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Há séculos, o homem observou que determinadas pedras têm a propriedade de atrair pedaços de ferro ou interagir entre si. Essas pedras foram chamadas de ímãs e os fenômenos, que de modo espontâneo se manifestam na Natureza, foram denominados fenômenos magnéticos. Um ímã em forma de barra tem dois pólos: sul e norte, em torno dos quais há um campo magnético. Os ímãs podem ser permanentes ou temporários e os materiais utilizados em cada tipo diferem entre si. Um material ferromagnético pode ser transformado em um ímã quando colocado na parte central de uma bobina elétrica ou solenóide, ao se passar uma corrente de grande intensidade através do enrolamento. Os pólos de um ímã

Há séculos, o homem observou que determinadas pedras têm a ... · Há séculos, o homem observou que determinadas pedras têm a propriedade de atrair pedaços de ferro ou interagir

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Há séculos, o homem observou que determinadas pedras têm a propriedade de atrair pedaços de ferro ou interagir entre si. Essas pedras foram chamadas de ímãs e os fenômenos, que de modo espontâneo se manifestam na Natureza, foram denominados fenômenos magnéticos.Um ímã em forma de barra tem dois pólos: sul e norte, em torno dos quais há um campo magnético. Os ímãs podem ser permanentes ou temporários e os materiais utilizados em cada tipo diferem entre si. Um material ferromagnético pode ser transformado em um ímã quando colocado na parte central de uma bobina elétrica ou solenóide, ao se passar uma corrente de grande intensidade através do enrolamento.

Os pólos de um ímã

De acordo com a composição, o material receberá seu magnetismo depois que a corrente tiver sido cortada. Ímãs permanentes são fabricados a partir de materiais duros tais como aço, níquel e cobalto. Alguns materiais retêm pouco ou nenhum magnetismo após a corrente ter sido cortada.Ao tentarmos aproximar o pólo norte de um ímã do pólo norte de outro ímã, notaremos que haverá uma força magnética de repulsão entre esses pólos.

Os pólos de um ímã

Do mesmo modo, notaremos que há uma força de repulsão entre os pólos sul de dois ímãs, enquanto que entre o pólo sul e norte haverá uma força de atração magnética. Resumindo: Pólos magnéticos de mesmo nome se repelem e pólos magnéticos de nomes diferentes se atraem.Os pólos de um ímã são inseparáveis. Se você quebrar ao meio um ímã em forma de barra, as duas metades obtidas serão ímãs completos. Por mais que você quebre, nunca obterá um ímã com um único pólo.

Os pólos de um ímã

A experiência de Oersted

Até o ano de 1820, os cientistas pensavam que os fenômenos elétricos e magnéticos eram totalmente independentes, isto é, que não havia qualquer relação entre eles. Nesse ano, o físico dinamarquês Hans Christian Oersted, professor da Universidade de Copenhague, realizou uma experiência que se tornou famosa por alterar completamente essas idéias:- Um fio retilíneo (no qual não havia corrente elétrica) foi colocado próximo a uma agulha magnética, orientada livremente na direção norte-sul;

- Fazendo-se passar uma corrente no fio, observou-se que a agulha se desviava;

- Interrompendo-se a corrente no fio, a agulha voltava a se orientar na direção norte-sul.

A experiência de Oersted

Portanto, a corrente elétrica no fio atuou sobre a agulha magnética de maneira semelhante a um ímã que fosse colocado próximo à agulha. Em outras palavras, a corrente elétrica estabeleceu um campo magnético no espaço em torno dela, e esse campo foi o agente responsável pelo desvio da agulha magnética. Como já sabemos que a corrente elétrica é constituída por cargas elétricas em movimento, podemos tirar a seguinte conclusão: cargas elétricas em movimento (corrente elétrica) criam, no espaço em torno delas, um campo magnético.

Campo magnético estacionárioIntrodução

O campo magnético é capaz de exercer forças não apenas sobre ímãs, mas também sobre condutores percorridos por correntes elétricas.A força gerada é a soma das pequenas forças que o campo magnético exerce sobre cada elétron em movimento. Não é, porém, necessário que os elétrons estejam dentro do fio para que sofram a ação do campo magnético. Isso também ocorre quando eles estão no exterior e se movem livremente.

Campo magnético estacionárioIntrodução

Em geral, cada partícula carregada e em movimento sofre a ação de uma força exercida pelo campo magnético. Essa força é grande quando a partícula se desloca perpendicularmente às linhas de campo, e é igual a zero quando a partícula se move na mesma direção do campo magnético. A direção da força é perpendicular tanto à direção do movimento como à do campo magnético.

Campo magnético estacionárioIntrodução

A força que um campo magnético exerce sobre um condutor percorrido por corrente pode ser utilizada para realizar trabalho. É o que ocorre nos motores elétricos, que transformam energia elétrica em energia mecânica. Essa força também é usada para fazer funcionar uma grande variedade de aparelhos elétricos de medida, como amperímetros e voltímetros.

Campo magnético estacionárioLei de Biot-Savart

Fontes de um campo magnético:- Imã permanente;- Campo elétrico variável linearmente no tempo;- Corrente contínua.

A intensidade de campomagnético dH produzido por um elemento diferencial de corrente I1dL1 é dada pela Lei de Biot-Savart.

Campo magnético estacionárioLei de Biot-Savart

212

1212

2

4

/4

RIdd

mAR

Idd

R

R

π

πaLH

aLH

×=∴

×=

Em um ponto P qualquer no espaço, a intensidade do campo magnético produzido por um elemento diferencial de corrente é proporcional ao produto da corrente pela magnitude do comprimento diferencial e pelo seno do ângulo

entre o filamento e linha que conecta o filamento do ponto P, onde o campo está sendo medido.

Campo magnético estacionárioLei de Biot-Savart

A Lei de Biot-Savart guarda certa semelhança com a Lei de Coulomb:

Principal diferença:Direção do campo.

2120

1212 4 RdQdE R

πεa⋅

=∴

A Lei de Biot-Savart também é conhecida como Lei de Ampère para o elemento de corrente.

Campo magnético estacionárioLei de Biot-Savart

Pela equação da continuidade corrente, tem-se:

A corrente acima é nula, já que atravessauma superfície fechada, e será a fonte docampo magnético em estudo.A Lei de Biot-Savart só poderá ser verificadaexperimentalmente na forma integral em umasuperfície fechada, isto é:

∫ =⋅

=∇

∂∂

−=∇

S

v

d

t

0

ência,da DivergTeorema pelo e,0.

constante, é correntea Como

.

SJ

J

J ρ

∫×

= 24 RId R

πaLH

O campo magnético produzido pela corrente elétrica em um fio retilíneo depende basicamente de dois fatores: da intensidade da corrente e da distância ao fio. Quanto maior for o valor da corrente, maior será o campo magnético criado por ela. Por outro lado, quanto maior for a distância ao fio, menor será o valor do campo magnético. As linhas do campo magnético são circulares, centradas no fio.O sentido das linhas de campo magnético pode ser obtido pela regra da mão direita: segure o condutor com a sua mão direita, de maneira que o dedo polegar aponte o sentido da corrente. Os seus dedos apontarão no sentido das linhas de campo.

Campo magnético estacionárioLei de Biot-Savart

Se o condutor tiver forma circular, ele se denomina uma espira. O campo magnético no centro de uma espira, depende do raio do círculo e da intensidade da corrente elétrica. Quanto maior a corrente, maior o valor do campo. Quanto maior o raio da espira, menor o valor do campo.Observe que as linhas de indução se concentram no interior do círculo e continua valendo a regra da mão direita para a determinação do seu sentido.

Campo magnético estacionárioLei de Biot-Savart

Uma bobina, ou solenóide, é constituída por um fio enrolado várias vezes, tomando uma forma cilíndrica. Cada uma das voltas do fio da bobina é uma espira.Ligando-se as extremidades da bobina a uma bateria, isto é, estabelecendo-se uma corrente em suas espiras, essa corrente cria um campo magnético no interior do solenóide. Seu valor, ao longo do eixo central, depende da intensidade da corrente elétrica, do número de espiras e do comprimento do solenóide.

Campo magnético estacionárioLei de Biot-Savart

Para saber qual das extremidades de um solenóide é o pólo norte, você pode aplicar a regra da mão direita, da mesma maneira que fez com o fio condutor e com a espira. A intensidade de um eletroímã depende também do facilidade com que o material em seu interior é magnetizado. A maior parte dos eletroímãs são feitos de ferro puro, que se magnetiza facilmente.Os eletroímãs são utilizados nas campainhas elétricas, telégrafos, telefones, amperímetros, voltímetros, etc.

Campo magnético estacionárioLei de Biot-Savart

Campo magnético estacionárioLei de Biot-Savart

Linhas de fluxo magnético em torno de

um filamento infinitamente longo.

Campo magnético estacionárioLei de Biot-Savart

A Lei de Biot-Savart pode ser expressa em função da Densidade de Corrente (J) e da Densidade de Corrente de Superfície (K).

dI I dd

= ⇒ = ∫K K NN

A corrente de superfície flui em uma camada infinitesimal do condutor. Neste caso, a densidade J tende a infinito.

A densidade de corrente de superfície (K) é medida em ampères por metro, na direção transversal (dN) ao sentido da corrente:

Campo magnético estacionárioLei de Biot-Savart

O elemento diferencial de corrente I.dL, na direção da corrente, pode, portanto ser expresso em termos de J e K:

Id dS dv= =L K J

A Lei de Biot-Savart transforma-se em:

2 2 e 4 4

R RS vol

dS dvR Rπ π

× ×= =∫ ∫

K a J aH H

Campo magnético estacionárioLei de Biot-Savart

Campo magnético devido a um filamento retilíneo percorrido por uma corrente constante.

Não há variação em z nem em φ.

Tem-se, ainda, que:

22

12

12zρ

zR

z

+

−=∴

−=

aaa

aaR

ρ

ρ

Campo magnético estacionárioLei de Biot-Savart

( )( )( )

( )

( )

φφ

φ

ρ

ρ

φρ

πρπρ

φ

ρπ

π

π

φ

aa

H

aH

aaaH

aaaH

aaaL

24

constante. se- temz, em se-Integrando

4

4

4

2222

2/3222

2/3222

2/3222

Izρρ

zI

dzIzρ

zρIdzzρ

zρIdzd

dzρdρd

zz

zz

z

=+

=⇒

+=

+

−×=

+

−×=∴

++=

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

Exercício 8.1

(a) Determinar o vetor campo magnético (H) em componentes cartesianas no ponto P(2 ; 3 ; 4) devido a um filamento conduzindo uma corrente de 8 mA no eixo z, na direção az.

(b) Repetir o item a para um filamento localizado em x = - 1 e y = 2.(c) Encontrar o valor de H se ambos os filamentos estiverem presentes.

Campo magnético estacionárioLei (Circuital) de Ampère

As aplicações da Lei de Biot-Savart que envolvem alto grau de simetria podem ser mais facilmente resolvidas pela Lei Circuital de Ampère.

Condutor atravessado poruma corrente total I.

A Lei de Ampère estabelece que a integral de linha de um campo magnético em qualquer percurso fechado é igual à corrente enlaçada pelo percurso.

∫ = IdLH.A integral no percurso c é menor que I, visto que a corrente total não é enlaçada pelo caminho.

Campo magnético estacionárioLei (Circuital) de Ampère

Retornando à situação de um filamento infinitamente longo atravessado por uma corrente, coincidindo com o eixo z, tem-se que o deslocamento da corrente se dá na direção definida por az.

O campo magnético devido à corrente está em plano perpendicular ao filamento. Logo, não possui variação em z.

Além disso, as linhas que definem o campo magnético são circulares, o que indica que não há variação, também, em φ.

Podemos aplicar a Lei Circuital de Ampère supondo um deslocamento dL igual a ρdφ, conforme se segue, observando que o campo magnético possui apenas componente em φ.

Campo magnético estacionárioLei (Circuital) de Ampère

2 2

0 0. 2

1 2

d H d H d H I

H

π π

φ φ φ

φ

ρ φ ρ φ πρ

πρ

= = = =

∴ =

∫ ∫ ∫H L

Campo magnético estacionárioLei Circuital de Ampère aplicada a um cabo coaxial

Seção reta de um cabo coaxial com uma corrente constante I no condutor interno e – I no condutor externo, ambas uniformemente distribuídas. Os filamentos de corrente produzem componentes de H em ρ e φ, que se cancelam. Não existem componentes de H na direção z.

Campo magnético estacionárioLei Circuital de Ampère aplicada a um cabo coaxial

Para ρ maior que o raio ado condutor interno e menor que o raio b do condutor externo, temos que a corrente enlaçada é:

( )2IH a bφ ρπρ

= < <

22

2

2

2

2 aIH

aI

aIIenl π

ρρππρ

φ =⇒==Para ρ menor que o raio ado condutor interno, a corrente enlaçada será:

Campo magnético estacionárioLei Circuital de Ampère aplicada a um cabo coaxial

Se ρ for maior que o raio cdo condutor externo, a corrente será igual a zero.

0 ( )H cφ ρ= >

Campo magnético estacionárioLei Circuital de Ampère aplicada a um cabo coaxial

Se o percurso estiver dentro do condutor externo, a corrente atravessa a região cujo raio está definido por b<ρ<c será a total menos a corrente correspondente à região cujo raio está definido por ρ>b, isto é:

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2

( )2

b bI I H I Ic b c b

I cH b cc b

φ

φ

ρ ρπρ

ρ ρπρ

− −− ⇒ = −

− −−

∴ = < <−

Campo magnético estacionárioLei Circuital de Ampère aplicada a um cabo coaxial

Variação do campo magnético em um cabo coaxial,em função do raio.

Campo magnético estacionárioLei Circuital de Ampère aplicada a uma lâmina uniforme

Densidade de corrente de superfície

Hipótese: a corrente de retorno estará dividida entre duas lâminaseqüidistantes da lâmina acima.

Campo magnético estacionárioLei Circuital de Ampère aplicada a uma lâmina uniforme

Fatos:

1) Como a corrente está na direção de y, não há componente Hy;

2) Como a corrente de retorno é suposta simétrica em relação à lâmina, as componentes Hz se cancelam;

3) Só há a componente Hx.4) O percurso de integração escolhido é 1-1’-2’-2-1, cujos segmentos

são paralelos ou perpendiculares a Hx.

Campo magnético estacionárioLei Circuital de Ampère aplicada a uma lâmina uniforme

Aplicando a Lei Circuital de Ampèreao percurso de integração teremos:

1 2

1 2

( )x x y

x x y

H L H L K LH H K

+ − =

∴ − =

Aplicando a mesma Lei, agora ao percurso de integração 3-3’-2’-2-3, vem:

3 2 3 1x x y x xH H K H H− = ⇒ =Portanto, Hx é o mesmo, tanto para valores positivos quanto negativosde z, porém simétricos.

1 1, 0 , 02 2x y x yH K z H K z= > = − <

Campo magnético estacionárioLei Circuital de Ampère aplicada a uma lâmina uniforme

Em termos genéricos, econsiderando o vetor unitárioaN perpendicular à lâmina,podemos escrever, paraqualquer valor de z:

12 N= ×H K a

Supondo a existência de uma segunda lâmina em z = h, paralela à primeira ecom corrente fluindo no sentido contrário, isto é, K = - Kyay, a expressãoanterior indica que o campo na região entre ambas as lâminas será:

(0 ) 0 ( 0, )N z h e z z h= × < < = < >H K a H

Campo magnético estacionárioLei Circuital de Ampère aplicada a um solenóide

Solenóide ideal de comprimentoinfinito, com uma lâmina circularde corrente K = Kφaφ.

Solenóide real de comprimentofinito d, com N espiras.

Campo magnético estacionárioLei Circuital de Ampère aplicada a um solenóide

Para um solenóide real de comprimento finito d, com N espiras, percorridopor uma corrente filamentar I, o valor do campo magnético para pontos nointerior do solenóide, pode ser obtido pela fórmula aproximada:

zNId

=H a

A fórmula acima não é valida parapontos mais próximos dasuperfície do solenóide do queduas vezes a separação entre asespiras, nem para pontos maispróximos das extremidades do queduas vezes o raio do solenóide..

Campo magnético estacionárioLei Circuital de Ampère aplicada a um toróide

Toróide ideal com uma correntesuperficial K.

Toróide real com N espiras,percorrido por uma corrente I.

Para fórmulas mais precisas e mais abrangentes sobre solenóides,toróides e espiras de formas diversas, consultar:

Standard Handbook for Electrical Engineers.

Campo magnético estacionário

Aplicando-se a Lei Circuital de Ampère aos 4 lados do percurso incremental ao lado, tem-se:

yzx

xz

xyz

zy

zxy

yx

JxH

zH

xz

dLH

JzH

yH

zy

dLH

JyH

xH

yx

dLH

=∂∂

−∂∂

=∆∆

=∂

∂−

∂∂

=∆∆

=∂∂

−∂

∂=

∆∆

→∆⋅∆

→∆⋅∆

→∆⋅∆

.lim

.lim

.lim

0

0

0

Campo magnético estacionário

A combinação das 3 equações anteriores gera o elemento denominado rotacional. O rotacional de qualquer vetor é um vetor. Em termosmatemáticos, tem-se:

( )

HH

aaaH

H

×∇=∴

∂∂

−∂

∂+

∂∂

−∂∂

+

∂−

∂∂

=∴

⋅= ∫

→∆

rotyH

xH

xH

zH

zH

yHrot

S

dLHrot

zxy

yzx

xyz

nSnn 0

lim

Campo magnético estacionárioTeorema de Stokes

( )S

d d⋅ ≡ ∇ ×∫ ∫H L H Si

O Teorema de Stokes define a equivalência entre a integral de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada formada por elementos dL e a integral do rotacional do referido campo na superfície dS, limitada pelo percurso formado pelos elementos dL. Por extensão ao campo magnético, temos:

Campo magnético estacionárioFluxo Magnético

O Fluxo Magnético Φ, semelhantemente ao fluxo elétrico, pode serconsiderado como uma grandeza associada ao número de linhas que atravessa uma superfície. Analogamente, podemos definir a Densidade de Fluxo Magnético B, como sendo a relação

µ=B Hsendo µ a permeabilidade do meio.

O Fluxo Magnético Φ, é medido em weber (Wb), enquanto a Densidade de Fluxo Magnético B é medida em weber por metro quadrado (Wb/m2), ou tesla (T). µ é definido em henry por metro(H/m).Para o vácuo, µ0 = 4π x 10-7 H/m.

Campo magnético estacionárioFluxo Magnético

As relações B = µH e D = εE permitem que se estabeleça uma analogiaentre os campos elétrico e magnético. O Fluxo Magnético Φ, pode serescrito como:

Φ = Ψ∫ ∫i iS

Wb, valendo lembrar que = CS

d dB S D S

As linhas de fluxo magnético não terminam em uma “carga magnética”. Assim, a Lei de Gauss para o campo magnético é expressa por:

Φ ∫ iS

= =0dB S

∇i =0BLogo, pelo Teorema da Divergência,

Campo magnético estacionárioEquações de Maxwell

As Equações de Maxwell podem agora ser resumidas pela tabela abaixo:

Forma integralForma diferencial

ρ∫ ∫iS vol

=Q= vd dvD Sρ∇ =i vD

∫ i =0dE L∇× = 0E

∫ ∫i iS

=I=d dH L J S∇× =H J

=∫ i 0S

dB S∇ =i 0B

Campo magnético estacionárioPotenciais magnéticos escalar e vetorial

Foi visto anteriormente que um campo elétrico pode ser obtido a partir

do potencial elétrico, mediante a relação: E VPartindo da hipótese que é possível definir um potencial magnético,

com analogia ao campo elétrico, tem-se:

O potencial magnético só tem significado físico em Física Quântica.

No eletromagnetismo clássico, possui somente significado matemático.

A equação de Maxwell define que não existem monopolos

magnéticos. Uma vez que o divergente de um campo vetorial é nulo, e,

Das propriedades da divergência, podemos reescrever o divergente como

sendo o rotacional de um outro campo vetorial:

0∇ =Bi

= −∇

mV= −∇H

0∇ ∇× =Ai

Campo magnético estacionárioPotenciais magnéticos escalar e vetorial

Temos, pois, que:

O campo vetorial A é denominado potencial magnético vetorial, a partir

do qual pode-se determinar o campo magnético com a operação acima.

Assim,

= ∇×B A

2 2

2 2 2

1

( )( )x x y y z z x x y y z zA A A J J J

µ µµ

µ µµ

= ∇× ⇒ = ∇× = ⇒ ∇× = ∇×∇× =

∇ ∇ −∇ = ∴∇ = −

∴∇ + ∇ + ∇ = − + +

H A H A B B A J

A A J A Ja a a a a a

i

Campo magnético estacionárioPotenciais magnéticos escalar e vetorial

Logo,

2 2 2 x x y y z zA J A J A Jµ µ µ∇ = − ∇ = − ∇ = −

As relações acima tomam a forma da Equação de Poisson e, portanto:

dv dv dv4 4 4

dv4

x x y y z zvol vol vol

vol

A J A J A JR R R

R

µ µ µπ π π

µπ

= = =

∴ =

∫ ∫ ∫

∫A J

A expressão acima tem o mesmo significado da Lei de Biot-Savart.

Campo magnético estacionárioPotenciais magnéticos escalar e vetorial

Portanto, A pode ser re-escrito como , que corresponde

a uma corrente I que flui ao longo de um filamento condutor, do qual dL

é um elemento diferencial e R é a distância para a qual se deseja calcular A.

Na forma diferencial, .

4Id

Rµπ

= ∫A L

4IddR

µπ

=LA

Campo magnético estacionárioPotenciais magnéticos escalar e vetorial

2 2

2 2

4

4

z

z

I dzdz

I dzdz

µ

π ρµ

π ρ

=+

=+

aA

A

Note-se que a direção de dA é a mesma de IdL. Agora pode-se calcular o campo magnético a partir de A.

( )3

22

1 14 z

dAz Idzd d dz

ρφ φµ µ ρ π

ρ

= ∇× = − ∴ = ∂ +

H A a H a

Este resultado é o mesmo obtido pela Lei de Biot-Savart