Hidraulica geral

ÍndiceObjectivo......................................................................................................................................2

Biografia.......................................................................................................................................3

Introdução....................................................................................................................................4

Breve Revisão a teórica................................................................................................................5

Dedução do teorema de Bernoulli...............................................................................................8

Protocolo experimental..............................................................................................................11

Folha de cálculos........................................................................................................................13

Apresentação Resultados...........................................................................................................15

Conclusão / Discussão dos Resultados.......................................................................................18

Bibliografia.................................................................................................................................19

1

Objectivo

O teorema de Bernoulli traduz o principio da conservação da energia, somente

aplicado a líquidos perfeitos (compressibilidade e viscosidades nulas). Com esta

experiência pretendemos verificar a validade do teorema, verificando a relação entre a

energia piezométrica e a energia cinética de um escoamento em pressão, numa conduta

com secção transversal variável.

2

Biografia

aniel Bernoulli (1700-1782), é conhecido por ser um matemático holandês

que realizou aplicações da matemática à mecânica dos fluidos e por ter sido o

primeiro a entender a pressão atmosférica em termos moleculares.DEle imaginou um cilindro vertical, fechado com um pistão no topo, o pistão tendo um

peso sobre ele, ambos o pistão e o peso sendo suportados pela pressão dentro do

cilindro. Ele descreveu o que ocorria dentro do cilindro da

seguinte forma:

"Imagine que a cavidade contenha partículas muito pequenas,

que movimentam-se freneticamente para lá e para cá, de modo

que quando estas partículas batam no pistão elas o sustentam

com repetidos impactos, formando um fluido que expande

sobre si caso o peso for retirado ou diminuído..."

3

Introdução

Para aplicação do teorema de Bernoulli recorremos ao medidor de Venturi (ou

Venturímetro). É um dispositivo constituído por um tubo, geralmente transparente, com

um estreitamento convergente-divergente, na qual estão instalados vários piezómetros

que nos permite medir a pressão em cada secção do tubo.

Figura 1- Medidor de Venturi (Venturímetro)

4

Breve Revisão a teórica

Caudal: é a razão entre o volume (V) e o tempo (t);

Q=Vt

Velocidade média: é a razão entre o caudal (Q) e a área em escoamento (A);

U=QA

Teorema de Bernoulli entre duas secções (1) e (2) e desprezando as perdas de carga;

P1

ρg+

U 12

2 g+Z1=

P2

ρg+

U 22

2 g+Z2

Como o escoamento no medidor de Venturi é horizontal, Z1=Z2, logo:

P1

ρg+

U 12

2 g=

P2

ρg+

U 22

2g=H

H ⟹ Energia total por unidade de peso líquido;

Pρg

⟹ Altura piezométrica e representa a energia de pressão por unidade de peso de

fluído;

Z ⟹ Cota ou altura geométrica em relação a um determinado plano de referência;

U 2

2 g⟹ Altura cinética;

Pressão (P) ¿ ρ.g.h

Então:

5

Pρg

+ U 2

2 g+Z1=

ρghρg

+ U 2

2 g=H

Ou:

h=H−U 2

2 g

Assim, pode-se concluir que h (altura piezométrica numa secção qualquer) varia com o

quadrado da velocidade de escoamento.

Na realidade verifica-se a ocorrência de perdas de energia (∆ H ¿ ao longo do

escoamento devido ao atrito do fluído com as paredes das tubagens e ao atrito no

interior do próprio fluído.

Figura 2- Perdas de energia por atrito

Assim, temos que para o escoamento de um fluído real, entre as secções 1 e 2, e

considerando as perdas de carga (∆ H ¿, a equação de Bernoulli a utilizar é a seguinte:

P1

ρg+

U 12

2 g+Z1=

P2

ρg+

U 22

2g+Z2+∆ H

∆ H , Representa a perda de energia por unidade de peso de líquido ou carga, entre as

secções 1 e 2.

Se compararmos as alturas piezométricas em secções com a mesma área, isto é, com

Z1=Z2 e U 1=U 2, obtemos a perda de carga verificada entre essas secções:

P1

ρg−

P2

ρg=∆ H

6

Se definirmos Taxa de Recuperação de pressão por:

R=( hs−hmin )( he−hmin )

×100

Em que:

hs - É a altura piezométrica à saída;

he- É a altura piezométrica à entrada;

hmin- É a altura piezométrica na secção mínima;

7

Dedução do teorema de Bernoulli

Consideremos a seguinte imagem:

A partir do elemento cilíndrico de um fluido perfeito (sem viscosidade), contido dentro

do tubo obtemos o seguinte.

8

O elemento de fluido tem um comprimento ds, uma direcção do escoamento S e as

bases têm área dA. A direcção do escoamento faz um ângulo θ com a horizontal.

As forças que actuam no elemento cilíndrico de fluido são:

- Forças de pressão: pdA e (p+dp)dA;

- Peso do elemento de fluido: dAds.

Pela 2.ª lei de newton ou lei fundamental da dinâmica iremos igualar o

somatório das forças que actuam no elemento cilíndrico, o produto da massa com a

aceleração.

ΣF=m.a

Iremos aplicar o somatório das forças a direcção do escoamento S:

ΣFs=m.a ↔

↔ pdA-(p+dp)dA- γdAds.senθ=ρdAds(dU/dt)

↔ pdA-pdA-dpdA- γdAds.senθ=ρdAds(dU/dt)

↔ (-dpdA- γdAds.senθ=ρdAds(dU/dt)

↔ -dp- γds.senθ=ρds(dU/dt)

↔ -dp- γds(dz/ds)=ρdsU(dU/ds)

↔ -dp- γdz=ρUdU

↔ [-dp- γdz-ρUdU=0]*(-1)

↔ dp+γdz+ρUdU=0 Equação de Euler

Se:

[dp+γdz+ρUdU]/ γ obtemos:

9

(dp/ γ ) +dz+(UdU)/g=0 Equação de Bernoulli na forma diferencial.

Na forma diferencial pode aplicada tanto a líquidos como a gases, mas só vamos

estuda-la em líquidos.

Integrando entre dois pontos (A e B) de uma linha de corrente vem (considerando c

constante para os líquidos).

∫ab(1/ γ)dp +∫a

bdz +∫ab(U/g).dU =0

↔ (Pb-Pa)/γ +Zb-Za + (Ub2 - Ua

2)/2g =0

↔ Pb/γ +Zb + Ub2/2g = Pa/γ +Za + Ua

2/2g ou P/γ +Z + U2/2g =0

Em que:

- p/γ é a altura piezométrica;

- Z é a cota ou altura geométrica;

- U2/2g é a chamada altura cinética.

Esta equação traduziu o teorema de Bernoulli e em termos físicos temos:

- p/γ energia de pressão por unidade de peso de fluido ;

- Z energia potencial por unidade de peso);

- U2/2g energia cinética por unidade de peso de fluido.

- P/γ+Z+U2/2g =0 energia mecânica por unidade de peso de fluido ou”carga”.

Os pontos referidos anteriormente (Pb e Pa) devem ser escolhidos de forma a representar

os pontos da secção de escoamento.

10

Protocolo experimental

Descrição do Material:

O dispositivo utilizado para demonstração do teorema de Bernoulli foi um medidor de

Venturi.

Este aparelho é constituído por dois troços distintos, onde a primeira secção converge e

a segunda secção diverge.

O tubo convergente-divergente dispõe de 11 piezómetros que permitem calcular a

pressão em vários pontos de escoamento.

O dispositivo tem um painel com diâmetros e áreas dos onze pontos onde se pode

determinar a pressão e a distância horizontal entre tubos piezómétricos.

O medidor de Venturi é utilizado para demonstrar que a energia de pressão varia de

acordo com a velocidade de escoamento.

11

Figura 3-Banco hidráulico.

Procedimento:

1. Verificar se o dispositivo de demonstração do teorema de Bernoulli está

correctamente ligado ao banco hidráulico;

2. Ligar a bomba e regular o caudal;

Registar as alturas de água nos vários tubos piezómétricos;

3. Determinar o valor do caudal escoado, pelo método volumétrico: medir um

determinado volume e o respectivo tempo. Repetir pelo menos três vezes;

4. Repetir os passos 2 a 4 para caudais diferentes;

Material Utilizado:

Banco hidráulico

Cronómetro

12

Folha de cálculos

Caudais (Q) e alturas piezométricas:

V= 5 L = 0.005 m3

Ensaio 1:

Q1= (0.005/15.4) = 3.25x10-4 m3/s

Q2= (0.005/15.8) = 3.16x10-4 m3/s

Q3= (0.005/15.8) = 3.16x10-4 m3/s

Q (médio) = (Q1+Q2+Q3) /3

Q (médio) = 3.25x10-4 + 3.16x10-4 + 3.16x10-4

13

Q (médio) = 3.19x10-4 m3/s

Taxa de recuperação por pressão

R1=((hs-hmin)/(he-hmin))x100

R1=((103-10)/(127-10))x100

R1=79%

Ensaio 2:

Q1= (0.005/16.9) = 2.96x10-4 m3/s

Q2= (0.005/17.1) = 2.92x10-4 m3/s

Q3= (0.005/17.0) = 2.94x10-4 m3/s

Q (médio) = (Q1+Q2+Q3) /3

Q (médio) = 2.96x10-4 + 2.92x10-4 + 2.94x10-4

Q (médio) = 2.94x10-4 m3/s



R2=((150-68)/(170-68))x100

R2=80%

Ensaio 3:

Q1= (0.005/21.4) = 2.34x10-4 m3/s

Q2= (0.005/21.2) = 2.36x10-4 m3/s

Q3= (0.005/21.6) = 2.31x10-4 m3/s

Q (médio) = (Q1+Q2+Q3) /3

Q (médio) = 2.34x10-4 + 2.36x10-4 + 2.31x10-4

Q (médio) = 2.34x10-4 m3/s


14


R2=((235-185)/(250-185))x100

R2=77%

Apresentação Resultados

Tabela 1: Áreas e distâncias horizontais dos piezómetros:

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11Área(m2 ) 10−6

(m2)530.

4 422.7 265.9 201.1 221.7 268 318.

8 375 435 500.8 530.9

∆ x 10−3 (m ) 0 20 32 45 61 76 91 106 121 136 156

Tabela 2: Caudais e alturas piezométricas:

15

Ensaio Vol(l) ∆ t (s )Q

(m3/ s)Q

(m3/ s) h1 h2 h3 h4 h5 h6 h7 h8 h9 h10 h11

15 15.4 3.25x10 -4

3.19 x10 -4 127 115 70 10 15 54 75 86 94 98 1035 15.8 3.16 x10 -4

5 15.8 3.16 x10 -4

25 16.9 2.96 x10 -4

2.94 x10 -4 170 162 120 68 74 106 126 136 144 147 1505 17.1 2.92 x10 -4

5 17.0 2.94 x10 -4

35 21.4 2.34 x10 -4

2.34 x10 -4 250

244 219 185 190

207 222 228 232 234 2355 21.2 2.36 x10 -4

5 21.6 2.31 x10 -4

Agora a partir do caudal volumétrico e das áreas dos piezómetros calcula-mos as velocidades médias de escoamento:

Q=UxA ; U=Q/A

Tabela 3:Velocidades dos 3 caudais para cada um dos 11 pontos:

U (m/s)Áreas

x106 (m2)Q1 Q2 Q3

U1 530,9 0,601 0,554 0,441

U2 422,7 0,755 0,696 0,554

U3 265,9 1,200 1,106 0,880

U4 201,1 1,586 1,462 1,164

U5 221,1 1,439 1,326 1,055

U6 268,0 1,190 1,097 0,873

U7 318,8 1,000 0,922 0,734

U8 375,0 0,851 0,784 0,624

U9 435,0 0,733 0,676 0,538

16

U10 500,8 0,637 0,587 0,467

U11 530,9 0,601 0,554 0,441

h1 h2 h3 h4 h5 h6 h7 h8 h9 h10 h110

50

100

150

200

250

300

Variação das pressões com as áreas

Ensaio 1Ensaio 2Ensaio 3

Piezómetros

Alt

ura

piez

omét

rica

(mm

)

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11

Q10.60100000000000

1

0.75500000000000

1

1.2 1.586

1.439

1.19 1 0.85100000000000

1

0.73300000000000

1

0.63700000000000

1

0.60100000000000

1

Q20.55

40.69

61.10

61.46

21.32

61.09

70.92

20.78

40.67600000000000

1

0.587

0.554

Q30.44

10.55

40.88 1.16

41.05

50.87300000000000

1

0.73400000000000

1

0.62400000000000

1

0.538

0.467

0.441

0.10.30.50.70.91.11.31.51.7

Variação da velocidade com as áreas

ve

locid

ad

e (

U)

m/s

Tabela 4: Perdas de carga:

17

Q1 Q2 Q3

ΔH(m) 24 20 15

Tabela 5: Taxa de recuperação por pressão:

Q1 Q2 Q3

R (%) 79% 80% 77%

Conclusão / Discussão dos Resultados

No troço convergente a velocidade de escoamento vai aumentar (porque diminui a área

da secção recta do escoamento) até atingir o seu valor máximo no ponto de secção

mìnima (garganta). A partir deste ponto tem inicio um troço divergente, no qual a

velocidade do escoamento vai decrescendo progressivamente, como a enegia total é

constante a esta diminuição de energia cinética (velocidade) corresponde a um aumento

de energia de pressão.

Os gráficos construídos com base nos valores obtidos experimentalmente são parábolas.

Uma decresente, para valores crescentes das velocidades de escoamento e que

corresponde á secção convergente do tubo. A outra, é crescente, para valores

decrescentes da velocidade de escoamento na secção divergente.

Nesta experiência verificamos também que existem perdas de carga, estas devem se a

redução da área de escoamento e do atrito com o tubo.

18

Bibliografia

Garcia, Valdemar – Mecânica dos Fluidos/ Hidráulica Geral I, Instituto

Politécnico de Bragança, 2006;

Quintela, A. C., Hidráulica, Fundação Calouste Gulbenkian, 3ª edição, Lisboa;

http://pt.wikipedia.org/wiki/Daniel_Bernoulli

19

Documents

Hidraulica geral