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Metodologia de Anlise Dinmica de Estruturas mediante a Aplicao da Transformada Discreta de Cosseno das Series Temporais.

Novembro 2014

Introduo

Na arte da Anlise Estrutural dificilmente existe um nico mtodo para atingir os objetivos. habitual que cada mtodo fornea uma luz complementar e distinta e que assim cumpra o seu propsito iluminando de maneira peculiar o caminho das decises, da confiabilidade ou da compreenso do desempenho estrutural. No Universo da Cincia e da Tecnologia quase todas as grandes ideias que surgem e evoluem para resolver problemas especficos expandem sua aplicao ou so redescobertos para serem aproveitados em diversos casos. Muitas vezes so transferidas com sucesso a disciplinas percebidas como distantes e desvinculadas. A Anlise de Fourier um dos exemplos mais destacados da utilidade de assimilar e extrapolar conceitos para serem aplicados em reas diferentes. Desde a msica at a sala de cirurgia, passando por todas as reas da Engenharia seria muito difcil explicar como teria evoludo o conhecimento sem a presencia da Anlise de Fourier. Em particular, as ltimas dcadas esto marcadas pela expanso do uso das Transformadas Cossenos Discretas. Algoritmos Transformada Discreta de Cosseno so chamados habitualmente cdigos DCT (Discrete Cosine Transform) e so aplicados na tecnologia moderna em processamento e compresso de dados. O DCT a expresso de uma sequencia finita de dados como combinao linear de funes cosseno em diferentes frequncias. Compresso de sinais de udio MP3 e de imagens JPEG so exemplos tpicos de aplicaes do DCT.Os nveis de resposta dos nossos sentidos assim como os das estruturas que analisamos no so uniformes para toda a largura do espectro de excitaes s quais esto potencialmente submetidos. Existem partes principais que determinam quase inteiramente o comportamento e partes irrelevantes e volumosas em tamanho de dados que a sua presencia ou ausncia no mudam significativamente o resultado. A reduo do tamanho do input poro menor que conserve todo o que relevante sem perder a essncia nem a exatido no somente simptico e til, geralmente ser necessria para viabilizar ou aprimorar a Anlise. As DCT so especialmente eficientes na reduo da informao e nessa virtude est a clave da expanso da aplicao da DCT em tantas reas.Neste trabalho apresentam-se consideraes tericas, metodologias e exemplos cujo propsito expor maneiras nas quais o uso adequado do DCT pode virar ferramenta idnea na mesa de trabalho do Engenheiro de Estruturas para a anlise de resposta vibracional, com nfase na integrao em alta frequncia (HFPI) das respostas dinmicas estacionrias de estruturas a partir das series temporais de foras generalizadas como o caso das deduzidas dos registros obtidos em ensaios de Tnel de vento.

Introduo Anlise Dinmica da Resposta Induzida pelo vento nas Estruturas Transformada Cosseno Discreta.

Dado um vector de dimenso N: a Transformada Cosseno Discreta (tipo DCT-II) completa do vetor definida como a expresso do mesmo mediante uma combinao lineal da base ortogonal :

(1)

Na Figura 1 pode ser visualizada a base ortogonal do DCT II de dimenso N=8 e os seus 5 primeiros vetores de maneira grfica.De acordo anlise de Fourier o vector genrico poder ser expressado pela combinao lineal dos vectores da base de acordo a:

(2)

Onde ; ; ; Notao: o produto escalar dos vetores e Aos efeitos de interpretar o significado intrnseco das equaes poder se observar que:

(3)

Dai que a projeo de no vector .

(4)

Ou seja, a Transformada Cosseno de Fourier uma passagem da Base Cannica Base Ortogonal de acordo decomposio nas projees do vetor genrico do espao :(5)

A base ortogonal, mas os mdulos dos vetores no so unitrios. Se adotarmos a Base normalizada (orto-normal):

(6)

(7)

Na Figura 2 pode se visualizar a base ortogonal normalizada para o DCT II de dimenso 8 e os seus 5 primeiros vetores de maneira grfica.

Figura 1 - Base ortogonal para o DCT II de dimenso 8.

Figura 2 - Base ortogonal normalizada para o DCT II de dimenso 8

Os termos so denominados Harmnicos de ordem k e os coeficientes os Coeficientes de Fourier do Harmnico de ordem k ou ordenadas espectrais.Observe-se que os Harmnicos so invariantes respeito normalizao das Bases Ortogonais, mas os coeficientes de Fourier dependero dos mdulos da Base Ortogonal adotada.Porm, a grande vantagem de expressar os coeficientes na base no normalizada deriva do fato que os mesmos so as amplitudes reais dos harmnicos em tanto os coeficientes ressultam amplificados por fatores que dependem da dimenso da amostra: para para quando K>0).Os sinais de dimenso estaro associados a sucesses de registros (p.e. foras generalizadas deduzidas a partir de registros de presses) em intervalos de tempo (entre registros sucessivos). Ou seja, a durao total da medio A qualidade do registro depender tanto da quantidade como do intervalo . Quando o propsito detectar efeitos de amplificao devidos s componentes harmnicas do sinal, as informaes obtidas mediante DCT II havero de ser confiveis somente para Harmnicos cujos perodos associados sejam maiores que 6 t Por exemplo, se uma estrutura no possui modos prprios de vibrao relevantes menores de 1,75 s bastar adotar o intervalo no menor que 0,25 s de maneira que as componentes harmnicas sejam assertivas a partir de perodos da ordem de 1,5 s.Para as componentes harmnicas do vetor esto associados a um sinal harmnico de Perodo : ; durao da medio.No caso de trata-se de um sinal constante que ser chamado de perodo infinito.A identidade entre o sinal e a expanso em cossenos estar garantida unicamente quando so tomados todos os Harmnicos, contudo aqueles Harmnicos cujo perodo seja menor que sero de baixa resoluo. O objetivo obter os contedos harmnicos do sinal. Por isso geralmente a expanso truncada nos primeiros harmnicos. No adiantaria que seja maior que j que resultaria menor que (8)

Quanto maior seja a ordem do harmnico, menor ser o perodo do mesmo e tambm menor ser a diferencia entre o perodo do harmnico e o do harmnico seguinte.(9)

Caso a expanso no propicie contedos em perodos prximos aos perodos prprios de vibrao da estrutura, ficariam mascarados potenciais amplificaes por proximidade ressonncia. Dai a importncia de garantir que todos os perodos naturais da estrutura tenham harmnicos da expanso cujos perodos sejam prximo a ele. O modo crtico enquanto proximidade entre harmnicos ser o modo fundamental relevante j que ele possui o maior perodo natural Considerando que est entre 2 perodos harmnicos sucessivos:(10)

Devemos garantir que a diferencia entre o harmnico mais prximo e seja menor que :

(11)

Podemos assim adotar como critrio de aceitabilidade da proximidade de Harmnicos com o modo fundamental a condio que impe que o perodo fundamental seja menor que .Dai que para todo sinal (com N registros) e uma durao total o range de perodos prprios da estrutura para os quais a Transforma Cosseno Discreta (DCT II) haver de ser confivel enquanto a levar em conta amplificaes associadas a efeitos de amplificao ser:(12)

Para o caso especfico de :(13)

Considerando o caso de prdios elevados, e ponderando que os mais arrojadas entre eles dificilmente possuem perodo fundamental alm dos 10s, o critrio de resoluo por proximidade dos perodos dos harmnicos ao perodo fundamental implicaria sempre a necessidade de uma medio de durao no menor que 100 s independente do adotado. Ou seja, para =0,25 s a amostra mnima a ser considerada confivel enquanto resoluo na proximidade do perodo fundamental ser de dimenso maior que 400.Nas hipteses de prdios com modos prprios relevante com perodos na faixa [1,75 s ; 10 s] e usando dimenses de registros de potencias de 2 para intervalos entre registros =0,25 s teremos que o menor aceitvel ser 512. Observe-se que harmnicos cujos perodos sejam menores que 6 aportaro informao de baixa resoluo e no adiantaria levar eles em conta. Caso eles possam ser relevantes dever ser adotadomenor e consequentemente aumentar a dimenso da amostra. Mas, uma vez fixado o a confiabilidade da anlise de resposta no ser afetada caso a expanso do DCT II seja truncada em K=N/3. Por outra parte, uma vez fixado o incremento de permite estender a durao da medio e eventualmente capturar efeitos extremos que estavam ausentes no intervalo reduzido. Porm, isso obrigar a levar em conta maior quantidade de harmnicos incrementando de maneira considervel o esforo computacional na obteno dos componentes harmnicos e especialmente na posterior anlise da resposta. Uma estratgia conveniente ser conservar a dimenso N=512 particionando com solape o domnio dos registros em sequencias de 512 leituras.As possveis dimenses dos registros como potencias de 2 e os parmetros de quantidade mnima de harmnicos a ser considerada em cada caso esto apresentadas na tabela da Figura 3.

N=2nDurao da amostra em segundos para Quantidade K mnima de harmnicos com resoluo confivel (independente de t) Harmnico para o qual se atinge o entorno de T=10s para t=0,25s Resoluo em segundos para o entorno de T= 10s para t=0,25s

512128171250,39

1024256342510,195

20485126831020,097

4096102413662040,048

8192204827314090,024

16384409654628190,012

Figura 3 - Parmetros associados s diferentes dimenses de registros para incremental =0,25s .

Generalizao da Transformada Cosseno para excitaes simultneas.

O presente trabalho visa abordar e explorar o uso do DCT na anlise estrutural mediante a obteno das componentes harmnicas relevantes de um sinal discreto genrico que representa uma histria de foras generalizadas.

(14)

O truncamento leva a que seja relevante levar em conta somente componentes para cada vetor . Ou seja .Dai que a cada vetor corresponder um vetor espectral :(15)

Definiremos a matriz [K+1 xN] de K+1 fileiras : ; ;

(16)

O vetor pode ser obtido mediante o produto matricial:(17)

A correspondncia entre os vetores uma aplicao linear com domnio e condomnio . A matriz dessa aplicao Em geral teremos Q sinais atuando simultaneamente e com registros discretos correlacionados. a matriz excitao (input da anlise) [NxQ] cujas colunas so os Q vetores a matriz espectral [(K+1)xQ] cujas colunas so os Q vetores A correspondncia entre as matrizes e uma aplicao linear com domnio no espao das matrizes [NxQ] e condomnio no espao das matrizes [(K+1)xQ]. A matriz dessa aplicao ser tambm (18)

Sempre que adotemos N como potencia de 2 poder se aplicar algoritmos FFT para obter as matrizes espectrais de maneira mais rpida.A coluna da matriz conter as componentes espectrais associadas ao sinal (19)

Esses coeficientes permitiro expressar o sinal como:(20)

Deve ser destacado que os vetores sero os mesmos para todo.(21)

(22)

Tomando a varivel temporal como: , associaremos ao vetor a funo no domnio do tempo:(23)

Consequentemente associaremos ao sinal a funo no domnio do tempo:; ; (24)

A expresso global das excitaes simultneas ser:

(25)

(26)

importante ressaltar que se mudarmos o vetor de excitao (outro estado de carga) implicar a necessidade de obter novamente a matriz espectral , mas o vetor ser invariante, no somente para a estrutura, ser o mesmo para qualquer caso no qual se escolha o mesmo e .

Aplicao da Transformada Cosseno (DCT) para a anlise de resposta de estruturas e obteno de foras estticas equivalentes.

Assumimos que as excitaes escalares conformam a ao total qual est submetida a estrutura. Submetendo por separado cada uma das aes obteremos as histrias de resposta induzidas por cada ao e depois ser possvel superpor as respostas das aes individuais para obter a resposta total de todas as aes que atuam simultaneamente.At agora o estudo se limitou a considerar os sinais como magnitudes escalares. Sem perder generalidade, assumiremos que cada ao est associada magnitude de uma fora generalizada aplicada a um grau de liberdade da estrutura. Poder haver graus de liberdade para os quais nenhuma ao esteja atuando. Chamando Q aos graus de liberdade da estrutura afirmamos que Seja o vetor unitrio associado ao grau de liberdade . Para cada n da estrutura teremos at 6 graus de liberdade (3 deslocamentos paralelos aos eixos cartesianos e 3 rotaes ao redor dos mesmos) . Na maioria dos casos podemos reduzir a quantidade de graus de liberdade a serem considerados.Sendo que se trata de foras generalizadas, podemos definir a histria de foras associada ao como: (27)

A Histria de solicitaes qual estar submetida a estrutura ser:(28)

A ao associada ao grau de liberdade ser:(29)

Para cada grau de liberdade ao qual est aplicada uma excitao poderamos achar as (K+1) histrias de resposta de deslocamentos: (30)

A histria da resposta total ser combinao linear:(31)

Assumindo a hiptese que a estrutura satisfaz as condies de Rayleigh. Da que podemos afirmar que o modelo analtico ter P modos clssicos de vibrao relevantes:; ; ; ; ;

(32)

Os autovalores associados aos modos sero respectivamente:;; ;; ; (33)

A equao do movimento em coordenadas cannicas ser:(34)

= matriz de massa ; = matriz de amortecimento e = matriz de rigidez. (matrizes de dimenses [ Qx Q] )

A partir das hipteses de Rayleigh e assumindo que a quantidade de modos adotados suficiente para os propsitos da anlise, podemos aproximar a histria de deslocamentos de acordo projeo no subespao definido pelos P modos de vibrao considerados: .

(35)

Em particular para a equao do movimento a de uma excitao harmnica:

(36)

.

(37)

(38)

= taxa de amortecimento modal

Definindo:

= Rigidez modal do modo p

= = Produto escalar dos vetores

= amplificao no modo associada frequncia . = fase associada ao modo para a frequncia (39)

Substituindo na expresso da Histria de resposta global:

(40)

Observe-se que: (41)

Dai que:

(42)

Um dos alvos principais da anlise estrutural deduzir parmetros que permitam o dimensionamento, por isso ser de interesse analisar esforos extremos na estrutura durante a oscilao. Cada estado de deformao implica um estado de esforos internos dos elementos constituintes da estrutura. Ou seja, as histrias de deslocamentos contem implicitamente toda essa informao que o engenheiro precisa, mas numa linguagem que no a habitual na mesa de trabalho do escritrio de projetos. de praxe na anlise de projeto estrutural gerar um conjunto de estados de cargas estticas bsicas e um conjunto de combinaes de esses estados de carga para estudar as solicitaes internas estticas induzidas (sem perder generalidade foras axiais, cortantes e momentos). A estratgia do dimensionamento estrutural estabelece como alvo resistente determinar quais sero as dimenses timas dos elementos estruturais para que os limites resistentes no sejam atingidos quando as solicitaes so afetados pelos coeficientes de magnificao exigidos pelas normas Foras estticas equivalentes associadas a um estado de deformao so aquelas foras estticas que quando aplicadas (estaticamente) provocam uma deformao igual deformao instantnea crtica durante um processo dinmico. Trata-se de uma fico, mas uma simplificao extremamente til e pragmtica para unificar estados de carga de natureza esttica (ou quase esttica) com efeitos de cargas que variam no tempo.Lembre-se que ideia central da anlise modal expressar os estados de deformao da estrutura como combinao lineal das formas modais (vetores constantes) e limitar a mudana do tempo aos coeficientes dessa combinao lineal (que sero funes no domnio do tempo). Dai que a estratgia poder ser a de associar a cada forma modal um estado de carga esttico igual a aquele sistema de foras estticas que provoca estaticamente cada deformada modal. Uma vez feito isso, as combinaes de carga relevantes sero os associados aos coeficientes de combinao das formas modais na histria de movimento (deformao) da estrutura. A fora esttica equivalente associada deformao modal :

(43)

Para um instante : .

(44)

Dai que para o instante a fora generalizada esttica equivalente ser: . (45)