Hamilton Jacobi Book

7/25/2019 Hamilton Jacobi Book

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Uma Introdu cao a Solu coes de Viscosidadepara Equacoes de Hamilton-Jacobi

Helena J. Nussenzveig Lopes Milton C. Lopes Filho


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Contents

Introdu cao 3

1 Teoria de controle otimo 71.1 Controle otimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Programa cao dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 O metodo de caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Hamiltoniana aut onoma e convexa 222.1 Sistemas controlados pela velocidade . . . . . . . . . . . . . . 222.2 Dualidade convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Solucao de Hopf-Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Solucoes fracas e unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Solu c oes de viscosidade 443.1 Metodo de viscosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2 Denicoes alternativas de solucao de viscosidade . . . . . . . . 50

4 Princpios de compara cao e unicidade 574.1 Problemas estacion arios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Equacoes de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5 Causalidade e existencia 745.1 Causalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2 Equacao de Hamilton-Jacobi-Bellman . . . . . . . . . . . . . . 835.3 Metodo de Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Exerccios 98

1


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Bibliograa 102


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Introdu cao

Esta monograa consiste de uma introdu cao a nocao de solucao de viscosi-dade, no contexto de equacoes de Hamilton-Jacobi. A deni cao de solucao deviscosidade que vamos tratar e uma elabora cao da denicao introduzida porM. Crandall e P.-L. Lions, [5], em 1983 para equa coes de Hamilton-Jacobi eposteriormente estendida a uma vasta classe de equa coes diferenciais parciais

fortemente n ao-lineares, particularmente de natureza elptica ou parab olica.Esta e uma area de pesquisa ativa e de importancia crescente em equa coesdiferenciais parciais.

As equacoes de Hamilton-Jacobi s ao equacoes de primeira ordem do tipoF (x,u,u) = 0, que aparecem naturalmente em mec anica classica, em teo-ria de controle otimo determinstica e em teoria dos jogos. A aplica cao emteoria de controle desempenhou um papel importante no desenvolvimento dateoria, dando origem a algumas das ideias centrais e fornecendo uma classeinteressante de problemas modelo, veja [19]. Alem de fornecer o ponto departida historico para o desenvolvimento da teoria de solucoes de viscosi-dade, as equa coes de Hamilton-Jacobi s ao um contexto natural para uma in-trodu cao a esta teoria. As ideias basicas est ao presentes de forma n ao-trivial.Alem disso, em contraposicao a teoria geral de solu coes de viscosidade paraequacoes de segunda ordem, os aspectos tecnicos cam consideravelmentesimplicados.

Sob um ponto de vista mais amplo, esta monograa tem a inten cao deintroduzir alguns dos temas, preocupa coes e diculdades fundamentais noestudo de solu coes fracas de equacoes diferenciais parciais n ao-lineares. Umdos desenvolvimentos centrais em equacoes diferenciais parciais neste seculofoi a teoria de distribui coes de L. Schwartz, que possibilitou o tratamento rig-oroso de solucoes de equacoes diferenciais parciais com pouca regularidade,ampliando o pr oprio conceito de derivada. Existem diculdades quase in-

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transponveis em se estender para equa coes nao-lineares o sucesso alcancadopela teoria de distribuicoes em equacoes lineares. O interesse pr atico dedenir e trabalhar com solucoes irregulares de equa coes diferenciais par-ciais nao-lineares (ondas de choque, fen omenos turbulentos, meios materiais

de natureza irregular ou fractal, rudo aleat orio, condicoes iniciais singulares,entre outros) tem motivado um esfor co continuado por desenvolver tecnicascapazes de dar sentido e de estudar propriedades destas solu coes. Entretanto,a pesquisa nesta area necessita em geral de ferramentas analticas bastantesosticadas, utilizando ideias de teoria da medida, espa cos de Sobolev, analiseharm onica, operadores pseudo-diferenciais, entre outros.

A teoria de solucoes de viscosidade para equa coes de Hamilton-Jacobi euma excecao not avel precisamente neste aspecto. Veremos que e possvel de-senvolver uma teoria completa e poderosa fazendo uso de tecnicas elementaresde analise real. Neste contexto especco e possvel desenvolver uma teoriasosticada do ponto de vista de equacoes diferenciais parciais n ao-linearessem depender de um pesado arcabouco analtico desenvolvido previamenteou concorrentemente. Este texto pretende, em princpio, ser acessvel a umaluno de mestrado que tenha feito cursos de an alise em varias vari aveis,de equacoes diferenciais ordinarias e que tenha sido exposto a integral deLebesgue em IR n . Um curso basico de equacoes diferenciais parciais, a nvelde gradua cao ou mestrado, torna as quest oes tratadas aqui mais naturais.O principal pre-requisito que este assunto exige e a maturidade matem atica,possibilitando a apreensao de alguns conceitos pouco familiares e razoavel-mente sosticados. Nosso p ublico alvo sao alunos de pos-gradua cao com in-teresse em equa coes diferenciais parciais e especialistas na area que desejem

uma introducao rapida as solucoes de viscosidade.O material coberto nestas notas, no que diz respeito ` as solucoes de vis-cosidade, apareceu entre os anos de 1983 e 1986. Os pioneiros desta teoriaforam M. Crandall, P.-L. Lions, L. C. Evans e H. Ishii. Os resultados so-bre solucoes de viscosidade que apresentamos aqui s ao devidos a estes au-tores e as referencias b asicas que utilizamos na elaboracao deste materialsao: [3, 5, 6, 8, 12, 15, 19]. Para uma introducao ao estado da arte posterior,veja [4]. Os autores tambem recomendam que o leitor interessado assistao videotape de uma palestra de 80 minutos, proferida por M. Crandall em1991, e editada pela A.M.S. [2]. Um assunto que teria lugar natural nestetexto s ao as tecnicas de aproximacao numerica de solucoes de viscosidade.A decisao de omitir este material foi arbitr aria; referimos contudo as leitoras


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interessadas ao artigo [7] para uma introdu cao ao tema.Vamos fazer uma observacao sobre nota cao. No decorrer desta mono-

graa, utilizamos diversas notacoes para derivadas. Derivadas parciais s aodenotadas alternativamente /s ou ()s e derivadas em uma vari avel pord/ds ou (). Um abuso de notacao que cometeremos com alguma frequenciae denotar o gradiente de uma fun cao H = H ( p, x), com p, x IR n , por(H/p, H/x ).

O conteudo desta monograa encontra-se dividido da seguinte maneira:No Captulo 1 fazemos uma introdu cao a teoria de controle otimo, que servede motiva cao e fonte de exemplos para a teoria que se segue. No Captulo2, desenvolvemos a teoria de solucoes fracas para o caso de Hamiltonianaaut onoma e convexa. No Captulo 3, introduzimos a nocao de solucao deviscosidade e provamos algumas de suas propriedadas basicas. No Captulo4, demonstramos unicidade e dependencia contnua nos dados iniciais. NoCaptulo 5, demonstramos velocidade nita de propaga cao de informacao,estabelecemos a conex ao da teoria desenvolvida com o problema de cont-role otimo e ampliamos a discuss ao sobre a quest ao de existencia. Por m,inclumos alguns exerccios, que sao citados frequentemente no texto.

Esta monograa e uma amplia cao das notas de um minicurso ministradopelos autores na UFPb - Joao Pessoa em junho de 1995 e no 42o. SeminarioBrasileiro de Analise. Esta versao das notas se encontra publicada nas atas do42o. SBA. A presente reda cao corresponde, aproximadamente, ao conte udode um minicurso, em seis palestras de 90 minutos, ministrado no programade verao do Instituto de Matem atica Pura e Aplicada, em fevereiro de 1996.

Os autores agradecem a L. Craig Evans, pela sua generosa permiss ao

para reelaborar, e em algumas inst ancias, traduzir material contido em [8].Mais ainda, os autores tem uma profunda dvida intelectual para com Prof.Evans, pelo seu ponto de vista sobre solucoes de viscosidade e sobre equacoesdiferenciais parciais n ao-lineares em geral, que absorveram tanto por convviopessoal como por estudar e ensinar equacoes diferenciais atraves de [8]. Deve-mos tambem agradecer a Hitoshi Ishii, por ter gentilmente atendido a nossasduvidas. A exposicao sobre o metodo de Perron contida na Secao 5.3 foibaseada de perto em suas sugestoes.

Os autores tambem agradecem a Marcelo M. Santos e Rafael I orio Jr.pelas oportunidades de apresentar este material em minicursos, ao Departa-mento de Matematica da UFPb-J.Pessoa e ao IMPA pela acolhedora hospital-


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idade, a datilograa tecnica do IMECC-UNICAMP, pelo excelente trabalhoem transcrever a versao anterior desta monograa a partir de um originalmanuscrito e ao CNPq, pelos diversos nanciamentos envolvidos na elab-oracao desta monograa.


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Chapter 1

Teoria de controle otimo

Este captulo e uma introdu cao sumaria a teoria de controle otimo, dire-cionada ao papel que equa coes de Hamilton-Jacobi desempenham nesta teo-ria. Os objetivos centrais sao de introduzir um contexto de aplica coes para ateoria de solu coes fracas que desenvolveremos nestas notas e ilustrar a origemde algumas das ideias no desenvolvimento desta teoria.

As equacoes de Hamilton-Jacobi s ao equacoes diferenciais parciais deprimeira ordem cuja caracterstica predominante e encontrar-se derivadasespaciais da fun cao incognita inseridas na nao-linearidade. Vamos nos con-centrar em um tipo especco de problema de valor inicial, para equa coesde Hamilton-Jacobi, com uma estrutura de equa cao de evolucao, como de-screvemos abaixo.

Sejam x = ( x1, . . . , x n ) IR n , H : IR n IR n IR contnua. O problemade valor inicial para a equa cao de Hamilton-Jacobi no nosso contexto e: ut + H (u, x ) = 0 , em IR

n (0, )u(x, 0) = g(x) em IR n {t = 0}, (1.1)

onde o dado inicial g : IR n IR e uma fun cao contnua. Chamamos a fun caoH de Hamiltoniana da equacao. Uma solucao classica de (1.1) e uma fun caou : IR n [0, ) IR , de classe C 1(IR n (0, )) C 0(IR n [0, )) quesatisfaz o problema (1.1).

Antes de mais nada, vamos introduzir os conceitos b asicos de controleotimo e determinar em que sentido a solucao do problema acima e relevanteem teoria do controle otimo.

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CHAPTER 1. TEORIA DE CONTROLE OTIMO 8

1.1 Controle otimo

O problema de controle otimo, formulado de maneira vaga, consiste de de-terminar uma estrategia para guiar um sistema, de maneira a otimizar um

dado funcional custo ou valor. Este tipo de problema aparece naturalmentequando se deseja gerenciar um sistema de forma eciente, por exemplo, na ex-plora cao economica de recursos renovaveis, no gerenciamento de uma unidadede produ cao industrial ou na administra cao de uma economia. Do ponto devista matematico, problemas de controle otimo podem tomar diversas formase incorporar diversos nveis de complexidade, dependendo de qu ao realsticoseja o modelo em questao. Vamos nos utilizar de um problema modelo ide-alizado, para introduzir as ideias que nos interessam da forma mais simplespossvel.

Vamos considerar o seguinte problema especco de controle otimo.Seja A

IR m compacto e f : IR n

A

IR n uma fun cao contnua, Lips-

chitz na primeira variavel, uniformemente na segunda. Considere a equa caodiferencial ordin aria com uxo f :

x(s) = f (x(s), a)x(t) = x.

Esta equa cao e entendida como a equacao que descreve a evolucao do sis-tema que se deseja controlar, atraves de um programa que varie o par ametroa de forma conveniente no tempo. A vari avel x representa um conjunto devalores descrevendo o estado do sistema, de modo que esta equa cao diferen-cial ordinaria e chamada de equacao de estado do problema de controle.

Para formular o nosso problema de controle otimo primeiramente especi-camos uma classe de controles admissveis, que e interessante tomar a maisabrangente possvel. Dena o conjunto de controle admissveis:

A = { : [0, T ] A tal que () e Lebesgue mensuravel.}A equacao de estado passa a ter a forma:

x(s) = f (x(s), (s)) qtp para s (t, T ); Ax(t) = x. (1.2)Para cada controle admissvel A o sistema possui uma unica solucaox(

), absolutamente contnua, denida no intervalo [ t, T ] (Exerccio 2). Va-

mos chamar x() de resposta do sistema ao controle .


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Considere x, e p um mnimo de I e tome varia coes i = i(s), comi = 1, 2, 3, suaves, denidas no intervalo [ t0, T ], com 1(t0) = 0. Dena x =x+ 1, = + 2, e p = p+ 3. Dena tambem i() I (x , , p).Portanto,did

= T

t 0

hx

1+ha

2(xf )3 p( 1f x

1f a

2)ds+gx

(x(T ))1(T ).

Integramos por partes o termo p 1. O termo de fronteira correspon-dente a s = t0 se anula pois assumimos que 1(t0) = 0. O termo de fronteiracorrespondente a s = T e incorporado ao termo do custo nal, fora da inte-gral. Coletamos os termos envolvendo cada uma das fun coes teste na integrale fazemos = 0. Como x, e p sao um mnimo, a expressao resultante seanula, isto e:

0 = di

d =0=

T

t 01

hx

(x, ) + pf x

(x, ) + p + 2ha

(x, ) + pf a

(x, ) +

+ 3 (x+ f (x, )) ds + 1(T )gx

(x(T )) p(T ) .Tomando-se 1 = 2 = 0 e 3 arbitr ario, recupera-se a equa cao de estado:

x= f (x, ).

Fazendo-se agora 1 = 0 e tomando-se 2 arbitr ario, obtem-se uma

relacao entre x

,

e p

que e chamada condic ao de otimalidade :ha

(x, ) + pf a

(x, ) = 0 .

Agora, com 1 com 1(T ) = 0 arbitrario, obtem-se a equac ao de co-estado:

p= hx

(x, ) pf x

(x, ).

Finalmente, tomando-se 1 com 1(T ) = 0 obtem-se uma instancia dacondic ao de transversalidade :gx (x

(T )) p

(T ) = 0 .


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Se a condicao de otimalidade puder ser utilizada para exprimir =(x, p), poderemos reorganizar estas relacoes em um sistema de equa coesdiferenciais ordin arias, que assumir a a forma:

x

= f (x

,

(x

, p

))

p = hx

(x, (x, p)) pf x

(x, (x, p))

x(t0) = x0; p(T ) = gx

(x(T ))

(1.4)

Dena a funcao H por:

H ( p, x) = minaA {h(x, a ) + p f (x, a )}. (1.5)

Se supusermos que o mnimo acima e atingido em um unico ponto a =a(x, p), que depende suavemente de x e p, ent ao o sistema (1.4) e Hamilto-niano, com Hamiltoniana H . De fato, se a = a(x, p) e o ponto de mnimo nadenicao de H , derivamos a express ao h + pf com respeito a a e concluimosque:

ha

(x, a ) = p f a

(x, a ).

Isto e precisamente a condicao de otimalidade, de modo que podemos concluirque, para qualquer s [t0, T ], a(x, p) = (x, p).Temos que:

H x

= hx

+ ha

ax

+ p f x + p f a ax =

= hx

+ p f x

.

Temos tambem que:

H p

= ha

ap

+ f (x, a ) + p f a

ap

= f (x, a ).

Portanto, avaliando estas identidades em x, p segue-se que o sistema (1.4)

assume a forma:


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x = H p

( p, x)

p = H x ( p, x).

(1.6)

Observamos que as situacoes onde esta an alise informal pode ser tornadarigorosa sao, de certa forma, as situacoes onde o problema de controle otimo etrivial. A solu cao do problema depende apenas de resolver o sistema (1.4), oque em certas situa coes de interesse pode ser feito de maneira explcita. Sobo ponto de vista de teoria do controle, nosso interesse e de obter resultadosem situa coes onde esta an alise nao e valida. Neste sentido, esta discuss aoinformal servir a tambem para motivar o tratamento rigoroso que se segue.

1.2 Programa cao dinamicaO metodo de programacao dinamica consiste de estudar o problema de con-trole otimo atraves da fun cao valor:

u(x, t ) = inf ()A

C x,t [].

Primeiramente recordemos as hip oteses que zemos na secao 1.1 sobre oproblema (1.3):

1. O conjunto A IR m e compacto, e consequentemente, os controles s aoL

([t, T ];A).2. O uxo f C 0(IR n A) e Lipschitz na primeira variavel, uniforme-mente na segunda variavel.3. As funcoes h e g sao contnuas, uniformemente limitadas e Lipschitz

na vari avel de estado, uniformemente no controle.

Com estas hip oteses, segue-se que a funcao valor e limitada inferiormente.De fato, basta observar que a trajet oria x() nao sai de um compacto, inde-pendente do controle , pelo Lema de Gronwall (Exerccio 4).

Uma propriedade fundamental da fun cao valor e chamada princpio de programa c ao din amica , que se traduz na ideia de que, para otimizar, e


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necessario otimizar a cada instante. Rigorosamente isto e expresso no Teo-rema abaixo, devido a R. Bellman [1].

Teorema 1.1 Seja > 0 tal que T t. Temos:u(x, t ) = inf

A t+

th(x(s), (s))ds + u(x(t + ), t + ) , (1.7)

onde x(s) e a resposta do sistema (1.2) ao controle (s).

Demonstra cao : Escolha um controle 1 Ae resolva a equacao diferencialordinaria: x1 = f (x1(s), 1(s)) qtp para t < s < t + x1(t) = x.

Escolha um outro controle 2 A tal que, dado > 0,u(x1(t + ), t + ) +

T

t+ h(x2(s), 2(s))ds + g(x2(T )),

onde

x2 = f (x2, 2) qtp para t + < s < T x2(t + ) = x1(t + ).Dena o controle

3(s) = 1(s), t s t + 2(s), t +

s

T.

Seja x3 = f (x3, 3) t < s < T x3(t) = x.

Por unicidade,

x3(s) = x1(s), t s t + x2(s), t + s T.

Portanto, temos:

u(x, t ) C x,t [3] = T

t h(x3(s), 3(s))ds + g(x3(T )) =


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= t+

th(x1(s), 1(s))ds +

T

t+ h(x2(s), 2(s))ds + g(x2(T ))

t+

th(x1(s), 1(s))ds + u(x1(t + ), t + ) + .

Logo, ja que 1 e arbitrario,

u(x, t ) inf A t+

th(x(s), (s))ds + u(x(t + ), t + ) + .

Fixando novamente positivo, escolha 4 A tal queu(x, t ) +

T

th(x4(s), 4(s))ds + g(x4(T )) , onde

x4 = f (x4(s), 4(s)) t < s < T x4(t) = x.

Portanto, u(x4(t + ), t + ) T t+ h(x4(s), 4(s))ds + g(x4(T )).

Consequentemente,

u(x, t ) + inf A t+

th(x(s), (s))ds + u(x(t + ), t + ) .

Da arbitrariedade de , conclumos a demonstracao.

Vamos utilizar este resultado para deduzir a equa cao de programa cao

dinamica de modo informal. Esta equacao tambem e conhecida como equa caode Hamilton-Jacobi-Bellman.Este e um caso particular de equa cao de Hamilton-Jacobi, que e satisfeita

pela funcao valor.Fixe > 0. Da relacao (1.7) segue-se que:

1

inf A

t+

th(x, )ds + u(x(t + ), t + ) u(x, t ) +

+u(x, t + ) u(x, t + )

= 0 .


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Reescrevemos a rela cao acima da seguinte maneira:

u(x, t + ) u(x, t )

+

+ inf A

1 t+ t h(x, )ds + u(x(t + ), t + ) u(x, t + ) = 0.

Se u for suave, tomamos o limite quando 0 e obtemos:u t + inf

aA {h(x, a ) + u f (x, a )} = 0.Portanto, tomando precisamente a fun cao H = H ( p, x), denida em (1.5)

e que apareceu naturalmente na formula cao variacional do problema de con-trole otimo, obtemos o seguinte problema de valor terminal para a fun caovalor:

ut + H (u, x ) = 0 em IRn (t, T )u(x, T ) = g(x) em IR n {t = T },

(1.8)

A funcao valor incorpora uma parte importante da solu cao do problemade controle otimo: o menor custo possvel para guiar o sistema. De posseda funcao valor, resta apenas determinar uma estrategia que guie o sistemade modo a atingir este custo mnimo, exata ou aproximadamente. Esta se-gunda etapa chama-se a sntese do controle otimo. O estudo das propriedadesbasicas da fun cao valor se presta a um tratamento analtico no contexto deuma teoria geral. Por contrapartida, o problema de sintetizar um controleotimo e mais delicado, necessitando de uma an alise detalhada do problema

de controle especco sob considera cao. Contudo, conhecimento previo daestrutura da funcao valor tambem e util na resolu cao deste problema. Ilus-tramos isto com a construcao de controles por feedback, que apresentamosinformalmente a seguir. Para mais detalhes, veja [12].

Dados 0 t T e um estado inicial x IR n considere a equa cao deestado: x(s) = f (x(s), a(s)) qtp t < s < T x(t) = x,

construda de forma que, a cada tempo s, o controle (s) e selecionado demodo que:

f (x(s), (s)) u(x(s), s) + h(x(s), s) = H (u(x(s), s), x(s)) .


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Em outras palavras, ajustamos (s) de modo a atingir o mnimo nadenicao da Hamiltoniana H , sabendo que o sistema est a em x(s) no tempos. Chama-se o controle construdo desta maneira de controle por feedback.

E facil provar que o controle por feedback gera uma trajet oria de custo

mnimo, pelo menos em regi oes onde a funcao valor u for suave (Exerccio 5).E claro que haver a problemas em interpretar a condi cao de feedback onde unao for suave.

1.3 O metodo de caractersticas

Nesta secao vamos estudar existencia local para (1.1), o problema de valorinicial para a equa cao de Hamilton-Jacobi. Vamos assumir que a Hamiltoni-ana H e o dado inicial g sejam suaves (pelo menos duas vezes diferenci aveis).

Apesar de tratarmos apenas o problema de valor inicial para a equa cao

de Hamilton-Jacobi, nossa analise tambem se aplica a problemas de valorterminal, tais como (1.8). De fato, se u = u(x, t ) e solu cao de ut + H (u, x ) =0, com u(x, T ) = g(x), ent ao v(x, t ) = u(x, T t) satisfaz vt + G(v, x) = 0,v(x, 0) = g(x), com G = H .O metodo de caractersticas, quando aplicado a equa coes diferenciais par-ciais de primeira ordem, consiste de encontrar uma solu cao resolvendo-se umafamlia de equacoes diferenciais ordinarias. Seja u(x, t ) uma solucao classicade (1.1) que, por um momento, suporemos ser duas vezes diferenciavel.

Considere q (s) solucao do sistema de equa coes diferenciais ordinarias:

q (s) = H

p (

u(q (s), s), q (s))

q (0) = x0 IR n .A curva (q (s), s) em IR n (0, ) e chamada caracterstica projetada de(1.1). Vamos vericar que (1.1) escreve-se como uma famlia de equacoes

diferenciais ordin arias sobre essas curvas. Dena p(s) = u(q (s), s). Ent ao:dds

(u(q (s), s) = u(q (s), s) q (s) + us (q (s), s)

= p(s) H p ( p(s), q (s)) H ( p(s), q (s)),

(1.9)


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pois u e solucao de (1.1).Diferenciando (1.1) em rela cao a x i vem:

(ux i )t =n

j =1 H

p j(

u, x ) 2u

x ix j H

q i(

u, x ).

Logo,

dds

( pi(s)) = dds

(ux i (q (s), s)) =n

j =1

2ux i x j

(q (s), s)q j (s) + ( ux i )s =

=n

j =1ux i x j q j

H p j

(u, x ) ux i x j H q i

(u, x ) = H q i

( p(s), q (s)).

Concluimos que as funcoes q (

) e p(

) denidas acima satisfazem o sistema

fechado de 2n equacoes diferenciais ordinarias dado por:

q = H p

( p, q )

p = H q

( p, q )

q (0) = x0, p(0) = g(x0).

(1.10)

O sistema (1.10) e chamado de sistema de equa coes caractersticas para

(1.1); suas solucoes sao as caractersticas de (1.1). Denotaremos por q (x0; t)e p(x0; t) as solucoes do problema (1.10). Mais ainda, integrando a equa caopara u(q (s), s), podemos determinar os valores da solucao ao longo da car-acterstica projetada fazendo:

u(q (s), s) = u(x0) + t

0 p(s)

H p

( p(s), q (s)) H ( p(s), q (s))ds. (1.11)Gostaramos de utilizar (1.10) e (1.11) para resolver o problema (1.1).

Precisamos para isto demonstrar tres fatos:

1. Para t sucientemente pequeno a aplicacao x0

q (x0; t) e um difeo-

morsmo.


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2. Com u(x, t ) e p(x, t ) denidos a partir de (1.10) e (1.11) e o difeomor-smo acima, temos que p(x, t ) = u(x, t ).

3. A funcao u(x, t ) e solu cao da equa cao diferencial parcial.

A demonstra cao destes fatos est a codicada na demonstracao do seguinteresultado.

Teorema 1.2 Dado x0 IR n {t = 0} existe uma vizinhan ca U de x0em IR n (, + ) e uma soluc ao cl assica u(x, t ) de (1.1) satisfazendou(x, 0) = g(x) em U {t = 0}.Demonstra cao : Seguiremos o esquema proposto acima.

1. Veja que a equa cao (1.10) dene um uxo suave, que em tempo t =

0 e a identidade. Como o uxo e contnuo, temos que a aplica caox0 q (x0; t) tem derivada inversvel para t sucientemente pequeno.Pelo Teorema da Aplicacao Inversa, x q (x; t) e um difeomorsmo,denido numa vizinhanca de x0. Dado t sucientemente pequeno, sejat = t (x) denido numa vizinhanca de q (x0; t) de modo que x =q (t (x); t).

2. Denote y t (x). Dena p(x, t ) = p(y; t) eu(x, t ) = g(y) +

t

0 p(y; s)

H p

( p(y; s), q (y; s)) H ( p(y; s), q (y; s))ds.

Vamos mostrar que p(x, t ) = u(x, t ). Sejar (s) =

yi

(u(q (y; s), s)) n

j =1 p j (y; s)

yi

(q j (y; s)).

Primeiro observe que:

r (0) = yi

(u(y, 0)) n

j =1 p j (y; 0)

y jyi

= gyi

(y) n

j =1

gy j

ij = 0 .

Em seguida, observe que:


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r (s) = yi

p(y; s) H p

( p, q ) H ( p, q ) +

+n

j =1

H q j

( p, q ) yi

(q j ) p j (y; s) yi

H p j

( p, q ) =

=n

j =1

yi

( p j )H p j

( p, q ) yi

(H ( p, q )) +n

j =1

H q j

( p, q ) yi

(q j ) = 0 ,

usando a regra da cadeia no segundo termo da ultima express ao.

Logo, r = 0. Por outro lado,

n

j =1

p j (y; s) y

i

(q j ) = y

i

(u(q (y; s), s)) =n

j =1

ux j (q (y; s), s) y

i

(q j ).

Como esta igualdade vale para todo i e a transforma cao s e um difeo-

morsmo, a matriz yi

(q j )ij

e inversvel, e portanto concluimos que

p j (y; s) = ux j (q (y; s), s) para qualquer j e s, como desejavamos.

3. Finalmente, precisamos mostrar que u(x, t ) satisfaz a equa cao. Aformula (1.11) nos diz que, ao longo de uma caracterstica temos:

d

ds(u(q (y; s), s)) = p

H

p ( p, q )

H ( p, q ) = p

q s

H.

Por outro lado, dds

(u(q (y, s ), s)) = u(q (y; s), s) q s + ut

(q (y; s), s).Contudo, no tem 2 acima, provamos que u(q (y; s), s) = p(y; s).Concluimos que (1.1) e identicamente satisfeita ao longo das carac-tersticas, isto e:

ut

(q (y; s), s) = H ( p(y; s), q (y; s)) .


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Portanto demonstramos que o metodo de caractersticas nos fornece umasolucao de (1.1) numa vizinhan ca do hiperplano {t = 0}. O argumento usadono Teorema 1.2 deixa claro que o metodo funciona enquanto o difeomorsmot for localmente inversvel; a perda da inversibilidade local pode ser in-

terpretada como cruzamento das caractersticas projetadas. Em princpio ometodo de caractersticas n ao nos diz nada sobre a solu cao local para alemdeste cruzamento. Vejamos um exemplo ilustrando este colapso do metodo.

Exemplo 1: Considere para n = 1, o problema

ut + ( ux)2/ 2 = 0u(x, 0) = g(x).

Seja u(x, t ) uma solucao classica, em C 2(IR (0, T )).Dena v(x, t ) = ux(x, t ). Vamos obter uma equacao para a evolu cao dev(). Diferenciamos a equa cao com respeito a x e obtemos a equa cao deBurgers: vt + ( v2/ 2)x = 0

v(x, 0) = g (x).

Esta equa cao e quaselinear, e portanto o sistema caracterstico se reduza uma unica equa cao diferencial ordin aria, que e:

x = v(x, t )x(0) = x0.

Ent ao, ddt

(v(x(t), t)) = vx xt + vt = vx v + vt = ( v2/ 2)x + vt = 0.Donde, v e constante ao longo das caratersticas, portanto as carac-

tersticas sao linhas retas. A mudanca de coordenadas que resolve o problema(an aloga ao difeomorsmo do teorema anterior) neste caso pode ser escritaexplicitamente:

x = y + g (y)t,

onde y e o pe da caracterstica que passa por x em tempo t. Portanto:

v(x, t ) = v(y, 0),

e esta transformacao deixa de ser inversvel quando

ddy(y + g (y)t) = 0 , o que ocorre em t = 1/g (y).


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Portanto se existir um y0 IR onde g (y) < 0 entao existir a um tempopositivo em que duas caractersticas se encontram. Observe que |vx (x, t )| quando t 1/g (y) e portanto v() tende a car descontnua. Conse-quentemente a solucao u(x, t ) da equa cao de Hamilton-Jacobi esta perdendosuavidade e cando, na melhor hipotese, Lipschitz contnua. Evidentementecria-se uma diculdade seria em interpretar em que sentido uma fun cao Lip-schitz contnua satisfaria a equa cao. Nesta monograa vamos repensar anocao de solucao de modo a resolver esta diculdade.


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Chapter 2

Hamiltoniana aut onoma econvexa

Neste captulo vamos estudar um caso especial de problema de valor inicialpara a equa cao de Hamilton-Jacobi, em que a Hamiltoniana e aut onoma, istoe, s o depende de p, e e convexa. Veremos que isto corresponde a uma classede sistemas de controle em que a equa cao de estado se reduz a x = , quesao os sistemas controlados pela velocidade.

O resultado principal deste captulo e um teorema de unicidade, devidoa E. Hopf [14], que diz que a funcao valor, neste caso, e a unica solucao fracaglobal da equa cao de Hamilton-Jacobi correspondente. O sentido de solu caofraca ter a que ser cuidadosamente especicado. O conteudo deste captuloest a intimamente relacionado com a teoria de solu cao fraca de P. Lax e O.

Oleinik para leis de conserva cao com funcao de uxo convexa, veja [8].

2.1 Sistemas controlados pela velocidade

Considere o problema de controle com equacao de estado:

x(s) = (s) t < s < T x(t) = x. (2.1)

O funcional custo e dado por uma funcao de custo operacional L()contnua e convexa e uma funcao de custo terminal contnua g = g(x), de

22


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CHAPTER 2. HAMILTONIANA AUT ONOMA E CONVEXA 23

modo que:

C x,t [] = T

tL(x)ds + g(x(T )). (2.2)

Esta e a formulacao como problema de controle otimo de um problema

de calculo de varia coes classico. No contexto de calculo de varia coes a funcaoL que introduzimos como custo operacional costuma ser chamada de La-grangiano do problema. Esta e a terminologia que vamos utilizar no restantedeste captulo.

No caso do problema (2.1,2.2) acima, o conjunto de controles admissveisque consideraremos ser a A C 0([t, T ], IR n ). Podemos eliminar o controle, simplesmente introduzindo um conjunto de trajet orias admissveis A ={z C 1([t, T ]) : z (t) = x e z (T ) = y}. Assim, a funcao valor u = u(x, t ) seescreve da seguinte maneira:

u(x, t ) = inf yIR

ninf z A

T

tL(z )ds + g(y) . (2.3)

Proposi cao 2.1 Para x IR n , t < T temos:u(x, t ) = inf

yIR n(T t)L

y xT t

+ g(y) .

Demonstra cao : Para demonstrar isto, basta vericar que:

I inf z A T

tL(z )ds = ( T t)L

y xT t

,

e utilizar esta informacao em (2.3).

Primeiramente tomez (s) =

y xT t

(s t) + x,e observe que z () A. Portanto,

I T

tL(z )ds = ( T t)L

y xT t

.

A desigualdade no sentido oposto segue da convexidade do LagrangianoL. De fato, seja z A. Pela desigualdade de Jensen (veja [20]) temos:

1T t

T

t L(z )ds L 1

T t T

t zds = Ly

x

T t .


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Multiplicando por T t de ambos os lados e tomando o nmo sobre A,temos o que queramos.Com esta formula explcita para a fun cao valor, o problema de controle

otimo est a, em prncipio, resolvido. Nosso objetivo agora e estudar o prob-lema de valor inicial para a equa cao de Hamilton-Jacobi (1.1), no caso deHamiltoniana autonoma e convexa.

Vimos no captulo anterior que espera-se que a fun cao valor satisfa ca, emalgum sentido, o problema de valor terminal para a equa cao de Hamilton-Jacobi-Bellman com Hamiltoniana denida em (1.5). No caso dos sistemascontrolados pela velocidade estudados acima (2.1,2.2) a express ao para aHamiltoniana ca:

H ( p) = minqIR n {L(q ) + p q }. (2.4)

Como queremos estudar um problema de valor inicial denimos: u(x, t ) =u(x, T t) e L(q ) = L(q ) e observamos que u satisfaz, informalmente,o problema de valor inicial para a equacao de Hamilton-Jacobi (1.1) comHamiltoniana

H ( p) = maxqIR n { p q L(q )}, (2.5)

e dado inicial u(x, 0) = g(x). A partir deste momento abandonaremos anota cao com til.

A formula dada pela Proposicao 2.1 nos fornece o seguinte para a solucaocom o tempo revertido:

u(x, t ) = inf yIR n tLx

y

t + g(y) . (2.6)

Esta f ormula, no contexto de equacoes de Hamiton-Jacobi, e conhecidacomo f ormula de Hopf-Lax .

Se interpretarmos o princpio de programa cao dinamica, Teorema 1.1,neste contexto, revertendo o tempo como acima, obtemos o resultado ex-presso no corolario abaixo.

Corolario 2.1 Para x IR n , 0 s < t temos:u(x, t ) = min

yIRn

(t

s)L

x yt s

+ u(y, s ) .


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A demonstra cao e deixada como exerccio (Exerccio 6).Pode parecer que tenhamos encontrado um candidato natural para solu cao

do problema de valor inicial para a equacao (1.1), possivelmente v alida paratodo o tempo. Entretanto, a situa cao e bastante insatisfat oria. De fato, a

relacao entre o Lagrangiano L e a Hamiltoniana H nao esta estabelecidarigorosamente. Mais ainda, esta rela cao esta nos fornecendo a equacao difer-encial parcial a partir da solucao, dada em termos de L. A pergunta natural,e que ainda n ao foi nem sequer informalmente respondida, e como encontrara solucao dada a equa cao diferencial parcial e os dados iniciais. Para respon-der esta pergunta teremos que compreender a conex ao entre o Lagrangianoe a Hamiltoniana; este e o objetivo da proxima secao.

2.2 Dualidade convexa

Nesta secao vamos estabelecer a rela cao precisa entre a Hamiltoniana H e oLagrangiano L, atraves da nocao de dualidade convexa.

Seja L : IR n IR , contnua, convexa i.e. tal que, para quaisquer x, y IR n e 0 t 1, L(tx + (1 t)y) tL(x) + (1 t)L(y), e superlinear, isto e:lim

|q| +

L(q )

|q | = + .

Deni cao 2.1 Seja p IR n . A transformada de Legendre de L em p e:L( p) supqIR n { p q L(q )}.

Observe que este supremo acima e de fato assumido, devido ` a superlin-earidade de L (Exerccio 7).

Exemplo: Seja > 1. Se L(q ) = |q | , para q IR , ent ao

L( p) = ( 1) p

1

.

O pr oximo resultado estabelece a conex ao precisa entre Lagrangianose suas transformadas de Legendre, mostrando que existe uma rela cao dedualidade entre eles.


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Teorema 2.1 Suponha que L : IR n IR seja C 1, convexa e superlinear.Considere sua transformada de Legendre L. Ent ao:1. Le contnua, convexa e superlinear.

2. L= L.

Demonstra cao :Comecamos por demonstrar a convexidade de L. Sejam p1, p2 IR n ,t [0, 1]. Temos:L(tp1 + (1 t) p2) = supqIR n {t( p1 q L(q )) + (1 t)( p2 q L(q ))}

supqIR n {t( p1 q L(q ))}+ supqIR n {(1 t) ( p2 q L(q ))} == tL( p1) + (1

t)L( p2).

Continuidade e uma quest ao mais tecnica. Primeiro observe que L elocalmente limitada. De fato, por um lado, L(0) L( p), para qualquer p. Por outro lado, da superlinearidade de L, segue-se que p q L(q ) tendea quando |q | , uniformemente para p em um compacto. Logo,para qualquer p em um compacto, existe K sucientemente grande tal que p q L(q ) 1, se |q | K . Portanto, da continuidade de L:

L( p) max max|q| K { p q L(q )}, 1 C,

para alguma constante C .Fixemos p0 IR n e > 0. Observemos agora que L e semicontnuainferiormente, pois e um supremo de funcoes contnuas (veja [20]). Portanto,existe > 0 tal que se | p p0| entao:

L( p) L( p0) .Para mostrar a desigualdade que falta na demonstra cao de continuidade,utilizaremos a convexidade de L.

Seja M max| p0 |=1 L() L( p0). Seja p tal que | p p0| 0 < 1.Dena p =

p

(1

| p

p0

|) p0

| p p0| .


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Observe que, fazendo s = | p p0| temos p = s p+ (1 s) p0 e p esta na esferade centro p0 e raio 1. Da convexidade de L vem:L( p) | p p0|L( p) + (1 | p p0|)L( p0).

Disto segue-se que:

L( p) L( p0) + | p p0|(L( p) L( p0)) L( p0) + 0M L( p0) + ,tomando-se 0 = /M . Isto prova a continuidade de L.

Para demonstrar a superlinearidade, xe R > 0. Ent ao, dado p,

L( p) p Rp

| p| L

Rp

| p|

R

| p

| max|q| R

L(q ). Logo, L( p)

| p| R

1

| p|max|q| R

L(q ) e

lim inf | p|

L( p)

| p| R. Como R e arbitrario, temos o que queramos.

Para ver que L(q ) = sup pIR n { p q L( p)} observe primeiro que:L(q ) p q L( p) p, q IR n , pela denicao de L.

Tomando o supremo em relacao a p, temos que L(q ) L(q ).Por outro lado temos:

L

(q ) = sup pIR n p q suprIR n { p r L(r )} = sup pIR n inf rIR n { p (q r ) + L(r )}.Da hipotese que L e convexa e C 1 vem:

L(r ) L(q ) + L(q ) (r q ).Logo, L(q ) inf rIR n {L(q ) (q r ) + L(r )} L(q ).

Observe que a deni cao da Hamiltoniana H , dado o Lagrangiano L, em(2.5), diz que H e precisamente a transformada de Legendre de L. Pas-saremos a denotar a transformada de Legendre L por H e a chamaremosde Hamiltoniana associada a L. O Teorema 2.1 da condicoes precisas para


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que, dada a Hamiltoniana, possamos determinar o Lagrangiano associadoutilizando a transformada de Legendre (para ver isto aplique o Teorema 2.1a H ). Com isso, resolvemos a questao levantada no m da se cao anterior.Dada a Hamiltoniana H , ou equivalentemente, a equacao de Hamilton-Jacobi

(com Hamiltoniana autonoma, C 1, superlinear e convexa), encontramos umcandidato natural a solu cao fornecido pela formula de Hopf-Lax (2.6), comLagrangiano L = H .

Veremos a seguir que, com hip oteses adicionais sobre a Hamiltoniana H ,podemos obter informa coes mais detalhadas sobre a relacao entre L e H .

Deni cao 2.2 Suponha que H seja uma fun c ao C 2. Dizemos que H e es-tritamente convexa se, para qualquer p IR n existe ( p) > 0 tal que:

n

i,j =1

2H pi p j

( p) i j ( p)| |2, IR n , p IR n .

Dizemos tambem que H e uniformemente estritamente convexa se acima puder ser escolhido independente de p.

Proposi cao 2.2 Seja H C k(IR n ), k 2, estritamente convexa e super-linear. Ent ao:1. H : IR n IR n e um difeomorsmo global.2. Se L = H ent ao L(H ( p)) = p H ( p) H ( p) e L e a aplica c aoinversa de H (logo L e C k).

Demonstra cao : Primeiro mostramos que H e injetiva. Considere r(t) =tp + (1 t)q , com p, q IR n xos e t [0, 1]. Suponha que H ( p) = H (q ).Vamos mostrar que p = q . Sejah(t)

ddt

(H (r (t))) = H (r (t)) ( pq ).Observe que h(0) = h(1), e portanto, pelo Teorema do Valor Medio, existe

um s [0, 1] tal que:0 = h(s) =

n

i,j =1

2H

pi p j(r (s))( pi

q i) ( p j

q j )


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(r (s))| pq |2.Portanto, p = q .

Mostremos agora que H e sobrejetiva. Seja L = H . Ent ao temos que:L(q ) = sup pIR n { p q H ( p)}.

Da superlinearidade, sabemos que este supremo e de fato um m aximo, econsequentemente, a derivada de p q H ( p) com respeito a p se anula noponto de m aximo p. Isto e:

q = H ( p).Portanto, todo q IR n e imagem por H do ponto onde o maximo nadenicao de L e assumido. Pela hipotese de convexidade estrita, a Hessianade H , interpretada como a derivada de H e inversvel. Pelo Teorema daAplicacao Inversa,

H e um difeomorsmo C k 1 global e podemos escrever

p = p(q ).Para demonstrar o segundo item, temos L(H ( p)) = p H ( p) H ( p).Da an alise acima, fazendo q = H ( p), vem que H ( p) = H ( p). Pelainjetividade de H , p = p. Em resumo, L(H ( p)) = p H ( p) H ( p).Finalmente, veja que se diferenciarmos a expressao L(q ) = p(q ) q H ( p(q )) em rela cao a q i obtemos:

Lq i

= pi +n

j =1q j

p jq i

n

j =1

H p j

p jq i

= pi ,

pois p e tal que

H ( p) = q . Logo, aplicando

H em

L(q ), e usando a

relacao entre p e q obtemos que H (L(q )) = q . Como H e inversvel,temos tambem que L(H ( p)) = p.

2.3 Solu cao de Hopf-Lax

Nesta secao, vamos comecar a estabelecer em que sentido a f ormula de Hopf-Lax (2.6) nos fornece uma solu cao da equa cao de Hamilton-Jacobi:

ut + H (

u) = 0u(x, 0) = g(x). (2.7)


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Passaremos a nos referir a funcao u determinada pela formula de Hopf-Laxcomo solucao de Hopf-Lax do problema (2.7).

Primeiro vamos mostrar que este candidato a solu cao estende a solucaoobtida no Teorema 1.2 atraves do metodo de caractersticas. Em seguida,

estudaremos algumas de suas propriedades. Concluiremos a se cao demon-strando que onde a fun cao dada pela f ormula de Hopf for diferenciavel elasatisfaz (2.7), e, mais ainda, que ela e diferenciavel em quase toda parte.

Seja H = H ( p) uma Hamiltoniana C 2, superlinear, estritamente convexae L = H o Lagrangiano associado. Suponha que o dado inicial g e C 1,com derivada globalmente limitada. Vamos assumir que o Teorema 1.2 nosfornece uma solucao v C 1 e denida em IR n [0, T ). Em particular, naoha cruzamento de caractersticas projetadas para t < T . Seja u = u(x, t ) afuncao dada pela f ormula de Hopf-Lax.

Proposi cao 2.3 As func oes u e v coincidem em IR n

[0, T ).

Demonstra cao : Fixe x IR n e 0 < t < T . Como L e superlinear e g eglobalmente Lipschitz, temos que o nmo na formula de Hopf e assumido.Portanto, existe y tal que

u(x, t ) = tLx y

t+ g(y).

No ponto de mnimo temos que:

Lx y

t = g(y).

Logo, pela Proposi cao 2.2,

H (g(y)) =

x yt

.

Dena as curvas:

q (s) = sx y

t + y, p(s) = p0 g(y).

Temos que:

q = x

y

t = H (g(y

)) H p ( p(s)),


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p = 0 H q

.

Portanto, o par ( q (), p()) e a caracterstica emanando de ( y,g(y)).Observe que para s

t,

u(q (s), s) = minyIR n {sL((q (s) y)/s ) + g(y)}

e o mnimo tem que ser assumido exatamente em y. De fato, caso o mnimofosse atingido em y= y, ent ao q (s) estaria ao mesmo tempo na carac-terstica projetada emanando de y e de y, o que nao pode ocorrer. Por-tanto, para s t temos:

u(q (s), s) = sLq (s) y

s+ g(y) = sL

x yt

+ g(y) =

= sL(

H (

g(y))) + g(y).

Logo, pela Proposi cao 2.2 temos:

u(q (s), s) = s [g(y) H (g(y)) H (g(y))] + g(y).

Consequentemente, dds (u(q (s), s)) = p q H ( p) = p H ( p) H ( p)e u(q (0), 0) = u(y, 0) = g(y). Portanto, u satisfaz a rela cao (1.9), logo,u = v.

Mostramos acima que a solu cao de Hopf-Lax, coincide com a solucaoobtida pelo metodo de caractersticas, enquanto n ao houver cruzamento de

caractersticas projetadas. Por outro lado, a f ormula de Hopf-Lax est a pon-tualmente denida para todo t > 0 e para g globalmente Lipschitz. Ela nosda um candidato natural para estender a solu cao obtida pelo metodo decaratersticas. A formula de Hopf-Lax generaliza o metodo de caractersticas,tanto do ponto de vista de permitir estender a solu cao para alem do instantede cruzamento de caractersticas, quanto pelo fato de permitir o tratamentode dados iniciais e Hamiltonianas menos regulares. Nosso objetivo a partirde agora, ate o m deste captulo e de mostrar que a solu cao de Hopf-Lax ea solucao correta da equa cao de Hamilton-Jacobi (2.7), em um sentido a serespecicado.

O proximo resultado trata da regularidade de u e tem como consequenciao fato de que o colapso do metodo de caractersticas n ao se deve a formacao


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de choques (aparecimento espont aneo de descontinuidades na solu cao),mas sim a formacao de descontinuidade na derivada, conforme indicado noexemplo 1 da secao 1.3.

Lema 2.1 Suponha que g : IRn

IRn

e globalmente Lipschitz contnua, i.e.

supx,yIR n ,x = y

|g(x) g(y)||x y|

= C < .Denotamos a constante de Lipschitz C por Lip(g). Ent ao u e Lipschitz contnua em IR n [0, ) e u(x, 0) = g(x).Demonstra cao : Para mostrar que u e Lipschitz, basta mostrar que e Lips-chitz no espa co para tempo xo e no tempo para posicao xa. Primeiro xet (0, ), x, x IR n . Ent ao:

u(x, t ) u(x, t ) = minzIR n tLx z

t+ g(z ) tL

x z t

+ g(z ) ,

onde z e escolhido de modo que o mnimo na deni cao de u(x, t ) e assumidoem z . Logo,

u(x, t ) u(x, t ) tL

x (x x + z )t

+ g(x x + z ) tLx z

t+ g(z )

= g(x

x + z )

g(z )

Lip(g)

|x

x

|.

Trocando-se x e x ganha-se a estimativa desejada. Para mostrar a de-pendencia Lipschitz no tempo e a convergencia de u(x, t ) para g(x) quandot 0 utiliza-se a estimativa a seguir. Sejam x IR n , 0 s < t xos. Ent ao,pelo Corolario 2.1, para s = 0 temos:

u(x, t ) = miny

(t s)Lx yt s

+ u(y, s ) .

A mesma igualdade e satisfeita, com g(y) no lugar de u(y, s ), quando s = 0.Primeiramente temos:

u(x, t ) (t s)L(0) + u(x, s ), fazendo x = y. Logo:


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u(x, t ) u(x, s ) (t s)L(0). Por outro lado ,u(x, t ) miny (t s)L

x yt s

Lip(g)|x y| + u(x, s ),

pois u e Lipschitz contnua no espa co. Tomando z = x

y

t s temos:u(x, t ) minz {(t s)L(z ) Lip(g)(t s)|z |}+ u(x, s ) =

= (t s)maxz {L(z ) + Lip(g)|z |}+ u(x, s ) == (t s) max|w| Lip (g){maxzIR n {L(z ) + w z }}+ u(x, s ) =

= (t s) max|w| Lip (g) H (w) + u(x, s ). Seja C = max {L(0), max|w| Lip (g) H (w)}.Ent ao mostramos que, para s = 0:

|u(x, t ) u(x, s )| C |t s|.Uma demonstra cao analoga para s = 0 funciona substituindo-se u(x, s )

por g(x).

Observe que demonstramos que u C 0(IR n [0, )), e que portanto odado inicial e assumido continuamente. O teorema a seguir e um resultado deconsistencia, que diz que a solucao de Hopf-Lax e pontualmente compatvelcom a nocao de solucao classica.

Teorema 2.2 Sejam x IRn

, t > 0 xos. Se u e diferenci avel em (x, t )ent ao:ut (x, t ) + H (u(x, t )) = 0 .

Demonstra cao : Fixe q IR n , h > 0. Ent ao:u(x + hq,t + h) u(x, t )

h u(x, t ) q + ut (x, t ), quando h 0+ .

Por outro lado, pelo Corol ario 2.1,

u(x + hq,t + h) = minyIR n hLx + hq

y

h + u(y, t ) hL(q ) + u(x, t ),


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fazendo x = y. Logo,

u(x + hq,t + h) u(x, t )h L(q ) e portanto

u t(x, t ) + u(x, t ) q L(q ).Segue-se que u t(x, t ) + H (u(x, t )) = ut + maxqIR n {q u(x, t ) L(q )} 0.

Portanto u e uma subsoluc ao em (x, t ).Agora, escolha z tal que:

u(x, t ) = tLx z

t+ g(z ).

Fixe h > 0 e tome s = t h. Escolhemos y como a posicao em tempo s dareta que liga x a z :y =

st

x + (1 st

)z , ou seja, x z

t =

y z s

.

Usando a formula de Hopf-Lax obtemos:

u(x, t ) u(y, s ) tLx z

t+ g(z ) sL

y z s

+ g(z )

= ( t s)Lx z

t.

Logo,

1h

u(x, t ) ut h

t x + 1

t ht

z , t h Lx z

t.

O lado esquerdo desta desigualdade converge, quando h 0+ , para:u t (x, t ) + u(x, t )

x z t

.

Temos ent ao, que u tambem e uma supersoluc ao em (x, t ) pois:

ut (x, t ) + H (

u(x, t )) = ut(x, t ) + maxqIR n

{q

u(x, t )

L(q )

}


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ut(x, t ) + x z

t u(x, t ) Lx z

t 0.

Chamamos atencao do seguinte resultado de analise real classica: Todafuncao Lipschitz contnua em IR n e diferenci avel em quase toda parte. Estefato e conhecido como Teorema de Rademacher. A demonstra cao deste re-sultado e razoavelmente elementar em dimens ao 1, porem e mais delicadaem dimensoes mais altas. Omitiremos esta demonstra cao, porem referimos oleitor interessado ao Cap. 5 de [8], onde este resultado e provado utilizandoa desigualdade de Poincare para espa cos de Sobolev.

Nesta secao demonstramos que a solu cao de Hopf-Lax u e Lipschitzcontnua em IR n (0, ), com extens ao contnua a t = 0. Mais ainda, doTeorema 2.2 e do Teorema de Rademacher, concluimos que u t + H (u) = 0,qtp- IR n (0, ), ou seja, u satisfaz (2.7) em quase toda parte.

Poderamos pensar em denir solu cao fraca para (2.7) da seguinte maneira:Dizemos que u e solucao fraca de (2.7) se u e Lipschitz em IR n (0, ),contnua em IR n [0, ), u(x, 0) = g(x) e u satisfaz a equa cao de Hamilton-Jacobi em quase toda parte.Se utilizassemos isto como denicao de solucao fraca j a teramos um

teorema de existencia global nas maos. Veremos na pr oxima secao queesta deni cao permite um sutil tipo de nao-unicidade, que contornaremosrestringindo-a um pouco mais.

2.4 Solu coes fracas e unicidade

Vamos formular uma nocao de solucao fraca que nos permitir a provar que asolucao de Hopf-Lax e a unica solucao fraca do problema (2.7).

Nao se espera, em geral, que um problema de evolu cao nao-linear possuauma solucao classica global. Existem mecanismos, bem compreendidos, quelevam a perda de suavidade espont anea de solucoes em tempo nito. Vimosuma inst ancia disso no exemplo 1 da secao 1.3, em que a perda espont aneade suavidade se deve a cruzamento de caractersticas. Este e apenas um dosdiversos mecanismos possveis que levam a perda de regularidade, e e o mais

elementar.


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Um desao tpico no estudo de solu coes fracas de equacoes diferenciaisparciais n ao-lineares consiste de escolher uma no cao de solucao fraca que seja,ao mesmo tempo, ampla o bastante para permitir a inclus ao, como solucaovalida, de todo o comportamento irregular que surja espontaneamente (isto

e, de obter existencia global de solu cao fraca) e restritiva o suciente paragarantir unicidade. Uma nocao de solucao fraca adequada no sentido de-scrito acima em geral incorpora um entendimento profundo do problema emquest ao.

Esta secao completa um exemplo classico do tipo de estudo descritoacima. Antes de mais nada, veremos que a nocao de solucao fraca sugeridano m da secao anterior n ao e adequada por conduzir `a nao-unicidade. Ilus-traremos isso no exemplo a seguir. Veremos que o conceito chave necessariopara completar nossa denicao de solucao fraca e a no cao de semiconcavidade .

Exemplo: Considere o problema:

ut + ( ux)2/ 2 = 0 em IR (0, )u(x, 0) = 0 , em IR {t = 0}.Claramente, a funcao u1(x, t ) 0 e solucao (classica!). Contudo o leitorpode facilmente vericar que a fun cao:

u2(x, t ) =0, |x| t/ 2x t/ 2, 0 x t/ 2x t/ 2, t/ 2 x 0

e Lipschitz contnua e satisfaz a equa cao fora das retas

{x = 0

}e

{x =

t/ 2

}.

Portanto, u2 tambem e solu cao fraca. De fato, innitas solu coes destanatureza podem ser obtidas (Exerccio 8).

Deni cao 2.3 Seja g : IR n IR contnua. Diremos que g e semic oncava se para todo x, z IR n e para algum C independente de x e z vale:g(x + z ) 2g(x) + g(x z ) C |z |2.

Semiconcavidade e um tipo de estimativa unilateral de segunda derivada.E possvel mostrar que, se u : IR IR e C 2, semiconcavidade e equivalentea exigir uma cota superior para a segunda derivada de u. Para fun coescontnuas, semiconcavidade e equivalente ` a existencia de C IR tal que


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u(x) C |x|2 seja concava. Para funcoes Lipschitz, semiconcavidade evita aocorrencia de bicos convexos; |x| nao e semiconcava, enquanto que |x| e.(Verique estas propriedades - Exerccio 9.)Em seguida veremos que a solu cao de Hopf-Lax e semiconcava, em duas

situa coes.

Lema 2.2 Suponhamos que g e Lipschitz contnua e semic oncava. Ent aou(, t ) e semic oncava para todo t [0, ). A constante de semiconcavidade de u(, t ) pode ser tomada igual a de g.Demonstra cao : Fixe x, t e seja y tal que:

u(x, t ) = tLx y

t+ g(y).

Ent ao temos:u(x + z, t) 2u(x, t ) + u(x z, t)

tLx y

t+ g(y+ z )2tL

x yt 2g(y

)+ tLx y

t+ g(yz )

C |z |2.

Lema 2.3 Suponha que H seja uniformemente estritamente convexa (veja a Deni c ao 2.2) e considere u a soluc ao de Hopf-Lax. Ent ao, para todox, z IR n , t > 0, temos:

u(x + z, t) 2u(x, t ) + u(x z, t) 1t |z |

2.

Demonstra cao : Seja a constante na deni cao de convexidade uniformeestrita de H . Primeiramente observemos que:

H p1 + p2

2 12

H ( p1) + 12

H ( p2) 8| p1 p2|

2. (2.8)

Isto se deduz expandindo H ( p1) e H ( p2) em serie de Taylor ate segundaordem com resto de Lagrange em torno de

p1 + p22

e estimando o resto usando

a convexidade uniforme de H (Exerccio 10).


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Pela Proposi cao 2.2, para qualquer p, L(H ( p)) = p. Portanto, amatriz Hessiana de L avaliada em H ( p)e igual a inversa da matriz Hessianade H em p. Como, novamente pela Proposicao 2.2, L e C 2, vale:n

i,j =1

2

Lq ; q j (q ) 1 j 1 | |2.

A razao disso e que e uma cota inferior para o menor autovalor da matrizHessiana de H , o que acarreta que 1 / e uma cota superior para o maiorautovalor da matriz Hessiana de L.

Portanto, por um argumento an alogo ao utilizado para H na dedu cao de(2.8) temos que:

12

L(q 1) + 12

L(q 2) Lq 1 + q 2

2+

18 |q 1 q 2|

2.

Agora xe x e t e escolha y de modo que:

u(x, t ) = tLx y

t+ g(y).

Estimemos:u(x + z, t) 2u(x, t ) + u(x z, t)

tLx + z y

t+ g(y) 2tL

x yt

+ 2 g(y) +

+ tLx z y

t+ g(y) = 2t

1

2L

x + z yt

+

+12

Lx z y

t Lx y

t 2t

18

2z t

1t |z |

2.

O que est a sendo observado acima e um sutil efeito regularizante daevolucao induzida pela equa cao de Hamilton-Jacobi, desde que a Hamilto-niana seja uniformemente estritamente convexa. Note que a constante desemiconcavidade de u(

, t ) explode quando t

0.


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Deni cao 2.4 Seja u : IR n [0, ) IR uma func ao Lipschitz contnua.Dizemos que u e uma solu c ao fraca de (2.7) se:1. u(x, 0) = g(x) e u satisfaz a equac ao (2.7) qtp em IR n (0, ),2. u(x + z, t)2u(x, t )+ u(xz, t) C (1+1 /t )|z |2 para alguma constante C 0, para todo x, z IR n , t > 0.J a demonstramos existencia de solu cao fraca (pela formula de Hopf-Lax)

em dois casos: Se H e uniformemente convexa ou se g(x) e Lipschitz esemiconcava. Finalmente, vamos demonstrar a unicidade de solu cao fraca.

Teorema 2.3 Suponha que H seja uma fun c ao convexa, aut onoma e C 2 e que g seja Lipschitz contnua. Ent ao existe no m aximo uma soluc ao fraca de (2.7).

Demonstra cao : Sejam u e u duas solucoes fracas de (2.7) com o mesmodado inicial. Seja w(x, t ) u(x, t ) u(x, t ). Observe que se (y, s ) e umponto onde ambas u e u sao diferenciaveis (e portanto satisfazem a equa caodiferencial parcial) temos:

wt (y, s ) = H (u(y, s )) + H (u(y, s )) ==

1

0

ddr

[H (ru(y, s ) + (1 r )u(y, s ))] dr =

= 1

0H (ru(y, s ) + (1 r )u(y, s ))dr ((u u)(y, s ))

b(y, s ) w(y, s ).Portanto w satisfaz uma equa cao diferencial parcial (tipo equacao de trans-porte) dada por:

wt + bw = 0 qtp . (2.9)Espera-se que o uxo b da equacao acima seja pouco regular.

Seja : IR [0, ) uma fun cao C e v = (w) 0. Multiplicando(2.9) por (w) temos:vt + bv = 0 qtp .


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Agora dena o suavisador : IR m IR , (x) = 1 / m (x/ ), (m = n+1)onde e uma fun cao C , de suporte compacto, positiva e de integral 1. Fixe > 0 e dena:

u

=

u IRn +1+

(x y, t s)u(y, s )dyds, u

=

u.

As funcoes regularizadas u , u satisfazem algumas propriedades: u , usao C , u u uniformemente quando 0 em compactos e |u| Lip(u); |u| Lip(u); u

qtp

u, quando 0. Estas propriedadessao simples de serem demonstradas; a leitora pode verica-las ou consultaro Apendice C.4 de [8].

A hipotese de semiconcavidade implica que as matrizes Hessianas de ue u , que denotaremos por D 2u e D 2u , sao ambas limitadas por C (1 + 1s )I no sentido de formas quadr aticas. Isto decorre do fato que, para cada > 0

xo, se z IRn

, |z | = 1 ent ao temos:D 2u(x, t ) (z, z ) = lim

h0

u(x + hz,s ) 2u(x, s ) + u(x hz,s )h2

,

e o mesmo vale para u .Considere a regulariza cao do uxo b, dada por

b (y, s ) = 1

0H (ru

(y, s ) + (1 r )u(y, s ))dr.Reescrevemos a equa cao para v da seguinte maneira:

vt + b v = ( b b) v ouvt + div( vb) = (div b)v + ( b b) v.

Observe que:

div(b ) = 1

0

n

k,l =1

2H pk pl

(ru + (1 r )u)(ru x l xk + (1 r )ux l x k )dr

C 1 + 1s

,

devido as estimativas sobre D 2u e D 2u .


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Fixe x0 IR n , t0 > 0 e tome:R max{|H ( p)| : | p| max{Lip(u),Lip (u)}}.

Dena tambem o coneC {(x, t ) : 0 t t0, |x x0| R(t0 t)}.

Seja e(t) denida por:

e(t) B (x 0 ,R (t 0 t)) v(x, t )dx.Decomponha esta integral, na bola original, como integrais em esferas

concentricas e use a regra de Leibnitz para obter, para quase todo t > 0:

e (t) = B (x 0 ,R (t 0 t)) vt dx R B (x 0 ,R (t 0 t)) vdS == B (x 0 ,R (t 0 t)) (div(vb) + div( b)v + ( b b) v) dxR B (x 0 ,R (t 0 t)) vdS = B (x 0 ,R (t 0 t)) v(b n + R)dS + B (x 0 ,R (t 0 t)) (div( b)v + ( b b) v) dx,pelo Teorema da Divergencia,

+ B (x 0 ,R (t 0 t)) (div( b)v + ( b b) v) dx.Isto foi obtido usando a deni cao de R, de b , as estimativas de u , upelas normas Lip(u), Lip(u) e a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Conse-quentemente,

e (t) C 1 + 1t

e(t) + B (x0 ,R (t 0 t)) (b b) vdx.A integral acima tende a zero quando 0, pelo Teorema da Con-vergencia Dominada e pelas estimativas mencionadas. Portanto obtemos a

desigualdade diferencial:

e (t) C 1 + 1t e(t),


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para 0 < t < t 0.Esta estimativa ainda n ao e suciente para conseguir o que queremos pois

ela e singular em t = 0. Escolheremos agora uma () conveniente que nospossibilite usar esta estimativa para tempos longe de zero.Fixe , r e t de modo que 0 < < r < t < t 0 e tome (z ) tal que (z ) = 0

se |z | (Lip(u) + Lip(u)) e (z ) > 0 caso contrario. Em tempo t = temos:|u(x, )u(x, 0)(u(x, )u(x, 0))| = |u(x, )u(x, )| pois u(x, 0) = u(x, 0),

Lip(u) + Lip(u).Portanto, v = (w) = (u u) = 0 em {t = }. Consequentemente,e( ) = 0.Por outro lado, aplicando o lema de Gronwall `a desigualdade diferencial

para e(t), obtemos:

0 e(r ) e( )exp r

C 1 +

1s

ds = 0.

Portanto, e(r ) 0 para < r < t .Disto conclumos que v(x, t ) 0 na bola B(x0, R(t0r )). Como v = (w)e so se anula na bola B (0, (Lip(u) + Lip(u))) temos que:w(B(x0, R(t0 r )), r ) B(0, (Lip(u) + Lip(u))) ,

isto e:

|w| = |u u| (Lip(u) + Lip(u)) em B (x0, R(t0 r )).Como e arbitrario, obtemos que u u nesta bola, e em particularu(x0, t0) = u(x0, t0).Observa c ao: No exemplo dado no incio desta se cao H e uniformemente

convexa e a solucao u2 nao e solu cao fraca por n ao satisfazer semiconcavidadena reta {x = 0}.Resumindo os resultados obtidos neste captulo para o problema de valorinicial (2.7) temos:


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Corolario 2.2 Seja H C 2(IR n ), aut onoma, convexa e superlinear e seja gLipschitz. Se g for semic oncava ou H for uniformemente convexa, ent ao a soluc ao de Hopf-Lax e a unica solu c ao fraca do problema (2.7).

Consideremos agora o problema de controle dado por (2.1, 2.2) comfuncao valor u = u(x, t ). Considere a Hamiltoniana H denida em (2.4). Ob-serve que se L for convexa, C 1 e superlinear, entao H sera concava, contnuae superlinear. De fato, H = L, com L(q ) = L(q ) e as conclusoes sobreH seguem do Teorema 2.1.

Considere agora o problema de valor terminal:

ut + H (u) = 0u(x, T ) = g(x). (2.10)

Adaptaremos a Denicao 2.4 para problemas de valor terminal. Observe

que a denicao essencialmente n ao muda.

Deni cao 2.5 Seja u : IR n (, T ] IR uma func ao Lipschitz contnua.Dizemos que u e uma solu c ao fraca de (2.10) se:1. u(x, T ) = g(x) e u satisfaz a equac ao (2.10) qtp em IR n (, T )2. u(x + z, t) 2u(x, t ) + u(x z, t) C 1 +

1T t |

z |2 para alguma constante C 0, para todo x, z IR n , t < T .

A teoria desenvolvida neste captulo nos fornece o seguinte resultado parao problema de controle otimo para sistemas controlados pela velocidade.

Corolario 2.3 Suponha que L seja C 2, uniformemente estritamente convexa e superlinear e que g seja Lipschitz contnua. Ent ao a func ao valor e a unica soluc ao fraca do problema de valor terminal (2.10).

A vericacao deste resultado ca como exerccio (Exerccio 11).


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Chapter 3

Solu c oes de viscosidade

O objetivo deste captulo e introduzir a no cao de solucao de viscosidade de M.Crandall e P.-L. Lions para equa coes de Hamilton-Jacobi nao necessariamenteaut onomas.

3.1 Metodo de viscosidade

A principal diculdade em denir solu cao fraca de equa coes de Hamilton-Jacobi e a ausencia de estrutura divergente. O procedimento usual paradenir solucao fraca de equa coes nao-lineares em forma divergente consistede multiplicar a equacao por uma fun cao teste suave e integrar por partes(esta e a ideia de solucao distribucional). Veremos que, na deni cao desolucao de viscosidade, tambem faremos uso de funcoes teste suaves e de umprocedimento para fazer as derivadas que aparecem na equa cao incidiremsobre as funcoes teste. Entretanto, este procedimento ser a nao-linear, emcontraste com o procedimento linear de integra cao por partes. A deni caode solucao de viscosidade e inspirada no princpio do m aximo para equa coeselpticas e parabolicas (veja [17]).

Antes de denir solu cao de viscosidade vamos apresentar, a ttulo demotiva cao, uma situa cao em que a denicao surge de forma natural.

Uma estrategia comum para obter solu coes de (1.1) consiste de regularizara equacao pela adicao de um pequeno termo difusivo:

ut + H (

u , x) = u em IR n

(0,

)

u = g em IR n {t = 0},44


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CHAPTER 3. SOLUC OES DE VISCOSIDADE 45

e procurar solu coes de (1.1) que sejam limites das solu coes do problemaregularizado quando 0.A equacao regularizada e uma equacao semilinear de natureza parab olica.A dissipacao introduzida pelo termo difusivo torna este problema muito mais

tratavel do ponto de vista analtico. A estrategia descrita acima e comum emequacoes diferenciais parciais e se chama metodo de viscosidade evanescente.

Espera-se que u convirja a uma solu cao da equa cao original quando 0. No limite, contudo, perde-se controle sobre as derivadas da sequenciade solucoes aproximadas. N ao se espera obter uma solu cao classica desteprocesso de aproxima cao. O que seria plausvel esperar para a famlia desolucoes aproximadas {u}seria limita cao uniforme e equicontinuidade, o queimplicaria a existencia de uma sequencia {u j } convergindo uniformementeem compactos de IR n [0, ) a um limite u C 0(IR n [0, )), pelo Teoremade Arzela-Ascoli.

Para motivar a nocao de solucao fraca, considere uma sequencia

{u j

},

j = 1, 2, . . . de solucoes aproximadas, obtida pelo metodo de viscosidadeevanescente, convergindo a uma funcao contnua u, uniformemente em com-pactos de IR n [0, ). Vamos inicialmente demonstrar um lema que, apesarde ser uma observa cao elementar de an alise real, desempenha um papel im-portante na teoria que vamos desenvolver.

Lema 3.1 Sejam e func oes contnuas denidas em B(x0, R), a bola fechada de centro x0 IR n e raio R. Suponha que possua um m aximo(mnimo) estrito em x0. Seja:

m = (x0) max|x x 0 |= R m = min|x x 0 |= R (x0) .Se satisfaz a condi c ao: max |x x 0 | R || < m/ 2 ent ao tem um m aximo(mnimo) em B(x0, R).Demonstra cao : Comecamos por observar que, para todo x B(x0, R),temos:

m2

< (x) (x) < m2

.

Portanto:

(x0) > (x0) m2 = max|x x 0 |= R +

m2 max|x x0 |= R .


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A conclusao segue imediatamente para pontos de m aximo e a demonstra caopara mnimos e inteiramente equivalente.

Em outras palavras, se possui um extremo estrito em x0, ent ao todafuncao contnua, sucientemente pr oxima de na norma da convergenciauniforme, tambem possui um extremo local pr oximo a x0.

Seja v = v(x, t ) uma fun cao teste C (IR n (0, )). Suponha que z 0 (x0, t0) IR n (0, ) seja um ponto de m aximo local estrito de uv. Vamosmostrar que nestas condicoes, v e uma subsolu cao da equa cao de Hamilton-Jacobi em z 0. Seja R0 tal que (u v)(z ) < (u v)(z 0) para todo z (x, t )na bola B(z 0, R0), z = z 0. Sejam Rk =

R0k + 1

, k = 1, 2, . . . e

mk = ( u v)(z 0) max| z z0 |= R k (u v).Dena { jk} uma sequencia crescente de numeros naturais tal que, seuk u j k , ent ao max

| z z0 | R 0 |uk u| < m k / 2.Pelo Lema 3.1 existe uma sequencia z k (xk , tk) tal que |z k z 0| < R k , istoe, z k z 0 quando k , e uk v, tem maximo local em z k .Observe que uk v e uma fun cao suave, com maximo local em z k , o queacarreta uk(z k) = v(z k) e ukt (z k) = vt (z k).Alem disso, uk(z k) v(z k).Portanto, temos que:

vt (xk , tk) + H (v(xk , tk), xk) =

ukt (xk , tk) + H (uk(xk , tk), xk) = j k uk(xk , tk)

j k v(xk , tk).Mandando k vemos que: vt (x0, t0) + H (v(x0, t0), x0) 0.Se (u v) tiver apenas um maximo local (ao inves de um m aximo localestrito), substituimos v por v = v + (|x x0)2 + ( t t0)2), que agora e talque (u v) tem um m aximo estrito, e obtemos:

vt(x0, t0) + H (

v(x0, t0), x0)

0.


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Contudo, vt (x0, t0) = vt (x0, t0) e v(x0, t0) = v(x0, t0), j a que a fun caoquadr atica que foi adicionada n ao afeta as derivadas de primeira ordem de vem (x0, t0). Desse modo, obtemos que v ainda e uma subsolucao da equa caode Hamilton-Jacobi em ( x0, t0).

A mesma an alise pode ser efetuada tomando-se funcoes teste v tais queu v tenha um mnimo local em ( x0, t0); estas v serao supersolu coes dasequacoes de Hamilton-Jacobi em ( x0, t0).

O que observamos e que limites uniformes de solu coes das aproxima coesparab olicas da equacao de Hamilton-Jacobi tem uma propriedade especialcom respeito a fun coes teste. A deni cao de solucao de viscosidade incorpo-rar a precisamente esta propriedade.

Deni cao 3.1 Seja u uma func ao limitada, uniformemente contnua.

1. Diz-se que u e uma subsolucao de viscosidade da equac ao de Hamilton-

Jacobi (1.1) se:(a) u g em IR n {t = 0} e (b) para todo (x0, t0) IR n (0, ) e cada v C (IR n (0, )) tal que (u v) tem m aximo local em (x0, t0) vale:

vt (x0, t0) + H (v(x0, t0), x0) 0.2. Diz-se que u e uma supersolucao de viscosidade da equac ao de Hamilton-

Jacobi (1.1) se:

(a) u g em IR n {t = 0} e (b) para todo (x0, t0) IR n (0, ) e cada v C (IR n (0, )) tal que (u v) tem mnimo local em (x0, t0) vale:vt (x0, t0) + H (v(x0, t0), x0) 0.

3. Diz-se que u e uma solucao de viscosidade se u for ao mesmo temposubsoluc ao e supersoluc ao de viscosidade.

Nos referiremos a subsolucoes e supersolucoes de viscosidade conjunta-mente como semisolucoes de viscosidade.


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E imediato estender esta denicao para um problema de valor de fronteirageral de primeira ordem, da forma F (x,u,u) = 0. Vamos adiar isto para aproxima secao.

A nocao de solucao de viscosidade foi introduzida por M. Crandall e P.-

L. Lions em 1983 [5], tendo sido reformulada e colocada na forma acima porM. Crandall, L. C. Evans e P.-L. Lions em 1984 [3]. Posteriormente estanocao foi estendida a problemas fortemente n ao-lineares de segunda ordempor R. Jensen [16] em 1988. Desde entao esta ideia de solu cao de viscosidadeteve impacto marcante na literatura recente em equa coes diferenciais parciaisnao-lineares, especialmente no que tange a problemas fortemente n ao-linearesde natureza elptica ou parab olica. Referimos o leitor interessado a [4], quecontem uma descricao do desenvolvimento recente desta teoria.

Vamos iniciar o estudo de solu coes de viscosidade vericando que estanova nocao de solucao e compatvel com o conceito de solucao classica. Istoe chamado um resultado de consistencia. E facil ver que uma solu cao u =u(x, t ) em C 1(IR n [0, )), limitada, e solucao de viscosidade. De fato, se ve suave e uv possui maximo local em (x0, t0), ent ao u(x0, t0) = v(x0, t0)e u t (x0, t0) = vt (x0, t0) e portanto

vt (x0, t0) + H (v(x0, t0), x0) = ut (x0, t0) + H (u(x0, t0), x0) = 0 .

Logo v e, em particular, uma subsolu cao de viscosidade. Similarmente, seu v possui mnimo local, v e supersolu cao de viscosidade.Podemos mostrar uma forma muito mais forte de consistencia. Umasolucao de viscosidade diferenciavel em um ponto ( x0, t0) satisfaz a equa caono sentido classico no ponto (x0, t0). Para demonstrar isto, precisamosprimeiro de um lema de an alise real, que nos fornecera a funcao teste queprecisaremos para demonstrar consistencia.

Lema 3.2 Seja u : IR m IR contnua e diferenci avel em y0 IR m . Ent aoexiste v C 1(IR m ) tal que v(y0) = u(y0) e u v tem um m aximo local estritoem y0.Demonstra cao : Vamos assumir, sem perda de generalidade, que y0 = 0,

u(y0) = 0 e u(y0) = 0. De fato, dados u e y0, dena:

u(y) = u(y + y0) u(y0) u(y0) y.


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Esta fun cao u satisfaz as condicoes acima, e se encontrarmos a fun cao vcorrespondente, obteremos a funcao v desejada fazendo:

v(y) = v(y y0) + u(y0) + u(y0) (y y0).Da diferenciabilidade de u, temos que existe 1(y) contnua, 1(0) = 0 tal

que u(y) = |y|1(y). Dena:2(r ) = max

zB (0; r ) |1(z )|.Ent ao 2 : [0, ) [0, ) e contnua, 2(0) = 0 e 2 e nao-decrescente.Seja

v(y) = 2|y|

|y|2(r )dr + |y|2.

Temos:

|v(y)| |y|2(2|y|) + |y|2,

logo v(0) = 0. Temos tambem que:

v(y) = 2y

|y|2(2|y|)

y

|y|2(|y|) + 2 y

para y = 0, e portanto, se denirmos v(0) = 0, segue-se que v C 1.Contudo, se y = 0 temos:u(y) v(y) = |y|1(y)

2|y|

|y|2(r )dr |y|2

|y|2(|y|) 2|y|

|y|2(r )dr |y|2 |y|2 < 0 = u(0) v(0).

Logo, u v tem um maximo local estrito em 0.Podemos tambem obter uma fun cao C 1, v tal que u(y0) = v(y0) e u vtem mnimo local estrito em y0. Basta aplicar o Lema 3.2 em u.

Teorema 3.1 Seja u uma func ao diferenci avel em (x0, t0) IR n (0, ).Suponha que u e soluc ao de viscosidade da equac ao de Hamilton-Jacobi (1.1).Ent ao

ut (x0, t0) + H (u(x0, t0), x0) = 0 .


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Demonstra cao : Seja v = v(x, t ) C 1(IR n (0, )) tal que u v temum maximo local estrito em ( x0, t0). Dena o suavisador : IR m IR ,(x) = 1 / m (x/ ), (m = n + 1) onde (x) e uma fun cao C , de suportecompacto, positiva e de integral 1.

Seja v(x, t ) = v, uma fun cao C . Ent ao, quando 0:1. v v uniformemente em compactos,

2. v v uniformemente em compactos,3. vt vt uniformemente em compactos.Estas propriedades da regulariza cao por convolucao sao bem conhecidas.

Suas demonstracoes cam como exerccios para a leitora (veja Exerccio 12).Do mesmo modo que zemos no incio desta secao, usa-se o Lema 3.1

para obter uma sequencia de pontos ( xk , tk) (x0, t0) e numeros k 0,quando k

, tais que u

vk tem um m aximo local em (xk , tk).

Portanto vk e uma fun cao teste legtima. Pela deni cao de solucao deviscosidade temos que:

vkt (xk , tk) + H (vk (xk , tk), xk) 0.

Passando ao limite quando k conclumos quevt(x0, t0) + H (v(x0, t0), x0) 0.

Por outro lado, da diferenciabilidade de u em (x0, t0), temos que u e sub-solucao no sentido classico em (x0, t0), posto que u e suas primeiras derivadascoincidem com v em (x0, t0).

Por outro lado, como observado apos o Lema 3.2, existe v C 1

tal queu v tem mnimo local estrito em ( x0, t0). O argumento analogo demonstraque u sera tambem supersolu cao no sentido classico em (x0, t0), o que concluia demonstra cao.

3.2 Deni c oes alternativas de solu cao de vis-cosidade

Do ponto de vista pr atico, de estudar solucoes de viscosidade, veremos quee util estar de posse de uma denicao alternativa, porem equivalente, de


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solucao de viscosidade que prescinde do uso de fun coes teste. Contudo essadenicao alternativa se apoia no conceito de semidiferencial de uma funcaocontnua, que nao faz parte do conte udo usual de um curso de an alise real.Comecaremos esta se cao com a denicao de semidiferenciais e algumas de

suas propriedades b asicas.Seja u uma funcao contnua em um domnio IR m e x0 .

Deni cao 3.2 A superdiferencial de u em x0 e denida por:

D + u(x0) p IR m lim supxx0u(x) u(x0) p (x x0)

|x x0| 0 .

A subdiferencial de u em x0 e denida por:

D u(x0)

p

IR m lim inf

xx0

u(x) u(x0) p (x x0)|x x0|

0 .

As semidiferenciais D + u(x0) e D u(x0) sao subconjuntos fechados e con-vexos de IR m (Exerccio 13).

Exemplos:

1. A funcao u e diferenci avel em x0 se e somente se D+ u(x0) = D u(x0) =

{u(x0)} se e somente se D + u(x0) D u(x0) = .2. Se m = 1 e u(x) = |x| entao D + u(0) = [1, 1] e D u(0) = .3. Se m = 1 e u(x) = x sin(1/x ) ent ao D+ u(0) = D u(0) = .Estes fatos s ao uma consequencia do Lema abaixo. Sua demonstra cao e

deixada como exerccio (Exerccio 14).

Lema 3.3 Seja u uma func ao contnua e x0 . Ent ao p0 D + u(x0) se e somente se existe uma fun c ao C 1, , tal que:(i) u tem um m aximo local em x0;

(ii) (u )(x0) = 0 ;(iii) (x0) = p0;


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Mais ainda, podemos escolher de modo que (u )(x) |x x0|2.Similarmente, q 0 D u(x0) se e somente se existe uma fun c ao C 1,, satisfazendo as tres condi c oes acima com mnimo no lugar de m aximo.Tambem podemos escolher de modo que (u )(x) |x x0|2.Demonstra cao : Primeiro, vamos supor que p0 D+ u(x0). Da mesmamaneira que na demonstracao do Lema 3.2, vamos assumir, sem perda degeneralidade, que x0 = 0, u(x0) = 0 e p0 = 0.

Dena 1 = 1(x) u(x)/ |x|. Como 0 D + u(0), temos quelimsup

x01(x) 0.

Dena +1 max{1, 0}, a parte n ao-negativa de 1 e considere:2(r ) max|x | r +1 (x).

Como 0 D+ u(0), temos que +1 e contnua. Portanto a deni cao de 2acima e um m aximo genuno, e n ao um supremo, e 2 e contnua.A demonstra cao agora segue precisamente como a do Lema 3.2, tomando:

(x) = 2|x |

|x |2(r )dr + |x|2.

Neste caso, (0) = 0 = u(0), e C 1 e

(0) = limx0

1

|x| 2|x |

|x |

2(r )dr +

|x

|2 = 0.

Temos tambem que:

u(x) (x) = |x|1(x) 2|x |

|x |2(r )dr |x|2

|x|2(|x|) |x|2(|x|) |x|2 = |x|2 < 0,se x = 0.Suponha agora a existencia de satisfazendo (i)-(iii). Para x suciente-mente pr oximo de x0 temos:

u(x) (x) u(x0) (x0).


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Portanto temos a seguinte estimativa para o quociente de diferen cas:

u(x) u(x0) p0 (x x0)|x x0|

(x) (x0) p0 (x x0)|x x0|

.

Tomando lim sup xx 0 de ambos os lados e usando o fato que (x0) = p0,vem que p0 D+ u(x0).A demonstra cao do resultado no caso de subdiferenciais e inteiramenteanaloga.

Observe que, na demonstracao acima, dado p0 D + u(x0), constr oi-se afuncao de modo que o maximo de u em x0 seja global e estrito.Vamos agora formular a denicao de solucao de viscosidade em termosde semidiferenciais. Na pr atica e, em geral, bastante simples traduzir umademonstra cao que utiliza a deni cao baseada em fun coes teste em uma demon-stra cao expressa em termos de semidiferenciais. A vantagem das semidiferen-ciais e estritamente notacional: os c alculos cam mais compactos, e portantomais faceis de visualizar.

Para efeitos da teoria a ser desenvolvida nos pr oximos captulos, e conve-niente tratar equa coes diferenciais parciais mais gerais do que a equa cao deHamilton-Jacobi. Seja IR m e F : IR IR m IR contnua. Vamosdenir solucao de viscosidade para o problema de valor de fronteira:

F (y,u,Du ) = 0 , em u = g, em . (3.1)

Estaremos interessados em tres contextos distintos para este problema: IR n um domnio aberto e limitado, = IR n , sem condicao no innito,e = IR n (0, ) com a estrutura especca do problema de valor inicial(1.1). Nos dois primeiros casos Du u e no terceiro caso, y = ( x, t ) eDu (u, u t).Deni cao 3.3 Seja u : IR uma func ao limitada e uniformemente contnua.

1. Diz-se que u e uma subsolucao de viscosidade da equac ao (3.1) se:

(a) u g em e


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(b) para todo y0 e cada v C () tal que (u v) tem m aximolocal em y0 vale:F (y0, u(y0), Dv (y0)) 0.

2. Diz-se que u e uma supersolucao de viscosidade da equac ao (3.1) se:

(a) u g em e (b) para todo y0 e cada v C () tal que (u v) tem mnimolocal em y0 vale:

F (y0, u(y0), Dv (y0)) 0.3. Diz-se que u e uma solucao de viscosidade se u for ao mesmo tempo

subsoluc ao e supersoluc ao de viscosidade.

Gostaramos de chamar aten cao para o fato de que o mesmo argumentoque motivou a deni cao de solucao de viscosidade para a equa cao de Hamilton-Jacobi no incio deste captulo, atraves de regulariza cao parab olica, funcionase aplicado ao problema geral (3.1) e permite obter a deni cao acima demodo natural. Entretanto, em contraste com o problema de valor inicialpara a equa cao de Hamilton-Jacobi, nao ha raz ao a priori para que a regu-larizacao com u no lado direito seja a natural. Mais ainda, veremosuma inst ancia nesta monograa em que a regularizacao natural consiste deusar u no lado direito. Consequentemente as desigualdades na deni caode solucao de viscosidade correspondente cam invertidas. Este e o caso doproblema de valor terminal para a equa cao de Hamilton-Jacobi-Bellman geralque discutiremos no ultimo captulo. Em resumo, a deni cao de solucao deviscosidade para o problema formulado na generalidade acima incorpora umacerta arbitrariedade. A teoria que ser a desenvolvida e consistente, poremexiste uma outra teoria, igualmente consistente, que trata solu coes de vis-cosidade denidas com os sinais invertidos. Finalmente, observamos que adecisao de qual deni cao e adequada so pode ser tomada de acordo com oproblema especco em questao.

Observemos que a Denicao 3.3 permite uma certa exibilidade na escolhado conjunto de fun coes teste que deve ser considerado.

Lema 3.4 Seja u = u(y) uniformemente contnua e limitada em , u

g

(u g) em . S ao equivalentes:


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(i) u e subsoluc ao (supersolu c ao) de viscosidade de (3.1).

(ii) Para todo y0 e para toda v C 1() tal que u v tem um m aximo(mnimo) local em y0 temos: F (y0, u(y0), Dv (y0)) () 0.(iii) Para todo y0 e para toda v C () tal que u v tem um m aximo(mnimo) local em y0 com u(y0) = v(y0) temos: F (y0, u(y0), Dv (y0)) () 0.

Demonstra cao : Quanto menor o conjunto de funcoes teste, menos restritivae a deni cao. Portanto e imediato que (ii) implica (i) e que (i) implica (iii).

Primeiro, vejamos que (iii) implica (i). Seja y0 e v C (), tal queu v tem um maximo local em y0. Seja v(y) = v(y) + u(y0) v(y0). Ent aov(y0) = u(y0), D v = Dv e u v tem um maximo local em y0. Consequente-mente,F (y0, u(y0), Dv (y0)) = F (y0, u(y0), D v(y0))

0.

Para mostrar que (i) implica (ii) usamos o argumento de regulariza caopor convolucao com um suavizador da demonstracao do Teorema 3.1.

A demonstra cao para supersolu coes e inteiramente an aloga.

O pr oximo resultado diz respeito a como formular a Denicao 3.3 emtermos de semidiferenciais.

Proposi cao 3.1 Seja u uma func ao limitada e uniformemente contnua em tal que u ()g em . Ent ao u e subsoluc ao (supersolu c ao) de vis-cosidade de (3.1) se e somente se para todo y0

e p0

D+ u(y0) ( p0

D u(y0)) temos F (y0, u(y0), p0) ()0.Demonstra cao : Vamos primeiro mostrar que u e uma subsolu cao de vis-cosidade. Pelo Lema 3.4, podemos considerar v C 1() tal que u vtem um m aximo local em y0 e u(y0) = v(y0). Ent ao, pelo Lema 3.3, p0 Dv(y0) D + u(y0) e portanto F (y0, u(y0), Dv (y0)) 0. Logo u e subsolu caode viscosidade.

Reciprocamente, seja y0 e p0 D + u(y0). Ent ao, usando novamenteo Lema 3.3, existe uma fun cao v C 1() tal que u v tem um maximolocal em y0, u(y0) = v(y0) e Dv(y0) = p0. Usando agora o Lema 3.4, pode-mos utilizar a fun cao v

C 1 como funcao teste. Assim, F (y0, u(y0), p0) =

F (y0, u(y0), Dv (y0)) 0.


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A demonstra cao do resultado para supersolucoes de viscosidade e inteira-mente an aloga.

Concluimos este captulo com a denicao alternativa de solucao de viscosi-dade, expressa em termos de semidiferenciais, que e equivalente ` a Denicao3.3 pela proposicao acima.

Deni cao 3.4 Seja u : IR uma func ao limitada e uniformemente contnua.1. Diz-se que u e uma subsolucao de viscosidade da equac ao (3.1) se:

(a) u g em e (b) para cada y e p D + u(y) temos F (y, u (y), p) 0.

2. Diz-se que u e uma supersolucao de viscosidade da equac ao (3.1) se:(a) u g em e (b) para cada y e q D u(y) temos F (y, u (y), q ) 0.

3. Diz-se que u e uma solucao de viscosidade se u for ao mesmo temposubsoluc ao e supersoluc ao de viscosidade.


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Chapter 4

Princpios de compara c ao eunicidade

O objetivo deste captulo e estudar o problema de unicidade de solu coes deviscosidade. Isto ser a feito atraves de princpios de compara cao. Os resulta-dos de unicidade tem um papel central na teoria, e as demonstra coes, comoapresentadas na literatura, tendem a parecer articiais. Nossa inten cao ede torn a-las o mais natural possvel, reconstruindo as ideias originais, tra-balhando a partir das situa coes mais simples e renando progressivamenteos resultados ate chegarmos a um teorema de unicidade de solu coes de vis-cosidade para equa coes de Hamilton-Jacobi. Apresentaremos neste captuloquatro demonstra coes de princpios de comparacao em contextos distintos ede sosticacao crescente.

4.1 Problemas estacionarios

Para dar uma ideia de como a denicao de solucao de viscosidade fun-ciona como um criterio de exclus ao, selecionando uma entre v arias possveissolucoes, consideremos o seguinte exemplo.

Exemplo: Seja = (1, 1) IR . Considere o problema de valor defronteira: (u )2 = 1 , em u(1) = 0 = u(1). (4.1)

Um candidato Lipschitz contnuo para solu cao deste problema pode ser

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CHAPTER 4. PRINC IPIOS DE COMPARAC AO E UNICIDADE 58

obtido escolhendo um conjunto

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