entre a banca de jornal e a padaria.b) A banca de jornal fica entre o posto de gasolina e a padaria.c) o posto de gasolina fica entre a padaria e a banca de jornal.d) a padaria fica entre a sapataria e o posto de gasolina.e)o posto de gasolina fica entre a sapataria e a padaria.

46. (Anpad) As letras T, X, Y, Z e W estão escritas em uma linha. Sabendo-se que:

—> 2 letras separam X e Y.—» T está à esquerda de X —> Z e W estão juntas.—> W está tão perto de T como de Y

Podemos afirmar que:a) Z ocupa a segunda posição a contar da esquerda.b) W está à direita de Y.c) W ocupa a terceira posição a partir da direita.d) W está entre Z e Y.e) A primeira letra à direita não é Y.

47.(TJ/PE/2007/FCC) Há cinco objetos alinhados numa estante: um violino, um grampeador, um vaso, um relógio e um tinteiro.Conhe- cemos as seguintes informações quanto à ordem dos objetos:

- O grampeador está entre o tinteiro e o relógio.- O violino não é o primeiro objeto e o relógio não é o último.- O vaso está separado do relógio por dois outros objetos.

Qual é a posição do violino?

230

Guilherme Neves

a) Segunda posição.b) Terceira posição.c) Quarta posição.d) Quinta posição.e) Sexta posição.

48. (MPOG/2006/Esaf) Quatro carros de cores diferentes, amarelo, verde, azul e preto, não necessariamente nessa ordem, formam uma fila. O carro que está imediatamente antes do carro azul é menos veloz do que o que está imediatamente depois do carro azul. O carro verde é o menos veloz de todos e está depois do carro azul. O carro amarelo está depois do carro preto. As cores do primeiro e do segundo carro da fila são, respectivamente,

a) amarelo e verde.b) preto e azul.c) azul e verde.d) verde e preto.e) preto e amarelo

49. (Polícia Civil/2006/FCC) Usando o alfabeto com 26 letras, considere a seguinte seqüência, formada a partir de certo critério: A, D, C,H, G, N, M. De acordo com esse critério, o próximo elemento dessa seqüência é a letra:

a) Tb)Uc)Xd) We) V

50. (SAD/PE/2008/FGV) Em uma estação de energia, certa máquina deve ficar permanentemente ligada, mas deve receber uma pequena

231


manutenção a cada 5 dias. A máquina foi ligada e recebeu a primeira manutenção em uma segunda-feira. Assim, receberá a segunda manutenção no sábado, a terceira na quinta-feira da semana seguinte, e assim por diante. Na 60a revisão, a máquina será desligada para revisão geral. Podemos concluir que a máquina será desligada em:

a) uma terça-feira.b) uma quarta-feira.c) uma quinta-feira.d) uma sexta-feira.e) um sábado.

Gabarito dos exercícios propostos01. e 18. a 35. a02. d 19. e 36. a03. e 20. c 37. d04. e 21. c 38. e05. c 22. b 39. e06. b 23. c 40. c07. c 24. a 41. a08. b 25. b 42. d09. e 26. d 43. c10. a 27. e 44. a11. c 28. b 45. e12. a 29. b 46. c13. a 30. a 47. d14. c 31. d 48. b15. b 32. c 49. e16. a 33. c 50. a17. b 34. d

232

i i E x e r c í c i o s g e r a i s

“O que a escultura é para um bloco de mármore, a educação é para o espírito.”

Jo seph Ad d iso n

Os exercícios resolvidos (e propostos) neste capítulo são comumente cobrados em provas de todas as bancas organizadoras de concurso. São questões envolvendo um grupo de pessoas ou objetos, cada um com uma determinada característica. Nosso papel será determinar quem tem qual característica. Por essa razão, apelidaremos tais questões de “Dá a César o que é de César”. Veremos as principais técnicas durante a resolução das questões.


01. (TRT-24* Região/FCC) Alice, Bruna e Carla, cujas profissões são advogada, dentista e professora, não necessariamente nesta ordem, tiveram grandes oportunidades para progredir em sua carreira: uma delas foi aprovada em um concurso público; outra recebeu uma ótima oferta de emprego e a terceira, uma proposta para fazer um curso de especialização no exterior. Considerando que:

- Carla é professora.- Alice recebeu proposta para fazer o curso de especialização no ex

terior.- A advogada foi aprovada em um concurso público.

233


É correto afirmar que:

a) Alice é advogada.b) Bruna é advogada.c) Carla foi aprovada no concurso público.d) Bruna recebeu a oferta de emprego.e) Bruna é dentista.

ResoluçãoConstruiremos uma tabela para associar cada mulher à sua profissão e à sua oportunidade para progredir na carreira.

_ Profissão , , . Oportunidade .AliceBrunaCarla

Com as duas primeiras informações, podemos preencher a profissão de Carla e a oportunidade de Alice.

Profissão . Oportunidade

Alice Curso de especialização

BrunaCarla Professora

A terceira frase nos diz que a advogada foi aprovada em concurso público. Sabemos que Alice não foi aprovada em concurso público e que Carla não é advogada. Portanto, a terceira frase se refere a Bruna.

'■ ■ •' ’■* ' ! " ' ' v V : ‘ C : i - r V .Profissão ■ • Oportuiüdade <

AliceCurso de .

especializaçãoBruna Advogada Concurso públicoCarla Professora

234

Guilherme Neves

Por exclusão, temos que Alice é dentista e Carla recebeu uma ótima oferta de emprego.

; ‘Profissão : ; O po^nidadé ;

Alice Dentista Curso de especialização

Bruna Advogada Concurso públicoCarla Professora Oferta de emprego

Letra B —» Bruna é advogada.

02. (FNDE/2007/FGV) Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é branco. Elas calçam sapatos dessas mesmas cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Márcia está com sapatos azuis. Desse modo:

a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto.b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos.c) os sapatos de Júlia são pretos e o vestido de Márcia é branco.d) o vestido de Márcia é preto e os sapatos de Ana são brancos.e) o vestido de Ana é azul e os sapatos de Júlia são brancos.

ResoluçãoFaremos novamente uma tabela para associar cada mulher à cor do seu vestido e à cor do seu sapato.

Vestido .AnaJúlia

Márcia

Márcia está com sapatos azuis. Sabemos que o sapato de Júlia não é branco. Concluímos que os sapatos brancos são de Ana. Ora, Ana

235


possui sapatos e vestido de mesma cor. Assim, o seu vestido também é branco. Por exclusão, os sapatos de Júüa são pretos. Como somente Ana possui sapato e vestido de mesma cor, o vestido de Júlia é azul e o vestido de Márcia é preto.

Vestido , . ;Ana Branco BrancoJúlia Azul Preto

Márcia Preto Azul

Letra D —> O vestido de Márcia é preto e os sapatos de Ana são brancos:

03. (Prefeitura de Jaboatão/FCC) As afirmações abaixo referem-se às praias que 5 amigos pernambucanos costumam freqüentar:- Antônio e João não freqüentam a praia de Boa Viagem.- Maurício e Francisco não freqüentam a praia de Maria Farinha

nem a de Piedade.

- Duarte não freqüenta a praia do Pina nem a de Candeias.- Antônio não freqüenta a praia de Maria Farinha.- Duarte não freqüenta a praia de Maria Farinha nem a de Piedade.- Francisco não freqüenta a praia de Candeias.

Nessas condições, considerando que cada um deles freqüenta uma única praia, aquele que freqüenta a praia:a) de Piedade é Antônio.b) do Pina é Duarte.c) de Boa Viagem é Francisco.d) de Candeias é João.e) de Maria Farinha é Maurício.

ResoluçãoSeguiremos uma estratégia um pouco diferente. Não vale a pena uti

236

Guilherme Neves

lizarmos uma tabela semelhante às das questões anteriores. Temos muitas informações sobre as praias que eles não freqüentam. A tabela que faremos terá o seguinte aspecto: escreveremos na primeira coluna os nomes dos personagens e na primeira linha o nome das praias freqüentadas.

'V í^èísi:;; Máriá- ..Farinha ■-Piedade: . .Piriá / . Candeià-s!

AntônioJoão

MaurícioFrancisco

Duarte

Usaremos a seguinte notação: quando não houver associação entre o personagem e a característica (no caso, a praia freqüentada), marcaremos uma bolinha. Se houver associação entre o personagem e a característica, marcaremos um X.

Viagem. Marià Farinha :::;piedàdev;: . P in a' Candeias

Antônio © ©

João ©Maurício © ‘ ©

Francisco © 0 ©

Duarte © © © ©

Acabamos de preencher todas as informações do texto. Perceba que Duarte, por exclusão, freqüenta Boa Viagem (marcaremos um X). Maria Farinha só pode ser freqüentada por João (marcaremos um X).

237


Viagem. vlvíaría':"-' .Farinha Pièáàãe

Antônio © ©

João © X

Maurício © ©

Francisco © © ©

Duarte X & © © ©

SA praia de Boa Viagem é freqüentada por Duarte. Concluímos que nem Maurício nem Francisco freqüentam Boa Viagem (preenchemos com bolinhas). João freqüenta Maria Farinha e, portanto, não freqüenta nem Piedade, nem Pina, nem Candeias (preenchemos com bolinhas).

: Bóa: . Viagem

Antônio © ©

João © X © © ©

Maurício © © ©

Francisco © © © ©

Duarte X © © © ©

Desta nova tabela, concluímos que Piedade é freqüentada por Antônio (logo, ele não freqüenta nem Pina nem Candeias) e Francisco freqüenta o Pina (logo, Maurício não freqüenta o Pina).

..BoaViagem

Maria: .Farinha ; : Piedade Çcmdeias

Antônio © © X © ©

João © X © © ©

Maurício © © © ©

Francisco © © © X ©

Duarte X © © 0 ©

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Guilherme Neves

Para finalizar, temos que Maurício freqüenta Candeias.

. B qà .;:-V iágem

: M aria - 'paiinha;.

Píedade i-

A ntônio © © X © ©

João © X © © ©

M aurício © © © © X

Francisco © © © X ©

D uarte X © © 0 ©

Letra A —> Antônio freqüenta a praia de Piedade.

04. (Aneel/2004/Esaf) Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla são atrizes de teatro infantil e vão participar de uma peça em que representarão, não necessariamente nesta ordem, os papéis de Fada, Bruxa, Rainha, Princesa e Governanta. Como todas são atrizes versáteis, o diretor da peça realizou um sorteio para determinar a qual delas caberia cada papel. Antes de anunciar o resultado, o diretor reuniu-as e pediu que cada uma desse seu palpite sobre qual havia sido o resultado do sorteio. Disse Fátima: “Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa”. Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa” Disse Gina: “Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha”. Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”. Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou. Beatriz”. Neste ponto, o diretor falou: “Todos os palpites estão completamente errados; nenhuma de vocês acertou sequer um dos resultados do sorteio”! Um estudante de Lógica, que a tudo assistia, concluiu então, corretamente, que os papéis sorteados para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram, respectivamente:

a) rainha, bruxa, princesa, fada.b) rainha, princesa, governanta, fada.c) fada, bruxa, governanta, princesa.d) rainha, princesa, bruxa, fada.e) fada, bruxa, rainha, princesa.

239


Resolução“Todos os palpites estão completamente errados; nenhuma de vocês acertou sequer um dos resultados do sorteio”!Com estas palavras, o diretor nos dá o norte na resolução da questão. Quando, por exemplo, Fátima diz que acha que é a governanta, concluímos que ela não é a governanta. Podemos construir a seguinte tabela.

^ 8 3 1 ® .\->;.:Fada ; V; ; . Bruxa. .; : Princesa; GovernantaFátimaBeatriz

GinaSüviaCarla

Disse Fátima: “Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Süvia é a Bruxa e Carla é a Princesa” Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa”.Disse Gina: “Acho que Sílvia é a Governanta ou a Rainha”.Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”.Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz”

Aproveitando o comentário do diretor, modificaremos o diálogo acima e transformá-lo-emos no seguinte conjunto de frases:

Disse Fátima: “Eu não sou a Governanta, Beatriz não é a Fada, Sílvia não é a Bruxa e Carla não é a Princesa”Disse Beatriz: “Fátima não é a Princesa e não é a Bruxa”Disse Gina: “Sílvia não é a Governanta e não é a Rainha”.Disse Sílvia: “Eu não sou a Princesa”.Disse Carla: “A Bruxa não sou eu e não é Beatriz”.

240

Guilherme Neves

Temos então a seguinte tabela.

Bnixa Rainha Princesa GovernantaFátima © © &Beatriz © ©GinaSílvia © © © 0Carla © ©

Por essa tabela, concluímos que Gina é a bruxa e que Sílvia é a fada.

■ "• -F a d a... - ...

: Bruxa ; ‘ Princesa?; GovernantaFátima © G ©Beatriz © ©

Gina X

Sílvia X © © C©Carla ©

Se Gina é a bruxa, inferimos que ela não é a fada, nem a rainha, nem a princesa nem a governanta. Analogamente, se a fada é Sílvia, concluímos que ninguém mais pode ser a fada.

p l l a f : " ' : B rü xa> v Rainha Priiicesa G overnanta

Fátima 6 © 0 ©

Beatriz 0 © 0 X ©

Gina © X 0 o ©

Sílvia X o 0 © 0

Carla © 0 ©

Com esta nova disposição da tabela, concluímos facilmente que a princesa é Beatriz (logo, Beatriz não é a rainha nem a governanta).

241


Temos então que a governanta é Carla e a rainha é Fátima.

' 0imçè'$p0i Governanta

Fátima © © X © ©

Beatriz © © © X ©

Gina © X © © ©

Sílvia X © © © ©

\ Carla © © © © X

Um estudante de Lógica, que a tudo assistia, concluiu então, corretamente, 'que os papéis sorteados para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram, respectivamente Rainha, Princesa, Bruxa e Fada. Letra D.

05. (TCE/Esaf) Três amigos, Mário, Nilo e Oscar, juntamente com suas esposas, sentaram-se lado a lado, à beira do cais, para apreciar o pôr do sol. Um deles é flamenguista, outro é palmeirense, e o outro vascaíno. Sabe-se também que um é arquiteto, outro é biólogo, e outro é cozinheiro. Nenhum deles sentou-se ao lado da esposa, e nenhuma pessoa sentou-se ao lado de outra do mesmo sexo. As esposas chamam-se, não necessariamente nesta ordem, Regina, Sandra e Tânia. O arquiteto sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Regina do que de Oscar ou do que do flamenguista. O vascaíno está sentado em uma das pontas, e a esposa do cozinheiro está sentada à sua direita. Mário está sentado, entre Tânia, que está à sua esquerda, e Sandra. As esposas de Nilo e de Oscar são respectivamente:

a) Regina e Sandra.b) Tânia e Sandra.c) Sandra e Tinia.d) Regina e Tania.e) Tania e Regina.

242

Guilherme Neves

ResoluçãoNosso objetivo é construir uma tabela que relacione a posição de cada pessoa, o nome, a profissão, o time e o sexo (masculino ou feminino).

Pòsiô i ; Posição 2 PosiÇÍio 3 Posição 4 Posição 5 Posição 6Noirte

ProfissãoTimeSexo

"O vascaíno está sentado em uma das pontas, e a esposa do cozinheiro está sentada à sua direita ”

A partir dessa frase, podemos concluir que o vascaíno está na posição 1, pois se estivesse na posição 6 a esposa do cozinheiro não poderia estar à sua direita. Sabemos também que a esposa do cozinheiro não pode estar ao lado do seu marido (nenhum deles sentou-se ao lado da esposa). Logo, o cozinheiro não pode estar nem na posição1, nem na posição 3 (ele estará na posição 5). Podemos já definir o sexo de cada pessoa.

Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 Posição 5 Posição 6Nome

Profissão Esposa do cozinheiro Cozinheiro

Time VascoSexo Masculino Feminino Masculino Feminino Masculino Feminino

“O arquiteto sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Regina do que dé Oscar ou do que do flamenguista”

O arquiteto, por ser homêm, senta-se na posição 3. Consequentemente, o biólogo está na posição 1. Também, a partir dessa frase,

243


concluímos que o arquiteto não é flamenguista. Por exclusão, o flamenguista é o cozinheiro e o arquiteto deve ser o palmeirense. E, lembrando que nenhum deles sentou-se ao lado da esposa, já podemos definir o lugar das esposas.

Posição 1 Posição 2 Pòsiçãò 3 Posiçãò;4 Posição. 5: Posição 6;

Nome

Profissão Biólogo Esposa do cozinheiro Arquiteto Esposa do

biólogo Cozinheiro Esposa do arquiteto

Time Vasco Palmeiras FlamengoSexo' Masculino Feminino Masculino Feminino Masculino Feminino

“O arquiteto sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Regina do que de Oscar ou do que do flamenguista.'1 Mário está sentado, entre Tânia, que está à sua esquerda, e Sandra.

Ainda com relação a essa frase, temos que nem o flamenguista nem o arquiteto chamam-se Oscar. Oscar, portanto, é o biólogo* Regina não pode estar na posição 6, pois, se estivesse, o arquiteto não estaria mais próximo de Regina do que de Oscar. Regina deve sentar-se na posição 2 ou posição 4. Ora, Mário não pode sentar-se na posição 4, pois nesse caso Tânia estaria na posição 2, Sandra na posição 4 e Regina na posição 6. Absurdo! Concluímos que Mário fica na posição5, Tânia na posição 4, Sandra na posição 6, Regina na posição 2, e Nilo, por exclusão, senta-se na posição 3. Temos o seguinte quadro:

Posição 1 Posição 2 .Posição 3 : Posição 4 Posição 5 Pòsiçãò 6Nome Oscar Regina Nilo Tania Mário Sandra

Profissão Biólogo Esposa do cozinheiro Arquiteto Esposa do

biólogo Cozinheiro Esposa do arquiteto

Time Vasco Palmeiras FlamengoSexo Masculino Feminino Masculino Feminino Masculino Feminino

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Guilherme Neves

Regina é a esposa do cozinheiro. Logo, Regina é casada com Mário. Tânia é esposa do biólogo. Logo, Tania é casada com Oscar.Sandra é a esposa do arquiteto. Logo, Sandra é casada com Nilo.

Letra C


01. (MPOG/2006/ESAF) Sete meninos, Armando, Bernardo, Cláudio, Délcio, Eduardo, Fábio e Gelson, estudam no mesmo colégio e na mesma turma de aula. A direção da escola acredita que se esses meninos forem distribuídos em duas diferentes turmas de aula haverá um aumento em suas respectivas notas. A direção propõe, então, a formação de duas diferentes turmas: a turma TI com 4 alunos e a turma T2 com 3 alunos. Dada as características dos alunos, na formação das novas turmas, Bernardo e Délcio devem estar na mesma turma. Armando não pode estar na mesma turma nem com Bernardo, nem com Cláudio. Sabe-se que, na formação das turmas, Armando e Fábio foram colocados na turma Tl. Então, necessariamente, na turma T2, foram colocados os seguintes alunos:

a) Cláudio, Délcio e Gelson.b) Bernardo, Cláudio e Gelson.c) Cláudio, Délcio e Eduardo.d) Bernardo, Cláudio e Délcio.e) Bernardo, Cláudio e Eduardo. c

02. (AFC) Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá

245


à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações:

A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:\

a) A loura é Sara e vai à Espanha.b) A riîva é Sara e vai à França.c) A ruiVa é Bete e vai à Espanha.d) A morena é Bete e vai à Espanha.e) A loura é Elza e vai à Alemanha.

03. (AFTN/Esaf) Os carros de Artur, Bernardo e César são, não necessariamente nessa ordem uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde e o outro é azul. O carro de Artur é cinza, o carro de César é o Santana, o carro de Bernardo não é verde e não é Brasília. As cores da Brasília, da Parati e da Santana são respectivamente:

a) Cinza, verde e azul.b) Azul, cinza e verde.c) Azul, verde e cinza.d) Cinza, azul e verde.e) Verde, azul e cinza.

04. (Auditor Fiscal do Trabalho/Esaf) Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa está com sapatos azuis. Desse modo,

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Guilherme Neves

a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto.b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos.c) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos.d) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é branco.e) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis.

05. (Auditor Fiscal do Trabalho/Esaf) Quatro casais reúnem-se para jogar xadrez. Como há apenas um tabuleiro, eles combinam que:a) nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas; b) marido e esposa não jogam entre si. Na primeira partida, Celina joga contra Alberto, Na segunda, Ana joga contra o marido de Júlia. Na terceira, a esposa de Alberto joga contra o marido de Ana. Na quarta, Celina joga contra Carlos. E na quinta, a esposa de Gustavo joga contra Alberto. A esposa de Tiago e o marido de Helena são, respectivamente:

a) Celina e Albertob) Ana e Carlosc) Júlia e Gustavod) Ana e Albertoe) Celina e Gustavo

06. (MPU/Esaf) Em torno de uma mesa quadrada, encontram-sesentados quatro sindicalistas. Oliveira o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim: ^

a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano.b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano.c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista.d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista.e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.

247


07. (TCE/SP/Esaf) Cinco amigos, que estudaram juntos no colégio, estão reunidos num jantar. São eles: Almir, Branco, Caio, Danilo e Edilson. Atualmente eles moram nas cidades de Atibaia, Batatais, Catanduva, Dracena e Embu, onde exercem as seguintes profissões: advogado, bibliotecário, contabilista, dentista e engenheiro. Considere que:- nenhum deles vive na cidade que tem a mesma letra inicial do seu

nome, nem o nome de sua ocupação tem a mesma inicial do seu nome nem da cidade em que vive.

- Almir não reside em Batatais, e Edilson que não é bibliotecário e nem dentista, tampouco aí vive.

- Branco que não é contabilista e nem dentista, não mora em Catanduva e nem em Dracena.

- Danilo vive em Embu, não é bibliotecário e nem advogado.- O bibliotecário não mora em Catanduva.

Nessas condições, é verdade que:a) Almir é contabilista e reside em Dracena.b) Branco é advogado e reside em Atibaia.c) Caio é dentista e reside em Catanduva.d) Danilo é dentista e reside em Embu.e) Edilson é advogado e reside em Catanduva.

08. (MPU/Esaf) Cinco irmãos exercem, cada um, uma profissão diferente. Luís é paulista, como o agrônomo, e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que Oscar. O agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo bairro. O economista, o matemático e Luís são, todos, torcedores do Flamengo. O matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; este, por sua vez, é mais moço do que o arquiteto. Logo,

a) Mário é engenheiro, e o matemático é mais velho do que o agrônomo, e o economista é mais novo do que Luís.

248

Guilherme Neves

b) Oscar é engenheiro, e o matemático é mais velho do que o agrônomo, e Luís é mais velho do que o matemático.

c) Pedro é matemático, e o arquiteto é mais velho do que o engenheiro, e Oscar é mais velho do que o agrônomo.

d) Luís é arquiteto, e o engenheiro é mais velho do que o agrônomo, e Pedro é mais velho do que o matemático.

e) Nédio é engenheiro, e o arquiteto é mais velho do que o matemático, e Mário é mais velho do que o economista.

09. (MPU/Esaf) Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil compraram, cada um, um barco. Combinaram, então, dar aos barcos os nomes de suas filhas. Cada um tem uma única filha, e todas têm nomes diferentes. Ficou acertado que nenhum deles poderia dar a seu barco o nome da própria filha e que a cada nome das filhas corresponderia um e apenas um barco. Décio e Éder desejavam, ambos, dar a seus barcoso nome de Laís, mas acabaram entrando em um acordo: o nome de Laís ficou para o barco de Décio e Éder deu a seu barco o nome de Mara. Gil convenceu o pai de Olga a pôr o nome de Paula em seu barco (isto é, no barco dele, pai de Olga). Ao barco de Caio, coube o nome de Nair, e ao barco do pai de Nair, coube o nome de Olga. As filhas de Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil são, respectivamente:

a) Mara, Nair, Paula, Olga, Laís.b) Laís, Mara, Olga, Nair, Paula.c) Nair, Laís, Mara, Paula, Olga.d) Paula, Olga, Laís, Nair, Mara.e) Laís, Mara, Paula, Olga, Nair.

10. (MPU/Esaf) Ana, Bia, Clô, Déa e Ema estão sentadas, nessa ordem e em sentido horário, em torno de uma mesa redonda. Elas estão reunidas para eleger aquela que, entre elas, passará a ser a representante do grupo. Feita a votação, verificou-se que nenhuma fora eleita, pois cada uma delas havia recebido exatamente um voto. Após

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conversarem sobre tão inusitado resultado, concluíram que cada uma havia votado naquela que votou na sua vizinha da esquerda (isto é, Ana votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Ana, Bia votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Bia, e assim por diante). Os votos de Ana, Bia, Clô, Déa e Ema foram, respectivamente, para:

a) Ema, Ana, Bia, Clô, Déa.b) -Déa, Ema, Ana, Bia, Clô.c) Clô, Bia, Ana, Ema, Déa.d) Déa,'Ana, Bia, Ema, Clô.e) Clô, Déa, Ema, Ana, Bia.

11. (AFRFB/2009/Esaf) Três meninos, Zezé, Zozó e Zuzu, todos vizinhos, moram na mesma rua em três casas contíguas. Todos os três meninos possuem animais de estimação de raças diferentes e de cores também diferentes. Sabe-se que o cão mora em uma casa contígua à casa de Zozó; a calopsita é amarela; Zezé tem um animal de duas cores - branco e laranja - ; a cobra vive na casa do meio. Assim, os animais de estimação de Zezé, Zozó e Zuzu são, respectivamente:a) cão, cobra, calopsita.b) cão, calopsita, cobra.c) calopsita, cão, cobra.d) calopsita, cobra, cão.e) cobra, cão, calopsita.

Gabarito dos exercícios propostos01. d 06. a02. e 07. e03. d 08. a04. c 09. e05. a 10. b

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1 2 I Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s

“Educai as crianças, para que não seja necessário punir os adultos

PlTÁGORAS


01. (BB/2008-1/CESPE) A frase “Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos?” não pode ser considerada uma proposição.

02. (BB/2008-2/CESPE) A negação da proposição A—>B possui os mesmos valores lógicos que a proposição Aa (->B).

03. (BB/2008-2/CESPE) A negação da proposição “As palavras mascaram-se” pode ser corretamente expressa pela proposição “Nenhuma palavra se mascara”

04. (BB/2008-2/CESPE) A proposição “Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país fica protegido de ataques especulativos” pode também ser corretamente expressa por “O país ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais aumentem”

05. (BB/2008-2/CESPE) Toda proposição simbolizada na forma A—>B tem os mesmos valores lógicos que a proposição B—>A.

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06. (BB/2008-3/CESPE) A negação da proposição “Existe banco brasileiro que fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos” pode ser assim redigida: “Nenhum banco brasileiro fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos.”

07. (BB/2008-3/CESPE) Atribuindo-se todos os possíveis valores lógicos V ou F às proposições A e B, a proposição [(-»A)—>B]aA terá três valores lógicos F.

\

08. (BB/2008-3/CESPE) Se o valor lógico da proposição “Se as operações de crédito no país aumentam, então os bancos ganham muito dinheiro” é V, então é correto concluir que o valor lógico da proposição “Se os bancos não ganham muito dinheiro, então as operações de créàito no país não aumentam” é também V.

09. (BB/2009/CESPE) A proposição “Se x é um número par, então y é um número primo” é equivalente à proposição “Se y não é um número primo, então x não é um número par”

10. (Agente de Polícia Federal/2009/CESPE) As proposições “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bem-sucedida” e “Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida” são equivalentes.

11. (Agente de Polícia Federal/2009/CESPE) Se A for a proposição “Todos os policiais são honestos” então a proposição ~»A estará enunciada corretamente por “Nenhum policial é honesto”

12. (Escrivão da Polícia Federal/2009/CESPE) As proposições [Av(-iB)]—>(-»A) e [(~iA)a B]v (~iA) são equivalentes.

13. (Escrivão da Polícia Federal/2009/CESPE) Independentemente dos valores lógicos atribuídos às proposições A e B, a proposição [(A—>B)a (-iB )]^ (- iA) tem somente o valor lógico F.

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Guilherme Neves

14. (PM-AC/2008/CESPE) Considere as seguintes sentenças:.I O Acre é um estado da Região Nordeste.II Você viu o cometa Halley?III Há vida no planeta Marte.IVSex < 2, entãox + 3 > 1. ; /o .

Nesse caso, entre essas 4 sentenças, apenas duas são proposições.

15* (PM-AC/2008/CESPE) Considere as seguintes proposições:A) 3 + 4 = 7 ou 7 -4 = 3B) 3 + 4 = 7 ou 3 + 4 > 8C) 32 = -1 ou 32 = 9D) 32 = -1 ou 32= 1Nesse caso, entre essas 4 proposições, apenas duas são V.

16* (PM-AC/2008/CESPE) Considere as seguintes proposições:A ) 6 - l = 7 o u 6 + l > 2B)6 + 3 > 8 e 6 - 3 = 4C) 9 x 3 > 25 ou 6 x 7 < 45D) 5 + 2 é um número primo e todo número primo é ímpar.Nesse caso, entre essas 4 proposições, apenas duas são F.

17. (PM-AC/2008/CESPE) Se A é a proposição ”0 soldado Brito é jovem e casado”, então a proposição “O soldado Brito não é jovem mas é solteiro” é um enunciado correto para a proposição -iA.

18. (PM-AC/2008/CESPE) Se A e B são proposições, então a proposição A--»(-«B) só será F se A e B forem V; em qualquer outro caso, a proposição A—(—*B) será sempre V.

19. (PM-CE/2008/CESPE) Se A é a proposição "O soldado Vítor fará a ronda noturna e o soldado Vicente verificará os cadeados das celas”, então a proposição -iA estará corretamente escrita como: “O soldado Vítor não fará a ronda noturna nem o soldado Vicente verificará os cadeados das celas”

253


20. (PM-DF/2009/CESPE) A proposição (AaB)-~»(AvB) é uma tautologia.

21. (PM-DF/2009/CESPE) A negação da proposição “O concurso será regido por este edital e executado pelo CESPE/UnB” estará corretamente simbolizada na forma (~iA)a(~>B), isto é, “O concurso não será regido por este edital nem será executado pelo CESPE/UnB”.

22> (SEDUC-CE/2009/CESPE) A negação da proposição “A prova será aplicada no local previsto ou o seu horário de aplicação será alterado” pode ser escrita como

a) A prova não será aplicada no local previsto ou o seu horário de aplicação não será alterado.

b) A prova não será aplicada no local previsto ou o seu horário de aplicação será alterado.

c) A prova será aplicada no local previsto mas o seu horário de aplicação não será alterado.

d) A prova não será aplicada no local previsto e o seu horário de aplicação não será alterado.

23. (TCE-AC/2009/CESPE) Leonardo, Caio e Márcio são considerados suspeitos de praticar um crime. Ao serem interrogados por um delegado, Márcio disse que era inocente e que Leonardo e Caio não falavam a verdade. Leonardo disse que Caio não falava a verdade, e Caio disse que Márcio não falava a verdade. A partir das informações dessa situação hipotética, é correto afirmar que

a) os três rapazes mentem.b) dois rapazes falam a verdade.c) nenhuma afirmação feita por Márcio é verdadeira.d) Márcio mente, e Caio fala a verdade.e) Márcio é inocente e fala a verdade.

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Guilherme Neves

24. (TRT Ia Região/2008/CESPE) Com base nas informações do texto I, é correto afirmar que, para todos os possíveis valores lógicos, V ou F, que podem ser atribuídos a P e a Q, uma proposição simbolizada por -i[P-»(-iQ)] possui os mesmos valores lógicos que a proposição simbolizada por

a) (-iP)vQ.b) (-iQ)-*P.c) ->[(“'P)a (->Q)].d) -i[”t(P-~>Q)].e) PaQ.

25.(CESGRANRIO) Considere as fórmulas:I. (p A q )—>p

II. (pvq)—>pIII. (pAq)—> (pvq)

É (São) tautologia(s) a(s) fórmula(s)

a) I, somente.b) II, somente.c) III, somente.d) I e III, somente.e) 1,11 e III.

26. (CESGRANRIO) Considere a premissa “se chove, então faz frio”. A seguir, encontram-se possíveis conclusões que se podem tirar dessa premissa.I - se faz frio, então chove.II - se não chove, então não faz frio.III - se não faz frio, então não chove.

É (São) conclusão(ões) correta(s):

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a) apenas a I.b) apenas a II.c) apenas a III.d) apenas a I e a IIe) I, II e III.

27. (CESGRANRIO) Sabe-se que todo A é não-B e pelo menos um A é C. Considere as afirmativas a seguir:■]s- Todo B é não-C.II ~ Pelo menos um B é não-C.III - Çelo menos um não-C é A.IV - Pelo menos um não-C é não-A.É correto afirmar que:

a) nenhuma das afirmativas é verdadeira.b) apenas a afirmativa II é verdadeira.c) apenas a afirmativa IV é verdadeira.d) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.e) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.

28. (ESAF) Ao resolver um problema' de matemática, Ana chegou à conclusão de que: x = a e x = p, ou x = e. Contudo, sentindo-se insegura para concluir em definitivo a resposta do problema, Ana telefona para Beatriz, que lhe dá a seguinte informação: x ^ e. Assim, Ana corretamente conclui que:

a ) x ? í a o u x ^ eb ) x = a o u x = pc)x = a e x = pd)x = a e x * pe ) x * a e x 5 * p

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Guilherme Neves

29.(ESAF) Maria foi informada por João que Ana é prima de Beatriz e Carina e prima de Denise. Como Maria sabe que João sempre mente, Maria tem certeza que a afirmação é falsa. Desse modo, e do ponto de vista lógico, Maria pode concluir que é verdade que:

a) Ana é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise.b) Ana não é prima de Beatriz e Carina não é prima de Denise.c) Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise.d) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina é prima de Denise.e) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina não é prima de Denise.

3Q. (ESAF) Dois colegas estão tentando resolver um problema de matemática. Pedro afirma para Paulo que X = B e Y = D. Como Paulo sabe que Pedro sempre mente, então, do ponto de vista lógico, Paulo pode afirmar corretamente que:

a ) X ^ B e Y ^ Db)X = B o u Y * Dc ) X * B o u Y * Dd ) s e X* B ,e n t ã o Y* D .e) se X * B, então Y = D

31. (ESAF) Um renomado economista afirma que "A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta". Do ponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista eqüivale a dizer que:

a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta.b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa.c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta.d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta.e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta.

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32. (ESAF) Em determinada universidade, foi realizado um estudo para avaliar o grau de satisfação de seus professores e alunos. O estudo mostrou que, naquela universidade, nenhum aluno é completamente feliz e alguns professores são completamente felizes. Uma conclusão logicamente necessária destas informações é que, naquela universidade, objeto da pesquisa,

a) nenhum aluno é professor.b) àlguns professores são alunos.c) alguns alunos são professores.d) nenhum professor é aluno.e) alguns professores não são alunos.

33. (ESAF) João e José sentam-se, juntos, em um restaurante. O garçom, dirigindo-se a João, pergunta-lhe: “Acaso a pessoa que o acompanha é seu irmão?” João responde ao garçom: “Sou filho único, e o pai da pessoa que me acompanha é filho de meu pai”. Então, José é:

a) pai de Joãob) filho de Joãoc) neto de Joãod) avô de Joãoe) tio de João

34. (ESAF) Hermes guarda suas gravatas em uma única gaveta em seu quarto. Nela encontram-se sete gravatas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Hermes abre a gaveta e pega algumas gravatas. O número mínimo de gravatas que Hermes deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas gravatas da mesma cor é:

a) 2b) 4

c) 6d) 8

e) 10

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Guilherme Neves

35.(ESAF) Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. Ora, não sou amiga de Clara. Assim,

a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel.b) não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara.c) sou amiga de Nara e amiga de Abeid) sou amiga de Oscar e amiga de Nara.e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara.

(Cespe 2009) O artigo 5.°, XL, da Constituição Federal de 1988 estabelece que a lei penal não retroagirá, salvo para beneficiar o réu, isto é, “se a lei penal retroagiu, então a lei penal beneficiou o réu” À luz dessa regra constitucional, considerando as proposições P: “A lei penal beneficiou o réu” e Q: “A lei penal retroagiu”, ambas verdadeiras, e as definições associadas à lógica sentenciai, julgue os itens a seguir.

36. A proposição “Ou a lei penal retroagiu, ou a lei penal não beneficiou o réu” tem valor lógico F.37. A proposição “É necessário que a lei penal não retroaja para não beneficiar o réu” tem valor lógico V.38. A proposição “Embora a lei penal não tenha retroagido, ela beneficiou o réu” tem valor lógico F.

Gabarito dos exercícios propostos01. Certo 13.Errado 25. D :02. Certo 14.Errado 26. C •03. Errado 15.Errado 27. A04. Certo lô.Certo 28. C05. Errado 17.Errado 29. C06. Certo 18. Certo 30. C07. Errado 19.Errado 31. D08. Certo 20. Certo 32. E09. Certo 21. Errado 33. B10. Errado 22. D 34. C11. Errado 23. D 35. C12. Certo 24. E 36. Errado

37. Certo

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B ib l io g r a f ia

ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciação à Lógica Matemática. 21. Ed. São Paulo: Nobel, 2008. 202p.

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Uni- camp, 2004. 844p.

GYURICZÂ, Gyorgy Laszlo. Lógica de Argumentação. 3. ed. São Paulo: Yalis Editora, 2008. 242p.

HEGENBERG, Leônidas. Dicionário de Lógica, São Paulo: EPU, 1995.240p.

HEGENBERG, Leônidas. Lógica Simbólica. São Paulo: Herder, 1966.376p.

MCLNERNY, D. - Use a Lógica: Um Guia para o Pensamento Eficaz. [S.l.]: Best Seller, 2006. 156p.

NAGEL, Ernest.; MORRIS Raphael. An Introduction To Logic: Edited, with a new Introduction, by John Corcoran. 2. ed. Indianapolis: Hackett Publishing, 1993. 288 p.

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SÉRATES, Jonofon. Raciocínio Lógico. [S.1.J: [s.n.], [19-?] 2v.

SMULLYAN, Raymond. First-Order Logic. [S.1.J: Dover Science, 1995.176p.

WESTON, Anthony. A Arte de Argumentar. Lisboa: Gravida, 1996.146p.

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Revisão: Gabriel Maciel Pontes Edição: Escola Dom Bosco de Artes e Ofícios Diagramação: Álvaro Fagundes - AZ Criação Capa: NOVDEA Comunicação

N518m Neves, Guilherme, 1988-Manual de lógica para concursos / Guilherme Neves.

- Recife : NUCE, 2010.260p.: il.

1. LÓGICA MATEMÁTICA - ESTUDO E ENSINO.2. LÓGICA MATEMÁTICA - TESTES E EXERCÍCIOS.3. LÓGICA SIMBÓLICA E MATEMÁTICA - CONCURSOS. 4. RACIOCÍNIO LÓGICO - CONCURSOS. 5. FILOSOFIA E CIÊNCIA. I.Título.

CDU 510.6 CDD 511.5

PeR - BPE 10-004

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Guilherme Neves - Manual de Lógica para Concursos - Ano 2010